sumário e objectivos - fe.up.ptldinis/2aulaef.pdf · sumário e objectivos sumário: revisão de...

Sumário e Objectivos

Sumário: Revisão de Alguns Conceitos FundamentaisSumário: Revisão de Alguns Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos. Relações Deformações –Deslocamentos. Relações Tensões – Deformações ç çEquações de Equilíbrio.Objectivos da Aula: Apreensão e Revisão de Alguns Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos necessários para efeitos de Discretização pelo Método dos Elementos Finitosdos Elementos Finitos.

Setembro Elementos Finitos2ªAula

1

Conteúdo

Introdução: Estática e Dinâmica. Elasticidade e Plasticidade. Não Linearidade Geométrica. Isotropia e Anisotropia. Condições de Fronteira. Componentes E t t iEstruturais.

Problemas Bidimensionais

Problemas Tridimensionais

VigasVigas

Placas


2

Sólidos


3

Introdução

Nos Sólidos e nas Estruturas desenvolvem-se tensões como resultado das Acções Externas, Forças, Cargas Térmicas, etc.das Acções Externas, Forças, Cargas Térmicas, etc.

A distribuição das Tensões nos Sólidos varia de ponto para ponto não sendo em geral uniforme como resultado de cargas aplicadas não uniformes. As Tensões dão origem a Deformações que também se distribuem no sólido de modo não uniforme.

O h i t d T õ d D f õ é F d t lO conhecimento das Tensões e das Deformações é Fundamental no Desenvolvimento e Análise de Produtos Sólidos na fase de Fabrico e de Utilização, no Projecto de Estruturas, na análise de defeitos, etc.


4

Introdução: Acções Externas

As Acções Externas sobre os Sólidos podem ser de natureza E á i d Di â i N d dEstática e de natureza Dinâmica. No caso de serem de natureza dinâmica há uma dependência do tempo das Acções e das grandezas relevantes que se desenvolvem noAcções e das grandezas relevantes que se desenvolvem no sólido.

As Equações de Equilíbrio resultantes para oAs Equações de Equilíbrio resultantes para o Comportamento Estático podem considerar-se um caso particular do Equilíbrio Dinâmico resultante da irrelevância particular do Equilíbrio Dinâmico resultante da irrelevância dos termos dependentes do tempo para efeitos de Equilíbrio Estático.


5

I t d ã I t iIntrodução: Isotropia e Anisotropia

Os materiais podem ter um comportamento Isotrópico ou A i ó iAnisotrópico.


6

E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos

Relações Deformações – Deslocamentos para Sólidos 3D

Vector Deformações Txx yy zz yz xz xy

, , xx yy zzu v wx y z

x y zu v u w v w

, ,

xy xz yzy x z x z y


7


Relações Deformações-Deslocamentos em forma Matricial

LU0 0x onde: 0 0

0 00 0

xy

u

0 0

0z

z y

L

wvU

00

z xy x


8


Tensões num Ponto z

yzzy

zy zz

zx

zxxz xy

xz

yy

yz

yx yyy

yz yx

xy

xz

xx

yxxy xx

x

zy

zz

zx

Txx yy zz yz xz xy


9


= c ou DRelações Tensões - Deformações

xx xx11 12 13 14 15 16c c c c c cc c c c c

yy yy22 23 24 25 26

zz zz33 34 35 36

c c c c cc c c c

yz yz44 45 46

xz xz55 56

c c c

sim. c c

xz xz55 56

xy xy66c


10


11 12 12c c c 0 0 0

Matriz de Elasticidade caso Isotrópico11 12 12

11 12

11

c c c 0 0 0c c 0 0 0

c 0 0 0

11 12

11 12

c c 0 0 2c ci 0

D c

11 12

11 12

sim. 02

c c2

2

)1)(21()1(

11

Ec)1)(21(12

Ec 11 12 EG

2 2(1 )c c


11


Equações de Equilíbrio Dinâmico

ufzyx xzxyxxx

zyx

vfzyyyxy

vfzyx y

wfzyx zzzyzxz


12


fForma matricial das Equações de Equilíbrio

L f UT

ousendo:

fx

y

ffou

L DLU f UT

y

zf

0 L DLU fT

Caso EstáticoT

x 0 0 0 z y0 y 0 z 0 xL

0 L DLU f 0 0 z y x 0


13


Problemas 2D:

Estado Plano de Tensão

E t d Pl d D f ãEstado Plano de Deformação


14


Tensões e Deformações Caso 2D

xx

xx

yy

xy

yy

xy xy

u v u v , , xx yy xyx y y x


15


Relações Deformações – Deslocamentos caso 2D

ε LU 0 ε LU

d

0

0

x

L u onde 0

y

L , uv

U

y x


16

Equações Fundamentais daEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos

Matriz de Elasticidade - IsotropiaMatriz de Elasticidade Isotropia = c

1 0 1 0

1(1 ) 1 0

(1 )(1 2 ) 1E

c = D

Deformação Plana(1 )(1 2 ) 1

1 20 02(1 )

1 01 0

D E

2(1 )

l

2 1 01

0 0 1 / 2

D

Tensão Plana


17


Equações de Equilíbrio para Sólidos 2D

Dinâmico Estático

yxxxxf 0

x y

ufyx xyxxx

yy

vfyx yyyxy

xy yy

yf 0x y

yx y x y


18


Equações de Equilíbrio em Forma Matricial – 2D

L f UT sendo:

f x

y

ff

Dinâmico

L f U ou

L DLU f UT L DLU f U

Estático T x 0 yL

0 L DLU fT

0 y xL


19


Equações para Vigas y

xy,v z

p(x)

x

y Teoria de Euler–BernoulliD l t

Eixo 0xy yu Deslocamentos

( )

dv xd x

dvu ydx


20


2du d v 2d

Teoria de Euler–Bernoulli

2 xxdu d vy yLvd x d x

2

2

dLd x

Deformações com

yELvxx Tensões xx = E xx ou2Momentos2

22d ( d )z xx z z

A A

vM y A E y A Lv EI Lv EIx

2dzA

I y A sendo o momento de Inércia da Secção em relação ao eixo dosz z


21


Equações de Equilíbrio Equação de Equilíbrio de F d

Mz + dMz

(p(x)- vA ) dx

dT p x Avdx

Forças segundo yy

dx

Mz

T T + dT

A

dx

Equação de Equilíbrio de Momentos segundo zzdx

zdM Tdx

consequentemente 3

z 3

d vT EIdx


22


3

z 3

d vT EI zdM T dT p x Avd

z 3dxT

dx p

dx

Equações de Equilíbrio de Vigas em termos dos D l

4d vEI Av p(x)

Deslocamentos

Dinâmicoz 4EI Av p(x)dx

4d v

Dinâmico

z 4

d vEI p(x)dx

Estático


23


No caso das vigas planas de Timoshenko considera-se que as secções planas normais ao eixo após deformaçãoas secções planas normais ao eixo após deformação permanecem planas mas não necessariamente normais ao eixo da viga. O eixo da viga considera-se coincidente o e o d v g . O e o d v g co s de se co c de ecom o eixo dos xx, no plano de flexão e normal ao eixo dos xx considera-se o eixo dos yy e na direcção perpendicular ao plano de flexão considera-se o eixo dos zz. O sistema de eixos é análogo ao considerado nas vigas de Euler Bernoullivigas de Euler-Bernoulli.


24


O campo de deslocamentos é:

( , ) ( ) e ( ) ( )u x y y x v x v x

A i d d d l d d iA partir do campo de deslocamentos podem determinar-se as deformações:

( ) ( ) e =- ( )+ xx xyd x dv xy x

dx dx dx dx


25


Neste caso aparece uma deformação de corte não nula dando origem a uma tensão de corte As tensões obtêm se pororigem a uma tensão de corte. As tensões obtêm-se por aplicação da Lei de Hooke Generalizada e são:

( )

( )

xx xxd xE Ey

dxd

( )( ( ) ) ( )

( )

xy xydv xG G x G x

dxdv x

( )com ( ) - ( ) dv xx xdx


26


Conhecidas as Tensões podem calcular-se os Esforços Generalizados que são os Momentos e os EsforçosGeneralizados que são os Momentos e os Esforços Transversos, ou seja

2 ( ) ( )z z

d x d xM Ey dydz EId d

( ) ( )

dx dxT G x dydz GA x

( ) ( )y


27


As equações de equilíbrio em termos dos Esforços Generalizados são análogas às equações consideradas naGeneralizados são análogas às equações consideradas na Teoria de Euler-Bernoulli e correspondem omitindo a dependência em x das rotações e dos deslocamentos no plano depe dê c e x d s o ções e dos des oc e os o p oàs seguintes equações de equilíbrio em termos de q e de v, no caso Estático 3d

3

1

dEI pdx

d d d

1dv d dEIdx kGA dx dx


28


Placas – Sistema de Eixos e Deslocamentos

p(x)y vz, w

p(x)y, v

e x u

x, u


29


z Teoria Clássica das Vigas Finas

Plano Médio

x

Sendo xz = 0, yz = 0

Campo de Deslocamentos

wzu

wzv

( )x y ( , )w w x y


30

iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Finas

Deformações-Deslocamentos

2wzu

2wzv 2x

zx xx

2y z

y yy

2

2xyu v wz

xy y x x y


31


Relações Deformações-Deslocamentos em forma matricial

2

= z Lw onde

2

2

x

L= z Lw onde

2

2

y

L

2

x y


32


Relações Tensões – Deformações para Placas Isotrópicas

=D

1 0 Sendo a Matriz D

2

1 01 0

1

D E

definida por:

10 0 1 / 2


33


zMomentos, Mx e My e Esforços Transversos Tx e Ty

z

T

TxMxMxy

yOTy

MyMyx

Ty+dTy

Myx+dMyxMy+dMyp(x)

dxTx+dTx

Mxy+dMxyMx+dMx

xdy


34


= D = - D z Lw

M 3/2 /2 2

/2 /2d ( d )

12

xe e

p y e e

MeM z z z z w w

M D L DL12

xyM

T yTd d

sendo x

xTdT dxx

yydT dy

y


35

iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas

yxTT ( )

Equilíbrio de Forças yx p(x) ew

x y

segundo zz

Equilíbrio de Momentos Segundo xx

Equilíbrio de Momentos Segundo yy

xyxx

MMT

y xyy

M MT

y x

x x y y x


36


Equações de Equilíbrio Dinâmico e Estático em termos dos Deslocamentos Equação de Lagrange

4 4 4

2w w w p( x ) ew / D

dos Deslocamentos – Equação de Lagrange

4 2 2 42 p( x ) ew / Dx x y y

4 4 4 4 4 4

4 2 2 42w w w p( x ) / Dx x y y

3E

Estático

onde 3

212 1EeD

( )

Setembro Elementos Finitos

2ªAula37

Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas

Teoria de Mindlin

Hipóteses de Reissner - Mindlin

(i) A superfície média é plana e indeformável ou seja as deformações no plano médio.

(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação permanecem numa direcção linear mas ç p çnão necessariamente na normal à superfície média flectida.

(iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, 33 é irrelevante quando comparada com as tensões 11 e 22irrelevante quando comparada com as tensões 11 e 22.


38


eP

x

Vector DeslocamentosGeneralizados

x

u z ( x, y )( )

x-

P' e

v z ( x, y )w w x, y

y= -


39


Deformações Calculadas a partir dos Deslocamentos

xθ-zx

∂∂ w ∂

xxy

yy

xεθ

ε -zy

∂∂= ∂

xxz

w-θ +γ xwγ

=

∂∂∂

xyyx

yγ

θθ-z - zy x

∂∂∂ ∂

yzy

wγ -θ +y

∂∂


40


yzu xzv = z L

onde

0 0

0

x

L y

xx

0

y

L y

x

yy

xy

x y

y


41


A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma relação entre as tensões e deformações

xx xx

1 01- 1-σ εE

estabelece uma relação entre as tensões e deformações

xx xxyy yyxy xy

E 1σ = 0 ε1- 1-1+σ ε10 0 xy xyσ ε10 0 2

σ 1 0E

xz xzyz yz

σ 1 0E=σ 0 12.0 1+


42


Relações Tensões - Deslocamentos Generalizados

yxxx 2

E z1 x y

1 x y

y x2

E z

E w yy 2 z1 y x

E

xz xE w

2 1 x

yxxy

E z2 1 y x

yz y

E w2 1 y


43

Equações Fundamentais daEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas

Momentos e Esforços Tranversos

O x211

22 21O 2

x3x1

e / 2M dxx xxe / 2M z dz

e / 2

yy yye / 2M z dz yy yye / 2

e / 2

xy xye / 2M z dz

e / 2 e / 2

x xz y yze / 2 e / 2T dz e T dz


44

Equações Fundamentais daEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas

Momentos e Esforços Tranversos

Relações Momentos e Esforços e Deslocamentos Generalizados

yxM D

x x'

y y

T 1 0G

T 0 1

xxM Dx y

y y

xwx

y xyyM D

y x

x

yy

xwy

yxxy

1M D2 y x

y 10.2/EeG '


45


Trabalho Virtual realizado pelas Deformações Virtuais dVT ijijV

e / 2 y y y2 2x x xE E y y y2 2x x x

2 2S e / 2z z

x y x y x y1 1

y y 2E E w w

y y 2x xx x

E E w wz2 1 y x y x 2 1 x x

E w w y y 3

E w w dS dx2 1 y y


46


Integrando ao longo da espessura obtém-se

y yx xT M M M dS

xx yy xyST M M M dS

x y y x

+ x x y yS

w wT T dSx y

x y


47


Aplicando o Teorema de Green, obtém-se

yy xy xyxxx y x yS

M M MMTx y y x

yxx x y y

TTT T w w dSx y

y

xx x yy y xy x xy yLM cos M sen M sen M cos dL

x yLT w cos T w sen dL


48


Tendo em conta que x n scos sen

y n ssen cos

2 2M M cos M sen 2 M sen cos n xx yy xyM M cos M sen 2 M sen cos

2 2M M M sen cos M cos sen t xx yy xyM M M sen cos M cos sen

T T T x yT T cos T sen


49


O Trabalho virtual dos esforços internos toma a forma

yyxx 12 12x y x yS

MM M MTx y y x

x y y x

yxx x y y

TTT T w w dSx y

x y

n n s sL LM M dL T w dL


50


O trabalho realizado pelas forças exteriores

sW p w ds Note-se que o Teorema dos trabalhos virtuais obriga a que seja:

T W 0 T W 0

Ver como se obtêm as Equações de Equilíbrio


51


yyxx 12 12x y x yS

Mw M M MT

x y y x

y yS x y y x

yxx x y y

TTT T w w dSx y

y

n n s sL LM M dL T w dL

S

p(x, y)wds

õ i í i MEquações de Equilíbrio xyxxx

MM Tx y

yy xyM M yy xy

yTy x

yx

TT p x, yx y


52


Equações de Equilíbrio em termos dos deslocamentos generalizadosgeneralizados

2 22y yx

22 xD 2 G´ 0w

22 x

22 2yx xD 2 G´ 0

y yx xxw

2 2 y

2 2

D 2 G 0y y yxxw w

yx22G´ G´ p(x, y)w w

y yx x


53

sumário e objectivos - fe.up.ptldinis/2aulaef.pdf · sumário e objectivos sumário: revisão de...

Documents