outubro de 2014

Sílvia Daniela Vieira Costa

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Universidade do MinhoInstituto de Educação

Resolução de problemas no Ensino Básico: As dificuldades que surgem na concretização das diferentes fases do modelo de Polya

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Relatório de EstágioMestrado em Ensino do 1.º e 2.º Ciclo do Ensino Básico

Trabalho realizado sob a orientação da

Doutora Maria Helena Martinho

Universidade do MinhoInstituto de Educação

outubro de 2014

Sílvia Daniela Vieira Costa

Resolução de problemas no Ensino Básico: As dificuldades que surgem na concretização das diferentes fases do modelo de Polya

iii

AGRADECIMENTOS

Um enorme Obrigada,

Aos meus alunos pelo acolhimento, entrega, interesse, entusiasmo durante todo o projeto

e por me ajudarem a tornar numa melhor professora. Cada um deles tem um lugar especial no

meu coração.

À professora titular de turma, Fátima Araújo, por toda a orientação, pelos conselhos, pelo

apoio e dedicação, pela amabilidade e entrega. Para além de professora foi também uma amiga

que me deu alento e força para continuar.

À Doutora Maria Helena Martinho, minha orientadora, pela disponibilidade e dedicação,

pelos incentivos, pela paciência e confiança, pelas sugestões, críticas e ensinamentos que

contribuíram para o meu crescimento profissional. Não era possível ter melhor orientadora de

estágio.

Aos meus pais e irmã, pelo amor incondicional, pela força e incentivo, por estarem

sempre presentes e acreditarem em mim e, sobretudo, por serem quem são.

Ao meu namorado, pela perseverança e compreensão, pelo carinho, pela ajuda e por

acreditar que seria capaz de alcançar a meta tão desejada. Por estar sempre ao meu lado

quando precisei e por ter ouvido todos os meus desabafos.

À Joana, pela amizade ao longo do ano de estágio, pela partilha, pelo apoio e

cumplicidade. Sem a sua amizade este percurso não teria o mesmo sentido.

À minha avó, que é a estrela mais brilhante que existe no céu, que me acompanha

diariamente, e pela qual conduzo a minha vida.

A todas as pessoas que de algum modo me encorajaram e me deram ânimo, permitindo

assim que este projeto se desenvolvesse.

iv

A realização deste mestrado foi apoiada financeiramente por fundos nacionais através da FCT–

Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto LiDEs – a literacia das disciplinas

escolares: Características e desafios para mais engagement e aprendizagem (FCOMP-01-0124-

FEDER-041405 (Refª. FCT, EXPL/MHC-CED/0645/2013)).

v

“Sem a curiosidade que me move,

que me inquieta, que me insere na busca,

não aprendo nem ensino.”

(Paulo Freire)

vi

vii

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO BÁSICO: AS DIFICULDADES QUE SURGEM NA

CONCRETIZAÇÃO DAS DIFERENTES FASES DO MODELO DE POLYA

Sílvia Daniela Vieira Costa Relatório de Estágio

Mestrado em Ensino do 1.º e 2.º Ciclo do Ensino Básico Universidade do Minho - 2014

RESUMO

Este projeto exibiu um percurso investigativo numa turma do ensino básico, e tinha por

objetivo perceber as dificuldades que os alunos possuíam nas diferentes fases do modelo de

Polya (1995) ao longo da resolução de problemas, bem como trabalhar as distintas fases no

sentido de eliminar as falhas existentes. Deste modo, procurei dar resposta às seguintes

questões: Q1- Como é que os alunos resolviam os problemas?; Q2- Que dificuldades é que os

alunos evidenciavam durante a resolução de problemas?; Q3- Como é que os alunos evoluíram

ao longo da intervenção pedagógica na sua capacidade de resolução de problemas? A

intervenção pedagógica caracterizou-se como um projeto de investigação-ação de índole

qualitativo. Durante as intervenções recorri a vários instrumentos de recolha de dados, como a

observação com recurso a gravações audiovisuais, diário da professora-estagiária subdivido em

diário de registos e de reflexão, produções dos alunos e, por fim, uma ficha de reflexão,

aplicando as pedagogias de ensino consideradas mais adequadas.

Para tal, o trabalho teve início com um problema que tinha por finalidade perceber como

os alunos o resolviam, possibilitando assim a recolha pormenorizada das dificuldades existentes

nas fases do modelo de Polya. As intervenções seguintes serviram para explorar detalhadamente

cada uma das fases, com vista a colmatar as lacunas encontradas. Desta forma, forneci vários

problemas que possibilitassem trabalhar a compreensão do problema, estabelecimento e

execução de um plano e verificação dos resultados.

No fim das intervenções, os alunos já possuíam métodos para analisar e estudar o

enunciado, e, deste modo, perceber o problema, conseguindo assim distinguir a informação

relevante da acessória. No que diz respeito ao estabelecimento e execução do plano, aqueles

que inicialmente manifestavam dificuldades neste nível, começaram a aplicar estratégias, não

empregando apenas as quatro operações. O problema que permitiu o primeiro contacto com

algumas estratégias de resolução foi importante, pois, a partir deste, os alunos perceberam que

existem diferentes estratégias, aplicando-as nos problemas seguintes, chegando mesmo a

encontrar outras distintas das exploradas. No que diz respeito à fase da verificação dos

resultados, esta era completamente desconhecida pelos alunos. Contudo, após bastante

trabalho e insistência, conseguiram explicar como pensaram para resolver o problema.

viii

ix

PROBLEM SOLVING IN THE BASIC EDUCATION: THE ARISING PROBLEMS IN THE

ACHIEVEMENT OF DIFFERENT STAGES OF MODEL POLYA

Sílvia Daniela Vieira Costa Internship Report

Master in Teaching 1st and 2nd Cycle of Basic Education University of Minho - 2014

ABSTRACT

This project displayed an investigative journey in a class of the basic school, and aimed to

understand the difficulties that students had in different stages of Polya (1995) model throughout

problem solving as well as working distinct stages in order to eliminate existent flaws. Thus I tried

to answer the following questions: Q1 How do students solve problems?; Q2- What difficulties do

students demonstrated during problem solving?; Q3- How do students developed throughout the

pedagogical intervention in their ability to solve problems? The educational intervention was

characterized as an action-research project of qualitative nature. During interventions various

instruments of data collection were used, such as: observation, using audiovisual recordings,

teacher-intern diary subdivided into daily records and reflection, productions of students and,

finally, a reflection rubric, using the most appropriate teaching methods.

To this end, the work began with a problem in order to see how students would solved it,

thus allowing a detailed understanding of the existing difficulties in the stages of the Polya model.

The following interventions were used to explore in detail each stage of problem solving, in order

to fill and overcome the found gaps. Thus, I have provided various problems that would enable to

work the understanding of the problem, establishing and executing a plan and the verification of

the results.

At the end of the interventions, students already had methods to analyse and study the

problem and thus solving the problem, meaning they were able to distinguish the accessory

information from the elementary and relevant one. In what concerns the establishment and

execution of the plan, those who initially manifested difficulties at this level, began to implement

strategies, not employing only the four operations. The problem which allowed the first contact

with some resolution strategies was important because from this, students realized that there are

different strategies, applying them in the following problem solving, and even finding distinct from

those explored. Regarding results verification stage, this was unknown by students. However,

after a lot of hard work and resilience, they managed to explain how they thought about the way

to fix the problem.

x

xi

Índice

AGRADECIMENTOS

RESUMO

ABSTRACT

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 1

1.1. Contextualização ....................................................................................................... 1

1.2. Objetivo do tema e questões de investigação ............................................................. 1

1.3. Organização geral do relatório ................................................................................... 2

ENQUADRAMENTO TEÓRICO.................................................................................................... 3

2.1. Conceito de problema................................................................................................ 3

2.2. A resolução de problemas e a sua importância .......................................................... 6

2.3. Modelos usados na resolução de problemas .............................................................. 9

2.4. Tipos de problemas ................................................................................................. 15

2.5. Estratégias de resolução de problemas .................................................................... 18

METODOLOGIA ....................................................................................................................... 21

3.1. Opções metodológicas ................................................................................................. 21

3.2. Contexto de intervenção ............................................................................................... 23

3.2.1. Caraterização da escola do 1º Ciclo ...................................................................... 23

3.2.2. Caraterização dos alunos da turma do 1º Ciclo ..................................................... 24

3.2.3. Caraterização da escola do 2º Ciclo ...................................................................... 24

3.2.4. Caraterização dos alunos da turma do 2º Ciclo ..................................................... 25

3.2.5. Justificação do contexto de intervenção contemplado no estudo ............................ 26

3.3. Pedagogias de ensino .................................................................................................. 27

3.4. Instrumentos de recolha de dados ............................................................................... 28

3.5. Fases do estudo .......................................................................................................... 31

3.6. Análise de dados ......................................................................................................... 34

xii

3.7. Intervenção.................................................................................................................. 35

APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ....................................................................................... 45

4.1. Problemas matemáticos .............................................................................................. 45

4.1.1. Problema 1 – concurso de leitura ......................................................................... 45

4.1.2. Problema 2 – visita à quinta de Santo Inácio ......................................................... 49

4.1.3. Problema 3 – disfarces de carnaval ...................................................................... 54

4.1.4. Problema 4 – pães com diferentes recheios .......................................................... 58

4.1.5. Problema 5 – os vernizes da Mariana.................................................................... 62

4.1.6. Problema 6 – coelhos e faisões............................................................................. 66

4.1.7. Problema 7 – filas de meninos .............................................................................. 71

4.2. Cruzamento da informação .......................................................................................... 77

CONCLUSÃO .......................................................................................................................... 81

5.1. Conclusões do estudo .................................................................................................. 81

5.1.1. Como é que os alunos resolviam os problemas? .................................................... 81

5.1.2. Que dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de problemas?

...................................................................................................................................... 81

5.1.3. Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua

capacidade de resolução de problemas? .......................................................................... 82

5.2. Reflexão final do estudo ............................................................................................... 83

5.3. Limitações e dificuldades do estudo ............................................................................. 84

5.4. Futuras investigações .................................................................................................. 85

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 87

................................................................................................................................... 91 Anexos

Anexo 1 – Questões da ficha de reflexão ............................................................................. 93

Anexo 2 – Pedido de autorização ........................................................................................ 95

Anexo 3 – Fichas do 1º ciclo ............................................................................................... 97

Anexo 4 – Fichas do 2º ciclo ............................................................................................. 117

xiii

Índice de figuras

Figura 1 - Divisão do tempo dos alunos nas etapas de resolução de problemas ....................... 13

Figura 2 - Divisão do tempo que seria esperada pelos alunos para a resolução de problemas .. 13

Figura 3 - Fases fundamentais da intervenção ......................................................................... 23

Figura 4 - Enunciado do problema concurso de leitura ............................................................ 45

Figura 5 - Resolução da Sara .................................................................................................. 46

Figura 6 - Resolução do Bruno ................................................................................................ 47

Figura 7 - Resolução da Cátia.................................................................................................. 49

Figura 8 - Enunciado do problema visita à quinta de Santo Inácio ............................................ 50

Figura 9 - Resposta da Marisa a uma questão orientadora ....................................................... 50

Figura 10 - Resposta do Dinis a uma questão orientadora ....................................................... 51

Figura 11 - Resolução da Marisa ............................................................................................. 51

Figura 12 - Enunciado do problema disfarces de carnaval ....................................................... 54

Figura 13 - Enunciado sublinhado e resposta da Íris a uma questão orientadora ...................... 55

Figura 14 - Enunciado sublinhado e resposta da Filipa a uma questão orientadora .................. 55

Figura 15 - Enunciado sublinhado e resposta do Miguel a uma questão orientadora................. 55

Figura 16 - Resposta do Miguel a uma questão orientadora ..................................................... 56

Figura 17 - Enunciado sublinhado e respostas da Íris a duas questões orientadoras ................ 56

Figura 18 - Enunciado do problema pães com diferentes recheios ........................................... 59

Figura 19 - Estratégia de resolução usada pelo grupo do Tomás .............................................. 59

Figura 20 - Estratégia de resolução usada pelo grupo da Marta ............................................... 60

Figura 21 - Resolução do grupo da Isabel ................................................................................ 60

Figura 22 - Resolução do grupo da Cátia ................................................................................. 61

Figura 23 - Enunciado do problema os vernizes da Mariana..................................................... 62

Figura 24 - Enunciado do problema sublinhado pelo Gil........................................................... 63

Figura 25 - Enunciado do problema sublinhado pelo Tomás .................................................... 63

Figura 26 - Resposta do Gil a uma questão orientadora ........................................................... 63

Figura 27 - Resposta do Tomás a uma questão orientadora ..................................................... 64

Figura 28 - Resposta do Gil a uma questão orientadora ........................................................... 64

Figura 29 - Resolução do Gil ................................................................................................... 65

Figura 30 - Enunciado do problema coelhos e faisões.............................................................. 66

Figura 31 - Enunciado sublinhado pela Isabel .......................................................................... 67

xiv

Figura 32 - Resposta da Marta a duas questões orientadoras .................................................. 67

Figura 33 - Resolução da Marta .............................................................................................. 68

Figura 34 - Resolução da Isabel .............................................................................................. 68

Figura 35 - Resolução da Filipa ............................................................................................... 69

Figura 36 - Explicação da Marta .............................................................................................. 69

Figura 37 - Enunciado do problema filas de meninos ............................................................... 72

Figura 38 - Enunciado do problema sublinhado pela Luísa, Marisa, Isabel e Artur .................... 72

Figura 39 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur .......................... 73

Figura 40 - Resolução do problema do grupo da Mariana, Miguel, Guilherme e Bruno.............. 73

Figura 41 - Alunos no recreio a tentar resolver o problema ...................................................... 73

Figura 42 - Alunos no recreio a tentar resolver o problema ...................................................... 74

Figura 43 - Manipulação dos materiais enquanto procuravam uma solução para o problema ... 74

Figura 44 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur .......................... 75

Figura 45 - Explicação do grupo da Cátia, Sara, Filipe e Tomás ............................................... 75

Figura 46 - Explicação da resolução do problema à turma ....................................................... 76

Índice de tabelas

Tabela 1 - Possíveis questões e sugestões para auxiliar nas diferentes fases de resolução de

problemas .............................................................................................................................. 12

Tabela 2 - Instrumentos de recolha de dados que pretendem dar resposta às questões

formuladas ............................................................................................................................. 31

Tabela 3 - Categorias de análise de dados ............................................................................... 35

Tabela 4 - Planeamento das aulas ........................................................................................... 35

Tabela 5 - Problemas usados para a análise ............................................................................ 36

Tabela 6 - Objetivo das três questões usadas durante a resolução de problemas ..................... 38

Tabela 7 - Fichas que respondem às questões de investigação ................................................ 43

Tabela 8 - Planeamento das aulas ........................................................................................... 44

Índice de episódios

Episódio 1 .............................................................................................................................. 47

Episódio 2 .............................................................................................................................. 48

xv

Episódio 3 .............................................................................................................................. 52

Episódio 4 .............................................................................................................................. 53

Episódio 5 .............................................................................................................................. 53

Episódio 6 .............................................................................................................................. 53

Episódio 7 .............................................................................................................................. 57

Episódio 8 .............................................................................................................................. 57

Episódio 9 .............................................................................................................................. 58

Episódio 10 ............................................................................................................................ 61

Episódio 11 ............................................................................................................................ 62

Episódio 12 ............................................................................................................................ 65

Episódio 13 ............................................................................................................................ 66

Episódio 14 ............................................................................................................................ 70

Episódio 15 ............................................................................................................................ 70

Episódio 16 ............................................................................................................................ 71

Episódio 17 ............................................................................................................................ 76

Episódio 18 ............................................................................................................................ 77

xvi

1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

O presente relatório contém a documentação de um trabalho de investigação realizado no

âmbito da Unidade Curricular Prática de Ensino Supervisionada do Mestrado em Ensino do 1.º e

2.º Ciclo do Ensino Básico, em turmas do Ensino Básico do concelho de Vila Nova de Famalicão.

O tema selecionado para este projeto de intervenção diz respeito à resolução de problemas

matemáticos atendendo às dificuldades que os alunos possuem nas diferentes fases do modelo

de Polya.

1.1. Contextualização

Em Portugal, no fim da década de 80, os currículos do ensino básico e secundário

começaram a “(…) dar primazia e importância à resolução de problemas” (Vieira, 2008, p. 7).

Porém, apesar da relevância deste tema, os resultados obtidos nesta área ainda ficam muito

aquém do esperado. Assim, e tal como refere Vieira (2008), é indispensável haver uma alteração

que faça com que o valor e importância da resolução de problemas em matemática seja

realçada no dia-a-dia das práticas escolares. De tal modo, de acordo com Fernandes (2011), é

imprescindível proporcionar múltiplas oportunidades para que os alunos resolvam diferentes

problemas numa diversidade de contextos, interpretem enunciados, analisem e reflitam sobre as

estratégias de resolução, bem como sobre a viabilidade dos resultados obtidos.

1.2. Objetivo do tema e questões de investigação

Considerei pertinente abordar o tema resolução de problemas, para tentar perceber quais

as dificuldades que os alunos apresentavam, ao longo das resoluções, nas diferentes etapas do

modelo de Polya e, desta forma, explorar cada uma das fases com o intuito de colmatar as

lacunas existentes.

Atendendo ao objetivo do estudo procurei dar resposta às seguintes questões de

investigação:

Q1- Como é que os alunos resolviam os problemas?

Q2- Que dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de problemas?

2

Q3- Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua

capacidade de resolução de problemas?

1.3. Organização geral do relatório

Este relatório organiza-se em cinco capítulos. No primeiro capítulo, Introdução, encontra-

se uma contextualização do trabalho, o objetivo do tema e questões de investigação e, por

último, a organização geral do relatório.

O segundo capítulo diz respeito ao Enquadramento Teórico. Este abarca, com base na

literatura, o conceito de problema, a resolução de problemas e a sua importância, os modelos

usados na resolução de problemas, tipos de problemas e, por fim, expõe ainda estratégias de

resolução de problemas.

Relativamente ao terceiro capítulo, Metodologia, apresenta-se e justifica-se as opções

metodológicas adotadas. De seguida existe o contexto de intervenção que se subdivide em

caraterização da escola, caraterização dos alunos da turma e justificação do contexto de

intervenção contemplado no estudo. Neste ainda se patenteiam as pedagogias de ensino, os

instrumentos de recolha de dados, as fases do estudo, a análise de dados e, finalmente, a

intervenção.

No quarto capítulo faz-se uma Apresentação dos Resultados. Neste mostra-se os

problemas matemáticos propostos aos alunos, explorando-se e exibindo-se as diferentes

resoluções destes, as dificuldades manifestadas ao longo das resoluções e as práticas para

eliminar essas dificuldades. No final surge ainda o cruzamento da informação.

Finalmente, o quinto capítulo, Conclusão, contém as respostas às questões iniciais da

investigação, considerando os dados recolhidos nas diferentes intervenções, bem como as

reflexões finais, sendo realizado o confronto com a literatura. Ainda neste capítulo constam as

limitações e dificuldades do estudo e também as recomendações para estudos futuros.

3

CAPÍTULO II

ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Neste capítulo encontra-se o Enquadramento Teórico, onde se apresenta uma revisão da

literatura relativamente ao tema em questão: resolução de problemas. Assim, começa-se por

abordar o conceito de problema, bem como a definição de resolução de problemas e a sua

importância no dia-a-dia e no contexto de sala de aula para a vida da criança. Seguidamente

refere-se alguns modelos usados na resolução de problemas que ajudam a criança a ultrapassar

os obstáculos que vão surgindo durante a resolução. Por fim, apresenta-se as classificações de

diferentes tipos de problemas existentes, sendo que estes estão agrupados em distintas

categorias, bem como as estratégias de resolução de problemas. Estas são importantes de

considerar, uma vez que existem variadas estratégias que o resolvedor pode utilizar para resolver

um problema.

2.1. Conceito de problema

Os problemas e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas devem ser um

aspeto central no currículo de Matemática, contudo a utilização desta temática nas escolas é

inconstante e deveras debatida, visto que está dependente das perceções que cada pessoa

possui. O conceito de problema é entendido de formas distintas por variados professores, assim

cada um possui a sua ideia do que é um problema, acabando, em alguns casos, por confundir o

conceito de problema com o de exercícios, abordando e explorando exercícios como se de

problemas se tratasse. Deste modo, é importante referir as diferenças entre exercícios e

problemas, bem como exibir, de uma forma destacada, as conceções de problema, pois, tal

como refere Faria (2012), para os matemáticos, o significado de problema é por si só, um

problema. Para Vieira (2008), não há conformidade de opiniões nas definições que são

apresentadas por diversos investigadores, existindo vários significados para esta palavra. A

conceção de problema sempre foi algo difícil de definir, sendo trabalhada pela primeira vez, de

forma sólida, por Polya (2003).

Polya (2003) alude que ter um problema implica pesquisar conscientemente alguma ação

apropriada para alcançar um objetivo claramente definido, mas não imediatamente atingível,

referindo ainda que para haver problemas tem de haver dificuldade. Para Figueiredo (2005), um

problema é “(…) um desafio, uma situação não resolvida, cuja resposta não é imediata, que

4

resulta da reflexão e uso de estratégias conceptuais e procedimentos, provocando uma mudança

nas estruturas mentais” (p. 8). Ainda Moreira (2008) menciona que um problema existe quando,

perante o domínio de um nível da situação, desejamos alcançar um outro e não encontramos

maneira de o fazer. Por sua vez, Pires (2001) também refere que um problema é uma atividade

cujo objetivo é bem determinado, contudo a forma de resolução é desconhecida. Já na

perspetiva de Ponte (2005) um problema é uma tarefa fechada, uma vez que os dados e o

objetivo são nitidamente expostos, mas muito desafiante. Também o National Council of

Teachers of Mathematics (NCTM, 1991), salienta que

um problema genuíno é uma situação em que, para o indivíduo ou para o grupo em questão, uma ou mais soluções apropriadas precisam ainda de ser encontradas. A situação deve ser suficientemente complicada para constituir um desafio, mas não tão complexa que surja como insolúvel. (p. 11)

Um bom problema matemático deve ter algumas particularidades essenciais. Desta

forma, o documento NCTM (2007) expõe que este deve ser problemático, através de algo que

faça sentido e onde não se encontra integralmente visível o percurso para a solução,

matematicamente desafiante e interessante, fortalecendo na criança o raciocínio e a criatividade

na procura de estratégias para alcançar o resultado final. Por fim, deve ser adequado,

possibilitando assim, ao aluno, relacionar o conhecimento que já possui, de maneira a que o

novo conhecimento e as capacidades que cada um detém possam ser relacionadas e

adequadas, permitindo-lhes concluir com sucesso as tarefas.

Com a dificuldade inerente em diferenciar problemas e exercícios, é essencial falar-se um

pouco das caraterísticas de ambos. Polya (1995) afirma haver problemas rotineiros e problemas

não rotineiros. Os primeiros requerem simplesmente a aplicação de regras conhecidas pelo

aluno. Por sua vez, os problemas não rotineiros contribuem para o desenvolvimento intelectual

do aluno, uma vez que exigem criatividade e originalidade por parte deste. Para Polya (1995), os

exercícios são denominados por problemas rotineiros, considerando assim que apesar de estes

serem úteis e necessários, não devem ser utilizados exageradamente no ensino-aprendizagem

da matemática, ao contrário dos problemas não rotineiros, onde a sua utilização é recomendada

pelo autor. De forma análoga, para Mayer (1992) muitas das tarefas que são intituladas como

problemas, como os problemas rotineiros, não devem ser designados como tal, uma vez que

nestes existe uma aplicação direta e eficaz de um procedimento já aprendido, ou seja,

empregam-se procedimentos rotineiros e familiares, havendo apenas a prática de algo já

estudado. Neste caso a tarefa servirá apenas para exercitar habilidades já adquiridas, podendo-

5

se chamar de exercícios. Contudo, um problema não rotineiro pode, sem qualquer dúvida, ser

classificado como um problema, uma vez que o resolvedor não possui um procedimento

conhecido para chegar à solução.

Também no Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais (DEB, 2001)

é citado que

os problemas são situações não rotineiras que constituem desafios para os alunos e em que, frequentemente, podem ser utilizadas várias estratégias e métodos de resolução – e não exercícios, geralmente de resolução mecânica e repetitiva, em que apenas se aplica o algoritmo que conduz diretamente à solução. (p. 68)

Na perspetiva de Boavida, Paiva, Cebola, Vale e Pimentel (2008) quando a criança possui

uma forma rápida de encontrar a solução, resolve a situação através de métodos conhecidos,

repetitivos ou automatizados, que a levam de imediato à resposta correta, não se pode chamar

de problema, mas sim de exercício. De acordo com Ponte (2005) um problema deve ter um

certo nível de dificuldade, contudo, ao propor-se um problema, se este for extremamente difícil o

aluno pode resignar de imediato ou nem o começar a resolver, mas se for excessivamente

simples deixa de ser um problema e passa a ser considerado um exercício.

Ainda Vieira, Cebolo e Araújo (2006) defendem que uma situação poderá patentear-se

como um exercício para uns e como um problema para outros, de forma análoga, o que poderá

ser um problema para uma criança num nível de aprendizagem, poderá passar a um exercício

num nível posterior. Desta forma, Dias (2013) considera que a diferenciação entre problema e

exercício não depende apenas da tarefa que é sugerida, mas também da pessoa a quem se

sugere. Ora, quando, por exemplo, dois alunos, em níveis distintos de aprendizagens, se

deparam com uma situação que para a conseguir resolver terão de, por exemplo, aplicar o

algoritmo da adição, o aluno que domina o algoritmo da adição vai conseguir resolvê-la

confortavelmente a partir da aplicação de procedimentos rotineiros e familiares, sendo esta

tarefa, para si, um exercício. Para o outro aluno que não conhece nem o conceito nem o

algoritmo da adição, esta questão é seguramente um problema, pois não existe uma resposta

imediata, e não há um processo mecanizado. Deste modo, Ponte e Sousa (2010) afirmam ainda

que uma dada questão constituirá um problema ou um exercício para um dado indivíduo,

conforme ele disponha, ou não, de um processo que lhe permita resolver rapidamente essa

questão.

6

Como conclusão, é essencial haver a diferenciação entre problema e exercício, tendo

sempre em conta que a resolução de problemas deve ser central na vida escolar. Ora, ao propor-

se problemas à criança, é relevante atentar que “o problema pode ser modesto, mas se ele

desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus

próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta” (Polya, 1995, p. V).

É ainda necessário frisar que adotei a ideia de problema defendido por Polya (2003),

mencionada anteriormente. Ou seja, ter um problema implica haver uma pesquisa consciente

para obter um objetivo claramente definido, mas não imediatamente atingível, onde para haver

problemas tem de haver dificuldade. Para além deste conceito, também tive em conta que os

problemas devem ser desafiantes, interessantes, problemáticos e adequados, tal como expõe o

NCTM (2007). Finalmente, foi ainda considerado, em todo o trabalho, que tal como Vieira et al.

(2006) defendem, uma situação poderá ser um exercício para uns e um problema para outros.

2.2. A resolução de problemas e a sua importância

Vários autores definem o conceito de resolução de problemas. De seguida apresentam-se

algumas dessas definições.

Vale (2000) alude que um problema pode ser considerado como uma certa situação para

a qual não se dispõe, desde logo, de um procedimento que lhe permita determinar a solução,

sendo a resolução de problemas o conjunto de ações tomadas para resolver a situação. De

modo similar, para Lester (1980) a resolução de problemas é um conjunto de ações levadas a

cabo para cumprir uma tarefa. Por sua vez, Mason (1992) confirma que é a tentativa de resolver

ou reformular questões não organizadas para as quais nenhuma técnica específica ocorre

imediatamente à mente. Também para Dinis (2001) “Resolução de Problemas caracteriza-se por

uma postura de inconformismo diante dos obstáculos e do que foi estabelecido por outros (…)”

(p. 92).

A nossa sociedade apresenta-se em constante desenvolvimento, ora, deste modo, é

necessário preparar a criança, desde tenra idade, para se inserir na comunidade. Para tal, é

fundamental ajudá-la a desenvolver a capacidade de resolver diversos problemas que vão

surgindo no dia-a-dia. Este desenvolvimento é algo necessário e indispensável, uma vez que a

criança depara-se regularmente e desde cedo com a necessidade de resolver problemas, sendo

que “nos primeiros anos, a maioria das situações problemáticas surgem das experiências

vividas, quer na escola, quer fora dela” (NCTM, 1991, p. 29). Assim, ao longo da vida vão

7

surgindo problemas dentro e fora da sala de aula e, muitas vezes, os problemas que aparecem

no quotidiano da criança encaminham a problemas matemáticos simples, que podem ser

explorados no estabelecimento de ensino.

Efetivamente, a partir da década de 80, os currículos começaram a dar importância à

resolução de problemas, surgindo também no Programa de Matemática como uma capacidade

transversal agregada ao raciocínio e à comunicação. Assim sendo, a resolução de problemas

tem de ser tida em conta no meio escolar, apresentando então a escola um papel importante no

desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Conforme alude Polya (2003), resolver

problemas é a execução particular da inteligência, portanto se a educação não tem o cuidado de

colaborar para a evolução desta, apresenta-se, evidentemente, incompleta. Este autor menciona

que as escolas devem proporcionar problemas desafiantes, onde não seja suficiente a criança

saber algoritmos, técnicas e conhecimentos factuais. O aluno deve ter na aula de matemática,

tal como refere Vale (2000), contextos favoráveis à resolução de problemas, sendo-lhe assim

dada a oportunidade de observar, imitar e, por fim, praticar a resolução de problemas, uma vez

que

a resolução de problemas é uma habilitação prática como, digamos, o é a natação. Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. (…) Ao tentarmos resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e, por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os. (Polya, 1995, p. 3)

Assim sendo, é necessário ensinar os alunos a resolver problemas, utilizando pedagogias

de ensino adequadas. Desta forma, a “ investigação realizada (…) sugere que «devagar e com

dificuldade» é provavelmente a melhor forma de se fazer a aprendizagem da resolução de

problemas” (Kilpatrick, 1985, p. 8). Polya (2003) valoriza a aprendizagem da resolução de

problemas através do trabalho em grupo, sendo criados momentos de partilha e colaboração.

Encorajar “(…) os alunos a escrever, a partilhar e a resolver os seus problemas” (Boavida et al.,

2008, p. 27) são momentos cruciais na aprendizagem destes, criando-se assim situações ricas

que serão fulcrais para o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Desta forma,

as aprendizagens são mais relevantes se for dado ao aluno a “(…) oportunidade de discutir,

argumentar, criticar, de interagir, com os colegas e com os professores de modo a haver uma

partilha de ideias, de estratégias, de raciocínios, pensamentos matemáticos e desenvolver a

capacidades de comunicação” (Monteiro & Sousa, 2008, p. 7).

8

Esta prática de resolver problemas vai ajudar a desenvolver um combinado de

capacidades cognitivas essenciais na vida do aluno, como o raciocínio e a comunicação. Ou

seja, através da resolução de problemas “(…) o aluno terá oportunidade de, aplicando os seus

conhecimentos e procedimentos na busca de uma solução para a situação proposta,

desenvolver as suas estruturas cognitivas” (Figueiredo, 2005, p. 7). Deste modo, uma das

capacidades cognitivas que o aluno pode desenvolver com a resolução de problemas é o

raciocínio. Segundo Dewey (1910), é através do raciocínio matemático que se acede à

compreensão de situações matemáticas, se analisa um problema sob diversos pontos e vista e,

a partir da análise e do estabelecimento de relações, as ideias iniciais passam a hipóteses que

originam a formulação de conjeturas. De forma análoga, com a resolução de problemas, se o

aluno for estimulado a comunicar, pode também desenvolver a comunicação. “Quando o aluno

se envolve no processo de explicar as suas ideias aos outros e com o objetivo de ser entendido,

ele próprio pode sentir uma evolução nas suas compreensões” (Martinho, 2011, p. 52).

Ainda com a resolução de problemas, para além da criança usar os conhecimentos

anteriores, vai adquirindo novos saberes e efetivando novas aprendizagens, sendo assim

colocada numa postura ativa de aquisição, sendo ela a fazer as suas próprias investigações para

conseguir encontrar a forma de resolver uma situação problemática, pois, segundo Oliveira

(1993) são os sujeitos que têm de refletir sobre a situação, determinando assim quais os

processos que são necessários utilizar. Então, quem resolve um problema é “(…) desafiado a

pensar para além do ponto de partida, a pensar de modo diferente, a ampliar o seu pensamento

e, por estas vias, a raciocinar matematicamente” (Boavida et al., 2008, p. 14). Para Polya

(2003), a resolução de problemas permite aos alunos relacionar os conceitos matemáticos,

generalizar e apurar a autenticidade destes.

Como se averigua, a resolução de problemas é fundamental na vida do aluno. Ora, é

importante fazer com que este sinta gosto e satisfação durante a resolução de qualquer

problema. Assim, os alunos têm de ser estimulados ao longo das aulas para perceber que um

problema matemático “(…) pode ser tão divertido quanto um jogo de palavras cruzadas, ou que

o intenso trabalho mental pode ser um exercício tão agradável quanto uma animada partida de

tênis” (Polya, 1995, p. V). Se este tiver oportunidade de desfrutar destes sentimentos, se lhe for

proporcionado o gosto pela resolução de problemas, com certeza que isto se irá tornar num “(…)

num hobby, num instrumento profissional, a própria profissão ou uma grande ambição” (Polya,

1995, p. V).

9

Finalmente, é crucial salientar que ao longo do trabalho a perspetiva da resolução de

problemas abordada foi a de Vale (2000) que expõe que a resolução de problemas é o conjunto

de ações tomadas para resolver uma situação. Juntamente com Polya (2003) que refere que a

escola um papel importante no desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, sendo

que para resolver problemas não basta saber algoritmos, mas é essencial resolver problemas

desafiantes. Desta forma, é necessário resolver para aprender e proporcionar ambientes

propícios para tal. Foi ainda considerado que, tal como menciona Polya (2003), os alunos têm

de perceber que a resolução de um problema matemático pode ser uma atividade divertida.

2.3. Modelos usados na resolução de problemas

Como tem sido estudado até ao momento, a resolução de problemas tem um lugar bem

definido no ensino da matemática, desde o 1.º ciclo até ao ensino superior. Resolver um

problema pode ser bastante complicado, contudo deve-se arranjar métodos de contornar os

obstáculos que vão aparecendo. Ser perspicaz não é desistir perante a primeira oposição, mas

sim tentar encontrar outras formas de solucionar as barreiras que, por vezes, até nos parecem

ser impossíveis de ultrapassar. Como tal, existem diversos modelos para ensinar a resolver

problemas, ajudando ainda os alunos a eliminar as dificuldades que sentem em resolvê-los

(Dias, 2013). Seguidamente são apresentados alguns modelos existentes.

Polya (2003) começou por observar e refletir sobre o modo como ele próprio resolvia

problemas, tentando estruturar os processos envolvidos nesta tarefa, tendo assim um trabalho

muito fluente nesta área, sendo ele o primeiro a abordar, de forma consistente, a resolução de

problemas na sala de aula. Com efeito, Polya (1995) afirma que a resolução de problemas

possui quatro fases essenciais: compreensão do problema, estabelecimento de um plano,

execução do plano, verificação dos resultados.

O autor considera que antes de se tentar encontrar uma solução para um problema é

indispensável existir a compreensão do problema. “Os resultados podem ser drásticos se o

aluno desatar a fazer cálculos ou outro tipo de actividades sem compreender o problema em

causa” (Vieira, 2008, p. 8). Para comprovar a compreensão do problema por parte do aluno,

pode-lhe ser solicitado que o reconte, por palavras suas. A compreensão do problema passa

também pela identificação da incógnita, ou seja, o que é desconhecido, das condições impostas,

bem como, considerar todos os aspetos relevantes para a resolução do mesmo. Polya alude

10

também que nesta etapa tem de existir uma atenção particular sem que haja qualquer descuido

ou desleixo, considerando que o sucesso de todas as fases seguintes depende do sucesso desta.

Posteriormente é preciso haver o estabelecimento de um plano, ou seja, para se chegar à

solução é indispensável delinear um plano, refletindo nas experiências anteriores, investigando

algo que se relacione com o problema em questão e que já tenha sido solucionado. Um plano é

alcançado quando já se sabe quais os cálculos ou estratégias a usar para se conseguir obter a

incógnita. Ou seja, de acordo com Polya considera-se que há um plano quando, ao menos em

linhas gerais, é possível saber quais são os cálculos, construções, entre outros, que se devem

efetuar para encontrar a solução do problema em causa. Esta etapa não é uma tarefa fácil

requerendo bastante paciência por parte do resolvedor, podendo ser considerada como a que

possui um maior grau de dificuldade, sendo que todo o percurso percorrido para chegar à

determinação de um plano final pode ser longo e difícil. Ora, um aluno pode conseguir

estabelecer mais facilmente e de forma gradual um plano que se revele eficaz, ou então este

pode só surgir após diversas tentativas falhadas. Esta fase requer que o aluno tenha adquirido

algumas competências, tais como a “criatividade, hábitos mentais, concentração nos objetivos,

conhecimentos e experiência” (Pereira, 2012, p. 16), sendo que a existência ou a falta destas,

irá influenciar, positiva ou negativamente, na resolução do problema. Contudo, Polya é

consciente de que estas competências são entendidas e amplificadas com os momentos que

têm para resolver problemas, referindo ainda que para se conseguir conceber um plano é

preciso “(…) além de conhecimentos anteriores, de bons hábitos mentais e de concentração no

objetivo, mais uma coisa: boa sorte” (Polya, 1995, p. 8).

Na execução de um plano realizam-se todos os passos e procedimentos estabelecidos

anteriormente, com o objetivo de alcançar a solução do problema, contudo caso não se chegue

à solução, volta-se à fase do estabelecimento de um plano. Polya (1995) alerta que se for o

próprio aluno a criar o plano, mesmo tendo alguma ajuda, terá maior facilidade e segurança na

execução desta fase e só muito dificilmente o esquecerá. Contudo, se o aluno executar um plano

que apenas aceitou por influência do professor, poderá ter mais dificuldades em fazê-lo e muito

provavelmente irá esquecê-lo.

Finalmente é imprescindível haver a verificação dos resultados, ou seja, a averiguação e

discussão do resultado alcançado, criando-se uma revisão da resolução feita. Na verificação da

resolução concluída, tem-se de confirmar se o resultado obtido corresponde à incógnita. Esta

fase é, muitas vezes, esquecida até mesmo pelos melhores alunos, sendo que quando

11

encontram a solução do problema, dão-no de imediato por terminado, não voltando a olhar para

ele. Ao longo desta etapa é imprescindível perceber se, observando o raciocínio desenvolvido, há

uma outra maneira/estratégia de se chegar à mesma solução, bem como, tentar aplicar os

métodos utilizados naquela situação a outros problemas, sendo assim feita uma relação do

problema em questão com outros. Deste modo, Polya (1995) considera esta última fase como

sendo deveras importante, uma vez que é feita uma revisão do percurso percorrido até encontrar

a solução, a consolidação e o aprofundar do conhecimento, a identificação das dificuldades, bem

como, todos os processos utilizados para as eliminar.

Polya (1995) salienta que todas as etapas do seu modelo são importantes, e permitem à

criança obter uma aprendizagem autêntica, não se baseando na aplicação de meros

procedimentos mecanizados. É crucial ressalvar que apesar do autor criar e expor as quatro

fases que considera essenciais, ele nunca quis conceber fórmulas ou procedimentos inflexíveis

de resolução de problemas, mas sim, alia a resolução de problemas “(…) a uma arte que

envolve a motivação, criatividade e descobertas” (Pereira, 2012, p. 26). Um aluno até pode ser

empenhado e dedicado, seguir todas as fases deste modelo apresentado e, mesmo assim, não

conseguir uma resolução correta. Então, tem de voltar a fazer tudo de novo, compreender

melhor o problema e estabelecer um novo plano ou, em alternativa, comparar a um outro

problema já resolvido semelhante ao atual, tentando assim obter alguma conclusão fiável que

lhe permita resolver corretamente o problema em questão.

Ao longo das diferentes fases de resolução de problemas propostas por Polya (1995),

existem algumas questões que podem ser utilizadas para permitir ao aluno uma melhor

compreensão de cada uma das etapas. Assim, tal como o autor refere, o professor tem de

envolver os alunos na resolução de problemas, auxiliando-os nesse percurso, quando necessário,

por meio de indagações estimulantes. Deste modo, deve colocar várias questões ao aluno e

fornecer-lhe sugestões, na medida em que o ajude a colmatar as dificuldades e a quebrar

barreiras que surjam durante as resoluções, tendo sempre em consideração a etapa que se

encontra, permitindo que este descubra, por si próprio, a resposta correta.

Então, e de acordo com Polya (1995), na tabela 1 estão presentes alguns exemplos de

possíveis questões.

12

Tabela 1 - Possíveis questões e sugestões para auxiliar nas diferentes fases de resolução de problemas

Compreensão do problema

Elaboração de um plano Execução do plano Verificar a solução

Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante?

Já viu este problema antes ou algum semelhante? Está a usar todas as condições? Consegue encontrar relações entre a incógnita e os dados? Invente um novo problema que envolva a mesma incógnita. Mude o problema escrevendo-o de uma forma diferentes.

Averigue se todos os passos estão certos. Consegue averiguar e explicar claramente que todos os passos utilizados são genuínos?

O resultado obtido é exequível? É capaz de justificar claramente a solução encontrada? É capaz de chegar ao mesmo resultado através de um método distinto? O que é que aprendeu com o problema que possa aplicar na resolução de futuros problemas?

Polya (1995) elucida que o professor ao colocar estas questões ao aluno deve ter em

conta que com o tempo deverá ser ele a colocá-las a si próprio, no momento apropriado,

realizando a operação mental associada. Também em Monteiro e Sousa (2008) se encontram

estruturadas, em cada uma das fases, diversas questões, existindo assim uma organização

semelhante à da tabela 1 mencionada anteriormente. Os autores elucidam que a organização

permite sistematizar os processos envolvidos na resolução de problemas.

Segundo um outro autor, Fernandes (2000), investigadores Suecos analisaram e

exploraram as etapas de resolução de problemas e detetaram que há cinco fases: compreensão

do problema, tratamento dos dados, planeamento, execução do plano e controlo.

Na compreensão do problema é valorizada a leitura atenta e cuidada do enunciado, assim

como a sua boa interpretação. De seguida ocorre o tratamento de dados, onde surge uma

seleção e uma análise ponderada dos dados fornecidos no enunciado, formulando de uma forma

mais clara e explicita o problema. Logo depois sucede-se o planeamento, onde é esperado que

haja o estabelecimento de um plano, seguindo-se a execução do plano, sendo que nesta etapa

são colocados em prática todos os processos planeados para a resolução do problema. Por fim,

vem a fase do controlo em que é verificada a solução encontrada, assim como todos os

procedimentos utilizados e são ainda planeadas diferentes formas de resolver o problema e

procuradas novas soluções.

Entre os dois modelos apresentados é possível comprovar que o último apenas possui um

passo que no do Polya não está contemplado de forma clara: o tratamento de dados. Este não

13

se encontra patente no modelo de Polya de forma explícita, uma vez que está englobado,

implicitamente, na primeira fase: a compreensão do problema. Ora, para o aluno chegar ao

entendimento do problema, tem de identificar e tratar os dados existentes neste.

Tendo por base o modelo de Fernandes, anteriormente apresentado, Vieira (2008)

menciona que, segundo investigadores e professores, os alunos dividem o tempo, ao longo da

resolução de problemas, tal como se apresenta na figura 1. O número 1 representa a etapa da

compreensão do problema, o 2 o tratamento dos dados, o 3 o planeamento, o 4 a execução do

plano e, por fim, o 5 o controlo.

Figura 1 - Divisão do tempo dos alunos nas etapas de resolução de problemas

Porém, para Vieira (2008), para os alunos obterem bons resultados e serem cada vez

melhores na resolução de problemas, o tempo despendido nas diversas fases deveria ser como

o que se encontra na figura 2. Na primeira fase o aluno deve despender mais tempo do que na

segunda e na quarta, visto que, tal como considera Polya (2003), o sucesso de todas as fases

seguintes depende do sucesso desta, ora é crucial para uma resolução com sucesso haver

compreensão do problema. Seguidamente, a terceira fase requer também mais tempo, pois, de

segundo Pereira (2012), é nesta que são despoletados os caminhos ou processos para resolver

um problema, havendo a delineação de um plano. Então, se o plano delineado não for eficaz, a

resolução do problema não será bem conseguida. Por fim, ainda na quinta fase o aluno deve

abdicar de mais tempo, pois, de acordo com Polya (1995), aqui é feita uma consolidação dos

conhecimentos, obrigando o aluno voltar atrás e verificar todos os passos e resultados obtidos,

permitindo-lhe assim perceber bem o que fez e resolver mais facilmente, no futuro, um problema

semelhante.

Figura 2 - Divisão do tempo que seria esperada pelos alunos para a resolução de problemas

Considerando as figuras apresentadas por Vieira (2008), há alguma unanimidade no que

tem falhado ao longo da resolução de problemas nos dois modelos apresentados

precedentemente. Ora, no modelo de Fernandes, de forma semelhante com o que se verifica no

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

14

modelo de Polya, tal como alude Pereira (2012), o que tem fracassado mais são a primeira e a

última fase.

Existem ainda muitos outros modelos, sendo alguns desses expostos seguidamente,

contudo nenhum deles é uma elucidação de como um aluno com êxito raciocina. Tal como

refere Polya (1995), se o professor selecionar o modelo que considere como sendo o mais

adequado para a sua turma e se instruir a criança a seguir conscientemente e sequencialmente

as fases, poderá ajudá-la a ter êxito na resolução de problemas.

No modelo apresentado por Sternberg (1997), a resolução de problemas é vista como um

ciclo de seis passos, sendo utilizada a palavra “ciclo” uma vez que o autor considera que a

solução de um dado problema é, normalmente, o suporte para a solução de um outro problema.

Os seis passos são: reconhecimento do problema, definição do problema, estabelecimento de

uma estratégia de resolução do problema, representação da informação, atribuição de recursos

e ainda, monitorização e avaliação. Estes podem não suceder no prosseguimento apresentado

antes, mas o autor alude que é muito provável que se atravesse cada um deles.

O reconhecimento do problema pode ser definido como sendo o passo mais relevante,

“uma vez que só será feito um esforço por quem deverá resolver o problema após o seu

reconhecimento” (Teixeira, 2013, p. 20). A definição do problema aparece uma vez que existe

um problema é indispensável defini-lo/compreendê-lo de forma correta. Uma má interpretação

do problema leva a uma resolução mal direcionada, não sendo atingindo o seu objetivo inicial de

resolução, ou seja, não se chega à solução correta. Assim, o autor alerta para a importância de

se investir o tempo suficiente na definição do problema. O estabelecimento de uma estratégia de

resolução do problema diz respeito à etapa onde são determinados os processos a utilizar para

ajudar a atingir a solução. Na representação da informação tem de ocorrer uma perceção e um

planeamento mental da informação pertinente. Seguidamente, na atribuição de recursos surge a

escolha dos recursos a atribuir. Se houver uma favorável atribuição dos recursos, aumenta a

probabilidade de se resolver com sucesso o problema. Existem inúmeros recursos, podendo ser,

por exemplo, o tempo ou a concentração durante a leitura de um enunciado. Finalmente, a

última fase diz respeito à monitorização e avaliação. A monitorização é explicada como sendo o

acompanhamento das evoluções ao longo do progresso da resolução do problema, onde este

acompanhamento possibilita perceber se a resolução feita se está a aproximar da solução. Após

ser alcançada uma solução, é preciso avaliá-la para se tentar perceber se está certa ou errada,

podendo ser uma avaliação imediata ou feita passado algum tempo.

15

Por fim, de acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Básico (MEC, 2013),

existem etapas que são cruciais para uma efetiva resolução de problemas e que podem ser

importantes para ajudar a colmatar algumas dificuldades que as crianças sentem. Contudo, o

programa diferencia-se um pouco do que tem vindo a ser falado e defendido até então, uma vez

que este realça, durante a resolução de problemas, a aplicação de regras e procedimentos

mecanizados. Deste modo, para o Programa de Matemática para o Ensino Básico (MEC, 2013)

a resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretação de enunciados, a mobilização de conhecimentos de factos, conceitos e relações, a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados finais. (p. 5)

Nos vários modelos que existem, o de Polya (1995) é considerado como sendo o mais

representativo, tal como refere Teixeira (2013). Para além disso, este modelo “(…) permite aos

alunos uma organização sequencial da informação facilitando o processo de resolução” (Gomes

& Dias, 2013, p. 225), sendo assim uma mais-valia para quem manifesta dificuldades na

resolução de problemas. Como tal, o modelo de Polya foi o escolhido para acompanhar os

alunos na resolução de problemas.

2.4. Tipos de problemas

Regra geral, os problemas estão agrupados em categorias diferenciadas, com o objetivo de,

tal como refere Pinto (2010), ajudar quem aprende a resolver problemas e apoiar na seleção de

quem os ensina, pois com a categorização dos problemas já é mais fácil perceber quais os mais

adequados para explorar a perspetiva de resolução de problemas que é pretendida. Uma das

tipologias existentes é a defendida por Charles e Lester (1986). A classificação utilizada pelos

autores tem “(…) a ver com o público a que se destina e também com as concepções pessoais

do professor em relação à natureza dum problema de matemática e à sua resolução de

problemas” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Charles e Lester (1986) classificam os problemas em

cinco tipos: problemas de um passo, de dois ou mais passos, de processo, de aplicação e tipo

puzzle, considerando que um mesmo problema poderá encaixar-se em mais do que um dos

tipos.

Os problemas de um passo são os que se podem resolver através da utilização direta de

uma das quatro operações básicas da aritmética. Nestes o aluno terá de utilizar diversas

estratégias para perceber qual a operação correta. Por sua vez, os problemas de dois passos

16

podem-se resolver através da utilização direta de duas ou mais das quatro operações básicas da

aritmética. Existem ainda os problemas de processo que não podem ser resolvidos através da

aplicação de um conteúdo ou um algoritmo aprendido anteriormente que possa ser usado. Estes

problemas são desafiadores e exigem que haja processos complexos de pensamento. Desta

forma, são considerados como sendo os mais apropriados para serem utilizados nas aulas. Ainda

os problemas de aplicação requerem, geralmente, uma recolha de dados sobre a vida real e a

tomada de decisões. Por vezes é necessário aplicar uma ou mais estratégias de resolução, bem

como empregar uma ou mais operações. Por fim, os problemas tipo puzzle “são problemas que

necessitam como que de um “flash” para chegar à solução” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Para

além de despertarem o interesse no aluno, ajudam-no a ver os problemas segundo diversas

perspetivas.

A tipologia de problemas de Charles e Lester (1986) exibida anteriormente “(…) tem-se

mostrado suficiente para a categorização dos problemas a utilizar com os alunos do primeiro

ciclo” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Para além desta, existem ainda muitas outras. A

apresentada por Fernandes, Lester, Borralho e Vale (1997) é considerada como sendo mais

ampla do que a defendida pelos dois autores. Nesta tipologia, à semelhança da anterior, não se

supõem que os problemas estejam englobados num e apenas num dos tipos, podendo o mesmo

problema inserir-se em mais do que uma das categorias. Ao contrário do que expõe Charles e

Lester (1986), não são contemplados os problemas tipo puzzle, surgindo então uma repartição

em quatro tipos de problemas: de processo, de conteúdo, de aplicação e de aparato

experimental.

Fernandes et al. (1997) intitulam os problemas de processo como os que muito

dificilmente se resolvem com a aplicação direta de um algoritmo, ou seja, é importante a

utilização de estratégias de resolução de problemas. Podem não estar relacionados com os

conteúdos programáticos, mas, em caso afirmativo, a sua resolução pode apenas necessitar de

conhecimentos básicos de aritmética e geometria e não da aplicação direta dos conteúdos

programáticos. Consideram como problemas de conteúdo aqueles que requerem a utilização de

conteúdos programáticos, conceitos, definições e técnicas matemáticas. Sem estes, a resolução

torna-se complicada. No que diz respeito aos problemas de aplicação, são utilizados dados da

vida real que podem ser já fornecidos, ou então recolhidos pelo sujeito que resolve. Nesta

situação, a análise de dados irá influenciar a tomadas de decisões, sendo este um procedimento

crucial neste tipo de problemas. Estes são ainda problemas que requerem a utilização de uma ou

17

mais estratégias de resolução e que podem possuir várias soluções, podendo a sua resolução

demorar várias horas ou até dias. Finalmente, nos problemas de aparato experimental para se

encontrar a solução é indispensável a utilização de métodos de investigação próprios das ciências

experimentais (planificar, organizar e interpretar dados, contar, pesar, medir). Para resolver

problemas destes é imprescindível a realização de um aparato experimental, pois de outra forma

a resolução complica-se.

Há ainda a tipologia de Palhares (1997) onde este defende que se deve considerar “a

intenção pedagógica do formulador, do apresentador ou do investigador e do seu conhecimento

acerca da classe de indivíduos a que se destina o problema”, uma vez que o enunciado de um

mesmo problema pode ser “de um tipo para uma determinada classe, de outro tipo para outra

classe, ou não ser mesmo problemas para outros indivíduos” (p. 167). Assim, este autor

considera sete tipos de problemas: de processo, de conteúdo, de capacidade, de tipo puzzle, de

aplicação, de aparato experimental e abertos.

Se por um lado os problemas tiverem como objetivo a utilização de estratégias de

resolução, não havendo a aplicação de um conteúdo ou algoritmo anteriormente estudado, são

designados como problemas de processo, por outro lado, se os problemas necessitarem da

utilização de conhecimentos matemáticos alcançados há muito pouco tempo ou ainda não

adquiridos totalmente, intitulam-se por problemas de conteúdo. Aqueles problemas que

necessitam do uso de capacidades matemáticas designam-se por problemas de capacidades.

Nestes, tal como menciona o autor, faz mais sentido apelidar o problema conforme a dificuldade

existente, como por exemplo, problema de cálculo ou estimativa. Os problemas que requerem o

alargamento do espaço de resolução e do pensamento, ou seja, os problemas tipo puzzle e os

que exigem a recolha e tratamento de informação são os problemas de aplicação. Nestes, por

vezes é preciso o uso de uma ou mais estratégias de resolução. Por sua vez, os problemas de

aparato experimental necessitam da criação de esquemas investigativos, possibilitando

desenvolver habilidades que outros problemas não possibilitam. Finalmente, os problemas

abertos requerem a escolha refletida entre vários caminhos possíveis.

Durante toda a investigação utilizei a tipologia de Palhares (1997), pois esta acaba por ser

uma compilação das tipologias anteriores, uma vez que aborda os tipos de problemas

mencionados nas tipologias anteriores, acrescentando ainda um novo tipo, os problemas abertos.

Assim considerei que era a mais indicada e a mais completa para ser trabalhada com os alunos.

Foi também tido em conta que, tal como alude Palhares (1997), um mesmo problema pode, de

18

acordo com a intenção pedagógica e o conhecimento do investigador sobre o grupo de alunos a

quem se destina, ser classificado de diferentes maneiras.

2.5. Estratégias de resolução de problemas

Tal como refere no documento NCTM (1991) a criança necessita de possuir um KIT de

ferramentas matemáticas que a pode ajudar a resolver problemas. Assim, cada problema possui

uma tipologia, mas para o resolver pode-se usar várias estratégias, sendo então relevante que o

aluno conheça as diferentes estratégias para poder escolher a mais adequada ao problema que

está a resolver e, posteriormente, aplicá-la. Ora, entende-se por estratégia “(…) um conjunto de

técnicas a serem dominadas pelo solucionador e que o ajudam a atacar o problema ou a

progredir no sentido de obter a sua solução” (Vale & Pimentel, 2004, p. 24).

Embora na literatura existam diversas estratégias, refiro apenas as presentes em Vale e

Pimentel (2004), sendo estas as exploradas em todo o trabalho. Assim, os autores consideram

importante descobrir um padrão/descobrir uma regra ou lei de formação, fazer tentativas/fazer

conjeturas, trabalhar do fim para o princípio, usar a dedução lógica/fazer eliminação, reduzir a

um problema mais simples/decomposição/simplificação, fazer uma simulação/fazer uma

experimentação/fazer uma dramatização, fazer um desenho, diagrama, gráfico ou esquema,

fazer uma lista organizada ou fazer uma tabela.

Então, a primeira estratégia consiste em descobrir um padrão/descobrir uma regra ou lei

de formação, centrando-se em certos passos do problema, sendo a solução obtida através de

generalizações de soluções específicas. A estratégia seguinte baseia-se em fazer tentativas/fazer

conjeturas e é esperado que se se “adivinhe” a solução, considerando a informação fornecida no

enunciado, e que se confirme ou não as condições do problema. Tal como alude Polya (1995), o

aluno tem de aprender a descobrir a solução do problema através de diversas tentativas e

hipóteses “inventadas”, tendo por base o que é considerado correto para o resolver, sendo,

posteriormente, tudo verificado. Seguidamente vem a estratégia trabalhar do fim para o princípio,

onde, contrariamente ao habitual, começa-se pelo fim para se alcançar a solução, ou então pelo

que se quer provar. É ainda possível usar a dedução lógica/fazer eliminação. Nesta todas as

hipóteses são tidas em conta, eliminando-se, uma a uma, as que são consideradas como não

sendo possíveis. Com a estratégia de reduzir a um problema mais

simples/decomposição/simplificação é resolvido um caso particular de um problema para ajudar

na compreensão e na resolução do problema inicial. Podem ainda fazer uma simulação/fazer

19

uma experimentação/fazer uma dramatização, sendo que com esta estratégia é pretendido que

se utilize objetos, elabore modelos ou se produza uma dramatização que traduza o problema a

ser resolvido. Por fim, é ainda exequível fazer um desenho, diagrama, gráfico ou esquema, onde

se tira partido das caraterísticas do desenho para ajudar na resolução de um problema e fazer

uma lista organizada ou fazer uma tabela, podendo esta estratégia utilizar-se como forma de

apresentar, organizar ou guardar a informação.

20

21

CAPÍTULO III

METODOLOGIA

Com a minha investigação pretendia perceber quais as dificuldades que os alunos

possuíam, ao resolver problemas, nas diferentes fases do modelo de Polya, assim como

trabalhar no sentido de as eliminar. Então, durante o estudo, procurei responder às seguintes

questões:

Q1- Como é que os alunos resolviam os problemas?

Q2- Que dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de problemas?

Q3- Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua

capacidade de resolução de problemas?

Este capítulo está organizado em sete pontos. No primeiro apresenta-se e fundamenta-se

a metodologia seguida neste estudo. No ponto seguinte há a caraterização da escola, ou seja, do

contexto onde foi desenvolvido o trabalho de investigação, bem como dos seus participantes,

neste caso, os alunos da turma onde ocorreram as intervenções de ensino. Ainda neste ponto

existe uma breve justificação do contexto de intervenção, visto que o estágio foi realizado em

dois ciclos, contudo o estudo só incide num desses, o 1.º Ciclo. Logo depois aparecem

discriminadas e também devidamente justificadas as pedagogias de ensino utilizadas.

Seguidamente encontram-se expostos os instrumentos de recolha usados ao longo das

intervenções com o intuito de realizar a investigação, bem como a explicação e objetivo da

utilização de cada um. Num outro ponto estão presentes todas as fases percorridas para realizar

o trabalho, seguindo-se da apresentação das categorias da análise dos dados. Finalmente surge

o da exploração detalhada das intervenções.

3.1. Opções metodológicas

Para a execução do meu projeto utilizei uma metodologia de investigação-ação de cariz

qualitativo.

A investigação qualitativa sustenta-se na recolha de dados por parte dos investigadores,

onde interagem “(…) com os sujeitos de forma “natural” e, sobretudo, discreta” (Carmo &

Ferreira, 2008, p. 198), tentando assim diminuir e controlar os efeitos que podem aparecer nos

sujeitos de investigação aquando a intervenção do investigador. A investigação qualitativa possui

cinco características:

22

(…) a fonte directa dos dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal; a investigação qualitativa é descritiva. Os dados recolhidos são em forma de palavras ou imagens e não números; os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que propriamente pelos resultados ou produtos; os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva; o significado é de importância vital (…). Os investigadores (…) refletem uma preocupação com o registo tão rigoroso quanto o possível do modo como as pessoas interpretam os significados. (Bogdan & Biklen, 1994, p. 47-51)

Relativamente à investigação-ação, Latorre (2003) menciona que esta estabelece um

desafio para os profissionais de educação que querem colaborar para o progresso das práticas

educativas. Ora, é cada vez mais necessário o professor assumir um papel de investigador nas

suas práticas, pois a investigação possibilita uma maior compreensão destas, conseguindo,

deste modo, tal como afirma Dias (2013), contribuir para a melhoria e inovação do contexto

educativo.

Elliott (1991) também se pronuncia sobre a investigação-ação constatando que pode ser

definida “(…) como o estudo de uma situação social no sentido de melhorar a qualidade da ação

que nela decorre” (p. 69). Ainda para Bogdan e Biklen (1994), esta metodologia baseia-se na

recolha constante de informações, onde os investigadores atuam como cidadãos com vista a

fomentar mudanças sociais, fundamentando-se nas suas crenças. Por sua vez, Kemmis e

McTaggart (1992) defendem que esta metodologia é considerada um processo participativo e

colaborativo e que surge, normalmente, quando se procura esclarecer preocupações que são,

regra geral, partilhadas por um grupo. Estes autores ainda mencionam que “investigação-ação

significa planificar, atuar, observar e refletir mais cuidadosamente, mais sistematicamente e

mais rigorosamente do que aquilo que fazemos todos os dias” (p. 16). Por fim, Máximo-Esteves

(2008) constata que a investigação-ação é um método dinâmico, interativo e flexível, sendo

assim suscetível aos reajustes que podem ser necessários aquando da implementação de um

projeto.

A investigação-ação desenrola-se a partir de uma espiral de ciclos, que intercala a ação e

a reflexão crítica, nomeadamente, planear com flexibilidade, agir, refletir, avaliar/validar e

dialogar desenvolver (Fischer, 2001, citado por Máximo-Esteves, 2008, p. 82). Esta espiral de

ciclos referida pode também ser representada no esquema de Latorre (2003, p. 21)

representado na figura 3.

23

Figura 3 - Fases fundamentais da intervenção

Como se averigua com a figura 3, o processo de investigação-ação não se restringe a um

único ciclo, repetindo-se a sequência de fases ao longo do tempo. Deste modo, primeiramente

realizei uma observação, reflexão e avaliação sobre a minha prática e sobre os meus alunos,

reconhecendo o desempenho e as dificuldades que estes apresentavam.

Numa fase seguinte efetuei um planeamento flexível e contextualizado com a realidade,

que correspondeu às inquietações que surgiram, proporcionando, deste modo, uma evolução

gradual das aprendizagens e capacidades dos alunos.

Seguidamente agi de forma ativa e dinâmica para a investigação do projeto, colocando

em prática tudo o que ficou planeado anteriormente e tendo em consideração o resultado das

várias pesquisas que foram realizadas no contexto prático.

Após a ação surgiu a reflexão e uma avaliação/validação das observações e dos registos

realizados. Foi feita uma reflexão das intervenções, onde observei, refleti, analisei e avaliei a

minha prática e os dados recolhidos. Foi essencial conversar com outras pessoas críticas com o

intuito de encontrar um sentido para a análise, valorizando isto todo o processo.

Por último, aconteceu o diálogo onde surgiu a partilha das ideias e interpretações, de

forma a dar a conhecer o meu trabalho a outros profissionais.

3.2. Contexto de intervenção

3.2.1. Caraterização da escola do 1º Ciclo

A escola do 1.º Ciclo situa-se no centro de Vila Nova de Famalicão, distrito de Braga.

Pertence a um agrupamento vertical que agrupa desde jardins-de-infância, a escolas do 1.º, 2.º e

3.º Ciclo. Encontra-se no concelho de Vila Nova de Famalicão, situando-se, geograficamente, na

região do baixo Minho. Este é um dos catorze municípios que integra o distrito de Braga, é

composto por quarenta e oito freguesias, possuindo ainda uma área de, aproximadamente, 200

km2 e uma população de mais de 133.000 habitantes.

24

Esta escola foi construída no âmbito do “Plano do Centenário”. É composta por dois

edifícios, um deles possui dois pisos, sendo este o local onde se encontram oito salas de aula

que detêm todas as condições necessárias e essenciais para o bom funcionamento das aulas.

Estas estão também apetrechadas com diversos materiais didáticos que podem ser utilizados ao

longo das aulas. Neste edifício existe ainda um local comum de casas de banho

compartimentadas e amplos espaços cobertos e descobertos. A outra edificação é constituída

pela cantina e por uma sala onde funcionam as aulas de Apoio ao Estudo.

Ao longo das várias intervenções, foi possível averiguar que a escola promoveu uma

atividade relacionada com a matemática, o campeonato de jogos matemáticos, no qual tive

oportunidade de participar, sendo coordenada por alguns professores titulares das turmas. A

atividade foi divulgada na página da escola, juntamente com algumas fotografias e explicação

sobre a mesma e teve a participação das diversas escolas do 1.º Ciclo do concelho.

3.2.2. Caraterização dos alunos da turma do 1º Ciclo

A turma do 1.º Ciclo, que dizia respeito ao 2.º ano de escolaridade, era constituída por

vinte e cinco alunos, dos quais onze eram raparigas e catorze eram rapazes, possuindo idades

compreendidas entre os sete e os oito anos. Todos os alunos foram selecionados para colaborar

e participar no estudo, sendo que ao longo do relatório foram-lhes atribuídos nomes fictícios.

Os alunos desta turma dão-se bastante bem, são unidos, participativos, trabalhadores e

perspicazes, e gostam de ir à escola, faltando apenas em casos de doença. De maneira geral,

todos tinham um aproveitamento satisfatório, excetuando dois deles que demonstravam mais

dificuldades de aprendizagem, principalmente na disciplina de matemática e de português, no

entanto nenhum estava referenciado com NEE. Apesar dos bons resultados conseguidos por

quase todos os alunos, uma das limitações, na área da matemática, que detetei na turma foi a

dificuldade em resolver problemas.

No que diz respeito às habilitações literárias dos pais dos alunos, predominava o ensino

superior, seguindo o ensino secundário e por último numa minoria o ensino básico.

3.2.3. Caraterização da escola do 2º Ciclo

A escola do 2º ciclo incorpora dois ciclos de ensino, o 2.º e o 3.º, e integra-se numa zona

escolar servida por bons transportes públicos. Acolhe alunos da cidade e das freguesias mais

próximas, em virtude de os pais terem o seu local de trabalho em Vila Nova de Famalicão.

25

A escola é composta por quatro blocos, tendo todos eles dois pisos, variando apenas o

número de salas que constitui cada um. Nestes blocos encontra-se uma sala do aluno, uma sala

de educação especial, uma biblioteca, um auditório e dois ginásios. Por fim, encontra-se

também o gabinete da direção, uma sala de professores equipada com computadores, e dois

gabinetes de atendimento aos Encarregados de Educação.

A escola Júlio Brandão dinamizou diversas atividades matemáticas, no âmbito da semana

da matemática que se celebra no mês de março e cujo tema era “A matemática e o planeta

Terra”. Durante esta semana, houve uma sala com exposições de trabalhos feitos pelos alunos -

rosáceas, frisos e diversas figuras construídas com sólidos geométricos - sobre distintos

conteúdos matemáticos, bem como variados jogos matemáticos - jogo do semáforo, polydron,

tangram, entre outros. Num dos dias foi também dinamizado um concurso do jogo do 24, onde

competiam os alunos das diferentes turmas. Todas estas atividades foram divulgadas na página

e nos placards da escola.

3.2.4. Caraterização dos alunos da turma do 2º Ciclo

O trabalho no 2.º Ciclo desenvolveu-se numa turma do 5.º ano de escolaridade composta

por 24 alunos, dos quais 12 são do género feminino e 12 são do género masculino, com idades

compreendidas entre os 10 e os 12 anos. Dois dos alunos são de etnia cigana e todos eles são

de nacionalidade portuguesa.

Durante o estágio, perante as observações e interações realizadas com a turma, averiguei

que esta é trabalhadora e aplicada, evidenciando-se o esforço de todos. A turma tem cinco

alunos repetentes que contam com um Plano de Acompanhamento Pedagógico e oito alunos

que frequentam as aulas de apoio educativo. Destes, quatro às disciplinas de português e inglês

e os outros quatro às disciplinas de matemática e ciências. Uma das alunas da turma está a ser

seguida pelo gabinete de psicologia do estabelecimento de ensino, uma outra possui um

acompanhamento de uma psicóloga fora da escola, bem como, existe ainda, um outro aluno que

beneficia, no centro de saúde, de motricidade fina. Além disso, dois alunos estão sinalizados

como tendo mais dificuldades de aprendizagem, sendo por isso esperado dos professores um

maior trabalho com eles para que as dificuldades sejam amenizadas. Os restantes alunos

evidenciam um aproveitamento satisfatório, contudo todos apresentaram fragilidades na

resolução problemas matemáticos.

26

Relativamente às habilitações literárias dos pais dos alunos predomina o ensino

secundário, seguindo-se o ensino básico e por último, numa minoria, o ensino superior.

3.2.5. Justificação do contexto de intervenção contemplado no estudo

No âmbito do estágio, com o intuito de implementar e desenvolver o meu projeto, tive

oportunidade de fazer intervenções numa turma do 1.º Ciclo e noutra do 2.º Ciclo, no 5.º ano de

escolaridade. Contudo, neste relatório final não foi contemplado o estudo desenvolvido no 5.º

ano. Após conversar com a professora orientadora, optei por tomar esta decisão uma vez que

existiu, por diversos motivos, uma grande discrepância de dados relativamente aos dois ciclos.

Assim sendo, surgiu uma disparidade acentuada no número de aulas. Por um lado, no 1.º

Ciclo houve um total de dezassete aulas lecionadas em todas as áreas, sendo que nove foram

dedicadas exclusivamente à disciplina de matemática. Estas ocorreram durante todo o período

letivo da parte da manhã ou da tarde, sendo esse tempo dividido por mim e pela outra

estagiária. Por outro lado, no 2.º Ciclo, só lecionei cinco aulas de matemática, de noventa

minutos cada uma, onde duas delas foram dadas em conjunto por mim e pela outra colega.

Ainda no 1.º Ciclo, apesar de ter de abordar determinados conteúdos, o que, de certo modo,

restringiu a escolha dos problemas a utilizar, a docente titular de turma dava-me bastante

liberdade de gerir as minhas aulas, permitindo-me trabalhar os assuntos da maneira que

considerasse mais adequada e conveniente para, desta forma, desenvolver com sucesso o meu

estudo. Em contrapartida, no 5.º ano, para além de ter também de lecionar conteúdos

previamente definidos pelo docente da turma, houve ainda uma grande rigidez no trabalho que

tinha de desenvolver, acabando por me limitar e não me possibilitar executar o meu estudo da

forma mais apropriada, não conseguindo analisar, bem como recolher, a informação pretendida.

Ainda no final da experiência no 5.º ano, devido às restrições que surgiram durante o

estágio, achei que seria útil e proveitoso retomar ao 1.º Ciclo para recolher mais algumas

informações e, deste modo, aplicar outros problemas. Assim, consegui desenvolver diversas

tarefas no 1.º Ciclo e que iam mais ao encontro daquilo que realmente pretendia.

Por tudo o que foi referido anteriormente, achei pertinente apresentar, neste trabalho,

apenas os dados do 1.º Ciclo. Apesar da intervenção no 5.º ano não me permitir recolher o

pretendido, adquiri experiência como futura profissional e tive oportunidade de lecionar, pela

primeira vez, neste ano de escolaridade.

27

3.3. Pedagogias de ensino

O professor deverá utilizar diversas pedagogias de ensino que estimulem e desenvolvam

os seus alunos. Deste modo, durante as intervenções, houve momentos de trabalho individual e

outros de trabalho cooperativo, em grupos de 4/5 elementos e em grande grupo, sendo criadas

discussões onde tinha o cuidado de ouvir e valorizar sempre as ideias dos alunos e as suas

formas de pensar. Foram ainda proporcionadas situações de exploração de materiais

manipuláveis.

Ao longo das aulas criaram-se momentos de trabalho individual, sendo que este me

permitiu detetar, de forma individualizada, as lacunas que cada aluno manifestava na resolução

de problemas e se percebiam, ou não, determinada matéria. Existiram também momentos de

trabalho cooperativo. Os objetivos educacionais da aprendizagem cooperativa “(…) são a

realização escolar, a tolerância e a aceitação da diversidade e o desenvolvimento de

competências sociais” (Arends, 2008, p. 345). Segundo Arends (2008), a aprendizagem

cooperativa requer que haja uma participação conjunta numa dada atividade. Ora, a exploração

conjunta leva a uma maior reflexão dos alunos, assim como lhes proporciona inúmeras

oportunidades para a discussão de ideias e estratégias, fazendo com que pensem em várias

situações que, provavelmente, sozinhos não pensariam. “A discussão e o discurso em sala de

aula são centrais a todos os aspetos do ensino” (Arends, 2008, p. 412). Assim, as discussões

na turma foram essenciais e imprescindíveis de serem trabalhadas/exploradas nas aulas de

matemática, pois, e segundo o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1991),

estas originam a partilha de opiniões com os colegas, ajudando os alunos a construir

conhecimento, a aprender outras formas de pensar e a clarificar o seu próprio pensamento.

Durante as discussões, ouvi e valorizei sempre as ideias dos alunos e as suas formas de pensar.

Pois, de acordo com Arends (2008)

se o objetivo do professor é ajudar os alunos a compreender a aula e a ampliar o seu pensamento, então ele deve ouvir cuidadosamente as ideias de cada aluno. Neste caso, o professor não deve julgar e deve manter-se orientado para o questionamento em vez de desafiar e argumentar com os alunos. (p. 426)

Nos distintos momentos de trabalho permiti a manipulação de materiais. Isto é

importantíssimo para que os alunos consigam perceber melhor e com maior facilidade

determinados conceitos, elaborando as suas próprias ideias. Também o documento NCTM

(1991), refere que

28

materiais manipuláveis de diversos tipos são, ao longo de toda a escolaridade, um recurso privilegiado como ponto de partida ou suporte de muitas tarefas escolares, em particular das que visam promover actividades de investigação e a comunicação matemática entre os alunos. (p. 71)

Concluo então que com as pedagogias de ensino utilizadas foi sempre considerado que o

aluno tem de ser levado a encontrar as respostas, a partir dos seus conhecimentos,

manifestando uma participação ativa, interagindo consigo próprio e com os outros que o

rodeiam. Assim, foram criados ambientes estimulantes, onde se proporcionaram aprendizagens

diversificadas e significativas para os alunos, baseadas em atividades matematicamente ricas e

onde tiveram oportunidade de experimentar. Tudo isto surgiu em oposição a algumas

pedagogias onde o aluno é encarado como tendo unicamente um papel de recetor de

informação, sendo visto como um ser não detentor de saber.

3.4. Instrumentos de recolha de dados

Numa investigação é importante existir a recolha de dados, pois “constitui um momento

importante de toda a fase de observação no ciclo da Investigação-Ação” (Dias, 2013, p.37). O

investigador necessita de recolher dados acerca da intervenção para avaliar os resultados da sua

prática educativa (Latorre, 2003). Ora, para recolher informação de um modo sistemático e para

conseguir alcançar os objetivos esperados, é essencial haver uma seleção de alguns

instrumentos de recolha de dados, tendo sempre em conta os alunos e o estudo em causa.

O processo de recolha de dados teve início logo na primeira aula em que conheci e

contactei com a turma, prolongando-se até à última intervenção. Então, para recolher a

informação foram usados vários instrumentos: observação com recurso a gravações

audiovisuais; diário da professora-estagiária subdivido em diário de registos e de reflexão,

produções dos alunos e, por fim, uma ficha de reflexão.

Segundo Máximo-Esteves (2008), a observação possibilita conhecer diretamente os

fenómenos, tal como eles ocorrem, num determinado contexto. Desta forma, é possível

compreender o contexto, as pessoas que o frequentam e as suas interações. A observação que

realizei foi feita ao longo das aulas e em algumas situações informais, como nos momentos de

lazer e descontração dos alunos, ou seja, nos intervalos. Assim, sempre que estive com as

crianças observei-as atentamente para conseguir recolher todas as informações pertinentes.

Estas observações foram realizadas considerando aspetos mais gerais, onde analisei o trabalho

de toda a turma, bem como as interações entre eles, até ao mais particular, onde a minha

29

atenção se focou no trabalho desenvolvido dentro de cada pequeno grupo e até mesmo no

trabalho individual. Ora, houve então momentos de observação distintos, adaptados às

necessidades que surgiam.

Para auxiliar a observação que efetuei do contexto em estudo, foram gravadas em formato

audiovisual as aulas lecionadas no âmbito do projeto, havendo assim, tal como refere Máximo-

Esteves (2008) uma maior fidelidade no registo do que aconteceu. Com as gravações é possível

relembrar, a qualquer altura, pormenores importantes, ou analisar outros que, de alguma forma,

passaram despercebidos durante a observação. As gravações das aulas foram realizadas por

uma câmara de filmar fixa que se situava num local estratégico previamente selecionado. O

objetivo era captar a imagem da parte frontal da sala, ou seja, o local onde se encontrava o

quadro, pois era neste sítio que os alunos registavam e partilhavam as resoluções dos

problemas. Pretendi também captar, durante os momentos de explicação das resoluções e de

discussões em grande grupo, as falas dos alunos. Neste caso, não foi dada grande importância à

obtenção da imagem. Importa ainda salientar que nas situações de trabalho em pequenos

grupos não foi possível perceber, com as gravações, o que os alunos comentavam. Pois, só

existia uma câmara e esta encontrava-se distanciada da maioria dos grupos, sendo que o ruido

existente aquando o trabalho colaborativo, também impossibilitava o entendimento dos diálogos.

Todas as gravações foram integralmente transcritas para o formato de texto, facilitando assim o

processo de consulta.

“Os diários são colectâneas de registos descritivos acerca do que ocorre nas aulas, sob

forma de notas de campo (…), de observações estruturadas e registos de incidentes críticos”

(Máximo-Esteves, 2008, p. 89). O mesmo autor refere que o diário é um dos recursos mais

adequado pela sua enorme valorização descritiva, interpretativa e reflexiva. Como tal, realizei o

diário da professora-estagiária subdivido em diário de registos e de reflexão. O diário de registos

foi concretizado ao longo das aulas, tendo por base as observações que ia realizando. Assim,

neste descrevia todas as situações relevantes que surgiam em cada intervenção. Nas descrições

foram referidas algumas das minhas práticas e também certas condutas, atitudes e falas dos

alunos por mim recolhidas, como por exemplo, eventuais dúvidas, inquietações, comentários e

opiniões que partilhavam sobre algum assunto ou trabalho que estava a ser desenvolvido, e que

considerei como sendo significativo para o estudo. As falas foram conseguidas através da

conversação centrada nas crianças e enquadrada no ambiente de diálogo e de interação entre

aluno(s)-aluno(s) e professora-aluno(s).

30

Relativamente ao diário de reflexão, este foi usado para, com base nas descrições do

diário de registos, refletir sobre como correram as intervenções. Deste modo, analisei e ponderei

acerca do que ocorreu ao longo das aulas, através dos registos de algumas das minhas ações,

percebendo o que fiz bem e o que fiz errado, tentando melhorar os aspetos mais negativos. Para

além disso, também refleti sobre os registos de algumas atitudes e comentários dos alunos,

avaliando opiniões, limitações e dificuldades manifestadas por estes, fazendo reajustes nas

intervenções posteriores, tendo em conta as suas necessidades, interesses e sucesso. Em todas

as reflexões tive sempre um papel crítico, manifestando as minhas ideias, sentimentos,

expectativas e opiniões sobre o assunto em questão. Por fim, com a análise gradual dos diários

consegui perceber a evolução que ocorreu, ao longo do tempo, tanto na minha prática como

professora, como no trabalho desenvolvido pelos alunos.

“A análise dos artefactos produzidos pelas crianças é indispensável quando o foco da

investigação se centra na aprendizagem dos alunos” (Máximo-Esteves, 2008, p. 92). Ora, no

meu projeto, as produções dos alunos, no que diz respeito à resolução de problemas, foram

cruciais, uma vez que, com estas, consegui avaliar com cuidado e pormenorizadamente as

dificuldades que revelavam ao longo da resolução de problemas, detetando assim quais as

etapas do modelo de Polya que falhavam, impossibilitando a existência de uma resolução com

sucesso. Com isto, procurei estratégias adequadas e ajustadas às necessidades dos alunos

para, desta forma, colmatar todas as lacunas. As produções foram também muito importantes,

na medida em que, através da análise e do estudo das diversas resoluções executadas ao longo

das intervenções, me possibilitaram ter uma maior perceção da evolução e da autonomia dos

alunos na resolução dos problemas matemáticos.

Por fim, uma ficha de reflexão permite “desenvolver (…) uma ideia sobre a maneira

como os sujeitos interpretam (…) aspetos” (Bogdan & Biklen, 1994, p. 134). Como tal, no final

das intervenções foi entregue uma ficha de reflexão que continha algumas questões para os

alunos responderem (anexo 1). O objetivo era perceber com que frequência resolviam problemas

antes da minha intervenção e levá-los a refletir, bem como a manifestar as suas opiniões, sobre

a evolução das suas capacidades de resolver problemas e acerca da importância que teve,

nessa evolução, todo o trabalho desenvolvido, principalmente no que diz respeito à utilização das

questões orientadoras. Essas questões ajudavam os alunos a percorrer as fases do modelo que

é a base do meu estudo, ou seja, o modelo de Polya (1995).

31

Com os diferentes instrumentos selecionados pretendia recolher dados que me ajudassem

a responder às questões de investigação, tal como se pode verificar na tabela 2.

Tabela 2 - Instrumentos de recolha de dados que pretendem dar resposta às questões formuladas

3.5. Fases do estudo

No início do ano letivo 2013/2014 foi efetuado um pedido ao diretor do Agrupamento

para autorizar a minha intervenção em escolas do Ensino Básico e, deste modo, implementar o

projeto.

No primeiro dia fui, desde logo, apresentada aos alunos pela professora da turma. Nesse

momento, falei-lhes um pouco sobre mim e referi que ia passar a estar diariamente nas aulas

deles, explicando-lhes o objetivo da minha presença constante. De seguida, entreguei-lhes um

documento para fornecerem ao Encarregados de Educação e devolverem-me devidamente

assinado (anexo 2). Este documento contemplava um pedido de autorização para a gravação

audiovisual das aulas e uma breve apresentação minha, assim como uma sucinta explicação do

estudo que pretendia realizar, garantindo preservar o princípio da confidencialidade dos alunos.

Depois de toda a parte burocrática e as apresentações feitas, comecei então a executar as

fases do meu estudo. Deste modo, a 1ª fase do estudo correspondeu à observação e reflexão

individual e conjunta do observado. A observação subdividiu-se em dois momentos, no primeiro

momento realizei uma observação mais passiva à turma, bem como às interações e práticas da

docente. Todas as semanas, com a ajuda da professora cooperante, definia um assunto que

seria o foco da minha observação, como por exemplo, intervenção dos alunos, interação

professor-alunos, entre outros. Com isto, apercebi-me das dificuldades e capacidades de cada

um, bem como analisei algumas práticas e estratégias utilizadas pela professora, sendo estas

úteis para as minhas intervenções. Ora, neste momento inicial, mantive-me sentada no fundo da

sala, num local onde conseguia observar e analisar tudo o que era pretendido, descrevendo, no

diário de registos, todas as situações e comentários que considerava pertinentes e com

interesse. No segundo momento, para além da observação, comecei a interagir com os alunos,

Observação com recurso às

gravações audiovisuais Diário de reflexão

e de registo Produções dos

alunos Ficha de reflexão

Q1

Q2

Q3

32

auxiliando-os nas tarefas que tinham de realizar, estabelecendo assim uma maior relação com

estes, continuando a efetuar os registos no diário.

Com os dois momentos realizados, percebi o conteúdo onde a turma possuía maiores

fragilidades e limitações, detetando a área da matemática e o tema da resolução de problemas

como sendo o ponto fraco dos alunos. Ora, escolhi o tema resolução de problemas para

desenvolver o meu trabalho de investigação. Após a seleção deste, continuei a observar todo o

contexto, mas de uma forma mais profunda e minuciosa na área da matemática, mais

precisamente, debrucei-me no estudo do desempenho dos alunos na resolução de situações

problemáticas.

Também durante os dois momentos, e apoiando-me no diário de registos realizado, fui

sempre elaborando o diário de reflexão. No final de todas as semanas, reunia-me com a

professora da turma para conversarmos e refletirmos sobre o que tinha ponderado e achava

pertinente partilhar com ela. O diário de reflexão era ainda enviado para a professora

orientadora, permitindo-lhe contactar com a minha perspetiva sobre o que analisava, sendo este

discutido nas reuniões concretizadas.

De uma forma resumida, na 1.ª fase consegui habituar os alunos à minha presença,

ambientar-me, bem como, conhecer o contexto, apercebendo-me assim das capacidades e

limitações dos alunos nos diferentes conteúdos, selecionando o tema de estudo. Ainda nesta

fase fui reconstruindo e reelaborando ideias e conceitos através dos momentos de reflexão.

Na 2ª fase realizei a leitura e análise da literatura no âmbito do tema selecionado. Ora, li

várias obras que me ajudaram a clarificar a definição de problema e da resolução de problemas.

Permitiram-me também, considerando o que analisei na fase anterior, definir que o modelo de

Polya (1995) era o mais adequado para ser trabalhado com a turma. Tal como alude Teixeira

(2013) este modelo é considerado como sendo o mais representativo. Para além disto,

selecionei ainda a tipologia de problemas exibida por Palhares (1997), bem como as estratégias

de resolução consideradas por Vale e Pimentel (2004).

A 3ª fase diz respeito à delineação dos conteúdos a abordar. Depois do momento

anterior já sabia, discriminadamente, tudo o que queria trabalhar para explorar o tema

escolhido. Então, reuni-me com a professora da turma, dias antes da primeira intervenção, onde

lhe comuniquei as minhas ideias e esta me informou quais os conteúdos que tive de abordar nas

aulas que lecionei.

33

Na 4ª fase fiz a realização da planificação e análise conjunta acerca da mesma. Neste

momento comecei por elaborar a planificação da primeira intervenção, sendo esta feita apenas

com base na literatura e no conhecimento do contexto. De seguida, considerando o assunto que

tinha de trabalhar e o que tinha delineado na planificação, fiz a procura e a seleção rigorosa de

diversos problemas desafiantes, interessantes, problemáticos e adequados, tal como expõe

NCTM (2007), para serem empregados na aula. Para além disto produzi ainda os materiais que

ia necessitar, como apresentações, jogos didáticos, entre outros. Depois de tudo preparado, em

conjunto com a professora cooperante, analisei a planificação e tudo o que dela resultou.

É importante aludir que, nesta fase, apenas me refiro à primeira planificação, pois estas

não foram todas elaboradas de uma só vez. À medida que terminava uma intervenção é que

pensava e preparava a seguinte, concretizando assim a planificação e tudo o que era necessário

para a aula em questão.

A 5ª fase diz respeito à intervenção, observação e reflexão individual e conjunta. Aqui

coloquei em ação a planificação que elaborei, sendo sempre reajustada às necessidades que

iam surgindo. Ao longo da intervenção fui observando e analisando o trabalho dos alunos, bem

como registando todos os comentários e descrevendo as práticas que considerasse

interessantes para o estudo, elaborando, deste modo, o diário de registos. As aulas realizadas no

âmbito do projeto foram gravadas em formato audiovisual.

No final da intervenção, houve dois momentos. Primeiramente surgiu a reflexão individual,

onde analisei os registos realizados durante a aula e, posteriormente, fiz uma reflexão geral

sobre esta, fazendo isto parte dos diários de reflexão. No momento seguinte, surgiu a reflexão

em conjunto. Deste modo, reuni-me com a professora cooperante e ainda com a orientadora,

para partilhar ideias, opiniões, emoções, sentimentos, expectativas, desilusões, que tive com a

intervenção, ou seja, partilhei, à semelhança do que aconteceu na 1.ª fase, o que tinha

elaborado nos diários de reflexão. Seguidamente, estas deram-me o seu feedback levando-me a

pensar e avaliar alguns assuntos que consideraram importantes para as minhas práticas futuras.

Ao longo da reflexão conjunta fui registando tudo o que achei relevante para ter em conta nas

planificações e intervenções seguintes. Deste modo, foram criados diálogos com pessoas

críticas, que me ajudaram bastante em todo o processo.

Após a 5.º fase o processo repetia-se de forma cíclica. Ora, no final de cada intervenção,

ou seja, depois da 5.ª fase concluída – intervenção, observação e reflexão individual e conjunta -,

retomava à 4.ª para preparar a aula seguinte - realização da planificação e discussão conjunta

34

acerca da mesma. À medida que realizava as planificações tinha sempre em atenção todas as

ideias que surgiram das observações e reflexões antecedentes, sendo que a planificação

seguinte era sempre mais cuidada e rigorosa do que a anterior. Após a conclusão da 4.ª fase,

voltava a acontecer a 5.ª fase, logo depois, surgia novamente a 4.ª fase, seguindo-se da 5.ª, e

assim sucessivamente. Este é então considerado um processo em espiral que pode ser

representado, segundo o esquema de Latorre (2003), em torno de quatro etapas: planificação,

ação, observação e reflexão.

Passado alguns meses das intervenções na turma do 2.º ano e depois da ida à escola do

2.º ciclo, retomei à escola do 1.º Ciclo para continuar a minha exploração para o estudo,

recolhendo mais informação. A minha atitude foi bastante diferente, pois já conhecia bem a

turma, as suas capacidades e limitações, já estava mais à vontade a lecionar, assim como não

tinha um conteúdo específico que teria de abordar, tendo então mais liberdade para escolher os

problemas, diferentes dos habituais. Ora no meu regresso à escola do 1.º Ciclo voltei a realizar a

4.ª e 5.ª fases, novamente como um processo em espiral.

Finalmente existiu a 6ª fase, a da análise dos dados. A análise dos dados é feita desde a

altura em que se realiza a primeira observação, sendo que, com esta, pode surgir a necessidade

de recolher novos elementos. Porém, foi apenas nesta fase que todos os materiais já estavam

recolhidos. Assim, neste momento, procedi à análise atenta de toda a informação, seguindo-se

da seleção e da categorização desta, para posteriormente escrever o relatório final.

3.6. Análise de dados

A análise de dados tem como objetivo compreender todo o material recolhido durante a

investigação, tratando-o e organizando-o, para posteriormente o divulgar de forma clara. Depois

da exploração dos problemas, reuni o material, selecionando o que considerei mais pertinente

para o meu estudo. Seguidamente estruturei-o e categorizei-o, de forma a estabelecer relações

entre as diferentes categorias consideradas. Tendo em conta a finalidade da minha investigação,

elaborei as categorias de análise atentadas na tabela 3.

35

Tabela 3 - Categorias de análise de dados

Como resolvem o problema Compreensão do problema; Elaboração e execução de um plano; Verificação dos resultados.

Dificuldades Compreensão do problema; Elaboração e execução de um plano; Verificação dos resultados.

Evolução Compreensão do problema; Elaboração e execução de um plano; Verificação dos resultados.

A partir das categorias acima mencionadas, a estrutura elucidada para a concretização da

análise dos dados foi sempre ao encontro das questões de investigação. Deste modo, fiz a

divisão dos dados em três categorias: como resolvem o problema, dificuldades e evolução. Em

cada uma destas foram consideradas e analisadas as quatro fases do modelo de Polya:

compreensão do problema, elaboração e execução de um plano e verificação dos resultados. Ao

longo da análise foi sempre mantida a mesma estrutura.

3.7. Intervenção

Durante as intervenções no 1.º ciclo tive oportunidade de lecionar 9 aulas de matemática.

Com a tabela 4 apresentada abaixo é possível analisá-las, percebendo o tempo despendido em

cada uma, as fichas que foram realizadas (anexo 3), os conteúdos abordados nas distintas

aulas, assim como os seus objetivos.

Tabela 4 - Planeamento das aulas

Aula Tempo Conteúdo Fichas Objetivos

1

2h30min Números ordinais

Ficha 1 Ficha 2 Ficha 3 Ficha 4

Reconhecer os conjuntos dos números inteiros, das diferentes formas de representação dos elementos desses conjuntos e das relações entre eles. Identificar as dificuldades que surgem na resolução de problemas.

2

2h30min Estimativa Ficha 5 Ficha 6 Ficha 7

Compreender os números e a sua utilização de maneira flexível para desenvolver estratégias úteis de manipulação destes. Estimar valores aproximados e decidir a razoabilidade de resultados obtidos por qualquer processo de cálculo ou estimação. Procurar e explorar processos organizados de contagem.

3

2h30min Subtração Ficha 8 Compreender a subtração nos sentidos retirar, comparar e completar. Reconhecer as operações. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas

36

4

2h30min Subtração (Continuação)

Ficha 9 Compreender a subtração nos sentidos retirar, comparar e completar. Reconhecer as operações. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

5

2h30min Multiplicação Ficha 10 Ficha 11

Compreender a multiplicação nos sentidos aditivo e combinatório. Reconhecer as operações. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

6

2h30min Multiplicação (Continuação)

Ficha 12 Compreender a multiplicação nos sentidos aditivo e combinatório. Reconhecer as operações. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

7

2h30min Subtração Ficha 13 Compreender a subtração nos sentidos retirar, comparar e completar. Reconhecer as operações. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

8

2h30min Não se aplica um conteúdo específico

Ficha 14 Ficha 15

Reconhecer e trabalhar diferentes estratégias que são necessárias à resolução de problemas. Recolher e organizar dados relativos a uma situação e representá-los de modos adequados. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

9

2h30min Não se aplica um conteúdo específico

Ficha 16 Ficha 17

Reconhecer e trabalhar diferentes estratégias que são necessárias à resolução de problemas. Recolher e organizar dados relativos a uma situação e representá-los de modos adequados. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

Em todas as aulas apresentadas anteriormente, selecionei problemas de algumas das

fichas, analisei-os e englobei-os no meu estudo. Esta seleção foi feita tendo em conta as

questões de investigação, ou seja, elegi os problemas que melhor me ajudavam a responder às

questões e, de certo modo, melhor evidenciavam todo o trabalho desenvolvido.

Seguidamente encontra-se a tabela 5, onde é possível perceber a que aula e a que ficha

correspondem os problemas usados para a análise, qual o número do problema na ficha e o

respetivo nome de cada um.

Tabela 5 - Problemas usados para a análise

Aula Ficha Nº problema na ficha Nome do problema

1 3 Ficha constituída apenas por 1 problema. Concurso de leitura. 3 8 Ficha constituída apenas por 1 problema. Visita à quinta de Santo Inácio. 4 9 1. Disfarces de carnaval.

5 11 1; 2. Pães com diferentes recheios; os vernizes da Mariana.

8 14 Ficha constituída apenas por 1 problema. Coelhos e faisões. 8 15 Ficha constituída apenas por 1 problema. Filas de meninos.

37

Os problemas foram colocados com vista a detetar, bem como a ajudar a eliminar as

lacunas e as dificuldades que os alunos possuíam durante as resoluções. Assim, todos foram

trabalhados tendo sempre por base as fases do modelo de Polya.

O problema da ficha 3 foi dos primeiros a ser realizado e dos poucos que não tive a

preocupação de abordar um conteúdo previamente imposto pela docente. Este funcionou como

um teste, permitindo-me investigar detalhadamente as dificuldades que os alunos possuíam.

Considerei ser o ideal para trabalhar na primeira aula, uma vez que era diferente daquilo que os

alunos estavam habituados, ou seja, não havia a aplicação das quatro operações. Para além

disso, para o resolver da forma mais adequada, era importante que o enunciado fosse muito

bem percebido, que detetassem qual a informação essencial, bem como definissem e

executassem um plano e, finalmente, verificassem os resultados obtidos. Assim sendo, com este

consegui compreender como é que os alunos resolviam os problemas, bem como gerar uma

opinião acerca das capacidades e dificuldades que apresentavam durante as resoluções,

detetando, então, as fases do modelo de Polya que estavam a falhar.

Inicialmente foi feita uma leitura em grande grupo e, logo de seguida, solicitei aos alunos

que começassem a resolver o problema. Como estavam com dificuldades optei por explorar os

significados de algumas palavras do texto que estavam a causar confusão. Seguidamente,

resolveram-no individualmente e da forma que acharam mais correta, sendo-lhes dada total

liberdade. Despois de estar finalizado, alguns alunos, com ideias distintas, foram ao quadro

registar e explicar como o resolveram, sendo, posteriormente, discutidas com toda a turma.

Com base no que averiguei, nas aulas posteriores já intervim no sentido de ajudar os

alunos a melhorar o seu desempenho face às falhas existentes, procurando formas mais

adequadas para tal. Deste modo, achei necessário e urgente pensar em boas maneiras para

levar os alunos a eliminar, gradualmente, as lacunas existentes nas fases do modelo de Polya e,

consequentemente, ajudá-los a terem sucesso nas suas resoluções. Segundo Polya (2003), se

os alunos forem ensinados a percorrer conscientemente e sequencialmente as quatro fases do

seu modelo, poderão vir a ter êxito na resolução de problemas. Ora, julguei conveniente utilizar

um conjunto de processos para facilitar a compreensão do problema, ou seja, ler em voz alta,

sublinhar a informação importante, descodificar palavras desconhecidas e recontar o problema.

Juntamente com estes achei oportuno implementar três questões orientadoras: o que me é

dado, o que quero saber e como vou fazer. Abaixo existe a tabela 6 onde explica o objetivo da

utilização de cada uma das questões.

38

Tabela 6 - Objetivo das três questões usadas durante a resolução de problemas

Estas questões foram mostradas e debatidas em grande grupo através da discussão e

troca de ideias entre mim e os alunos, sendo, para tal, aplicado um problema modelo que foi

usado como exemplo para responder às questões em causa, facilitando, desta forma, o

entendimento. Como se pode verificar com a tabela 6, não existe nenhuma questão que leve

diretamente os alunos a executar a fase da verificação dos resultados, pois esta pretendia ser

trabalhada com a afirmação existente em todos os problemas, explica como pensaste. A

afirmação tinha como finalidade fazer com que os alunos, depois de resolver o problema,

elucidassem o modo como pensaram, sendo que assim explicavam/justificavam claramente o

que fizeram até chegar à solução encontrada, conseguindo perceber se o resultado era

exequível, sendo, deste modo, realizada a verificação dos resultados.

Ora, nas intervenções seguintes comecei então a trabalhar, com o intuito de eliminar as

dificuldades existentes nas fases do modelo de Polya, usando vários problemas. Nestas optei por

explorar detalhadamente uma fase de cada vez, com o auxílio dos procedimentos acima

referidos, e depois de todas terem sido abordadas minuciosamente, utilizar mais problemas para

as pôr em prática todas ao mesmo tempo. Julguei que o trabalho por etapas teria mais resultado

do que abordar e explorar todas as fases de uma vez só. Na minha opinião, e tendo em conta as

dificuldades que os alunos manifestavam na resolução de problemas, se abarcasse logo tudo

com pormenor, seria muito mais confuso e menos vantajoso. Apesar de considerar uma fase de

cada vez em cada problema, as restantes não eram esquecidas, sendo que sem todas elas não

era possível chegar-se à solução, contudo eram abarcadas mais superficialmente.

Após isto, apliquei o problema da ficha 8. Este foi escolhido de forma cautelosa, e tinha

como objetivo explorar a matéria dada anteriormente, assim como analisar e desenvolver com

maior profundidade a fase da compreensão do problema. Para auxiliar a exploração da primeira

fase, foram aplicadas as questões: o que me é dado e o que quero saber.

O que me é dado?

Ajuda na recolha sistematizada da informação mais relevante. Isto é essencial para haver uma boa compreensão do problema e facilitar a consulta dos dados para a elaboração de um plano. Pode ainda ser usado na parte da verificação dos resultados, para haver a confirmação de que toda a informação necessária foi utilizada.

O que quero saber?

Auxília na definição da incógnita, sendo importante para delinear um plano, pois este tem de responder à incógnita. Esta questão é também crucial na etapa da verificação dos resultados, pois com a incógnita encontrada e registada é mais fácil para se averiguar se a solução do problema corresponde à incógnita ou se é necessário elaborar-se um novo plano para chegar à solução certa.

Como vou

fazer?

Esta questão é crucial para levar os alunos a elaborar e executar um plano. Para responderem acertadamente é necessário ter as anteriores respondidas de forma correta, pois ao recorrerem sempre às respostas das anteriores, a elaboração e execução de um plano será mais fácil.

39

Tendo em vista o objetivo principal da utilização do problema, aliei às questões os

procedimentos referidos anteriormente para ajudar na compreensão do mesmo. Assim, escolhi

um aluno para o ler em voz alta, seguidamente tentei perceber se havia palavras que

desconhecessem para os ajudar na decifração. Depois, pedi a um outro que recontasse, por

palavras suas, o que tinha acabado de ser lido. Então, a leitura, a descodificação de palavras

desconhecidas e o reconto são aspetos essenciais a ter em conta na compreensão do problema.

O reconto foi a nova estratégia que implementei em relação ao problema anterior, pois Polya

(1995) refere que através do reconto, por palavras suas, do que foi lido é possível comprovar a

compreensão do problema. Assim, com este momento, foi dedicado algum tempo à análise

cuidadosa do enunciado. Depois disto cada aluno respondeu à primeira questão, o que me é

dado, recolhendo a informação do problema. Este possuía, propositadamente, uma grande

quantidade de informação e não era tão direto como o que estavam acostumados, não detendo

a informação explícita. Escolhi um enunciado com estas caraterísticas para conseguir perceber

como é que os alunos iam reagir, e para os levar a aprender a organizarem-se no meio de todos

os dados, selecionando e recolhendo apenas o essencial, uma vez que este passo do tratamento

da informação é fundamental para a compreensão do problema. Posteriormente passaram a

responder à questão o que quero saber, onde não houve qualquer dificuldade. Sem o decifrar da

incógnita não conseguiam responder acertadamente, sendo esta importante para

compreenderem o problema. Por fim responderam à questão como vou fazer. Esta foi analisada

superficialmente, indo alguns alunos ao quadro, no final da resolução, registar e explicar como

resolveu, sendo, posteriormente, discutidas as suas ideias com toda a turma, respondendo

assim à afirmação explica como pensaste.

Com a ficha 9 pretendia verificar se os alunos já conseguiam responder adequadamente

à questão o que me é dado, continuando a explorar de forma detalhada a primeira e a segunda

questão, o que me é dado e o que quero saber. Ora, o enunciado continuava a não ser tão direto

como o que os alunos estavam habituados. Assim, continuei a desenvolver e a prestar especial

atenção à fase da compreensão do modelo de Polya, colmatando e realçando aspetos que não

ficaram muito bem percebidos com o problema anterior. A ficha 9 também tinha por finalidade

abordar e praticar a matéria dada anteriormente.

Antes dos alunos começarem a trabalhar individualmente o problema houve a leitura

deste, onde sugeri que, devido às dificuldades na recolha da informação essencial manifestadas

no problema anterior, seria melhor, à medida que iam lendo, sublinhar a informação que

40

achavam importante. Seguidamente ocorreu a decifração de palavras desconhecidas, o reconto

e, logo de depois, passaram para a resolução, respondendo às perguntas orientadoras, incluindo

a última questão, como vou fazer, à qual responderam ainda sem grande detalhe. No final da

resolução, foram escolhidos alguns alunos para as apresentar no quadro e explicarem-nas,

sendo debatidas as suas ideias com toda a turma, trabalhando, assim, a afirmação explica como

pensaste.

Na aula seguinte, apliquei a ficha 11. Relativamente ao primeiro problema desta ficha,

este foi o selecionado para começar a analisar profundamente a questão como vou fazer,

realizando assim um estudo minucioso da segunda, terceira e quarta fases do modelo de Polya.

Ao longo das resoluções, fui-me apercebendo que, na fase da elaboração e execução de um

plano, os alunos não conseguiam resolver problemas que necessitassem da utilização de

estratégias de resolução, para além das quatro operações, sendo que quando deparados com

um problema pensavam de imediato “que conta vamos utilizar?”. Com efeito, considerei

enriquecedor fornecer-lhes problemas desafiantes, interessantes, problemáticos e adequados

que fortalecessem na criança o raciocínio e a criatividade na procura de várias estratégias para

alcançar o resultado final, como refere o NCTM (2007). Desta forma, julguei que este problema

seria o indicado para os alunos trabalharem e aplicarem distintas estratégias de resolução,

levando-os a pensar um pouco mais além da aplicação das operações. Com este, também tinha

como objetivo, insistir mais detalhadamente na explicação, por parte dos alunos, de como

pensaram, fazendo então a verificação dos resultados. Nos problemas anteriores esta fase foi

trabalhada muito superficialmente, contudo considerei que neste momento lhe deveria dar

especial atenção, uma vez que o facto de usarem distintas estratégias de resolução poderia ser

um fator importante para os alunos sentirem mais necessidade de explicar como pensaram.

Note-se ainda que o problema proporcionou um grande desafio para os alunos, uma vez que, ao

contrário do que estavam habituados, resolveram-no sem ter abordado o conteúdo nele

mencionando, servindo assim como introdução ao assunto.

Antes de começarem a resolver, respondendo às perguntas, e para continuar a trabalhar a

fase da compreensão, houve a leitura em voz alta, a decifração de palavras desconhecidas, o

reconto de um dos alunos. Neste não foi necessário sublinhar a informação essencial, pois tudo

isto acabava por já estar sistematizados no enunciado. Com efeito, usei-o para mostrar aos

alunos como se sistematiza a informação de forma a facilitar os passos posteriores. Ora,

seguidamente, responderam apenas à segunda e terceira questão, resolvendo o problema, em

41

pequenos grupos, permitindo o trabalho cooperativo. Elegi o trabalho cooperativo, uma vez que

admiti que com a troca de ideias e entreajuda, conseguiriam responder mais facilmente à

pergunta como vou fazer, delineando e executando com maior facilidade um plano, utilizando

varias estratégias de resolução e, através da troca de ideias, a explicitação de como pensaram

também ficaria mais fácil. Durante a resolução, fui dando dicas aos alunos, recorrendo a

situações do quotidiano destes, com o intuito de os ajudar a colmatar dificuldades que

possuíam. Quando todos terminaram, foram selecionados alunos com diferentes resoluções para

as registarem no quadro e explicarem, sendo debatidas todas ideias com a turma. Neste

momento dei especial atenção à pergunta como vou fazer, pois era a primeira vez que a

utilizavam com um elevado grau de exploração.

No que diz respeito ao segundo problema da ficha 11 este serviu-me para verificar a

evolução, por parte dos alunos, na capacidade de resolver problemas, atestando a eficácia e o

resultado de todo o trabalho feito anteriormente, sendo então abrangidas todas as fases do

modelo de Polya. Desta forma, foi resolvido individualmente para me permitir apurar o progresso

de cada um dos alunos em particular, fazendo-me perceber se conseguiram colmatar as

dificuldades que continham em cada fase. Este possuía muita informação e até alguns dados

extra que não eram necessários para a resolução, possibilitando-me detetar as evoluções na fase

da compreensão. Era também um problema que proporcionava o uso de estratégias de

resolução para além da aplicação das operações e continha a afirmação explica como pensaste,

para, assim, me proporcionar a análise da evolução dos alunos nas últimas fases do modelo de

Polya. À semelhança do anterior, depois de estar resolvido, serviu-me como modelo para abordar

o conteúdo pretendido.

Toda a resolução aconteceu como o habitual, ou seja, com a leitura em voz alta, a

decifração de palavras desconhecidas, o reconto feito por um aluno e sublinhar a informação

mais importante. Despois disto começaram a responder às questões sendo que todas foram

trabalhadas com o mesmo grau de profundidade. Durante a resolução, visto que estava a haver

dificuldades por parte de dois alunos, foram usados materiais para os auxiliar na concretização

desta. Logo após a conclusão de todo este processo e o resultado final encontrado, alguns

alunos foram ao quadro registar e explicar como resolveram, sendo debatidas as suas ideias

com toda a turma.

Os problemas das fichas 14 e 15 foram aplicados aquando a minha segunda ida à

escola. Optei por abranger problemas diferentes dos que já tinha feito, uma vez que já possuía

42

mais liberdade, no sentido em que não tinha nenhum conteúdo para abordar nem para

trabalhar, daí na tabela 3 não haver um conteúdo específico. Estes, como eram mais complexos

e de caráter mais investigativo, despertaram maior interesse e entusiasmo nos alunos.

Ambos serviram para me ajudar a compreender se a evolução que foi notada nos alunos,

na minha primeira ida à escola, continuava e, até mesmo, se tinha aumentado, ou se acabaram

por esquecer e não praticar mais o que tinha sido trabalhado. Ora, queria detetar se os alunos,

passados já alguns meses, continuavam a aplicar as três questões, o que me é dado, o que

quero saber e como vou fazer, e, em caso afirmativo, se respondiam acertadamente a cada

uma, ou se já se desprendiam destas e mesmo assim eram capazes de seguir as fases do

modelo de Polya, tendo sucesso nas resoluções. Portanto, pretendia perceber se ainda eram

capazes de recolher apenas a informação relevante, elaborar e executar planos, usando

estratégias de resolução, bem como, realizar a verificação dos resultados, empregando, desta

forma, as fases do modelo de Polya. Assim julguei mais acertado não lhes incutir a ideia de que

tinham de responder às questões e sublinhar a informação essencial, deixando-os à vontade

para resolver como considerassem. Contudo, nos momentos de correção e debate em grande

grupo, centrei-me em recordar e explorar com os alunos as diferentes fases do modelo de Polya.

No problema da ficha 14 os alunos fizeram a leitura em voz alta, a decifração de palavras

desconhecidas e o reconto. Após o reconto foram descodificadas algumas palavras

desconhecidas para os alunos e, logo de seguida, passaram para a resolução do problema,

sendo que uns recorreram às questões e outros não. Este foi feito individualmente para, mais

uma vez, me possibilitar uma análise particular da forma como cada um resolvia o problema. No

final da resolução, selecionei alguns alunos, com base no que tinham feito, para registarem e

explicarem no quadro como resolveram, sendo debatidas as ideias com toda a turma.

Por sua vez, o problema da ficha 15, como habitual, um aluno começou por o ler em

grande grupo. Posteriormente fez-se a decifração de palavras desconhecidas. Logo de seguida,

um outro aluno recontou o problema por palavras suas. No final do reconto pensaram,

discutiram e trocaram ideias, em pequenos grupos, sobre possíveis formas de resolução, sendo

ainda partilhadas com toda a turma. Depois deste momento voltaram a partilhar opiniões em

pequenos grupos, mas desta vez com o auxílio de materiais. Seguidamente expuseram,

novamente, as conclusões que tinham chegado, sendo criado mais um momento de discussão.

Finalmente, é importante salientar que os primeiros problemas têm um grau de

dificuldade mais baixo, contudo, para aqueles alunos, naquele nível de aprendizagem, era

43

encarado como um problema e não como um exercício. O grau de dificuldade foi aumentando

em cada intervenção, pois, o nível de aprendizagem evoluiu e as capacidades dos alunos

também, sendo assim capazes de realizar problemas mais complexos. Tal como refere Vieira et.

al (2006) o que pode ser um problema para uma criança num nível de aprendizagem, poderá

passar a ser um exercício num nível posterior. Os dois últimos problemas são bastante

diferentes dos anteriores, tendo um grau de dificuldade muito elevado, pois, para além de saber

que os alunos, naquele momento, já eram capazes de os resolver, não tive também de, com

estes, preocupar-me em abordar um conteúdo definido pela docente, havendo uma maior

liberdade na seleção, possibilitando-me procurar problemas mais desafiantes.

Friso ainda que em todas as intervenções, à medida que resolviam os problemas,

circulava sempre pelos lugares estando atenta a todas as resoluções, dando-lhes as dicas que

achava convenientes para os ajudar a colmatar dificuldades que iam surgindo, prestando um

apoio especializado aos dois alunos com mais dificuldades de aprendizagem. Em todas as aulas

também tive sempre o apoio da professora da turma e da colega estagiária, sendo que assim

conseguíamos chegar mais facilmente e com maior eficácia a todos os alunos. É igualmente

relevante mencionar que todas as fichas de trabalho eram recolhidas no final de cada aula, para

posterior análise.

Como referido inicialmente, com a observação destes problemas pretendia responder às

questões de investigação. Deste modo, após a análise destes, já é possível perceber a que

questão respondi com cada um, como se pode constatar na tabela 7. Ora, com a ficha 1 foi-me

possível responder às questões 1 e 2 e com as fichas seguintes consegui responder às três

questões, pois ia analisando em todas elas a forma como os alunos resolviam os problemas, que

dificuldades evidenciavam, bem como perceber a evolução que havia de um problema para o

outro, tendo por base o trabalho feito. É importante aludir que quando me refiro às fichas, estou

apenas a mencionar os problemas indicados na tabela 4 que utilizei na análise, e não todos os

problemas que as constituíam.

Tabela 7 - Fichas que respondem às questões de investigação

Ficha 3 Ficha 8 Ficha 9 Ficha 11 Ficha 14 Ficha 15

Q1

Q2

Q3

44

Ainda ao longo das intervenções no 2.º ciclo lecionei 5 aulas de matemática. A tabela 8

apresentada seguidamente mostra, sistematizadamente, cada uma das aulas exibindo a duração

de cada uma, as fichas que foram realizadas (anexo 4), os conteúdos abordados nas distintas

aulas, bem como os seus objetivos.

Tabela 8 - Planeamento das aulas

Importa salientar que dado o teor dos problemas não foi possível integrá-los no relatório,

apesar de todos terem sido analisados. Ora, com a oportunidade que tive de aplicar diferentes

fichas, construídas com alguma rigidez imposta pelo docente da turma, foi-me possível realçar a

opinião que possuía relativamente à importância de trabalhar e estimular as capacidades dos

alunos, em oposição à ideia de subestimá-las. Assim, é crucial desafiar os alunos nas aulas de

matemática e isso não é possível se recorrermos apenas a exercícios de aplicação e de

respostas previsíveis. Pois, só desta forma é que estes ficam devidamente preparados para

conseguir encarar, com uma postura ativa e investigativa, um problema, não se acostumando a

resolver apenas situações rotineiras.

Aula Tempo Conteúdo Fichas Objetivos

1

90min Aproximação por defeito e por excesso; Arredondamentos.

Ficha 1

Determinar aproximações de números racionais positivos por excesso ou por defeito, ou por arredondamento, com uma dada precisão. Identificar as dificuldades que surgem na resolução de problemas.

2

90min Fração irredutível; Adição e subtração de frações com o mesmo denominador.

Ficha 2 Ficha 3

Desenvolver a aptidão para escrever uma fração irredutível equivalente a uma fração dada. Explorar a capacidade de adicionar e subtrair dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

3

90min Adição e subtração com denominadores diferentes; Adição e subtração com numerais mistos.

Ficha 4 Explorar a capacidade de adicionar e subtrair dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador. Adicionar e subtrair dois números racionais não negativos expressos como numerais mistos. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

4

90min Produto de um número natural por uma fração; Multiplicação de números racionais.

Ficha 5 Ficha 6

Compreender a multiplicação de números racionais não negativos e do produto de um número natural por uma fração, bem como adquirir aptidão para usá-las em situações concretas e de maneira flexível para fazer julgamentos matemáticos e desenvolver estratégias. Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

5 90min Divisão de

números racionais. Ficha 7 Definir o quociente de dois números racionais positivos.

Explorar as etapas que são necessárias à resolução de problemas.

45

CAPÍTULO IV

APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Este capítulo está dividido em dois subcapítulos, sendo que a estrutura de ambos vai ao

encontro das questões de investigação elaboradas. Deste modo, no primeiro subcapítulo

encontra-se uma breve introdução para cada problema selecionado, seguindo-se uma

apresentação da forma como cada um deles foi resolvido, bem como uma identificação

pormenorizada das dificuldades patentes também em cada um, sendo ainda referidas algumas

práticas realizadas com o intuito de eliminar as dificuldades. No segundo subcapítulo, encontra-

se uma síntese global dos resultados em estudo, ou seja, existe o cruzamento da informação

mais importante recolhida e abordada na secção anterior, como forma de se perceber a

evolução dos alunos na capacidade de resolver problemas.

4.1. Problemas matemáticos

4.1.1. Problema 1 – concurso de leitura

A figura 4 apresenta o problema concurso de leitura presente na 1.ª aula. Este pode-se

encaixar nos problemas de processo segundo a tipologia apresentada por Palhares (1997),

sendo então diferente daquilo que os alunos estavam habituados, pois não havia um algoritmo,

conteúdo aprendido anteriormente que pudesse ser aplicado, bem como não era necessário

recorrer-se às operações para o resolver, necessitando do uso de algumas estratégias de

resolução.

Realizou-se um concurso de leitura. Na sala de aula os alunos elegeram os quatro leitores da turma:

• O Adriano ficou depois do Miguel;

• O Rui ficou antes do Pedro;

• O Miguel ficou atrás do Pedro.

Escreve o nome dos quatro leitores por ordem de eleição. Explica como pensaste.

Figura 4 - Enunciado do problema concurso de leitura

1.º 4.º 3.º 2.º

46

Como resolvem o problema

Inicialmente foi feita uma leitura do problema, seguindo-se da resolução do mesmo. Neste

foi possível encontrar dois tipos de resoluções. Ora, um número reduzido de alunos, mais

especificamente quatro deles, antes de colocar os nomes dos concorrentes nos retângulos

correspondentes, optou por identificar os leitores do 1.º ao 4.º lugar, organizando-os assim por

ordem crescente, atribuindo, por iniciativa própria, a classificação de satisfaz, satisfaz bastante,

excelente e excelente parabéns, que corresponde ao primeiro, segundo, terceiro e quarto lugar.

Fizeram-no uma vez que é esta a classificação que costumam usar quando fazem os seus

concursos de leitura nas aulas de português. Deste modo, os alunos elaboraram uma lista

organizada dos concorrentes pela ordem correta, colocando 1.º antes desta, indicando que a

fizeram em primeiro lugar. Só depois da ordenação feita é que situaram os nomes nos lugares

destinados à resposta, escrevendo 2.º para assinalar que a realizaram em segundo lugar, como

é notório na figura 5.

Figura 5 - Resolução da Sara

A grande maioria dos alunos atribuiu de imediato os nomes às figuras, sem fazer uma

ordenação prévia dos lugares por ordem crescente, como se constata na figura 6, obtendo todos

a solução errada. Na resolução da figura 6, encontra-se ainda uma transcrição da resposta.

Quando questionei os alunos sobre qual a finalidade daquela transcrição, referiram que era para

explicar como pensaram, para, deste modo, responderem à afirmação explica como pensaste.

Grande parte da turma nem sequer tentou fazer uma explicação.

47

Figura 6 - Resolução do Bruno

Em ambas as situações, percebe-se que os alunos pensaram de modos semelhantes,

sendo que liam uma frase e colocavam o nome dos concorrentes, fazendo as retificações do que

tinham acabado de escrever com base no que liam nas frases seguintes, notando-se as rasuras

na figura 5 e 6, verificando assim se as respostas que davam satisfaziam as condições seguintes

do problema. Desta forma, os alunos fizeram tentativas. Contudo, o sucesso das resoluções e o

que as diferenciou foi o uso de uma outra estratégia que complementou a anterior, a lista

ordenada. Ora, uns leram e preencheram diretamente na figura, ou seja, no espaço destinado à

resposta, e outros na ordenação que tinham feito.

No fim das resoluções alguns alunos foram representá-las ao quadro, sendo as ideias

expostas discutidas com toda a turma.

Dificuldades

Quando distribuí os problemas e após a primeira leitura, praticamente nenhum aluno

estava a conseguir resolvê-lo. À medida que fui circulando pela sala, senti alguma agitação,

detetando que a maioria dos alunos estava a conversar com os colegas do lado, deixando o

problema de parte. Decidi então criar um diálogo com alguns deles, individualmente, colocando

algumas questões para perceber o que estava a acontecer, como se constata no episódio 1.

Episódio 1 Daniela: Vamos lá começar a resolver. Se o Adriano ficou depois do Miguel, escreve lá o

nome de um e de outro nas posições corretas. (O Bruno coloca o Adriano primeiro e só depois o Miguel). Daniela: Será que está certo, Bruno? Bruno: Acho que sim.

48

Daniela: Olha vamos ver a frase seguinte. O Rui ficou antes do Pedro, representa lá corretamente estes dois meninos.

(O Bruno volta a falhar e a trocar os lugares dos dois).

Com isto, averiguei que estavam com muitas dificuldades em interpretar o problema, ou

seja, em decifrar as indicações dadas para, seguidamente, começarem a resolvê-lo, chegando

mesmo a partilhar comigo: “não estou a perceber o problema, por isso não consigo resolver”. A

impossibilidade de decifrar a informação consistia na não compreensão do significado de

algumas palavras existentes no enunciado, como “antes” e “depois”. Deste modo, optei por

trabalhar o enunciado, explorando o significado das palavras, sendo mesmo exemplificadas e

simuladas pelos alunos da turma. Alguns colocaram-se em fila e, com toda a turma, foram

discutindo quem estava antes, depois, à frente e atrás, substituindo estas palavras por outras

mais comuns, como se pode ver seguidamente.

Episódio 2 Daniela: Reparem, o Jaime está nesta posição, então está primeiro ou a seguir à Isabel? Luísa: Vem primeiro. Daniela: Isso significa que está antes ou depois da isabel? Bruno: Está antes.

Depois desta explicação, todos os alunos resolveram o problema. A grande maioria errou

uma vez que, apesar de todo o trabalho de compreensão e de, ao longo deste, demonstrarem já

perceber o problema, como se contatou com o episódio 2, havia uma outra falha, o não

conhecimento de estratégias de resolução. Assim, apesar de ser notório que todos pensaram em

procedimentos para chegar à solução, fazendo tentativas, mostrando já compreender o

enunciado, não utilizaram uma estratégia essencial à resolução do problema e que era

importante para alcançarem a resposta correta, a produção de uma lista organizada, como se

pôde ver na figura 6. Não o fizeram, pois estas eram desconhecidas para quase todos, uma vez

que não era usual utilizarem nem contactarem com estas estratégias nas aulas

Relativamente à afirmação existente no enunciado explica como pensaste, o objetivo era

fazer com que os alunos explicassem o modo como pensaram, sendo que assim realizavam a

verificação dos resultados que obtiveram. Os que tentaram fazer reforçaram a ideia do que

tinham escrito, transcrevendo integralmente a resposta do problema, como se deteta na figura 6,

presente anteriormente. Isto permitiu-me perceber que os alunos tinham dificuldades em

explicar como pensaram, não estando acostumados a tal, havendo assim limitações na fase da

verificação dos resultados.

49

Os restantes nem tentaram explicar, tal como solicitava o problema, resolvendo-o e dando-

o por terminado, como se verifica na resolução da Cátia, presente na figura 7, não revelando

assim, evidências da realização da etapa da verificação dos resultados. Observo ainda que,

muito provavelmente, não pensaram sequer nas respostas que deram, pois caso o tivessem

feito, certamente, ter-se-iam apercebido que a resolução estava errada e teriam efetuado as

devidas correções, falhando, deste modo, a última fase do modelo de Polya.

Figura 7 - Resolução da Cátia

Com a análise do problema anterior, na aula seguinte já trabalhei no sentido de eliminar

as lacunas existentes, selecionando o problema da figura 8 exposto seguidamente.

4.1.2. Problema 2 – visita à quinta de Santo Inácio

Na figura 8 encontra-se o problema visita à quinta de Santo Inácio, da aula 3, onde os

alunos usaram três questões para os auxiliar na resolução: o que me é dado, o que quero saber,

como vou fazer. Este teve como objetivo explorar a matéria dada anteriormente, podendo-se

assim empregar nos problemas de conteúdo segundo a tipologia apresentada por Palhares

(1997), uma vez que necessita de conhecimentos matemáticos há muito pouco tempo

adquiridos, ou, para alguns alunos, ainda não adquiridos na totalidade, a subtração. Para além

disto, com este problema também pretendia explorar e desenvolver mais profundamente a fase

da compreensão do problema.

50

Numa manhã, várias turmas da escola da Beatriz foram visitar a quinta de Santo Inácio.

Ao todo a escola da Beatriz tem 160 alunos.

Sabendo que à visita foram:

1 turma do 1º ano com 17 alunos;

2 turmas do 2º ano, uma com 15 alunos e outra com menos 3 alunos;

1 turma do 3º ano com 20 alunos;

2 turmas do 4º ano, uma com 18 alunos e outra com mais 4 alunos;

Quantos alunos da escola da Beatriz não foram visitar a quinta de Santo Inácio? Explica como pensaste.

Figura 8 - Enunciado do problema visita à quinta de Santo Inácio

Como resolvem o problema

Após a discussão e exemplificação do que pretendia com cada uma das questões

orientadoras, entreguei o problema da figura 8, realizando-se de seguida a leitura do mesmo, a

decifração de palavras desconhecias e o reconto. Deste modo foi explorada a compreensão do

problema.

Posteriormente, os alunos responderam à questão o que me é dado. Nesta era pretendido

que recolhessem e sistematizassem a informação crucial, contudo a grande maioria fez uma

transcrição integral do enunciado, como se visualiza na figura 9.

Figura 9 - Resposta da Marisa a uma questão orientadora

Apenas 4 alunos registaram a informação essencial. Estes descodificaram-na de imediato,

realizando cálculos prévios que não foram apresentados, determinando os alunos existentes em

cada turma, como é visível na figura 10.

51

Figura 10 - Resposta do Dinis a uma questão orientadora

Logo de seguida todos responderam corretamente à questão o que quero saber, sendo

possível confirmar-se na figura 11. E, por fim, responderam à terceira questão como vou fazer.

Neste momento, os alunos que não tinham ainda calculado o número dos alunos de todas as

turmas, fizeram-no como cálculo auxiliar, tal como se constata na resolução da Marisa, na figura

11. Depois, independentemente da resposta que deram à questão o que me é dado, todos

conjugaram os algarismos fazendo uma adição e, seguidamente, uma subtração, efetuando,

deste modo, os cálculos para responder à questão, verificando-se também na figura 11.

Figura 11 - Resolução da Marisa

No fim das resoluções foram alguns alunos representá-las ao quadro, sendo as ideias

expostas discutidas com toda a turma.

Dificuldades

Apesar da utilização da questão o que me é dado levar todos os alunos a recolher e

registar a informação, como se constata nas figuras 9 e 10, percebi que esta tinha de continuar

a ser trabalhada. Pois a grande maioria dos alunos apresentou muitas dificuldades em distinguir

a informação essencial da acessória e em esquematizá-la, uma vez que quase toda a turma fez

52

a transcrição completa do problema, como se de um texto narrativo se tratasse. Tal pode-se ver

na resolução da Marisa, na figura 9. Os que não diferenciaram a informação essencial da

acessória, apesar de terem chegado à resposta correta, manifestaram mais dificuldades em

resolver o problema, referindo: “oh professora, o problema tem tanta coisa que até me confundo

ao resolver”. Quando mencionavam “tanta coisa” estavam a querer dizer que tinha muitos

dados. Ora, acabavam por se perder no meio da informação, uma vez que o problema era mais

extenso do que aquilo que estavam habituados, sendo assim mais complicado o processo de

consulta durante a resolução, visto que não havia uma recolha apenas do essencial e de forma

estruturada.

Com as falhas encontradas, à medida que os alunos partilhavam com a restante turma as

suas resoluções, senti necessidade de os questionar no sentido de os orientar para o que era

esperado com a seleção e recolha dos dados, permitindo-lhes perceber, mais uma vez, o que

era pretendido com a primeira pergunta, ajudando-os a reformular algumas ideias e a trabalhar a

fase da compreensão do problema. Tal analisa-se no episódio 3.

Episódio 3 (…)

(Após um aluno ter transcrito para o quadro todo o enunciado do problema para responder à questão o que me é dado).

Daniela: E o que nos é dado é o quê? António: São todas as informações que estão no texto. Daniela: Será que estás a responder bem? São mesmo todas as informações? Vais

precisar disto tudo para resolver o problema? (O aluno olha para o que escreveu e pensa antes de responder). António: Não. Só temos de escrever a informação importante, o que vamos precisar para

resolver o problema. Então o que escrevi não está bem! Daniela: Exato! Apenas temos de escrever a informação que precisamos para resolver o

problema. Por isso é que, por exemplo, esta primeira parte não é importante (apontando para a frase numa manhã, várias turmas da escola da Beatriz foram visitar a quinta se Santo Inácio). Porque isto não é relevante para resolvermos o problema. E acham também que com a informação escrita desta forma conseguem consultá-la facilmente?

Dinis: Não. Assim fica muito confuso e não consigo perceber bem onde estão as coisas quando as quero usar para resolver o problema. Podíamos ter escrito cada informação numa linha diferente (referia-se a escrever por tópicos).

Na terceira questão como vou fazer, é claramente notório que os alunos definem um

plano, comprovando-se isto nos episódios 4 e 5. Contudo, apesar deste problema não possuir

muitas formas de resolução, não permitindo assim a aplicação das várias estratégias, achei

53

interessante os alunos, quando questionados, referirem de imediato “vamos fazer a conta”,

salientando a ideia que, para eles, resolver problemas consiste na utilização das operações,

demonstrando desconhecerem que resolver um problema pode ir muito mais além do que

aplicar “contas”.

Episódio 4 (À medida que a aluna ia fazendo no quadro a resolução do problema). Daniela: E agora, como vamos fazer? (…) Íris: Duas contas. Primeiro temos de fazer a conta de quantos alunos foram depois temos

de fazer a conta de quantos alunos não foram.

Episódio 5 (À medida que uma outra aluna ia fazendo no quadro a resolução do problema). (…)

Daniela: E agora Marisa como vamos fazer? Marisa: Vamos fazer a conta de quantos alunos não foram à quinta. Luís: Então já sabemos que 104 alunos foram à quinta de Santo Inácio. Daniela: Sim, e depois o que é que vamos fazer? Luís: Retiramos os alunos todos da escola, 160, e dá 56 que são os que não foram à

quinta.

No que diz respeito à última fase, a da verificação dos resultados, constatei novamente

que os alunos tinham muita dificuldade nesta e falhavam-na bastante. Neste problema ninguém

explicou como pensou, tal como pedia no enunciado, não fazendo a verificação dos resultados.

Ora, fizeram as contas e deram por terminada a resolução, como é possível verificar, por

exemplo, na figura 11 e como pude constatar através do que fui vendo à medida que resolviam

os problemas. Após um dos alunos ter apresentado no quadro a sua resolução, e no decorrer do

diálogo entre mim e a turma, achei pertinente questioná-los naquele momento, no sentido de

desenvolver e estimular a verificação dos resultados, apesar de não ser pretendido trabalhar com

pormenor, neste problema, esta etapa. Seguidamente apresenta-se o episódio 6, onde tal se

pode constatar.

Episódio 6 (…) Daniela: Agora que já resolvemos vamos lá ver se o que fizemos está correto, que é um

passo muito importante. O que é que significa este 160? Gabriel: Os alunos todos da escola. Daniela: E aos 160 retiramos o quê? Gabriel: Os que foram à quinta e que já tínhamos calculado, os 104. Daniela: Que deu 56 que são os alunos…

54

Gabriel: Que não foram à quinta. Daniela: Exatamente. Então como podemos saber se o 56 que obtemos está certo? Tomás: Porque se virmos os 56 alunos que não foram mais os que foram (104) vai-nos

dar o total de alunos que há na escola. Daniela: Muito bem. Assim já conseguimos perceber que o 56 que obtivemos está correto!

Assim, foi dada especial atenção à fase da compreensão, uma vez que nesta havia

imensas dificuldades. Ainda com base naquilo que consegui perceber com as resoluções, fui

formando e reforçando algumas opiniões, compreendendo cada vez melhor as dificuldades

apresentadas em todas as outras fases do modelo de Polya, para as explorar nas aulas

seguintes com outros problemas mais direcionados para tal.

4.1.3. Problema 3 – disfarces de carnaval

Na figura 12 existe um dos problemas realizado na aula 4, disfarces de carnaval. Este foi

feito tendo por base a exploração da matéria dada, a subtração, podendo-se encaixar nos

problemas de conteúdo, segundo a tipologia apresentada por Palhares (1997), uma vez que

carece de conhecimentos matemáticos há muito pouco tempo adquiridos. Com a aplicação

deste problema pretendia continuar a trabalhar, de forma detalhada a compreensão do

problema, colmatando e realçando aspetos que não ficaram muito bem percebidos com o

anterior.

Para celebrar o Carnaval, o senhor Antunes comprou para vender na sua loja

uma centena, duas dezenas e quatro unidades de disfarces. Na loja ao lado, o

senhor Silva tem 178 disfarces também para vender.

Quantos disfarces há a mais na loja do senhor Silva para venda? Explica como

chegaste à resposta.

Figura 12 - Enunciado do problema disfarces de carnaval

Como resolvem o problema

Após a leitura, a exploração de palavras desconhecidas e o reconto do problema, sugeri

que todos sublinhassem a informação relevante para a resolução, achando que isto iria ajudar

na seleção da informação importante. Posteriormente responderam à questão o que me é dado.

Um número muito reduzido de alunos, cinco deles, sublinhou todo o enunciado, fazendo assim a

transcrição total deste para responder à questão, tal como se constata na figura 13.

55

Figura 13 - Enunciado sublinhado e resposta da Íris a uma questão orientadora

Ainda seis dos alunos sublinharam, recolheram e registaram apenas a informação

essencial, contudo, neste registo não descodificaram a informação, colocando na mesma a

escrita por ordens do número de disfarces, visível na figura 14.

Figura 14 - Enunciado sublinhado e resposta da Filipa a uma questão orientadora

A grande maioria também sublinhou, recolheu e registou apenas a informação relevante

porém, no registo desta, já efetuaram a passagem da escrita por ordens, do número de

disfarces, para a escrita numérica, tal é possível ver na figura 15.

Figura 15 - Enunciado sublinhado e resposta do Miguel a uma questão orientadora

56

Posteriormente responderam à segunda questão, o que quero saber. Nesta todos

responderam corretamente, como é possível ver na figura 16.

Figura 16 - Resposta do Miguel a uma questão orientadora

Depois, passaram para a questão orientadora como vou fazer. Aqui todos resolveram de

forma semelhante, realizando a subtração para chegar ao resultado. A única diferença é que os

alunos que recolheram a informação e não fizeram a passagem da escrita por ordens para a

escrita numérica, realizaram-na neste momento, como um cálculo auxiliar, rodeando-a, como se

pode constatar na resolução da Íris, presente na figura 17.

Figura 17 - Enunciado sublinhado e respostas da Íris a duas questões orientadoras

No fim das resoluções foram alguns alunos escrevê-las no quadro, sendo as ideias

expostas discutidas com toda a turma.

Dificuldades

Com a análise das resoluções, percebi que apenas uma pequena parte da turma

continuava a manifestar dificuldades em recolher e registar a informação essencial e que, apesar

de apresentarem uma resolução correta do problema, mostraram mais dificuldades em resolvê-

lo do que os colegas que recolheram apenas o que é essencial e de uma forma esquematizada e

percetível. Como se pode constatar no episódio 7.

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Episódio 7 (Enquanto a aluna pensava numa resolução para o problema). Daniela: Íris, como vais resolver o problema? Íris: Tenho de fazer uma conta. Daniela: Qual? Íris: 178 mais uma centena, duas dezenas e quatro unidades. Daniela: Então é assim que tu vais resolver o problema, certo?! (Íris lê novamente a resposta à questão orientadora o que me é dado). Íris: Não, espera. Afinal são duas contas porque tenho de fazer 100+20+4. Daniela: Sim, e a outra então é qual? (Íris continua a ler a sua resposta à questão o que me é dado). Íris: Afinal não é uma conta de mais. É 178-124.

A Íris revelou alguma confusão ao resolver o problema, exibindo necessidade de reler

imensas vezes a sua resposta à questão o que me é dado, uma vez que não tinha a informação

recolhida de forma que, durante a resolução, recorresse a esta e conseguisse utilizá-la

facilmente para responder à questão como vou fazer. Portanto, todos os alunos que não

responderam acertadamente à questão o que me é dado, conseguiram resolver corretamente o

problema, mas com muitas mais dificuldades do que os outros.

Deste modo, achei essencial trabalhar mais uma vez a compreensão do problema, mais

precisamente, fazer com que os alunos percebessem quais os dados que realmente eram

importantes para responder à incógnita, levando-os, então, a colmatar as dificuldades. Ora, optei

por pedir à Íris, que tinha transcrito todo o enunciado, como se pode averiguar na figura 13,

para ir ao quadro apresentar o que fez. Após registar a resolução no quadro, coloquei algumas

questões para fazer os alunos a refletir e a reformular ideias, encaminhando-os para o caminho

certo. Tal é possível verificar-se no episódio 8.

Episódio 8 (…) Daniela: É esta a informação que nós temos? Alunos: Sim. Daniela: E nós precisámos disto tudo para resolver o problema, para respondermos ao

que nos é pedido no enunciado? Precisámos de saber, por exemplo, que o senhor Antunes comprou disfarces para celebrar o carnaval?

Íris: Não. Nós conseguimos resolver o problema sem essa informação. Daniela: Exato. Então o que é que temos de escrever na questão o que me é dado? Filipe: Apenas o que é mesmo importante para conseguirmos resolver o problema.

Ora, com o episódio 8, a turma refletiu e reformulou ideias erradas.

Os alunos que recolheram corretamente a informação essencial à resolução tiveram mais

facilidade em resolver o problema, assim como se averigua no episódio 9.

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Episódio 9 (Enquanto o aluno pensava numa resolução para o problema). Daniela: Como é que vais fazer Dinis? (Dinis consulta os dados que recolheu e lê a resposta à questão o que quero saber). Dinis: Pego no 178 do senhor Silva e depois pego no 124 do senhor Antunes e faço a

subtração.

À semelhança do problema anterior, com o episódio 9 também se vê que os alunos

continuavam a referir as contas como forma de resolver o problema. Contudo este também não

era o mais adequado para o resolverem de diferentes maneiras, pois com este era pretendido

explorar mais detalhadamente a fase da compreensão e não as outras, não despertando o uso

de várias estratégias de resolução.

Com o episódio 9 é possível confirmar, tal como se pôde auferir com as resoluções, que

os alunos definiam um plano mentalmente, sendo que quando questionados eram capazes de

expor as suas formas de pensar. Contudo, continuavam a não contemplar explicitamente na sua

resolução o modo como pensaram para chegar à resposta, voltando a não fazer, por iniciativa

própria, a verificação dos resultados.

Após todo este trabalho decidi avançar para a exploração cuidada das fases seguintes

com o problema da figura 18, uma vez que percebi que, tal como já foi mencionado, a grande

parte dos alunos já conseguia responder adequadamente às questões o que me é dado e o que

quero saber, ultrapassando, deste modo, as dificuldades que possuíam na fase da compreensão

do problema.

4.1.4. Problema 4 – pães com diferentes recheios

Na figura 18 encontra-se o problema pães com diferentes recheios, que pertence à aula 5.

Este pode-se encaixar nos problemas de processo segundo a tipologia apresentada por Palhares

(1997), visto que requer o uso de estratégias de resolução. Aqui exploraram detalhadamente

diferentes estratégias de resolução, trabalhando assim, minuciosamente, a questão orientadora

como vou fazer.

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Figura 18 - Enunciado do problema pães com diferentes recheios

Como resolvem os problemas

À semelhança do que tem sido realizado, após os alunos terem lido o problema, feito o

reconto e a descodificação de palavras desconhecidas, pedi-lhes que o resolvessem,

respondendo, deste modo, à questão como vou fazer.

Seguidamente ao trabalho inicial da compreensão do problema, os alunos utilizaram

estratégias que os ajudaram a chegar à solução correta. Empregaram então desenhos e

esquemas, tal como se pode ver nas figuras 19 e 20 que se encontram apresentadas

seguidamente. O grupo do Tomás, cuja resolução corresponde à da figura 19, decidiu

representar o pão de forma de uma maneira diferente do de centeio. À medida que desenhou os

diferentes pães, foi colocando legendas onde indicava qual era o pão e qual o recheio que lhe

correspondia. Ora, representou pão de forma com um respetivo recheio, alternando com o pão

de centeio com esse mesmo recheio, e assim sucessivamente. No que diz respeito à estratégia

do grupo da Marta, da figura 20, estes decidiram agrupar o pão de forma com os seus recheios

correspondentes de um lado, fazendo o mesmo, num novo esquema, com o pão de centeio.

Figura 19 - Estratégia de resolução usada pelo grupo do Tomás

Diferentes tipos de pão

Pão de centeio

Pão de forma

Recheio para o pão

Queijo Chocolate

Fiambre Manteiga

Observa atentamente as imagens.

a) Escolhendo um tipo de pão e um dos recheios, quantas sandes diferentes se podem fazer? Quais

são? Explica como pensaste.

60

Figura 20 - Estratégia de resolução usada pelo grupo da Marta

Depois, com base na estratégia usada, contaram as diferentes combinações possíveis e

fizeram as contas para conseguirem responder à questão, visível na figura 21.

Figura 21 - Resolução do grupo da Isabel

Assim, é observável que os alunos perceberam o problema, delinearam um plano,

organizando a informação empregando estratégias de resolução adequadas e executaram o

plano elaborado. Poucos alunos explicaram como pensaram, contudo alguns já o começaram a

fazer realizando assim a verificação dos resultados, tal como se vê na resolução do grupo da

Cátia, na figura 22.

61

Figura 22 - Resolução do grupo da Cátia

No fim das resoluções foram alguns alunos representá-las ao quadro, partilhando as

diferentes estratégias, sendo as ideias expostas discutidas com toda a turma.

Dificuldades

Alguns alunos, durante a resolução, apresentavam dificuldades em saber como começar a

resolver, fazendo alguns comentários como “este problema é muito difícil”, uma vez que não

levava à aplicação direta de contas, tal como estavam habituados. Assim optei por circular pelos

diferentes grupos e ir dando algumas dicas para os ajudar, recorrendo a situações do dia-a-dia,

no sentido de os levar a resolver o problema através da utilização de alguma estratégia, como se

deteta no episódio 10.

Episódio 10 Daniela: Olha lá para a informação que tens e para o que queres saber. Imagina que estás

a ajudar a tua mãe a preparar o teu lanche. Tens pão de forma que podes colocar com um desses quatro recheios.

Olha regista as combinações todas que podes ter.

Com esta ajuda os alunos começaram a organizar a informação com o intuito de

responder à questão que lhes lancei, sendo que conseguiram encontrar uma estratégia de

resolução. Ora, uns grupos resolveram utilizando desenhos e outros esquemas, tal como se

pode constatar nas figuras 19 e 20 respetivamente.

A não explicação de como pensaram para resolver o problema continuou muito evidente

na maioria dos alunos, sendo que apenas um grupo o fez, visível na figura 22, apesar de tal ser

sempre solicitado em todos os problemas. Assim, continuavam a resolver um problema,

encontravam a solução e davam-no por concluído, desprezando a fase da verificação. No

momento do registo no quadro das diferentes resoluções, questionei os alunos no sentido de

62

perceber como pensaram, como se vê no episódio 11. Estes conseguiram explicar todos os

passos, fazendo, deste modo, a verificação dos resultados. Através da explicação também foi

possível perceber o plano que elaboraram, se bem que apenas com a análise da resolução já se

consegue entender que definiram mentalmente um plano. Neste problema, com as explicações

das diferentes estratégias usadas, insisti com os alunos, com o intuito de os fazer expor muito

bem todas elas, sendo assim bastante trabalhada a fase da verificação dos resultados.

Episódio 11 Dinis: Primeiro vi todas as sandes que conseguia fazer. Pão de forma com manteiga, pão

de forma com fiambre e pão de forma com queijo. Daniela: Então quantas sandes é que conseguimos fazer com o pão de forma? Alunos: 4. Daniela: E aqui com o pão de centeio. Alunos: Pão de centeio com chocolate, pão de centeio com manteiga, pão de centeio com

fiambre e pão de centeio com queijo. Dinis: Depois juntei 4+4, igual a 8. No pão de forma temos 4 recheios, então no de

centeio como são os mesmos recheios também temos 4 que dá as 8 sandes.

Concluo então que os alunos continuavam com muita dificuldade em explicar,

autonomamente, o que pensaram, não sendo feita a verificação dos resultados.

4.1.5. Problema 5 – os vernizes da Mariana

A figura 23 possui o problema os vernizes da Mariana. Este foi o segundo da ficha da aula

5, podendo-se encaixar nos problemas de processo segundo a tipologia apresentada por

Palhares (1997), visto que requer o uso de estratégias de resolução.

A Mariana foi às compras e comprou três caixas com cinco vernizes cada uma e com

duas embalagens de algodão. Nessas caixas havia vernizes azuis, cinzentos,

castanhos, lilás e cor-de-rosa. Quantos vernizes comprou ela? Explica como pensaste.

Figura 23 - Enunciado do problema os vernizes da Mariana

Como resolvem o problema

Tal como habitual, foi feita uma leitura do enunciado, a procura de sinónimos de palavras

desconhecidas, bem como o reconto do problema. Posteriormente, a grande maioria dos alunos

sublinhou apenas a informação essencial à resolução, como se pode ver na figura 24, sendo que

este possuía propositadamente um enunciado extenso e informação que não era importante

para a resolução para ver como os alunos reagiam/resolviam esta situação.

63

Figura 24 - Enunciado do problema sublinhado pelo Gil

Ainda três alunos continuaram a sublinhar informação que não era necessária para

resolver o problema, visível na figura 25. Contudo já não sublinharam todo o enunciado, mas

apenas a informação que continha números associados (cinco caixas de vernizes e duas

embalagens de algodão), sendo que, a meu ver, consideraram que como tinha números

significava que ia ser importante para a resolução.

Figura 25 - Enunciado do problema sublinhado pelo Tomás

Os alunos que sublinharam apenas a informação essencial conseguiram responder

adequadamente à questão o que me é dado, como se pode comprovar na figura 26.

Figura 26 - Resposta do Gil a uma questão orientadora

Quem recolheu mais do que o que era necessário para responder ao problema, registou

tudo aquilo que sublinhou. Contudo, neste registo já fizeram a alteração dos números escritos

64

por extenso para representação de número, tal é possível ver-se na figura 27. O facto de já não

estar escrito por extenso facilita a consulta durante a resolução.

Figura 27 - Resposta do Tomás a uma questão orientadora

Todos continuaram a responder corretamente à questão o que quero saber, sendo

possível analisar-se na figura 28.

Figura 28 - Resposta do Gil a uma questão orientadora

De seguida, continuaram a resolução do problema respondendo à questão como vou

fazer. Neste momento optei por dizer aos alunos com mais dificuldades na resolução, os dois

meninos com dificuldades de aprendizagem, para utilizarem materiais manipulativos para os

ajudar a resolver e a alcançar, deste modo, uma estratégia. Assim, sugeri o uso de lápis para

substituir os vernizes. Representaram com os 15 lápis o que dizia no enunciado, dividindo-os em

3 grupos, sendo que cada grupo, que retratava as 3 caixas, continha 5 lápis. Com a estratégia

fazer uma simulação/experimentação obtiveram então, nos três grupos, um total de 15 lápis.

Após este trabalho conseguiram, tal como todos os outros, aplicar uma estratégia de resolução,

o desenho, juntamente com algumas contas, a multiplicação e a adição, visível na figura 29.

Utilizaram ambas as operações, uma vez que na aula anterior tinham estado a abordar a

multiplicação no sentido aditivo. Com a observação das resoluções percebe-se perfeitamente que

os alunos estabeleceram um plano, chegando com sucesso ao resultado.

65

Figura 29 - Resolução do Gil

No fim das resoluções foram alguns alunos representá-las, sendo as ideias expostas

discutidas com toda a turma.

Dificuldades

Neste problema pouquíssimos alunos apresentaram dificuldades na recolha dos dados,

contudo, no momento da correção deste no quadro, estabeleci um diálogo com eles, sendo mais

direcionado para os que evidenciaram algumas lacunas ao sublinhar e recolher a informação, no

sentido de os ajudar a perceber o que estava mal, como se pode ver no episódio 12.

Episódio 12 Daniela: Reparem no que é pretendido saber com o problema. O que é que queremos

então saber? Catarina: Quantos vernizes comprou a Mariana.

Daniela: Certo. Agora olhem para o problema e tentem perceber qual é a informação que precisamos para responder a isso.

Tomás: Que são três caixas com 5 vernizes.

Os dois alunos com dificuldades de aprendizagem também estavam com dificuldades em

resolver o problema, referindo-me “não sei com resolver”. Deste modo, para os ajudar a

organizar a informação, a delinear um plano e estimular uma resolução diferente da aplicação

direta das operações, decidi propor-lhes que utilizassem materiais manipuláveis. Com isto,

conseguiram resolver com sucesso o problema, como se vê na figura 29.

Para além das dificuldades anteriores, que considero que rapidamente foram

ultrapassadas, o que falhou novamente foi a explicação de como pensaram, voltando a faltar,

desta forma, a verificação dos resultados. Ora, decidi questionar os alunos no sentido de os fazer

pensar no processo de resolução, como se pode ver no episódio 13.

66

Episódio 13 Daniela: Sara, no problema diz que a Mariana comprou 3 caixas com 5 vernizes cada

uma, podíamos fazer assim: 3+3+3? Sara: Não. Daniela: Por quê? Sara: Porque ela comprou 3 caixas com 5 vernizes cada uma e não com 3. Jaime: Oh professora, para isso tinha de ser 3 caixas com 3 vernizes. Filipa: Se as caixas tinham 5 vernizes cada uma tem de ser 5+5+5. Temos 3 caixas com

5 vernizes na 1.ª caixa, mais 5 vernizes na 2.ª caixa e mais 5 vernizes na 3.ª caixa.

Concluo então que apenas um número muito reduzido de alunos continuou a manifestar

dificuldades na fase da compreensão, elaboração e execução de um plano. O que mais falhou foi

a fase da verificação dos resultados, contudo, quando estimulados, faziam-na na perfeição,

como se conseguiu ver, por exemplo, no episódio 13.

4.1.6. Problema 6 – coelhos e faisões

Na figura 30 encontra-se o problema coelhos e faisões. Este pode-se empregar nos

problemas de processo segundo a tipologia apresentada por Palhares (1997), sendo que, para o

resolver, era esperado haver a utilização de diversificadas estratégias. Foi um dos problemas

realizado quando retomei ao 1.º Ciclo, após a intervenção no 2.º Ciclo, e encontra-se presente

na aula 8.

Este ajudou-me a perceber se a evolução que foi notada aquando as minhas intervenções

continuava ou se acabaram por esquecer e não praticar mais o que tinha sido trabalhado e, ao

mesmo tempo, relembrar e explorar novamente as fases do modelo de Polya. Ora, não referi que

tinham de utilizar as três questões orientadoras, bem como sublinhar o enunciado.

Imagina que há um certo número de coelhos e de faisões numa gaiola, totalizando 7 cabeças e 22 patas.

Quantos coelhos e faisões estão na gaiola?

Explica como pensaste.

Figura 30 - Enunciado do problema coelhos e faisões

Como resolvem o problema

À semelhança do que foi feito nos problemas anteriores, comecei por pedir a um aluno

para fazer a leitura do problema, seguindo-se do reconto, depois a descodificação de algumas

palavras. Neste momento tentei perceber o que eles sabiam sobre os faisões e os coelhos, visto

67

que a falta de conhecimento, por exemplo, do número de patas que possuem os faisões ou os

coelhos, poderia ser um impedimento para uma resolução com sucesso.

Depois deste trabalho, começaram a resolver o problema. A grande maioria sublinhou, por

iniciativa própria, a informação essencial, visível na figura 31.

Figura 31 - Enunciado sublinhado pela Isabel

Durante a resolução constatei que alguns alunos estavam a utilizar as questões

orientadoras aprendidas, como se pode ver na figura 32.

Figura 32 - Resposta da Marta a duas questões orientadoras

Contudo outros, muito poucos, já não as aplicaram. Os que não utilizaram não fizeram a

recolha da informação, apenas usaram estratégias e executaram o plano delineado, como se

pode ver nas figuras 33, 34 e 35, alcançando a resposta certa.

Neste problema foram aplicadas distintas estratégias de resolução, tanto pelos que

usaram as questões orientadoras, como pelos que não as usaram, presentes nas figuras 33, 34

e 35. A Marta, como se pode ver na figura 33, recorreu ao desenho, colocando as sete cabeças

e, de seguida, desenhou a primeira cabeça como sendo de um coelho, tendo quatro patas, a

segunda de um faisão, possuindo duas patas, e assim sucessivamente. No final contou quantas

patas tinha no total, fazendo a adição visível na figura, averiguando assim que já tinha as 22

patas, pois o primeiro animal que desenhou foi o coelho.

68

Figura 33 - Resolução da Marta

Na figura 34, a Isabel decidiu fazer um esquema, sendo a estratégia que mais alunos

utilizaram, onde foi colocando diversas conjugações para obter sete faisões. Não o fez de uma

forma sistemática, começando, por exemplo, nos seis faisões, depois tentava com cinco,

seguidamente com quatro e assim sucessivamente. A aluna foi tentando aleatoriamente. Quando

conseguiu encontrar a resposta escreveu-a em forma de adições, representando três faisões

mais quatro coelhos e seis patas dos faisões mais as dezasseis dos coelhos. Seguidamente

calculou as adições que representou, mostrando então que as contas feitas na tabela estavam

corretas.

Figura 34 - Resolução da Isabel

Finalmente, a Filipa foi das poucas que fez a redução a um problema mais simples. Esta

supôs que todos os animais eram faisões, colocando assim as sete cabeças com apenas duas

patas. Seguidamente verificou quantas faltavam para as vinte e duas e passou alguns faisões

69

para coelhos, acrescentando duas patas, de modo a obter o pretendido. Tal pode-se observar na

figura 35.

Figura 35 - Resolução da Filipa

Neste problema, alguns alunos, apesar de muito poucos, já foram tendo o cuidado de

tentar explicar a forma como pensaram para alcançar o resultado final, como se pode analisar

na figura 36. A explicação não está totalmente de acordo com o que foi feito, pois a aluna refere

que inicialmente colocou duas patas, contudo, através da análise da resolução da figura 32,

contata-se que primeiro desenhou as quatro patas e só depois as duas. Os pouco alunos que

fizeram a explicação tinham-nas iguais. Considero que tal aconteceu, uma vez que, apesar do

problema ter sido resolvido individualmente, estavam sentados em grupos, acabando por ver as

respostas uns dos outros.

Figura 36 - Explicação da Marta

Depois de todos os problemas concluídos, alguns alunos, com resoluções diferentes,

foram ao quadro escrever e explicar as suas resoluções aos colegas, sendo posteriormente

discutidas.

70

Dificuldades

No início da resolução, logo após a fase da compreensão do problema, os alunos fizeram

alguns comentários como por exemplo, “Mas como é que vou fazer para saber o número certo

de coelhos e faisões que há?, Acho que não sei fazer!”. Como forma de os ajudar, pedi que

relembrassem algumas estratégias usadas nas nossas aulas anteriores, sendo que foram

referindo tabelas, esquemas e desenhos. Seguidamente sugeri que as utilizassem, tentando

assim aplicá-las neste problema. Após esta dica compreendi que todos ficaram a pensar sobre

possíveis formas de resolver. Passado pouco tempo já comecei a ver resultados, surgindo as

resoluções apresentadas nas figuras 33, 34, e 35.

Apesar de alguns alunos tentarem explicar como pensaram, esta ainda não estava

totalmente correta e clara. Então, como forma de os ajudar a ultrapassar a dificuldade e

perceber o plano que alguns delinearam, levando-os a justificar os resultados obtidos,

permitindo-lhes, assim, fazer a verificação dos mesmos, durante a partilha das resoluções dos

alunos coloquei-lhes algumas questões. No episódio 14 existem as questões que pus a uma

aluna relativamente a uma resolução igual à da figura 33.

Episódio 14 Daniela: Como é que pensaste para resolver o problema? Mariana: Como havia 7 cabeças desenhei-as, depois meti 4 patas que eram os coelhos, a seguir 2 que eram os faisões, e sempre assim até chegar às 22 patas.

No episódio anterior constata-se que a aluna tenta explicar como pensou para resolver o

problema, sendo que se percebe perfeitamente o plano que delineou. De seguida vem o episódio

15 que retrata o diálogo com uma outra aluna sobre uma resolução semelhante à da figura 34.

Episódio 15 Marisa: Nós fizemos por várias tentativas. Colocamos 6 faisões, depois contamos de 2 em

2: 2,4,6,8,10,12. Daniela: Fizeram 6 cabeças vezes 2 patas cada faisão. Marisa: Então ficamos com 12 patas. Depois pusemos 1 coelho com 4 patas. E o total

12+4 é igual a 16. Marisa: Vimos que não dava porque queríamos 22 patas. Então fizemos mais uma

tentativa. (…) Marisa: Estava-se a aproximar mas ainda não estava. Depois pusemos aqui 5 faisões e ali

2 coelhos que é igual a 7. E voltamos a contar de 2 em 2: 2,4,6,8,10. Aqui (patas de faisões) são 10. No número de patas dos coelhos contamos de 4 em 4: 4,8. Isto deu o total de 14 patas. Ainda não dava.

71

Daniela: Ainda não era o número de patas que queríamos. Depois eles trocaram aqui, em vez de ter 4 faisões passaram a ter 3.

Marisa: Pusemos 3 faisões e ali no número de coelhos o 4. Depois voltamos a contar de 2 em 2 que deu 6 patas. Depois contamos de 4 em 4: 4,8,12,16. E 6 mais 16 é igual a 22. E este já dá. Estão 3 faisões e 4 coelhos numa gaiola.

A Marisa descreve com clareza todos os seus passos para chegar ao resultado. Assim,

elaborou um plano e verificou que o resultado que obteve era exequível, indo ao encontro da

informação dada no problema, respondendo à questão em causa. Por fim, segue-se o episódio

16, onde está descrita uma outra explicação sobre uma resolução igual à da figura 35.

Episódio 16 Marlene: Pusemos 7 cabeças e duas patas em cada uma e deu 14. Daniela: Certo. E depois? Filipa: Depois faltavam-nos 8, então acrescentamos 2 patas a algumas cabeças. Daniela: Então vamos contar para confirmar. Marlene: Já tínhamos 14, mais estas duas 16, mais duas 18, mais duas 20 e mais duas 22.

Tal como é possível constatar nos episódios anteriores, após os alunos terem sido

questionados, apresentaram capacidade de expor todos os passos que pensaram e seguiram até

conseguir obter o resultado pretendido. Ora, apesar de quase ninguém fazer este registo no

problema, mostram que quando estimulados, fazem-no muito bem. Desta forma, com a análise

de todos os episódios percebe-se que os alunos compreendem o problema, pensam numa forma

de o resolver delineando um plano e executando-o, empregando diversas estratégias de

resolução. Finalmente, com esta conversa vão explicando o que pensaram, coisa que muito

poucos alunos fizeram por escrito, refletindo assim no que executaram e verificando se o

resultado obtido é ou não viável.

4.1.7. Problema 7 – filas de meninos

Na figura 37 encontra-se o problema filas de meninos, que foi o segundo da 8.ª aula, e

que se pode encaixar nos problemas tipo puzzle segundo a tipologia apresentada por Palhares

(1997). Tal como referido anteriormente, foi um dos outros problemas realizado quando retomei

ao 1.º Ciclo após a intervenção no 2.ºCiclo. Assim, este também me serviu para avaliar se os

alunos continuaram, ou não, a progredir na resolução de problemas e a explorar as fases do

modelo de Polya.

72

Figura 37 - Enunciado do problema filas de meninos

Como resolvem o problema

Como habitual, um aluno começou por ler o problema, de seguida fez-se a definição de

palavras desconhecidas e, finalmente, o reconto deste. Neste também não foi transmitida a ideia

de que era necessário responderem às questões. Assim detetei que nenhum grupo recorreu às

questões, mostrando mais autonomia na resolução de problemas, não fazendo também a

recolha dos dados, apesar de quase todos terem sublinhado a informação relevante, como se

pode verificar na figura 38.

Figura 38 - Enunciado do problema sublinhado pela Luísa, Marisa, Isabel e Artur

Depois pensaram, discutiram e trocaram ideias em grupos de 4/5 elementos, sobre

possíveis formas de resolver o problema, registando-as numa folha. Na figura 39 e 40

encontram-se as resoluções expostas por dois grupos. Nestas os alunos estavam a assumir que

as filas tinham de ser paralelas. Consideravam ainda que não era possível haver outra solução,

pois, para eles, de outra forma era inexequível ter os nove meninos. Portanto, julgavam que o

problema não fazia sentido, uma vez que achavam que não conseguiam formar filas com quatro

meninos cada uma, de maneira a ter apenas um total de nove. Todos os outros grupos

partilharam da mesma opinião.

Estavam nove meninos no recreio a brincar. A professora viu que estavam em

três filas, mas que cada fila tinha quatro meninos. Como é isto possível?

Explica como pensaste.

73

Figura 39 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur

Figura 40 - Resolução do problema do grupo da Mariana, Miguel, Guilherme e Bruno

Depois de terem pensado e registado uma resolução, cada grupo elegeu um porta-voz

para partilhar com a turma as conclusões e ideias que tinham conseguido encontrar, sendo que

apenas os ouvi e não lhes dei a minha opinião acerca do que tinham apresentado. Depois da

partilha, manifestaram de tal forma um enorme entusiasmo pelo problema, que alguns grupos

foram para o recreio experimentá-lo/dramatizá-lo/simulá-lo, testando as ideias iniciais que

tinham, mesmo sem eu o ter sugerido. Esta foi uma estratégia valiosa, pois vivenciaram a

situação e trocaram mais ideias entre eles, como se pode ver na figura 41.

Figura 41 - Alunos no recreio a tentar resolver o problema

74

Com a experimentação/dramatização/simulação esses grupos perceberem que não

podiam pensar que só existe um tipo de filas, as paralelas, experimentando outras disposições,

aproximando-se do resultado, como é visível na figura 42.

Figura 42 - Alunos no recreio a tentar resolver o problema

Depois do intervalo, forneci materiais manipulativos, neste caso 9 peças do xadrez, 3

pretas e 6 brancas, ou vice-versa. As peças de cada grupo possuíam cores diferentes

propositadamente. As cores eram uma grande dica para conseguirem a resposta certa, uma vez

que as 3 peças com a mesma cor correspondiam aos 3 meninos comuns em cada fila e as

outras 6 eram os restantes. Logo que as receberam manipularam-nas, fazendo

experimentação/simulação/dramatização, testando assim as ideias que tiveram, apurando se

estas respondiam ou não ao problema, ou seja, se o plano que elaboraram estava correto, como

se vê na figura 43. Quando viam que o plano que produziram não estava certo, reformulavam e

pensavam numa nova forma de encontrar a solução, despendendo assim bastante tempo na

fase da elaboração do plano. Os alunos que foram para o recreio experimentar chegaram mais

facilmente à resposta, pois já tinham formado ideias mais consistentes.

Figura 43 - Manipulação dos materiais enquanto procuravam uma solução para o problema

75

Na figura 44 existe a nova resolução de um dos grupos, onde recorreram ao desenho para

resolver o problema, sendo que todos os outros obtiveram a mesma resposta. Nesta percebe-se

que, com a experimentação/dramatização/simulação deles próprios e dos materiais

conseguiram alcançar a solução certa. Depois de todos terem o problema resolvido, cada grupo

comparou as ideias que construíram inicialmente com o diálogo e troca de opiniões entre eles,

com as que alcançaram após a manipulação/dramatização/simulação, percebendo o que

tinham falhado. Assim, entenderam que não podem pensar que só existe um tipo de filas, as

paralelas.

Figura 44 - Resolução do problema do grupo da Luísa, Marisa, Isabel e Artur

Ainda neste problema, após a resolução, todos responderam que a resolução era possível

e justificaram-no, tal como se constata na figura 45.

Figura 45 - Explicação do grupo da Cátia, Sara, Filipe e Tomás

Num momento seguinte, os grupos expuseram à turma as conclusões que tinham

chegado, sendo criado uma situação de discussão em grande grupo. Por fim, um aluno foi ao

quadro exemplificar, utilizando as peças de xadrez, a resposta correta, acabando por ser feita a

verificação dos resultados obtidos, visível na figura 46.

Neste problema, devido à falta de tempo, não foi possível explorar outras soluções.

76

Figura 46 - Explicação da resolução do problema à turma

Dificuldades

Este problema foi, por um lado, o que mais cativou o interesse dos alunos e, por outro

lado, o que despoletou grande inquietação e bastantes dificuldades, visto que não sabiam como

chegar à solução, julgando mesmo que era impossível de resolver, uma vez que consideravam

que era impraticável haver três filas e quatro meninos em cada uma. Com as primeiras ideias

dos alunos analisei resoluções que me permitiram perceber que a maior dificuldade e o erro que

todos estavam a cometer era em assumir que as filas tinham de ser paralelas, ou seja, estavam

a colocar uma imposição que não existia, como se pode ver nas figuras 39 e 40. Estas

dificuldades foram ultrapassadas com a ajuda da experimentação/dramatização/simulação

deles próprios, que alguns grupos fizeram, e dos materiais.

Neste problema já tentaram explicar como pensaram/fizeram para alcançar a solução

certa. Contudo, quem não acompanhou todo o processo de resolução, com estas explicações

não conseguia perceber inteiramente todos os passos que os alunos percorreram até chegar ao

resultado final. Ora, as explicações não foram completamente bem conseguida. Durante a

partilha de resoluções dos grupos, pedi que explicassem o plano que seguiram, como se vê no

episódio 17, onde é possível averiguar a explicação clara de todo o plano elaborado.

Episódio 17 (Filipa foi representar os passos que seguiram para chegar ao resultado, usando as peças

de xadrez coladas no quadro). Filipa: Primeiro pensamos que não dava, porque não conseguíamos arranjar uma solução.

Depois, com os materiais nós colocamos de várias maneiras as peças, até que percebemos que se fizéssemos um triângulo já dava. Então esta aqui (a peça branca que estava num vértice do triângulo) pertence a esta e a esta fila, esta aqui (outra peça branca que estava noutro vértice) pertence a esta e a esta fila e esta (última peça branca que estava no último vértice) pertence a esta e a esta fila.

77

O episódio 17 mostra que os alunos realmente conseguiram, com o apoio de todos os

recursos concedidos, delinear corretamente um plano e resolver com sucesso o problema

apesar das dificuldades que possuíam inicialmente. Com este diálogo é também feita,

perfeitamente, a verificação dos resultados obtidos.

4.2. Cruzamento da informação

Com as observações que realizei antes das minhas intervenções e com as informações

dadas pela docente da turma, foi-me possível detetar que os alunos resolviam problemas com

pouca frequência, tal como eles próprios referiram numa das respostas da ficha de reflexão

(anexo 1). Os problemas que predominavam eram os que existiam no manual, ou seja,

maioritariamente os de conteúdo, uma vez que requeriam a utilização de conteúdos

programáticos, conceitos, definições e técnicas matemáticas, onde os alunos resolviam usando

as quatro operações, possuindo ainda enunciados muito curtos e diretos. Também constatei que

realizavam maioritariamente exercícios e não problemas.

No problema concurso de leitura notou-se desde logo uma grande dificuldade em

compreender o enunciado. Assim, com os problemas seguintes, visita à quinta de Santo Inácio e

disfarces de carnaval, explorei a fase da compreensão, com o objetivo de levar os alunos a

eliminar as lacunas que possuíam. Para tal, apliquei a leitura destes, sublinhar os dados

importantes, decifrar as palavras desconhecidas e o reconto. Alguns comentários dos alunos

após a resolução do problema os vernizes da Maria, onde a primeira fase de Polya já estava bem

consolidada, possibilitaram-me realçar a importância do seguimento dos processos anteriores

para os ajudar a colmatar as lacunas na fase da compreensão, presente no episódio 18.

Episódio 18 Guilherme: Quando sublinho a informação do problema é muito mais fácil para fazer o

resto. Marta: Leio sempre com muita atenção o problema. Bruno: Quando não percebo algumas palavras pergunto à professora. Filipa: Quando estou a fazer o problema leio muitas vezes a pergunta para saber o que

tenho de responder.

Estes comentários permitiram-me perceber que, na fase final das minhas intervenções, já

possuíam procedimentos para os ajudar a compreender um problema, reconhecendo a

importância destes, o que antes não acontecia, conseguindo assim despender nesta fase o

tempo necessário para a sua devida exploração. Deste modo, o trabalho feito teve resultados.

78

Também a utilização das questões orientadoras, o que me é dado e o que quero saber,

foram cruciais para a evolução dos alunos na fase da compreensão. Eles próprios tinham

consciência da importância das questões, sendo que referiram, na ficha de reflexão entregue na

última intervenção (anexo 1), que “as questões ajudaram-me a não ter dificuldade a resolver o

problema”, “com o uso das questões é muito mais fácil resolver o problema, ajudam-me a

compreendê-lo e a resolvê-lo melhor” e “com as questões o problema fica mais fácil”. Deste

modo, os procedimentos iniciais de compreensão do enunciado, juntamente com as duas

questões orientadoras, foram importantíssimos para a evolução dos alunos na fase da

compreensão do problema.

Relativamente ao uso de estratégias, verifiquei que, inicialmente, os alunos, em todas as

suas resoluções, faziam a aplicação direta de operações, não estando habituados a usar as

várias estratégias de resolução. Deste modo, usei o problema pães com diferentes recheios para

permitir o contacto, dar a conhecer e estimular possíveis estratégias que podiam usar. A

evolução já foi notória no problema os vernizes da Mariana, onde os alunos já foram aplicando

estratégias. Contudo, nos dois últimos problemas coelhos e faisões e filas de meninos, este

progresso ficou completamente evidente, pois, através do relembrar resoluções anteriores, do

recorrer a situações do quotidiano, da manipulação de materiais e das simulações com eles

próprios, conseguiram utilizar estratégias semelhantes e até mesmo outras novas, como é o

caso da redução a um problema mais simples. Assim fiz com que refletissem e percebessem

que poderiam resolver um problema sem haver apenas a aplicação direta das operações. Esta

assimilação por parte dos alunos ficou evidente através de alguns comentários como “resolvi o

problema com desenho e com esquema. Dá para fazer de muitas formas”, enquanto que nos

problemas iniciais referiam “para o resolver tenho de usar contas”.

Finalmente, no que diz respeito à explicação de como pensaram para obter a solução, os

alunos nunca faziam esta explicação. Neste sentido, com a troca de ideias e a discussão das

resoluções, foram desenvolvendo a capacidade de refletir e explicar sobre o que fizeram,

levando-os a pensar na viabilidade dos resultados obtidos, ponderando assim sobre todo o

processo de resolução.

Apesar deste trabalho, nos problemas finais ainda não foram capazes de escrever

claramente a forma como pensaram para alcançar uma solução de um problema, explicando os

processos que realizaram para chegar ao resultado. Porém, ao longo das resoluções,

especialmente no problema pães com diferentes recheios, coelhos e faisões e filas de meninos,

79

já se notam algumas melhorias, sendo que já tentaram expressar e justificar as suas

opiniões/escolhas, acabando por elucidar um pouco a forma como pensaram. Contudo

conseguem-no fazer de um modo mais acertado no problema filas de meninos, talvez porque a

simulação/experimentação/dramatização foi uma mais-valia neste sentido. Ora, fica então

realçada a ideia de que os alunos realmente já começaram a assimilar a importância de ir

explicando o que fazem. Tal se evidenciou também com o comentário que a Catarina fez com o

seu colega durante uma resolução, “não te esqueças que tens de explicar”. Assim averiguo que

estavam num bom caminho para eliminarem as lacunas que possuíam na fase da verificação

dos resultados.

Concluo que o resultado positivo de todo o trabalho referido anteriormente, é totalmente

evidenciado no problema coelhos e faisões e filas de meninos. Nestes como já não foi incutida a

ideia de responderem às três questões orientadoras, alguns alunos optaram por não as usar,

contudo alguns sublinharam, por iniciativa própria, apenas o que era relevante para a resolução,

conseguindo responder acertadamente, utilizando estratégias de resolução, mostrando

compreensão do problema. Deste modo, estes já seguiram intuitivamente o processo que lhes

foi incutido com as questões, libertando-se da utilização destas. Esta libertação aconteceu, pois

ganharam mais confiança e prática na resolução de problemas. No final, alguns, ainda tiveram o

cuidado de justificar e explicar as suas ideias. Ora isto é a prova de que o trabalho feito foi

positivo e rentável.

Relativamente aos alunos que usaram as três questões orientadoras, também por

iniciativa própria, estes sublinharam corretamente o enunciado, responderam acertadamente às

questões e usaram diversas estratégias, evidenciando evolução na fase da compreensão do

problema e na utilização de estratégias. No final, alguns, também tiveram o cuidado de explicar

e justificar as ideias que foram tendo. Ao contrário dos que já não utilizaram as questões

orientadoras e tiveram na mesma sucesso na resolução, estes alunos podiam ainda não ter

tanta confiança na resolução de problemas, o mais importante era que respondiam

acertadamente a todas as questões, com bastante facilidade, seguindo assim as fases

esperadas.

Deste modo, concluo que o balanço das minhas intervenções foi positivo. Até mesmo os

alunos com mais dificuldades de aprendizagem conseguiram realizar com sucesso o trabalho

pretendido, sendo que eu, juntamente com a outra colega estagiária, a professora cooperante e

a professora de apoio, dávamos-lhes um apoio mais individualizado. Todavia, tenho consciência

80

de que tudo o que foi desenvolvido foi apenas o início de um grande trabalho que pode ser

prosseguido pela professora titular de turma.

81

CAPÍTULO V

CONCLUSÃO

Neste capítulo encontram-se as conclusões às questões de investigação, tendo por base a

análise dos dados recolhidos do trabalho realizado pelos alunos do Ensino Básico acerca do

tema resolução de problemas. Tentei perceber como é que os alunos resolviam os problemas,

para detetar quais as dificuldades que possuíam nas diferentes fases de resolução, procurando

responder às seguintes questões: Q1- Como é que os alunos resolviam os problemas?; Q2- Que

dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de problemas?; Q3- Como é que

os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua capacidade de resolução de

problemas? É também exposta a reflexão final, as limitações e dificuldades do estudo e ainda

sugestões para futuras investigações.

5.1. Conclusões do estudo

5.1.1. Como é que os alunos resolviam os problemas?

Para dar resposta a esta questão, tive em conta que, de acordo com Vale (2000), resolver

problemas é o conjunto de ações tomadas para resolver uma situação. Assim sendo, constatei

que, perante um problema, os alunos começavam por fazer uma leitura rápida do mesmo e

seguidamente passavam para a sua resolução. Se este envolvesse a aplicação das operações,

faziam os cálculos e apresentavam as respostas. Caso não fosse necessário realizar os cálculos

e tivessem de recorrer às várias estratégias de resolução existentes, praticamente todos os

alunos davam apenas a resposta final como se de soluções se tratasse, sendo que, deste modo,

possuíam o problema errado. Assim, não apresentavam nenhuma resolução, uma vez que não

era necessário recorrer a operações, manifestando desconhecimento das estratégias de

resolução. Após alcançada a resposta final consideravam o problema terminado.

5.1.2. Que dificuldades é que os alunos evidenciavam durante a resolução de

problemas?

Com o problema que utilizei como teste, onde pretendia ver quais as dificuldades que os

alunos apresentavam ao longo das resoluções, detetei que havia imensas falhas na fase da

compreensão do problema, levando-os a ter dificuldades na resolução, acabando por fazer com

82

que alguns desistissem. Ora, os alunos não sabiam como trabalhar adequadamente o

enunciado, ou seja, não possuíam métodos para o explorar de forma a compreendê-lo e terem

sucesso nos problemas, pois não estavam acostumados a fazê-lo nas suas aulas. Para além

disto, um outro aspeto que falhava bastante era a distinção da informação relevante da

acessória.

No que diz respeito à fase da elaboração e execução de um plano, nesta falhava o uso de

estratégias de resolução. Quando o problema envolvia mais do que a aplicação das quatro

operações, como os alunos não estavam habituados a tais problemas, a grande maioria

simplesmente apresentava o resultado. Ora, desconheciam as várias estratégias que existem.

Finalmente, a fase da verificação dos resultados era completamente desconhecida na

turma, pois colocavam a resposta ao problema e davam-no por terminado.

Concluo então que, à semelhança do que refere Pereira (2012), o que mais fracassou foi

a primeira e a última fase do modelo de Polya (1995).

5.1.3. Como é que os alunos evoluíram ao longo da intervenção pedagógica na sua

capacidade de resolução de problemas?

Ao longo da intervenção pedagógica detetei evoluções na forma como os alunos resolviam

os problemas. Após a insistência no trabalho da compreensão do problema, perceberam a sua

importância e interiorizaram processos essenciais para o sucesso nesta fase, como ler com

atenção, descodificar palavras desconhecidas e sublinhar a informação relevante, distinguindo-a

assim da acessória. Deste modo, começaram a prestar mais atenção e a despender mais tempo

nesta etapa, sendo então facilitada a resolução do problema. Ora, tal como refere Polya (2003),

nesta etapa tem de haver uma atenção particular, sem que haja descuidos, pois o sucesso das

fases seguintes depende do sucesso desta.

No que diz respeito à aplicação de estratégias de resolução também se verificou uma

evolução significativa, pois os alunos conheceram e contactaram com distintas estratégias,

pensaram sobre elas, vendo-as como estratégias que podem utilizar para resolver problemas, e,

finalmente, passaram a aplicá-las. Estes começaram a utilizá-las espontaneamente, tal como

empregavam inicialmente as operações. Então, com o trabalho desenvolvido, desconstruíram a

ideia de que um problema se resolve recorrendo apenas às operações, percebendo ainda que

havia situações que todos conheciam e que nunca lhes tinha sido dada a conhecer como

estratégia, como por exemplo o desenho. Deste modo, tal como refere o documento NCTM

83

(1991), os alunos adquiriram um KIT de ferramentas matemáticas que os ajudou a resolver

problemas.

Relativamente à verificação dos resultados, como inicialmente os alunos não a

contemplavam nas suas resoluções, todos os problemas possuíam a afirmação explica como

pensaste, com o intuito de os levar a realizá-la. Contudo, mesmo com a afirmação, estes poucas

vezes explicavam como pensaram, pois respondiam à questão do problema, que aparecia em

primeiro lugar, e ignoravam o que vinha a seguir. Quando o faziam era uma explicação muito

superficial e pouco aprofundada, sendo que quem não acompanhasse o aluno durante a

resolução, certamente não iria compreender todo o processo que realizou. Porém, quando eram

questionados, ao longo correções das resoluções dos problemas, conseguiam voltar atrás na sua

resolução, pensar e explicar como fizeram, verificando todos os passos e resultados obtidos,

mostrando assim que eram capazes de realizar a verificação dos resultados, mas apenas

quando eram ajudados e orientados para tal. De tal modo, como o pretendido era que os alunos

fossem capazes de integrar a fase da verificação dos resultados nas suas resoluções, fazendo-a

de forma autónoma, este trabalho não teve a evolução e os resultados esperados.

Ora, considero que houve uma evolução na capacidade dos alunos resolverem problemas,

havendo o melhoramento nas distintas fases do modelo de Polya. Revelaram-se capazes de fazer

uma “organização sequencial da informação facilitando o processo de resolução” (Gomes &

Dias, 20013, p. 225). Todavia a fase da verificação dos resultados foi aquela em que a evolução

não foi tão acentuada como o esperado.

5.2. Reflexão final do estudo

Devido à ausência de um ensino constante e explícito em resolução de problemas, ter a

possibilidade de explorar este tema, atendendo às diferentes fases do modelo de Polya, foi

crucial para poder desenvolver uma capacidade identificada como fundamental, tal como consta

no Programa de Matemática para o Ensino Básico (MEC, 2007).

Ao longo de todas as intervenções o aluno teve sempre um papel ativo na sua

aprendizagem, sendo ele próprio a construir o seu conhecimento, fazendo novas descobertas,

através da interação que tinha comigo, com os colegas e com o meio envolvente. Logo, foi dada

a todos a oportunidade de partilhar, debater e expor ideias consideradas importantes acerca dos

problemas apresentados, como por exemplo, leituras/interpretações do enunciado. Os alunos

contactarem com vários tipos de enunciados, como curtos e longos, com informação essencial e

84

acessória e uns mais explícitos do que outros, conhecendo e utilizando distintos processos de

analisar e compreender um problema. Foi-lhes ainda dada a oportunidade de contactar com

problemas propícios à utilização de diversas estratégias e, por vezes, a possibilidade de

manipular materiais que os ajudaram a elaborar mais facilmente um plano e a aplicar, também

com maior facilidade, algumas estratégias de resolução. Foram também estimulados no sentido

de recorrer a situações do dia-a-dia que, aleadas ao diálogo, os ajudaram a começar a elaborar

estratégias. Para além disto, tiveram momentos de partilha e discussão acerca de diferentes

estratégias, onde aprenderam outras para além das que utilizaram. Finalmente, pensaram sobre

as distintas resoluções, refletiram sobre os processos e os métodos usados para resolver os

problemas, havendo troca e discussão de ideias. Portanto, tiveram possibilidade de realizar a

fase da verificação dos resultados, que até ao momento lhes era desconhecida.

De tal modo, o trabalho desenvolvido em torno da resolução de problemas integrou

momentos estimulantes e ricos de aprendizagem para os alunos. Desta forma, proporcionei-lhes

diversos problemas, começando nos mais simples e mais acessíveis, adaptados às suas

caraterísticas, dando-lhes motivação para continuar, indo até aos mais complexos e desafiantes.

De um modo geral, os problemas iniciais levavam mais à aplicação de um conteúdo, onde

ocasionavam a aplicação de operações, os últimos já conduziam à aplicação de distintas

estratégias de resolução, requerendo resoluções mais elaboradas.

5.3. Limitações e dificuldades do estudo

Durante o trabalho desenvolvido senti algumas limitações em diferentes situações. Uma

grande dificuldade era conseguir conciliar o meu papel de professora com o trabalho de caráter

mais investigativo, particularmente na recolha de dados. Por vezes, era necessário deixar a

recolha de dados para segundo plano para conseguir auxiliar os alunos com mais dificuldades.

Considero também que o estudo teve um tempo muito reduzido, pois não me possibilitou

implementar mais problemas, para, deste modo, os alunos terem oportunidade de realizar

problemas diferentes, que levassem a resoluções distintas das que concretizaram, onde

conseguissem explorar e empregar outras estratégias. Deste modo, tive de restringir a minha

intervenção apenas a alguns tipos de problemas e a algumas estratégias de resolução.

Ainda a diversidade de ritmos de trabalho foi uma dificuldade por mim evidenciada, uma

vez que, devido à minha falta de prática, inicialmente não tinha pensado nesta questão, sendo

85

que tive de improvisar algo no momento para manter ocupados os alunos mais rápidos. Porém,

nas aulas seguintes já ia prevenida, levando alternativas para estas crianças.

Finalmente, o facto de ser uma turma grande e com alunos novos, todos eles

necessitavam de atenção e apoio. Deste modo, era muito difícil chegar a todos ao mesmo

tempo, dando-lhes a atenção que necessitavam e mereciam.

5.4. Futuras investigações

Após a finalização deste estudo surgiram alguns tópicos que podem ocasionar futuras

investigações. De tal modo, considero que seria relevante trabalhar a resolução de problemas

com o mesmo grupo de alunos, mas com um período de tempo mais longo, para, desta forma,

conseguir abarcar uma maior diversidade de estratégias de resolução e de tipos de problemas.

Perante todo este trabalho mais longo e detalhado, seria interessante voltar a avaliar os alunos

na sua capacidade de resolver problemas, percebendo assim as evoluções ocorridas.

Para além disto, julgo que seria pertinente dedicar mais tempo e abordar de forma

diferente a exploração da fase da verificação dos resultados. Para tal, poderia aplicar uma

questão orientadora para abordar esta fase, como o fiz para as outras, como por exemplo,

consideras que o resultado que obtiveste é viável? Justifica. Assim, os alunos já não iriam

esquecer-se tanto desta etapa, começando a executá-la mais autonomamente, respondendo a

esta questão tal como faziam com as outras três.

86

87

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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91

92

93

Anexo 1 – Questões da ficha de reflexão

Antes da nossa intervenção nas aulas, com que frequência resolvias problemas?

Nunca Poucas vezes Muitas vezes

Achas que as questões que sugerimos (o que me é dado?, o que quero saber?, como vou

fazer?) para resolveres os problemas te ajudaram a perceber, explicar e a resolver melhor os

problemas? Justifica a tua resposta.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

94

95

Anexo 2 – Pedido de autorização

Somos estagiárias da Universidade do Minho e estamos a desenvolver um projeto na

área da matemática que envolve a resolução de problemas e a explicitação do raciocínio

matemático. Pretendemos então, realizar um estudo sobre a forma como os alunos resolvem

problemas e comunicam as suas ideias matemáticas, bem como, analisar a evolução destes

aspetos.

Com efeito, vimos por este meio, solicitar a autorização dos encarregados de educação

para a gravação áudio e vídeo das próximas intervenções. O objetivo das gravações é perceber

quais as dificuldades com que os alunos se deparam na resolução de problemas e na

comunicação matemática, as estratégias que empregam no decorrer das tarefas e ainda,

analisar a evolução dos alunos ao longo das intervenções.

Importa ainda salientar que todas as gravações serão sujeitas ao princípio da

confidencialidade, sendo apenas para uso exclusivo das estagiárias no âmbito da análise do

estudo.

Eu, encarregado de educação do(a) aluno(a) ________________________________

__________________________________ AUTORIZO/NÃO AUTORIZO a gravação das

intervenções.

O Encarregado de Educação

_____________________________________________________________

96

97

Anexo 3 – Fichas do 1º ciclo

Ficha 1

Quem sou eu?

98

Ficha 2

Prova de atletismo

99

Ficha 3

Concurso de leitura

Realizou-se um concurso de leitura. Na sala de aula os alunos elegeram os quatro leitores

da turma:

• O Adriano ficou depois do Miguel;

• O Rui ficou antes do Pedro;

• O Miguel ficou atrás do Pedro.

Escreve o nome dos quatro leitores por ordem de eleição. Explica como pensaste.

1.º 4.º 3.º

2.º

100

Ficha 4

Ficha de avaliação

Realizou-se uma ficha de avaliação de matemática. Os quatro primeiros alunos

terminaram-na na seguinte ordem:

• O Diogo terminou antes do Luís;

• O Bruno terminou depois do Martim;

• O Luís terminou entre o Martim e o Diogo.

Escreve o nome, por ordem, dos quatro primeiros alunos a terminar a ficha de avaliação.

Explica como pensaste.

1.º

2.º 3.º 4.º 1.º

101

Ficha 5

Bolas coloridas

Observa a seguinte figura.

Faz uma estimativa do número de bolas verdes existentes, sem as contares. Explica como

pensaste.

______________________________________________________________________

Sem contares, qual é a cor das bolas que achas que tem em maior quantidade? Explica como pensaste.

Calcula o valor exato do número de bolas verdes, azuis, amarelas e cor-de-rosa. Depois verifica

se as tuas estimativas anteriores estão iguais ou muito diferentes do valor exato.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Conta o número total de bolas existentes e explica que método utilizaste para fazer essa

contagem.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

102

Ficha 6

Castanhas e bolas

Observa a seguinte figura.

Faz uma estimativa do número de castanhas existentes. Explica como pensaste.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Agora conta as castanhas e regista o valor.

A tua estimativa é igual ou muito diferente do valor exato?

103

Ficha 7

As bolas

Observa as figuras A e B.

Faz uma estimativa do número de bolas verdes existentes na caixa A e na caixa B.

Sem contares, em que caixa achas que tem mais bolas verdes?

Agora conta as bolas verdes da caixa A e da caixa B e regista os valores.

O número de bolas verdes que achavas que existia na caixa A e na caixa B é igual ou muito diferente do valor exato?

A B

104

Ficha 8

Visita à quinta de Santo Inácio

Numa manhã, várias turmas da escola da Beatriz foram visitar a quinta se Santo Inácio.

Ao todo a escola da Beatriz tem 160 alunos.

Sabendo que à visita foram:

1 turma do 1º ano, com 17 alunos;

2 turmas do 2º ano, uma com 15 alunos e outra com menos 3 alunos;

1 turma do 3º ano, com 20 alunos;

2 turmas do 4º ano, uma com 18 alunos e outra com mais 4 alunos;

Quantos alunos da escola da Beatriz não foram visitar a quinta de Santo Inácio? Explica

como pensaste.

105

Ficha 9

Disfarces de carnaval

Para celebrar o Carnaval, o senhor Antunes comprou para vender na

sua loja uma centena, duas dezenas e quatro unidades de disfarces. Na loja

ao lado, o senhor Silva tem 178 disfarces também para vender.

Quantos disfarces há a mais na loja do senhor Silva para venda? Explica

como chegaste à resposta.

Baile de máscaras

No salão de festas da vila onde o Carlos mora vai celebrar-se um baile de

máscaras. Para o baile inscreveram-se 68 pessoas. Sabe-se que 15 são crianças e os

restantes são adultos. Do total de adultos, 23 são mulheres.

Quantos homens se inscreveram para o baile de máscaras? Explica como

chegaste à resposta.

106

Ficha 10

Multiplicação

Observa com atenção a seguinte operação:

21 x 5 = 105

Nesta operação, os números 21 e 5 são o produto e o resultado 105 é o fator? Justifica a tua

resposta.

Placares

Numa escola existem 6 salas de aula. Em cada sala existem cinco placares. Quantos

placares existem nas 6 salas de aula? Explica como pensaste.

107

Diferentes tipos de pão

Pão de centeio

Pão de forma

Recheio para o pão

Queijo Chocolate

Fiambre Manteiga

Ficha 11

Pães com diferentes recheios

Observa atentamente as imagens.

a) Escolhendo um tipo de pão e um dos recheios, quantas sandes diferentes se podem

fazer? Quais são? Explica como pensaste.

108

Os vernizes da Mariana

A Mariana foi às compras e comprou três caixas com cinco vernizes cada uma e com

duas embalagens de algodão. Nessas caixas havia vernizes azuis,

cinzentos, castanhos, lilás e cor-de-rosa. Quantos vernizes

comprou ela? Explica como pensaste

109

Ficha 12

Multiplicação

Resolve:

1 coelho tem 2 orelhas.

E 3 coelhos? Explica como pensaste.

Um trevo tem 3 folhas.

E 4 trevos? Explica como pensaste.

________________________________________________________

A Ana tinha 4 jarras todas iguais, cada uma com 7 rosas.

Então, quantas rosas tem a Ana nas 4 jarras? Explica como pensaste.

_______________________________________________________

110

Visita ao museu

Uma turma do 2.º ano foi visitar um Museu no Porto. Neste havia uma parede com

imensas fotografias. Existiam 3 filas horizontais com 12

fotografias cada.

Qual o número total de fotografias que existiam na

parede? Indica como pensaste.

111

Ficha 13

Bombons da Salomé

A Salomé decidiu fazer uma surpresa a duas das suas amigas. Assim, comprou duas

caixas diferentes com bombons e detetou que as duas caixas

juntas tinham 75bombons. Depois resolveu contar os bombons

apenas de uma caixa e apurou que existiam 32bombons. Então

quantos bombons havia na outra caixa? Explica como chegaste à

resposta.

Festa de carnaval

A Patrícia está a organizar uma festa de Carnaval na sua

escola, mas para a festa se realizar são precisas 250 inscrições.

Ela já conseguiu convencer 173 alunos a inscreverem-se. Quantas

inscrições faltam para conseguir realizar a festa? A sua amiga

Mafalda diz que lhe faltam 77 inscrições. O seu amigo Simão diz

que lhe faltam 86 inscrições.

Qual dos amigos da Patrícia tem razão? Explica como chegaste à resposta.

112

Ficha 14

Coelhos e faisões

Imagina que há um certo número de coelhos e de faisões numa gaiola, totalizando 7

cabeças e 22 patas.

Quantos coelhos e faisões estão na gaiola?

Explica como pensaste.

113

Ficha 15

Filas de meninos

Estavam nove meninos no recreio a brincar. A professora viu que

estavam em três filas, mas que cada fila tinha quatro meninos. Como é

isto possível?

114

Ficha 16

Material escolar

No início do ano letivo todas as famílias gastam

dinheiro com a compra de material escolar para as

crianças. Faz um levantamento de quanto gasta os teus

pais ao comprar todo o teu material escolar, como por

exemplo, os cadernos, a mochila, as canetas, lápis, régua,

entre outros.

115

Ficha 17

O truque do Ricardo

O Ricardo quis fazer um truque numérico ao seu amigo Luís:

Ricardo: Pensa num número de dois algarismos.

Luís: Já pensei.

Ricardo: Troca os algarismos para obter um outro número. Já está? Agora adiciona os dois

e diz-me quanto te deu.

Luís: Deu-me 132.

Ricardo: E eu já sei qual foi o número em que pensaste!

Saberá o Ricardo em que número pensou o Luís?

116

117

Anexo 4 – Fichas do 2º ciclo

Ficha 1

O lanche dos três amigos

1) Três amigos foram lanchar juntos. Cada um tinha 5 euros

para gastar. O Guilherme tinha duas moedas de 2 euros e uma de 1

euro e pediu um hambúrguer e uma cola. A Camila tinha cinco

moedas de 1 euros e quis uma bifana e um sumo. Por fim, sabemos

que o Zé tinha dez moedas de 0,50 euros e pediu dois croissants e um sumo.

Menu

Hambúrguer 2,48 €

Batatas fritas 0,82 €

Croissant 0,70 €

Cachorro 1,57 €

Bifana 3,23 €

Pão c/ fiambre 0,53 €

Cola 0,56 €

Sumo 1,27 €

1.1) Quanto é que gastou cada um? Explica como pensaste, apresentando todos os

cálculos que efetuares e arredonda os resultados às décimas. Explica como pensaste.

118

1.2) Quanto é que cada um recebeu de troco? Explica como pensaste, apresentando

todos os cálculos que efetuares e escreve os valores aproximados por defeito e por excesso, com

aproximação às décimas.

1.3) Será que a despesa total do Guilherme e do Zé foi superior a 10 euros? Explica

como pensaste, respondendo sem calculares a despesa total dos dois amigos.

1.4) Será que a Camila conseguia comprar um hambúrguer, uma embalagem de

batatas fritas, um croissant e um cachorro? Justifica a tua resposta. Arredonda todos os

resultados a uma casa decimal.

119

Ficha 2

A retrosaria da Dona Anica

1) As senhoras do bairro do Alecrim são muito talentosas

a fazer peças de roupa em crochet. Por isso, a retrosaria da Dona

Anica é muito requisitada pelas mesmas senhoras para a compra de

linhas e tecidos.

Certo dia a Dona Anica enquanto arrumava a loja apercebeu-se que já tinha vendido 180

novelos de linha vermelha, 68 verdes e 14 agulhas de crochet. Além disso, reparou também que

já tinha vendido 256 novelos de linha azuis, 78 novelos de lã amarelos e 10 dedais.

1.1) Qual é a fração de novelos de linha vermelha que já foram vendidos? Explica como

pensaste e escreve a resposta sob a forma de fração irredutível.

1.2) Qual é a parte vendida de novelos de linha que não são azuis? Explica como

pensaste e escreve a resposta sob a forma de fração irredutível.

120

Ficha 3

Garrafas de sumo

1) A Inês e o Pedro iam almoçar e repararam que o

sumo tinha acabado. Decidiram então ir ao supermercado e

compraram 4 garrafas de sumo, mas quando chegaram a

casa, apenas abriram uma das garrafas. Em cada uma estão

9

9 litro de sumo. A Inês bebeu

9

2 litro do sumo de uma

garrafa e o João bebeu o restante.

1.1) Que quantidade de sumo bebeu o João? Explica como pensaste.

1.2) Elabora uma outra questão para este problema, diferente da anterior, e resolve-a.

Explica como pensaste.

121

Ficha 4

Batidos

1) A Bárbara, a Sandra e a Margarida prepararam diferentes

quantidades de batidos para a festa de aniversário do amigo André.

A Bárbara preparou 9

5L de batido e a Sandra

3

1L de batido. No total as

três amigas prepararam 3

22 L de batido.

1.1) Que quantidade de batido preparou a Margarida? Explica como pensaste,

apresentando os cálculos que efetuares e mostra o resultado sob a forma de fração irredutível.

Várias frutas

2) A Filipa comprou 5

2kg de maçãs,

10

1kg de nozes

e 13

1 kg de laranjas. E a sua mãe comprou

5

2kg de peras e

4

3kg de morangos.

2.1) Calcula quantos quilogramas de fruta comprou ao todo a Filipa? Explica como

pensaste, apresentando os cálculos que efetuares e mostra o resultado sob a forma de fração

irredutível.

122

Amêndoas

3) A Adriana foi comprar amêndoas. Comprou as amêndoas representadas na figura 1.

O Pedro comeu 4

1 das amêndoas que a Adriana comprou e o Alexandre comeu

5

2.

3.1) O que representa a expressão 5

2

4

1 ? Explica como pensaste.

3.2) Calcula a parte das amêndoas que sobraram. Explica como pensaste, apresentando

os cálculos que efetuares e mostra o resultado sob a forma de fração irredutível.

123

Ficha 5

Patins

1) Dois professores foram a uma turma de 8º ano de escolaridade, formada por 15

alunos, e perguntaram quantos sabiam andar patins.

3

2responderam Sim.

Quantas deles responderam Sim? Explica como

pensaste, apresentando todos os cálculos que

efetuares.

Andar a cavalo

2) A Inês tem 60 amigos. Desses amigos, sabe-se

que 3

2sabem andar a cavalo.

Quantos amigos da Inês não sabem andar a cavalo? Explica

como pensaste, apresentando todos os cálculos que

efetuares.

124

Ficha 6

Revista escolar

1) O Diogo leu 15

2 do número de páginas de uma

revista na escola, 3

1 do número de páginas no autocarro e

4

1

das restantes páginas em casa.

1.1) Que fração do livro leu o Diogo em casa? Explica como pensaste, apresentando

todos os cálculos que efetuares.

1.2) Sabendo que a revista tem 120 páginas, quantas páginas ainda lhe faltam ler?

Explica como pensaste, apresentando todos os cálculos que efetuares.

Lanche de quatro amigas

2) Uma caixa tinha 60 pêssegos. Ao lanche quatro amigas comeram

4

1 dos pêssegos e ao jantar comeram

3

2 dos restantes.

Quantos pêssegos comeram as quatro amigas ao jantar? Explica

como pensaste, apresentando todos os cálculos que efetuares.

125

Ficha 7

O carpinteiro

1) Um carpinteiro demora três quartos de hora a fazer uma

peça de madeira. Quantas peças faz num dia em que trabalhe cinco

horas e um quarto? Explica como chegaste à tua resposta.

Bolas

2) O Luís encheu 5

2da metade das bolas que tinha.

2.1) Que parte das bolas encheu? Explica como pensaste.

2.2) Que parte das bolas ainda tem para encher? Explica como pensaste.

2.3) Se o Luís tem 70 bolas, quantas bolas já encheu? Explica como pensaste.