soluções_ mat_financeira

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 1 – Conceitos Gerais e Juros Simples 1)

a) 012,012144,0 = ou 1,2% a.m.

b) 017,04068,0 = ou 1,7% a.m.

c) 019,06114,0 = ou 1,9% a.m.

d) 092,012104,1 = ou 9,2% a.m.

e) 028,0245472,0 = ou 2,28% a.m.

2)

a) 30,0312

2,1 =× ou 30% a.t.

b) 024,034032,0 =× ou 2,4% a.t.

c) 045,03015,0 =× ou 4,5% a.t. 3) a) 30,012025,0 =× ou 30% a.a. b) 68,1356,0 =× ou 168% a.a. c) 30,012)5125,0( =×÷ ou 30% a.a.

4) a) Sendo: C = $ 85.000,00

n = 7 meses i = 2,5% a.m. (0,25) M = ?

Temos:

00,875.99 $)7025,01( 00,000.85

)1(

=×+=

×+=

M

M

niCM

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa Registradores 85.000 CHS PV -85.000,00 Valor do Capital 7 ENTER 30 <×> n 210,00 Prazo em dias 2,5 ENTER 12 <×> i 30,00 Taxa anual f INTO 14.875,00 Valor do Juros + 99.875,00 Valor do Montante b) Sendo: C = $ 85.000,00

n = 9 meses i = 11,6% a.s. (0,116) M = ?

Temos: )1( niCM ×+=

00,790.99 $)9...01933,01(000.85

=×+=

M

M

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa Registradores 85.000 CHS PV -85.000,00 Valor do Capital 9 ENTER 30 <×> n 270,00 Prazo em dias 11,6 ENTER 2 <×> i 23,20 Taxa anual f INTO 14.790,00 Valor do Juros + 99.790,00 Valor do Montante c) Sendo: C = $ 85.000,00

n = 17 meses i = 21% a.a. (0,21) M = ?


50,287.110 $

)171221,0

1( 00,000.85

=

×+=

M

M

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa Registradores 85.000 CHS PV -85.000,00 Valor do Capital 17 ENTER 30 <×> n 510,00 Prazo em dias 21 i 21,00 Taxa anual f INTO 25.287,50 Valor do Juros + 110.287,50 Valor do Montante 5) Sendo: C = $ 300.000,00

n = 19 meses i = 42% a.a. (0,42) J = ? M = ?

Temos: )( niCJ ××=

00,500.199 $

191242,0

00,000.300

=

××=

J

J

00,500.499 $00,500.19900,000.300

=+=

+=

MM

JCM

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa Registradores 300.000 CHS PV -300.000 Valor do Capital 19 ENTER 30 <×> n 570,00 Prazo em dias 42 i 42,00 Taxa anual f INTO 199.500,00 Valor do Juros + 499.500,00 Valor do Montante 6) Sendo : C = $ 7.500,00

i = 15% a.a. (0,15) n = 2 anos e 3 meses (27 meses)

J = ? Temos: niCJ ××=

271215,0

00,500.7 ××=J

25,531.2 $=J

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa Registradores 7.500 CHS PV -7.500,00 Valor do Capital 27 ENTER 30 <×> n 810,00 Prazo em dias 15 i 15,00 Taxa anual f INTO 2.531,25 Valor do Juros 7) Sendo: C = ?

J = $ 18.000,00 i = 3% a.m. (0,03)

a) 60 dias (n = 2 meses)

Temos: ni

JC

×=

203,000,000.18

×=C

00,000.300 $=C

b) 80 dias (n = 80/30 = 2,66... meses)

Temos: ni

JC

×=

...66,203,000,000.18

×=C

00,000.225 $=C

c) 3 meses e 20 dias (n = 110/30 = 3,66... meses)

Temos: ni

JC

×=

...66,303,000,000.18

×=C

36,636.163 $=C

d) 2 anos, 4 meses e 14 dias (n = 854/30 = 28,466... meses)

Temos: ni

JC

×=

...466,2803,000,000.18

×=C

28,077.21 $=C

8) Sendo: C = $ 12.000,00

n = 7 meses M = $ 13.008,00 i = ?

Como: JCM +=

J+= 00,000.1200,008.13 00,008.1 $=J

Temos: nC

Ji

×=

700,000.1200,008.1

×=i

012,0=i ou 1,2% a.m.

9) Sendo: M = $ 140.000,00

n = 2 meses i = 1,9% a.m. (0,019)

C = ?

Temos: )1( ni

MC

×+=

)2019,01(00,000.140×+

=C

76,874.134 $=C

10) Sendo: C = $ 6.600,00

n = 7 meses J = $ 1.090,32 i = ?

Temos: nC

Ji

×=

700,600.632,090.1

×=i

0236,0=i ou 2,36% a.m.

2832,0120236,0 =×=i ou 28,32% a.a.

11) Sendo: C = $ 3.480,00

n = 5 meses M = $ 3.949,80 i = ?

Como: JCM +=

J+= 00,480.380,949.3 80,469 $=J

Temos: nC

Ji

×=

500,480.380,469

×=i

027,0=i ou 2,7% a.m.

324,012027,0 =×=i ou 32,4% a.a. 12)

Considerando: MC54=

M = $ 1 n = 15 meses i = ?


)151(54

1 ×+= i

i 15145 +=

1525,0=i

...16666,0=i ou 1,6666% a.m.

13) Preço da mercadoria à vista: $ 130,00.

O comprador deve dar uma entrada de $ 26,00 ($ 130,00 x 20%) e o restante da dívida ($

104,00 = $ 130,00 – $ 26,00) será pago após 30 dias. Porém, a segunda parcela terá um

juros e totalizará um montante de $ 106,90.

Para sabermos a taxa cobrada, temos:

$ 104,00 representa 100% do restante da dívida (sem juros)

$ 106,90 é o valor que terá de ser desembolsado (com juros)

Logo, se somarmos os $ 26,00 que já havia sido pago aos $ 106,90 que ainda restam, o

preço final da mercadoria será $ 132,90. Houve, portanto, um acréscimo de $ 2,90.

Assim, 00,104

90,2=i

0279,0=i ou 2,79% a.m.

14) Sendo: C = $ 4.000,00

i = 29,3% a.a. (0,293) J = $ 1.940,00 n = ?

Temos: iC

Jn

×=

12293,0

00,000.4

00,940.1

×=n

20=n meses (19,86 meses)

15) Considerando: C = $ 1

J = $ 1 i = 8% a.a. (0,08) n = ?

Temos: iC

Jn

×=

1208,0

1

1

×=n

150=n meses ou 12,5 anos (150/12)


J = $ 2 i = 21% a.s. (0,21) n = ?

Temos: iC

Jn

×=

621,0

1

2

×=n

1428,57=n meses ou 9,52 semestres (57,1428/6)


J = $ 1,4 i = 30% a.a. (0,3) n = ?

Temos: iC

Jn

×=

123,0

1

4,1

×=n

56=n meses

18) Sendo: =1C $ 15.000,00

=1n 3 meses =1i 26% a.a. (0,26)

=2C ? =2n 2 meses =2i 18% a.a. (0,18)

Como: niCJ ××= e 21 JJ = Temos: 222111 niCniC ××=××

21218,0

31226,0

00,000.15 2 ××=×× C

03,0975 2 ×= C

00,500.322 =C Portanto, deve ser aplicada uma quantia de $ 32.500,00. 19) Preço da mercadoria à vista: $ 1.800,00

O comprador deve dar uma entrada de $ 540,00 ($ 1.800,00 x 30%) e o restante da dívida

($ 1.260,00 = $ 1.800,00 – $ 540,) será pago após 30 dias. Porém, a segunda parcela será de

$ 1.306,00, com juros de $ 46,00 ($ 1.306,00 – $ 1.260,00)

Para sabermos a taxa cobrada, fazemos:

100,260.1

00,46 −=i

0365,0=i ou 3,65% a.m.

20) Considerando que o bem custe $ 3 e o pagamento será em três pagamentos de $ 1, temos: $ 1 $ 1 $ 1 0 30 60 (dias) Sendo a taxa de 4,4% (0,044) ao mês, devemos atualizar os pagamentos mensais da seguinte forma:

3/)2044,01(

1)1044,01(

11 ��

�

��

�

×++

×++=x

9590,0=x

Portanto, interessa adquirir o produto à vista por 95,9% do seu valor, isto é, com um desconto de 4,1%. 21) Representando graficamente a dívida, temos:

$ 2.800,00 $ 4.200,00 $ 7.000,00 60 90 150 (dias) Sendo a taxa de juros simples de mercado de 4,5% ao mês (0,045), temos: a) Data focal = 0

5045,0100,000.7

3045,0100,200.4

2045,0100,800.2

×++

×++

×+=C

29,714.544,700.381,568.2 ++=C

54,983.11 $=C

b) Data focal = 7

)5045,01(800.2)4045,01(200.4)2045,01(000.7 ×++×++×+=C

430.3956.4630.7 ++=C

00,016.16 $=C 22) Representando graficamente a obrigação original e a proposta, temos: $ 18.000,00 $ 42.000,00 $ 100.000,00 37 83 114 (dias) $ 20.000,00 $ 50.000,00 X 60 100 150 (dias) Sendo de 3,2% ao mês (0,032) a taxa de juros simples e a data focal o momento atual,

temos:

15030

032,01100

30

032,01

00,000.50

6030

032,01

00,000.20

11430

032,01

00,000.100

8330

032,01

00,000.42

3730

032,01

00,000.18

×++

×++

×+=

×++

×++

×+

x

16,172,180.4599,796.1835,158.8903,584.3857,316.17

x++=++

16,171,977.6395,058.145

x+=

16,124,081.81 ×=x

24,054.94=x Portanto, o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual é

$ 94.054,24

23) Representando graficamente, temos: $ 128,00 $ 192,00 $ 192,00 0 30 60 (dias) Sendo de 1,1% (0,011) ao mês a taxa linear de juros, temos:

��

��

�

×++

×++=

)2011,01(192

)1011,01(192

128x

78,505=x

Portanto, interessa adquirir a máquina à vista por até $ 505,78. Qualquer valor acima desse,

torna a compra à vista inviável.

24) Representando graficamente, temos:

$ 22.000,00 $ 57.000,00 $ 90.000,00 6 8 (meses) 2 5 7 x x Sendo de 3,7% ao mês (0,037) a taxa de juros simples, temos: a) data focal o momento atual

8037,016037,017037,0100,000.90

5037,0100,000.57

2037,0100,000.22

×++

×+=

×++

×++

×+xx

296,122,174,070.140

xx +=

583712,1222,1296,1

74,070.140xx +=

x518,271,831.221 =

38,098.88=x

Portanto, o valor do pagamento nessa data focal é de $ 88.098,38 b) data focal o momento atual

203701103701

0009010370100000574037010000022

×++=

×++×+×+×+×

,

xx

,

.),(,.),(,.

074,1

81,153.171x

x +=

074,1074,1

81,153.171xx +=

81,153.171074,1074,2 =x

28,630.88=x

Portanto, o valor do pagamento nessa data focal é de $ 88.630,28

c) data focal o momento atual

xx +×+==×++×+×+×+×

)2037,01(1037,01(000.90)3037,01(00,000.57)6037,01(00,000.22

xx += 074,1541.183

x074,200,541.183 =

074,200,541.183=x

074,2183541=x

14,496.88=x

Portanto, o valor do pagamento nessa data focal é de $ 88.496,14 25) Representando graficamente, temos: Aplicação 1 i = 2,85% a.m. (0,0285) 60 (dias) 0,6 x Aplicação 2 i = 3,1% a.m. (0,031) 30 (dias) 0,4x Juros total = $ 1.562,40

Como: niCJ ××= e 21 JJJ total += Temos: 222111 niCniCJ total ××+××=

1031,04,020285,06,0562.1 ××+××= xx

xx 0124,00342,040,562.1 ×=

x0466,040,562.1 =

0466,040,562.1=x

90,527.33=x

Aplicação 1 = 73,116.20 $89,527.336,06,0 =×=x Aplicação 2 = 15,411.13 $89,527.334,04,0 =×=x Portanto, o valor de todo o capital investido é $ 35.527,90 26) Representando graficamente, temos: Primeiro empréstimo $ 92.325,00 i = 3,3% a.m. (0,033) n = ? J = ? $ 75.000,00 Segundo empréstimo

$ 49.600,00

i = ? n = 10 meses $ 40.000,00

a) Solução: )1( niCM ×+=

)033,01(00,000.75325.92 n×+=

n475.200,000.75325.92 +=

n475.2325.17 =

475.2325.17=n

7=n meses

JCM +=

J+= 00,000.7500,325.92

00,000.7500,325.92 −=J

=J $ 17.325,00

b) Solução: )1( niCM ×+=

)101(00,000.4000,600.49 ×+= i

i00,000.40000,000.40600.49 +=

i00,000.40000,600.9 =

00,000.40000,600.9=i

024,0=i ou 2,4% a.m.

12024,0 ×=i

288,0=i ou 28,8% a.a.

27) Representando graficamente, temos:

Primeiro empréstimo M 1 i = 7% a.m. (0,07) n = ? $ 42.000,00 Segundo empréstimo M 2 i = 5% a.m. (0,05) n = ? $ 200.000,00 Empréstimo total 0 2 Juro total = $ 180.000,00 n = 2 anos Solução: 21 JJJ total +=

22211 niCniCniC ttotaltotaltotal ××+××=××

)]24(05,000,000.200[)07,000,000.42(00,000.180 11 nn −××+××=

11 00,000.1000,00,000.24000,940.200,000.180 nn −+=

00,000.6000,060.7 1 =n

5,81 =n meses

5,8242 −=n meses

5,152 =n meses

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 2 – Juros Compostos 1) Sendo a taxa nominal da operação = 3,3% a.m. (0,033), temos: Taxa efetiva (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)033,01( 12 −+ (i )f = 0,4764 ou 47,64% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,033 ENTER 1,03 Taxa nominal 12 xy 1,48 Fator de capitalização 1 < – > 0,48 Taxa unitária 100 < × > 47,64 Taxa percentual 2) a) Sendo a taxa efetiva (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)023,01( 12 −+ (i )f = 0,3137 ou 31,37% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,023 ENTER 1,02 Taxa efetiva 12 xy 1,31 Fator de capitalização 1 < – > 0,31 Taxa unitária 100 < × > 31,37 Taxa percentual b) Sendo a taxa efetiva (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)0014,01( 23 −+ (i )f = 0,0327 ou 3,27% p/23 dias

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0014 ENTER 1,00 Taxa efetiva

23 xy 1,03 Fator de capitalização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,27 Taxa percentual c) Sendo a taxa efetiva (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)0745,01( 4 −+ (i )f = 0,3330 ou 33,30% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0745 ENTER 1,07 Taxa efetiva 23 xy 1,33 Fator de capitalização 1 < – > 0,33 Taxa unitária 100 < × > 33,30 Taxa percentual d) Sendo a taxa efetiva (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)0675,01( 2 −+ (i )f = 0,1396 ou 13,96% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0675 ENTER 1,07 Taxa efetiva 2 xy 1,14 Fator de capitalização 1 < – > 0,14 Taxa unitária 100 < × > 13,96 Taxa percentual e) Sendo a taxa efetiva (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)0187,01( 18 −+ (i )f = 0,3958 ou 39,58% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0187 ENTER 1,02 Taxa efetiva 18 xy 1,40 Fator de capitalização 1 < – > 0,40 Taxa unitária 100 < × > 39,58 Taxa percentual

3) a) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 134,0112 −+ (i q ) = 0,0247 ou 2,47% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,34 ENTER 1,34 Taxa efetiva 12 x

1 xy 1,02 Fator de atualização

1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 2,47 Taxa percentual b) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 134,013 −+ (i q ) = 0,1025 ou 10,25% a.q.



1 < – > 0,10 Taxa unitária 100 < × > 10,25 Taxa percentual c) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 134,012 −+ (i q ) = 0,1576 ou 15,76% a.s.



1 < – > 0,16 Taxa unitária 100 < × > 15,76 Taxa percentual d) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 1)34,01( 512 −+ (i q ) = 0,1297 ou 12,97% p/5 meses.



5 xy 1,13 Fator de capitalização 1 < – > 0,13 Taxa unitária 100 < × > 12,97 Taxa percentual e) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 1)34,01( 1012 −+ (i q ) = 0,2762 ou 27,62% p/10 meses



10 xy 1,28 Fator de capitalização 1 < – > 0,28 Taxa unitária 100 < × > 27,62 Taxa percentual 4) Sendo exigida a taxa efetiva anual de 18%, temos: a) (i q ) = 118,0112 −+

(i q ) = 0,0139 ou 1,39% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,18 ENTER 1,18 Taxa efetiva 12 x


1 < – > 0,01 Taxa unitária 100 < × > 1,39 Taxa percentual b) (i q ) = 118,014 −+

(i q ) = 0,0422 ou 4,22% a.t.



1 < – > 0,04 Taxa unitária 100 < × > 4,22 Taxa percentual c) (i q ) = 1)18,01( 712 −+

(i q ) = 0,1014 ou 10,14% p/7 meses Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,18 ENTER 1,18 Taxa efetiva 12 x


7 xy 1,10 Fator de capitalização 1 < – > 0,10 Taxa unitária 100 < × > 10,14 Taxa percentual 5) Sendo a taxa efetiva anual de 16,5%, temos: a) (i q ) = 1165,0112 −+



1 < – > 0,10 Taxa unitária 100 < × > 1,28 Taxa percentual b) (i q ) = 1)165,01( 912 −+

(i q ) = 0,1214 ou 12,14% p/9 meses Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,165 ENTER 1,17 Taxa efetiva

12 x1 xy 1,01 Fator de atualização

9 xy 1,12 Fator de capitalização 1 < – > 0,12 Taxa unitária 100 < × > 12,14 Taxa percentual c) (i q ) = 1)165,01( 37360 −+

(i q ) = 0,0158 ou 1,58% p/37 dias Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,165 ENTER 1,17 Taxa efetiva 360 x


37 xy 1,02 Fator de capitalização 1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 1,58 Taxa percentual d) (i q ) = 1)165,01( 100360 −+

(i q ) = 0,0433 ou 4,33% p/37 dias Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,165 ENTER 1,17 Taxa efetiva 360 x


100 xy 1,04 Fator de capitalização 1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 4,33 Taxa percentual 6) a) (i q ) = 1)029,01( 3026 −+



30 xy 1,03 Fator de capitalização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,35 Taxa percentual

b) (i q ) = 1)0355,01( 3034 −+ (i q ) = 0,0313 ou 3,13% a.m.




7) a) Taxa mensal:

(i q ) = 1)083,01( 3077 −+ (i q ) = 0,0316 ou 3,16% a.m.



30 xy 1,03 Fator de capitalização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,16 Taxa percentual Taxa anual:

(i q ) = 1)083,01( 36077 −+ (i q ) = 0,4518 ou 45,18% a.a.




b) Taxa mensal: (i q ) = 1)186,01( 136360 −+ (i q ) = 0,0666 ou 6,66% p/136 dias.



136 xy 1,07 Fator de capitalização 1 < – > 0,07 Taxa unitária 100 < × > 6,66 Taxa percentual c) Taxa mensal:

(i q ) = 1)03,01( 3028 −+ (i q ) = 0,0322 ou 3,22% a.m.



30 xy 1,03 Fator de capitalização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,22 Taxa percentual Taxa anual:

(i q ) = 1)03,01( 36028 −+ (i q ) = 0,4623 ou 46,23% a.a.




d) Taxa anual: (i q ) = 1)093,11( 44360 −+ (i q ) = 0,0945 ou 9,45% p/44 dias



44 xy 1,09 Fator de capitalização 1 < – > 0,01 Taxa unitária 100 < × > 9,45 Taxa percentual 8)

a) Taxa efetiva anual (i )f = 11272,0

112

−��

��

� +

(i )f = 1,0122 ou 101,22% a.a. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,006 ENTER 1,01 Taxa efetiva 12 xy 1,07 Fator de capitalização 1 < – > 0,07 Taxa unitária 100 < × > 7,44 Taxa percentual

b) Taxa efetiva anual (i )f = 1472,0

14

−��

��

� +

(i )f = 0,9388 ou 93,88% a.a.


c) Taxa efetiva anual (i )f = 1272,0

12

−��

��

� +

(i )f = 0,8496 ou 84,96% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,36 ENTER 1,36 Taxa efetiva 2 xy 1,85 Fator de capitalização 1 < – > 0,85 Taxa unitária 100 < × > 84,96 Taxa percentual 9) a) Primeiro, transformamos a taxa efetiva mensal em taxa diária:

(i q ) = 10285,0130 −+ (i q ) = 0,0937% a.d.



1 < – > 0,001 Taxa unitária 100 < × > 0,0937 Taxa percentual

Depois, multiplicamos a taxa diária por 30: i (linear) = 0,0937% x 30 dias i (linear) = 2,81% a.m.

b)

• Taxa efetiva anual (i )f = 11209,0

112

−��

��

� +


• Taxa efetiva mensal (i )f = 1414,0

14

−��

��

� +

(i )f = 0,1475 ou 14,75% a.a.



12

−��

��

� +



11

−��

��

� +

(i )f = 0,12 ou 12,0% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,12 ENTER 1,12 Taxa efetiva 1 xy 1,12 Fator de capitalização 1 < – > 0,12 Taxa unitária 100 < × > 12,00 Taxa percentual 10) a) Sendo: PV = $ 22.000,00

i = 2,2% a.m. (0,022) n = 7 meses FV = ?

Temos: niPVFV )1( += 7)022,01(00,000.22 +=FV 99,619.25 $=FV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da aplicação 2,2 i 2,20 Taxa mensal 7 n 7,00 Prazo em meses FV 25.619,99 Valor do Montante b) Sendo: PV = $ 22.000,00

i = 5% a.m. (0,05) n = 2 anos (24 meses) FV = ?

Temos: niPVFV )1( += 24)05,01(00,000.22 +=FV 20,952.70 $=FV Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da aplicação 5 i 5,00 Taxa mensal 24 n 24,00 Prazo em meses FV 70.952,20 Valor do Montante c) Sendo: PV = $ 22.000,00

i = 12% a.t. (0,12) n = 1 ano e meio (6 trimestres) FV = ?

Temos: niPVFV )1( += 6)12,01(00,000.22 +=FV 10,424.43 $=FV Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da aplicação 12 i 12,00 Taxa trimestral 6 n 6,00 Prazo em trimestres FV 43.424,10 Valor do Montante

d) Sendo: PV = $ 22.000,00 i = 20% a.s. (0,20) n = 4 anos (8 semestres) FV = ?

Temos: niPVFV )1( += 8)20,01(00,000.22 +=FV 97,595.94 $=FV Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da aplicação 20 i 20,00 Taxa semestral 8 n 8,00 Prazo em semestres FV 94.595,97 Valor do Montante e) Sendo: PV = $ 22.000,00

i = 0,15% ao dia (0,0015) n = 47 dias FV = ?

Temos: niPVFV )1( += 47)0015,01(00,000.22 +=FV 73,605.23 $=FV Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da aplicação 0,15 i 0,15 Taxa diária 47 n 47,00 Prazo em dias FV 23.605,73 Valor do Montante f) Sendo: PV = $ 22.000,00

i = 9% a.a. (0,09) n = 216 meses (216/12 = 18 anos)

FV = ? Temos: niPVFV )1( += 18)09,01(00,000.22 +=FV 65,776.103 $=FV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da aplicação 9 i 9,00 Taxa anual 18 n 18,00 Prazo anual FV 103.776,65 Valor do Montante 11) a) Sendo: PV = $ 300.000,00

i = 2,5% a.m. (0,025) n = 1 semestre (6 meses) J = ?

Temos: ]1)1[( −+= niPVJ ]1)025,01[(00,000.300 6 −+=J 03,908.47 $=J Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 300.000 CHS PV -300.000,00 Valor da aplicação 2,5 i 2,50 Taxa mensal 6 n 6,00 Prazo mensal FV 347.908,03 Valor do Montante RCL PV -300.000,00 Retorna o valor da aplicação <+> 47.908,03 Valor dos juros b) Sendo: PV = $ 300.000,00

i = 3,3% a.m. (0,033) n = 1 ano e 3 meses (15 meses) J = ?

Temos: ]1)1[( −+= niPVJ ]1)033,01[(00,000.300 15 −+=J 82,231.188 $=J Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 300.000 CHS PV -300.000,00 Valor da aplicação 3,3 i 3,30 Taxa mensal 15 n 15,00 Prazo mensal FV 488.231,82 Valor do Montante

RCL PV -300.000,00 Retorna o valor da aplicação <+> 188.231,82 Valor dos juros c) Sendo: PV = $ 300.000,00

i = 6% a.s. (0,06) n = 72 meses (72/6 = 12 semestres) J = ?

Temos: ]1)1[( −+= niPVJ ]1)06,01[(000.300 12 −+=J 94,658.303 $=J Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 300.000 CHS PV -300.000,00 Valor da aplicação 6 i 6,00 Taxa semestral 12 n 12,00 Prazo semestral FV 603.658,94 Valor do Montante RCL PV -300.000,00 Retorna o valor da aplicação <+> 303.658,94 Valor dos juros d) Sendo: PV = $ 300.000,00

i = 10% a.a. (0,10) n = 120 meses (10 anos) J = ?

Temos: ]1)1[( −+= niPVJ ]1)10,01[(00,0000.300 10 −+=J 74,122.478 $=J Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 300.000 CHS PV -300.000,00 Valor da aplicação 10 i 10,00 Taxa anual 10 n 10,00 Prazo anual FV 778.122,74 Valor do Montante RCL PV -300.000,00 Retorna o valor da aplicação <+> 478.122,74 Valor dos juros e) Sendo: PV = $ 300.000,00

i = 25% a.q. (0,25) n = 4 anos (12 quadrimestres) J = ?

Temos: ]1)1[( −+= niPVJ ]1)25,01[(00,000.300 12 −+=J 57,574.065.4 $=J Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 300.000 CHS PV -300.000,00 Valor da aplicação 25 i 25,00 Taxa quadrimestral 12 n 12,00 Prazo quadrimestral FV 4.365.574,57 Valor do Montante RCL PV -300.000,00 Retorna o valor da aplicação <+> 4.065.574,57 Valor dos juros 12) Sendo: i = 6% a.t. (0,06) FV = $ 58.000,00 n = 3 anos (12 trimestres) PV = ?

Temos: niFV

PV)1( +

=

12)06,01(00,000.58

+=PV

22,824.28 $=PV

∴ A pessoa deverá aplicar $ 28.824,22 neste título Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 58.000 CHS FV -58.000,00 Valor do resgate 6 i 6,00 Taxa trimestral 12 n 12,00 Prazo trimestral PV 28.824,22 Valor da aplicação

13) Sendo: i = 10% a.q. (0,10) FV = $ 38.500,00 n = 28 meses (7 quadrimestres) PV = ?

Temos: niFV

PV)1( +

=

7)10,01(00,500.38

+=PV

59,756.19 $=PV

∴ Deve ser aplicado $ 19.756,59. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 38.500 CHS FV -38.500,00 Valor do resgate 10 i 10,00 Taxa quadrimestral 7 n 7,00 Prazo quadrimestral PV 19.756,59 Valor da aplicação 14) Sendo: i = ?

PV = $ 68.700,00 FV = $ 82.084,90 n = 8 meses Temos: niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

8)1(

00,700.6890,084.82

i+=

8)1(195,1 i+=

8 88 )1(195,1 i+=

i+= 1023,1

0225,0=i ou 2,25% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 68.700 CHS PV -68.700,00 Valor da aplicação 82.084,90 FV 82.084,90 Valor do resgate 8 n 8,00 Prazo em meses i 2,25 Valor da taxa mensal de juros 15) Sendo: PV = $ 1.000,00 FV = $ 1.180,00 n = 6 meses i = ? • Cálculo da taxa efetiva mensal

niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

6)1(

000.1180.1

i+=

6)1(18,1 i+=

6 66 )1(18,1 i+=

i+= 1028,1

028,0(mensal) =i ou 2,80% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 CHS PV -1.000,00 Valor da aplicação 1.180,00 FV 1.180,00 Valor do resgate 6 n 6,00 Prazo em meses i 2,80 Valor da taxa mensal de juros

1)028,01()(semestral 6 −+=i = 0,181 ou 18,1% a.s. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,028 ENTER 1,03 Taxa nominal 6 xy 1,18 Fator de capitalização 1 < – > 0,18 Taxa unitária 100 < × > 18,02 Taxa percentual

1)028,01((anual) 12 −+=i = 0,3929 ou 39,29% a.a. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,028 ENTER 1,03 Taxa nominal 12 xy 1,39 Fator de capitalização 1 < – > 0,39 Taxa unitária 100 < × > 39,29 Taxa percentual 16) Sendo: PV (à vista) = $ 792,00 ($ 900,00 x 0,88) FV (pagamento em 30 dias) = $ 900,00 n= 30 dias (1 mês) i = ? Temos: niPVFV )1( +=

ni

PVFV

)1( +=

1)1(

792900

i+=

1)1(1364,1 i+=

i=− 1364,11

1364,0=i ou 13,64% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 792 CHS PV -792,00 Valor à vista 900,00 FV 900,00 Valor à prazo 1 n 1,00 Prazo em meses i 13,64 Valor da taxa mensal de juros 17) Sendo: PV = $ 12.800,00 FV = $ 20.233,12 ( $ 12.800,00 + $ 7.433,12 ) n = 36 meses i = ? Temos: niPVFV )1( +=

ni

PVFV

)1( +=

36)1(00,800.12

12,233.20i+=

36)1(5807,1 i+=

36 3636 )1(5807,1 i+=

i+= 10128,1

i=− 0128,11

0128,0=i ou 1,28% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 12.800 CHS PV -12.800,00 Valor da aplicação 20.233,12 FV 20.233,12 Valor do resgate 36 n 36,00 Prazo em meses i 1,28 Valor da taxa mensal de juros

18) Sendo: PV = $ 67.000,00 FV = $ 171.929,17 n = 17 meses i = ? • Cálculo da taxa efetiva mensal

niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

17)1(00,000.67

17,929.171i+=

17)1(5661,2 i+=

17 1717 )1(5661,2 i+=

i+= 1057,1

057,0=i ou 5,7% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 67.000 CHS PV -67.000,00 Valor do capital 171.929,17 FV 171.929,17 Valor do montante 17 n 17,00 Prazo em meses i 5,70 Valor da taxa mensal de juros • Cálculo da taxa efetiva anual

(i )f = 1)1( −+ qi (i )f = 1)057,01( 12 −+ (i )f = 0,9450 ou 94,50% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 100 <ENTER> PV 100,00 Inserção do valor presente 5,69999 <+> CHS FV -105,70 Taxa mensal 30 <ENTER> 30,00 Prazo da taxa 360 < ÷ > n 0,08 Taxa procurada i 94,50 Valor da taxa anual

19) Sendo: PV = $ 22.960,00 FV = $ 28.822,30 n = 10 meses i = ? • Cálculo da taxa efetiva mensal

niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

10)1(

960.2230,822.28

i+=

10)1(2553,1 i+=

10 1010 )1(2553,1 i+=

i+= 10230,1

0230,0=i ou 2,30% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 22.960 CHS PV -22.960,00 Valor da aplicação 28.822,30 FV 28.822,30 Valor do montante 10 n 10,00 Prazo em meses i 2,30 Valor da taxa mensal de juros 20) Sendo: PV = 1 FV = 2 Obs: Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV

i = 10% a.m. (0,1) n = ?

Temos: niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

n)1,01(2 +=

Aplicando-se logaritmo, conforme demonstrado no Apêndice B:

1,1log2log ×= n

27,70953,06931,0

1,1log2log ===n anos

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Valor da aplicação 2 FV 2,00 Valor do resgate 10 i 10,00 Crescimento exponencial n 8,00 Prazo em anos (*) (*) A HP-12C não apresenta períodos fracionários quando o período (n) não for um número inteiro. Assim sendo, ela sempre apresentará o número inteiro imediatamente superior ao resultado exato. 21) a) Sendo: PV = 1 FV = 2 Obs: Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV

i = 4% a.s. (0,04) n = ?


ni

PVFV

)1( +=

n)04,01(2 +=


04,1log2log ×= n

67,170392,06931,0

04,1log2log ===n semestres

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Valor da aplicação 2 FV 2,00 Valor do resgate 4 i 4,00 Crescimento exponencial n 18,00 Prazo em anos b) Sendo: PV = 1 FV = 3

i = 4% a.s. (0,04) n = ?


ni

PVFV

)1( +=

n)04,01(3 +=

04,1log3log ×= n

01,280392,00986,1

04,1log3log ===n semestres

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Valor da aplicação 3 FV 3,00 Valor do resgate 4 i 4,00 Crescimento exponencial n 29,00 Prazo em anos 22) Sendo: i = ?

PV = 1 FV = 3 n = 3 anos e meio (42 meses)


niPVFV

)1( +=

42)1(3 i+=

42 4242 )1(3 i+=

i+= 10265,1

0265,0=i ou 2,65% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Valor do capital 3 FV 3,00 Valor do resgate 42 n 42,00 Prazo em meses i 2,65 Taxa mensal de juros 23) Sendo: i = ?

PV = 1 FV = 3,70 n = 2 anos (6 quadrisemestres)

Temos: niPVFV )1( += niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( += niPVFV

)1( +=

6)1(70,3 i+= 2)1(70,3 i+=

6 66 )1(70,3 i+= 2 22 )1(70,3 i+= i+= 12437,1 i+= 19235,1

2437,0=i ou 24,37% a.q. 9235,0=i ou 92,35% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Valor da aplicação 3,7 FV 3,70 Valor do resgate 6 n 6,00 Prazo em quadrisemestres i 24,37 Taxa quadrisemestral 100 <+> CHS FV -124,37 Inserção do valor futuro 100 PV 100,00 Inserção do valor presente 120 <ENTER> 120,00 Quantidade de dias no quadrisemestre 360 < ÷ > n 0,33 Quantidade de dias no ano i 92,35 Valor da taxa anual 24) Sendo: PV = $ 48.700,00 n = 30 meses (2 anos e meio) i = 19,5% a.a. (0,195) FV = ? • Convenção Linear

��

��

� ×+×+=km

iiPVFV n 1)1(

��

��

� ×+×+=126

195,01)195,01(700.48 2FV

0975,182,544.69 ×=FV

44,325.76 $=FV

• Convenção Exponencial

kmniPVFV /)1( ++×= 12/62)195,01(700.48 ++×=FV

5611,1700.48 ×=FV 65,023.76 $=FV

Solução na HP-12C(**): Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 48.700 CHS PV -48.700,00 Valor do empréstimo 2,50 n 2,50 Prazo de vencimento em anos 19,5 i 19,50 Taxa de juro anual

FV 76.023,65 Montante na Convenção Exponencial STO EEX FV FV 76.325,44 Montante na Convenção Linear (**) Em todos os exercícios, consideramos que a Calculadora Financeira HP-12C está com

a letra “C” presente na parte inferior direita do visor. Essa letra indica que estamos

considerando Juros Compostos no cálculo do montante (FV) por todo o tempo. Para mais

detalhes ver item 2.5. Para inserir (ou retirar) a letra “C” do visor pressione as teclas

<STO> <EEX> em seqüência.

25) Sendo: PV = ? FV = $ 13.450,00 n = 1 semestre i = 20% a.a. Calculando a taxa semestral: i = ( ) 120,01 −+

i = 0,0954... ou 9,54...% a.s.

Temos: ni

FVPV

)1( +=

...)0954,01(450.13

+=PV

11,278.12 $=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 13.450 CHS FV -13.450,00 Valor nominal (de resgate) 1 n 1,00 Prazo da taxa em semestres 9,54451 i 9,54 Taxa de rentabilidade semestral PV 12.278,11 Valor pago 26) Solução: i = 17% a.a. (0,17)

Transformando a taxa anual em taxa mensal i = ( ) 117,0112 −+ i = 0,0132... ou 1,32...% a.m.

1411 ) 013169611,01(00,000.47

) 013169611,01(00,000.33

++

+=PV

42,133.3958,576.28 +=PV

00,710.67 $=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 33.000 CHS FV -33.000,00 Valor do 1º resgate 11 n 11,00 Prazo do 1º resgate 1,3169611 i 1,32 Rentabilidade mensal PV 28.576,58 Aplicação 1 <ENTER> 47.000 CHS FV -47.000,00 Valor do 2º resgate 14 n 14,00 Prazo do 2º resgate 1,3169611 i 1,32 Rentabilidade mensal PV 39.133,41 Aplicação 2 <+> 67.710,00 Aplicação Total (1+2) 27) Solução: Para analisar-mos qual opção é mais rentável para o poupador, basta calcular

o Valor Presente (PV) das duas alternativas e verificar qual apresenta maior PV.

a) PV = ?

FV = $ 18.500,00 n = 4 meses i = 2,5% a.m. (0,025)

Temos: ni

FVPV

)1( +=

4)025,01(

00,500.18

+=PV

09,760.16 $=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 18.500 CHS FV -18.500,00 Valor de resgate 4 n 4,00 Prazo em meses

2,5 i 2,50 Taxa mensal PV 16.760,09 Valor Presente da alternativa a

b) PV = ? FV = $ 25.500,00 n = 12 meses i = 2,5% a.m. (0,025)

Temos: ni

FVPV

)1( +=

12)025,01(

00,500.25

+=PV

68,960.18 $=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 25.500 CHS FV -25.500,00 Valor de resgate 12 n 4,00 Prazo em meses 2,5 i 2,50 Taxa mensal PV 18.960,68 Valor Presente da alternativa b Como a alternativa b produz maior Valor Presente, é mais rentável para o poupador receber $ 25.500,00 ao final de um ano. 28) Solução: i = 2,77% a.m. (0,0277)

a) 84 )0277,01(

00,500.8

)0277,01(

00,500.2

++

+=PV

06,381.62.241,17 +=PV

23,072.9 $=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2.500 CHS FV -2.500,00 Valor da 1ª dívida 4 n 4,00 Prazo da 1ª dívida 2,77 i 2,77 Rentabilidade mensal da poupança PV 2.241,17 Valor Presente da dívida 1

<ENTER> 2.241,17 Acumula dívida 1 8.500,00 CHS FV -8.500,00 Valor da 2ª dívida 8 n 8,00 Prazo da 2ª dívida 2,77 i 2,77 Rentabilidade mensal da poupança PV 6.381,06 Valor Presente da dívida 2 <+> 9.072,23 Valor Presente da dívida total (1+2)

b) 84 )0277,01(

00,000.400,500.8

)0277,01(

00,500.2

++

++

=PV

67,045.102.241,17 +=PV

84,286.12 $=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2.500 CHS FV -2.500,00 Valor da 1ª dívida 4 n 4,00 Prazo da 1ª dívida 2,77 i 2,77 Rentabilidade mensal da poupança PV 2.241,17 Valor Presente da dívida 1 <ENTER> 12.500 CHS FV -12.500,00 Valor da 2ª dívida 8 n 8,00 Prazo da 2ª dívida 2,77 i 2,77 Rentabilidade mensal da poupança PV 10.045,68 Valor Presente da dívida 2 <+> 12.286,84 Valor Presente da dívida total (1+2) 29) Representando graficamente, temos: Investimento original $ 36.670,00 0 4 (meses) PV

Proposta do banco

$ 41.400,00 0 9 (meses) PV Diferença das alternativas $ 41.400,00 5 (meses) $ 36.670,00 Então: PV = $ 36.670,00 FV = $ 41.400,00 n = 5 meses

i = ?

Assim: niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

5)1(00,670.36

00,400.41i+=

5)1(129,1 i+=

5 55 )1(129,1 i+=

i+= 10246,1

0246,0=i ou 2,46% a.m. Portanto, a troca do título foi interessante. Os juros ganhos (2,46% a.m.) foram superiores aos de mercado (2,1% a.m.)

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 36.670 CHS PV -36.670,00 Valor da aplicação 41.400 FV 41.400,00 Valor do resgate 5 n 5,00 Prazo em meses

i 2,46 Valor da taxa mensal de juros 30) Para resolver este problema, podemos trazer os valores das obrigações financeiras do plano original a Valor Presente e depois capitalizá-las aos prazos da nova proposta. Sendo: i = 2,8% a.m. (0,028),

Temos: 105 )028,01(

00,000.30

)028,01(

00,300.23

)028,01(

00,200.18

++

++

+=PV

94,760.2206,295.2028,704.17 ++=PV

28,760.60=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 18.200 CHS FV - 18.200,00 Dívida no fim de um mês 1 n 1,00 Prazo da dívida 2,8 i 2,80 Taxa de juros PV 17.704,28 Valor presente da dívida ENTER 17.704,28 Acumula o valor da dívida 23.300 CHS FV - 23.300,00 Dívida no fim de 5 meses 5 n 5,00 Prazo da dívida 2,8 i 2,80 Taxa de juros PV 20.295,06 Valor presente da dívida ENTER 20.295,06 Acumula o valor da dívida 30.000 CHS FV - 30.000,00 Dívida no fim de 10 meses 10 n 10 Prazo da dívida 2,8 i 2,80 Taxa de juros PV 22.760,94 Valor presente da dívida <+> <+> 60.760,28 Soma dos valores das dívidas Agora, capitalizamos esse Valor Presente para os meses 12 e 15 com a mesma taxa de juros:

nn iFV

iFV

PV)1()1( +

++

=

Chamando de x os valores dos dois pagamentos iguais, temos:

1512 )028,01()028,01(28,760.60

++

+= xx

513201349,1392891781,1

28,760.60xx +=

107725722,2 392891781,1 513201349,1

28,760.60xx +=

00,066.128 906093130,2 =x

906093130,2

00,066.128=x

10,068.44=x

∴O valor de cada pagamento = $ 44.068,10 31) Solução: Chamando o primeiro pagamento de x , o segundo pagamento será x2 e o

terceiro pagamento x3 , temos:

nnn iFV

iFV

iFV

PV)1()1()1( +

++

++

=

1243 )035,01(3

)035,01(2

)035,01.(00,000.25

++

++

+= xxx

511069,13

147523,12

108718,1.00,000.25

xxx ++=

922501,1. 816838,3 350698,3 733986,1

00,000.25xxx ++=

x 901521,8922501,1000.25 =×

x 901521,853,062.48 =

36,399.5=x

1º pagamento )( 1x = $ 5.399,26 2º pagamento )( 2x = $ 10.798,72 3º pagamento )( 3x = $ 16.198,08

Portanto, o primeiro pagamento será de $ 5.399,36, o segundo pagamento será de $ 10.798,72 e o terceiro pagamento será de $ 16.198,08.

32) Solução: Transformando a taxa nominal anual em taxa nominal mensal

i = 28,08% a.a. (0,2808) i = 28,08 / 12 = 2,34% a.m. (0,0234)

Temos: nnn i

FV

i

FV

i

FVPV

)1()1()1(863

++

++

+=

863 )0234,01(00,000.74

)0234,01(00,000.55

)0234,01(00,000.39

)0234,01(07,387.192

++

++

+=

+ n

05,499.6195,872.4750,385.360234,1

07,387.192 ++=n

51,757.1450234,1

07,387.192 =n

n0234,1

51,757.14507,387.192 =

n0234,13199,1 =

Aplicando-se log:

n)0234,1log(3199,1log =

)0234,1log(3199,1log ⋅= n

0234,1log3199,1log=n

023130,0277565,0=n

12=n

Portanto, o pagamento deveria ser efetuado no 12º mês.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 39.000 CHS FV -39.000,00 Valor da primeira dívida 3 n 3,00 Prazo da primeira dívida 2,34 i 2,34 Taxa de juro PV 36.385,50 Valor presente ENTER 36.385,50 Armazena valor 55.000 CHS FV -55.000,00 Valor da segunda dívida 6 n 6,00 Prazo da segunda dívida 2,34 i 2,34 Taxa de juro PV 47.872,95 Valor presente ENTER 47.872,95 Armazena valor 74.000 CHS FV -74.000,00 Valor da terceira dívida 8 n 8,00 Prazo da terceira dívida 2,34 i 2,34 Taxa de juro PV 61.499,05 Valor presente <+> <+> 145.757,51 Armazena valor 192.387,07 ENTER 192.387,07 Soma valores armazenados g LN 0,28 Logaritmo neperiano 1,0234 g LN 0,02 Taxa nominal mensal < ÷ > 11,95 Momento do pagamento 33)

Solução: nnnn i

FVi

FVi

FVi

FVPV

)1()1()1()1( ++

++

++

+=

12752 )03,01()03,01(700.1

)03,01(000.4

)03,01(500.3

00,400.12+

++

++

++

= FV

4258,126,382.144,450.309,299.300,400.12

FV+++=

4258,121,268.4

FV=

47,085.6 $ =FV

Portanto, o valor do último pagamento será de $ 6.085,47

34) Considerando a data do primeiro pagamento como sendo o momento atual (zero), podemos representar o problema da seguinte maneira:

11634 )029,01()029,01(00,500.4

)029,01(00,000.3

)029,01(00,9600

00,200.6+

++

++

=+

+ x

3695,171,790.344,753.268,562.800,200.6

x++=+

53,218.83695,1

=x

47,255.11=x

Portanto, o saldo a pagar é de $ 11.255,47. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 6.200 ENTER -6.200,00 Primeira parcela da dívida 9.600 CHS FV -9.600,00 Segunda parcela da dívida 2,9 i 2,90 Taxa efetiva de juros 4 n 4,00 Prazo entre as parcelas PV 8.562,68 Valor presente da dívida < + > 14.762,68 Soma valores 3.000 CHS FV -3.000,00 Primeira parcela da proposta 2,9 i 2,90 Taxa efetiva de juros 3 n 3,00 Prazo depois do primeiro pagamento PV 2.753,44 Valor presente < - > 12.009,24 Subtrai valores 4.500 CHS FV -4.500,00 Segunda parcela da proposta 2,9 i 2,90 Taxa efetiva de juros 6 n 6,00 Prazo depois do primeiro pagamento PV 3.790,71 Valor presente < - > 8.218,54 Subtrai valores 1,029 ENTER 1,03 Taxa efetiva de juros 11 xy 1,37 Prazo total da proposta < × > 11.255,47 Saldo a pagar

35) Para solucionar esse problema, primeiro encontramos o valor da mercadoria caso fosse paga à vista. Fazemos isso trazendo os pagamentos bimestrais a Valor Presente:

nnnn iFV

iFV

iFV

iFV

PV)1()1()1()1( +

++

++

++

=

Transformando a taxa anual em taxa mensal

i = 30,60% a.a. (0,3060)

i = 12

3060,0

i = 0,0255 ou 2,55% a.m.

8642 )0255,01(00,1460

)0255,01(00,1460

)0255,01(00,1460

)0255,01(00,1460

++

++

++

+=PV

62,193.127,255.111,320.129,388.1 +++=PV

30,157.5$=PV

Agora, aplicamos o desconto de 20% e capitalizamos os outros 80% até a data do pagamento (mantendo a taxa de juros):

46,031.1 $%2030,157.5 $ =× (entrada) 84,125.4 $46,031.1 $30,157.5 $ =− (restante)

niPVFV )1( +=

5)0255,01(34,185.4 +=FV 41,679.4 $=FV

Portanto, o valor da prestação vencível ao final de 5 meses será de $ 4.679,41. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 4.125,84 CHS PV 4.125,84 Valor restante 5 n 5,00 Prazo em meses 2,55 i 2,25 Taxa mensal FV 4.679,41 Valor da prestação a vencer

36) Representando graficamente, temos: $ 3.900,00 $ 11.700,00 Dívida Original i = 2,1% a.m. (0,021) 0 3 5 (meses) x x x x x Proposta i = 3,0% a.m. (0,03) 0 1 3 5 7 9 (meses) Para resolver esse problema, igualamos a dívida original à dívida proposta pelo devedor e achamos o valor dos pagamentos bimestrais (chamado de x )

975353 )03,01()03,01()03,01()03,01(03,01)021,01(00,700.11

)021,01(00,900.3

++

++

++

++

+=

++

+xxxxx

3048,12299,11593,10927,103,110.545,263.664,27

xxxxx ++++=+

8 2,09377792

6047,1 7024,1 8061,1 9161,1 0328,214.209,53

xxxxx ++++=

x 062148244,9093777928,253,209.14 =×

062148244,960,751.29=x

06,283.3 $=x

Portanto, o valor de cada pagamento bimestral é de $ 3.283,06.

37) a) Transformando a taxa nominal anual em taxa nominal mensal:

i = 12% a.a. (0,12) i = 0,12 / 12 i = 0,01 ou 1,0% a.m.

PV = $ 10.000,00

i = 1% a.m. (0,01) n = 5 meses

FV = ?

niPVFV )1( += 5)01,01(00,000.10 +=FV 10,510.10 $=FV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 10.000 CHS PV -10.000,00 Valor da aplicação 1 i 1,00 Taxa trimestral 5 n 5,00 Prazo em trimestres FV 10.510,10 Valor do Montante

b) Sendo a taxa nominal mensal da operação = 1% a.m. (0,01), temos a taxa efetiva

anual igual a: (i )f = 1)1( −+ qi (i )f = 1)01,01( 12 −+ (i )f = 0,1268 ou 12,68% a.a.

c) i = 12% a.a. (0,12)

i = 0,12 / 12 i = 0,01 ou 1,0% a.m.

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 3 – Descontos 1) a) Sendo: N = $ 70.000,00 n = 3 meses i = 34% a.a. (0,34) =rD ?

Temos: niniN

Dr ×+××=

1

31234,0

1

31234,0

000.70

×+

××=rD

87,483.5 $=rD

b) Sendo: N = $ 37.000,00 n = 80 dias i = 25% a.a. (0,25) =rD ?

Temos: niniN

Dr ×+××=

1

80360

25,01

80360

25,000,000.37

×+

××=rD

37,947.1 $=rD

2) Solução: Para obtenção da taxa implícita da operação, basta tão-somente conhecer a

taxa de desconto “por fora” e o prazo de desconto Sendo: n = 2 meses i = 48% a.a. (0,48) if = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

2

1248,0

1

21248,0

×−

×=i

92,008,0=i

...0870,0=i ou 8,70% ao bimestre

Determinando a taxa mensal implícita ( if ):

( ) 1086956522,01 −+=iq iq = 0,0426 ou 4,26% a.m.

3) a) Sendo: N = $ 66.000,00 n = 3 meses d = 24% a.a. (0,24)

?Vf = Temos: )1( ndNV f ×−×=

��

��

� ×−×= 31224,0

100,000.66fV

00,040.62=fV b) Sendo: N = $ 105.000,00 n = 130 dias d = 15% a.a. (0,15)

?=fV Temos: )1( ndNV f ×−×=

��

��

� ×−×= 130360

15,0100,000.105fV

50,312.99=fV 4) a) Sendo: n = 1 mês i = 4,5% a.m. (0,045) if = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

1045,011045,0×−

×=i

...0471,0=i ou 4,71% a.m.

( ) 1047120419,01 12 −+=if

if = 0,7376 ou 73,76% a.a.

b) Sendo: n = 2 meses i = 4,0% a.m. (0,04) if = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

204,01204,0×−

×=i

=i 0,0870... ou 8,70...% a.b.

( ) 1086956522,01 −+=iq

iq = 0,0426... ou 4,26...% a.m.

( ) 1042572070,01 12 −+=if

if = 0,649... ou 64,9% a.a.

c) Sendo: n = 3 meses i = 3,5% a.m. (0,035) if = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

3035,013035,0×−

×=i

=i 0,1173... ou 11,73...% a.t.

( ) 1117318436,013 −+=iq

iq = 0,0377... ou 3,77...% a.m.

( ) 1037669348,01 12 −+=if

if = 0,559... ou 55,9% a.a.

5) Sendo: N = $ 5.400,00 n = 90 dias (3 meses)

rV = $ 4.956,90 i = ? Temos: niVD rr ××=

nVD

ir

r

×=

39,956.49,956.4400.5

×−=i

...0298,0=i ou 2,98% a.m. (taxa linear)

Calculando a taxa composta: 3)1(90,956.4400.5 d+=

3)1(90,956.400,400.5

d+=

3 33 )1(

90,956.400,400.5

d+=

d+= 1...0290,1

...0290,0=d

=d 2,90% a.m. 6) Sendo: i = 4,7% a.m. (0,047) n = 40 dias

d = ? a.m. Para 30 dias, temos:

nd

ndi

×−×=

1

)1( ini

d+

=

( )047,011047,0

+=d

=d 0,045... ou 4,45% a.m. Para 40 dias, temos:

( ) 1047,0140

30 −+=i 063152530,0=i ou 6,32% p/ 40 dias

Logo, ( )063152530,011063152530,0

+=d

...0594,0=d ou 5,94% p/ 40 dias 7)

Sendo: i = 45,76% a.a. = %19,314576,0112 =−+ a.m. (0,031897428) d = ?

ii

d+

=1

031897428,01031897428,0

+=d

=d 0,030911433

=d 3,1% a.m. (ou 2,38% p/ 23 dias)

8) Sendo: N = $ 16.000,00 n = 80 dias d = 39% a.a. (0,39) t = 2% a.a. (0,02) Temos: ( )[ ]tndNVF +×−= 1

��

�

��

��

� +×−= 02,03080

1239,0

100,000.16FV

33,293.14=FV

Portanto, o valor líquido liberado ao cliente é de $ 14.293,33 Para o cálculo da taxa efetiva, utilizamos o mesmo raciocínio visto no capítulo 2: Sendo: i = ?

PV = $ 14.293,33 FV = $ 16.000,00 n = 80 dias Temos: niPVFV )1( +=

ni

PVFV

)1( +=

3080

)1(33,293.1400,000.16

i+=

667,2)1(...119,1 i+=

667,2 667,2667,2 )1(119,1 i+=

i+= 10432,1

0432,0=i ou 4,32% a.m.

Portanto, a taxa efetiva mensal composta desta operação é de 4,32% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 14.293,33 CHS PV -14.293,33 Valor liberado ao cliente 16.000,00 FV 16.000,00 Valor nominal 80 <ENTER> 30 < ÷ > n 2,67 Prazo em meses i 4,32 Valor taxa efetiva mensal composta 9) Sendo: =FV $ 32.000,00 n = 100 dias d = 30% a.a. (0,3) N = ? Temos: ( )ndNVF ×−= 1

( )ndV

N F

×−=

1

��

��

� ×−=

360100

3,01

00,000.32N

10,909.34=N

Portanto, o valor nominal desse título é de $ 34.909,10 10) Sendo: =FV $ 27.000,00

n = 80 dias d = 2,85% a.m. (0,0285) t = 1,5% a.m. (0,015) N = ? Temos: ( )[ ]tndNVF +×−= 1

( )tndV

N F

+×−=

1

��

��

� +×−=

015,03080

0285,01

00,000.27N

97,702.29=N

Portanto, o valor nominal desse título é de $ 29.702,97 11) Para resolver esse problema, podemos igualar o valor nominal do título no desconto racional (ou “por dentro”) com o valor nominal do título no desconto comercial (ou “por fora”): Sendo:

Desconto racional Desconto comercial

niniN

Dr ×+××=

1 ndNDF ××=

niniD

N r

××+= )1(

dn

DN F

×=

Igualamos agora as duas expressões, temos:

dnD

niniD Fr

×=

××+ )1(

Do enunciado do exercício, sabemos que:

Desconto racional Desconto comercial i = 66% a.a. (0,66) d = 66% a.a. (0,66)

n = 50 dias n = 50 dias rD = $ 28.923,00 FD = ? Então, basta substituir esses valores na expressão encontrada:

66,036050

36050

66,0

36050

66,01963.28

×=

×

��

��

� ×+FD

091666667,0923.344 FD

=

94,617.31=FD

Portanto, adotando o conceito de desconto comercial, o valor do desconto deste título é de $ 31.617,94. 12) Sendo: d = 27,6% a.a. (0,276) i = ? a) n = 1 mês

ndnd

i×−

×=1

121

276,01

121

276,0

×−

×=i

=i 0,0235... ou 2,35% a.m.

Determinando a taxa efetiva anual:

( ) 1...0235,01 12 −+=i =i 0,3215... ou 32,15%a.a.

b) n = 2 meses

ndnd

i×−

×=1

122

276,01

122

276,0

×−

×=i

=i 0,0482... ou 4,82% a.b.

Determinando a taxa efetiva mensal:

1...0482,01 −+=i =i 0,0238... ou 2,38% a.m.


( ) 1...0238,01 12 −+=i =i 0,3265... ou 32,65%a.a.

c) n = 3 meses

ndnd

i×−

×=1

123

276,01

123

276,0

×−

×=i

=i 0,0741... ou 7,41% a.t.

Determinando a taxa efetiva mensal:

1...0741,01 −+=i

=i 0,0241... ou 2,41% a.m.


( ) 1...0241,01 12 −+=i =i 0,3311... ou 33,11%a.a.

13) Sendo: i = 3,1% a.m. (0,031) a) n = 1 mês

ndnd

i×−

×=1

031,011031,0×+

=i

=i 0,030067895 ou 3,0% a.m.

Determinando a taxa de desconto anual:

12 50,03006789 ×=i

30,36081474=i a.a. ou 36,0% a.a.

b) n = 2 meses

ndnd

i×−

×=1

( )[ ]1031,0122

1)031,01(2

2

−++

−+=i

=i 0,029615856 ou 2,96% a.m.


12 60,02961585 ×=i

30,35539027=i a.a. ou 35,54% a.a.

c) n = 3 meses

ndnd

i×−

×=1

( )[ ]1031,0133

1)031,01(3

3

−++

−+=i

=i 0,029172878 ou 2,92% a.m.


12 029172878,0 ×=i

80,35007453=i a.a. ou 35,00% a.a.

14) Sendo: RV = ? N = $ 82.000,00 n = 110 dias i = 5% a.m. (0,05)

Temos: ni

NVR ×+

=1

30110

05,01

00,000.82

×+=RV

77,295.69=RV

Portanto, o valor máximo que a pessoa deve pagar pelo título é $ 69.295,77 15) Sendo: FV = $ 54.400,00 N = $ 63.000,00 i = 2,2% a.m. (0,022) n = ? Temos: ( )ndNVF ×−= 1

Isolando o “n” da expressão acima, temos:

dNVN

n F

×−=

022,000,000.6300,400.5400,000.63

×−=n

2,6=n meses

16) Sendo: i = ? d = 69,6% a.a. (0,696) n = 30 dias

Temos: nd

ndi

×−×=

1

36030

696,01

36030

696,0

×−

×=i

061571125,0=i a.m.

Calculando a taxa efetiva anual:

( ) 1061571125,01 12 −+=i

0483,1=i ou 104,83% a.a. 17) a) Sendo: d = 3,8% a.m. (0,038) n = 3 meses i = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

3038,013038,0×−

×=i

...1287,0=i a.t.

( ) 1...1287,013 −+=i

0412,0=i

%12,4=i a.m.

b) Sendo: d = 3,5% a.m. (0,035) n = 5 meses i = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

5035,015035,0×−

×=i

...2121,0=i p/ 5 meses

( ) 1...2121,015 −+=i

0392,0=i

%92,3=i a.m.

18) Banco A Sendo: d = 3,1% a.m. (0,031) n = 90 dias (3 meses) i = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

3031,013031,0×−

×=i

...1025,0=i a.t.

( ) 1...1025,013 −+=i

0331,0=i

%31,3=i a.m.

Banco B Sendo: d = 2,9% a.m. (0,029) n = 120 dias (4 meses) i = ?

Temos: nd

ndi

×−×=

1

4029,014029,0×−

×=i

...1312,0=i p/ 4 meses

( ) 1...1312,014 −+=i

0313,0=i

%13,3=i a.m.

Portanto, o banco A está cobrando a maior taxa efetiva de juros. 19) Sendo: n = ? N = $ 370.000,00 FD = $ 33.720,00

d = 38% a.a. (0,38)

Temos: ndNDF ××=

dND

n F

×=

1238,0

00,000.370

00,720.33

×=n

88,2=n meses

20) Do enunciado do exercício, temos as seguintes informações:

Título Valor Nominal Prazo de Antecipação

A $ 19.000,00 37 dias B $ 42.000,00 66 dias C $ 63.000,00 98 dias

Total: $ 124.000,00 • Valor nominal total dos títulos ( N ) $ 124.000,00 • Taxa de desconto anual (i) 21,2% (0,212) Calculando o n por meio da média ponderada:

• 63.000,00 42.000,00 19.000,00

)9800,000.63()6600,000.42()3700,000.19(++

×+×+×=n

00,000.12400,000.649.9=n

≅n 78 dias (77,81451613 dias)

Com os valores obtidos acima, utilizamos a expressão nC

Di

×= (ver item 3.4 - Desconto

para Vários Títulos) para cálculo do desconto bancário:

36081451613,77

00,000.124212,0

×= D

77778,802.26212,0

D=

77778,802.26212,0 ×=D

19,682.5=D

Portanto, o valor do desconto bancário é de $ 5.682,19 Como:

Valor liberado = Valor Nominal – Desconto Bancário Temos:

Valor liberado = $ 124.000,00 – $ 5.682,19

Valor liberado = $ 118.317,81 Calculando a taxa efetiva de juros mensal desta operação:

nVD

iF

F

×=

30 377,8145161

81,317.118

19,682.5

×=i

=i 0,0185... ou 1,85% a.m.

Calculando agora a taxa pelo regime de juros compostos: Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 118.317,81 PV 118.317,81 Valor descontado 124.000,00 CHS FV -124.000,00 Valor nominal dos títulos 77,81451613 <ENTER> 30 ÷ n 2,59 Prazo médio ponderado i 1,82 Taxa interna de retorno Outra maneira de resolver: Valor descontado $ 118.317,81

Valor nominal 37 66 98 (dias) (resgate) de $19.000,00 $ 42.000,00 $ 63.000,00 cada título

30/9830/3730/37 )1(00,000.63

)1(00,000.42

)1(00,00.19

81,371.118iii +

++

++

=

Resolvendo-se a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa efetiva de juros cobrada no desconto do borderô de duplicatas: i = 0,060% a.d. (ou 1,829% a.m.) Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 118.317,81 CHS g 0CF -118.317,81 Valor descontado 0 g jCF 0,00 Introduzindo o início do período 1 36 g jN 36,00 Introduzindo o final do período 1 19.000 g jCF 19.000,00 Introduzindo 22 , NCF 0 g jCF 0,00 Introduzindo o início do período 2 65 <ENTER> 37 <–> g jN 28,00 Introduzindo o final do período 2 42.000 g jCF 42.000,00 Introduzindo 33 , NCF 0 g jCF 0,00 Introduzindo o início do período 3 97 <ENTER> 66 <–> g jN 31,00 Introduzindo o final do período 3 63.000 g jCF 63.000,00 Introduzindo 44 , NCF f IRR 0,06 Taxa interna diária de retorno 100 < ÷ > 1 <+> 30 xy 1,02 Transformação para taxa mensal 1 <–> 100 <×> 1,83 Taxa interna mensal de retorno Portanto, =i 1,829 % a.m. 21) Solução: • Valor nominal total dos títulos ( N ) $ 9.000,00 + $ 7.500,00 + $ 13.500,00 +

$ 3.000,00 + $ 6.000,00 + $ 6.000,00 = $ 45.000,00

• Valor descontado ( FV ) $ 39.900,00 • Valor do desconto ( FD ) $ 45.000,00 – $ 39.900,00 = $ 5.100,00

6.000,00 6.000,00 3.000,00 13.500,00 7.500,00 9.000,00)15000,000.6()12000,000.6()12000,000.3()9000,500.13()6000,500.7()6000,000.9(

=+++++×+×+×+×+×+×

=n

00,000.4500,000.185.4=n

93=n dias ou: 93/30 = 3,1 meses

nVD

iF

F

×=

1,300,900.3900,100.5×

=i

...0412,0=i ou 4,12% a.m.

Calculando agora a taxa pelo regime de juros compostos (ver pág. 104): Valor descontado:

$ 39.900,00

Valor nominal 60 90 120 150 (dias) (resgate) de $16.500,00 $ 13.500,00 $ 9.000,00 $ 6.000,00 cada título

30/15030/12030/9030/60 )1(00,000.6

)1(00,000.9

)1(00,500.13

)1(00,500.16

00,900.39iiii +

++

++

++

=

Resolvendo-se a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa efetiva de juros cobrada no desconto do borderô de duplicatas: Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 39.900 CHS g 0CF -39.900,00 Valor descontado 0 g jCF 0,00 Introduzindo 11 , NCF

16.500 g jCF 16.500,00 Introduzindo 22 , NCF 13.500 g jCF 13.500,00 Introduzindo 33 , NCF 9.000 g jCF 9.000,00 Introduzindo 44 , NCF 6.000 g jCF 6.000,00 Introduzindo 55 , NCF f IRR 3,98 IRR Portanto, 98,3=i % a.m.

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 4 – Matemática Financeira e Inflação 1) Sendo: i = 2,95% a.m (0,0295) I (câmbio) = 1,8% a.m. (0,018) r = ? Determinando a rentabilidade real da aplicação em relação ao câmbio,

Temos: 111 −

++=

Ii

r

1018,01

0295,01 −+

+=r

0113,0=r ou 1,13% a.m.

Determinando a rentabilidade real da aplicação em relação à inflação,

Temos: 111 −

++=

Ii

r

1022,01

0295,01−

++

=r

0073,0=r ou 0,73% a.m.

2) Sendo: r = ? (mensal) i = 2,8% a.m. (0,028) I = 12% p/ 5 meses (0,12) Primeiramente, devemos encontrar a inflação mensal: ( ) 112,015 −+=I

022924557,0=I ou 2,29% a.m.

Agora, podemos substituir os valores acima na expressão de cálculo da taxa real:

111 −

++=

Ii

r

1022924557,01

028,01 −+

+=r

=r 0,004961698 ou 0,496% a.m. Calculando a taxa para 5 meses:

( ) 1004961698,01 5 −+=r

=r 0,025055899 ou 2,5% p/ 5 meses 3) Solução:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 1017,1022,1012,1015,1 −×××=I =I 0,067624185 ou 6,76% a.q.

=r 20% a.a.

120,013 −+=r =r 0,062658569 ou 6,27% a.q.

( ) ( )[ ] 111 −+×+= Iri

( ) ( )[ ] 1 067624185,01 062658569,01 −+×+=i 134519989,0=i ou 13,45% a.q.

1134519989,014 −+=i

032055465,0=i ou 3,2% a.m. 4) Para resolver esse problema, podemos utilizar a seguinte expressão de cálculo:

111 −

++=

ri

I

Substituindo os valores do enunciado, temos:

12,015,01 −

++=I

25,0=∴ I ou 25%

5) Sendo: i = ?

Preço de compra (PV) = $ 3.000,00 Preço de venda (FV) = $ 30.000,00 n = 4 anos Temos: niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

4)1(

00,000.300,000.30

i+=

4)1(10 i+=

4 44 )1(10 i+=

i+= 17783,1

7783,0=i ou 77,83% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 3.000 CHS PV -3.000,00 Preço de compra 30.000,00 FV 30.000,00 Preço de venda 4 n 4,00 Prazo em anos i 77,83 Rentabilidade nominal anual Determinando a rentabilidade real anual da operação, temos:

i = 77,83% a.a. (0,7783) I = 100% a.a. (1,00) r = ?

111 −

++=

Ii

r

100,11

7783,01 −+

+=r

1109,0−=r ou –11,09% a.a.

6) Sendo: I = 17,5% (0,175) i = 16% (0,16) r = ? Supondo uma situação hipotética: Dívida original em US$ US$ 1 Preço do US$ no momento 0 R$ 1 Dívida em R$ no momento 0 R$ 1 Passado o período descrito no exercício, temos a incidência da inflação e da variação cambial: Dívida em R$ no momento 1 = R$ 1 × (1 + 016) × (1 + 0,175) = R$ 1,334

Agora, substituindo os valores encontrados na Expressão 111 −

++=

Ii

r , temos:

1175,01

334,01−

++

=r

1353,0=r ou 13,53%

Portanto, o custo real da operação em dólar em relação à inflação da economia é de 13,53%. 7) a) ( ) ( ) ( )[ ] 1034,0103763,0103984,01 −+×+×+=i

1157,0=i ou 11,57% a.t.

b) abril: 111 −

++=

Ii

r

1029,01

03984,01 −+

+=r

=r 0,0105 ou 1,05%

maio: 111 −

++=

Ii

r

10221,01

03763,01 −+

+=r

=r 0,0152 ou 1,52%

junho: 111 −

++=

Ii

r

10439,01034,01 −

++=r

=r –0,0095 ou –0,95%

Determinando agora a rentabilidade real do trimestre, temos: ( ) ( ) ( )[ ] 10095,010152,010105,01 −+×+×+=i

0162,0=i ou 1,62% a.t.

8) a) I = 9,8% (0,098) TDM = ?

II

TDM+

=1

098,01098,0

+=TDM

0893,0=TDM ou – 8,93%

b) I = 9,8% (0,098) i = 5,3% (0,053)

r = ?

111 −

++=

Ii

r

1098,01053,01 −

++=r

041,0−=r ou –4,1%

c) I = 9,8% (0,098) i = 12,1% (0,121)

r = ?

111 −

++=

Ii

r

1098,01121,01 −

++=r

0209,0=r ou 2,9%

9) Sendo: =IPCI 24% (0,24) =IGPI 30% (0,30)

='r 14% (0,14) =r ?

Temos: 1)1()1( −+×+= Iri

1)24,01()14,01( −+×+=i 4136,0=i

Como: 111 −

++=

Ii

r

Então: 130,01

4136,01 −+

+=r

0874,0=r ou 8,74%

10) Sendo: I = 15% (0,15) i = 11,5% (0,115) r = ?

Temos: 111 −

++=

Ii

r

115,01

115,01 −+

+=r

0304,0−=r ou 3,04% de perda 11) Sendo: r = 25% a.a. (0,25) I (3 primeiros meses) = 1,8% (0,018) I (3 meses posteriores) = 1,0% (0,01)

Primeiro, determinamos o ganho desejado no semestre:

125,01 −+=semr ...1180,0=semr ou 11,80% a.s.

Depois, determinamos a inflação do semestre:

( ) ( ) 101,01018,01 33 −+×+=semI

...0869,0=semI ou 8,69% a.s.

Agora, é possível encontrar a taxa nominal semestral da aplicação:

1)1()1( −+×+= semsemsem Iri 1)0869,01()1180,01( −+×+=semi

...2152,0=semi ou 21,52% a.s.

E, por fim, encontramos a taxa nominal mensal:

1...2152,016 −+=i 033,0=i ou 3,3% a.m.

12) Sendo: Preço de compra: $ 40.000,00 Preço de venda: $ 41.997,00 Prazo de resgate: 70 dias I = 6,66 % (0,0666) r = ?

Temos: Rentab. Nominal (i) = Preço de venda/Preço de compra – 1

100,000.4000,997.41 −=i

...0499,0=i ou 4,99%

Como: 111 −

++=

Ii

r

10666,010499,01 −

++=r

015,0−=r ou –1,5% p/ 70 dias

Determinando a rentabilidade real mensal auferida pelo investidor:

( ) 1015,0130

70 −−=r 0065,0−=r ou –0,65% a.m.

13) Sendo: I = 1.183,5% a.a.(11,835) I = ? (mensal) Temos: 1835,11112 −+=I 2370,0=I ou 23,7% a.m. 14) Sendo: I (até abril) = 4,4% (0,044) I (de abril a dezembro) = 1,1% (0,011) I (acumulada) = ? Temos: ( ) 1)011,01(044,01 8 −+×+=acumI

1395,0=acumI ou 13,95% 15) Sendo: I = 3,94% (0,0394) I (por dia útil) = ? 10394,0120 −+=I

00193,0=I ou 0,193% p/dia útil 16) Solução:

Julho 33,866046,123,828 =× Agosto 18,893031,133,866 =× Setembro 02,928039,118,893 =×

17) Sendo: %2,2I1 = (0,022)

%8,1I2 = (0,018) ?TDM bim =

Taxa de inflação acumulada no bimestre:

( )( )[ ] 1018,1022,1 −=BIMI

040396,0=BIMI ou 4,0396% Redução no poder aquisitivo no bimestre:

BIM

BIMBIM I

ITDM

+=

1

040396,01040396,0

+=BIMTDM

...0388,0=BIMTDM

=BIMTDM 3,88%

18) Sendo: TDM = 11,8% (0,118) I = ?

Da expressão: I

ITDM

+=

1, temos que

TDMTDM

I−

=1

118,01118,0

−=I

1338,0=I ou 13,38%

19) Solução:

a) 1−=−tn

njan P

PI 1−=

−tn

nfev P

PI 1−=

−tn

nmar P

PI

18/9/ −=

XDezXJan

I jan 19/9/ −=

XJanXFev

I fev 19/9/ −=

XFevXMar

I mar

1325,107785,108 −=janI 1

785,108039,110 −=fevI 1

039,110035,112 −=marI

0136,0=janI ou 1,36% 0115,0=fevI ou 1,15% 0181,0=janI ou 1,81%

b) 1−=−tn

ntrim P

PI

18/9/ −=

XDezXMar

I trim

1325,107035,112 −=trimI

0439,0=trimI ou 4,39%

c) 10439,013 −+=médiaI

0144,0=médiaI ou 1,44%

d) 1−=−tn

nsem P

PI

18/9/ −=

XDezXJun

I sem

1325,107090,118 −=semI

10,0=semI ou 10,0% e) 0224,1090,118 ×=julhoIGP

735,120=julhoIGP

20) Solução:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 10101,010053,010035,010092,01. −+×−×+×+=quadrimI

0175,0. =quadrimI ou 1,75%

10175,014 −+=mensalI

0044,0=mensalI ou 0,44% 21) Custo efetivo trimestral:

[ ] 10109,10127,10118,114,14 −×××=TRIMI

070310768,0=TRIMI ou 7,03...% Custo efetivo nominal mensal:

1070310768,013 −+=mensali

022908133,0=mensali ou 2,29% 22) Sendo: r = 1,5% a.m. (0,015) I = 0,9% a.m. (0,009) i = ? Temos: ( ) ( )[ ] 111 −+×+= Iri ( ) ( )[ ] 1009,01015,01 −+×+=i 0241,0=i ou 2,41% a.m.

23) Para resolver esse exercício, chamaremos a taxa a ser encontrada de x e igualaremos à taxa desejada, de acordo com a seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 110221,010211,010198,0112,0 −+×+×+×+= x

( ) ( )[ ] 110643,112,0 −+×= x

x 0643,10643,112,1 +=

0643,112,1 0643,1 −=x

0643,1

0557,0=x

0523,0=x ou 5,23% a.t.

Portanto, para que a caderneta de poupança tenha um rendimento total de 12% a.a., ela deverá render 5,23% no último trimestre. 24) Primeiramente, devemos encontrar a inflação observada nos meses de janeiro e fevereiro de X2 da seguinte forma:

1−=− tn

njan IGPM

IGPMI 1−=

− tn

nfev IGPM

IGPMI

11/

2/−=

XDez

XJanI jan 1

2/

2/−=

XJan

XFevI fev

134,213

02,215−=janI 1

02,215

01,217−=fevI

...0079,0=janI ou 0,79% ...0093,0=fevI ou 0,93% Agora, chamaremos a inflação de março/X2 de x e igualaremos à taxa de inflação desejada ao ano de 2,2%, de acordo com a seguinte expressão:

( ) ( ) ( )[ ] 110093,010079,01022,0 −+×+×+= x

)1(0172,1022,1 x+×=

x 0172,10172,1022,1 +=

0172,1022,1 0172,1 −=x

0172,1

0048,0=x

...0047,0=x ou 0,47% p/ março

Por fim, basta multiplicarmos a taxa de inflação de março/X2, encontrada acima, pelo IGP-M de Fev/X2

( ) 04,218 004716281,0101,217 =+× Portanto, para que a taxa de inflação projetada para o ano de X2 seja de 2,2%, o IGP-M de março deve ser 218,04.

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 5 – Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 1) a) Sendo: d = 3,1% a.m. (0,031) IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 20 dias i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( )

( )��

�

� ×+��

��

� ×−

×+��

��

� ×=

20000041,03020

031,01

20000041,03020

031,0i

97851333,0021486667,0=i

=i 0,022... ou 2,2% para 20 dias Determinando o custo efetivo mensal,

( ) 1021958481,01 2030

−+=i

...0331,0=i ou 3,31% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,021958481 ENTER 1,02 Taxa para 20 dias 30 ENTER 20 < ÷ > xy 1,03 Fator de atualização 1 < – > 100 < × > 3,31 Taxa percentual

b) Sendo: d = 3,1% a.m. (0,031)

IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 30 dias (1 mês) i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( ) ( )

( ) ( )[ ]30000041,01031,0130000041,01031,0×+×−

×+×=i

96777,003223,0=i

=i 0,022... ou 2,2% para 20 dias

( ) 1021958481,01 2030

−+=i

=i 0,0333... ou 3,33% a.m. c) Sendo: d = 3,1% a.m. (0,031) IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 51 dias i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( )

( )��

�

� ×+��

��

� ×−

×+��

��

� ×=

51000041,03051

031,01

51000041,03051

031,0i

945209,0054791,0=i


( ) 1057967074,01 5130

−+=i

=i 0,0337... ou 3,37% a.m. Solução na HP-12C:

Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,057967074 ENTER 1,06 Taxa para 51 dias 30 ENTER 51 < ÷ > xy 1,03 Fator de atualização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,37 Taxa percentual d) Sendo: d = 3,1% a.m. (0,031) IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 60 dias (2 meses) i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( ) ( )

( ) ( )[ ]60000041,02031,0160000041,02031,0×+×−

×+×=i

93554,006446,0=i


( ) 1068901383,01 6030

−+=i

=i 0,0339... ou 3,39% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,068901383 ENTER 1,07 Taxa para 60 dias 30 ENTER 60 < ÷ > xy 1,03 Fator de atualização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,39 Taxa percentual 2) a) Sendo: n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 2,6% a.m. (0,026) i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( )

( )��

�

� ×+��

��

� ×−

×+��

��

� ×=

36000041,03036

026,01

36000041,03036

026,0i

967324,0032676,0=i


( ) 1033779788,01 3630

−+=i

=i 0,0281... ou 2,81% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,033779786 ENTER 1,03 Taxa para 36 dias 30 ENTER 36 < ÷ > xy 0,83 Fator de atualização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 2,81 Taxa percentual b) Sendo: n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 1,7% a.m. (0,017) i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( )

( )��

�

� ×+��

��

� ×−

×+��

��

� ×=

36000041,03036

017,01

36000041,03036

017,0i

978124,0021876,0=i


( ) 1022365262,01 3630

−+=i

=i 0,0186... ou 1,86% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,022365262 ENTER 1,02 Taxa para 36 dias 30 ENTER 36 < ÷ > xy 1,02 Fator de atualização 1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 1,86 Taxa percentual c) Sendo: n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 2,9% a.m. (0,029) i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( )

( )��

�

� ×+��

��

� ×−

×+��

��

� ×=

36000041,03036

029,01

36000041,03036

029,0i

963724,0036276,0=i


( ) 1037641482,01 3630

−+=i

=i 0,0313... ou 3,13% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,037641482 ENTER 1,04 Taxa para 36 dias 30 ENTER 36 < ÷ > xy 1,03 Fator de atualização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,13 Taxa percentual d) Sendo: n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 4,5% a.m. (0,045) i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( )

( )��

�

� ×+��

��

� ×−

×+��

��

� ×=

36000041,03036

045,01

36000041,03036

045,0i

944524,0055476,0=i


( ) 1058734347,01 3630

−+=i

=i 0,0487... ou 4,87% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,058773434 ENTER 1,06 Taxa para 36 dias 30 ENTER 36 < ÷ > xy 1,05 Fator de atualização 1 < – > 0,05 Taxa unitária 100 < × > 4,87 Taxa percentual

e) Sendo: n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 5,0% a.m. (0,05) i = ?

Temos: )(1 IOFd

IOFdi

+−+=

( )

( )��

�

� ×+��

��

� ×−

×+��

��

� ×=

36000041,03036

05,01

36000041,03036

05,0i

938524,0061476,0=i


( ) 1065502853,01 3630

−+=i

=i 0,0543... ou 5,43% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,065502853 ENTER 1,07 Taxa para 36 dias 30 ENTER 36 < ÷ > xy 1,05 Fator de atualização 1 < – > 0,05 Taxa unitária 100 < × > 5,43 Taxa percentual 3) Sendo: Taxa efetiva desejada = 31% a.a.

Prazo do desconto = 40 dias Taxa de desconto mensal = ? Temos: Taxa efetiva mensal desejada

131,0112 −+ = 0,0228... ou 2,28% a.m.

ii

d+

=1

022757347,01022757347,0

+=d

...0222,0=d ou 2,22% a.m.

4) Sendo: Taxa efetiva desejada = 23% a.a.

Prazo do desconto = 35 dias Taxa de desconto mensal = ? Temos: Taxa efetiva mensal desejada

123,0112 −+ = 0,0174... ou 1,74% a.m.

ii

d+

=1

017400842,01017400842,0

+=d

=d 0,0171... ou 1,71% a.m. 5) Representando graficamente, temos: Valor liberado $ 30.100,00 Valor nominal 30 60 90 120 (dias) dos títulos $ 8.100,00 $ 6.000,00 $ 9.000,00 $ 12.000,00

120906030 )1(00,000.12

)1(00,000.9

)1(00,000.6

)1(00,100.8

00,100.30iiii +

++

++

++

=

Resolvendo-se a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa

efetiva de juros cobrada no desconto do borderô de duplicatas:

i = 5,92% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 30.100 CHS g 0CF -30.100,00 Valor liberado 8.100 g jCF 8.100,00 Introduz valor da duplicata A 6.000 g jCF 6.000,00 Introduz valor da duplicata B 9.000 g jCF 9.000,00 Introduz valor da duplicata C 12.000 g jCF 12.000,00 Introduz valor da duplicata D f IRR 5,92 Custo efetivo mensal 6) Sendo: d = 3,6% a.m. (0,036) IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) n = 45 dias i (mensal) = ? i (anual) = ?

Temos: ( )IOFdIOFd

i+−

+=1

��

��

� ×+×−

×+×=

45000041,03045

036,01

45000041,03045

036,0i

944155,0055845,0=i

=i 0,0591... ou 5,91% para 45 dias

Determinando o custo efetivo mensal:

( ) 1059148127,01 4530

−+=i 039,0=i ... ou 3,9% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,059148127 ENTER 1,06 Taxa para 45 dias 30 ENTER 45 < ÷ > xy 1,04 Fator de atualização 1 < – > 0,04 Taxa unitária 100 < × > 3,91 Taxa percentual Determinando o custo efetivo anual: ( ) 1039053242,01 12 −+=i

=i 0,584... ou 58,4% a.a.

7) Sendo: Prazo da operação = 70 dias Prime mensal = 2,2% (0,022) Spread mensal = 1,0% (0,01) d = ?

Temos: Prime p/ 70 dias = ( ) ...0521,01022,1 3070

=− ou 5,21% p/ 70 dias

Spread p/ 70 dias = ( ) ...0235,0101,1 3070

=− ou 2,35% p/ 70 dias Juro total cobrado = [(1,0521) (1,0235)] – 1 = 0,0768... ou 7,68% p/ 70 dias

Taxa de desconto mensal (d):

nini

d+

=

076824350,03070

3070

076824350,0

×+=d

=d 0,0305... ou 3,05% a.m.

8) Sendo: i = 4,7% a.m. (0,047) d = ?

Temos: i

id

+=

1

047,1047,0=d

=d 0,04489 ou 4,489% a.m.

9) Sendo: Prime mensal = 3,74% (0,0374) Spread anual = 9,8% (0,098) Prazo da operação = 48 dias d = ?

Temos: Prime p/ 48 dias = ( ) ...0605,010374,1 3048

=− ou 6,05% p/ 48 dias

Spread p/ 48 dias = ( ) ...0125,01098,1 36048

=− ou 1,25% p/ 48 dias Juro total cobrado = [(1,0605) (1,0125)] – 1 = 0,0738... ou 7,38% p/ 48 dias Taxa de desconto mensal (d):

nin

id

+=

0738,0

3048

3048

0738,0

×+=d

=d 0,0430... ou 4,30% a.m. 10) a) Sendo: i = 36,9% a.a. (0,0369) n = 23 dias d = ? Primeiramente igualamos a taxa efetiva para o prazo da operação:

( ) 1369,1 36023

−=i =i 0,0203... ou 2,03% p/ 23 dias

Agora, apuramos a taxa de desconto mensal:

nini

d+

=

020268938,03023

3023

020268938,0

×+=d

=d 0,0259... ou 2,59% a.m.

b) Sendo: i = 36,9% a.a. (0,0369) n = 57 dias d = ? Primeiramente igualamos a taxa efetiva para o prazo da operação:

( ) 1369,1 36057

−=i =i 0,0510... ou 5,10% p/ 57 dias

Agora, apuramos a taxa de desconto mensal:

nini

d+

=

050986682,03057

3057

050986682,0

×+=d

=d 0,0255... ou 2,55% a.m.

11) Sendo: i (juro exato - 365 dias) = 41,22% a.a. (0,4122) i mensal = ?

Temos: ( ) 14122,1 36530

−=i =i 0,02877... ou 2,877% a.m. 12) Sendo: i = 2,11% a.m. (0,0211)

i (juro exato - 365 dias) = ?

Temos: ( ) 10211,1 30365

−=i =i 0,289... ou 28,9% a.a. 13) Sendo: d = 4,2% a.m. (0,042) TAC = 1,8% (0,018) i = ? Assim, para um prazo de 30 dias, tem-se o seguinte custo: Limite da conta : 100,00 TAC : (1,80) Crédito Liberado : 98,20 1 (mês)

Limite : 100,00 Juros : 4,20

104,20

Custo Efetivo (i) = =− 120,9820,104

0,061 ou 6,1% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 98,20 CHS PV -98,20 Crédito liberado 104,20 FV 104,20 Limite + juros incorridos 1 n 1,00 Período da conta garantida i 6,11 custo efetivo 14) Sendo: d = 2,4% a.m. (0,024)

i = 3,5% a.m. (0,035) TAC = x

Representando graficamente temos: Limite da conta : 100,00 TAC : x Crédito Liberado : 100 - x 1 (mês)

Limite : 100,00 Juros : 2,40

102,40

( )ni

FVPV

+=

1

( )1035,0140,102

100+

=− x

...94,98100 =− x

...063,1=x

∴ TAC = $ 1,063 Portanto, para uma aplicação de $ 100,00 a TAC deve ser de $ 1,063, ou seja, 1,063%. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 102,40 CHS FV -102,40 Limite + juros incorridos 3,5 i 3,50 taxa desejada 1 n 1,00 Prazo da conta garantida PV 98,94 custo efetivo CHS 100 < + > 1,06 Valor ($) da TAC 15) Sendo: n = 140 dias

PV = $ 952.000,00 FV = $ 1.000.000,00

i = ?


niPVFV

)1( +=

30140

)1(00,000.95200,000.000.1

i+=

6667,4)1(...0504,1 i+=

667,4 667,4667,4 )1(...0504,1 i+=

i+= 10106,1

=i 0,0106 ou 1,06 % a.m.

Portanto, a rentabilidade efetiva mensal auferida pelo investido é de 1,06% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 952.000,00 CHS PV -952.000,00 Valor de aquisição 1.000.000,00 FV 1.000.000,00 Valor de resgate 140 <ENTER> 30 < ÷ > n 4,67 Vencimento i 1,06 Rentabilidade efetiva mensal 16) Sendo: Valor liberado = $ 130.000,00

Prazo da operação (n) = 100 dias

Taxa de desconto (d) = 2,9% a.m. (0,029)

IOF = 0,0041% a.d. (0,000041)

TAC = 1,1% (0,011)

Valor nominal do título = x

Temos: Valor nominal do título = x

Desconto = xx 096666667,010030029,0 =××

IOF = xx 0041,0100000041,0 =××

TAC = xx 011,0011,0 =×

Valor liberado = $ 130.000,00

Sabemos que:

Valor nominal do título – Desconto – IOF – TAC = Valor liberado

Substituindo os valores obtidos na expressão acima, temos:

00,000.130011,00041,0096666667,0 =−−− xxx

00,000.130888233333,0 =x

94,357.146=x

17) Sendo: Prazo da operação (n) = 84 dias

Taxa de desconto (d) = 2,1% a.m. (0,021)

Despesas administrativas (TAC) = 1,5% (0,015)

IOF = 0,0041% a.d. (0,000041)

i = ?

Temos: 0588,08430021,0 =×=d

IOF = 0,000041 × 84 = 0,003444

TAC = 0,015

Sabemos que:

)(1 TACIOFdTACIOFd

i++−

++=

Substituindo os valores obtidos na expressão acima, temos:

)015,0003444,00588,0(1015,0003444,00588,0

++−++=i

...0837,0=i ou 8,37% p/ 84 dias

Transformando essa taxa para mensal, temos:

( ) 1083710103,01 8430

−+=i

...0291,0=i ou 2,91% a.m.

18) Primeiramente, devemos encontrar a rentabilidade mensal que o credor terá se aplicar os recursos:

1203,0112 −+=i ...0155,0=i ou 1,55% a.m.

Agora, encontramos a rentabilidade que o credor terá se aceitar o pagamento antecipado:

1Liberado LíquidoValor

Título do NominalValor i −=

126.680,0027.800,00

i −=

...0420,0i = ou 4,20% p/ 69 dias

Determinando a rentabilidade mensal, para comparação com a primeira alternativa, temos:

( ) 1041979010,01 6930

−+=i

...0180,0=i ou 1,8% a.m. Portanto, a melhor decisão a ser tomada pelo credor é manter a dívida até o vencimento. 19) a) Sendo: i = 28,0% a.a. (0,28) n = 1 mês IOF = 0,0041% a.d. (0,000041)

d = ? Temos: 128,0112 −+=i

=i 0,0208... ou 2,08% a.m.

IOFi

id +

+=

1

30000041,0020784728,01

020784728,0 ×++

=d

=d 0,02159... ou 2,159% a.m. b) Sendo: i = 28,0% a.a. (0,28) n = 50 dias IOF = 0,0041% a.d. (0,000041)

d = ?

Temos: ( ) 128,1 36050

−=i =i 0,0349... ou 3,49% p/ 50 dias

IOFi

id +

+=

1

50000041,003488066,01

034880666,0 ×++

=d

=d 0,0358... ou 3,58% p/ 50 dias Determinando a taxa de desconto mensal:

3050

035755013,0 ×=d

=d 0,02145... ou 2,145% a.m.

c) Sendo: i = 28,0% a.a. (0,28) n = 60 dias IOF = 0,0041% a.d. (0,000041)

d = ?

Temos: ( ) 128,1 36060

−=i =i 0,042... ou 4,2% p/ 60 dias

IOFi

id +

+=

1

60000041,0042001462,01

042001462,0 ×++

=d


3060

042768448,0 ×=d

=d 0,02138... ou 2,138% a.m.

c) Sendo: i = 28,0% a.a. (0,28) n = 70 dias IOF = 0,0041% a.d. (0,000041)

d = ?

Temos: ( ) 128,1 36070

−=i =i 0,049... ou 4,9% p/ 70 dias

IOFi

id +

+=

1

70000041,0049171254,01

049171254,0 ×++

=d


3070

049736757,0 ×=d

=d 0,02131... ou 2,131% a.m.

20) a) Sendo: Custo do dinheiro: 1,7% a.m. (0,017) Despesas: 1,4% s/ receitas mensais (0,014) Margem de lucro: 1,5% s/ valor títulos (0,015) Impostos: 1,1% s/ receitas mensaos (0,011) Fator de factoring: ?

Temos:

Impostos - 1Lucro de Margem Despesa dinheiro do Custo

FATOR++=

0,011 - 10,015 0,014 0,017

FATOR++=

0,9890,046

FATOR =

a.m. 4,65%ou 0,0465... FATOR =

Portanto, o fator (taxa efetiva) é de 4,65% a.m. Transformando o fator de factoring para taxa de desconto, temos:

ii

d+

=1

046511628,01046511628,0

+=d

...044,0=d ou 4,44% a.m.

Portanto, o fator (taxa de desconto) é de 4,44% a.m. b) Determinando a taxa de desconto para 110 dias, temos:

( ) 1046511628,1 30110

−=i =i 0,181... ou 1,81% p/ 110 dias

ii

d+

=1

181394325,01181394325,0

+=d

...1535,0=d ou 15,35% p/ 110 dias

Determinamos agora o valor descontado:

Valor descontado = $ 785.000,00 × 15,35% Valor descontado = $ 664.502,50

21) Sendo: n = 80 dias d = 2,1% a.m. (0,021) IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) Taxa = 2% (0,02) Imposto = 0,38% (0,0038) Admitindo-se um valor de $ 100,00 para a duplicata, temos: Valor Nominal do Título: $ 100,00

Juros: 8030021,0

00,100 ×× ($ 5,60)

IOF: 80000041,000,100 ×× ($ 0,328) Valor Líquido Liberado: $ 94,072 Na data de vencimento do título é cobrado 2% de despesas de cobrança e 0,38% de CPMF sobre o valor nominal. Assim: $ 100,00 + $ 2,00 + $ 0,38 = $102,38 0 80 (dias) $ 94,072 Custo efetivo do desconto:

( )niPVFV +×= 1

( )3080

1072,9438,102 i+×=

( )072,9438,102

1 3080

=+ i

( ) 088315333,11 ...66,2 =+ i

...66,2 088315333,11 =+ i

032245576,11 =+ i

...0322,0=i ou 3,22% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 94,072 CHS PV -94,07 Valor líquido liberado 102,38 FV 102,38 Valor total descontado 80 ENTER 30 < ÷ > n 2,67 Prazo em meses i 3,22 Custo efetivo mensal do desconto

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 6 – Matemática Financeira, Reciprocidade Bancária e Taxas Over 1) Sendo: Valor da promissória: $ 53.908,00 Prazo: 20 dias Taxa de desconto: 2,9% a.m. (0,029) IOF: 0,0041% a.d. (0,000041) Reciprocidade: manter um saldo médio em conta corrente

equivalente a 10% do valor liberado a) Determinamos inicialmente o valor liberado pela instituição financeira:

Valor da promissória: $ 53.908,00

Desconto: $ 53.908,00 × 30029,0

× 20 (1.042,22)

IOF: $ 53.908,00 × 0,000041 × 20 (44,20)

Reciprocidade: 10% × $ 53.908,00 (5.390,80)

Valor Líquido Liberado: 47.430,78

Agora, calculamos o custo efetivo mensal do empréstimo:

178,430.47

80,390.500,908.53 −−=i

=i 0,0229... ou 2,29% para 20 dias

( ) 102905379,01 2030

−+=i

=i 0,0346... ou 3,46% a.m.

b) Sendo: i = 2,29% para 20 dias (0,0229) I = 1,2% para 20 dias (0,012)

Sabemos que: 1)( inflação de taxa1

)( nominal taxa1)( real Taxa −

++=

Ii

r

Logo,

111 −

++=

Ii

r

1012,01

0229,01 −+

+=r

1012,01

0229,01 −+

+=r

0108,0=r ou 1,08% para 20 dias

( ) 10108,01 2030

−+=r

=r 0,0162 ou 1,62% a.m. 2) Sendo: Valor nominal do título: $ 45.000,00 Prazo da operação: 60 dias (2 meses) Taxa de desconto: 2,7% a.m. (0,027) IOF: 0,123% a.m. (0,00123) Reciprocidade: adquirir um título do banco, com o valor

líquido liberado, com deságio de 3% Valor nominal do título: $ 45.000,00 Desconto: 2027,000,000.45 ×× (2.430,00) IOF: 200123,000,000.45 ×× (110,70)

Valor Líquido: $ 42.459,30 Deságio (3% × $ 42.459,30) (1.273,78)

Valor Líquido Liberado: $ 41.185,52

Primeiramente, encontramos o custo efetivo do empréstimo para os dois meses.

1Liberado LíquidoValor

Título do NominalValor i −=

141.185,5245.000,00

i −=

...0926,0i = ou 9,26% p/ 60 dias

Agora, encontramos o custo efetivo mensal do empréstimo

1...0926,01 −+=i

=i 0,0453... ou 4,53% a.m. Representando graficamente, temos: Valor liberado $ 41.185,52 Valor nominal 1 2 (meses) do título $ 45.000,00 Sendo: i = ?

PV = $ 41.185,52 FV = $ 45.000,00 n = 2 meses Temos: niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

2)1(

52,185.4100,000.45

i+=

2)1(...0926,1 i+=

2)1(...0926,1 i+=

i+= 1...0453,1

...0453,0=i ou 4,53% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 41.185,52 CHS PV -41.185,52 Valor líquido liberado 45.000,00 FV 45.000,00 Valor nominal do título 2 n 2,00 Prazo em meses i 4,53 Custo efetivo mensal 3) Sendo: Valor do empréstimo: $ 70.000,00 Prazo da operação: 40 dias Taxa de desconto: 3,4% a.m. (0,034) IOF: 0,0041% a.d. (0,000041) Reciprocidade: retenção de 8% do valor nominal do

empréstimo a) Valor Líquido Liberado

Valor nominal do título: $ 70.000,00

Desconto: 3040

034,000,000.70 ×× (3.173,33)

IOF: 40000041,000,000.70 ×× (114,80) Valor Líquido: $ 66.711,87

Reciprocidade: 00,000.70%8 × (5.600,00) Valor Líquido Liberado: $ 61.111,87

Valor de Pagamento

Montante a Pagar $ 70.000,00 Reciprocidade: Aplicação Financeira (5.600,00)

Valor Líquido a Pagar: $ 64.400,00 Custo Efetivo Mensal

...0538,0187,111.6100,400.64 =−=i ou 5,38% p/ 40 dias

( ) 1...0538,01 4030

−+=i

...04,0=i ou 4,0% a.m. Custo Efetivo Anual ( ) 1040088323,01 12 −+=i =i 0,603... ou 60,3% b) O saldo médio é remunerado à taxa nominal de 1,5% a.m.

Valor Líquido Liberado

Valor nominal do título: $ 70.000,00

Desconto: 3040

034,000,000.70 ×× (3.173,33)

IOF: 40000041,000,000.70 ×× (114,80) Valor Líquido: $ 66.711,87

Reciprocidade: 00,000.70%8 × (5.600,00) Valor Líquido Liberado: $ 61.111,87

Valor de Pagamento

Montante a Pagar $ 70.000,00 Reciprocidade: Aplicação Financeira (5.600,00) Remuneração da Aplicação:

=×× 4030015,0

00,600.5 (112,00)

Valor Líquido a Pagar: $ 64.288,00 Custo Efetivo Mensal

...0520,0187,111.6100,288.64 =−=i ou 5,2% p/ 40 dias

( ) 1051972391,01 4030

−+=i

=i 0,038731391 ou 3,9% a.m.

Custo Efetivo Anual ( ) 1038731391,01 12 −+=i =i 0,577753227 ou 57,8% a.a. 4) Sendo: Taxa de desconto (d): 4,5% a.m. (0,045)

Taxa administrativa (ta): 1% sobre o valor nominal do título IOF: 0,0041% a.d. (0,000041) Reciprocidade (rec): retenção de 7% do valor nominal do

título pelo prazo da operação Valor Líquido Liberado (vll): $ 49.000,00

Prazo da operação (n): 55 dias Valor Nominal: x Temos:

rectaIOFdvll −−−−= x

( ) ( ) ( )07,001,055000041,03055

045,000,000.49 ×−×−××−��

��

� ××−= xxxxx

xxxxx 07,0 01,0 002255,0 0825,000,000.49 −−−−=

x 835245,000,000.49 =

835245,000,000.49=x

=x $ 42,665.58

Portanto, a empresa deve solicitar um empréstimo de $ 58.665,42. 5) Admitindo um empréstimo de $ 100,00, temos: Valor da promissória: $ 100,00 Prazo: 60 dias Taxa efetiva: 5% a.m. (0,05)

Reciprocidade: manutenção de um saldo médio equivalente a 10% do valor nominal do empréstimo

a) Representando graficamente, temos: $ 100,00 ( )205,1 = $ 110,25 0 60 (dias) $ 100,00 – $ 10,00 Assim: PV = $ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00 FV = $ 110,25 – $ 10,00 = $ 100,25 n = 2 meses (60 dias ) i = ? Logo, o custo efetivo mensal é calculado:

niPVFV )1( +=

niPVFV

)1( +=

2)1(

00,9025,100

i+=

2)1(...1139,1 i+=

2 22 )1(113888889,1 i+=

i+= 1055409347,1

...0554,0=i ou 5,54% a.m.

ou

( ) 1055409347,1 2 −=i =i 0,1139... ou 11,39% a.b.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 90 CHS PV -90,00 Valor líquido do empréstimo 100,25 FV 100,25 Valor a pagar 2 n 2,00 Prazo em meses i 5,54 Custo efetivo mensal da operação

b) Representando graficamente, temos: $ 100,00 FV = $ 100,00 ( )205,1 = $ 110,25 n $ 100,00 $ 100,00 Logo: niPVFV )1( +=

ni

PVFV

)1( +=

n) 113888890,01(00,10025,110 +=

n) 113888890,01(1025,1 +=


113888890,1log1025,1log ×= n

904716141,0107857397,0097580328,0

113888890,1log1025,1log ===n meses

28,5460904716141,0 =×=n dias

Número de dias para repasse da cobrança: 60 – 54,28 = 5,72 dias c) Representando graficamente, temos:

$ 100,00 $ 100,00 ( )205,1 0 2 n $ 100,00 $ 100,00

Data focal: 2

( ) ( ) 01139,1

00,10000,10005,100,1001139,100,100 2 =−++−

n

n1139,100,100

86,98 =

1063,0=n

601063,0 ×=n

38,6=n dias

6) Tomando-se por $ 100,00 a base do valor emprestado, temos: Valor Nominal $ 100,00

Desconto: $ 100,00 × 5030058,0 × (9,66...)

IOF: $ 100,00 × 0,000041×50 (0,205) Valor Liberado: $ 90,1283

$ 100,00 $ 100,00

50 54

$ 100,00 – 9,8717% = $ 90,1283 $ 100,00

Expressando os valores em moeda atual, tem-se:

( ) ( )0

1

00,100

1

00,2001283,90

3054

3050 =

+−

+−

ii

Resolvendo-se com o auxílio de uma calculadora financeira:

i (IRR) = 7% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 90,1283 CHS g 0CF -90,13 Valor líquido liberado 0 g jCF 0,00 Insere carência 49 g jN 49,00 Dias sem movimentação 200 g jCF 200,00 Valor das duplicatas + empréstimo 0 g jCF 0,00 Insere carência 3 g jN 3,00 Dias para liberação do crédito 100 CHS g jCF -100,00 Desconto das duplicatas f IRR 0,23 Custo efetivo diário da operação 100 < ÷ > 1 <+> 1,00 Transformação para taxa mensal 30 xy 1 <–> 100 <×> 7,01 Custo efetivo mensal da operação 7) Sendo: OVER = 2,45% a.m. (0,0245) dias úteis ( du ) = 22 (efetiva) i = ?

Temos: 130

OVER1(efetiva) −�

�

��

� +=du

i

130

0,02451(efetiva)

22

−��

��

� +=i

=(efetiva) i 0,0181... ou 1,81% a.m.

8) Sendo: (efetiva) i = 3,0% (0,03) dias úteis ( du ) = 21 OVER = ?

Temos: ( )[ ] 3011OVER1

×−+= dui

( )[ ] 30103,01OVER 211

×−+=

OVER = 0,0423... ou 4,23% a.m. 9) Sendo: OVER = 2,2% a.m. (0,022) dias úteis ( du ) = 20 Spread = 14% a.a. (0,14)

(mensal) i = ? Primeiramente, calculamos a taxa efetiva mensal, a partir da taxa OVER:

130

OVER1 −��

�

��

�+=

du

i

130

0,0221

20

−��

��

�+=i

= i 0,0148... ou 1,48% a.m.

Agora, devemos encontrar o spread mensal:

114,0112 −+=i

=i 0,0110... ou 1,10% a.m. Por fim, determinamos a taxa efetiva mensal que a instituição deve cobrar na operação de empréstimo: ( ) ( )[ ] 1010978852,01014769289,01 −+×+=i

...0259,0=i ou 2,59% a.m. 10) Sendo: OVER = 1,42% a.m. (0,0142) dias úteis ( du ) = 22 a) (efetiva) i = ?

Temos: 130


�

��

� +=du

i

130

0,01421(efetiva)

22

−��

��

�+=i

=(efetiva) i 0,01046... ou 1,046% a.m.

b) Spread = 15% a.a. (0,15) (efetiva) i = ?

Temos ( ) 1010465244,0112

15,01 −

��

�

�+×��

�

��

�+=i

=i 0,023... ou 2,3% a.m.

11) Sendo: Custo efetivo (i) = 15,4% a.a. (0,154) Spread = 12% a.a. - taxa efetiva (0,12) Encaixe = 10%, exigido no momento da liberação dos recursos Custo efetivo mensal que deve ser cobrado = ? Supondo um valor de empréstimos de $ 100,00, temos:

( ) 40,105$00,10$154,100,100$ =− 0 1 (ano) $ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00 Custo efetivo mensal que deve ser cobrado:

100,9040,105 −��

��

�=i

=i 0,1711... ou 17,11% a.a. 013249757,01...1711,112 =−=i ou 1,32% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 90 CHS PV -90,00 Valor líquido liberado 105,40 FV 105,40 Valor total pago 1 n 1,00 Prazo em anos i 17,11 Taxa efetiva anual 100 < ÷ > 1 <+> 1,17 Transformação para taxa mensal 12 x1 xy 1 <–> 100 <×> 1,32 Taxa efetiva mensal da operação Taxa de repasse do recurso

( ) ( )[ ] 112,10132,1 12 −×=i

...228,0=i ou 2,28% a.m. Caso o encaixe seja considerado no repasse dos recursos, tem-se: Taxa total do repasse: ( ) 29248,0112,1154,1 =−× ou 29,248% a.a.

ou ( ) ...0216,0129248,112 =− ou 2,16% a.m.

Logo: ( ) 16,92$00,10$0216,100,100$ =− 0 1 (meses) $ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00

100,9016,92 −�

�

��

�=i

=i 0,024... ou 2,4% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 90 CHS PV -90,00 Valor líquido liberado 92,16 FV 92,16 Valor total pago 1 n 1,00 Prazo em meses i 2,40 Taxa efetiva mensal 12) a) Sendo: OVER = 3,3% a.m. (0,033) dias úteis ( du ) = 21 (efetiva) i = ?

Temos: 130


�

��

� +=du

i

130

0,0331(efetiva)

21

−��

��

�+=i

=(efetiva) i 0,0234... ou 2,34% a.m.

b) Sendo: (efetiva) i = 4,7% (0,047) dias úteis ( du ) = 23 OVER = ?

Temos: ( )[ ] 3011OVER1

×−+= dui

( )[ ] 301047,01OVER 231

×−+=

OVER = 0,05997... ou 5,997% a.m. 13) Solução:

Over (1º dia) = 30

027,0 = 0,0009 ou 0,09% a.du.

Over (2º dia) = 30

029,0 = 0,000966667 ou 0,0967% a.du.

Over (3º dia) =30

03,0 = 0,001 ou 0,1% a.du.

Spread = 0,4% (0,004)

Admitindo-se ser esta taxa (spread) válida para os três dias da operação, tem-se o seguinte custo efetivo:

( )( )( )( )[ ] 1004,1001,1000966666,10009,1 −=i

...00688,0=i ou 0,688% para os 3 dias úteis

( ) 100688,1 3/21 −=i

=i 0,0492... ou 4,9% a.m. 14) Sendo: OVER = 2,5% a.m. (0,025) dias úteis ( du ) = 22

Spread = 22% a.a. (0,22) (efetiva) i = ? Primeiramente, encontramos a taxa efetiva mensal a partir da taxa over:

Temos: 130


�

��

� +=du

i

130

0,0251(efetiva)

22

−��

��

�+=i

=(efetiva) i 0,0185... ou 1,85% a.m.

Agora, encontramos o spread mensal:

122,0112 −+=i

=i 0,0167... ou 1,67% a.m. Por fim, determinamos a taxa efetiva mensal de juros:

( ) ( )[ ] 1018494637,01016708964,01 −+×+=i

=i 0,0355... ou 3,55% a.m. 15) Sendo: Custo efetivo = 1,6% a.m. (0,016) Prazo da operação = 60 dias Rentabilidade desejada = 2% a.m. (0,02) Prazo de retenção dos recursos= ? Supondo um empréstimo de $ 100,00, temos:

( ) ( )2016,100,10002,100,100 =n

032256,102,1 =n

032256,1log02,1log =×n

02,1log

032256,1log=n

...60,1=n meses

Logo: 30603155876,1 ×=n ...1,48=n dias Prazo de retenção: 60 – 48,1 = 11,9 dias Demonstração: $ 100,00 60 (dias)

0 11,9 48,1 dias $ 103,2256

( ) 30/1,48100,1002256,103 i+=

( ) 032256,11 ...6033,1 =+ i

1032256,1...6033,1 −=i

0199977,0=i ou 2,0% a.m., conforme desejado pela instituição Demonstração na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 0 g jCF 0,00 Insere carência 11 g jN 11,00 Prazo de retenção 100 CHS g jCF -100,00 Empréstimo hipotético 0 g jCF 0,00 Insere carência 47 g jN 47,00 Diferença em dias 103,2256 g jCF -103,23 Valor recebido f IRR 0,07 Taxa efetiva diária da operação 100 < ÷ > 1 <+> 1,00 Transformação para taxa mensal 30 xy 1 <–> 100 <×> 2,00 Taxa efetiva mensal da operação 16) A representação gráfica do fluxo de caixa do floating apresenta-se da seguinte maneira: Valor Nominal $ 18.000,00 Desconto: $ 18.000,00 × ( )[ ] 1018,01 3 −+ (989,60)

Valor Liberado: $ 17.010,40 A representação gráfica do fluxo de caixa do floating apresenta-se da seguinte : $ 18.000,00 90 (dias)

0 4

( )3018,1 00,000.18 $ Igualando-se os valores financeiros em um mesmo momento, tem-se:

( ) ( )330/4

3 1018,1

00,000.18018,100,000.18 i+×=

Resolvendo-se com o auxílio de uma calculadora financeira:

i (IRR) = 1,88% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Insere valor nulo de entrada 0 g jCF 0,00 Insere carência 3 g jN 3,00 Prazo de retenção 18.000 CHS g jCF -18.000,00 Valor do empréstimo 0 g jCF 0,00 Insere carência 85 g jN 85,00 Diferença em dias 18.989,6 g jCF 18.989,60 Valor pago f IRR 0,06 Custo efetivo diário da operação 100 < ÷ > 1 <+> 1,00 Transformação para custo mensal 30 xy 1 <–> 100 <×> 1,88 Custo efetivo mensal da operação

Resolvendo da maneira simplificada:

( ) 11,018 9094

−=i =i 0,0188... ou 1,88% a.m.

17) a) Sendo: i (p/ 19 dias) = 1,15% (0,0115)

i (mensal) = ?

Temos: ( ) 10115,01 19

30

−+=i =i 0,0182... ou 1,82% a.m.

b) Sendo: i (p/ 42 dias) = 2,05% (0,0205)

i (mensal) = ?

Temos: ( ) 10205,01 42

30

−+=i =i 0,0146... ou 1,46% a.m. 18) a) Sendo: i (p/ 54 dias) = 4,13% (0,0413)

i (anual) = ?

Temos: ( ) 10413,01 54

360

−+=i ...3097,0=i ou 30,97% a.a.

b) � Sendo: OVER = 1,89% a.m. (0,0189)

dias úteis ( du ) = 23 OVER (mensal) = ?

Temos: ( )[ ] 3011OVER1

×−+= dui

( )[ ] 3010189,01OVER 231

×−+=

OVER = 0,0244... ou 2,44% a.m. � Sendo: i = 1,89% a.m (0,0189) Prazo (n) = 53 dias Taxa de desconto (d) = ?

Temos: ( ) 10189,01 30

53

−+=d =d 0,0336... ou 3,36% p/ 53 dias

i

id

+=

1

033631542,01

033631542,0

+=d

...0325,0=d ou 3,25% p/ 53 dias

3053

032537264,0×=d

=d 0,0184... ou 1,84% a.m.

� Sendo: i = 1,89% a.m (0,0189) I (inflação) = 0,95% a.m. (0,095) Real (r) = ?

Temos: 111 −

++=

Ii

r

10095,01

0189,01−

++

=r

=r 0,0093 ou 0,93% a.m.

19) Sendo: OVER = 2,9% a.m. (0,029) dias úteis ( du ) = 5 Spread = 0,06% a.d. (0,0006) (efetiva) i = ?

Temos: ( ) 1 Spread130

OVER1 −

��

�

�+×�

�

��

� +=du

i

( ) 150006,0130029,0

15

−��

�

�×+×�

�

��

� +=i

...0079,0=i ou 0,79% p/os 5 dias úteis

Logo, a taxa equivalente mensal é:

( ) 1 60,007857211i 730

−+=

...0341,0=i ou 3,41% a.m.

20) Sendo: i = 32,5% a.a. (0,325) Temos: 1325,0112 −+=i =i 0,0237... ou 2,37% a.m. a) Sendo: Prazo (n) = 53 dias Taxa de desconto (d) = ?

Temos: ( ) 1023728176,01 30

53

−+=d =d 0,0423... ou 4,23% p/ 53 dias

i

id

+=

1

042300373,01

042300373,0

+=d

=d 0,0406 ou 4,06% p/ 53 dias

3053

040583669,0×=d

=d 0,02297... ou 2,297% a.m. b) Sendo: (efetiva) i = 2,37% a.m. (0,0237) dias úteis ( du ) = 23 OVER = ?

Temos: ( )[ ] 3011OVER1

×−+= dui

( )[ ] 3010237,01OVER 231

×−+=

OVER = 0,03057... ou 3,057% a.m. 21) Sendo: Custo de captação = 2,48% a.m. (taxa over)

Dias úteis = 21 du Encaixe = 10% s/ recursos do empréstimo, sem remuneração. Recolhido no ato da liberação do empréstimo

a) Custo efetivo mensal de captação do banco = ?

Taxa over = 2,48% a.m. (21 du)

Taxa efetiva = 1300248,0

121

−��

��

� +

= 0,0175… ou 1,75% a.m.

Supondo um empréstimo de $ 100,00, temos a seguinte representação gráfica: $ 100,00 ( )0175,1 – $ 10,00 = $ 91,75 0 1 (mês)

$ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00

Custo efetivo (i) = a.m. %94,1ou ...0194,0100,9075,91 =−��

��

�

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 90 CHS PV -90,00 Valor líquido liberado 91,75 FV 91,75 Valor total pago 1 n 1,00 Prazo em meses i 1,94 Taxa efetiva mensal b) Taxa efetiva de repasse com Spread = ( )( )[ ] a.m. 2,77%ou ...0277,0101,10175,1 =− Supondo um empréstimo de $ 100,00, temos a seguinte representação gráfica: $ 100,00 ( )0277,1 – $ 10,00 = $ 92,77 0

1 (mês) $ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00

Custo efetivo (i) = a.m. %3,0ou ...0308,0100,9077,92 =−��

��

�

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 90 CHS PV -90,00 Valor líquido liberado 92,77 FV 92,77 Valor total pago 1 n 1,00 Prazo em meses i 3,08 Taxa efetiva mensal 22) Admitindo um empréstimo de $ 100,00, temos: Valor do empréstimo: $ 100,00 Prazo: 4 meses Taxa efetiva: 17,5% a.a. (0,175) IOF: 4% (0,04) s/ principal Despesa cobrança: 0,5% (0,005) s/ montante Determinamos inicialmente o valor liberado pela instituição financeira:

Valor da promissória: $ 100,00

IOF: 0,04 100,00 $ × (4,00)

Valor Líquido Liberado: 96,00

Valor de Pagamento (montante):

( ) 106,05 $ 005,1175,100,100 $ 3/1 =×× Agora, determinamos o custo efetivo

1046875,0100,9605,106 =−=i ou 10,47% p/ 4 meses

( ) 11046875,01 3 −+=i

...3481,0=i ou 34,81% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 96 CHS PV -96,00 Valor líquido captado 106,05 FV 106,05 Valor total pago 1 n 1,00 Prazo em meses i 10,47 Custo efetivo quadrimestral

xy 3 1 100 >+<>÷< 1,35 Transformação para taxa anual >×<>−< 001 1 34,81 Custo efetivo anual da captação

23) Sendo: OVER = 0,0691% a.du. (0,000691)

Dias úteis no mês ( du ) = 20 OVER (mensal) = ?

OVER (anual) = ? Temos: 30000691,0(mensal) OVER ×=

02073,0 OVER = ou 2,073% a.m.

( ) 1000691,01(anual) OVER 252 −+= 1901,0 OVER = ... ou 19,01% a.a.

24) Sendo: Valor da aplicação: $ 300.000,00 Valor de resgate: $ 313.500,00 Prazo: 59 dias Dias úteis 39 dias Temos:

a) 1Aplicação da NominalValor

Resgatado LíquidoValor −=i

=i 0,045 ou 4,5% p/ 59 dias (período)

b) ( ) 1045,01 5930

−+=i

=i 0,0226... ou 2,26% a.m.

c) ( ) 1045,01 591

−+=i

=i 0,000746... ou 0,0746% a.dc. (ao dia corrido)

d) ( ) 1045,01 391

−+=i

=i 0,001129... ou 0,1129% a.du. (ao dia útil)

e) ( )[ ] 3011OVER1

×−+= dui

( )[ ] 301045,01OVER 391

×−+=

OVER = 0,0339... ou 3,39% a.m.o. (ao mês over) f) ( ) 1001129275,01 252 −+=i

=i 0,3289... ou 32,89% a.du. 25) Sendo: OVER = 2,28% a.m. (0,0228) OVER (anual) = ?

Temos: 1300228,0

1252

−��

��

� +=Over

=Over 0,211… ou 21,1% a.a.

26) Sendo: OVER = 16,5% a.a. (0,165)

Dias úteis no mês ( du ) = 20 OVER (mensal) = ? i (efetiva) = ?

Temos: ( ) 301165,01(mensal) 252 ×−+=Over

=Over 0,018187… ou 1,8187% a.m.

130


�

��

� +=du

i

130

0,01818661(efetiva)

22

−��

��

� +=i

=(efetiva) i 0,0134... ou 1,34% a.m.

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 7 – Fluxo de Caixa 1) a) Sendo: i = 2,9% a.m. (0,029) n = 36 meses PMT = $ 1.650,00 (iguais e sucessivas) PV = ? Temos: PV = ? 1.650,00 1.650,00 1.650,00 1.650,00

0 1 2 3 36 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

36) (2,9%,00,650.1 FPVPV ×=

029,0)029,01(1

00,650.136−+−×=PV

161686,2200,650.1 ×=PV

=PV $ 36.566,78

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.650 CHS PMT -1.650,00 Valor da prestação 2,9 i 2,90 Taxa de juros 36 n 36,00 Quantidade de prestações PV 36.566,78 Valor presente

b) Sendo: i = 2,9% a.m. (0,029) n = 24 meses PMT = $ 850,00 (iguais e sucessivas) c = 2 meses

PV = ? Temos: PV = ? 850,00 850,00 850,00 850,00

0 1 2 3 4 5 26 (meses) carência

) ,( ) ,( ciFACniFPVPMTPV ××=

n

n

iii

PMTPV)1(

1)1(1+

×+−×=−

FAC(FPVPV )2 %,9,224) (2,9%,00,850 ××=

2

24

)029,1(1

029,0)029,01(1

00,850 ×+−×=−

PV

944429,0119429,1700,850 ××=PV

=PV $ 13.742,87

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 850 CHS PMT -850,00 Valor da prestação 2,9 i 2,90 Taxa de juros 24 n 22,00 Quantidade de prestações PV 14.551,51 Valor presente no momento 2 1,029 < ENTER > 1,03 Taxa de Juros 2 xy < ÷ > 13.742,87 Valor presente c) Sendo: i = 2,9% a.m. (0,029) ou ( ) =−+ 1029,01 3 8,95...% a.t. (0,089547389) n = 10 prestações trimestrais PMT = $ 2.800,00 (iguais e sucessivas) PV = ?

Temos: PV = ? 2.800,00 2.800,00 2.800,00 2.800,00

0 1 2 3 10 (trimestres)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

10) (8,95%,00,800.2 FPVPV ×=

089547389,0)089547389,01(1

00,800.210−+−×=PV

430462917,600,800.2 ×=PV

=PV $ 18.005,30

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2.800 CHS PMT -2.800,00 Valor da prestação 8,9547389 i 8,95 Taxa de juros 10 n 10,00 Quantidade de prestações PV 18.005,30 Valor presente d) Sendo: i = 2,9% a.m. (0,029) ou ( ) =−+ 1029,01 2 5,88% a.b. (0,058841) n = 5 prestações bimestrais PMT representado no fluxo abaixo PV = ? Temos: PV = ? 4.200,00 5.300,00 7.700,00 10.900,00 15.000,00 0 1 2 3 4 5(bimestres)

( ) ( ) ( ) ( )5432 058841,100.000.15

058841,100,900.10

058841,100,700.7

058841,100,300.5

058841,100,200.4 ++++=PV

35,270.1169,671.832,486.631,727.460,966.3 ++++=PV

=PV $ 35.122,27 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Valor no momento zero 4.200 g jCF 4.200,00 Valor da prestação no mês 1 5.300 g jCF 5.300,00 Valor da prestação no mês 2 7.700 g jCF 7.700,00 Valor da prestação no mês 3 10.900 g jCF 10.900,00 Valor da prestação no mês 4 15.000 g jCF 15.000,00 Valor da prestação no mês 5 5,8841 i 5,88 Taxa de juros f NPV 35.122,27 Valor presente e) Sendo: i = 2,9% a.m. (0,029) n = 6 prestações PMT = $ 1.200,00 PV = ? Temos: PV = ? 1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 3 7 11 25 28 33 (mês)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3328251173 029,100,200.1

029,100,200.1

029,100,200.1

029,100,200.1

029,100,200.1

029,100,200.1 +++++=PV

17,46795,53821,58722,87637,98237,101.1 +++++=PV

=PV $ 4.553,29

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Valor à vista 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 2 g jN 0,00 Meses sem pagamento de prestação 1.200 g jCF 1.200,00 Valor da prestação no mês 3 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento de prestação 3 g jN 0,00 Meses sem pagamento de prestação

1.200 g jCF 5.300,00 Valor da prestação no mês 7 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento de prestação 3 g jN 0,00 Meses sem pagamento de prestação 1.200 g jCF 7.700,00 Valor da prestação no mês 11 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento de prestação 13 g jN 0,00 Meses sem pagamento de prestação 1.200 g jCF 10.900,00 Valor da prestação no mês 25 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento de prestação 2 g jN 0,00 Meses sem pagamento de prestação 1.200 g jCF 15.000,00 Valor da prestação no mês 28 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento de prestação 4 g jN 0,00 Meses sem pagamento de prestação 1.200 g jCF 15.000,00 Valor da prestação no mês 33 2,9 i 1,29 Taxa de juros f NPV 4.553,29 Valor presente 2) a) Sendo: i = 1,85% a.m. (0,0185) n = 12 prestações mensais PMT = $ 900,00 (iguais e sucessivos) FV (12º mês) = ? Temos:

900,00 900,00 900,00 900,00

0 1 2 3 12 (meses)

) ,( niFFVPMTFV ×=

ii

PMTFVn 1)1( −+×=

12) (1,85%,00,900 FPVFV ×=

0185,01)0185,01(

00,90012 −+×=FV

299524,1300,900 ×=FV

=FV $ 11.969,57

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 900 CHS PMT -900,00 Valor do depósito 1,85 i 1,85 Taxa de juros 12 n 12,00 Prazo em meses FV 11.969,57 Valor do montante no 12º mês b) Sendo: i = 1,85% a.m. (0,0185) n = 12 prestações mensais PMT = $ 900,00 (iguais e sucessivos) FV (15º mês) = ? Para encontrarmos o montante acumulado no 15º mês, basta capitalizarmos 3 meses o valor encontrado na resolução anterior. Assim, temos:

) ,( ) ,( niFCCniFFVPMTFV ××=

nn

ii

iPMTFV )1(

1)1( +×−+×=

3) (1,85%,12) (1,85%,00,900 FCCFPVFV ××=

312

)0185,01(0185,0

1)0185,01(00,900 +×−+×=FV

056533,1299524,1300,900 ××=FV

=FV $ 12.646,25

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 900 CHS PMT -900,00 Valor do depósito 1,85 i 1,85 Taxa de juros 12 n 12,00 Prazo em meses FV 11.969,57 Valor do montante no 12º mês 1,0185 ENTER 1,02 Taxa de juros 3 xy < × > 12.646,25 Valor do montante no 15º mês c) Sendo: i = 1,85% a.m. (0,0185) n = 12 prestações mensais PMT = $ 900,00 (iguais e sucessivos) FV (24º mês) = ?

Para encontrarmos o montante acumulado no 24º mês, basta capitalizarmos 12 meses o valor encontrado na resolução do item a. Assim, temos:

) ,( ) ,( niFCCniFFVPMTFV ××=

nn

ii

iPMTFV )1(

1)1( +×−+×=

12) (1,85%,12) (1,85%,00,900 FCCFPVFV ××=

1212

)0185,01(0185,0

1)0185,01(00,900 +×−+×=FV

246041,1299524,1300,900 ××=FV

=FV $ 14.914,58

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 900 CHS PMT -900,00 Valor do depósito 1,85 i 1,85 Taxa de juros 12 n 12,00 Prazo em meses FV 11.969,57 Valor do montante no 12º mês 1,0185 ENTER 1,02 Taxa de juros 12 xy < × > 14.914,58 Valor do montante no 15º mês 3) Sendo: PV = $ 12.000,00 (60% de $ 20.000,00)

n = 12 prestações mensais i = 2,5% a.m. (0,025)

PMT = ? Temos: PV = 12.000,00 PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 12 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTn−+−×= )1(1

00,000.12

12) (2,5%,00,000.12 FPVPMT ×=

025,0)025,01(1

00,000.1212−+−×= PMT

257765,1000,000.12 ×= PMT

257765,1000,000.12=PMT

85,169.1 $ =PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 12.000 CHS PV -12.000,00 Valor do saldo à pagar 2,5 i 2,50 Taxa de juros 12 n 12,00 Prazo em meses PMT 1.169,85 Valor da prestação mensal 4) Conforme o enunciado no exercício, sabemos que os fluxos são contínuos, ou seja, não são

fluxos individuais, ocorrendo um ao término da seqüência do outro. Porém, para ficar mais

claro o entendimento, vamos separa-los momentaneamente da seguinte forma:

Fluxo a: n = 10 prestações mensais

PMT = $ 700,00 i = 4,1% a.m. (0,041) PV = ?

Fluxo b: n = 6 prestações trimestrais

PMT = $ 2.800,00 i = 4,1% a.m. ou ( ) )(0,1281... a.t. %81,121041,01 3 =−+ PV = ?

Representando graficamente os dois fluxos, temos:

PV = ? 700,00 700,00 700,00 700,00 Fluxo a:

0 1 2 3 10 (meses)

PV = ? 2.800,00 2.800,00 2.800,00 2.800,00

Fluxo b: 0 1 2 3 6 (trimestres)

Vale lembrar que os fluxos a e b são um só, ocorrendo o b logo após o a. Determinamos, então o valor presente na data zero do fluxo total (a + b): Fluxo a: ) ,( 111 niFPVPMTPV ×=

Fluxo b: ) ,( ) ,( 2222 niFACniFPVPMTPV ××= 1 Fluxo total: ) ,( ) ,( ) ,( 22211 niFACniFPVPMTniFPVPMTPVTotal ××+×=

) ,( ) ,( ) ,( 22211 niFACniFPVPMTniFPVPMTPVTotal ××+×=

n

nn

TOTAL iii

PMTi

iPMTPV

)1(1)1(1)1(1

21 +×+−×++−×=

−−

10) (4,1%,06) (12,81%,00,800.210) (4,1%,00,700 221 FACFPVFPVPVTOTAL ××+×=

10

610

)041,01(1

128112,0)128112,01(1

00,800.2041,0

)041,01(100,700

+×+−×++−×=

−−

TOTALPV

669103,0018657,400,800.2070669,800,700 ××+×=TOTALPV

37,178.13 $ =TOTALPV

Determinamos, agora, o valor futuro ao final do 19º mês: Fluxo a: ) ,( ) ,( 1111 niFCCniFFVPMTFV ××= 1 Como o fluxo b ocorre após a seqüência de a, temos que utilizar o fator de atualização (ou de valor presente) – FAC (i, n). Ver capítulo 2, item 2.1.

Fluxo b: ) ,( 222 niFFVPMTFV ×= 2 Fluxo total:

),() ,( ) ,( ) ,( 222111 niFCCniFPVPMTniFCCniFFVPMTPVTotal ××+××=

nn

nn

TOTAL ii

iPMTi

ii

PMTFV )1()1(1

)1(1)1(

21 +×+−×++×−+×=−

9) FCC(4,1%,6) (12,81%,00,800.29) (4,1%,10) (4,1%,00,700 211 ××+××= FPVFFVFFVFVTOTAL

9

69

10

)041,01(128112,0

)128112,01(100,800.2)041,01(

041,01)041,01(

00,700 +×+−×++×−+×=−

TOTALFV

435676,1020670,400,800.2435676,1061930,1200,700 ××+××=TOTALFV

=TOTALFV $ 28.276,50

De forma mais simples, o valor futuro (ao final do 19º mês), poderia também ser calculado

da seguinte forma:

( )19019 1 iPVFV +×=

( )1919 041,0137,178.13 +=FV

=19FV $ 28.276,50

5) Sendo: n = 15 pagamentos mensais

PMT = $ 2.400,00 (iguais e sucessivas) i = 3,7% a.m. (0,037)

Valor presente no mês 6 = ? Temos: 2 Utilizamos novamente o fator de atualização (ou de valor presente) – FAC (i, n).

2.400,00 2.400,00 2.400,00 2.400,00

0 1 2 3 15 (meses) Valor presente no mês 6 = ) ,( ) ,( niFPVPMTniFFVPMT ×+×

( )

ii

PMTii

PMTPVnn −+−×+−+×= )1(111

6

9) FPV(3,7%,2.400,006) (3,7%,00,400.26 ×+×= FFVPV

( )

037,0)037,01(1

00,400.2037,0

1037,0100,400.2

96

6

−+−×+−+×=PV

27,091.1856,799.156 +=PV

=6PV $ 33.890,84

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2.400 CHS PMT -2.400,00 Valor do pagamento mensal 3,7 i 3,70 Taxa de juros 6 n 6,00 Momento do pagamento FV 15.799,56 Valor vencido 0 FV 0,00 Limpa o FV da calculadora 2.400 CHS PMT -2.400,00 Valor do pagamento mensal 3,7 i 3,70 Taxa de juros 9 n 9,00 Antecipação do pagamento PV 18.091,27 Valor vincendo < + > 33.890,84 Valor total pago 6) Neste exercício, os termos do fluxo de caixa se verificam em intervalos irregulares ou não

periódicos. O total das parcelas (PMT) descapitalizados, tem de ser igual ao valor da dívida

no momento atual (PV).

Utilizando a expressão:

jn

j

iPMTjPV )1/(0

+= =

,

Temos:

3090

3066

3039

3017

)031,01()031,01()031,01()031,01(

00,300.24

++

++

++

+= PMTPMTPMTPMT

095912791,1069471126,1040486057,1017450393,100,300.24

PMTPMTPMTPMT +++=

��

��

� +++=095912791,1

1069471126,1

1040486057,1

1017450393,1

1 00,300.24 PMT

��

��

� +++=240779383,1

132188066,1160180348,1192499769,1219498652,1 00,300.24 PMT

��

��

�=240779383,1704366835,4

00,300.24 PMT

791461157,300,300.24 ×= PMT

791461157,300,300.24=PMT

14,409.6 $=PMT

7) Sendo: n = 6 pagamentos

PMT = $ 72,00 (iguais e sucessivas) i = 3,9% a.m. (0,039)

Valor da entrada = ? Temos: PV 72,00 72,00 72,00 72,00

1 2 3 6 (pagamentos)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

6) (3,9%,00,72 FPVPV ×=

039,0)039,01(1

00,726−+−×=PV

67,378=PV

Valor da entrada = $ 650,00 – $ 378,67 ∴Valor da entrada = $ 271,33

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 72 PMT -72,00 Valor do pagamento mensal 3,9 i 3,90 Taxa de juros 6 n 6,00 Quantidade de pagamentos PV -378,67 Valor presente dos pagamentos 650 <+> 271,33 Valor da entrada 8) Sendo: Valor da dívida = $ 17.600,00 n = 5 parcelas mensais

Carência = 1 mês i = 23,5% a.a. (0,235) PMT = ? (decrescentes na razão aritmética de 10%)

Representando graficamente, temos: PV = $ 17.600,00 1 2 3 4 5 6

PMT 0,9 PMT 0,8 PMT 0,7 PMT 0,6 PMT

360180

360150

360120

36090

36060

)235,01(

60,0

)235,01(

70,0

)235,01(

80,0

)235,01(

90,0

)235,01(

00,100,600.17

+

×+

+

×+

+

×+

+

×+

+

×= PMTPMTPMTPMTPMT

111305539,16,0

091929416,17,0

072891124,18,0

054184774,19,0

035804578,11

00,600.17PMTPMTPMTPMTPMT ×+×+×+×+×=

��

��

� ++++=111305539,1

6,0091929416,1

7,0072891124,1

8,0054184774,1

9,0035804578,1

1 00,600.17 PMT

( )539905525,0641067078,0745648819,0853740276,0965433076,0 00,600.17 ++++= PMT

43,74579477 00,600.17 ×= PMT

43,7457947700,600.17

=PMT

60,698.4 1 =PMT

74,228.490,060,698.4 2 =×=PMT 88,758.380,060,698.4 3 =×=PMT 02,289.370,060,698.4 4 =×=PMT 16,819.260,060,698.4 5 =×=PMT

9) Sendo: FV = 14.000,00

n = 6 meses PMT = $ 1.500,00 (iguais e sucessivas) i = 4,5% a.m. (0,045)

Depósito inicial = ? Representando graficamente, temos: PV = ? FV = 14.000,00

1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.500,00 0 1 2 3 4 5 6 Primeiramente, encontramos o valor presente do fluxo de pagamentos:

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

6) (4,5%,00,500.1 FPVPV ×=

045,0)045,01(1

00,500.16−+−×=PV

81,736.7 $ =PV

Depois, encontramos o valor presente do valor que a pessoa deseja acumular:

niFV

PV)1( +

=

6)045,01(00,000.14

+=PV

54,750.10 $ =PV

O valor do depósito inicial é a diferença dos dois Valores Presentes: ∴ Depósito inicial = $ 10.750,54 – $ 7.736,81 = $ 3.013,73 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 14.000 FV 14.000,00 Valor desejado 1.500 CHS PMT 1.500,00 Valor do depósito mensal 4,5 i 4,50 Taxa de juros 6 n 6,00 Quantidade de pagamentos PV -3.013,73 Valor do depósito inicial 10) Sendo: PV = $ 18.000,00 – $ 4.000,00 (entrada) = $ 14.000,00

n = 4 meses PMT = $ 3.845,05 (iguais e sucessivas) i = ?

Temos:

PV= 14.000,00 3.845,05 3.845,05 3.845,05 3.845,05

0 1 2 3 4 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

)4 ,(05,845.300,000.14 iFPV×=

432 )1(05,845.3

)1(05,845.3

)1(05,845.3

)1(05,845.3

00,000.14iiii +

++

++

++

=

Resolvendo-se:

=i 3,87% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 14.000 PV 14.000,00 Valor à vista menos a entrada 3.845 CHS PMT -3.845,00 Valor da prestação 4 n 4,00 Quantidade de prestações i 3,87 Custo efetivo mensal 11) A alternativa mais atraente para o comprador é aquela que apresentar menor valor presente.

Alternativa a) Entrada = $ 400,00

n = 8 prestações mensais PMT = $ 720,00 (iguais e sucessivas) i = 3,5% a.m. (0,035)

PV = ? Representando graficamente, temos: PV 720,00 720,00 720,00 720,00

0 1 2 3 8 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

8) (3,5%,00,720 FPVPV ×=

035,0)035,01(1

00,7208−+−×=PV

873956,600,720 ×=PV

=PV $ 4.949,25

Somando o valor da entrada, temos: =TOTALPV $ 4.949,25 + $ 400,00 = $ 5.349,25 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 720 CHS PMT -720,00 Valor da prestação 8 n 8,00 Quantidade de prestações 3,5 i 3,50 Taxa de juros PV 4.949,25 Valor presente sem entrada 400 <+> 5.349,25 Valor presente total Alternativa a) Entrada = $ 650,00

n = 15 prestações mensais PMT = $ 600,00 (iguais e sucessivas) i = 3,5% a.m. (0,035)

PV = ? Representando graficamente, temos: PV 650,00 650,00 650,00 650,00

0 1 2 3 15 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

15) (3,5%,00,600 FPVPV ×=

035,0)035,01(1

00,60015−+−×=PV

517411,1100,600 ×=PV

=PV $ 6.910,45

Somando o valor da entrada, temos: =TOTALPV $ 6.910,45 + $ 650,00 = $ 7.560,45 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 600 CHS PMT -600,00 Valor da prestação 15 n 15,00 Quantidade de prestações 3,5 i 3,50 Taxa de juros PV 6.910,45 Valor presente sem entrada 650 <+> 7.560,45 Valor presente total A alternativa mais atraente para o comprador é a alternativa a, pois apresenta menor valor presente. 12) Sendo: n = 15 pagamentos

PMT = $ 2.100,00 (iguais e sucessivas) i = 2,2% a.m. (0,022)

PV = ? Como o primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 dias, devemos primeiramente encontrar o valor presente e, em seguida, capitalizar 15 dias. Representando graficamente, temos: PV 2.100,00 2.100,00 2.100,00 2.100,00

0 1 2 3 15 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

15) (2,2%,00,100.2 FPVPV ×=

022,0)022,01(1

00,100.215−+−×=PV

659074,1200,100.2 ×=PV

=PV $ 26.584,05

Capitalizando 15 dias, temos:

niPVFV )1( +=

21

)022,01(05,584.26 +=FV

FV = $ 89,874.26 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2.100 CHS PMT -2.100,00 Valor dos pagamentos 15 n 15,00 Quantidade de pagamentos 2,2 i 2,20 Taxa de juros PV 26.584,05 Valor presente antecipado 1,022 ENTER 1,02 Taxa de juros 2 xyx /1 <×> 89,874.26 Valor presente 13) Para determinarmos até que preço é interessante adquirir o sítio à vista, basta encontrarmos o valor presente (PV) dos fluxos, ou seja: Fluxo a: Entrada de $ 30.000,00 Fluxo b: n = 20 prestações mensais

PMT = $ 1.100,00 i = 2,5% a.m. (0,025) PV = ?

Fluxo c: n = 6 prestações semestrais

PMT = $ 7.500,00 i = 2,5% a.m. ou ( ) 18)(0,1596934 a.s. ...%97,151025,01 6 =−+ PV = ?

Representando graficamente os fluxos, temos:

PV = ? 1.100,00 1.100,00 1.100,00 1.100,00 Fluxo b:

0 1 2 3 20 (meses)

PV = ? 7.500,00 7.500,00 7.500,00 7.500,00

Fluxo c: 0 3 9 12 33 (meses)

Vale lembrar que os fluxos b e c ocorrem simultaneamente. Determinamos, então o valor presente na data zero do fluxo total (a + b + c): Fluxo a: =1PV $ 30.000,00 Fluxo b: ) ,( 222 niFPVPMTPV ×=

Fluxo c: ) ,( ) ,( 3333 niFCCniFPVPMTPV ××= 3 Fluxo total:

) ,( ) ,( ) ,( 333221 niFCCniFPVPMTniFPVPMTPVPVTotal ××+×+=

nnn

TOTAL ii

iPMT

ii

PMTPVPV )1()1(1)1(1

321 +×+−×++−×+=−−

...00,500.720) (2,5%,200,100.100,000.30 ×+×+= FPVPVTOTAL

3) (2,5%, 6) ,(15,97...%... 3 FCCFPV ×

...00,500.7025,0

)025,01(100,100.100,000.30

20

×++−×+=−

TOTALPV

36

)025,01(159693418,0

)159693418,01(1... +×+− −

3 Como o fluxo c inicia-se a partir do final do 3º, ao encontrarmos o valor presente utilizando uma taxa semestral de juros, o PV estará no momento –3 (três períodos antes o momento zero). Logo, temos que utilizar o fator de atualização (ou de valor presente) – FCC (i, n) para capitalizar o valor presente para o momento zero.

076890625,1687730425,300,500.758916228,1500,100.100,000.30 ××+×+=TOTALPV =TOTALPV $ 76.932,70

Portanto, é interessante adquirir o sítio à vista por até $ 76.932,70 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.100 CHS PMT -1.100,00 Valor da prestação do fluxo b 2,5 i 2,50 Taxa de juros mensal da operação 20 n 20,00 Quantidade de prestações de b PV 17.148,08 Valor presente do fluxo b 7.500 CHS PMT -7.500,00 Valor da prestação do fluxo c 15,96934180 i 15,97 Taxa de juros semestral da operação 6 n 6,00 Quantidade de prestações de c PV 27.657,98 Valor presente no momento –3 1,025 < ENTER > 1,03 Taxa de juros mensal 3 xy <×> 29.784,62 Valor presente do fluxo c < + > 46.932,70 Valor presente do fluxo b + c 30.000 < + > 76.932,70 Valor presente do fluxo total 14) a) Sendo: PV = $ 1.120,00

n = 5 meses PMT = $ 245,00 (iguais e sucessivas) i = ?

Temos: PV = 1.120,00 245,00 245,00 245,00 245,00 245,00

0 1 2 3 4 5 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

)5 ,(00,24500,120.1 iFPV×=

5432 )1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

00,120.1iiiii +

++

++

++

++

=

Resolvendo-se:

=i 4,69% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 245 CHS PMT -245,00 Valor da prestação 875 PV 875,00 Valor à vista 4 n 4,00 Quantidade de prestações i 4,69 Custo efetivo mensal b) Sendo: PV = $ 1.120,00 – $ 245,00 = $ 875,00


Temos: PV = 875,00 245,00 245,00 245,00 245,00

0 1 2 3 4(meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

)4 ,(00,24500,875 iFPV×=

432 )1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

00,875iiii +

++

++

++

=

Resolvendo-se:

=i 3,06

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 245 CHS PMT -245,00 Valor da prestação 1.120 PV 1.120,00 Valor à vista 5 n 5,00 Quantidade de prestações i 3,06 Custo efetivo mensal c) Sendo: PV = $ 1.120,00

n = 5 meses c = 1 mês PMT = $ 245,00 (iguais e sucessivas) i = ?

Temos: PV = 1.120,00 245,00 245,00 245,00 245,00 245,00

1 2 3 4 5 6 carência


n

n

iii

PMTPV)1(

1)1(1+

×+−×=−

FAC(iiFPV )1 ,5) ,(00,24500,875 ××=

15432 )1(1

)1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

)1(00,245

00,875iiiiii +

×+

++

++

++

++

=

Resolvendo-se:

=i 2,28% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.120 CHS g 0CF -1.120,00 Valor à vista 0 g jCF 0,00 Fluxo no mês 1 245 g jCF 245,00 Valor da prestação 5 g jN 5,00 Quantidade de prestações f IRR 2,28 Custo efetivo mensal 15) Para determinarmos até que preço é interessante adquirir o imóvel à vista, basta encontrarmos o valor presente dos fluxos, ou seja: Fluxo a: Entrada de $ 10.000,00 Fluxo b: n = 4 pagamentos trimestrais

PMT = $ 5.000,00 i = 1,8% a.m. (0,018) ou ( ) 32)(0,0549778 a.t. ...%50,51018,01 3 =−+ PV = ?

Fluxo c: n = 60 prestações mensais

PMT = $ 800,00

i = 1,8% a.m. PV = ?

Representando graficamente os fluxos, temos:

PV = ? 5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 Fluxo b: 0 30 120 210 300 390 (dias)

PV = ? 800,00 800,00 800,00 Fluxo c:

0 1 2 3 60 (meses)

Vale lembrar que os fluxos b e c ocorrem simultaneamente. Determinamos, então o valor presente na data zero do fluxo total (a + b + c): Fluxo a: =1PV $ 10.000,00 Fluxo b: ) ,( ) ,( 2222 niFACniFPVPMTPV ××=

Fluxo c: ) ,( ) ,( 3333 niFACniFPVPMTPV ××= Fluxo total:

) ,( ) ,( ) ,( ) ,( 3332221 niFACniFPVPMTniFACniFPVPMTPVPVTotal ××+××+=

n

n

n

n

TOTAL iii

PMTii

iPMTPVPV

)1(1)1(1

)1(1)1(1

321 +×+−×+

+×+−×+=

−−

... 800,00 1) (1,8%, 4) (5,50...%,200,000.500,000.10 2 ×+××+= FACFPVPVTOTAL

1) (1,8%, 60) (1,8%,... 3 FACFPV ×

...00,800018,01

1

054977832,0

)054977832,01(100,000.500,000.10

4

×++

×+−

×+=−

TOTALPV

018,011

018,0)018,01(1

...60

+×+− −

982318271,050705413,3600,800982318271,0505329332,300,000.500,000.10 ××+××+=TOTALPV

=TOTALPV $ 55.905,98

Portanto, é interessante adquirir o sítio à vista por até $ 55.905,98 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 5.000,00 CHS PMT -5.000,00 Valor da prestação do fluxo b 5,4977832 i 5,50 Taxa de juros trimestral da operação 4 n 4,00 Quantidade de prestações de b PV 17.526,65 Valor presente no dia 30 1,018 x1 < × > 17.216,75 Valor presente do fluxo b 800 CHS PMT -800,00 Valor da prestação do fluxo c 1,8 i 1,80 Taxa de juros mensal da operação 60 n 60,00 Quantidade de prestações de c PV 29.205,64 Valor presente no momento 1 1,018 x1 < × > 28.689,24 Valor presente do fluxo c < + > 45.905,98 Valor presente do fluxo b + c 10.000 < + > 55.905,98 Valor presente do fluxo total 16) Representando graficamente, temos: PV= 29.800,00 5.600,00 7.900,00 8.700,00 x 4.100,00 0 17 44 73 109 152 i = 34,2% (0,342)

∞

= +=

1 )1(jj

j

i

PMTPV

360152

360109

36073

36044

36017

)342,01(

00,100.4

)342,01()342,01(

00,700.8

)342,01(

00,900.7

)342,01(

00,600.500,800.29

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= x

13,621.3093152174,1

23,196.802,621.775,522.500,800.29 ++++= x

093152174,1)13,961.2400,800.29( ×−=x

63,289.5 $=x

17)

Dívida atual: n = 18 prestações mensais PMT = $ 2.200,00 (iguais e sucessivas)

i = 2,4% a.m. (0,024) PV = ? Temos: PV 2.200,00 2.200,00 2.200,00 2.200,00

1 2 3 18 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

18) (2,4%,00,200.2 FPVPV ×=

024,0)024,01(1

00,200.218−+−×=PV

477898,1400,200.2 ×=PV

=PV $ 31.851,38

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2.200 CHS PMT -2.200,00 Valor das prestações 18 n 18,00 Quantidade de prestações 2,4 i 2,40 Taxa de juros PV 31.851,38 Valor presente da dívida Proposta: PV = $31.851,38

n = 8 prestações trimestrais i = 2,4% a.m. (0,024) = ( ) 1024,01 3 −+ = 7,37… % a.t. (0,0737…) PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV = $ 31.851,38 PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 8 (meses) ) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

8) (7,37%,38,851.31 FPVPMT ×=

0737,0)0737,01(1

38,851.318−+−×= PMT

084169,1838,851.31 ×= PMT

=PMT $ 5.411,68

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 31.851,38 CHS PV -31.851,38 Valor presente da dívida 8 n 8,00 Quantidade de prestações 7,3741824 i 7,37 Taxa de juros trimestral PMT 5.411,68 Valor das prestações da proposta 18) a) Sendo: PV = $ 70.000,00

n = 12 pagamentos mensais i = 4% a.m. (0,04) PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV = $ 70.000,00 PMT PMT PMT PMT

1 2 3 12 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

12) (4%,00,000.70 FPVPMT ×=

04,0)04,01(1

00,000.7012−+−×= PMT

385074,900,000.70 ×= PMT

=PMT $ 7.458,65

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 70.000 CHS PV -70.000,00 Valor da prestação 12 n 12,00 Quantidade de prestações 4 i 4,00 Taxa de juros mensal PMT 7.458,65 Valor das prestações da proposta b) Sendo: PV = $ 70.000,00

n = 4 pagamentos trimestrais i = 4% a.m. (0,04) = ( ) 104,01 3 −+ = 12,49… % a.t. (0,1249…) PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV = 70.000,00 PMT PMT PMT PMT

1 2 3 12 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

4) (12,49%,00,000.70 FPVPMT ×=

...1249,0...)1249,01(1

00,000.704−+−×= PMT

006495,300,000.70 ×= PMT

=PMT $ 23.282,93

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 70.000 CHS PV -70.000,00 Valor da prestação 4 n 4,00 Quantidade de prestações 12,4864 i 12,49 Taxa de juros trimestral

PMT 23.282,93 Valor das prestações da proposta c) Sendo: PV = $ 70.000,00

n = 7 pagamentos mensais i = 4% a.m. (0,04) c = 5 meses PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV PMT PMT PMT 1 2 3 4 5 6 7 8 12 carência


n

n

iii

PMTPV)1(

1)1(1+

×+−×=−

FAC(FPVPMT )5 %,47) (4%,00,000.70 ××=

5

7

)04,1(1

04,0)04,01(1

00,000.70 ×+−×=−

PMT

821927,0002055,600,000.70 ××= PMT

=PV $ 14.189,42

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores

70.000 CHS PV -70.000,00 Valor do financiamento 5 n 5,00 Meses de carência 4 i 4,00 Taxa de juros mensal FV 85.165,70 Valor futuro no mês 5 f FIN CHS PV -85.165,70 Valor presente no mês 5 4 i 4,00 Taxa de juros mensal 7 n 7,00 Quantidade de pagamentos PMT 14.189,42 Valor das prestações da proposta d) Sendo: PV = $ 70.000,00

n = 4 pagamentos mensais i = 4% a.m. (0,04) PMT = ? (não periódicos) Temos: PV = $ 70.000,00 PMT PMT PMT PMT

2 5 9 12 (meses)

∞

= +=

1 )1(jj

j

i

PMTPV

12952 )04,01()04,01()04,01()04,01(00,000.70

++

++

++

+= PMTPMTPMTPMT

601032219,1423311812,1216652902,10816,100,000.70

PMTPMTPMTPMT +++=

��

��

� +++=601032219,1

1423311812,1

1216652902,1

10816,11

00,000.70 PMT

( )624597049,0702586736,0821927107,0924556213,000,000.70 +++= PMT

073667105,300,000.70=PMT

10,774.22 $=PMT

19) Sendo: PV = $ 8.000,00

i = 2,1% a.m. (0,021) n = 5 meses FV = ? Temos: PV = $ 8.000,00 FV = ?

1 2 3 4 5(meses)

niPVFV )1( +=

5)021,01( 00,000.8 +=FV

=FV $ 8.876,03

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 8.000 CHS PV -8.000,00 Valor do depósito 2,1 i 2,10 Taxa de juros 5 n 5,00 Prazo em meses FV 8.876,03 Valor do montante no 5º mês Determinando o valor das parcelas a serem sacadas, temos:

PV = $ 8.876,03 n = 12 parcelas mensais

i = 2,1% a.m. (0,021) PMT = ? Representando graficamente: PV = $ 8.876,03 PMT PMT PMT PMT

1 2 3 12 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

12) (2,1%,03,876.8 FPVPMT ×=

021,0)021,01(1

03,876.812−+−×= PMT

510684,1003,876.8 ×= PMT

510684,1003,876.8=PMT

=PMT $ 844,48

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 8.876,03 CHS PV -8.876,03 Valor do montante no 5º mês 12 n 12,00 Quantidade de parcelas 2,1 i 2,10 Taxa de juros PMT 844,48 Valor das parcelas sacadas 20) Sendo: PV = $ 6.800,00

n = 10 prestações mensais i = 3,6% a.m. (0,036) c = 2 meses PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 12 (meses) carência


n

n

iii

PMTPV)1(

1)1(1+

×+−×=−

FAC(FPVPMT )2 %,6,310) (3,6%,00,800.6 ××=

2

10

)036,1(1

036,0)036,01(1

00,800.6 ×+−×=−

PMT

931709,0274844,800,800.6 ××= PMT

709750,700,800.6=PMT

00,882 $ =PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 6.800,00 CHS PV -6.800,00 Valor do financiamento 2 n 2,00 Meses de carência 3,6 i 3,60 Taxa de juros mensal FV 7.298,41 Valor futuro no mês 2 f FIN CHS PV -7.298,41 Valor presente no mês 2 3,6 i 3,60 Taxa de juros mensal 10 n 7,00 Quantidade de prestações PMT 882,00 Valor de cada pagamento mensal 21) Representando graficamente, temos: PMT PMT PMT PMT 1.900,00 1.900,00 1.900,00 1.900,00 0 1 2 3 8 11 14 17 20 (meses) Primeiramente, devemos encontrar o montante que o aplicador deverá ter no 8º mês, para que seja possível fazer as retiradas trimestrais a partir do 11º mês: Sendo: n = 4 retiradas trimestrais PMT = $ 1.900,00 (iguais e sucessivas) i = 1,5% a.m. (0,015) ou 1)015,01( 3 −+ = 0,457… a.t. PV = ? Temos: ) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

4) (4,57...%,00,900.1 FPVPV ×=

045678375,0) 045678375,01(1

00,900.14−+−×=PV

581838848,300,900.1 ×=PV

=PV $ 6.805,49 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.900 CHS PMT -1.900,00 Valor das retiradas trimestrais 4 n 4,00 Quantidade de retiradas 4,5678375 i 4,57 Taxa de juros trimestrais PV 6.805,49 Valor presente Então, para que o aplicador consiga fazer as retiradas trimestrais a partir do 11º mês, ele

deve ter no final do 8º mês um montante de $ 6.805,49. Para isso, devemos encontrar o

valor da aplicação mensal que o aplicador efetuar, para conseguir esse montante:

Sendo: FV = $ 6.805,49

n = 8 pagamentos mensais i = 1,5% a.m. (0,015) PMT = ? (iguais e sucessivas)

) ,( niFFVPMTFV ×=

ii

PMTFVn 1)1( −+×=

8) (1,5%,49,805.6 FPVPMT ×=

015,01)015,01(

49,805.68 −+×= PMT

432839133,849,805.6=PMT

=PMT $ 807,02


6.805,49 CHS FV -6.805,49 Valor do montante 8 n 8,00 Quantidade de meses 1,5 i 1,50 Taxa de juros mensal PMT 807,02 Valor a ser aplicado mensalmente 22) Sendo: PV = $ 28.000,00

n = 9 depósitos mensais PMT = $ 3.000,00 (iguais e sucessivos)

i = 1,7% a.m. (0,017) FV = ? Temos: PV=$ 28.000,00 $ 3.000,00 $ 3.000,00 $ 3.000,00 $ 3.000,00 $ 3.000,00 0 1 2 3 4 9 (meses)

) ,( niFFVPMTFV ×=

( )nn

iPVi

iPMTFV ++−+×= 1

1)1(

9) (1,7%,9) (1,7%,00,000.3 FFVFPVFV +×=

( )99

017,01 00,000.28017,0

1)017,01(00,000.3 ++−+×=FV

17,587.32636905706,900,000.3 +×=FV

=FV $ 61.497,88

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 28.000 CHS PV -28.000,00 Valor do depósito inicial 3.000 CHS PMT -3.000,00 Valor dos depósitos mensais 9 n 9,00 Quantidade de depósitos 1,7 i 1,70 Taxa de juros FV 61.497,88 Valor acumulado 23) Sendo: PV = $ 24.000,00 ($ 30.000,00 – 20%)

n = 6 prestações mensais i = 3,4% a.m. (0,34) c = 3 meses PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV = $ 24.00,00 PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 9 carência


n

n

iii

PMTPV)1(

1)1(1+

×+−×=−

FAC(FPVPMT )3 %,4,36) (3,4%,00,000.24 ××=

3

6

)034,1(1

034,0)034,01(1

00,000.24 ×+−×=−

PMT

904562092,0346100621,500,000.24 ××= PMT

835879963,400,000.24=PMT

90,962.4 $=PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 24.000,00 CHS PV -24.000,00 Valor do financiamento menos 20% 3 n 3,00 Meses de carência 3,4 i 3,40 Taxa de juros mensal FV 26.532,18 Valor futuro no mês 3 f FIN CHS PV -26.532,18 Valor presente no mês 3 3,4 i 3,40 Taxa de juros mensal 6 n 6,00 Quantidade de prestações PMT 4.962,90 Valor dos pagamentos 24) a) Sendo: PV = $ 8.700,00

i = 2,7% a.m. (0,027) n = 10 prestações mensais c = 2 meses

PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV = $ 8.700,00 PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 10 carência


n

n

iii

PMTPV)1(

1)1(1+

×+−×=−

FAC(FPVPMT )2 %,7,210) (2,7%,00,700.8 ××=

2

10

)027,1(1

027,0)027,01(1

00,700.8 ×+−×=−

PMT

948111,0662303,800,700.8 ××= PMT

212823,800,700.8=PMT

=PMT $ 1.059,32

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 8.700,00 CHS PV -8.700,00 Valor do financiamento 2 n 2,00 Meses de carência 2,7 i 2,70 Taxa de juros mensal FV 9.176,14 Valor futuro no mês 2 f FIN CHS PV -9.176,14 Valor presente no mês 2 2,7 i 2,70 Taxa de juros mensal 10 n 10,00 Quantidade de prestações PMT 1.059,32 Valor dos pagamentos b) Sendo: PV = $ 8.700,00

i = 2,7% a.m. (0,027) n = 3 prestações mensais PMT = ? (iguais e sucessivas)

Temos: PV = $ 8.700,00 PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 10

( ) =

+=n

j

jj iPMTPV

0

1/

( ) ( ) ( )104 027,01027,01027,0100,700.8

++

++

+= PMTPMTPMT

��

��

� ++=305282261,1

1112453263,1

1027,11

00,700.8 PMT

638741823,200,700.8 ×= PMT

638741823,200,700.8=PMT

=PMT $ 3.297,03

25) Representando graficamente a dívida original, temos: 12.000,00 16.000,00 21.000,00 30.000,00 50.000,00 0 1 2 3 4 5 (bimestres) Sendo: i = 28% a.a. (nominal)

i = 2,33...% a.m. ( ) ...0472,01...0233,01 2 =−+=i ou 4,72…% a.b.

Primeiramente, encontramos o valor presente da dívida original da seguinte maneira:

( ) +==

n

j

jj iPMTPV

01/

( ) ( ) ( ) ( )5432 ...0472,1

00,000.50

...0472,1

00,000.30

...0472,1

00,000.21

...0472,1

00,000.16..0472,100,000.12 ++++=PV

76,700.3904,945.2491,285.1887,589.1401,459.11 ++++=PV

=PV $ 108.980,59 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Valor que ocorre no momento zero 12.000 CHS g jCF 12.000,00 Parcela do mês 1 16.000 CHS g jCF 16.000,00 Parcela do mês 2 21.000 CHS g jCF 21.000,00 Parcela do mês 3 30.000 CHS g jCF 30.000,00 Parcela do mês 4 50.000 CHS g jCF 50.000,00 Parcela do mês 5 4,721111 i 4,72 Taxa de juros bimestral f NPV 108.980,59 Valor presente da dívida original Representando graficamente o refinanciamento, temos: PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 10 (bimestres)

i = 40% a.a. (nominal) i = 3,33...% a.m.

( ) ...0677,01...0333,01 2 =−+=i ou 6,77…% a.b. Agora, encontramos o valor de cada pagamento bimestral da seguinte maneira:

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

10) (6,77...%,59,980.108 FPVPMT ×=

067777777,0)067777777,01(1

59,980.10810−+−×= PMT

096300634,759,980.108=PMT

=PMT $ 15.357,38

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 108.980,59 CHS PV -108.980,59 Valor presente da dívida original 6,777777777 i 6,68 Taxa de juros bimestral 10 n 10,00 Quantidade de prestações PMT 15.357,38 Valor de cada pagamento bimestral 26) a) Sendo: PMT = $ 350,00 (pago de hoje a 30 dias)

PV = $ 2.700,00 i = 2,3% a.m. (0,023)

n = ? Temos: PV = $ 2.700,00 350,00 350,00 350,00 350,00 350,00 350,00 0 1 2 3 4 5 n = ?

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

) (2,3%,00,35000,700.2 nFPV×=

023,0)023,01(1

00,35000,700.2n−+−×=

n−−=× )023,1(1023,0

00,35000,700.2

n−−= )023,1(1177428571,0

822571429,0)023,1( =−n

Aplicando-se a propriedade de logaritmo, (ver Apêndice B):

822571429,0log023,1log =×− n

023,1log

822571429,0log−=n

022739487,0195319956,0−−=n

5895,8=n prestações

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 350 CHS PMT -350,00 Capacidade mensal do consumidor 2.700,00 PV 2.700,00 Valor do aparelho 2,3 i 2,30 Taxa de juros n 9,00 Quantidade de prestações4 b) Sendo: PMT =$ 350,00 (primeira prestação no ato)

PV = $ 2.700,00 – $ 350,00 = $ 2.350,00 i = 2,3% a.m. (0,023)

n = ? Temos: PV = $ 2.350,00 350,00 350,00 350,00 350,00 350,00 350,00 0 1 2 3 4 5 n = ?

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

) (2,3%,00,35000,350.2 nFPV×=

023,0)023,01(1

00,35000,350.2n−+−×=

n−−=× )023,1(1023,0

00,35000,350.2

n−−= )023,1(1154428571,0

4 A Calculadora HP-12C arredonda o valor de n

845571429,0)023,1( =−n


845571429,0log023,1log =×− n

023,1log

845571429,0log−=n

022739487,0167742633,0−−=n


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 350 CHS PMT -350,00 Capacidade mensal do consumidor 2.350,00 PV 2.350,00 Valor do aparelho menos a entrada 2,3 i 2,30 Taxa de juros n 8,00 Quantidade de prestações 27) a) Sendo: PMT = $ 1.200,00

PV = $ 9.000,00 i = 3,5% a.m. (0,035)

n (primeiras) = ? Temos: PV = $ 9.000,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00

0 1 2 3 n = ? (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

) (3,5%,00,200.100,000.9 nFPV×=

035,0)035,01(1

00,200.100,000.9n−+−×=

n−−=× )035,1(1035,0

00,200.100,000.9

n−−= )035,1(12625,0

7375,0)035,1( =−n


7375,0log035,1log =×− n

035,1log7375,0log−=n

034401427,0

304489191,0−−=n


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.200 CHS PMT -1.200,00 Valor das prestações 9.000,00 PV 9.000,00 Disponibilidade da pessoa 3,5 i 3,50 Taxa de juro n 9,00 Quantidade de prestações b) Sendo: PMT = $ 1.200,00

PV = $ 9.000,00 i = 3,5% a.m. (0,035)

( )niPVFV += 1

( )36035,0100,000.9 +=FV =FV $ 31.052,40

n (últimas) = ?

Temos: 1.200,00 1.200,00 1.200,00 FV = $ 31.052,40

0 1 2 3 n = ? (meses)

) ,( niFFVPMTFV ×=

ii

PMTFVn 1)1( −+×=

)(3,5%,00,200.140,052.31 nFFV×=

035,01)035,01(

00,200.140,052.31−+×=

n

1)035,1(035,000,200.140,052.31 −=× n

1)035,1(905695,0 −= n

905695,1)035,1( =n


905695,1log035,1log =×n

035,1log

905695,1log=n

034401427,0644846771,0=n


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.200 CHS PMT -1.200,00 Valor das prestações 31.052,40 FV 31.052,40 Valor futuro 3,5 i 3,50 Taxa de juro n 19,00 Quantidade de prestações 28) a) Sendo: PV = $ 5.000,00


PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 20 50 80 110 140 230 (dias) O valor presente neste caso ocorrerá dez dias antes do momento zero do fluxo acima. Assim, para resolvermos o exercício, precisamos primeiramente descapitalizar o valor presente em dez dias

( )30

10

026,01

00,000.5

+=PV

=PV $ 4.957,40

Agora, aplicamos a expressão:

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

8) (2,6%,40,957.4 FPVPMT ×=

026,0)026,01(1

40,957.48−+−×= PMT

139662469,740,957.4 ×= PMT

139662469,740,957.4=PMT

=PMT $ 694,35


4.957,40 CHS PV -4.957,40 Valor presente 8 n 8,00 Quantidade de prestações 2,6 i 2,60 Taxa de juros PMT 694,35 Valor das prestações b) Sendo: PV = $ 5.000,00 n = 8 prestações mensais i = 2,6% a.m. (0,026)


0 45 75 105 135 160 255 (dias) O Valor presente neste caso ocorrerá quinze dias depois do momento zero do fluxo acima. Assim, para resolvermos o exercício, precisamos primeiramente capitalizar o valor presente em quinze dias

( )3015

026,0100,000.5 +×=PV

=PV $ 5.064,58

Agora, aplicamos a expressão:

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

8) (2,6%,58,064.5 FPVPMT ×=

026,0)026,01(1

58,064.58−+−×= PMT

139662469,758,064.5 ×= PMT

139662469,758,064.5=PMT

=PMT $ 709,36

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 5.064,58 CHS PV -5.064,58 Valor presente 8 n 8,00 Quantidade de prestações 2,6 i 2,60 Taxa de juros PMT 709,36 Valor das prestações 29) Sendo: PV = $ 3.500,00

i = 2,35% a.m. (0,0235) PMT = $ 270,00

n = ? Temos: PV = $ 3.500,00 270,00 270,00 270,00 270,00

0 1 2 3 n = ? (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

) (2,35%,00,27000,500.3 nFPV×=

0235,0)0235,01(1

00,27000,500.3n−+−×=

n−−=× )0235,1(10235,0

00,27000,500.3

n−−= )0235,1(1304629630,0

695370370,0)0235,1( =−n


695370370,0log0235,1log =×− n

0235,1log

695370370,0log−=n

023228126,0363310668,0−−=n


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 3.500,00 CHS PV -3.500,00 Valor do financiamento 2,35 i 2,35 Taxa de juros 270 PMT 270,00 Valor das prestações n 16,00 Quantidade de pagamentos 30) Sendo: PV = $ 38.000,00

n = 3 pagamentos trimestrais i = 8,5% a.t. (0,085) PMT = ? (crescente em razão geométrica de razão 2)

Temos: PV = $ 38.000,00 PMT 1 PMT 2 PMT 3

0 1 2 3

( ) =

+=n

j

jj iPMTPV

0

1/

( ) ( )32 085,014

085,012

085,0100,000.38

+×+

+×+

+= PMTPMTPMT

277289125,14

177225,12

085,100,000.38

PMTPMTPMT ×+×+=

��

��

� ++=277289125,1

4177225,1

2085,11

00,000.38 PMT

��

��

� ×+×+=631467509,1

4277289125,12385858701,1503656690,100,000.38 PMT

��

��

�=631467509,1384527210,9

00,000.38 PMT

752199880,500,000.38=PMT

17,606.6 $ =PMT

Logo:

17,606.6 $1 =PMT

34,212.13 $17,606.6 $22 =×=PMT

26.424,67 $17,606.6 $41 =×=PMT

31) Representando graficamente as prestações intermediárias, temos: PV 18.000,00 24.000,00 36.000,00

0 3 7 12 Trazendo as prestações intermediárias a valor presente no momento zero, temos:

( ) ∞

= +=

1 1jj

j

i

PMTPV

1273 )032,01(00,000.36

)032,01(00,000.24

)032,01(00,000.18

++

++

+=PV

69,668.2400,251.1996,376.16 ++=PV

=PV $ 60.296,66

Descontando o valor encontrado e o valor da entrada do valor total do imóvel, temos: Valor do imóvel $ 180.000,00

Valor da entrada (10%) $ 18.000,00

Valor presente das prestações $ 60.296,66

Valor restante a ser pago $ 101.703,34

Agora, encontramos o valor das prestações mensais. Sendo: PV = $ 101.703,34 n = 12 prestações mensais i = 3,2% a.m. (0,032)


0 1 2 3 4 5 12 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

12) (3,2%,34,703.101 FPVPMT ×=

032,0)032,01(1

34,703.10112−+−×= PMT

836204338,934,703.101 ×= PMT

836204338,934,703.101=PMT

=PMT $ 10.339,69

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 101.703,34 CHS PV -101.703,34 Valor presente 12 n 12,00 Quantidade de prestações 3,2 i 3,20 Taxa de juros PMT 10.339,69 Valor das prestações 32) Sendo: PV = $ 54.000,00 n = 18 prestações mensais

i = 2,9% a.m. (0,029) PMT = ? (iguais e sucessivas)

Temos: PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 18 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

18) (2,9%,00,000.54 FPVPMT ×=

029,0)029,01(1

00,000.5418−+−×= PMT

87051550,1300,000.54 ×= PMT

87051550,1300,000.54=PMT

=PMT $ 3.893,15

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 54.000,00 CHS PV -54.000,00 Valor do financiamento 18 n 18,00 Quantidade de prestações 2,9 i 2,90 Taxa de juros PMT 3.893,15 Valor das prestações Como a empresa apresentou dificuldades financeiras quando da 7ª prestação, as 7 primeiras

prestações de $ 3.893,15 foram liquidadas. Logo, a dívida da empresa no final do sétimo

mês é de:

PMT = $ 3.893,15

i = 2,9% a.m. (0,029)

n = 7 meses FV = ?

) ,( niFFVPMTFV ×=

ii

PMTFVn 1)1( −+×=

7) (2,9%,15,893.3 FFVFV ×=

029,01)029,01(

15,893.37 −+×=FV

639303621,715,893.3 ×=FV

=FV $ 29.740,95

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 3.893,15 CHS PMT -3.893,15 Valor da prestação 2,9 i 2,90 Taxa de juros 7 n 7,00 Prazo em meses FV 29.740,95 Valor pago até o 7º mês Agora, capitalizamos o valor da dívida para o 7º mês:

niPVFV )1( +=

7)029,01( 00,000.54 +=FV

=FV $ 65.693,15 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 54.000 CHS PV -54.000,00 Valor do financiamento 2,9 i 2,90 Taxa de juros 7 n 7,00 Prazo em meses FV 65.693,15 Valor do financiamento 7º mês Então, o valor líquido do financiamento no 7º mês é de $ 35.952,20 ($ 65.693,15 – $ 29.740,95). Calculamos agora o valor das prestações no refinanciamento. Sendo: PV = $ 35.952,20



0 1 2 3 4 5 20 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

20) (4%,20,952.35 FPVPMT ×=

04,0)04,01(1

20,952.3520−+−×= PMT

59032635,1320,952.35 ×= PMT

59032635,1320,952.35=PMT

=PMT $ 2.645,43

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 35.952,20 CHS PV -35.952,20 Valor do financiamento no 7º mês 20 n 20,00 Quantidade de prestações 4 i 4,00 Taxa de juros PMT 2.645,43 Valor das prestações 33) Supondo a compra de um móvel de $ 100,00, temos:

4

1,2Entrada)-compra daValor ( ×=PMT

4

1,220,00) $-100,00 $( ×=PMT

PMT = $ 24,00 Sendo: PV = $ 100,00 – $ 20,00 (entrada) = $ 80,00


Temos: PV= 80,00 24,00 24,00 24,00 24,00

0 1 2 3 4 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

)4 ,(00,2400,80 iFPV×=

432 )1(00,24

)1(00,24

)1(00,24

)1(00,24

00,80iiii +

++

++

++

=

Resolvendo-se:

=i 7,71% a.m.

Resposta: Não. O custo efetivo do crédito é de 7, 71% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 80,00 PV 80,00 Valor à vista menos a entrada 24,00 CHS PMT -24,00 Valor da prestação 4 n 4,00 Quantidade de prestações i 7,71 Custo efetivo mensal do crédito 34) Solução:

( ) ( ) ( ) ( )...

035,0100,900.16

035,0100,500.15

035,0100,100.14

035,0100,700.12

035,0100,300.11

5432 ++

++

++

++

++

=PV

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...035,01

00,900.23035,01

00,500.22035,01

00,100.21035,01

00,700.19035,01

00,300.18... 109876 +

++

++

++

++

++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1514131211 035,0100,900.30

035,0100,500.29

035,0100,100.28

035,0100,700.26

035,0100,300.25

...+

++

++

++

++

+

...06,887.1435,229.1435,507.1339,717.1259,855.1187,917.10 ++++++=PV

...61,669.1713,329.1716,943.1695,508.1658,023.1602,484.15... +++++++

92,443.1856,224.1826,967.17... +++

=PV $ 232.708,80 35) Os fluxos de caixa estão ilustrados no enunciado do exercício. a)

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

48) (3%,00,70 FPVPV ×=

03,0)03,01(1

00,7048−+−×=PV

26670664,2500,70 ×=PV

=PV $ 1.768,67

b) ( )

...03,0100,300

03,0100,200

00,100)03,01(00,70 2 ++

++

+++×=PV

( ) ( ) ( ) ( )...

03,0100,400

03,0100,400

03,0100,300

03,0100,300

... 6543 ++

++

++

++

+

( ) ( )87 03,0100,500

03,0100,400

...+

++

+

...55,26654,27478,28217,19400,10010,72 ++++++=PV

70,39424,32599,33404,345... ++++ =PV $ 2.590,12 c) ) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

(3%,16)00,200 FPVPV ×=

03,0)03,01(1

00,20016−+−×=PV

56110203,1200,200 ×=PV

=PV $ 2.512,22 (no momento 8)

Determinando o Valor presente no momento 0, temos:

8)03,01(22,512.2

+=PV

=PV $ 1.983,17

d) ( ) ( ) ( ) ( )8543 03,01

00,10003,0100,100

03,0100,100

03,0100,100

03,0100,100

++

++

++

++

+=PV

94,7826,8685,8851,9109,97 ++++=PV

=PV $ 442,65

e) i

PMTPV =

03,000,300=PV

=PV $ 10.000,00 36) Os fluxos de caixa estão ilustrados no enunciado do exercício. a) ) ,( niFFVPMTFV ×=

ii

PMTFVn 1)1( −+×=

60) (5%,00,40 FFVFV ×=

05,0

1)05,01(00,40

60 −+×=FV

=FV $ 14.143,35 b) Atualizada Entrada) ,( +×= niFFVPMTFV

nn

ii

iPMTFV )1(Entrada

1)1( +×+−+×=

15) (5%, Entrada(5%,15)00,100 +×= FFVFV

( )1515

05,0100,9005,0

1)05,01(00,100 +×+−+×=FV

=FV $ 2.344,96 c) ) ,( niFFVPMTFV ×=

ii

PMTFVn 1)1( −+×=

15) (5%,00,120 FFVFV ×=

05,0

1)05,01(00,120

15 −+×=FV

=FV $ 2.589,43 d) ...)05,1(00,100)05,1(00,100)05,1(00,100 91011 +×+×+×=FV

...)05,1(00,300)05,1(00,300)05,1(00,300... 567 +×+×+×+

00,700)05,1(00,500)05,1(00,500)05,1(00,500... 23 +×+×+×+

...88,38203,40213,42213,15589,16203,171 ++++++=FV

00,70000,52525,55181,578... ++++ =FV $ 4.051,16 37) � Para 3 anos Primeiramente, determinamos o valor acumulado com os depósitos mensais Sendo: n = 36 meses

PV = $ 7.750,00 PMT = $ 9.000,00

i = 2,5% a.m. (0,025) FV = ?

Atualizado PV) ,( +×= niFFVPMTFV

ni)(1 PV1)1( ++−+×=

ii

PMTFVn

36) (2,5%, PV36) (2,5%,00,000.9 +×= FFVFV

( )3636

025,0100,750.7025,0

1)025,01(00,000.9 +×+−+×=FV

432535316,200,750.730141264,5700,000.9 ×+×=FV

=FV $ 534.564,86

Solução na HP-12C:

Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 9.000 CHS PMT -9.000,00 Valor dos depósitos 2,5 i 2,50 Taxa de juros 36 n 36,00 Prazo em meses FV 515.712,71 Valor futuro dos depósitos 7.750 < ENTER > 7.750,00 Saldo inicial 1,025 < ENTER > 1,03 Taxa de Juros 36 xy <×> < + > 534.564,86 FV dos depósitos + saldo inicial Agora, determinamos o valor acumulado das retiradas Sendo: n = 12 saques nos três anos PMT = $ 13.000 (trimestrais)

i = 2,5% a.m. (0,025) = ( ) ...%69,71025,01 3 =−+ a.t. FV = ?

PVniFFVPMTFV +×= ) ,(

PVi

iPMTFV

n

+−+×= 1)1(

12) (7,69...%,00,000.13 FFVFV ×=

076890625,01)076890625,01(

00,000.1312 −+×=FV

63081898,1800,000.13 ×=FV

=FV $ 242.200,65

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 13.000,00 CHS PMT -13.000,00 Valor das retiradas 7,6890625 i 7,69 Taxa de juros trimestrais 12 n 12,00 Quantidade de retiradas FV 242.200,65 Valor futuro das retiradas Por fim, basta subtrairmos o valor acumulado das retiradas do valor acumulado dos depósitos. Ou seja: FV dos depósitos + saldo inicial $ 534.564,86

FV das retiradas trimestrais ($ 242.200,65)

Montante acumulado ao final de 3 anos $ 292.364,21

� Para 8 anos Primeiramente, determinamos o valor acumulado com os depósitos mensais Sendo: n = 96 meses

PV = $ 7.750,00 PMT = $ 9.000,00

i = 2,5% a.m. (0,025) FV = ?

Atualizado PV) ,( +×= niFFVPMTFV

ni)(1 PV1)1( ++−+×=

ii

PMTFVn

96) (2,5%, PV96) (2,5%,00,000.9 +×= FFVFV

( )9696

025,0100,750.7025,0

1)025,01(00,000.9 +×+−+×=FV

70264395,1000,750.71057580,38800,000.9 ×+×=FV

=FV $ 3.575.897,31

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 9.000 CHS PMT -9.000,00 Valor dos depósitos 2,5 i 2,50 Taxa de juros 96 n 36,00 Prazo em meses FV 3.492.951,82 Valor futuro dos depósitos 7.750 < ENTER > 7.750,00 Saldo inicial 1,025 < ENTER > 1,03 Taxa de Juros 96 xy <×> < + > 3.575.897,31 FV dos depósitos + saldo inicial Agora, determinamos o valor acumulado das retiradas Sendo: n = 32 saques nos três anos PMT = $ 13.000 (trimestrais)

i = 2,5% a.m. (0,025) = ( ) ...%69,71025,01 3 =−+ a.t. FV = ?

PVniFFVPMTFV +×= ) ,(

PVi

iPMTFV

n

+−+×= 1)1(

32) (7,69...%,00,000.13 FFVFV ×=

076890625,01) 076890625,01(

00,000.1332 −+×=FV

1876067,12600,000.13 ×=FV

=FV $ 1.640.438,89

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 13.000,00 CHS PMT -13.000,00 Valor das retiradas 7,6890625 i 7,69 Taxa de juros trimestrais 32 n 32,00 Quantidade de retiradas FV 1.640.438,89 Valor futuro das retiradas Por fim, basta subtrairmos o valor acumulado das retiradas do valor acumulado dos depósitos. Ou seja: FV dos depósitos + saldo inicial $ 3.575.897,31

FV das retiradas trimestrais ($1.640.438,89)

Montante acumulado ao final de 3 anos $ 1.935.458,42

38) Sendo: FV = $ 31.000,00

n = 48 meses PV = $ 2.500,00 PMT = $ 290,00 (iguais e sucessivos) i = ?

Temos: PV = 2.500,00 290,00 290,00 290,00 290,00 290,00 0 1 2 3 4 48 (meses)

) ,( niFPVPMTPV ×=

)48 ,(00,29000,500.2 iFPV×=

48432 )1(00,290

...)1(

00,290)1(

00,290)1(

00,290)1(

00,29000,500.2

iiiii +++

++

++

++

+=

Resolvendo-se:

=i 2,16% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 31.000 FV 31.000,00 Montante desejado 2.500 CHS PV -2.500,00 Depósito inicial 290 CHS PMT -290,00 Depósitos mensais 48 n 48,00 Prazo em meses i 2,16 Taxa de juros que a conta deve pagar

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 8 – Coeficientes de Financiamento 1) a) Sendo: i = 2,5% a.m. (0,025) n = 6 meses CF = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

6)025,01(1025,0

−+−=CF

181550,0=CF

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 2,5 i 2,50 Taxa de juros 6 n 6,00 Prazo em meses PMT 0,181550 Coeficiente de financiamento b) Sendo: i = 2,1% a.m. (0,021) n = 12 meses CF = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

12)021,01(1021,0

−+−=CF

095141,0=CF


Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 2,1 i 2,10 Taxa de juros 12 n 12,00 Prazo em meses PMT 0,095141 Coeficiente de financiamento c) Sendo: i = 1,7% a.m. (0,017) n = 20 meses CF = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

20)017,01(1017,0

−+−=CF

059401,0=CF

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 1,7 i 1,70 Taxa de juros 20 n 20,00 Prazo em meses PMT 0,059401 Coeficiente de financiamento

2) a) Sendo: CF = 0,278744

n = 4 meses i = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

4)1(1278744,0 −+−

=i

i

Resolvendo-se:

i = 4,5% a.m.


Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 0,278744 PMT 0,28 Coeficiente de financiamento 4 n 4,00 Prazo em meses i 4,50 Custo efetivo b) Sendo: CF = 0,081954

n = 18 meses i = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

18)1(1081954,0 −+−

=i

i

Resolvendo-se:

i = 4,46% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 0,081954 PMT 0,08 Coeficiente de financiamento 4 n 4,00 Prazo em meses i 4,46 Custo efetivo c) Sendo: CF = 0,069817

n = 36 meses i = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

36)1(1069817,0 −+−

=i

i

Resolvendo-se:

i = 6,17% a.m.


Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 0,069817 PMT 0,07 Coeficiente de financiamento 36 n 36,00 Prazo em meses i 6,17 Custo efetivo

3)

a) Representando graficamente, temos:

PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 5 7 13 20 (meses)

Sabemos que i = 3% (0,03)

Utilizando a expressão: ( ) ��

�

� ==

t

jjniFACCF

1,1

Temos: ��

�

�++++= 201375 )03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1)03,1(

11CF

( )553676,0680951,0813092,0862609,09708741,01 ++++=CF

881201,31=CF

257652,0=CF

b) Representando graficamente, temos:

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 3 6 10 15 21 27 (meses)

Sabemos que i = 3% (0,03)


�

� ==

t

jjniFACCF

1,1

Temos: ��

�

�+++++= 2721151063 )03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1)03,1(

11CF

( )450189,0537549,0641862,0744094,0837484,0915142,01 +++++=CF

126320,41=CF

242347,0=CF

4) a) Sendo: n = 18 prestações mensais

c = 3 meses i = 4% a.m. (0,04)

CF = ?

Temos: ( )

( )c

ni

i

iCF +×

+−= − 1

11

( )( )3

18 04,0104,011

04,0 +×+−

= −CF

124864,1078993,0 ×=CF

088857,0=CF

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 3 n 3,00 Meses de carência 4 i 4,00 Taxa de juros mensal FV 1,12 Valor futuro no mês 3 f FIN CHS PV -1,12 Valor presente no mês 3 4 i 2,70 Taxa de juros mensal 18 n 18,00 Quantidade de prestações PMT 0,09 Coeficiente de financiamento b) Sendo: Financiamento = $ 18.000,00

PMT = ? Temos: 08857,000,000.18 ×=PMT =PMT $ 1.599,43 cada uma 5) a) Sendo: CF = 0,110136

n = 10 prestações mensais i = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

10)1(1110136,0 −+−

=i

i

Resolvendo-se:

i = 1,795% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 0,110136 PMT 0,11 Coeficiente de financiamento 10 n 10,00 Quantidade de prestações i 1,795 Custo efetivo mensal b) Sendo: CF = 0,239211

n = 5 prestações trimestrais i = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

5)1(1239211,0 −+−

=i

i

Resolvendo-se:

i = 2,05% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 0,239211 PMT 0,24 Coeficiente de financiamento 5 n 5,00 Quantidade de prestações i 6,28 Custo efetivo trimestral 100 < ÷ > 0,06 Taxa unitária trimestral 1 <+> 3 x1 xy 1 <–> 0,02 Taxa unitária mensal 100 <×> 2,05 Custo efetivo mensal

c) Sendo: CF = 0,424666 n = 4 prestações semestrais i = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

4)1(1424666,0 −+−

=i

i

Resolvendo-se:

i = 3,81% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital emprestado 0,424666 PMT 0,42 Coeficiente de financiamento 4 n 4,00 Quantidade de prestações i 25,16 Custo efetivo semestral 100 < ÷ > 0,25 Taxa unitária semestral 1 <+> 6 x1 xy 1 <–> 0,04 Taxa unitária mensal 100 <×> 3,81 Custo efetivo mensal 6) a) Sendo: n = 24 prestações mensais

c = 6 meses CF = 0,079604

i = ?

Temos: ( )

( )c

ni

i

iCF +×

+−= − 1

11

( )( )6

24 04,0111

079604,0 +×+−

= −i

i

Resolvendo-se: i = 3,74% a.m. Solução na HP-12C:

Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS g 0CF -1,00 Unidade monetária financiada 0 g jCF 0,00 Valor do fluxo na carência 6 g jN 6,00 Meses de carência 0,079604 g jCF 0,08 Coeficiente de financiamento 24 g jN 24,00 Quantidade de prestações f IRR 3,74 Custo efetivo do financiamento b) Sendo: n = 24 prestações mensais

c = 4 meses CF = 0,079604

i = ?

Temos: ( )

( )c

ni

i

iCF +×

+−= − 1

11

( )( )4

24 04,0111

079604,0 +×+−

= −i

i

Resolvendo-se: i = 4,26% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS g 0CF -1,00 Unidade monetária financiada 0 g jCF 0,00 Valor do fluxo na carência 4 g jN 4,00 Meses de carência 0,079604 g jCF 0,08 Coeficiente de financiamento 24 g jN 24,00 Quantidade de prestações f IRR 4,26 Custo efetivo do financiamento 7)

Representando graficamente, temos:

PMT PMT PMT PMT

0 3 5 9 15 (meses)

Sabemos que i = 2,2% a.m.


�

� ==

t

jjniFACCF

1,1

Temos: ��

�

�+++= 15953 )022,1(

1)022,1(

1)022,1(

1)022,1(

11CF

( )721500,08221333,0896903,0936801,01 +++=CF

377337,31=CF

296091,0=CF 8) Sendo: n = 24 prestações mensais

c = 1 mês i = 3,14% a.m. (0,0314)

CF = ?

Temos: ( )

( )c

ni

i

iCF +×

+−= − 1

11

( )( )0314,01

0314,0110314,0

24 +×+−

= −CF

0314,1059941,0 ×=CF

061824,0=CF Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0314 CHS PV -1,03 Unidade monetária corrigida 24 n 24,00 Quantidade de prestações 3,14 i 3,14 Taxa de juros PMT 0,061824 Coeficiente de financiamento

9) a) Sendo: n = 18 prestações mensais

i = 2,56% a.m. (0,0256) CF = ?

Temos: ni

iCF −+−

=)1(1

18)0256,01(10256,0

−+−=CF

070031,0=CF

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS PV -1,00 Unidade de capital financiado 2,56 i 2,56 Taxa de juros 18 n 18,00 Quantidade de prestações PMT 0,070031 Coeficiente de financiamento b) Sendo: n = 18 prestações mensais

i = 2,56% a.m. (0,0256) CF (Entrada) = ?

Temos: ( ) ( )

ii

CFn 111

1

1(Entrada) −−+−+

=

( ) ( )

0256,00256,011

1

1)171(

118 −−+−+=+CF

068283,0)171( =+CF Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 <ENTER> 1,00 Unidade de capital financiado 1,0256 < ÷ > CHS PV 0,98 Descapitalização de 1 período 2,56 i 2,56 Taxa de juros 18 n 18,00 Quantidade de prestações PMT 0,068283 Coeficiente de financiamento c) Sendo: n = 18 prestações mensais

i = 2,56% a.m. (0,0256) c = 1 mês

CF (Entrada) = ?

Temos: ( )

( )c

ni

i

iCF +×

+−= − 1

11

( )( )0256,01

0256,0110256,0

18 +×+−

= −CF

0256,1070031,0 ×=CF

071824,0=CF Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0256 CHS PV -1,03 Unidade monetária corrigida 18 n 18,00 Quantidade de prestações 2,56 i 2,56 Taxa de juros PMT 0,071824 Coeficiente de financiamento 10)


PMT PMT PMT

0 28 42 56 (dias)

Sabemos que i = 2,3% a.m.


�

� ==

t

jjniFACCF

1,1

Temos: ��

�

�

�

++=3056

3042

3028

)023,1(

1

)023,1(

1

)023,1(

11CF

( )958441,0968666,097900,01 ++=CF

906107,21=CF

344103,0=CF

11)


PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 20 50 80 110 140 170 200 (dias)

Sendo: i = 3,7% (0,037) t = 30 dias a = 20 dias

Temos: ( ) ( )( ) tatn ii

iCFa /1

111 −− +

×+−

=

( ) ( )( ) 30/20307 037,011

037,011037,0

−− +×

+−=CFa

987962,0164767,0 ×=CFa

162784,0=CFa

12)


PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 40 70 100 130 160 190 220 250 (dias) Sendo: CFp = 0,158933

n = 8 prestações mensais p = 40 dias t = 30 dias i = ?

Temos: ( )

( )( ) ttp

ni

i

iCFp /1

11−

− +×+−

=

( )( )( ) 30/3040

30 111

158933,0 −− +×

+−= i

i

i

Resolvendo-se:

=i 5,24% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1 CHS g 0CF -1,00 Unidade de capital financiada 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 39 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 40 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 29 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 70 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 29 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 100 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 29 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 130 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 29 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 160 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 29 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 190 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 29 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 220 0 g jCF 0,00 Valor no momento zero 29 g jN 0,00 Dias sem pagamento de prestação 0,158933 g jCF 0,16 Valor da prestação no dia 250 f IRR 0,170500727 Custo efetivo diário do financiamento f FIN 100 <+> CHS FV -100,17 Transformação para taxa mensal 100 PV 100,00 Transformação para taxa mensal 1 ENTER 30 ÷ n 0,03 Transformação para taxa mensal i 5,24 Custo efetivo mensal do financiamento 13)

Sendo: n = 10 prestações CF = 0,113269 TAC = 2% i = ? Supondo um financiamento hipotético de $ 1,00, temos:

PV = $ 1,00 – 2% = $ 0,98

+

=∞

=1 )1(jj

j

i

PMTPV

10432 )1(113269,0

...)1(

113269,0)1(

113269,0)1(

113269,0)1(

113269,098,0

iiiii +++

++

++

++

+=

Resolvendo-se: i = 2,72% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0,98 CHS PV -0,98 Unidade de capital financiada 0,113269 PMT 0,11 Coeficiente de financiamento 10 n 10,00 Quantidade de prestações i 2,72 Taxa de juros mensal 14) Representando graficamente, temos: 5.000,00 0 1 2 3 4 5 6 (meses) 1.500,00 PMT PMT PMT PMT PMT Sendo: i = 3%a.m. (0,03) n = 5 prestações mensais c = 1 mês

Valor a financiar (PV) = $ 5.000,00 – 30% = $ 3.500,00 PMT = ?

Temos: ( )

( )c

ni

i

iCF +×

+−= − 1

11carência)(c/

( )( )1

5 03,0103,011

03,0+×

+−= −CF

03,1218355,0 ×=CF

224905,0=CF

CFPVPMT ×=

224905,000,500.3 ×=PMT

=PMT $ 787,17 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 3.500,00 CHS PV -3.500,00 Valor a financiar 1 n 1,00 Meses de carência 3 i 3,00 Taxa de juros mensal FV 3.605,00 Valor futuro no mês 1 f FIN CHS PV -3.605,00 Valor presente no mês 1 3 i 3,00 Taxa de juros mensal 5 n 5,00 Quantidade de prestações PMT 787,17 Valor de cada prestação 15) a) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 4.000,00 n = 24 meses

PMT = ?

Temos: ( ) ni

iPVPMT −+−

×=11

( ) 2403,01103,0

00,000.4 −+−×=PMT

059047,1000,000.4 ×=PMT

=PMT $ 236,19 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 4.000,00 CHS PV -4.000,00 Valor a financiar 24 n 24,00 Quantidade de meses 3 i 3,00 Taxa mensal de juros PMT 236,19 Termos do fluxo de caixa b) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 2.500,00 n = 11 meses

PMT = ?

Temos: ( ) ( )

ii

PVPMTn 111

1

1−−+−+

×=

( ) ( )

03,003,011

1

100,500.2

111−−+−+×=PMT

104930,000,500.2 ×=PMT

=PMT $ 262,32

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG g BEG 0,00 Limpa registradores 2.500,00 CHS PV -2.500,00 Valor a financiar 11 n 11,00 Quantidade de meses 3 i 3,00 Taxa mensal de juros PMT 262,32 Termos do fluxo de caixa c) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 6.000,00 n = 9 meses

c = 3 meses PMT = ?

Temos: ( )

( )c

ni

i

iPVPMT +×

+−×= − 1

11carência)(c/

( )( )3

9 03,0103,011

03,000,000.6 +×

+−= −PMT

140343,000,000.6 ×=PMT

=PMT $ 842,06

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 6.00,00 CHS PV -6.000,00 Valor a financiar 3 n 3,00 Meses de carência 3 i 3,00 Taxa de juros mensal FV 6.556,36 Valor futuro no mês 3 f FIN CHS PV -6.556,36 Valor presente no mês 3 3 i 3,00 Taxa de juros mensal 9 n 9,00 Quantidade de meses PMT 842,06 Termos do fluxo de caixa d) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 9.000,00 n = 5 meses (ver fluxo no enunciado do exercício)

PMT = ?


�

� ×==

t

jjniFACPVPMT

1,1

Temos: ��

�

�++++×= 36211573 )03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1)03,1(

1100,000.9PMT

( )345032,0537549,0641862,0813092,0915142,0100,000.9 ++++×=PMT

252677,3100,000.9 ×=PMT

=PMT $ 2.766,95 e) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 10.000,00 n = infinito (ver fluxo no enunciado do exercício)

PMT = ?

Temos: i

PMTPV =

03,000,000.10

PMT=

00,000.1003,0 ×=PMT =PMT $ 300,00 f) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 7.000,00 n = 4 meses

PMT = ? (ver fluxo no enunciado do exercício)

Temos: ( ) =

+=n

j

jj iPMTPV

0

1/

( ) ( ) ( )432 03,013

03,012

03,0103,0100,000.7

+×+

+×+

++

+= PMTPMTPMTPMT

125509,13

092727,12

060900,103,0100,000.7

PMTPMTPMTPMT ×+×+++

=

��

��

� +++=125509,1

3092727,1

2060900,1

103,11

00,000.7 PMT

��

��

� +++=343916,1

582157,3459748,2266770,1304773,100,000.7 PMT

��

��

�=343916,1613448,8

00,000.7 PMT

409214,600,000.7=PMT

=PMT $ 1.092,18

g) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) FV = $ 12.000,00 n = 10 meses

PMT = ?

Temos: i

iPMTFV

n 1)1( −+×=

03,01)03,01(

00,000.1210 −+×= PMT

463879,1100,000.12 ×= PMT

463879,1100,000.12=PMT

=PMT $ 1.046,77

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 12.000 CHS FV -12.000,00 Valor futuro 3 i 3,00 Taxa de juros 10 n 10,00 Quantidade de meses PMT 1.046,77 Termos do fluxo de caixa h) Sendo: i = 3%a.m. (0,03) = ( ) 103,01 2 −+ = 6,09% a.b. (0,0609) FV = $ 24.000,00 n = 7 prestações bimestrais

PMT = ?

Temos: i

iPMTFV

n 1)1( −+×=

0609,01)0609,01(

00,000.247 −+×= PMT

416908,800,000.24 ×= PMT

416908,800,000.24=PMT

=PMT $ 2.851,40

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 24.000 CHS FV -12.000,00 Valor futuro 6,09 i 6,09 Taxa bimestral de juros 7 n 7,00 Quantidade prestações PMT 2.851,40 Termos do fluxo de caixa 16) Valor global do bem arrendado $ 3.500.000,00 Valor residual garantido (VRG) – 6% $ 210.000,00 Prazo 36 meses Periodicidade dos pagamentos Mensal Coeficiente de arrendamento/financiamento – CA 0,054732 Custo do Bem a Recuperar = Valor Global do Bem – VRG

= 3.500.000,00 – 210.000,00 = $ 3.290.000,00

Mês

Valor das contra-prestações: custo do bem

a recuperar x CA ($)

Encargos

sobre o VRG ($)

Amortização do VRG ($)

Contra-prestações

totais ($)

1 a 35 3.290.000,00 ×0,054732 = 180.068,28

210.000,00 × 4,25% = 8.925,00

- 188.993,28

36 180.068,28 8.925,00 210.000,00 398.993,28

Determinando o custo efetivo do arrendamento:

( )[ ] ( )[ ]36,28,993.39835,28,068.18000,000.500.3 iFACiFPV ×+×= Resolvendo-se: i = 4,25% a.m. ou ( ) 10425,01 12 −+ = 0,648... ou 64,8% a.a. Solução na HP-12C:

Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 3.290.000 CHS PV -3.290.000,00 Custo do bem a recuperar 180.068,28 PMT 180.068,28 Valor das contra-prestações 36 n 36,00 Quantidade de pagamentos mensais i 4,25 Custo efetivo mensal do arrendamento f FIN 100 <+> CHS FV -104,25 Transformação para taxa anual 100 PV 100,00 Transformação para taxa anual 30 ENTER 360 ÷ n 0,08 Transformação para taxa anual i 64,78 Custo efetivo anual do arrendamento 17) a) Representando graficamente, temos: Dívida original

15.000,00 25.000,00

0 1 2 3 4 (meses) Nova proposta

PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (meses) PV (momento 4) = ( ) 00,255.15017,0100,000.15 =+× 25.000,00 40.255,00 Então: PV = $ 40.255,11 i = 1,7% a.m. (0,017) n = 4 meses PMT = ?

Logo: i

iPMTPV

n−+−×= )1(1

017,0

)017,01(100,255.40

4−+−×= PMT

835613,300,255.40 ×= PMT

835613,300,255.40=PMT

=PMT $ 10.495,06

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 15.000 <ENTER> 15.000,00 Valor do pagamento no mês 3 1,017 <×> 15.255,00 Capitalização de 1 mês 25.000 <+> CHS PV -40.255,00 Pagamento dos meses 3 e 4 1,7 i 1,70 Taxa de juros negociada 4 n 4,00 Quantidade de pagamentos PMT 10.495,06 Valor de cada parcela a ser paga b) Representando graficamente, temos:

PMT PMT 2 PMT 2 PMT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (meses)

PV (momento 4) = $ 40.255,00

Utilizando a expressão: ( ) =

+=n

j

jj iPMTPV

0

1/

Temos: ( ) ( ) ( )432 017,01

2017,01

2017,01017,01

00,255.40+×+

+×+

++

+= PMTPMTPMTPMT

069754,12

051872,12

034289,1017,100,255.40

PMTPMTPMTPMT ×+×++=

��

��

� +++=069754,1

2051872,1

2034289,1

1017,11

00,255.40 PMT

( )869589,1901372,1966848,0983284,000,255.40 +++= PMT

721093,500,255.40 ×= PMT

721093,500,255.40=PMT

=PMT $ 7.036,24

Então: =5PMT $ 7.036,24

=6PMT $ 7.036,24 =7PMT 2 × $ 7.036,24 = $ 14.072,49 =8PMT 2 × $ 7.036,24 = $ 14.072,49

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 9 – Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 1) O cálculo desse custo é mais facilmente apurado tomando-se uma base = 100. Assim, para um custo do dinheiro de 3,4% a.m., tem-se: (a) Venda a vista

PV = 100 – 5% = 95 (b) Venda a prazo

Entrada = 100 × 40% = 40 Em 30 dias = 100 – 40 / 2 = 30 Em 60 dias = 100 – 40 / 2 = 30

40 30 30

0 1 2 (mês)

( )2034,1

30034,130

40 ++=PV

07,97=PV

Por apresentar menor valor presente (PV), a proposta (a) é a que apresenta o maior custo. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 30 CHS PMT -30,00 Valor das prestações 3,4 i 3,40 Custo do dinheiro 2 n 2,00 Quantidade de prestações PV 57,07 PV das prestações 40 <+> 97,07 PV das prestações + entrada 2) O cálculo dessas perdas é mais facilmente apurado tomando-se uma base = 100. Assim, para um custo do dinheiro de 2,9% a.m., tem-se:

(a) Venda a vista

PV = 100 – 6% = 94 Perda percentual = 100 – 94 = 6%

(b) Venda a prazo I

100

0 1 (mês)

2,97029,1

100 ==PV

Perda percentual = 100 – 97,2 = 2,8%

(b) Venda a prazo II

Entrada = 100 / 5 = 20 Em 30 dias = 100 / 5 = 20 Em 60 dias = 100 / 5 = 20 Em 90 dias = 100 / 5 = 20 Em 120 dias = 100 / 5 = 20

20 20 20 20 20

0 1 2 3 4 (mês)

( ) ( ) ( )432 029,1

20029,120

029,120

029,120

20 ++++=PV

5,94=PV


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 20 CHS PMT -20,00 Valor das prestações 2,9 i 2,90 Custo do dinheiro 4 n 4,00 Quantidade de prestações PV 74,52 PV das prestações 20 <+> 94,52 PV das prestações + entrada 3)

Tomando-se uma base = 100, para um custo do dinheiro de 2,5% a.m., tem-se: Condições originais:

Valor Líquido = 100 – 12% = 88 88

0 1 (mês)

85,85025,188 ==PV


Assim, a empresa pode conceder um desconto de 14,15% para pagamento a vista. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 88 CHS PMT -88,00 Valor da prestação 2,5 i 2,50 Custo do dinheiro 1 n 1,00 Quantidade de prestações PV 85,85 Valor presente CHS ENTER 100 <+> 14,15 Desconto p/ pagamento a vista 4) Tomando-se uma base = 100, para uma taxa corrente de juros de 3,2% a.m., tem-se: Plano I:

Valor Líquido = 100 – 15% = 85 85

0 1 (mês)

4,82032,185 ==PV



Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 85 CHS PMT -85,00 Valor da prestação 3,2 i 3,20 Taxa de juros 1 n 1,00 Quantidade de prestações PV 82,36 Valor presente Plano II:

Valor Líquido = 100 – 15% = 85 10 100

0 1 (mês)

9,86032,1

10010 =−=PV


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 100 CHS PMT -100,00 Valor da prestação 3,2 i 3,20 Taxa de juros 1 n 1,00 Quantidade de prestações PV 96,90 Valor presente da prestação 10 < – > 86,90 PV total 5) Tomando-se uma base = 100, tem-se:

Em 30 dias = 100 / 2 = 50 Em 60 dias = 100 / 2 = 50 100

0 1 2 (mês)

013,1016,1

100×

=PV

=PV 97,16

Redução do poder de compra = 100 – 97,16 = 2,84%


Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 100 CHS FV -100,00 FV no momento 2 1,6 i 1,60 Inflação do segundo mês 1 n 1,00 Atualização de um mês PV 98,43 PV no momento 1 CHS FV -98,43 FV no momento 1 1,3 i 1,30 Inflação do primeiro mês 1 n 1,00 Atualização de um mês PV 97,16 PV total CHS ENTER 100 <+> 2,84 Redução do poder de compra 6) Tomando-se uma base = 100, para uma inflação mensal de 1,2% a.m., tem-se:

100

0 90 (dias)

( )5,96

012,1100

3 ==PV


Portanto, uma taxa de desconto de 3,5% torna equivalente a venda a vista e a venda para recebimento em 90 dias Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 100 CHS FV -100,00 Valor tomado como base 3 n 3,00 Prazo da operação 1,2 i 1,20 Inflação mensal PV 96,48 Valor presente CHS ENTER 100 <+> 3,52 Taxa de desconto 7) Sendo: PV = $ 1.210,00 FV = $ 1.294,00 n = 2 meses (60 dias) i = ?

Temos: ni

FVPV

)1( +=

( )2100,294.1

00,210.1i+

=

( ) 069421,11 2 =+ i

Resolvendo-se:

i = 3,41% a.m.

Calculando o juro total:

( ) 10341,01 2 −+=i i = 0,069… ou 6,9% a.b. Portanto, o acréscimo no preço de venda não cobriu o juro da venda a prazo. O reajuste no preço a prazo é de 6,9%, enquanto o custo financeiro atinge 8,5%. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.210 CHS PV -1.210,00 Preço a vista da mercadoria 1.294 FV 1.294,00 Preço a prazo da mercadoria 2 n 2,00 Prazo de pagamento (60 dias) i 3,41 Taxa de juro mensal f FIN 100 <+> CHS FV -103,41 Transformação para taxa bimestral 100 PV 100,00 Transformação para taxa bimestral 30 ENTER 60 ÷ n 0,05 Transformação para taxa bimestral i 6,94 Custo efetivo total 8) Sendo: PV = $ 800,00 – 8% = $ 736,00 FV = $ 800,00 n = 2 meses (60 dias) i = ?

Temos: ni

FVPV

)1( +=

( )2100,800

00,736i+

=

( ) 086957,11 2 =+ i

Resolvendo-se:

i = 4,26% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 736 CHS PV -736,00 Preço a vista da mercadoria 800 FV 800,00 Preço a prazo da mercadoria 2 n 2,00 Prazo de pagamento (60 dias) i 4,26 Taxa mensal efetiva de juros 9) O cálculo dessa perda é mais facilmente apurado tomando-se uma base = 100. Assim, para um custo do dinheiro de 3,4% a.m., tem-se:

Entrada = 100 × 40% = 40 Em 30 dias = 100 × 40% = 40 Em 60 dias = 100 × 20% = 20 (quitada automaticamente)

40 40 20

0 30 60 (dias)

034,140

40 +=PV

=PV 78,7


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 40 CHS FV -40,00 Valor da prestação em 30 dias 3,4 i 3,40 Custo do dinheiro 1 n 1,00 Prazo do 1º pagamento PV 38,68 PV da prestação 40 <+> 78,68 PV da prestação + entrada CHS ENTER 100 <+> 21,32 Perda percentual

10) Tomando-se por base uma venda de 100 e um custo do dinheiro de 3% a.m., tem-se: (a) custo da venda em 30 dias paga pontualmente:

Valor Líquido = 100 – 20% = 80

03,180=PV

=PV 77,67


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 80 CHS FV -80,00 Valor da venda em 30 dias 3 i 3,00 Custo do dinheiro 1 n 1,00 Prazo do 1º pagamento PV 77,67 Valor presente da venda CHS ENTER 100 <+> 22,33 Custo da venda (b) custo da venda pago com atraso de:

• 3 dias


( )3033

03,1

85=PV

=PV 82,28


Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 85 CHS FV -85,00 Valor da venda em 33 dias 3 i 3,00 Custo do dinheiro 33 ENTER 30 < ÷ > n 1,10 Prazo do 1º pagamento PV 82,28 Valor presente da venda CHS ENTER 100 <+> 17,72 Custo da venda

• 4 dias


( )3034

03,1

90=PV

=PV 87,03



• 6 dias


( )3036

03,1

90=PV

=PV 86,86



• 7 dias


( )3037

03,1

95=PV

=PV 91,6



• 10 dias


( )3040

03,1

95=PV

=PV 91,33



11) Tomando-se como base uma compra no valor de 100 e uma taxa de juro de 2,6% a.m., tem-se: (a) Compra para um único pagamento em 45 dias

100 0 45 (dias)

( )22,96

026,1

100

3045

==PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 100 CHS FV -100,00 Valor da compra p/45 dias 2,6 i 2,60 Taxa de juro 45 ENTER 30 < ÷ > n 1,50 Prazo do 1º pagamento PV 96,22 Valor presente da compra (b) Compra para 4 pagamentos

Valor das prestações = 100 / 4 = 25 25 25 25 25

0 30 60 90 120 (dias)

( ) ( ) ( )432 026,1

25026,125

026,125

026,125 +++=PV

82,93=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 25 CHS PMT -25,00 Valor das prestações 2,6 i 2,60 Taxa de juro 4 n 4,00 Quantidade de prestações PV 93,82 PV das prestações Resposta: Por apresentar o menor valor presente, a melhor alternativa é b.

12) a) Compra a vista

Compra/Pagamento ICMS $ 3.200,00 18% × 3.200,00 = $ 576,00

0 17 (dias)

( )30

17

021,1

00,57600,200.3 −=PV

=PV $ 2.630,74 b) Compra para pagamento ao final de um mês


0 30 47 (dias)

( )30

47

021,1

10,593021,1

00,295.3 −=PV

=PV $ 2.653,13 c) Compra para pagamento ao final de dois meses


0 60 77 (dias)

( ) ( )30

772

021,1

00,594

021,1

00,300.3 −=PV

=PV $ 2.602,50 13) Graficamente, tem-se a seguinte representação:

Entrada Venda Recebimento Comissão Impostos no estoque do veículo da venda ICMS s/ venda s/ venda ($ 10.500,00) $ 16.700,00 ($ 1.750,00) ($ 550,00) ($ 482,00) 0 17 27 31 37 47 (dias)

( )( )

( ) ( ) ( )30201417

10Venda0009,1

00,4820009,1

00,5500009,1

00,750.10016,100,500.10

0016,100,700.16 −−−−=PV

17,46919,54010,728.129,789.1014,435.16Venda −−−−=PV

=VendaPV $ 2.908,39

14) Graficamente, tem-se a seguinte representação: Compra Venda/ Estoque Comissão Pagamento Imposto Pagamento 1º pagamento s/ venda Recebimento 2ª prestação s/ venda 3ª Prestação $ 180,00 P da venda $ 180,00 20% s/ P $ 180,00 0 12 27 30 37 60 (dias) Data Focal Sabe-se ainda: Margem de lucro = 15% s/ preço de venda (0,15)

Taxa de aplicação = 1,2% a.m. (0,012) Taxa de captação = 2,5% a.m. (0,025)

- Pela estrutura do demonstrativo de resultados, tem-se: Preço de Venda a Vista = ( ) 30/15025,1/P

Custo de Compra: ( )( ) ( ) 30/4830/18

3012

012,100,180

012,100,180

025,100,180 ++ = 537,10

Impostos s/Venda: ( )3025

012,1/P20,0 = 0,198021754 P Comissão s/Venda: = 0,03 P

MARGEM = 0,15 P

Resolvendo-se: ( )

PPPP

15,003,01980,010,537025,1 30/15 =−−−

PPPP 15,003,01980,010,5379877,0 =−−−

10,5376097,0 =P

90,880 $=P

15) a) Antes do aumento Custo da compra 100,00 – 12% = $ 88,00 0 30 (dias)

( )300011,100,88=PV

=PV $ 85,14 Após o aumento Custo da compra 108,00 – 12% = $ 95,04 0 30 (dias)

( )300011,104,95=PV

=PV $ 91,96 b) Receita de venda: $ 100,00 × 8% = $ 108,00 Custo do produto: $ 108,00 – 12% = $ 95,04 Impostos: $ 108,00 × 3,6% = $ 3,89 Comissão: $ 108,00 ×3% = $ 3,24

Como a empresa vai demorar vinte dias para vender o produto, a representação gráfica fica assim: Venda/ Pagamento Impostos Comissão Recebimento Fornecedor 3,6% 3% $ 108,00 $ 95,04 $ 3,89 $ 3,24

0 10 15 20 (dias)

( ) ( ) ( )201510 0011,124,3

0011,189,3

0011,104,95

00,108 −−−=PV

17,383,300,9400,108 −−−=PV

=PV $ 7,00

c) Receita de venda: $ 100,00 × 8% = $ 108,00 Custo do produto: $ 100,00 – 12% = $ 88,00 Impostos: $ 108,00 × 3,6% = $ 3,89 Comissão: $ 108,00 ×3% = $ 3,24 Como a empresa vai demorar trinta dias para vender o produto, a representação gráfica fica assim: Venda/Receb. $ 108,00 Impostos Comissão Pag. Fornecedor $ 88,00 3,6% 3% $ 3,89 $ 3,24

0 15 20 (dias) Data Focal

( ) ( )2015 0011,124,3

0011,189,3

00,8800,108 −−−=PV

17,383,300,8800,108 −−−=PV

=PV $ 13,00

16) a) Graficamente, tem-se a seguinte representação:

Venda/ Desp. Var. = 72,00 Impostos s/ Pagamento Recebimento Desp. Fixas = 21,00 Vendas (18%) Fornecedor $ 360,00 $ 64,80 $ 162,00

0 15 20 30 (dias)

( ) ( ) ( ) 022,100,162

022,1

80,64

022,1

00,21

022,1

00,7200,360

3020

3015

3015

−−−−=PV

51,15887,6377,2022,7100,360 −−−−=PV

=PV $ 45,63

b) Chamando de P o valor de cada parcela, temos:

63,4551,15887,6377,2022,71022,1

=−−−−+ PP

00,360022,1

022,1 =+ PP

022,292,367=P

=P $ 181,96

Preço do bem = 2P = 2 × $ 181,96 = 363,92 Ou seja, se a empresa vender o produto a prazo em duas parcelas de $ 181,96 ela terá o seu resultado inalterado (em $). Podemos verificar isso da seguinte maneira:

PV da 1ª parcela (entrada) $ 181,96

PV da 2ª parcela = 022,1

96,181 $ 178,04

(-) PV das despesas variáveis ($ 71,22)

(-) PV das despesas fixas ($ 20,77)

(-) PV dos impostos s/ vendas ($ 63,87)

(-) PV do pagamento do fornecedor ($ 158,51)

Resultado $ 45,63

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 10 – Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 1) Projeto A

( ) ( ) ( )33

22

11

0111 i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

+=

( ) ( ) ( )32 100,000.3

100,000.4

100,000.5

00,000.10iii +

++

++

=

Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:

=AIRR 10,65% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 10.000 CHS g 0CF -10.000,00 Valor do investimento 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 4.000 g jCF 4.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 3.000 g jCF 3.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 f IRR 10,65 Taxa interna de retorno (IRR) Projeto B

( ) ( ) ( )33

22

11

0111 i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

+=

( ) ( ) ( )32 100,000.15

100,000.12

100,000.9

00,000.30iii +

++

++

=


=BIRR 8,90% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 30.000 CHS g 0CF -30.000,00 Valor do investimento 9.000 g jCF 9.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 12.000 g jCF 12.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 15.000 g jCF 15.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 f IRR 8,90 Taxa interna de retorno (IRR) Projeto C

( ) ( ) ( )33

22

11

0111 i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

+=

( ) ( ) ( )32 100,000.20

100,000.10

100,000.30

00,000.50iii +

++

++

=


=CIRR 10,70% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 50.000 CHS g 0CF -50.000,00 Valor do investimento 30.000 g jCF 30.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 10.000 g jCF 10.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 20.000 g jCF 20.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 f IRR 10,70 Taxa interna de retorno (IRR) 2) Representando graficamente, temos: 50.000,00 50.000,00 70.000,00 70.000,00 80.000,00 80.000,00 80.000,00 0 1 2 3 4 5 6 7 (meses)

( ) +

==

n

jj

j

i

FCFC

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

100,000.80

100,000.70

100,000.70

100,000.50

100,000.50

00,000.360 5432 ++

++

++

++

++

=iiiii

( ) ( )76 100,000.80

100,000.80

...ii +

++

+


i = 7,08% a.a. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 360.000 CHS g 0CF -50.000,00 Valor do investimento 50.000 g jCF 50.000,00 Valor da prestação 1 50.000 g jCF 50.000,00 Valor da prestação 2 70.000 g jCF 70.000,00 Valor da prestação 3 70.000 g jCF 70.000,00 Valor da prestação 4 80.000 g jCF 80.000,00 Valor da prestação 5 80.000 g jCF 80.000,00 Valor da prestação 6 80.000 g jCF 80.000,00 Valor da prestação 7 f IRR 7,08 Custo mensal pela IRR 3) Representando graficamente, temos: 8.600,00 8.600,00 8.600,00 8.600,00 8.600,00 8.600,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (trimestres) carência

( ) +

==

n

jj

j

i

FCFC

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )876543 100,600.8

100,600.8

100,600.8

100,600.8

100,600.8

100,600.8

00,000.25iiiiii +

++

++

++

++

++

=

Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: IRR = 14,65% a.t.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 25.000 CHS g 0CF -25.000,00 Valor do financiamento 0 g jCF 0,00 Carência 2 g jN 2,00 Trimestres de carência 8.600 g jCF 8.600,00 Valor das prestações 6 g jN 6,00 Quantidade de prestações f IRR 14,65 IRR trimestral da operação 4) Representando graficamente, temos:

218.720,00 17 28 34 53 0 28.000,00 65.000,00 47.000,00 88.000,00

( ) ( ) ( ) ( )44

33

22

11

01111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( )53342817 100,000.88

100,000.47

100,000.65

100,000.28

00,720.218iiii +

++

++

++

=


i = 3,39% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 218.720 CHS g 0CF -218.720,00 Importância creditada pelo banco 0 g jCF 0,00 Não houve fluxo 16 g jN 16,00 Intervalo de tempo entre duplicatas 28.000 g jCF 28.000,00 Valor da primeira duplicata 0 g jCF 0,00 Não houve fluxo 10 g jN 10,00 Intervalo de tempo entre duplicatas 65.000 g jCF 65.000,00 Valor da segunda duplicata 0 g jCF 0,00 Não houve fluxo 5 g jN 5,00 Intervalo de tempo entre duplicatas 47.000,00 g jCF 47.000,00 Valor da terceira duplicata

0 g jCF 0,00 Não houve fluxo 18 g jN 18,00 Intervalo de tempo entre duplicatas 88.000 g jCF 88.000,00 Valor da quarta duplicata f IRR 0,11 Taxa efetiva diária de juros 100 + CHS FV -100,11 Determinação da taxa mensal 100 PV 100,00 Determinação da taxa mensal 1 ENTER 30 ÷ n 0,03 Determinação da taxa mensal i 3,39 Taxa efetiva mensal de juros 5) a) Representando graficamente os projetos, temos: Projeto A 10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 0 1 2 3 4 (anos) 25.000,00

( ) ( ) ( ) ( )44

33

22

11

01111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( )432 100,000.4

100,000.6

100,000.8

100,000.10

00,000.25iiii +

++

++

++

=


=AIRR 5,51% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 25.000 CHS g 0CF -25.000,00 Valor do investimento 10.000 g jCF 10.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 8.000 g jCF 8.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 6.000 g jCF 6.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 4.000 g jCF 4.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 f IRR 5,51 Taxa interna de retorno (IRR)

Projeto B 40.000,00 20.000,00 20.000,00 10.000,00 0 1 2 3 4 (anos) 70.000,00

( ) ( ) ( ) ( )44

33

22

11

01111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( )432 100,000.10

100,000.20

100,000.20

100,000.40

00,000.70iiii +

++

++

++

=


=BIRR 13,91% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 70.000 CHS g 0CF -70.000,00 Valor do investimento 40.000 g jCF 40.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 20.000 g jCF 20.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 20.000 g jCF 20.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 10.000 g jCF 10.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 f IRR 13,91 Taxa interna de retorno (IRR) b) Projeto A

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.2510,01

00,000.4

10,01

00,000.6

10,01

00,000.810,0100,000.10

432 −��

�

�

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.2505,732.289,507.457,611.691,090.9 −+++=NPV

=NPV – $ 2.057,58

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 25.000 CHS g 0CF -25.000,00 Valor do investimento 10.000 g jCF 10.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 8.000 g jCF 8.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 6.000 g jCF 6.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 4.000 g jCF 4.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 10 i 10,00 Taxa interna de retorno (IRR) f NPV - 2.057,58 Valor presente líquido (NPV) Projeto B

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.7010,01

00,000.10

10,01

00,000.20

10,01

00,000.2010,0100,000.40

432 −��

�

�

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.7013,830.630,026.1593,528.1664,363.36 −+++=NPV

=NPV $ 4.748,99

O Projeto B deve ser aceito, pois, possui NPV superior a zero. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 70.000 CHS g 0CF -70.000,00 Valor do investimento 40.000 g jCF 40.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 20.000 g jCF 20.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 20.000 g jCF 20.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 10.000 g jCF 10.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 10 i 10,00 Taxa interna de retorno (IRR) f NPV 4.748,99 Valor presente líquido (NPV) 6) a) Para uma taxa de desconto de 16%, somente o Projeto B pode ser aceito, pois é o único que apresenta NPV positivo. b) O Projeto B é o que apresenta a maior rentabilidade periódica pois, com a maior taxa de desconto (20%) é o que apresenta maior NPV.

c) A IRR do Projeto D é 12%, pois é a taxa de desconto que iguala o valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos), implicando em um NPV igual a zero d) A IRR do Projeto D, como vimos, é 12% enquanto que a IRR do Projeto C é superior a 12%. Sabemos disso porque o NPV do Projeto C se iguala a zero no intervalo de 12 a 16%, conforme observado na tabela. Logo, C apresenta maior IRR. e) Maior, pois o NPV do Projeto B se iguala a zero no intervalo superior a 20%, conforme observado na tabela. f) Sim, pois o NPV do Projeto A se iguala a zero no intervalo inferior a 8%, conforme observado na tabela. 7) Representando graficamente os dois projetos, temos: 7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 0 1 2 3 4 5 (anos) 15.000,00 � Taxa de desconto = 0%

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) 00,000.1500,000.100,000.200,000.300,000.500,000.7 −++++=NPV

=NPV $ 3.000,00

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 15.000 CHS g 0CF -15.000,00 Valor do investimento 7.000 g jCF 7.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 3.000 g jCF 3.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 2.000 g jCF 2.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 1.000 g jCF 1.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 f NPV 3.000,00 Valor presente líquido (NPV)

� Taxa de desconto = 5%

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.1505,01

00,000.1

05,01

00,000.2

05,01

00,000.3

05,01

00,000.505,0100,000.7

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.1553,78340,645.151,591.215,535.467,666.6 −++++=NPV

=NPV $ 1.222,26

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 15.000 CHS g 0CF -15.000,00 Valor do investimento 7.000 g jCF 7.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 3.000 g jCF 3.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 2.000 g jCF 2.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 1.000 g jCF 1.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 5 i 5,00 Taxa interna de retorno (IRR) f NPV 1.222,26 Valor presente líquido (NPV) � Taxa de desconto = 10%

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.1510,01

00,000.1

10,01

00,000.2

10,01

00,000.3

10,01

00,000.510,0100,000.7

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.1592,62003,366.194,253.223,132.464,363.6 −++++=NPV

=NPV – $ 263,24

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 15.000 CHS g 0CF -15.000,00 Valor do investimento 7.000 g jCF 7.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 2

3.000 g jCF 3.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 2.000 g jCF 2.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 1.000 g jCF 1.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 10 i 10,00 Taxa interna de retorno (IRR) f NPV - 263,24 Valor presente líquido (NPV) � Taxa de desconto = 15%

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.1515,01

00,000.1

15,01

00,000.2

15,01

00,000.3

15,01

00,000.515,0100,000.7

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.1518,49751,143.155,972.172,780.396,086.6 −++++=NPV

=NPV – $ 1.519,09

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 15.000 CHS g 0CF -15.000,00 Valor do investimento 7.000 g jCF 7.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 3.000 g jCF 3.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 2.000 g jCF 2.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 1.000 g jCF 1.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 15 i 15,00 Taxa interna de retorno (IRR) f NPV -1.519,09 Valor presente líquido (NPV) � Taxa de desconto = 20%

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.1520,01

00,000.1

20,01

00,000.2

20,01

00,000.3

20,01

00,000.520,0100,000.7

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.1588,40151,96411,736.122,472.333,833.5 −++++=NPV

=NPV – $ 2.591,95

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 15.000 CHS g 0CF -15.000,00 Valor do investimento 7.000 g jCF 7.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 3.000 g jCF 3.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 2.000 g jCF 2.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 1.000 g jCF 1.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 20 i 20,00 Taxa interna de retorno (IRR) f NPV -2.591,95 Valor presente líquido (NPV) 8) Investimento Líquido

Valor Bruto do Ativo: $ 140.000,00 Valor Residual Atualizado:

$ 15.000,00 / (1,12) 7 $ 6.785,24 Investimento Líquido: $ 133.214,76

Custo Equivalente Anual Custo Anual do Investimento: $ 29.189,72 1 Custo Operacional: $ 45.514,65 2

Custo Equivalente Anual: $ 74.704,37 1 Cálculo do Custo Anual do Investimento:

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

7) (12%,76,214.133 FPVPMT ×=

12,0)12,01(1

76,214.1337−+−×= PMT

563757,476,214.133 ×= PMT

563757,476,214.133=PMT

=PMT $ 29.189,72 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 133.214,76 CHS PV -133.214,76 Investimento líquido 7 n 7,00 Vida útil estimada 12 i 12,00 Taxa de juro PMT 29.189,72 PMT do custo operacional 2 Cálculo do Custo Operacional:

Representando graficamente os custos operacionais anuais, temos: 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 0 1 2 3 4 5 6 7 (anos)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )765432 12,0100,000.80

12,0100,000.70

12,0100,000.60

12,0100,000.50

12,0100,000.40

12,0100,000.30

12,0100,000.20

++

++

++

++

++

++

+=PV

94,187.3618,464.3561,045.3490,775.3121,471.2882,915.2314,857.17 ++++++=PV

=PV $ 207.717,80

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

7) (12%,80,717.207 FPVPMT ×=

12,0)12,01(1

80,717.2077−+−×= PMT

563757,480,717.207 ×= PMT

563757,480,717.207=PMT

=PMT $ 45.514,65

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 207.717,80 CHS PV -207.717,80 PV dos custos operacionais anuais 7 n 7,00 Vida útil estimada 12 i 12,00 Taxa de juro PMT 45.514,65 PMT do custo operacional 9) a) Representando graficamente os projetos, temos: Projeto A 9.000,00 21.000,00 30.000,00 18.000,00 24.000,00 0 1 2 3 4 5 (anos) 45.000,00

( ) ( ) ( ) ( ) ( )55

44

33

22

11

011111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432 100,000.24

100,000.18

100,000.30

100,000.21

100,000.9

00,000.45iiiii +

++

++

++

++

=


=AIRR 30,78% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 45.000 CHS g 0CF -45.000,00 Valor do investimento 9.000 g jCF 9.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 21.000 g jCF 21.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 30.000 g jCF 30.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 18.000 g jCF 18.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 f IRR 30,78 Taxa interna de retorno (IRR)

Projeto B 12.000,00 15.000,00 18.000,00 33.000,00 39.000,00 0 1 2 3 4 5 (anos) 45.000,00

( ) ( ) ( ) ( ) ( )55

44

33

22

11

011111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432 100,000.39

100,000.33

100,000.18

100,000.15

100,000.12

00,000.45iiiii +

++

++

++

++

=


=BIRR 33,07% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 45.000 CHS g 0CF -45.000,00 Valor do investimento 12.000 g jCF 12.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 15.000 g jCF 15.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 18.000 g jCF 18.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 33.000 g jCF 33.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 39.000 g jCF 39.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 f IRR 33,07 Taxa interna de retorno (IRR) Projeto C 24.000,00 21.000,00 15.000,00 60.000,00 135.000,00 0 1 2 3 4 5 (anos) 75.000,00

( ) ( ) ( ) ( ) ( )55

44

33

22

11

011111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432 100,000.135

100,000.60

100,000.15

100,000.21

100,000.24

00,000.75iiiii +

++

++

++

++

=


=CIRR 39,45% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 75.000 CHS g 0CF -75.000,00 Valor do investimento 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 21.000 g jCF 21.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 15.000 g jCF 15.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 60.000 g jCF 60.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 135.000 g jCF 135.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 f IRR 39,45 Taxa interna de retorno (IRR) b) � Taxa de retorno requerida = 25%a.a. Projeto A

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.4525,01

00,000.24

25,01

00,000.18

25,01

00,000.30

25,01

00,000.2125,0100,000.9

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=ANPV

( ) 00,000.4532,864.780,372.700,360.1500,440.1300,200.7 −++++=ANPV

=ANPV $ 6.237,12

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 45.000 CHS g 0CF -45.000,00 Valor do investimento 9.000 g jCF 9.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 21.000 g jCF 21.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 30.000 g jCF 30.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 18.000 g jCF 18.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 25 i 25,00 Taxa de retorno requerida f NPV 6.237,12 Valor presente líquido (NPV)

Projeto B

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.4525,01

00,000.39

25,01

00,000.33

25,01

00,000.18

25,01

00,000.1525,0100,000.12

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=BNPV

( ) 00,000.4552,779.1280,516.1300,216.900,600.900,600.9 −++++=BNPV

=BNPV $ 9.712,32

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 45.000 CHS g 0CF -45.000,00 Valor do investimento 12.000 g jCF 12.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 15.000 g jCF 15.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 18.000 g jCF 18.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 33.000 g jCF 33.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 39.000 g jCF 39.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 25 i 25,00 Taxa de retorno requerida f NPV 9.712,32 Valor presente líquido (NPV) Projeto C

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.7525,01

00,000.135

25,01

00,000.60

25,01

00,000.15

25,01

00,000.2125,0100,000.24

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=CNPV

( ) 00,000.7580,236.4400,576.2400,680.700,440.1300,200.19 −++++=CNPV

=CNPV $ 34.132,80

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 75.000 CHS g 0CF -75.000,00 Valor do investimento 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 1

21.000 g jCF 21.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 15.000 g jCF 15.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 60.000 g jCF 60.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 135.000 g jCF 135.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 25 i 25,00 Taxa de retorno requerida f NPV 34.132,80 Valor presente líquido (NPV) c) Se os projetos forem independentes, todos os projetos poderão ser selecionados, pois apresentam uma IRR superior à taca mínima de retorno requerida e um NPV positivo. d) Se os projetos forem mutuamente excludentes, o método do valor presente líquido é aceito como o que produz as melhores recomendações. A aplicação da IRR identifica algumas dificuldades em relação à seleção das alternativas, pois o método não leva em conta a escala do investimento, conforme estudado. Portanto, o Projeto C deve ser aceito por possuir maior NPV. 10) a) Projeto I

� Valor presente líquido 36.000,00 30.000,00 24.000,00 24.000,00 0 1 2 3 4 (anos) 52.000,00

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.5230,01

00,000.24

30,01

00,000.24

30,01

00,000.3030,0100,000.36

432 −��

�

�

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.5207,403.899,923.1048,751.1731,692.27 −+++=NPV

=NPV $ 12.770,84

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 52.000 CHS g 0CF -52.000,00 Valor do investimento 36.000 g jCF 36.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 30.000 g jCF 30.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 30 i 30,00 Taxa de retorno exigida f NPV 12.770,84 Valor presente líquido (NPV)

� Taxa interna de retorno

( ) ( ) ( ) ( )44

33

22

11

01111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( )432 100,000.24

100,000.24

100,000.30

100,000.36

00,000.52iiii +

++

++

++

=


=IRR 45,59% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 52.000 CHS g 0CF -52.000,00 Valor do investimento 36.000 g jCF 36.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 30.000 g jCF 30.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 f IRR 45,59 Taxa interna de retorno (IRR) Projeto II

� Valor presente líquido

12.000,00 16.000,00 54.000,00 68.000,00 0 1 2 3 4 (anos) 52.000,00

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.5230,01

00,000.68

30,01

00,000.54

30,01

00,000.1630,0100,000.12

432 −��

�

�

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.5269,808.2397,578.2446,467.977,230.9 −+++=NPV

=NPV $ 15.085,89

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 52.000 CHS g 0CF -52.000,00 Valor do investimento 12.000 g jCF 12.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 16.000 g jCF 16.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 54.000 g jCF 54.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 68.000 g jCF 68.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 30 i 30,00 Taxa de retorno exigida f NPV 15.085,89 Valor presente líquido (NPV)

� Taxa interna de retorno

( ) ( ) ( ) ( )44

33

22

11

01111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( )432 100,000.68

100,000.54

100,000.16

100,000.12

00,000.52iiii +

++

++

++

=


=IRR 41,97% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 52.000 CHS g 0CF -52.000,00 Valor do investimento 12.000 g jCF 12.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 16.000 g jCF 16.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 54.000 g jCF 54.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 68.000 g jCF 68.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 f IRR 41,97 Taxa interna de retorno (IRR)

b) Se independentes, os dois projetos são recomendados. Se mutuamente excludentes, o projeto mais atraente é o de maior valor presente líquido (projeto II) c) Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Invest. I ($ 52.000,00) 36.000,00 30.000,00 24.000,00 24.000,00 Invest. II ($ 52.000,00) 12.000,00 16.000,00 54.000,00 68.000,00 ( I – II ) 0 24.000,00 14.000,00 (30.000,00) (44.000,00) Apurando-se a taxa interna de retorno do investimento incremental, chega-se à taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos (intersecção de Fischer): IRR LINCREMENTA = 34,95% a.a. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Valor do investimento 24.000 g jCF 24.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 14.000 g jCF 14.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 30.000 CHS g jCF -30.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 44.000 CHS g jCF -44.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 f IRR 34,95 Intersecção de Fischer 11) Representando graficamente o investimento, temos: 2.000,00 4.000,00 4.000,00 6.000,00 6.000,00 0 1 2 3 4 5 (anos) 12.000,00 a) Cálculo do valor presente líquido (NPV): � Taxa de retorno exigida = 15%

( ) −+

==

n

jj

j FCi

FCNPV

10

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,000.1215,01

00,000.6

15,01

00,000.6

15,01

00,000.4

15,01

00,000.415,0100,000.2

5432 −��

�

�

++

++

++

++

+=NPV

( ) 00,000.1206,983.252,430.306,630.257,024.313,739.1 −++++=NPV

=NPV $ 1.807,35

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 12.000 CHS g 0CF -12.000,00 Valor do investimento 2.000 g jCF 2.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 4.000 g jCF 4.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 4.000 g jCF 4.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 6.000 g jCF 6.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 6.000 g jCF 6.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 15 i 15,00 Taxa de retorno exigida f NPV 1.807,35 Valor presente líquido (NPV) b) Cálculo da taxa interna de retorno (IRR):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )55

44

33

22

11

011111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432 100,000.6

100,000.6

100,000.4

100,000.4

100,000.2

00,000.12iiiii +

++

++

++

++

=


IRR = 20,2% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 12.000 CHS g 0CF -12.000,00 Valor do investimento 2.000 g jCF 2.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 4.000 g jCF 4.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 4.000 g jCF 4.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 6.000 g jCF 6.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 6.000 g jCF 6.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 f IRR 20,20 Taxa interna de retorno (IRR)

c) Cálculo do índice de lucratividade (IL):

(Saídas) (Entradas)

PVPV

IL =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432 15,0100,000.6

15,0100,000.6

15,0100,000.4

15,0100,000.4

15,0100,000.2

(Entradas) +

++

++

++

++

=PV

=(Entradas) PV $ 13.807,35

00,000.1235,807.13=IL

=IL 1,1506

d) Cálculo da taxa de rentabilidade (IR):

Capital deDesembolso

NPVTR =

00,000.1235,807.1=TR

=TR 0,1506 ou 15,06%

12) Investimento Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3

W - $ 280,00 $ 70,00 $ 110,00 $ 260,00 Z - $ 280,00 $ 180,00 $ 120,00 $ 100,00

( Z – W ) $ 0,00 - $ 110,00 - $ 10,00 $ 160,00 Apurando-se a taxa interna de retorno do investimento incremental, chega-se à taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos (intersecção de Fischer): IRR LINCREMENTA = 16,14% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Valor do investimento 110 CHS g jCF -110,00 Fluxo de caixa no ano 1 10 CHS g jCF -10,00 Fluxo de caixa no ano 2 160 g jCF -160,00 Fluxo de caixa no ano 3 f IRR 16,14 Intersecção de Fischer 13) Representando graficamente a dívida original, temos: $ 4.700,00 $ 6.400,00 $ 8.100,00

0 60 90 100 (dias) Para uma taxa de juros de 1,8% a.m., temos:

( ) ( ) ( ) 30100

3090

3060

018,01

00,100.8

018,01

00,400.6

018,01

00,700.4

++

++

+=PV

36,632.748,066.626,535.4 ++=PV

=PV $ 18.234,10

Representando graficamente a proposta, temos:

0 $ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20 PV=$ 18.234,10 90 120 150 180 210 240(dias)

( ) = +

=n

jji

PMTPV

0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30240

30210

30180

30150

30120

3090

1

20,432.3

1

20,432.3

1

20,432.3

1

20,432.3

1

20,432.3

1

20,432.310,234.18

iiiiii ++

++

++

++

++

+=

Resolvendo-se: =i 2,25% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 18.234,10 CHS g 0CF -18.234,10 Valor presente da dívida 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento 89 g jN 0,00 Prazo da carência 3.432,20 g jCF 3.432,20 Valor do primeiro pagamento 0 g jCF 0,00 Fluxo zero 29 g jN 0,00 Prazo sem pagamento 3.432,20 g jCF 3.432,20 Valor do segundo pagamento 0 g jCF 0,00 Fluxo zero 29 g jN 0,00 Prazo sem pagamento 3.432,20 g jCF 3.432,20 Valor do terceiro pagamento 0 g jCF 0,00 Fluxo zero 29 g jN 0,00 Prazo sem pagamento 3.432,20 g jCF 3.432,20 Valor do quarto pagamento 0 g jCF 0,00 Fluxo zero 29 g jN 0,00 Prazo sem pagamento 3.432,20 g jCF 3.432,20 Valor do quinto pagamento 0 g jCF 0,00 Fluxo zero 29 g jN 0,00 Prazo sem pagamento 3.432,20 g jCF 3.432,20 Valor do sexto pagamento f IRR 0,07 Custo efetivo diário 100 <+> CHS FV -100,07 Transformação para custo mensal 100 PV 100,00 Transformação para custo mensal 1 ENTER 30 ÷ n 0,03 Transformação para custo mensal i 2,25 Custo efetivo mensal 14) Representando graficamente a compra, temos:

$ 2.200,00 $ 3.060,00 $ 3.060,00 $ 3.060,00 0 2 3 5 (meses)

$ 11.000,00

( ) = +

=n

jji

PMTPV

0 1

( ) ( ) ( )532 100,060.3

100,060.3

100,060.3

00,200.200,000.11iii +

++

++

=−

Resolvendo-se: =i 1,28% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 8.800 CHS g 0CF -8.800,00 Valor da dívida menos entrada 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento 3.060 g jCF 3.060,00 Valor do primeiro pagamento 3.060 g jCF 3.060,00 Valor do segundo pagamento 0 g jCF 0,00 Não houve pagamento 3.060 g jCF 3.060,00 Valor do terceiro pagamento f IRR 1,28 Custo efetivo mensal 15) Representando graficamente o investimento, temos: 140.000,00 200.000,00 250.000,00 300.000,00 500.000,00 0 1 2 3 4 5 (anos)

700.000,00 a) Cálculo da taxa interna de retorno (IRR):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )55

44

33

22

11

011111 i

FC

i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

++

++

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432 100,000.500

100,000.300

100,000.250

100,000.200

100,000.140

00,000.700iiiii +

++

++

++

++

=

Resolvendo-se:

IRR = 22,39% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 700.000 CHS g 0CF -700.000,00 Valor do investimento 140.000 g jCF 140.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 200.000 g jCF 200.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 250.000 g jCF 250.000,00 Fluxo de caixa no ano 3

300.000 g jCF 300.000,00 Fluxo de caixa no ano 4 500.000 g jCF 500.000,00 Fluxo de caixa no ano 5 f IRR 22,39 Taxa interna de retorno (IRR) b)

• Montante da Reaplicação das Entradas de Caixa (FV):

( ) ( ) ( )234 15,100,000.25015,100,000.20015,100,000.140 ++=FV ( ) 00,000.50015,100,000.300 ++

=FV $ 1.724.660,88

• Valor do Investimento (PV):

=PV $ 700.000,00

• Rentabilidade periódica:

IRR (i) = 100,000.70088,660.724.1 −

IRR (i) = 146,38% p/ todo o período (4 anos),

Equivalendo a : IRR (i) = ( ) ...1976,01463801,11 5/1 =−+ ou 19,76% a.a. 16) Representando graficamente os dois investimentos, temos: Projeto X $ 15.000,00 $ 10.000,00 $ 5.000,00 0

1 2 3 (anos)

$ 20.000,00 Projeto W $ 100.000,00 $ 50.000,00 $ 40.000,00 0

1 2 3 (anos)

$ 150.000,00

a) Cálculo da taxa interna de retorno (IRR): Projeto X

( ) ( ) ( )33

22

11

0111 i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

+=

( ) ( ) ( )32 100,000.5

100,000.10

100,000.15

00,000.20iii +

++

++

=

Resolvendo-se:

IRR X = 28,86% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 20.000 CHS g 0CF -20.000,00 Valor do investimento 15.000 g jCF 15.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 10.000 g jCF 10.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 f IRR 28,86 Taxa interna de retorno (IRR) Projeto W

( ) ( ) ( )33

22

11

0111 i

FC

i

FC

i

FCFC

++

++

+=

( ) ( ) ( )32 100,000.40

100,000.50

100,000.100

00,000.150iii +

++

++

=

Resolvendo-se:

IRR W = 15,51% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 150.000 CHS g 0CF -150.000,00 Valor do investimento 100.000 g jCF 100.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 50.000 g jCF 50.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 40.000 g jCF 40.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 f IRR 15,51 Taxa interna de retorno (IRR)

b) Com base no método da IRR, a alternativa X é a mais rentável, com maior IRR c) Na avaliação pelo método da IRR, a característica ignorada é a diferença de escala dos investimentos d)

Projeto Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 X - $ 20.000,00 $ 15.000,00 $ 10.000,00 $ 5.000,00 W - $ 150.000,00 $ 100.000,00 $ 50.000,00 $ 40.000,00

( X – W ) $ 130.000,00 - $ 85.000,00 - $ 40.000,00 - $ 35.000,00 Apurando-se a taxa interna de retorno do investimento incremental, chega-se à taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos: IRR LINCREMENTA = 13,43% a.a. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 130.000 g 0CF 130.000,00 Valor do investimento incremental 85.000 CHS g jCF -85.000,00 Fluxo incremental no ano 1 40.000 CHS g jCF -40.000,00 Fluxo incremental no ano 2 35.000 CHS g jCF -35.000,00 Fluxo incremental no ano 3 f IRR 13,43 IRR incremental e) � Taxa de desconto apropriada = 12% Projeto X

( ) =

−+

=n

jj

j FCi

FCNPV

101

( ) ( ) ( ) 00,000.2012,01

00,000.512,01

00,000.1012,01

00,000.1532 −��

�

�

++

++

+=NPV

( ) 00,000.2090,558.394,971.786,392.13 −++=NPV

=XNPV $ 4.923,70

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 20.000 CHS g 0CF -20.000,00 Valor do investimento 15.000 g jCF 15.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 10.000 g jCF 10.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 5.000 g jCF 5.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 12 i 12,00 Taxa de desconto apropriada f NPV 4.923,70 Valor presente líquido (NPV) Projeto W

( ) =

−+

=n

jj

j FCi

FCNPV

101

( ) ( ) ( ) 00,000.15012,01

00,000.4012,01

00,000.5012,01

00,000.10032 −��

�

�

++

++

+=NPV

( ) 00,000.15021,471.2869,859.3871,285.89 −++=NPV

=WNPV $ 7.616,62

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 150.000 CHS g 0CF -150.000,00 Valor do investimento 100.000 g jCF 100.000,00 Fluxo de caixa no ano 1 50.000 g jCF 50.000,00 Fluxo de caixa no ano 2 40.000 g jCF 40.000,00 Fluxo de caixa no ano 3 12 i 12,00 Taxa de desconto apropriada f NPV 7.616,62 Valor presente líquido (NPV) Portanto, se a taxa de desconto apropriada para os investimentos for de 12%, o projeto W deve ser o escolhido, pois produz maior valor presente líquido. 17) Recuperação do Investimento

( )nFPVPMT %,1000,000.45 ×=

� Ano 1

00,500.49 $1,100,000.45 $ =× � Ano 2

( )2 %,1000,000.45 $ FPVPMT ×= PMT = $ 25.928,60

� Ano 3

( )3 %,1000,000.45 $ FPVPMT ×= PMT = $ 18.095,20

� Ano 4

( )4 %,1000,000.45 $ FPVPMT ×= PMT = $ 14.196,20

� Ano 5

( )5 %,1000,000.45 $ FPVPMT ×= PMT = $ 11.870,90

� Ano 6

( )6 %,1000,000.45 $ FPVPMT ×= PMT = $ 10.332,30

� Ano 7

( )7 %,1000,000.45 $ FPVPMT ×= PMT = $ 9,243,20

� Ano 8

( )8 %,1000,000.45 $ FPVPMT ×= PMT = $ 8,435,00

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 45.000,00 CHS PV -45.000,00 Valor de aquisição da máquina 10 i 10,00 Taxa de juros anual 1 n 1,00 Prazo

PMT 49.500,00 Valor a recuperar – ano 1 2 n 2,00 Prazo PMT 25.928,57 Valor a recuperar – ano 2 3 n 3,00 Prazo PMT 18.095,17 Valor a recuperar – ano 3 4 n 4,00 Prazo PMT 14.196,19 Valor a recuperar – ano 4 5 n 5,00 Prazo PMT 11.870,89 Valor a recuperar – ano 5 6 n 6,00 Prazo PMT 10.332,33 Valor a recuperar – ano 6 7 n 7,00 Prazo PMT 9.243,25 Valor a recuperar – ano 7 8 n 8,00 Prazo PMT 8.434,98 Valor a recuperar – ano 8 Despesas de Manutenção � Ano 2

( )( )2 %,10

10,100,000.62 FPVPMT +=

PMT = $ 2.857,10

� Ano 3

( ) ( ) ( )3 %,1010,1

00,000.910,1

00,000.632 FPVPMT +=+

PMT = $ 4.713,00

� Ano 4

( ) ( ) ( ) ( )4 %,1010,1

00,500.1310,1

00,000.910,1

00,000.6432 FPVPMT +=++

PMT = $ 6.606,30

� Ano 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 %,1010,1

00,250.2010,1

00,500.1310,1

00,000.910,1

00,000.65432 FPVPMT +=+++

PMT = $ 8.841,10

� Ano 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 %,1010,1

00,375.3010,1

00,250.2010,1

00,500.1310,1

00,000.910,1

00,000.665432 FPVPMT +=++++

PMT = $ 11.632,10

� Ano 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++++ 765432 10,150,562.45

10,100,375.30

10,100,250.20

10,100,500.13

10,100,000.9

10,100,000.6

( )7 %,10FPVPMT +=

PMT = $ 15.208,50

� Ano 8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++++ 8765432 10,175,343.68

10,150,562.45

10,100,375.30

10,100,250.20

10,100,500.13

10,100,000.9

10,100,000.6

( )8 %,10FPVPMT +

PMT = $ 19.854,90

Despesas de Operação � Ano 1

PMT = $ 3.200,00 � Ano 2

( )( )2 %,10

10,100,200.5

10,100,200.3

2 FPVPMT +=+

PMT = $ 4.152,40

� Ano 3

( ) ( ) ( )3 %,1010,1

00,200.710,1

00,200.510,1

00,200.332 FPVPMT +=++

PMT = $ 5.073,10

� Ano 4

( ) ( ) ( ) ( )4 %,1010,1

00,200.910,1

00,200.710,1

00,200.510,1

00,200.3432 FPVPMT +=+++

PMT = $ 5.962,30

� Ano 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 %,1010,1

00,200.1110,1

00,200.910,1

00,200.710,1

00,200.510,1

00,200.35432 FPVPMT +=++++

PMT = $ 6.820,30

� Ano 6

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 %,1010,1

00,200.1310,1

00,200.1110,1

00,200.910,1

00,200.710,1

00,200.510,1

00,200.365432 FPVPMT +=+++++

PMT = $ 7.647,10

� Ano 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=++++++

765432 10,100,200.15

10,100,200.13

10,100,200.11

10,100,200.9

10,100,200.7

10,100,200.5

10,100,200.3

( )7 %,10FPVPMT +=

PMT = $ 8.443,23

� Ano 8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+++++++

8765432 10,100,200.17

10,100,200.15

10,100,200.13

10,100,200.11

10,100,200.9

10,100,200.7

10,100,200.5

10,100,200.3

( )8 %,10FPVPMT +=

PMT = $ 9.209,00

Assim, chegamos a seguinte tabela de valores:

Ano

Recuperação do

Investimento

Manu- tenção

Operação

Custo Total

1 49.500,00 - 3.200,00 52.700,00 2 25.928,60 2.857,10 4.152,40 32.938,10 3 18.095,20 4.713,00 5.073,10 27.881,30 4 14.196,20 6.606,30 5.962,30 26.764,80 5 11.870,90 8.841,10 6.820,30 27.532,30 6 10.332,30 11.632,10 7.647,10 29.611,50 7 9.243,20 15.208,50 8.443,23 32.894,93 8 8.435,00 19.854,90 9.209,00 37.498.90

18) PMT (Máq. Velha) = Custo equivalente anual = $ 6.711,60 PMT (Máq. Nova): Investimento Líquido

Valor da máquina nova: $ 28.000,00 Valor Residual Atualizado:

$ 4.200,00 / (1,12) 10 ($ 1.352,29) Investimento Líquido: $ 26.647,71

Custo Equivalente Anual PV do Custo Anual do Investimento:

( )10%,1200,000.1 ×=PV $ 5.650,22 PV total $ 32.297,93

PMT (Máq. Nova):

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

10) (12%,93,297.32 FPVPMT ×=

12,0)12,01(1

93,297.3210−+−×= PMT

650223,593,297.32 ×= PMT

650223,593,297.32=PMT

=PMT $ 22,716.5

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 28.000 ENTER 28.000,00 Valor da máquina nova 4.200 ENTER 4.200,00 Valor residual da máquina 1,12 ENTER 1,12 Taxa de retorno mínima 10 xy < ÷ > <–> ENTER 26.647,71 Investimento líquido 1.000 CHS PMT -1.000,00 Custos anuais de manutenção 10 n 10,00 Vida útil estimada 12 i 12,00 Taxa de retorno mínima PV 5.650,22 PV do custo equivalente anual < + > 32.297,94 PV total CHS PV -32.297,94 PV total 10 n 10,00 Vida útil estimada 12 i 12,00 Taxa de retorno mínima PMT 5.716,22 PMT da máquina nova Então, temos:

• PMT (Máq. Velha) = $ 6.711,60 • PMT (Máq. Nova) = $ 5.716,22

Portanto, para uma taxa de retorno mínima de 12% a.a., a empresa deve efetuar a substituição da máquina usada, pois a máquina nova tem menor custo equivalente anual. 19) Recuperação do investimento � Ano 1

( ) 00,200.11 $00,300.1714,100,000.25 =−=PMT � Ano 2

( )( )2 %,14

14,100,000.15

00,000.25 2 FPVPMT ×=−

PMT = $ 8.172,90 � Ano 3

( ) ( )3 %,1414,1

00,400.1100,000.25 3 FPVPMT ×=−

PMT = $ 7.454,00

E assim sucessivamente Custo Operacional � Ano 1

PMT = $ 4.800,00 � Ano 2

( )( )2 %,14

14,100,200.5

14,100,800.4

2 FPVPMT ×=+

PMT = $ 4.986,90

� Ano 3

( ) ( )( )3 %,14

14,100,800.5

14,100,200.5

14,100,800.4

32 FPVPMT ×=++

PMT = $ 5.223,30

E assim sucessivamente. Logo, os dados são apresentados na tabela a seguir.

Ano

Recuperação do

Investimento (1)

Custo Operacional Equivalente

Anual (2)

Custo Total Equivalente

Anual (1) + (2)

1 11.200,00 4.800,00 16.000,00 2 8.172,90 4.986,90 13.159,80 3 7.454,00 5.223,30 12.677,30 4 7.747,00 5.523,40 13.270,40 5 7.282,10 6.003,90 13.286,00

20) a) Investimento Líquido

Valor da máquina nova: $ 73.000,00 Valor Residual Atualizado:

$ 12.400,00 / (1,12) 10 ($ 3.992,47) Investimento Líquido: $ 69.007,53

Custo Equivalente Anual PV do Custo Anual do Investimento:

( )10%,1200,000.11 ×=PV $ 62.152,45 PV total $ 131.159,98

PMT (Máq. Nova):

) ,( niFPVPMTPV ×=

ii

PMTPVn−+−×= )1(1

10) (12%,98,159.131 FPVPMT ×=

12,0)12,01(1

98,159.13110−+−×= PMT

650223,598,159.131 ×= PMT

650223,598,159.131=PMT

=PMT $ 23.213,24

Custo operação da máquina = Salário empregado / cap. Produtiva em horas * Quantidade Custo operação da máquina = $ 24,00 / 16 unid. * Q Custo de operação da máquina = 1,5 Q Portanto, o custo equivalente anual total da máquina é de $ 23.213,24 + 1,5 Q

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 73.000 ENTER 73.000,00 Valor da máquina nova 12.400 ENTER 12.400,00 Valor residual da máquina 1,12 ENTER 1,12 Taxa de desconto 10 xy < ÷ > <–> ENTER 69.007,53 Investimento líquido 11.000 CHS PMT -11.000,00 Custos anuais de manutenção 10 n 10,00 Vida útil estimada 12 i 12,00 Taxa de desconto PV 62.152,45 PV do custo equivalente anual < + > 131.159,99 PV total CHS PV -131.159,99 PV total 10 n 10,00 Vida útil estimada 12 i 12,00 Taxa de retorno mínima PMT 23.213,24 Custo equivalente anual total b) Aplicando a formulação desenvolvida acima, temos:

PMT = $ 23.213,24 + 1,5Q

PMT = $ 23.213,24 + 1,5 × 33.200

PMT = $ 73.013,24 Portanto, o custo equivalente da máquina para uma quantidade de produção de 33.200 unidades é de $ 73.013,24.

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 11 – Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 1) a) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = 11 −+b i

(ib ) = 1178,0112 −+ (ib ) = 0,0137 ou 1,37% a.m.



1 < – > 0,01 Taxa unitária 100 < × > 1,37 Taxa percentual Sendo a taxa líquida (i L ) = (ib ) (1 – IR)

(i L ) = 0,0137 (1 – 0,20) (i L ) = 0,011 ou 1,10% a.m.

b) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = 11 −+b i

(ib ) = 1178,0112 5 −+ (ib ) = 0,0706 ou 7,06% p/ 5 meses




Sendo a taxa líquida (i L ) = (ib ) (1 – IR) (i L ) = 0,0706 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0565 ou 5,65% p/ 5 meses

c) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = 11 −+b i

(ib ) = 1178,01360 39 −+ (ib ) = 0,0179 ou 1,79% p/ 39 dias



39 xy 1,02 Fator de capitalização 1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 1,79 Taxa percentual Sendo a taxa líquida (i L ) = (ib ) (1 – IR)

(i L ) = 0,0179 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0143 ou 1,43% p/ 39 dias

d) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = 11 −+b i

(ib ) = 1178,01360 103 −+ (ib ) = 0,0480 ou 4,80% p/ 103 dias



103 xy 1,05 Fator de capitalização 1 < – > 0,05 Taxa unitária 100 < × > 4,80 Taxa percentual Sendo a taxa líquida (i L ) = (ib ) (1 – IR)

(i L ) = 0,0480 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0384 ou 3,84% p/ 103 dias

2) Sendo a taxa efetiva bruta de 1,7% a.m. e a taxa de IR de 20%, temos: Taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR)

(i L ) = 0,017 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0136 ou 1,36% a.m.

Taxa efetiva anual líquida (i )f = 1)1( −+ qiL

(i )f = 1)0136,01( 12 −+ (i )f = 0,176 ou 17,6% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0136 ENTER 1,01 Taxa efetiva 12 xy 1,18 Fator de capitalização 1 < – > 0,18 Taxa unitária 100 < × > 17,6 Taxa percentual 3) Sendo a taxa nominal bruta de 6,12% para 82 dias e a taxa de IR de 20%, temos: Taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR)

(i L ) = 0,0612 (1 – 0,20) (i L ) = 0,049 ou 4,9% para 82 dias.

Taxa líquida mensal equivalente (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)0490,01(82 30 −+ (i q ) = 0,0176 ou 1,76% a.m.




Taxa efetiva anual líquida (i )f = 1)1( −+ qiL (i )f = 1)0176,01( 12 −+ (i )f = 0,2329 ou 23,3% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0176 ENTER 1,02 Taxa efetiva 12 xy 1,23 Fator de capitalização 1 < – > 0,23 Taxa unitária 100 < × > 23,3 Taxa percentual 4) a) Primeiro, transformamos a taxa efetiva mensal em taxa diária:

(i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 1019,0130 −+ (i q ) = 0,0006% a.d.




Depois, multiplicamos a taxa diária por 30: i (linear) = 0,0628% x 30 dias i (linear) = 0,0188 i (linear) = 1,88% a.m.

5) a) Valor Bruto de Resgate $ 11.200,00 Valor de Aplicação ($ 10.000,00) Rendimento Bruto: $ 1.200,00 IR: 20% x $1.200 ($ 240,00) Rendimento Líquido: $ 960,00

$ 10.000,00 + $ 108,00

$11.200,00

Como o IR é pago por ocasião do resgate, temos o seguinte fluxo de caixa:

1min

−−=alPVno

IRFViL

1000.10$960.10$ −=iL

=iL 0,096 ou 9,6% a.s.

10,096)(16 −+=iL

=iL 0,0154 ou 1,54% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,096 ENTER 1,10 Taxa efetiva 6 x


1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 1,54 Taxa percentual b) Valor Bruto de Resgate $ 11.200,00 Valor de Aplicação ($ 10.000,00) Rendimento Bruto: $ 1.200,00 IR: 9% x $1.200 ($ 108,00) Rendimento Líquido: $ 1.092,00 Como o IR é pago no momento da aplicação, temos o seguinte fluxo de caixa:

$10.000,00

$11.200,00 – $ 240,00

1−+

=IRPV

FViL

1108.10$200.11$ −=iL

=iL 0,1080 ou 10,80% a.s.

10,1080)(16 −+=iL

=iL 0,0172 ou 1,72% a.m.



1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 1,72 Taxa percentual 6) Sendo: n = 6 meses i = 9,5% a.s. (0,095) r = 1,0% a.m. (0,01) CM = ? Temos: (r )L = 1)01,01( 6 −+

(r )L = 0,0615 ou 6,15% a.s. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,01 ENTER 1,01 Taxa efetiva 6 xy 1,06 Fator de capitalização 1 < – > 0,06 Taxa unitária 100 < × > 6,15 Taxa percentual

(r L ) = 111 −++CMiL

11

095,010615,0 −

++=

CM

11

095,10615,1 −

+=

CM

1,0615 + 1,0615 CM = 1,095 1,0615 CM = 0,0335 CM = 0,0315 ou 3,15% a.s.

7) Sendo a taxa prefixada bruta de 2,1% a.m. e de 0,9% a.m. a inflação estimada do período.

a) Sendo a rentabilidade nominal líquida do IR (i L ) = (ib ) (1 – IR)

(i L ) = 0,021 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0168 ou 1,68% a.m.

b) Sendo a rentabilidade real líquida do IR (r L ) = 111 −

++

IiL

(r L ) = 1009,010168,01 −

++

(r L ) = 0,0077 ou 0,77% a.m.

c) Sendo a taxa pura (livre de risco) de 0,5% a.m., temos:

Taxa de risco = 1005,1

0077,1 −

Taxa de risco = 0,0027 ou 0,27% a.m. Dessa forma, a taxa bruta 2,1% a.m.do título de renda fixa pode ser decomposta da seguinte forma:

Taxa Nominal Bruta = 2,1%

Taxa Nominal Líquida = 1,68%

Taxa de Inflação = 0,9%

Taxa Real = 0,77%

Taxa de Risco = 0,5%

Taxa Pura = 0,27%

8) Transformando as taxas mensais em taxas equivalentes a cada prazo de resgate, temos: Título A Taxa equivalente (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)0116,01(30 114 −+ (i q ) = 0,0448 ou 4,48% p/114 dias



114 xy 1,04 Fator de capitalização 1 < – > 0,04 Taxa unitária 100 < × > 4,48 Taxa percentual Título B Taxa equivalente (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)0124,01(30 171 −+ (i q ) = 0,0728 ou 7,28% p/171 dias



171 xy 1,07 Fator de capitalização 1 < – > 0,07 Taxa unitária 100 < × > 7,28 Taxa percentual Título C Taxa equivalente (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)014,01(30 212 −+ (i q ) = 0,1032 ou 10,32% a.m.



212 xy 1,10 Fator de capitalização 1 < – > 0,10 Taxa unitária 100 < × > 10,32 Taxa percentual O valor presente da carteira é a soma dos valores presentes dos títulos individuais.

nnn iFV

iFV

iFV

PV)1()1()1( +

++

++

=

1032,100,180.31

0728,100,920.12

0448,100,923.10 ++=PV

PV = $10.454,62 + $12.043,57 + $28.262,33

PV = $50.760,52

9) Sendo: Valor de face = $ 1.000

Cupom de juros = 10% a.a.(5% a.s.) YTM = 12% a.a. (6% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) valor de negociação = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

8320 )06,01(00,1050

)06,01(00,50

)06,01(00,50

)06,01(00,50

+++

++

++

+= ΛP

=0P $937,90

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 50 PMT 50,00 Cupom semestral 6 i 6,00 Taxa de retorno semestral 8 n 8,00 Prazo em semestres PV CHS 937,90 Valor de negociação do título 10) Sendo: Valor de face = $ 1.000

Valor de negociação = $ 1.015,20 Cupom de juros = 12% a.a.(6% a.s.) n = 10 anos (20 semestres) YTM = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

2032 )1(00,060.1

)1(00,60

)1(00,60

)1(00,60

20,015.1YTMYTMYTMYTM +

+++

++

++

= Λ

=YTM 5,87% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 1.015,20 CHS PV -1.015,20 Valor de negociação do título 60 PMT 60,00 Cupom semestral 20 n 20,00 Prazo em semestres i 5,87 Taxa de retorno semestral 11) a) Sendo: Valor de resgate = $ 1.000

Cupom de juros = 7,5% a.s YTM = 6% a.s. n = 8 anos (16 semestres) Valor de negociação = ?

Temos n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

16320 )06,01(00,1075

)06,01(00,75

)06,01(00,75

)06,01(00,75

+++

++

++

+= ΛP

=0P $1.151,59

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 75 PMT 75,00 Cupom semestral 6 i 6,00 Taxa de retorno semestral 16 n 16,00 Prazo em semestres PV CHS 1.151,59 Valor de negociação do título b) Sendo: Valor de resgate = $ 1.000

Cupom de juros = 7,5% a.s YTM = 9% a.s. n = 8 anos (16 semestres) valor de negociação = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

16320 )09,01(00,1075

)09,01(00,75

)09,01(00,75

)09,01(00,75

+++

++

++

+= ΛP

=0P $875,31

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 75 PMT 75,00 Cupom semestral 9 i 9,00 Taxa de retorno semestral 16 n 16,00 Prazo em semestres PV CHS 875,31 Valor de negociação do título

12) Valor bruto da emissão: 10.000 UMC

( - ) Deságio (6%) ( 600 )

( - ) Despesas de emissão e lançamento ( 120 )

Valor líquido recebido pelo emitente 9.280 UMC

Cálculo da taxa de juros paga semestralmente: Sendo a taxa equivalente (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)18,01( −+ (i q ) = 0,0863 ou 8,63% a.s.

Sendo o valor de resgate de 10.000 UMC, os juros pagos semestralmente são de: Juros = 10.000 x 0,0863 Juros = 862,78

Assim, a rentabilidade real efetiva semestral é de:

nnu

iPJ

iJ

iJ

iJ

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

632 )1(78,862.10

)1(78,862

)1(78,862

)1(78,862

00,280.9iiii +

+++

++

++

= Λ

i = 10,3% a.s.

Rentabilidade real efetiva anual (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)1029,01( 2 −+ (i )f = 0,2164 ou 21,6% a.a.

Valor Nominal Corrigido Juros$ $

0 35.000.000,00 - 1 35.000.000,00 x 1,023 = 35.805.000,00 - 2 35.805.000,00 x 1,018 = 36.449.490,00 - 3 36.449.490,00 x 1,021 = 37.214.929,30 37.214.929,30 x 1,53% = 569.388,404 37.214.929,30 x 1,017 = 37.847.583,10 37.847.583,10 x 1,53% = 579.068,005 37.847.583,10 x 1,009 = 38.188.211,30 38.188.211,00 x 1,53% = 584.279,606 38.188.211,00 x 1,012 = 38.646.469,90 38.646.469,90 x 1,53% = 591.291,00

Mês

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 10.000 FV 10.000,00 Valor de resgate 9.280 CHS PV -9.280 Valor de negociação do título 862,78 PMT 862,78 Juros semestral 6 n 20,00 Prazo em semestres i 10,30 Taxa de retorno semestral 100 < ÷ > 1 < + > 1,10 Taxa decimal 2 xy 1,22 Fator de capitalização 1 < – > 0,22 Taxa unitária 100 < × > 21,65 Taxa percentual 13) a) Considerando os 60 dias entre o momento da emissão dos títulos e o da subscrição, o valor nominal é corrigido pela variação da UMC verificada no período.

Valor de subscrição = )018,01()023,01(00,000.1$000.35 +×+××debêntures Valor de subscrição = 00,490.449.36$

b) Valor mensal dos juros para o primeiro semestre

c) O valor de resgate corresponde ao valor nominal corrigido da debênture:

Variação da UMC = 21,56%1,2156 ] 0,011)1(0,013)1(

0,024)1(0,020)1(,016)01(0,013)1(0,012)1(0,009)1(,017)01(0,021)1(0,018)1() 0,023[(1

==+×+××+×+×+×+×+××+×+×+×+×+

Valor de resgate = 00,000.546.42$2156,1)00,000.1$000.35( =××debêntures

d) Não se verificando outras despesas de emissão e colocação, deságios, prêmios, etc., o custo efetivo real é a própria taxa de juros considerada na operação, ou seja, 20% a.a.

14)

Sendo a taxa nominal líquida do IR (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0234 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0187 ou 1,87% a.m.

Sendo a taxa real líquida do IR (r L ) = 111 −

++

IiL

(r L ) = 10078,010187,01 −

++

(r L ) = 0108,0 ou 1,08% a.m.

e) Sendo a taxa pura (livre de risco) de 0,5% a.m., temos:

Taxa de risco = 1005,01

0108,01 −+

+

Taxa de risco = 0,0058 ou 0,58% a.m.

Dessa forma, a taxa efetiva prefixada de 2,34% a.m.do CDB pode ser decomposta da seguinte forma: 15) Sendo: Valor de face = $ 1.000,00

Valor do deságio = =× 00,000.1$%34 $ 340,00 Valor de negociação = $ 660,00 Cupom de juros = 5% a.s. n = 3 anos (6 semestres) YTM = ?

Taxa Nominal Bruta = 2,34%

Taxa Nominal Líquida = 1,87%

Taxa de Inflação = 0,78%

Taxa Real = 1,08%

Taxa de Risco = 0,5%

Taxa Pura = 0,58%

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

632 )1(00,050.1

)1(00,50

)1(00,50

)1(00,50

00,660YTMYTMYTMYTM +

+++

++

++

= Λ

=YTM 13,66% a.s.

Taxa efetiva (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)1366,01( 2 −+ (i )f = 0,2919 ou 29,19% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 660 CHS PV -660,00 Valor de negociação do título 50 PMT 50,00 Cupom semestral 6 n 6,00 Prazo em semestres i 13,66 Taxa de retorno semestral 100 < ÷ > 1 < + > 1,14 Taxa decimal 2 xy 1,29 Fator de capitalização 1 < – > 0,29 Taxa unitária 100 < × > 29,19 Taxa percentual 16) a) Sendo: Valor de face = $ 1.000

Cupom de juros = 6% a.s. YTM = 15% a.a. (7,5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Valor de negociação = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

8320 )075,01(00,060.1

)075,01(00,60

)075,01(00,60

)075,01(00,60

+++

++

++

+= ΛP

=0P $912,14

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 60 PMT 60,00 Cupom semestral 7,5 i 7,50 Taxa de retorno semestral 8 n 8,00 Prazo em semestres PV CHS 912,14 Valor de negociação do título b) Sendo: Valor de face = $ 1.000

Cupom de juros = 6% a.s. YTM = 10% a.a. (5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Valor de negociação = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

8320 )05,01(00,060.1

)05,01(00,60

)05,01(00,60

)05,01(00,60

+++

++

++

+= ΛP

=0P $1.064,63

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 60 PMT 60,00 Cupom semestral 5 i 5,00 Taxa de retorno semestral 8 n 8,00 Prazo em semestres PV CHS 1.064,63 Valor de negociação do título 17) Sendo: Valor de face = $ 1.000,00

Valor de negociação = $ 1.019,27 Cupom de juros = 13% a.a. (6,5% a.s.) n = 2 anos (4 semestres) YTM = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

432 )1(00,065.1

)1(00,65

)1(00,65

)1(00,65

27,019.1YTMYTMYTMYTM +

++

++

++

=

=YTM 5,94% a.s.


(i )f = 1)0594,01( 2 −+ (i )f = 0,1224 ou 12,24% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 1.019,27 CHS PV -1.019,27 Valor de negociação do título 65 PMT 65,00 Cupom semestral 4 n 4,00 Prazo em semestres i 5,94 Taxa de retorno semestral 100 < ÷ > 1 <+> 1,06 Taxa decimal 2 xy 1,12 Fator de capitalização 1 < – > 0,12 Taxa unitária 100 < × > 12,24 Taxa percentual 18) Supondo-se um CDB no valor de $1.000,00, temos: Valor do depósito compulsório: 00,100$10,000,000.1$ =× Valor líquido do compulsório: 00,900$00,10000,000.1$ =− Taxa de juro efetiva = 27,4% a.a. Prazo = 50 dias Taxa efetiva equivalente para o período (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)274,01(360 50 −+ (i q ) = 0,0342 ou 3,42% p/ 50 dias

Assim, o valor que deve ser pago ao investidor corresponde ao principal mais os juros efetivos incorridos no período. Portanto: Valor a ser pago = 21,034.1$)0342,1(00,000.1$ =×

O fluxo de caixa dessa operação pode ser representado da seguinte forma: O fluxo mostra os $1.000,00 captados pelo banco no início do período, bem como o depósito compulsório realizado no valor de ($100,00). Ao final dos 50 dias, o banco receberá de volta o valor do depósito compulsório, mas deve pagar ao investidor o principal acrescido dos juros efetivos previstos para o período ($ 1.034,21). Assim o custo efetivo de captação do banco pode ser calculado da seguinte forma:

niPVFV )1( +=

)1()00,10000,000.1()00,10021,034.1( i+×−=−

100,90021,934 −=i

038,0=i ou 3,8% p/ 50 dias

Taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 1)038,01(50 30 −+ (i q ) = 0,0226 ou 2,26% a.m.

Taxa efetiva equivalente anual (i q ) = 11 −+q i (i )f = 1)0226,01( 12 −+ (i )f = 0,3081 ou 30,81% a.a.




$100,00

$1.000,00

$1.034,21

$100,00

1000 % yx >< 34,21 Juros a pagar sobre o principal < + > 1.034,21 Soma do principal com os juros 100 < – > 934,21 FV líquido do depósito compulsório FV 934,21 Valor futuro do fluxo de caixa 1.000 ENTER 1.000,00 Valor do principal 100 < – > CHS -900,00 FV líquido do depósito compulsório PV -900,00 Valor presente do fluxo de caixa 1 n 1,00 Prazo da operação i 3,80 Taxa de juros do período 100 < ÷ > 1 < + > 1,04 Taxa decimal 50 x


30 xy 1,02 Fator de capitalização 1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 2,26 Taxa percentual 100 < ÷ > 1 < + > 1,02 Taxa decimal 12 xy 1,31 Fator de capitalização 1 < – > 0,31 Taxa unitária 100 < × > 30,81 Taxa percentual 19) Sendo: Valor do CDB = $ 100.000,00

Valor do depósito compulsório: 00,000.10$10,000,000.100$ =× Valor líquido do compulsório: 00,000.90$00,000.1000,000.100$ =− Taxa de juro efetiva = 31,8% a.a. Prazo = 61 dias

a) Sendo a taxa efetiva equivalente para o período (i q ) = 11 −+q i

(i q ) = 1)318,01(360 61 −+ (i q ) = 0,0479 ou 4,79% p/ 61 dias




A taxa líquida, portanto, é (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0479 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0383 ou 3,83% p/ 61 dias

Sendo a taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)0383,01(61 30 −+ (i q ) = 0,0187 ou 1,87% a.m.



30 xy 1,02 Fator de capitalização 1 < – > 0,02 Taxa unitária 100 < × > 1,87 Taxa percentual b) O valor que deve ser pago ao aplicador corresponde ao principal mais os juros efetivos incorridos no período depois do IR. Portanto:

Valor do resgate: 83,831.103$0383,100,000.100$ =× c) Para o banco, o fluxo de caixa dessa operação pode ser representado da seguinte forma: O fluxo mostra os $100.000,00 captados pelo banco no início do período, bem como o depósito compulsório realizado no valor de ($10.000,00). Ao final dos 61 dias, o banco receberá de volta o valor do depósito compulsório, mas deve pagar ao investidor o principal acrescido dos juros efetivos antes do IR previstos para o período ($ 104.789,80), uma vez

$10.000,00

$100.000,00

$104.789,80

$10.000,00

que o IR é descontado do valor recebido pelo aplicador. Assim o custo efetivo de captação do banco pode ser calculado da seguinte forma:

niPVFV )1( +×=

)1()00,000.1000,000.100()00,000.1080,789.104( i+×−=−

100,000.9080,789.94 −=i

0532,0=i ou 5,32% p/ 61 dias

Taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)0532,01(61 30 −+ (i q ) = 0,0258 ou 2,58% a.m.

Taxa efetiva equivalente anual (i q ) = 11 −+q iL

(i )f = 1)0258,01( 12 −+ (i )f = 0,358 ou 35,8% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado 104.789,80 ENTER 104.789,80 Valor do resgate 10.000 < – > 94.789,80 FV líquido do depósito compulsório FV 94.789,80 Valor futuro do fluxo de caixa 100.000 ENTER 100.000,00 Valor do principal 10.000 < – > CHS -90.000,00 PV líquido do depósito compulsório PV -900,00 Valor presente do fluxo de caixa 1 n 1,00 Prazo da operação i 5,32 Taxa de juros do período 100 < ÷ > 1 < + > 1,05 Taxa decimal 61 x


30 xy 1,03 Fator de capitalização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 2,58 Taxa percentual 100 < ÷ > 1 < + > 1,03 Taxa decimal 12 xy 1,36 Fator de capitalização 1 < – > 0,36 Taxa unitária 100 < × > 35,80 Taxa percentual

d) Primeiramente, transformamos a taxa efetiva para 61 dias corridos em taxa diária, considerando-se 40 dias úteis:

(i q ) = 10532,0140 −+ (i q ) = 0,0013 ou 0,13% a.d.




Depois, multiplicamos a taxa diária por 30, para obter a taxa over: Taxa over = 0,0013 x 30 dias Taxa over = 0,0389 Taxa over = 3,89% a.m.

20) a) Sendo: Valor do título de renda fixa = $ 200.000,00

Taxa de juro efetiva = 2,2% a.m. Prazo = 120 dias

Temos: niPVFV )1( +×=

4)022,01(00,000.200 +×=FV 0909,100,000.200 ×=FV

$200.000,00

FV

37,189.218=FV Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 200.000 CHS PV -200.000,00 Valor de aplicação do título 2,2 i 2,20 Taxa de juros do período 4 n 4,00 Prazo da operação FV 218.189,37 Valor de resgate do título b) Após 50 dias da aplicação, o investidor, desejando negociar o título, deve descontar o valor que receberia por ele na data do seu vencimento ($ 218.189,37), pela a taxa de juros vigente de 1,6% a.m., para o período de 70 dias que ainda faltam para a data do resgate.

niFV

PV)1( +

=

3070

)016,01(

37,189.218

+=PV

0377,137,189.218=PV

93,255.210=PV

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,6 i 1,60 Taxa de juros do período 70 ENTER 70,00 Fator de capitalização 30 < ÷ > 2,33 Fator de atualização n 2,33 Prazo da operação 218.189,37 FV 218.189,37 Valor resgate do título em 120 dias PV CHS 210.255,93 Valor de negociação do título c)

$200.000,00

$ 218.189,37

PV


niPVFV )1( +×=

)1(00,000.20093,255.210 i+×=

100,000.20093,255.210 −=i

0513,0=i ou 5,13% p/ 50 dias

Sendo a taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)0513,01(50 30 −+

(i q ) = 0,03046 ou 3,046% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 20.0000 CHS PV -200.000,00 Valor de aplicação do título 210.255,93 FV 210.255,93 Valor de resgate do título 1 n 1,00 Prazo da operação i 5,13 Taxa de juros do período 100 < ÷ > 1 < + > 1,05 Taxa decimal 50 x


30 xy 1,03 Fator de capitalização 1 < – > 0,03 Taxa unitária 100 < × > 3,05 Taxa percentual 21) Supondo-se um título pós-fixado no valor de $ 1.000, temos:

Valor do imposto sobre movimentação financeira: 00,4 $004,0000.1 $ =×

$200.000,00

$ 210.255,93

Taxa over = 2,6% a.m. Prazo = 3 meses (63 dias úteis)

Primeiramente, transformamos a taxa over de 2,6% a.m. em taxa diária, considerando-se 63 dias úteis:

Taxa diária = dias

overTaxa30

_

Taxa diária = 30026,0

Taxa diária = 0,0009 ou 0,09% a.d.

Em seguida, encontramos a taxa efetiva da operação (3 meses), considerando-se que a taxa over foi estabelecida para 63 dias úteis:

Taxa efetiva mensal (i )f = 1)1( −+ qi

(i )f = 1)0009,01( 63 −+ (i )f = 0,0561 ou 5,61% a.t.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0009 ENTER 1,00 Taxa diária 63 xy 1,06 Fator de capitalização 1 < – > 0,06 Taxa unitária 100 < × > 5,61 Taxa percentual

Cálculo da taxa do IGPX para o período:

aplicação

aplicaçãoresgatemeses IGPX

IGPXIGPXIGPX

−=3

4,1834,1831,189

3−=mesesIGPX

0311,03 =mesesIGPX ou 3,11% a.t.

Assim, o valor que deve ser pago ao investidor após os três meses corresponde ao principal ($1.000,00), descontando-se o valor do imposto sobre movimentação financeira ($4,00) mais os juros efetivos incorridos no período (5,61%), corrigido pelo IGPX do trimestre (3,11). Portanto:

Valor do resgate = 56,084.1$0311,10561,1)4$000.1($ =××− Valor do ganho nominal obtido na aplicação = 71,17$0,20 996,00) $ - ($1.084,56 =× Assim a rentabilidade efetiva e líquida do IR, obtida pelo investidor pode ser calculada da seguinte forma:

niPVFV )1( +×=

)1()000.1()71,1756,084.1( i+×=−

100,000.185,066.1 −=i

0668,0=i ou 6,68% a.t.

Taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)0668,01(3 −+ (i q ) = 0,0218 ou 2,18% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 CHS PV -1.000,00 Valor do principal aplicado 1.084,56 ENTER 1.084,56 Valor de resgate 17,71 < – > FV -1.066,85 Valor de resgate líquido do IR 1 n 1,00 Prazo da operação i 6,68 Taxa de juros do período 100 < ÷ > 1 < + > 1,07 Taxa decimal 3 x



$ 1.084,56

$ 17,71 $ 1.000,00

Cálculo da taxa do IGPM para o período:

aplicação

aplicaçãoresgatemeses IGPM

IGPMIGPMIGPM

−=3

7,1537,1538,160

3−=mesesIGPM

0462,03 =mesesIGPM ou 4,62% a.t.

Sendo a taxa real líquida do IR (r L ) = 111 −

++

IiL

(r L ) = 10462,010668,01 −

++

(r L ) = 0197,0 ou 1,97% a.t.

Sendo a taxa real equivalente mensal (r q ) = 11 −+q rL

(r q ) = 1)0197,01(3 −+ (r q ) = 0,0065 ou 0,65% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0197 ENTER 1,02 Taxa real trimestral 3 x


1 < – > 0,01 Taxa unitária 100 < × > 0,65 Taxa percentual 22) Sendo: Valor nominal = $ 10.000,00

Cupom de juros = 11% a.a. (5,5% a.s.) YTM = 13% a.a. (6,5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Preço de compra = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

8320 )065,01(00,055.10

)065,01(00,550

)065,01(00,550

)065,01(00,550

+++

++

++

+= ΛP

=0P $ 9.391,12

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 10.000 FV 10.000,00 Valor de resgate 550 PMT 550,00 Cupom semestral 6,5 i 6,50 Taxa de retorno semestral 8 n 8,00 Prazo em semestres PV CHS 9.391,12 Valor de negociação do título 23) Sendo: Valor nominal = $ 1.000,00

Cupom de juros = 4% a.s.) YTM = 12% a.a. (6% a.s.) n = 3 anos (6 semestres) Valor de compra = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

6320 )06,01(00,040.1

)06,01(00,40

)06,01(00,40

)06,01(00,40

+++

++

++

+= ΛP

=0P $ 901,65

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 10.000 FV 10.000,00 Valor de resgate 40 PMT 40,00 Cupom semestral 6 i 6,00 Taxa de retorno semestral 6 n 6,00 Prazo em semestres PV CHS 901,65 Valor de negociação do título 24) Sendo: Valor nominal = $ 1.000,00

Valor de negociação = $ 965,30 Cupom de juros = 10% a.a. (5% a.s.) n = 2 anos (4 semestres) YTM = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

432 )1(00,050.1

)1(00,50

)1(00,50

)1(00,50

30,965YTMYTMYTMYTM +

++

++

++

=

=YTM 6% a.s. ou 12% a.a.


(i )f = 1)06,01( 2 −+ (i )f = 0,1236 ou 12,36% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.000 FV 1.000,00 Valor de resgate 965,30 CHS PV -965,30 Valor de negociação do título 50 PMT 50,00 Cupom semestral 4 n 4,00 Prazo em semestres i 6,00 Taxa de retorno semestral 100 < ÷ > 1 < + > 1,06 Taxa decimal 2 xy 1,12 Fator de capitalização 1 < – > 0,12 Taxa unitária 100 < × > 12,36 Taxa percentual 25) a) Sendo: Valor nominal = $ 50.000,00

Cupom de juros = 9% a.a. (4,5% a.s.) YTM = 12% a.a. (6% a.s.) n = 6 anos (12 semestres) Valor de compra = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

12320 )06,01(00,250.52

)06,01(00,250.2

)06,01(00,250.2

)06,01(00,250.2

+++

++

++

+= ΛP

12,712.43$0 =P

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 50.000 FV 50.000,00 Valor de resgate 2.250 PMT 2.250,00 Cupom semestral 6 i 6,00 Taxa de retorno semestral 12 n 12,00 Prazo em semestres PV CHS 43.712,12 Valor de negociação do título b) Sendo: Valor nominal = $ 50.000,00

Cupom de juros = 9% a.a. (4,5% a.s.) YTM = 11% a.a. (5,5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Valor de compra = ?

Temos: n

nu

YTMPC

YTMC

YTMC

YTMC

P)1()1()1()1( 3

32

210 +

+++

++

++

+= Λ

8320 )055,01(00,250.52

)055,01(00,250.2

)055,01(00,250.2

)055,01(00,250.2

+++

++

++

+= ΛP

72,832.46 $0 =P

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 50.000 FV 50.000,00 Valor de resgate 2.250 PMT 2.250,00 Cupom semestral 5,5 i 5,50 Taxa de retorno semestral 8 n 8,00 Prazo em semestres PV CHS 46.832,72 Valor de negociação do título

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 12 – Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 1) SAC com carência Sendo: Valor do empréstimo = $ 660.000,00

Prazo da Operação = 8 meses Carência = 3 meses Taxa de Juros = 2,5% a.m. (0,025)

Cálculos para os 3 primeiros meses Saldo Devedor (SD): Como não há amortização nos 3 primeiros meses, o saldo devedor continua sendo o mesmo valor do financiamento.

AmortPVSDSDSD −=== 321 000,000.660 $321 −=== SDSDSD

00,000.660 $321 === SDSDSD Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos durante a carência estipulada de 3 meses sobre o saldo devedor, que permanece constante.

iPVJ t ×= %5,200,000.660321 ×=== JJJ

00,500.16 $321 === JJJ Prestação (PMT): Assim, durante os 3 primeiros meses, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros.

tt JPMT = 00,500.16 $321 === PMTPMTPMT

Cálculos a partir do 4º mês Amortização (Amort): A partir do quarto mês, tendo sido encerrada a carência de 3 meses, inicia-se a amortização do principal, cujo pagamento ocorre em parcelas iguais.

nPV

Amort =

800,000.660=Amort

00,500.82 $=Amort

Saldo Devedor (SD): O valor do saldo devedor é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante da amortização.

AmortSDSD tt −= −1 AmortSDSD −= 34

00,500.8200,000.6604 −=SD 00,500.577 $4 =SD

AmortSDSD tt −= −1

AmortSDSD −= 45 00,500.8200,500.5775 −=SD

00,000.495 $5 =SD

AmortSDSD tt −= −1 AmortSDSD −= 56

00,500.8200,000.4955 −=SD 00,500.412 $5 =SD

E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 11º mês. Juros (J): Em virtude da redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se como uma PA decrescente.

iSDJ tt ×= −1 iSDJ ×= 34

%5,200,000.6604 ×=J 00,500.16 $4 =J

iSDJ tt ×= −1

iSDJ ×= 45 %5,200,500.5775 ×=J

50,437.14 $5 =J


%5,200,000.4956 ×=J 00,375.12 $6 =J

E assim, sucessivamente, até terminarem todas as prestações. Prestação (PMT): A prestação é constituída do valor constante da amortização somado com os juros do período.

tt JAmortPMT +=

44 JAmortPMT += 00,500.1600,500.824 +=PMT

00,000.99 $4 =PMT

tt JAmortPMT +=

55 JAmortPMT += 50,437.1400,500.825 +=PMT

50,937.96 $5 =PMT

tt JAmortPMT +=

66 JAmortPMT += 00,375.1200,500.826 +=PMT

00,875.94 $6 =PMT E assim, sucessivamente, até terminarem todas as prestações.

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação(Meses) ($) ($) ($) ($)

0 660.000,00 - - - 1 660.000,00 - 16.500,00 16.500,00 2 660.000,00 - 16.500,00 16.500,00 3 660.000,00 - 16.500,00 16.500,00 4 577.500,00 82.500,00 16.500,00 99.000,00 5 495.000,00 82.500,00 14.437,50 96.937,50 6 412.500,00 82.500,00 12.375,00 94.875,00 7 330.000,00 82.500,00 10.312,50 92.812,50 8 247.500,00 82.500,00 8.250,00 90.750,00 9 165.000,00 82.500,00 6.187,50 88.687,50

10 82.500,00 82.500,00 4.125,00 86.625,00 11 - 82.500,00 2.062,50 84.562,50

Total - 660.000,00 123.750,00 783.750,00

Planilha de Cálculos

2) SAF com carência Sendo: Valor do financiamento = $ 1.200.000,00

Prazo da Operação = 6 anos Carência = 2 anos Taxa de Juros = 15% a.a. (0,15)

Cálculos para os 2 primeiros anos Saldo Devedor (SD): Como não há amortização nos 2 primeiros anos, o saldo devedor continua sendo o mesmo valor do financiamento.

AmortPVSDSD −== 21 000,000.200.1 $21 −== SDSD

00,000.200.1 $21 == SDSD Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos durante a carência estipulada de 2 anos sobre o saldo devedor, que permanece constante.

iPVJ t ×= %1500,000.200.121 ×== JJ

00,000.180 $21 == JJ

Prestação (PMT): Assim, durante os 2 primeiros anos, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros.

tt JPMT = 00,000.180 $21 == PMTPMT

Cálculos a partir do 3º ano Prestação (PMT): Neste sistema, as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Assim, seu valor é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo-padrão de fluxos de caixa.

nii

PVPMT −+−×=

)1(1

6)15,01(115,0

00,000.200.1 −+−×=PMT

264237,000,000.200.1 ×=PMT

29,084.317 $=PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.200.000,00 CHS PV -1.200.000,00 Valor do financiamento 6 n 6,00 Prazo em anos 15 i 15,00 Taxa de juros anual PMT 317.084,29 Valor das prestações Juros (J): Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes ao longo do tempo.


%1500,000.200.13 ×=J 00,000.180 $3 =J


%1571,915.062.14 ×=J 36,437.159 $4 =J

iSDJ tt ×= −1

iSDJ ×= 45 %1578,268.9055 ×=J

32,790.135 $5 =J E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 8º ano. Amortização (Amort): A partir do terceiro ano, tendo sido encerrada a carência de 2 anos, inicia-se a amortização do principal, cujo pagamento ocorre em parcelas crescentes ao longo do tempo.

33 JPMTAmort −= 00,000.18029,084.3173 −=Amort

29,084.137 $3 =Amort

44 JPMTAmort −= 36,437.15929,084.3174 −=Amort

93,646.157 $4 =Amort

55 JPMTAmort −= 32,790.13529,084.3175 −=Amort

97,293.181 $5 =Amort E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 8º ano. Saldo Devedor (SD): O valor do saldo devedor é decrescente ao longo do tempo.

ttt AmortSDSD −= −1

tAmortSDSD −= 23 29,084.13700,000.200.13 −=SD

71,915.062.1 $3 =SD

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação(Anos) ($) ($) ($) ($)

0 1.200.000,00 - - - 1 1.200.000,00 - 180.000,00 180.000,00 2 1.200.000,00 - 180.000,00 180.000,00 3 1.062.915,71 137.084,29 180.000,00 317.084,29 4 905.268,78 157.646,93 159.437,36 317.084,29 5 723.974,81 181.293,97 135.790,32 317.084,29 6 515.486,74 208.488,07 108.596,22 317.084,29 7 275.725,47 239.761,28 77.323,01 317.084,29 8 - 275.725,47 41.358,82 317.084,29

Total - 1.200.000,00 1.062.505,73 2.262.505,73


434 AmortSDSD −= 93,646.15771,915.062.14 −=SD

78,268.905 $4 =SD

ttt AmortSDSD −= −1 AmortSDSD −= 45

97,293.18178,268.9055 −=SD 81,974.723 $5 =SD

E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 8º ano. Planilha de Cálculos 3) SAA Sendo: Valor do empréstimo = $5.000.000,00

Prazo da Operação = 24 meses (8 trimestres) Taxa de Juros = 3,6% a.t. (0,036)

Saldo Devedor (SD): Como não há amortizações durante o período de empréstimo, o saldo devedor permanece o mesmo valor do financiamento até o início do 12º quadrimestre, quando o empréstimo é liquidado.

AmortPVSDSDSD −==== 720 Λ 000,000.000.5 $720 −==== SDSDSD Λ

==== 720 SDSDSD Λ $ 5.000.000,00

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação(Trimestres) ($) ($) ($) ($)

0 5.000.000,00 - - - 1 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 2 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 3 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 4 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 5 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 6 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 7 5.000.000,00 - 180.000,00 180.000,00 8 - 5.000.000,00 180.000,00 5.180.000,00

Total - 5.000.000,00 1.440.000,00 6.440.000,00

Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos periodicamente durante o prazo da operação.

iPVJ t ×= %6,300,000.000.5821 ×==== JJJ Λ

00,000.180 $821 ==== JJJ Λ Prestação (PMT): Assim, durante todo o período de empréstimos, até a penúltima parcela, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros.

tt JPMT = 00,000.180 $721 ==== PMTPMTPMT Λ

A última prestação (8ª) é constituída pela amortização total do empréstimo e a última parcela dos juros. Deste modo:

00,000.180.5 $8 =PMT Planilha de Cálculos 4) SAA Sendo: Valor do empréstimo = $ 850.000,00

Prazo da Operação = 4 anos (12 quadrimestres) Taxa de Juros = 8,5% a.q. (0,085)

a) Saldo Devedor (SD): Como não há amortizações durante o período de empréstimo, o saldo devedor permanece o mesmo valor do financiamento até o início do 12º quadrimestre, quando o empréstimo é liquidado.

AmortPVSDSDSD −==== 1120 Λ 000,000.850 $1120 −==== SDSDSD Λ

850.000,00 $1120 ==== SDSDSD Λ Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos periodicamente durante o prazo da operação.

iPVJ t ×= %5,800,000.8501221 ×==== JJJ Λ

00,250.72 $1221 ==== JJJ Λ Prestação (PMT): Assim, durante todo o período de empréstimos, até a penúltima parcela, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros.

tt JPMT = 00,250.72 $1121 ==== PMTPMTPMT Λ

A última prestação (12ª) é constituída pela amortização total do empréstimo e a última parcela dos juros. Deste modo:

00,250.922 $12 =PMT Planilha de Cálculos


0 850.000,00 - - - 1 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 2 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 3 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 4 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 5 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 6 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 7 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 8 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 9 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 10 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 11 850.000,00 - 72.250,00 72.250,00 12 - 850.000,00 72.250,00 922.250,00

Total - 850.000,00 867.000,00 1.717.000,00

b) Representando graficamente, temos:

ii

PMTFVn 1)1( −+×=

04,01)04,01(

00,000.85012 −+×= PMT

025805,1500,000.850=PMT

35,569.56 $=PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 850.000 CHS FV -850.000,00 Valor do resgate 12 n 12,00 Prazo em quadrimestres 4 i 4,00 Taxa de aplicação quadrimestral PMT 56.569,35 Valor dos depósitos quadrimestrais

PMT

PV

0 2 4 3 1 5 6

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

7 8 9 10 11 12 (quadrimestres)

FV = $ 850.000,00

5) Sendo: 00,000.480 $0 =SD 1º semestre

01 =Amort (carência de 1 semestre)


101 AmortSDSD −= 000,000.4801 −=SD

00,000.480 $1 =SD


%800,000.4801 ×=J 00,400.38 $1 =J

111 JurosAmortPMT +=

00,400.3801 +=PMT 00,400.38 $1 =PMT

2º semestre

00,000.30 $2 =Amort


212 AmortSDSD −= 00,000.3000,000.4802 −=SD

00,000.450 $2 =SD


%800,000.4802 ×=J 00,400.38 $2 =J


00,400.3800,000.302 +=PMT 00,400.68 $2 =PMT

3º semestre

00,000.50 $3 =Amort


323 AmortSDSD −= 00,000.5000,000.4503 −=SD

00,000.400 $3 =SD


%800,000.4503 ×=J 00,000.36 $3 =J


00,000.3600,000.503 +=PMT 00,000.86 $3 =PMT

4º semestre

00,000.70 $4 =Amort


434 AmortSDSD −= 00,000.7000,000.4004 −=SD

00,000.330 $4 =SD


%800,000.4004 ×=J 00,000.32 $4 =J


00,000.3200,000.704 +=PMT 00,000.102 $4 =PMT

5º semestre

00,000.90 $5 =Amort


545 AmortSDSD −= 00,000.9000,000.3305 −=SD

00,000.240 $4 =SD


%800,000.3305 ×=J 00,400.26 $5 =J


00,400.2600,000.905 +=PMT 00,400.116 $5 =PMT

6º semestre

00,000.110 $6 =Amort


656 AmortSDSD −= 00,000.11000,000.2406 −=SD

00,000.130 $6 =SD


%800,000.2406 ×=J 00,200.19 $6 =J


00,200.1900,000.1106 +=PMT 00,200.129 $6 =PMT

7º semestre

00,000.130 $7 =Amort


767 AmortSDSD −=

Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação(Semestres) ($) ($) ($) ($)

0 480.000,00 - - - 1 480.000,00 - 38.400,00 38.400,00 2 450.000,00 30.000,00 38.400,00 68.400,00 3 400.000,00 50.000,00 36.000,00 86.000,00 4 330.000,00 70.000,00 32.000,00 102.000,00 5 240.000,00 90.000,00 26.400,00 116.400,00 6 130.000,00 110.000,00 19.200,00 129.200,00 7 - 130.000,00 10.400,00 140.400,00

Total - 480.000,00 200.800,00 680.800,00

00,000.13000,000.1307 −=SD 07 =SD

iSDJ tt ×= −1

iSDJ ×= 67 %800,000.1307 ×=J

00,400.10 $7 =J

777 JurosAmortPMT += 00,400.1000,000.1307 +=PMT

00,400.140 $7 =PMT Planilha de Cálculos 6) Sendo: Entrada = $ 60.000,00

PMT = $ 24.000,00 n = 6 i = 2,5% a.m. (7,7% a.t.)

Taxa efetiva trimestral (i )f = 1)1( −+ qiL

(i )f = 1)025,01( 3 −+ (i )f = 0,0769 ou 7,7% a.a.



62 )0769,01(00,000.24

)0769,01(00,000.24

)0769,01(00,000.24

00,000.60+

+++

++

+= ΛPV

50,003.172$=PV Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 24.000 PMT 24.000,00 Valor das prestações 6 n 6,00 Prazo em trimestres 7,69 i 7,69 Valor da taxa trimestral de juros PV CHS 112.003,49 Valor presente das prestações 60.000 < + > 172.003,49 Base de valor a vista do imóvel 7) Sendo: PV = $ 240.000,00

n = 30 prestações i = 4% a.m. SD19 = ? J19 = ? PMT19 = ?

Amortização (Amort):

nPV

Amort =

3000,000.240=Amort

00,000.8 $=Amort Saldo Devedor (SD):

AmorttPVSDt ×−= 00,000.81900,000.24019 ×−=SD

00,000.15200,000.24019 −=SD 00,000.88 $19 =SD

$24.000,00 $24.000,00 $24.000,00 $24.000,00 $24.000,00 $24.000,00 $60.000,00

PV

0 2 4 3 1 5 6

Juros (J):

itnn

PVJ t ×+−×= )1(

04,0)11930(30

00,000.24019 ×+−×=J

00,840.3$19 =J

Prestação (PMT):

])1(1[ itnn

PVPMTt ×+−+×=

]04,0)11930(1[30

00,000.24019 ×+−+×=PMT

00,840.11 $19 =PMT

8) Sendo: Valor do financiamento = $ 4.000.000,00

Prazo da Operação = 6 anos = 24 trimestres Taxa de Juros = 9% a.t. (0,09)

a) Neste sistema, as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Assim, seu valor é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo-padrão de fluxos de caixa.

nii

PVPMT −+−×=

)1(1

24)09,01(109,0

00,000.000.4 −+−×=PMT

103023,000,000.000.4 ×=PMT

24,090.412 $=PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 4.000.000,00 CHS PV -4.000.000,00 Valor do financiamento 24 n 24,00 Prazo em trimestres 9 i 9,00 Taxa de juros trimestral PMT 412.090,24 Valor das prestações b)

ii

PMTSDtn

t

)()1(1 −−+−×=

09,0)09,01(1

24,090.412)1424(

14

−−+−×=SD

417658,624,090.41214 ×=SD

12,654.644.2 $14 =SD

iSDJ tt ×= −1

iSDJ ×= 1415

%912,654.644.215 ×=J

87,018.238 $15 =J

1515 JPMTAmort −= 87,018.23824,090.41215 −=Amort

37,071.174 $15 =Amort

c) ii

PMTSDtn

t

)()1(1 −−+−×=

09,0)09,01(1

24,090.412)724(

7

−−+−×=SD

543631,824,090.4127 ×=SD

12,747.520.3 $7 =SD

9) Sendo: Taxa de juros contratada = 24% a.a. (0,24)

Taxa linear mensal = 24%/12 = 2% a.m. (0,02) Taxa efetiva anual de juros = (1,02)12 – 1 = 0,268242 = 26,82% a.a.

a) ni

iPVPMT −+−

×=)1(1

24)02,01(102,0

00,000.000.2 −+−×=PMT

052871,000,000.000.2 ×=PMT

19,742.105 $=PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2.000.000,00 CHS PV -2.000.000,00 Valor do financiamento 24 n 24,00 Prazo em meses 2 i 2,00 Taxa de juros linear simples PMT 105.742,19 Valor das prestações

b) ii

PMTSDtn

t

)()1(1 −−+−×=

02,0)02,01(1

19,742.105)1824(

18

−−+−×=SD

601431,519,742.10518 ×=SD

59,307.592 $18 =SD

c)

ii

PMTSDtn

t

)()1(1 −−+−×=

02,0)02,01(1

19,742.105)924(

9

−−+−×=SD

849264,1219,742.1059 ×=SD

32,709.358.1 $9 =SD


%232,709.358.110 ×=J 18,174.27 $10 =J

151 JPMTAmort −= 18,174.2719,742.10510 −=Amort

01,568.78 $10 =Amort 10) Sendo: PV = $ 1.600.000,00

n = 32 meses i = 3% a.m. PMT10 = ? SD20 = ? J27 = ?

a) Prestação (PMT): SAC

])1(1[ itnn

PVPMTt ×+−+×=

]03,0)11032(1[32

00,000.600.110 ×+−+×=PMT

00,500.84 $10 =PMT

SAF Neste sistema, as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Assim, seu valor é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo-padrão de fluxos de caixa.

nii

PVPMT −+−×=

)1(1

32)03,01(103,0

00,000.600.1 −+−×=PMT

049047,000,000.600.1 ×=PMT

59,474.78 $=PMT

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.600.000,00 CHS PV -1.600.000,00 Valor do financiamento 32 n 32,00 Prazo em meses 3 i 3,00 Taxa de juros mensal PMT 78.474,59 Valor das prestações SAM

2SAFSAC

SAM

PMTPMTPMT

+=

259,474.7800,500.84 +=SAMPMT

259,974.162=SAMPMT

29,487.81 $=SAMPMT

b) Saldo Devedor (SD): SAC

nPV

Amort =

3200,000.600.1=Amort

00,000.50 $=Amort

AmorttPVSDt ×−=

00,000.502000,000.600.120 ×−=SD

00,000.000.100,000.600.120 −=SD

00,000.600 $20 =SD

SAF

ii

PMTSDtn

t

)()1(1 −−+−×=

03,0)03,01(1

59,474.78)2032(

20

−−+−×=SD

954004,959,474.7820 ×=SD

37,136.781 $20 =SD

SAM

2SAFSAC

SAM

SDSDSD

+=

237,136.78100,000.600 +=SAMSD

238,136.381.1=SAMSD

19,568.690 $=SAMSD

c) Amortização (Amort): SAC

00,000.50 $=Amort SAF

2727 JPMTAmort −= 36,753.1259,474.7827 −=Amort

23,721.65$27 =Amort SAM

2SAFSAC

SAM

AmortAmortAmort

+=

223,721.6500,000.50 +=SAMAmort

223,721.115=SAMAmort

62,860.57 $=SAMAmort

Juros (J): SAC

itnn

PVJ t ×+−×= )1(

03,0)12732(32

00,000.600.127 ×+−×=J

00,000.9 $27 =J

SAF

ii

PMTSDtn

t

)()1(1 −−+−×=

03,0)03,01(1

59,474.78)2632(

26

−−+−×=SD

417191,559,474.7826 ×=SD

87,111.425 $26 =SD

iSDJ tt ×= −1

iSDJ ×= 2627

%387,111.42527 ×=J

36,753.12 $27 =J

SAM

2SAFSAC

SAM

JJJ

+=

236,753.1200,000.9 +=SAMJ

236,753.21=SAMJ

68,876.10 $=SAMJ

d)

SAFSAC PMTPMT =

nii

PVitnn

PV−+−

×=×+−+×)1(1

])1(1[

32)03,01(103,0

00,000.600.1]03,0)132(1[32

00,000.600.1−+−

×=×+−+× t

049047,000,000.600.1)03,003,096,01(00,000.50 ×=+−+× t

59,474.7800,500.100,500.100,000.4800,000.50 =+−+ t

59,474.7800,500.9900,500.1 =+− t

41,025.2100,500.1 −=− t

016941,14=t

As prestações do SAC e do SAF tornam-se iguais aproximadamente na 14ª prestação (t=14,016941). 11) Sendo: Valor do financiamento = $ 500.000,00

Prazo da Operação = 180 meses Taxa de Juros = 1% a.m. (0,01)

SAFSAC PMTPMT =

nii

PVitnn

PV−+−

×=×+−+×)1(1

])1(1[

180)01,01(101,0

00,000.500]01,0)1180(1[180

00,000.500−+−

×=×+−+× t

012002,000,000.500)01,001,08,11(78,777.2 ×=+−+× t

84,000.678,2778,2700,000.578,777.2 =+−+ t

84,000.656,805.778,27 =+− t

72,804.178,27 −=− t

969745,64=t

Os valores das prestações apuradas pelos dois sistemas tornam-se iguais por volta da 65ª prestação (t=64,96975). 12) Sendo: Prazo da Operação = 6 anos

Taxa de Juros = 48% a.a. (0,48)

Temos: ni

iPVPMT −+−

×=)1(1

6)48,01(148,0

−+−×= PVPMT

PVPMT ×= 530477,0

2PV

SDt =

2)1(1 )( PV

ii

PMTtn

=+−×−−

248,0)48,01(1

530477,0)6( PV

PVt

=+−××−−

PVPV t ×=−×× − 5,0])48,1(1[105161,1 6

5,0])48,1(1[105161,1 6 =−× −t

452423,0)48,1(1 6 =− −t

547577,0)48,1( 6 =−t

)547577,0ln()48,1ln( 6 =−t

)547577,0ln()48,1ln()6( =×−t

)547577,0ln()48,1ln()6( =×−t

6)48,1ln(

)547577,0ln( +=t

6392042,0602252,0 +−=t

6536191,1 +−=t

46,4=t

O saldo devedor da dívida estará reduzido à metade entre o 4º e o 5º pagamento (t = 4,46). 13) Sendo: PV = $ 180.000,00

n = 24 prestações i = 6% a.m. SD24 = ? J24 = ? PMT24 = ?

a)

SAFSAC PMTPMT =

nii

PVitnn

PV−+−

×=×+−+×)1(1

])1(1[

24)06,01(106,0

00,000.180]06,0)124(1[24

00,000.180−+−

×=×+−+× t

079679,000,000.180)06,006,044,11(00,500.7 ×=+−+× t

22,342.1400,45000,45000,800.1000,500.7 =+−+ t

22,342.1400,750.1800,450 =+− t

78,407.400,450 −=− t

795065,9=t

As parcelas das prestações se tornam iguais nos dois sistemas em torno do 10º pagamento. b) SAC Amortização (Amort):

nPV

Amort =

2400,000.180=Amort

00,500.7 $=Amort

Saldo Devedor (SD):

AmorttPVSDt ×−=

00,500.71200,000.18012 ×−=SD

00,000.9000,000.18012 −=SD

00,000.90 $12 =SD Percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAC:

%5050,000,000.18000,000.9012 ===

PVSD

SAF

ii

PMTSDtn

t

)()1(1 −−+−×=

06,0)06,01(1

22,342.14)1224(

12

−−+−×=SD

383844,822,342.1412 ×=SD

94.242.120 $12 =SD


0 600.000,00 - - - 1 500.000,00 100.000,00 27.960,00 127.960,00 2 400.000,00 100.000,00 23.300,00 123.300,00 3 300.000,00 100.000,00 18.640,00 118.640,00 4 200.000,00 100.000,00 13.980,00 113.980,00 5 100.000,00 100.000,00 9.320,00 109.320,00 6 - 100.000,00 4.660,00 104.660,00

Total - 600.000,00 97.860,00 697.860,00

Percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAF:

%8,66668,000,000.18094,242.12012 ===

PVSD

14) Sendo: Valor do financiamento = US$ 600.000,00

Prazo da Operação = 6 trimestres Amortizações = US$ 100.000,00 Taxa de Juros = 20% a.a. Comissão de repasse = 5% sobre o valor do repasse e cobrada no ato da liberação dos recursos. Comissão de abertura de crédito = 1% sobre o valor do repasse e cobrada no momento da liberação dos recursos.

Temos: Taxa trimestral equivalente (i q ) = 11 −+q iL

(i q ) = 1)20,01(4 −+ (i q ) = 0,0466 ou 4,66% a.t.



1 < – > 0,05 Taxa unitária 100 < × > 4,66 Taxa percentual Planilha de Cálculos (em dólar) Cálculo do custo efetivo Para se determinar o custo efetivo da operação, deve-se primeiramente projetar o seu fluxo de caixa para se encontrar a taxa interna de retorno.

65

432

)1(00,660.104

)1(00,320.109

)1(00,980.113

)1(00,640.118

)1(00,300.123

)1(00,960.127

00,000.600,000.3000,000.600

ii

iiii

++

++

++

++

++

++

=−−

65432 )1(00,660.104

)1(00,320.109

)1(00,980.113

)1(00,640.118

)1(00,300.123

)1(00,960.127

00,000.564iiiiii +

++

++

++

++

++

=

i = 6,69% a.t. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 564.000 CHS g CF0 -564.000,00 Repasse (–) comissões do banco 127.960 g CFj 127.960,00 Valor da primeira prestação 123.300 g CFj 123.300,00 Valor da segunda prestação 118.640 g CFj 118.640,00 Valor da terceira prestação 113.980 g CFj 113.980,00 Valor da quarta prestação 109.320 g CFj 109.320,00 Valor da quinta prestação 104.660 g CFj 104.660,00 Valor da sexta prestação f IRR 6,69 Custo efetivo trimestral da operação Taxa efetiva anual (i )f = 1)1( −+ qiL

(i )f = 1)0669,01( 4 −+ (i )f = 0,2956 ou 29,6% a.a.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1,0669 ENTER 1,07 Taxa efetiva 4 xy 1,30 Fator de capitalização 1 < – > 0,30 Taxa unitária 100 < × > 29,56 Taxa percentual Resp.: Custo efetivo = 6,69% a.t. ou 29,6% a.a.

Entradas

0 2 4 3 1 5 6

127.960,00 30.000,00+ 6.000,00

(trimestres) 600.000,00

123.300,00 118.640,00 113.980,00 109.320,00 104.660,00

Desembolsos

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 13 – Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 1) a) Carteira “X” Aplicação Valor Presente

(PV) Valor Futuro

(FV) Juros

A $ 250.000,00 $ 352.649,69 $ 102.649,69 B $ 440.000,00 $ 751.583,56 $ 311.583,56 C $ 180.000,00 $ 241.904,95 $ 61.904,95 D $ 300.000,00 $ 444.073,29 $ 144.073,29

Total $ 1.170.000,00 $ 1.790.211,49 $ 620.211,49

( )10035,100,000.250 ×=AFV = $ 352.649,69

( )10055,100,000.440 ×=BFV = $ 751.583,56

( )1003,100,000.180 ×=CFV = $ 241.904,95

( )1004,100,000.300 ×=DFV = $ 444.073,29 $ 1.790.211,49 Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração:

$ 1.790.211,49 10 (meses) $ 1.170.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:

( )niPVFV +×= 1

( )ni

PVFV += 1

( )101

00,000.170.149,211.790.1

i+=

( ) 530095,1110

=+ i

( ) 1010 10530095,11 =+ i

0435,0=i

=i 4,35% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 250.000 CHS PV -250.000,00 Valor da aplicação A 3,5 i 3,50 Taxa mensal de A 10 n 10,00 Prazo da aplicação FV 352.649,69 Valor Futuro de A ENTER 352.649,69 FV acumulado da carteira (A) 440.000 CHS PV -440.000,00 Valor da aplicação B 5,5 i 5,50 Taxa mensal de B FV 751.583,56 Valor Futuro de B < + > 1.104.233,25 FV acumulado da carteira (A+B) 180.000 CHS PV -180.000,00 Valor da aplicação C 3,0 i 3,00 Taxa mensal de C FV 241.904,95 Valor Futuro de C < + > 1.346.138,20 FV acumulado da carteira (A+B+C) 300.000 CHS PV -300.000,00 Valor da aplicação D 4,0 i 4,00 Taxa mensal de D FV 444.073,29 Valor Futuro de D < + > 1.790.211,49 FV acumulado da carteira (A+B+C+D) CHS FV -1.170.211,49 Valor total do resgate 1.170.000 PV 1.170.000,00 Valor total da aplicação i 4,35 Taxa média composta b) Carteira “W” Aplicação Valor Presente

(PV) Valor Futuro

(FV) Juros

A $ 130.000,00 $ 233.461,32 $ 103.461,32 B $ 480.000,00 $ 805.008,05 $ 325.008,05 C $ 250.000,00 $ 447.711,92 $ 197.711,92 D $ 360.000,00 $ 642.052,02 $ 282.052,02

Total $ 1.220.000,00 $ 2.128.233,32 $ 908.233,32

( )1205,100,000.130 ×=AFV = $ 233.461,32

( )609,100,000.480 ×=BFV = $ 805.008,05

( )1006,100,000.250 ×=CFV = $ 447.711,92

( )8075,100,000.360 ×=DFV = $ 642.052,02 $ 2.128.233,32 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 130.000 CHS PV -130.000,00 Valor da aplicação A 5 i 5,00 Taxa mensal de A 12 n 12,00 Prazo da aplicação A FV 233.461,32 Valor Futuro de A ENTER 233.461,32 FV acumulado da carteira (A) 480.000 CHS PV -480.000,00 Valor da aplicação B 9 i 9,00 Taxa mensal de B 6 n 6,00 Prazo da aplicação B FV 805.008,05 Valor Futuro de B < + > 1.038.469,38 FV acumulado da carteira (A+B) 250.000 CHS PV -250.000,00 Valor da aplicação C 6,0 i 6,00 Taxa mensal de C 10 n 10,00 Prazo da aplicação C FV 447.711,92 Valor Futuro de C < + > 1.486.181,30 FV acumulado da carteira (A+B+C) 360.000 CHS PV -360.000,00 Valor da aplicação D 7,5 i 7,50 Taxa mensal de D 8 n 8,00 Prazo da aplicação D FV 642.052,02 Valor Futuro de D < + > 2.128.233,32 FV acumulado da carteira (A+B+C+D) Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração: $ 805.008,05 $ 642.052,02 $ 447.711,92 $ 233.461,32 6 8 10 12 (meses) $ 1.220.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:

( ) ( ) ( ) ( )1210861

32,461.233

1

92,711.447

1

02,052.642

1

05,008.80500,000.220.1

iiii ++

++

++

+=

Resolvendo-se a expressão, chega-se a:

=i 7,24% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 1.220.000 CHS g 0CF -1.220.000,00 Valor total da aplicação 0 g jCF 0,00 Insere carência 5 g jN 5,00 Meses sem movimentação da carteira 805.008,05 g jCF 805.008,05 FV da aplicação B 0 g jCF 0,00 Mês sem movimentação da carteira 642.052,02 g jCF 642.052,02 FV da aplicação D 0 g jCF 0,00 Mês sem movimentação da carteira 447.711,92 g jCF 447.711,92 FV da aplicação C 0 g jCF 0,00 Mês sem movimentação da carteira 233.461,32 g jCF 233.461,32 FV da aplicação A f IRR 7,24 Taxa média composta da carteira c) Carteira “Z” Aplicação Valor Presente

(PV) Momento da

Aplicação Valor Futuro

(FV) Juros

A $ 115.000,00 4t $ 172.583,99 $ 57.583,99 B $ 70.000,00 3t $ 105.254,12 $ 35.254,12

C $ 20.000,00 0t (hoje) $ 28.211,98 $ 8.211,98

D $ 250.000,00 8t $ 294.306,25 $ 44.306,25

Total $ 455.000,00 - $ 600.356,34 $ 145.356,34

( )607,100,000.115 ×=AFV = $ 172.583,99

( )706,100,000.70 ×=BFV = $ 105.254,12

( )10035,100,000.20 ×=CFV = $ 28.211,98

( )2085,100,000.250 ×=DFV = $ 294.306,25 $ 600.356,34

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 115.000 CHS PV -115.000,00 Valor da aplicação A 7 i 7,00 Taxa mensal de A 6 n 6,00 Prazo da aplicação A FV 172.583,99 Valor Futuro de A ENTER 172.583,99 FV acumulado da carteira (A) 70.000 CHS PV -70.000,00 Valor da aplicação B 6 i 6,00 Taxa mensal de B 7 n 7,00 Prazo da aplicação B FV 105.254,12 Valor Futuro de B < + > 277.838,11 FV acumulado da carteira (A+B) 20.000 CHS PV -20.000,00 Valor da aplicação C 3,5 i 3,50 Taxa mensal de C 10 n 10,00 Prazo da aplicação C FV 28.211,98 Valor Futuro de C < + > 306.050,08 FV acumulado da carteira (A+B+C) 250.000 CHS PV -250.000,00 Valor da aplicação D 8,5 i 8,50 Taxa mensal de D 2 n 8,00 Prazo da aplicação D FV 294.306,25 Valor Futuro de D < + > 600.356,33 FV acumulado da carteira (A+B+C+D) Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração: $ 600.356,34 0 3 4 8 10 (meses) $ 20.000,00 $ 70.000,00 $ 115.000,00 $ 250.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:

( ) ( ) ( ) ( ) 34,356.600100,000.250100,000.115100,000.70100,000.2026710

=+++++++ iiii Resolvendo-se a expressão, chega-se a:

=i 6,60% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 20.000 CHS g 0CF -20.000,00 Valor da aplicação C 0 g jCF 0,00 Insere carência 2 g jN 2,00 Meses sem movimentação da carteira 70.000 CHS g jCF -70.000,00 Valor da aplicação B 115.000 CHS g jCF -115.000,00 Valor da aplicação A 0 g jCF 0,00 Insere carência 3 g jN 3,00 Meses sem movimentação da carteira 250.000 CHS g jCF -250.000,00 Valor da aplicação D 0 g jCF 0,00 Insere carência 1 g jN 1,00 Meses sem movimentação da carteira 600.356,34 g jCF 600.356,34 FV total f IRR 6,60 Taxa média composta da carteira 2) Captação Valor da Captação

($) Momento da

Captação Valor Futuro

(FV) Juros

I $ 180.000,00 0t (hoje) $ 242.079,99 $ 62.079,99

II $ 130.000,00 9t $ 135.938,19 $ 5.938,19

III $ 100.000,00 7t $ 110.408,08 $ 10.408,08

IV $ 250.000,00 5t $ 307.468,47 $ 57.468,47

Total $ 660.000,00 - $ 795.894,73 $ 135.894,73

( )12025,100,000.180 ×=IFV = $ 242.079,99

( )3015,100,000.130 ×=IIFV = $ 135.938,19

( )502,100,000.100 ×=IIIFV = $ 110.408,08

( )703,100,000.250 ×=IVFV = $ 307.468,47 $ 795.894,73 Solução na HP-12C:

Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 180.000 CHS PV -180.000,00 Valor da aplicação I 2,5 i 2,50 Taxa mensal de I 12 n 12,00 Prazo da aplicação I FV 242.079,99 Valor Futuro de I ENTER 242.079,99 FV acumulado da carteira (I) 130.000 CHS PV -130.000,00 Valor da aplicação II 1,5 i 1,50 Taxa mensal de II 3 n 3,00 Prazo da aplicação II FV 135.938,19 Valor Futuro de II < + > 378.018,18 FV acumulado da carteira (I+II) 100.000 CHS PV -100.000,00 Valor da aplicação III 2 i 2,00 Taxa mensal de III 5 n 5,00 Prazo da aplicação III FV 110.408,08 Valor Futuro de III < + > 488.426,26 FV acumulado da carteira (I+II+III) 250.000 CHS PV -250.000,00 Valor da aplicação IV 3 i 3,00 Taxa mensal de IV 7 n 7,00 Prazo da aplicação IV FV 307.468,47 Valor Futuro de IV < + > 795.894,72 FV acumulado da carteira (I+II+III+IV) Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração: $ 795.894,73 0 5 7 9 10 (meses) $ 180.000,00 $ 250.000,00 $ 100.000,00 $ 130.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:

( ) ( ) ( ) ( ) 73,894.795100,000.130100,000.100100,000.250100,000.18035712


=i 2,56% a.m. Solução na HP-12C:

Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 180.000 CHS g 0CF -180.000,00 Valor da captação I 0 g jCF 0,00 Insere carência 4 g jN 4,00 Meses sem movimentação da carteira 250.000 CHS g jCF -250.000,00 Valor da captação IV 0 g jCF 0,00 Insere um mês sem movimentação 100.000 CHS g jCF -100.000,00 Valor da captação III 0 g jCF 0,00 Insere um mês sem movimentação 130.000 CHS g jCF -130.000,00 Valor da captação II 0 g jCF 0,00 Insere carência 2 g jN 2,00 Meses sem movimentação da carteira 795.894,73 g jCF 795.894,73 Valor do resgate no final f IRR 2,56 Custo médio da carteira de captações 3) Sendo: =0P $ 1.000,00 =YTM 10% a.a. = 5% a.s. (0,05) =C $ 1.000,00 × 0,05 = $ 50,00 =t 3 anos ou 6 semestres =D ?

Temos: ( )

0

1

1/)()(

P

YTMtCDDuration

n

j

tt

=

+×=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00,000.1 $05,1

6501.0 $05,1

550 $05,1

450 $05,1

350 $05,1

250 $05,150 $

65432

×+×+×+×+×+=D

00,000.1 $

5.329,48 $=D

329,5=D semestres 4)

Título Prazo de

resgate Valor do

resgate (FV) Taxa de

juros Valor da

Aplicação (PV) Juros

A 58 dias $ 37.800,00 1,1% a.m. $ 37.008,90 $ 791,10 B 70 dias $ 21.400,00 1,3% a.m. $ 20.764,67 $ 635,33 C 98 dias $ 55.400,00 1,5% a.m. $ 52.770,03 $ 2.629,97 D 112 dias $ 68.300,00 1,6% a.m. $ 64.370,10 $ 3.929,90

Total - $ 182.900,00 - $ 174.913,70 $ 7.986,30

( )3058

011,1/00,800.37=APV = $ 37.008,90

( )3070

013,1/00,400.21=BPV = $ 20.764,67

( )3098

015,1/00,400.55=CPV = $ 52.770,03

( ) 30112

016,1/00,300.68=DPV = $ 64.370,10 $ 174.913,70 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 37.800 CHS FV -37.800,00 Valor do resgate do título A 1,1 i 1,10 Taxa de juros do título A 58 ENTER 30 < ÷ > n 1,93 Prazo do resgate do título A PV 37.008,90 Valor da aplicação do título A ENTER 37.008,90 PV acumulado da carteira (A) 21.400 CHS FV -21.400,00 Valor do resgate do título B 1,3 i 1,30 Taxa de juros do título B 70 ENTER 30 < ÷ > n 2,33 Prazo do resgate do título B PV 20.764,67 Valor da aplicação do título B < + > 57.773,57 PV acumulado da carteira (A+B) 55.400 CHS FV -55.400,00 Valor do resgate do título C 1,5 i 1,50 Taxa de juros do título C 98 ENTER 30 < ÷ > n 3,27 Prazo do resgate do título C PV 52.770,03 Valor da aplicação do título C < + > 110.543,61 PV acumulado da carteira (A+B+C) 68.300 CHS FV -68.300,00 Valor do resgate do título D 1,6 i 1,60 Taxa de juros do título D 112 ENTER 30 < ÷ > n 3,73 Prazo do resgate do título D PV 64.370,10 Valor da aplicação do título D < + > 174.913,71 PV acumulado da carteira (A+B+C+D) Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração:

$ 182.900,00 0 14 42 54 112 (dias) $ 64.370,10 $ 52.770,03 $ 20.764,67 $ 37.008,90 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:

( ) ( ) ( ) ( ) 00,900.182190,008.37167,764.20103,770.52110,370.64 3058

3070

3098

30112


=i 1,47% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 64.370,10 CHS g 0CF -64.370,10 Valor da aplicação D 0 g jCF 0,00 Insere carência 13 g jN 13,00 Dias sem movimentação da carteira 52.770,03 CHS g jCF -52.770,03 Valor da aplicação C 0 g jCF 0,00 Insere carência 27 g jN 27,00 Dias sem movimentação da carteira 20.764,67 CHS g jCF -20.764,67 Valor da aplicação B 0 g jCF 0,00 Insere carência 11 g jN 11,00 Dias sem movimentação da carteira 37.008,90 CHS g jCF -37.008,90 Valor da aplicação A 0 g jCF 0,00 Insere carência 57 g jN 57,00 Dias sem movimentação da carteira 182.900 g jCF 182.900,00 Valor total do resgate f IRR 0,05 Rentabilidade média diária da carteira 100 < ÷ > 1 < + > 1,00 Transformação p/ rentabilidade mensal 30 < xy > 1 <–> 100 <×> 1,47 Rentabilidade média da carteira � Para cálculo do prazo médio têm-se as seguintes informações:

182.900,00 $ 11

==

==t

jj

t

jj FVVBF

70,913.174 $ 90,008.3767,764.2003,770.5210,370.64 1

=+++= =

t

jjPV

=i 1,47% a.m. Aplicando-se a fórmula de cálculo, chega-se a:

( )nt

jj

t

jj iPVVBF +=

==

111

( )n...0147,170,913.17400,900.182 ×=

( )70,913.17400,900.182

...0147,1 =n

( ) 045658516,1...0147,1 =n

014749756,1log045658516,1log=n

014642036,0044646846,0=n

049223834,3=n meses ou 30049223834,3 ×=n

477,91=n dias 5)

Sendo:

Captação

Valor da Captação

(Valor atual)

Número de Pagamentos

Mensais*

Taxa de

Juros A $ 50.000,00 5 3,1% a.m. B $ 120.000,00 8 3,6% a.m. C $ 30.000,00 11 2,5% a.m.

Total $ 200.000,00 - - * Pagamentos mensais, iguais e sucessivos (PMT). Pelos dados apresentados, são apurados os seguintes resultados:

=APMT 50.000,00 / FPV (3,1%, 5) = $ 10.948,92 (1) =BPMT 120.000,00 / FPV (3,6%, 8) = $ 17.530,13 (2) =CPMT 30.000,00 / FPV (2,5%, 11) = $ 3.153,18 (3)

Utilizando a expressão i

iPVPMT

n−+−= )1(1/ , temos que:

(1) 031,0

)031,01(1/00,000.50

5−+−=APMT

=APMT $ 10.948,92

(2) 036,0

)036,01(1/00,000.120

8−+−=BPMT

=BPMT $ 17.530,13

(3) 025,0

)025,01(1/00,000.30

11−+−=CPMT

=CPMT $ 3.153,18 Solução na HP-12C:

Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 50.000 CHS PV -50.000,00 Valor da captação de A 5 n 5,00 Número de pagamentos de A 3,1 i 3,10 Taxa de juros de A PMT 10.948,92 Valor da parcela mensal de A

120.000 CHS PV -120.000,00 Valor da captação de B 8 n 8,00 Número de pagamentos de B 3,6 i 3,60 Taxa de juros de B PMT 17.530,13 Valor da parcela mensal de B

30.000 CHS PV -30.000,00 Valor da captação de C 11 n 11,00 Número de pagamentos de C 2,5 i 2,50 Taxa de juros de C PMT 3.153,18 Valor da parcela mensal de C Dessa maneira, evidenciam-se as seguintes saídas periódicas de caixa provenientes das captações financeiras realizadas: Mês 1: 10.948,92 + 17.530,13 + 3.153,18 = $ 31.632,23 Mês 2: 10.948,92 + 17.530,13 + 3.153,18 = $ 31.632,23 Mês 3: 10.948,92 + 17.530,13 + 3.153,18 = $ 31.632,23 Mês 4: 10.948,92 + 17.530,13 + 3.153,18 = $ 31.632,23 Mês 5: 10.948,92 + 17.530,13 + 3.153,18 = $ 31.632,23 Mês 6: 17.530,13 + 3.153,18 = $ 20.683,31 Mês 7: 17.530,13 + 3.153,18 = $ 20.683,31 Mês 8: 17.530,13 + 3.153,18 = $ 20.683,31 Mês 9: 3.153,18 = $ 3.153,18 Mês 10: 3.153,18 = $ 3.153,18 Mês 11: 3.153,18 = $ 3.153,18 De acordo com a definição proposta, a taxa média de retorno da carteira de captações é

aquela que, ao descontar os fluxos de caixa, apura um valor igual ao embolso inicial. Logo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++

++

++

++

++

= 54321

23,632.31

1

23,632.31

1

23,632.31

1

23,632.311

23,632.3100,000.200

iiiii

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )111098761

18,153.3

1

18,153.3

1

18,153.3

1

31,683.20

1

31,683.20

1

31,683.20

iiiiii ++

++

++

++

++

++

Efetuando-se os cálculos com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa de: =i 3,29% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 200.000 CHS g 0CF -200.000,00 Valor total da captação inicial 31.632,23 g jCF 31.632,23 Pagamento dos meses 1 a 5 5 g jN 5,00 Meses c/ mesmo valor de pagamento 20.683,31 g jCF 31.632,23 Pagamento dos meses 6 a 8 3 g jN 5,00 Meses c/ mesmo valor de pagamento 3.153,18 g jCF 3.153,18 Pagamento dos meses 9 a 11 3 g jN 5,00 Meses c/ mesmo valor de pagamento f IRR 3,29 Taxa média de juros da carteira 6) Sendo: =0P $ 14.500,00 =t 12 meses =C $ 1.482,90 =D ?

� Cálculo da YTM

) ,( niFPVPMTPV ×=

)12 ,(90,482.100,500.14 iFPV×=

12432 )1(90,482.1

...)1(90,482.1

)1(90,482.1

)1(90,482.1

)1(90,482.1

00,500.14iiiii +

+++

++

++

++

=

Resolvendo-se:

=i 0,033...% a.m.

=∴YTM 3,30...% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 14.500 CHS PV -14.000,00 Valor da operação de crédito ( 0P ) 12 n 12,00 Quantidade de prestações (t) 1.482,90 PMT -1.482,90 Valor das prestações (C) i 3,30 YTM

� Cálculo do prazo médio (duration de Macaulay):

( )

0

1

1/)()(

P

YTMtCDDuration

n

j

tt

=

+×=

( ) ( ) ( ) ( )00,500.14 $

5...033,1

121.482,90 $...

5...033,1

41.482,90 $

...033,1

31.482,90 $

...033,1

21.482,90 $...033,1

1.482,90 $12432

×++×+×+×+=D

++++++=14.500,00 $

58,322.7 $51,303.6 $22,209.5 $84,035.4 $34,779.2 $53,435.1 $D

14.500,00 $

12.052,99 $11.413,16 $10.717,98 $9.964,50 $9.149,62 $8.270,10 $ ++++++

14.500,00 $88.654,37 $=D

11,6=D meses

7) Sendo:

Captação

Valor da Captação

(Valor atual)


Mensais

Taxa de

Juros

Forma de

pagamento Alternativa a $ 300.000,00 4 6% a.m. Mensais, iguais e sucessivas Alternativa b $ 540.000,00 7 8% a.m. Resgate ao final Pelos dados apresentados, são apurados os seguintes resultados:

Alternativa a

=aPMT 300.000,00 / FPV (6%, 4) = $ 86.577,45

Forma de cálculo: i

iPVPMT

n−+−= )1(1/

06,0

)06,01(1/00,000.300

4−+−=aPMT

=aPMT $ 86.577,45 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 300.000 CHS PV -300.000,00 Valor da captação de a 4 n 4,00 Número de pagamentos de a 6 i 6,00 Taxa de juros de a PMT 86.577,45 Valor das prestações de a Alternativa b

niPVFV )1( +=

7)08,01( 00,000.540 +=FV

=FV $ 925.465,11

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 540.000 CHS PV -540.000,00 Valor líquido captado 8 i 8,00 Taxa de juros 7 n 7,00 Prazo em meses FV 925.465,11 Valor do pagamento no 7º mês Representando graficamente os fluxos de caixa, temos:

Alternativa a $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 86.577,45 0 1 2 3 4 (meses) $ 300.000,00 Alternativa b

$ 925.465,11 7 (meses) $ 540.000,00 Soma dos fluxos a e b $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 925.465,11 0 1 2 3 4 7 (meses) $ 840.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )74321

11,465.925

1

45,577.86

1

45,577.86

1

45,577.861

45,577.8600,000.840

iiiii ++

++

++

++

+=


=i 7,68% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 840.000 CHS g 0CF -840.000,00 Valor total da captação inicial 86.577,45 g jCF 86.577,45 Pagamento dos meses 1 a 4 4 g jN 4,00 Meses c/ mesmo valor de pagamento 0 g jCF 0,00 Insere fluxo zero 2 g jN 2,00 Meses sem movimentação 925.465,11 g jCF 925.465,11 Pagamento do mês 7 f IRR 7,68 Taxa média das captações financeiras

8) Sendo:

Empréstimo

Valor do Empréstimo (Valor atual)


Mensais

Valor da

prestação

Formato das

Prestações I $ 70.000,00 4 $ 25.000,00 Semestrais, iguais e sucessivas II $ 200.000,00 7 $ 40.000,00 Semestrais, iguais e sucessivas

Total $ 270.000,00 - - - Representando graficamente os fluxos de caixa, temos: Empréstimo I $ 25.000,00 $ 25.000,00 $ 25.000,00 $ 25.000,00 0 1 2 3 4 (semestres) $ 70.000,00 Empréstimo II $ 40.000,00 $ 40.000,00 $ 40.000,00 $ 40.000,00 0 1 2 3 7 (semestres) $ 200.000,00 Dessa maneira, evidenciam-se as seguintes saídas periódicas de caixa provenientes dos empréstimos realizados: Semestre 1: 25.000,00 + 40.000,00 = $ 65.000,00 Semestre 2: 25.000,00 + 40.000,00 = $ 65.000,00 Semestre 3: 25.000,00 + 40.000,00 = $ 65.000,00 Semestre 4: 25.000,00 + 40.000,00 = $ 65.000,00 Semestre 5: 40.000,00 = $ 40.000,00 Semestre 6: 40.000,00 = $ 40.000,00 Semestre 7: 40.000,00 = $ 40.000,00

De acordo com a definição proposta, a taxa média de retorno da carteira de empréstimos é

aquela que, ao descontar os fluxos de caixa, apura um valor igual ao embolso inicial. Logo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++

++

++

++

++

= 54321

00,000.40

1

00,000.65

1

00,000.65

1

00,000.651

00,000.6500,000.270

iiiii

( ) ( )761

00,000.40

1

00,000.40

ii ++

++

Efetuando-se os cálculos com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa de: =i 10,5% ao semestre (0,105) ou 0168,01105,016 =−+=i

=i 1,68% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 270.000 CHS g 0CF -270.000,00 Valor total do empréstimo inicial 65.000 g jCF 65.000,00 Pagamento dos semestres 1 a 4 4 g jN 4,00 Semestres c/mesmo valor de pagamento 40.000 g jCF 40.000,00 Pagamento dos meses 5 a 7 3 g jN 300 Semestres c/mesmo valor de pagamento f IRR 10,50 Taxa média semestral de juros 100 <+> CHS FV -110,50 Transformação para taxa mensal 100 PV 100,00 Transformação para taxa mensal 180 ENTER 30 < ÷ > n 6,00 Transformação para taxa mensal i 1,68 Taxa média mensal de juros Soma dos fluxos a e b $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 86.577,45 $ 925.465,11 0 1 2 3 4 7 (meses) $ 840.000,00

O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )74321

11,465.925

1

45,577.86

1

45,577.86

1

45,577.861

45,577.8600,000.840

iiiii ++

++

++

++

+=


=i 7,68% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 840.000 CHS g 0CF -840.000,00 Valor total da captação inicial 86.577,45 g jCF 86.577,45 Pagamento dos meses 1 a 4 4 g jN 4,00 Meses c/ mesmo valor de pagamento 0 g jCF 0,00 Insere fluxo zero 2 g jN 2,00 Meses sem movimentação 925.465,11 g jCF 925.465,11 Pagamento do mês 7 f IRR 7,68 Taxa média das captações financeiras

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 14 – Matemática Financeira e Avaliação de Ações 1) Sendo: =0P $ 2,20

=1D $ 0,14 =1P $ 2,46

=K ? Representando graficamente temos:

=1D $ 0,14 =1P $ 2,46 0 1 (ano) =0P $ 2,20 Resolvendo-se:

( ) ( )KP

KD

P+

++

=11

110

( ) ( )KK ++

+=

146,2

114,0

20,2

( )K+=

160,2

20,2

20,260,2

1 =+ K

11818,1 −=K =K 0,1818…= 18,18% a.a. ou ( ) 1...1818,0112 −+=K

=K 0,14… ou 1,4% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 2,20 CHS PV -2,20 Preço de aquisição da ação ( 0t ) 0,14 ENTER 0,14 Valor do dividendo em 1t 2,46 < + > FV 2,60 Preço de venda + dividendo em 1t 1 n 1,00 Prazo da operação i 18,18 Retorno esperado anual 100 < + > CHS FV -118,18 Transformação para taxa mensal 100 PV 100,00 Transformação para taxa mensal 360 ENTER 30 < ÷ > n 12,00 Transformação para taxa mensal i 1,40 Retorno esperado mensal 2) Sendo: =1D $ 0,22

=1P $ 4,40 =K 12% a.a. (0,12) =0P ?

Representando graficamente temos:

=1D $ 0,22 =1P $ 4,40 0 1 (ano) =0P ? Resolvendo-se:

( ) ( )KP

KD

P+

++

=11

110

12,01

40,412,01

22,00 +

++

=P

12,162,4

0 =P

=0P $ 4,125

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0,22 ENTER 0,22 Valor do dividendo em 1t 4,40 < + > CHS FV 4,62 Preço de mercado + dividendo em 1t 12 i 12,00 Taxa de rentabilidade esperada 1 n 1,00 Prazo da operação PV 4,125 Preço corrente da ação 3) Sendo: D = $ 1,37 0P = $ 10,50 K = ?

Temos: KD

P =0

K37,1

50,10 =

50,10

37,1=K

...1305,0=K =∴ K 13,05% a.a. 4) Sendo: K = 18% a.a. (0,18) =D $ 1,00 g = 3% a.a. (0,03) =0P ?

Temos: gK

DP

−= 1

0

03,018,0

00,10 −

=P

=0P $ 6,67

5) a) Sendo: g = 5% a.a. (0,05)

=D $ 1,25 K = 12% a.a. (0,12) =0P ?

Temos: gK

DP

−= 1

0

05,012,0

25,10 −

=P

=0P $ 17,86 b) Sendo: g = 5% a.a. (0,05)

=D $ 1,25 K = 15% a.a. (0,15) =0P ?

Temos: gK

DP

−= 1

0

05,015,0

25,10 −

=P

=0P $ 12,50 6) a) Sendo: 0P = $ 14,00

g = 6% a.a. (0,06) K = 18% a.a. (0,18) 1D = ?

Temos: gK

DP

−= 1

0

06,018,0

00,14 1

−=

D

12,000,141 ×=D =1D $ 1,68 b) Sendo: g = 4% a.a. (0,04) K = 18% a.a. (0,18) 1D = $ 1,14

0P = ?

Temos: gK

DP

−= 1

0

04,018,0

14,10 −

=P

=0P $ 8,14 7) a) Sendo: =0D $ 0,65 ( )08,0165,01 +=D = $ 0,70 =K 24% a.a. (0,24) Temos: g (para os três primeiros anos) = 8% a.a. (0,08) g (indefinidamente)= 6% a.a. (0,06) Utilizando a expressão abaixo,

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ��

�

�+×

−+

��

�

�

++

++

++

++

= −313

30

2

200

0 1 1

1

1

11

1K

gKD

K

gD

K

gDK

gDP

fluxo definido com fluxo indefinido com carência taxa de crescimento g taxa de crescimento g de 3 anos Temos:

( )

( )( )

( )( )

( )...

24,0108,0165,0

24,0108,0165,0

24,0108,0165,0

3

3

2

2

0 +��

�

�

++×+

++×+

++×=P

( ) ( ) ( ) �

�

�

�+×

−+×++ −3

3

24,0106,024,0

06,0108,0165,0...

53,243,049,057,00 +++=P =0P $ 4,02 b) Sendo: =0D $ 0,65 ( )08,0165,01 +=D = $ 0,70 =K 24% a.a. (0,24) Temos: g (para os cinco primeiros anos) = 12% a.a. (0,12) g (indefinidamente) = nulo Utilizando a expressão abaixo,

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ��

�

�+×

−+

��

�

�

++

+++

++

++

= −565

50

2

200

0 1 1

1...

1

11

1K

gKD

K

gD

K

gDK

gDP

fluxo definido com fluxo indefinido com carência taxa de crescimento g taxa de crescimento nulo de 5 anos Temos:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

...24,1

12,165,024,1

12,165,024,1

12,165,024,1

12,165,024,1

12,165,05

5

4

4

3

3

2

2

0 +��

�

� ×+×+×+×+×=P

( ) ( ) �

�

�

�××+ −5

5

24,124,0

12,165,0...

63,139,043,048,053,059,00 +++++=P

=0P $ 4,05

8) Sendo: =0P $ 8,82

=1D $ 0,53 =1P $ 8,85

=I 1,7% a.m. (0,017) =K ? Representando graficamente temos:

=1D $ 0,53 =1P $ 8,85 0 1 (mês) =0P $ 8,82 Resolvendo-se:

( ) ( )KP

KD

P+

++

=11

110

( ) ( )KK ++

+=

153,0

185,8

82,8

( )K+=

138,9

82,8

82,838,9

1 =+ K

10635,1 −=K =K 0,0635…

=K 6,35% a.m.

Sendo: Rentabilidade Real 111

)( −++=

IK

r

Temos: 1017,010635,01 −

++=r

...0457,0=r ou 4,57% a.m.

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 8,82 CHS PV -8,82 Preço corrente de mercado da ação 0,53 ENTER 0,53 Valor do dividendo em 1t 8,85 < + > FV 9,38 Preço da ação em 1t + dividendo em 1t 1 n 1,00 Prazo da operação i 6,35 Retorno mensal 100 < ÷ > 1 < + > 1,06 Transformação para taxa real 1,017 < ÷ > 1 <–> 100 < × > 4,57 Retorno real esperado para o período 9) Representando graficamente, temos: 54.000,00 32.000,00 121.000,00 Venda 5 10 20 0 25 30 (dias) Compra 60.000,00 48.000,00 97.000,00

Utilizando a expressão: ( )

= +=

n

tt

t

K

PP

00

1

Temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )30

303025

3020

3020

3010

305

1

00,000.121

1

00,000.32

1

00,000.54

1

00,000.97

1

00,000.48

1

00,000.600

kkkkkk +−

+−

+−

++

++

+=

Resolvendo-se com o auxílio de uma calculadora financeira, temos: K = 2,20% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Saldo inicial da carteira 0 g jCF 0,00 Não houve movimento da carteira 4 g jN 4,00 Dias sem movimentação da carteira 60.000 g jCF 60.000,00 Compra do dia 05 0 g jCF 0,00 Não houve movimento da carteira

4 g jN 4,00 Dias sem movimentação da carteira 48.000 g jCF 48.000,00 Compra do dia 10 0 g jCF 0,00 Não houve movimento da carteira 9 g jN 9,00 Dias sem movimentação da carteira 43.000 g jCF 43.000,00 Saldo (compra – venda) do dia 20 0 g jCF 0,00 Não houve movimento da carteira 4 g jN 4,00 Dias sem movimentação da carteira 32.000 CHS g jCF -32.000,00 Venda do dia 25 0 g jCF 0,00 Não houve movimento da carteira 4 g jN 4,00 Dias sem movimentação da carteira 121.000 CHS g jCF -121.000,00 Valor da carteira no dia 30 f IRR 0,07 Rentabilidade diária apurada 100 < ÷ > 1 < + > 1,00 Transformação p/rentabilidade mensal 30 < xy > 1 <–> 100 <×> 2,10 Rentabilidade mensal apurada 10) Representando graficamente, temos: 0,52 0,52 0,52 0,52 0,76 0,76 0,76 0 1 2 3 4 5 6 7 (anos) ∞ a) Sendo: K = 18% a.a. (0,18) =0P ?

Temos: ( ) ( ) 4

4

0 18,1 18,076,0

18,018,11

52,0 −−

×��

�

�+��

�

� −×=P

5 fluxos anuais, fluxo carência iguais e consecutivos indefinido 4 anos 515789,022,440,10 ×+=P =0P $ 3,58

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0,52 CHS PMT 0,52 Valor dos dividendos fixos 4 n 4,00 Próximos quatro anos 18 i 18,00 Taxa mínima de atratividade PV 1,40 PV dos fluxos iguais e consecutivos 0,76 ENTER 0,76 Valor dos dividendos a partir do 5º ano 0,18 < ÷ > 4,22 Valor teórico do fluxo indefinido 1,18 ENTER 1,18 Fator de atualização 4 CHS < xy > <×> 2,18 Anos de carência < + > 3,58 Preço máximo de compra dessa ação b) Sendo: K = 18% a.a. (0,18) 0P = $ 3,58 D = ?

Temos: KD

P =0

18,0

58,3D=

18,058,3 ×=D =D $ 0,64 11) Representando graficamente, temos: =1D 1,40 =2D 2,00 =1P ? 0 6 12 15 (meses) =0P 23,00 K = 3% a.m. (0,03)

Utilizando a expressão: ( ) ( ) ( )15

112

26

10

111 K

P

K

D

K

DP

++

++

+=

Temos: ( ) ( ) ( )15

1126 03,0103,01

00,203,01

40,100,23

++

++

+=

P

56,1

40,117,100,23 1P++=

42,2056,11 =

P

=1P $ 31,82 12) Representando graficamente, temos: =1P ? =1D 1,50 =2D 1,80 0 6 12 (meses) =0P 11,00 Primeiramente, devemos encontrar a taxa de desconto que será utilizada no fluxo acima. Sendo: Rentabilidade real mínima desejada (r) = 20% a.a. (0,20) Inflação em 1999 (I) = 14% a.a. (0,14) Taxa de desconto (K) = ?

Temos: Rentabilidade Real 111

)( −++=

IK

r

114,01

120,0 −

++= K

20,114,1

1 =+ K

3680,11 =+ K

K = 0,3680... ou 36,80% a.a.

Agora, utilizamos a expressão:

( ) ( ) ( )K

PK

D

K

DP

++

++

+=

111

12

126

10

( ) 3680,013680,01

80,1

3680,01

50,100,11 1

126 +

++

++

=P

3680,1

32,128,100,11 1P++=

40,83680,1

1 =P

=1P $ 11,49

13) Sendo: =1D $ 0,58 =g 3% a.a. (0,03) acima da inflação =n 4 anos =(Real) K 20% a.a. (0,20) acima da inflação =I 15% a.a. (0,15) Valorização da ação = 7,5% a.a. acima da inflação Temos: =g 0,03 + 0,15 = 0,18 ou 18% a.a. ( )( )[ ] a.a. %38115,120,1 (Nominal) =−=K Representando graficamente, temos: 0,58 ( )( )15,103,158,0 ( ) ( )22 15,103,158,0 ( ) ( )33 15,103,158,0 0 1 2 3 4 (anos) 0P

( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) �

��

�

�++++= 4

440

4

33

3

22

2038,1

15,1075,1

38,115,103,158,0

38,115,103,158,0

38,115,103,158,0

38,158,0 P

P

00 64,027,031,036,042,0 PP ++++=

36,136,0 0 =P

=0P $ 3,78 14) a) Representando graficamente as alternativas, temos: Alternativa 1 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 0 1 2 3 4 5 6 7 (anos) ∞ Sendo: K = 20% a.a. (0,20) D = $ 1,50 0P = ?

Temos: KD

P =0

20,050,1

0 =P

=0P $ 7,50 Alternativa 2 2,15 2,15 2,15 2,15 0 1 2 3 4 5 6 7 (anos) ∞ carência de 3 anos Sendo: K = 20% a.a. (0,20) D = $ 2,15 0P = ?

Temos: ( ) nKKD

P −+×= 10

( ) 30 20,01

20,015,2 −+×=P

=0P $ 6,22 15) Sendo: =0D $ 0,80 ( )06,0180,01 +=D = $ 0,85 =K 12% a.a. (0,12) g (para os próximos 4 anos) = 6% a.a. (0,06) g (para os 6 anos seguintes) = 9% a.a. (0,09) g (daí em diante) = 5% a.a. (0,05) Resolveremos esse exercício em 3 etapas. Para os períodos definidos com taxa de crescimento g, utilizaremos a expressão abaixo:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1

1...

1

1

1

11

1 03

30

2

200

0 ∞

∞

++

+++

++

++

++

+=

K

gD

K

gD

K

gDK

gDP

Para o período indefinido com taxa de crescimento g, utilizaremos a expressão abaixo:

10 gK

DP

−=

Assim, � Para os próximos 4 anos:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )4

4

3

3

2

2

012,1

06,18,012,1

06,18,012,1

06,18,012,1

06,18,0 +++=P

64,068,072,076,00 +++=P =0P $ 2,80

� Para os 6 anos seguintes:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )10

64

9

54

8

44

7

34

6

24

5

4

012,1

09,106,18,012,1

09,106,18,012,1

09,106,18,012,1

09,106,18,012,1

09,106,18,012,1

09,106,18,0 +++++=P

55,056,058,059,061,063,00 +++++=P =0P $ 3,52 � Para os fluxos daí em diante

( ) ( ) ( ) ( ) 10

64

0 12,105,012,0

05,109,106,18,0 −×��

�

�

−=P

=0P $ 8,18 � Somando os valores, temos: 18,852,380,20 ++=P =∴ 0P $ 14,50 16) Representando graficamente a operação, temos: 31.000,00 31.000,00 31.000,00 0 20 25 30 (dias) 90.000,00 K = 3,5% a.m. (0,035) Determinando o valor presente dos fluxos de recebimento, temos:

( ) ( ) ( )035,01

00,000.31

035,01

00,000.31

035,01

00,000.31

3025

3020 +

++

++

=PV

69,951.2991,123.3013,297.30 ++=PV =PV $ 90.372,73

Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 0 g 0CF 0,00 Valor de aquisição das ações 0 g jCF 0,00 Não houve movimentação 19 g jN 19,00 Dias sem movimentação 31.000 g jCF -31.000,00 Recebimento do dia 20 0 g jCF 0,00 Não houve movimentação 4 g jN 4,00 Dias sem movimentação 31.000 g jCF -31.000,00 Recebimento do dia 25 0 g jCF 0,00 Não houve movimentação 4 g jN 4,00 Dias sem movimentação 31.000 g jCF -31.000,00 Recebimento do dia 30 1,035 ENTER 1,04 Transformação para taxa diária 30 < x/1 > < xy > 1,00 Transformação para taxa diária 1 <–> 100 <×> i 0,11 Transformação para taxa diária f NPV 90.372,73 Valor presente dos recebimentos Determinando a rentabilidade da operação, temos:

( ) ( ) ( )KKK +

++

++

=1

00,000.31

1

00,000.31

1

00,000.3100,000.90

3025

3020

Resolvendo-se: K = 4,015% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 90.000 CHS g 0CF -90.000,00 Valor de aquisição das ações 0 g jCF 0,00 Não houve movimentação 19 g jN 19,00 Dias sem movimentação 31.000 g jCF -31.000,00 Recebimento do dia 20 0 g jCF 0,00 Não houve movimentação 4 g jN 4,00 Dias sem movimentação 31.000 g jCF -31.000,00 Recebimento do dia 25 0 g jCF 0,00 Não houve movimentação 4 g jN 4,00 Dias sem movimentação 31.000 g jCF -31.000,00 Recebimento do dia 30 f IRR 0,13 Rentabilidade diária apurada 100 < ÷ > 1 < + > 1,00 Transformação p/rentabilidade mensal 30 < xy > 1 <–> 100 <×> 4,015 Rentabilidade mensal apurada

Resposta: Sim, fez um bom negócio. O valor presente dos fluxos de recebimento é maior que o valor pago (PV = $ 90.372,73), denotando uma rentabilidade superior aos 3,5% exigidos (K = 4,015% a.m.)

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Apêndice A – Operações Básicas de Matemática A.1 Regras de sinais nas operações matemáticas 1) – 300 + 150 + 800 – 950 = 950 – 1.250 = – 300 2) 700 + (– 300) + 2.000 – (–1.200) – 200 = 700 – 300 + 2.000 + 1.200 – 200 = 3.400 3) 500 – (– 900) – 600 – (+ 100) + 400 = 500 + 900 – 600 – 100 + 400 = 1.100 4) – 1.000 – (+ 300) + 500 – (– 200) + 0 – 900 = – 1.000 – 300 + 500 + 200 – 900 = – 1.500 5) 18 × (– 5) × 10 = – 900 6) 12 × (– 6) × 4 × (– 5) = 1.400 A.2 Operações com frações

1) 1259

1230218

25

47

32 =++=++

2) 1223

3669

36272472

43

96

2 ==−+=−+

3) 327

9621

843731

87

43

31 ==

××××=××

4) 421

1263

1297

19

127

91

127 ==×=×=÷

5) 7528

22584

1584

151

8415151

846348

1565

129

74

52

31

12/97/45/23/1 ==�

�

��

�−×−=−

−=

−

−

=−

−=

−−

A.3 Expressões Numéricas e Pontuação 1) ( ) ( )[ ]{ }726020514300 −−−×−

[ ]{ }122070300 +−− { }62300 − 238

2) ( ) ( )[ ]{ }5592717301070120 −××+−−×+−

[ ]{ }59010301050 −+−×+ [ ]{ }51101050 −×+

{ }5100.150 −+ 095.150 + 145.1 3) ( ) ( )[ ]{ } 404610739829040 +××−+×+−×+

[ ]{ } 40461010982130 +××−×+−× [ ]{ } 40460908260 +×−+−

{ } 404308260 +×+− { } 401208260 ++−

40128260 +− 172 4) ( ) ( )[ ]{ } ( ) 0350170127351230140 ××−−++−−×− [ ]{ } ( ) 01501703721230140 ×−−×+−×− [ ]{ } 020211030140 ×−+×− { } 03130140 −×− 930140 − 790− 5) ( ) ( ) ( )[ ]5312604070224165 ×÷+−−+÷×

( )[ ]54207022660 ×+−−+÷ [ ]20207022660 +++÷

132660 ÷ 5

6) ( ) ( )[ ]{ }5703106030200.1450402170800 ×−−+÷−×−−×+ ( ) ( )[ ]{ }350310604020040340800 −−+−−−+

[ ]{ }350250160300800 −−−+ { }350110800 −−

340

Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Apêndice B – Expoentes e Logaritmos B.1 Expoentes

1) =××××××××××=××× 111113381

4441381

4 523 981

64 ×× = 8

576= 72

2) 000.000.11010101010 632132 ===×× ++

3) 55105

10

5

64

5

64

aaaa

aa

aaa ====× −

+

4) ( ) ( )

( )200

125,025

225

225

2225

2

225

42

55

42

5363

6

3

32

3

3

33

2

======−×−=

��

��

�

−−−

5) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1486841084

10

1111111

rrrrrr

r +=+=+×+=+×++ +−

6) ( ) ( ) 2054545913

5

9

135

9

675

9

67

aaaaaa

aa

aaa ====��

�

��

�=��

�

��

�=��

�

��

� × ×−+

7) 664102842

108

42

4653

42

4563

babababa

baba

bababa ×=×=

××=

××=

×××× −−

++

8) ( )

5

6

5

323

5

32 12555i

ri

rir ×=×=× ×

9) ( ) ( )[ ] ( ) 2124331223255 642243 ÷+×−−÷−××− ( ) ( )[ ] ( ) 212256931442812525 ÷+×−−÷−××− [ ] ( ) 215129481622525 ÷+−−−×−

( ) 25021142525 ÷−−×−

251850.225 +−

574.2−

B.1.2 Expoentes Zero, Negativo e Fracionário

1) ( ) 045,1092,1092,1 21

== 2) ( ) 177,1073,1 31,2 = 3) ( ) ( ) ( ) 1255555 3 −=−×−×−=−

4) ( ) 008,0125

151

5 33 ===−

5) ( ) 015,01015,11195,1 12/1 =−=− 6) ( ) 0017,010017,11053,1 30/1 =−=−

7) ( ) ( ) ( ) ( ) 7378,09036,06667,03/23/2 334

344/3 ====

8) ( ) ( ) ( ) 8619,11681,1175,2175,2 4455/4 ===

9) ( ) ( ) ( ) 15,6400591,11

6780291,1

1678

09,1

167809,1678 22

3

3/2 =×=×=×=× −

10) ( ) ( ) 1642,011642,110051,11782,1 3030114 =−=−=−

B.2 Logaritimos 1) ( ) 270125,130 =× n

( )30270

125,1 =n

( ) 9125,1 =n 9ln125,1ln =×n

125,1ln9ln=n

117783036,0197224577,2=n

65,18=n 2) 20131 =+ x 12013 −=x 2003 =x 200ln3ln =×x

3ln

200ln=x

098612289,1298317367,5=x

82,4=x 3) ( ) 8009,1420 =× −n

( )42080

09,1 =−n

( ) 190476191,009,1 =−n 190476191,0ln09,1ln =×− n

09,1ln

190476191,0ln=− n

086177696,0658228076,1−=− n

24196339,19−=− n 24,19=n 4) ( ) 000.31200 15 =+× i

( )200

30001 15 =+ i

( ) 151 15 =+ i

( ) 1515 15 151 =+ i ( ) 197860058,11 =+ i 197860058,0=i 1979,0=i

5) ( )

0485,0

1485,1 =−n

( ) 485,001485,1 ×=−n ( ) 01485,1 =−n ( ) 1485,1 =n 1ln485,1ln =×n

485,1ln1ln=n

395414772,00=n

0=n

6) 35,237,0

)37,1(1 =− −n

( ) 37,035,237,11 ×=− −n ( ) 8695,037,11 =− −n ( ) 8695,0137,1 −=−n ( ) 1305,037,1 =−n 1305,0ln37,1ln =×− n

37,1ln

1305,0ln=− n

314810740,0036382052,2−=− n

468591425,6−=− n 47,6=n 7) xx 35,148 ×=

5,1438 =

x

x

5,14ln38

ln =x

x

5,14ln3ln8ln =×−× xx ( ) 5,14ln3ln8ln =−x ( ) 674148649,2098612289,1079441542,2 =−x

674148649,2980829253,0 =×x 7264,2=x 8) 4/19log5,97 ÷× 25,0954243,0874208829,9 ÷×= 25,0422381781,9 ÷= 6895,37= Obs: Optou-se por utilizar logaritmo neperiano (ln) por ser mais fácil a utilização na HP-12C.

soluções_ mat_financeira

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