Sobre a Sequência Generalizada de Fibonacci – SGF: aspectos

matemáticos evolutivos de um modelo

Francisco Regis Vieira Alves

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará - Departamento de Matemática

60.050-150, Campus Fortaleza, Fortaleza, CE

E-mail: fregis@ifce.edu.br

RESUMO

Recorrentemente, os estudantes de graduação em Matemática adquirem uma cultura, no

âmbito da História da Matemática – HM, de modo lacônico, ilustrativo, episódico e sobretudo

pontual, posto que são informados sobre o estado do nascedouro de determinados conceitos

científicos matemáticos, conquanto desconhecem o estádio atual evolutivo de um modelo

matemático e, além disso, não são informados sobre as pesquisas recentes e avanços

sistemáticos sobre determinado assunto matemático particular ([1], [2], [3]).

Isso posto, nossa atual proposta de mini-curso discute um modelo de recorrência

homogênea linear, de segunda ordem, historicamente originado a partir do labor exigido no

comércio de medição na Índia, cerca de 600 a 800 A. D. mas, que, recebeu notoriedade e papel

emblemático, a partir do discurso adotado pelos autores de compêndios de HM na graduação, ao

ser nominado como Sequência de Fibonacci ([3], [9], [16]).

Dessa forma, na primeira parte do minicurso, apresentaremos o modelo recursivo

discutido em 1202, por Leonardo Pisano. Em seguida, discutiremos a extensão do modelo para

índices inteiros, inclusive outras especializações para a generalização da fórmula de Binnet. A

partir disso, apresentaremos as noções de Sequências Recursivas Homogêneas de ordem ‘n’,

com ênfase para as sequências tribonacci, tetranacci, pentanacci, hexanacci, etc. ([1], [12]).

Na segunda parte do curso, abordaremos a noção de funções geradoras, a noção de k-

sequencias de Fibonacci e, inclusive, o modelo hiperbólico das funções de Fibonacci,

propuganado pelo matemático ucraniano Alexey Stakhov. Ademais, analisamos os problemas

das matrizes áureas ([4], [7], [8]) e, sobretudo, representações matriciais para diversas fórmulas

e identidades famosas (idenditade de Cassini, D´Ocagne, Simpson, Fórmula de convolução, etc)

([15], [17], [20], [21], [22], [23], [24]).

Na terceira e última parte do mini-curso, com origem em artigos atuais, abordaremos a

noção de funções polnomiais de Fibonacci, em uma e duas variáveis. Tal fato deve estimular o

estudo das funções bivariadas complexas de Fibonacci, sem desconsiderar a classe das funções

(p,q) polinomiais de Fibonacci. Para concluir, abordaremos a generalização progressiva do

modelo, desde sua representação no plano complexo, seguindo pela discussão dos Quaternions,

dos Quaternions Generalizados de Fibonacci, do Octônios de Fibonacci, inclusive, sua versão

dual, relativamente a uma determinada Àlgebra particular ([5], [6], [10], [11], [12], [13], [14],

[18], [19]). Por fim, a atual proposta enseja apresentar um modelo irrefreável evolutivo que, a

despeito de sua abordagem anacrônica, por parte dos livros de História da Matemática, permite

vislumbrarmos o estado atual de desenvolvimento do conhecimento matemático.

Palavras-chave: Sequência de Fibonacci, Sequência Generalizada de Fibonacci, Evolução de

um Modelo.

Referências [1] Francisco. R. V. Alves. (2015). Sobre a evolução histórica do modelo de Fibonacci: a classe das

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[3] Francisco. R. V. Alves. (2016b). Descobrindo definições matemáticas no contexto de investigação

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[7] Sergio. Falcón. (2014c). Relationships between Some k-Fibonacci. Sequences. Applied Mathematics,

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