supondo que se manteve constante o ritmo questão 1 · a figura mostra duas circunferências de...

4
Uma pesquisa realizada com pessoas com idade maior ou igual a sessenta anos residen- tes na cidade de São Paulo, publicada na re- vista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mos- trou que, dentre os idosos que nunca freqüen- taram a escola, 17% apresentam algum tipo de problema cognitivo (perda de memória, de raciocínio e de outras funções cerebrais). Se dentre 2000 idosos pesquisados, um em cada cinco nunca foi à escola, o número de idosos pesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é: a) 680. d) 168. b) 400. e) 68. c) 240. alternativa E Como 1 5 dos idosos nunca foi à escola, 17% 1 5 2 000 68 = idosos que nunca foram à escola apresentam algum tipo de problema cogni- tivo. Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, exis- tia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A se- guinte seqüência de figuras apresenta as po- pulações do vírus (representado por um círcu- lo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos. Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de: a) 241. d) 233. b) 238. e) 232. c) 237. alternativa C Observando as populações do vírus nos quatro primeiros dias, que são 1, 5, 9 e 13, respectiva- mente, podemos supor que as populações do ví- rus constituem uma progressão aritmética de ter- mo inicial a 1 1 = e razão r 5 1 4 = = . Portanto o número de vírus ao final de 1 hora = = 60 minutos é igual a a a 59 r 60 1 = + = + 1 59 4 = 237. Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número míni- mo de dias transcorridos para que os três via- jantes estejam juntos novamente na cidade A é: a) 144. d) 480. b) 240. e) 720. c) 360. alternativa E O número de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é um múltiplo comum de 30, 48 e 72. Logo o número mínimo de dias é o mínimo múlti- plo comum de 30 2 3 5 = , 48 2 3 4 = e 72 2 3 3 2 = , ou seja, é igual a mmc (2 3 5 , 2 3 4 ,2 3 3 2 ) = 2 3 5 720 4 2 = . Um certo tipo de código usa apenas dois sím- bolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, po- dem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. O número má- Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4

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Page 1: Supondo que se manteve constante o ritmo Questão 1 · A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, ... Um observador situado num ponto O, ... nar sua distância até

Uma pesquisa realizada com pessoas comidade maior ou igual a sessenta anos residen-tes na cidade de São Paulo, publicada na re-vista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mos-trou que, dentre os idosos que nunca freqüen-taram a escola, 17% apresentam algum tipode problema cognitivo (perda de memória, deraciocínio e de outras funções cerebrais). Sedentre 2000 idosos pesquisados, um em cadacinco nunca foi à escola, o número de idosospesquisados nessa situação e que apresentamalgum tipo de problema cognitivo é:a) 680.d) 168.

b) 400.e) 68.

c) 240.

alternativa E

Como15

dos idosos nunca foi à escola,

17%15

2 000 68⋅ ⋅ = idosos que nunca foram à

escola apresentam algum tipo de problema cogni-tivo.

Num laboratório, foi feito um estudo sobre aevolução de uma população de vírus. Ao finalde um minuto do início das observações, exis-tia 1 elemento na população; ao final de doisminutos, existiam 5, e assim por diante. A se-guinte seqüência de figuras apresenta as po-pulações do vírus (representado por um círcu-lo) ao final de cada um dos quatro primeirosminutos.

Supondo que se manteve constante o ritmode desenvolvimento da população, o númerode vírus no final de 1 hora era de:a) 241.d) 233.

b) 238.e) 232.

c) 237.

alternativa C

Observando as populações do vírus nos quatroprimeiros dias, que são 1, 5, 9 e 13, respectiva-mente, podemos supor que as populações do ví-rus constituem uma progressão aritmética de ter-mo inicial a 11 = e razão r 5 1 4= − = .Portanto o número de vírus ao final de 1 hora == 60 minutos é igual aa a 59 r60 1= + ⋅ = + ⋅1 59 4 = 237.

Três viajantes partem num mesmo dia deuma cidade A. Cada um desses três viajantesretorna à cidade A exatamente a cada 30, 48e 72 dias, respectivamente. O número míni-mo de dias transcorridos para que os três via-jantes estejam juntos novamente na cidade Aé:a) 144.d) 480.

b) 240.e) 720.

c) 360.

alternativa E

O número de dias transcorridos para que os trêsviajantes estejam juntos novamente na cidade A éum múltiplo comum de 30, 48 e 72.Logo o número mínimo de dias é o mínimo múlti-plo comum de 30 2 3 5= ⋅ ⋅ , 48 2 34= ⋅ e72 2 33 2= ⋅ , ou seja, é igual a mmc (2 3 5⋅ ⋅ ,2 34 ⋅ , 2 33 2⋅ ) = 2 3 5 7204 2⋅ ⋅ = .

Um certo tipo de código usa apenas dois sím-bolos, o número zero (0) e o número um (1) e,considerando esses símbolos como letras, po-dem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01,00, 001 e 110 são algumas palavras de uma,duas e três letras desse código. O número má-

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

Page 2: Supondo que se manteve constante o ritmo Questão 1 · A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, ... Um observador situado num ponto O, ... nar sua distância até

ximo de palavras, com cinco letras ou menos,que podem ser formadas com esse código é:a) 120. b) 62. c) 60. d) 20. e) 10.

alternativa B

Utilizando apenas 2 símbolos, o número zero e onúmero um, podem ser formadas 2npalavras comn letras. Portanto o número máximo de palavras,com cinco letras ou menos, que podem ser forma-das com esse código é 2 2 2 2 21 2 3 4 5+ + + + == 62.

Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedasde 10 centavos e de 25 centavos. Dado que onúmero de moedas de 25 centavos é o dobrodo número de moedas de 10 centavos, o totalde moedas na bolsa é:a) 68. b) 75. c) 78. d) 81. e) 84.

alternativa C

Seja x o número de moedas de 10 centavos queMaria tem em sua bolsa. Então ela tem 2x moe-das de 25 centavos e0,10 x 0,25 (2x)⋅ + ⋅ == ⇔ =15,60 x 26.Logo o total de moedas na bolsa é x 2x+ == =3x 78.

Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobrauma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00por hora, para animar uma festa. Daniel,na mesma função, cobra uma taxa fixa deR$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempomáximo de duração de uma festa, para quea contratação de Daniel não fique mais caraque a de Carlos, é:a) 6 horas.d) 3 horas.

b) 5 horas.e) 2 horas.

c) 4 horas.

alternativa D

Sendo x o número de horas trabalhadas, os valo-res que Carlos e Daniel cobram são respectiva-mente iguais a100 20x+ e 55 35x+ reais.A contratação de Daniel não ficará mais cara quea de Carlos se, e somente se, 55 35x 100+ ≤ ++ ⇔ ≤20x x 3, isto é, se a festa tiver uma dura-ção máxima de 3 horas.

A expectativa de vida em anos em uma re-gião, de uma pessoa que nasceu a partir de1900 no ano x (x ≥ 1900), é dada porL(x) = 12(199 log10 651x − ). Considerandolog ,10 2 0 3= , uma pessoa dessa região quenasceu no ano 2000 tem expectativa de vi-ver:a) 48,7 anos.c) 64,5 anos.e) 72,3 anos.

b) 54,6 anos.d) 68,4 anos.

alternativa D

Considerando a aproximação log 2 0,310 ≅ , parauma pessoa que nasceu no ano 2000 a expectati-va de vida é L(2000) == 12 ⋅ (199 ⋅ log10 2000 − 651) == ⋅ ⋅ ⋅ − =12 [199 log (2 10 ) 651]10

3

= ⋅ ⋅ + − ≅12 [199 (log 2 3) 651]10

≅ ⋅ ⋅ −12 [199 (3,3) 651] =68,4 anos.

A figura mostra duas circunferências de raios8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes àreta r. C e D são os centros das circunferências.

Se α é a medida do ângulo COP� , o valor desen α é:a) 1/6. b) 5/11. c) 1/2. d) 8/23. e) 3/8.

alternativa B

matemática 2

Questão 5

Questão 6

Questão 7

Questão 8

Page 3: Supondo que se manteve constante o ritmo Questão 1 · A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, ... Um observador situado num ponto O, ... nar sua distância até

Como DH é perpendicular a CP, então PH = DQ == 3 cm e CH CP HP 8 3= − = − = 5 cm.

Sendo as circunferências tangentes, DC = 3 + 8 =

= 11 cm. Já que DH // r, m (CDH)� = α e do triângu-

lo retângulo CHD temos senα = =CHDC

511

.

O conjunto de todos os pontos P(x, y) do pla-no, com y ≠ 0, para os quais x e y satisfazem aequação

sen yx2 1+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0

é umaa) família de parábolas.b) família de circunferências centradas naorigem.c) família de retas.d) parábola passando pelo ponto Q(0, 1).e) circunferência centrada na origem.

alternativa A

seny

x 10

y 0

y

x 1k , k Z

y 0

2 2+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

≠⇔ +

= ∈

≠⇔

π

⇔ y

x 12 += ∈ ∗k k Zπ, ⇔ y k x k k Z= + ∈ ∗π π2 ,

Assim, a equação dada é uma equação da família

de parábolas tais que cada uma tem Oy como eixode simetria, vértice em (0; kπ) e, já que ∆ =0 42 − ⋅⋅ (kπ) ⋅ (kπ) = − <4k 02 2π , não corta o eixo x.

Obs.: o conjunto de todos os pontos P(x; y) doplano, com y ≠ 0, que satisfazem a equação é aunião dessas parábolas.

Um observador situado num ponto O, locali-zado na margem de um rio, precisa determi-nar sua distância até um ponto P, localizadona outra margem, sem atravessar o rio. Paraisso marca, com estacas, outros pontos dolado da margem em que se encontra, de talforma que P, O e B estão alinhados entre si eP, A e C também. Além disso,

OA é paralelo a BC,OA = 25 m,BC = 40 m eOB = 30 m,conforme figura.

A distância, em metros, do observador em Oaté o ponto P, é:a) 30. b) 35. c) 40. d) 45. e) 50.

alternativa E

Sendo OA // BC, pelo caso AA, os triângulos PBC

e POA são semelhantes. LogoPBPO

BCOA

= ⇔

⇔ + = ⇔ + = ⇔PO OBPO

4025

PO 30PO

85

⇔ =PO 50 m.

Um salão de festas na forma de um hexágonoregular, com 10 m de lado, tem ao centrouma pista de dança na forma de um círculo,com 5 m de raio.

A área, em metros quadrados, da região dosalão de festas que não é ocupada pela pistade dança é:a) 25 30 3( ).− πc) 25 6 3( ).− πe) 10 15 3( ).− π

b) 25 12 3( ).− πd) 10 30 3( ).− π

matemática 3

Questão 9

Questão 10

Questão 11

Page 4: Supondo que se manteve constante o ritmo Questão 1 · A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, ... Um observador situado num ponto O, ... nar sua distância até

alternativa C

Conforme a figura, a região do salão de festasque não é ocupada pela pista de dança temárea igual à diferença entre a área do hexágonoregular de lado 10 m e a área do círculo de raio5 m. Como as diagonais que passam pelo cen-tro de um hexágono regular o dividem em seistriângulos eqüiláteros congruentes de lado igualao lado do hexágono, a área pedida é

610 3

45

22⋅ ⋅ − ⋅π = ⋅ −25 (6 3 ) m .2π

Considere o sólido da figura (em cinza), cons-truído a partir de um prisma retangular reto.

Se AB = 2 cm, AD = 10 cm, FG = 8 cm e BC == EF = x cm, o volume do sólido, em cm3, é:a) 4x (2x + 5).c) 4 (5 + 2x).e) 4x2 (2x + 5).

b) 4x (5x + 2).d) 4x2 (2 + 5x).

alternativa A

Supondo que os dois sólidos retirados do prismainicial sejam paralelepípedos reto-retângulos, o vo-lume do paralelepípedo reto-retângulo de dimen-sões AB = 2 cm, BC = x cm e AD = 10 cm é igual a2 ⋅ x ⋅ 10 = 20x cm3 , e o volume do paralelepípedoreto-retângulo de dimensões EF = x cm, FG = 8 cme FP = BC = x cm é igual a x ⋅ 8 ⋅ x =8x 2 cm3 .

Assim, o volume destacado é 8x 2 + 20 x == 4x(2x + 5)cm3 .

matemática 4

Questão 12