solução numérica para equações integrais com núcleo...
TRANSCRIPT
Solução Numérica para Equações Integrais com Núcleo Fracamente Singular.
Leonardo Guillermo Felipe1
1Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná.
Rua da Faculdade, 645- Jd. Santa [email protected]
Resumo: O objetivo deste trabalho é desenvolver e discutir a convergência do método numérico integração produto para aproximar a solução das equações integrais de Volterra de segunda espécie com núcleo fracamente singular. Testes numéricos são realizados, os quais confirmam o resultado teórico sobre a taxa de convergência do método numérico proposto.
Palavras chaves. Convergência. Integração produto. Quadratura.
1. Introdução.
Consideremos a equação integral de Volterra de segunda espécie,
∫ ∞<≤+=x
axadssysxKsxpxgxy ,,))(,,(),()()(
(1) onde o núcleo p é fracamente singular e as funções g e K são dadas e assumidas suficientemente suaves de modo a garantir a existência e unicidade da solução y ∈ C[ a ,b], ver por exemplo, [ATKINSON, 1974] e [BRUNNER , HOUWEN,1986].
Formas típicas para p (x,s) são,
10,),( <<−= − λλsxsxp .
Equações do tipo (1) surgem no estudo de problemas de condução de calor, superfluidez e eletroquímica (ver por exemplo, [KELLER , OLMSTEAD,1971-2] , [LEVINSON, 1960].
Para equações integrais de Volterra com núcleo limitado, a suavidade do núcleo e da função g (x) determinam a suavidade da solução no intervalo [ a ,X] para X> a . Por outro lado, se considerarmos o núcleo como sendo fracamente singular, então a solução resultante é tipicamente não suave no ponto inicial do intervalo de integração, onde sua derivada torna-se não limitada. Alguns resultados relacionados com o comportamento da solução exata das equações integrais do tipo (1) podem ser encontrados em [BRUNNER , HOUWEN, 1986], e [LUBICH, 1983].
Métodos numéricos para resolver equações integrais de tipo Abel de segunda espécie, isto é, do tipo (1) tem sido estudados por [BRUNNER , HOUWEN, 1986], [CAMERON , McKEE,1984], [RIELE, 1982], [ABDALKHANI, 1990] e [LUBICH, 1985], entre outros autores.
O método para a solução da equação integral (1) que consideramos neste trabalho procura superar a dificuldade causada pelo mau comportamento da solução y (s) no ponto inicial s= a . Assim, dado um intervalo relativamente pequeno [ a ,b], primeiro resolvemos o problema,
∫ ≤≤+=x
abxadssysxKsxpxgxy ,,))(,,(),()()(
(2)pelo método de Nystrom sobre todo o intervalo, o qual é baseado na regra de integração produto de tipo interpolatório. Após o intervalo inicial, o mau comportamento da derivada de y é de menor importância. Logo, resolvemos o problema,
∫ ∞<≤+=x
bxbdssysxKsxpxgxy ,))(,,(),()()( 1 , (3)
onde,
∫+=b
adssysxKsxpxgxg ,))(,,(),()()(1
por um método padrão passo a passo para solução regular. Uma vez que os cálculos de g1(x) dependem das aproximações iniciais de y(x) para x∈ [ a ,b], os dois métodos devem ser considerados como complementares.
Na seção 2 deste trabalho descrevemos a parte inicial do método para a equação integral (2) e na seção 3 serão dados resultados de convergência uniforme. A aplicação do método inicial junto com o esquema padrão para a solução da equação integral (3) serão fornecidos na seção 4. Nossos resultados numéricos serão comparados com os resultados disponíveis na literatura obtidos por métodos alternativos.
2. O Método de Integração Produto.
Nesta seção descrevemos o método de Nystrom para resolver numericamente a equação (2). Por conveniência e sem perda de generalidade, assumiremos que [ a ,b]=[-1,1],
∫−≤≤−+=
xxdssysxKsxpxgxy
1.11,))(,,(),()()( (4)
Tendo escolhido N+1 pontos distintos xn, para n=0,...,N, no intervalo [-1,1], colocamos a equação (4) nos nós xn :
∫−=+= nx
nnnn NndssysxKsxpxgxy1
.,.....,1,0,))(,,(),()()(
Logo, usamos os polinômios de interpolação de Lagrange,
∑
=
=N
jjjnjNN xyxxKslsKL
0, ))(,,()();(
para aproximar K (xn,s,y(s)) e obter o seguinte:
∑
=
=+=N
jjNjnjnnnN NnyxxKwxgy
0,,, ,,......,1,0),,,()(
(5) onde,
∫ −= nx
jNnjn dsslsxpw1 ,, )(),(
.
3. O Método Inicial: Convergência.
Em toda esta seção, o símbolo C denotará uma constante positiva. Para fazer a análise de convergência, usaremos a equação teste seguinte,
∫−≤≤−+=
xxdssysxpxgxy
1,11,)(),()()( (6)
onde assumiremos que a função g∈ C[-1,1] e o núcleo p é fracamente singular. Consequentemente, a equação (6) tem uma única solução y ∈ C[-1,1] com, possivelmente, derivada não limitada no ponto x= -1.
Considerando uma malha xj para j=0,...,N e aplicando o método dado em (5) para a equação teste (6), a solução aproximada yN(x) será obtida mediante o método de Nystrom,
∑
=
+=N
jjNjN xyxpwxgxy
0
),(),()()(
onde,
∫ −=
x
jNj dsslsxpxpw1 , )(),(),(
.
O método numérico é convergente de ordem r em [-1,1] se e somente se, para N suficientemente grande existe uma constante C tal que,
r
N CNxyxy −∞
≤− )()( .
Para fazer a análise de convergência uniforme da solução aproximada yN(x) para solução exata y(x) da equação (6), observamos que,
),,()()(),()()(0
xyptxyxyxpwxyxy N
N
jjNjjN +−=− ∑
=
onde tN( p ,y,x) é o erro de truncamento local definido por,
∫ ∑−
=
−=x n
jjjN xyxpwsysxpxypt
10
).(),()(),(),,(
Logo,
∞∞
−∞
−≤− NNN tAIyy 1)(, (7)
onde NA é o operador linear definido por,
∑
=
−∈−∈=N
jjjN xCfxfxpwxfA
0
]1,1[],1,1[),(),()( (8)
Antes de prosseguir, estabelecemos um resultado sobre as propriedades de convergência da regra de quadratura-produto:
Teorema 1. Seja xj, j=0,...,N, os zeros de um conjunto de polinômios de grau N+1 que são ortogonais sobre [-1,1] em relação a função peso,
.2/1,2/31,)1()1()()( −≥≤<−+−= βαβα sssusw (9)
onde, u (x) é positiva e contínua em. Seja LN(f;s) o polinômio de interpolação de grau ≤N que coincide com a função f nos nós xj. Então, para toda função f contendo
singularidade do tipo (1+s) σ , σ >-1 (não inteiro), e em particular para toda função f∈C[-1,1] é verdade que,
0),(),()(),(lim
11=−
∞−−∞→ ∫∫x
N
x
NdssfLsxpdssfsxp
(10)Em particular, temos o limitante,
1,10),1log()1(,,)( 222 −><<++=− +−−
∞
− σλλσλ NNOxfsxtN (11)
Agora analisaremos o comportamento de ∞
−− 1)( NAI em (7). Para este
propósito, estabeleceremos alguns lemas preliminares.
Lema 1. Seja o conjunto de nós xj como definido no teorema 1 com a restrição -1/2<α , β <3/2. Seja l N,j(s) o j-ésimo polinômio fundamental de Lagrange . Para [c,d] ⊆
[-1,1] existe um número C positivo e q>1 tal que,
qd
c
qN
j
d
c jNN
dssdpCdsslsdp/1
0, ),()(),(sup
≤ ∫∑ ∫
= (12)para todo p ∈ Lq com,
.),(
/11
1
qdssdpp
= ∫−
Lema 2. Com as mesmas hipóteses do lema 1 e com o núcleo p satisfazendo,
=−
>∈
→0),(),(lim
,1,'
' qxx
q
sxpsxp
qLp
(13)para todo x ]1,1[−∈ . Então,
∑
=→=−
N
jjj
Nxxxpwxpw
0
,, 0),(),(suplim,
(14)para todo x ]1,1[−∈ , onde p´= p(x´,s).
Teorema 2. Seja AN o operador definido em (8) e os nós xj como no Lema 1. Se (10), (12) e (14) são verdadeiros, então para todo N suficientemente grande existe uma constante C>0 independente de N tal que,
CAI N ≤−
∞
− 1)(.
Lema 3. O núcleo p satisfaz a condição (13). Teorema 3. Seja y a solução exata da equação (6). Seja yN a solução aproximada obtida pela discretização do termo integral da equação (6) usando a regra de quadratura-produto do tipo interpolatório construída sobre um conjunto de nós xj. Se os nós xj os zeros de um conjunto de polinômios de grau N+1 que são ortogonais sobre [-1,1] em relação a função peso (9) com -1/2<α , β <3/2; então, yN converge uniformemente para y. Além disso, a taxa de convergência de yN para y coincide com a da regra de quadratura escolhida para aproximar o termo integral na equação (6).
4. Resultados Numéricos e Discussâo.
O método (5) baseado nos nós de Radau ( isto é, os nós coincidem com os zeros dos
polinômios de Jacobi )()0,1( xPN ) usando a regra de Simpson-produto sobre malha uniforme já foi implementado em [CAMERON , McKEE, 1984] para resolver as equações seguintes (tomadas de uma coleção de problemas propostos em [BRUNNER , HOUWEN, 1986] e [RIELE, 1982],
∫ −− −−−=
xx dssysxexy0
2/1 )()(11)(π , (15)
)(2)(
21)( xFexerfcexy xx π+−= −
,
onde,dueetF
t ut ∫−=0
22
)(;
∫ −−−
+−−+
+=
xdssysx
xxarcsen
xxy
0
2/1 )()(41
11
41
811)( π
, (16)
xxy
+=
11)(
.
Para h dado, fixamos o ponto b no intervalo ( a ,X), com X> a . Logo, resolvemos o problema (2) pelo método (5) baseado em N+1 nós de Radau no intervalo [ a ,b]. Se a solução y(s) contém uma singularidade da forma (s- a ) σ ,σ >-1; então, a ordem de
convergência do método é )1log()1( 222 ++ +−− NN λσ conforme foi estabelecido em (11)
do teorema 1. Com b fixado no intervalo [b,X] definimos a malha xo ≡ b, XxMnnhxx Mn ≡=+= ;,...,2,1,0 e logo aplicamos o método de Simpson-produto, ver
[CAMERON , McKEE, 1984]. Os valores aproximados para yn, n=2,...,M são obtido de,
≤≤−+=
−+=
∫∫
−
−
0
0
01
1
,))(,,()()()(
,))(,,()()()(
x
a nnnn
x
x nnnn
xsdssysxKsxgxg
dssysxKsxxgxy n
λλ
λ
. Desde que a solução y (x) é suave no intervalo [b,X], (ver [LUBICH, 1983] ), este método converge do mesmo modo que
λ−4h ( ver [CAMERON , McKEE, 1984] ). Os valores iniciais y0 e y1 são determinados usando o método de Nystrom no intervalo [ a ,x0] e a regra passo a passo de Simpson-produto é aplicada nos pontos x0-h, x0, x0+h.
Para testar o desempenho do método apresentado neste trabalho, comparamos os nossos resultados numéricos obtidos com os correspondentes resultados existentes na literatura. Assim, damos especial atenção aos resultados fornecidos por [HAIRER, LUBICH , SCHLICHTE, 1988] que utilizaram o método de passo múltiplo introduzido por [LUBICH, 1985], o qual é considerado um método eficiente para equações integrais de tipo Abel, segundo as considerações de [BAKER, 1987]. Na Tabela 1 denotamos por IP os resultados numéricos deste trabalho, por P o método inicial (5), por L os resultados numéricos de [HAIRER, LUBICH , SCHLICHTE, 1988] e por BE os resultados em relação a equação (15) apresentados por [BRUNNER ,
EVANS, 1977], que utilizaram o método de colocação com polinômios por pedaços e malha uniforme. O método IP foi aplicado com b=0,2 e h=0,01.
Tabela 1. Erros absolutos para a solução aproximada da equação (15) em x=1 calculados por métodos diferentes
N IP P BE L4 8,7E-8 4,3E-5 3,4E-85 1,0E-8 1,8E-5 8,4E-48 2,1E-9 7,3E-7 4,1E-810 8,7E-10 1,2E-716 1,0E-10 6,6E-9 2,3E-820 3,6E-11 8,6E-10 5,0E-532 3,8E-12 1,1E-10 4,7E-9
Em relação a equação (16), a Tabela 2 mostra os resultados fornecidos por : 1. [LINZ, 1969], denotado por LZ, utilizou o método de integração produto de ordem p=3 baseado na regra de Simpson generalizado.2. [EL TOM, 1974], denotado por ET, utilizou funções spline de grau 5.3. [CAMERON , McKEE, 1984], denotado por CK, utilizou um método de integração produto de tipo interpolatório.Salientamos que os resultados de convergência fornecidos pelos métodos de LZ, ET e CK são válidos se a solução y(x) é suficientemente suave.O método deste trabalho (IP) foi implementado com b=0,02 e h=0,002.
Tabela 2. Erros absolutos para a solução aproximada da equação (16) em x=1 calculados por métodos diferentes.
N IP P LZ ET CK L4 1,4E-9 2,8E-6 ≤ 7,0E-8 3,0E-75 1,9E-10 3,1E-7 5,6E-68 9,7E-13 6,3E-10 ≤ 2,0E-9 1,3E-710 1,2E-11 8,0E-716 1,3E-16 1,4E-820 1,0E-732 1,9E-964 5,6E-10
100 2,8E-14128 6,7E-11200 5,6E-16256 5,7E-12
Os resultados numéricos fornecidos acima mostram que o método apresentado neste trabalho confirma a taxa de convergência teórica.
No caso da equação (15) (ver Tabela 1) o método IP, com [ a ,b]=[0;0,2], h=0,01. e o método L envolvem N=8 e N=32 nós, respectivamente, para encontrar a solução
aproximada em x=1 com erro absoluto na ordem de 10-9.
O comportamento dos erros na Tabela 2 é devido ao fato que a solução da equação (16) é suave no intervalo de integração. Em particular, podemos observar que, se a equação (16) for resolvida em 0 ≤ x ≤ 0,02 pelo método inicial P; o método IP, com h=0,002 requer N=8 para encontrar a solução aproximada em x=1, com erro absoluto na ordem de 10-12 . A mesma exatidão é obtida pelo método L em x=1 com N=256.
5. Conclusões.
Neste trabalho foi analisado a convergência do método integração produto para equações integrais de Volterra com núcleo fracamente singular. Assim, se considerarmos o núcleo fracamente singular, então a solução resultante é tipicamente não suave no ponto inicial do intervalo de integração, onde sua derivada torna-se não limitada. Para amenizar esta dificuldade, temos proposto o método de integração produto junto a um método passo a passo apropriado para a solução regular. Conclui-se que esta técnica pode ser uma ferramenta numérica importante para aproximar a solução de equações integrais de Volterra de segunda espécie com núcleo fracamente singular. Os testes numéricos realizados confirmam o resultado teórico de convergência fornecida neste trabalho.
6. Referências.
ABDALKHANI, J. A numerical approach to the solution of Abel integral equations of the second kind with nonsmooth solution. J. Comput. Appl. Math., v. 29, p. 249-255. 1990.ATKINSON, K.E. An existence theorem for Abel integral equations. Siam J. Math. Anal., v.5, p.729-736. 1974.BAKER, C.T.H. The state of the art in the numerical treatment of integral equations, The state of the Art in Numerical Analysis. Clarendon Press, Oxford. 1987.BRUNNER, H.; EVANS, M.D. Piecewise polynomial collocation for Volterra-Type integral equations of the second kind. J. Inst. Math. Appl. v. 20, p. 415-423. 1977.BRUNNER, H. ; Te RIELE, J.J. Volterra-type integral equations of the second kindwith nonsmooth solutions. J. Integral Equations, v.6, p.187-203. 1984.BRUNNER, H. ; HOUWEN, P.J. The numerical solution of Volterra equations. North-Holland, Amsterdam. 1986.CAMERON, R.F. ; McKEE, S. Product integration methods for second kind Abel integral equations. J. Comput. Appl. Math., v.11, p.1-10. 1984.EL TOM, M.E.A. Spline function approximations to the solution of singular Volterra integral equations of the second kind . J. Inst. Math. Appl. v.14, p.303-309. 1974.HAIRER, E.; LUBICH, Ch. ; SCHILCHE, M. Fast numerical solution of weakly singular Volterra integral equations. J. Comput. Appl. Math., v.23, p.87-98. 1988.KELLER, J.B. ; OLMSTEAD,W.E. Temperature of a nonlinear radiating semiinfinite solid.Q. Appl. Math. v.29, p.559-566. 1971-72.LEVINSON, J.E. A nonlinear Volterra equation arising in the theory of superfluidity. J. Math.Analysis Appl. v.1, p.1-11. 1960.LINZ, P. Numerical Methods for Volterra integral equations with singular kernels. Siam
J. Numer. Anal. v.6, p. 365-374. 1969.LUBICH, CH. Runge-Kutta theory for Volterra and Abel integral equations of the second kind. Math. Comp. v.41, p. 87-102. 1983.RIELE, H.J.J. Collocation methods for weakly singular second kind Volterra integral equations with non-smooth solution. IMA J. Numer. Anal. v.2, p. 437-449. 1982.
Mapa de Distribuicao Espacial da Primeira
Componente Principal de Variaveis Quımicas do Solo
em Area Agrıcola de Plantio Comercial
Cristiane Caroline Pizzatto1 , Edson Antonio Alves da Silva2
1Academica do 4∘ano do Curso de Matematica da Unioeste
2Professor do Colegiado do Curso de Matematica -Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas daUniversidade Estadual do Oeste do Parana
Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - [email protected], [email protected]
Resumo. A Analise de Componentes Principais e uma metodologia da Analise
Multivariada cujos principais objetivos sao: reduzir o numero de dados de um
problema e explicar a estrutura da matriz de variancia-covariancia pelas pou-
cas combinacoes lineares das variaveis originais. Neste trabalho, utilizamos esta
tecnica para reduzir quatro variaveis quımicas do solo espacialmente georeferen-
ciadas para a primeira componente principal, sem que houvesse grande perda de
informacoes. A partir dessa componente foi construido um mapa ilustrando a
sua distribuicao espacial.
Palavras Chaves. Analise de Componentes Principais; Variaveis Quımicas
do Solo; Mapa de Distribuicao Espacial.
1. Introducao
A analise multivariada, refere-se a todas as tecnicas estatısticas que simul-taneamente analisam multiplas medidas sobre um mesmo indivıduo ou objeto deinvestigacao, (HAIR et al, 2009). Seu estudo consiste nas relacoes entre variaveis,de tal forma que os valores de variaveis distintas devem ser obtidos em um mesmoconjunto amostral, onde as observacoes devem ser independentes e simultaneas, demodo que seus diferentes efeitos nao possam significativamente ser interpretadospor separadamente’. (LANDIM,2002 e HAIR et al, 2009).
Para Possoli (1984) a “ Analise multivariada e o ramo da estatıstica quetrata da analise de dados em varias dimensoes, de varios indivıduos”. Para Hair etal (2009), o objetivo da analise multivariada e encontrar, dentre muitas variaveis,
aquelas que possuem significancia estatıstica e a partir disso, medir, explicare prever o grau de relacao entre elas. Ainda segundo este autor, a analise seconstitui de varias tecnicas: Analise de Componentes Principais e Analise deFatores Comuns; Regressao e Correlacao Multipla; Analise Discriminante Multiplae Regressao Logica; Analise de Correlacao Canonica; Analise Multivariada deVariancia e Covariancia; Analise Conjunta; Analise de Agrupamentos; MapeamentoPerceptual, tambem conhecido como Escalonamento Multidimensional; Analisede Correspondencia; Modelagem de Equacoes Estruturais e Analise FatorialConfirmatoria. Para ele a escolha apropriada da tecnica multivariada para um dadoproblema depende de algumas analises e engloba um vasto domınio de possıveissituacoes de pesquisa.A escolha da tecnica multivariada depende da resposta detres questoes: As variaveis podem ser divididas em classificacoes independentese dependentes com base em alguma teoria? Se podem, quantas variaveis saotratadas como dependentes em uma unica analise? Como sao as variaveis, sejamdependentes ou independentes, sao medidas? Ele relata ainda que o sucesso dotrabalho depende inicialmente do pesquisador, pois cabe a ele fazer a selecao datecnica adequada a ser empregada, utilizando os procedimentos citados acima, jaque para o computador, os valores sao apenas numeros.
A estatıstica multivariada se divide em dois grupos distintos. O primeiroconstituıdo por tecnicas exploratorias para sintetizacao da estrutura de variabil-idade de dados, e o segundo, consistindo em tecnicas de inferencia estatıstica.Para Maroco (2003 apudKeflens, 2009), a analise de componentes principais euma tecnica de analise exploratoria multivariada que transforma um conjunto devariaveis correlacionadas num conjunto menor de variaveis nao correlacionadas,combinacoes das variaveis originais”. Segundo Landim (2002), o uso desta tecnicaexige que os dados sejam mensurados em escala numerica contınua, nao sendoapropriada entao, para dados nominais.
Monteiro (2009) diz que esta tecnica e util quando possuımos muitasvariaveis correlacionadas e gostarıamos de reduzir a dimensionalidade do fenomenoem estudo para facilitar interpretacoes. A analise de componentes principais estarelacionada com a explicacao da estrutura de covariancia por meio de poucascombinacoes lineares das variaveis originais em estudo. Os objetivos dessa analisesao: reducao da dimensao original; e facilitacao da interpretacao das analisesrealizadas.
Em geral, a explicacao de toda a variabilidade do sistema determinadopor p variaveis so pode ser efetuada por p componentes principais. Porem,essas p combinacoes lineares sao feitas de tal forma que o primeiro componenteprincipal explique a maior proporcao da variancia das variaveis originais, o segundocomponente explique a maior proporcao da variancia nao explicada pelo primeiroe assim sucessivamente, de tal forma que a escala da nova componente seja fixa demodo a manter constante a variancia total, assim, grande parte dessa variabilidadepode ser explicada por um numero r ≤ p de componentes. (JOHNSON, 1992)
Algebricamente as componentes principais sao p combinacoes lineares dasvariaveis aleatorias X1,X2,X3,. . . ,Xp . O metodo depende somente da matrizde covariancia, ou da matriz de correlacao. Seu desenvolvimento nao requerpressuposicoes de normalidade multivariada. Assim, seja Σ a matriz de covariancia,associada ao vetor X=(X1, X2, X3, . . . , Xp). Cada elemento Skk
′ da matriz repre-senta a medida de associacao entre as observacoes de duas variaveis k e k
′
, dada
segundo Ferreira, pela covariancia amostral:
Skk′ =
1
n− 1
n∑
j=1
(Xjk − Xk)(Xjk′ − Xk
′ ) k, k′
= 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , p (01)
Seja A uma matriz n × n. O numero real sera um autovalor de A se existir umvetor nao-nulo x em ℝ
n tal que Ax = x. Segundo Kolman (1998), todo vetornao-nulo x satisfazendo a condicao anterior e um autovetor de A associado aoautovalor .
Segundo Ferreira (1996), atraves da decomposicao espectral da matrizΣ(n× n) simetrica:
Σ = 1e1e′
1 + 2e2e′
2 + ⋅ ⋅ ⋅+ nene′
n
em que i(i = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n) sao os autovalores de Σ e ei sao os autove-tores normalizados associados, obtem-se os pares de autovalores-autovetores(1, e1), (2, e2), (3, e3), . . . , (p, ep) de Σ,com a propriedade 1 ≥ 2 ≥ . . . ≥ p ≥0.Conhecendo-se os autovalores e autovetores de Σ pode-se construir as componentesprincipais. A i-esima componente principal Yi sera dada por:
Yi = etiX = ei1X1 + ei2X2 + . . .+ eipXp
onde:i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , pVar(Yi)= Var(etiX)=etiVar(X)ei = etiΣeiCov(Yi, Yk)= Cov(eti, e
tk) = etiΣek=0 i ∕= k
Uma propriedade importante das componentes principais e:
11 + 22 + ⋅ ⋅ ⋅+ pp =
p∑
i=1
V ar(Xi)= 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅+ p =
p∑
i=1
V ar(Yi)
e como consequencia desse resultado:
11 + 22 + ⋅ ⋅ ⋅+ pp = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅+ p
ou seja, a variancia total e dada pela soma da diagonal da matriz de covariancia, emais, esse resultado implica que a variancia total e a mesma, quer para as variaveisoriginais quer para as componentes principais.
A porcentagem da variacao total explicada pelo k-esimo componenteprincipal e dada por:
%V arExp(Yk) =k
1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅+ p
× 100 (02)
Em muitos casos que se aplica os componentes principais, se a porcentagemsubstancial da variabilidade total for explicada pelas primeiras k componentesprincipais, digamos 80% a 90%, pode-se usa-las no lugar das variaveis originais semgrande perda de informacoes.
Com o coeficiente de correlacao calcula-se a correlacao entre a i-esimacomponente principal e a k-esima variavel, o qual nao depende da magnitude dasmensuracoes das variaveis originais, ele e expresso por:
yi,xk=
eik√i√
kk
, i, k = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , p (03)
Neste estudo foi aplicada a analise de componentes principais para a reducao deum conjunto de variaveis quımicas de solo georeferenciadas, obtidos em um experi-mento agrıcola da Unioeste, com o objetivo de representar a primeira componenteprincipal atraves de um mapa de distribuicao espacial do conjunto desses atributos,classificados pelos seus quartis.
2. Metodologia
O conjunto das variaveis a serem estudadas foram coletados por Souza (1999),em pesquisa realizada em area agrıcola de Latossolo Roxo, com declividade mediade 0,19%, com 1,33 ha, no Centro de Pesquisa Eloy Gomes, da Cooperativa CentralAgropecuaria de Desenvolvimento Tecnologico e Economico Ltda (COODETEC),situada na BR 467, Km 98, em Cascavel - PR. Em abril de 1998, foram demarcadas256 parcelas de 7,20m ×7,20 m com carreador de 2,4 m em uma das direcoes,usando-se o sistema desalinhado, sistematico estratificado conforme proposto por Wollen-haupt e Wolkowski (1994). Em cada uma dessas parcelas foram coletadas amostrasde solo para analise quımica.
Os atributos quımicos utilizados foram: Fosforo (P) expresso em miligramaspor decımetro cubico (mg/dm3=ppm); Potencial Hıdrico (pH) que corresponde avalores adimensionais classificatorios da acidez do solo; Materia Organica (MO) ex-pressa em gramas por decımetro cubico (g/dm3) e Indice de Saturacao de Bases(V%) expresso em porcenta-gem, a qual considera os teores de Ca+2, Mg+2, K+ eH++Al+3, influentes na acidez do solo. As medidas estao de acordo com o SistemaInternacional de Unidades (SI).
Para cada uma das variaveis originais e para a primeira componente princi-pal calculou-se a media, os quartis, Coeficiente de Variacao e teste de Normalidade(Shapiro-Wilk). Alem disso, construiu-se o grafico Box-plot para cada variavel, parase avaliar simetria e deteccao de valores discrepantes.
Calculou-se o vetor media da amostra de dados, a respectiva matriz de covar-iancias S, a decomposicao espectral da matriz S, obtendo-se entao seus de autovalores(matriz ) e seus autovetores (matriz e). A partir dessa decomposicao obteve-se ascomponentes principais. Foi calculada a variancia total de S, a porcentagem de con-tribuicao de cada variavel original e a porcentagem de contribuicao de cada umadas p componentes principais. Por fim, foi feita a analise descritiva da primeiracomponente principal sobretudo para obter os quartis classificatorios.
Extraiu-se a matriz de dados X = (X1, X2, X3, X4), relativos as variaveis onde foideterminado seu numero de linhas e de colunas. Em seguida foi o vetor de medias,utilizando os seguintes comandos do R (R Development Core Team, 2009):
> (X<-matrix(c(Soja$P, Soja$PH, Soja$MO, Soja$SB), ncol=4))
> nc<-ncol(X)
> (muX<-round(sapply(1:nc,function(p)mean(X[,p])),3)
Na matriz de variancia e covariancia amostral, dada pela equacao (01), p e o numerode variaveis do vetor X (4 no nosso caso) e n o numero de elementos de cada variavel(256 no nosso caso).Dessa forma, primeiramente subtraimos a media de cada variavel das suas respectivasobservacoes e entao calculamos a matriz de covariancias S, utilizando o seguintecomando:
> X1<-sapply(1:nc, function(p)X[,p]-mean(X[,p]))
> (S<-round((1/(nr-1))*t(X1)\%*\%X1,3))
A matriz de correlacao foi obtida pelo comando:
> cor(X)
> R=cov(X)
A decomposicao espectral da matriz S necessaria para a obtencao dos autovalorese autovetores foi efetuada pelo comando:
> EIG<-eigen(S)
> (EIG.1<-round(EIG$values,3))
> (EIG.v <-round (EIG$vectors,3))
A partir da matriz de autovalores e de autovetores e foi possıvel obter as 4componentes principais. A variancia total das variaveis originais, dada pela somada diagonal da matriz de covariancia, foi obtida por:
> VarTot=sum(diag(S))
> VarTot
A porcentagem da contribuicao de cada uma das 4 componentes principais foi obtidapor:
> (VCCP<-round(sapply(c(1:nc), function(p)EIG$values[p]/sum(EIG$values))
*100,2))
O mapa de distribuicao da primeira componente foi produzido da seguinte maneira:
• Calculados os valores da primeira componente Y1, substituindo-se os 256valores originais de cada variavel na primeira componente principal, obtedo-se 256 valores para a primeira componente principal, atraves do comando:> (Y1= 0.030*Soja$P -0.057*Soja$PH +0.058*Soja$MO -0.996*Soja$SB)
> (Y1 = X%*%(as.matrix(EIG.v[,1])))
• Os quartis e os valores mınimo e maximo dos 256 valores de Y1 foram obtidosatraves do comando:> quantile(Y1, c(0, 0.25,0.5,0.75, 1))
• Cada um dos 256 valores foi representado por um quadrado no mapa eclassificados associando-se o quartil de cada observacao a um de 4 tons decinza: preto para os valores que estavam entre o valor mınimo e o 1ºquartil,cinza escuro para os valores que estavam entre o 1ºquartil e o 2ºquartil,cinza claro para os valores que estavam entre o 2ºquartil e o 3ºquartil, ebranco para os valores que estavam entre o 3ºquartil e o o valor maximo.
3. Resultados e Discussao
Tabela 1: Resultados Estatısticos das variaveis de estudo
P pH MO SB
Min 1 1 1 1Q1 11 7 16.75 61.75Media 18.2 10.09 23.59 123.37Mediana 16.5 10 26 123.5Q3 23 13 31 184.25Max 44 24 41 245S 9.4 4.5 9.1 70.7C.V 51.5% 44.6% 50% 387.8%Shapiro-Wilk p-valor<0,001 p-valor<0,001 p-valor<0,001 p-valor<0,001
Q1: Primeiro Quartil; Q3: Terceiro Quartil; S: Desvio Padrao; CV: Coeficiente deVariacao; Shapiro-Wilk: Teste de Normalidade.
A variavel P apresentou valor mınimo de 1 mg/dm3 e o maximo de 44mg/dm3, media de 18.2 mg/dm3, resultando num Coeficiente de Variacao de 51.5%,sugerindo uma distribuicao nao homogenea dos dados. A distribuicao sugere umaassimetria positiva, indicando uma concentracao de amostras com valores baixos. Oteste de normalidade de Shapiro-Wilk resultou em p-valor < 0,001, o que indica queos dados nao estao na forma Normal/Gaussiana. O Box-Plot na Figura 1 mostra osvalores discrepantes altos desta distribuicao.
A variavel pH tem valor mınimo de 1 e valor maximo de 24, media de 10,resultando num Coeficiente de Variacao de 44.6% sugerindo uma distribuicao naohomogenea dos dados. A distribuicao sugere uma assimetria positiva, indicando umaconcentracao de amostras com valores baixos. O teste de normalidade de Shapiro-Wilk resultou num p-valor< 0,001, o que mostra que os dados nao estao na formaNormal/Gaussiana. O Box-Plot na Figura 2 mostra os valores discrepantes altosdesta distribuicao.
A variavel MO possui valor mınimo de 1 g/dm3 e valor maximo de 41 g/dm3,media de 23.5 g/dm3, resultando num Coeficiente de Variacao de 50% sugerindouma distribuicao nao homogenea dos dados. A distribuicao sugere uma assimetrianegativa, indicando uma concentracao de amostras com valores altos. O teste denormalidade de Shapiro-Wilk resultou num p-valor< 0,001, o que mostra que osdados nao estao na forma Normal/Gaussiana. O Box-Plot na Figura 3 mostra a naoexistencia de valores discrepantes nesta distribuicao.
A variavel SB possui valor mınimo de 1 % e valor maximo de 245 %,media
de 123.3 %, resultando num Coeficiente de Variacao de 387.8 % sugerindo uma dis-tribuicao nao homogenea dos dados. A distribuicao sugere simetria, indicando umaconcentracao de amostras semelhantes em valores altos e baixos. O teste de normal-idade de Shapiro-Wilk resultou em p-valor < 0,001, o que mostra que os dados naoestao na forma Normal/Gaussiana. O Box-Plot na Figura 4 mostra a nao existenciade valores discrepantes nesta distribuicao.
010
2030
40
Figura 1: Box-Plot da variavel P.
510
1520
Figura 2: Box-Plot da variavel
pH.
010
2030
40
Figura 3: Box-Plot da variavel
MO.
050
100
150
200
250
Figura 4: Box-Plot da variavel
SB.
O vetor de medias X resultou em:
X =
⎛
⎜
⎜
⎝
18.23810.09423.598123.371
⎞
⎟
⎟
⎠
A matriz de covariancia S:
S =
⎛
⎜
⎜
⎝
88.512 −9.450 25.190 −146.042−9.450 20.328 −20.699 284.68325.190 −20.699 83.402 −289.089
−146.042 284.683 −289.089 5004.375
⎞
⎟
⎟
⎠
A matriz de correlacao R:
R =
⎛
⎜
⎜
⎝
1.0000000 −0.2227789 0.2931876 −0.2194329−0.2227789 1.0000000 −0.5027092 0.89255340.2931876 −0.5027092 1.0000000 −0.4474746−0.2194329 0.8925534 −0.4474746 1.0000000
⎞
⎟
⎟
⎠
Essa matriz sugere uma forte correlacao entre as variaveis SB e pH (-0.5) e entre asvariaveis MO e SB (0,89).
A matriz dos autovalores de S resultou em:
=
⎛
⎜
⎜
⎝
5041.93194.19156.6603.835
⎞
⎟
⎟
⎠
A matriz e dos autovetores associados aos autovalores de S resultou em:
e =
⎛
⎜
⎜
⎝
0.030 0.855 0.518 0.000−0.057 −0.032 0.055 −0.9960.058 0.515 −0.853 −0.067−0.996 0.058 −0.038 0.053
⎞
⎟
⎟
⎠
Como resultando, obteve-se as seguintes componentes principais:Y1 = 0.030X1 − 0.057X2 + 0.058X3 − 0.996X4
Y2 = 0.855X1 − 0.032X2 + 0.515X3 + 0.058X4
Y3 = 0.518X1 + 0.055X2 − 0.853X3 − 0.038X4
Y4 = 0.000X1 − 0.996X2 − 0.067X3 + 0.053X4
A variancia total do sistema resultou em 5196.617 e a porcentagem de contribuicaode cada variavel X1, X2, X3, X4 foi de:
V ar(X1)
5196.617= 1, 7%
V ar(X2)
5196.617= 0, 39%
V ar(X3)
5196.617= 1, 6%
V ar(X4)
5196.617= 96, 3%
Percebe-se, entao, que a variavel SB representa 96,3% da variancia total dos dados.O vetor porcentagem de contribuicao de cada uma das 4 componentes principaisdada pelo Equacao (02) foi de (97.02, 1.81, 1.09, 0.07) respectivamente, portanto,a primeira componente principal acumulou 97.02% da variabilidade total. Dessaforma, 97,02% da variabilidade total de um conjunto de 4 variaveis originais foiexplicada por uma unica componente principal Y1.A distritribuicao de Y1 apresentou valor mınimo de -244.372 e maximo de 1.322,media de -121.537, resultando num coeficiente de variacao igual a 58.4%, o queimplica em medidas de baixıssima precisao. Como p-valor < 0,0001, os dados naoestao na forma Normal/Gaussiana. Observando Box-Plot na Figura 11, pode-seperceber a nao existencia de valores discrepantes e uma distribuicao simetrica.Os quartis de Y1, resultaram em: -244.4200; -183.2625; -121.2530; -59.7720 e 1.1980,respectivamente.
−250
−150
−50
0
Figura 5: Box-Plot da Primeira Componente Principal Y1
O mapa de distribuicao espacial da primeira componente principal resultouem:
Figura 6: Mapa de Distribuicao Espacial da Primeira Componente Principal.
Nele destaca-se uma regiao de baixa concentracao na parte superior direitae uma regiao de alta concentracao na parte inferior direita.
4. Conclusao
A estatıstica multivariada e uma ferramenta poderosa na analise de dados,pois e constituıda por diversos metodos estatısticos. A analise de componentesprincipais foi capaz de analisar diversas variaveis simultaneamente e se mostrou
uma tecnica capaz de simplificar e facilitar a interpretacao do fenomeno estudado.No estudo das variaveis quımicas do solo, esta tecnica demostrou ser bem
sucedida e adequada, pois atingiu o objetivo de reduzir o numero inicial de 4 variaveispara apenas uma, sem que houvesse grande perda de informacoes originais.
Com a reducao das variaveis a uma unica componente principal, foi possıvelse representar com um mapa de classificacao de quartis a sua distribuicao espacial.
5. Referencias
FERREIRA, D.F. Analise Multivariada, Lavras-MG, 1996. Disponıvel em<http://www.dex.upla.br/ danielff/dexS22.pdf> Acesso em: 22 fev. 2010.
HAIR JR, J.F; BLACK, W.C; BABIN, B.J; ANDERSON, R.E; TATHANI, R.J.Analise Multivariada de Dados, 6ª ed., S.Paulo: Bookman, 2009.
JOHNSON, R.A.;WICHERN,D.W. Applied Multivariate Statistical Analysis.Third. USA: Prentice-Hall, 1992.
KOLMAN B. Introducao a Algebra Linear com aplicacoes. Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda, 6 ªedicao, 1998.
KLEFENS, P.C.O. O Biplot na analise fatorial multivariada. Escola Superiorde Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de Sao Paulo. Dissertacao deMestrado, pg.19. Disponıvel em <http://www.teses.usp.br> Acesso em: 05 abril2010.
LANDIM, P.M.B. Analise Estatıstica de Dados Geologicos Multivariados,Departamento de Geologia Aplicada - IGC Laboratorio de Geomatematica-UNESP/campus de Rio Claro, 2002. Disponıvel em <http://www.recunesp.br>Acesso em: 05 abril 2010.
MINGOTI, S.A.Analise de dados atraves de metodos de estatıstica multi-
variada:uma abordagem aplicada. Belo Horizonte. Editora UFMG, 2005 297p.
MONTEIRO, J.B. Indicador de Criminalidade Geral Baseado em Meto-
dos Multivariados e Estatıstica Espacial para Controle na Seguranca
Publica do Estado. UFRGS. Trabalho monografico, 2009. Disponıvel em<http://www.lume.ufrgs.br> Acesso em: 05 abril 2010.
POSSOLI, S. Tecnicas de analise multivariada para avaliacao das condicoes desaude dos municıpios do Rio Grande do Sul, Brasil. In: Revista de Saude
Publica vol.18 nº.4, Sao Paulo, 1984. Disponıvel em <http://www.scielo.br>Acesso em: 05 abril 2010.
R Development Core Team (2009). R: A language and environment for
statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.ISBN 3-900051-07-0, URL. Disponıvel em: <http://www.R-project.org.> Acessoem: 15 jul. 2010
SOUZA, E.G. et al. Variabilidade espacial dos atributos quımicos do solo em umlatossolo roxo distrofico da regiao de Cascavel-Pr. In: Engenharia Agrıcola,Jaboticabal, v.18, n.3, p. 80-92, 1999.
SEIDEL, E.J.Metodos Estatısticos aplicados a Avaliacao da Qualidade
da Materia-Prima e Classificacao dos Fornecedores de uma Industria
de Laticınios. Centro de Tecnologia, Universidade Estadual de Santa Maria.Dissertacao de Mestrado. 2009. Disponıvel em <http://biblioteca.universia.net>Acesso em: 05 abril 2010.
WOLLENHAUPT, N.C.; WOLKOWSKI, R.P. Grid soil sampling. Better Cropswith Plant Food. NORCROSS, v.78, n.4, p.6-9, 1994.
Utilizando um Algoritmo Genético para Encontrar os Zeros de uma Função Real
Amarildo de Vicente1, Rogério Luis Rizzi1
1Colegiado do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasilamarildo,[email protected]
Resumo. Este trabalho mostra a utilização de um algoritmo genético para obter as raízes de uma função real em um intervalo específico. Sua finalidade principal é apresentar um processo alternativo aos métodos convencionais, destinado aos casos em que a função em questão oferece algum tipo de dificuldade a tais métodos. A característica mais importante deste processo é que ele não requer que a função seja derivável. Alguns testes realizados mostraram um desempenho a altura do que era esperado.
Palavras chaves. Minimização, Zeros de funções, Algoritmo Genético.
1. IntroduçãoEncontrar os zeros de uma função real é um dos mais antigos problemas da matemática. Os casos mais simples, funções lineares, quadráticas e cúbicas, podem ser resolvidos algebricamente, todavia, para um caso mais geral, não há um modo padrão (fórmula) para resolução. Na maioria dos casos torna-se necessário recorrer a um método numérico para tal fim. No decorrer do tempo, métodos e mais métodos foram sendo criados, na tentativa de se encontrar aquele que fosse o ideal. Pode-se citar, por exemplo, o clássico método de Newton-Raphson, que funciona da seguinte forma: Dado um ponto inicial x0, gera-se um sequência de pontos x1, x2,..., através da fórmula de recorrência
xn+1 = xn – f(xn)/f ´(xn)Dependendo da função f esta sequência de pontos pode convergir para uma raiz r da
equação f(x) = 0, inclusive de forma bastante rápida. Um fator importante neste método é a escolha do ponto de partida x0. Este ponto pode ser decisivo para a convergência da sequência de pontos gerada. Em geral, quanto mais próximo de r ele estiver, maior será a chance de convergência.
Outro método bastante conhecido é o método da bisseção. Este método consiste em
escolher um intervalo inicial [a0, b0] contendo uma raiz da equação f(x) = 0 e, a partir daí, dividir sucessivamente este intervalo ao meio, de forma apropriada, até que se cerque a raiz num intervalo de comprimento infinitesimal. Este método funciona muito bem, embora seja muito lento. Maiores detalhes podem ser visto em [BURDEN, FAIRES, 2003].
Assim como no método de Newton-Raphson, que requer um ponto de partida arbitrário, o método da bisseção requer que se tome um intervalo inicial que contenha a raiz procurada. Para um algoritmo genético (AG) uma tentativa inicial também é necessária. A diferença é que os pontos tomados inicialmente devem ser aleatórios dentro de um intervalo específico, que não necessariamente precisa conter a raiz procurada.
De um modo geral, um AG é empregado para resolver um problema de otimização (ver [REIS, AKUTSU,.2002], [SILVEIRA, BARONE, 1998]). Neste trabalho está sendo proposta a adaptação de um AG, a fim de que ele sirva para encontrar as raízes reais de uma função.
2. MetodologiaPara conseguir a adaptação citada anteriormente, em primeiro lugar é necessário lembrar que se a equação f(x) = 0 possui uma raiz real r então o seu gráfico intercepta o eixo Ox no ponto x = r. Para ilustração considere-se as funções f(x) = x – 2 e h(x) = x2 – 4x + 3, cujos gráficos estão ilustrados na Figura 1.
Figura 1 – Gráficos das funções f e h
Nota-se que a função f possui uma raiz r1 = 2 e que a função h possui duas raízes, r2
= 1 e r3 = 3. Ao se fazer as composições gof e goh, onde g(x) = |x|, obtém-se as funções F(x) = |x – 2| e H(x) = |x2 – 4x + 3|. Pode-se notar que as raízes destas funções ainda são as mesmas, porém, os gráficos sofrem uma mudança, caracterizada por uma reflexão em torno do eixo Ox (ver Figura 2).
− 1 1 2 3 4 5 6 7 8− 1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
− 1 1 2 3 4 5 6 7 8− 1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Figura 2 – Gráficos das funções |f| e |h|
Com esta composição de funções resolvem-se dois problemas: o primeiro é que eliminam-se os valores negativos da função original, que são impróprios para trabalho com AG (ver seção 3.3); o segundo é que no ponto onde se encontram as raízes aparecem pontos de mínimo, que é o alvo do AG que será apresentado. Este trabalho não tem como pretensão apresentar um método que ofereça rapidez para encontrar a raiz de uma função, já que isto não é característico de um AG. O objetivo é apenas apresentar um processo alternativo para este tipo de problema.
3. Algoritmos GenéticosSão algoritmos de pesquisa inspirados na genética e no processo de seleção natural. Eles tornaram possível explorar um espaço de soluções potenciais para um problema mais amplo do que a maioria dos métodos convencionais.
Muitos organismos evoluem por meio de dois processos primários: seleção natural e reprodução sexual. O primeiro determina quais membros da população sobrevive para reproduzir e o segundo assegura diversificação e recombinação entre os genes de seus descendentes (ver [MELANIE, 1998]).
Os algoritmos genéticos são fundamentados no fato de que na Natureza, apenas os melhores indivíduos de uma espécie conseguem se adaptar ao meio em que vivem, reproduzir e formar novas gerações. Com o passar do tempo, estes indivíduos melhor adaptados tendem a predominar sobre os indivíduos mais fracos até eliminá-los. Os algoritmos genéticos simulam este processo de reprodução natural e, para tal, necessitam de uma representação artificial (codificação) para as criaturas. Dependendo do problema em questão, esta representação pode ser feita por meio de cadeia de caracteres (palavras), vetor, matrizes, etc. Além da representação dos indivíduos, é necessário, também, processos que imitem a troca de informações genéticas que ocorre durante o cruzamento de duas espécies, bem como a evolução ocorrida por causa de mutações. Tomando-se então uma população inicial de indivíduos, deve-se escolher alguns destes para que sejam
− 1 1 2 3 4 5 6 7 8− 1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
− 1 1 2 3 4 5 6 7 8− 1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
feitos cruzamentos e mutações, a fim de que uma nova população seja obtida. É preciso lembrar, no entanto, que os indivíduos que vão gerar esta nova população devem ser aqueles melhor adaptados ao meio. A escolha destes indivíduos é feita de modo aleatório, mas de forma que os indivíduos melhor adaptados tenham mais chances de serem contemplados. Portanto, é necessário também criar um processo de seleção para tal fim.
3.1. CodificaçãoDado um problema cuja solução pretende-se buscar por meio de algoritmos genéticos, torna-se necessário primeiramente criar as estruturas que vão representar os indivíduos que, por sua vez, vão formar a população. Estes indivíduos são nada mais que um conjunto de elementos da mesma espécie da solução do problema, como, por exemplo, vetores de números reais para um problema de otimização de uma função real, caminhos de mínimo custo para a solução de um problema de roteirização, etc. A forma como os indivíduos são representados varia de problema para problema e também de acordo com a criatividade do pesquisador. Para o caso de uma população de números reais, a forma mais tradicionalmente utilizada é a representação binária. Cada indivíduo é representado por uma cadeia de caracteres, que por analogia à genética, recebe o nome de cromossomo, formada por 0’s e 1’s (zeros e uns).
Ao ser dado um número amam-1...a0,b1b2...bn na base binária, composto por n dígitos na parte inteira e m dígitos na parte fracionária, sua representação na base 10 será o número
am2m + am-12m-1 + … + a020 + b12-1 + b22-2 + … bn2-n
Assim, o cromossomo 001001,01, por exemplo, representa o número 9,25, já que 0·25 + 0·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 + 1·2-2 = 9,25. O número de bits da cadeia (oito no exemplo dado) vai de acordo com a conveniência ou do interesse do programador.
O processo inverso, isto é, passar da base decimal para a binária, pode ser feito através das divisões sucessivas para a parte inteira e das multiplicações sucessivas para a parte fracionária (ver [SPERANDIO et al., 2003]).
3.2. CruzamentoDados dois cromossomos, o cruzamento é o processo pelo qual um novo ser é gerado através destes. A ideia é que este novo indivíduo herde as características genéticas de seus genitores (que geralmente são os melhor adaptados ao meio) para constituir um indivíduo à altura ou melhor. Com repetidos processos de cruzamento espera-se que o espaço de pesquisa seja devidamente explorado, de forma que as futuras populações convirjam para a solução do problema. Existem várias formas de se fazer o cruzamento entre dois cromossomos. Uma forma simples, para o caso da cadeia de caracteres, é escolher um ponto aleatório para os dois cromossomos genitores e permutar entre si os caracteres situados após o ponto escolhido. Por exemplo, cruzando os cromossomos 110100 e 101111 a partir da 4a posição, resulta nos cromossomos 110111 e 101100 respectivamente.
Esquematicamente tem-se:
genitores descendentes
1101|00 → 110111
1011|11 → 101100
Outro modo também simples é escolher dois pontos dos cromossomos, ao invés de um único ponto, e permutar entre ambos a parte compreendida entre tais pontos. Por exemplo, cruzando-se os cromossomos 11010010 e 01101001 entre a 2a e a 5a posição, resulta nos cromossomos 11101010 e 01010001, respectivamente. De um modo esquematizado tem-se:
genitores descendentes
01|101|001 → 01010001
11|010|010 → 11101010
Pode-se, alternativamente, escolher apenas um ou ambos os cromossomos gerados para compor a nova população.
3.3. SeleçãoA seleção é o processo pelo qual dois indivíduos são escolhidos para gerarem um novo ser. Os indivíduos são escolhidos aleatoriamente na população e, a rigor, todos têm oportunidade de serem escolhidos. Todavia, o processo deve dar privilégio àqueles melhor adaptados, qualidade dos indivíduos que é medida pelo seu fitness, termo que em um problema de otimização representa o nível da função objetivo para o indivíduo considerado.
Uma forma comumente utilizada para fazer a escolha é a regra da roleta. Ela consiste em tomar um círculo e atribuir um setor do mesmo a cada um dos indivíduos. Estes setores correspondem numericamente aos percentuais que os fitness dos indivíduos representam sobre o todo (soma dos fitness de todos os indivíduos da população). Assim, numa população de cinco indivíduos i1, i2, ..., i5, com fitness 12, 15, 18, 30 e 45, na mesma ordem, o setor da roleta correspondente a cada um deles seria de 10.0%, 12.5%, 15.0%, 25.0% e 37.5%, respectivamente (Figura 3).
Figura 3 - Setores relativos aos cinco indivíduos considerados
A ideia é girar então a roleta e tomar como indivíduo sorteado aquele ao qual pertencer o setor da mesma que parar sobre um ponto previamente marcado. Evidentemente os indivíduos que possuem uma maior fatia na roleta têm mais chances de serem selecionados.
Existem muitas outras maneiras de se fazer a seleção (ver [MELANIE, 1998]). De acordo com o problema deve-se adotar aquela que for mais conveniente.
Seja f a função que representa o fitness (adaptabilidade) dos indivíduos de uma população. Se o objetivo do problema é procurar o máximo valor de f, então, pela regra da roleta, a probabilidade de um indivíduo ser escolhido para reprodução pode ser calculada por
p i =f i
∑i=1
Nf i
onde i é um indivíduo da população, e N é o tamanho desta (no de indivíduos). Observe que para que esta expressão faça sentido, é necessário que f(i) ≥ 0 ∀i e que f(i) > 0 para algum i.
Com os processos descritos, fica estabelecido um ciclo que pode ser sintetizado pelo esquema apresentado na Figura 4 abaixo.
Figura 4 – Esquema do funcionamento de um algoritmo genético
De forma resumida, um algoritmo genético bastante simples funciona de acordo com as etapas a seguir.
Algoritmo 1Dados iniciais:
K: Número de indivíduos da população.N: Número de descendentes a serem gerados em cada geração.M: Número máximo de gerações.
1. Gere uma população inicial com K indivíduos.2. Calcule o fitness de cada indivíduo da população.3. Para m = 1 até M faça:
4. Para n = 1 até N faça:5. Selecione dois indivíduos da população (pais).6. Faça o cruzamento entre eles gerando um novo indivíduo e aplique a ele
uma mutação se for necessário.7. Calcule o fitness deste novo indivíduo.
8. Fim n.
População antiga Cruzamentos e Mutações Populaçãonova
9. Substitua alguns ou todos os elementos da população atual pelos indivíduos gerados, formando uma nova população.10. Fim m.
Os parâmetros K, N e M são tomados de forma arbitrária, e o desempenho devido a eles depende do problema em questão. Obviamente esta escolha está também condicionada às limitações do computador que está sendo utilizado.
4. Cálculo do Fitness para um Problema de Minimização
Em um AG, a escolha de pais que vão gerar novos descendentes é feita com base no valor esperado de cada indivíduo da população (número esperado de filhos que deve gerar) e, este valor esperado por sua vez, é calculado com base no fitness de cada um destes indivíduos. Há uma diversidade muito grande de métodos para se fazer o cálculo do valor esperado dos indivíduos. Neste contexto será utilizado o método da proporcionalidade do fitness. Só que, como se trata de um problema de minimização, será utilizada a proporcionalidade inversa, isto é, quanto menor for o fitness do indivíduo, maior será a sua chance de ser escolhido. O processo utilizado para determinar a probabilidade de um indivíduo i ser selecionado será
p i =1/ f i
∑i=1
N1/ f i
onde N é o tamanho da população e f(i) é o fitness do indivíduo i.Outra questão que dever ser notada é que, como está sendo procurado um ponto de
mínimo, que no caso é a raiz da função f, poderemos ter uma divisão por zero na fórmula anterior. Isto no entanto pode ser contornado facilmente, bastando para isto acrescentaremos um valor c pequeno e positivo, à função| f|. Isto não muda seu ponto de mínimo e resolve o problema mencionado.
5. Intervalo de PesquisaAo se estipular uma quantidade de k bits para um número binário x não negativo, contendo m dígitos na parte inteira e n dígitos na parte fracionária, o maior valor possível para x é 2m – 2–n. Desta forma, os valores x possíveis de serem produzidos se encontram no intervalo [0, 2m – 2–n]. Para distribuir estes valores em um intervalo de pesquisa específico I = [a , b], basta aplicar a bijeção f(x) = a + (b – a)/( 2m – 2–n)x. Por exemplo, o número binário y = 00110 corresponde ao número decimal x = 12. A imagem aproximado de y no intervalo [-2, 2] é f(12) = -2 + (2 – (2))/(25 – 20)12 = – 0,4516.
O procedimento para achar as raízes de uma função f por meio de um AG, com uma precisão ε, pode ser descrito como segue:
Algoritmo 2Dados iniciais
f: função cujas raízes se deseja obter.p: precisão a ser atingida pelas raízes na fase de isolamento.ε: precisão final a ser atingida pelas raízes.
1. Construa a função F(x) = |f(x)| + c, onde c > 0 e pequeno.2. Especifique um intervalo de pesquisa I = [a, b].3. Aplique um AG para minimizar F(x) e guarde uma cópia de cada ponto que satisfaz a
precisão p. Estes pontos são candidatos a raízes.4. Enquanto houver candidatos a raízes faça:
5. Selecione um destes pontos6. Repita
7. Reduza gradativamente o intervalo de pesquisa em torno desta raiz.8. Aplique o AG para minimizar F.9. Até que a precisão ε seja atingida.
10. Fim enquanto.
Notas: Se a precisão exigida for muito grande, isto é, se ε for muito pequeno, o procedimento acima pode ser demorado. Por este motivo este processo é mais recomendado a funções para as quais os métodos tradicionais podem apresentar algum tipo de insegurança (funções não deriváveis, funções descontínuas, funções com diversos pontos de mínimo, etc.). Outro detalhe é que no final do passo 3 pode-se obter muitos pontos, todos candidatos a uma mesma raiz (ver seção a seguir). Neste caso basta nos preocuparmos com apenas um deles. Também é possível encerrar o processo no passo 3 se a precisão p for suficiente para satisfizer o interesse do pesquisador.
6. Testes computacionaisConsidere-se a função f(x) = |e– x – x + l| e uma precisão ε = 0.0005. De acordo com o Algoritmo 2, tomando-se c = 10-4, então a função a ser minimizada é F(x) = |e– x- x + l| + 10-4 . Executando-se o algoritmo acima com uma população de 40 indivíduos, 60 gerações, cromossomos com k = 10 bits (2 na parte inteira e 8 na parte fracionária), precisão p = 0.05 e intervalo de pesquisa [0,10], foram encontrados, dentre outros mais ou menos próximos, os seguintes pontos de mínimo (raízes aproximadas): 1.309873, 1.251222, 1.270772 e 1.290328. Note-se que à primeira vista estes pontos parecem representar aproximações para uma mesma raiz. Fazendo-se então refinações sucessivas no intervalo de pesquisa e empregando a precisão ε chega-se a raízes aproximadas, dentre as quais r1 = 1.2788484 e r2 = 1.278485. Evidentemente r1 e r2 são aproximações de uma mesma raiz para f. O último intervalo pesquisado foi [1, 1.5].
Seja a função h(x) = x5 + 3.6x4 + 6.33x3 + 13.35x2 + 9.32x - 4.2 e uma precisão ε = 0.0005. Da mesma forma como foi feito anteriormente, deve-se minimizar a função H(x) = |x5 + 3.6x4 + 6.33x3 + 13.35x2 + 9.32x - 4.2 | + 10-4. Trabalhando-se com as mesmas configurações do caso anterior foi possível encontrar, no intervalo [-10, 10], os seguintes pontos candidatos (raízes aproximadas): -2.499580, -1.403983 e 0.300922. Note que há
três possíveis raízes neste intervalo. Fazendo-se um refinamento do intervalo de pesquisa para cada uma deste valores, agora com precisão ε, chega-se às seguintes raízes: r1 = -2.500014, r2 = -1.400037 e r3 = 0.300008. Os intervalos finais pesquisados para cada uma destas raízes foram [-2.4, -2.5], [-1.4, -1.5] e [0, 0.5], respectivamente.
7. Conclusões1. Conforme explicitado ao longo do texto, o objetivo do trabalho era apresentar um método alternativo aos convencionais, destinado principalmente aos casos de funções que oferecem algum tipo de dificuldade a estes métodos. Como poder ser observado, a função f(x) = |e– x – x + l| pode ser enquadrada nestes casos, visto que ela não possui derivada no ponto onde ocorre sua raiz. Mesmo com este problema o processo proposto funcionou bem, de acordo com as expectativas. Evidentemente o processo funciona também para as funções de composição mais simples, como a função h ilustrada na seção anterior.
2. Outro fato que não foi levado em consideração foi o tempo de processamento consumido pelo processo. Embora seja sabido que, sob este aspecto ele não é competitivo com os métodos convencionais, pode-se dizer que o tempo gasto nos exemplos apresentados em um computador de 3.06 Ghz foi irrisório (cerca de 0,06 segundos).
8. ReferênciasBURDEN, R. L; FAIRES, D. J. Análise Numérica. Editora Pioneira Thomson Learning,
São Paulo, 2003. 740p.GOLDBERG, David. Genetic Algorithms in Search, Optimization & Machine Learning.
Addison-Wesley, 1989. 121p.MELANIE, M. An Introduction to Genetic Algorithms. Bradford Bood, 1996.
Disponível em “http://www.df.uba.ar/~marcos/Intro_to_GA_Mitchell.pdf”. Acesso em 22/set/2010.
REIS, L. F. R.; AKUTSU, J. Estratégias Operacionais para Sistemas de Reservatórios Via Algoritmos Genéticos (Ags). Revista Brasileira de Recursos Hídricos, Vol. 7, n. 2, 5-7, jul/set 2002. Disponível em“http://www.abrh.org.br/novo/arquivos/artigos/v7/v7n3/v73_01estrategiasfinal.pdf”. Acesso em 22/09/2010.
SILVEIRA, S. R.; BARONE, D. A. C. Jogos Educativos Computadorizados Utilizando a Abordagem de Algoritmos Genéticos, IV Congresso RIBIE, Brasília, 1998.Disponível em“http://www.niee.ufrgs.br/eventos/RIBIE/1998/pdf/com_pos_dem/151.pdf”. Acesso em 22/set/2010.
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; SILVA, L. H. M. Cálculo Numérico: Características Computacionais dos Métodos Numéricos. Ed. Prentice Hall, São Paulo, 2003.354p.
INDISCIPLINA X ENSINO-APRENDIZAGEM: QUESTÕES ATUAIS Lilianne Blauth Baú
Adriano Rodrigues Ruiz (orientador) RESUMO: A presente pesquisa teve por objetivo investigar a indisciplina em sala de aula e sua relação com a ação docente. Trata-se de pesquisa-ação que buscou indicativos de respostas a questões relacionadas à indisciplina escolar. A coleta de dados deu-se no Colégio Estadual Monteiro Lobato-EFM, localizado no município de Céu Azul-PR. Os sujeitos da pesquisa foram alunos de 7ª série do ensino fundamental e seus professores. A coleta de dados ocorreu a partir de observações em sala-de-aula. Os resultados indicam que a falta de disciplina durante a realização do trabalho pedagógico, a falta de responsabilidade com os afazeres escolares e o desinteresse pelo conteúdo ensinado na sala de aula refletem negativamente nas aulas. Palavras chave: Indisciplina; prática pedagógica; desempenho escolar
INTRODUÇÃO
A indisciplina escolar inviabiliza a prática educacional pois a
desorganização do trabalho proposto pelo professor prejudica resultados que a
classe poderia atingir.
No dia-a-dia, o enfrentamento da indisciplina é orientado pelo
regimento interno que define normas a serem observadas pelo coletivo escolar.
As situações mais graves transformam-se em violência entre professor/aluno e
entre aluno/aluno.
Vemos na escola cenas que acontecem no cotidiano não escolar.
A falta de limites que se percebe em crianças e adolescentes, parece decorrer
de uma determinada omissão de pais, escolas e sociedade. Desta forma,
vemos estudantes muitas vezes sem perspectivas e desorientados.
O processo educacional é complexo e sutil sendo marcado por
contradições nos processos coletivos e contínuos de formação permanente de
cada individuo. A indisciplina incomoda alunos, famílias, professores e
instituições.
A educação encontra-se em crise, mas como afirmam Savater
(1998) e Tedesco (1995), já não é a mesma de antes, ou seja, não pode se
analisar apenas o fracasso escolar de alunos ou o fato de a escola não cumprir
as demandas da sociedade, mas sim a imprecisão ou a contradição dessas
demandas.
Percebe-se na argumentação de educadores que o conhecimento
é importante para a explicação das novas formas de organização social e
econômica, com isso a educação assume importância histórica inédita, do
ponto de vista político-social e dos conteúdos valorizados. As instituições
educativas tradicionais, particularmente a família e a escola, estão perdendo a
capacidade de transmitir valores e normas culturais de coesão social
(TEDESCO, 1995, p.30).
Existe um desconforto no cotidiano escolar. A falta de sintonia, a
contradição, o estresse, a sensação de tempo perdido, a tensão gerada, a
baixa auto-estima, produz um ambiente pouco agradável em nossas salas de
aula. Nesse cenário, a frustração, o desalento e o desejo de abandonar a
profissão tomam conta de muitos professores.
Na análise de elementos que compõem a indisciplina escolar,
percebe-se que a origem dos problemas pode estar centrada no professor, no
aluno, na família ou ainda no próprio sistema educativo.
Há professores que não compreendem que sua intervenção
pedagógica deve ocorrer, oportunizando ao aluno a construção do
conhecimento, a formação de sujeitos autônomos que busquem a
transformação social. A ineficiência pedagógica, a excessiva centralização em
si mesmo sendo ele o único detentor do saber sem nenhum interesse na
autonomia provoca falta de interesse nos educandos (CASTANHEIRA;
REHBERG, 2008).
Segundo Vasconcellos (2001), o professor precisa estar atento
aos interesses do aluno, que valores o impulsionam, transformando a sala em
local prazeroso para docentes e discentes, buscando a preservação da auto-
estima profissional.
Neste cenário, é importante que os educadores tomem
consciência do aluno que querem formar e acerca da visão que têm da sua
ação pedagógica, precisam estabelecer relações entre suas concepções e
práticas e os comportamentos de indisciplina em sala de aula. A indisciplina
pode decorrer do trabalho com os conteúdos e da relação professor-aluno.
Em outra perspectiva, as atitudes apáticas ou indisciplinadas em
sala de aula, podem estar relacionadas à necessidade do aluno em evitar o
fracasso, o castigo ou a desaprovação social, sendo uma forma de
autoproteção.
A indisciplina do aluno pode estar atrelada às interações sociais
vividas. A disciplina e a indisciplina representam as maneiras de ser de uma
pessoa e nas relações interpessoais, traz marcas de padrões culturais,
constituindo-se indisciplinado a partir de experiências no grupo cultural
(PIROLA; FERREIRA, 2007).
Segundo os mesmos autores, a rebeldia, a necessidade de
romper simbolicamente ou concretamente com normas e regras impostas pelos
pais e/ou pela sociedade são atitudes presentes no cotidiano dos alunos. Há
situações em que os pais repassam à escola a responsabilidade pela educação
dos filhos, omitem-se de suas funções. A indisciplina e a agressividade passam
a ser formas da criança ou do adolescente de denunciar esse abandono.
Na função de homogeneização cultural, a família e as instituições
escolares, enfrentam o “déficit de socialização”, estão perdendo a capacidade
para transmitir valores e normas culturais de coesão social, expressa em duas
dimensões: de conteúdos pela aceitação de uma concepção comum de mundo
e sociedade e em termos institucionais, pela incorporação a um sistema capaz
de abranger a todos (TEDESCO, 1995, p. 27).
No processo de socialização primária, de responsabilidade da
família, que corresponde à fase da infância, é que o indivíduo se compreende
como membro da sociedade. Nesta fase existe uma carga afetiva na
transmissão dos conteúdo e uma identificação com o mundo da forma como os
adultos o apresentam. (TEDESCO, 1995, p. 31)
Algumas famílias jogaram o peso da responsabilidade de educar
os filhos às escolas. Para alguns professores os alunos “são na escola” o que
“são em casa”. A falta de estrutura familiar, a falta de perspectivas em relação
ao futuro, a conjuntura em que estão inseridos leva os alunos a não estudarem
em casa, a não investirem tempo e determinação no processo educativo.
(LONGAREZZI, 2001)
Diante desta realidade, reduzem-se as perspectivas de trajetórias
individuais e sociais a um único critério dominante: o econômico. A transmissão
das identidades culturais, profissionais e políticas são colocadas em termos
regressivos.
A educação vive um momento difícil, sem conciliar as
necessidades de uma sociedade em mudança e uma proposta educacional que
prepare o “homem do futuro”. Na prática, constata-se a realização de um
ensino massificado. Os professores sentem que a dificuldade do aluno
representa sua dificuldade em ensinar.
Estudar o fenômeno da indisciplina em sala de aula e sua relação
com a ação docente é o objetivo desta pesquisa, sendo que se estudou os
mecanismos disciplinares presentes na escola, as possíveis causas da
indisciplina e sua relação com o prática docente. Como metodologia,
recorremos à pesquisa-ação.
A estratégia da pesquisa-ação oscila entre o agir no campo da
prática e a investigação, permite o planejamento de mudanças na realidade
apresentada, ou seja, por meio do instrumento de pesquisa se prevê alterações
no que está sendo pesquisado, no caso, os apontamentos de enfrentamentos à
problemática disciplinar. Diante das situações verificadas, buscou-se maneiras
de resolvê-las.
Para viabilizar a presente pesquisa levantaram-se dados por meio
da observações de salas de aula, para identificar possíveis condutas
indisciplinadas dos alunos e dos professores no cotidiano, também foram
analisados documentos da escola, como a ficha individual dos alunos, o
relatório do conselho de classe trimestral apresentado pelos professores, pela
equipe pedagógica e diretiva da escola.
No presente relato o conteúdo de análise refere-se apenas a
registros de observação de duas aulas.
A PESQUISA
Esta pesquisa utilizou-se da pesquisa-ação, que é um processo
essencialmente pedagógico, configurando uma ação que cientificiza a prática
educativa, a partir de princípios éticos que viabilizam a contínua formação e
emancipação dos sujeitos da prática (THIOLLENT, 2005).
A pesquisa ocorreu no Colégio Estadual Monteiro Lobato-EFM,
localizado no município de Céu Azul-PR, com a participação de alunos de 7ª
série, uma turma do período da manhã e outra do período da tarde. Atividades
de observação em sala de aula permitiram a coleta de dados.
Observou-se que muitas vezes professores queixam-se de
desinteresse dos alunos pelo conteúdo que é ensinado na sala de aula. De
onde vem essa falta de interesse do jovem? Ele precisa compreender o
significado de estudar. Qual o papel desse conteúdo para sua vida? Eles
precisam significar algo. Precisam fazer sentido, para que o educando possa
dar à prática educativa a atenção necessária para a busca da sua autonomia.
Observa-se que o educando leva para o cotidiano escolar a
apatia, o que pode ser observado com o relato de uma aula, em que o aluno
permanece uma aula inteira sem realizar o que é proposto pelo professor. As
anotações a seguir foram colhidas em uma das turmas observadas. Vejamos:
“A professora entrou na classe fez a chamada, primeiramente precisou organizar a
classe, solicitando que ficassem em silêncio. Em seguida distribuiu os livros
didáticos, pedindo que continuassem a leitura individual do capítulo 06: Aparelho
respiratório e respondessem as questões da página 79, referente ao capítulo; No
início da atividade alguns alunos ainda permaneciam conversando. (...) Os alunos
conversavam entre si sobre a matéria e também sobre outros assuntos. Um deles
arremessou uma bola de papel de um lado a outro da sala, às costas da
professora. Foi solicitado que apanhasse e colocasse a bolinha no lixeiro. Faltando
10 minutos para encerrar a aula a professora constatou que determinado aluno não
havia começado a desenvolver os exercícios, demonstrando apatia com relação a
aula, então orientou-o individualmente para que pudesse iniciar os trabalhos”.
Um outro relato a partir de observação em sala-de-aula:
“No início da aula de Língua Portuguesa em um dia normal de trabalho escolar a
professora organizou a turma, fez uma oração e solicitou que os alunos não
ficassem escorados na parede da sala de aula. Em seguida, pediu que os
alunos abrissem os cadernos para que ela pudesse observar se as atividades
da aula passada tinham sido resolvidas em casa. Constatou-se: que entre os
alunos havia um aluno que mesmo estando na classe na aula anterior não tinha
copiado a matéria proposta. Outro deixou de copiar 3 questões, não trouxe o
caderno. Entre eles havia quem esqueceu o caderno na última aula, copiou em
folhas, mas não reorganizou seu caderno, e a matéria não estava em ordem.
Houve também quem não estava com o caderno, pois havia esquecido na
escola no dia anterior,solicitando autorização da professora para procurá-lo com
as zeladoras, ou seja, também não tinha a lição organizada. Um dos alunos não
tinha a matéria no caderno, não sabe onde copiou e ainda alguns alunos haviam
apenas copiado as atividades do quadro, mas não tinham resolvido o que foi
solicitado. Enquanto a professora conferia o trabalho houve a entrada de um
aluno atrasado a aula, pois tratava-se da primeira aula do período matutino...”.
Relatos como os apresentados indicam uma realidade em que
muitos educandos perderam o sentido do ensino, não entendem o porquê
precisam passar horas tomando nota, resolvendo os exercícios ou ainda lendo
textos informativos, deixando cadernos desorganizados, sem possibilidade de
utilizá-los para estudos.
Percebe-se que esses apontamentos não estão presentes apenas
no âmbito escolar, mas na sociedade. Desta forma, a questão não pode ser
pensada apenas como uma problemática da escola ou da sala de aula, apesar
de necessariamente demandar um enfrentamento urgente ao caos que se
apresenta, mas emerge a necessidade de refletir-se a sociedade na sua
totalidade. (VASCONCELLOS, 2001)
Em muitos dos conflitos que ocorrem em sala de aula existe a
influência do que a família pensa e verbaliza em relação à escola, pois se a
família não vê sentido no que é ensinado na escola e deixa isso claro na casa,
isso reflete na escola.
Na maioria das vezes é necessário que o professor chame a
atenção para a organização da sala de aula e em muitas ocasiões os alunos
nem percebem a entrada dele e precisam ser chamados em particular para que
se voltem ao que está sendo solicitado em classe. Como afirma Aquino (1998),
o conhecimento é o objetivo exclusivo da ação do professor, o âmbito de sua
atuação é essencialmente pedagógico e o núcleo do trabalho é a relação
professor-aluno.
Nos relatos presentes nas fichas individuais dos alunos das
turmas verificadas, pode constatar-se que em muitas circunstâncias os conflitos
chegam a extremos em que o professor sente-se impossibilitado de resolver as
questões frente à turma, então retira o aluno da classe.
A disciplina ao mesmo tempo deve ser vista como fim e como
meio. É um fim porque podemos desenvolver atitudes como concentração,
responsabilidade, interesse. Também um meio, um instrumento sem o qual as
atividades não acontecem ou acontecem fora do prazo e dos padrões e isso
precisa ser analisado pelos educadores comprometidos com sua ação
pedagógica.
O educando, sendo um ser inteligente e sensível, pode
compreender que em algumas circunstâncias realiza tarefas que não oferecem
prazer imediato, mas que podem contribuir para a construção de sua
autonomia frente à escolarização e à busca pelo conhecimento.
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Inserida no contexto de sala-de-aula de 7ª série, pudemos
observar situações que indicam que as aulas não caminham como seria
desejável.
O que fica claro é que a sala de aula não é um ambiente em que
há entusiasmo com o conhecimento, parece que não se cultiva o gosto pelo
estudo, pela busca de aprendizagens.
Portanto faz-se necessário que a escola e os educadores
encontrem metodologias apropriadas, para que consigam despertar o interesse
dos alunos e formem alunos comprometidos com as atividades que são
importantes para seu desenvolvimento educacional. Porém, sem esquecer que
práticas que, em outros tempos, obtiveram êxito, hoje podem ser impróprias.
REFERÊNCIAS
Aquino, J.G. A indisciplina e a escola atual. Revista da Faculdade de Educação. Print ISSN 0102-2555. Vol. 24 n.2. São Paulo. July/Dec.1998. CASTANHEIRA, A.M.P; REHBERG, L.L. Quando o professor provoca a indisciplina. In: VASCONCELOS, M.L.M.C. (In)disciplina, escola e contemporaneidade. Rio de Janeiro: Intertexto /Mackenzie, 2001. LONGAREZI, A.M. Os sentidos da indisciplina na escola: concepções de professores, equipe técnica e alunos de séries iniciais do ensino fundamental. Tese de doutorado em Educação Escolar, Faculdade de Ciências e Letras da Unesp de Araraquara-SP, 2001.
PIROLA, S. M.; FERREIRA, M. C. C.; O problema da “indisciplina dos alunos”: um olhar para as práticas pedagógicas cotidianas na perspectiva de formação continuada de professores. Olhar de professor, Ponta Grossa, 10(2): p. 81-99, 2007. Disponível em <www.uepg.br/olhardeprofessor>. Acesso em 13 set. 2008. SAVATER, F. O valor de educar. Trad. Mônica Stahel. São Paulo: Martins Fontes, 1998. TEDESCO, J. C. O novo pacto educativo: Educação, competitividade e cidadania na sociedade moderna. São Paulo: Atica, 1995.
THIOLLENT, M. Metodologia da Pesquisa-ação. 14 ed. São Paulo: Cortez, 2005. VASCONCELLOS,M.L.M.C. A pesquisa como princípio pedagógico: discutindo a (in)disciplina na escola contemporânea, no livro: (In)disciplina, escola e contemporaneidade, São Paulo, Mackenzie, 2001.
A Utilização do Software Wiris na Plataforma Moodle Visando o Ensino da Matemática Apoiado pela Informática:
Relato de um Projeto de Extensão
Jaqueline Zdebski da Silva Cruz1, André Luiz Brun1,
Claudia Brandelero Rizzi1, Luiz Henrique Marcomini1, Marcos Paulo
Nicoletti1, Matheus Cataneo1, Miriam de Lima Hellmann1, Sérgio Ricardo
Mascaro1, Willian Fernando Roque1, Rogério Luis Rizzi1
1Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná. Cep: 85.819-110 – Cascavel – PR – [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected],[email protected], [email protected],
[email protected], [email protected],[email protected], [email protected].
Resumo. Este artigo apresenta alguns resultados de um projeto de extensão universitária que está sendo realizado no município de Catanduvas – Paraná, cujo principal objetivo é articular a Matemática e a Informática visando contribuir para a melhoria das condições de cidadania, emprego, renda e acesso às instituições de ensino superior, por parte de alunos que estão cursando o ensino médio. Trata-se especificamente da utilização do software Wiris Editor aplicado dentro de um curso em ambiente Moodle criado para atender os alunos deste projeto de extensão que recebem aulas presenciais dentro da própria escola.
Palavras chaves: Ensino de Matemática, Informática, Moodle, Wiris.
1. Introdução
O presente trabalho apresenta alguns resultados obtidos no desenvolvimento das atividades no projeto intitulado “Uma Articulação entre a Matemática e a Informática como Instrumento para a Cidadania e o Emprego, e acessibilidade às IES”, também chamado de Projeto USFMat que articula a Matemática e a Informática visando à melhoria na cidadania, emprego, renda e acesso às instituições de ensino superior. Tem como público alvo prioritário alunos que estão na última série do ensino médio, prestes a ingressar no mercado de trabalho ou em instituições de ensino superior.
A principal preocupação deste projeto é capacitar os alunos de tal forma que aprendam mais do que simplesmente manipular ou resolver uma equação. Nosso
objetivo é apresentar a estes alunos uma forma de aprendizado através da qual eles se tornem capazes de identificar a necessidade de informação, de organizá-la e aplicá-la na prática, integrando-a a um corpo de conhecimentos existentes e usando-a na solução de problemas ou na tomada de decisões no seu cotidiano.
Este trabalho apresenta a seguinte organização: a seção dois apresenta uma discussão sobre o uso de softwares no ensino da matemática. A terceira seção apresenta o projeto de extensão em execução. Por fim, a seção quatro apresenta alguns resultados e discussões.
2. Utilização de softwares no ensino de matemática
Não é de hoje que são estudadas as causas das dificuldades encontradas pelos alunos na compreensão dos conteúdos matemáticos, independentemente do nível de formação, desde a educação infantil e até a graduação.
A crescente preocupação com essas dificuldades defendidas pela literatura e com a exclusão educacional que elas causam, resultou no aumento das pesquisas em novas metodologias e recursos de ensino que possam ampliar as possibilidades de compreensão por parte dos alunos. Uma destas metodologias consiste em usar a Informática como meio de aprendizagem, como ferramenta de complementação, aperfeiçoamento e de possível mudança na qualidade do ensino da matemática.
O aprender com a tecnologia, considera que o aluno é um sujeito ativo, elemento fundamental no processo de ensino e aprendizagem. A aprendizagem com tecnologia pode estar baseada nas teorias construtivistas, nas quais o conhecimento é construído pelo sujeito e não transmitido. Desta forma, a presença do computador deve propiciar as condições para os estudantes exercitarem a capacidade de procurar e selecionar informação, resolver problemas e aprender independentemente.
Porém, apenas dispor um laboratório de informática não garante o sucesso de sua aplicação. Para que ocorram condições favoráveis de aprendizagem o professor necessita de uma formação especial para conseguir usar essa ferramenta adequadamente e dar sentido ao uso da tecnologia, produzindo conhecimento com o aluno, de forma ativa, incentivando-o à criatividade e à descoberta, deixando de transmitir conhecimento e passando a ser o criador de ambientes que facilitem o processo de desenvolvimento intelectual do aluno [BOVO, 2001].
A informática também está sendo muito usada na educação como apoio à aprendizagem nos cursos presenciais ou semi presenciais que estão incluídos na modalidade de ensino conhecida como Educação à Distância (EAD). Nesta modalidade a mediação didático-pedagógica nos processos de ensino e aprendizagem ocorre com a utilização de meios e Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) e os estudantes e professores desenvolvem atividades educativas em lugares e horários diferenciados. Dentre as possibilidades que ela oferece, um exemplo pode ser a possibilidade do trabalho em casa, que democratiza a educação e oferece mais oportunidades para aqueles que não tem disponibilidade de tempo e de locomoção para se dedicar aos estudos.
Um exemplo já tradicional do uso das TICs em EAD é sua viabilização através do uso do sistema gerenciador de cursos Moodle. Trata-se de uma ferramenta interessante no sentido de auxiliar o aprendizado da matemática, já que através dele o aluno pode, a qualquer hora, buscar conhecimentos extras e sanar dúvidas remanescentes da aula presencial [GONÇALVES, SALVADOR, 2002], a qualquer tempo e lugar, desde que viabilizado o aceso à internet.
2.1. Moodle
O Moodle (Modular Object Oriented Distance Learning Environment) é um sistema de gerenciamento de cursos de código aberto distribuído sob a licença de Software Livre GNU que permite a criação e a gestão de cursos on-line.
Segundo as estatísticas do site oficial do Moodle [MOODLE, 2010], existem mais de 48 mil sites que utilizam o ambiente do Moodle, em 212 países. O Brasil é o terceiro país do mundo na utilização do Moodle, ficando atrás apenas de Estados Unidos e Espanha, respectivamente. É utilizado principalmente em Instituições Públicas de Ensino Superior onde é adotado como um dos principais meios de acesso ao ensino à distância.
Algumas características do Moodle que justificam sua ampla utilização no Brasil e no mundo são: interface completa e de fácil compreensão pelos alunos; sistema de chats e fóruns, amplamente utilizados como tira-dúvidas; gestão de conteúdos, como material de apoio, arquivos, vídeos e outros; vários formatos de questionários; e gerenciamento de notas por parte do professor.
2.2. Wiris
O aplicativo Wiris Editor, exibido na figura 1, é uma ferramenta que tem como aplicação editar fórmulas e resolver cálculos, possuindo também outras funções como a possibilidade de trabalho com sistemas de equações, geometria plana e espacial, aritmética, combinatória, estatística, cálculo, etc. O software foi desenvolvido especificamente para a educação e é utilizado em diversos países por muitos alunos e professores em portais de educação pública [TORTOSA, 2004]. Sua utilização está associada a um navegador Web, podendo ser aplicado dentro do ambiente Moodle.
O Wiris também possui outros tipos de recursos, como por exemplo à detecção de erros, que pode ser de sintaxe ou de digitação. Erros de sintaxe tratam elementos que faltam para as operações, como por exemplo parênteses abertos ou o uso de símbolos não existentes. Já nos casos de erros de digitação são apontadas, por exemplo, expressões matemáticas que não têm sentido lógico. Recursos como estes fazem com que o uso do software seja menos unilateral, uma vez que o usuário recebe um feedback, mostrando o porquê de seu cálculo não estar correto [MARQUES, 2006].
Figura 1. A interface do software Wiris Editor dentro do ambiente Moodle
Cabe dizer que o Wiris não é o único software de edição matemática que pode ser usado no Moodle; um outro exemplo é o DragMath. Podemos citar alguns diferenciais do DragMath em relação ao Wiris: ele possui mais formatos para os arquivos de saída, como o MathML, LaTeX, Maple ou Maxima, porém não possui algumas ferramentas interessantes como o trabalho com a geometria e consequentemente com a visualização geométrica que é de fundamental importância para o desenvolvimento às atividades do projeto em questão.
3. O projeto USFmat
A proposta principal do Projeto de Extensão USFMat, é levar aos alunos do ensino médio do município de Catanduvas, no estado do Paraná, conhecimentos nas áreas de matemática e informática, buscando oferecer aos mesmos a oportunidade de capacitação nestas duas áreas, que se concebe, são importantes tanto na formação do cidadão e do vestibulando quanto para o competitivo mercado de trabalho no qual eles estão sendo inseridos.
Os alunos de Catanduvas participantes deste projeto, assim como acontece também em outras pequenas localidades, procuram ingressar em Instituições de Ensino Superior (IES), mas também permanecem trabalhando na própria cidade. Do público específico participante deste projeto aproximadamente 30% já desempenha alguma atividade no mercado de trabalho de Catanduvas e cerca de 70% dos alunos concluintes pretendem prestar vestibular em 2010. Daí a motivação e justificativa em se incluir no
projeto atividades que contribuam tanto para o acesso às IES quanto para a capacitação visando emprego e renda. E para que isso pudesse acontecer de forma conjunta, a proposta do projeto foi a de articular a Matemática e a Informática.
A realização do projeto está dividida basicamente em três partes: as aulas de matemática, as aulas de micro-informática, realizadas aos sábados na escola, e o uso da informática como ferramenta que permite a ligação entre as partes envolvidas proporcionando a iteração dos mesmos nos momentos de monitoria realizados durante a semana através de chats, fóruns e avaliações via Moodle.
A abordagem computacional apresentada no projeto visa qualificar o cidadão catanduvense para suas necessidades diárias, para o mercado de trabalho e para utilizar recursos que servirão como mediadores para oferecer aulas apoiadas pela web. Os conteúdos matemáticos são apresentados aos alunos de uma forma diferenciada, já que todos os tópicos abordados são desenvolvidos com base na resolução de problemas voltados a realidade do aluno e no uso da informática, o que permite uma melhor compreensão da aplicabilidade da matemática.
Apesar de oferecer disciplinas como geometria e trigonometria, o enfoque principal da matemática no decorrer do projeto está voltado a dois tópicos específicos: Matemática Comercial e Matemática Financeira. Esses dois tópicos foram apresentados com o objetivo de capacitar o aluno para o mercado de trabalho possibilitando melhorias nas condições de emprego e renda. Estão sendo trabalhados de forma articulada com a computação, de maneira que os conteúdos abordados em sala de aula através da apresentação de situações cotidianas, são revistos no laboratório de informática, usando o software BrOffice Calc.
No desenvolvimento do curso de Calc os alunos aprenderam noções sobre como manipular essa ferramenta usando exemplos que envolviam cálculos relacionados aos conteúdos de matemática comercial e financeira trabalhados em sala, fato que também contribui para sua vida profissional já que muitas empresas usam esse software ou outro similar para fazer o controle de caixa e das contas.
4. A utilização do Moodle e do Wiris no ensino da matemática
Como citado anteriormente o Moodle é um ambiente que possibilita várias formas de comunicação entre professores e alunos em momentos extra-aula, incentivando o aluno a estudar mesmo estado fora da sala de aula, fato que contribui para a formação de um estudante mais independente e capaz de buscar novos conhecimentos de maneira mais autônoma.
A escolha pelo uso do Moodle como ferramenta de apoio para realização deste projeto, além das características destacadas em 2.1, se deu pelo fato de que esta ferramenta já vinha sendo usada no desenvolvimento de outros cursos na UNIOESTE e além de já estar instalado no servidor da UNIOESTE um outro fator de escolha foi baseado no seu modelo de interface que é de fácil compreensão, é gratuito e de código aberto podendo agregar ferramentas úteis para o ensino e a aprendizagem. Outra vantagem deste ambiente é o fato de que possibilita a incorporação de softwares interessantes para resolução e trabalho com conteúdos matemáticos diversos como é o
caso dos softwares Wiris e DragMath.
Apesar das semelhanças existentes entre estes dois softwares a escolha pelo uso do aplicativo Wiris Editor no projeto USFMat se deu tendo em vista as possibilidades que ele oferece para equipe desenvolver e disponibilizar aos alunos uma gama extensa de exercícios e trabalhos envolvendo matemática, principalmente aquelas atividades que envolvem as geometrias plana e espacial. Planejou-se não apenas as antigas e conhecidas listas de exercícios, mas também tarefas interativas nas quais o aluno desenvolve através de uma atividade investigativa, formas de resolução próprias com a ajuda dos recursos que o aplicativo oferece, como por exemplo, a construção de gráficos e de figuras em duas ou três dimensões.
Esta capacidade de disponibilizar tarefas visuais e interativas possibilitada pelo Wiris contribui para promover situações de maior motivação para a realização dos trabalhos e torna as tarefas mais eficientes do ponto de vista educacional, uma vez que o aluno tem maior contato com o conteúdo, já que ele visualiza seu trabalho em um ambiente onde existem representações e figuras. Além disso, o Wiris Editor não é uma ferramenta estática e sim um software capaz de interagir com o aluno enquanto o informa onde e de que natureza são os possíveis erros cometidos contribuindo para o processo ensino-aprendizagem de forma positiva, pois incentiva o aluno na criação de soluções próprias [XAMBÓ, EIXARCH, 2002]. Algumas destas situações são relatadas a seguir.
4.1. Considerações sobre a utilização do Moodle e do Wiris no projeto USFMat
No âmbito do projeto USFMat, o Moodle é utilizado pelos alunos em várias situações. Destacamos algumas delas:
1. Durante as aulas presenciais no desenvolvimento de algumas atividades investigativas com o uso do Wiris;
2. Nas consultas extra-aula onde os alunos têm acesso à materiais adicionais dos cursos ministrados;
3. Nos momentos onde os alunos desenvolvem as atividades propostas às quais são atribuídas notas e;
4. Na busca de ajuda quando os mesmos postam questionamentos nos fóruns e participam das discussões nos chat’s onde tem a oportunidade de tirar suas dúvidas e adquirir conhecimentos além daqueles oferecidos em sala de aula, em tempo real, com a ajuda dos monitores.
Apesar de os alunos envolvidos no projeto terem recebido treinamento para a utilização dos recursos em questão, observamos que o Moodle ainda é utilizado por eles com pouca frequência. Isso talvez possa ser atribuído à falta de costume dos alunos de se utilizarem da internet para revisar os conteúdos vistos na sala de aula e para buscarem novos conhecimentos. Percebemos que quando são disponibilizadas as atividades de avaliação todos participam, porém, nos chat’s e fóruns, onde realmente
eles poderiam ampliar seus conhecimentos, a procura ainda é pequena.
Durante o treinamento oferecido sobre o Wiris percebeu-se que os alunos tiveram certa facilidade em utilizá-lo. Após serem mostradas as ferramentas e aplicativos que o software possui e como são utilizados, foi sugerido como atividade a resolução de uma situação problema que recaía em uma equação do segundo grau, conteúdo este que eles já estão habituados a resolver utilizando lápis e papel. Depois da análise da situação e conclusão de que a solução do problema se daria pela resolução de uma equação do segundo grau, pediu-se que os alunos usassem um editor de texto comum para realizarem as operações objetivando a solução.
Os alunos iniciaram o trabalho e após todos terem chegado a conclusão de que o trabalho seria árduo usando esse editor de texto, pedimos que eles realizassem o mesmo trabalho, utilizando o Wiris. Todos os alunos perceberam instantaneamente a diferença, que era a facilidade de se escrever matematicamente no Wiris Editor. Embora esta constatação, os alunos mantiveram a mesma postura frente a essa nova ferramenta: resolviam as equações mentalmente ou com a ajuda de lápis e papel e usavam o software apenas para a escrita das equações, como se pode identificar nas primeiras linhas da resolução feita por um aluno e ilustrada na figura 2.
Isso mostra a falta de familiaridade dos alunos com esse tipo de ferramenta já que apesar de termos mostrado que ele facilitaria o trabalho, tanto na edição quanto na resolução, isso não estava acontecendo. Quando mostramos aos alunos que eles não precisavam ficar fazendo as contas, mas que tinham somente que digitar a equação e clicar em “=” que apareceriam as soluções é que de fato eles perceberam a ajuda que um programa como esse pode oferecer, como podemos observar na figura 2.
Figura 2. Resolução de um aluno no Wiris para a atividade proposta
Após isto, nos valendo do fato do Wiris possibilitar a utilização de recursos de geometria onde é possível criar representações de figuras tanto planas quanto sólidas, usamos a segunda atividade que foi gerar através do Wiris cinco sólidos geométricos específicos.
Para isso os alunos precisavam apenas clicar sobre o nome do sólido desejado, fornecer ao software a medida da aresta do mesmo e clicar em “=” podendo fazer sua visualização em 3D, conforme apresenta a figura 3. Os alunos preencheram então uma tabela completando os dados observados nas figuras construídas (número de vértices, arestas e faces). Após terem obtido essas informações para os primeiros sólidos construídos, os alunos perceberam a dificuldade em determinar esses dados nos sólidos que tinham um número maior de faces, como por exemplo, o sólido com 20 faces. Pedimos então, que eles observassem a relação que existia entre os dados em questão e eles conseguiram perceber, com facilidade, a existência de uma relação, a Relação de Euler, que depois de ser apresentada aos alunos foi usada para o término da atividade completando o restante da tabela.
Figura 3. Construção de sólidos geométricos no Wiris
Após o desenvolvimento dessas atividades disponibilizamos aos alunos um questionário referente ao Wiris no qual os alunos afirmaram que não conheciam o aplicativo e que o mesmo é muito mais rápido e prático, facilitando assim o aprendizado. Afirmaram gostar do fato de poderem verificar se a resolução do exercício está correta e alguns afirmaram ainda que vão continuar usando essa ferramenta para resolver os exercícios propostos pelos professores na sala de aula e em seus estudos visando o vestibular. Alguns ainda escreveram sobre a importância de se poder usar esse software instalado em casa sem que o computador precisasse estar conectado à internet e ainda sobre a melhoria que passariam a sentir se esse ou outro software com essas características fosse usado no dia-a-dia das salas de aula pelos professores para que houvesse uma melhor visualização dos conteúdos por parte dos alunos.
Quanto à parte de geometria foi questionado o que eles puderam observar no
Wiris que utilizando a lousa ou um livro não seria possível. Todos afirmaram que a manipulação das construções é o fato que mais ajuda na compreensão, já que aumentando, diminuindo e girando as figuras, a visualização e a determinação das características se tornam muito mais fáceis.
Como as atuais ações do projeto estão se desenvolvendo nas aulas de matemática Comercial e Financeira a próxima utilização do Wiris será para a realização de atividades envolvendo a resolução de situações problema neste contexto. Os alunos terão que interpretar os exercícios e usando o Wiris irão redigir a resolução, comentando todos os passos realizados e então submeter esse arquivo via Moodle para a avaliação por parte da equipe.
Disponibilizamos o Wiris como ferramenta de edição de texto para todas as atividades propostas e ainda para ser usado nos chat’s e fóruns com o intuito de que os alunos redigissem com eficiência e clareza, lições e tarefas disponibilizadas no Moodle e que os professores e alunos pudessem tirar dúvidas pelo “chat” ou pelo fórum, redigindo fórmulas e cálculos, facilitando assim as explicações e a compreensão do conteúdo. Os resultados desta atividade ainda estão sendo acompanhados a analisados e se pretende, posteriormente, dar-lhes publicidade.
4.2. Conclusões
O acesso a computadores conectados à internet tem revolucionado os processos de construção, desenvolvimento e transmissão de conhecimento. Uma das consequências deste fato é a demanda para que a sociedade em geral e a educação em particular oportunizem aos indivíduos, pelo menos situações em que se viabilize o uso do computador, de softwares de uso genérico, como editores de texto, planilhas eletrônicas, apresentações, entre outros, e, em especial, o acesso à internet.
É exatamente neste contexto que se desenvolvem ações relatadas neste trabalho. De modo bastante amplo, ele visa, através da articulação entre a computação e a matemática, contribuir para que os partícipes dos cursos oferecidos tenham não apenas melhoria de oportunidades de emprego e renda, mas uma contribuição positiva em sua formação enquanto cidadãos.
Desde dezembro de 2009 até o presente momento, através deste projeto já foram ofertadas 46 horas de aula presencial de informática e 46 horas de aula presencial de matemática. Foram ofertadas ainda 288 horas de monitorias no chat via Moodle. Como apoio a estas aulas foram construídas 10 apostilas totalizando 229 páginas. Até o final do ano estão planejadas mais 44 horas de aula presencial e 108 horas de monitoria. A equipe deslocou-se até Catanduvas por 18 vezes para ofertar cursos na escola e os alunos já estiveram por três vezes na UNIOESTE, também participando de cursos.
A expectativa é a de que as ações que estão sendo realizadas articulando a matemática e a informática efetivamente contribuam para a formação deste cidadão, ajudando na acessibilidade por parte dos alunos às instituições de ensino superior e se caracterizem principalmente como instrumento para a cidadania e o emprego e desta forma contribuam, a longo prazo, para a melhoria do índice de desenvolvimento humano do município.
5. Referências
BOVO, V. G. O uso do computador na educação de jovens e adultos. Rev. PEC, Curitiba, Vol. 2. No. 1. Julho. 2001. 105-112p.
GONÇALVES, J.P., SALVADOR, J.A. Educação a distância e o moodle: Novas formas de ensinar e de aprender matemática. UFSCar. 10p, 2002.
MOODLE. Open-source community-based tools for learning. Acesso em 16/08/2010 <http://moodle.org/>.
TORTOSA, Guillermo S. Didática del Álgebra, Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2004.
MARQUES D.,Eixarch R.,Casanellas G., R., Martinez B., WIRIS OM Tools: a Semantic Formula Editor. Maths for More S.L. , Rambla de Prat 21 1r 1a 08012, Barcelona, Spain, 2006.
DRAGMATH. Acesso em 12/08/2010 <http://www.dragmath.bham.ac.uk/>.
S. XAMBÓ, R. EIXARCH, D. MARQUES. WIRIS: An Internet platform for the teaching and learning of mathematics in large educational communities, Departament de Matemàtica Aplicada II i Facultat de Matemàtiques i Estadística; Universitat Politècnica de CatalunyaMaths for More. S.L. Barcelona. 2002.
Geracao de Malha Nao Estruturada Ortogonal e Solucao doModelo de Transporte de Substancias em Corpos deAgua
Petterson Vinıcius Pramiu1 , Claudia Brandelero Rizzi2 , Rogerio Luis Rizzi3
1Discente do Curso de Engenharia Agrıcola
2Docente do Colegiado do Curso de Ciencia da Computacao
3Docente do Colegiado do Curso de Matematica
Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas daUniversidade Estadual do Oeste do Parana
Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - Brasil
[email protected],claudia [email protected],[email protected]
Resumo. A construcao de um modelo computacional para simulacao dos mais varia-dos eventos, abrange diversas etapas, que vao desde a definicao do modelo matematicoate a analise e validacao dos resultados. A regiao de interesse deve ser transfor-mada em uma malha numerica, que represente da melhor forma possıvel, tal regiao,uma vez que a acuracia da solucao tambem depende da representatividade da malha.A computacao aplicada tem se mostrado forte aliada, tanto na solucao dos modelosquanto na visualizacao dos resultados obtidos com a simulacao, fato que facilita muitoa analise, interpretacao e validacao dos resultados. Este trabalho apresenta resultadosreferentes a discretizacao e a geracao do domınio computacional do Lago Guaıba - RS,utilizando o software Janet.
Palavras Chaves. Geracao de malha, software Janet, transporte de substancias.
1. Introducao
Margens de regioes costeiras, rios e lagos geralmente sao demasiadamente povoadasdevido a importancia daagua para diversas necessidades humanas, resultando nadesestabilizacao do ecossistema. Como medida preventiva e curativa,e necessario omonitoramento e a realizacao de medidas que possibilitem um manejo racional das di-versas atividades antropicas, desenvolvidas nos arredores desses corpos deagua. Estemanejo racional demanda, porem, o entendimento de varios processos ecologicos, fısicose quımicos envolvidos com a hidrodinamica e o transporte de substancias nesses corpos deagua. Um modo de acompanhar e compreender tais eventose atraves de sua modelagemnumerico-computacional. A construcao de um modelo computacional para simulacaodestes eventos, abrange varias etapas, que vao desde a definicao do modelo matematicoate a analise e validacao dos resultados. Etapas imprescindıveis sao a especificacao demodelos matematicos que descrevem os problemas de valor inicial e de contorno, ageracao da malha numerica, e a construcao de versoes discretas das equacoes governantes.Esse trabalho enfoca a geracao da malha de um corpo deagua raso, visto quee necessario
converter a regiao ou domınio de interesse em um domınio discreto. A regiao de interessedeve ser transformada em uma malha numerica, que represente da melhor forma possıvel,tal regiao, uma vez que a acuracia da solucao tambem depende da representatividade damalha.
2. Domınio Computacional
Para obtencao da solucao numerica de uma Equacao diferencial parcial (EDP) em umdeterminado domınio fısico e necessario, primeiramente, que o domınio fısico seja dis-cretizado, istoe, seja dividido em um numero finito de pontos. A solucao sera obtidasomente nesses pontos. Esse conjunto discreto de pontos recebe o nome de malha[FORTUNA, 2000]. Malhas podem ser classificadas como estruturadas, nao estruturadas,nao estruturadas ortogonais e hıbridas. Alguns tipos de malhas sao descritos abaixo:
a) Malha estruturada: Uma malha estruturadae definida como uma grade emque todos os nodos tem o mesmo numero de elementos em torno dele. Esta caracterısticadas malhas faz com que a matriz do sistema de equacoes algebrico seja regular, o queotimiza a velocidade de resolucao dos sistemas, apesar de existirem um grande numero deesquemas de resolucao eficientes para malhas estruturadas, estas sao apropriadas apenaspara domınios simples.
b) Malha nao estruturada: Sao malhas apropriadas para geometrias complexas,podem ser formadas por elementos triangulares, tetraedros, hexaedros, dependendo daacuracia desejada para a aproximacao da geometria, apesar da conveniencia de suaaplicacao para aproximar domınios complexos seu uso pode resultar numa estrutura dedados irregular o que gera um sistema de equacoes algebrico, cuja resolucao e lenta e adiscretizacaoe muito complexa.
3. Malha nao estruturada ortogonal
Uma malhae dita nao estruturada ortogonal, se cada polıgono (triangulo) desta malhapossui um ponto, chamado de centro, de tal forma que o segmento que une os centros dedois polıgonos adjacentes for ortogonal ao lado compartilhado por estes dois polıgonos[RIZZI, 2002]. Quando os polıgonos forem triangulos equilateros, o centro deste coincidecom o circuncentro. Veja a Figura 1. As malhas nao-estruturadas ortogonais sao utilizadasneste trabalho, pois elas apresentam uma serie de caracterısticas desejaveis como a possi-bilidade de empregar o metodo de Casulli na solucao. Alem disso conciliam a qualidadenumerica com eficiencia computacional.
δjPi
λ j
Figura 1: Malha triangular n ao-estruturada ortogonal.
ondePi, representa o polıgonoi, λj, denota a medida do lado do elemento eδj representaa distancia entre os centros de dois polıgonos.
Porem na maior parte das discretizacoes de geometrias nem sempre este centrocoincide com o centro geometrico do triangulo [CHENG, 2001]. Nesse caso deve-se teratencao na obtencao destas malhas, utilizando-se uma malha de triangulos acutangulos,ou seja, de triangulos em que as medidas dosangulos internos sejam menores que90
[CASULLI, 2000]. Desta forma, o centro da circunferencia cincunscrita localiza-se nointerior do elemento.
4. Software de Geracao de Malhas
Existem softwares que geram eficientemente malhas nao estruturadas ortogonais, comopor exemplo o Janet e o Argus One. O Janete um gerador de malhas computacionais paradiferentes metodos numericos. O softwaree totalmente implementado na linguagem deprogramacao Java, o que permite sua utilizacao em praticamente todos os sistemas opera-cionais. Seu desenvolvimento ainda nao esta terminado, sendo que as atualizacoes sao fre-quentes. O pre-processamento consiste de modulos diferentes, sendo possıvel a geracaomanual de malhas estruturadas, nao estruturadas e hıbridas. Neste trabalho, utilizou-se oJanet para geracao da malha do corpo deagua raso. Veja a interface do Janet na Figura 2.
Figura 2: Interface Software Janet.
4.1. Geracao de Malha com Batimetria - Lago Guaıba
Nesta secaoe apresentada a geracao da malha triangular nao estruturada ortogonal com opacote de pre-processamento Janet, fazendo uso de dados batimetricos referentes ao LagoGuaıba.
Com o software Janet inicializado o arquivo de dados referentes ao domınio foicarregado para o ambiente de trabalho atraves do botaoLoad Layer. Este arquivo comdados do domınio, e um arquivo de texto simples com extensao.xyz que contem as
coordenadas cartesianas do domınio (x y z). Apos carregamento dos dados, os pontosreferentes ao domınio sao apresentados naarea de trabalho do programa. Ver Figura 3.
Figura 3: Pontos do domınio.
Com o domınio discreto carregado, foi realizada a geracao da malha nao estrutu-rada ortogonal e, em seguida, a visualizacao da superfıcie do domınio em gradientes deprofundidade atraves da opcaoShow flooded countours.
Resultou dessa geracao uma malha cuja representacao para as celulas daultimacamada nao era suficientemente suave para fornecer uma apropriada acuracia na solucaodos sistemas de equacoes. Este problema foi resolvido utilizando-se uma interpolacao dabatimetria. Esta suavizacao foi realizada selecionando-se o Layer para criacao do DigitalTerrain Model (DTM) e o algoritmo de interpolacao, atraves do botaoInterpolationMethod. Apos selecao do algoritmo de interpolacao (neste caso Z-Value Aproximation),a ferramenta de edicao de nos foi selecionada, e ao clicar com o botao direito do mouse noambiente de trabalho para exibir a caixa de menu, e em seguida, na opcaoInterpolateDepth Values, a interpolacao foi inicializada. O resultado da interpolacao pode servisto na suavidade do gradiente de profundidade, como mostra a Figura 4.
Figura 4: Interpolac ao da Profundidade - Suavidade.
Deve-se atentar para o uso demasiado de interpolacoes na batimetria, pois coma suavizacao a malha perde representatividade. O domınio tridimensional resultante dainterpolacaoe apresentado em 3D na Figura 5.
Figura 5: Interpolac ao da Profundidade 3D - Suavidade da Batimetria.
5. Solucao Numerica da Equacao do Transporte
As equacoes da dinamica dos fluidos sao provenientes dos princıpios fısicos deConservacao de Massa, da Segunda lei de Newton e da Conservacao de Energia. Umvolume de controle (VC),e um volume arbitrario no espaco atraves do qual o fluido es-coa. A fronteira geometrica do volume de controlee denominada superfıcie de controle.A superfıcie de controle pode ser real (tubos e paredes) ou imaginaria (entrada e saıda).O volume de controle pode ser fixo, ou pode estar em movimento [FOX, 1998].
As equacoes obtidas pela aplicacao direta dos princıpios fısicos fundamentais so-bre um volume de controle arbitrario apresentam-se na forma integral. Ao serem ma-nipuladas obtem-se equacoes diferenciais parciais. As equacoes obtidas pela aplicacaodos princıpios fısicos fundamentais em um volume de controle fixo ou variavel sao aschamadas equacoes na forma conservativa e nao-conservativa, respectivamente. Como aequacao de adveccao-difusao apresentada neste trabalho considera que o volume de con-trole esta fixo no espaco com o fluido movendo-se atraves dele, diz-se que essa equacaoesta escrita na forma conservativa.
Foram utilizados dois metodos numericos para a solucao da equacao da adveccaolinear unidimensional, os metodosupwinde Crank-Nicolson, onde o primeiroe do tipoexplıcito (o calculo das variaveis no passo de tempo seguintee obtido pelos valores co-nhecidos no passo atual), e o segundoe semi-implıcito (o calculo das variaveis no passode tempo seguinte depende de valores do passo de tempo atual ede valores do passo detempo seguinte).
5.1. Modelo matematico
Na modelagem computacional do transporte (adveccao-difusao) e do regimehidrodinamico (escoamento)e possıvel avaliar como determinadas acoes podem alteraro regime hidrodinamico e a dispersao de poluentes nos corpos deagua. Para minimizara contaminacao de regioes que tenham importancia ambiental e economica, o local dodespejo deve considerar o regime hidrodinamico do corpo deagua.
A equacao do transporte de substancias e baseada no princıpio fısico deconservacao da massa, considerando que a variacao total de concentracao no tempo nointerior do elemento de fluido deve ser iguala variacao advectiva atraves das faces do ele-mento, mais a difusao turbulenta. Assim a equacao do transporte escalar tridimensionalde uma substancia, na forma conservativa,e como:
∂C
∂t+ u
∂C
∂x+ v
∂C
∂y+ w
∂C
∂z= εh
(
∂2C
∂x2+
∂2C
∂y2
)
+ εv∂
∂z
(
∂C
∂z
)
(1)
em queC e a concentracao da substancia,u e v sao as componentes da velocidade ho-rizontal,w e a componente da velocidade vertical,εh = εh(x, y, z, t) e o coeficiente dedifusao horizontal,εv = εv(x, y, z, t) e o coeficiente de difusao vertical.
A equacao diferencial que modela o transporte de substancias tridimensional,equacao (1), pode ser escrita, considerando sua versao por camadas, que modela o trans-porte horizontal e vertical em cada uma das camadas da colunad’agua, como:
∂(C∆z)
∂t+
∂(uC∆z)
∂x+
∂(vC∆z)
∂y+
∂[(w − ws)C∆z]
∂z
=∂
∂x
(
εh∂C∆z
∂x
)
+∂
∂y
(
εh∂C∆z
∂y
)
+∂
∂z
(
εv∂C∆z
∂z
)
(2)
onde∆z e a altura de cada uma das camadas da coluna d’agua,ws e uma velocidadeespecificada nao nula quando (1) modela o transporte de sedimentos.
A equacao (2) pode ser discretizada por meio de um esquema numerico semi-implıcito quando, a adveccao horizontale aproximada pelo metodo upwind, a advecaovertical e aproximada por uma formula de diferencas, a difusao horizontale aproximadapelo metodo upwind e a difusao verticale aproximada pelo metodo de Crank-Nicolson,como segue:
Pi∆zn+1i,k Cn+1
i,k + ∆tPi
(wn+θ
i,k+ 12
− ws,n
i,k+ 12
)Cni,k+ 1
2− εnv
i,k+12
[
θCn+1
i,k+1 − Cn+1i,k
(∆zn+1i,k+ 1
2
)2+
+ (1− θ)Cn
i,k+1 − Cni,k
(∆zni,k+ 1
2
)2
]
− (wn+θ
i,k− 12
− ws,n
i,k− 12
)Cni,k− 1
2+
+ εnvi,k− 1
2
[
θ
(
Cn+1i,k − Cn+1
i,k−1
(∆zn+1i,k− 1
2
)2
)
+ (1− θ)
(
Cni,k − Cn
i,k−1
(∆zni,k− 1
2
)2
)]
= ∆t
3∑
l=1
Si,lλj,(i,l)∆znj(i,l),k
εnhj(i,l),k
(
Cni[j(i,l,2)],k − Cn
i[j(i,l,1)],k
δj
)
−
− un+θj(i,l),k(Cf )
nj(i,l),k
+ Pi∆zni,kCni,k (3)
ondeCni,k+ 1
2
, Cni,k− 1
2
, un+θj(i,l),k ewn+θ
i,k± 12
, podem ser obtidos, considerando0 < θ ≤ 1, por
Cni,k+ 1
2
= 12(Cn
i,k+1 + Cni,k) , Cn
i,k− 12
= 12(Cn
i,k + Cni,k−1), e un+θ
j(i,l),k = (1 − θ)unj(i,l),k +
θun+1j(i,l),k ewn+θ
i,k± 12
= (1− θ)wni,k± 1
2
+ θwn+1i,k± 1
2
.
Para calcularCn+1i,k± 1
2
abaixo do leito e acima da superfıcie livre usa-se as condicoes
de contorno, superior e inferior, dadas respectivamente por:
αnT,i + βn
T,i(CTi− Cn
i,M) = εvi,M+1
2
[
θCn+1
i,M+1 − Cn+1i,M
(∆zn+1i,M+ 1
2
)2+ (1− θ)
Cni,M+1 − Cn
i,M
(∆zni,M+ 1
2
)2
]
−
− (wn+θ
i,M+ 12
− ws,n
i,M+ 12
)Cni,M+ 1
2
e
αnB,i + βn
B,i(CBi− Cn
i,m) = −εvi,m+1
2
[
θCn+1
i,m − Cn+1i,m−1
(∆zn+1i,m−
12
)2+ (1− θ)
Cni,m − Cn
i,m−1
(∆zni,m−
12
)2
]
−
− (wn+θ
i,m−12
− ws,n
i,m−12
)Cni,m−
12
ondeαT , βT , αB e βB sao parametros nao-negativos eCT e CB sao as concentracoespositivas na superfıcie e no fundo da regiao, respectivamente. Note que na equacao (3),Pi correspondea area do polıgonoi.
Destaca-se que a solucao numerica da equacao (3) deve estar consistente como metodo de solucao das equacoes da hidrodinamica. Na abordagem aqui denomi-nada de “Metodo de Casulli” substituem-se formalmente as equacoes de conservacaoda quantidade de movimento horizontal na equacao de conservacao de massa gerandosistemas lineares de equacao simetricos positivos e definidos, em que os nıveis sao asunicas incognitas. Os nıveis deagua sao calculados empregando-se o algoritmo do gradi-ente conjugado e entao as componentes da velocidade horizontal podem ser recuperadasatraves de expressoes apropriadas que tambem constituem sistemas positivos definidos in-dependentes. Posteriormente calculam-se as novas velocidades verticais atraves da apro-priada expressao, observando-se as condicoes de contorno na interface sedimento-agua ena superfıcie livre [RIZZI, 2002].
Vale a pena lembrar que a equacao (2), foi discretizada por meio de um esquemanumerico semi-implıcito, ou seja, mesmo utilizando o metodo de Crank-Nicolson, naoepossıvel utilizar o fato deste ser incondicionalmente estavel, uma vez que nao e aunicaabordagem utilizada, pois o esquema numerico (global) resultante nao e incondicional-mente estavel.
Al em disso, a solucao de esquemas semi-implıcitos requer a resolucao de sistemasde equacoes. No caso tratado neste trabalho os sistemasAC = D, sao tridiagonais cujasincognitas devem ser calculadas em cada coluna deagua para cada nıvel de tempo. NaFigura 6e apresentada a discretizacao do domınio em colunas, destacando algumas co-lunas da malha vertical estruturada equiespacada tipo Arakawa-C. A solucao de sistemastridiagonaise realizada utilizando-se o algoritmo de Thomas [GILAT, 2008].
Fundo
Topo
Dz
Dz
Dz
Dz
Dz
Figura 6: Colunas Verticais.
Considerando o caso geral, para o modelo apresentado, tem-sem sistemas matri-ciaisAC = D (um para cada coluna), de ordemn, pois consideram-sen camadas.
Ai =
Mi,1 Ti,2 0 . . . 0Bi,1 Mi,2 Si,3 . . . 00 Bi,2 Mi,3 . . . 0...
......
.. ....
0 0 0 . . . Mi,n
, C =
Ci,Ni
...
...
...Ci,ni
eD =
Di,Ni+CCSup.
...
...
...Di,ni+CCInf.
onde os coeficientes sao:
Mk = Pi∆zn+1i,k +∆tPiε
nvi,k+1
2
θ1
(∆zn+1i,k+ 1
2
)2+∆tPiε
nvi,k− 1
2
θ1
(∆zn+1i,k− 1
2
)2
Tk+1 = −∆tPiεnvi,k+1
2
θ1
(∆zn+1i,k+ 1
2
)2Bk−1 = −∆tPiε
nvi,k− 1
2
θ1
(∆zn+1i,k− 1
2
)2
Dnk = ∆tPi
(wn+θ
i,k+ 12
− ws,n
i,k+ 12
)− εnvi,k+1
2
(1− θ)
(
Cni,k+1 − Cn
i,k
(∆zni,k+ 1
2
)2
)
− (wn+θ
i,k− 12
− ws,n
i,k− 12
) + εnvi,k− 1
2
(1− θ)
(
Cni,k − Cn
i,k−1
(∆zni,k− 1
2
)2
)
ondeDi,Ni+CCSup. eDi,ni+CCInf. denotam os termos independentes mais as condicoes decontorno superior e inferior, respectivamente.
6. Resultados e Discussoes
Nesta secao discutiremos resultados de um experimento computacional realizado e apre-sentado em [PRAMIU, 2010]. Nao serao discutidos os resultados do transporte parao domınio apresentado na Figura 5, pois a implementacao do campo de velocidadespara esse domınio ainda esta em andamento. Os parametros de inicializacao emprega-dos para o estudo de caso sao aqueles mesmos apresentados nas tabelas 01, 02 e 03 de[PRAMIU, 2010].
O codigo foi implementado em MatlabR©, sendo que os graficos para os valoresda concentracao ao longo do tempo foram criados com auxılio da biblioteca Silo e dosoftware Visit. Os dados foram exportados do MatlabR© e importados por um codigoescrito em linguagem C, permitindo a utilizacao da biblioteca Silo. Os resultados obtidospodem ser vistos na Figura 7.
(a) Passo de Tempo Inicial. (b) Passo de Tempo Final.
Figura 7: Simulac ao do transporte de subst ancias ao longo do tempo.
Os resultados apresentados nas Figuras 7(a) a 7(b) mostram um comportamentoqualitativamente consistente da solucao da equacao do transporte observando-se o trans-porte da substancia ao longo da simulacao. Percebe-se que a concentracao ao longo dodomınio e levada de forma diluıda devidoa presenca de difusao, dando a entender que asubstancia foi “espalhada” em todo domınio, alem de ser transportada ate o sumidouro.
7. Agradecimentos
Agradecemos ao CNPq pelo apoio e incentivoa pesquisa.
Referencias
CASULLI, V., WALTERS, R. An unstructured Grid Three-Dimensional Model based onthe Shallow Water Equations. International journal for numerical methods in fluids.2000. p. 331-348.
CHENG, R., CASULLI, V. Evaluation of the UnTRIM Model for 3-D Tidal Circulation.Proceedings of the 7th International Conference on Estuarine and Coastal Modeling.2001. p. 628-642.
FORTUNA, F. O. Tecnicas Computacionais para Dinamica dos Fluıdos. Editora daUniversidade de Sao Paulo. 2000. Sao Paulo - SP.
FOX, R., MCDONALD, A., PRITCHARD, P. Introducaoa Mecanica dos Fluidos. Edi-tora LTC. 1998. Rio de Janeiro - RJ.
GILAT, A., SUBRAMANIAM, V. M etodos Numericos para Engenheiros e Cientistas.Editora Bookman. 2008. Sao Paulo - SP.
PRAMIU, P., RIZZI, R. L. Solucao Numerica do Modelo de Transporte de Substancias.Encontro em Computacao Aplicada - ECA. Universidade Estadual do Oeste doParana. Cascavel - PR. 2010.
RIZZI, R. L. Modelo Computacional Paralelo para a Hidrodinamica e para o Trans-porte de Substancias Bidimensional e Tridimensional. Universidade Federal do RioGrande do Sul. Tese de Doutorado em Ciencia da Computacao - Instituto de In-formatica. 2002. Porto Alegre - RS.
PIBID - Uma Interseção de Conhecimentos Entre a Realidade Escolar e a Universidade
Daniel Zampieri Loureiro1, Franciele Taís de Oliveira1
1Acadêmicos do Colegiado do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasilzampiieri,[email protected]
Resumo: Este trabalho tem por objetivo apresentar as atividades desenvolvidas pelos bolsistas do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência – PIBID, da matemática. Visando a iniciação à docência o projeto propõe debates e reflexões acerca de tópicos que interfiram nas questões do ensino e da aprendizagem na Educação Básica, assim como a inserção dos acadêmicos no âmbito escolar. Na prática, os acadêmicos bolsistas estão sendo inseridos em duas escolas da rede pública do município de Cascavel – Paraná. Destacamos que ensinar matemática, não é uma tarefa fácil, porém é necessário criar maneiras de inovar o ensino e buscar mostrar a real importância dessa área do conhecimento no dia-a-dia, para que assim não ocorra somente uma aprendizagem mecânica, e sim uma reflexão sobre o que se está aprendendo.
Palavras chaves: PIBID; Formação Inicial de Professores; Matemática.
1. Introdução
A Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE, atualmente conta com vinte e sete cursos de licenciaturas, nas áreas de Pedagogia, Matemática, Geografia, Letras, Enfermagem, Química, Filosofia, História, Educação Física, Ciências Biológicas e Ciências Sociais. Tendo em vista que a instituição é comprometida com as regiões em que está inserida – Oeste e Sudoeste do Paraná - e tem como meta a produção e socialização do conhecimento, a análise do projeto institucional do PIBID, aponta que o objetivo principal do mesmo é a valorização dos cursos de licenciaturas, o que entra em consonância com o subprojeto do Curso de Matemática.
A experiência tem mostrado que boa parte dos acadêmicos das licenciaturas abandonam o curso, e muitos que concluem optam por não atuar na área de formação. Nesse sentido a proposta do PIBID é envolver noventa acadêmicos dos cursos licenciaturas, especificamente dezoito acadêmicos do curso de Licenciatura Plena em Matemática, em atividades que lhes proporcionem instrumentalização para tratar de modo adequado os problemas inerentes ao processo de ensino-aprendizagem, que incentivarão os acadêmicos a assumirem a carreira docente e consequentemente contribuirão para a elevação da qualidade de ensino da escola pública.
Em dois mil e dez está acontecendo a terceira edição do projeto no país e a primeira na Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE, cabendo aos acadêmicos bolsistas desempenharem de maneira satisfatória suas atividades, almejando assim novas edições. O programa conta ainda com o financiamento da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES.
Tendo em vista a abordagem dada acima, este trabalho visa relatar e refletir sobre as atividades desenvolvidas pelos acadêmicos bolsistas do PIBID – Matemática, tanto na escola quanto na própria universidade.
2. O projeto
O Programa Institucional de bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) surgiu como uma nova proposta, que tem como um dos objetivos valorizar e incentivar o magistério e possibilitar aos acadêmicos dos cursos de licenciatura a participação em experiências metodológicas e práticas docentes inovadoras. Cabe ressaltar que há um interesse maior em preparar os acadêmicos bolsistas para seminários e grupos de estudos. O subprojeto apresenta de maneira mais minuciosa as práticas pedagógicas e atividades a serem realizadas nas instituições de ensino parceiras do PIBID, é importante citar que o projeto institucional propõe a inclusão dos acadêmicos de maneira direta à realidade escolar.
É proposto também pelo projeto institucional, atividades a serem desenvolvidas na universidade de maneira a apresentar a comunidade de forma geral as experiências dos acadêmicos bolsistas e propiciar trocas de experiências com outras instituições de ensino que apresentem ou não projetos iguais ou semelhantes ao PIBID, ressalta-se ainda que o projeto institucional prevê ações a serem cumpridas como: intervenção no ensino aprendizagem, seminários, elaboração de relatórios finais, relatórios semestrais a serem desenvolvidos pelos coordenadores de cada subprojeto, o que mostra que assim como os acadêmicos deverá haver um comprometimento por parte do coordenador do subprojeto tendo que os mesmos terão reuniões periódicas com a comissão PIBID/UNIOESTE, tal como os acadêmicos bolsistas. Além disso, também vem sendo desenvolvidas atividades no âmbito escolar, para que assim o acadêmico bolsista possa confrontar suas idéias com prática propriamente dita.
Referentes aos resultados pretendidos no subprojeto e projeto institucional pretende-se:
• Aumentar o número de interessados pelos cursos de licenciaturas, bem como incentivar a permanência dos ingressos na carreira docente, e além disso a darem continuidade em cursos de formação continuada;
• Preparar e produzir materiais e ferramentas que possibilitarão o contato e a discussão sobre o uso eficiente e adequado de materiais manipulativos em encaminhamentos metodológicos, visando enriquecer o processo de desenvolvimento dos conteúdos;
• Estreitar as relações da Universidade - UNIOESTE - com as redes públicas de ensino, visando ampliar os campos de estágio e a participação dos professores das escolas na formação dos licenciandos;
• Estimular o aluno a acreditar em si o no seu potencial, visando alterar as suas perspectivas de ensino na área de Matemática;
É importante ressaltar que as atividades estão sendo desenvolvidas concomitantemente na universidade e na escola.
Pretendem-se ainda neste projeto fazer uma articulação entre os conteúdos, de forma a enriquecer o processo de desenvolvimento dos mesmos, trabalhar uma abordagem por meio das tendências metodológicas em Educação Matemática – Resolução de Problemas, Etnomatemática, Modelagem Matemática, Mídias Tecnológicas, História da Matemática e Investigações Matemáticas - estabelecidas nas Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Paraná.
Propõe-se articular os Conteúdos Estruturantes com os conteúdos específicos em relações de interdependências que enriqueçam o processo pedagógico de forma a abandonar abordagens fragmentadas, como se os conteúdos de ensino existissem em patamares distintos e sem vínculos (PARANÁ, 2008, p. 62)
É importante fazer com que o processo de ensino-aprendizagem seja compreendido como re-elaboração dos saberes e das atividades de ensino, além de desenvolver nos alunos bolsistas familiaridade com o computador como ferramenta de trabalho, tanto na busca pela informação, quanto na formulação, simulação e resolução de problemas, utilizando softwares matemáticos.
Os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de resolução de problemas. Aplicativos de modelagem e simulação têm auxiliado estudantes e professores a visualizarem, generalizarem e representarem o fazer matemático de uma maneira passível de manipulação, pois permitem construção, interação, trabalho colaborativo, processos de descoberta de forma dinâmica e o confronto entre a teoria e prática. (PARANÁ, 2008, p. 65 - 66)
Em suma, pretende-se que a participação da Matemática neste projeto contribua para romper a distinção entre conhecimentos pedagógicos e conhecimentos específicos, e o mesmo entre teoria e prática. Tendo em vista que a disciplina será apresentada de forma diferenciada daquela meramente formalizada e técnica, proporcionando assim, uma aprendizagem multidisciplinar e significativa para os discentes.
3 . O trabalho na Universidade
A profissão docente é complexa e heterogênea, portanto não é possível realizar uma formação uniforme para todos os professores das diferentes áreas de conhecimento, pois há especificidades nas disciplinas e na cultura dos professores. Com base nisso, as atividades na Universidade são voltadas a analises textuais, mesas redondas, seminários e demais atividades acerca de tópicos que interfiram nas questões do ensino e da aprendizagem na Educação Básica na área da Matemática. Com o objetivo de refletir sobre o enredo de relações sociais que constituem a escola sobre a dinâmica social e as relações de poder que perpassam as instituições de educação e a vida coletiva, é fundamental que o professor consiga dominar questões de maior âmbito da realidade escolar, referente ao seu próprio papel, o papel do aluno e as formas de interação. Entre
elas: o significado sociopolítico do currículo, da escola e da educação escolar, sua organização, seus sujeitos e suas práticas.
O professor ideal é alguém que deve conhecer sua matéria, sua disciplina e seu programa, além de possuir certos conhecimentos relativos às ciências da educação e à pedagogia, e desenvolver um saber prático baseado em sua experiência cotidiana com os alunos. (TARDIF, 2002, p. 39)
A representação da tarefa educativa construída durante a formação inicial, frequentemente choca-se com a realidade complexa da prática, a vida cotidiana da escola e da sala de aula, na qual o professor tem que tomar decisões constantemente. Muitas vezes, eles não têm parâmetros de atuação aos quais se reportarem, principalmente se não tiveram uma formação que favoreça a reflexão sobre a sua atuação diária. Com base nisso as atividades propostas tem por objetivo criar uma fonte de informação secundária e formadores de opinião, no qual o acadêmico bolsista envolvido tenha onde se remeter frente a situações imprevistas em sala de aula.
Partindo do pressuposto que o acadêmico bolsista não pode ensinar o que não sabe e que além de conhecer matemática, é necessário que o mesmo traga consigo uma boa formação pedagógica, tem sido desenvolvidas atividades de leituras, debates, produções de textos, dentre outras.
Citamos aqui, aquelas que causaram maior impacto até o presente momento no grupo:
• Elaboração de uma resenha crítica do livro “A Formação Matemática do Professor: Licenciatura e prática docente escolar”: A idéia principal foi ampliar a visão do acadêmico bolsista em relação à distinção entre a matemática acadêmica e a matemática escolar, visto que essas duas linhas causam grande repercussão, pois a uma diferença significativa entre a matemática ensinada na Escola Básica e a ensinada nas instituições de ensino superior.
• Leitura e análise das DCEs: Foi sugerida uma leitura criteriosa, para preparação e elaboração de um seminário, pois além de ser uma atividade proposta no pré-projeto, as DCEs norteiam os trabalhos das escolas da rede pública, logo é imprescindível que os acadêmicos conheçam este documento, já que estão inseridos neste meio.
• Produção de uma carta resposta ao artigo “Mudar os professores ou mudar de professores” do colunista Gustavo Ioschpe: Nesta atividade foi proposta a elaboração de uma carta expondo uma opinião contrária ou a favor ao artigo, pois é fundamental que o futuro professor consiga organizar suas idéias, quando instigados frente a situações adversas do conhecimento, neste caso argumentar a respeito de como cada acadêmico vê a formação e posteriormente atuação docente.
• Análise de artigos publicados por bolsistas do PIBID de outras regiões: Esta tarefa possibilitou aos acadêmicos conhecer as atividades desenvolvidas por outros bolsistas envolvidos com o mesmo projeto em diferentes regiões do país, permitindo desta forma, reflexões e formulações de novas idéias, que venham a contribuir para um bom desenvolvimento do projeto.
Como objetivo de resgatar o bom desempenho dos acadêmicos do curso de Licenciatura Plena em Matemática, já que este tem uma evasão considerável, é ainda
proposto pela coordenadora do subprojeto que um dia da semana seja disposto para encontros de grupos de estudos, para que os acadêmicos bolsistas tenham oportunidades de confrontar conhecimentos e dificuldades, e cotando com a disponibilidade dos professores do curso possam sanar dúvidas inerentes as disciplinas.
4 .O trabalho na Escola
Por mais que tenha uma experiência de estágios atuantes e supervisionados em sua formação inicial, é quando ingresso na carreira que os acadêmicos dos cursos de licenciaturas se deparam, de fato, com todas as responsabilidades de sua atuação profissional. Passam por um período peculiar em que se diferenciam de um professor experiente, buscando fazer uma reflexão sobre a prática, sua própria ou a de outros. Sendo assim, integrar as ações do Projeto Institucional e do subprojeto da Matemática com as propostas das escolas envolvidas com o projeto foi o ponto de partida, considerando sempre uma parceria colaborativa, intervindo de forma estratégica para a abordagem dos problemas.
A inserção dos acadêmicos bolsistas no meio escolar foi de maneira direta, pudemos conhecer a estrutura da escola onde o trabalho esta sendo desenvolvido, cabendo ressaltar que uma das escolas conta com uma estrutura física bastante degradada, porém uma estrutura administrativa e docente extremamente comprometida com o ensino aprendizagem, que buscam deixar claro os valores de seus alunos e a importância que estes tem como cidadãos formadores de opiniões. Isso demanda flexibilidade das ações de formação, que não devem ser organizadas e propostas de uma única forma, mas de acordo com as necessidades de aprendizagem dos alunos.
No trabalho escolar é importante que o professor seja capaz de envolver os alunos em um leque de situações didáticas adequadas, isto é, situações que se colocam como problema e que, de algum modo, desafiam seus saberes anteriores, conduzindo a reflexão sobre novos significados e novos domínios de uso desses saberes. Nesse processo dialético, conjugam-se dois aspectos de aprendizagem: desenvolver uma diversificação dos significados concretos dos objetos matemáticos e uma progressiva integração desses significados numa forma abstrata, cujo sentido é potencializar as possibilidades de uso em novas situações concretas. (MOREIRA, 2005, p. 56)
Durante nossa prática em sala de aula, como bolsistas do PIBID, utilizamos os mais variados recursos didáticos, ficando a cargo de cada acadêmico bolsista identificar aquele que se encaixe de forma significativa em cada turma.
O Projeto na prática tem sido desenvolvido em duas escolas da rede pública do município de Cascavel – Paraná. Cada escola conta com a participação de nove acadêmicos bolsistas e uma professora supervisora (da própria escola), as atividades descritas nesse artigo são referentes ao Colégio Estadual Olinda Trufa de Carvalho. A instituição possui por si só uma cultura própria, o que influência na formação de seus membros. Mas também é constituída e construída pela identidade dos profissionais que dela fazem parte, cada indivíduo tem uma função coletiva socializadora e formadora.
Os acadêmicos envolvidos com o colégio já citado foram ainda divididos em subgrupos de três a quatro acadêmicos, sendo subdivididos da seguinte forma: quatro ficaram com os primeiros anos do ensino médio, três com os segundos anos e dois com
os terceiros anos. Para a elaboração das atividades levamos em consideração os apontamentos das dificuldades que os alunos possuem, as quais foram apresentadas pela professora supervisora, onde esta nos orientou ainda quais conteúdos dar maior ênfase. Pudemos ter ainda um bom contato com os alunos em nossos encontros que ocorrem nas quartas-feiras no período da tarde em contra turno com as atividades escolares dos mesmos.
Nas primeiras aulas como sugerido pela professora coordenadora demos inicio aos conteúdos a serem trabalhados, o Teorema de Pitágoras e Equações do Segundo Grau, notamos que os alunos apresentavam grande dificuldade mesmo nas operações mais simples, visto que estes conteúdos já haviam sido trabalhados em sala de aula. Quando instigados a realizar cálculos os alunos apresentavam grande dificuldade, isto apontou uma defasagem em relação à matemática básica. Percebendo isso abrimos espaço no término da aula para uma conversação, onde pudemos questionar os alunos sobre suas angustias, anseios e perspectivas em relação ao ensino e aprendizagem da matemática, mostrando que qualquer pessoa está sujeito ao erro, assim propusemos para os próximos encontros trabalhar com maior ênfase os conteúdos de matemática básica, ressaltamos que os alunos ficaram bem empolgados com a idéia.
Outro fato importante notado nos alunos é como estes se auto intitulam incapazes frente à exposição do conteúdo apresentado em sala de aula, em nossa conversa com os alunos percebemos que isso vai muito além dos portões do colégio é cada vez mais frequente encontrarmos alunos depressivos, moralmente abalados e muitas vezes estigmatizados como “burros” pelos próprios professores. Buscamos mostrar aos alunos que eles também são capazes de ingressar em boas universidades, é importante que percebam que o meio em que estamos inseridos nos influência somente até onde permitimos ser influenciados.
A participação no projeto nos permitiu ainda participar das atividades proposta pelo Núcleo Regional de Educação de Cascavel, como a capacitação pedagógica, a qual nos propiciou vivenciar momentos de debates e discussões entre professores e equipe pedagógica da escola onde desenvolvemos o projeto, bem como participar da reformulação do Projeto Político Pedagógico (PPP), permitindo dessa forma conhecer mais a fundo a realidade da escola e os objetivos que esta almeja para seus alunos.
O contato com a escola nos permite tentar aproximar a teoria da prática, pois ensinar matemática, não é uma tarefa fácil, e necessita de novas maneiras de ensino, para que assim, possamos mostrar ao aluno a real importância dessa área do conhecimento. Buscando desta maneira que não ocorra somente uma aprendizagem mecânica, e sim uma reflexão sobre o que se está aprendendo
5 . Considerações finais
O exercício de docência busca uma forma de reflexão, afim de que o professor possa sempre aprimorá-la, tendo como objetivo principal o aluno e seus interesses. Levando-se em conta a realidade em que atua de modo a adequar suas práticas e seus saberes conforme o contexto em que está inserido.
(...) a prática pode ser vista como um processo de aprendizagem por meio do qual os professores retraduzem sua formação e a adaptam à profissão, eliminando o que lhes parece inutilmente abstrato ou sem relação com a
realidade vivida e conservando o que pode servir-lhes de uma maneira ou de outra. (TARDIF, 2002, p. 53).
É importante que o professor dê condições para que o aluno possa construir seu conhecimento a partir do processo de ensino aprendizagem, conhecimentos que façam sentido a vida prática dos alunos, pois esperamos que nossos estes venham a intervir como cidadãos na sociedade, sendo críticos e formadores de opiniões.
A matemática é uma ciência que vem sendo afetada por uma continua expansão e revisão dos seus próprios conceitos, por isso não devemos apresentá-la como uma disciplina fechada, homogênea, abstrata ou desligada da realidade, e sim com ela, buscar auxiliar no processo de construção do conhecimento, e consequentemente na aprendizagem, de modo que a mesma se tone indispensável para o aluno.
Esperamos que o projeto nos permita auxiliar os alunos a sanar dificuldades em relação à conteúdos de matemática, buscando melhorar o desempenho destes em provas como o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Publicas) e também incentivar o ingresso destes em instituições de ensino superior e a prestarem concurso públicos. Cabe citar que o projeto esta em desenvolvimento e esperamos que de maneira geral até a conclusão deste tenhamos uma base sólida referente aos conteúdos básicos de matemática.
Aprender a valorizar o conhecimento, deve levar os alunos a buscá-lo por iniciativa própria; qualificar o que é relevante, inquirir, interrogar e investigar; arquitetar hipóteses, raciocinar logicamente, compreender; a estabelecer relações, concluir e generalizar; a adquirir confiança na própria capacidade de pensar. Os alunos devem aprender a aceitar e respeitar diferentes pontos de vista, a debater quando instigados frente a divergências, exercitando o pensamento crítico e reflexivo.
A educação de uma nova escola, exige um novo professor. O ensino tradicional não atende mais determinadas dificuldades que os alunos apresentam, surgindo então a necessidade de uma educação, onde o aprender a aprender faça parte dos alunos e professores. Inovar as metodologias passa ter um papel principal na transformação do processo de ensino aprendizagem.
Queremos ainda, que nossos alunos aprendam a respeitar e diferenciar os bens públicos de privados, convivendo assim com a diversidade em toda forma de cultura e repudiando toda e qualquer forma de descriminação, preconceito e injustiça.
Referências
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática
para Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008.
MOREIRA, P. C.; DAVID. M. M. M. S. A Formação Matemática do Professor:
Licenciatura e prática docente escolar. Belo Horizonte: Autêntica. 2005.
TARDIF, Maurice. Saberes Decentes e Formação Profissional. Petrópolis, RJ: Vozes,
2002.
Solucao numerica do problema de interacao fluido-estruturade cavidades acusticas bidimensionais pelo metodo das
diferencas finitas
Suzana P. Martos1 , Bruno Belorte2 , Claudia B. Rizzi3,Rogerio L. Rizzi4, Amarildo de Vicente5
1Discente do Curso de Engenharia Civil
2Discente do Curso de Ciencia da Computacao
3Docente do Colegiado do Curso de Ciencia da Computacao
4Docente Colegiado do Curso de Matematica
5Docente Colegiado do Curso de Matematica
Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas daUniversidade Estadual do Oeste do Parana - Cascavel - PR - [email protected], [email protected]
[email protected], claudia [email protected], [email protected]
Resumo. Neste trabalho e apresentada uma solucao numerica para o problema deinteracao fluido-estrutura, que e aplicado na modelagem da pressao envolvida noacoplamento entre a estrutura de uma cavidade acustica (reservatorio) e o corpo deagua contida em seu interior. A simulacao de tal forcante e de grande interesse pratico,visto que o comportamento estrutural de um reservatorio e significativamente alteradopelo campo de pressoes hidrodinamicas gerado pelo fluido. A solucao numerica doproblema de valor contorno (PVC) e obtida pelo metodo das diferencas finitas, e erealizada uma comparacao com as solucoes numerica e analıtica apresentadas na lite-ratura tecnica, de forma a verificar as rotinas implementadas e a acuracia do metodo.
Palavras Chaves. Interacao fluido-estrutura, pressao hidrodinamica, metodo dasdiferencas finitas.
1. IntroducaoOs problemas de interacao fluido-estrutura sao especificados como aqueles gerados porsistemas fısicos onde dois ou mais distintos meios contınuos interagem um com o outro.Esse tipo de situacao encontra-se presente em diversos eventos das Engenharias, comoplataformas marinhas, barragens, reservatorios de agua, torres, turbinas, entre outros, emostram o vasto escopo de possıveis aplicacoes desses sistemas [SOUZA, 2007].
Especificamente no caso da interacao fluido-estrutura na analise estrutural decavidades acusticas (reservatorios), sabe-se que modelos simplificados deste problemaencontram-se bem determinados na literatura tecnica, como por exemplo, problemas devalor de contorno ou problemas de valor inicial e de fronteira que possuem solucaoanalıtica (exata). Estes modelos que descrevem tal fenomeno sao compostos de condicoesde contorno de modo a permitir a obtencao da solucao exata que descreve o campo depressoes hidrodinamicas no contorno da cavidade acustica (reservatorio).
Por cavidade acustica entende-se por um sistema fısico que retem um determinadovolume de fluido em seu interior e se caracteriza pelo comportamento acustico em seuscontornos. Nelas, as partıculas apenas oscilam em torno de uma posicao de equilıbrio,permitindo que a energia se propague pelo meio sem perdas, nao havendo, portanto, es-coamento de fluido nesses sistemas fısicos [JUNIOR, PEDROSO, 2008].
As cavidades podem ter qualquer geometria que tenha sentido fısico, e normal-mente possuem formas geometricas ja definidas matematicamente, como retangulos,elipses, circunferencias e composicao destas formas para o caso 2D, ou ainda, elipsoides,prismas, esferas ou composicao destas para a modelizacao do caso 3D. Neste trabalhosera analisada o caso bidimensional.
Convem mencionar que o estudo dessa interacao dinamica entre um reservatorioe o fluido contido em seu interior e um problema de interacao fluido-estutura classi-ficado como um sistema acoplado. Por especificacao, sistemas acoplados sao aque-les aplicaveis para multiplos domınios e tais que existem variaveis dependentes queusualmente, mas nao sempre, descrevem diferentes fenomenos fısicos e nos quaisnenhum domınio pode ser resolvido quando separado um do outro, e nenhuma dasvariaveis dependentes pode ser explicitamente eliminadas na modelagem matematica[ZIENKIEWICZ, TAYLOR, 2000] .
Assim, o objetivo deste trabalho e, entao, a obtencao de um problema de valorcontorno para cavidades acusticas bidimensionais (2D), que por meio de uma analisemodal, possa representar o modelo fısico qualitativamente bem. Para a analise numerica,e utilizado o metodo das diferencas finitas por meio de implementacoes computacionaisestruturadas em ambiente Scilab. Os resultados numericos obtidos sao comparados comsolucoes analıticas e numericas apresentadas na literatura, com o objetivo de analisar aacuracia do metodo numerico utilizado.
2. Formulacao Matematica do Problema de Valor de ContornoA modelagem de cavidades acusticas (reservatorios) pertence a categoria de problemasque suportam simplificacoes consideraveis na formulacao matematica dos principais as-pectos que sao modelados no PVC [ZIENKIEWICZ, TAYLOR, 2000]. A figura 1 ilus-tra o caso bidimensional do problema geometricamente e de maneira simplificada, vistoo modelo real e tridimensional. A figura 1 tambem indica a equacao da pressao e
as condicoes de contorno do caso bidimensional, que posteriormente, sera formuladomatematicamente e discretizado.
Figura 1: Representacao Geometrica para o domınio do caso 2D.
2.1. Pressao Hidrodinamica
Mostra-se que o modelo matematico que determina a pressao hidrodinamica gerada de-vido a vibracao da agua dentro de um reservatorio bidimensional pode ser expresso pelaequacao de Helmholtz,
∂2p
∂x2+∂2p
∂z2=
1
c2∂2p
∂t2, (1)
onde p = p(x, z, t) e a pressao hidrodinamica acustica, t e o tempo, x e z sao as variaveisespaciais e c =
√/ denota a velocidade da onda acustica da agua, onde e o modulo
de compressao do fluido, e e a densidade para do fluido.
A equacao de Helmholtz e formulada a partir das equacoes de estado, deconservacao de massa e da conservacao da quantidade de movimento. Sua deducao podeser encontrada em [COSTA, et. al. 2008], onde se assume que a densidade varia muitopouco, de modo que pode ser considerada constante; que as velocidades sao suficiente-mente pequenas para se poder desprezar os efeitos da adveccao; e os efeitos de viscosi-dade devido a rotacao tambem podem ser desprezados.
E importante mencionar que a equacao (1) possui variacao temporal e exigiriaalem das condicoes de contorno, condicoes iniciais. Isso caracterizaria um problema devalor inicial e de contorno (PVIC). Entretanto neste trabalho, uma transformacao de (1)para o domınio da frequencia e realizada considerando que o campo de pressao variaharmonicamente ao longo do tempo. Assim, o problema so dependera das fronteiras eentao, tratar-se-a de um problema de valor de contorno (PVC).
2.2. Condicoes de Contorno
A adequada especificacao das condicoes de contorno de ambos os casos e essencial parabem determinar as forcas que agem no domınio de interesse.
2.2.1. Na superfıcie livre
A condicao de contorno na superfıcie livre e indicada na figura 1 por S1. Ao consideraro efeito das ondas na superfıcie da agua, para uma elevacao relativa a superfıcie media(figura 1), mostra-se que nessa fronteira vale [ZIENKIEWICZ, TAYLOR, 2000]:
∂p
∂z= −1
g
∂2p
∂t2, (2)
onde g e a aceleracao da gravidade.
Entretanto, ha uma condicao de contorno mais simples que nao considera o efeitodas ondas na superfıcie da agua, e e dada por [ZIENKIEWICZ, TAYLOR, 2000]:
p = 0, (3)
sendo esta a condicao de contorno (3) utilizada no desenvolvimento da solucao do PVCapresentado neste trabalho.
2.2.2. Na interface fluido-reservatorio: contorno rıgido
A condicao de contorno da regiao da interface fluido-estrutura do domınio e indicadana figura 1 por S2, S3 e S4. Supoe-se neste caso que a estrutura e solida e rıgida, naoocorrendo fluxo ou pressao passando nas direcoes normais as paredes do reservatorio.Nessa situacao mostra-se que a pressao normal na regiao das interface fluido-estrutura edada por:
∂p
∂n= 0, (4)
onde n indica a derivada parcial de cada condicao de contorno na direcao normal a in-terface a ser analisada. Analogamente, obtem-se as condicoes de contorno para S3 eS4. Assim, a equacao de Helmholtz (1) para o domınio fluido juntamente a condicao decontorno (3) e (4) indicada na figura 1, resulta no seguinte problema de valor de contorno:⎧⎨⎩
∇2p =1
c2∂2p
∂t2;
p = 0 em S1.
∂p
∂z= 0 em S2 e S4.
∂p
∂x= 0 em S3.
(5)
A solucao numerica deste PVC sera obtida pelo metodo das diferencas finitas.Nesta secao sera apresenta a solucao numerica do PVC (5) pelo metodo das diferencasfinitas. Para isso, e necessaria a discretizacao do problema.
Uma malha regular e utilizada na cavidade acustica como mostra a figura 2. Aaltura do reservatorio e dada por Lz na extensao do eixo Oz, e Lx o comprimento doreservatorio na direcao Ox. Cada ponto da malha apresentado na figura 2 possui uma
Figura 2: Discretizacao para a representacao geometrica do problema.
posicao indicada por (i, j), coluna e linha respectivamente, e para cada ponto sera encon-trado um valor de pressao. A figura 2 tambem indica as fronteiras S1, S2, S3 e S4, asquais sao as mesmas condicoes de contorno da figura 1.
Convem mencionar que a figura 2 apenas ilustra uma representacao da malhaequispacada utilizada para a discretizacao do domınio. Os experimentos numericos re-alizados e apresentados neste trabalho empregaram 30× 30 = 900 pontos.
2.3. Discretizacao
A equacao (1) do PVC (5) e definida no domınio do tempo. Assim, sera realizada umatransformacao para o domınio da frequencia da equacao de Helmholtz bidimensional,para uma analise modal, conforme justificativa apresentada no final da subsecao 2.1.Considerando que o campo de pressao varia harmonicamente ao longo do tempo, faz-se [JUNIOR, PEDROSO, 2008],
P (x, t) = p(x)e−i!t, (6)
e entao, tem-se que as derivadas primeira e segunda sao dadas por,
Pt = −i!p(x)e−i!t, e Ptt = −!2p(x)e−i!t.
Substituindo as derivadas primeira e segunda de (6) em (1) obtem-se,
e−i!t
(∇2p(x) +
!2
c2p(x)
)= 0.
Como e−i!t ∕= 0, entao
∇2p(x) +!2
c2p(x) = 0. (7)
A equacao (7) e valida para o interior do domınio fluido, onde p e o campo depressao associado a frequencia angular !.
2.3.1. Discretizacao da equacao da pressao
Para a discretizacao da equacao da pressao (7) serao utilizadas as aproximacoes dasderivadas parciais por diferencas centrais de segunda ordem [FORTUNA, 2000]:
∂2pi,j∂x2i
≈ pi+1,j − 2pi,j + pi−1,j
Δx2e
∂2pi,j∂z2j
≈ pi,j+1 − 2pi,j + pi,j−1
Δz2, (8)
Substituindo as aproximacoes (8) em (7), tem-se
pi+1,j − 2pi,j + pi−1,j
Δx2+pi,j+1 − 2pi,j + pi,j−1
Δz2+!2
c2pi,j = 0. (9)
Agora, multiplicando ambos os membros da equacao (9) por Δx2 e sabendo-seque a malha e equiespacada (Δx = Δz), obtem-se
pi+1,j + pi−1,j −(
4−Δx2!2
c2
)pi,j + pi,j+1 + pi,j−1 = 0. (10)
A equacao (10) e valida para o interior do domınio fluido.
2.3.2. Discretizacao das condicoes de contorno
a) Superfıcie livre: Na superfıcie livre (S1), adotou-se como condicao de contorno que apressao seja nula. Assim,
pi,j = 0.
b) Interface fluido-estrutura - fundo rıgido: A condicao de contorno S3 (4) e dis-cretizada como
∂pi,j∂zj
≈ pi,j+1 − pi,j−1
Δz= 0,
o que resulta em pi,j−1 = pi,j+1.
c) Interface fluido-estrutura - paredes do reservatorio: As condicoes de contorno S2e S4 sao iguais e discretizadas como
∂pi,j∂xi
≈ pi+1,j − pi−1,j
Δx= 0,
o que resulta em pi+1,j = pi−1,j .
2.4. Implementacoes e Resultados
A obtencao da solucao e realizada pelo processo de discretizacao aplicado as equacoesque governam o fluxo do fluido, como visto na secao anterior. Disto, resultam emequacoes lineares algebricas que necessitam de solucao. A equacao discretizada e apli-cada aos pontos da malha como na figura 2, onde cada ponto representa um valor depressao. O modelo nao tem discretizacao temporal, sendo assim a solucao e dada paraapenas um tempo, onde entao e realizada uma analise modal.
Para a obtencao da solucao numerica do problema, e necessario que se especifiquealgumas consideracaes fısicas e geometricas do problema, como: Lx = Lz = 10m e o
comprimento da extensao do reservatorio ao longo do eixo 0x e 0z indicado na figura 1; = 1000 Kg/m3 e a densidade da agua; c = 1500 m/s e a velocidade do som no fluido.
Este problema tambem possui solucao analıtica estabelecida como apresentada em[SOUZA, 2007]. Neste trabalho ela sera utilizada para fins de comparacao e validacao domodelo numerico e e dada por:⎧⎨⎩
p(x, z) = cos(nx
Lx
)cos
(mz
2Lz
);
n = 0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅ m = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅
! =
√(nc
Lx
)2
+(nc
2Lz
)2
,
(11)
onde ! e a frequencia de vibracao correspondentes aos modos m e n adotados, e p(x, z) ea solucao analıtica que descreve a pressao hidrodinamica gerada no interior do domınio.A discretizacao do PVC gera um sistema do tipo Ap + Ip = 0, onde A e a matriz doscoeficientes, p o vetor das incognitas, I denota a matriz identidade e = Δx2!2/c2.
Deve-se calcular do sistema de equacoes, utilizando a expressao analıtica quedetermina ! e os parametros fısicos definidos no ınicio desta secao, e por fim, resolver osistema que e equivalente a solucao do problema de valor de contorno original, de modoque se obtem os valores de ! que sao as frequencias naturais de vibracao e suas respec-tivas formas modais. Para solucao do sistema foi utilizada a funcao ja implementada emambiente Scilab de resolucao de sistemas, onde, sendo A uma matriz quadrada e naosingular e seja o sistema Ax = b, o vetor solucao e dado por A−1b.
Em (12) se tem uma representacao do sistema de equacoes com apenas nove pon-tos, visando ilustrar o sistema original resolvido que tem dimensao 30 × 30. Tal sistemafoi especificado pela discretizacao de uma malha equiespacada com 900 pontos e foi mul-tiplicado por -1 simplemente para obter uma forma apropriada a solucao.⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
4 −2 0 −2 0 0 0 0 0−1 4 −1 0 −2 0 0 0 00 −2 4 0 0 −2 0 0 0−1 0 0 4 −2 0 −1 0 00 −1 0 −1 4 −1 0 −1 00 0 −1 0 −2 4 0 0 −10 0 0 −1 0 0 4 −2 00 0 0 0 −1 0 −1 4 −10 0 0 0 0 −1 0 −2 4
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
p1,1p1,2p1,3p2,1p2,2p2,3p3,1p3,2p3,3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠− I
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
p1,1p1,2p1,3p2,1p2,2p2,3p3,1p3,2p3,3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= 0 (12)
A solucao numerica do problema e comparada com a solucao analıtica e os re-sultados obtidos sao apresentados. Os resultados correspondem ao modos de vibracaodesacoplados, isto e, modos em que n = 0 e m ımpar, tomados assim para fins decomparacao com os resultados analıticos apresentados em [SOUZA, 2007].
A figura (3) apresenta os resultados obtidos com a expressao para a solucaoanalıtica das frequencias, em rad/s. A expressao empregada e dada em (11).
Para se calcular e comparar o erro entre as solucoes - analıtica e numerica - dedeterminados modos de frequencia, tomou-se como metrica a diferenca entre a soma dassolucoes. A figura (4) apresenta os erros para os modos 0-1, 0-3, 0-5 e 0-7.
Figura 3: Frequencias analıticas em rad/s para a cavidade acustica 2D.
Figura 4: Tabela de erros para os modos 0-1, 0-3, 0-5 e 0-7.
Os resultados obtidos mostram uma boa acuracia numerica para este tipo deproblema. Os graficos sao apresentados na figura 5 e 6 mostram o campo de pressoeshidrodinamicas das solucoes analıticas e numericas dos modos de vibracao 0-1 e 0-5.
(a) (b)
Figura 5: Solucoes analıticas e numericas desacopladas para o modo 0-1.
(a) (b)
Figura 6: Solucoes analıticas e numericas desacopladas para o modo 0-5.
Deve-se ressaltar que os resultados nao foram normalizados, causando inversaodos modos 0-3 e 0-7 que foram testados, mas isso nao apresenta qualquer problema.
3. Conclusoes e Discussao
Este trabalho apresentou uma solucao numerica do problema de interacao fluido estruturade cavidade acusticas bidimensionais. O PVC que descreve tal fenomeno foi composto decondicoes de contorno de modo a permitir a obtencao da solucao que descreve o campo depressoes hidrodinamicas ao longo do domınio 2D. Apos o estabelecimento do PVC comsuas apropriadas condicoes de contorno, o problema pode ser discretizado via diferencasfinitas, de modo que se obteve uma aproximacao para a variavel de interesse do PVC.
Assim, de acordo com os resultados obtidos, e possıvel concluir que o metodo dasdiferencas finitas mostrou bons resultados para o problema estudado, pois as frequenciasde vibracao numerica converge para a solucao analıtica e se comporta de maneira muitosemelhante a resultados disponıveis na literatura tecnica, como em [SOUZA, 2007].
Como essa modelagem nao representa bem a situacao real do problema,devido as simplificacoes, trabalhos futuros tem como objetivo a obtencao de umproblema de valor inicial e de contorno (PVIC) mais apropriado, resultando em um mo-delo matematico bidimensional com discretizacao temporal, e posteriormente, um tridi-mensional, com condicoes de contorno que melhor representem o modelo fısico. Aposo estabelecimento de tal problema de valor inicial e de contorno, o problema pode sertambem discretizado via diferencas finitas, elementos finitos, ou outro metodo apropriado,de modo que se obtenha uma aproximacao para as variaveis de interesse do PVIC.
4. Agradecimentos
Agradecemos a Fundacao Araucaria e a Unioeste pelo apoio e pelo incentivo a pesquisa.
Referencias
BELORTE, B., MARTOS, S. P., RIZZI, R. L. Solucao Numerica do Problema deInteracao Fluido-Estrutura de Cavidades Acusticas pelo Metodo das DiferencasFinitas. Encontro em Computacao Aplicada. Cascavel, Brasil, 2010.
COSTA, et. al.. Simulacao numerica de radiacao sonora atraves dometodo de elementos de contorno. 2008. Acesso online em:http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxi cnmac/PDF//133.pdf.
FORTUNA, A. O. Tecnicas Computacionais para Dinamica dos Fluidos: conceitosbasicos e aplicacoes. Sao Paulo: Editora da Universidade de Sao Paulo. 2000.
JUNIOR, V. G. O., PEDROSO, L. J. Frequencias e modos acusticos de vibracao dereservatorios pelo metodo das diferencas finitas. Revista de Pesquisa Aplicada aEngenharia, Vol. 1, No. 1, 2008.
SOUZA, S. M. Contribuicao para uma metodologia de analise acoplada fluido-estruturaem cavidades acusticas com paredes flexıveis. Dissertacao (Mestrado em Estruturase Construcao Civil) - Faculdade de Tecnologia da Universidade de Brasılia, 2007.
ZIENKIEWICZ, O. C; TAYLOR, R. L. The finite element method. Vol. 01, 03. 5.ed.Butterworth-Heinemann, 2000.
A Irmandade Pitagórica
Patricia Camara Martins1
1Acadêmica da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Cascavel
Resumo. Esta pesquisa é dedicada a Pitágoras e à história inicial de sua escola. Pouco se sabe sobre ele ou sua seita com um grau de certeza, pois além de poucas fontes bibliográficas, seu nome está envolto em mitos, sendo difícil diferenciar o histórico do lendário. Não é o objetivo mostrar as descobertas e os conceitos matemáticos por ele descobertos, e sim enfatizar a vida em comunidade, vivida pelos seus seguidores.
Palavras chaves. Pitágoras, Pitagóricos, Pitagorismo, Seita Pitagórica
Pitágoras é sem dúvidas a figura mais famosa da história da filosofia antes de Sócrates e Platão. Seu nome está envolto em mistérios e lendas, tornando assim difícil separar o que é real do que é ficção.
Segundo Boyer (1974, p. 36), várias bibliografias de Pitágoras foram escritas na Antiguidade, mas se perderam. Kahn (2007, p. 21) afirma que as principais fontes sobre Pitágoras são as obras de Diógenes Laércio, Porfírio e Jâmblico. Ainda segundo Kahn (2007, p. 17) a obra moderna mais fundamental sobre o assunto foi Tradição e Ciência no Antigo pitagorismo, escrito por Walter Burkert2 em 1962, que relata o quão radicalmente a descrição tradicional da doutrina pitagórica foi alterada ou inventada pelos seguidores imediatos de Platão.
Kahn cita que na literatura da Antiguidade, Pitágoras é tido como o fundador da Matemática, da Música, da Astronomia e da Filosofia. Nas palavras de Jâmblico, ele foi o “príncipe e pai da filosofia divina” (JÂMBLICO, apud KANH, 2007, p. 16). Mas nem todos o aprovavam, nas palavras de Heráclito, “seu saber é grande, mas sua sabedoria é fraudulenta” (HERÁCLITO, apud KAHN, 2007, p. 16).
De fato é difícil separar história e lenda no que se refere ao homem, pois ele representava tantas coisas para o povo – filósofo, astrônomo, matemático, abominador de feijões, santo, profeta, milagreiro, mágico, charlatão. Que foi uma das figuras mais influentes é difícil negar, pois seus seguidores, seja iludidos, seja inspirados, espalharam suas crenças
2 Estudou a cosmologia e filosofia de Pitágoras, relatados por Aristóteles até os tempos de Filolau, em meados e fim do século V (KAHN, 2007, p. 17).
por quase todo o mundo grego (BOYER, 1974, p. 37).
Segundo a tradição, Pitágoras, filho de Mnesarco, nasceu por volta de 572 a.C. na ilha egéia de Samos, leste do mar Egeu. Fala-se também na possibilidade de ter sido discípulo de Tales, já que era apenas cinquenta anos mais novo que este e morava próximo à Mileto.
Conta a história que deixou sua terra natal e viajou por muitos anos, passando pela Síria (onde estudou com sábios fenícios), Monte Carmel, e Egito (onde morou alguns anos e adquiriu o saber dos sacerdotes egípcios). Com a invasão dos persas ao país, teria sido feito prisioneiro e lavado à Babilônia, onde permaneceu 12 anos. Retornara à Samos, que estava sendo governada por um tirano, Polícrates. Decide então estabelecer-se em Crotona, uma colônia grega situada ao sul da Itália. Apesar das especulações sobre suas viagens, nada se pode comprovar sobre sua vida antes da chegada à Crotona.
Em Crotona, Pitágoras deu início à sua escola, que tinha como ponto de partida estudar Matemática, Filosofia e Ciências naturais. A escola, por sua vez, também é conhecida como seita, irmandade, ou fraternidade pitagórica, pois além dos estudos, seguiam mandamentos e rituais até então secretos. Boyer (1974, p. 36) diz que tal escola era politicamente conservadora e tinha um código de conduta rígido.
Conforme Kahn (2007, p. 25), o candidato a seguir Pitágoras, doava todos os seus bens à irmandade e passava por uma primeira avaliação: era chamado à um salão, para ouvir. Ele deveria ouvir em silêncio os ensinamentos de Pitágoras. Apenas o ouvia, pois o mestre ficava atrás de uma cortina de linho, protegido da visão do iniciante. Se este passasse com êxito por essa etapa, ou seja, se mostrasse que detinha a capacidade de ouvir em silêncio, era convidado a ultrapassar a cortina, tornando-se assim um 'esotérico', podendo ver e falar com Pitágoras. “Pitágoras acreditava que a capacidade de manter o silêncio era o primeiro passo para a compreensão” (STRATHERN, 1998, p. 41).
Caso não fosse aceito, o candidato recebia em dobro sua propriedade, e era tratado como morto pela irmandade. Alguns autores dizem que era feito um enterro simbólico.
O conteúdo aprendido na escola era protegido por um voto de silêncio; os ensinamentos de Pitágoras não deveriam ser passados a não membros. A existência da comunidade ou seita pitagórica é confirmada, mas é difícil dizer qual pode ter sido o conteúdo científico ou filosófico ensinado na escola.
Sabe-se que que os pitagóricos eram fascinados por números. Pitágoras associava os números à magia, e para ele, estes eram a explicação do Universo. O fascínio religioso pelos números talvez tenha sido responsável pelas descobertas de novos conceitos matemáticos.
A mais famosa descoberta dos pitagóricos é sem dúvida o teorema que leva o nome de Pitágoras3. Sabe-se que os babilônios já usavam tal teorema, sabendo que valia para alguns triângulos retângulos. O feito dos pitagóricos foi provar que vale para todos. O que não se sabe é se foi realmente Pitágoras quem provou o teorema ou algum discípulo, pois era comum naquela época que todas as descobertas fossem atribuídas ao mestre.
Há lendas que garantem que Pitágoras sacrificou um boi (cem bois, segundo outras versões), em agradecimento à descoberta. Apesar de ser muitas vezes
3 Em qualquer triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
ridicularizado por sua seita, Pitágoras, com esse grande feito, escrevia um novo capítulo na história: a demonstração. Ele desenvolveu a ideia da prova, resultado de uma lógica desencadeada passo a passo. Foi um salto para a Matemática.
Os pitagóricos provaram o teorema, mas não deixaram registrada nenhuma prova. Euclides (360 a.C.-295 a.C.), mais de dois séculos depois, escreve em seu livro Elementos algumas demonstrações. Acredita-se que pelo menos uma delas é de origem pitagórica.
A ordem pitagórica era extremamente discreta acerca de seus conhecimentos matemáticos; estes eram considerados seus maiores segredos. Reza a lenda que alguns membros foram assassinados por revelarem conceitos matemáticos, ou até mesmo, os ritos da seita.
A tradição diz que, devido a intrigas políticas, talvez por não revelarem seus segredos, Pitágoras e seus seguidores foram obrigados a sair de Crotona. Estabeleceram-se então em Metaponto. Ali a sociedade secreta perdurou por algum tempo, até a morte de seu líder, por volta de 500 a.C. Nada se sabe a respeito da morte de Pitágoras. Alguns dizem que foi queimado, juntamente com outros pitagóricos, pelo povo enfurecido por não poder saber os segredos da seita.
Após a morte do fundador, o pitagorismo, ainda que enfraquecido, continuou a se propagar em todo o sul da Itália. Alguns autores citam que algumas casas comunitárias (onde os pitagóricos moravam) foram também incendiadas pela população descontente.
Com a desagregação das comunidades originais, o voto de silêncio parece ter perdido a força. Como cita Kahn (2007, p. 27), quando Arisóteles se propôs a colher informações sobre os pitagóricos em meados do século IV, conseguiu coletar uma longa lista de mandamentos ditados por Pitágoras, que incluíam os seguintes pontos:
• não comam feijões;
• não peguem migalhas que caiam da mesa;
• não comam galos brancos;
• não partam o pão, pois o pão une os amigos;
• não enterrem um morto em trajes de lã;
• coloquem sal sobre a mesa, como lembrete do que é justo.
Nos relatos de Aristóteles não encontrou-se nada referente à abstinência de carne, como sugerem alguns autores. Acredita-se que que o vegetarianismo teria sido adotado pelos pitagóricos posteriores, em função da crença da metempsicose4.
Outros mandamentos, preservados por autores posteriores, que também parece derivar da comunidade original:
• as pessoas deviam ter filhos, para deixar alguém para adoras os deuses;
• deviam ajudar a carregar, mas não a descarregar;
• não deviam expulsar a esposa.
4 Pitágoras pregava a metempsicose, ou seja, que quando a pessoa morre, sua alma migra para um ser vivo (humano, animal, ou até mesmo uma planta), dependendo de seu comportamento antes da morte.
Kahn (2007, p. 27) cita que no livro de Burkert ele adiciona alguns ditos misteriosos, extraídos de textos gregos:
• um terremoto é um encontro dos mortos;
• o trovão destina-se a amedrontar os que estão no Tártaro;
• o arco-íris é o raio brilhante do Sol;
• o mar são as lágrimas de Cronos;
• a Ursa Maior e a Ursa Menor são as mãos de Réa;
• a coisa mais justa é sacrificar, a mais sábia é o número;
• as figuras mais bonitas são o círculo e a esfera.
Dentre esses mandamentos também é citado o Sol e a Lua e uma tal 'Ilha dos Abençoados'.
“A maioria desses ditos e proibições parecem ter servido como práticas e senhas para assinalar a qualidade de membro da comunidade pitagórica, para confirmar a percepção de solidariedade grupal pela distinção de membros e não membros e talvez também para revelar o grau de iniciação” (KAHN, 2007, p. 27).
O pitagorismo perdurou cerca de 200 anos, contando com quase 300 membros. Embora não haja provas concretas da maioria dos feitos de Pitágoras e de seus discípulos, o famoso teorema, a introdução da prova matemática e a religião pitagórica, é impossível negar.
Referências
BOYER, C. B. História da Matemática. Trad.: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar d Blucher. 1974. p. 35-45.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad.: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp. 1997. p. 96-97.
FONTES, H. No passado da Matemática. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas - Instituto de Documentação – Serviço de publicações. 1969. p. 111-114.
GUEDJ, D. O Teorema do Papagaio. Trad.: Eduardo Brandão. São Paulo: Companhia das Letras. 1999. p. 104-122.
KAHN, C. H. Pitágoras e os pitagóricos: uma breve história. São Paulo: Edições Loyola. 2007. p. 09-56.
SINGH, S. O Último Teorema de Fermat. Trad.: Jorge Luiz Calife. Rio de Janeiro, São Paulo: Record. 2002. p. 28-49.
STRATHERN, P. Pitágoras e seu Teorema em 90 minutos. Trad.: Marcus Penchel. Rio de Janeiro: Jorge Zahar. 1998. 82 p.
Os Tres Seculos do Ultimo Teorema de Fermat
Talita Bogler Souza
1Academica do Curso de Matematica - Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas daUniversidade Estadual do Oeste do Parana
Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - Brasil
Resumo. O objetivo deste artigo e apresentar os aspectos historicos do Ultimo Teo-rema Fermat durante os tres seculos desde sua origem, mostrando as diversas tentati-vas de solucao ao longo do tempo, ate chegar a historia do Professor Andrew Wiles,que dedicou sua vida na demonstracao do teorema. Descreveremos um pouco do tra-balho de grandes matematicos que contribuıram com a resolucao do Ultimo Teoremade Fermat durante os seculos XVIII, XIX e no seculo XX, como Euler, Sophie Germain,Gabriel Lame, Augustin Louis Cauchy, Ernest Kummer, Taniyama e Shimura, GerhardFrey e Ken Ribet.
Palavras Chaves. Ultimo Teorema de Fermat, Curvas Elıpticas e Formas Modulares.
1. Introducao
Foi enquanto estudava o Livro Aritmetica de Diofanto (sec. III d.C.), em 1637, quePierre de Fermat, um matematico amador, encontrou uma serie de observacoes, problemase solucoes relacionadas ao teorema de Pitagoras e os trios pitagoricos. Brincando com aequacao de Pitagoras, Fermat criou uma equacao que nao tinha solucao. Na margem dolivro Fermat escreveu:
Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadra-toquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatemin duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationemmirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.
E impossıvel para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ouuma quarta potencia ser escrita como uma soma de dois numeros eleva-dos a quatro, ou, em geral, para qualquer numero que seja elevado a umapotencia maior do que dois ser escrito como a soma de duas potenciassemelhantes. Eu tenho uma demonstracao realmente maravilhosa paraesta proposicao, mas esta margem e muito estreita para conte-la. (SINGH,2010)
De acordo com Fermat nao exite um trio de numeros que satisfaca a equacao:
xn + yn = zn , para x, y e z ∈ Z e n ≥ 3.
Estava lancado o desafio que iria confundir e frustrar os matematicos mais brilhantesdo mundo por mais de tres seculos, que ficou conhecido como o Ultimo Teorema deFermat. Este problema instigou a imaginacao de muitos matematicos e as tentativas in-frutıferas de demonstracao levaram a grandes avancos no conhecimento da Matematica,especialmente na teoria dos numeros.
2. O Nascimento do Enigma
A Aritmetica que inspirou Fermat era uma traducao para o latim, feita por ClaudeGaspar Bachet de Meziriac, que se dizia ser o homem mais culto de toda Franca. AAritmetica continha mais de cem problemas, e para cada um Diofante dava uma solucaodetalhada. Enquanto estudava esses problemas e suas solucoes Fermat era levado a pensarem outras questoes mais sutis e enfrenta-las. Mas limitava-se a escrever o que achavanecessario para convencer a si mesmo de que tinha uma solucao e entao nao se importavaem registrar o resto da demonstracao.
Seu filho mais velho, Clement-Smuel, passou cinco anos reunindo as cartas eanotacoes de seu pai nas margens de sua copia da Aritmetica, e entao resolveu publicarestas anotacoes em uma edicao especial. Em 1670, ele apresentou sua Aritmetica de Dio-fante contendo observacoes de P. de Fermat. Ao lado do original grego e da traducao deBachet para o latim, estava quarenta e oito observacoes feitas por Fermat. (SINGH, 2010)
A medida que os seculos passavam, todas as observacoes foram demonstradas, umapor uma, mas o Ultimo Teorema de Fermat se recusava a revelar seu misterio. De fato, elee conhecido como o “ultimo”teorema porque ficou sendo a ultima observacao ainda porser demonstrada. Ao longo dos anos o problema foi ficando famoso, tanto que ganhou adistincao de ser o problema matematico com maior numero de demonstracoes incorretaspublicadas.
2.1. Fermat e o caso n = 4
Fermat publicou uma prova para n = 4, o expoente mais simples de lidar. Ele realizouisso introduzindo o metodo da descida infinita, que acabou sendo importante nas provasde muitos resultados da teoria dos numeros. A ideia e assumir que a equacao x4+y4 = z4
tem uma solucao para alguns inteiros positivos a, b, c, e mostrar que, em seguida, tem umasolucao para inteiros positivos u, v, w, com w < c. A repeticao deste processo ad infini-tum leva a uma contradicao, uma vez que introduz uma sequencia infinita decrescente denumeros inteiros positivos.(KLEINER, 2000) A demonstracao completa pode ser vistaem (EDWARDS, 2000).
O fato de que o Ultimo Teorema de Fermat vale para n = 4 restringe nossa atencaoao caso em que n e um numero primo ımpar. Veja que, primeiro, qualquer inteiro maiorque 2 e divisıvel por um primo ımpar ou por 4 e, em seguida, que podemos escrever aequacao
xmk + ymk = zmk
como
(xm)k + (ym)k = (zm)k
Isso mostra que uma solucao para o caso n = mk permite obter de imediato umasolucao para o caso n = k. Se n nao for primo, nos sempre podemos escolher afatorizacao de modo que k seja ou 4 ou um primo ımpar. Se ja sabemos que nao hasolucao nesses casos, nao pode haver uma solucao para n. Assim, o problema fica re-duzido aos casos em que o expoente e primo ou e igual a quatro. (GOUVEA, 1995)
3. Seculo XVIII
3.1. Euler e o caso n = 3
O genio do seculo XVIII, Leonhard Euler, foi quem fez o primeiro avanco em direcaoa prova do Ultimo Teorema de Fermat. Quando se deparou com o Ultimo Teorema deFermat, imaginou se nao poderia provar que uma das equacoes nao tinha solucao e entaogeneralizar o resultado para todas as outras restantes.
Euler tentou utilizar a prova do caso n = 4 como ponto de partida para con-struir uma demonstracao geral para todas as outras equacoes. Tentou por primeiro umademonstracao para n = 3. Em 1753, Euler divulgou em uma correspondencia que tinhaadaptado o metodo da descida infinita de Fermat e conseguira demonstrar com sucesso ocaso de n = 3. (SINGH, 2010)
Para fazer com que a prova de Fermat para o caso n = 4 cobrisse tambem o casode n = 3, Euler teve de incorporar o numero imaginario i, assim tapou as brechas nalogica e forcou o metodo da descida infinita a funcionar para o caso de n = 3. Masfracassou ao tentar fazer seu argumento valer para os outros casos englobados pelo UltimoTeorema de Fermat, infelizmente. Detalhes do trabalho de Euler podem ser encontradoem (EDWARDS, 2000).
4. Seculo XIX
4.1. Sophie Germain
A jovem francesa revigorou a busca pela demonstracao perdida do Ultimo Teoremade Fermat. Sophie Germain (1776 - 1831) tomou conhecimento do teorema apos se inter-essar pela teoria dos numeros. Trabalhou no problema durante varios anos e afinal chegouao ponto em que acreditava ter feito uma descoberta importante.
Ela tenta fazer uma abordagem geral do problema. Seu objetivo era dizer algo sobremuitos casos de uma so vez. Tomou como base um tipo especial de numero primo p demodo que (2p + 1) tambem fosse primo. Germain desenvolveu um argumento elegantepara demonstrar que provavelmente nao existem solucoes para xn + yn = zn para valoresde n iguais a esses primos de Germain. Uma lista de numeros primos foi verificada pormatematicos da epoca a fim de provar que x, y ou z poderiam nao ser multiplos de n eacabaram demonstrando que para aqueles valores particulares de n nao havia solucoes.Teorema 4.1. Se n for um numero ımpar primo e se 2n+ 1 e primo, entao xn + yn = zn
implica que x, y ou z e divisıvel por n. (EDWARDS, 2000)Teorema 4.2. Seja n um numero primo ımpar, se houver um numero primo p auxiliar comas seguintes propriedades:
1. xn + yn = zn ≡ 0 mod p implica que x ≡ 0, ou y ≡ 0, ou z ≡ 0 mod p, e2. xn ≡ n mod p e impossivel
se o Ultimo Teorema de Fermat for verdadeiro para n. (EDWARDS, 2000)
Em 1825 Gustav Lejeune-Dirichlet e Adrien-Marie Legendre provaram que o cason = 5 nao tinha solucao e ambos basearam sua prova e seu sucesso no trabalho de SophieGermain. Quatorze anos depois, a Franca produziu outro avanco. Gabriel Lame fezalguns acrescimos engenhosos ao metodo de Germain e conseguiu a demonstracao parao numero primo n = 7. (SINGH, 2010)
A descoberta de Germain para o Ultimo Teorema de Fermat foi sua maiorcontribuicao a matematica.
4.2. Gabriel Lame, Louis Cauchy e Ernst Kummer
Entao, 1847, Gabriel Lame, que tinha demonstrado o caso de n = 7 alguns anos antes,e Augustin Louis Cauchy, outro dos melhores matematicos de Paris, anunciaram que es-tavam a ponto de publicar uma demonstracao completa. A expectativa aumentou em abril,quando Cauchy e Lame publicaram detalhes vagos mas fascinantes de demonstracoes nojornal da Academia.
No dia 24 de maio foi feito um anuncio que acabou com todas as especulacoes. Masnao foi nem Cauchy nem Lame quem se dirigiu a Academia e sim Joseph Liouville.Liouville chocou sua audiencia ao ler o conteudo de uma carta do matematico alemaoErnest Kummer.
Kummer era um dos melhores teoricos dos numeros de todo o mundo. De acordo comele, o problema fundamental era que as demonstracoes de Cauchy e Lame dependiamdo uso de uma propriedade dos numeros conhecida como fatoracao unica. A fatoracaounica diz que so existe uma combinacao de numeros primos que, ao serem multiplicados,produzirao determinado numero. Por exemplo, a unica combinacao de numeros primosque produz o numero 18 e: 2× 3× 3
O fato de que a fatoracao unica e verdadeira para todos os numeros naturais e umelemento vital de muitas outras demonstracoes e hoje e chamada de teorema fundamentalda aritmetica.
Infelizmente, ambas as demonstracoes envolviam numeros imaginarios. E embora afatoracao unica seja verdadeira para os numeros naturais, ela pode se tornar falsa quandointroduzimos os numeros imaginarios, dizia Kummer. Em sua opiniao esta era uma falhafatal. Kummer tinha mostrado que a demonstracao completa do Ultimo Teorema de Fer-mat encontrava-se alem das abordagens da matematica da epoca. Era uma peca brilhantede logica matematica, mas um golpe devastador em toda uma geracao de matematicosque tivera esperancas de resolver o mais difıcil dos problemas. (SINGH, 2010)
5. Seculo XX
5.1. Premio Wolfskehl
Em 1908, o matematico Paul Wolfskehl legou um premio para uma prova do UltimoTeorema de Fermat. O premio, de 100 mil marcos, equivaleria a um milhao de dolares pe-los padroes atuais. Este veio a ser conhecido como o Premio Wolfskehl. Sua condicao era
que, se o premio nao fosse concedido ate 13 de setembro de 2007, nenhuma reclamacaoposterior seria aceita.
Parece que Wolfskehl tinha uma boa nocao da dificuldade do problema, dando aosmatematicos mais 100 anos para chegar a uma prova.
5.2. O Avanco com os Computadores
Com a Segunda Guerra Mundial surgiram os primeiros computadores. Com achegada das maquinas os casos mais difıceis do Ultimo Teorema de Fermat podiam serenfrentados com rapidez. Depois da Segunda Guerra Mundial, equipes de matematicose cientistas de computadores demonstraram o teorema para valoress de n ate 500, depoispara valores ate 1000 e 10000. Na decada de 1980, Samuel S. Wagstaff da Universidadede Illinois elevou o limite para 25000 e mais recentemente os matematicos ja podiamafirmar que o Ultimo Teorema de Fermat e verdadeiro para todos os valores de n ate 4milhoes. (SINGH, 2010)
Estas provas nao usou apenas a forca bruta dos computadores, mas eram uma misturade sofisticada matematica teorica combinada com o uso de sofisticados calculos. Entre-tanto, mesmo que os supercomputadores passassem decadas demonstrando um valor den depois do outro, eles nunca poderiam demonstrar para todos os valores de n. Portanto,nunca poderiam demonstrar o teorema. Tudo o que os computadores podiam oferecereram evidencias a favor do Ultimo Teorema de Fermat.
5.3. As Principais Personagens
Para termos uma ideia do que permitiu a prova do Ultimo Teorema de Fermat faremosum esboco (muito) breve de algumas definicoes a fim de mostrar a ligacao entre as curvaselıpticas e as formas modulares.
5.3.1. Curvas Elıpticas
As curvas elıpticas nao sao nem curvas, nem elipses, entretanto, receberam este nomeporque no passado eram usadas para medir o perımetro de elipses e os comprimentos dasorbitas dos planetas. Simplificadamente vamos definir curvas elıpticas como o conjuntode pontos que satisfazem um certo tipo de equacao polinomial. Considere uma equacaodo tipo
y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6,
onde os ai sao numeros inteiros. Nos queremos considerar o conjunto dos pontos(x, y) que satisfazem esta equacao. (GOUVEA, 1995) Uma curva E pode ser definida emR, em C e em Q, denotada, respectivamente, E(R), E(C) e E(Q). (FALTINGS, 1995)
Existe um polinomio ∆ = ∆(a1, a2, a3, a4, a5, a6) nos coeficientes ai tal queE e umacurva elıptica se e somente se ∆(E) 6= 0. O numero ∆ e chamado o discriminante dacurva E. Assim podemos fazer uma definicao formal.Definicao 5.1. Seja K um corpo. Uma curva elıptica sobre K e uma curva algebricadefinida por uma equacao do tipo
y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6,
onde os ai pertencem a K e satisfazem a condicao ∆(a1, a2, a3, a4, a5, a6) 6= 0.(GOUVEA, 1995)
Vamos focalizar nossa atencao no caso especial em que a equacao e da forma y2 =g(x), com g(x) um polinomio de grau 3 (assumindo que a1 = a3 = 0). Se r1, r2 e r3 saoas raızes do polinomio g(x), o discriminante da equacao y2 = g(x) e igual a
∆ = α(r1 − r2)2(r1 − r3)2(r2 − r3)2,
onde α e uma constante.
Precisamos ainda tornar essas curvas fechadas. Fazemos isso acrescentando um outroponto a curva, “um ponto no infinito ”, denominado ∞. Podemos agora definir umaoperacao no conjunto dos pontos de uma curva elıptica, isto e, uma maneira de “somar”dois pontos. Esta operacao torna a curva elıptica um grupo abeliano. O elemento neutrodeste grupo e o∞ e o inverso de (x, y) e (x,−y). (GOUVEA, 1995) (FALTINGS, 1995)
O fato de que qualquer curva elıptica tem uma estrutura de grupo abeliano nos permiteaprender muito sobre ele, estudando varios dos seus subgrupos. Um subgrupo interessanteE e o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas sao racionais E(Q). Um pontoP ∈ E(Q) corresponde a uma solucao da nossa equacao cubica em numeros racionais.(GOUVEA, 1995) (FALTINGS, 1995)
5.3.2. A Conjectura de Taniyama-Shimura e as Formas Modulares
A Conjectura de Taniyama-Shimura foi formulada por Taniyama em 1955 e subse-quentemente (1960), refinada por seu amigo e colega Shimura. Para expor a Conjecturade Taniyama-Shimura, precisamos primeiro definir o que e uma funcao modular.
Seja H = x + iy|y > 0 o semi-plano superior complexo, isto e, o conjunto dosnumeros complexos cuja parte imaginaria e positiva.
Definicao 5.2. Denotamos por Γ0(N) o conjunto de todas as matrizes 2× 2
(a bc d
)tais
que:
i) a, b, c, d sao inteiros;ii) o determinante ad− bc = 1;
iii) c e um multiplo de N .
Alem disso, este grupo atua no semi-plano superior tal que se z ∈ H , definimos(a bc d
)· z =
az + b
cz + d
Uma forma modular e uma funcao holomorfa F : H → C, que se transforma sob aacao de um dos grupos Γo(N). Especificamente, exigimos que exista um inteiro positivok tal que
F
(az + b
cz + d
)= (cz + d)kF (z)
para toda matriz(a bc d
)∈ Γ0(N)
Uma funcao satisfazendo todas estas condicoes se chama uma forma modular de
peso k sobre Γ0(N). O numero (N) e normalmente chamado o nıvel da forma modularF . (ADLER, 1994) (GOUVEA, 1995)
Isto tudo e bem estranho e complicado, entretanto, dentro da nossa compreensao,podemos dizer que um tipo especıfico de forma modular se interliga com outro tipo es-fecıfico de curva elıptica. Essa ligacao e extremamente poderosa, porque liga analise deum lado e algebra de outro. (GOUVEA, 1995)Conjectura 5.3. Conjectura Taniyama-Shimura. Dada uma curva elıptica y2 = Ax3 +Bx2 + Cx+D sobre Q, existem funcoes modulares nao constante f(z), g(z) do mesmonıvel de N tal que
f(z)2 = Ag(z)3 +Bg(z)2 + Cg(z) +D. (COX, 1994)
Assim, Taniyama diz que uma curva elıptica sobre Q pode ser parametrizada porfuncoes modulares. (COX, 1994)
Uma forma modular e definida por dois eixos, mas ambos os eixos sao complexos,com uma parte real e uma parte imaginaria, formando um espaco quadridimensional(com quatro dimensoes,xr,xi,yr, yi). Este espaco quadridimensional e chamado de espacohiperbolico, e e difıcil sua visualizacao.
No final da decada de 1960, hordas de matematicos testaram a conjectura Taniyama-Shimura. Se a conjectura fosse verdadeira, ela permitiria que os matematicos solu-cionassem problemas que tinham passado seculos sem serem resolvidos, abordando-osatraves do mundo modular. A grande esperanca era no sentido desta unificacao dos mun-dos elıptico e modular.(SINGH, 2010)
5.4. Gehard Frey e Ken Ribet
Em 1984, Gerhard Frey fez a afirmacao extraordinaria de que qualquer um quepudesse provar que a conjectura de Taniyama-Shimura era verdadeira tambem demon-straria imediatamente o Ultimo Teorema de Fermat.
Frey explorou o que aconteceria se o Ultimo Teorema de Fermat fosse falso, ou seja,se existisse pelo menos uma solucao. Seja A, B, e C uma solucao hipotetica tais que:
An +Bn = Cn
Atraves de uma serie habil de complicadas manobras, Frey modelou a equacao origi-nal de Fermat com sua solucao hipotetica para criar
y2 = x3 + (An −Bn)x2 − AnBn.
Esta e uma curva elıptica com a = An −Bn, b = 0 e c = −AnBn.
Ao transformar a equacao de Fermat em uma curva elıptica, Frey tinha ligado oUltimo Teorema de Fermat a conjectura de Taniyama-Shimura.
O argumento de Frey era o seguinte:
1. Se for verdade a conjectura de Taniyama-Shimura, entao toda equacao elıptica deveser modular.
2. Se toda equacao elıptica deve ser modular, entao a equacao de Frey nao pode existir.3. Se a equacao elıptica de Frey nao existe, entao nao podem existir solucoes para a
equacao de Fermat.4. Logo, o Ultimo Teorema de Fermat e verdadeiro!
Faltava uma demonstracao solida de que isto era de fato assim. Esta conjectura foiprovada por Ken Ribet, um professor da Universidade da California, em Berkeley. Depoisde dezoito meses de esforcos, Ribet finalmente demonstrou que a equacao elıptica deFrey nao e modular. Se alguem pudesse provar que toda equacao elıptica e modular,isto implicaria que a equacao de Fermat nao teria solucao e o Ultimo Teorema estariademonstrado. (SINGH, 2010)
Com isso podemos concluir o seguinte:Teorema 5.4. Suponha que a Conjectura Taniyama-Shimura seja verdadeira para todacurva elıptica semi-estavel. Entao o Ultimo Teorema de Fermat e verdadeiro. (GOUVEA,1995)
De fato, os matematicos agora poderiam atacar o Ultimo Teorema de Fermat adotandoa estrategia da prova por contradicao.
5.5. Andrew Wiles
Em 1975, Andrew Wiles comecou sua carreira como estudante de pos-graduacao naUniversidade de Cambridge. Durante os tres anos seguintes ele trabalhou em sua tese dePh.D. e passou por seu aprendizado matematico.
Seu supervisor, John Coates, decidiu que Wiles deveria estudar uma area damatematica conhecida como curvas elıpticas. Esta decisao se mostraria um ponto vitalna carreira de Wiles e lhe daria as tecnicas necessarias para uma nova abordagem doUltimo Teorema de Fermat.
Foi em 1986 que Wiles soube atraves de um amigo que Ken Ribet tinha demonstradoa ligacao entre Taniyama-Shimura com o Ultimo Teorema de Fermat.
Wiles sabia que para ter alguma esperanca de encontrar uma prova ele teria queprimeiro mergulhar completamente no problema. Assim, passou dezoito meses se famil-iarizando com cada elemento da matematica que fora usado ou que derivara das curvaselıpticas e das formas modulares. Abandonou todos os trabalhos que nao fossem rel-evantes para a demonstracao do Ultimo Teorema de Fermat e deixou de participar docircuito de conferencias e coloquios, continuando apenas a ministrar aulas para os estu-dantes de graduacao do departamento de matematica de Princeton. A partir do momentoem que embarcou na busca pela demonstracao, Andrew tomou a decisao de trabalhar emcompleto isolamento e segredo. A unica pessoa que conhecia seu segredo era sua esposa,Nada. (SINGH, 2010)
Nos anos seguintes, Wiles faria uma serie de descobertas extraordinarias, mas naopublicou nem discutiu nenhuma delas ate que sua demonstracao estivesse completa.
Em 1991, diante de alguns fracassos nos seus estudos, Wiles decidiu que deveriavoltar a circular de modo a ouvir os ultimos boatos do mundo matematico. Numa grandeconferencia em Boston sobre curvas elıpicas, Wiles tomou conhecimento de um estu-dante, chamado Matheus Flach, que estava aperfeicoando um metodo criado por Kolyva-gin, e parecia que este metodo era perfeito para o prolema. Passou a dedicar-se entao aodesenvolvimento de Kolyvagin-Flach.
Depois de sete anos de esforco intenso, Wiles acreditava que o fim estava proximo.Semana apos semana ele estava fazendo progresso. E foi inspirado por um trabalho deBarry Mazur, que Wiles conseguiu o que faltava para completar a sua demonstracao. Por
volta de maio de 1993, Wiles tinha completado a demonstracao da Conjectura Taniyama-Shimura e, consequentemente, o Ultimo Teorema de Fermat.
No final de junho do mesmo ano, em uma conferencia em Cambridge, Wiles decidiuanunciar ao resto do mundo a sua descoberta. A conferencia seria realizada no InstitutoIsaac Newton. O tıtulo das palestras de Wiles era “Formas Modulares, Curvas Elıpticas eRepresentacoes de Galois ”.
Muitos boatos circularam sobre o trabalho de Wiles e o que ele tinha para anunciar.Foram tres palestras. A cada dia aumentava a audiencia e a expectativa em cima doresultado. No dia 23 de junho, Andrew comecou sua terceira e ultima palestra. Todasas pessoas que contribuıram para as ideias por tras da demonstracao estavam presentes:Mazur, Ribet, Kolyvagin e muitos outros.
Ao final, apos encerrar a demonstracao com a declaracao do Ultimo Teorema de Fer-mat, Wiles disse: “Acho que vou parar por aqui ”. (SINGH, 2010)
Wiles submeteu seu trabalho a revista Inventiones Mathematicae. Seis juızes foramselecionados para examinar seu manuscrito. Nick Katz, um dos juızes, detectou um erro,que exigiu de Wiles que reforcasse sua demonstracao.
Depois de meses de muitas tentativas infrutıferas, Wiles convidou o professor RichardTaylor para lhe ajudar a consertar a demonstracao. Juntos, trabalharam por mais de umano ate conseguirem solucionar o problema.
No dia 25 de outubro de 1994 dois manuscritos foram divulagados: “Curvas ElıpticasModulares e o Ultimo Teorema de Fermat ”, por Andrew Wiles. (WILES, 1995) E “Pro-priedades Teoricas de Anel em certas Algebras de Hecke ”, por Richard Taylor e AndrewWiles. (TAYLOR; WILES, 1995)
A demonstracao de Wiles para o Ultimo Teorema de Fermat depende da verificacaode uma conjectura criada na decada de 1950. O argumento explora uma serie de tecnicasmatematicas desenvolvidas na ultima decada, algumas inventadas pelo proprio Wiles. Ademonstracao e uma obra-prima da matematica moderna, o que leva a conclusao de quea demonstracao de Wiles nao e a mesma de Fermat, pois certamente ele nao inventou asformas modulares, a conjectura Taniyama-Shimura e o metodo Kolyvagin-Flach seculosantes de todo mundo.
E se Fermat nao tinha a demonstracao de Wiles, o que e que ele tinha? Osmatematicos se dividem em dois grupos. Os ceticos acreditam que o Ultimo Teoremade Fermat foi o resultado de um raro momento de fraqueza de Fermat. Eles afirmamque, embora Fermat tenha escrito “eu tenho uma demonstracao realmente maravilhosa ”,ele de fato, so tinha uma demonstracao equivocada. Ja outros matematicos, os otimistasromanticos, acreditam que Fermat teria uma prova genuına. O que quer que tenha sidoesta prova, ela teria sido baseada na matematica do seculo XVII, e teria um argumentotao astucioso que escapou a todos, de Euler a Wiles.
Embora Wiles tenha recorrido a metodos do seculo XX para resolver o enigma doseculo XVII, ele conquistara o desafio de acordo com as regras do comite Wolfskehl. Nodia 27 de junho de 1997, Andrew Wiles recebeu o Premio Wolfskehl no valos de 50 mildolares. O Ultimo Teorema de Fermat fora oficialmente provado.
Nas palavras de Wiles:
“Eu tive o raro privilegio de conquistar, em minha vida adulta, o quefora o sonho da minha infancia. Sei que este e um privilegio raro, mas sevoce puder trabalhar, como adulto, com algo que significa tanto para voce,isto sera mais compensador do que qualquer coisa imaginavel. Tendo re-solvido este problema, existe um certo sentimento de perda, mas ao mesmotempo ha uma tremenda sensacao de liberdade. Eu fiquei tao obcecado poreste problema durante oito anos, pensava nele o tempo todo - quando acor-dava de manha e quando ia dormir de noite. Isto e um tempo muito longopensando so em uma coisa. Esta odisseia particular agora acabou. Minhamente pode repousar ”. (SINGH, 2010)
Referencias
ADLER, A. Fermat’s last theorem: Lecture 1. July 1994.
COX, D. A. Introduction to fermat’s last theorem. January 1994.
EDWARDS, H. M. Fermat’s Last Theorem, A Genetic Introduction to Algebraic NumberTheory. New York - USA: Springer-Verlag, 2000.
FALTINGS, G. The proof of fermat’s last theorem by r. taylor and a. wiles. Notices of theAMS, v. 42, n. 7, p. 743 – 746, July 1995.
GOUVEA, F. Q. Uma demonstracao maravilhosa. Matematica Universitaria, n. 19, p.16–43, Dezembro 1995.
KLEINER, I. From fermat to wiles: Fermat’s last theorem becomes a theorem. Elementeder Mathematik, v. 55, p. 19–37, 2000.
SINGH, S. O Ultimo Teorema de Fermat. 17a edicao. ed. Rio de Janeiro: Editora Record,2010.
TAYLOR, R.; WILES, A. Ring-theoretic properties of certain hecke algebras. Annals ofMathematics, n. 141, p. 553 – 572, January 1995.
WILES, A. J. Modular elliptic curves and fermat’s last theorem. Annals of Mathematics,n. 141, p. 443 – 551, January 1995.
Equacoes de Ondas nao lineares com condicoes de fronteiranao homogeneas
Andre Vicente1
1CCET - Universidade Estadual do Oeste do Parana - 85819-110 - Cascavel - [email protected].
Resumo. Neste trabalho apresentamos resultados de existencia e unicidade desolucao global forte para um problema nao linear envolvendo a equacao de Carriersobre domınios limitados, ou seja, a equacao
utt −M
(∫Ωu2 dx
)∆u + ϕ(ut) = 0 em Ω× (0,∞),
onde Ω ⊂ Rn, n = 2, 3 e um aberto, limitado e bem regular; ∆ =∑n
i=1∂2
∂x2i
e o ope-
rador de Laplace; M : R+ → R+, ϕ : R→ R sao funcoes dadas. Sobre uma parte dafronteira consideramos as condicoes de Dirichlet e sobre o restante condicoes que gene-ralizam as condicoes de fronteira da acustica. A equacao de Carrier foi introduzida naliteratura em [2] e descreve os movimentos transversais de uma corda elastica. Trata-mos aqui uma classe de problemas com fronteira nao localmente reagente que genera-lizam as condicoes de fronteira da acustica introduzidas por Beale-Rosencrans [1].
Condicoes de Fronteira da Acustica sao descritas em Morse-Ingard [4]. Do pontode vista da Analise Matematica foi inicialmente tratado, como dito acima, em Beale-Rosencrans e sua formulacao baseia-se no fato de considerar um fluido confinado nointerior de um domınio do R3, o qual esta sujeito ao movimento de ondas acusticas,desta forma este fluido exerce pressao sobre a fronteira a qual reage localmente. Ageneralizacao estudada aqui considera que ha interacao entre os pontos da fronteira, eneste caso e chamada de nao localmente reagente.Finalmente, utilizando as tecnicas de Nakao [5] provaremos tambem a estabilidadeassintotica da solucao do problema, ou seja, mostraremos o decaimento exponencialda energia associada a solucao do problema.
Palavras Chaves. Equacoes de ondas; Condicoes de Fronteira da Acustica.
Referencias
[1] Beale, J. T.; Rosencrans, S. I. Acoustic Boundary Conditions. Bull. Amer. Math. Soc.,Vol 80, Number 6, 1974, p. 1276-1278.
[2] Carrier, G. F. On the Nonlinear Vibration Problem of the Elastic String. Bull. Quart.Appl. Math., 3, 1945, p. 157-165.
[3] Frota, C. L.; Goldstein, J. A. Some Nonlinear Wave Equations With Acoustic BoundaryConditions. Journal of Differential Equations, 164, 2000, p. 92-109.
[4] Morse, P. M. ; Ingard, K. U. Theoretical Acoustic. McGraw-Hill, New York, 1968.
[5] Nakao, M. A Difference Inequality and its Application to Nonlinear Evolution Equations.Journal Math. Soc. Japan, Number 4, 1978, p. 747-762.
A Matemática do jogo Bozó
Diogo Leandro Piano¹, Jean Sebastian Toillier²
¹Acadêmico do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná,
²Professor da Rede Estadual de Ensino- Itaipulândia- Pr
Resumo: O presente artigo tem por objetivo mostrar que se pode desenvolver o raciocínio lógico e a criatividade no estudo do conteúdo de proporcionalidade, tendo como método de ensino a utilização do jogo chamado Bozó. Este jogo se utiliza de dados para sua prática, sendo que os mesmos são considerados símbolos da proporcionalidade e também dos jogos de azar. Além do jogo Bozó, este artigo compreende a história dos dados e também algumas outras possibilidades de utilização de jogos para a prática em sala de aula. A utilização de jogos no ensino de matemática deixa a prática mais atrativa e muitas vezes traz até melhor compreensão ou assimilação pelos alunos do conteúdo trabalhado.
Palavras-chave: Bozó, Probabilidade, Jogos Matemáticos.
• Introdução
O uso de jogos nas aulas de Matemática é uma boa ferramenta para o professor desenvolver com o aluno ideias importantes sobre os conteúdos matemáticos. Por meio de atividades lúdicas e resolução de problemas relacionados ao jogo, os alunos terão maior percepção sobre a aplicação de determinados conteúdo, facilitando a sua aprendizagem.
O jogo Bozó é uma forma diferenciada de relacionar o uso de probabilidades com dados. Por meio desse jogo de dados, o estudo das probabilidades pode ser mais atrativo ao aluno, desenvolvendo o raciocínio lógico, além de aguçar o seu pensamento matemático.
•A história dos dados
Os dados são instrumentos de jogos usados atualmente e também um dos mais antigos. Eles são possivelmente o componente mais antigo usado pelo homem para jogar. Ao longo da História, assumiram várias formas e foram feitos de diferentes materiais. Seus primeiros modelos eram diferentes dos dados atuais, sendo utilizadas conchas, pedaços de madeira, ossos, varetas, pedras, chifres, dentes, marfim, argila, porcelana, cristal, mármore enfim, qualquer material e meio que pudesse diferenciar um lado de outro conforme (Alvarenga). Em geral são lançados com a mão ou com copos (Figura 1).
Figura 1. Copos usados para o lançamento de dados.
Os dados possuem neles determinadas instruções. O dado mais clássico é o cúbico, gravado com números de um a seis, no qual as faces opostas somam 7. O Bozó, o Gamão, o Ludo, Pôquer de Dados, General, Yam e Banco Imobiliário são exemplos de jogos com dados cúbicos.
Existem também dados de duas faces representados por moedas e ossos como os dados do jogo Senet (Figura 2) encontrado na tumba de Tutankamon que tinham formas de dedos, inclusive com as unhas pintadas.
Figura 2. Dados do jogo Senet.
<http://www.jogos.antigos.nom.br/dados.asp>
Os dados de três faces são iguais aos dados clássicos de seis faces, mas com apenas três números, sendo cada um repetido duas vezes.
O Jogo Real de Ur, encontrado em túmulos reais da antiga Ur, antiga Babilônia, é um exemplo de jogo em que se utiliza dados com quatro faces. Nesse jogo são utilizados dados em forma de pirâmide de quatro faces, que tem dois de seus vértices marcados (Figura 3). A exemplo do jogo Senet, ele mostra o desenvolvimento tanto da sociedade babilônica como a do Antigo Egito, sociedades que eram ricas, cultas, com grandes conhecimentos matemáticos, astronômicos e em engenharia, com todos os elementos necessários, portanto, para a criação de um jogo de tabuleiro envolvente e inteligente, o que mostra que é preciso uma sociedade rica e com tempo e dinheiro ociosos para investir em diversão. Outro exemplo de materiais utilizados como dados de quatro faces é o astrágalo que é um osso encontrado entre o calcanhar e o carpo de cabras e ovelhas, sua forma faz com que ele possa cair em 4 posições diferentes: o lado plano, o côncavo, o convexo e o sinuoso. Os astrágalos eram conhecidos pelos povos asiáticos e mediterrâneos e usados, por exemplo, para se jogar o Ludus Duodecim Scriptorum, ou Jogo das 12 Linhas, um ancestral romano do gamão.
Figura 3. Dados do Jogo Real de Ur.
<http://www.jogos.antigos.nom.br/dados.asp>
Os dados de 12, 14 e 20 faces eram usados pelos soldados romanos, feitos de chumbo. Há alguns exemplares expostos no Museu Britânico. Existem ainda outros formatos de dados poliédricos.
Os dados sempre estiveram presentes na cultura de vários povos. Um exemplo disso foi no início da Idade Média, quando a Igreja proibiu que os eclesiásticos usassem dados, sendo que Carlos Magno estendeu a proibição a todos os povos do Império. O jogo era comparável ao alcoolismo e passível de excomunhão.
•Probabilidades e dados
3.1 Uma breve história das probabilidades
O estudo de probabilidades evoluiu durante os anos e um dos fatores que ajudaram nesse desenvolvimento foram os jogos de azar, principalmente os jogos que usam dados.
Os principais estudos sobre probabilidades começaram apenas na Idade Média com o matemático e jogador italiano Jerónimo Cardano (1501-1576). Ele estudou a probabilidade de vencer jogos de cartas e de dados e publicou os resultados no livro chamado “Liber de Ludo de Aleae” (O livro dos jogos de azar – 1526). Cardano foi o primeiro a escrever que a chance de tirar um, três e cinco em um arremesso de dados é a mesma de tirar dois, quatro e seis, escrevendo um argumento teórico para calcular as probabilidades.
Pascal (1623-1662) e Fermat (1601-1665) foram outros matemáticos que estudaram probabilidades trocando correspondências sobre jogos de azar propostos por Chevalier de Méré.
Em 1657 Christian Huygens (1629-1695) escreveu o primeiro tratado formal sobre probabilidades, o que incentivou Jakob Bernoulii (1654-1705) a escrever um livro dedicado apenas a teoria das probabilidades, reescrevendo trabalhos de Huygens sobre jogos de azar, sobre permutações e combinações e sobre o teorema de distribuições binomiais de Bernoulli.
Ao longo do século XVIII e XIX outros matemáticos como Laplace, Gauss, Poincaré, Poisson, entre outros ajudaram no estudo de probabilidades. Em 1933, Andrei Kolmogorov apresentou uma axiomatização rigorosa e abstrata usando a teoria dos conjuntos, iniciando a etapa moderna da teoria de probabilidades.
3.2 Alguns conceitos de probabilidades
O lançamento de dados pode ser considerado um experimento aleatório, pois apresenta resultados imprevisíveis entre os resultados possíveis. As opções quando lançamos um dado são os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Esses valores correspondem ao espaço amostral (S), ou seja, todos os resultados possíveis desse experimento.
Quando jogamos um dado o resultado 4 pode acontecer. Esse acontecimento é chamado de evento, pois pode ocorrer outras vezes. Ou seja, evento é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório.
A probabilidade de um evento A de um espaço amostral finito (S), é a razão entre o número de elementos de A e o número de elementos de S. Dessa forma, temos:
•n(A) o número de elementos de A;
•n(S) o número de elementos de S;
•P(A) a probabilidade de ocorrer A.
Assim: .
Essa probabilidade pode ser expressa em forma de fração, decimal ou como porcentagem:
ou .
Por exemplo a probabilidade de sair o número 4 no lançamento de um dado é de
.
Um evento impossível tem probabilidade 0 e um evento certo tem probabilidade 1.
Quando lançamos dois dados um não influencia no resultado do outro. Dessa maneira temos eventos independentes, pois a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa. Então o cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento simultâneo é dada por:
.
Assim ao lançarmos dois dados e se quisermos obter o resultado 1 em cada dado a
probabilidade é dada por: .
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles em que a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Por exemplo, a probabilidade de se tirar 1 ou 3 no lançamento de um dado, é dada por:
•O jogo Bozó
O jogo Bozó é um jogo que envolve dados e é preciso ter estratégia e sorte. Sorte, pois serão lançados cinco dados simultaneamente e estratégia para fazer a melhor combinação.
Este jogo é semelhante a outros jogos como o Yam, Yatch e o General, sendo conhecido no Brasil principalmente no Mato Grosso do Sul e Mato Grosso, onde é jogado tanto pela população urbana quanto indígena.
O Bozó e jogado com cinco dados, um tabuleiro e um copo. Ele pode ser jogado em duas, três ou mais pessoas. Cada jogador lançará os cinco dados de uma só vez utilizando o copo que não pode ser transparente. Cada participante poderá fazer até três lançamentos de dados por rodada, fazendo a melhor combinação dos resultados. Os resultados são marcados no tabuleiro que cada jogador confeccionou. Após todas as jogadas marcadas somam-se os pontos e vence quem obtiver a maior pontuação.
4.1 Regras
•O inicio do jogo poderá ser decidido entre os participantes;
•Cada jogador poderá fazer três tentativas em seqüência, podendo parar quando conseguir a pontuação que lhe convier;
•Quando jogar o dado pela primeira vez, o jogador poderá separar os dados que lhe convém e jogar somente os dados que sobraram. Isso poderá ser feito também na segunda tentativa;
•Antes de o jogador ver sua jogada, ou seja, antes de levantar o copo, ele pode pedir BAIXO, fazendo isso, servirá somente as faces de baixo do dado, por isso, o Bozó não pode ser jogado com um copo transparente;
•Cada jogada tem uma pontuação diferente:
•AS – com a face 1 dos dados, poderá obter de 1 até 5 pontos;
•DUQUE – com a face 2 dos dados, poderá obter de 2 até 10 pontos;
•TERNO – com a face 3 dos dados, poderá obter de 3 até 15 pontos;
•QUADRA – com a face 4 dos dados, poderá obter de 4 até 20 pontos;
•QUINA – com a face 5 dos dados, poderá obter de 5 até 25 pontos;
•SENA – com a face 6 dos dados, poderá obter de 6 até 30 pontos;
•FÚ – com duas faces iguais, mais outras três faces iguais, obterá 20 pontos;
•SEGUIDA – cinco faces em seqüência, obterá 30 pontos;
•QUADRADA – com quatro faces iguais, mais uma diferente, obterá 40 pontos;
•GENERAL – com as cinco faces iguais, obterá 50 pontos;
•BOCA é quando o jogador consegue na primeira tentativa, marcar nas casas do FÚ, SEGUIDA, QUADRADA e GENERAL, ganhando assim cinco pontos de bônus;
•Cada jogador marca no seu tabuleiro a pontuação obtida (Figura 4 e Figura 5);
Figura 4. Tabuleiro. Figura 5. Respectiva pontuação e valores adicionais por jogada entre parênteses.
•Quando o competidor não tiver opção de marcação de pontos, ele terá que eliminar uma casa que não esteja pontuada, perdendo o direito de marcar os pontos nesse espaço;
•O jogo termina quando todas as casas forem preenchidas;
•Ganha o jogo quem obtiver a maior pontuação.
•Aplicação do jogo Bozó em sala de aula
O jogo Bozó tem potencial para ser usado como um recurso no ensino de probabilidades. A sua prática possibilita o desenvolvimento de raciocínio e de questionamentos sobre o cálculo de probabilidades, a partir da resolução de problemas.
Segundo Lopes
O jogo deve ser olhado como um elemento que pode disparar o processo de construção do conhecimento e deve expressar aspectos-chave do tópico matemático que se deseja estudar. Assim o jogo é utilizado como um ponto de
partida e um meio para se ensinar matemática (LOPES, 2006, p. 1).
O jogo Bozó pode ser usado para introduzir o conteúdo probabilidades, além de ser uma forma de desenvolver o raciocínio lógico, dedutivo, indutivo, atenção e concentração importantes para o aprendizado de Matemática.
Primeiramente, esse jogo pode ser ensinado aos alunos sem a aplicação dos conteúdos matemáticos, apenas para eles se familiarizarem com as regras e possíveis estratégias. A partir do momento que os alunos conseguem atingir certa afinidade com esses aspectos, pode-se incentivá-los a pensar nas melhores escolhas em determinadas jogadas.
Esse jogo tem caráter investigativo, podendo ser abordados questionamentos sobre as possíveis jogadas. Além disso, a partir do momento que os alunos estiverem familiarizados com o jogo poderão ser trabalhados tópicos de probabilidade, como, espaço amostral, evento, probabilidade de ocorrer um evento, entre outros.
Alguns questionamentos poderão ser levantados entre os alunos, por exemplo:
•Qual a probabilidade de ocorrer um Fú?
•Qual a probabilidade de obter um General?
•Se em dois lançamentos foram obtidos dois 4 e dois 5, qual a chance de obter um Fú? E de não obter?
•Se em duas jogadas foram tirados dois 1, qual a probabilidade de conseguir uma Quadrada no último lance? E um General?
Com atividades semelhantes a essas podem ser abordados vários tópicos sobre probabilidades, possibilitando ao aluno uma melhor compreensão do conteúdo, além de trabalhar de uma forma mais atraente e diferente.
•Conclusão
O estudo de probabilidades na grande maioria dos casos está relacionado a dados e a moedas, mas nem sempre aparece de uma forma atrativa aos alunos. O jogo Bozó é uma forma de apresentar esse importante conteúdo matemático por meio de atividades diferenciadas usando os dados.
Há milhares de anos os jogos fazem parte da cultura de vários povos, muitos deles utilizando dados. Povos importantes tiveram suas formas de diversão e com o passar dos anos, novos jogos eram criados. Com isso, o estudo de probabilidades foi desenvolvendo a partir dessas atividades.
O Bozó por meio de atividades simples ajuda no desenvolvimento de vários conceitos relacionados a probabilidades, como eventos, espaço amostral, entre outros, além de desenvolver o raciocínio lógico, dedutivo e indutivo.
•Referências bibliográficas
Alvarenga, Mauro Celso Mendonça de. Os dados. Disponivel em <http://www.jogos.antigos.nom.br/dados.asp>.Acesso em 18 de setembro de 2010.
BERTOLO, L. A. Probabilidade. Prof Bertolo. Disponível em: <http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/Probabilidades.pdf> Acesso em 18 de setembro de 2010.
DADO. Wikipédia. Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Dado> Acesso em 18 de setembro de 2010.
GARCIA, N. L. Disponível em <http://www.ime.unicamp.br/~nancy/Cursos/me104/prob1.pdf> Acesso em 20 de setembro de 2010.
Início da matematização das probabilidades. 20 de fevereiro de 2001. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2c.html> Acesso em 19 de setembro de 2010.
JOGO REAL DE UR. Jogos Antigos. Disponível em <http://www.jogos.antigos.nom.br/jrealur.asp> Acesso em 11 de setembro de 2010.
Disponível em: LOPES, C. E.; MEIRELLES, E. Estocástica nas séries iniciais. In: Anais do XVIII Encontro Regional de Professores de Matemática. Mini-curso. Campinas, São Paulo, 20 e 21 de maio de 2005.
Acesso em: LOPES, J. M. O Ensino de probabilidade através de um jogo de dados e da metodologia de resolução de problemas. In: Anais do IX ENEM. Mini-curso. Belo Horizonte, Minas Gerais, 18 a 21 de julho de 2007.
OS DADOS. Jogos antigos. Disponível em <http://www.jogos.antigos.nom.br/dados.asp> Acesso em 11 de setembro de 2010.
OS DADOS – UM DOS ELEMENTOS BÁSICOS DOS JOGOS DE MESA. Ludomania. Disponível em <http://www.ludomania.com.br/Tradicionais/dados.html> Acesso em 11 de setembro de 2010.
PAULA, E. F. de; LOPES, M. A probabilidade do Bozó. Portal do professor. 21 de janeiro de 2009. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1124> Acesso em 11 de setembro de 2010.
REGRAS DE JOGOS. Jogos Antigos. Disponível em: < http://www.jogos.antigos.nom.br/regras.asp> Acesso em 11 de setembro de 2010.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. S. V. Matemática – Ensino médio – volume 3 – 3ª série. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2005.
YAHTZEE. Ilha do Tabuleiro. Disponível em: <http://www.ilhadotabuleiro.com.br/jogos/yahtzee> Acesso em 19 de setembro de 2010.
Introdução aos Conceitos de Problemas de Transporte eRoteamento de Veículos
Alexandre da Costa1
1Acadêmico do Curso de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas daUniversidade Estadual do Oeste do Paraná
Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - [email protected]
Resumo. Este trabalho aborda os problemas de transporte e de roteamento de veí-culos na perspectiva de levar ao conhecimento, de quem venha a se interessar peloassunto, as dificuldades que se encontra e as estratégias abordadas para se modelarproblema como esses. Problemas de roteamento de veículos pertencema uma classeparticular dos problemas de transporte e a programação linear não é capaz de lhesoferecer, sozinha, resultados eficazes. Utiliza-se, então de métodos heurísticos parase obter uma solução otimizada. Além disso, o tratamento dado a cada tipo depro-blema, por mais semelhantes que estes possam ser, é bastante diversificado, variandonão apenas nos algoritmos utilizados, mas também no tipo de tratamento dadoàs par-ticularidades próprias de cada um [BODIN, 1983].
Palavras Chaves. Problemas de Transporte, Roteamento de Veículos, ProgramaçãoLinear, NP-hard.
1. Problemas de Transporte
Geralmente os problemas de transporte requerem uma otimização de seus processos comobjetivo de minimizar os gastos. Procura-se assim encontrar a forma mais econômica dedistribuir um bem disponível em certa quantidade, não necessariamente em um mesmolocal, para outros locais onde se exige determinada quantidade desse bem.
O Problema do Transporte é muito usado em exemplos de Problemas de PL porsua grande aplicação prática e por ser alvo de estudado de vários investigadores, emboratenha sido George Dantzig o primeiro a estabelecer a sua formulação como modelo dePL e a propor um método sistemático de resolução, conhecido como método simplex.[CANAVARRO, 2005]
Alguns problemas desse tipo, devido as suas estruturas particulares, po-dem ser resolvidos com métodos derivados do simplex e com maior eficiência
[CANAVARRO, 2005]. Já problemas de roteirização (ou roteamento) necessitam de mé-todos mais complexos abordando, além de programação linear, conceitos como os degrafos e heurísticas particulares.
Problemas de transporte são amplamente estudados pela Investigação Operacio-nal, ciência que surgiu em 1947 e veio com o objetivo de resolver com maior eficiênciaproblemas envolvendo administração nas organizações, distribuição ótima de recursos,etc.. Essa ciência se vale da Programação Linear como uma de suas ferramenta maispoderosas para tratar de problemas como os de transporte.
2. Problemas de Transporte e Programação Linear
Problemas de Programação Linear (PL) pertencem a uma categoria especial de problemasde Programação Matemática (PM)1 , onde a função objetivo e as restrições podem ser re-presentadas por funções lineares. A aplicação da Programação Linear visa estabelecerum plano otimizado que representa a melhor solução entre todas as soluções possíveis doproblema [C. JORDÁN, 2002]. Sendo assim um problema de transporte pode ser forma-lizado em termos de PL:
∙ enviar um bem que encontra-se alocado emm origens (depósitos) nas quantidadesai > 0 comi = 1, 2, . . . ,m
e é requerido emn destinos (Pontos de demanda) nas quantidadesbj > 0 comj = 1, 2, . . . , n
∙ O produto deve ser enviado diretamente para os destinos, esgotando as disponibi-lidades em cada origem e satisfazendo os requerimentos em cada destino;
∙ Cada percurso entre origem e destino tem um determinado custode transporte;∙ O problema tem por objetivo a minimização do custo total envolvido na distribui-
ção desse produto, sabendo os custos unitários de transporte de cada origem paracada destino.
Minimizar :
z =
m∑
i=1
n∑
j=1
cijxij
Sujeito a:n∑
i=1
xij = ai i = 1, 2, . . . ,m
n∑
i=1
xij = bj j = 1, 2, . . . , n
Com:
∙ xij: número de unidades a transportar da origem i para o destino j;∙ cij:custo do transporte de uma unidade da origem i para o destinoj;∙ ai: quantidade disponível na origem i;∙ bj: quantidade requerida no destino j.
1ver C. JORDÁN, 2002, I. Introdução, Capítulo 3, pg. 1.
Esta equação deve ser sempre respeitada, mesmo que para tal seja necessário criarum destino fictício com uma necessidade igual ao excesso de disponibilidade (se a procuratotal for inferior à oferta total), ou criar uma origem fictícia com uma disponibilidade igualao défice se a procura total exceder a oferta total [CRUZ, 2000].
Existe ainda uma restrição adicional da oferta total ter queser igual à procura total.
3. Problema de Roteamento de veículos
O termoroteamento ou roteirizaçãode veículos vem sendo utilizado para definir pro-blemas de transporte em que o objetivo é a determinação de umaou mais rotas ótimas.Essas rotas podem ser constituídas por vários pontos de parada geograficamente dispersosque necessitam de atendimento. Problemas dessa natureza formam uma classe especialde problemas de otimização que busca principalmente minimizar a distância total a serpercorrida pela frota inteira [CUNHA, 1983].
Roteamentoou roteirizaçãosão as expressões adotadas como equivalente ao in-glês“routing” ou “routeing”
Esses problemas ocorrem com bastante frequência na distribuição de produtos eserviços. Alguns exemplos são listados a seguir [NOVAES,2004]
∙ Entrega, em domicílio, de produtos comprados nas lojas de varejo ou pela internet;∙ Distribuição de bebidas em bares e restaurantes;∙ Distribuição de dinheiro para caixas eletrônicos de bancos;∙ Distribuição de combustíveis para postos de gasolina;∙ Coleta de lixo urbano;∙ Entrega domiciliar de correspondência;∙ Distribuição de produtos dos Centros de Distribuição (CD) de atacadistas para
lojas do varejo.
Baseando se nos ambientes operacionais e objetivos a serem alcançados Ronenpropôs uma classificação dos diversos problemas de roteamento e programação descritosa seguir [RONEN, 1988]:
∙ problemas relativos ao transporte de passageiros: programação de linhas de ôni-bus; de sistemas de táxi; de sistemas de transporte de pessoas, em geral idosos edeficientes, conhecidos como “dial-a- ride”; de transportede escolares por ônibus,entre outros;
∙ problemas de prestação de serviços: roteirização e programação de equipes de re-paros ou de serviços públicos, tais como de coleta de lixo, entrega postal, varriçãode ruas e leitura de parquímetros, entre outros;
∙ problemas relativos ao transporte de carga (coleta e distribuição).
Segundo Bodin (1983), os problemas de roteamento podem ser classificados emtrês grupos principais: problemas de roteamento puro de veículos (PRV), problemas deprogramação de veículos e tripulações (PRVT); e problemas combinados de roteamentoe programação de veículos.
3.1. Problemas de Roteamento Puro, Problemas de Programação de Veículos eProblemas Combinados de Programação de Veículos
3.1.1. Problemas de roteamento puro
Nos problemas de roteamento puro, os aspectos espaciais da localização dos pontos aserem atendidos são o objetivo principal das estratégias desolução.
Na tabela 1. estão relacionados os principais tipos de problemas de roteamentopuro.
Tabela 1: Classificação dos problemas de roteirização pura. Fonte: Adaptado de[BODIN, 1983]
Denominação Número deroteiros
Localizaçãodos clientes
Limite deCapaci-dade nosveículos
Número debases
Demandas
Problemas de ro-teamento em nóscom uma únicabase
múltiplos nós sim uma determinísticas
Problemas deroteamento commúltiplas bases
múltiplos nós sim múltiplas determinísticas
Problemas de ro-teamento em nóscom demandasincertas
múltiplos nós sim uma estocásticas
Problemas de ro-teamento em ar-cos com limite decapacidade
múltiplos arcos sim uma determinísticas
3.1.2. Problemas de programação de veículos e tripulações (PRVT)
Em problemas de programação de veículos e tripulações, os roteiros ou sequências deviagens a serem realizadas já estão pré-estabelecidos, restando definir a alocação de veí-culos e tripulações ao conjunto de viagens programadas. Os (PRVT) são encontrados notransporte aéreo, ferroviário, por ônibus, etc.
3.1.3. Problemas combinados de roteamento e programação
A maioria dos problemas combinados de roteamento e programação, ou simplesmenteproblemas de roteirização e programação, ocorrem em situações em que estão presentesrestrições de janelas de tempo (horário de atendimento) e deprecedência entre tarefas (co-leta deve preceder a entrega e ambas devem estar alocadas ao mesmo veículo) [BODIN,1983].
Os principais problemas típicos apontados pelos autores como afirma Cunha sãoos seguintes:
∙ Problema de roteamento e programação de ônibus escolares para atendimento deum conjunto de escolas;
∙ Problema de roteamento e programação de cavalos mecânicos responsáveis portracionar carretas com carga completa, em que cada carreta étracionada individu-almente de um ponto de origem para um ponto de destino;
∙ Problema de definição de rotas e programação de serviços de coleta de resíduosdomiciliares e de varrição de ruas, com restrições de capacidade nos veículos,de duração máxima da jornada e de janelas de tempo associadasaos horários deproibição de estacionamento, de forma a possibilitar a execução do serviço devarrição;
∙ Problema de roteamento e programação de serviços de transporte de pessoas, co-nhecidos como “dial-a-ride”, em geral para o transporte porta-a-porta de idosose deficientes, onde cada usuário possui locais de origem e destino diferentes eeventualmente janelas de tempo.
3.2. Modelação de problemas de roteamento um problema NP-hard
Problemas de roteamento no transporte é um dos assuntos maisestudados na área dePesquisa Operacional e existem muitos trabalhos que abordam o assunto. No entantoo tratamento dado a cada tipo de problema, por mais semelhantes que possam ser, ébastante diversificado, variando não apenas nos algoritmosutilizados, mas também notipo de abordagem dado às particularidades próprias de cadaproblema [BODIN,1983].
Problemas dessa natureza são considerados pela literaturaa cerca do assunto comosendo NP-hard, um problema matemático para o qual, mesmo em teoria, nenhum atalhoou algoritmo levaria a uma solução rápida ou simples, pois possuem ordem de comple-xidade exponencial. Em outras palavras, o esforço computacional para a sua resoluçãocresce exponencialmente com o tamanho do problema (dado pelo número de pontos aserem atendidos). Em vez disso, a única maneira de encontraruma solução ideal é umacomputação intensiva e exaustiva análise, em que todos os resultados possíveis são testa-das. Exemplos de problemas NP-hard incluem o problema do caixeiro viajante e popularjogo Tetris2 resolvê-los como Problemas de Programação Inteira Binária (PPIB), comoé proposto e formulado por Golden [GOLDEN, 1977] é inviável epor este motivo, asolução é obtida, em geral, através de procedimentos heurísticos.
Métodos heurísticos são algoritmos exploratórios que buscam resolver problemas.Geralmente não envolvem a implementação computacional de um conhecimento especia-lizado (por exemplo, um método heurístico, para resolver uma equação de segundo grau,não usaria, necessariamente, a fórmula de Bháskara, mas buscaria, por outros métodos,uma solução que atendesse à equação). Por este motivo, muitas vezes, esses métodos sãoclassificados como “busca cega” [BUENO, 2009].
Comumente, os trabalhos encontrados na literatura para o VRP (Vehicle RoutingProblem) que utilizam métodos exatos buscam reduzir a distância total percorrida. Já asheurísticas visam minimizar o número total de veículos utilizados. Os conceitos de grafos,programação linear inteira, atrelados aos processos heurísticos, também são amplamenteusados.
2ver http://www.daviddarling.info/encyclopedia/N/NP-hard_problem.html
3.3. Problema do Caixeiro Viajante: Clássico Problema de transporte
O problema do caixeiro viajante tradicional consiste em encontrar um circuito hamil-toniano de menor custo em um grafo completo não direcionado.Um circuito hamil-toniano é um caminho fechado que passa por todos os vértices do grafo sem repetição[GOLDBARG E LUNA, 2000].
3.4. Uma Heurística, Vizinho Mais Próximo
A heurística do Vizinho Mais Próximo é muito utilizada por ser bastante simples e rá-pida. Os pontos de demanda são inseridos na rota segundo seu vizinho mais próximo, ouseja, a cada passo é adicionado na rota o vizinho mais próximodo último ponto inseridona mesma. O processo do algoritmo Vizinho mais Próximo é detalhadamente expostoabaixo. O algoritmo recebe como entrada um grafo completo contendo os pontos dedemanda e o depósito [LAWLER, 1985].
Algorítimo VP:
1. VP (Grafo completo com os consumidores e depósito)2. r = Criar nova rota3. Inserir depósito na rota r4. último Vértice Inserido = depósito5. Enquanto existir consumidor não roteado6. vértice = Buscar vértice mais próximo de último Vértice Inserido7. Inserir vértice na rota na posição seguinte ao último Vértice Inserido8. último Vértice Inserido = vértice
Referências
BODIN, L.D.; B. Golden; A. Assad e M. Ball Routing and scheduling of vehicles andcrews: The state of the art. 2. Computers and Operations Research. 1983, vol.10, n.
BUENO, Fabrício. Métodos Heurísticos Teoria e Implementações. IFSC/Araranguá,2009.
CANAVARRO, C Problema de transporte, 2005. Disponível em:http://docentes.esa.ipcb.pt/ccanavarro/io2003/Seb5.pdf. Acesso em: 23 set 2010.
CASTILLO JORDÁN, Gladys Investigação Operacio-nal e Optimização. Apontamentos. Disponível em:<http://www2.mat.ua.pt/io/Documentos/Apontamentos/CapituloI_3.pdf>. Acessoem: 25 jun. 2010
CUNHA, C. B. Aspectos Práticos Da Aplicação De ModelosDe Roteirização De Veículos A Problemas Reais. Disponívelem:<http://www.ptr.usp.br/docentes/cbcunha/files/roteirizacao_aspectos _prati-cos_CBC.pdf> Acesso em 10/05/2010.
CRUZ, José. Acetatos de Métodos de Apoio à Decisão / Sistemas de Apoio à Decisão,2000.
GOLDBARG, M. C. LUNA H. P. L. Otimização Combinatória e Programação Linear.Ed. Campus 2000.
LAWLER,E. L.; LENSTRA,J. K.; KAN, A. H. G. R. e SHMOYS, D. B. The TravelingSalesman Problem. John Wiley & Sons, New York 1985.
NEVES P., JARDIM, SILVA, CRUZ. Métodos de Apoio à Decisão. Disponível em:<http://www.est.ipcb.pt/tecnologias/tec_MAD/Transportes.pdf 7>. Acesso em: 25de set. 2010.
NOVAES, A. G. Logística e gerenciamento da cadeia de distribuição, Editora Campus,2a. Edição,2004.
FEREIRA DE ASSIS, Luciana P Algoritmos Para o Problema de Rotea-mento de Veículos com Coleta e Entrega Simultâneas. Disponível em<http://opus.grude.ufmg.br/opus/opusanexos.nsf/>. Acesso em 24 set. 2010.
PROBLEMAS NP-hard. Problemas NP-hard. Disponível em:<http://www.daviddarling.info/encyclopedia/N/NP-hard_problem.html>. Acessoem: 23 set 2010.
RONEM, D. Perspectives on pratical aspects of truck routingand scheduling. EuropeanJournal of Operational Research,35(2):137-145, 1988.
O uso do Tangram em uma aula de estágio em Matemática
Dulcyene Maria Ribeiro1
1Colegiado do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Campus de [email protected]
Resumo: Neste texto discorremos sobre o Tangram, um quebra-cabeça originário da China que tem sido usado como material didático. Durante atividades de estágio realizado por um grupo de alunos do curso de Matemática da Unioeste, no ano de 2010, o Tangram foi explorado em atividades didáticas, que tinham como intuito ensinar frações, bem como outros conceitos relacionados à geometria, a um grupo de alunos de 8ª séries. Portanto, faz-se um relato de como se desenvolveram as atividades com os alunos utilizando o Tangram. Também apresenta-se um modo de construção do Tangram, bem como comentários sobre a existência de outros Tangrans.
Palavras-chave: Tangram, Material didático, Estágio.
1. O contexto
Durante o ano letivo de 2010, alguns alunos (que denominaremos daqui em diante de discentes para diferenciar da forma como nos referiremos aos alunos da escola envolvidos no projeto), do terceiro ano do curso de licenciatura em Matemática da Unioeste, campus de Cascavel, sob a minha orientação, realizaram algumas atividades do estágio na Escola Estadual Olinda Truffa de Carvalho.
Por motivos diversos os discentes realizaram algumas atividades do estágio, no período noturno. Como na maioria das escolas em Cascavel, não há Ensino Fundamental na modalidade regular no período noturno, já que era com esse público que se devia trabalhar, acabamos por realizar um trabalho diferenciado, uma espécie de projeto, no qual não se exige que seja numa classe já formada.
Temerosos com a baixa procura que o curso pudesse ter, nos surpreendemos com a quantidade de alunos que se inscreveram. Em média o número de alunos que compareceram aos encontros era 15, havendo dias em que teve mais de 20. Os alunos envolvidos eram das 8ª séries do referido colégio. Realizaram-se encontros semanais, de 3 horas de duração, sempre às terças-feiras.
Embora com suas especificidades, o grupo de alunos inscrito garantiu as características do que se pode chamar de uma “classe normal”. Nela havia alunos que conversavam muito, mas faziam o que lhes era solicitado, alunos que conversavam, não faziam as atividades e ainda influenciavam de maneira negativa o comportamento dos colegas, alunos que faziam as atividades sem fazerem algazarras, alunos comportados que faziam seus trabalhos, alunos comportados mas que não faziam as atividades solicitadas, mostrando-se apáticos, alunos que eram ignorados pelos demais, outros que estavam muito envolvidos, enfim, podemos dizer que a classe montada com voluntários era representativa da realidade de uma classe de 8ª séries da escola.
Nesses encontros foram trabalhados conteúdos variados, sem a sequência rígida de uma unidade de conteúdo. Foram trabalhados, por exemplos, potenciação, usando a ideia de fractal por meio do triângulo de Sierpinski, radiciação, fazendo um paralelo com os números irracionais, produtos notáveis utilizando o algeplan e, por último, geometria, por meio da confecção de sólidos geométricos feito com canudos de plástico e da construção com régua e compasso de polígonos regulares.
Conteúdos variados foram pensados justamente porque se tratava de um projeto diferenciado do que acontece normalmente em sala de aula. Então como uma forma de tentar garantir público e, por relacionar vários conteúdos já vistos pelos alunos nas séries anteriores, optamos por adotar metodologias diferenciadas e temas diversos.
Além dos conteúdos listados anteriormente, foi trabalhado também com as noções de área, perímetro e com frações, utilizando o Tangram. É sobre a abordagem deste tema que discorreremos daqui em diante, destacando os aspectos que foram tratados com os alunos e a forma como eles corresponderam.
2. A aula
Ao preparar o encaminhamento da aula, estabeleceu-se como objetivo, levar os alunos a: perceber formas geométricas e criar figuras com base nelas; desenvolver a capacidade de visualização, de percepção espacial, de análise e criatividade; estabelecer proporções de figuras com relação ao todo ou às demais partes do Tangram; estabelecer relações de área e perímetro entre figuras ou com o todo, tomando como referência as peças do Tangram.
Quanto ao desenvolvimento metodológico, começou-se por apresentar o Tangram e contar uma lenda que explica sua criação.
O que é o Tangram?
É um quebra-cabeça originário da China, formado por cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado. Essas figuras, juntas, podem formar um quadrado. A seguir está o esboço do Tangram tradicional1, o mais conhecido e explorado em atividades didáticas.
Figura 1
Não se sabe exatamente quando, nem quem inventou o Tangram. A origem desse jogo chinês é contada por diversas lendas. Uma delas diz que um sábio chinês deveria levar ao imperador uma placa de jade, mas no meio do caminho, o sábio tropeçou e deixou cair a placa que se partiu em sete pedaços geometricamente perfeitos. Eis que o sábio tentou remendar e, a cada tentativa, surgia uma nova figura. Depois de muito tentar, ele, finalmente, conseguiu formar novamente o quadrado e levou ao imperador. Os sete pedaços representariam as
1 Outros tipos de Tangram serão mencionados no fim deste texto.
sete virtudes chinesas, e uma delas, com certeza, seria a paciência. O sábio mostrou aos seus amigos as figuras que havia conseguido montar e cada um construiu o seu Tangram.
Depois desse preâmbulo foi proposto aos alunos o manuseio do Tangram. Cada um recebeu um quebra-cabeça reconhecendo, por meio das explicações de um dos estagiários, cada uma das figuras geométricas que compõem o Tangram. Foi solicitado que utilizando as peças do quebra-cabeça, os alunos montassem um quadrado e que resolvessem algumas atividades, relacionando as peças. Alguns alunos apresentaram um pouco de dificuldade para encontrar o lugar de cada uma das peças na montagem do quadrado.
O Tangram é formado por dois triângulos grandes (T1), um triângulo médio (T2) e dois triângulos pequenos (T3), um paralelogramo (P) e um quadrado (Q). Ao considerar o quadrado formado pelas sete peças, como um inteiro, pode-se estabelecer relações entre as peças do Tangram. As atividades seguintes foram organizadas para que os alunos respondessem:
1ª) Um triângulo grande (T1) representa _____________ do inteiro;
2ª) O quadrado (Q) representa _____________ do inteiro;
3ª) O triângulo médio (T2) representa _____________ do inteiro;
4ª) O paralelogramo (P) representa _____________ do inteiro;
5ª) Um triângulo pequeno (T3) equivale a _____________ do inteiro;
As peças do Tangram também podem ser relacionadas umas com as outras. Então foi proposto que os alunos respondessem:
1ª) O triângulo médio (T2) representa _____________ do triângulo grande (T1);
2ª) Um triângulo pequeno (T3) equivale a _____________ do triângulo médio (T2);
3ª) Um triângulo pequeno (T3) equivale a _____________ do triângulo grande (T1)
4ª) O paralelogramo (P) representa _____________ do triângulo médio (T2);
5ª) Um triângulo grande (T1) equivale a __________ triângulos médio (T2);
6ª) O quadrado (Q) representa _____________ do triângulo grande (T1);
7ª)Dois triângulos (T1) correspondem a ___________ do inteiro;
8ª)Dois triângulos (T3) correspondem a ___________ do inteiro.
Para resolver essas relações os alunos sobrepunham umas peças sobre as outras para visualizar quantas unidades de uma peça “caberia” em outra. Depois de sobreporem as peças, eles anotavam as relações entre as peças. Os alunos apresentaram dificuldades para fazer essas relações solicitadas. Quando conseguiam entender a ideia do quanto uma peça representava do todo, se animavam e tentavam fazer sozinhos as demais relações.
Também foi relembrado com os alunos os conceitos de perímetro e área da seguinte forma: Perímetro de uma figura é a medida de seu contorno e
Perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Área de um polígono é a região limitada pelos seus lados. Depois foi proposto comparar as áreas e perímetros das peças do Tangram e realizar as seguintes atividades que utilizavam esses conceitos.
1ª) Qual a relação da área do triângulo médio (T2), do quadrado (Q) e do paralelogramo (P)? Qual a relação entre os perímetros desses polígonos?
2ª) A área do triângulo médio (T2) equivale a metade da do triângulo grande (T1). Essa proporção se mantém em relação ao perímetro? Explique.
3ª) A área do triângulo grande (T1) é quatro vezes a área do triângulo pequeno (T3). Essa proporção se mantém em relação ao perímetro
4ª) A área do inteiro é igual à somas das áreas das sete peças. O perímetro do inteiro é a soma dos perímetros das sete peças?
Os alunos apresentaram mais dificuldade para realizar essa atividade e poucos conseguiram entender essas relações. Por esse motivo, um dos estagiários resolveu no quadro, desenhando e mostrando as relações e incentivando a participação dos alunos que, no geral, participaram da correção.
Em seguida foi distribuída aos alunos uma folha contendo figuras possíveis de ser construídas utilizando o Tangram, como a que segue e foi solicitado que eles tentassem formar as figuras.
Figura 2
Os alunos demonstraram entusiasmo para montar as figuras. Em algumas delas apresentaram um pouco de dificuldade, mas os colegas indicavam como
poderiam fazer. Os estagiários apenas auxiliavam quando solicitados e acompanhavam o envolvimento e as descobertas dos alunos sobre como uma figura era montada.
Alguns alunos não realizaram as atividades iniciais como esperado, pois ficaram o tempo todo tentando montar figuras utilizando o Tangram, já que as imagens da Figura 2 estavam juntas com o material inicial. Disso conclui-se que se esperamos que todos façam as atividades iniciais envolvendo os conteúdos matemáticos, não se pode colocar no mesmo material imagens que serão utilizadas no momento lúdico da aula. De qualquer maneira, essa atitude dos alunos mostra como o Tangram pode ser bem aproveitado já que desperta o interesse dos alunos.
Como foi apenas um encontro e tinha-se como objetivo relembrar conteúdos já aprendidos, como área, perímetro e frações, omitimos nesse relato aspectos que poderiam ser levados em conta se os alunos fossem de faixa etária menor do que os que participaram, como por exemplo, solicitar que os alunos representassem por desenhos as relações entre as peças. Para alunos mais jovens, o ideal é fazer mais associações com representações geométricas, como as que são apresentadas no livro de Souza et al.
3. Um breve comentário
Ao utilizar materiais pedagógicos como o Tangram como recurso para o ensino da Matemática, é preciso ter em mente os objetivos do trabalho e para que alunos as atividades serão dirigidas. Assim,
As atividades iniciais, para o reconhecimento das peças e das relações entre elas, devem ser feitas com os alunos de qualquer série, pois, como vimos, as relações entre as peças formam a base para o uso do material no estudo de conceitos envolvendo área ou frações, bem como para a construção do quebra-cabeça. No entanto, com alunos de maior escolaridade podemos aprofundar a reflexão colocando outros questionamentos, promovendo discussões e novas sistematizações das conclusões do grupo ou da classe como um todo (SOUZA et al, 2008, p.64).
No trabalho de SOUZA et al (2008) referenciado acima a descrição mais detalhada se dá com base em um trabalho realizado com alunos de 1ª a 4ª séries ou de 1º ao 5º anos, com os quais a necessidade de representações geométricas de cada passo realizado é de muita importância. Com os alunos de 8ª séries como os que participaram do trabalho conosco julgamos que todas as representações não eram necessárias.
Como tínhamos pouco tempo para desenvolver nosso trabalho com os alunos, optamos por levar os Tangrans prontos. Mas a construção do quebra-cabeça é rica para se explorar diversos conteúdos matemáticos, como vértice, ângulos, diagonal, área, além do reconhecimento de diversas figuras geométricas.
Tangrans podem ser construídos de várias formas. No livro de SOUZA et al (2008), são apresentadas duas formas de construção do Tangram por meio de dobraduras e outra utilizando régua e compasso. Apresentaremos a forma que
temos utilizado para a construção do Tangram utilizada em outros trabalhos que temos realizado.
4. Uma construção do Tangram
Construa um quadrado de 13 cm de lado. Trace a diagonal.
De um dos vértices, trace um segmento de reta até alcançar a diagonal já marcada, para isso tome como referência a diagonal BD. O ponto de encontro é denominado de O e marca o centro do quadrado. Assim, ficam obtidas duas peças do Tangram, os dois triângulos grandes.
Em seguida, deve-se localizar os pontos médios dos lados do quadrado que não delimitam os triângulos grandes. Esses pontos podem ser encontrados usando a régua, já que foi estabelecido a medida do lado do quadrado em 13 cm. Ao ligar esses pontos marca-se o triângulo médio, a terceira peça do quebra-cabeça.
Prolongue a diagonal BD, até alcançar o lado maior do triângulo médio. Chamemos o ponto de intersecção de G. Então trace um segmento perpendicular a AC, passando pelo ponto médio do lado DC (essa é apenas uma das maneiras de traçar esse segmento). Ficam delimitados outras duas peças do Tangram, um triângulo pequeno e o quadrado.
Por fim, une-se o ponto G ao ponto médio de OA, obtendo as duas peças do Tangram que ainda faltavam: um triângulo pequeno e o paralelogramo.
5. Outros Tangrans
O Tangrans utilizado no trabalho ora relatado é apenas um dos vários tipos de Tangrans existentes. Souza et al (2008, p.90-102) apresenta seis tipos de Tangrans, conforme as respectivas imagens seguintes: Tangram de Pitágoras, também formado com base em um quadrado é composto de sete peças, Tangram de Nove Peças, formado tendo como base um retângulo, Tangram Retangular, formado de sete peças, Tangram Circular, formado por dez peças, Tangram Oval, um quebra-cabeça de dez peças também conhecido como ovo mágico e o Coração Partido, como o próprio nome já diz tem como base um coração composto de sete peças. Os três últimos apresentam como característica comum serem formados com base em figuras arredondadas. Além desses existem outros Tangrans.
Figura 32 Figura 4 Figura 52 As figuras 3, 4 e 5 tem como base o texto de Souza et al. As figuras 6, 7 e 8 têm por base o site <http://www.uff.br/cdme/tangrans_geometricos/index.html> .
Figura 6 Figura 7 Figura 8
Durante a construção de cada um dos Tangrans o professor pode fazer explorações semelhantes as que se faz com o Tangram tradicional, discutindo noções de área, perímetro, semelhança, congruência, simetria entre outros conteúdos matemáticos.
6. Bibliografia
KALEFF, Ana Maria Martensen Roland. Tangrans geométricos especiais. Disponível em: http://www.uff.br/cdme/tangrans_geometricos/index.html. Acesso em: 26 set. 2010.
LORENZATO, Sergio. O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. São Paulo: Autores Associados, 2006.
SMOLE, Kátia Critina Stocco et al Cadernos do Mathema: Ensino fundamental: jogos de matemática de 6º a 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007.
SOUZA, Eliane Reame de et al. A Matemática das sete peças do tangram. São Paulo: CAEM/IME-USP, 2008. 102p.
Criterios de divisibilidade em bases numericas genericas
Clezio A. Braga1
Jhoni Marcelo Zini
1Colegiado do Curso de Matematica - Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas daUniversidade Estadual do Oeste do Parana
Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - Brasil
Resumo. Este trabalho tem por objetivo apresentar condicoes para derivar criteriosde divisibilidade de numeros inteiros a partir da representacao desses numeros em umabase numerica escolhida e, a partir da escolha da base, descrever tais criterios emtermos dos dıgitos que representam esses numeros nessa base.
Palavras Chaves. criterios de divisibilidade, base numerica, numeros inteiros.
1. IntroducaoQuando pensamos em criterios de divisibilidade, em geral vem a nossa cabeca os
classicos criterios de divisibilidade por 10, 2, 3, 5 e 9. Isso porque em geral, livros dealgebra abstrata introdutorios, ou livros didaticos do ensino medio trazem os criteriosde divisibilidade de numeros inteiros e apresentam tecnicas para determinar quando umnumero e divisıvel por outro, sempre no sistema numerico decimal. Mas, a aritmeticamodular permite fazer essa analise para qualquer par de numeros inteiros e a facilidadeou dificuldade de um criterio de divisibilidade de um numero por outro esta intimamenteligada a base numerica na qual esses numeros estao representados. Ao trabalhar com osistema de numeracao decimal, sabemos que o resto da divisao de numero inteiro n por 9,e o mesmo resto da soma dos seus dıgitos, em outras palavras, o numero n sera divisıvelpor 9 se e somente se a soma de seus dıgitos for divisıvel por 9. A pergunta que fazemose a seguinte: se mudarmos a base de representacao de um numero, o que podemos dizersobre os criterios de divisibilidade nessa nova base? Para quais numeros temos criteriosde divisibilidade mais faceis de serem verificados? Nossa intencao e estender o raciocıniopara uma base numerica k generica e verificar o que e de fato geral e o que e intrınsecoda base numerica escolhida.
2. Divisibilidade em uma base genericaNessa secao apresentaremos os resultados que nos permitirao estabelecer os criterios
de divisibilidade em uma base numerica qualquer. Para nosso estudo vamos admitir co-nhecidos resultados basicos de estruturas algebricas, como aneis de restos e propriedades
de numeros inteiros. Iniciaremos o estudo com resultados gerais. Vale a pena lembrarque para o anel Zk, dos restos na divisao por k, a classe de equivalencia n de um numerointeiro n e nula se e somente se k divide n. Usaremos aqui a notacao k|n para indicarquando k divide n. Para maiores detalhes sobre teoria de aneis, sugerimos ao leitor as re-ferencias (GONCALVES, 2003), (DOMINGUES; IEZZI, 1972) e (MONTEIRO, 1978).Para efeitos desse texto, a menos que o contrario esteja expresso, ındice de somatorios,expoentes e digitos ou algarismos de representacao de um numero em uma dada baseserao sempre numeros naturais.
Proposicao 2.1. Seja E =
q∑i=0
aiki um numero inteiro escrito em uma base numerica k.
Entao E e divisıvel por k somente se a0 o for.
Demonstracao. Como E =
q∑i=0
aiki, podemos reescreve-lo na forma E = a0 +
q∑i=1
aiki.
Evidenciado o termo k temos E = a0 + k
(q∑
i=1
aiki−1
). Entao E = a0. Como k|E se e
somente se E = 0 em Zk. Segue que k|E se e somente se k|a0.
Em uma base numerica k, usamos na representacao de um numero, dıgitos ai, que saovalores numericos menores que k, a unica possibilidade para que k divida a0 e quandoa0 = 0. Em particular um numero expresso em uma base k e divisıvel pelo proprio k seterminar em 0. Isso explica o criterio de divisibilidade por 10 na base decimal.
Proposicao 2.2. Sejam E ∈ Z escrito em uma base k na forma E =
q∑i=0
aiki e p ∈ Z.
Considere m =k
pum divisor inteiro de k. Entao E e divisıvel por m somente se a0 o for.
Demonstracao. Considere m =k
p, entao k = mp e E =
q∑i=0
ai(mp)i. Assim
E = a0 +
q∑i=1
aimipi. (1)
Se evidenciamos m no segundo membro da equacao (1), vemos que E = a0 +
m
(q∑
i=1
aipimi−1
)e entao, E = a0. Como m|E se e somente se E = 0 em Zm, segue
que m|E se e somente se m|a0. Como querıamos demonstrar.
Observe que a escolha de p na proposicao 2.2 nao e arbitraria, pois m tem que ser umnumero inteiro. A escolha p = 1 implica no criterio de divisibilidade por k.
Proposicao 2.3. Sejam E ∈ Z escrito em uma base k na forma E =
q∑i=0
aiki e n ∈ Z.
Considere r =k − 1
num divisor inteiro de k − 1. Entao r|E se e somente se r|
q∑i=0
ai.
Demonstracao. Considere r =k − 1
n, entao k = nr + 1 e E =
q∑i=0
ai(nr + 1)i. Observe
que cada termo da forma (nr+1)i pode ser escrito comoi∑
j=0
(i
j
)(nr)j1i−j por expansao
binomial e pode ser escrito comoi∑
j=1
(i
j
)(nr)i + 1. Assim
E =
q∑i=0
ai +
q∑i=1
ai
(i∑
j=1
(i
j
)(nr)j
). (2)
Agora colocando r em evidencia no segundo membro da equacao (2) vemos que
E =
q∑i=1
ai + r
(q∑
i=1
ai
(i∑
j=1
(i
j
)(nr)j−1
)). (3)
Como r|E se e somente se E = 0 em Zr e por (3), E =
q∑i=0
ai. Entao r|E se e somente
se r|q∑
i=0
ai. Como querıamos demonstrar.
Novamente a escolha do n na Proposicao 2.3 nao e arbitraria, pois r tem que ser umnumero inteiro. Para n = 1 temos um criterio de divisibilidade para k − 1.
Exemplo:
1. 3 divide 69, se dividir a soma 6 + 9 = 15, como 3 divide 15, tres divide 69.2. (132)9 e divisıvel por 2, pois 1 + 3 + 2 = 6 que e divisıvel por 2, ao mesmo
tempo,(132)9 nao e divisıvel por 4. Interessante quando transformamos (132)9 parabase 10, (132)9 = 110 que de fato e divisıvel por 2, pois e par, mas nao e por 4.
Proposicao 2.4. Sejam E ∈ Z escrito em uma base k na forma E =
q∑i=0
aiki e r = k+1.
Entao, E sera divisıvel por r se a soma dos coeficientes que estao em posicao imparsubtraıda da soma dos que estao em posicao par for divisıvel por k.
Demonstracao. Seja E =
q∑i=0
aiki, como r = k + 1, segue que k = (−1 + r). Assim
E =
q∑i=0
ai(−1 + r)i. Desenvolvendo os binomios temos
(−1 + r)i =i∑
j=0
(i
j
)(−1)j(r)i−j . Entao E =
q∑i=0
ai
(i∑
j=0
(i
j
)(−1)j(r)i−j
). Rea-
grupando os termos
E =
q∑i=0
(−1)iai +q∑
i=1
ai
(i−1∑j=0
(i
j
)(−1)j(r)i−j
). (4)
Observe que no segundo somatorio no segundo membro da equacao 4 ao evidenciarmos r
temosi−1∑j=0
(i
j
)(−1)j(r)i−j = r
i−1∑j=0
(i
j
)(−1)j(r)i−(j+1). Assim, em Zr, vale a igualdade(
i−1∑j=0
(i
j
)(−1)j(r)i−j
)= 0, e portanto, E =
(q∑
i=0
(−1)iai
). Logo r|E se e somente se
r|q∑
i=0
(−1)iai.
Vemos claramente que E sera divisıvel por r se a soma dos termos de ındice imparsubtraıda da soma dos termos de ındice par for divisıvel por r.
Exemplos:
1. 979 e divisıvel por 11, pois 9 + 9− 7 = 11, que e divisıvel por 11;2. (1210)8 e divisıvel por 9, pois 2 + 0− 1− 1 = 0 que e divisıvel por 9.
Proposicao 2.5. Sejam E ∈ Z e a, b ∈ Z tais que mdc(a, b) = 1, a|E e b|E, entao ab|E.
Demonstracao. Como a|E, podemos escrever E = al com l ∈ Z. Sendo mdc(a, b) = 1,existem inteiros x0 e y0 tais que x0a + y0b = 1. Entao, x0al + y0bl = l. Como b|x0al eb|y0bl, entao b|l. Portanto ab|E.
Corolario 2.6. Seja E ∈ Z escrito numa base k na forma E =
q∑i=0
aiki e r = m(k + 1)
de forma que mdc(m, k + 1) = 1. Entao E sera divisıvel por r se e somente se E fordivisıvel por m e a soma dos coeficientes que estao em posicao impar, subtraıdos da somados que estao em posicao par for divisıvel por k + 1.
Demonstracao. Obviamente se E for divisıvel por r, sera tambem divisıvel por m e pork+1. Reciprocamente sendo E divisıvel por m e k+1 e mdc(m, k+1) = 1, pelo corolario2.6 acima, m(k + 1) divide E. O resultado agora segue pela proposicao 2.4.
Proposicao 2.7. Seja E ∈ Z escrito em uma base k na forma E =
q∑i=0
aiki. Agora
considere r ∈ Z, tal que r|kp, p ∈ N, ou seja, r divide uma potencia de k. Entao E seradivisıvel por r, se r divide o numero formado pelos p ultimos algarismos de E.
Demonstracao. Seja E =
q∑i=0
aiki. Vamos reescreve-lo da seguinte maneira:
E =
p−1∑i=0
aiki + apk
p +
q∑i=p+1
aiki, colocando kp em evidencia, temos que E =
p−1∑i=0
aiki +
kp[(ap) +
q∑i=p+1
aiki−p]. Como r|E se e somente se E = 0 em Zr e, por hipotese, r|kp
temos E =
p−1∑i=0
aiki. Portanto, r|E se e somente se, r|
p−1∑i=0
aiki.
Proposicao 2.8. Sejam E ∈ Z escrito em uma base k na forma E =
q∑i=0
aiki, n ∈ Z tal
que r =k − 1
n∈ Z e p tal que mdc(p, r) = 1. Entao, pr | E se p | E e r |
q∑i=0
ai
Demonstracao. Supomos que p | E e r |q∑
i=0
ai. Pela Proposicao 2.3, r | E. Entao,
E = br com b ∈ Z. Como p - r entao, p | b. logo E = pb′r e portanto pr | E. A recıprocasegue pela Proposicao 2.3.
Exemplo: na base hexadecimal (16) o numero E = B22 e divisıvel por A pois 5 |B + 2 + 2 e 2 | 2 na base hexadecimal.
3. Consideracoes Finais
Como podemos ver pelos resultados listados acima, os tradicionais criterios de divi-sibilidade na base decimal sao casos particulares de criterios mais gerais que dependemda base numerica escolhida, por exemplo, os criterios de divisibilidade por 9 e 11 estaodiretamente relacionados a distancia desses numeros a base. Criterios de divisibilidadepor fatores ou por multiplos desses numeros sao descritos pelas proposicoes 2.6, 2.7 e 2.8de modo que estao tambem relacionados a base. Observamos tambem que a facilidade daaplicacao de um criterio de divisibilidade por um numero e maior o menor dependendoda base escolhida. Por exemplo, na base decimal e mais difıcil utilizar um criterio dedivisibilidade por 7 do que na base octal. Criterios de divisibilidade dependem essencial-mente da base numerica escolhida. Em suma, esse e um trabalho bem simples, mas queserve para ilustrar algumas das propriedades algebricas de estao por tras dos criterios dedivisibilidade.
Referencias
DOMINGUES, H.; IEZZI, G. Algebra Moderna. 4a edicao. ed. Sao Paulo: Editora Atual,1972.
GONCALVES, A. Introducao a Algebra. 2a. ed. Rio de Janeiro - RJ: IMPA, 2003.
MONTEIRO, L. J. (Ed.). Elementos de Algebra. 2a. ed. Rio de Janeiro: Livros Tecnicose Cientıfiocs Editora S.A., 1978.
Teoria dos Grafos e Coloração de Mapas
Rafaela G. da Motta Camicia1Amarildo de Vicente2
1Unioeste – Universidade Estadual do Oeste do Paraná Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – Brasil
2Colegiado do Curso de Matemática – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Caixa Postal 711 – 85.819-110 – Cascavel – PR – [email protected]
Resumo. Neste trabalho está sendo apresentado um problema relacionado à coloração de um mapa. Em geral os mapas que se encontram no mercado são coloridos com muitas cores, o que pode gerar custos desnecessários. Para o mapa em questão, mostrou-se empregando a teoria de coloração e um algoritmo computacional que o número de cores que era sete pode ser reduzido para quatro.
Palavras chaves. Grafos, coloração, mapas.
1. Introdução
De acordo com Boaventura (2003), o desenvolvimento de uma teoria matemática das relações entre elementos e conjuntos discretos é uma conquista bastante recente. A topologia, “geometria de posição”, como já era chamada por Leibnitz, tem como objetivo o estudo das propriedades geométricas não afetadas por mudanças de forma. O estudo da teoria do nós e das superfícies proporciona questões de difícil resolução, e mesmo numa abordagem elementar acaba exigindo um nível de abstração elevado.
Segundo Rabuske (1992), a teoria dos grafos proporciona ferramentas simples, acessíveis e poderosas para a construção de modelos e resolução de problemas relacionados com arranjos de objetos discretos. Pode-se dizer que a teoria dos grafos é um dos mais simples e mais elegantes assuntos da matemática moderna, possuindo uma grande variedade de aplicações. Baseada na simples ideia de pontos interligados por linhas, a teoria dos grafos combina estes ingredientes básicos em um rico sortimento de formas e dota estas propriedades com características flexíveis, fazendo assim, com que esta teoria seja uma ferramenta útil para estudar vários tipos de sistemas.
A tecnologia atual possui um grande número de problemas que requerem a construção de sistemas complexos, devido à combinação de seus componentes. Estes problemas abrangem processos industriais, análise de caminho crítico, tática e logística, sistemas de computação, estudo de transmissões, escolha de rota ótima, fluxos de redes, genética, economia, estrutura social, jogos, física, química, tecnologia de computador, antropologia, linguística, etc (CONTE, 2002).
O grande impulso para o desenvolvimento da teoria dos grafos foi o problema de Euler, também chamado problema das sete pontes de Königsberg, constituído por ilhas ligadas às margens por seis pontes, além de uma sétima que interligava as duas ilhas (Figura1). Baseava-se no fato que nenhum dos costumeiros frequentadores do local era capaz de percorrer essas sete pontes sem passar mais de uma vez por alguma delas. Euler mostrou à Academia de S. Petesburgo, em 1735, a primeira demonstração da impossibilidade de resolução do referido problema, isto é, dada a disposição das pontes, era impossível percorrer todas elas passando uma única vez em cada ponte.
Figura 1. O problema das pontes de Königsberg
Boaventura (2003) afirma que o desenvolvimento da Teoria dos Grafos veio dar-se, sob o impulso das aplicações a problemas de otimização organizacional, dentro do conjunto de técnicas que forma hoje a pesquisa operacional, já na segunda metade do século XX. Pode-se ainda dizer que esse desenvolvimento ocorreu devido ao apareci-mento do computador, sem o qual a maioria das aplicações de grafos seria impossível.
Dada a abrangência do assunto, vamos trabalhar com o problema de coloração de mapas, um dos mais importantes já abordados pela teoria dos grafos. O que se observa nos mapas encontrados à venda no mercado é que a maioria deles tem uma grande quantidade de cores em sua coloração, ocasionando um desperdício na confecção desses mapas, já que para cada cor é necessário todo um trabalho de preparação do equipamento de impressão. Os mapas representados nas figuras 2 e 3 são exemplos deste fato. Eles foram produzidos por uma gráfica e se encontram a venda em papelarias. Neste trabalho será apresentado um algoritmo para colorir estes mapas usando um número menor de cores. As cores serão representadas por letras, sendo que cada letra representa uma cor.
Como será visto na seção seguinte, o problema das quatro cores trata da determinação do número mínimo de cores necessárias para colorir um mapa planar, de regiões reais ou imaginários, e o mesmo será apresentado adiante.
Figura 2. Mapa do Brasil, divisão política, colorido com 16 coresAdaptado de http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/mapas/imagens/brasil_peq.gif
Figura 3. Microrregiões de SC coloridas com 23 coresAdaptado de www.inf.ufsc.br/.../problemas/sc-micropolar.gif
2. Fundamentação Teórica
Harary, (apud Boaventura, 2003), diz que a Teoria dos Grafos foi redescoberta muitas vezes, ou então, que problemas do interesse de diversas áreas foram estudados separadamente e mostraram características diferentes. Dentre as várias aplicações da Teoria dos Grafos destaca-se a coloração de mapas com o problema das quatro cores, o qual foi apresentado por Francis Guthrie a De Morgan em 1852, mas foi somente cem anos depois, em 1976, que se conseguiu provar que realmente a conjectura estava correta, obtendo-se o chamado Teorema das Quatro Cores, que afirma que quatro cores
são suficientes para colorir qualquer mapa planar.
Colorir um grafo G (V, E) é atribuir cores aos seus vértices de forma que vértices adjacentes recebam cores distintas. Simplesmente colorir um grafo é tarefa trivial, uma vez que pode-se imaginar distribuir uma cor para cada vértice. O problema da coloração realmente surge quando desejamos colorir o tal grafo utilizando o menor número possível de cores.
A coloração em grafos é um problema de otimização combinatória, que surge em muitas situações reais, tais como gerência, alocação de recursos e atribuições de frequências, podem ser modeladas. Dessa forma, Gardin e Hernanes (2008) propuseram a coloração em grafos fuzzy, com o Problema do Semáforo, que consiste em como programar um sistema de semáforos para controlar o tráfego de veículos em cruzamentos entre ruas de modo a evitar colisões, onde definem-se quais fluxos de veículos não são permitidos simultaneamente e o objetivo é planejar o controle dos semáforos com o menor número de fases possível.
Gardin e Hernanes descrevem ainda o problema de distribuição de exames, que consiste em elaborar o calendário de exames de um conjunto de disciplinas, dentro de um determinado tempo, quando um aluno não poderá fazer mais do que um exame simultaneamente. Neste caso as disciplinas são os vértices do grafo, as arestas unem as disciplinas que possuem alunos em comum nos exames e as cores representam os conjuntos de disciplinas que poderão ter exames juntos.
É comum na literatura o estudo de coloração em grafos para solução de problemas de otimização combinatória. Esses tipos de problemas podem ser representados como grafos não orientados, onde os vértices representam recursos que devem ser gerenciados e as arestas, o grau de incompatibilidade entre estes recursos.
Os problemas que se enquadram nessa categoria podem ser modelados e solucionados utilizando-se um grafo não orientado e em seguida determinando sua k-coloração. Bascariol et al (2007) trata de conceitos, definições, e dentre as aplicações da coloração de grafos cita a utilização de recursos, alocação de registradores, distribuição de freqüência e a coloração de mapas, descrevendo cada situação problema e uma maneira de resolvê-las.
A coloração de mapas vem sendo alvo de muitas pesquisas já que os mapas encontrados no mercado, tem a necessidade de apresentar suas regiões com cores diferentes em regiões vizinhas para uma melhor visualização, observa-se uma grande quantidade de cores que vem sendo empregada para colorir estes mapas, ocorrendo um desperdício de material. O que se propõe é um algoritmo que possa resolver esse problema, sendo possível determinar um número reduzido de cores necessárias para colorir um mapa. Este tipo de problema se enquadra na coloração de grafos.
Colorir os vértices de um grafo utilizando um número mínimo de cores, em geral é uma tarefa de difícil obtenção, pois requer um número elevado de operações. O método da força bruta, usando todas as combinações possíveis, pode ser aplicado, como em qualquer problema combinatorial, mas torna-se inviável computacionalmente à medida que cresce o número de vértices. Existem vários algoritmos que empregam heurísticas em sua estrutura, que consegue resolver problemas desta natureza em um tempo viável e que fornecem, em geral, boas soluções.
2.1 Tipos de Coloração
Coloração de grafos consiste em atribuir cores a partes pertencentes a eles. Essas partes podem ser arestas, vértices, faces e caminhos.
O mais comum é a coloração de vértices, pois todos os outros componentes de um grafo podem ser expressos em forma de vértices.
2.1.1 Coloração de Face
Na coloração de faces atribui-se uma cor a cada face do grafo, onde faces adjacentes devem possuir cores diferentes.
2.1.2 Coloração de Caminho
A coloração de caminhos consiste em atribuir cores a caminhos do grafo, onde caminhos com cores iguais não podem compartilhar a mesma aresta. Esse tipo de coloração é utilizada quando vários caminhos passam por uma mesma aresta, e cada um deles recebe uma cor.
2.1.3 Coloração de Arestas
A coloração de arestas consiste em atribuir uma cor a cada aresta do grafo, onde não é permitido haver mais de uma aresta da mesma cor partindo de um vértice, usando o menor número de cores possíveis.
A coloração de arestas pode também ser descrita como coloração de vértices. Para tal, deve-se construir um grafo linear do grafo, onde a cada aresta do grafo é atribuído um vértice.
Figura 4. Grafo com coloração de arestas
Figura 5. Grafo e seu respectivo grafo linear
2.1.4 Coloração de Vértices
Se não for especificado o tipo de coloração subentende-se como sendo uma coloração de vértices, pois este é o método mais importante. Como para os processos anteriores, neste caso atribui-se uma cor a cada vértice, de modo que vértices adjacentes tenham cores diferentes. Esta coloração deve ser feita de maneira a utilizar o mínimo de cores.
Figura 6. Grafo com coloração de vértices de 4 cores
2.2 Número Cromático
Um grafo pode ser apropriadamente colorido de maneiras diferentes, como na figura abaixo.
(a) (b)
Figura 7. Coloração de vértices do Grafo
Uma coloração de interesse é aquela em que se utiliza um número mínimo de cores. Um grafo G, que exige k cores para pintar seus vértices, e não menos, é chamado um grafo k-cromático, e o número k é chamado número cromático de G. Na Figura 7, o número mínimo de cores é 3, portanto o grafo é 3-cromático.
2.3 Teorema das Quatro Cores
A história do problema das quatro cores começou em 1852, quando Francis Guthrie, aluno de Augustus de Morgan, tentava colorir o mapa da Inglaterra com cores diferentes de maneiras que não houvesse regiões vizinhas com a mesma cor. Observou que apenas quatro cores seriam suficientes, e apresentou o problema a De Morgan. Surgindo então o Problema das Quatro Cores.
Este Teorema foi provado inicialmente em 1976, por Kenneth Appel e Wolfgang
Haken na Universidade de Illinois, com o auxílio de um computador.
O Teorema das Quatro Cores afirma que: Qualquer mapa planar pode ser colorido com apenas quatro cores.
3. Descrição e resolução do Problema
Considere o mapa da Figura 8, que representa uma parte da região sudoeste do estado do Paraná composta pelos municípios de Capanema, Planalto, Pérola do Oeste, Bela Vista da Caroba, Ampére, Pranchita, Santo Antônio do Sudoeste, Pinhal de São Bento, Bom Jesus do Sul, Barracão, Flor da Serra do Sul, Salgado Filho, Realeza, Manfrinópolis, Santa Isabel do Oeste, Salto do Lontra, Nova Prata do Iguaçu, Boa Esperança do Iguaçu, Dois Vizinhos, Enéas Marques, Nova Esperança do Sudoeste e Francisco Beltrão, totalizando vinte e duas cidades. No mapa original (Estado do Paraná Político / 2002) estas regiões estão coloridas com sete cores e o que se espera é colorir estas mesmas regiões com um número menor de cores.
Figura 8. Mapa com parte da região sudoeste Estado do Paraná
Na resolução será empregado um algoritmo heurístico, apresentado em Rabuske (1992). Este algoritmo, que está descrito a seguir, garante uma boa solução, mas não
necessariamente a melhor.
3.1 Algoritmo
1. Faça uma lista V com os vértices do grafo G que representa o mapa, em ordem de grau. Em caso de empate escolha-os de modo arbitrário.
2. i ← 0.
3. Se V ≠ ∅ vá ao passo 4 senão vá ao passo 8.
4.i ← i + 1
5. Crie um conjunto Ti contendo o primeiro vértice vj de V.
6. Enquanto existir na fila algum vértice vk não adjacente a qualquer vértice pertencente a Ti faça
7.Coloque vk em Ti.
8. Retire vk de V.
7. Volte ao passo 3.
8. Fim. A saída são os conjuntos T1, T2, ..., Tk, que devem ser coloridos com cores distintas.
Para fazer a aplicação do algoritmo devemos fazer uma representação do mapa por meio de um grafo (Figura 9). Esta pode ser feita através de um grafo dual, onde os vértices vão ser as regiões e existe um arco entre dois vértices se e só se as duas regiões têm fronteiras comuns. Agora o problema de coloração do mapa é equivalente a colorir cada vértice do grafo dual, de forma que dois vértices adjacentes tenham cores diferentes.
Figura 9. Representação do mapa em forma de grafo
Para este grafo a matriz de adjacência é:
A= [2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2
]A implementação do Algoritmo foi feita na linguagem Pascal, e foi empregada
para resolver o problema.
Executando o programa, obtém-se a seguinte solução:
Listas de vértices:
V= v10 ,v12 ,v18 ,v21 ,v2 ,v6 ,v9 ,v11 ,v14 ,v19 ,v4 ,v5 ,v13 ,v15 ,v20 ,v22 ,v3 ,v7 ,v8 ,v16 ,v17 ,v1T 1=v10 ,v12 ,v18 ,v3 ,v1T 2=v21 ,v2 ,v6 ,v14 ,v8 ,v16 T 3=v9 ,v11,v19 ,v4 ,v22 ,v7 ,v17 T 4=v5 ,v13 ,v15 ,v20
Cada lista de vértices equivale a uma cor, sendo que essas cores estão sendo representadas por letras, como segue:
A: Azul V: VerdeR: RosaC: Cinza
Figura 10. Mapa colorido
Note-se que no problema proposto (figura 8) o grafo possui 22 vértices e, por se tratar de um número pequeno, foi possível obter uma solução sem maiores dificuldades. Porém, ressalta-se a dificuldade computacional em se fazer este tipo de aplicação em grafos com muitos vértices, como seria o caso do estado do Paraná, que possui 399 municípios. Nesta situação teríamos uma matriz de adjacência de ordem 399x399, totalizando 159.201 (cento e cinquenta e nove mil duzentos e um) elementos.
4. Análise dos Resultados e Conclusões
Comparando os resultados com o mapa padrão pode-se observar que a quantidade de cores foi reduzida de sete para quatro. Este fato não diminuiu a qualidade da apresentação do mapa a certamente produz economia na sua produção. Conclui-se, portanto, que o algoritmo empregado teve êxito na resolução do problema proposto.
5. Referências ANDRADE, C. Q. A Criação no Processo Decisório. Editora LCT, 1980.
BOAVENTURA NETTO, P. O. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. São Paulo: E. Blücher, 2003, 314p.
BOSCARIOL, L.A., GAMEIRO, L.B., ARRUDA, R.L.S., Coloração de Grafos. UEL, 2007. Disponível em http://www2.dc.uel.br/~rlarruda/trab/coloracao-grafos.pdf . Acesso 30 Jan 2010.
GARDIN, E., HERNANDES, F. Aplicação da Coloração em Grafos Fuzzi no Problema de Distribuição de Aulas. In: Rev. Eletrônica Lato Sensu - Ano 3, nº 1, março de 2008. Disponível em http://web03.unicentro.br/especializacao/Revista_Pos/P%C3%A1ginas/3%20Ed20Edi%C3%A7%C3%A3o/Exatas/PDF/1-Ed3_CE-Aplicac.pdf. Acesso 10 jan 2010.
GALVÃO, R.D., NOBRE, F.F., VASCONCELLOS, M. M. Modelos matemáticos de localização aplicados à organização espacial de unidades de saúde. In: Rev. Saúde Pública vol.33 n.4 São Paulo Aug. 1999. Disponível em http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-89101999000400014&lng=en&nrm=iso. Acesso 28 ago 2008.
LOUÇA JUNIOR, C. et al. Aplicação de uma heurística GRASP paralela ao problema da p- mediana. In: Anais do X ENCITA. 2004. Disponível em
http://www.bibl.ita.br/xencita/Artigos/13.pdf. Acesso 28 jul 2008.
RABUSKE, M. A. Introdução à Teoria dos Grafos. Florianópolis: UFSC, 1992.184 p.
SOUZA, T. B. e VICENTE, A. Grafos e a localização do centro de emergência. In: Anais da XXI SAM, UNIOESTE, 2007. Disponível em http://cac-php.unioeste.br/cursos/cascavel/matematica/xxisam/PDFs/09.pdf. Acesso 14 jun 2008.
SOUSA, l., O Teorema das Quatro Cores. In: Millenium - Revista do ISPV n.º 24, Outubro de 2001. Disponível em http://www.ipv.pt/millenium/Millenium24/default.htm. Acesso 13 jan 2010.
6. Apêndice A
Conceitos Preliminares
Denomina-se grafo o conjunto G (V, E), onde V é um conjunto finito e não vazio e E um conjunto de pares ordenados, de elementos distintos de V.
Ou seja, um grafo G é definido como sendo um par ordenado (V, E), no qual V é um conjunto e E é uma relação binária sobre V. Os elementos de V são denominados vértices (pontos, nós ou nodos) e os pares ordenados de E são denominados arestas (linhas ou arcos) do grafo G (Figura 2). Diz-se que uma aresta é incidente sobre os nós que ela conecta. Dois vértices quaisquer que estejam conectados por uma aresta são chamados adjacentes. Também são chamadas de adjacentes duas arestas que se conectam a um mesmo vértice.
Figura 11. Grafo com 6 vértices e 7 arestas
Um arco conectando o vértice v com o vértice w será denotado pelo par não ordenado (v, w). Um grafo é dito orientado quando suas arestas possuem orientação ou direção, em um grafo não orientado, uma aresta ligando dois vértices v e w pode ser representada por (v, w) ou (w, v).
Um grafo é dito valorado quando atribui-se valores às suas arestas. A ordem de um grafo G é dada pela cardinalidade do conjunto de vértices. Em um grafo não orientado, o grau de um vértice é o número de arcos que incidem sobre ele. No caso do grafo ser dirigido, fala-se em grau de entrada e grau de saída. O grau de entrada é o número de arestas que chegam a ele, e o grau e saída é o número de arestas que saem dele.
Um vértice que não possui aresta incidente é dito isolado ou vértice de grau zero, e um vértice de grau 1 é dito pendente.
Um laço é uma aresta ou arco do tipo a = (v, v), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio.
Um grafo é regular de grau k, ou k-regular, quando todos os seus vértices têm o mesmo grau k.
Um grafo é dito conexo se for possível visitar qualquer vértice, partindo de um outro e passando por arestas, sendo que esta visita sucessiva é denominada caminho.
Um grafo é dito planar se existe alguma representação geométrica de G que possa ser desenhada em um plano, de modo que não exista cruzamento de arestas.
Caminho é qualquer seqüência de arestas onde o vértice final de uma aresta é o vértice inicial da próxima.
Matriz de Adjacência é uma matriz de ordem n, onde associa-se cada linha e coluna a um vértice, sendo n o número de vértices do grafo.
Os dados estruturais correspondem a valores nulos associados a ausência de ligações e valores não nulos, geralmente 1, quando o grafo for não valorado, nas posições (i,j) associados a presença de arcos, ou seja.
1, se existe a aresta i,j 0, se a aresta i,j não existe
ai,j=¿