soluÇÃo matricial e mÉtodo simplex revisado prof. m.sc. fÁbio francisco da costa fontes setembro...

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES

Setembro - 2009


REVISADORefletindo sobre o método simplex, nota-se que nemtodos os elementos do quadro são necessários para obter uma nova solução.Precisamos de:1- todos os cj, j ∊ N, para podermos encontrar cs = Min(cj);2- a coluna ps = (a1s,a2s,a3s,...,ams), que correspondeà variável xs, contendo os elementos necessários para opivoteamento;3- os valores de b, o que nos permite obterMin {bi / ais}, ais > o i ∊ MPortanto, valores atualizados das variáveis básicas(apóso pivoteamento).


REVISADO Então para um menor esforço

computacional, o ideal seria atualizar uma coluna somente quando a variável a ela associado fosse escolhida para entrar na base, ou seja, desejamos uma maneira de obter diretamente o valor dos elementos de uma coluna na iteração n sem que ela tenha sido atualizada nas n – 1 iterações anteriores


REVISADODado o problemaMax cTxs.a: Ax = b x≥ 0Onde A é m x m

Escolhe-se m variáveis/coluna para serem básicas e supõe-se que estas são as m primeiras. Assim, a matriz A pode ser particionada em:


REVISADO

A = [B : N] onde Bmxm e Nmxn-m

Mas esta partição induz a partição em X e C dados por xB

X = --- CT = [cBT:cN

T] xN

Daí se obtémAx = b <==> [B : N] xB

--- = b xN

BxB + NxN = b


REVISADO

Se existe B-1 entãoB-1BXB + B-1NxN = B-1bComo B-1B = I, entãoxB +B-1NxN = B-1b ou xB = B-1b – B-1NxN

Por outro ladocTx = cB

TxB + CNTXN

= cBT(B-1b – B-1NxN) + cN

TxN

= cBTB-1b –CB

TB-1NxN+cNTxN

= cBTB-1b +(cN

T – cBTB-1N)xN


REVISADO

Então:cTx = cB

TB-1b +(cNT – cB

TB-1N)xN

xB = B-1b – B-1NxN

Fazendo xN = 0

Z=cTx = cBTB-1b

xB = B-1b≥0


REVISADO

Exemplo para explicação do algoritmo do método simplex revisado

Max x1 + x2 Max x1 + x2

s.a: 2x1 + x2 ≤2 s.a: 2x1+x2 + x3=2

x1 + 3x2 ≤ 3 x1+3x2+x4=3

x1≥0 e x2≥0 x1,x2,x3,x4≥0


REVISADO

Passo1- solução básica inicial 2 1 1 0 IB={3,4} INB={1,2}A= cB

T = (0 0)

1 3 0 1 cNT = (1 1)

N= 2 1 B=B-1= 1 0 b= 2 1 3 0 1 3


REVISADO

Passo2 – Teste de Otimalidade e seleção da variável que entra na base

cNT- cB

TB-1N=(1 1)-(0 0) 1 0 2 1 =(1 1)

0 1 1 3 Como existe cNi- cB

TB-1Ni ≥ 0, então a solução ainda não é ótima.

X1 entra na base


REVISADO

Passo3 – Atualizar bb’ = B-1b = 1 0 2 = 2 0 1 3 3Passo4 – Determinar a variável que

deve sair da baseN1 = B-1N1 = 2 1 0 = 2 1 0 1 1min{b’/N1¹, b’/N2¹}=min{2/2, 3/1}=1

X3 sai da base


REVISADO

Passo5 – Achar a nova solução BásicaIB={1,4} INB={3,2}

B= 2 0 N= 1 1 B-1= ½ 0 1 1 0 3 -½ 1

xBT=(x1 x4) xN

T=(x3 x2)cB

T=(1 0) cNT=(0 1)

Retornar ao Passo2.


REVISADO

cNT- cB

TB-1N=(0 1)-(1 0) ½ 0 1 1 =(-½ ½)

-½ 1 0 3x2 entra na base

Passo3 –b’= B-1b = ½ 0 2 = 1 -½ 1 3 2


REVISADO

Passo4 –N² = B-1N²= ½ 0 1 = ½ -½ 1 3 5/2

min{b’/N1², b’/N2²}min{1/(½), 2/(5/2)}=0,8x4 sai da base


REVISADO

Passo5 –IB={1,2} INB={3,4}B= 2 1 N= 1 0 B-1= 3/5 -1/5 1 3 0 1 -1/5 2/5xB

T=(x1 x2) xNT=(x3 x4)

cBT=(1 1) cN

T=(0 0)

Retornar ao Passo2.


REVISADO

cNT- cB

TB-1N=(0 0)-(1 1) 3/5 -1/5 1 0

-1/5 2/5 0 1cN

T- cBTB-1N =(-2/5 -1/5)

Como não existe cNi- cBTB-1Ni ≥ 0,

então a solução é ótima.Calcular xB e Z


REVISADO

xB = B-1b

xB = 3/5 -1/5 2 = 3/5

-1/5 2/5 3 4/5

Z=cBTB-1b= (1 1) 3/5 -1/5 2

-1/5 2/5 3Z= (2/5 1/5) 2 = 7/5 3

Exemplo 2

Resolva o problema abaixo:Max 3x1 + 5x2

s.a: x1 ≤ 4

x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18

x1≥0 e x2≥0

BibliografiaANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução àPesquisa Operacional: Métodos e ModelosPara A Análise de Decisão. Rio de Janeiro: LTC, 1989. Cap. 3, p. 377.

MACULAN FILHO, Nelson; PEREIRA, MárioVeiga Ferraz. Programação linear. São Paulo: Atlas, 1980. Cap. 3, p. 182.

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