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Mapas de Karnaugh

Professor Gilvan Maiochi

Introdução

Minimizar ou Simplificar uma função booleana é a operação mediante a qual se reduz ao mínimo o número de termos, resultando em economia do circuito a ela correspondente. Os métodos de aplicação mais frequentes na minimização de uma função ou expressão booleana são:

1. Método Algébrico

2. Método do Mapa de Karnaugh

3. Método de Quine-Mckluskey

Nosso objetivo na aula de hoje é aprender a utilizar o método do Mapa de karnaugh para a simplificação de circuitos.

O método algébrico já foi estudado como aplicação dos teoremas da Álgebra de Boole; Citarei apenas um exemplo, como lembrete, para possibilitar comparações futuras com o Mapa de Karnaugh.

Introdução

Seja minimizar a função

y = a((b + c') (b' + c)) + ab + (a' + b') (b + c')

Solução:y = a((b + c') (b' + c)) + ab + (a' + b') (b + c')

= a(bb' + bc + b'c' + cc') + ab + (a' b + a'c' + b'b + b'c')

= abc + ab'c' + ab + a'b + a'c' + b'c‘= ab + b'c' + a'b + a'c'= (a + a') b + b'c' + a'c'= b + b'c' + a'c'= b + c' + a'c'= b + c' (1 + a')= b + c'

Veremos que podemos transformar sentenças abertas (assunto da aula anterior) em proposições, usando expressões como “para todo”, “qualquer que seja”, “existe um”, etc.

Exemplos Consideremos a sentença aberta P(x) = x + 1 = 1,

podemos, a partir dela, formar as seguintes proposições:• Existe x pertencente a Z, de tal forma que x + 1 = 1• Para todo x pertencente a Z, x + 1 = 1

Existe x N tal que Z Para todo x Q, R Qualquer que seja o número natural ele é inteiro Existe um número primo par

Método do Mapa de Karnaugh

O mapa de Karnaugh é uma forma modificada de tabela-verdade que nos permite representar graficamente uma função booleana e, se for o caso, simplificá-la.

Mapa a uma Variável

No caso de uma variável, o mapa é formado por duas células que correspondem a cada um dos valores 0 e 1 que podem ser atribuídos à variável.

Esta tabela pode ser lida de uma das seguintes maneiras:

ou

onde atribui-se o valor 1 à variável não complementada (a) e o valor 0 à variável complementada (a').

0 1a    

0 1a 0 1

0 1a a' a

Mapa a duas variáveisÉ formado por quatro células que correspondem às combinações binárias que podem ocorrer com estas variáveis. Os termos da função a ser representada devem ser escritos em ordem alfabética e, em todos os mapas de Karnaugh, a ordem em que entrarão as variáveis deve vir claramente anotada na parte superior esquerda.ab  0 1

0 00 10 Representação Binária1 01 11

ab  0 1

0 a'b' ab' Representação Literal1 a'b ab

ab  0 1

0 0 2 Representação Decimal1 1 3

Método do Mapa de Karnaugh

abc  0 1

00 000 10001 001 10111 011 11110 010 110

abc  0 1

00 a'b'c' ab'c'01 a'b'c ab'c11 a'bc abc10 a'bc' abc'

abc  0 1

00 0 101 2 311 6 710 4 5

Mapa a três variáveis

Método do Mapa de Karnaugh

abcd  00 01 11 10

00 0000 0100 1100 100001 0001 0101 1101 100111 0011 0111 1111 101110 0010 0110 1110 1010

abcd  00 01 11 10

00 a'b'c'd' a'bc'd' abc'd' ab'c'd'01 a'b'c'd a'bc'd abc'd ab'c'd11 a'b'cd a'bcd abcd ab'cd10 a'b'cd' a'bcd' abcd' ab'cd'

abcd  00 01 11 10

00 0 4 12 801 1 5 13 911 3 7 15 1110 2 6 14 10

Mapa a quatro variáveis

Método do Mapa de Karnaugh

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

Representemos, mediante o mapa de Karnaugh, a seguinte função na forma normal disjuntiva:

y = abc' + ab'c' + abc + a'b'c

Trata-se de uma função a três variáveis e o mapa a ser utilizado é:

Para representar a função através do mapa, colocamos o valor 1 nas células correspondentes a cada termo da função deixando as demais vazias. Assim:

abc  0 1

00011110

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

y = abc' + ab'c' + abc + a'b'c

abc  0 1

00 101 111 110 1

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

Representar a função

y = a'b'cd + ab'd + abc' + ac'd'

a quatro variáveis que, em três de seus termos, falta uma variável (não está na forma normal disjuntiva). Relembremos um teorema útil ao Mapa de Karnaugh

ab + ab' = aconforme aplicação das propriedades da álgebra booleana:

F = A . B + A . B'propriedade distributiva (evidenciando o elemento comum)

F = A . (B + B')propriedade dos complementos

F = A . 1propriedade da identidade (ou elemento neutro)

F = A

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

De acordo com o teorema ab + ab' = a, temos:

y = a'b'cd + ab'd + abc' + ac'd'

y = a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + abc'd' + ab'c'd'

y = a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + ab'c'd'

E, construindo o mapa correspondente, vem:

abcd  00 01 11 10

00 a'b'c'd' a'bc'd' abc'd' ab'c'd'01 a'b'c'd a'bc'd abc'd ab'c'd11 a'b'cd a'bcd abcd ab'cd10 a'b'cd' a'bcd' abcd' ab'cd'

abcd  00 01 11 10

00 1 101 1 111 1 110

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

Note-se que no caso de funções como y = a'bcd' + ab deve-se considerar todas as possibilidades de aplicação do teorema ab + ab' = a, ficando o mapa correspondente como se vê a seguir:

y = a'bcd' + ab

y = a'bcd' + abcd + abcd' + abc'd + abc'd'

abcd  00 01 11 10

00 a'b'c'd' a'bc'd' abc'd' ab'c'd'01 a'b'c'd a'bc'd abc'd ab'c'd11 a'b'cd a'bcd abcd ab'cd10 a'b'cd' a'bcd' abcd' ab'cd'

abcd  00 01 11 10

00 101 111 110 1 1

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

Na representação de uma função mediante o mapa de Karnaugh, deve-se buscar a forma mais simples de representação, considerando-se que uma função a duas variáveis pode ser representada em mapas para maior número de variáveis. Assim, a função y = ab tem as seguintes representações:

ab  0 1

01 1

abc  0 1

000111 110 1

abcd  00 01 11 10

00 101 111 110 1

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

Duas células que diferem em apenas uma variável são ditas adjacentes e podem ser combinadas pelo teorema ab + ab' = a. Num mapa de Karnaugh podemos ter células adjacentes, sem que tenham lados comuns.Exemplos:

ab  0 1

01 1 1

ab  0 1

01 a'b ab

abc  0 1

00 101 11110

abc  0 1

00 ab'c'01 ab'c1110

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

Exemplos:

abc  0 1

00 1011110 1

abc  0 1

00 ab'c'011110 abc'

abcd  00 01 11 10

0001 ab'c'd11 ab'cd10

abcd  00 01 11 10

0001 111 110

Representação de uma Função Via Mapa de Karnaugh

Exemplos:

abcd  00 01 11 10

0001 a'b'c'd ab'c'd1110

abcd  00 01 11 10

0001 1 11110

abcd  00 01 11 10

00011110 a'b'cd' ab'cd'

abcd  00 01 11 10

00011110 1 1

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

Dada uma função representada em um mapa de Karnaugh, se encontrarmos termos em células adjacentes, podemos fazer uma simplificação. No mapa que representa a função:y = a'bc'd' + abc'd + a'b'cd + a'bcd + ab'cd'

abcd  00 01 11 10

00 a'bc'd'01 abc'd11 a'b'cd a'bcd10 ab'cd'

abcd  00 01 11 10

00 101 111 1 110 1a'cd

Podemos efetuar a simplificação, substituindo a'b'cd + a'bcd por a'cd. A operação é indicada agrupando-se os dois termos conforme mostra o mapa apresentado.

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

Quando os termos a simplificar encontram-se em células nos extremos do mapa, indicamos conforme segue:

abcd  00 01 11 10

00 101 1 11110 1

a'bd'

b'c'd

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

No mapa da função:y = a'bc'd' + a'bc'd + a'bcd + abc'dtemos:

abcd  00 01 11 10

00 101 1 111 110

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

Lembrando que a função não simplificada é y = a'bc'd' + a'bc'd + a'bcd + abc'd, onde:

ab abcd  00 01 11 10 cd  00 01 11 10

00 1 00 101 1 1 01 1 111 1 11 110 10

y = a'bc' + abc'd + a'bcd y = bc'd + a'bc'd' + a'bcd

abcd  00 01 11 10

00 101 1 111 110

y = a'bd + a'bc'd' + abc'd

a'bc'bc'd

a'bd

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

Transportando as representações anteriores para um único mapa, obtemos:

que é a função simplificada. Para simplificar ao máximo uma função torna-se necessário incluir o mesmo termo em diversos agrupamentos.

abcd  00 01 11 10

00 1

01 1 1

11 1

10

y = a'bc' + bc'd + a'bd

a'bc' bc'd

a'bd

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

Vejamos agora o caso em que as células são adjacentes duas a duas.Simplifique a função

y = a'b'c + a'bc + ab'c + abc

O mapa correspondente é:

abc  0 1

0001 1 111 1 110

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

e, temos duas maneiras diferentes para simplificar a mesma função, ou seja:

Considerando que as celas adjacentes no caso de ac e ac' diferem na variável a e no caso de bc e b'c diferem na variável b, podemos agrupá-las da maneira mostrada a seguir, ou seja:

a abc  0 1 bc  0 1

00 0001 1 1 01 1 111 1 1 11 1 110 10

a'cbc

b'c

ac

a abc  0 1 bc  0 1

00 0001 1 1 01 1 111 1 1 11 1 110 10

c

c

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

Outros casos de simplificação:

ab abcd  00 01 11 10 cd  00 01 11 10

00 1 1 1 00 1 101 1 01 1 1 1 111 1 11 1 110 1 1 1 10 1 1

y = ab' + a'd' y = bd + b'd' + c'd

a'd'c'd

ab'

bd

b'd'

Simplificação de Funções Via Mapa de Karnaugh

Vejamos agora em que as células são adjacentes quatro a quatro:Seja o mapa de Karnaugh que representa a funçãoy = a'b'c'd + a'b'cd + a'bc'd + a'bcd + abc'd + abcd + ab'c'd + ab'cd

abcd  00 01 11 10

0001 1 1 1 111 1 1 1 110

abcd  00 01 11 10

0001 1 1 1 111 1 1 1 110

abcd  00 01 11 10

0001 1 1 1 111 1 1 1 110

y = cd + c'd = dc'd

cd

a'd

ad y = ad + a'd = d