sucessoes numerica

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Captulo2SucessesnumricasNestecaptulo, vamosconsiderarumcasoparticulardefunesreaisdevariveisreaisque,pelasuaimportnciaemtodasasreasdaMatemtica, mereceserestudadonumcaptuloparte.2.1 IntroduoDenio2.1.1(Sucessonumrica) Umasucessonumricainnitade termos reais umafunodevarivelnaturalecomvaloresreais. Usandoaescritahabitualparaasfunes,umasucesso,digamosf,escreve-sedaformaseguinte:f: N Rn f(n).Por simplicidade de escrita, iremos designar apenas por sucesso uma sucesso innita de termosreais. Oconjuntodepartidadasucessopoderserqualquersubconjuntodoconjuntodosnaturais N = {1, 2, 3, . . . } ou, ainda, o conjunto dos inteiros no negativos N0= {0, 1, 2, 3, . . . }.Os valoresf(1),f(2), . . . ,f(n), . . .denominam-se termos da sucesso: primeirotermo, segundotermo, . . . , n-simotermo,. . . . Ocontra-domniodafunofdenomina-seporconjuntodostermosdasucesso.Habitualmente os termos da sucesso so denotados por letras indexadas nos nmeros naturais.Por exemplo, podemos denotar os termos da sucesso acima poru1,u2, . . . ,un, . . . .Chama-se termo geral da sucesso expresso designatria f(n) e, usando a mesma notaoindexada, habitual denot-lopor un. Cadatermodaumasucesso, digamosun, temumtermosucessor, un+1, e, assim, podemosdizerquenoexisteumltimotermodasucesso.As operaes algbricas habituais dos nmeros reais estendem-se naturalmente s sucesses. Asoma ediferenade duassucessesunevndenem-se, respectivamente,por:(u + v)n= un + vne (u v)n= unvn.16ANLISE MATEMTICAI 2. SUCESSES NUMRICASOproduto equocientede duassucessesunevndene-se, respectivamente, por:(u v)n= un vne

uv

n=unvn(vn = 0 n N) .2.1.1 ModosdedesignarumasucessoOrdenao. Para designar uma sucesso, habitual escrever ordenadamente uma quan-tidade suciente de termos da sucesso, de modo a termos uma ideia do comportamentoda sucesso. Por exemplo, a sucesso cujos trs primeiros termos so1, 3,5, escrita domodo seguinte:1, 3, 5, . . . .Frmula. Aformamaiscomumparadesignarumasucesso, consisteemindicarumafrmula por meio da qual se pode obter, para cada naturaln, o correspondenten-simotermo. Por exemplo, a frmulaun=1n, n N,permite-nos obter a sucesso seguinte de termos ordenados:1,12,13, . . . .A frmulavn= 1, n N,designa a sucesso constante com todos os termos iguais a 1, e que, ordenada, se escreve1, 1, 1, . . . , 1, . . . .Porvezes, duasoumaisfrmulaspodemserindicadasparadesignarasucesso. Porexemplo, as frmulasu2n1 =1n2, u2n= n2, n N,denem a sucesso cujos oito primeiros termos ordenados so1, 1,14, 4,19, 9,116, 16, . . . .Isto , a sucesso cujos quatro primeiros termos de ordem mpar (2n 1) so1,14,19,116, . . .e os quatro primeiros termos de ordem par (2n) so1, 4, 9, 16, . . . .EA EB 17 cHermenegildoBorgesdeOliveira,2009/2010ANLISE MATEMTICAI 2. SUCESSES NUMRICASRecorrncia. Outro modo de designar uma sucesso,consisteem indicar as instruesdecomoobterostermossucessoresconhecidoumoumaisdosprimeirostermos. Porexemplo, as frmulasu1= u2= 1, un+1= un + un1, n N,denem a sucesso (de Fibonacci1) cujos oito primeiros termos ordenados so1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . .Uma sucesso determinada por este processo, diz-se uma sucesso denida por recorrncia.Por simplicidade de escrita, denota-se qualquer sucesso por un, qualquer que seja a forma porque denida.2.2 RepresentaogrcadeumasucessoArepresentaogrcadeumasucesso, numsistemadeeixoscartesianos, faz-sedomesmomodo como para qualquer funo. No eixo das abcissas indicamos os nmeros naturais e no dasordenadas as correspondentesimagens por meio da sucesso(termos da sucesso). Ogrcode uma sucessoun o conjunto de pontos discretos{(n, un) : n N}.Exemplo2.2.1(AULA TERICA) Fazerarepresentaogrcadosseisprimeirostermosdasucessoun=(1)nn, n N.2.3 PrincpiodeinduomatemticaOPrincpiodeInduoMatemticaummtododedemonstraoelaboradocombasenoPrincpio de Induo Finita, frequentemente utilizado para provar que certas propriedades soverdadeiras para todos os nmeros naturais. Para uma determinada armao matemtica quedependa de um naturaln, digamosP(n), podemos enunciar este princpio do modo seguinte.Se1. P(n) vericada paran = 1;2. P(n)sendovericadaparan=kimplicarsertambmvericadaparaoseusucessorn = k + 1, comk> 1;ento a armaoP(n) vlida para todo o naturaln.1LeonardoFibonacci(1170-1250), matemticoitalianonaturaldePisa.EA EB 18 cHermenegildoBorgesdeOliveira,2009/2010ANLISE MATEMTICAI 2. SUCESSES NUMRICASO passo 1, em que se estabelece a propriedade para o primeiro dos nmeros naturais, designa-seporbasedeinduo. Opasso2designa-seporpassodeinduo, emqueseestabeleceque, caso a propriedade se verique, para um nmero natural k (hiptesedeinduo) entoela tambm vericada para o nmero natural seguinte,k +1. A validade deP(n) para todosos nmerosnaturais,dependeessencialmenteda possibilidadeemprovarquea observaodapropriedade num natural n implica a vericao da mesma propriedade para o natural seguinte,n+1 (passodeinduo). Se isso suceder, ento podemos concluir a veracidade de P(n) paratodos os nmeros naturais desde que o primeiro deles (o nmero1) a verique. Na realidade, avalidade da propriedade para o primeiro natural (base de induo) implica a sua validade para osegundo (o nmero 2) e deste para o terceiro (o nmero 3), e assim sucessivamente, cobrindo-sedestemodo a totalidade dos naturais,como peas de umdomin emlinha, emque as quedasdas sucessivaspeas so provocadas umas a partir das outras aps a quedada primeira pea.Porvezes, certasarmaesP(n)ssovericadasapartirdeumnmeronatural n1>1.Neste caso, temos de substituir, no passo 1, "P(n) vericada para n1". De um modo sucinto,podemos enunciar o Princpio de Induo Matemtica na forma seguinte.Denio2.3.1(Princpiodeinduomatemtica) Se:1. P(n1)vericada;2. P(n) P(n + 1),n > n1;entoP(n)verdadeiraparatodonatural n n1.Exemplo2.3.1(AULA TERICA) Usando o Princpio de Induo Matemtica, mostre que paratodoonatural naigualdadeseguintevericada:1 + 3 + 5 + + 2n 1 = n2.2.4 ExemplosExemplo2.4.1(Progressoaritmtica) Umaprogressoaritmticaumasucessocujafrmulaparaoseutermogeralun= u1 + (n 1)r, n N,onder = 0umaconstanteconhecidaquesedenominarazo.Este tipo de sucesses caracteriza-se por a diferena de quaisquer dois dos seus termos sucessivosser constante:un+1un= r n N (r = constante = 0).Deste modo, podemos denir tal sucesso por recorrncia:

u1= aun+1 = un + r;sendoa er = 0 reais conhecidos.EA EB 19 cHermenegildoBorgesdeOliveira,2009/2010ANLISE MATEMTICAI 2. SUCESSES NUMRICASProposio2.4.1A soma Sndos n primeiros termos de uma progresso aritmtica un dadaporSn=u1 + un2n.DEMONSTRAO: AULA TERICA.Exemplo2.4.2(AULA TERICA) Calculeasoma,S100,dos100primeirostermosdaprogres-soaritmticaun= n,comn N.Exemplo2.4.3(Progressogeomtrica) Umaprogressogeomtricaumasucessocujafrmulaparaoseutermosgeralun= u1rn1, n N,onder = 1umaconstanteconhecidaquesedenominarazo.Esta sucesso caracteriza-se por o quociente entre quaisquer dois dos seus termos sucessivos serconstante:un+1un= r n N (r = constante = 1).Podemos, assim, denir tal sucesso tambm por recorrncia:

u1= aun+1 = unr;sendoa er = 1 reais conhecidos.Proposio2.4.2AsomaSndosnprimeirostermosdeumaprogressogeomtricaunderazor = 1dadaporSn= u11 rn1 r.DEMONSTRAO: AULA TERICA.Exemplo2.4.4(AULA TERICA) Calculeasomados100primeirostermosdaprogressoge-omtricaun=

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n, n N.2.5 SucessolimitadaUmasucessodiz-semajorada, seoconjuntodosseustermosformajorado, isto, seexistirumreal maiorouigual doquetodosostermosdasucesso. Ouseja, unumasucessomajorada, seL R : un L n N.Umasucessodiz-seminorada, seoconjuntodosseustermosforminorado, isto, seexistirumreal menorouigual doquetodosostermosdasucesso. Ouseja, unumasucessominorada, sel R : un l n N.Uma sucesso diz-se limitada, se for majorada e minorada.EA EB 20 cHermenegildoBorgesdeOliveira,2009/2010ANLISE MATEMTICAI 2. SUCESSES NUMRICASDenio2.5.1(Sucessolimitada) Umasucessounlimitada,seL, l R : l un L n N.Exemplo2.5.1(AULA TERICA) Veriqueseasseguintessucessessolimitadas:un= n, n N, e vn=1n, n N.Proposio2.5.1UmasucessounlimitadaseesseC R+: |un| C n N.DEMONSTRAO: AULA TERICA.2.6 MonotoniaUmasucessodiz-semontonacrescente, sequalquerdosseustermosformenorouigual doqueoseusucessor. Diz-sequeumasucessomontonadecrescente, sequalquerdosseustermosformaiorouigualdoqueoseusucessor. Umasucessodiz-se, apenas, montona,sefor montona crescente ou decrescente.Denio2.6.1Umasucessoundiz-semontonacrescente,seun un+1n N.Asucessoundiz-semontonadecrescente,seun un+1n N.No caso de termosun< un+1n N,dizemos queun umasucessomontonaestritamentecrescente. Seun> un+1n N,diz-sequeunumasucessomontonaestritamentedecrescente. Quandohouverne-cessidade de fazer distino, referiremo-nos monotonia da denio anterior com sendoemsentidolato. As sucesses que no so montonas, podem ser constantes ou oscilantes. Con-vmreferirque, porvezes, amonotoniaounodeumasucessossedescortinaapsumnmeronitodetermos. Nestecaso, diremosqueasucessomontonaapartirdotermoda ordem (nmero natural, digamosp) em que se verica a condio da denio. Em termosprticos, para se estudar a monotonia de uma dada sucesso, determinamos a diferenaun+1une comparamo-la com 0. Se for maior do que 0, montona crescente, caso contrrio montonadecrescente. Existem casos em que se torna mais fcil determinar o quocienteun+1une compar-lo com 1. Obviamente, aqui, este quociente s possvel se un = 0 para todo n N.Nesses casos, a sucesso crescente se for maior do que1 e decrescentese for menor.EA EB 21 cHermenegildoBorgesdeOliveira,2009/2010ANLISE MATEMTICAI 2. SUCESSES NUMRICASExemplo2.6.1(AULA TERICA) Estudeasseguintessucessesquantomonotonia:un= 2n 1, n N, e vn=1n2, n N.2.7 SubsucessoUma subsucesso uma sucesso cujo conjunto dos seus termos um subconjunto do conjuntodostermosdedadasucesso. Paraadeniodesubsucesso, necessitamosdeintroduziroconceito de composio de sucesses, que um caso particular da composio de funes. Sejamunevnduassucesses, altimadas quaisdetermosnaturais. Dene-seacomposiodassucessesunevncomo sendoa sucesso(u v)nque tem por termo de ordemko termo deordemk= vkda sucessoun. Ou seja,(u v)k= uvk.Denio2.7.1(Subsucesso