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Adriano Pedreira Cattai http://cattai.webnode.com/ensino/uneb

Universidade do Estado da Bahia UNEB, Geometria Analtica II, 2008.1

3. Superfcie Cilndrica

3.1 Introduo Definio de Superfcie

Podemos obter superfcies no somente por meio de uma equao do tipo ( , , ) 0F x y z = , existem muitos procedimentos para a obteno de uma superfcie, como vimos:

(a) (Superfcie Cnica) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva passando por um

ponto fixo no pertencente a ela.

(b) (Superfcie Cilndrica) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva fixada (diretriz)

sempre paralelamente a uma outra linha reta fixa.

(c) (Superfcie de Revoluo) fazendo um giro de 360 de uma curva (geratriz) em torno de uma

linha reta fixada (eixo de revoluo).

Conforme as figuras a seguir.

No entanto, podemos a partir destes procedimentos obter uma equao sob forma F(x,y,z)=0,

como refere o segundo problema fundamental da Geometria Analtica. o que faremos a partir de

agora, mas somente para o item (ii). Esse enfoque analtico a partir do enfoque geomtrico

fundamental na interpretao de muitos problemas matemticos, como nas disciplinas Clculo II e

Clculo IV.

3.2 Superfcie Cilndrica

Definio (Superfcie Cilndrica): a superfcie gerada por uma linha reta que se move,

de maneira que sempre paralela a uma dada reta fixa e passa sempre por uma curva fixa

dada.

Geratriz

Geratriz

Superfcie Cilndrica Superfcie de Revoluo Superfcie Cnica

A reta que se move denominada geratriz e a curva dada fixa a diretriz da superfcie

cilndrica. Qualquer posio da geratriz denominada uma geratriz da superfcie cilndrica.

Na figura ao lado, a geratriz uma reta paralela ao eixo-z e a

diretriz uma elipse no plano XY. Essa superfcie um cilindro

elptico reto. Se ao invs de uma elipse tivssemos um circulo, a

superfcie seria um cilindro circular reto.

Na determinao da equao de uma superfcie cilndrica, estudaremos o caso em que a

diretriz uma curva que se encontra num plano coordenado.

Suponhamos que uma poro da diretriz, a curva C, se encontre no plano coordenado YZ e

seja o vetor ( ), ,v a b cG como diretor da diretriz da superfcie cilndrica . Podemos ento escrever as equaes da curva C na forma

S

( , ) 0f y z = e 0x = . (1) Seja um ponto qualquer de e suponhamos que a geratriz que passa por

intercepta C no ponto

( , ,P x y z) S P( )' ', ', 'P x y z , ou seja, ' projeo de sobre C; ento P P

'P S PP v =JJJJG G , logo as equaes dessa geratriz so:

( ) ( )', ', ' , ,x x y y z z a b c = ou, (2) ' 'x y y z za b c

= = , j que ' 0x = . (2)

Alm disso, visto que se encontra sobre C suas coordenadas satisfazem as equaes (1), ou

seja, so satisfeitas as seguintes equaes

'P

( ', ') 0f y z = e 'x 0= . (3) Pela definio de superfcies cilndrica o ponto pode se encontrar sobre a superfcie se, e

somente se, suas coordenadas (P

), ,x y z satisfazem (2) e (3). A partir dessas equaes podemos ento eliminar as trs quantidades 'x , ' e , em que o resultado uma nica equao nas trs

variveis

y 'z

x , y e , e esta a equao procurada da superfcie. z

Exemplo 1: Determine a equao da superfcie cilndrica cuja diretriz a parbola 2 4x y= e situada no plano XY e cuja geratriz tem a direo do vetor 0z = ( )1,1,3vG .

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Soluo: Suponhamos que a geratriz que passa por qualquer ponto ( ), ,P x y z , sobre a superfcie intercepta a diretriz no ponto , como na figura. Ento, conforme (2), as equaes desta geratriz

so

(' ', ', 0P x y' 3z z

)' , ' ,x x y y = += + = + .

Tambm, uma vez que se encontra sobre a parbola,

temos parbola

'P2' 4 'x y= e , da chegamos a 'z = 0

( ) (2 43 0

x yz

)

= =

e portanto a equao

procurada da superfcie. Note que o trao da superfcie sobre o

plano XY a parbola (diretriz).

2 29 6 36 12 0x z xz y z+ + =

Uma pergunta natural referente a esse exemplo, a seguinte: Como se comportaria essa

superfcie se o vetor diretor estivesse direo do eixo ortogonal ao plano XY, ou seja, ao eixo-z?

Faremos o seguinte exemplo.

Exemplo 2: Determine a equao da superfcie cilndrica cuja diretriz a parbola 2 4x y= e situada no plano XY e cuja geratriz tem a direo do vetor 0z = ( )0,0,1vG .

Soluo: Analogamente, temos que as equaes da geratriz so

', ', 'x x y y z z = = = +'

.

Tambm, uma vez que se encontra sobre a parbola, temos parbola 'P 2' 4x y= e ' 0z = , da chegamos a

2 40

x yz

= =

e portanto 2 4x y= a equao procurada da superfcie. Note que a varivel z no aparece na equao da superfcie.

Determinamos a equao de uma superfcie cilndrica a partir das equaes de sua diretriz e

dos parmetros diretores de sua geratriz. Inversamente, podemos determinar as equaes da

diretriz e os parmetros diretores da geratriz de uma superfcie cilndrica a partir de sua equao,

como veremos no seguinte exemplo.

'P

P

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Exemplo 3: Mostre que a equao representa uma superfcie

cilndrica e determine as equaes de sua geratriz e os parmetros diretores de sua diretriz.

1222 222 =+++ yzxzzyx

Soluo: Pela definio de superfcie cilndrica, as sees feitas por planos paralelos ao plano da geratriz

so curvas congruentes com a geratriz. Assim, as sees da superfcie feitas pelos planos so as curvas kz =1222 222 =+++ ykxkkyx e kz = ,

que podem ser escritas na forma

( ) ( ) 122 =++ kykx e kz = . Essas ltimas equaes so circunferncias de raio igual a 1, independentemente do valor de . Em

particular, para , a circunferncia e

k

0=k 122 =+ yx 0=z ( ) . Logo a superfcie um cilindro circular reto com ( sendo a geratriz. Claramente, a reta que une o centro ) ( )kkk ,, de qualquer uma das circunferncias e o centro ( da geratriz )0,0,0 ( ) , paralela diretriz. Como so os parmetros diretores desta reta, logo eles tambm so os parmetros da geratriz.

[ 1,1,1 ]

Se a geratriz de uma superfcie cilndrica perpendicular ao plano de sua diretriz,

denominada Superfcie Cilndrica Reta, caso contrrio Superfcie Cilndrica Obliqua.

No exemplo 2, determinamos a equao de uma superfcie cilndrica cuja diretriz era

perpendicular ao plano da geratriz, e vimos que a equao foi desprovida da varivel no medida

no plano coordenado que contm a geratriz. Alm disso, o lugar geomtrico plano desta a

geratriz.

Inversamente, uma equao desprovida de uma varivel representa uma superfcie cilndrica

reta cuja geratriz perpendicular ao plano coordenado em que no medida a varivel que falta, e

cuja geratriz o lugar geomtrico plano desta equao. Por exemplo, a equao

representa uma superfcie cilndrica reta cuja geratriz perpendicular ao plano XY e cuja diretriz

a hiprbole e .

422 = yx

422 = yx 0=zResumimos estes resultados no seguinte teorema.

Teorema 1: Uma equao representa uma superfcie cilndrica reta, cuja geratriz

perpendicular ao plano coordenado que contm a diretriz se, e somente se, ela desprovida

da varivel no medida no referido plano. O lugar geomtrico plano desta equao a

diretriz.

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Se a diretriz de uma superfcie cilndrica uma circunferncia, a superfcie denominada

cilndrica circular, conforme figura abaixo. Semelhantemente temos superfcies cilndricas

parablicas, elpticas e hiperblicas. Note tambm que um plano uma superfcie, cuja diretriz

uma linha reta.

3.3 Coordenadas Cilndricas

Veremos um sistema de coordenadas para o , o Sistema de Coordenadas Cilndricas, a

partir de uma superfcie cilndrica circular reta.

3\

)Seja um ponto qualquer sobre a superfcie cilndrica circular reta de raio ( zyxP ,, r cujo eixo o eixo Z. Evidentemente a equao de tal superfcie

222 ryx =+ (1).

Na figura ao lado, est representada uma poro da

superfcie no primeiro octante. Pelo ponto P, baixamos a sua

projeo ortogonal no plano XY, o ponto P.

Seja rOP =' e seja o ngulo entre e o eixo X positivo. Temos ento as seguintes relaes:

'OP

cosrx = , sinry = e zz = (2), a partir das quais, evidentemente, possvel localizar qualquer ponto sobre a superfcie cilndrica

(1) quando so dados os valores de r , e z . Por esta razo essas quantidades so denominadas coordenadas cilndricas do ponto e so escritas ( )zr ,, .

'P

xyz

( )zyxP ,,

X

Y

Z

r

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( )zr ,,

Mais geralmente, se um ponto fixo (a origem O), uma reta fixa (o eixo X) e um dado plano (o plano

XY) so tomados como elementos de referncia, ento, juntamente com as coordenadas cilndricas

x

, possvel localizar qualquer ponto no espao; temos assim o sistema de coordenadas cilndricas.

O ngulo pode ser medido como em trigonometria com o eixo X positivo como lado origem. A fim de que as coordenadas cilndricas ( )zr ,, representam inequivocamente um ponto no espao restringimos os valores de r e aos intervalos

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