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Captulo 1

Sinais e Sistemas

Sinais de Tempo Contnuo e Tempo Discreto

Sinais descrevem fenmenos fsicos Sinal de presso acstica associado a fala

humana Sinal cardaco Sinal cardaco


Sinal de cota fluviomtrica

ndice Dow-Jones da 20

22

24

26

28

30

leve

l (m

)

Flood-flux from 1903 to 1912

ndice Dow-Jones da bolsa de valores de NY

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350014

16

18

days


Sinais de tempo contnuo x(t) A varivel independente (tempo t) assume

valores contnuos

Sinais de tempo discreto x[n] Sinais de tempo discreto x[n] A varivel independente (tempo n) assume

valores discretos e inteiros Tambm denominados de sequncias de

tempo discreto Podem ser obtidos pela amostragem de

sinais de tempo contnuo

Definies

Energia de um sinal de tempo contnuo no intervalo

Energia de um sinal de tempo discreto no ( )2

1

2t

tE x t dt=

1 2t t t

Energia de um sinal de tempo discreto no intervalo

[ ]2

1

2n

n n

E x n=

=

1 2n n n

Definies

Energia total de um sinal de tempo contnuo

Energia total de um sinal de tempo

( ) 2lim TTT

E x t dt =

Energia total de um sinal de tempo discreto

[ ] 2limN

Nn N

E x n ==

Definies

Potncia mdia em um intervalo de durao infinita

lim lim2 2 1T NE E

P ou PT N

= =

+ Potncia mdia de um sinal de tempo contnuo

Potncia mdia de um sinal de tempo discreto

2 2 1T N +

( ) 21lim2

T

TTP x t dt

T =

[ ] 21lim2 1

N

Nn N

P x nN =

=+

Definies

Classes de sinais: Energia total finita

Exemplo:

Energia total infinita e potncia mdia finita

E <

1E = Energia total infinita e potncia mdia finita

Exemplo: sinal constante x[n] = 4

Energia total e potncia mdia infinitas

E e P = <

E e P = =

( ) '2 1 .16lim 162 1

L Hospital

N

NE e P P

N +

= = =+

Definies

Exerccio 1.3: determine a energia total e potncia mdia dos sinais abaixo

( ) ( )21 tx t e u t= [ ]3 cos 4x n n =

Transformao da Varivel Independente

Deslocamento no tempo

[ ] [ ]( ) ( )

0

0

x n e x n n

x t e x t t


Reflexo no tempo (espelhamento em torno do eixo das ordenadas)

[ ] [ ]( ) ( )

x n e x n

x t e x t

( ) ( )x t e x t


Mudana de escala no tempo

[ ] [ ]( ) ( )

.

.

x n e x n

x t e x t

1 sinal comprimido

1 sinal estendido

se

se

>

<


Exemplo 1.3: dada a funo x(t) abaixo,

determine graficamente: 3

12

x t + 2

t0 t1 t2


t0 t1 t2

0

1

2

3 21 0

2 33

1 1 023 2

1 22 3

t t t

t t t

t t t

+ = = =

+ = = =

+ = = =

31

2x t +

t


Exerccio 1.21: dada a funo x(t) abaixo, determine

3

42

tx

3

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x(t)

0 2 4 6 8 10 12-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x(t)

Sinais Peridicos e Aperidicos

Sinal peridico de tempo contnuo x(t) Existe um valor positivo T tal que x(t) = x(t + T) O sinal no se modifica com o deslocamento T no

tempotempo Alm disso, se x(t) for peridico, ento x(t) = x(t + mT), para qualquer m inteiro Assim, os valoes mT so os perodos de x(t) e T0

o menor valor positivo dentre os perodos, denominado perodo fundamental

Se x(t) for constante, ento o perodo indefinido


Sinal peridico de tempo discreto x[n] Existe um valor positivo N tal que x[n] = x[n + N] O sinal no se modifica com o deslocamento O sinal no se modifica com o deslocamento

T no tempo Alm disso, se x[n] for peridico, ento x[n] = x[n + mN], para qualquer m inteiro Assim, os valoes mN so os perodos de

x[n] e N0 o menor valor positivo dentre os perodos, denominado perodo fundamental


Perodo fundamental T0 = T

Sinais com Simetria Par e com Simetria mpar

Sinais com simetria par possuem a seguinte caracterstica:

( ) ( )[ ] [ ]

x t x t

x n x n

=

= Sinais com simetria mpar possuem a seguinte caracterstica:

[ ] [ ]x n x n =

( ) ( )[ ] [ ]

x t x t

x n x n

=

=


Qualquer sinal pode ser decomposto em uma soma de dois sinais, sendo um com simetria par e outro com simetria mpar

( ){ } ( ) ( )12

Ev x t x t x t= +

( ){ } ( ) ( )12

Od x t x t x t=

(parte par)

(parte mpar)

( ){ } ( ){ } ( )Ev x t Od x t x t+ =


Exemplo: dado determine

a parte par e a parte mpar de x[n]

[ ] 1, 00, 0

nx n

n

=


Exerccio 1.24: Esboce a parte par e a parte mpar do sinal indicado abaixo

3

-6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

n

x[n]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-3

-2

-1

0

1

2

3

n

Parte par

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-3

-2

-1

0

1

2

3

n

Parte mpar

Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Contnuo

Sinal exponencial complexo de tempo contnuo , sendo:

e Casos especiais importantes

( ) atx t Ce=jC C e = 0a r j= +

Casos especiais importantes I Se C e a forem nmeros reais, ento x(t)

ser uma exponencial crescente ou decrescente (dependendo do sinal de a)

II Se a for um nmero imaginrio puro e C for igual a 1, ento ( ) 0j tx t e =


O sinal possui como propriedade importante a periodicidade

Sendo um sinal peridico, tem-se:

( ) 0j tx t e =

( )00 0 0 0j t Tj t j t j t j Te e e e e += =

Perodo Fundamental

Assim, para que a condio de periodicidade seja satisfeita, tem-se:

e e e e e= =

0

0

00

0

1

22

j Te ou

T T

== = =

00

2T

=


Note que os mltiplos de 2 tambm satisfazem a condio de periodicidade. Portanto

tambm satisfaz a condio de 0 1j Te =0 2 , 0, 1, 2,T k k = = K

tambm satisfaz a condio de O sinais exponenciais complexos

so harmonicamente relacionados e a k-sima harmnica possui perodo de

0 1j Te =

( ) 0 , 0, 1, 2,jk tk t e k = = K

00 0

22

kT T k T k T

= = =


III Se a for um nmero imaginrio puro e C for um nmero complexo genrico, pode-se obter um sinal senoidal a partir de:

( ) 0 00cos 2 2j t j tj jA AA t e e e e + = +

a qual pode ser verificada a partir da relao de Euler

( )0cos 2 2A t e e e e + = +

( ) ( )cosje jsen = +


Representao de uma soma de dois exponenciais complexos como o produto entre uma exponencial complexa e um sinal senoidal

Passo 1: determinar o fator exponencial complexa, cujo expoente igual a mdia das frequncias das duas exponenciais complexas

Exemplo:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 3 2,5 0,5 0,5

2,52 cos 0,5

j t j t j t j t j t

j t

x t e e x t e e e

x t e t

= + = +

=


IV Se a e C forem nmeros complexos genricos, ento:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0r j t j tat j rtx t Ce C e e C e e + += = =

( ) ( ) ( )0 0cosat rt rtx t Ce C e t j C e sen t = = + + +

0jsendo C C e e a r j = = +


Exemplo de sinais exponenciais complexas genricos

Sinais Senoidais e Exponenciais Complexas de Tempo Discreto

Sinal exponencial complexo de tempo discreto definido como:

[ ] [ ] ,n nx n C ou x n Ce sendo e = = =

Casos especiais importantes I Se C e forem nmeros reais, ento x(t)

ser uma exponencial, cuja forma depende de

[ ] [ ]


II Se for um nmero imaginrio puro e C for igual a 1, de modo que ||=1, ento

III Se for um nmero imaginrio puro e C for

[ ] 0j nx n e = III Se for um nmero imaginrio puro e C for

um nmero complexo genrico, pode-se obter um sinal senoidal a partir de:

a qual pode ser verificada a partir da relao de Euler

( ) 0 00cos 2 2j n j nj jA AA n e e e e + = +

( ) ( )cosje jsen = +


IV Se C e forem nmeros complexos genricos, representados na forma polar por

ento

0jjC C e e e = =ento

[ ] ( )00n n j nj nn jx n C C e e C e += = =

[ ] ( ) ( )0 0cosn nnx n C C n j C sen n = = + + +


Exemplos:

1 >

1

Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto 1a) Para , quanto maior for ,

maior ser a taxa de oscilao do sinal 1b) O sinal peridico para qualquer

valor de e o perodo T pode ser

0j te 0

0j te

valor de e o perodo T pode ser qualquer nmero real

2a) O sinal se repete a medida que a frequncia angular incrementada de 2

0

0j ne

( )0 0 02 2j n j n j nj ne e e e + = =

Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto

-0.5

0

0.5

1

x[n]

= c

os(w

0n)

cos[(pi/10)n]cos[(pi/6)n]

00

0 5 10 15 20 25 30-1

n

cos[(pi/6)n]cos[(pi/2)n]cos[(pi)n]

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

n

x[n]

= c

os(w

0n)

cos[(pi)n]cos[(3pi/2)n]cos[(11pi/6)n]cos[(57pi/30)n]

0 2

Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto 2b) A condio para que seja peridico 0j ne

( ){

00 0 0

1

j n Nj n j n j Ne e e e +

=

= =

0 001 .2 2

j N me N mN

= = =Deve-se encontrar um valor m tal que

lembrando que o perodo N um nmero inteiro0

2N m

=

01 .2 2e N m

N

= = =

Sinais Exponenciais Complexos: Tempo Contnuo X Tempo Discreto Exerccio: avalie se a funo abaixo

peridica ou no:

Exerccio: avalie se os sinais abaixo so ( ) ( ) ( )41 2 j tx t e u t+=

Exerccio: avalie se os sinais abaixo so peridicos ou no e, em caso afirmativo, determine o perodo fundamental

( ) ( )101 j tx t je u t=( )3 5 1 2

5[ ] 3j nx n e +=[ ] ( )

31 2

54 3

j nx n e

+=

Funes Impulso Unitrio e Degrau Unitrio

[ ] ( )0, 0 0, 01, 0 1, 0

n tn e t

n t

= = = =

Funo Impulso Unitrio

[ ] ( )0, 0 0, 01, 0 1, 0

n tu n e u t

n t

<


Relao entre impulso unitrio e degrau unitrio de tempo discreto

[ ] [ ] [ ]1n u n u n = Equao de diferena(equivalente a derivao)[ ] [ ]

n

m

u n m=

= Soma cumulativa(equivalente a integrao)


Relao entre impulso unitrio e degrau unitrio de tempo discreto

[ ] [ ]u n n k

=

Mudana de varivelk = n m, na equao da

soma cumulativa

[ ] [ ]0k

u n n k=

=


Relao entre impulso unitrio e degrau unitrio de tempo contnuo

( ) ( )t

u t d = ( ) ( )u t d

=

( ) ( )du ttdt

=


Reescrevendo a Equao

( ) ( )t

u t d

=

Mudana de varivel t =

( ) ( )( ) ( )0

0

u t t d t d

= =


H uma descontinuidade em t = 0. Assim, em termos prticos deve-se considerar a aproximao:

( ) ( )du tt = ( ) ( )limt t =( ) ( )du ttdt

= ( ) ( )0limt t =


Na prtica, o pulso com uma durao suficientemente curta, quando comparada aos tempos de resposta de um sistema fsico, uma aproximao da funo fsico, uma aproximao da funo impulso Exemplo: pulso utilizado para amostragem de um sinal


Exerccio 1.14:

A derivada deste sinal est relacionada com o trem de impulsos

( ) 1, 0 12, 1 2

tDado x t

t

= <

Sistemas de Tempo Contnuo e Sistemas de Tempo Discreto

Descrio de um Sistema Fsico: Aproximao X Real

Qualquer descrio de um sistema fsico ser to boa quanto mais aproximado for o modelo matemtico obtido para represent-lorepresent-lo

Na prtica da Engenharia, fundamental identificar os limites de validade das hipteses utilizadas na determinao de um modelo

Interconexo de Sistemas

Propriedades Bsicas de Sistemas

Sistemas sem memria: Sada em um determinado instante depende

apenas do valor da entrada neste instante Exemplo: Exemplo:

Sistema com memria Sada atual depende da entrada em instante

de tempo diferente do atual

( ) ( ) [ ] ( )y t x t ou y n x n= = Sistema identidade


O sistema com memria armazena informaes sobre valores de entrada em instantes diferentes do atual (passados ou futuros)

Frequentemente, a memria est associada ao armazenamento de energia em sistemas fsicos.

[ ] [ ]n

k

y n x k=

= [ ] [ ]1y n x n= acumulador atracador

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

1n

k

y n x k x n y n y n x n

=

= + = +


Sistemas inversos Um sistema inverso se colocado em

cascata com outro e a sada resultante igual a entrada do sistema que o precedea entrada do sistema que o precede


Causalidade Um sistema causal se a sada depende dos

valores da entrada apenas nos instantes presente e passadospresente e passados

Os sistemas no causais dependem de valores futuros das entradas

Exemplo: mdia no causal

[ ] [ ]12 1

M

k M

y n x n kM =

= +


Estabilidade Um sistema estvel se para um entrada

limitada, a sada correspondente tambm limitada (no diverge)

Invarincia no tempo Invarincia no tempo As caractersticas fsicas do sistema so

constantes ao longo do tempo Se um deslocamento no tempo do sinal de

entrada produz um deslocamento no tempo do sinal de sada

( ) ( ) [ ] [ ]0 0 0 0x t t y t t ou x n n y n n


Linearidade Um sistema linear se obedecer o princpio

da superposio: Entrada consiste de uma soma ponderada de Entrada consiste de uma soma ponderada de

diversos sinais, ento a sada a soma ponderada das respostas para cada um desses sinais

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2 1 2x t x t y t y t ou x n x n y n y n+ + + +Aditividade

( ) ( ) [ ] [ ]1 1 1 1ax t ay t ou ax n ay n Homogeneidade


Combinando as propriedade de aditividade e homogeneidade:

Generalizando, dada a entrada x[n] de um ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2 1 2ax t bx t ay t by t ou ax n bx n ay n by n+ + + +

Generalizando, dada a entrada x[n] de um sistema linear

a sada y[n] ser, pelo princpio da superposio

[ ] [ ]k kk

x n a x n=

[ ] [ ]k kk

y n a y n=


Para sistemas lineares, uma entrada que constantemente nula produz uma sada que constantemente nula (de acordo com a propriedade da homogeneidade)

( ) ( ) [ ] [ ]0. 0. 0. 0.x t y t ou x n y n Alguns sistemas no-lineares podem ser

representados como a superposio da resposta de um sistema linear e a resposta entrada nula do sistema

( ) ( ) [ ] [ ]0. 0. 0. 0.x t y t ou x n y n


Um sistema no-linear cuja sada a superposio da resposta de um sistema linear e a resposta entrada nula denominado incremental

[ ] [ ] [ ]{

1 0

resposta aentradanula

y n y n y n= +


Exemplo de sistema incremental:

se x1[n] = 2 e x2[n] = 3, ento y1[n] = 7 e y2[n] = 9. Assim, a propriedade da

[ ] [ ]2 3y n x n= + Resposta a entrada nula

y1[n] = 7 e y2[n] = 9. Assim, a propriedade da aditividade foi violada, pois

[ ] [ ] [ ] [ ]( )( )

1 2 1 22 3

7 9 2 2 3 3

16 13

y n y n x n x n+ + +

+ + +


Note que o sistema gerado pela diferena entre as respostas a duas entradas distintas para um sistema incremental linear, pois

[ ] [ ]{ } [ ] {}0 , ,dado y n f x n y n sendo f linear= +

obtem-se uma funo linear resultante da diferena

[ ] [ ]{ } [ ] {}[ ] [ ] [ ] [ ]

0

1 1 2 2

, ,

,

dado y n f x n y n sendo f linear

dado que x n y n e x n y n

= +

[ ] [ ] [ ]{ } [ ]{ }1 2 1 2y n y n f x n f x n =

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