sobre teorema ds o tipo borsuk-ulam - university of são paulo

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 21.02.2005

Assinatura: 1

Sobre teoremas do tipo Borsuk-Ulam

Denise de Mattos

Orientador: Prof. Dr. Carlos Biasi

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências: Matemática.

USP - São Carlos Fevereiro de 2005

Aluno:Denise de Mattos

A Comissão Julgadora:

Prof. Dr. Carlos Biasi

Prof. Dr. Pedro Luís Queiroz Pergher

Profa. Dra. Alice Kimie Miwa Libardi

Prof. Dr. Daniel Levcovitz W )CL \ L

Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves Á^AJ^y. ^ V ^ i . ^ - ^ y ^

/Ia T

Dedico este trabalho à minha filha Marina,

porque os filhos são nossa melhor herança,

aqueles por quem lutamos e vencemos,

por quem temos esperança, de quem

aprendemos, muito mais que ensinamos:

o melhor de nós mesmos.

Resumo

Neste trabalho, nós obtivemos algumas interessantes versões do Teorema de Borsuk-

Ulam. Especificamente, nós provamos uma versão para variedades generalizadas do

famoso teorema tipo Borsuk-Ulam provado por Conner e Floyd. Além disso, uma

versão para ações livres do um grupo compacto de Lie e uma versão não-padrão do

Teorema de Borsuk-Ulam são provadas.

Abstract

In this work we obtain some interesting versions of the Borsuk-Ulam Theorem.

Specifically, we prove a version for generalized manifolds of the famous Borsuk-Ulam

theorem type proved bv Conner and Floyd. Moreover, we prove a version for compact

Lie group actions and a non-standard version of the Borsuk-Ulam Theorem.

Agradecimentos

A todos aqueles que de algum modo me incentivaram e acompanharam a minha

jornada, meus mais sinceros agradecimentos: a Deus, por ter me dado saúde e forças

para enfrentar e superar as dificuldades e à minha família, pelo amor que têm por mim.

Ao meu orientador, Professor Doutor Carlos Biasi, a quem agradeço pela confiança

erri mim depositada, pela orientação sempre segura e extremamente competente e que

muito contribuiu com o seu otimismo, a sua experiência e conhecimento para o meu

aprendizado. Em especial, agradeço pela amizade, dedicação e paciência.

Ao Professor Doutor Pedro Luís Queiroz Pergher, da Universidade Federal de São

Carlos, pelas importantes sugestões, as quais muito contribuíram para o aprimoramento

deste trabalho. Em particular, pela gentileza e amizade.

A todos os professores que contribuíram diretamente para a minha formação, em

especial ã Professora Doutora Alice Kimie Miwa Libardi, da Unesp de Rio Claro, a

quem devo amizade e muita gratidão.

A todos os colegas da pós-graduação, pelo apoio, incentivo e amizade. Ao professor

Doutor Sadao Massago pela sua disponibilidade com relação às frequentes dúvidas no

uso do Látex.

A todos os professores e funcionários do ICMC, que com o seu trabalho e com-

petência contribuíram para o sucesso deste trabalho.

A Marina, pela alegria e otimismo constantes e à Eliane, pelo incentivo e amizade!

E como não poderia deixar de ser, ao Edivaldo, que muito contribuiu com este

trabalho, através de valiosas sugestões, algumas fundamentais, no que se refere à

obtenção dos resultados, a quem agradeço especialmente, por todo apoio, otimismo,

dedicação e muita paciência!

A FAPESP pelo apoio financeiro.

Obrigada a todos!

Sumário

I n t r o d u ç ã o iii

1 P r é - r e q u i s i t o s 1

1.1 Espaços classificantes 1

1.2 0 espaço de Borel 3

1.3 Sistemas de Coeficientes Locais 4

1.4 Sequência Espectral 9

1.5 O homomorfismo transgressão 12

1.6 O homomorfismo de Bockestein 13

1.7 Cohomologia dos espaços classificantes B1jP e BSL 14

1.8 A Classe de Euler e a sequência de Gvsin 15

1.9 A Classe de Wu 17

2 O T e o r e m a de B o r s u k - U l a m p a r a apl icações de es feras e m v a r i e d a d e s

gene ra l i z adas 19

2.1 Introdução 19

2.2 Z2-Variedades Generalizadas 20

2.2.1 As classes de Stiefel-Whit.ney de uma variedade generalizada . . 23

2.3 Lema Chave 29

2.4 Demonstração do Teorema 2.1.1 34

3 Versões do T e o r e m a de B o r s u k - U l a m p a r a G-ações l ivres 41

3.1 Uma versão do Teorema de Borsuk-Ulam para ações livres de um grupo

compacto de Lie 42

i

3.1.1 Demonstração do Teorema. 3.1.1 45

3.1.2 Sobre a existência de pontos de Z,,-coincidências 54

3.2 Uma versão do Teorema de Borsuk-Ulam para Z-^-ações livres 57

3.2.1 Demonstração do Teorema 3.2.1 58

3.3 Um exemplo sobre a não existência de uma aplicação Z2-equivariante

entro duas variedades fechadas e de mesma dimensão 62

3.3.1 Construção do exemplo 62

4 U m a ve r são n ã o p a d r ã o do T e o r e m a de B o r s u k - U l a m 66

4.1 Introdução 66

4.2 Demonstração do Teorema 4.1.2 68

4.3 O Caso em que p é uma a;-contração 74

4.4 Generalizando a construção de Pannwitz 76

R e f e r ê n c i a s Bib l iográf icas 82

Introdução

O teorema clássico de Borsuk-Ulam [6] afirma que toda função contínua / da n-

esfera Sn 110 n-espaço Euclidiano R", colapsa pelo menos um par de pontos antípodas,

ou seja, existe1 um ponto x E Sn tal que f ( x ) = f(A(x)), onde A : Sn — S n denota a

aplicação antipodal /4(.r) = -x, para todo x e Sn. Esse teorema é uma das mais úteis

ferramentas da topologia algébrica que tem sido extensamente usado em diferentes

áreas. Uma das razões o que existem inúmeras versões e muitas demonstrações conhe-

cidas de cada versão. As técnicas das demonstrações são completamente variadas: os

métodos geométricos e elementares, as técnicas algébricas, combinatoriais, a topologia

algébrica e muitas outras ferramentas têm sido usadas para prová-lo. O resultado foi

primeiramente conjecturado por S. Ulam e provado por Karol Borsuk, em 1933. Desde

então, têm sido publicadas diferentes demonstrações, generalizações e aplicações deste

famoso teorema (vide, por exemplo, [36]).

Dentre as generalizações bem conhecidas, destacamos pela sua importância, o

trabalho de P.E. Conner e E.E.Floyd [15]. A famosa versão do Teorema de Borsuk-

Ulam provada por eles na década de 60, substitui o n-espaço Euclidiano Rw por urna

^-dimensional variedade diferenciável Mk. para n > k, com a hipótese adicional que a

induzida da / no nível n se anula na Z2-cohomologia.

Existem muitas formulações diferentes do Teorema de Borsuk-Ulam. Uma delas é

a de que não existe uma aplicação da m-dimensional esfera Sm na n-dimensional esfera

S'\ equivariante com relação à aplicação antipodal, quando m > n. Um caminho

natural para se generalizar este resultado, é o de substituir as esferas Sk por uma classe

mais ampla de espaços topológicos. Em [45, Teorema 1], Pergher et al. provaram que

se A' e Y são espaços topológicos de Hausdorff, conexos por caminhos e paracompactos,

iii

I V

equipados com involuçoos livres T : X .Y e S : Y Y tais que para algum natural

n > 1, È«(X) = 0, para 1 < q < n - 1 e H"{Y/S) = 0, então não existe uma

aplicação equivariante f : (X,T) (Y,S), onde H denota a cohomologia de <7ech

mod 2 e Y/S é o espaço de órbitas de )" por S. Como um corolário desse resultado,

eles provaram que para toda função contínua / : À" —> Rfc, existe um ponto x £ X tal

que /( .x) = f(T(x)), se n > k, o cine generaliza o Teorema de Borsuk-Ulam. Versões

homológieas desses resultados são obtidas em [45], para espaços não paracompactos,

considerando Y localmente conexo por caminhos. A demonstração de tais versões, é

baseada na T-homologia o no Z^-índice do Yang [50],

Em função dos dados acima, meu orientador propôs-me como tema para o desen-

volvimento desse projeto de t.ese, a obtenção de novas e interessantes versões do Teo-

rema de Borsuk-Ulam. Nesse contexto, nós tratamos da questão da extensão sob três

aspectos completamente distintos, os quais descreveremos a seguir. Com relação ao tra-

balho de Conner e Floyd, nós estudamos a possibilidade de substituir a variedade dife-

renciávcl por uma classe especial de espaços topológicos conhecidos como Z2-variedades

generalizadas. No sentido da não existência do aplicações ocjuivariant.es, nós abordamos

o problema de substituir a ação livre do grupo cíclico Z2, determinada pelas involuções

livres sobre A' o Y, no Teorema 1 de [45], por uma ação livre de um grupo compacto de

Lie. Em outra direção, uma pergunta natural que surge ao pensarmos em substituir,

no Teorema do Borsuk-Ulam, a esfera Sn por um espaço topológico X arbitrário e as

funções Identidade e Antipodal por um par do funções apenas contínuas '//'. </? definidas

sobre X é se seria possível provar que para toda função contínua, / de À' em R", existe

um ponto x cm X tal que /('0(.7;)) = f{ip(x)). Esses três problemas constituem-se no

conteúdo desse projeto de tese.

Inicialmente, no Capítulo 2, nós provamos uma versão para Z2-variedades gene-

ralizadas do famoso Teorema tipo Borsuk-Ulam provado por Conner e Floyd para

variedades diferenciáveis. ENR variedades homológieas são conhecidas por comparti-

lharem muitas propriedades globais com as variedades topológicas. A descoberta de

Z-variedades homológieas exóticas de dimensões mais elevadas nos anos 90, abriu di-

versas questões relacionadas às similaridades e às diferenças da topologia local e global

V

das variedades exóticas e topológicas. A natureza exótica dessas variedades genera-

lizadas é detectada pela não trivialidade da O-diíneiisional classe de Pontrjagyn. As

classes de Stiefel-Whitney, por sua vez, são insensíveis a estas diferenças. Partindo deste

princípio básico, nós adaptamos os argumentos do Conner e Floyd, baseados nas classes

de Stiefel-Wliitney, para provar o teorema de Borsuk-Ulam para ENR Z2-variedades

homológicas. Mais especificamente, nós provamos o seguinte

T e o r e m a 2.1.12 Seja f : Sn —> Mk uma função contínua da n-esfera Sn em uma

variedade generalizada Mk e denotemos por A ( f ) = {.r € X;f(.r) = f (—:/:)}.

i) se n > k, então dim A ( f ) > n — k;

vi,) se n = k e f* : Hn{Mn,Z2) Hn{Sn. Z2) for nula, então A ( f ) ± 0.

Na demonstração de Conner e Floyd, a estrutura diferenciávol da variedade Mk

*

permitiu que se fizesse uso das classes de Stiefel-Wliitney. Recentemente, em [4]

C.Biasi, ,J. Daccach e O. Saeki definiram as classes de Stiefel-Whitney para uma

variedade generalizada e este é o principal ponto concernente â nossa generalização:

seguindo os mesmos passos de Conner e Floyd, nós provamos o Teorema 2.1.1 usando

essa nova definição.

No Capítulo 3 nós consideramos a questão de estender o Teorema 1 de [45] sob dois

aspectos distintos: 11a, seção 3.1, nós substituímos a ação livre do grupo Z2 , determinada

pelas involuções livres sobre A' e Y, por uma ação livre de um grupo compacto de Lie.

Sejam R um PID e G um grupo compacto de Lie. Sejam A', Y G-espaços livres.

Denotemos por A (A; R) o x-ésimo número de Betti de A'. Nós provamos o seguinte

T e o r e m a 3.1.1 Sejam G um grupo compacto de Lie e X, Y (7-espaços livres, conexos

por caminhos e paracompactos de Hausdorff. Suponhamos que para algum natural

7H > 1, H"{x-R) - 0, para 0 < q < m e que Hm+l(Y/G;R) = 0. Então, se

/im(A';/?.) < /"i„í+i (BG\ R). não existe aplicação (7-equivariante / : A" —> Y.

Nós temos o seguinte Corolário do Teorema 3.1.1.

Coro l á r io 3.1.2 Seja G um grupo compacto de Lie de dimensão p. Sejam A um G-

espaço livre, conexo por caminhos e paracompacto de Hausdorff, tal que Hq(X; R) — 0,

2 [5, Theorem 1.1]

V I

para O < q < m e V uma (m+/j)-dimensional variedade» topológica conexa por caminhos

com uma ação livre de G. Se ftm(X\R) < ftm+l(BG; R), então não existe aplicação

(7-equivariante / : A' —> Y.

Quando G = Zq, onde1 q > 1 é um inteiro, uma consequência do Teorema 3.1.1 é o

seguinte

C o r o l á r i o 3.1.4 Sejam A', Y Z(/-espaços livres, conexos por caminhos e paracompaetos

de Hausdorff. Seja p um primo que divide q. Suponhamos que Hr(X;Zt,) = 0, para

1 < /• < vi e que H'" + l(Y/Zp-.Zp) = 0. Então não existe aplicação Z(/-equivariant,e

. / : V >V.

Sejam Y* = n ^ = 1 V — A, onde A é a diagonal em n| '= 1V l ; tY : Y* —>• Y* o homeomor-

íisrno de período p, onde p é um primo ímpar, tY(yL, y2, • • • , yp) — (y2, v/3, • • • , yp, y 1).

Na seção 3.1.2, nós obtivemos o seguinte teorema sobre a existência de pontos de

Zp-coincidência, o qual também é uma consequência do Teorema 3.1.1.

T e o r e m a 3.1.13 Para um natural n > 1, suponhamos que H' {X;ZP) = 0, para

1 < r < n e que Hn+Í{Y*/ ty^Zp) = 0. Então toda função contínua f : X —» 1 tem

um ponto de Zp-coincidência. ou seja, existe um ponto x 6 A' tal que f ( x ) = f(g(x)),

para todo g £ TLV.

Na Síição 3.2, nós mostramos que é possível enfraquecer as hipóteses cohomológicas

exigidas no Teorema 1 de [45]. Nós provamos o seguinte

T e o r e m a 3.2.1 Sejam Ãr, Y conexos por caminhos e paracompaetos de Hausdorff, com

involuções livros T : X —>• X, S : Y -> Y e .4 C A" conexo por caminhos e T-invariante.

Suponhamos que para algum natural n > 1, Hr(A,Z2) = 0, para 1 < r < n — 1,

i* : Hn(A',Z2) -)• Hn{.4,Z2) seja nula e Hn+\Y/S,Z2) = 0. Então, não existe

aplicação Z2-equivariante / : (X,T) —» (V, S).

Na seção 3.3, nós apresentamos um exemplo sobre a não existência de uma aplicação Z2-

equivariante (!nt.ro duas variedades topológicas fechadas, de mesma dimensão, dotadas

com involuções livres e que não são espaços m-acíclicos.

No Capítulo 4. nós obtemos uma interessante,versão não padrão do Teorema de Borsuk-

v i i

Ulain. Nós mostramos que se ip, íp : A" —» X são funções contínuas satisfazendo certas

condições, então para toda função contínua / : X ->• IR2 ou existi1 um ponto x G X

tal que f(íp(:r)) = /((/'(./')) 011 existe um ponto x 6 A' tal que f(ipij)(x)) pertence ao

segmento de rota fechado em R2 unindo os pontos f(<p2(x)) e f(ip2(x)). Nós conside-

ramos um caso compacto, dado pelo Teorema 4.1.2, assim como um caso mais geral,

dado pelo Teorema 4.3.5, quando y? é uma a-contração. 0 resultado acima generaliza o

Teorema de Borsuk-Ulam no caso de aplicações de S2 cm R2 . Nós obtivemos também

um resultado relacionado a aplicações de A" em R, dado pelo Corolário 4.2.9.

Na Seção 4.4, nós estendemos para um espaço topológico A", sob certas condições, a

construção feita por E. Pannwitz, em [44], Neste artigo, foi provada a existência de

uma função livre / : Sk -¥ R2 , para todo k > 0. A construção de uma tal função foi

feita indutivamente sobre k. Para cada k > 0, foram construídas funções contínuas

ípk : Sk ->• SK c fk • SK ->• R2 tais que

fk{x) + fkbkWh (0-0-1)

para todo x £ A". Nós provamos que se A' é um espaço topológico tal que existe uma

função livre / : X R2, então existe uma função livre / : S(X) R2, onde S(X) é

a suspensão de X.

Capítulo 1

Pré-requisitos

Este capítulo introduz as noções básicas e notações que serão usadas em todo este

trabalho. Em todo este capítulo H* and H* denotarão os grupos de homologia e

cohomologia singular e o símbolo = denotará o isomorfismo apropriado entre os obje-

tos algébricos. Se G é um grupo topológico atuando em espaços topológicos X e Y.

uma G-apUcação ou urna aplicação G-equivariante é uma função contínua / : X —>• Y

que preserva a G-ação. ou seja, f(gx) = gf{x), para qualquer g Ç G. Observemos que

se H é um subgrupo de G e se / : A' — 1 ' é urna aplicação G-equivariante, então / é

i í -equi variante. Uma aplicação G-equivariante / : X Y induz uma aplicação entre

os espaços de órbitas / : X/G —> Y/G.

1.1 Espaços classificantes

Uma construção direta do espaço classificante BG, para qualquer grupo topológico G,

foi dada primeiramente por Milnor [40]. Dado qualquer grupo topológico G, existe

um espaço BG e um G-fibrado principal universal EG —> BG tal que para qualquer

espaço paracompacto Hausdorff B, a construção pullback induz uma bijeção entre o

conjunto [B, BG] das classes de liomotopia de aplicações de B em BG e a classe dos

isomorfismos de G-librados principais sobre B. Denotaremos o G-fibrado principal

universal EG —> BG por ujg.

São válidos os seguintes teoremas, cujas demonstrações podem ser encontradas em [33,

1

I. Pré-requisitos 2

Ca]).4, Teoremas 12.2, 12.4].

T e o r e m a 1.1.1 Para qualquer G-fibrado principal i) = (G, G, E, p, B) sobre um espaço

paracompacto Hausdorff B, existe uma aplicação f : B —> BG tal que ij e o fibra,do

pullback f*(wo) sào G-fibrados principais isomorfos sobre B. A aplicação f : B —> BG

é chamada uma aplicação classificante para o G-fibmdo principal E A B.

T e o r e m a 1.1.2 Sejam / o , / i : B —> BG duas funções contínuas tais que f^uia) e

f*(cú(;) são G-fibrados principais isomorfos sobre B. Então /o é homotópica a f\.

No caso em que G é um grupo compacto de Lie, é válido o seguinte teorema funda-

mental, cuja prova pode ser encontrada em [10, Cap.II, Teorema 5.8].

T e o r e m a 1.1.3 Suponhamos que X seja um espaço paracompacto Hausdorff e que G

seja um grupo compacto de Lie a,tua,ndo livremente sobre X. Então X —>• X/G é um,

G -fi b ra d o p r i n c vp a l.

O b s e r v a ç ã o 1.1.4 Sejam A', Y paraconipactos Hausdorff com ação livre de um grupo

compacto de Lie G. Denotemos por qx e rjy os G-fibrados principais X —> X/G e

Y —> Y/G, respectivamente e seja h : X/G —> BG uma aplicação classificante para r/x,

então r/x e h*(ua) são G-fibrados principais isomorfos sobre X/G. Suponhamos que

f : X —> Y seja uma aplicação G-equivariante. Se y : Y/G ->• BG é uma aplicação

classificante para r/y-, então gof : X/G BG também classifica o G-fibrado principal

r/x e gofé, homotópica a //, onde / : X/G Y/G é a induzida por / entre os espaços

de órbitas. De fato, consideremos o seguinte diagrama comutativo

A' — - — } ' * E G (1-1.1)

X/G Y/G BG

Segue do Teorema 1.1.1 que ?]Y e o fibrado pullback g*(ua) são G-fibrados principais

isomorfos sobre Y/G. Desde que / : X —> Y é G-equivariante, temos de [33, cap.4,

Teorema. 4.2] (vide [21, Cap.l, Proposição 8.6]) que r/x e o fibrado pullback f*{i]y) são

G-fibrados principais isomorfos sobre X/G. Por outro lado, desde que r/y é isomorfo a


g*(wa), segue de [33, Cap.4, §10] que /*(//> ) é isomorfo a f*(g*{ua))- Além disso, de

[33, Cap.2, Proposição 5.7] temos que f*(g*(cua)) e (gof)*(ua) são G-fibrados principais

isomorfos sobre X/G e portanto ijX e (g o f)*(uj(;) são G-fibrados principais isomorfos

sobre X/G, o que implica do Teorema 1.1.1 (pie gof é uma aplicação classificante para

o G-fibrado principal A" —> X/G. Segue do Teorema 1.1.2 que gof é homotópica a h.

1.2 O espaço de Borel

Suponhamos que G seja um grupo compacto de Lie atuando livremente em um espaço

topológico X paracompacto Hausdorff. Então, podemos tomar

h : X/G BG (1.2.1)

uma aplicação classificante para o G-fibrado principal A" —>• X/G, onde EG —> BG é o

G-fibrado principal universal para G.

Denotemos por Xq o espaço de Borel EG x G X de A', obtido da seguinte forma: G

age livremente sobre EG x A" pela ação g(e, x) = (ge, gx) e EG x G X = (EG x X)/G.

A aplicação entre os espaços de órbitas

p: Xfí ^ {EG)/G = BG, (1.2.2)

induzida pela projeção na primeira coordenada EG x A' EG é uma hbração com

fibra A' e espaço base BG sendo o espaço classificante de G: p é chamada uma fibração

de Borel associada ao G-espaço A'.

O b s e r v a ç ã o 1.2.1 Se G age livremente sobre A', então a aplicação

,s : A,. X/G, (1.2.3)

induzida pela projeção na segunda coordenada EG x X —> X, é uma fibração com

fibra contrátil EG e portanto uma equivalência de homotopia (para detalhes vide, por

exemplo, [21]).

O b s e r v a ç ã o 1.2.2 Sejam p : Xa = EG x(;X BG a fibração de Borel associada ao

G-espaço livre X, onde G é um grupo compacto de Lie e denotemos por r : X/G —> XG

a inversa homotópica de .s : X(; ->• X/G. Então, por : X/G BG classifica o G-

fibrado principal A" —> X/G. De fato, consideremos o diagrama comutativo

A -

v

X/G

EG x A

X,

EG

Y

BG

' 1 - 2 . 4 )

Denotemos por // o G-fibrado principal A' —> X / G e por o; o G-fibrado principal

EG x X —> X(;. Desde1 que p é uma aplicação G-equivariante, temos que o fibrado

pullback p*(iMc) e cv são G-fibrados principais isomorfos. Assim, c suficiente provar que

o fibrado pullback r*(n) e ?/ são G-fibrados principais isomorfos. Para isto, considere-

mos o seguinte diagrama comutativo

A" -

X/G

EG x X

Ar;

'A"

V

X/G

' 1 . 2 . 5 )

e observemos que a c G-equivariante, assim o fibrado pullback $*('//) o são G-fibrados

principais isomorfos, deste modo /•*(«*(//)) é isomorfo a /•*(«). Por outro lado, desde

que .v o r é homotópica à identidade, temos que (,v o ?•)*(//) = r*(,s*(rj)) é isomorfo ao

fibrado pullback I(!*(rj) = r/. Assim, r*(cv) e ij são G-fibrados principais isomorfos.

Portanto, // = •/•*(<•*) = •/•*(;/(u;f/)) = {p 0 r)*(u><v), o ciu(> implica que p o r classifica o

G-fibrado principal //.

1.3 Sistemas de Coeficientes Locais

Nosso objetivo, nesta seção, é definir os grupos de homologia e cohomologia com

coeficientes locais em um fibrado de grupos. Dado um espaço topológico B, seja

I I , ( £ , « , / ; ) = { [ A ] ; A : I B . A ( 0 ) = a , A ( l ) = 6 } ( 1 . 3 . 1 )

o conjunto das classes de homotopia de caminhos cm B unindo os pontos a c b.

Def in ição 1.3.1 Um fibrado de grupos sobre B, o qual será denotado por Q. é uma

coleção de grupos {Gi/,b € B}, junto com uma coleção de homomorfismos

/ í , [ A ] : Gbl G6(), para cada elemento [ A ] G Tl^B,^,^), satisfazendo


(1) se [b] â a identidade (o caminho constante) em EL (B, b, b) então h[b] = id : Gb —> G/,;

(2) se [A] E Yl\(B,boJh) e [//,] € I I \ (B ,b \ , b 2 ) e se A * // é o caminho justaposto de A

por //, então h[\ * //,] = /í[A] O /;,[//] : GV> —> G/)().

O b s e r v a ç ã o 1.3.2 As condições (1) e (2) da Definição 1.3.1 implicam que /t[A] é um

isomorfismo. De fato, denotando por A"'(í) = A(1 — t) temos que [A * A^1] = [60] E

n i ( 5 , 6 0 i b 0 ) c assim h{A * A^1] = h[A] o h.{\"1] = %d.

E x e m p l o 1.3.3 Dado uni grupo G, existe o fibrado trivial de grupos sobre B, também

denotado por G, onde Gb = G para todo b E B e /;,[A] = id : G —> G para todo

E x e m p l o 1.3.4 Suponhamos que F ^ E A B seja uma fibração, com B conexo por

caminhos. Para cada natural n > 0, nós podemos construir um fibrado de /^-módulos,

Q = 'Hn(F\R) como segue: dado um elemento b E B seja Gb = Hn(Fb]R!), onde

Fb — p~l{b). Dado um caminho A : / —> B com A(0) = b0 e A(l) = bi, aplicando a

propriedade do levantamento de hornotopia para fibrações, um levantamento de A dá

origem a uma aplicação A : Fbo —> Fbl tal que A é uma equivalência de hornotopia e A

é única, a menos de hornotopia [48, pg.185]. Para cada [A] E Ili(B,bo,bi), seja

h[\] = (Ã' 1) , : Hv (Fbl; R) II,,[ / ;. : /i'j. (1.3.2)

Segue de [48, Cap.4, §8] que Ç = Kn(F\ R), juntamente com a coleção de hornomorfis-

mos h[X] definidos acima, é um librado de i?-módulos.

O b s e r v a ç ã o 1.3.5 Usando os mesmos argumentos do Exemplo 1.3.4, ternos que

Ç = H"(F: /?), juntamente com a seguinte coleção de homomorfismos /i[A]

/i[A] = Ã* : Hn(Fbl; R) H" (Fba\ R). (1.3.3)

é um fibrado de /í-módulos (vide [11, Cap.3. §2, Teorema 2.8]).

Def in ição 1.3.6 Um morfismo entre filtrados de grupos, E : Qi -» Ç2 é uma coleção

de homomorfismos Eb : (Gi)b (G2)b, para cada b E B, satisfazendo a propriedade

que o seguinte1 diagrama comuta, para todo [A] em II| (B, Z>0, b\).

[Gijbi ^ (Cl)60

h-iW (G 2j6o

E x e m p l o 1.3.7 Sejam E -A B e E' A D. fibrações corri mesmo espaço base B, conexo

por caminhos. Suponhamos que exista uma aplicação entre fibrações,

Fh

E

F' rb

E'

(1.3.4)

B

a qual preserva fibra, ou seja, f ( p ' (b)) C (//) 1 (b), para cada b £ B. Então o diagrama

Hn(Ebl-fí)

l

m HN(FBQ-R)

U

HN(F'BL-R)17^HN(F'BO-R)

é comutativo, onde h[X] e //'[A] são os horriomorfismos definidos no Exemplo 1.3.4.

Deste modo, /* induz um morfismo de fibrados H„(F: R) —> RN{F'; R)

Um morfismo de fibrados é um •isomorfismo se cada Eb for um isomorfismo. Fixemos

um fibrado de grupos abelianos, Ç, sobre um espaço B, então Q 6 chamado um Sistema

de Coeficientes Locais sobre B. Um Sistema de Coeficientes Locais Q é chamado trivial

se existe um fibrado trivial de grupos G e um isomorfismo E : Q — G , para algum

grupo G.

E x e m p l o 1.3.8 Seja F ^ E A B uma fibração com fibra F e base B conexos

por caminhos. Então, o sistema de coeficientes locais sobre B, %Q{F\R) é trivial.

Fixemos um ponto b € B e mostremos que existe um isomorfismo 5 : Hq(F) -> H0(FB),

com H0{Fb) = H0(F) o fibrado trivial de grupos sobre B. Sejam ò0,ò, <G B e [A] 6

11] (B, b0, Desde que B é conexo por caminhos, existem caminhos A, & : L —>• B

tais que O-(O) = b, ÍV(1) = b\, /"?(()) = b,[3( 1) = b{). Consideremos os homomorfismos

h[a] : H0{Fh]) H{)(Fb), h[ft] : / / 0 ( F J H0(Fb), h[X] : HQ(Fbl) HQ(F,J, definidos

no Exemplo 1.3.4. os (piais são isomorfismos, pela Observação 1.3.2. Como F é conexo

por caminhos, temos que o homomorfismo

h[(í] O h{\] O %]- 1 = h{fi * X * a-'] : H0(Fh) H,(Fb). :i.3.Õ)

coincide com o homomorfismo identidade Id : H0(Fb) —>• H0(Fb). Assim, obtemos o

diagrama comutativo

H0(Fbl) H0(Fbo) (1.3.6)

Hf,, =h[o

H0(Fb) Id MFb)

para todo [A] € Ui(B,b0.b]) e o sistema de coeficientes locais {F',R) sobre B é

trivial.

O b s e r v a ç ã o 1.3.9 Usando os mesmos argumentos do Exemplo 1.3.8, prova-se que se

F > E A B é uma fibração com fibra F e base B conexos por caminhos, então o

sistema de coeficientes locais sobre B, 7í°(F; R), é trivial.

Denotemos por C*(B) o grupo das cadeias singulares sobre B. Defininos

CP{B- Ç) = { funções c : CV{B) UbeBGb: c{a : Ap B) G C o M , c(a.) ± O,

somente para um número finito de />simploxos singulares a : Ap —> B}

= {p-cadeias singulares com coeficientes no fibrado de grupos Ç}.

onde e0 £ Uma p-cadeia é chamada elementar se c(oi) ^ O para 110 máximo urri

p-sirnplexo singular a : Ap B. Uma p-cadeia típica com coeficientes em Ç pode ser

escrita como uma soma formal de p-cadeias elementares

c - H n • o n f l e 9i £ Gni(eo).

Para definir o bordo de uma ;>cadeia elementar r, observemos que se o : Ap —> B,

O'(c0), se i / 0;

o(ei), se i = 0

(d,:a<)(e0) = <

onde 0 : CP{D) —> CP-\(B). Consideremos o caminho A(V : / —> definido ]>or

Xa(t) = a(te0 + {l -t)ev),

unindo «(p,) a «(fo). Segue que a classe de hoinotopia [AQ] £ I l i ( 5 , a(ei) , «(e0)) induz

um isomorfismo /í.[An] : Gn(,,n) -> Gfv(n)- ^ operador bordo d : CP(B\Ç) —> Cp.-i(B:Ç),

definido pela fórmula

9{c) = d ^Z&aij = Y1 + ^J 1 : ' . ' / , j ,

é um homomorfismo, o qual satisfaz d o d — 0 (para detalhes, vide [48, Cap.6, §2]).

Def in i ção 1.3.10 O grupo graduado C*(B: Q) é um complexo de cadeias e seus grupos

de homologia Hp(B;Ç) — Hp(C*(Bm,Ç),d), são chamados grupos de homologia de B

eorri coeficientes rio fibrado de grupos Ç, também conhecidos como grupos de homologia

de B com coeficientes locais em Q.

Seja Q um fibrado de grupos e denotemos por C*(B) o grupo de cocadeias singulares

sobre B. Definimos

C*(B; Q) = { funções c : C"(B) -» UbeBGb: c{a : A?; B) £ Ga{eoh c{a) / 0,

somente para um número finito de p-simplexos singulares a : A'' —> B},

= {p-cocadeias singulares com coeficientes no fibrado de grupos Ç},

onde e0 £ A1'. O conjunto CP(B; Q) é um grupo abeliano com a operação de adição de

funções. O operador cobordo ó : CV(B;G) C>'+l(B;G) é definido pela fórmula

(-l)Pár(fv) = MA^M^oo:) + ^ ( - l J V ^ f t ) , (1.3.7)

para cada simplexo singular a : A / ;+1 ->• B, onde h[X~]] : G a ( e i ) Ga (eo). Então <5 é

um homomorfismo e 6 o ó = 0 (vide [48, pg.270]).

Def in ição 1.3.11 O grupo graduado C*{B;Q) é um complexo de cocadeias e seus

grupos de cohomologia HV{B\Q) = H"(C*(B]Ç),ò), são chamados grupos de cohomo-

logia de B com coeficientes locais no fibrado de grupos Q.

Uma importante propriedade dos grupos de homologia e eohomologia de B com

coeficientes locais no fibrado do grupos Q é dada pelo seguinte1 lema (para demons-

tração vide [41, Ca.p.3, §1, Lema 1.18] o [37, Proposição 5.18]).

Lema 1.3.12 Se o sistema de coeficientes locais G sobre B é, trivial então

H.t(B\G) = H.{B-, G) e H*{B\G) = H*(B; G), (1.3.8)

onde G — Gb, para todo b € B.

1.4 Sequência Espectral

Defin ição 1.4.1 Um módulo diferencial bigraduado sobre um anel R. c uma. coleção

de i?.-módulos {Ep'q}, para todo par de inteiros p e q, junto com uma aplicação i?-linear

d : E*'* £•*•*, o diferencial, de bigrau ( - r , r - 1) ou (r, - r + 1), para algum inteiro

r, satisfazendo d o d = 0.

Def in ição 1.4.2 O módulo de homologia H(E) 6 o módulo bigraduado

kevid : E„ „ —> E„ ,.„,,. ,)

Defin ição 1.4.3 O módulo de eohomologia H(E) 6 o módulo bigraduado ker(d • E1'*'1 —> F.i'-t-''><i-r+l)

Def in ição 1.4.4 Uma. secp'iência espectral do tipo hornológica é uma coleção de R-

módulos diferenciais bigraduados { i ^ , <lr}, para r = 1 ,2 , . . . ; onde os diferenciais têm

bigrau ( - v , r - 1) e E'^1 6 isomorfo a HV)(l{El^dr).

Defin ição 1.4.5 Uma sequência espectral do tipo cohomológica é urna coleção de R-

inódulos diferenciais bigraduados {E*'\ dr), para r = 1,2,. . .; onde os diferenciais têm

bigrau (r, -r + 1) e E™x é isomorfo a H™{E*/*, dr).

Observação 1.4.6 Embora a sequência espectral esteja indexada para. r = 1 ,2 , . . . ,

essa indexação pode começar em qualquer inteiro e para as nossas aplicações a sequência

começa em r = 2.


Até o final desta seção, estaremos considerando sequências espectrais do tipo coho-

mológicas. As definições e propriedades apresentadas a seguir, também podem ser

obtidas 110 caso de uma sequência espectral homológioa e urna exposição detalhada

nesse sentido pode ser encontrada em [37, 46].

Para definir o termo limite de uma sequência espectral cohomológica, para todo k > r,

denotemos por

Z™ = ker{d r: E™E?+r>"-r+i) (1.4.3)

BI!'" = im(dr : EvT~r>H-> E™). (1.4.4)

A condição dr o dr = 0, implica que Br C Zr C Er, e segue da definição 1.4.3 que

Er+l = Zr/Bv. Sejam

Z(Er+lr = ker(d r + l : E£[ + l'«~r) (1.4.5)

B(Er+íy-" = im((/,._).] : E ^ r ^ ^ l1-4-6)

Segue de [31, Teorema 1.10, pg.173], que existem subinódulos bigraduados Zr+] e Br+X

de Zr, contendo Br, tais que Z{Er+l)™ = Z^^/B™ e B{Er+])^' * B™JB™, para

todo p,q. Assim, Br+l C Z r + ) e temos que

Br C II . : C ZT+i C Z, C Er. (1.4.7)

Além disso, Er+2 = Z(Er+i)/B(Er+1) = Zr+i/Br+l. Continuando esse processo por

indução, nós obtemos uma sequência de subinódulos, para todo n > r ,

Br C Br. , C • • • C Bn C---CZHC---C Zr+] C C E,. (1.4.8)

com a propriedade que E,^ i = Zn/Bn.

Def in ição 1.4.7 Definimos os módulos bigraduados

Z00 = [\Zn e Boc=\jBn. (1.4.9) n u

O módulo bigraduado E^ = Z.x/B^ é chamado o limite da sequência espectral E.

Def in ição 1.4.8 Uma sequência espectral cohomológica {E*'*,dr} colapsa no AT-ésimo

termo se o diferencial dT = 0, para todo r > N.

I. Pré-requisitos 1 1

O b s e r v a ç ã o 1.4.9 Uma consequência imediata do fato do uma sequência espectral

cohomológica {E*>*,dr} colapsar no Ar-ésimo termo, é que Etf ~ E*/+l = • • • =

Def in ição 1.4.10 Unia filtração decrescente F sobre um fí-iriódulo A, é uma família

de submódulos {FP(A)}, com p £ Z, tal que

•••Fp+l(A) c FP(A) c F"-\A) C ••• C .4. (1.4.10)

Def in ição 1.4.11 Dada uma filtração decrescente F sobre um R-módulo A, o módulo

graduado associado E^(A) é dado por

E%{A) = Fp (A) / Fp+l (A). (1.4.11)

O b s e r v a ç ã o 1.4.12 Se H* é um l?-módulo graduado e se F é uma filtração sobre H*,

então F»{H") = F>'(H*) n H" C F" 1{H*) n Hn = Fp~l(Hn) e o módulo bigraduado

associado E^* é dado por

E™(H\ F) = Fp(Hp+q)/Fp+l{Hp+q). (1.4.12)

Def in ição 1.4.13 Uma sequência espectral {E*'*, dr} converge para um jR-módulo

graduado H*, se existe uma filtração F sobre H* tal que

E™^E™{H*,F), (1.4.13)

onde E*^* é o termo limite da sequência espectral.

Def in i ção 1.4.14 Uma sequência espectral {E*>*,dr} é uma sequência espectral do

primeiro quadrante, se existe r tal que Ep,q = 0, para p < 0 ou q < 0.

Agora, recordemos os seguintes teoremas de Leray-Serre para fibrações (para dernons-

tração vide [37, Teoremas 5.2 e 6.7]).

T e o r e m a 1.4.15 (A Sequência Espectral Cohomológica de Leray-Serre) Seja R um

anel comutativo com unidade. Dada uma fibração E^tE A D, onde D é conexo por

caminhos, existe uma sequência espectral do primeiro quadrante {E*>*,d,.}, com

EP,1 Ç^ HP(B. nQ(F. (1.4.14)


a cohorriologia de D com coeficientes locais na cohornologia de F, a fibra de p, e con-

vergindo para H*{E\ R). Além disso, essa sequência é natural com relação a aplicações

entre fi,b'rações que preservem fibras.

T e o r e m a 1.4.16 (A Sequência Espectral Homológica de Leray-Serre) Seja G um grupo

abeliano. Dada uma fibração F^E A B, onde D é conexo por caminhos, existe uma

sequência espectral do primeiro quadrante dr}, com

/ • . ; ; , . I I , I I : V . , r F : ( ; : u ( 1 . 4 . 1 5 )

a homologia de B com coeficientes locais na homologia de F. a fibra de p, e convergindo

para H*(E\G). Além disso, essa sequência é natural com relação a aplicações entre

fibraçôes que preservem fibras.

1.5 O homomorfismo transgressão

Sejam p : E B uma fibração com fibra F c p0 : ( E , F ) — ( B , *). Consideremos o

seguinte diagrama comutativo

H('{F) Hq(E) H"{E, F) H^l(F) ( 1 . 5 . 1 )

l>a* p*

T , y

H'H*) H"(B) HQ(B, *) H"~L(*)

cujas linhas sao as sequências inatas de homologia dos pares ( E , F ) e (B,*), com

coeficientes em um anel R.

Def in ição 1.5.1 O homomorfismo,

r : ^ '(íniPo*) Hn i(F)/dkerp0* ( 1 . 5 . 2 )

dado por T(Z) = d(c) + d(kerp0*)> o u d e * e i* '(impo*) e PoJ(j*(z)) = c + keiPo* está

bem definido e é chamado homomorfismo transgressão.

A noção dual pode ser definida para cohomologia como segue: consideremos o seguinte

diagrama comutativo


Hi-1 (*) —^ Hq(B, *) >- Hq(B) H"(*) (1.5.3)

Y

flq~l(F) —^ Hq(E, F) j *H"(E) Hq(F)

cujas linhas são as sequências cxatas do eohomologia dos pares (E, F) e (B,*), com

coeficientes em um anel R.

Def in ição 1.5.2 O homomorfismo r : í)"'(i inPo) H''(B)/kerp* definido por

onde z € Ó "'(imp£) e Po(c + ke r^ ) = S(z) é chamado /homomorfismo transgressão.

Os teoremas a seguir, mostram que o homomorfismo transgressão pode ser identificado

com o diferencial na sequência espectral de Lerav-Serre (para detalhes, ver [37]).

T e o r e m a 1.5.3 Dada urna fibração p : E —>• B com fibra F e sua sequência espectral

homológica de Leray-Serre associada, então

T e o r e m a 1.5.4 Dada uma fi,bração p : E —>• B com fibra F e sua sequência espectral

cohomológica de Leray-Serre associada, então

T(z) = f{e) + kerp*, (1.5.4)

(1) F"'0 ^ H"(B)/kerp*;

(2) ^ ó-l{hnp*) C Hn-l{F);

(3) dn : E®,n~'1 -¥ E"'° é o homomorfismo transgressão.

1.6 O homomorfismo de Bockestein

Sejam A,B,C grupos abelianos. Se

0 — .4 — B C — 0 ( 1 . 6 . 1 )

é uma sequência exata curta, então a sequência

0 -> H o m ( O X ,4) Hom(C;X, B) Hom(C,A", C) 0 (1.6.2)

é exata, onde C*X denota o complexo de cadeias singulares de X. Assim, obtemos

uma sequência exata longa em cohomologia

/ / ' , A : .4) — HK{X: D) -> HK(X; C) HK+1(X; .4) ^ • • • (1.6.3)

Os hornomorfismos conectantes

: //' i .V: C) / / ' (X; .4) (1.6.4)

são chamados homomorfismos de Bockstein associados à sequência exata curta 1.6.1.

1.7 Cohomologia dos espaços classificantes BZP e

BS1.

E x e m p l o 1.7.1 Um modelo para BZ2, o espaço classifieante para Z2 , é o espaço

projetivo infinito P°°. Então, H*{B12-,12) H*{P°°\Z2) é isomorfo a Z2[et], onde

a G Hi(P°°:i Z2) é o gerador. O gerador de i í ' ( i ?Z 2 ; Z2) é a1, para qualquer í > 0. Se

p > 2 é primo, um modelo para £ Z P , o espaço classificante para Zp ê o espaço lens

infinito Lf = 5 ° ° / Z p . Assim, H'{BZpiZp) = Hl(Lf]Zp) ^ Zp , para todo j > 0 e

dado qualquer elemento não nulo a G Hl(L™;Zp), temos que b = fl(a) é um elemento

não nulo de H2(L™: Zp), onde (3 : HY(L™\Zp) -> H'\L™\ZP) ê o homomorfismo de

Boekstevn. Mais geralmente, um gerador p G Hl(BZv,Zp) é dado por /

a se i é ímpar H = < (1.7.1)

tí1!2, se i 6 par V

E x e m p l o 1.7.2 Um modelo para BS1, o espaço classificante para Sl, é o espaço

projetivo complexo infinito CP00. E n t ã o , H*(BSl: Z) ^ H*(CP°°] Z) é isomorfo a Z[c]

com gerador c G H2(BSl-, Z) (para demonstração, vide [21, Cap.3, §2, Proposição 2.1]).

Observemos que i3(,S1 x S 1 ) = BS1 x BS 1 .

I. Pré-requisitos 1 5

1.8 A Classe de Euler e a sequência de Gysin

Lembremos que um par fibrado consiste de um fibrado p : E B, com fibra F, junto

com um subespaço E C E tal que p : E• B 6 um fibrado com fibra F C F, com

trivializações locais para É obtidas por restrições das trivializações locais para E.

E x e m p l o 1.8.1 Sejam p : E B um fibrado cuja fibra é o n-disco Dn e

E C E a reunião dos bordos das fibras, ou seja, É 6 reunião de esferas Sn~]. Então,

(D", S " - 1 ) M- (E, F f ) A B é um par fibrado, o qual chamaremos fibrado em disco.

Seja (D ' \ Su-{) - » ( £ , £ ' ) A B um fibrado em disco. Um elemento c e Hn(E, É\R),

cuja restrição a cada fibra (D", Sn~l) é um gerador de Hn(Dn, Sn~l; R) = R, é chamado

uma classe de Thom para o par fibrado (D'1, ^ (E, Ê) A B.

O b s e r v a ç ã o 1.8.2 Uma classe de Thom com coeficientes em Z, dá origem a uma

classe de Thom com coeficientes em qualquer anel comutativo com identidade R, sob

o homomorfismo H'l{E,É\'L) —> Hn{E, É \ R,), induzido pelo homomorfismo Z —> R,

o qual leva 1 no (demento identidade de R.

T e o r e m a 1.8.3 ( T e o r e m a do I s o m o r f i s m o de T h o m ) Se o fibrado em disco

(D'1, Sn~l) ^ {E,É) ->• B possui uma classe de Thom c £ Hn(E, E'-R), então a

aplicação <f> : Hl(B; R) ->• Ht+n(E, E'; R) definida por

<t>(b) =!>*(*>) Uf:, (1.8.1)

é um isomorfismo paru todo i > 0 e Hl(E. É\ R) = 0, para i < n. O isomorfismo <f> é

chamado isomorfismo de Thom.

T e o r e m a 1.8.4 Todo fibrado em disco possui uma classe de Thom com coeficientes

em Z2 ('• fibrados em disco orientáveis possuem classe de Thom com coeficientes em TL.

Consideremos o fibrado em esfera Sn~l 4 £ - } B e o mapping cylinder Mp, o qual

é um fibrado em disco Dn Mp A B. Temos que (Dn,Sn~l) M- (MP,E) A B

é um par fibrado. Suponhamos que exista uma classe de Thom c <E Hn(Mp,E]R)

(polo Teorema 1.8.4, tal classe sempre existe, no caso em que o fibrado em disco é

orientado ou se i? = Z2). Consideremos o seguinte1 diagrama comutativo, com

coeficientes em R, cuja primeira linha c a sequência exata longa dos grupos de

cohomologia do par {Mp, E)

IP{Mp,E)

SÍ </>

-II : ~ Ue

H'(MP W(E)

Hi(B)-!—^Hi(E)

Hí+l {Mv, E)

— <t>

ip-n+l, [{D)

(1.8.2)

As aplicações <j> são os isomorfismos de Tlioin e as aplicações verticais

p* : H'{B) —HL{Mp) são isomorfismos para todo i, desde (jue Mp é um retrato

por deformação sobre B. A classe c 6 IP' {B: /?,), definida por

e = (PT1oj*(c), (1.8.3)

é chamada classe de Euler do fibrado em esfera S" 1 M- E A B, onde c £ H"{MP, E\ R)

é uma classe de Thom. A linha inferior do diagrama 1.8.2

H'i~n{B; R) ^ H' {B; R) H'{E; R) //'-«+' {B- R) • • •

ê uma sequência exata. chamada a sequência de Gysin. Desde que Hl{B\R) = 0 para

i < 0, temos isomorfismos p* : Hl(B\R) —> Hl{E\ R), para i < n — 1 e a parte mais

interessante da sequência de Gysin c dada por

0 - H"~\B- R) - II' •:/.': R) - H°{B-R) A H"{B: R) ^ H"{E; R) (1.8.4)

O b s e r v a ç ã o 1.8.5 Seja X um Z2-espaço livre e denotemos por r]x o Z2-fibrado prin-

cipal A' ->• X / Z 2 . o qual é um fibrado em esfera. Consideremos a classe de Euler

e{rjX) € Hl{X/Z2.Z2) e denotemos por a € H\BZ2;Z2) a classe de Euler do Z2-

fibrado principal universal El2 BZ2. Suponhamos que h : A'/Z2 ->• BZ2 seja uma

aplicação classificante para r/A-, então segue do Teorema 1.1.1 que h*{uiz2) e qx são

Z2-fibrados principais isomorfos. Por outro lado, de [20, Teorema 4.13] temos que

h*(EZ-, EZ-> (1.8.5)

A / Z 2 B7L2

1. Pró-req uisi tos 17

c uma aplicação fibrada entro os librados uz., o o fibrado pullbaek h*(uj%.2). Assim,

segue da naturalidade da classe de Euler (jue h*(a) = C(/?,*(CJz.J), onde e(h*(uz2)) e

H\A/Z2; Z2) denota a classe de Euler de h*{u?J2) (vide [38, § 9, Proposição 9.2]). Desde

que ? / . o h*(u)z.,) são Z2-fibrados principais isomorfos, temos (pie e(rjx) = e(h*(u^)) o

portanto c(ijx) = l>*{e\).

O b s e r v a ç ã o 1.8.6 Sejam A' e Y Z2-espaços livres e consideremos os Z2-fibrados prin-

cipais A" —> A"/Z2 e Y —> YfL-i, respectivamente. Consideremos as classes de Euler

desses fibrados: e £ Hl (A/Z 2 , Z2), u G Hi(Y/Z2,Z2), respectivamente. Se / : A F

é uma aplicação Z2-equivariante e / : X/Z2 —> Y jZ2 é a induzida por / entre os espaços

de órbitas, então temos que

A S - ^ Y (1.8.6)

a v z 2 — - r / z 2

é uma aplicação fibrada. Segue da naturalidade da classe de Euler que f*(u) = e, onde

/* : Hl(Y/Z2:Z2) Hl(X/Z2,Z2).

1.9 A Classe de Wu

Nesta seção, apresentamos a definição e propriedades das Classes de Wu, no sentido

de [39, Cap.9 §5]. Para definirmos as Classes de Wu, nós primeiramente definiremos

urna sequência de operações Sqk, chamadas quadrados de Steenrod. Os quadrados de

Steenrod, {Sqk}k>o, são operações cohomológicas aditivas

Sqk : Hm{A; Z2) // ; • A : Z2), (1.9.1)

definidas para todo m satisfazendo as seguintes propriedades

(1) Naturalidade. Se / : A' -» Y é uma função contínua, então Sqk o f* = f* o Sqk.

(2) Se x G / / " ' ( A ; Z 2 ) , então Sq°(x) = ar, Sqm(x) = x - x e Sqk(x) = 0, para k > rn.

(3) Se x,y G H*(X;Z2), a fórmula de Carlan 6. válida:

Sqk(x - y) = J ] Sql(x) - SqJ(y), (1.9.2) i+j-k


onde denota o produto cup. A operação quadrado total é dada por

Sq(x) = x + Sql (x) + Sq2(x) + • • • + Sqm(x), onde .7; £ H'" (X:i Z2). (1.9.3)

O b s e r v a ç ã o 1.9.1 Usando a operação quadrado total, temos que a fórmula de Cartan

pode ser dada pela equação

Sq(x^y) = Sq(x)^Sq(y). (1.9.4)

Seja M uma m--dimensional variedade diferenciável conexa e feehada. Então a aplicação

/ / ' M: Z2) H o m ( H m ~ k ( M ) Z2); Z2), (1.9.5)

que leva v (v w x, [A/]} é um isomorfismo, onde [M] G H'"(M\ Z2) é a classe

fundamental de M. Consideremos o homomorfismo

h : Hm~k(M:Z2) -» Z2, (1.9.6)

que leva x H-> (Sqk(x),[M]). Desde que (1.9.5) é um isomorfismo, existe um único

elemento vk G Hk(M: Z2) tal que (vk ./;, [A-/]) = /j.(.r), ou seja, existe uma única

classe de cohomologia vk G Hk(M: Z2) tal que

(vk ~x,[M]) = (Sqk(x),[AI]), (1.9.7)

para todo x G Hm~k(M; Z2). A classe vk é chamada a A,-ésima classe de Wu de M e

v — 1 -f v\ 4- v2 + • • • + vrn é chamada a classe total de Wu da variedade M. Segue de

1.9.7 e da propriedade (2) que vk = 0, para k: > rn - k e assim,

v= 1 + 7.'! + V2 + • • • + v[m/2], (1.9.8)

onde [m/1] denota o maior inteiro menor que m/2.

Temos o seguinte (vide [39, Teorema 17])

T e o r e m a 1.9.2 (Wu) A classe total de Stiefel-Whitney de M satisfaz

w(M) — Sq(v), ou seja, wk = Sq^Uj), (1.9.9)

onde v é a classe total de Wu da variedade M, caracterizada pela equação

(v~x,[AI]) = (Sq(x),[M}), (1.9.10)

para todo x G H*{M\Z2).

Capítulo 2

O Teorema de Borsuk-Ulam para

aplicações de esferas em variedades

generalizadas

2.1 Introdução

0 teorema clássico de Borsuk-Ulam[6] afirma que para qualquer função contínua

/ : Sn —> R* existe um ponto x € X tal que f(x) = f(—x), se k < n. A fa-

mosa versão do Teorema de Borsuk-Ulam provada por Conner e Floyd [15], substitui o

espaço euclidiano R* por uma ^-variedade diferenciável M k , com a hipótese adicional

que a induzida em cohomologia da / no nível n se anula. Na demonstração de Conner e

Floyd a estrutura diferenciável da variedade Mk permitiu que se fizesse uso das classes

de Stiefel-Whitney.

H..J. Munkholm [42] mostrou que todas as hipóteses de diferenciabilidade podem ser

eliminadas, se Mk for compacta, substituindo a variedade diferenciável por uma va-

riedade topológica fechada. Em sua demonstração, ele transfere o problema, de uma

vizinhança Euclidiana da variedade topológica para o aberto do R n , e o reformula par-

tindo da estrutura diferenciável desse aberto, podendo assim fazer uso das classes de

Stiefel-Whitney.

No caso em que Mk é uma variedade generalizada, esse argumento não pode ser apli-

19

2. O Teorema cie Borsuk- Ulam para aplicações ele esferas em variedades generalizadas38

cado, unia vez que variedades generalizadas não são localmente Euclidianas.

Recentemente, em [4], C. Biasi et ai. definiram as classes de Stiefel-Whitney para

variedades generalizadas e esse 6 o principal ponto concernente à nossa generalização:

seguindo os mesmos passos de Conner e Floyd e usando a definição de tais classes, nós

provamos o seguinte

T e o r e m a 2.1.1 Seja f : Sn —> Mk uma função contínua da n-esfera Sn em uma

variedade generalizada Mk e denotemos por A ( f ) = {a; £ X; f ( x ) = f(—x)}. Então,

i) se n > k. dim A ( f ) > n — k;

ii) se n = k e f* : Hn{Mn,Z2) H"{Sn,Z2) for nula, A ( f ) ± 0.

Em todo esse capítulo, os grupos de homologia e cohomologia terão sempre coefi-

cientes em Z2; H* denotará a cohomologia de Alexander-Cech no sentido de [46, Cap.

6], Hl e H* denotarão os grupos de homologia e cohomologia singular com suporte

compacto, no sentido de [46, Cap. 6, §6]. Por dim, nós entenderemos a dimensão

topológica usual e o símbolo " = " denotará o isomorfismo apropriado entre os objetos

algébricos.

2.2 Z2-Variedades Generalizadas

Variedades generalizadas de dimensão m que estaremos considerando neste capítulo

são certos espaços topológicos M tais que para todo ponto x € M, H^M, M — {:/;}; Z2)

é isomorfo a .W" — {0};Z2). Tais variedades têm sido recentemente estudadas;

por exemplo, um resultado conhecido é que existem variedades generalizadas que não

não homotopicamente equivalentes a variedades topológicas (vide [13] e [14]). A seguir,

nós damos a definição precisa de variedades generalizadas.

Def in ição 2.2.1 Um espaço M localmente compacto Hausdorff é uma variedade

generalizada de dimensão m se as seguintes condições são satisfeitas.

(1) M é hereditariamente paraeompacto (vide observação 2.2.2 a).

(2) drnij^M < +oc no sentido de [11] (vide observação 2.2.2 b).

(3) M é HLCf, no sentido de [11, pg.35] (vide observação 2.2.2 e).

(4) / / . i . \ / . M - {.?;}; Z2) = R m , R m - {0}; Z2) para todo x G A/.

O b s e r v a ç ã o 2.2.2 (a) Um espaço topológico é hereditariamente paracompacto se

todo subconjunto aberto é paracompacto. (vide [11, cap.l,§ 6]). Essa condição é

necessária para garantir que todo subconjunto aberto de uma variedade generalizada

seja sempre uma variedade generalizada.

(b) Segue de [11, Teorema 16.14, pg.l lo] que dirn-^M < +oo se e somente se existe

um l < +oo tal que H[+l(U) = 0 para todo subconjunto aberto U de Aí, onde H*

denota a eohomologia singular com suporte compacto.

(c) Um espaço topológico X é HLC^ (localmente homologicamente conexo) se para

cada x € X, cada vizinhança U de x e cada natural p. existe uma vizinhança V C U de

x tal que o homomorfismo Hp(V) HP(U) induzido pela inclusão é trivial (vide [11,

pg.35]), onde H* denota a homologia singular reduzida. Observemos que essa condição

junto com a condição (a) implicam, na nossa situação, que a homologia e eohomologia

sheaf coincidem com a homologia e eohomologia singular, respectivamente (vide [11]).

(d) Recordemos que um espaço topológico A" é urn ENR (Retrato de urna Vizinhança

Euclidiana) se existem um subespaço ¥ de algum R" homeomorfo a X, uma vizinhança

V de Y e uma retração r : V —» V. Se A/ é um ENR e satisfaz a condição (4) da De-

finição 2.2.1, então A/ é uma variedade generalizada de dimensão m. Nós chamamos um

tal espaço uma ENR Z^-variodade homológica. Em particular, variedades topológicas

segundo enumeráveis são todas ENR, Z2-variedades homológieas. Observemos que um

espaço métrico separável À" é um ENR se, e somente se, ele é um ANR (Retrato de

uma Vizinhança, Absoluta) localmente compacto e tem dimensão topológica finita (ver

[32, Cap.V]). Observemos também (pie as variedades homológieas construídas em [13]

e [14] são todas ENR Z2-variedades homológieas no sentido acima. 1

Em [7] e [8], foi mostrado que a Dualidade de Poincaré é válida, para variedades ge-

neralizadas localmente orientáveis. Além disso, em [9], mostrou-se que toda variedade 1 Eiri [13] e [14] eles usam coeficientes em Z na condição correspondente à Definição '2.2.1 (4). Assim

essa condição sempre implica a nossa.


generalizada é localmente orientável. Assim, a Dualidade de Poincaré é válida para

todas as variedades generalizadas (para detalhes ver [11]). Mais precisamente, se M é

uma variedade generalizada conexa de dimensão m, então H'm(M) é isomorfo a Z2 e

os homoiriorfismos

- [ A / ] : / / ' ; • ! / ; > / / ; .i .\/5 . (2.2.1)

- [M] : Hlc(M) Hm^(M) (2.2.2)

são isomorfismos para todo i, onde [M] é o gerador de Hfn(M) e é chamada a classe fun-

damental de M (vide também Observação 2.2.3). Os isomorfismos acima são chamados

isomorfismos Dualidade de Poincaré e serão denotados por DAI.

O b s e r v a ç ã o 2.2.3 Observemos que o teorema dos coeficientes universais vale para

cohomologia com suporte compacto e homologia com suporte fechado. De fato, para

urri espaço topológico A, o produto cup 2 é urna aplicação bilinear

HL{X) x H J ( X ) HI+J(X) o u

HL{X) x H J ( X ) ->• H'(+J{X) ou

H Í { X ) x I I Í { X ) - + H Í + i { X ) ,

o produto cap é uma aplicação bilinear

H'{X) x Hj(X) II, ,i.V) ou

H'(X) x irrX) X) ou

K{X) X H j ( X ) Hj-ii*):

e o índice de Kronecker ( , ) é uma aplicação bilinear

H'C(X) x / / [ ( A ) ->• Z2 ou

H'{X) x HI{X) Z2.

A seguir, apresentamos um exemplo de uma variedade generalizada que não é uma

variedade topológica. 2Para, detalhes vide [27, §26]


E x e m p l o 2.2.4 Seja M uma variedade topológica que é uma (Z2, n)-esfcra de homo-

logia, ou seja, H„(M-, Z2) = H,(Sn;Z-z), e que não é homeomorfa à esfera Sn.

Por exemplo, consideremos uma esfera ímpar 5 2 n + 1 com a ação padrão de Zp , onde

n > 1 e p > 2 é primo. Então, H.,(S2n+í/Zp; Z2) = Ht(S2n+1;Z2), ou seja, S2n+]/Zp

é uma Z2-esfera de homologia, porém não é homeomorfo à S2n+I. Basta observar que

7Tj (S'2n+1 /Zp) ^ Zp , se p> 2 é primo, enquanto que 7r,(,S2n+1) = 0, se n > 1.

Assim, se M é uma /í-dimensional variedade topológica nessas condições, a suspensão

de M, 5(A/) é uma variedade generalizada de dimensão n+1 . De fato, S(M) é um ENR

e para todo x G S(M), H*(S{M),S(M) - {./ }: Z2) é isomorfo a H,(Rn+1,Rn+] - {0}).

Figura 2.1: Uma variedade generalizada que não é uma variedade topológica

Porém. S(M) não é variedade topológica. De fato, observemos que dada qualquer

vizinhança V do ponto :i;0 G S(M), como na Figura 2.1, temos que V é homeomorfa

ao Cone de AI, porém C(M) não é homeomorfo a um disco, uma vez que 0(CM) — M

e M não é homeomorfa à esfera S".

2.2.1 As classes de St iefel-Whitney de u m a variedade genera-

lizada

Seja M uma Z2-variedade generalizada, usando a Dualidade de Poincaré junto com

a operação quadrado de Steenrood, é possível definir as classes de Wu e portanto as

classes de Stiefel-Whitney w,,(M) € Hq{M) pela fórmula de Wu. De fato, consideremos

o seguinte

T e o r e m a 2.2.5 Seja NI uma m-dimensional variedade generalizada conexa. Conside-

remos a seguinte aplicação

Hk(M; Z2) <g>K., H™~k(M\ Z2) H'n(NI; Z2) = H0(M; Z2) Z2, (2.2.3)

que leva a ® f3 a — (3 h-> (o- /3, [A/]) Ç Z2 . Então a aplicação

H: Al: Z2) -> }íom(H™~k (NI ] Z2), Z2) (2.2.4)

que leva a ã, onde ã(6) = (a w jj, [A/]), é um isomorfismo.

D e m o n s t r a ç ã o . De 2.2.2 ternos o isomorfismo Dualidade de Poincaré

- [NI] : H^-k(NI:Z 2) IIk(NI: Z2). (2.2.5)

Assim, segue do Teorema dos Coeficientes Universais e de 2.2.5 que existe o isomorfismo

Hk(NI; Z2) 4 H o n i ( H k ( M ; Z2), Z2) 4 Hom(H;."-k (NI; Z2), Z2), (2.2.6)

que leva o: cv* a°. onde a* (7) = (a, 7) c a:°(/i) = a*(/3 ^ [A/]). Mostremos que

rv° = ã: e, deste modo, a aplicação a rv será um isomorfismo. De fato,

a"(í3) = a*(d - [NI]) = (a, p - [Aí]) = (a w [NI]) = ã t f ) , (2.2.7)

para todo ft 6 H]n~k(M\ Z2) e portanto = õ, como queríamos demonstrar. I

Consideremos agora o seguinte homomorfismo h : H"l~k(M; Z2) ->• Z2, dado por

/ ^ ) = (,V(:r),[Aí]), (2-2.8)

que é a composição da operação quadrado de Steenrod Sqk : H"l~k(M; Z2) -¥ H"'(M; Z2)

com o homomorfismo ( , [NI]) : / /" ' (A/ ;Z 2 ) Z2. Segue do Teorema 2.2.5 que a

aplicação

Hk(M; Z2) Hom(H'"~k (M; Z2), Z2) (2.2.9)

que leva v >—> v é um isomorfismo, onde v(x) = (v w x, [Jl/]) . Assim, desde que

h € Hom(H'ln-k(M:Z2),Z2), existe uma única classe vk G Hk{M; Z2) tal que vk = h,

ou seja, existi1 uma única classe vk G Hk(M; Z2) tal que

{ok - x,[M]) = {Sqk(x),[M]), ( 2 . 2 . 1 0 )

para todo x £ Hrtn~k(M; Z2). A classe uk é chamada a k-ésirna classe de Wu da

variedade generalizada AI e

v(AI) = 1 + * , ,+ v2 + ••• + v[m/2] G H*(M; Z2) , (2.2.11)

é chamada a classe total de Wu da variedade generalizada M e é caracterizada pela

identidade:

{v ~x,[M]) = (Sq(x),[M]), (2.2.12)

para todo x € H;{M\ Z2) , onde Sg : H*{M\ Z2) -> H*(AI:Z2) denota a operação

quadrado total de Steenrod.

D e f i n i ç ã o 2 .2 .6 A classe total de Stiefel-Whitney da variedade generalizada M é de-

finida por

w(AI) = Sq(v(M)) G H*(AI: Z2), (2.2.13)

onde v(Af) é a classe total de Wu de M. A A-ésima classe de Stiefel-Whitney da

variedade generalizada M. wk(AI) G Hk(M: Z2) é dada por

= ^ S ç ^ M ) ) . (2-2.14) i+j-^k

O b s e r v a ç ã o 2 .2 .7 A definição das classes de Stifel-Whitney de uma variedade gene-

ralizada M mostra que tais ciasses podem ser estudadas do ponto de vista algébrico

topológico e que1 a hipótese de diferenciabilidade sobre AI não é necessária.

O b s e r v a ç ã o 2 .2 .8 Sejam AI,N Z2-variedades generalizadas. Então w(M x N) =

w(AI) <g> w(N), onde <g> denota o produto cross. De fato, sejam v(AI),v(N) as classes

de Wu de AI e N. respectivamente. De (2.2.12) temos que

v(M) w x = Sq{x), V . t € H ; ( M ; Z 2 ) (2.2.15)

V(N) - Y = S'Q(Y), Vy € H*(N; Z2). (2.2.16)

Seja z=x®y€ H*{M x AT; Z2) = H*{M] Z2) H*{N; Z2) , então

(v(M) ® v(JV) w 2, [M x iV]) = (v(M) ® v(iV) - x < 8 > y , [ A / x iV])

= ('U(M) - x®v{N) w y , [ M X iV])

= (Sç( . r )®S<,(y) : [A/xJV])

= (SY/(:r; (g) ?/), [A/ x N})

= (Sq(p\(x) ~-p*2(y)),{MxN})

= (Sq(p\(x)) ^ Sq{pl(y)), [M x N})

= tlASq(x) ~ p^Sq(y)),[M X N})

= (Sq{x) ® Sq{y),[M x N})

= (Sq(z). [AI x N]), (2.2.17)

onde p\ : A/ x iV —> M o p2 : M x iV —> Ar são as projeções naturais. Segue da

unicidade da classe de Wu que v(M) ® v(N) = v(M x iV). Assim, de (2.2.13), temos

que w(M x N) = w{N)®w{N).

Uma importante propriedade das classes de Stiefel-Whitney de uma Z2-variedade ge-

neralizada é que elas são invariantes por homeomorfismos. Nós provamos esse fato na

seguinte

P r o p o s i ç ã o 2 .2 .9 Sejam A/, N Z2-variedades generalizadas. Se / : Aí N é um

homeomorfismo, então f*(iv(N)) = w(M).

D e m o n s t r a ç ã o . Seja v(M) € H*(M;Z2) a classe total de Wu. Segue de (2.2.12) que

(x^v(M),[M]) = {Sq(x),[M}) (2.2.18)

para todo x <G H*{M; Z2). Se x = f*{y), o lado direito da equação (2.2.18) é igual a

(Sq(x), [AI]) = {Sqf*{y),[M}) (Naturalidade de Sq)

= (f*Sq(y), [AI]) (Propriedade de { , ))

— (Sq(y), f*[M]) (/* é isomorfismo)

= (Sq(y),[N}) (segue de 2.2.12)

= (y v(N), [JV]) (/„ é isomorfismo)

= (y^v(N),f,[M]) (Propriedade de ( , ))

= U'*(y - v{N)),[M}) (Propriedade de

= (x^r-v{N),[A

o que implica que v(AI) = f*v(N). Portanto,

w(AI) = Sq(n(AI)) (2.2.19)

- Sq(f*v(N))

= rSq(v(N))

= I*w(N),

ou seja, w(M) = f*w(N). I

Sejam AI, N Z2-variedades generalizadas de dimensão m e 11 res])ectivarrieiit.e, tais que

k = 11 —111 > 0 e / : AI — N uma função contínua própria. Pelo isomorfismo Dualidade

de Poincaré, existe uma única classe <pk G Hk(N; Z2) tal que

DN(<pk) = <pk^[N] = MM}. (2.2.20)

A classe <pk é chamada a classe dual de Poincaré de f*[AI] £ H'm(N; Z2). Observemos

que f*[AI] G H'm(N: Z2) está bem definida, uma vez que / é uma função contínua

própria (vide [47, pg.118]).

Sejam w(AI) G H*(Ah Z2) e w(N) G H*{N: Z2) as classes totais de Stiefel-Whitney

de AI e N, respectivamente, e denotemos por w(Af) G H*{M\Z2) a classe dual de

Stiefel-Whitney de AI. isto é, w(AI) = w(A

Def in ição 2.2.10 A classe lotai de Stiefc.l-Whitnc.y do fibrado normal estável de f é

definida pela fórmula:

w ( f ) = f*w(N) w tí;(M), (2.2.21)

e o termo de grau k de <v(f),

M f ) = E - G (2.2.22)

Hj=k

é chamada a k-ésima classe de Stiefel- Whitney do fibrado normal estável de f .

O b s e r v a ç ã o 2.2.11 Observemos que no caso diferenciável, w ( f ) coincide com a classe

total de Stiefel-Whitney do fibrado normal de / : M N, quando / é uma imersão.

Em [4], foi definida a seguinte classe

0(1) = ( / v * - «'*(/)) ~ W e //;: Z2) (2.2.23)

e foram provados os seguintes resultados (vide [4, Lema 2.G; Corolário 3.5]).

T e o r e m a 2.2.12 Seja, V um subconjunto aberto de N que contenha j(M) e con-

sidere a aplicação fv = f : M ->• V'(C N). Então, 0 ( f ) = 6(jv) em, Hcm_k(M) e,

consequentemente, w ( f ) = w(fy).

O b s e r v a ç ã o 2.2.13 Na demonstração do Teorema 2.2.12. a classe total de Stiefel-

Whitney cio aberto Y N satisfaz a identidade

w(V) = i'(w(N)). (2.2.24)

T e o r e m a 2.2.14 Seja f : M N uni mergulho topológico próprio de uma rn-

dimensional Z2-varieda,d,e generalizada M em uma (m + k)-dimensional Z2-variedade

generalizada N, com k > 0. Então, 9 ( f ) <E Hfn_k[M) se anula e, consequentemente,

M f ) = f*M-

O b s e r v a ç ã o 2.2.15 Observemos que existe um homomorfismo natural

ÍI':(M-Z2)^Hct(M-Z2). (2.2.25)

3Todo subconjunto aber to de uma variedade generalizada é sempre uma variedade generalizada.

A classe 9 { f ) está sendo vista ou como a classe de homologia em H'm_k(M\ Z2) conforme

(2.2.23), ou como a sua imagem em Hlm_k(M\ Z2) pelo homomorfismo (2.2.25). E

conhecido que para espaços ANR, os grupos de homologia de Cecil são naturalmente

isomorfos aos grupos de homologia singular: mais precisamente, o homomorfismo 2.2.25

é um isomorfismo (vide, por exemplo, [46]). Além disso, esse resultado também é válido

para Z2-variedades generalizadas compactas (vide [11, Cap.5, §3, 3.15, pg.298]). Assim,

para tais espaços, nós sempre identificamos esses dois grupos, especialmente para ENR

Z2-variedades homológicas e Z2-variedades generalizadas compactas.

No Teorema 2.2.14, 0 ( f ) se anula como um elemento de H'n_k(M), desde que M seja

uma Z2-variedade generalizada compacta ou um ANR.

O b s e r v a ç ã o 2.2 .16 Um mergulho topológico / : M —>• N entre Z2-variedades gene-

ralizadas é próprio se e somente se / ( J l / ) é um subconjunto fechado de N.

2.3 Lema Chave

Nesta seção, denotaremos por M k uma Z2-variedade generalizada compacta e conexa

de dimensão k < n. T : X —?• X denota a involução sem pontos fixos definida por

T(x,y,z) = (-x,z,y), onde A = S" x Mk x Mk e A = A ( M k ) é a diagonal em

Mk x Mk. Fixemos um ponto y0 £ Mk e observemos que em X temos duas Z2-

subvariedades generalizadas: S" x (y0, y0) e Sn x A { M k ) ; as quais são ambas invariantes

por T e cujos espaços de órbitas

<?" x (y0, y0)/T = P" x (3/0, y0) e 5» x A ( M k ) / T = P " x X(Mk), (2.3.1)

são Z2-subvariedades gen(;ralizadas em X/T de dini(;nsão n e n + k, respectivamente.

Nessas condições, nós provamos o seguinte Lema, que é uma particular generalização

de [15, Lenima 32.3], o qual será fundamental na demonstração do Teorema 2.1.1.

L e m a 2 .3 .1 Sejam j : Pn x A ( M k ) m- X/T a inclusão e <pk € Hk(X/T:Z2) a classe

dual de Poincaré de j*[Pn x A(A/fc)] ; ou seja, — [X/T] = j,[Pn x A(A/A:)]. Então,

a k-ésima classe de Stiefel- Whitney do fibra,do 'normal estável de j é dada por

k

M i ) = j*(<Pk) = Y,ck~li ®W»(M)

onde c c o ele.mento não nulo em Hl (P"", Z2).

D e m o n s t r a ç ã o . A igualdade wh(j) = j*((pk) segue imediatamente do Teorema, 2.2.14,

desde que P" x A ( M k ) é compacto e j : Pn x A(M fc) —> X/T é um mergulho topológico

próprio. Fixemos x0 E Sn e consideremos o seguinte diagrama comutativo

P" X (y0 x y0) (2.3.2)

P" x A(iU í :) — ^ X/T

Í" ^ ^ [:í"o] x A ( M k )

onde i\,Í2,ji c j-2 são as inclusões naturais. Mostremos primeiramente que

j*(w(X/T)) = fi(w{X/T)) ® f2(w(X/T)), (2.3.3)

onde <g> denota o produto cross. De fato, seja a € H*(X/T; Z2) arbitrário e considere-

mos ;j*(a) E H*(Pn x X(Mk):Z2). Desde que Z2 é um corpo, o produto cross define

um isomorfismo de álgebras

H*(P": Z2) x H*(A(Mk) \ Z2) H*(Pn x A(M f c) ;Z2) , (2.3.4)

que leva (a, /i) r* <g> fi (vide [43, Cap.7, Teorema 61.6]). Deste modo, existem únicos

a E H*(Pn, Z2) e /í G H*(A(Mk),Z2) tais que

j*(a) = a®p. (2.3.5)

Sejam p, : P" x A [ M k ) P" x (y0 x y0) e p2 : P " x A(iUA:) (:/;„) x Al / ' ' as projeções

naturais, assim temos de [43, Ca]).7. Teorema 61.5] que

a®p = pl{a)^p*2{l3). (2.3.6)


Observemos também que p\ o í j , p2 o i2 são identidades e p2 oit, p, o 'i,2 são constantes.

Então, segue da comutatividade do diagrama 2.3.2, de (2.3.5), (2.3.6) e da naturalidade

do produto cup que

./*(«) = i * o j » (2.3.7)

= il(pl(a) ^ =

= ( P i o í l r ( a ) ^ ( p 2 o i [ y ( p )

= rv ^ 1 = rv.

Analogamente, temos que j2(a) — fi, o que implica que j*(a) = jjf(a) 0 j*2(a). Desde

que w(X/T) 6 H*(X/T\Z2), nós concluímos que

r(w(X/T)) = j*(w(X/T))®f2(w(X/T)). (2.3.8)

Deste modo, temos da Definição 2.2.10, da Observação 2.2.8 e das propriedades dos

produtos cu]) e cross que .

w(j) = f(w(X/T))^w(P1lx A) (2.3.9)

= jt(w(X/T))®j*2(w(X/T)) - w(Pn) ® w(A)

= j;(w(X/T)) ^ w{n®j*2(w{X/T)) ~ w(A)

= w{j1)®w{j2),

ou seja, w(j) = w(j\)®w(j2) o então é suficiente computarmos as classes w(ji) e w(j2).

Para computarmos w(ji), denotemos por X' = Sn x Sk x Sk e consideremos

T' : Sn x Sk x Sk Sn x Sk x Sk definida por T'(x,y,z) = (~x,z,y). Seja V

uma vizinhança aberta contraível de Mk contendo yQ. Consideremos a compactificação

de Alexandrov de V, V* = VU{oo}. Segue de [32, Capítulo VIII, § 6, Corolário 1] que

para o elemento não nulo o: £ Hk(V*; Z2) = Z2 existe uma função Jj : V* Sk tal que

g*(j) = a , onde g* : Hk(Sk; Z2) Hk( V*:Z2) e 7 é o gerador de Hk(Sk;Z2). Sem

perda de generalidade podemos supor que g\V = g : V Dk é uma função própria tal

q u e .9(7/0) = 0 G D k .

Denotemos por U = Sn x V x V e U' = Sn x Dk x Dk. Desde que g é urna aplicação

própria, temos que

h = I cl x g x g : U —> I ' (2.3.10)

é própria, assim a induzida entre os espaços de órbitas h : U/T —> U'/T' também é

uma aplicação própria. Dest.e modo, h induz isomorfismos

h* : ///•;/". T': Z2) ->• H*(U/T; Z2). (2.3.11)

Usando os mesmos argumentos da demonstração da Proposição 2.2.9 (a qual só depende

do fato de / induzir isomorfismo), temos que h*(w(U'/T')) = w(U/T). Como U/T e

U'/T' são abertos em X/T e X'/T', respectivamente, temos da observação 2.2.13 que

i*w(X/T) = w(U/T) e i'*{w(X'/T')) = ui{U'/T'), onde »,»' são as inclusões naturais.

Consideremos o seguinte diagrama

Pn x y0 x y0 — ^ U/T —U X/T (2.3.12)

tí h

U'/T' X'/T'

onde k{[x],y0,y0) = [x,y0,yo] <• &'([•'•'],'í/o, 2/o) = M , 0] G U'/T'. Temos que k' = h o k

e ji = /'o A;. Consideremos j j = i' ok' a inclusão de Pn xy0x y0 em X'/T' e mostremos

que w(j i) = u ' ( j / ) . De fato,

w(j\) = h(w(X'/T'))~ti>(P") (2.3.13)

= (/'o k')*{w{X'/T')) - w{Pn)

= k'* O i'* (w(X'/T')) - w(Pn)

= k'*(w(U'/T')) - w{Pn)

= {h ok)*(w{U'/T'j) ^ w{Pn)

= k* oh*{w(U'/T')) - w(Pn)

= k*(w(U/T))^w(P")

= k* o i*(w(X/T)) - w{Pn)

= jt(w(X/T))~-w(Pn)

= Hn).

É conhecido que Wk(j[) = ck ® 1 c portanto nós concluímos que

wk{:]x) = c k ® \ (2.3.14)

Para w(j2), seja U C S" uma vizinhança aberta de .?:0 £ Sn que não contenha nenhum

par de pontos antípodas e denotemos por V = U x Mk x Mk a vizinhança aberta em

A". Então p : V Y/T é um homeomorfismo e segue1 da Proposição 2.2.9 que

p*w(V/T) = w{V). (2.3.15)

Sejam i : [:/;0] xA(AIk) <-> X = Sn x Mk x Mk a inclusão (pie leva ([:í;0], y, y) (.tq, y, y),

iy = i : [x0] x A(AIk) V(C X) e j2y/r = j2 : [:/•„] x A ( M k ) V/T(c X/T). Assim,

temos o seguinte1 diagrama comutativo

V C A (2.3.16) p

[ x 0 ] x A ( M k ) ^ V / T c X / T

Desde que V é aberto em X e V/T 6 aberto em X/T, temos do Teorema 2.2.12 que

= w{j2v/r) e w{iv) = w(i). (2.3.17)

Segue de (2.3.15), (2.3.17), da Definição 2.2.10 e do diagrama 2.3.16 que

= w(j2v/r) = (hv/TY(w(V/T)) - 7D([:Co] X A(Mk))

= {poivy{w(V/T))~w([x0]xA(Mk))

= (iv)YHV/T))^w([x0]x A(Mk))

= ( i r W V ) - # o ] x A (Mk))

= W{iy) = W(i),

Desde que A(Mk) é homeomorfo a Mk, podemos considerar a aplicação i = x0 x d,

onde d : Mk ->• Mk x Mk é a diagonal que leva y i-y (y,y) e temos que

i* = (Xo x d)* : H*(S" x Mk x Alk) ->• H*{[x0] x Alk) ^ H*{[x0] x A{Mk)).

Assim, usando a definição das classes de Stiefel-Whitney do fibrado normal estável de

i (Definição 2.2.10) o lembrando que ev - ft = d*(a ® ft), nós temos que

w(h) = w(i) = » > ( X ) ) w *([*„] x Mk) (2.3.18)

= i*{w{S11 x Mk x Mk)} - w([x0] x Mk)

= i*{w{Sn) ® w(Mk) <g> w(Mk)} ^ {tZ)([x0]) <g> w(Mk)}

= (xl x d*){w(Sn) ® w(Mk) <g> w{Mk)} - {u>([x0]) <8> w(Mk)}

= -4(w(Sn)) <g> d*{w(Mk) <S> w(Mk)} ~ {w([x0]) <g> tí,(M*)}

= {1® • « ; ( ] ! / * ) ^ »;(Mfc)} ^ {1 ® w(Mk)}

= (1 - 1) ® w{Mk) •-< w(Mk) w w(AIk)

= 1 ®w{Mk).

Segue de (2.3.9), (2.3.14) e (2.3.18) que

k

"'A: (./) = ^ ) ® ^ ít=0

k

= 1) ® (1 ®Wll(Mk))

= cA: ® 1 + r A - ' ® Wí{Mk) + • • • + 1 0 wk(Mk) k

/t=o

Isso completa a prova. I

2.4 Demonstração do Teorema 2.1.1

Seja s : Sn -¥ A' dada por ,s(.x) = (;?;,/(:?;),/(—:;;)). Então, induz uma aplicação

.s : P" —>• A"/T definida por .s([.x]) = [.x,/(.t),/(—.?:)]. Denotemos por B ( f ) a imagem

de A ( f ) = {.): € Sn;f(x) = f(-x)} pela projeção natural Sn -»• P n , então temos

que B ( f ) = . s - ' (P n x A ( M k ) ) . Nessas condições, nós obtemos o seguinte lema, cuja

demonstração foi apresentada por Munkholm em [42, Lema 2.1], no caso em que M k

é uma variedade topológica compacta. Aqui, nosso propósito é enfatizar propriedades

também válidas para variedades generalizadas.

L e m a 2.4.1 Se s*(tpk) ± O então # " - * ( £ ( / ) ; Z2) ± 0.

D e m o n s t r a ç ã o Sejam j : P" xA(Mk) ^ X/T a inclusão e <pk G Hk{X/T\ Z2) a classe

dual de Poincaré de j*[Pn x A(Mk)] em X/T, ou seja, ^ — [X/T] = j*[Pn x A{Mk)].

Primeiramente, mostraremos que dada qualquer vizinhança U de P" x A(Mk) em X/T,

ipk G lm{Hk{X/T,X/T - U) Hk{X/T)). (2.4.1)

Para provar essa afirmação, seja V uma vizinhança aberta de Pn x A ( M k ) tal que

V C U. Então, (2.4.1) segue do diagrama comutativo

ílk{X/T,X/'l' - V) IIk(X/T,X/T - V) (2.4.2)

lln+k{P" X IIk{X/T,X/T - U)

Mn+k{XlT) Hk(X/T) IIk(X/T

onde 7 denota a Dualidade de Alexander-Cech, também válida para variedades

generalizadas (vide [2, 3]), i é a transformação natural de H em H (vide Observação

2.2.15 e [46, pg.289]) e todas as aplicações não nomeadas são induzidas das inclusões

apropriadas.

Agora, provaremos que para toda vizinhança V de B ( f ) em Pn

cfc G lm{Hk{Pn,P" - V) Hk{P")) (2.4.3)

onde c é o gerador de Hl(Pn). Desde que para toda vizinhança V de B ( f ) em Pn

existe uma vizinhança U de P" x A ( A I k ) em X/T, com 6~'(17) C V, é suficiente

provar (2.4.3) 110 caso em que V = ò- -1(í/), onde U é uma vizinhança de Pn x A(Mk)

em X / T . Como por hipótese s*(<pk) ^ 0 e ek G Hk(P") é o único elemento não nulo,

temos que s*(<pk) = ch• Consideremos o seguinte diagrama comutativo

Hk(X/T, .V /• r

Hk(Pn,Pn - s~l(U))

Hk(X/T)

Hk(Pn)

(2.4.4)

onde l e l' são induzidas das correspondentes inclusões. Temos de (2.4.1) que existe

a G Hk(X/T, X/T - U) tal que l(a) = tpk e segue do diagrama 2.4.4 que

/ ' ( , » ) = s*(l(o)) = ,*(ifk) = ek1 (2.4.5)

o que prova (2.4.3).

Suponhamos agora que Hn~k(B(f)) = 0, então o homomorfismo dado pela composição

r 1 ^ #»-*(/>») Hn~k{B(f)), (2.4.6)

é trivial e cn~k £ Hn~k(Pn) é levada na classe nula via esse homomorfismo. Segue da

definição de H (vide [22]) que existe uma vizinhança aberta W de B ( f ) em Pn tal que

cn-k ^ i e v a c | a n a ( ; l a s se nula através do homomorfismo Hn~k(Pn) —> Hn~k(W), ou seja,

c"-k £ k e r { H " - k { P " ) ->• Hn~k(W)) = lm(Hn-k(P",W) Hn~k{Pn)), (2.4.7)

para alguma vizinhança aberta W de B ( f ) em Pn. Desde que (2.4.3) é válida para

toda vizinhança V de B ( f ) em P'\ podemos tomar V C W fechado e então, Pn — V

é aberto eni P" . De [11, Cap.6, §4], temos o produto cup

— : Hn~k(Pn, W) ® Hk(P'\ Pn - V) ->• Hn(Pn, W U (Pn - V)). (2.4.8)

Assim, segue da naturalidade do produto cup que o seguinte diagrama é comutativo

Hn~k(Pn, W) <8> Hk(Pn, P" - V) Hn~k(Pn) ® Hk(Pn) (2.4.9)

Y Hn{P'\ W U [Pn - V)) »- Hn(Pn)

Usando que ck £ lm(Hk{Pn,Pn - V) ->• Hk{P")) e cll-k £ lm(Hn~k(Pn,W)

Hn-k(Pn)) temos do diagrama (2.4.9) que

r" = ck w cn~k £ I m ( H n ( P ' \ 1U U ( P n - V)) Hn(Pn)). (2.4.10)

Mas, desde que H" (P",W U [Pu - V)) = Hn(Pn, Pn) é o grupo trivial, isso implica

que c" = 0 , o que é uma contradição e o Lema 2.4.1 está provado. I

O b s e r v a ç ã o 2.4.2 Observemos que o Lema 2.4.1 reduz a demonstração do Teorema

2.1.1 a considerações sobre s*(<pk), uma vez que Hn~k(B(f)) ^ 0 implica que

dirm4(/) > n - k.

O próximo resultado verifica sob que condições s*(<pk) é não nula. A demonstração

segue os mesmos passos da prova de Conner-Floyd. Aqui, nós enfatizamos a im-

portância do Lema 2.3.1, assim como ocorre com [15, Lema 32.3] no caso diferenciável.

Lema 2.4.3 i) Se n > k, então s*(pk) / O

iij Se n = k e f* : Hn(Mn: Z2) Hn{Sn\Z2) é trivial então s*(<pk) / 0.

Demonstração Sejam j : P" x A ( M k ) X/T e s : P " —> A/X definidas anterior-

mente por j([x],y,y) = [xyí/, y] e ,s([x]) = [x, J(x), f{-x)}. Seja G Hk{X/T\12) a

classe dual de Poincaré de j*[P" x A(A//t')] em À'/T. Observemos que s*(<pk) depende

apenas da classe de hornotopia de f : S" Mk. Deste modo, podemos tomar / cons-

tante sobre o hemisfério sul, ou seja, f(El) = y0 G Consideremos Sn~l C Sn como

sendo o equador, então f(S"~l) = y0, logo /(:/;) = f(—x) — v/o, para todo x G 5"""'.

Definimos « s - j : P n ~ ' —> P " x A(Mk) a aplicação que leva [:;;] ( - > • ( [ : ; ; ] , í / q ) e seja

ji : - P " - 1 a inclusão. Temos ( j o ,si)([:í;]) = j{si{x}) = j ([x], v/0 , j / 0 ) = [x,y0ly0}.

Por outro lado, o jl)([:/;]) = ,s'(ji([x])) = ,s([x]) = [ x , / ( x ) , / ( - x ) ] = [x,y0,y0], para

todo [x] G Pn~l. Deste modo, obtemos o seguinte diagrama comutativo

pn-1 JL+pn x (2.4.11)

ji pn

Considerando a inclusão natural i : P " <-»• P " x X(Mk) que leva [x] !-»• ([ar], y0,2/o),

temos que ò-j = i o j} e isso implica a comutatividade do seguinte diagrama

pn-1 _ /'• x Aí.\/;

ji Y

pn

Usando a comutatividade dos diagramas (2.4.11) e (2.4.12) e o Lema 2.3.1, temos que

(2.4.12)

= ( * ° J i ) ( W

= ( j o s i ) * ^ )

=

= ,b-;(cA:® ! + ••• +1 ®wk{M))

= {;i°h)*{ck ® 1 + • • • + 1 ® Wk

= j;{i*{ck®l + --- + l®wk

= j*(ck) e Hk{Pn~l)

(2.4.13)

(2.4.14)

(2.4.15)

Se. n > k, tomos que j* : Hk(Pn\Z2) -> Hk{Pn~u,Z2) é isomorfismo, assim ;j\{ek) ± 0

e, consequentemente, ^ 0.

Suponhamos agora que f* : Hn(M'") —> Hn(Sn) seja trivial e, como anteriormente,

podemos assumir / : (S'\ En) —> (Mn, y0). Consideremos a aplicação equivariante

F : Sn Aí" x Aí" dada por F{x) = (/(:;;),./(-:;:)). Então, F(Sn) C Aí" V Aí" =

(Aí" x T/0) U (y0 x A/"), desde que ou x G Ev_ ou - x G En. Além disso, a involução

t : Aí" x Aí" Aí" x Aí" definida por % , z) = (z, -</) é tal que /,(AÍ" V Aí") C Aí" VM".

Sendo assim, podemos considerar a aplicação equivariante F : (Sn, A) —> (MnVMn, t),

onde A : Sn —> Sn é a antipodal. Nós afirmamos que

Dada F : Pn —> Aí" V Aí" / í = Aí", a aplicação entre os espaços de órbitas

induzida por F então, F* : Hn(M"]Z2) ->• í / ' l ( P " ; Z 2 ) é trivial. (2.4.16)

De fato, a afirmação segue imediatamente do diagrama, comutativo

#" (£" , . t 0 ) (2.4.17)

desde que por hipótese, f* : ÍÍ"(AÍ";Z2) Hn(Sn;Z2) é trivial.

Consideremos a composição

P " X (í/o, í/o) 4 5"' X (Aí" V M")/T 4 X Aí" x Aí" /T = X / l ' . (2.4.18)

Então, temos que

1 * 0 ^ , , ) = r " ® l . (2.4.19)

Basta considerarmos o diagrama comutativo

X/T (2.4.20)

P" x (í/o, 2/o) ^ P" X A

e observarmos que do Lema 2.3.1, j*(pn) = c" ® 1 + h l ® wn(M) G Hn(Pn x A).

Denotemos por Y = Sn x (A/" V A/") e seja st : P" —> V/71 a aplicação que leva

M ^ f ix)> f :r))]- Então s : P" —>• A' /T é dada pela composição s = %2 o òq.

Portanto, basta provarmos que (<£«)) /

Temos que .sj : H"{Y/T) / f " ( P " ) é um epimorfismo, então existe 7 n G Hn(Y/T)

tal que , ; ( 7 n ) = c". Desde que i ; ( 7 „) = c" ® 1, onde i] : Hn(Y/T) Hn(P", {y0, yQ)),

segue de (2.4.19) que

Í*i(jn) = Í*i °Í*2(<Pn) (2-4.21)

e neste caso, /*(7 n + i,2(^n)) = 0, ou seja,

Tn, + i * 2 M e ker(íT) = Im(À;*), (2.4.22)

onde k* : Hn{Y/T,Pn x (2/0, X/o)) Hn(Y/T) é induzida da inclusão k : Y/T

( r / T , P » x ( y 0 , y „ ) ) .

Agora, nós mostraremos no diagrama

Hn(Y/T, P " x (//o, i/o)) — # " 0 ( 2 . 4 . 2 3 )

r • si

V i \ / " / í , ('í/o x -í/0)) / / " ( P " )

que = 0, onde tí : S"1 x (MnVMn)/T = Y/T MnVMn/t = Aí" c induzida pela

projeção 5 " x (A/" VA/") —» A f v A f . Consideremos o seguinte diagrama comutativo,

(5" x M ' \ 5 " x -f/o) (Y/T, Pn x (y0, y0)) (2.4.24)

0' P

( M ' \ y0) ^ (A/" V Mn/t, [yQ x y0))

onde a:(.t, y) = [x, y,y()}, a'(y) = [y, y0] e é a projeção. E fácil ver que « é um

homeomorfismo relativo. Desde que AT" é um EXR, segue de [46, Capítulo 6, §6,

Teorema 5] que a* : Hn(Y/T, Pn x [yih ;</<,)) ->• Hn(S" x M'\ S" x y0) é um isomorfismo.

Além disso, os homomorfismos («')* e ([!')* também são isomorfismos o que implica

que 3* : H" (Mn V Mn/t, [yQ x y0)) Hn(Y/T, Pn x (y0, y0)) é um isomorfismo. Desde

que de (2.4.16) F* = 0, segue do diagrama (2,4.23) que o k* = 0. Assim, de (2.4.22)

temos que .^(7,, + /^(í/?,,,)) = 0 e, portanto,

*>„) = s* o i*2(yn) = s\(ln) = cn + 0. (2.4.25)

Isso completa a demonstração. I

D e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 2.1.1. Se \V é uma variedade generalizada compacta

e conexa, usando os Lemas 2.4.3 e 2.4.1, nós temos que Hn~k(B(f)) ± 0; desde que

dirm4(/) > dim(£?(/)), concluímos que dim.4(/) > n — k, se n > k.

O b s e r v a ç ã o 2.4.4 Se Mk é uma variíídade generalizada aberta, desde que w(M) e

•«;(/) foram definidas para qualquíu- variedade generalizada (vide Definições 2.2.6 e

2.2.10), usando homologia e cohomologia singular com suporte compacto é possível

provar os Lemas 2.3.1, 2.4.1 e 2.4.3 e portanto, o Teorema é válido para qualquer

variedade generalizada.

Capítulo 3

Versões do Teorema de

Borsuk-Ulam para G-ações livres

Introdução

Uma formulação do Teorema de Borsuk-Ulam [6] é de que não existe uma aplicação

da m-dimensional esfera SRN na «-dimensional esfera SN, Z2-equivariante com relação à

aplicação antipodal, quando m > n (vide, por exemplo. [1, 7.2]). Em [45, Teorema 1] foi

provado que se A' e Y são espaços topológicos conexos por caminhos e paracompactos

de Hausdorff, equipados com involuções livres T : X X c S : Y —» Y tais que

para algum natural m > 1, Hq(X:Z2) = 0, para 1 < q < rri c Hm+\Y/S] Z2) = 0,

onde Y/S é o espaço de órbitas de Y por S, então não existe aplicação Z2-equivariante

f:(X,T)->(Y,S).

Neste capítulo, nós consideramos a questão de estender esse resultado sob dois aspectos

distintos: na seção 3.1, nós substituímos a ação livre do grupo Z<2, determinada pelas

involuções livres sobre X e 1', por uma ação livre de um grupo compacto de Lie.

Como uma consequência, na seção 3.1.2, nós obtemos um teorema sobre a existência de

pontos de Zp-coincidência. Na seção 3.2, nós mantivemos fixada a ação livre do grupo

Z2 e mostramos que á possível enfraquecer as hipóteses cohomológicas dos espaços

envolvidos no Teorema 1 de [45].

Um espaço topológico A', satisfazendo a condição Hq(X]Z2) = 0, para 1 < q < rn é

4 1 .

3. Versões elo Teorema ele Borsuk-Ulam para G-ações livres 4 2

chamado m-acíelico. Na seção 3.3, nós apresentamos um exemplo sobre1 a não existência

de uma aplicação Z2-equivariante entre1 duas variedades topológicas fechadas, de mesma

dimensão, dotadas com involuções livres e que não são espaços rn--acíclicos.

3.1 Uma versão do Teorema de Borsuk-Ulam para

ações livres de um grupo compacto de Lie

Sejam R um PID e G um grupo compacto de Lie. Sejam A', Y G-espaços livres. Deno-

temos por fti(X; R) o i-ésimo número de Betti de A'. Especificamente, nós provamos

T e o r e m a 3.1.1 Sejam G um grupo compacto de Lie e X. )' G-espaços livres, conexos

por caminhos e paracompaclos de Hausdorff. Suponhamos que para algum natural

m > 1, //'•': .V: /.': = 0, para 0 < q < m e que íP"+l (T/G; R) = 0. Então, se

fim(X; R) < fím+\(BG\ R), não existe aplicação G-eqmvariante f : X Y.

Se Y é uma variedade topológica conexa com ação livre de um grupo compacto de Lie

G, então dim(Y/G) = dim(l ' ) — dirri(G), onde dvrn denota a dimensão topológica usual

(vide [10, Cap.IV, Seção 3, Teorema 3.8]). Assim, se dim(G) > 1, d im( iyG) < dim(F).

Nós temos o seguinte Corolário do Teorema 3.1.1.

C o r o l á r i o 3.1.2 Seja G um grupo compacto de Lie de dimensão p. Sejam X um G-

espaço livre, conexo por caminhos e paracompacto de Hausdorff, tal que Hq(X] R) — 0,

para 0 < q < m e Y uma (•rn+p)-dimensional variedade topológica conexa por caminhos

com uma ação livre de G. Se (1m(X; R) < fim+\(BG\ R), então não existe aplicação

G-equiva/riajite f : X —> F.

D e m o n s t r a ç ã o do Coro lá r io 3.1.2 Desde que Y é uma (rn + p)-dimensional varie-

dade topológica conexa com uma ação livre de G, então dim(F/G) = (rn + p) — p = m

e, portanto, Hm+l(Y/G: R) = 0. Segue do Teorema 3.1.1, que não existe aplicação

G-equivariante / : A' —> V. I

O seguinte exemplo ilustra o Corolário 3.1.2.

E x e m p l o 3 .1 .3 Sejam G = Sl x S\ X = S5 x Sò o Y = S 3 x S\ os quais admitem

ação livre de G. Temos que Hq(X;Z) = 0, para 0 < q < m = õ e Hr,{Y/G\Z) = 0,

desde (pie d im(Y/G) = 4. Além disso, do Exemplo 1.7.2, B(Sl x S1) = CP°° x CP°°

e deste modo /%(X: Z) = 2 < Bf^BG: Z) = 4. Segue do Corolário 3.1.2, (pie não existe

aplicação G-equivariante / : A" > ) .

Quando G = Zq, onde q > 1 é um inteiro, uma outra consequência do Teorema 3.1.1 é

0 seguinte

C o r o l á r i o 3 .1 .4 Sejam A', Y Zq-espaços livres, conexos por caminhos e paracompaetos

de Hausdorff. Seja p um primo que divide q. Suponhamos que Hr(X]Zq) = 0, para

1 < r < ni e que H,n+1(Y/Zp; Zv) = 0. Então não existe aplicação Zq-equiva/ria/nte

f • x r .

Para demonstrar o Corolário 3.1.4, nós precisamos do seguinte

L e m a 3.1 .5 Sejam q > 1 um inteiro e p um primo que divide q. Se X é conexo por

caminhos e. Iír(X:Zq) — 0, para 1 < r < m, então Hr(X:Zp) = 0, para 1 < r < rri.

D e m o n s t r a ç ã o Seja q = p\'pk22 • • -pk

ss a decomposição em fatores primos de q, onde

pi,...,ps são primos distintos e kL > 0, para i = 1 , 2 , . . . , 6'. Então, temos que

Zq = zpkí © • • • © ZpA, e Hr(X; Zq) = //' i V: Z ^ ) « . . . © Hr{X; Zpu.). Desde que,

Hr(X; Zq) = 0, para 1 < r < m, então IT'(A; Zp*,-) = 0, para 1 < r < m e i = 1 , . . . , s.

Sem perda de generalidade, podemos supor p — pi e mostremos que Hr(X; Zpk) = 0,

para 1 < r < vi, implica cpie IIr(A'; Zp) — 0, para 1 < r < vi, onde k = k^. Para isto,

consideremos as seguintes sequências exatas curtas de grupos abelianos

0 > z v Zp* Z.pk-i - 0 (3.1.1)

o ^ Z a - , ^ZpA ^ o (3.1.2) "'Jpk ~ 1

Segue da Seção 1.6, que existem sequências exatas longas em eohomologia

- W-\X-Zv) - Í T - 1 (A; V ) - H'-' (A; Z p ^ ) ^ H'( A; Zp) > Hr(X; Z p , ) >

(3.1.3)

!

— W-\X- Zp*-i) ^ ET~\X\ Zpk) Hr~\x-Zp) ^ Hr{X: ZpA->) ^ Hr(X; Zpk)

(3.1.4)

onde [ír : ^ - ' ( X j Z ^ - i ) HR(X]ZP) e # : Hr~l(X] Zv) Hr{X\ Zp*-i) são os

honioinoríisinos de Bockstein. Desde que, Hr(X:Zpk) — 0, para 1 < r < m, nós ternos

de (3.1.3) e de (3.1.4) que

HT~l{X-, Zp*-i) ^ / / ' (X; Zp), para 2 < r < m; (3.1.5)

H'-l{X: Zp) ^ //r(A"; ZpA-, ), para 2 < r < m. (3.1.6)

Além disso, para r — 1, temos as sequências exatas

0 — H°(A"; Z p ) — H°(X\ZPK) — ZPK-I) ^ ^ ( X ; Z p ) 0 (3.1.7)

0 ^ i y ° ( A ' ; Z p , - i ) ^ / / 0 ( A ' ; Z p O - ^ ° ( A ' ; Z p ) - ^ / / 1 ( A ' ; Z p , - 1 ) ^ 0 (3.1.8)

Segue do Teorema dos Coeficientes Universais e da hipótese de que X é conexo por

caminhos, que

H°(X: Zp) = H o m z ( # 0 ( A ; Z), Zp) = Hom z(Z, Zp) ^ Zp (3.1.9)

H°(X\ZPK) = Hom z (# 0 (A ;Z) ,Z p / 0 = Honiz(Z,Zpí-) = Zp* (3.1.10)

H°(X] Zpa-.) = Hom z (# 0 (X;Z) ,Z p A-, ) = Homz(Z, Zp*-i) = Zp*-i (3.1.11)

Substituindo (3.1.9), (3.1.10) e (3.1.11) em (3.1.7) e (3.1.8), obtemos as sequências

0 ^ Zp - Zp , - Zpa--I ^ Hl(X: Zp) - 0 (3.1.12)

( ) ^ Z p * - i ^ Z p J i H l { X - Z p k - i ) ^ 0 (3.1.13)

Desde que as sequências (3.1.1) e (3.1.2) são exatas curtas, as aplicações ZPK i—)• Zpk-i

e ZPK Zp são sobrejetoras, assim são os homomorfismos nulos e, portanto,

H\X\Zp) = 0 e ^ ( X j Z p A - i ) = 0. (3.1.14)

Combinando (3.1.5), (3.1.6) e (3.1.14), nós concluímos que

0 = Hl{X; Zp) ^ H2(X; Zp*-i) ^ tf3 (A;Z p ) = H4{X; Zpk-i) = ••• (3.1.15)

0 = Hl{X-ZpA. i) ^ # 2 ( A ; Zp) ^ H'Ò{X-, ZpA- i) ^ H4(X; Zp) ^ • • • (3.1.16)

e, portanto, Hr(X; Zp) — 0, para 1 < r < ni. I

D e m o n s t r a ç ã o do Coro lá r io 3.1.4 Desde1 que Zp é uni subgrupo de Zf/, segue que X

e Y são Zp-espaços livres, onde p é primo. Do Lema 3.1.5, temos que Hr(X;Zp) = 0,

para 1 < r < m. Em particular, Hm(X;Zp) — 0 implica que /jw(A"; Zv) = 0 e segue do

Exemplo 1.7.1 que / i m (A:Z p ) < ftm+i (BZP; Zp) = 1. Assim, as hipóteses do Teorema

3.1.1 estão satisfeitas para G = Zp e não existe aplicação Zp-equi variante / : X —>• Y,

consequentemente, não existe aplicação Z(/-equivariant.e / : A' —> Y. I

O b s e r v a ç ã o 3.1.6 O Corolário 3.1.4 estende para Z(/-ações livres, q > 2, o Teorema

1 provado em [45].

O b s e r v a ç ã o 3.1.7 Suponhamos que no Corolário 3.1.4, Y seja uma m-dimensional

variedade topológica, assim Hrn^[(Y/Zp\Z.p) — 0. Então não existe aplicação Z9-

equivariante / : A' —>• Y. Esse caso particular do Corolário 3.1.4 estende o seguinte

teorema provado por T.Kobayashi [34, Theorem 1]: se A" é um espaço de Hausdorff,

conexo por caminhos tal que Hr(X\Zq) = 0, para 1 < r < m — 1, então não existe

aplicação Z^-equivariante / : X -t 5" , onde m, n são ímpares, m > n, S" com a ação

padrão de Zq, q > 1.

O b s e r v a ç ã o 3.1.8 O Exemplo 3.1.3 também segue do Corolário 3.1.4. De fato,

suponhamos que exista uma aplicação G-equivariante f : S5 x S° S3 x Sò.

Sejam d : SB Sb x S° a aplicação diagonal e p : 5 l í x S*3 —> Sz a projeção na

primeira coordenada. Então, p o / o d : S° —> SA é uma aplicação S^equivariante c,

portanto, Z^-equivariante, para algum q > 1, contradizendo o Corolário 3.1.4

3.1.1 Demons t ração do Teorema 3.1.1

A prova do Teorema 3.1.1 seguirá dos seguintes lemas

L e m a 3.1.9 Sejam B. um PID e E A B uma fibração com fibra F e espaço base

B,conexo por caminhos. Suponhamos que Hq(F1R) — 0, para 0 < q < m. Então,

existe uma sequência exata com coeficientes em R,

O Hl{B) ^ H[{E) H\B• Hl{F)) H2(B) H2(E) — • • •

• • • ^ Hm(B) t H"'{E) H°{B-, TÍ"l(F)) + Hm+l(B) £ Hm+Í{E)

onde T é o homomorfismo transgressão e Wf F) denota o sistema de coeficientes locais

sobre B.

D e m o n s t r a ç ã o Segue do Teorema 1.4.15 que existe uma sequência espectral do pri-

meiro quadrante {E*'*,dr}, com

El'/' = H''(B\%q(F)), (3.1.17)

a cohomologia de B com coeficientes locais na cohomologia de F, a fibra de p, e

convergindo para H*(E\ R). Desde que F é conexo por caminhos, segue do Exemplo

1.3.8, que o sistema de coeficientes locais 7í°(F) sobre B é trivial. Assim, do Lema

1.3.12 nós concluímos que

Ep'° = HV(B\H°(F)) = HV(B\ H°(F)) = HP(B), Vp. (3.1.18)

Por outro lado, Hq(F) = 0, para 0 < q < rn, o que implica que Hq(F) = 0, para

0 < q < /ii. Assim, E%'q = 0, para 0 < q < m e o diferencial dr — 0, para r > 2. Segue

da Observação 1.1.9 que

Hp(B:Uq{F)) 9á E%q = c^ j?p,q c^ . . •E^

Mostremos que

Hm+l{B) T 7 i m t 1 = F2

. , 0 T T . m + 1 , 0

= 3 = • • • :

H°{B-Hm{F)) T—lO , ' í / l

= F2 = E°'m = • • • = E\

HP(B) = E f -= Ef = ••• = W

= E ^ (3.1.20)

S i (3.1.21) o _ o

i-.m+i,o _ Ker^i,. : ' —> cj,r ' ) , . r+1 - • í ] Pm+1-r,r-l , pm+1,0^ (O.r.ZOJ

De fato, segue da definição da sequência espectral que

ker (ri,. : fftm+'-° £;."+'+ r-~ r + ' )

lin (d,r -.br —f br )

Observemos que, como r > 2, - r + 1 < 0 e desde1 que a seqiiência é do primeiro

quadrante, £m+i+r,-r+i = 0 c assim, ker(dr : £™+1-0 £m+i+n-r+i) = E m+M p a r a

todo r > 2. Por outro lado, para 2 < r < rn, tornos que 0 < r - 1 < rn e segue de

(3.1.19) que 1 = (), 0 q Ue implica que im(rf7. : _>. E™+h°) = 0.

Portanto,

Eni+l,0 ^ Ern+l, p & r a 2 < r < TH. (3 .1 .24)

Combinando as fórmulas (3.1.18) e (3.1.24), obtemos (3.1.20).

Para provar (3.1.21), observemos que

n m kcvtdr : E^"1 ^ ) E r í = — ' — n-^- 3.1.25

' + 1 • j j rr — r,m+r — \ , j - i 0 , m \ V ) 1111 (dr : Er —> Er )

Para 2 <r< rn, temos que 0 < m - r + 1 < m o segue de (3.1.19) que Er>m~r+X = 0,

o que implica que ker(<7r : E f / n Ef:m~r+1) — para 2 < r < rn. Por outro lado,

desde que -r < 0, E~r>m+r~l = 0 e assim, im(rfr : E;r>"l+r~l ->• Ef!'m) = 0. Portanto,

E^í = para 2 <r< rn. (3.1.26)

Além disso, de (3.1.17), E°/n = H°(B,H"{F)), o que conclui a prova de (3.1.21).

Temos ainda que,

_ ker(c/r : E]':0 —)• E\'.1 'v ''H) r + l ~ im(rfr : E?-"-' E?'°) { °

Desde que r > 2. —r + 1 < 0 e então Ep+r~r^ = 0, para todo r > 2, isso implica que

ker(rir : -¥ E*+r~r+x) = Ep°. Por outro lado, para todo p < rn, temos que:

i) se 2 < r < m, 0 < r - 1 < rn e segue de 3.1.19, que Ef~r'r~x = 0.

ii) se r > m, p — r 2 o p < m, m\(dr : E*!"r>r~l ->• E]':()) = 0 e portanto,

Evrf{ = E f , Vp < rn, Vr > 2. (3.1.28)

Observemos que os diferenciais dr : E?'° El!+r<~r+l e ri,. : ^ E? ,Q s e anulam,

para todo r > 2 e p < m. Isso significa, que a sequência colapsa em r = 2, ou seja,

e p o ^ Ep,o ^ . . . ^ Ep,o ^ ^ V p < m_ (3.1.29)

Para concluir a prova de (3.1.22), basta observar que de (3.1.18), Ep/ ^ HP(B).

Agora, consideremos a seguinte sequência exata

0 - kerdr - C Err>° - g - - 0, (3.1.30)

onde im(cír : E®'r~l —> Err'°). Mostremos que

kerrfr = e = E ^ . (3.1.31) mui,.

De fato, segue da definição de sequência espectral que

£ 0 , , - . ^ ker nn(dr : Er —> Er )

Desde que — r < 0, nós temos que im(<ír : E~r,2r~2 —£')0, ' '~ l) é sempre nula e portanto

E^-1 = ker(dr : E0/-1 E f ) . (3.1.32)

Temos ainda que 77i0,r—í ^ ker(ri r+] : E^ 1 E'r+{' ') = r+2 • / , t-,-7- l,2r-l T-i0,T— 1 \ '

""(« , •+1 ; r+1 ^ )

e como = 0, segue que kcr(dr+i : ~> E'r'l') = Is^+f1. Por outro lado,

—r - 1 < 0 e assim, £",7^"1,2,-1 = 0, o que implica que im(d r + i : E~l~[1'2r~'1 —> E ^ f f 1 )

é trivial e, portanto,

(3-1.33)

Mais geralmente, para todo k > 2,

ker(rfr+fc_i : E ^ Z l 0,r —1 j^r+k-l-k+l

Desde que k > 2, -k + 1 < 0, assim E''r^Zl~k+1 = 0 e consequentemente,

ker(dr+fc_i : E%k\ E'r+kkZ\'-k+í) = Além disso, - r - k + 1 < 0 e nós

temos que i m ( d r + f e _ i : E^f^'21-1 ->• é nula. Assim, para todo k > 2,

(3.1.34)

Observemos que os diferenciais

, . n^O.r-i nr+k-L-k+l "•r+k-1 • ^r+fr-1 ^V+fc-l 0

, p—r-/c + l ,2(r- l )+fc- l p 0 , r - l «7-+A--1 • fir+H r-\-k— 1 '

3. Versões elo Teorema ele Borsuk-Ulam para G-ações livres 49

se anulam para todo k > 2 e a sequência eolapsa em N — r + 1. Assim, combinando

(3.1.32) e (3.1.34), nós concluímos que

kerdr = 91 E%~ 1 ^ • • • ̂ E % ~ \ ^ E ^ k 1 ^ . •. ^ E ^ " 1 . (3.1.35)

Mostremos agora que = Temos que

,r,o _ ker(dr : -)• im;d, : Er '7"1 E ?

Erfi - v r ' r — ^ í H 1 3fi) ^ r + l ~ r^O/r-l j—1?',0\ ( J . i . J O j

Como anteriormente, Ef.r' 7 + 1 = 0, pois - r + 1 < 0, logo ker(cír : Errfi —> E2r~r+1) =

E1/'0 e, portanto,

Er,° E r+ i = : 7~J „ rr ,o; (3.1.37)

im(d r : Er' —)• Er )

Para todo k > 2, nós temos que

L ' + l i m C W ^ : E^r 1 - 2 - ' ' e, desde que, — r — k + 2 < 0, Ef+

il ,kS i

l~ ,~k + 2 — 0, o que implica que

ker(dr+fc_1 : E'r+k_[ —> = Da mesma forma, nós concluímos

que im((ir+fc_i : E ~ k ^ [ ' + k ~ 2 -¥ E' r^k_x) é nula, pois —k + 1 < 0. Consequentemente,

pr, o

—J = r +1 = • ' ' r + k—l = r+k = " ' " = • (3.1.39)

Substituindo (3.1.31) em (3.1.30), nós obtemos a sequência exata

0 ^ E ^ - 1 - E ^ ' - 1 i"E'r-n - E - 0, (3.1.40)

como queríamos demonstrar. Mostremos agora que, para todo r < rri, a sequência

O + E g + F W + E X + O (3.1.41)

é exata e, se r = m + 1, existe uma injeção natural

0 E™+],° m- HT"+l(E). (3.1.42)

Para isto, consideremos a seguinte filtração decrescente de Hr(E) R),

{0} = Fr+l (Hr(E)) C Fr(Hr(E)) C F'-l{H'(E)) C ••• C Fl(H'{E)) C F°(Hr(E)) = Hr(E).

Desde que a sequencia espectral {E*'*,DRJ converge para o i?-módulo graduado H*(E),

temos que

E™ = E'Ó'"(H*(E)) = F'"(H'"+"{E))/F"+Í{H"+"{E)), (3.1.43)

onde E^* é o termo limite da sequência espectral e Eq*(H*(E)) é o módulo bigraduado

associado. Como Fr+1(Hr(E)) = {0}, segue que

= Fr{Hr{E))/Fr+l(Hr(E)) Fr(Hr(E)) c Hr{E), (3.1.44)

para qualquer r , o que prova (3.1.42). Além disso, E^r = F°(Hr{E))/F}{Hr(E)) =

HR(E)/FL(HR(E)) e nós temos a seguinte sequência, exata curta

0 Fl (Hr(E)) ^ Hr{E) 0 (3.1.45)

Mostremos agora que, para todo r < rn,

F] (Hr(E)) = Fr(Hr(E)) E^. (3.1.46)

Para isto, basta observar que

El(Hr(Ej) = F1+1{Hr{E)), (3.1.47)

para cada 1 < r < m e para todo 1 < / ' < / • - 1. De fato, temos que

F'(Hr{E))/Fí+l(Hr{E)) = (3.1.48)

Desde que, 1 < i < r - 1 e r < rn, 0 < r - i < m e segue de 3.1.19 que = 0.

Assim, FI(HR(E)) = Fl+l(Hr{E)), para cada r < rn e 1 < i <r - 1, ou seja,

Fl (H'(E)) = F-{Hr(E)) = F:\Hr{E)) = ••• = F'(Hr(E)) = Fl+l(Hr{E)) = •••

• • • = Fr~l{Hr{E)) = F''(Hr(E)) ^ E^, (3.1.49)

para cada r < rn. Substituindo (3.1.49) em (3.1.45), obtemos a sequência (3.1.41).

Juntando as sequências (3.1.40),(3.1.41) e (3.1.42), nós obtemos a sequência exata

0 —^ —>- H1 (E) E2/ — H\E) ^ E^ - • • •

(3.1.50)

onde dr : E%'r 1 é o homoinorfisino transgressão (Teorema 1.5.4).

De (3.1.19), (3.1.20), (3.1.21) e (3.1.22), temos que

(1) E(fi" = = H°{B; U"{F)) = 0, 0 < q < rn, r > 2.

(2 =

(3) H%B-Um{F)).

(4) E'fi° ^ ^ Hr{B), Vp < rn,Vr > 2;

Substituindo (1), (2), (3) e (4) em (3.1.50), nós obtemos a sequência desejada,

0 — H1 [B] C Hl(E) — 11°{B-,nl (F)) H2(B) II2 (E) • • •

• • • ^ H'"{B) C H"'(E) - H[)(B- W"'(F)) + II'" 1 ' (£ ) - H1,l+l(E)

Isso completa a prova.

O Lema 3.1.9 também possui a seguinte versão lioniológica

L e m a 3.1.10 Sejam R um PID e E A B uma fibração e:om fibra F e espaço base B

conexo por caminhos. Suponhamos que HQ(F, R) = 0, para 0 < q < m. Então, existe

uma sequência exata corri coeficientes em R,

Hrn+{(E) £ Hrn+l(B) ^ H0(B, Um(F)) - Hm(E) £ Hm(B) - • • •

Ih(E) H2(B) ^ H0(B, lij (F)) - Hx (E) ^ Hl (B) — 0,

onde T é o homomorfismo trunsgrv.ssao e Hí(F) denota o sistema de coe.ficientes locais

sobre B.

D e m o n s t r a ç ã o Segue do Teorema 1.4.16 que existe uma sequência espectral do pri-

meiro quadrante { /-.'; .. dr}. com

Ép.q — Hp(B; Rq(F)), (3.1.51)

a homologia de B com coeficientes locais na homologia de F, a libra de p, e convergindo

para H*(E\ R). Desde que F é conexo por caminhos, segue do Exemplo 1.3.8, que o

sistema de coeficientes locais Hq(F) sobre B é trivial. Assim, do Lema 1.3.12 nós

concluímos que

- IIp(B-H(]{F)) = IIp(B] Hq(F)) = HP(B). (3.1.52)

Por outro lado, Hq(F) = 0, para 0 <q < rn e segue de (3.1.51) que E2pq = E£q = 0,

para 0 < q < rn. Além disso, a sequência espectral é do primeiro quadrante e então

Hrn+l(B) = E2l+l0 = E^+lfi = • • • = E%_ll0 (3.1.53)

H0(B;Hm(F)) = 2?£m = £jm = -.- = £K1 t3-1-54)

HP(B) = l?}t0 = E?p<0 = • • • = E^ = Mp < rn. (3.1.55)

Consideremos as seguintes sequências exatas

0 - E% + E'r () tEl>r_, - E%r_x + 0, Vr < m + 1 (3.1.56)

() > E™. + Hr (E) - E™0 , 0, Vr < m (3.1.57)

e, para r = m + 1, a projeção natural

Hm+l(E)^E%+lt0-> 0. (3.1.58)

Colocando juntas essas sequências nós obtemos a sequência exata

Hm+X (E) E ^ f ^ E ^ Hm(E) Erl0 • • • (3.1.59)

*H2(E) El, El, — II x (E) — E™ , o

onde dr : E'rii —>• Eqt_x ^ 0 homomorfismo transgressão (Teorema 1.5.3). Substituindo

(3.1.53), (3.1.54) e (3.1.55) em (3.1.59), nós obtemos a sequência desejada,

Hm+\(E) HmU(B) -i H0{B, nm(E)) - Hm(E) ^ Hm(B) - • • •

H2(B) -X H0(B, Ui{F)) - H} (E) ^ HV(B) — 0


L e m a 3.1 .11 Seja X um G-espaço livre, Hausdorff, conexo por caminhos e paracom-

pacto. Para um natural m > 1, suponhamos que H''(X]R) = 0, para 0 < q < rn

e que 6m{X:R) < dm+l(BG: R). Então h* : H"l+l (BG: R) ->• H"í+l (X/G: R) é não

trivial, onde h : X/G —f BG é uma aplicação classijicante pa/ra o G-fibrado principal

X X/G.

D e m o n s t r a ç ã o Sejam EG BG o G-fibrado universal e h : X/G -» BG uma

aplicação classificante para o G-fibrado principal A" ->• X/G. Seja p : X(; —» BG

a fibração de Borel associada ao G-espaço A", onde X(; é o espaço de Borel. Segue

da Observação 1.2.1, que a aplicação Xa X/G é uma equivalência de homotopia.

Denotemos por r : X/G XG a sua inversa homotópica. Assim, temos da Observação

1.2.2 que por \ X/G ->• BG também classifica o G-fibrado principal A" X/G e pelo

Teorema 1.1.2, por é homotópica a /?,. Desde que r* : / / " ' + ' ( X c ) -> Hm+](X/G) é um

isomorfismo, é suficiente provar que p* : Hm+](BG) ->• Hm+1(X(;) é não trivial. De

fato, como por hipótese Hq(X) = 0, para 0 < q < rn, segue do Lema 3.1.9 que existe

uma sequência exata com coeficientes em R

0 — -//"'(Xc) H°(BG;K"l(X)) ^ HmH{BG) X*//" í f ' ( A ( ; ) . (3.1.60)

Suponhamos que p* : Ií"l+l (BG: R) H"'+i (XG; R) seja nula. Deste modo, temos

que T : H°(BG;Um(A)) Hm+l(BG) é sobrejetor, o que implica que

rank H°(BG\nm{A)) > pm+l{BG). (3.1.61)

Por outro lado, H°(BG:Hm(X)) é isomorfo a um submódulo de Hm(X) (vide [48,

Cap.6, §3, Teorema 3.2]) e por hipótese fím(X) < fím+](BG), assim

rank H°(BG\H"l{X)) < rank Hr"(X) = ftm(X) < Sm+l(BG),

o que contradiz 3.1.61.

O b s e r v a ç ã o 3.1.12 Um resultado similar ao Lema 3.1.11 foi provado em [24], quando

G é um grupo finito.

D e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 3.1.1 Suponhamos que / : X —> Y seja uma aplicação

G-equivariante. Desde que Y é paracompacto Hausdorff, podemos tomar uma aplicação

classificante g : Y/G —BG para o G-fibrado principal Y —» Y/G e segue da

Observação 1.1.4 que a composição h, = g o f : X/G BG classifica o G-fibrado prin-

cipal A —>• A'/G, onde / : X/G Y/G é a induzida por / entre os espaços de órbitas.

Como por hipótese Hm+1(Y/G) = 0, nós temos que g* : Hm+l(BG) Hm+l(Y/G) é

trivial e assim h* : H"l+l (BG) —> H"l+i(X/G) é o homomorfismo nulo, o que contradiz

o Lema 3.1.11.

3.1.2 Sobre a existência de pontos de Z^-coincidências

Sejam agora A' e 1', conexos por caminhos e paracompaetos Hausdorff e suponhamos

que X seja equipado com uma ação livre do grupo cíclico Zp, gerado por um homeo-

morfismo periódico T : A" —> X de período p, onde p é um primo ímpar. Denotemos

por Y* = Hf ) ' ! - A, onde

A = {{yi,y2, ,yP) £ n vi=lYl-, y, = y2 = • • • = yp)

é a diagonal usual em FI^,} ' ' . Então, Y* admite uma ação livre do grupo group Zp,

gerado pelo homeomorfismo periódico tY : Y* —> Y* de período p, dado por

*v(:</m/2, • • • ,yP) = {:t/2, fj:u • • • ,yP,y\)-

Nessas condições, nós obtemos o seguinte teorema sobre a existência de pontos de

Zp-coincidências.

T e o r e m a 3.1.13 Para um, natural n > 1. suponhamos que Hr(X]Zp) = 0, para

1 < r < n e que Hn+X (Y*/ty: Zp) = 0. Então toda, função contínua / : X —» Y tem

um ponto de Zp-coincidência, ou seja, existe um, ponto x £ X tal que /(:?;) = f(g(x)),

para todo g 6 Zp .

D e m o n s t r a ç ã o Seja / : A" —> 1" uma função contínua (pií1 não possui nenhum ponto

de Zp-eoincidôncia. Podemos definir a aplicação Z / requivariante F : X Y*, onde

F(x) = (f(x),f(l\x)),-- - ,f{T"-x(x))).

Desde que a hipótese H"(X) = 0 implica que 0 = (ín(X) < fín+l (BZP) = 1, a existência

de uma tal aplicação contradiz o Teorema 3.1.1.

Obse rvação 3.1.14 O Teorema 3.1.13 estende para Zp-ações livres o seguinte Teo-

rema provado em [45. Teorema 3]: Seja (X,T) conexo por caminhos com involução

livre e Y Hausdorff e localmente conexo por caminhos. Suponhamos que, para um

natural n > 1, Hr{X:Z2) = 0 ])ara 1 < r < n e que Hn+](Y*/tY-,Z2) = 0, onde

Y* = Y x Y - A e ty : 1'* Y* é a involução livre tY(x, y) — (y,x). Então toda

função contínua / : Ar —> Y tem um ponto de T-coincidência, ou seja, um ponto x € X

tal que f ( x ) = f(T(x)).

O b s e r v a ç ã o 3.1.15 Suponhamos que no Teorema 3.1.13, 1' seja um /,:-dimensional

CW-complexo. Então Y* jZp admite uma p/,:-dirrierisional estrutura de CW-complexo,

assim, Hpk+l(Y*/Zp, Zp) = 0. Então toda função contínua / : A" —> Y tem um ponto

de Z^-coincidência, so n > pk (isso também segue de [24, Teorema 1]; de fato o Teorema

1 de [24] mostra adicionalmente que o resultado também é válido para n = pk).

O b s e r v a ç ã o 3.1.16 Em [16], F.Cohen e J.E.Connett obtiveram um resultado de Borsuk-

Ulam para funções contínuas / : A -»• E" , com n > 2, onde X é uru espaço de Hausdorff

que admite uma Zp-ação livre, com p > 2. A seguinte afirmação foi provada: se A' é

(n - 1 )(p — l)-conexo, então existem x £ A age Zp, com g diferente do elemento

identidade, tal que f(x) = f(g(x)). No seguinte Teorema, nós substituímos a hipótese

de que A" é (n — 1 )(p - l)-conexo por uma condição cohomológica sobre AA.

T e o r e m a 3.1.17 Seja X conexo por caminhos e paracompacto Hausdorff', com uma

ação livre de Zp gerado por um homeomorfismo periódico T : A" —» X de período p,

onde p é um primo ímpar. Suponhamos que Hr(X,Zp) = 0, para 1 < r < (?/, —l)(p—1).

Então, para toda função contínua f : X —>• M" existem x G A' e 1 < i < p — 1 tal que

f(x) = f ( r (.,:)).

O b s e r v a ç ã o 3.1.18 E interessante observar que o Teorema 3.1.17 é mais forte que

o resultado provado em [16]. De fato, recordemos que um espaço X é n-conexo se

7rfc(A') = 0, para todo k < n e segue do Teorema de Hurewicz [20, Cap. 6, Teorema

6.66] que se A" é n-conexo e conexo por caminhos, então Hr(X) = 0, para 1 < r < n.

Para provar o Teorema 3.1.17, recordemos a definição de espaço de configuração de uma

variedade M, estudado por Fadell e Neuwirth [23] em 1962. O espaço de configuração

ordenado é o espaço de todas as fc-uplas ordenadas de pontos distintos em M definido

como segue

F(M,k) = { ( x j , ^ , - - - ,xk)-,xi € se / / j}. (3.1.62)

O espaço F(Rn, k) é o complemento de um arranjamento linear de subespaços de

codimensão N em Rkn. A cohomologia desses espaços foi obtida por Cohen [17, 18].

O grupo simétrico sobre k letras, J^k a S e livremente sobre F(M, k) por permutação de

coordenadas. Se G é qualquer grupo finito, existe k tal que G C YLk- A s s ' r n , 0 grupo

cíclico de ordem p age livremente em F(W\p) via a ação dada por um homomorfismo

Zp —>• , o qual leva 1 £ Zp no ciclo (1, 2, . ,p).

Ern [16], Cohen e Connett provaram o seguinte resultado

L e m a 3.1.19 H«{F{R"rp)/Zp: Zp) = 0; para q > (n - l){p - 1).

D e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 3.1.17. Temos que F(WL,p) admite uma ação livre

de Zp, gerada pelo homeomorfismo periódico de período p, t : F(Rn,p) —F(Rn,p),

onde t(xi,x-2, • • • , xp) — (i í 21 ) p • X \ ). Suponhamos que f ( x ) ^ f(T'l(x)), para todo

x £ X e 1 < % • F(Rn,p), dada por

F(x) = (f(x)J(Tx)1--- J i T ^ x ) ) .

Desde que Hr{X, Zp) = 0, para todo 1 < r < {n - 1 )(p - 1) e pelo Lema 3.1.19,

Hr(F(Ru,p)/ZP;ZP) = 0, para r > (n - l)(p - 1), temos que A' e F(Rn,p) satisfazem

as hipóteses do Corolário 3.1.4 e a existência de uma tal aplicação Zp-equivariante é

uma contradição.

3.2 Uma versão do Teorema de Borsuk-Ulam para

Z2-ações livres

Nesta seção, nós mostramos que 6 possível enfraquecer as hipóteses cohomológicas

exigidas no seguinte teorema, provado em [45]

T e o r e m a 1. Sejam X,Y conexos por caminhos e paracompactos de Hausdorff, equipa-

dos com involuções livres T : X —> À" e S : Y —> Y. Suponhamos que para algum natu-

ral n > 1, Hr(A;Z2) = 0, para 1 < r < n c ti" 1 1 (Y /S:Z2) = 0, onde Y/S é o espaço

de órbitas de Y por S. Então não existe aplicação Z2-eqmva/riante f : (X,T) —> (Y,S).

Especihcamente, nós provamos o seguinte

T e o r e m a 3 .2 .1 Sejam X, Y conexos por caminhos e paracompactos de Hausdorff, com

involuções livres T : X -¥ X, S : Y 1' e A C X conexo por caminhos e T-invariante.

Suponhamos que para algum natural n > 1, H,'(A17j2) = 0, para 1 < r < n — 1,

i* : Hn (X, 7j2) HN{A, 12) seja nula c Hn+] (Y/S, Z2) = 0. Então, não existe

aplicação Ij2-equivaria,nte f : (X,T) —> (V, S).

C o r o l á r i o 3.2.2 Sejam Mp uma p-dimensional variedade e Nn uma n-dimensional

variedade generalizada com involuções livres T : Mv —> Mp e S : Nn —> Nn.

Suponhamos que exista uma n-dimensional subvanedade T-invariante A"' C Mp tal

que A" seja homeomorfa à esfera S". Se i* : H'"(MP,Z2) —> H" (A" ,Z2) c nula, então

não existe aplicação X2-equivariante f : (MP,T) —y (N",S).

D e m o n s t r a ç ã o . Desde que A" é homeomorfa à dsfera Sn, temos que Hr(An\ Z2) = 0,

para 1 < r < n — 1. Além disso, Hn+l(Nn/S\/L2) = 0, pois Nn/S é urna variedade

generalizada de dimensão n. Assim, se i* : H" (M'\ Z2) —> H'"(A'l.Z2) é nula, pelo

Teorííina 3.2.1, não existe aplicação Zy-equivariante / : ( M P , T ) —> (Nn,S).

O b s e r v a ç ã o 3 .2 .3 Suponhamos que (AN, T) seja uma subvariedade equivariantemente

difeomorfa à esfera Sn e Nn uma variedade diferenciável. Nesse caso, o Corolário 3.2.2

segue da famosa versão do Teorema de Borsuk-Ulam provada por Conner-Floyd [15].

De fato, suponhamos que exista uma aplicação Z2-equivariante / : ( M P , T ) —> (Nn,S).

Denotemos por h : Sn An um difeomorfismo Z2-equivariante com relação à aplicação

antipodal e seja i : An <->• Mp a inclusão. Deste modo, g = / o i oh : S" -»• Nn 6

Z2-equivariante com relação à antipodal, ou seja, g(—x) = S(g(x)), para todo x e Sn.

Desde que S é uma involução livre, temos que S(g(x)) / g{x) para todo x £ Sn, assim

g(-x) / g(x) para todo x £ Sn. Por outro lado, i* : Hn(AP, Z2) ->• Hn(An, Z2) é nula

e assim ternos que g* : Hn(Nn;Z2) ->• Hn(Sn; Z2) é o homomorfismo nulo. Segue de

Conner-Floyd (pie existe x £ Sn tal (pie g(x) = g{-x), o que é urna contradição.

Se ( A n , T ) á uma subvariedade equivariaiitemonte homeomorfa à esfera Sn com a

aplicação antipodal, prova-se de maneira análoga que, com essas hipóteses, o Corolário

3.2.2 também decorre do Teorema 2.1.1, provado no Capítulo 2 [5, Teorema 1.1].

3.2.1 Demons t ração do Teorema 3.2.1

Na demonstração do Teorema 1 de [45], a hipótese de que Hr(X;Z2) = 0, para

1 < r < ri implica que a (n + l)-ésima potência da (lasse de Euler do Z2-fibrado

principal A" —» X/T é não nula. Por outro lado, a hipótese Hn+l (Y/S: Z2) = 0,

implica necessariamente (pie a (•//. + l)-ésima (lasse de Euler do Z2-fibrado principal

1' —>• Y/S é nula. Essas duas condições impedem a existência de uma aplicação Z2-

equivariante (h1 A" em Y, conforme o seguinte

L e m a 3 .2 .4 Sejam X e Y espaços paracompaetos de Hausdorff com involuções livres

T : A -»• X e S : Y —? Y. Sejam e e u, as classes de Euler dos Z2-fibrados principais

X X/T e Y —> Y/S, 'respectivamente e denotemos suas (n + 1 )-ésirnas potências

por e" + 1 e un+l. Entào, se e"+l / O e un+i = 0, não existe aplicação Z2-equivariante

f - . ( X , T ) ^ ( Y , S ) .

D e m o n s t r a ç ã o . Sejam BZ2, o espaço classificante para Z2 e a G Hl(BZ2) a classe

de Euler do Z2-fibrado principal universal EZ2 —> BZ2. Desde que X 6 paracompacto

Hausdorff, pelo Teorema 1.1.1, podemos tomar uma aplicação classificante

h : X/T BZ-2 para o Z2-fibrado principal X X/T e segue da Observação

1.8.5, que a classe de Euler de A' ->• X/T é dada por c = /»•(«) £ W (X/T), onde

h* : H] (BZ2) —> Hl(X/T) é a induzida em cohomologia de h. Suponhamos que exista

uma aplicação Z2-equivariantc / : (A", T) —> (Y, S) e seja g : Y/S —> BZ2 uma aplicação

classificante para o Z2-fibrado principal Y -¥ Y/S. Então, da Observação 1.1.4, g o f

também classifica o Z2-fibrado principal X ->• X/G e é homotópica a h : X/T ->• BZ2,

onde / : X/T —> Y/S é a induzida entre os espaços de órbitas. Seja u E H1(Y/S), a

classe de Euler de Y Y/S. Assim, u = g*(a) e temos que

c = h*(a) = (gojy(a) = f ° </» = f*(u). (3.2.1)

Deste modo,

f K 4 " 1 ) = /*(•«) u • • • u P ( u ) = eu • • • uc = c" + i ^ 0 (3.2.2)

e isso implica que u," + 1 ^ 0, o que é uma contradição.

D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a 3.2.1 Denotemos por ê £ Hl(A/T) a classe de Euler

do Z2-fibrado principal A A/T e seja / : A/T <-»• X/T a induzida entre os espaços

de órbitas da inclusão i : A <-» A. Da observação 1.8.6, temos que

i*(c) = ê £ H[(A/T), (3.2.3)

onde e £ Hl(X/T) é a classe de Euler do Z2-fibrado principal X —> X/T e

i* : Hl(X/T) H[(A/T). Da Seção 1.8, temos as sequências exatas de Gysin dos

fibrados A" —> X/T e .4 —>• A/T no seguinte diagrama comutativo

0 H°(X/T) H°( A) H°(X/T) ^ H] (X/T) • • • (3.2.4)

4 í ' |

0 — H°(A/T) H°(A) IIo(A/T) ^ Hl(A/T) — • • •

Hr(X/T) H' (X) Hr(X/T) -Mz Hr+l(X/T) — • • •

2*| i*\ '*{ 2*j Hr(A/T) Hr(A) Hr(A/T) -HÊ Hr+Í(A/T) — • • •

onde p é a aplicação quociente e r é o homomorfismo transfer. Desde que A e X

são conexos por caminhos, p* : H°(A/T) //°(.4) e j>* : H°(X/T) ->• # ° ( A ) são

isomorfismos, assim Ue : H°(X/T) ->• Hl(X/T) e Ur : H°(A/T) -> Hl(A/T) são

injetores, o que implica que e = 1 U e G Hl(X/T) e ê = 1 U ê G Iíl(A/T) são classes

não nulas. Por hipótese, Hr(A) = 0, para 1 < r < n — 1 e temos do diagrama (3.2.4)

que Uê : H'~(A/T) ->• Hr+[ (A/T) é isomorfismo, para 1 < r < n — 2 e monomorfismo

para r = n — 1. Assim, concluímos que ê" é não nulo e segue de (3.2.3) que

T(e") = f ( c ) U - - - U f ( e ) = c U - - - U Í = en ^ 0, (3.2.5)

o que implica que e" G H"(X/T) é não nulo. Mostremos agora que en+1 G Hn+1(X/T)

é não nulo. Suponhamos que c n + 1 = e" U e = 0, então e" G ker(Uc) = irn(r) e existe

um elemento não nulo a G Hn(X) tal que r (a) = e". Dessa forma,

1* o T(O) = r ( c " ) = EN 7^0. (3.2.6)

Por outro lado, desde que por hipótese i* : H"(X) —> Hn(A) é o homomorfismo nulo,

segue da comutatividade do diagrama (3.2.4) que

t* oT(a) = r o i * ( f l ) = 0, (3.2.7)

contradizendo (3.2.6) e portanto r 'H 1 / 0. Além disso, como Hn+l (Y/S) = 0, temos

que w," + 1 G Hn+](Y/S) é a classe nula, onde u G Hl(Y/S) é a classe de Euler do

Z2-fibrado principal Y —> Y/S. Segue do Lema 3.2.4 que não exist(> aplicação 7L2-

equivarianti1 / : (X.T) —» (V, 5).

O b s e r v a ç ã o 3.2.5 Em [45, Teorema A'] foi provada a seguinte generalização do

Teorema de Borsuk-Ulam:

T e o r e m a A ' . Sejam (X, T) uma mvolução Irure com X conexo por caminhos e

paracornpacto Hausdorff e f : X —» RA: uma função contínua. Suponhamos que

Ht(X\IJ2) — 0, para 1 < r < n — 1. Então, se n > k existe um ponto x G A' tal

que f ( x ) - f(T(x)).

Assim como a prova do Teorema A' segue diretamente do Teorema 1, a seguinte versão

do Teorema A' é uma consequência imediata do Teorema 3.2.1:

T e o r e m a 3.2.6 Sejam X conexo por caminhos e paracornpacto Hausdorff, com, uma

involuçã,o livre T : X —» A' e f : X —> R* uma função contínua. Seja A C X conexo

por caminhos e T-invariante. Suponhamos que para algum n > 1, iíl(/l,Z2) ~ O, para

1 X é a

•inclusão. Então, se n > k existe um ponto x e A' tal que. f(:r) — f(T(x)).

D e m o n s t r a ç ã o Suponhamos que f ( x ) / f(T(x)), para todo x G A. Então a aplicação

F : (A,T) (Sk~\a) definida por

f(x) - f(T(x))

é Z2-equivariante, onde a : S*"1 Sk~l é a aplicação antipodal a(x) — —x, para todo

x G Sk~K Desde que u > k, temos que Hn(Sk~l/a) = 0 e a existência de uma tal

aplicação contradiz o Teorema 3.24.

A seguir, nós apresentamos um exemplo de um espaço topológico que não c uma Z2-

esfera de cohomologia e para o qual podemos aplicar o Teorema 3.2.6.

E x e m p l o 3.2.7 Seja t : R3 R3 definida por t.{x,y,x) = (-:/;,-;</, '-2). Então

t é uma involução, cujo único ponto fixo é a origem do R3 . Consideremos o toro

T = S1 x S\ o produto cartesiano de duas cópias da S] e denotemos por B2 = T%T a

soma conexa duas cópias de T, o qual pode1 ser mergulhado em K3 simetricamente com

relação ã origem. Dessa forma, t : B2 —> B2 6 uma involução livre, ou seja, t(X) / A,

para todo X G B2. Seja

A = {(.x-,0,z);x2 + z2 = 1} C B2.

Observemos que .4 é homeomorfa à esfera S 1 e é invariante pela aplicação t,

a qual coincidi1 com a antipodal quando restrita ao subconjunto A. Além disso,

i* : H1(B2;Z2) -4 H](A;Z2) é o homomorfismo nulo. Assim segue do Teorema

3.2.6 que para toda função contínua / : B2 —> R2, existe um ponto A G B2 tal

que / ( A ) = f(t(A)). Note que í f ' ( B 2 , Z 2 ) ^ 0 e portanto o Teorema A' não se aplica

a esse caso.


3.3 Um exemplo sobre a não existência de uma

aplicação Z2-equivariante entre duas variedades

fechadas e de mesma dimensão

Suponhamos que (Aí, T) e (N. S) sejam n-dimensionais variedades fechadas com in-

voluções livres. Observemos que a questão da não-existência de uma aplicação Z2-

equivariante nesse caso não podo ser abordada sob o aspecto dos Teoremas 1 e 3.2.1,

uma vez que Aí e N possuem a mesma dimensão e Hn(N/S, Z2) / 0. De fato, tais

teoremas (inclusive o Teorema clássico de Borsuk-Ulam), não usam toda a força do ar-

gumento contido no Lema 3.2.4, segundo o qual somente a potência adequada da classe

de Euler do contradomínio precisa ser nula. Tanto no Teorema 1, como 110 Teorema

3.2.1, estamos supondo que a n-cohomologia do espaço de órbitas c zero, o que anula

todas as classes e, em particular, a n-ésima potência da classe de Euler em questão.

O nosso próximo objetivo c construir um exemplo de duas variedades fechadas (A/", T)

e (N'"\S) de dimensão n dotadas de involuções livres, cujas cohomologias são mais

complicadas que a eohomologia da esfera de tal forma que a n-ésima potência da

classe de Euler de Ai" é não nula, enquanto que a u-ésima potência da (lasse de

Euler de Nn é nula, embora em Nn/S exista classe não nula n-dimensional, uma vez

que Hn(Nn/S, Z2) / 0. Consequentemente, do Lema 3.2.4, não existe aplicacão Z2-

equivariante / : Al" —s> Nn. Gostaríamos de agradecer ao Professor Doutor Pedro Luiz

Queiroz Pergher, da Universidade Federal de São Carlos, pela sugestão desse exemplo.

3.3.1 Cons t rução do exemplo

A construção desse exemplo é baseada 110 seguinte argumento: seja E o espaço total

de um n--fibrado vetorial E -¥ Mk sobre uma k-variedade diferenciável fechada Aík.

Existe o fibrado em esferas associado S(E) -» Mk, com libra 5"" 1 , cujo espaço to-

tal S(E) é uma variedade diferenciável fechada de dimensão k + n - 1. Existe uma

involução livre T : S(E) —> S(E) atuando como a antipodal em cada fibra. Seja

RP(E) = S(E)/T o espaço total do fibrado projetivo associado RP(E) -> Mk, cuja

fibra ó o espaço projetivo R P " " 1 . Seja C € H1{RP(E):Z2) a classe de Euler do Z2-

fibrado principal S(E) ->• RP{E), então c:n+k~l E HN+K~L (RP(E), Z2). Segue do

Teorema de Leray-Hirsch que H*(RP(E): Z2) é um módulo livre sobre o anel de coho-

mologia da base H*(MK, Z2), via a induzida da projeção p : E P ( E ) MK, gerado

por 1, e, c2, c:\ . . . , c n~ ] , com única relação sendo dada por (vide [15, Teorema de Borel-

Hirzebruch, pg.61])

c" = c"~'' + cn~2w2 + • • • + cwn-1 + wn, (3.3.1)

onde W), w2,..., wn são as classes características do fibrado vetorial E ->• Mk, com

WI € HL(MK;Z2), para 1 < i < N. Observemos então que o elemento não nulo da

cohomologia HK+N~L(RP(E)) Z2) na dimensão top é dado por

1 (3.3.2)

onde V € HK(MK, Z2) é o elemento não nulo da dimensão top da base MK. Assim,

conhecendo a cohomologia da base MK e as classes características do fibrado vetorial

E ->• MK, Ê possível calcular as potências da classe de Euler desejada. Deste modo,

o exemplo consiste em encontrar dois fibrados com bases adequadas, cujos espaços

totais sejam n-dimensionais variedades fechadas, embora as bases desses fibrados não

necessariamente possuam a mesma dimensão, de tal forma que a n-ésima potência da

classe de Euler seja nula em um dos fibrados e não nula no outro.

E x e m p l o 3.3.1 Seja « > 4 um natural fixado e denotemos por ra/r> o fibrado tangente

sobre RP'\ T(RP2) RP2. A classe total de Stiefel-Whitney de RP2 é dada por

W{RP2) = 1 + a + a2 G H*{RP2: Z2), onde a 6 o gerador de # ' ( R P 2 ; Z 2 ) . Seja el o

fibrado trivial unidimensional e £ o (n — l)-fibrado vetorial E ( —> R P 2

( = r s p 2 f f i c J ® ' - e e ' (3.3.3)

obtido pela soma de Whitney do fibrado tangente sobre R P 2 com (n — 3)-cópias do

fibrado trivial unidimensional. Seja S(E^) RP2 o fibrado em esfera de com

fibra SN~'2 e cujo esj^aço total S(EC) é uma variedade fechada de dimensão n. Seja

RP(E(;) = S(EÇ)/S O espaço total do fibrado projetivo associado MP(P Í ) -)• RP2,


cuja fibra é o espaço projetivo RPn~2, onde S : S(Eç) —> S(E^) é uma involução livre,

atuando como a antipodal em cada fibra S"~2. Seja e G H[ (RP( i^ ) ; Z2) a classe de

Euler do Z2-fibrado principal S(E^) —» RP(E^) e mostremos que a n-ésirria potência

da classe de Euler desse fibrado en e Hn(RP(E^): Z2) é nula. De fato, temos que a

c.lasso total de Stiefel-Whitney do (n — 1 )-fibrado vetorial E^ MP2 é dada por

HO = © e1 © • • • © £') = w(RP2) = 1 + a + a2, (3.3.4)

onde a G H' (RP2, Z2) é o elemento não nulo. Assim, w0(Ç) = 1, t/>i(£) = a,w2(£) = a2

e Wi(Ç) = 0 para i > 2 e segue de 3.3.1 que

en~] = c"~2a + r"~3a2. (3.3.5)

Assim, multiplicando ambos os lados dessa equação por e G / / ' (RP(E^): Z2), obtemos

c" = ee'1-1 = ccn~2a + ccn-sa2

= (;n~la + en~2o2 G Hn(RP(E^): Z2) ^ Z2 (3.3.6)

Por outro lado, multiplicando a equação 3.3.5 ])or a G Hl (RP2: Z2), obtemos

c"~'a = e " " V + c " " V

= cn~2a2 G Hn(RP(E^)-1Z2) (3.3.7)

Substituindo 3.3.7 em 3.3.6, obtemos

c" = + e"~~2a2

= e"~2u2 + c"~'2u2 = 0. (3.3.8)

Deste modo, obtemos uma n--dimensional variedade fechada N = S(E^), equipada

com uma involução livre S : N —» JV tal que a -n-ésima potência da classe de Euler

c" G Í P ( R P ( £ Ç ) ; Z2) é nula.

Para construir a variedade il/ nas condições desejadas, denotemos por // o fibrado de

Hopf unidimensional Sl -¥ RP1, cuja classe total de Stiefel-Whitney é w(rj) = 1 + a,

onde a G Hl(RPl: Z2) é o elemento não nulo. Consideremos o n-fibrado vetorial

->• R P 1

e' - / / © s 1 © - - . © f 1 , (3.3.9)


obtido pela soma de Whitney do fibrado de Hopf sobre KP 1 com (?i — l)-cópias do

fibrado trivial unidimensional. Como anteriormente, seja S(E^) ->• RPl o fibrado em

esfera de corri fibra Sn~l e cujo espaço total S(E^) 6 uma variedade fechada de

dimensão n. Seja RP(E^) = S(E^)/T o espaço total do fibrado projetivo associado

RP(Eçi) —> MP1 . onde T : S(E^) S(E^) é uma involução livre, atuando como a

antipodal em cada fibra Seja c G H] (RP(Eg); Z2) a classe de Euler do Z2-fibrado

principal S(E^) —> RP(E^) e mostremos que a n-ésima potência da classe de Euler

desse fibrado r" e H'"(RP(E^); Z2) é não nula. De fato, temos que a classe total de

Stiefel-Whitney do /«-fibrado vetoria.1 Eg MP1 é dada por

w t f ) = «>('/ © c ' © - - - © t ' ) = «;(//) = 1 + a, (3.3.10)

onde a G / / ' (1RP 1 ,Z 2 ) é o elemento não nulo. Assim, temos que = 1, í/;1(^') -- a

e w-fâ') = 0 para i > 1. Segue de 3.3.1 que

c" = cn~la G Hn{RP{Eç>)]Z2). (3.3.11)

De 3.3.2, temos que e" = c"~'« é o elemento não nulo em Hn(RP(E^); Z2). Assim,

temos uma //-dimensional variedade fechada M = S(EÇ>), com uma involução livre

T : M M tal que a N-Ésirna potência da classe de Euler CN G HN{RP(E^)]Z2)

é não nula. Portanto, segue do Lema 3.2.4 não existe uma aplicação Z2-equivariante

Capítulo 4

Uma versão não padrão do Teorema

de Borsuk-Ulam

4.1 Introdução

Neste capítulo nós estudamos a possibilidade de substituir, 110 Teorema de Borsuk-

Ulam, o domínio Sn por um espaço topológico X e as aplicações Identidade e Antipodal

sobre Sn, por um par de funções apenas contínuas y e -0, definidas sobre X. Nesse

contexto, a questão (pie surge é se seria possível provar que dada qualquer função

contínua / : X — R n , existe um ponto x. € X tal que f{v'{x)) = f(<p(x)).

Consideremos primeiramente o caso 1-dimensional. Se X é compacto, conexo e se

0, (p : X -> A' são funções contínuas, então dada qualquer função contínua / : X —> R,

é possível garantir a existência de um ponto x £ X tal que

/(#,;)) = f(^(x)). (4.1.1)

A demonstração desse caso é elementar. Entretanto, para n = 2, À" = Sk e 0 = IdSk,

a resposta é negativa.

Em [29], Hopf propôs a seguinte

Def in ição 4 .1 .1 Sejam X,Y espaços topológicos. Uma função contínua / : A' —> Y é

uma função livre se existe uma função contínua <p : X X tal que f ( x ) ^ f(tp(x)),

para todo x Ç X.

6 6

4. Uma versão não parirão elo Teorema de Borsuk- Ulam 6 7

Entre outros resultados, Hopf provou que para todo n > 3 existe uma função livre

/ : Sn R"'. Ainda nesse trabalho, ele coloca as seguintes questões:

1) Se existe uma função livre f : S2 R2 .

2) O quanto se poderia aumentar a dimensão da esfera S2, de tal forma (pie ainda

continue existindo urna tal função livre.

Essas questões foram respondidas por E.Pannwitz em 1952. Em [44], ela mostrou que

para todo k > 2, existem funções contínuas ip : Sh —>• Sk e f : Sk R2 tais (pie

/(•*) í f {?{*•)), para todo .r £ Sk:.

Neste capítulo, nosso objetivo é provar que, sob certas condições, dada uma função

contínua qualquer / : X ~> R2, embora a existência de um ponto x G X, satisfa-

zendo (4.1.1), nem sempre possa ser assegurada, ainda assim é possível estabelecer

uma relação interessante entre os pontos

U = f ( ^ p ( x ) ) , V = J V W ) , w = /(V'2(x)),

quando f(<p(x)) ^ f(tp(x)), para todo x G A'. Em geral, tais pontos são vértices de

um triângulo em R2 e nós provamos que, sob determinadas condições, esse triângulo

degenera-se em um segmento de reta fechado determinado pelos vértices v e w desse

triângulo para pelo menos um ponto x em um subconjunto especial de X. A existência

de um tal subconjunto é assegurada quando A' for um espaço métrico completo e se ip for

uma Qí-contração sobre A". Quando 'ip for a aplicação Identidade e <p for uma involução

livre, nós obtemos unia versão do Teorema de Borsuk-Ulam no caso 2-dimensional.

Denotaremos por [u. v] o segmento de reta fechado em R2 unindo os pontos u e v.

Especificamente, nós provamos o seguinte

T e o r e m a 4.1.2 Sejam X um espaço de Hausdorff e A um subconjunto de X compacto,

conexo e localmente conexo por caminhos. Sejam ip, : X —> X funções contínuas tais

que A seja invariante por íp e >-p. Suponhamos que

i) '0* - ••P* • '«*(#! (A Q)) -> /*(#i(AQ)) sobrejetora;

n) ('ip o ip)(a) = (<p o y)(a). para todo a £ A.

Então, dada qualquer função contínua f : X -»• R2 , existe x G X tal que

f(^(x)) = f(t(x)) ou existe x £ .4 tal que f ^ x ) ) G [f(<p2(x)), f(v'2(x))].

4.2 Demonstração do Teorema 4.1.2

Para a demonstração do Teorema 4.1.2. nós precisamos dos seguintes

L e m a 4 .2 .1 Sejam X um espaço topológico conexo e K / 0 um subconjunto compacto

de X. Sejam g\,g2 '• X R funções continuas tais que g\(K) C g2{K). Então, existe

x £ -V tal que ry, (.?;) = 52(2;).

D e m o n s t r a ç ã o . Suponhamos que gi(x) / g2(x), para todo x £ A" e consideremos

a função contínua li : X —> R dehnida por //(.;;) = g\(x) — g2(x), para todo x G A'.

Desde que A' é conexo e h c contínua, h(X) é um subconjunto conexo de M. Assim,

para todo x € A', h(x) > 0 ou h(x) < 0. Suponhamos que h(x) > 0, para todo x G X.

Nesse caso <ji(x) > </2(:r), para todo x G A". Por outro lado, como K é compacto e g2

é contínua existem .('o,./;, G K tais que

02(zo) < 92Í*) < 52(2:1), (4-2.1)

para todo x £ K. Além disso. g\{x) £ g2(K), para todo x £ K e segue de (4.2.1) que

í/2(^o) < (JI(:Í:) < 52(2:1),

para todo x £ K. Em particular, gi(x'i) 0 que contradiz o fato de h(x) > 0,

para todo x £ A". O mesmo argumento vale para o caso em que h(x) < 0.

Como um corolário imediato do lema 4.2.1, nós obtemos o seguinte

C o r o l á r i o 4 .2 .2 Sejam X um espaço topológico conexo e K um subconjunto compacto

de X. Sejam 'í/j, cp : X —»• X funções contínuas ta/is que ii'{K) C <p{K). Então, dada

qualquer função contínua g : X —> R existe x £ A" tal que g(i(>(x)) = g(<p(x)).

Demonstração. Basta observar que as aplicações contínuas gi.g2 X —» R dadas por

g{ = c/o (/; e g2 = goip satisfazem gi(K) C g2(K) e então pelo Lema 4.2.1 existe x £ A"

tal que g{y(x)) = 5(^(2:))-

L e m a 4 .2 .3 Sejam X um espaço topológico e funções contínuas f,g : X -> Sn.

Suponhamos que exista um elemento u £ Hn(X,Q) tal que f*(u) ^ ( — l)n+lg*(u),

então existe x £ A" tal que f ( x ) = g(x).

D e m o n s t r a ç ã o . Suponhamos que f ( x ) ± </(.r), para todo x G A'. Nesse caso, o

segmento de rota em R n + I unindo /(:/;) a -g(x) não passa pela origem em K"+ 1 , caso

contrário, esses dois pontos seriam pontos antípodas e consequentemente f ( x ) = g(x).

Então, podemos definir uma aplicação F : X x F Sn dada por

- + t..f[x) II

Observemos que F(x, 0) = —.(/(•''") e F(x, 1) = /(•'')• para todo x G X. Assim, / é

homotópica a (—g) = (.4 o g). onde ,4 : Sn -»• S" é a aplicação antipodal, cujo grau 6

( - 1 ) " + 1 . Segue que para todo u G Hn(X,Z), f,{u) = (~l)n+1g*(u).

D e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 4.1.2 Suponhamos que f(ip(x)) / f('ip(x)), para todo

x G X. Então, podemos definir a função contínua h : X —> 5 1 , dada por

fMx))-f(<p(x))

Denotemos por g : .4 —» Sl a restrição de h ao subespaço A. E suficiente mostrar a

existência de um ponto x G A tal que g(<p(x)) = g(il>(x)) ou equivalentemente,

ii f̂ (x)) - /vw) ii ii /m*)) - f(̂ m) ir 1 ' ' j

De fato, para todo x G -4, denotemos por u = f($<p{x)) = f(ip-fp(x)), v = f(<p*(x)) e

w = f(y'2(x)). Assim, temos que a equação (4.2.2) é equivalente a

U U lL U o que implica (|| u—v || + || w — u ||)w =| | u—v || w+ || w—u, || -u, u — t' w — u

/ II u - V II \ II w - u II e portanto " = + F ^ ^ r ^ T ^ 1 v

Dessa forma, nós concluímos que u = f(-tpip(x)) pertence ao segmento de rota em IR2

unindo os pontos v = f{ip2(x)) e w = /(í/'2(^))-

Seja h* : Hi (X, Q) Hi{Sl,Q). Há dois casos a serem considerados:

i) existe v G i,{H] (.4, Q)) tal que h*{v) ± 0;

ii) ou h*(v) - 0, para todo v G i*{H{{A,Q)).

4. Uma versão não parirão elo Teorema de Borsuk- Ulam 70

No primeiro caso, como ip\ - ^ é sobrejetora, existe u £ (.4, Q)) C Hx (.4, Q) tal

que V = I/J,(XI) — <p*(U). Assim, temos que

K(v) = /t* ('</>* (ií) - - y*{'ip*(u) - ip*(u)) = icJ 0 '0)*('u) ~ {<J 0 <r)*{u) í

o que implica (pie (g o '(/;)*(?i) (.'J ° <fi)*(u)- P ^ 0 Lenia 4.2.3 existe x € A tal que

g(y)(x)) = y(ip(x;)).

Suponhamos agora que h»(v) = 0, para todo v £ i»(Hi (A,Q)) e seja u £ / / | (A ,Q) ;

então i,(w) = t> £ '«*(//1 (A, Q)) e assim

/ i*(y) = / t*( í*( t t ) ) = (/i o z)*(-u) = g*(u) — 0,

ou seja, g* : H\ (A, Q) -¥ H\(S\Q) deve ser a aplicação nula o que implica que

</* : H\ (-4, Z) H)(S\Z) c trivial. Segue da comutatividade do diagrama,

t t , ^ ) — ( 4 . 2 . 3 )

que </* : 7Ti (.4) -)• tt] (S1) também é trivial, onde as setas verticais denotam os homomor-

fismos de Hurewicz, os quais são sobrejetores. Desde que A é Hausdorff e localmente

conexo por caminhos, temos do Teorema Fundamental do Levantamento (vide, por

exemplo, [30. pg. 89]), que existi1 g : A R tal que o seguinte diagrama

R (4.2.4) p

5 '

é comutativo, ou seja, pog = g, onde p : R H> Sl é o recobrimento universal.

Por outro lado, desde que A é invariante pela aplicação <p, podemos obter uma sequência

{^"'(A)}nersí de subconjuntos de A tais que

• • • C ípn{A) C ^ (A) c • • • C S ( A ) C *>(.4) C A.

Consideremos o seguinte subconjunto compacto de A

a- - n — ( 4 - 2 - 5 ) í í C M

c observemos que ij){K) C K = <p(K). Do fato, por hi])ótese temos que A 6 invariante

por -0 e p. Além disso, p> e 0 comutam om A. Assim,

Segue do Corolário 4.2.2 que existe :;; G A tal (pie g(p(x)) = g(il>(x)). Assim,

p o g(<p(x)) — p o g(i/>(x)), o que implica que g(<p(x)) = g(i/>(x)) e o resultado segue.

O seguinte corolário é uma consequência imediata do Teorema 4.1.2.

C o r o l á r i o 4 .2 .4 Sejam, X um espaço de Hausdorff e .4 um subconjunto de X com-

pacto, conexo e localmente conexo por• caminhos. Seja, p : X —> Ar uma, involução

livre tal que p{A) C .4. Suponhamos que Id* — p)* : 'i*(//] (A, Q)) —> /'*(//) (.4, Q))

seja sobrejetorv,. Então para, toda função contínua f : X —> R2 existe x G A" tal que

O b s e r v a ç ã o 4 .2 .5 No caso particular em que .4 = A" = S2 e >p é a aplicação antipodal,

nós obtemos o Teorema clássico de Borsuk-Ulam no caso 2-dimensional.

Quando i*(H\(A,Q)) for o grupo trivial, então o homomorfismo 0* — deverá ser

sobrejetor. O Exemplo 4/2.6 ilustra esse caso.

E x e m p l o 4 .2 .6 Seja Tn = Tj - • -jT a soma conexa de n-toros simetricamente

mergulhado em R 3 com relação à origem. Let p : Tn —> Tn a aplicação antipodal.

Se n for par, existe urri laço .4 em T„ homólogo a zero, que separa Tn em duas com-

ponentes simétricas a partir da origem tal que p{A) = A, como indicado na Figura

abaixo

< 0 ( i v ) = ^ tij(ipn(A)) c n p ^ m ) c n = k

f{x) = f ( p ^ ) .

Desde que A homólogo a zero erri Tn, temos que i*(H\(A, Q)) 6 trivial e pelo Corolário

4.2.4, para toda função contínua / : T„ -y IR2 existe x G Tn tal que /(:/;) = /(</?(;x)).

Se n for ímpar, é possível mostrar que esse resultado não é verdadeiro.

O b s e r v a ç ã o 4 .2 .7 Em [45, Teorema A], foi provado que se (A, T) for uma involução

livre e se A' for conexo por caminhos tal que Hr(X: Z2) = 0, para 1 < r < n— 1, então

para toda função contínua / : A ->• R* existe x G A" tal que / ( :r) — f(T(x)), se n > k.

Observemos que o exemplo acima não pode ser obtido a partir desse teorema, desde

que H x ( T n - Z 2 ) í 0.

T e o r e m a 4.2.8 Sejam X um espaço de Hausdorff e A um subconjunto de X com,pacto,

conexo e localmente conexo por caminhos. Seja tp : X —t X uma função contínua

tal que ^p(A) C A. Suponhamos que Id* — : i*(H\(A,Q)) —> i*(Hi(A, Q)) seja

sobrejetora. Então, para toda função contínua, g : X —> M existe x G A' tal que

g(x) < y(v(x)) < <j(v2(x)) < g(^(x)) ou

g(x)>g(<p(x))>g(<p2(x))>g(<p3(x)).

D e m o n s t r a ç ã o Consideremos a função contínua / : A" —y M2 dada por

f(x) = (g(x),g^(x))),VxeX.

Pelo Teorema 4.1.2, existe x G A tal que f(ip(x)) pertence ao segmento de reta fechado

em R2 unindo os pontos f(íp2(x)) e f(x). Suponhamos que f(ip(x)) = ,/'(x); então

<j(x) = g(<p(x))=g(<p\x)).

Desde que g{íp2(x)) < g(:i(x)) ou g(p>2(x)) > g(íp'\x)), o resultado segue. A demons-

tração do teorema permanece a mesma, quando f((x)) = f(ip2(x)).

Agora, suponhamos que f{<p{x)) + f{x) e que f{ip{x)) ± f(ip2(x)). Então, f{(p{x))

pertence ao segmento de reta aberto em IR2 unindo os pontos f((p2(x)) e /(:/:), ou seja,

existe 0 < A < 1 tal que f{ip{x)) = f ( x ) + \(f{tp2{x)) - /(./;)). Assim,

cMx) = g(x) + \(g>Ax)-9{x)) e (4.2.6)

g^(x) = yv(x) + \(y^{x)-g<p(x)). (4.2.7)

Suponhamos que g(x) < gip2(x). De (4.2.6), temos que

g(x) < g<p{x) < gp2{x). (4.2.8)

Por outro lado, g(p(x) < g<p3(x) ou gy3(x) < gtp(x) e nós afirmamos que a segunda

possibilidade não pode ocorrer, caso contrário de (4.2.7) nós teríamos que

g<p3{x) < gip2(x) < gip(x),

o que contradiz (4.2.8). Assim, g<p(x) < g<p3{x) e segue de (4.2.7) e (4.2.8) que

g(x) < gtp{x) < g^{x:) < gip3{x).

Dí1 maneira análoga, se g(x) > g<*p2(x), nós obtemos a seguinte desigualdade

g(x) > g<p(x) > g<p2{x) > g<p3{x).


Nós obtemos o seguinte corolário imediato

C o r o l á r i o 4.2.9 Sejam X um espaço de Hausdorff e A um subconjunto de X com-

pacto, conexo e localmente conexo por caminhos. Seja ç : A' —» A' uma função contínua

tal que <f(A) C Ac ^ = Idx• Suponhamos que ici*-^* : l*(Hi(A,Q)) —> i*(Hy(A,Q))

seja sobrejetora. Então, para toda função contínua g : A" —» R existe um ponto x £ X

tal que g(x) = y{ip{x)) = gfp2{x)).

E x e m p l o 4.2.10 Seja S3 a 3-dimensional esfera no 2-dimensional espaço complexo

C2. Seja ip : S3 —> SA a transformação definida por

if(zú,zl) = (e2^3z„e2^3zl),

onde Zq, z} são números complexos com \zú = 1- Temos que -p age livremente em

S3 e gera o grupo cíclico Z3 . Observemos que i,{H] (S' '\Q)) = 0, onde i : Sfi Sò é a

identidade, o que implica que Id* ~ • i*{Hi(S3, Q)) -» i^(Hí(Si,Q)) é sobrejetora.

Segue do Corolário 4.2.9 que para toda função contínua g : S3 —> R existe x 6 S3 tal

que g(x) = g{f{x)) = g(ip2{x)).

4.3 O Caso em que tp é uma a-contração

Na demonstração do Teorema 4.1.2, desde que A é compacto, foi possível construir

um subconjunto compacto K de A tal que -ip(K) C p{K) (4.2.5). No Lema 4.3.4,

nós provamos que mesmo que A não seja compacto, ainda assim é possível garantir a

existência de um tal subconjunto, desde que A" seja um espaço métrico, A seja completo

e (p urna a-contração. Consideremos a seguinte

D e f i n i ç ã o 4 .3 .1 Seja A' um espaço linear normado. Para qualquer subconjunto A

limitado de A', definimos a (Kuratowski) medida de não compacidade de A como

sendo

a(A) = in í{k > 0; A possui uma cobertura finita por subconjuntos de diâmetro < k}.

Algumas importantes propriedades de <v são dadas na seguinte1 proposição (para mais

detalhes vide1, por exemplo, [19] e1 [35]).

P r o p o s i ç ã o 4 .3 .2 Suponhamos que A e D sejam subconjuntos limitados de X e seja

k e R. Então:

(1) A C B implica que a(A) < a(B);

(2) a(A U B) = ti;ax{M:. 1 :•: a{B)};

(3) a(A + B) < a{A) + a:(B);

(4) a{kA) = \k\a{A);

(5) a(CoA) = a(A), onde Co(A) denota a envoltório, convexa de A;

(6) OÍ(A) = a(A) , onde A denota o fecho de A;

(7) a (A) — 0 se, e somente se, A é totalmente limitado.

D e f i n i ç ã o 4 .3 .3 Suponhamos que1 .4 seja um subconjunto de X e seja y? : A —> X

uma função contínua. Dizemos (pie ip é uma (v-contraç.ão se' existe 0 < r < 1, tal que

q ( i f ( B ) ) < ra{B), para qualquer subconjunto limitado B de A.

L e m a 4 .3 .4 Sejam M um espaço métrico e ,4 um subconjunto limitado e completo de

M. Sejam tp,<ç : M —> M funções continuas tais que A seja, invariante por ip e <p e

(ip o ip)(a) = ( ip o 'ip)(o), para todo x £ A. Então, se <p for urna a-contração sobre A,

existe um subconjunto compacto K de A tal que i/;(/v') C <p(K) = K.

D e m o n s t r a ç ã o Seja K a intersecção de uma sequência de subconjuntos de A definida

indutivamente por K\ — <p(A) e A'„+i = p(I\n). onde <p(A) e <p(Kn), denotam o

fecho de <^(.4) e <p(Kn), respectivamente. Mostremos que u(K) = 0 o que implicará

da Proposição 4.3.2 (7) que K é totalmente limitado. Desde que A ó completo, nós

concluiremos que A' é compacto. De fato, para todo n £ N, desde que <p é uma

Q-contração, da Proposição 4.3.2 (1) e (6), nós temos que

Como K = p | Kn, temos que K C Kn para todo n £ N. Segue da Proposição 4.3.2 (1)

e de (4.3.1) que

Desde que 0 < r < 1, temos que limv^(X)rn = 0 e de (4.3.2) concluímos que a(K) = 0.

A condição f'(K) C <p(K) = I< segue da comutatividade das aplicações (p e -í/' em A.

Corno uma consequência do Leiria 4.3.1, irós obtemos a seguinte versão do Teorema

4.1.2 para o caso em que A irão é compacto e ip é uma cv-contração.

T e o r e m a 4 .3 .5 Sejam M um espaço métrico e ,4 um subconjunto de M limitado,

completo, conexo e localmente conexo por caminhos. Sejam ip, <f : M —» M contínuas

tais que A seja invariante por ip e ip, onde p é uma a-cxmtração. Suponhamos que

i) '0* - V* • i*{Hi{A,Q)) / , ( / / ] (.4, Q)) seja sobrejetora;

vi) (jip o p)(a) = (p o ç)(a), para todo a £ ,4.

Então, para toda função contínua f : X ->• R2 existe x £ A' tal que f(p(x)) = f{if>{x))

ou existe x £ A tal que f(pij}{x)) £ [f(p2(x)),f(ijí2(x))}.

D e m o n s t r a ç ã o Os argumentos são similares àqueles usados na demonstração do Te-

orema 4.1.2, apenas observando que a existência de um subconjunto compacto K de A

tal que tp(K) C p(A'), como errr (4.2.5) é assegurada pelo Lema 4.3.4.

oí(K„) = a(tp(Kn_-í)) = a{p{Kn^)) < rot{Kn_Y)

< r2a(Kn.2) <•••< rn~1a(Kl) < rna(A). (4.3.1)

a{K) < a{Kn) < rna{A): Vn £ N. (4.3.2)

O b s e r v a ç ã o 4 .3 .6 Como uma consequência imediata do Teorema 4.3.5, nós obtemos

também o Teorema 4.2.8 para o caso em (pie A não é compacto e tp é uma o-contração.

4.4 Generalizando a construção de Pannwitz

Em [44], foi provada a existência de uma função livre / : Sk —> R2 , para todo k > 0. A

construção de uma tal função foi feita indutivamente sobre k. Para cada k > 0, foram

construídas funções contínuas {pk : Sk Sk e fk : Sk —> R 2 tais que

A O ^ A M M ) , (4-4.1)

para todo x £ X. Nosso propósito nessa seção é generalizar essa construção, substi-

tuindo a esfera Sk por um espaço topológico satisfazendo determinadas condições.

Primeiramente, nós precisamos recordar a construção feita por E.Panwwitz em [44].

Seja p um ponto em Sk. Se (x,y) denotam as coordenadas retangulares de um ponto

qualquer em R2 , denotemos por (xk(p), yk(p)) as funções coordenadas de fk(p) em R2 .

Assim fk(<pk{p)) = (%k{<Pk(p))> VkiVk{l>)))• Tais funções foram construídas satisfazendo

a seguinte propriedade:

IJk(p) < Vk(^kXp))- (4.4.2)

Para k = 0, sejam p}, p2 € 5 o e <p0 : S° —> S° definida por

<po{p\) = P2 <PQÍJ>-2) =P\- (4.4.3)

Por outro lado, seja / 0 : 5U —> R2 definida por

fo(Pi) - {:i'o(Pi)i!Jo(;Pi)) = < ; i , l ) , se / 1

' - 1 , 1 ) , se i = 2

(4.4.4)

Observemos (pie as condições (4.4.1) e (4.4.2) são trivialmente satisfeitas para k = 0.

Suponhamos construídas (pk..{ : Sk~l Sk~l e fk-1 : Sk~l R2 satisfazendo (4.4.1) e

(4.4.2). Através de uma translação, sem perda de generalidade, podemos supor que a

imagem fk \ (Sk~}) está inteiramente contida no semi-plano y > 0. Seja Sk~l o equador

em Sk e denotemos por O, e 0 2 os pólos Norte e Sul, respectivamente. Dado um ponto

p £ Sk, denotemos por q) as suas "cooordenadas geográficas", onde —1 < ft < 1 é

a distância de p k sua projeção ortogonal sobre o plano do equador e q £ Sk~] é a sua

projeção através dos pólos sobre o equador.

Para f6 = ±1, com q indefinido correspondem os pólos 0\ e 02.

Seja tpk : Sk —> Sk definida por

<pk{p) = q) = <

¥>*_,(</)}, se p ^ 0 1 e p ^ 0 2

O 2, se p = Ol

0\, se p = ()2

(4.4.5)

Para a definição de fk : Sk R2, seja q £ Sk~l, então fk(q) = fk{0,q} = fk-i(q)-

Além disso,

fk(Oi) = MOi),yk(Oi))={

Para p £ Sk arbitrário, definimos

(1,0), se ?; = i

( -1 ,0 ) , se i = 2

(4.4.6)

J){'-<i\ { Pfk{0x) + {1-P)fk(q), se 0 < B < 1

(4.4.7)

-(1fk{02) + (l + (1)fk(q), se - 1 < 6 < 0

ou mais geralmente, usando que fk(()i) = - f k { 0 2 ) , nós temos que fk é dada por

fk(p) = h{V,q} = M-(Oi) + (1 - )fk(q), para - 1 < (i < 1. (4.4.8)

Não é difícil provar que as funções <pk e fk satisfazem (4.4.1) e (4.4.2) (para detalhes

da demonstração vide [44]).

Consideremos agora A" um espaço topológico e denotemos por S(X) a suspensão de

X. Nós provamos o seguinte

T e o r e m a 4.4.1 Suponhamos que exista uma função livre f : X R2 . Então existe

uma função livre f : S(X) —> K2'.

D e m o n s t r a ç ã o Soja / : A' —> R2 uma função livre1, então existe uma função contínua

tp : X X tal que para todo p £ A", f(p) / f(ip(p)). Se (x,y) denotam as

coordenadas retangulares de um ponto qualquer em R2 , denotemos por {x(p),y(p))

as funções coordenadas de f(p) em R2 , para todo p £ A'. Assim as funções coordena-

das de f((p(p)) serão denotadas por {x{tp{l>)),y{(p{p))). Para um ponto p £ A, sejam

P\ — e p2 = (—l,p) em S(X). Definimos funções contínuas Cp : S(X) —> S(X) e

/ : S(X) ->• M2 dadas por

ê(t,p) = (~t\t\,<p(p)) (4.4.9)

f(t,p) = í / b i ) + ( l - | í | ) / ( p ) , (4.4.10)

para todo {t.,p) £ S{A), com - 1 < t < 1, onde /( / ; , ) = (1,0) e f(p2) = ( - 1 , 0 ) . Deno-

temos por (x(t,p),y(t.,p)) e (x:(<p(t,p)).y(íp(t,p))) as funções coordenadas de f(t,p) e

f(<p(t,p)), respeetivainente. Sem perda de generalidade, podemos supor que a imagem

f ( X ) está inteiramente contida no semi-plano y > 0. Mostremos que / também é livre,

ou seja, }'{t,p) f(p(t,p)). para todo (/,/;>) £ S(X).

Para todo ponto (t.p) £ S(X), com 0 < [í| < 1, temos que

y(t,p) = (l-\t\)y(Py, (4.4.11)

•ÚW,P)) = y(-t\i\^(p)) = (i-t2)lMp)). (4.4.12)

Como f ( X ) está inteiramente contida no semi-plano y > 0, segue que o mesmo acontece

com a imagem f(íp(X)): nesse caso, podemos supor que 0 < y(p) < y{<p(p))- Além

disso, (1 — |í|) < (1 — t2) o que implica que

y(t,p) = (1 - \t\)y(p) < (1 - Í'M<pb>)) = y(<p(t,p)), (4-4.13)

para todo (t,p) £ S(A) , com com 0 < \t\ < 1. Observemos que / ( p i ) / f(p2) e como

/ coincide com / nos pontos da forma (0 ,p) , temos que f(t,p) ^ f(ip(t,p)), para todo

(t,p) £ S(X) e portanto / é uma função livre, como queríamos demonstrar.

O b s e r v a ç ã o 4.4 .2 Considerando h : [ - 1 ,1 ] ->• [ -1 ,1 ] um homeornorfismo tal que

h(l) = —1 e //.(—1) = 1, então os resultados obtidos anteriormente para a função

ip : S{X) ->• S(X), definida em (4.4.9), continuam válidos definindo (p(t,p) = (h(t).tp(x:))

A seguir, nós obtemos um exemplo de um espaço topológioo cuja dimensão topológica

é igual a um, que fornece um exemplo para o Teorema 4.1.1 e para o qual o Teorema

4.1.2 se aplica.

Exemplo 4.4.3 Seja A" = x2, .'.'3} e consideremos a sua suspensão S(X). Seja

p : A" —> X definida por

ip(Xí) = x2, ip(x2) = x3 e ip(x3) = xi. (4.4.14)

Então <p(x) / x, para todo x £ X. Consideremos um mergulho topológico arbitrário

/ : A" R2 e observemos que f(x) ^ f(p(x)), para todo x £ A', ou seja, / é uma

função livre. Segue do Teorema 4.4.1, que existem Cp : 5*(A') —» S(X) e / : S(X) —> R2

tais que f ( x ) / f(p(x)): para todo x £ A". Mostraremos que existe x £ S(X) tal que

(4.4.15)

onde (f((p2(x)),f(x)) denota o segmento de reta aberto em R2 unindo os pontos

f{p2(x)) e f{x). Para isto, vejamos que Id - & : Hi(S(X);Q) H^SiA);Q)

é sobrejetora e então 4.4.15 seguirá do Teorema 4.1.2. E suficiente mostrarmos que

det(Id-pi) ^0.

Primeiramente, analisemos a aplicação Id - p\, no caso em que X é um espaço to-

pológico qualquer e (p : 5*(A") —>• S(X) é a extensão de p : A' —> A'.

A aplicação induzida pp : HP(S(A);Q) -» HP(S(X);Q) satisfaz a seguinte condição

%P — / : - i ) > v r ' . se p> 1

(4.4.16)

;-iYp"-\ w p = i-

onde pl : H0(S(X); Q) -)• H0(S(X);Q) o a aplicação entre os grupos reduzidos de

homologia. Em particular, para p = 1, temos que

ti = ~<PI • (4-4.17)

Por outro lado, as aplicações

<+>1 Hq{X\ Q) —> HQ(X;

pi. '• Hq(X\Q) —> HQ(X:<

estão relacionadas da seguinte forma: sejam x, 6 X-L, para í = 1,2, . . . , / , ; , com X.T

componente conexa de X. Consideremos {ui, u2,..., íi/J uma base de H0(X, Q), onde

Ui = [.Tj] 6 um gerador de HQ(XÍ,Q). Seja 8 = {y,, v2, • • • , f/t}; onde vx = U} e

•t>i = «i — vi,, para i = 2 , . . . , k base de HQ

a forma,

( r.„o

# —

), em relação à qual a matriz de <pÍX tem

\

V

1

( O

(0)

(4.4.18)

onde denota a matriz de na base /i = {t'2, v3, • • • , "/J, cuja ordem é (k — 1) x

(k - 1). De 4.4.17, temos que = -[<p0^ e assim,

de t ( Id det (I d + [ $ % ) . (4.4.19)

Por outro lado,

/ Id + [ A =

V

( o )

(C) Id + [<p%

\

(4.4.20)

Então.

det (Id + [ = 2 • det (Id + [<p%) = 2 • det(/r/ - (4.4.21)

o que implica que.

= det (Id-[<pl]ji)

= ( 1 / 2 ) - d e t ( I d + [ p %

= (1/2) • det(/cí + tp{l). (4.4.22)

Assim, para mostrarmos que det(Id-<pl) ^ 0, é suficiente provar que det(/c/ + y?°) / 0.

Voltemos ao caso particular em que A" = {.r,, ,r2, .1:3} e <p : X X É como em 4.4.14.

Sejam -«,, w2, «3 geradores de II0(Ar;Q), então

= ^('«2) = U:h <p"(u-s) = Ui • (4.4.23)

Deste modo,

e além disso,

M =

Id + [¥>2]

/ \ 0 0 1

1 o o

Vo 1

( \ 1 0 1

1 1 o

\ 0 1 1 /

(4.4.24)

(4.4.25)

Portanto,

( l /2).det(/r / + = 1 = det(/rf - <p\) + 0, (4.4.26)

e então Id - : Hi{S(X): Q) —>• Hi(S(X); Q) é sobrejetora. Segue do Teorema 4.1.2,

que existe x £ S(X) tal que

/ ( v3 ( . r ) )£ ( / ( ^ (x ) ) , / ( : , ; ) ) .

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