sistemas rotativos sujeitos às não linearidades de mancais...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

Diogo Stuani Alves

Sistemas rotativos sujeitos às não linearidades

de mancais lubrificados

CAMPINAS

2018

Diogo Stuani Alves



Orientadora: Prof. Dra. Katia Lucchesi Cavalca Dedini

CAMPINAS

2018

Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de

Engenharia Mecânica da Universidade Estadual

de Campinas como parte dos requisitos exigidos

para obtenção do título de Doutor em Engenharia

Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e

Projeto Mecânico.

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO

FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO

DIOGO STUANI ALVES, E ORIENTADO PELA

PROFA. DRA KATIA LUCCHESI CAVALCA DEDINI

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INTEGRADOS

TESE DE DOUTORADO



Autor: Diogo Stuani Alves

Orientadora: Katia Lucchesi Cavalca Dedini

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Tese:

Profa. Dra. Katia Lucchesi Cavalca Dedini, Presidente

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP/FEM

Prof. Dr. José Roberto de França Arruda


Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa


Prof. Dr. Gilberto Pechoto de Melo

Universidade Estadual Paulista – UNESP/FEIS

Prof. Dr. Aldemir Aparecido Cavalini Junior

Universidade Federal de Uberlândia – UFU/FEMEC

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida

acadêmica do aluno.

Campinas, 26 de Julho de 2018.

DEDICATÓRIA

Dedico esse trabalho à minha família, em especial à memória de meu pai Marcus

Antônio Alves.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho não poderia ser terminado sem a ajuda de diversas pessoas às quais presto

minha homenagem:

À professora Katia Lucchesi Cavalca Dedini, não só por todo conhecimento transmito

ao longo desses anos, mas também pela ajuda na formação pessoal, paciência e oportunidades

proporcionadas.

Ao grande amigo, e agora professor, Tiago Henrique Machado pelas discussões

técnicas, sugestões, auxílio nos testes experimentais e, principalmente, amizade.

Aos técnicos do Departamento de Sistemas Integrados da Faculdade de Engenharia

Mecânica da Unicamp, Maurício Oliveira de Sant’anna, Mauro Romera e Rosângelo W.

Aparecido Ferreira, por toda ajuda com a montagem e sensoriamento da bancada de testes.

À minha mãe Ivoni Ap. Stuani Alves e minha avó Aurora Tonin Stuani, pelo apoio e

amor incondicionais, sempre.

À minha namorada, companheira e parceira de vida Karina Maria Toledo Pereira, por

estar ao meu lado sempre, independe se bons ou maus momentos.

Aos grandes amigos que fiz nessa jornada e com quem dividi parte da minha vida,

Alexandre de Lima, Claudio Ruffo, Christiano Santim, Edson Vieira Filho, Felipe

Tuckmantel, Gregory Daniel, João Henrique Rodrigues, Luiz Filipe Chiaretto, Pedro Ferro,

Renato Manicardi, Rogério Stuan.

Aos colegas do LAMAR, Augusto, André, Douglas, Gabriel, Gustavo, Hélio, Henrique,

Laís Carrer, Laís Visnardi, Leandro, Leonardo, Letícia, Matheus, Natália Akemi, Natália

Timinsky, Ricardo e Thales, pela ajuda prestada durante a pesquisa e pela amizade.

Aos colegas do futebol, praticada todas as segundas-feiras, pela descontração

proporcionada.

Ao CNPq e CAPES, pelo apoio financeiro, possibilitando a realização deste trabalho.

RESUMO

Máquinas rotativas estão presentes em diversos setores industriais e, principalmente, no

setor energético. Dessa forma, um componente rotativo apoiado em mancais hidrodinâmicos e

que transmite potência cria uma série de problemas característicos que são encontrados em

diversas máquinas, sejam estas turbinas de pequeno ou grande porte, turbo-geradores,

motores, compressores ou bombas. Então, modelos matemáticos representativos das causas e

consequências desses problemas têm sido desenvolvidos para simular as condições de

trabalho dos sistemas rotativos. Contudo, o estudo de rotores é frequentemente realizado

levando-se em conta forças hidrodinâmicas linearizadas, embora os mancais possam

apresentar comportamento altamente não linear, e mesmo agindo localmente podem alterar

significativamente a dinâmica da máquina rotativa, interferindo na realização de

procedimentos básicos, como por exemplo no balanceamento da máquina. Devido à

necessidade de procedimentos numéricos para a solução da equação de Reynolds, a análise de

rotores utilizando modelos não lineares de mancais acarreta em alto tempo computacional,

uma vez que essa equação deve ser resolvida a cada instante de tempo. Sendo assim, esse

trabalho propõe o estudo do comportamento de sistemas rotativos apoiados em mancais não

lineares, sendo que para reduzir o custo computacional, é proposta a aproximação das forças

hidrodinâmicas por uma expansão em série de Taylor de alta ordem. Por esse motivo,

primeiramente, foram realizadas diversas simulações para verificar as situações nas quais o

modelo linear não é mais válido, mostrando que em situações com altas forças de excitação o

modelo não linear deve ser utilizado. Em seguida, foi realizada a análise do uso de

coeficientes não lineares, obtidos a partir da expansão em série de Taylor, para representar o

comportamento das forças hidrodinâmicas e da dinâmica do rotor, sob a influência de alta não

linearidade, mostrando que essa abordagem consegue reproduzir de forma eficaz o

comportamento dinâmico do sistema com menor custo computacional. Finalmente, foi

proposta uma identificação de desbalanceamento, que não necessita de massas de triagem,

para verificar a influência das não linearidades no balanceamento de rotores, mostrando que

tal procedimento pode ser mais eficaz ao se considerar mancais não lineares. Ademais, testes

experimentais foram realizados para validar os resultados numéricos obtidos.

Palavras-chave: Dinâmica de Rotores, Mancais Hidrodinâmicos, Não Linearidades, Ajuste de

Forças, Coeficientes Não Lineares, Identificação de Desbalanceamento.

ABSTRACT

Rotating machines are present in several industrial sectors, mainly, in energy generation

sector. In this way, a rotating component sustained by hydrodynamic bearings and

transmitting power creates typical problems that are found in several machines, being that

small or large turbines, turbo generators, motors, compressors or pumps. Therefore,

representative mathematical models have been developed in order to simulate specific rotating

systems working conditions. However, the study of rotors is frequently performed taking into

account linearized hydrodynamic forces, although bearings may present highly nonlinear

behavior. Despite this nonlinear force acts locally in the system, it can significantly change

the rotating machine dynamics, interfering in basic procedures such as rotor balancing. Due to

the necessity of numerical procedures for the Reynolds equation solution, rotors analysis

using nonlinear bearings is extremely time consuming, since this equation must be solved at

each time step. Thus, this work analyzes the behavior of rotating systems supported by

nonlinear hydrodynamic bearings, and in order to reduce the computational cost, it is

proposed a hydrodynamic forces approximation by a high order Taylor series expansion. For

this reason, firstly, several simulations were performed in order to verify situations where the

linear model is no longer valid. The results showed that the nonlinear model should be used in

situations with high excitation forces. Then, the use of nonlinear coefficients, obtained from

Taylor series expansion, to represent the hydrodynamic forces and rotor dynamics behavior,

under influence of high nonlinearity, was analyzed. It was observed that this approach can

effectively reproduce the system dynamic behavior with much lower processing time. Finally,

an unbalance identification, without requirement of trial masses, has been proposed to verify

the nonlinearities influence on rotor balancing, showing that this procedure can be more

efficient when considering nonlinear bearings. In addition, the numerical results validation

was performed through experimental tests.

Keywords: Rotordynamics, Hydrodynamic Bearings, Nonlinearities, Force Adjustment,

Nonlinear Coefficients, Unbalance Identification.

LISTA DE ILUSTRAÇÃO

Figura 3.1: Configuração do sistema rotativo (Nelson e McVaugh, 1976). ............................. 50

Figura 3.2: Elemento de disco. ................................................................................................. 53

Figura 3.3: Elemento de viga. ................................................................................................... 54

Figura 3.4: Sistema de coordenadas. ........................................................................................ 58

Figura 3.5: Malha computacional bidimensional. .................................................................... 61

Figura 3.6: Representação linear do mancal hidrodinâmico. ................................................... 62

Figura 3.7: Aplicação da restrição na obtenção dos coeficientes da força hidrodinâmica para

um caso bidimensional. ............................................................................................................ 71

Figura 3.8: Relaxação linear do MINLP. ................................................................................. 76

Figura 3.9: Condições de Wolfe. .............................................................................................. 83

Figura 3.10: Árvore binária utilizada para a solução do MILP associado. .............................. 86

Figura 4.1: Bancada de Testes do LAMAR ............................................................................. 90

Figura 4.2: a) Mancal e munhão utilizados para a montagem do rotor; b) Acoplamento

flexível. ..................................................................................................................................... 91

Figura 4.3 Mecanismo para desacoplar os movimentos da caixa do mancal e célula de carga

utilizada. ................................................................................................................................... 91

Figura 4.4: Sistema de lubrificação. ......................................................................................... 92

Figura 4.5: a) Disco utilizado para montagem do rotor; b) Atuador magnético (Mendes, 2011).

.................................................................................................................................................. 93

Figura 4.6: Instrumentação da bancada de testes (Mendes, 2011). .......................................... 94

Figura 4.7: Programa em Labview® para aquisição de dados. ................................................ 95

Figura 5.1: Modelo do rotor Laval por elementos finitos......................................................... 98

Figura 5.2: Resposta orbital do primeiro mancal para β=1,5x10-5 e m=3g: a) Todas as

velocidades de rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz. ......................................... 100

Figura 5.3: Resposta orbital do disco para β=1,5x10-5 e m=3g: a) Todas as velocidades de

rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz. .................................................................. 100




rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz. .................................................................. 102

Figura 5.6: Resposta orbital do primeiro mancal para β=3x10-5 e m=3g: a) Todas as


Figura 5.7: Resposta orbital do disco para β=3x10-5 e m=3g: a) Todas as velocidades de

rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz ................................................................... 104


velocidades de rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz .......................................... 104


rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz ................................................................... 105

Figura 5.10: Modelo do rotor com dois discos por elementos finitos. ................................... 106

Figura 5.11: Resposta orbital para o rotor com dois discos com m=3g: a) No primeiro mancal;

b) Zoom no primeiro mancal para a velocidade de rotação de 3Hz e 8Hz; c) No disco; d)

Zoom no primeiro disco para a velocidade de rotação de 3Hz e 8Hz. ................................... 107

Figura 5.12: Resposta orbital para o rotor com dois discos com m=15g: a) No primeiro

mancal; b) No disco; c) Zoom no primeiro mancal para a velocidade de rotação de 3Hz; d)

Zoom no primeiro disco para a velocidade de rotação de 3Hz. ............................................. 108

Figura 5.13: Resposta orbital para eixo com excentricidade de 0,9: a) Para o primeiro mancal;

b) Zoom para o primeiro mancal. ........................................................................................... 109

Figura 5.14: Resposta orbital para eixo com excentricidade de 0,99: a) Para o primeiro

mancal; b) Zoom para o primeiro mancal. ............................................................................. 110

Figura 5.15: Resposta orbital para eixo com excentricidade de 0,9 e m=200g: a) Para o

primeiro mancal; b) Zoom para o primeiro mancal; c) Para o disco; d) Zoom na resposta do

disco para a velocidade de 3Hz. ............................................................................................. 111

Figura 5.16: Resposta orbital para excitação harmônica F0=2N: a) Para o primeiro mancal; b)

Zoom no primeiro mancal para a velocidade de 3Hz; c) Para o disco. .................................. 112

Figura 5.17: Resposta orbital para excitação harmônica F0=15N: a) Para o primeiro mancal;

b) Para o disco. ....................................................................................................................... 113

Figura 5.18: Resultado da simulação para a rotação de 22Hz: a) Força hidrodinâmica

horizontal; b) Força hidrodinâmica vertical; c) Diferença entre as forças para a direção

horizontal; d) Diferença entre as forças para a direção vertical; e) Órbita do primeiro mancal;

f) Órbita do disco. ................................................................................................................... 115




f) Órbita do disco; g) Deslocamento horizontal no primeiro mancal; h) Deslocamento vertical

no primeiro mancal. ................................................................................................................ 117

Figura 5.20: Resultado da simulação para a rotação de 10Hz e desbalanceamento de 1.7kg: a)

Força hidrodinâmica horizontal; b) Força hidrodinâmica vertical; c) Diferença entre as forças

para a direção horizontal; d) Diferença entre as forças para a direção vertical; e) Órbita do

primeiro mancal; f) Órbita do disco. ...................................................................................... 119

Figura 5.21: Resultado da simulação para a rotação de 10Hz e desbalanceamento no nó 1: a)



primeiro mancal; f) Órbita do disco. ...................................................................................... 120

Figura 5.22: Resultado da simulação para a rotação de 20Hz e alta excentricidade: a) Força

hidrodinâmica horizontal; b) Força hidrodinâmica vertical; c) Diferença entre as forças para a

direção horizontal; d) Diferença entre as forças para a direção vertical; e) Órbita do primeiro

mancal; f) Órbita do disco. ..................................................................................................... 121

Figura 5.23: Comportamento da função objetivo: a) Para o ajuste da força horizontal; b) Zoom

para o ajuste da força horizontal; c) Para o ajuste da força vertical; b) Zoom para o ajuste da

força vertical. .......................................................................................................................... 122

Figura 5.24: Relação entre bias e variância: a) Para o ajuste da força horizontal; b) Para o

ajuste da força vertical. ........................................................................................................... 123

Figura 5.25: Modelo do rotor para aplicação do controle por elementos finitos.................... 123

Figura 5.26: Resposta orbital no segundo mancal para velocidade de rotação de 40Hz: a) Sem

controle; b) Com controle. ...................................................................................................... 125

Figura 5.27: Resposta orbital no segundo mancal para velocidade de rotação de 43.3Hz: a)

Sem controle; b) Com controle. .............................................................................................. 126


controle; b) Com controle. ...................................................................................................... 126

Figura 5.29: Resposta do segundo mancal para velocidade de rotação de 80Hz: a)

Deslocamento horizontal sem controle; b) Deslocamento vertical sem controle; c) Órbita com

controle. .................................................................................................................................. 127

Figura 5.30: Modelo do rotor para primeira verificação de identificação do desbalanceamento.

................................................................................................................................................ 129

Figura 5.31: Módulo das DFTs para o mancal 1: a) Direção horizontal e coeficientes não

lineares; b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e coeficientes não lineares; d)

Direção vertical e linear. ......................................................................................................... 131

Figura 5.32: Fase das DFTs para o mancal 1: a) Direção horizontal e coeficientes não lineares;

b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e coeficientes não lineares; d) Direção

vertical e linear. ...................................................................................................................... 132







Figura 5.35: Módulo das DFTs sem e com balanceamento para o mancal 1: a) Direção

horizontal e coeficientes não lineares; b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e

coeficientes não lineares; d) Direção vertical e linear. ........................................................... 134



coeficientes não lineares; d) Direção vertical e linear. ........................................................... 135

Figura 5.37: Configuração da bancada de testes para verificação do comportamento não linear

dos mancais. ........................................................................................................................... 137

Figura 5.38: Resposta ao desbalanceamento para a direção horizontal: a) Primeiro mancal; b)

Segundo mancal; c) Disco. ..................................................................................................... 138

Figura 5.39: Resposta ao desbalanceamento para a direção vertical: a) Primeiro mancal; b)

Segundo mancal; c) Disco. ..................................................................................................... 139

Figura 5.40: Comparação das respostas orbitais numéricas e experimentais: a) Para 43Hz; b)

Para 49,3Hz; c) Para 70Hz. .................................................................................................... 141

Figura 5.41: Comparação com a DFT experimental à 43Hz: a) Direção horizontal e Reynolds;

b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e Reynolds; d) Direção vertical e linear. 142

Figura 5.42: Comparação com a DFT experimental à 49,3Hz: a) Direção horizontal e

Reynolds; b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e Reynolds; d) Direção vertical e

linear. ...................................................................................................................................... 143


b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e Reynolds; d) Direção vertical e linear. 143

Figura 5.44: Configuração da bancada de testes para validação do ajuste por coeficientes não

lineares. ................................................................................................................................... 144


Segundo mancal. ..................................................................................................................... 145


Segundo mancal. ..................................................................................................................... 146

Figura 5.47: Comparação das respostas orbitais numérica e experimental para a velocidade de

rotação de 40Hz: a) Sem controle; b) Com controle. ............................................................. 146

Figura 5.48: Comparação com a DFT experimental sem controle à 40Hz: a) Direção

horizontal e Reynolds; b) Direção horizontal e coeficientes não lineares; c) Direção vertical e

Reynolds; d) Direção vertical e coeficientes não lineares. ..................................................... 147

Figura 5.49: Comparação com a DFT experimental com controle à 40Hz: a) Direção




rotação de 43,3Hz: a) Sem controle; b) Com controle. .......................................................... 149

Figura 5.51: Comparação com a DFT experimental sem controle à 43,3Hz: a) Direção













Reynolds; d) Direção horizontal e coeficientes não lineares. ................................................. 152





Reynolds; d) Direção vertical e coeficientes não lineares ...................................................... 154




LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1: Detalhes do modelo de elementos finitos. ............................................................. 98

Tabela 5.2: Parâmetros dos mancais. ....................................................................................... 99

Tabela 5.3: Nível de desbalanceamento segundo a norma ISO 1940-1:2003 ........................ 101

Tabela 5.4: Detalhes do modelo de elementos finitos para o rotor com dois discos. ............. 106

Tabela 5.5: Detalhes do modelo de elementos finitos do rotor para aplicação do controle. .. 124

Tabela 5.6: Parâmetros dos mancais do rotor para aplicação do controle. ............................. 125

Tabela 5.7: Detalhes do modelo de elementos finitos do rotor para verificação da identificação

do desbalanceamento. ............................................................................................................. 129

Tabela 5.8: Parâmetros dos mancais do rotor para verificação da identificação do

desbalanceamento. .................................................................................................................. 129

Tabela 5.9: Resultados da identificação do desbalanceamento numérico para o primeiro

modelo de rotor. ...................................................................................................................... 130

Tabela 5.10: Resultados da identificação do desbalanceamento experimental para o primeiro

modelo de rotor. ...................................................................................................................... 156

LISTA DE SIGLAS

EPE – Empresa de Pesquisa Energética.

PIB – Produto Interno Bruto.

LAMAR – Laboratório de Máquinas Rotativas.

MINLP – Programação Não Linear Misto-Inteiro.

NLP – Programação Não Linear.

OA – “Outer Approximation”.

MILP – Programação Linear Misto-Inteiro.

SUMÁRIO

RESUMO ................................................................................................................................... 8

ABSTRACT ............................................................................................................................... 9

LISTA DE ILUSTRAÇÃO ...................................................................................................... 10

LISTA DE TABELAS ............................................................................................................. 16

LISTA DE SIGLAS ................................................................................................................. 17

SUMÁRIO ................................................................................................................................ 18

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 20

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 27

2.1 Modelagem de Sistemas Rotativos ............................................................................ 27

2.2. Mancais Hidrodinâmicos ........................................................................................... 30

2.3. Representação dos Mancais Hidrodinâmicos na Dinâmica de Rotores ..................... 33

2.4. Balanceamento de Rotores ......................................................................................... 39

2.5. Identificação de Falhas .............................................................................................. 43

3. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO E MODELAGEM NUMÉRICA ........................... 49

3.1. Modelagem do Sistema Rotativo ............................................................................... 49

3.1.1. Elemento de Disco .............................................................................................. 52

3.1.2. Elemento de Viga ............................................................................................... 54

3.2. Modelo de Mancais Hidrodinâmicos ......................................................................... 57

3.3. Não Linearidades e Solução no Domínio do Tempo ................................................. 63

3.4. Caracterização da Força não Linear ........................................................................... 67

3.5. Identificação do Desbalanceamento Rotativo ............................................................ 72

3.5.1. Solução de Problemas de Programação Não Linear Misto-Inteiro (MINLP) .... 75

3.5.2. Método “Outer Approximation” (OA) ............................................................... 77

3.5.3. Solução do Problema de Programação Não Linear (NLP) ................................. 79

3.5.4. Solução do Problema de Programação Linear Misto-Inteiro (MILP) ................ 84

3.5.5. Considerações Finais .......................................................................................... 87

4. DESCRIÇÃO DA BANCADA DE TESTES .................................................................. 89

4.1. Elementos do Banco de Teste .................................................................................... 89

4.2. Instrumentação da Bancada ....................................................................................... 93

5. RESULTADOS ................................................................................................................ 96

5.1. Presença de Não Linearidade Proveniente dos Mancais............................................ 97

5.1.1. Efeito do Amortecimento Proporcional Estrutural ............................................. 99

5.1.2. Influência do Efeito Giroscópico ...................................................................... 105

5.1.3. Efeito da Excentricidade do Eixo no Interior do Mancal ................................. 109

5.1.4. Efeito da Magnitude do Desbalanceamento ..................................................... 110

5.1.5. Efeito de Diferentes Forças de Excitação ......................................................... 111

5.2. Aproximação das Forças Hidrodinâmicas por Coeficientes Não Lineares ............. 113

5.3. Identificação do Desbalanceamento ........................................................................ 127

5.4. Validação Experimental ........................................................................................... 135

5.4.1. Verificação do Comportamento Não Linear dos Mancais ............................... 136

5.4.2. Validação do Ajuste por Coeficientes Não Lineares ........................................ 144

5.4.3. Validação da Identificação do Desbalanceamento ........................................... 155

6. CONCLUSÕES E DESDOBRAMENTOS DO TRABALHO ...................................... 160

6.1. Desdobramentos do Trabalho .................................................................................. 163

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................................................................... 164

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR .................................................................................. 178

20

1 INTRODUÇÃO

O estudo da dinâmica de rotores associado às aplicações tecnológicas data da segunda

metade do século XIX, quando o aumento da velocidade de rotação de vários componentes

tornou necessária a inclusão da mesma na análise do comportamento dinâmico dessas

máquinas.

Nesse período, o primeiro grande estudo dedicado exclusivamente a dinâmica de rotores

foi realizado por Rankine (1869), sendo o assunto a amplificação das vibrações quando o

rotor se aproximava de sua frequência natural, definida por ele como “velocidade crítica”.

Entretanto, Rankine concluiu que a utilização estável de máquinas rotativas acima da

velocidade crítica era impossível. Esse mito foi derrubado apenas quando De Laval,

experimentalmente, e Föppl e Jeffcott teoricamente, entenderam corretamente o

comportamento do rotor em condições supercríticas.

Desde então, a procura por maior potência, menor peso, maiores velocidades e maior

confiabilidade desse tipo de maquinário tem impulsionado a busca por soluções que sejam

economicamente viáveis. Dentro desse contexto, as manutenções preventivas e preditivas vão

de encontro com as novas necessidades impostas pelos usuários de máquinas rotativas, sendo

que o monitoramento das vibrações durante o funcionamento dessas tem sido amplamente

utilizado para averiguar se o estado de operação é saudável.

Em Junho de 2017, o Ministério de Minas e Energias, juntamente com a Empresa de

Pesquisa Energética (EPE), divulgou o Balanço Energético Nacional, tendo por objetivo

apresentar uma medida relativa da oferta e da demanda de energia no país, contemplando todo

o ciclo da energia, desde sua obtenção até o consumo final. Sendo assim, para o ano base do

relatório (2016), o mesmo mostra uma diminuição da oferta interna total de energia de 3,8%,

seguindo a tendência da economia nacional, cujo PIB retraiu 3,6%. No entanto, a

disponibilidade de energia elétrica apresentou comportamento contrário, com aumento 0,7%

em relação ao ano anterior, sendo esse alavancado pela expansão de 54,9% do setor eólico e

crescimento de 7% da energia gerada pelo setor hidráulico.

Para a geração de energia elétrica, seja ela proveniente de recursos hidrológicos, eólicos

ou térmicos, as unidades geradoras são formadas em sua maioria por máquinas rotativas, ou

seja, o setor elétrico brasileiro é fortemente dependente das mesmas, nos seus mais diversos

tipos.

Além das plantas de geração de energia, também necessitam de uma operação confiável

21

em termos de paradas não programadas para manutenção, por exemplo, indústrias

petrolíferas, de manufatura, de transporte, aeroespaciais, condicionamento de ar, entre outras.

A mecânica dos sistemas rotativos constitui um campo interessante, possuindo

considerável profundidade e abrangência, uma vez que utiliza os princípios de todas as áreas

fundamentais da engenharia mecânica: mecânica dos sólidos, dinâmica, mecânica dos fluidos,

transferência de calor e controle.

Assim, um componente rotativo apoiado em suportes flexíveis e transmitindo potência

cria uma série de problemas característicos que são encontrados em diversas máquinas, sejam

estas turbinas de pequeno ou grande porte, turbo-geradores, motores, compressores ou

bombas. Por isso, modelos matemáticos representativos das causas e consequências desses

problemas, com o maior grau de fidelidade possível, têm sido desenvolvidos para simular as

condições de trabalho dos sistemas rotativos.

Para uma análise detalhada dessas máquinas, é necessário levar em conta diversos

parâmetros, ou seja, além de se avaliar o comportamento dinâmico do rotor, devem ser

considerados os demais componentes do sistema como, por exemplo, os mancais. Tais

elementos de máquina são normalmente usados para separar componentes com movimento

relativo entre si, evitando assim o contato.

O mancal do tipo hidrodinâmico possui fluido lubrificante inserido entre as partes

rígidas, de forma a substituir o atrito seco pelo atrito viscoso e diminuir consideravelmente a

temperatura de funcionamento, o atrito e o desgaste das superfícies. Geralmente são

representados por superfícies curvilíneas, sendo a mais comum a cilíndrica, acomodando,

portanto, o eixo em seu interior. O lubrificante é suprido em algum ponto conveniente do

mancal através de rasgos ou furos.

No ano de 1886, Osborne Reynolds (1886) completou os estudos que culminaram na

equação diferencial parcial de segundo grau conhecida como Equação de Reynolds, que se

tornou a base da teoria clássica da lubrificação hidrodinâmica. Essa equação preconiza que,

para suportar a carga aplicada, os mancais dependem tanto do movimento rotacional quanto

do movimento translacional do eixo, gerando assim o campo de pressões no filme de fluido.

Fisicamente, a velocidade relativa não nula entre o eixo e o mancal é responsável pela criação

das pressões no lubrificante.

Além disso, o eixo, normalmente, não gira concêntrico ao mancal. A excentricidade do

centro geométrico do eixo em relação ao centro geométrico do mancal, além de esmagar o

lubrificante, permite que a rotação do eixo transporte as partículas de fluido de uma região de

maior volume para uma de menor volume, gerando assim, um gradiente de pressões. A

22

posição de excentricidade do eixo, assim como a espessura do filme de óleo, são influenciadas

pela força que está sendo aplicada ao mancal naquele instante, e é auto ajustada até que haja o

equilíbrio dinâmico entre a força aplicada e a pressão gerada no filme de fluido convergente.

No entanto, a análise de rotores, considerando a flexibilidade dos mancais, ocorreu

somente anos mais tarde com Smith (1933). A partir de então, a lubrificação de mancais tem

sido comumente caracterizada por duas propriedades básicas, a rigidez e o amortecimento.

Para a obtenção dos coeficientes que representam essas propriedades faz-se necessário a

linearização das forças hidrodinâmicas ao redor do ponto de equilíbrio do eixo no interior do

mancal. Porém, os mancais hidrodinâmicos podem ter uma natureza altamente não linear que,

mesmo agindo de forma localizada no rotor, afeta totalmente o sistema. Dessa forma, a

utilização dos coeficientes lineares de rigidez e amortecimento para representar o

comportamento dinâmico de maquinas rotativas pode gerar resultados que não possuem a

precisão desejada.

Segundo Genta (2005), quando as não linearidades são consideradas, muitas das

ferramentas e conceitos típicos da dinâmica de rotores perdem seu significado. Assim, as

atenções devem ser concentradas na resposta temporal e na análise espectral dos registros de

vibração. Quando o sistema é altamente não linear, novos fenômenos podem se desenvolver

particularmente aqueles relacionados à presença de subharmônicas ou superharmônicas ou

ainda vibrações caóticas. Sendo assim, a análise no domínio do tempo torna-se necessária

para o correto entendimento dos fenômenos associados ao movimento do rotor.

Para a solução dinâmica de máquinas rotativas, apoiadas em mancais lubrificados, no

domínio do tempo, a equação de movimento deve ser resolvida simultaneamente com a

Equação de Reynolds para cada instante de tempo. Essa equação não possui solução analítica

completa, gerando, então, um alto custo computacional. Por isso, soluções analíticas

simplificadas, reduções de modelo, regressões lineares e outros métodos estão sendo sempre

discutidos como forma de contornar o problema do alto tempo de processamento.

Associado à necessidade de se conhecer o comportamento dinâmico das máquinas

rotativas, ainda existe uma demanda crescente pelo aumento do desempenho do sistema e

redução dos custos de operação, no qual a detecção e diagnóstico de falhas atuam de forma

crucial. De acordo com Chen et al. (1999), a detecção de falhas é entendida como reconhecer

que uma falha aconteceu, enquanto que diagnóstico de falha, também conhecido como

identificação de falha, é encontrar a causa, o tipo, a magnitude e a localização da falha.

Métodos avançados de detecção são baseados em modelos de sinais e processos

matemáticos e em métodos de teoria de sistema e modelagem de processos para gerar os

23

sintomas da falha. Métodos de identificação usam uma relação falha-sintoma aplicando

métodos estatísticos, inteligência artificial e computação de alto nível.

As técnicas de identificação de falhas que se utilizam das medições de vibrações podem

seguir duas abordagens: a baseada em sinais e a baseada em modelo. A baseada em sinais

extrai características qualitativas do sinal adquirido, permitindo ao analista identificar a falha.

A baseada em modelo utiliza o modelo matemático do sistema rotativo, juntamente com as

medições de vibração, para identificar a falha, no entanto a identificação é altamente sensível

à precisão do modelo.

Portanto, o entendimento dos fenômenos existentes em máquinas rotativas, assim como

a resposta gerada pela máquina devido a tal fenômeno, é necessário para se formular os mais

diversos tipos de falhas, entre estes, desbalanceamento, empenamento, desalinhamento,

trincas, ovalização, entre outras. A partir deste ponto, é necessário detectar, isolar e identificar

a falha de forma a erradicar futuros problemas econômicos e funcionais, uma vez que a

identificação precoce e a avaliação de sua severidade podem reduzir o tempo ocioso da

máquina e o período de manutenção, melhorando o prognóstico de vida útil e evitando

acidentes e quebras súbitas.

A detecção e o diagnóstico de falhas envolvem a observação de alguma saída do

sistema, e para sistemas dinâmicos a saída mais utilizada é a vibração. Segundo Musynka

(2005) o monitoramento das vibrações, como parte de programas de manutenção

preditiva/preventiva, tem-se mostrado altamente eficiente economicamente.

Dentre as falhas encontradas em sistemas rotativos, certamente o desbalanceamento é a

mais comum, uma vez que a montagem de diversos componentes leva naturalmente a esse

tipo de falha. As forças de desbalanceamento são funções harmônicas no tempo e sua

magnitude depende do quadrado da velocidade de rotação. Por isso, mesmo pequenas

quantidades de massa desbalanceada podem causar altas amplitudes de vibração,

representando perigo para a operação da máquina. Dessa forma, o balanceamento é necessário

para uma operação segura.

O ato de balancear um rotor envolve a adição de massas de correção ao longo do eixo,

de forma que as forças inerciais geradas pela aceleração dessas massas sejam capazes de

anular as forças inercias das massas de desbalanceamento inerentes ao rotor, reduzindo

portanto, as amplitudes de vibração. Porém, em uma máquina real não é possível inserir as

massas de balanceamento em qualquer posição do rotor, mas sim em locais especiais para tal

fim, chamados de planos de balanceamento.

Dois métodos de balanceamento são tradicionalmente usados na dinâmica de rotores:

24

por coeficientes de influência e modal. No método dos coeficientes de influência, as massas

de correção são inseridas nos planos de balanceamento de forma a garantir a redução de

vibração nesses pontos. Já no balanceamento modal, as componentes do desbalanceamento

em cada modo analisado são tratadas individualmente, de forma a reduzir a vibração de cada

modo.

Geralmente, os métodos de balanceamento se utilizam de massas de triagem para o

cálculo dos coeficientes de influência. Para isso, as massas são colocadas no rotor e seu efeito

é observado. No caso do método modal, as massas de triagem são usadas para medir ou

estimar as deformações modais do sistema. Contudo, se existir um modelo teórico com

precisão suficiente, o balanceamento pode ser calculado diretamente das medições de

vibração sem a necessidade de massas de teste, evitando assim, grandes paradas de máquina e

onerosos tempos de setup para colocar e retirar as massas de triagem. Para Edwards (1998), a

grande dificuldade de se obter um modelo eficiente em máquinas rotativas passa pela correta

e precisa modelagem dos mancais, sobretudo os hidrodinâmicos que são usados na maioria

das aplicações.

Nessa situação, os pontos de medição de vibrações estão frequentemente restritos às

posições dos mancais, sendo que a quantidade de vibrações medidas geralmente é inferior à

quantidade de combinações independentes de balanceamento, sendo necessário portanto a

utilização de métodos de minimização.

Dessa forma, os mancais são elementos fundamentais para a análise de rotores e,

portanto, esse trabalho visa observar os efeitos das não linearidades provenientes dos mancais

hidrodinâmicos no comportamento dinâmico e no balanceamento de máquinas rotativas.

Para isso, primeiramente, é proposta a utilização de uma expansão em série de Taylor de

ordem superior para representar o comportamento das forças hidrodinâmicas calculadas

através da equação de Reynolds, de forma a reduzir o tempo empreendido na simulação. Essa

ideia foi originalmente proposta por Zhao et al (2005), porém apenas para baixas não

linearidades, e somente para rotores rígidos. Assim deseja-se expandir a utilização para

situações de elevado grau de não linearidade e condições de rotores flexíveis.

Ademais, para a verificação da não linearidade no balanceamento é proposto um

método de balanceamento que não utiliza massa de triagem, utilizando, então, técnicas de

identificação de falhas baseada em modelo, uma modelagem do sistema rotor-mancal mais

realista, levando em conta as não linearidades provenientes dos mancais, e medições

experimentais de vibração nos mancais para a condição de balanceamento.

A modelagem matemática se dará basicamente pela representação do rotor pelo método

25

numérico dos elementos finitos. Nesse caso, o desbalanceamento será considerado como uma

força virtual e o vetor de forças será a somatória de cada componente das forças consideradas:

forças hidrodinâmicas, força peso, força de desbalanceamento, etc.

Uma vez que o número de equações (número de estações de medição da vibração) é

menor que o número total de graus de liberdade do sistema, esse não possui solução única e é

necessário utilizar algum método de busca, como por exemplo, o método de barreiras, para a

identificação dos parâmetros do desbalanceamento. O procedimento é encontrar a solução que

minimize a diferença entre a vibração medida nas estações e a vibração calculada

numericamente através do modelo. Assim, na condição em que a diferença atingir um

mínimo, a probabilidade de identificar corretamente a localização e a magnitude do

desbalanceamento aumenta.

Originalmente, a assinatura dinâmica do desbalanceamento acontece na primeira

harmônica. Porém, devido à presença dos mancais hidrodinâmicos e suas inerentes não

linearidades, que aparecem principalmente em altas amplitudes de vibração, deve-se

investigar o efeito de tais não linearidades, em termos de componentes harmônicas adicionais,

na resposta dinâmica do sistema. Assim, o balanceamento levando em conta mancais

linearizados pode não apresentar a efetividade esperada ao se corrigir as vibrações do rotor.

Para reduzir o alto custo computacional ocasionado pela solução conjunta da equação de

movimento e equação de Reynolds, mas não perder informação acerca da não linearidade das

forças hidrodinâmicas, essas podem ser aproximadas por uma expansão em série de Taylor de

alta ordem como já mencionado.

Além disso, na realização desse trabalho será utilizada uma bancada de testes existente

no Laboratório de Máquinas Rotativas (LAMAR) da Faculdade de Engenharia Mecânica da

UNICAMP, devidamente instrumentada, para obter os dados de vibração do rotor e inseri-los

na modelagem matemática a fim de identificar a posição e magnitude para o balanceamento.

O modelo numérico proposto de balanceamento será, então, validado experimentalmente em

termos de eficiência e robustez.

Assim, o Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica dos assuntos pertinentes à

realização desse trabalho. Inicia-se com um histórico sobre a dinâmica de rotores e como os

modelos matemáticos foram desenvolvidos até as máquinas rotativas serem modeladas por

elementos finitos. Após isso, são abordadas a origem da modelagem de mancais

hidrodinâmicos e também o desenvolvimento de sua representatividade na dinâmica de

rotores ao longo do tempo. Ainda nesse capítulo, a evolução dos principais métodos de

balanceamento é descrita. Por fim, são apresentados os principais trabalhos acerca das

26

técnicas de identificação de falhas em rotores, com leve destaque para a identificação de

desbalanceamento rotativo.

No Capítulo 3, o embasamento teórico utilizado para o desenvolvimento desse trabalho

é apresentado. Dessa forma, a modelagem dos sistemas rotativos através do método dos

elementos finitos é mostrada na primeira parte do capítulo. Em seguida, mostra-se a

modelagem dos mancais hidrodinâmicos, a obtenção da equação de Reynolds e sua resolução

a partir do método dos volumes finitos, além da representação dos mesmos por coeficientes

lineares de rigidez e amortecimento. A terceira parte do capítulo trata da solução do problema

dinâmico de rotores no domínio do tempo, apresentando a técnica de integração de Newmark.

Em seguida, é mostrado o procedimento para ajustar as forças hidrodinâmicas através de uma

expansão em série de Taylor de ordem superior, gerando então uma equação analítica regida

por coeficientes não lineares. Na sequência, são apresentadas as técnicas de otimização

utilizadas para a identificação do desbalanceamento rotativo, cujo objetivo é minimizar a

diferença entre as vibrações medidas experimentalmente e as obtidas através da solução

numérica.

A descrição da bancada é realizada no Capítulo 4. São detalhados, então, os

componentes principais que compõe o banco de testes e a capacidade do mesmo em permitir

uma gama de montagens diferentes de rotores. Ademais, uma breve explicação sobre o

procedimento de alinhamento dos componentes é dado, além da descrição da instrumentação

necessária para a coleta de dados.

O Capítulo 5 mostra os resultados obtidos no trabalho. Inicialmente, os resultados

numéricos são apresentados. Um estudo sobre os parâmetros que influenciam na condição de

não linearidade dos mancais é realizado, sendo que o amortecimento interno do eixo, o efeito

giroscópico, a excentricidade do eixo no interior do mancal e condições da excitação externa

foram investigadas. Também, analisa-se a eficiência do ajuste das forças hidrodinâmicas na

capacidade de reproduzir as forças hidrodinâmicas originais, assim como a dinâmica completa

do rotor diante da presença de um comportamento altamente não linear. Verifica-se também,

através de testes numéricos, a capacidade das forças hidrodinâmicas aproximadas serem

utilizadas em situações nas quais não foram identificadas. Além disso, são apresentados os

resultados da identificação do desbalanceamento para condições onde o rotor é suportado por

mancais com características lineares e não lineares. Ademais, são mostrados os resultados

experimentais com a finalidade de validar o comportamento obtido através das simulações.

Por fim, o Capítulo 6 traz as conclusões mais relevantes obtidas através dos estudos

realizados e sugestões para a continuidade do presente trabalho.

27

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Modelagem de Sistemas Rotativos

A história da dinâmica de rotores está intimamente relacionada com os avanços na

produção de turbo máquinas e os problemas enfrentados para desenvolvimento e uso de

rotores, uma vez que as análises realizadas nos anos iniciais do surgimento das máquinas

rotativas modernas (século XIX) eram feitas para aumentar o conhecimento sobre o

comportamento dos fenômenos típicos observados. Autores como Dimarogonas (1992),

Childs (2002), Vance (2005) e Rao (2011) fizeram um interessante levantamento histórico

sobre o tema.

A primeira máquina rotativa que se tem notícia foi construída por Heron de Alexandria

no ano de 62 DC. Em seu livro “Pneumatica”, ele descreve um aparato, chamado de Eolípila,

que podia girar ao converter energia térmica em energia mecânica por meio do vapor. Essa

invenção, que é a primeira turbina por reação, não gerava trabalho útil uma vez que não

produzia um alto nível de vapor necessário.

Durante a idade média, os avanços tecnológicos eram dados por artesões que se

baseavam, principalmente, na tentativa e erro, sem um conhecimento preciso do

comportamento dos fenômenos que regiam suas descobertas. Esse panorama começa a se

alterar com o início do Renascimento, e posteriormente à Revolução Científica, quando as

pessoas com maior conhecimento passaram de filósofos naturalistas para verdadeiros

cientistas. Nomes como Leonardo da Vinci, Galileu Galilei, Rene Descartes, Isaac Newton,

Robert Boyle, Gotfried Leibniz, Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange,

entre outros, fizeram descobertas extremamente importantes em matemática, física e

engenharia, que seriam utilizadas anos mais tarde como fundamentos da dinâmica de rotores.

Até o ano de 1788, as máquinas a vapor conhecidas eram os motores de movimento

alternado desenvolvidos por Denis Papin, usadas normalmente para o bombeamento de água.

No entanto, James Watt, se utilizando de novas descobertas na área térmica, melhorou a

eficiência das maquinas existentes e, através de mecanismos, transformou o movimento

alternado dos motores térmicos em movimento rotativo. Esse foi o passo fundamental para a

revolução industrial, uma vez que existia uma grande demanda de motores que pudessem

gerar movimento rotacional para automatizar as máquinas industriais.

28

Além disso, com o advento dos movimentos rotacionais, o aparecimento das primeiras

turbinas a vapor, usadas para mover serras circulares e moendas de grãos, e o aprimoramento

das rodas d’agua, os estudos em dinâmica de rotores passaram a ser necessários.

Na metade do século XIX, as teorias de vibração de vigas, placas e membranas já

estavam bem consolidadas, porém pouca ou nenhuma informação era conhecida acerca de

vigas que se transformavam em eixos e podiam girar. Assim, em 1869, Rankine (1869)

publicou o primeiro trabalho que visava somente analisar rotores. Nesse trabalho, que não

levava em conta a aceleração de Coriolis, foi assumido que se a força de inércia devido a uma

deformação virtual não for maior que a força de restauração elástica do eixo, não haveria

movimento de precessão, o que o levou a concluir que o sistema se comportava de maneira

instável acima da velocidade crítica.

Aproximadamente duas décadas depois, De Laval, motivado pelo problema de criar

uma máquina para separar a nata do leite, desenvolveu a primeira turbina a vapor conhecida,

mostrando que seu modelo com um disco montado em um eixo fino flexível era capaz de

atingir rotações superiores à velocidade crítica, contrariando as conclusões obtidas por

Rankine.

Dunkerly (1884) relata em seu trabalho que as velocidades críticas de um eixo apoiado

em mancais são iguais às frequências naturais de uma viga em vibração transversal. Dessa

forma, foi calculada a velocidade crítica para diferentes configurações de rotores e proposta

uma fórmula para o cálculo de velocidades críticas para rotores com diversos volantes e

discos. Um ano mais tarde Föppl (1895) desenvolveu a primeira solução analítica válida para

o modelo de rotor proposto por De Laval, no qual foi discutida a resposta do rotor ao

desbalanceamento para velocidades abaixo, durante e acima da velocidade crítica.

Desde então, as turbomáquinas começaram a operar em velocidades acima da crítica,

porém, as falhas devido a vibrações excessivas continuaram a ser frequentes, motivando ainda

mais o estudo do comportamento dinâmico de máquinas rotativas. Assim, o trabalho realizado

por Jeffcott (1919) visava o entendimento do movimento de precessão e das velocidades

críticas com efeitos de amortecimento envolvido. Uma análise matemática foi feita

ignorando-se a gravidade e propondo uma força de amortecimento viscoso. Foi mostrado que

o movimento elíptico de precessão era capaz de satisfazer a equação de movimento, que as

vibrações possuíam uma amplitude finita durante a passagem pela velocidade crítica devido

ao amortecimento, e que ocorria a inversão de fase do desbalanceamento ao se cruzar a

velocidade crítica. Essas análises formam, até hoje, a base do conhecimento em dinâmica de

rotores.

29

Com a invenção do dínamo por Thomas Edison e com o aumento de velocidade de

rotação alcançada pelas máquinas rotativas, a possibilidade de produzir energia elétrica em

larga escala foi observada e a produção de turbinas a vapor, com eixos flexíveis, aumentou

vertiginosamente. Apesar de os estudos realizados proporcionarem uma compreensão maior

sobre o comportamento dos rotores, ainda era necessário o desenvolvimento de um método

fácil e rápido para analisar esse tipo maquinário. Pensando nisso, Stodola (1924) condensou

em um livro seu conhecimento sobre a dinâmica de rotores flexíveis, considerando efeitos

rotacionais e da força gravitacional, criando um método gráfico para o cálculo das

velocidades críticas, inclusive para eixos que possuíam seção transversal variável.

No entanto, o aumento de rotação causou um efeito curioso para a época, primeiramente

observado em compressores da GE, no qual o rotor era submetido a um movimento de

precessão com altíssima amplitude e com frequência tão baixa que era possível vê-lo a olho

nu. Esse fenômeno foi chamado de “shaft whipping”. Dessa forma, Newkirk, em dois

trabalhos (Newkirk (1924) e Newkirk e Taylor (1925)) investigou o fenômeno de vibrações

instáveis, chegando à conclusão que esse movimento era auto-excitado e aparecia devido à

presença de atrito interno na montagem do rotor e das forças provenientes dos mancais

flexíveis, além de ter frequência de excitação constante e com valor próximo ao da primeira

velocidade crítica.

A partir de então, mancais flexíveis passaram a ser constantemente inseridos nas

análises de turbinas, como feito por Smith (1933) que modelou o sistema rotor-mancal com

eixo e mancais flexíveis, melhorando o modelo proposto por Jeffcott.

Conforme o aprimoramento das máquinas rotativas e a inserção de mais elementos e

efeitos, era necessário saber com precisão as velocidades críticas, formas modais e resposta ao

desbalanceamento de rotores complexos, que já não eram mais tão bem representados pelo

rotor Laval/Jeffcott. Esse problema foi resolvido por Prohl (1945), que criou o método

numérico que mais tarde seria conhecido como método das matrizes de transferência. No ano

anterior, Myklestad (1944) havia desenvolvido o mesmo método, porém aplicado a asas de

avião. Ao contrário de Myklestad, Prohl direcionou o método para o uso em rotores,

considerando, portanto, a influência das inercias rotativas.

Esse método foi largamente utilizado até a difusão dos computadores, onde o método

dos elementos finitos começou a dominar as análises vibracionais tanto de estruturas quanto

de rotores. A primeira utilização de elementos finitos direcionada para o estudo do

comportamento de máquinas rotativas data do início da década de 1970 com Ruhl e Booker

(1972). Em seu trabalho, os autores apresentaram uma formulação de elementos finitos,

30

baseada nos estudos de Archer (1963), aplicada a turbomáquinas suportadas por mancais

flexíveis, para o cálculo da estabilidade do sistema e resposta ao desbalanceamento. A

resposta foi comparada ao método anterior das matrizes de transferência, comprovando seu

maior poder computacional.

No entanto, os elementos de Ruhl e Booker (1972) consideravam apenas a energia

cinética de translação e energia elástica de deformação do sistema, negligenciando

características importantes para a dinâmica de rotores como a inércia rotacional, momentos

giroscópicos, amortecimento interno e cisalhamento. Assim, Thorkildsen (1972) inseriu a

capacidade dos elementos de representarem também a inércia de rotação e os momentos

giroscópicos.

O uso de elementos finitos para analisar os conceitos básicos e o desenvolvimento da

equação de movimento de um elemento de eixo rotativo finito foi apresentado por Nelson e

McVaugh (1976), baseando-se no elemento de viga de Rayleigh. O elemento, que

acrescentava os efeitos de inercia rotacional, momento giroscópico e carregamento axial ao de

flexão, e o sistema de equações, eram representados tanto no referencial inercial quanto no

local. Posteriormente, Zorzi e Nelson (1977, 1980) acrescentaram novos efeitos ao elemento

como o amortecimento interno viscoso e histerético e torque axial. No mesmo ano de 1980,

Nelson (1980) desenvolveu o elemento finito de eixo baseado no elemento de viga de

Timoshenko, que considerava o cisalhamento proveniente do movimento transversal, para

calcular as velocidades críticas e frequências naturais do sistema.

A partir desse momento, a utilização dos elementos finitos para estudo dos fenômenos

encontrados na dinâmica de rotores já estava completamente consolidada. A maior parte das

análises foram, e ainda são, realizadas utilizando os elementos considerados por Nelson

(1980). Trabalhos como os de Ozguven e Ozkan (1984), Edney et al. (1990), Qin e Mao

(1996), Ku (1998) continuaram a inserir novos efeitos ou criar novos tipos de elementos de

eixo, porém muitas vezes para casos particulares.

2.2. Mancais Hidrodinâmicos

Desde que os estudos de Stodola (1925) e Hummel (1926), que tinham por finalidade

melhorar a capacidade de cálculo da velocidade crítica de rotores, foram realizados, percebeu-

se que a dinâmica de vibração de máquinas rotativas estava intimamente ligada à

31

funcionalidade dos mancais. No entanto, os estudos sobre os mancais e seus efeitos

começaram durante a revolução industrial e perduram até os tempos modernos. Pinkus

(1987), em comemoração ao centésimo aniversário da equação de Reynolds, fez uma extensa

revisão histórica sobre a lubrificação hidrodinâmica.

Inicialmente, o atrito era um dos grandes malefícios encontrados nos mancais, o que

gerava aumento na temperatura de operação dos mancais e diminuía a eficiência das

máquinas. Como meio de contornar o problema, a inserção de lubrificante entre as partes

móvel e estática foi sugerida. Assim, três trabalhos independentes entre si são responsáveis

por descobrir e formular a mecânica da lubrificação hidrodinâmica como conhecemos

atualmente. Os autores desses trabalhos são Petrov (1883), Tower (1885) e Reynolds (1886).

Nicolai Petrov (1883), cujo principal interesse era na área do atrito, iniciou os estudos

sobre a lubrificação. Em 1883, havia postulado que o atrito era principalmente definido pela

viscosidade, e não pela densidade como se acreditava. Além disso, concluiu que o atrito

encontrado em um mancal não era resultado do contato entre as superfícies, mas sim do

cisalhamento viscoso do fluido na interface, ou seja, Petrov (1883) propôs a natureza

hidrodinâmica do atrito em mancais. Contudo, nos estudos realizados por Petrov (1883),

nenhuma menção é feita sobre a capacidade dos mancais de sustentar carga, fato que foi

descoberto por Beauchamp Tower (1885).

Após as descobertas feitas por Petrov, muitas publicações sobre atrito foram

conduzidas. Entre 1883 e 1885, Tower realizou uma série de experimentos com mancais

ferroviários descobrindo a presença de pressão hidrodinâmica no filme de óleo. O mancal

utilizado por Tower possuía furação central na parte superior do mancal que servia como

entrada de óleo. Porém, com o início do movimento de rotação do eixo, Tower (1885)

observou que o óleo era bombeado para fora do mancal. Para impedir o vazamento, uma rolha

foi inserida no orifício sendo, porém, ejetada em rotação. Dessa forma, percebeu-se que o

filme de lubrificante, que separava o eixo do alojamento, possuía altas pressões, nascendo

portanto o conceito de lubrificação hidrodinâmica.

Tanto Petrov quanto Tower criaram seus conceitos baseados puramente em resultados

experimentais. As comprovações teóricas foram realizadas, quase que simultaneamente com

os outros dois pesquisadores, por Osborne Reynolds e publicadas em 1886. A equação

diferencial desenvolvida por Reynolds (1886) é uma ferramenta essencial até os dias atuais,

uma vez que descreve as bases matemática e física da tribologia. O novo conceito que

emergiu dessa formulação, é que a ação hidrodinâmica necessita de uma seção geométrica

convergente para a formação das pressões, além dos efeitos relacionados ao esmagamento do

32

filme de óleo.

A equação de Reynolds é uma equação diferencial parcial não homogênea, com

coeficientes variáveis e de difícil solução analítica. Mesmo assim, muitos esforços foram

direcionados para sua solução. Uma das possíveis soluções dessa equação consiste em

considerar o mancal com comprimento axial infinito, sendo que essa consideração foi feita

inclusive pelo próprio Reynolds, porém sem sucesso. No entanto, Sommerfeld (1904) utilizou

a simplificação de mancais infinitamente longos e, diferentemente de Reynolds (1886), obteve

a expressão analítica explícita para a distribuição de pressão, carregamento, lugar geométrico

do eixo e coeficiente de atrito.

Contudo, a solução para mancais infinitamente longos apresentava distribuição de

pressão antissimétrica gerando aumento da capacidade de carga do mancal e ângulo de

equilíbrio constante em 90°, o que não refletia a realidade. Assim, a investigação de uma

solução para um mancal infinitamente curto foi realizada. Desde 1929, haviam tentativas para

essa solução, porém somente Ocvirk (1952) forneceu uma resposta completa e detalhada para

o problema de mancais curtos. Segundo Pinkus (1987), essa solução era mais simples,

compacta e elegante que a solução para mancais longos.

Após os períodos das guerras mundiais, muitos dos avanços científicos voltados para a

indústria bélica foram aproveitados para facilitar a vida cotidiana da população, sendo o

computador uma dessas tecnologias.

A criação dos computadores revolucionou o estudo de mancais hidrodinâmicos, uma

vez que Pinkus (1956) conseguiu, com esses, resolver a equação de Reynolds completa, com

condições de contorno adequadas, utilizando métodos numéricos. Além de solucionar a

equação para o mancal cilíndrico, Pinkus abordou também os mancais elípticos (Pinkus,

1956) e trilobulares (Pinkus, 1958).

Devido às dificuldades de resolver a equação de Reynolds, muitas simplificações e

condições de contorno associados aos mecanismos de geração de pressão e a variação das

propriedades do fluido foram propostas, gerando inúmeras formas diferentes para a equação

de Reynolds com aplicabilidades específicas. Sendo assim, Dowson (1962) publicou um

trabalho no qual uma equação de Reynolds geral foi deduzida. Essa equação generalizada

provinha das equações fundamentais da hidrodinâmica com o mínimo de hipóteses restritivas

e permitia a variação das propriedades relevantes do fluido, como a viscosidade e a densidade,

tanto através quanto ao longo do filme de óleo. Além disso, no fim do trabalho, Dowson

(1962) aplica as restrições clássicas para fluido incompressível e isoviscoso, chegando na

solução original de Reynolds.

33

2.3. Representação dos Mancais Hidrodinâmicos na Dinâmica de Rotores

Das análises de instabilidade realizadas por Newkirk e Taylor (1925), concluiu-se que a

avaliação de máquinas rotativas não poderia ser realizada sem a consideração de mancais, e

mais do que isso, que os mancais eram elementos flexíveis, e não rígidos como se costumava

adotar. Portanto, a representação dos mancais como uma série de molas e amortecedores, foi

amplamente aceita e discutida, uma vez que sua inserção ficava facilitada na análise dinâmica

de rotores.

Assim, Lund (1964, 1978, 1987) foi um dos pioneiros no cálculo de coeficientes

lineares, que representavam a rigidez e o amortecimento dos mancais, utilizando para isso o

método de perturbações infinitesimais. Desta forma, o autor teceu comentários acerca da

validade dos coeficientes, que matematicamente seriam aceitos somente para amplitudes

infinitesimais, mas que na prática estariam em conformidade para movimentos de até 40% da

folga radial. Porém, em seu próprio artigo ele aponta diferença entre as órbitas linear,

calculada através dos coeficientes, e não-linear, calculada pela resposta completa da equação

de Reynolds, mas que essas estariam em boa concordância.

Além do método das perturbações infinitesimais, é amplamente empregado o método

das perturbações finitas, no qual pequenas variações na posição e na velocidade ao redor de

equilíbrio do mancal são dadas e as forças resultantes são usadas para o cálculo dos

coeficientes lineares. Sabendo disso, Qiu e Tieu (1996) levantaram o limite para o qual ambos

os métodos seriam análogos. Para isso, a amplitude das perturbações para diferentes razões de

excentricidade e razões L/D, no qual L é o comprimento e D o diâmetro do mancal, foi

variada. Assim, concluiu-se que, com variações menores que 0,02Cr e 0,02Cr a diferença

entre os métodos seria de no máximo 0,1%, e para manter o erro em até 2,5% as perturbações

não deveriam ultrapassar 0,05Cr e 0,04Cr, onde Cr é a folga radial do mancal e a

velocidade de rotação do eixo. No entanto, segundo os autores, esses valores poderiam ser

ligeiramente maiores para baixas excentricidades.

O cálculo preciso dos coeficientes de rigidez e amortecimento engloba uma série de

dificuldades, uma vez que muitos fatores influenciam o comportamento dos mancais

hidrodinâmicos como, temperatura, cavitação, deformação do alojamento, entre outros

efeitos. Por isso, Tieu e Qiu (1994), baseando-se no método de massas de teste,

desenvolveram uma maneira de calcular os coeficientes lineares através da resposta

34

experimental ao desbalanceamento.

No trabalho de Tieu e Qiu (1994), foi utilizado um rotor flexível suportado por dois

mancais hidrodinâmicos cilíndricos, e com dois discos para aplicação de massas

desbalanceadas. As medições de vibrações são transformadas para o domínio da frequência e

uma equação explícita para os coeficientes é deduzida utilizando-se o método dos mínimos

quadrados. Os coeficientes experimentais foram, então, comparados com os da teoria de Lund

e Thomsen (1978), mostrando que possuíam correlação entre si.

Também a partir de dados experimentais, Müeler-Karger e Granados (1997) utilizaram

o método dos mínimos quadrados para identificar os coeficientes lineares de um mancal

cilíndrico com dois rasgos axiais, utilizando três carregamentos distintos (90N, 355N e 615N)

e uma mesma velocidade de rotação, 1125RPM. O carregamento utilizado, que era dinâmico,

porém não variável com a rotação do eixo, permitia variação tanto em magnitude quanto em

fase. Assim, compararam-se esses coeficientes com os da teoria das pequenas perturbações e,

verificou-se que para forças dinâmicas menores que 2N os coeficientes eram coincidentes.

Além disso, constatou-se que a fase do carregamento dinâmico podia gerar diferenças

significativas nos coeficientes, uma vez que o tamanho e o formato da órbita eram afetados.

Seguindo pelos métodos experimentais, Zhao et al. (2005b), propuseram uma técnica

para a obtenção dos coeficientes para vários parâmetros de carregamento e amplitudes de

vibração. Utilizando um esquema de rotor rígido para aquisitar a posição, velocidade e

aceleração e, através de um ajuste por mínimos quadrados no tempo, foram calculados os

coeficientes lineares de rigidez e amortecimento para as condições estudadas, comparando-os

com o método das pequenas perturbações. Percebeu-se que tanto os coeficientes quanto a

diferença entre os métodos aumentam com o aumento do carregamento. Também, foi

verificado que os coeficientes eram sensíveis à amplitude de vibração, sendo que quando a

amplitude aumentava os termos não lineares não podiam ser negligenciados.

Os estudos sobre coeficientes lineares levantaram uma série de questionamentos sobre o

quão representativo era o movimento do sistema quando essa abordagem era empregada, uma

vez que foi verificado que as forças hidrodinâmicas podiam apresentar comportamento

altamente não linear em determinadas situações. Devido a esse fato, os efeitos das não-

linearidades em mancais passaram a ser amplamente pesquisado.

Um dos primeiros a se preocupar com os efeitos não lineares provenientes dos mancais

foi Hattori (1993). Ele analisou o grau de não linearidade de um sistema sujeito a grandes

carregamentos dinâmicos através de coeficientes lineares. Para isso, foi simulado um rotor de

compressor suportado por três mancais de forma não-linear, no qual o autor resolveu a

35

equação de Reynolds simplificada simultaneamente com a equação de movimento. Os

coeficientes dinâmicos foram calculados para cada instante de tempo durante uma volta

completa do eixo. Dessa maneira, concluiu-se que, para a aplicação em questão, os

coeficientes variavam em mais de uma ordem de grandeza, ou seja, a não linearidade afetava

seriamente o sistema.

Para a solução numérica não linear de máquinas rotativas, os valores iniciais são de

considerável importância para a convergência e estabilidade do sistema. A partir desta

perspectiva, Khonsari e Chang (1993), estudaram a influência desses valores na dinâmica de

mancais curtos. Segundo eles, existe um círculo limite no qual todos os valores iniciais geram

órbitas estáveis, enquanto que pontos coincidentes ao limite ocasionam órbitas limites e

pontos fora, órbitas instáveis. Foram testadas diferentes velocidades para o mesmo número de

Sommerfeld, e verificou-se que o aumento de velocidade diminuía o círculo limite, sendo que

para velocidades acima da instabilidade fluido induzida o limite tende ao ponto de equilíbrio.

A maioria dos trabalhos realizados até aquele momento apresentava rotores

simplificados para os estudos das não linearidades. Para suprir a ausência de modelos de

rotores mais reais, Zheng e Hasebe (2000) analisaram um rotor complexo, com eixo flexível e

8 discos rígidos suportados por 2 mancais elípticos. Como forma de melhorar o tempo

computacional, os autores desenvolveram uma nova técnica de redução e propuseram um

novo meio de se calcular o jacobiano das forças hidrodinâmicas, baseado na teoria da

desigualdade variacional, de forma a utilizar um método de Newmark modificado. Os

resultados obtidos se mostraram com precisão satisfatória e com decréscimo no custo

computacional, uma vez que através desse novo método foi possível calcular o jacobiano e as

forças hidrodinâmicas simultaneamente.

Na mesma linha, Zhao et al. (2005c) verificaram o comportamento de um rotor Laval do

ponto de vista linear e não linear. Para isso, foi adotado o modelo de massa concentrada

considerando a rigidez e o amortecimento do eixo, sendo que o mancal não linear utilizava

uma abordagem termohidrodinâmica. Além disso, baseado na teoria da massa crítica de Lund

(1987), foi desenvolvida uma equação para se determinar o limiar da instabilidade. Com isso,

constatou-se que modelo linear apresenta diferenças significativas quando as amplitudes de

vibração são elevadas, e que a resposta espectral do modelo não linear apresentava super-

harmônicas que não eram visíveis no modelo linearizado.

Uma das situações em que o rotor apresenta comportamento tipicamente não linear é

durante a instabilidade fluido induzida. Sendo assim, Castro et al. (2008) analisaram o

comportamento de um rotor Laval/Jeffcott, posicionado tanto na vertical quanto na horizontal,

36

sob ação dos fenômenos de “oil whirl” e “oil whip”. Para levar em conta as não linearidades

provenientes da condição, foi utilizado o modelo de mancal não linear desenvolvido por

Capone (1991). Além disso, observou-se o efeito da variação de parâmetros como magnitude

do desbalanceamento, folga radial, viscosidade do lubrificante e razão L/D no comportamento

dinâmico não linear do sistema. Comparando-se com a validação experimental, foi concluído

que o modelo não linear conseguia representar de forma satisfatória o comportamento geral

do rotor.

A dinâmica de um rotor embarcado, no qual o suporte podia transladar e rotacionar, foi

estudada por Dakel et. al. (2013) sob a ótica das não linearidades provenientes dos mancais

curtos. Uma dedução minuciosa da dinâmica do rotor suportado por mancais hidrodinâmicos

é descrita. Um modelo de viga de Timoshenko, incluindo inercia rotacional e giroscópica,

deformação de cisalhamento, assimetria geométrica, além de efeitos associados à rotação do

suporte foi empregado. Utilizando-se desse modelo, e técnicas para acelerar a solução da

equação de movimento resolvida por Newmark, os autores analisaram a resposta ao

desbalanceamento e os efeitos da amplitude e da frequência de excitação provenientes do

suporte. Foi constatado que o modelo linear era valido somente para pequenas amplitudes de

excitação do suporte, sendo que a frequência de excitação não interferia demasiadamente na

linearidade do sistema.

Hu et al. (2016) avaliaram, numérica e experimentalmente, a instabilidade fluido

induzida e o comportamento do rotor sob o efeito de movimentos caóticos para um rotor com

dois discos sujeito a mancais não lineares e contato rotor-estator. Xiang et al. (2016)

adicionou trinca ao modelo desenvolvido por Hu e observou o desempenho de um rotor

Laval/Jeffcott. Li et al (2017), estudou um rotor Laval/Jeffcott suportado por mancais não

lineares, com pás flexíveis no rotor, observando que os parâmetros das pás, como

amortecimento e comprimento, alteraram o comportamento dos movimentos quase-

periódicos.

A solução de rotores suportados por mancais não lineares, é extremamente custosa do

ponto de vista computacional, uma vez que nessa situação a resposta deve ser dada no

domínio do tempo, e não no domínio da frequência. Para se obter o comportamento dinâmico

no domínio do tempo, um método de integração deve ser utilizado, e para cada instante de

tempo, as forças hidrodinâmicas geradas pela equação de Reynolds devem ser computadas.

Essa dependência causa o aumento de processamento computacional, e técnicas para se

reduzir os tempos envolvidos nos cálculos começaram a ser adotadas.

Utilizando um rotor rígido simétrico, suportado por mancais hidrodinâmicos, Capone

37

(1986) desenvolveu uma solução analítica para mancais curtos, que levava em consideração

os efeitos de não linearidade desse elemento. Essa solução era elegante e gerava respostas

condizentes com a realidade para rotores rígidos apoiados em mancais curtos.

No entanto, a maioria dos mancais possui razões L/D que não os caracteriza como

mancais curtos, e muitos eixos não podem ser considerados rígidos. Assim, tentando ampliar

a efetividade da solução também para mancais de tamanho finito, Zheng et al. (2004)

propuseram uma simplificação para o cálculo das forças hidrodinâmicas de mancais

segmentados através de equações de Ritz baseadas nas teorias de contorno livre e variacional.

Nesse trabalho, o modelo que era válido somente para segmentos menores que 180°, foi

comparado com a solução de Reynolds resolvida por elementos finitos, apresentando

diferenças inferiores a 3%. Além disso, o método foi testado na solução de problemas

dinâmicos não lineares de rotores rígidos, atingindo boa semelhança e com custo

computacional de aproximadamente 0,2% do original, uma vez que somente um parâmetro

necessitava ser computado numericamente.

Shen et al. (2006), que pertence ao mesmo grupo de trabalho anterior, utilizaram ideias

similares para desenvolver uma solução semi-analítica para o cálculo rápido das forças

hidrodinâmicas. O novo esquema foi comparado com a solução da equação de Reynolds por

elementos finitos mostrando boa concordância. Ao ser aplicado na dinâmica de um rotor

rígido suportado por mancais elípticos, os pesquisadores obtiveram os resultados esperados.

Com a finalidade de estabelecer modelos de força hidrodinâmicas não lineares mais

precisos e confiáveis, Wang et al. (2011), baseando-se no método da separação de variáveis,

desenvolveram uma expressão analítica para a solução aproximada da equação de Reynolds

em mancais planos finitos. Segundo o estudo, o método é validado comparando-se as

respostas de lugar geométrico obtidas pelo presente método, pela teoria de mancal curto, de

mancal longo e pela solução de mancais finitos por diferenças finitas, apresentando boa

correlação entre os casos. Assim, o modelo foi utilizado para a calcular a dinâmica de um

rotor rígido, conseguindo reproduzir de forma eficaz o limiar da instabilidade fluido-induzida.

Além das soluções analíticas, outras alternativas também foram propostas para diminuir

o tempo de processamento das soluções dinâmicas não lineares. Uma delas foi a utilização de

coeficientes não-lineares, ao invés dos convencionais coeficientes lineares, para representar as

forças hidrodinâmicas.

Portanto, para analisar as não linearidades presentes no mancal, Choy et al (1991) e

Braun et al. (1991) calcularam os coeficientes dinâmicos a partir de três perspectivas

diferentes: linear, utilizando o método das perturbações finitas, não linear, baseada em

38

coeficientes não-lineares provenientes de uma expansão por série de Taylor de alta ordem

(ordens 3, 5 e 7) para os termos ímpares, e através de coeficientes ditos reais, que nada mais

eram que os coeficientes calculados no ponto onde estava o eixo e não no ponto de equilíbrio.

Os autores compararam as diferenças entre os coeficientes reais, lineares e não lineares,

avaliando o grau de não linearidade em diferentes posições do lócus e em várias situações

operacionais. A comparação era realizada para deslocamentos afastados do ponto de

equilíbrio. Com isso, concluiu-se que, com o aumento do carregamento aumentava-se a

divergência entre os coeficientes reais e lineares, e que para todas as situações os coeficientes

não lineares eram efetivos, sendo que maiores ordens representam melhor o movimento.

Chu et al. (1998) descreveram um modelo dinâmico não linear para mancais de

deslizamento. O modelo era baseado em coeficientes não lineares que foram obtidos pelo

método das pequenas perturbações aplicado à pressão calculada pela equação de Reynolds

quase-estática. Foi desenvolvida também uma função que podia ser interpretada como o limite

máximo de deslocamento para o qual os coeficientes eram válidos. Segundo os critérios

escolhidos pelos pesquisadores, foi sugerido que os coeficientes lineares seriam válidos

somente para amplitudes de aproximadamente 6% da folga mínima, enquanto que o modelo

não-linear de 4ª ordem para aproximadamente 30% da folga mínima.

Desta maneira, Sawicki e Rao (2004), através do método de perturbações para a

equação transiente de Reynolds, calcularam coeficientes não lineares para mancais

hidrodinâmicos. Eles avaliaram os coeficientes durante a órbita teórica descrita por um rotor

rígido em diferentes posições de lócus, sugerindo um meio de medir a não-linearidade da

resposta de acordo com o grau de variação dos coeficientes não lineares. Segundo o estudo, as

variações dos coeficientes, de acordo com a razão de excentricidade, são maiores para altos

números de Sommerfeld, e o grau de não linearidade introduzido pela órbita nos coeficientes

é mais perceptível nos casos de baixa excentricidade.

Através da expansão por série de Taylor de segunda e terceira ordem, ao redor do

ponto de equilíbrio, e dados experimentais de força hidrodinâmica, Zhao et al. (2005)

propuseram a identificação de coeficientes dinâmicos não lineares pelo método dos mínimos

quadrados. Foram testados três modelos diferentes (24, 28 e 36 coeficientes), sendo que todos

os três estavam aptos a representar a força hidrodinâmica, enquanto o modelo linear

apresentou uma leve discrepância para os casos analisados. Observou-se também que, com o

aumento da amplitude da excitação o modelo linear deixou de ser válido, e somente quando a

amplitude de vibração é menor que 2,5% da folga radial o modelo linear apresenta resultados

similares ao não linear. Além disso, constatou-se dificuldade em obter coeficientes não

39

lineares confiáveis, quando as amplitudes de vibração são pequenas, devido ao mal

condicionamento da matriz de mínimos quadrados.

Meruane e Pascual (2008) estimaram teoricamente os coeficientes não lineares para

um mancal sujeito a médias e altas amplitudes de movimento. Os coeficientes foram obtidos

através de uma expansão de Taylor até a terceira ordem e do uso do método dos mínimos

quadrados, para resultados dinâmicos obtidos através de um software de CFD. Wale e Mba

(2008) fizeram a identificação de modelos de força hidrodinâmica através de dados

experimentais. Esses dados foram obtidos pela excitação realizada por um shaker, com

diferentes intensidades e frequências. Os coeficientes não lineares eram provenientes de uma

expansão em série de Fourier, no qual se discutia a influência da ordem da expansão na

eficácia da aproximação.

Para um rotor rígido suportado por mancais segmentados, Asgharifard-Sharabiani e

Ahmadian (2015), utilizando-se de uma expansão em série de Taylor de ordem superior,

caracterizaram a força hidrodinâmica através dos coeficientes não lineares para mancais

segmentados. Os graus de liberdade não levavam em conta o movimento angular dos

segmentos, por isso o modelo seria válido somente para baixas não linearidades. A força

hidrodinâmica é obtida teoricamente, sendo o ajuste dos termos não lineares feito

temporalmente por mínimos quadrados. Os coeficientes lineares utilizados eram os mesmos

dos obtidos pelo método linear das pequenas perturbações. Foi utilizada uma técnica de

seleção de variáveis para reter os 40 termos mais influentes da expansão de Taylor de 13ª

ordem. Com isso, os resultados dinâmicos desse modelo foram comparados com os resultados

do modelo completo e boa concordância foi encontrada.

2.4. Balanceamento de Rotores

O balanceamento das máquinas rotativas é um passo importante para garantir uma

operação confiável e saudável. Basicamente, o balanceamento consiste em adicionar, ou

remover, pequenas quantidades de massa, em uma ou mais posições axiais e angulares, de

forma a contribuir com o balanço das forças rotativas do sistema.

A estratégia para um balanceamento eficaz envolve uma série de aspectos como: peso

das massas de correção, modos a serem balanceados, número de planos de balanceamento e

posição angular correta. Dessa forma Darlow (1989) e Foiles et al. (1998) fizeram uma

40

revisão muito útil sobre balanceamento de rotores, informando as técnicas utilizadas e os

conceitos físicos envolvidos em cada técnica até o momento das publicações. Além deles,

Racic e Hidalgo (2007) deram sua contribuição para detalhar o estado da arte.

Antes mesmo dos estudos realizados por De Laval e da teoria matemática desenvolvida

por Jeffcott, o balanceamento de turbinas já era realizado. Por volta de 1870, Martinson

construiu, talvez o que tenha sido, a primeira máquina que balanceava rotores. Nessa máquina

o eixo era montado sobre molas suaves e colocado para girar. A posição com maior deflexão,

considerada como localização para a maior massa desbalanceada, era marcada devido à

aproximação gradual de um pedaço de giz.

No entanto, além da falta de conhecimento teórico prévio, a falta de recursos em

instrumentação para adquirir as medições necessárias com precisão, limitaram a eficiência dos

métodos iniciais de balanceamento. Esse fato começou a se alterar na década de 1930 com a

introdução dos vibro-estroboscópios. Com esse advento, Rathbone (1929) desenvolveu um

método de balanceamento para reduzir as vibrações nas extremidades do rotor através do uso

de “unidades de movimento”. Essas “unidades de movimento” eram o movimento elíptico das

extremidades que resultavam da aplicação de um desbalanceamento conhecido. Com isso e

utilizando uma técnica iterativa gráfica, Rathbone conseguia reduzir a vibração nas

extremidades do rotor. Era o estágio embrionário do desenvolvimento do método dos

coeficientes de influência.

Em 1934, Thearle (1934) apresentou um método semi-gráfico para balanceamento de

sistemas rotativo, no qual a solução podia ser dada analiticamente, ao invés de ser um

processo iterativo como no caso de Rathbone (1929). Essa técnica é conhecida hoje em dia

como balanceamento de rotores em dois planos.

Essa técnica foi largamente utilizada até os anos 50, uma vez que os estudos eram

predominantemente realizados em rotores rígidos. Com o grande desenvolvimento das

turbinas a vapor, os eixos tornaram-se cada vez mais flexíveis e as condições de operação

mais extremas, e os métodos de balanceamento existentes se tornaram inadequados.

Assim, Bishop e Gladwell (1959) fizeram uma discussão acerca dos métodos de

balanceamento existentes, que geralmente eram designados para rotores rígidos e realizados a

baixas rotações. Segundo a discussão proposta, tais métodos não eram viáveis para rotores

flexíveis, que atuavam em rotações supercríticas, uma vez que o balanceamento feito poderia

ser prejudicial para situações em que o rotor não se comportava como rígido. Então, os

autores propõem um procedimento, denominado balanceamento modal, no qual cada modo

deveria ser balanceado de forma a não afetar o balanceamento do modo anterior, até o

41

enésimo modo alcançado pela máquina. O procedimento foi analisado considerando-se o

efeito de empenamento e do peso do rotor.

O desenvolvimento dos computadores modernos e a melhoria dos equipamentos de

instrumentação foram primordiais para o desenvolvimento do balanceamento, principalmente

para o método conhecido como coeficientes de influência, que necessitava a computação de

grandes sistemas lineares.

O método dos coeficientes de influência foi introduzido, de forma prática, no trabalho

realizado por Goodman (1964). Nesse artigo, foi desenvolvido o procedimento baseado nos

coeficientes de influência para rotores flexíveis sujeitos a diferentes velocidades de rotações e

carregamentos. No caso onde havia um número de medições igual ou menor que o número de

planos de balanceamento, a solução podia ser computada de forma direta. No entanto, se o

número de medições fosse maior que o número de planos de balanceamento, um processo de

otimização deveria ser realizado. Portanto, o autor sugere a utilização dos métodos dos

mínimos quadrados e mínimos quadrados ponderados para a obtenção das magnitudes e fases

do balanceamento, gerando uma vibração residual mínima.

Lund e Tonnesen (1972) adicionaram algumas melhorias ao método descrito por

Goodman e, experimentalmente, analisaram a validade e precisão do método dos coeficientes

de influência na obtenção das massas de correção. Além disso, foi verificada a influência de

se utilizar dois ou três planos de correção e de diversos sensores para a obtenção das medidas

de vibrações. Dessa forma, concluiu-se que o método dos coeficientes de influência era válido

e preciso, que as medições podiam ser obtidas através dos sensores comercialmente

disponíveis na época, desde que bem calibrados, e que se existem medições suficientes, o

balanceamento poderia ser utilizado com sucesso para casos com mais de dois planos de

balanceamento.

No entanto, a definição para o número de planos de balanceamento não estava bem

definida entre os pesquisadores da época. Portanto, Kellenberger (1972) levantou a discussão

de quantos planos de balanceamentos seriam apropriados para um balanceamento modal. O

padrão até o momento era utilizar o número de planos igual ao número de modos (N) que se

desejava balancear. Porém, o autor demonstrou em seus estudos que duas equações a mais,

referentes aos modos de corpo rígido, deveriam ser inseridas no sistema linear que definia o

cálculo das massas de correção. Assim, um total de N+2 planos deveriam ser utilizados para o

balanceamento modal, diminuindo de forma expressiva as vibrações residuais.

Também preocupado com o número de planos de balanceamentos a serem utilizados,

Darlow (1982) desenvolveu um procedimento para a identificação e eliminação de planos não

42

independentes, porém para o método dos coeficientes de influência. Nessa situação, os planos

dependentes causavam mal condicionamento da matriz utilizada para o cálculo dos

coeficientes de influência, gerando massas de correções com valores absurdos. Portanto, esse

procedimento deveria ser realizado anteriormente ao cálculo dos coeficientes, de forma a

utilizar somente os planos que gerassem um sistema de equações linearmente independentes.

Gnielka (1983) apresentou uma melhoria no método de balanceamento de Gash e

Drechsler (1978), estendendo-o a rotores com empenamento e suportados por múltiplos

mancais. Tratava-se de um método de balanceamento modal que não necessitava da utilização

de massas de triagem para levantar informações do rotor. Dessa forma, com os modos

calculados teoricamente, assim como massa modal, e medições realizadas em rotações

próximas às velocidades críticas, era possível identificar o desbalanceamento através do

procedimento de mínimos quadrados.

Tanto o método dos coeficientes de influência quanto o método modal possuem

vantagens e desvantagens. Os coeficientes de influência têm a desvantagem de necessitar de

uma grande quantidade de massas de triagem, enquanto o balanceamento modal tem

restrições quanto ao uso de mancais hidrodinâmicos devido a dependência dos autovetores

com relação a velocidade. Dessa forma, o método conhecido como método unificado de

balanceamento tenta considerar as vantagens de ambos os métodos e eliminar as

desvantagens. Dessa forma, massas de triagem são utilizadas em velocidades de rotação que

excitam predominantemente o modo a ser balanceado, gerando assim coeficientes de

influência para o modo em questão. Darlow (1987) publicou um tutorial em balanceamento de

rotores flexíveis no qual detalha os procedimentos a serem utilizados nesses três métodos,

além de fazer uma comparação experimental entre eles.

Yu (2003) desenvolveu um novo método para calcular os coeficientes de influência.

Nesse método, levou em consideração a utilização de um conjunto de massas de teste

aplicadas simultaneamente aos planos de balanceamento. Além disso, era possível utilizar

coeficientes de influência previamente calculados em balanceamentos passados para o cálculo

dos novos. A única restrição existente era a necessidade do número de rodadas de teste ser, no

mínimo, igual ao número de planos de balanceamento que ainda não foram utilizados em

balanceamentos passados. A técnica foi testada experimentalmente em uma turbina a vapor de

geração de energia elétrica, obtendo uma boa redução de vibração.

Para levar em conta restrições nos níveis de vibrações residuais e na magnitude das

massas de correção, Untaroiu et al. (2008) propõe o método de balanceamento ótimo min-max

LMI. Tal método calcula os coeficientes de influência a partir da minimização da norma

43

infinita das vibrações medidas nas posições mais críticas do rotor. As restrições aplicadas são

tratadas como um sistema linear de inequações. O novo método foi validado teoricamente

com dois exemplos numéricos, e os autores destacaram seu melhor desempenho em relação

ao método tradicional que utiliza os mínimos quadrados.

Deepthikumar et al (2013) utilizaram um balanceamento modal para corrigir um

desbalanceamento distribuído ao longo de um rotor com empenamento. O rotor foi modelado

através de elementos finitos e o desbalanceamento foi apresentado como uma curva

polinomial para cada elemento, havendo uma matriz de transferência para transportá-lo para o

sistema global. Foi verificado, tanto teoricamente quanto experimentalmente, o

balanceamento do primeiro modo de um rotor vertical em apenas um plano de balanceamento

e uma rodada teste, mostrando que o método era promissor.

Outra proposta promissora de se balancear rotores, e em grande evidência recentemente,

é através de detecção e diagnóstico de falhas. Tal tópico será abordado na seção 2.5 devido a

sua extensão e relevância para a dinâmica de rotores. Assim, não somente a identificação de

desbalanceamento será apresentada, mas também as técnicas de identificação que foram

desenvolvidas até o momento, as melhorias propostas por diversos autores e sua abrangência

para diversos tipos de falhas.

2.5. Identificação de Falhas

A literatura no tema de diagnóstico de falhas é muito vasta, abrangendo áreas como

pesquisa geral, modelagem de sistemas e métodos aplicados à identificação e isolamento da

falha de itens específicos de máquinas. Os diferentes tipos de falha que são observados nessa

área e os métodos para seu diagnóstico são igualmente amplos.

Com o propósito de fornecer uma melhor compreensão dos desenvolvimentos nesse

campo, Edwards et al. (1998) fizeram uma extensa revisão sobre o estado da arte das técnicas

de diagnóstico de falhas, com particular interesse na dinâmica de rotores, na qual vários

métodos e técnicas de identificação foram revisados, com tratamento especial para problemas

de desbalanceamento, empenamento e trincas, uma vez que essas são falhas críticas e

comumente encontradas. Com o mesmo propósito, Lees et al. (2009) focou no

desenvolvimento de identificações baseadas em modelo e Walker et al. (2013), desmembrou o

tópico de falhas da dinâmica de rotores em seções relacionadas com sensoriamento,

44

identificação, localização, prognóstico e modelagem.

Lees e Friswell (1997) apresentaram um método para determinar o estado de

desbalanceamento de uma máquina rotativa usando medições provenientes dos pedestais,

considerando que se o modelo matemático da máquina fosse suficientemente confiável, o

desbalanceamento poderia ser obtido diretamente dos níveis de vibrações medidos na caixa

dos mancais. O rotor foi modelado a partir de parâmetros modais, porém sem consideração de

amortecimento, e a força proveniente dos mancais era obtida através da lei de Hooke com

rigidez constante. Com o modelo, que contemplava apenas um grau de liberdade de

translação, foi possível obter boas estimativas para a amplitude do desbalanceamento, no

entanto não houve boas aproximações para a fase devido à baixa qualidade da modelagem dos

mancais, constatando-se que o método era eficaz apenas com mancais rígidos.

Vendo a importância de se detectar o desbalanceamento, e posteriormente fazer o

balanceamento em máquinas rotativas, como uma maneira de prevenir paradas imprevistas e

súbitas do maquinário, o mesmo grupo de trabalho continuou com a identificação desse tipo

de falha nos anos subsequentes.

Edwards et al. (2000) mostraram um método para identificar o desbalanceamento a

partir de uma única desaceleração. Além disso, o método era capaz de identificar os

parâmetros da fundação flexível, que foi considerada como matrizes diagonais de massa,

rigidez e amortecimento. Novamente, o rotor foi considerado sem amortecimento e o mancal

foi modelado como uma matriz de rigidez, com apenas coeficientes diretos, provenientes dos

deslocamentos relativos entre o rotor e a fundação. Foram feitos testes experimentais em

bancada, dos quais se concluiu que seria possível reduzir os níveis de vibração por

desbalanceamento em até 90%.

Utilizando os mesmos modelos anteriormente citados, Sinha et al. (2001) verificaram a

influência da divisão do campo total de frequências em bandas, obtidas na desaceleração ou

aceleração do rotor, para a identificação dos parâmetros de desbalanceamento e da fundação

flexível. Foi observado que para o desbalanceamento este procedimento não era viável, uma

vez que para cada banda foi encontrado um nível diferente de desbalanceamento. Contudo, o

método mostrou-se interessante para a obtenção dos parâmetros da fundação.

Chu e Lu (2001) desenvolveram um método para identificar o fenômeno secundário de

“rubbing”, como efeito de outras falhas (como desbalanceamento, desalinhamento e vibrações

fluido induzidas) que tem como resultado elevadas amplitudes de vibração lateral. O modelo

do rotor simulado possuía os elementos da diagonal principal da matriz de rigidez variáveis,

sendo esses elementos os parâmetros a serem identificados na eventual ocorrência de

45

“rubbing”. Além disso, a solução do problema dinâmico foi aproximada por uma expansão

em série de Fourier de oitava ordem. Assim, foi possível mostrar que a impedância mecânica

nos pontos onde ocorria “rubbing” aumentava, enquanto que em outros pontos, mantinha-se

praticamente sem alterações. Porém, o método era limitado apenas à identificação do

posicionamento da falha.

Modelos exatos de falha são, em sua maioria, não lineares. Portanto, os algoritmos de

integração no tempo devem obrigatoriamente ser utilizados para a solução das equações de

movimento do rotor com falha, embora o sistema sem danos seja linear, sendo esse processo

extremamente oneroso. Pensando nisso, Markert et al. (2001) desenvolveram um método que

evitava as não linearidades normalmente introduzidas pelos modelos de falha. O método se

baseava na representação da falha através de forças virtuais agindo no modelo linear do

sistema sem falha. As forças virtuais eram forças e momentos fictícios que geravam o mesmo

comportamento dinâmico das falhas não lineares. O método foi testado experimentalmente e

sua eficácia foi comprovada. Devido à constatação desses resultados, diversas pesquisas

posteriores utilizaram o mesmo conceito para desenvolver a identificação de falhas em

máquinas rotativas.

Em uma máquina real, raramente as falhas ocorrem isoladamente umas das outras.

Nesse contexto, Bachschmid et al. (2002) trataram da identificação de várias falhas

simultaneamente. Assim, desbalanceamento, empenamento, desalinhamento e trincas foram

inseridos no modelo como componentes harmônicas de forças e momentos de excitação. O

rotor foi modelado por elementos finitos e os mancais foram representados por suas matrizes

de amortecimento e rigidez. Os resultados numéricos foram validados experimentalmente e

observou-se que o método era capaz de detectar, com uma boa precisão, a magnitude e a

posição das falhas testadas.

Em 2003, os mesmos autores aplicaram o método em questão para identificar “rubbing”

e desbalanceamento para um turbo-gerador de 320MW, operando numa usina de energia.

Bons resultados foram obtidos mesmo com um modelo simplificado da máquina real.

Pennacchi et al. (2006) abordaram em duas etapas, sendo a primeira teórica e a segunda

experimental, a melhoria do modelo de fundação utilizado até o momento. O novo modelo de

fundação era baseado em uma representação modal, e foi apresentado um modelo completo

do rotor aplicado ao turbo-gerador de 320MW, obtendo resultados mais precisos e confiáveis

que os previamente encontrados.

Levando em consideração o estudo realizado por Bachschmid et al. (2002), Furtado et

al. (2005) apresentaram um método de identificação e diagnóstico de falha, no domínio da

46

frequência, utilizando redes neurais para detectar o posicionamento do desbalanceamento ao

longo do rotor e sua severidade. Foi concluído que a utilização do método das redes neurais,

por necessitar dados treinados contendo todas as características do mecanismo com falha,

podia não ser viável em situações práticas. Castro et al. (2007), se utilizaram do mesmo

modelo para identificar os coeficientes dinâmicos do mancal e também o desbalanceamento.

Para o método de busca que visa minimizar a função objetivo, foi utilizado um modelo

híbrido entre o “Simulated Annealing” e algoritmo genético.

Baseando-se em sinais temporais obtidos a partir da resposta ao impulso e “run-down”,

Tiwari e Chakravarthy (2009) fizeram a identificação simultânea do desbalanceamento

residual e dos parâmetros dinâmicos de mancais de um rotor rígido. Os resultados, utilizando

a resposta ao impulso, tanto teórico quanto experimental, foram comparados aos obtidos

através do “run-down”, mostrando que ambos eram capazes de representar qualitativamente

os mancais e o desbalanceamento presente no sistema.

Camargo et al. (2010) estudaram sistemas rotativos suportados por mancais

hidrodinâmicos e com um acoplamento flexível de ligação entre dois eixos flexíveis,

principalmente para predição e diagnóstico de falhas que comumente ocorrem nestes sistemas

(desalinhamento e desbalanceamento). Com o propósito de identificar os parâmetros de falha

desconhecidos, um algoritmo genético foi utilizado na análise individual de cada função

objetivo, definindo assim uma fronteira de Pareto ótima de soluções. No entanto, a

aleatoriedade dos métodos evolutivos e, consequentemente, o custo computacional necessário

para evitar mínimos locais no processo de busca, eram limitantes.

Sudhakar e Sekhar (2011) fizeram a identificação de desbalanceamento rotativo

utilizando o método da minimização das forças equivalentes. Nesse método, as vibrações

eram adquiridas experimentalmente nas estações de medição e expandidas para todo sistema

através de uma matriz modal de transferência. Assim, a resposta do sistema era inserida em

um modelo preciso de elementos finitos do rotor, sendo possível quantificar a localização e a

intensidade das forças que geravam a falha. Essas forças eram, então, comparadas com as

forças obtidas de um modelo puramente teórico variando-se a posição, magnitude e fase do

desbalanceamento, buscando a minimização da diferença. O método foi testado

experimentalmente mostrando boa concordância com as massas aplicadas.

Os trabalhos realizados anteriormente apresentavam, contudo, uma séria desvantagem: a

necessidade do conhecimento prévio do número de falhas para se realizar o procedimento de

identificação. Para contornar esse problema, Chatzisavvas e Dohnal (2014) aplicaram a

técnica de seleção de modelo Least Angle Regression (LAR), que gera todas as soluções

47

necessárias para técnica de regularização da função objetivo, a saber, Least Absolute

Shrinkage and Selection Operator (LASSO), para a identificação do número de falhas

presentes no sistema, que nada mais é que o número de elementos não nulos do vetor de força.

Essa nova abordagem foi comparada numericamente com a anterior e sua superioridade,

então, comprovada.

Morais et al. (2014) propõe a identificação de desbalanceamento utilizando um rotor

modelado por elementos com não linearidades provenientes de um atuador magnético. Num

primeiro momento, os parâmetros do sistema como rigidez e amortecimento dos mancais e

amortecimento proporcional do rotor são identificados experimentalmente através da função

resposta em frequência e da utilização do método estocástico “particle swarm”. Após

identificados os parâmetros do sistema, o modelo é utilizado para a identificação do

desbalanceamento, novamente utilizando o método “particle swarm” para minimizar a função

objetivo. O método foi testado numericamente e experimentalmente, para condições com e

sem não-linearidade, atingindo níveis desejáveis de vibração.

A posição onde o desbalanceamento está localizado no rotor causa influência, as vezes

significativas, no formato das órbitas provenientes dos mancais, e esse fenômeno pode ser

utilizado como forma de identificar os parâmetros do desbalanceamento presente no sistema.

Assim, Lang et al. (2015), utilizando um modelo de rotor com massas concentradas e

anisotropia nos mancais, adotou uma solução dinâmica harmônica que se baseava em

coeficientes que quantificavam a diferença entre os formatos das órbitas obtidas com

excitação localizada em todos os nós do rotor. Obtendo-se a resposta orbital experimental, foi

possível utilizar a técnica para identificar o desbalanceamento em uma turbomáquina de

geração de energia elétrica.

Machado e Calvalca (2016) apresentaram um método de identificação de desgaste em

mancais através das respostas ao desbalanceamento em coordenadas direcionais

(componentes direta e retrógrada). Para o modelo de desgaste proposto, os parâmetros

identificados foram profundidade, posição circunferencial e extensão do desgaste. Os

resultados numéricos foram confrontados com medições experimentais mostrando uma

correlação satisfatória. Em trabalhos posteriores, Mendes et al. (2017) evoluíram a técnica

para uma análise através da utilização de uma função de resposta em frequência (FRF),

obtendo resultados muito promissores.

Dessa forma, o tema e os procedimentos adotados nesse trabalho são atuais e visam

contribuir com uma melhor compreensão das características não lineares presentes em

máquinas rotativas, especialmente as provenientes de mancais hidrodinâmicos, através d

48

proposta de aproximação das forças hidrodinâmicas como uma função de alta ordem. Essa

aproximação tende a representar melhor, em condições não lineares, as características de tais

forças em comparação à aproximação tradicional por coeficientes lineares. Além disso, o

trabalho propõe a utilização dessa nova abordagem para o desenvolvimento de um método de

balanceamento que não necessite de massas de triagem e leve em conta as não linearidades

provenientes dos mancais.

49

3. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO E MODELAGEM NUMÉRICA

Esse capítulo visa a apresentação da modelagem matemática necessária para a obtenção

da solução dinâmica do sistema rotativo não linear, assim como para o balanceamento do

rotor. A seção 3.1 leva em consideração a modelagem do rotor através do método dos

elementos finitos, no qual o mesmo é representado através da construção de matrizes globais

de massa, amortecimento e rigidez, provenientes da soma individual das matrizes

elementares.

Os mancais serão tratados na seção 3.2, na qual será apresentado o desenvolvimento da

equação de Reynolds, que é fundamental para a obtenção das forças hidrodinâmicas não

lineares. Além disso, a representação do mancal através da linearização proposta pelos

coeficientes de amortecimento e rigidez também será abordada. Já a seção 3.3, consiste na

descrição da importância do uso do domínio do tempo na análise de sistemas não-lineares.

Também, será descrito o procedimento utilizado para a integração da equação de movimento,

ação mandatória para a obtenção da resposta temporal do sistema, sendo o método de

Newmark utilizado para esse fim.

A quarta parte, seção 3.4, mostra a aproximação realizada para as forças hidrodinâmicas

baseada em coeficientes não lineares. Essa aproximação permite a obtenção de tais forças de

forma rápida e mantém as características não lineares provenientes dos mancais.

Finalmente, na seção 3.5 será introduzida a técnica de identificação empregada para a

obtenção do desbalanceamento, assim como os métodos de otimização necessários para esse

fim.

3.1. Modelagem do Sistema Rotativo

Os elementos típicos de um sistema rotativo são os discos, os eixos, os mancais, os

selos e a fundação ou estrutura de suporte. Uma configuração típica pode ser visualizada na

Figura 3.1, onde também são mostrados os sistemas de coordenadas utilizados para a

obtenção das equações de movimento que descrevem a dinâmica do sistema.

O referencial XYZ (I) apresentado é o inercial, no qual X é o eixo axial, Y é o eixo

transversal horizontal e Z o eixo transversal vertical. O sistema xyz (L) é o referencial

50

rotacional, sendo que este referencial acompanha a rotação do rotor, uma vez que os eixos X e

x são coincidentes com a linha neutra do rotor não deformado. Ou seja, definindo ω como a

velocidade de rotação de precessão, os eixos transversais, em cada um dos referenciais,

estarão deslocados de um ângulo ωt entre si.

Admitindo pequenas deformações transversais, é possível considerar os deslocamentos

angulares (B,Γ) praticamente colineares com os eixos (Y,Z) respectivamente, e portanto,

considerando Ω como sendo a velocidade de rotação própria do rotor, o ângulo de rotação

própria ϕ, para deformação torcional desprezível, é dado por Ωt.

Figura 3.1: Configuração do sistema rotativo (Nelson e McVaugh, 1976).

Segundo a modelagem apresentada por Tuckmantel (2010), o método dos elementos

finitos discretiza um sistema contínuo em um conjunto de elementos que podem ser

considerados contínuos individualmente, sendo que cada elemento é ligado ao outro através

de nós. Segundo Adams (2010), o método dos elementos finitos permite o acoplamento

inercial, de translação e rotação, entre os elementos do sistema, dado através da matriz de

massa, fato que não acontece em modelos mais simples como o de parâmetros concentrados,

fazendo com que esse método seja mais preciso na obtenção da solução das equações de

movimento. Ademais, o método dos elementos finitos permite também o acoplamento do

efeito giroscópico entre os elementos, que é fundamental para a análise de rotores (Childs,

1993). Lalanne e Ferraris (1998) discorrem sobre o enrijecimento do sistema devido à adição

de discos de inércia, que podem ser reproduzidos apenas com a utilização do método dos

elementos finitos.

Com isso, pode-se calcular a energia cinética (Ti), a energia de deformação (Ui) e o

51

trabalho das forças não conservativas (Ri) de cada elemento i, em função dos deslocamentos

dos nós em sua fronteira. Assim, para uma estrutura com N elementos, a energia total do

sistema é dada pela soma das energias de cada elemento, ou seja:

N

i

iTT1

,

N

i

iUU1

,

N

i

iRR1

. (3.1)

Sabe-se também, que a energia cinética, a energia de deformação e o trabalho das forças

não conservativas globais são (Nelson e McVaugh, 1976):

2

2

1

2

1 pIT GqqqMq

TT ,

KqqT

2

1U ,

qCqT

2

1R .

(3.2)

Então, para obter-se a equação de movimento do sistema completo, utiliza-se a equação

de Lagrange (Equação 3.3), (Krämer, 1993; Lalanne e Ferraris, 1998; Genta, 2005):

i

iiii

Fq

R

q

U

q

T

q

T

dt

d

, para i = 1, 2, ..., N, (3.3)

no qual qi é a i-ésima coordenada generalizada e Fi é a componente generalizada da força

atuando na direção da i-ésima coordenada generalizada.

Portando, substituindo as Equações (3.2) na equação de Lagrange, tem-se a equação de

movimento do sistema completo:

tttt fKqqGCqM , (3.4)

onde M, C, G e K são respectivamente as matrizes globais de massa, de amortecimento,

giroscópica e de rigidez, f(t) é o vetor de forças externas e q(t) é o vetor dos graus de

liberdade, ou o vetor deslocamento relativo ao sistema de coordenadas inercial. Além disso, a

52

matriz de amortecimento pode ser obtida proporcionalmente às matrizes de massa e rigidez

dos elementos, sendo α o coeficiente de proporcionalidade para a massa e β o coeficiente de

proporcionalidade para a rigidez. Assim:

KMC . (3.5)

Na modelagem por elementos finitos serão utilizadas as equações de movimento

apresentados por Nelson e McVaugh (1976) e Nelson (1980). Neste caso, a deformação de

um elemento é definida pelas translações nodais V e W, nas respectivas direções Y e Z do

referencial inercial e a orientação do elemento é dada pelas rotações nodais B e Γ em torno,

novamente, dos eixos Y e Z do referencial inercial, conforme visto na Figura 3.1. Assim, o

vetor de coordenadas generalizadas é dado por:

T

iiii BWV q . (3.6)

Os elementos mais comuns utilizados na dinâmica de rotores são os elementos de disco

e os elementos de viga, que serão apresentados nas próximas seções.

3.1.1. Elemento de Disco

Os elementos de disco, nesse trabalho, serão considerados como corpos rígidos e

modelados apenas por um único nó (Figura 3.2). Supondo velocidade de rotação própria (Ω)

constante e aplicando a equação de Lagrange, é possível obter a equação de movimento para o

disco:

fqGqM dd . (3.7)

53

Figura 3.2: Elemento de disco.

A matriz de massa do elemento de disco Md é composta pelas inércias de translação

(MTd) e de rotação (MRd), e são dadas pela Equação (3.8) (Tuckmantel, 2010; Nelson, 1980):

Iz

Iy

m

m

Rd

d

d

TdRdTdd

000

000

0000

0000

e

0000

0000

000

000

MMMMM , (3.8)

sendo, md a massa do disco e Iy e Iz são os momentos de inércia radiais e dados por:

222

4

3

12ddide

d Lddm

IzIy , (3.9)

onde dde e ddi são os diâmetro externo e interno do disco e Ld seu comprimento.

Já a matriz giroscópica do disco Gd é apresentada na Equação (3.10) (Tuckmantel,

2010, Nelson 1980):

,

000

000

0000

0000

Ix

IxdG (3.10)

no qual:

54

22

8dide

d ddm

Ix , (3.11)

é o momento de inércia polar.

3.1.2. Elemento de Viga

Nesse trabalho, os elementos de viga são considerados como elementos de viga de

Timoshenko e são assumidos com seção transversal circular constante e massa contínua. Um

esquema do elemento é apresentado na Figura 3.3. Os oito graus de liberdade do elemento são

calculados a partir das coordenadas generalizadas dos extremos do elemento utilizando-se

funções de forma. Mais uma vez, utilizando-se da equação de Lagrange para encontrar a

equação de movimento do elemento, têm-se:

fqKqGqM VVV . (3.12)

Figura 3.3: Elemento de viga.

Novamente, a matriz de massa MV apresenta efeitos devido ao movimento translacional

e rotacional, e sua forma é apresentada na Equação (3.13) (Tuckmantel, 2010; Nelson 1980):

55

2

32

2

65

2

32

2

65

154

154

2

32

2

32

1

1

0000

000

000

00

00

0

.0

VVVV

VVVV

V

V

VV

VV

RVTVV

LLLL

LLLL

L

L

LL

LL

sim

MMM . (3.13)

As matrizes do efeito giroscópico GV e da rigidez KV do elemento de viga são

mostradas, respectivamente, nas Equações (3.14) e (3.15) (Tuckmantel, 2010; Nelson 1980):

0000

0000

000

000

00

00

..0

0

2

98

2

108

8

2

108

787

87

2

98

8

7

VVVV

VVV

V

V

VV

V

V

LLLL

LLL

L

L

LL

L

simant

G , (3.14)

13121412

13121412

111211

111211

1312

1312

11

11

3

0000

000

000

00

00

0

.0

121

sim

L

EIzz

V

VK , (3.15)

na qual, E é o módulo de elasticidade do material do elemento de viga, LV é o comprimento do

elemento de viga e os outros parâmetros são dados no conjunto de Equações (3.16)

(Tuckmantel, 2010; Nelson, 1980).

RT 36201603528156 2

1 , (3.16)

56

RT 1803252046222 2

2,

RT 22

3 14406045048424 ,

RT 36100801512546 2

4 ,

RT 1803252037813 2

5 ,

RT 22

6 720601504843 ,

R 727 ,

R 180328,

R 2

9 14406042 ,

R 601210,

1211 ,

VL612 ,

314 2

13 VL ,

612 2

14 VL ,

2121420

Vs

T

AL ,

2

2

121420 Ves

R

Ar ,

2

12

VkGAL

EIzz .

Nesse conjunto de equações é possível notar a influência da densidade do material (ρs),

da área da seção transversal do elemento (A), do raio externo do elemento (rVe

), do módulo de

elasticidade transversal (G), do fator de forma do cisalhamento (k) e do fator de cisalhamento

(Φ), que incluem o efeito da deformação por cisalhamento transversal nos elementos. Se esse

parâmetro for nulo, os efeitos do cisalhamento são desprezados e o elemento de viga se torna

o elemento de Euler-Bernoulli. O fator de cisalhamento k pode ser calculado de acordo com

Cowper (1966).

Para completar o sistema rotativo, é necessário, ainda, modelar a fundação e os mancais

hidrodinâmicos. Nesse trabalho a fundação será considerada rígida. Nos mancais

hidrodinâmicos, o filme de óleo será modelado considerando as características geométricas do

mancal e a força aplicada ao rotor, ou ainda, a posição do eixo no interior do mancal. Com

57

isso, é possível obter as pressões hidrodinâmicas e, consequentemente, a força proveniente do

mancal. Os mancais serão descritos na seção 3.2.

3.2. Modelo de Mancais Hidrodinâmicos

A equação de Reynolds é a base da teoria clássica da lubrificação hidrodinâmica. Essa

equação é obtida pelo uso conjunto das equações de conservação de quantidade de movimento

e da conservação da massa para um fluido viscoso. Ao ser aplicada no estudo do filme de óleo

de mancais, a solução desta equação fornece a distribuição de pressão no óleo. Este campo de

pressão é a informação necessária para a resolução da maioria dos problemas básicos na

análise de mancais hidrodinâmicos.

A derivação de uma equação diferencial que governa a distribuição de pressão num

mancal hidrodinâmico é baseada nas equações de quantidade de movimento e na equação da

continuidade. Nas formas mais gerais, as equações de conservação da quantidade de

movimento para um fluido Newtoniano podem ser expressas em coordenadas cartesianas

através das expressões conhecidas como Navier-Stokes. Uma descrição detalhada da obtenção

dessas equações é dada por Alves (2011).

Segundo Dowson (1962), para se obter a equação de Reynolds, é preciso adotar

hipóteses simplificadoras para as equações de quantidade de movimento. Assim, um resumo

das hipóteses adotadas é apresentado a seguir:

1. O raio de curvatura do mancal é muito maior que a espessura do filme, permitindo

que qualquer efeito devido à curvatura do filme de óleo seja desprezado. O filme de óleo

pode, então, ser aberto em uma das superfícies, representada aqui pelo plano Z = 0. A outra

condição de contorno será separada do plano anterior por uma distância h que é uma função

das coordenadas x, θ e do tempo t. A geometria e o sistema de coordenadas são mostrados na

Figura 3.4. Os sufixos 1 e 2 serão usados, respectivamente, para denotar as condições nas

superfícies z = 0 e z = h.

2. O lubrificante é um fluido Newtoniano.

3. Os termos de inércia e de forças de corpo na equação da conservação da quantidade

de movimento são pequenos se comparados com os termos de pressão e viscosidade.

4. Devido à geometria do filme lubrificante, os gradientes de velocidade z

e

z

x

são

58

predominantes se comparados aos demais gradientes de velocidade, dominando, portanto, os

termos viscosos.

5. As velocidades das condições de contorno 1 e 2 são, normalmente, interpretadas

como as velocidades superficiais das partes sólidas, implicando na não existência de

escorregamento entre o lubrificante e as partes sólidas.

Figura 3.4: Sistema de coordenadas.

Portanto, a equação de Reynolds na sua forma mais geral é:

22

1212

UVh

x

pGF

x

pGF

31

0

2312

31

0

2312 GUF

GFUU

xGV

F

GFVV

,

120

wwdzt

h

(3.17)

na qual, p é a pressão, x, θ e z são, respectivamente, as coordenadas axial, circunferencial e

vertical do mancal e h é a espessura do filme lubrificante:

cossin zyCh R , (3.18)

CR é a folga radial do mancal, Ui, Vi e wi são as velocidades do lubrificante nas direções x, θ e

z, respectivamente, avaliadas no contorno, ρ é a densidade e µ é a viscosidade do lubrificante

e:

59

h dz

F0

0

,

h

dzzzz

F02

,

h

dzz

F03

,

h zz

dzdz

zdzz

zzG

0 001

,

h z

dzdz

zzG

0 02

,

h

dzz

zG03

.

A Equação (3.17) representa a forma geral da equação básica da lubrificação de filmes

finos e foi obtida por Dowson (1962), a qual permite a variação das propriedades do fluido

nas coordenadas circunferencial e axial do lubrificante. Observa-se que essa equação é escrita

em termos de dois grupos de funções, F e G. Todas as funções G contém o termo da derivada

da densidade com relação a coordenada vertical. No entanto, sabe-se que a densidade é

praticamente constante através do filme na grande maioria das condições de lubrificação,

podendo esse termo ser desprezado. A relação funcional entre ρ, µ e z deve ser conhecida

antes de as integrais serem computadas. Quando a variação de ρ e µ ao longo de z for

desprezível, as integrais podem ser avaliadas analiticamente, gerando a conhecida forma da

equação de Reynolds.

Tradicionalmente a equação de Reynolds é utilizada em sua forma isoviscosa e

incompressível. Nessa situação tem-se que 0

zxzx

, gerando a

seguinte simplificação:

12

2233 612 VVhx

UVh

x

ph

x

ph

h

dzt

wwUUhx 0

1212 126

.

(3.19)

60

Além disso, se for considerado apenas movimento tangencial entre as superfícies e não

for considerado movimento normal, a velocidade do fluido na superfície do mancal na direção

vertical será nula, ou seja, w1 = 0. Em contrapartida, a velocidade do fluido próximo à

superfície do eixo, na direção vertical, será dependente da variação da espessura do filme de

fluido em relação ao eixo θ e do movimento de esmagamento do filme de óleo, ou seja,

t

hhVw

22 . Também, assume-se que a velocidade de fluido, no contato com os sólidos,

na direção x é nula, visto que o movimento é puramente por escorregamento, assim,

021 UU . Ademais, a velocidade do fluido na direção y é nula na superfície do mancal (V1

= 0) e igual a velocidade tangencial do eixo em z = h (V2 = V). Considerando também que a

densidade não é dependente do tempo, equação de Reynolds se torna:

t

hhV

x

ph

x

ph

12633 , (3.20)

onde:

cossin zyt

h

. (3.21)

Devido ao fato de a equação de Reynolds ser uma equação diferencial parcial de

segunda ordem, sua solução analítica completa não pode ser obtida. No entanto, Sommerfeld

(1904) e Ocvirk (1952), através de simplificações que consideravam o mancal infinitamente

longo, ou infinitamente curto, respectivamente, obtiveram soluções analíticas

unidimensionais. Porém, tais soluções têm eficácia restrita a mancais que possuem razões L/D

muito altas ou muito baixas, deixando uma ampla variedade de mancais sem uma resposta

analítica confiável, como foi mostrado por Machado (2011).

Assim, é necessário um método numérico para a solução completa da equação de

Reynolds, sendo o Método dos Volumes Finitos um dos métodos numéricos amplamente

utilizados na literatura, no qual um sistema de equações diferenciais parciais é transformado

em um sistema de equações algébricas, onde o número de equações depende da malha

utilizada na análise. Essa malha representa o filme lubrificante no interior do mancal em sua

forma aberta. Então, os termos da Equação (3.20) podem ser integrados por toda extensão do

volume de controle genérico P da malha computacional (Figura 3.5), ou seja (Maliska 2004):

61

xPhhhPPhdxd

ph WwwePEe

n

s

e

w

33333 ,

x

PhhhPPhdxdx

ph

xSssnPNn

n

s

e

w

33333 ,

xhhVdxdh

V we

n

s

e

w

66 ,

xt

hdxd

t

hn

s

e

w

1212 .

(3.22)

As variações de pressões na fronteira do volume podem ser aproximadas por diferenças

centrais (Thomas, 1995):

x

PP

x

P

x

PP

x

PPPPPPP SP

s

PN

n

WP

w

PE

e

;;;

. (3.23)

Figura 3.5: Malha computacional bidimensional.

Portanto, a pressão no volume de controle P é definida através da pressão nos volumes

adjacentes:

BPCPCPCPCPC SSNNWWEEPP , (3.24)

no qual, PC , EC , WC , NC , SC e B são constantes dependentes dos parâmetros do mancal e

dados por:

62

23 xPhC EeE ,

23 xPhC WwW ,

23 NnN PhC ,

23 SsS PhC ,

233233 nsweSNWEP hhxhhCCCCC ,

222 126 xt

hxhhVB we

.

(3.25)

Dessa forma em uma malha de N volumes são obtidas N equações algébricas que

podem ser resolvidas por qualquer método de resolução de sistemas lineares. Para mais

detalhes acerca da aplicação do método dos volumes finitos para mancais lubrificados,

consultar Machado (2011) e Daniel (2012).

Com o campo de pressão estimado é possível avaliar as forças resultantes no filme de

lubrificante. Para isso, basta integrar numericamente a distribuição de pressão, obtendo as

componentes da força hidrodinâmica (fhy e fhz) no sistema inercial zy do mancal:

.cos

,sin

2

2

2

2

2

1

2

1

dxdpf

dxdpf

L

Lhz

L

Lhy

(3.26)

Figura 3.6: Representação linear do mancal hidrodinâmico.

Normalmente, os mancais são representados na dinâmica de rotores como uma série de

molas e amortecedores, como mostrado na Figura 3.6. Segundo Lund (1987), essa

representação é possível ao se linearizar as forças hidrodinâmicas, expandindo-as em uma

63

série de Taylor de primeira ordem ao redor do ponto de equilíbrio estático. Assim, para uma

determinada rotação do eixo tem-se:

zCyCzKyKff yzyyyzyyhyhy 0 ,

zCyCzKyKff zzzyzzzyhzhz 0 ,

(3.27)

no qual os coeficientes são as derivadas parciais das forças avaliadas na posição de equilíbrio:

00

;z

fC

z

fK

hy

yz

hy

yz

, (3.28)

e são conhecidos como os coeficientes dinâmicos de rigidez e amortecimento do mancal.

Portanto, as forças hidrodinâmicas podem ser representadas de maneira linear,

aplicando o conceito de coeficientes lineares (Equação 3.27) ou de maneira não linear usando

a força obtida através da integração do campo de pressões gerado pela equação de Reynolds

(Equação 3.26).

3.3. Não Linearidades e Solução no Domínio do Tempo

A análise clássica da dinâmica de rotores é tipicamente uma análise linear, e os

conceitos básicos como velocidades críticas, limite de instabilidade ou coeficientes

dinâmicos, são válidos somente nos limites impostos pela linearização. Mesmo os rotores

sendo frequentemente lineares em suas condições nominais, outros componentes, como por

exemplo, os mancais, podem apresentar um comportamento severamente não linear. A

tentativa de linearizar o comportamento desses componentes é uma prática muito comum,

mas em muitos casos o resultado obtido pode ser uma aproximação não satisfatória.

Geralmente, a análise dos rotores é feita em rotações constantes, ou na condição de

regime permanente. Quando se tem a combinação desse regime com a introdução do sistema

linear, a análise é baseada no domínio da frequência, e possibilita uma visão compreensível

do comportamento de um rotor particular em diferentes condições. Se a condição de estado

estacionário for abandonada, então a solução através do domínio da frequência não é

64

usualmente empregada e resolvem-se as equações necessárias através da integração no tempo.

O mesmo ocorre na presença de não-linearidades.

Uma vez que as forças hidrodinâmicas são funções altamente não lineares do

deslocamento e da velocidade do rotor, mesmo agindo localmente no sistema, a dinâmica da

máquina rotativa é significativamente afetada de forma completamente não linear. Sendo

assim, uma vez que se deseja explorar a abordagem de problemas associados às maquinas

rotativas com mancais não linearizados, a solução da equação de movimento (Equação 3.4)

deve ser necessariamente resolvida no domínio do tempo, fazendo com que a força

proveniente do mancal seja aplicada como uma força externa no rotor.

Um método clássico empregado na solução de equações diferenciais no domínio do

tempo para problemas de dinâmica dos sólidos, e utilizado nesse trabalho, é o método de

Newmark, que se baseia na expansão em série de Taylor do deslocamento q e da velocidade

q . Mantendo-se os termos da série até a terceira ordem tem-se:

62

3

0

2

0000

ttttt qqqqq ,

2

2

0000

tttt qqqq .

(3.29)

Adotando-se qt como o valor de q no instante de tempo t, e ε = Δt, então:

32

2t

tt tNttttt

qqqqq ,

2tt tNtttt qqqq ,

(3.30)

no qual, βN e γ

N são constantes que determinam a precisão e estabilidade do método e definem

a variação da aceleração em cada intervalo de tempo. Para o presente trabalho, será

empregado o esquema de aceleração média, onde 4

1N e

2

1N , uma vez que nessa

condição o método possui precisão de segunda ordem e estabilidade numérica incondicional.

Pelo método das diferenças finitas, é possível aproximar tq como sendo:

65

t

ttt

t

qq

q

, (3.31)

e, portanto, as aproximações de Newmark para o deslocamento e velocidade se tornam

(Bathe, 1982):

ttNtNtttt ttt

qqqqq 22

2

1 ,

ttNtNttt tt qqqq 1 .

(3.32)

Nota-se, na Equação (3.32), que a posição e a velocidade no instante t + Δt são

dependentes da aceleração nesse mesmo instante de tempo, o que torna o método de

Newmark um método de integração implícito.

Dessa forma, é possível integrar a solução para a equação de movimento a cada

intervalo de tempo. Para isso, é possível escrever a equação de movimento em uma forma

residual para o instante de tempo t + Δt, ou seja:

0ffKqqGCqMψ

h

tttttttttttt , (3.33)

onde fh é o vetor de forças hidrodinâmicas que apresenta comportamento não linear. Assim, é

necessário um procedimento iterativo para o cálculo do resíduo nulo, ou seja, para encontrar a

condição dinâmica que satisfaça a equação de movimento para um determinado instante de

tempo. Um método amplamente utilizado ao longo dos anos para obtenção de zero de funções

é o método de Newton-Raphson. Dessa forma, expandindo a Equação (3.33) em uma série de

Taylor de primeira ordem tem-se:

0qqψ

ψψψ

k

tt

k

tt

tt

k

ttk

tt

k

tt

11.

Ou ainda:

k

tttt

k

tt ψΔqS , (3.34)

66

sendo k o contador do método de Newton-Raphson, S a matriz tangente.

A matriz tangente S é dependente do vetor de deslocamentos q, portanto:

tt

h

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

k

ttk

tt

q

f

q

fK

q

qGC

q

qM

q

ψS

. (3.35)

Separando as Equações (3.32) de Newmark em equações de previsão:

tNtttt tt qqqq 2*

2

1

,

tNttt tqqq 1* ,

(3.36)

0q

*

tt ,

e equações de correção:

ttNtttt t qqq 2* ,

ttNtttt t qqq * , (3.37)

pode-se escrever a aceleração q e a velocidade q em função do deslocamento q. Assim:

*

2

1tttt

N

ttt

qqq

,

***

2

* 1tttt

N

N

tttttt

N

Ntttttt

t

qqqqqqq

.

(3.38)

Dessa forma, derivando as Equações (3.38) em relação ao deslocamento, é possível obter:

2

1

tNtt

tt

q

q,

tN

N

tt

tt

q

q.

(3.39)

67

Além disso, o vetor das forças hidrodinâmicas (fh) também é dependente do

deslocamento do sistema. Com isso, expandindo o último termo da Equação (3.35) tem-se:

tt

tt

tt

h

tt

tt

h

tt

tt

h

tt

q

q

q

f

q

f

q

f

. (3.40)

Finalmente, substituindo as Equações (3.40) e (3.39) na Equação (3.35), é possível

calcular a matriz tangente:

tt

h

tt

tt

h

tt

N

N

N

k

tttt

q

fK

q

fGCMS

2

1. (3.41)

Assim, para um instante de tempo t qualquer, é possível utilizar as aproximações de

Newmark para calcular a previsão das variáveis (Equação 3.36). Tendo posse das previsões

deve-se calcular a matriz tangente S (Equação 3.41) para se obter o incremento de posição Δq

(Equação 3.34) e, consequentemente, a correção das variáveis através das Equações (3.37) e

(3.38). Com os novos valores de posição, velocidade e aceleração calcula-se novamente a

matriz tangente, o incremento de posição e a correção das variáveis. Essas iterações,

provenientes do método de Newton-Raphson, perduram até que o valor do resíduo seja menor

que um valor de convergência pré-estabelecido, ou seja, quando a equação de movimento for

respeitada. Ao se satisfazer tal critério, muda-se o instante de tempo para t + Δt e repete-se a

operação, até que todo intervalo temporal seja calculado.

3.4. Caracterização da Força não Linear

Como visto na seção anterior, para a solução da equação de movimento, as forças

hidrodinâmicas devem ser calculadas a cada intervalo de tempo e a cada iteração do método

de Newton-Raphson. Se a análise for não linear, também será necessário a resolução da

equação de Reynolds cada vez que as forças hidrodinâmicas forem necessárias, gerando,

portanto, um alto custo computacional. Sendo assim, uma técnica para a redução do tempo de

processamento na solução da equação de movimento se torna necessária. No entanto, é

interessante que tal técnica não despreze os efeitos de não linearidade provenientes do

68

mancal.

Portanto, neste trabalho, é proposta a caracterização da força hidrodinâmica não linear

por uma equação de ordem superior que é função da rotação, da posição e da velocidade do

centro do eixo no interior do mancal:

zyzyff hh,,,, . (3.42)

Assim, uma vez caracterizado o mancal hidrodinâmico, para condições de operação

específicas, as forças hidrodinâmicas podem ser obtidas diretamente de uma equação analítica

como a da força linear dada pela Equação (3.27).

Dessa forma, para deslocamentos ao redor do ponto de equilíbrio, pode-se expandir as

forças geradas pelo filme de óleo em uma série de Taylor dependente das variáveis descritas

anteriormente:

ax

xax

n

ojj

jj

hi

f

jf

!, (3.43)

sendo que, i representa uma das coordenadas y ou z, j é a ordem da expansão, x é o vetor com

as variáveis da função e as derivadas j

j f

x

x

são os coeficientes da equação Ki,N (onde N é o

número total de termos), que representam os coeficientes de rigidez e amortecimento lineares

e não lineares associados aos mancais hidrodinâmicos. Assim, uma expansão retendo, por

exemplo, todos os termos até a segunda ordem, se torna (Zhao, 2005):

yyKzyKyKzKyKzKyKKf iiiiiiiihi

7,6,

2

5,4,3,2,1,,0

2

14,13,

2

12,11,10,

2

9,8, zKzyKyKzzKyzKzKzyK iiiiiii .

(3.44)

Através da obtenção de y(t), z(t), ty , tz , tf hy e tf hz , utiliza-se o método dos

mínimos quadrados, para minimizar a diferença entre a força ajustada (fhi(k)) e a força obtida

através da solução da equação de Reynolds ( kfhi ) (Hastie et al., 2008):

69

M

k

N

j

jijkiihiK

M

k

ihiK

KxKkfkFkfNN

1

2

1

,,,,0

1

2minmin , (3.45)

onde M é o número de intervalos de tempo utilizados na obtenção de forças hidrodinâmicas.

Agora, considerando que X é a matriz dos preditores e y o vetor de forças hidrodinâmicas

obtidas pela equação de Reynolds, é possível escrever a Equação (3.45) na forma matricial:

iii

T

iiiK N

kXykXy

min , (3.46)

no qual ki é o vetor com os coeficientes para a i-ésima força hidrodinâmica que se deseja

ajustar.

Para minimizar essa função, o gradiente da função objetivo em relação aos coeficientes

deve ser nulo:

0

iii

T

iii

i

kXykXyk

, (3.47)

ou seja:

0 iii

T

i kXyX , (3.48)

e, portanto:

i

T

ii

T

i

MQ

i yXXXk . (3.49)

No entanto, segundo Hastie et al. (2008), podem existir situações nas quais as colunas

da matriz dos preditores X não sejam linearmente independentes, transformando X em uma

matriz que não possui rank completo. Isso faria com que o produto XTX fosse uma matriz mal

condicionada ou singular, gerando coeficientes que podem exibir uma variância muito alta.

Para contornar esse problema é possível utilizar o método de regressão “Rigde Regression”

para se estimar os coeficientes k, ao invés dos mínimos quadrados, que é equivalente a uma

regularização de Tikhonov da forma padrão. Assim, esse método aplica uma restrição ao

tamanho dos coeficientes calculados, ou seja, os coeficientes são calculados pela minimização

70

por mínimos quadrados sujeitos a essa restrição:

N

j

i

M

k

iHiK JN

Kkfkf1

2

1

2min , (3.50)

no qual ξ é o parâmetro de regularização ou parâmetro de ajuste. Em forma matricial a

Equação (3.50) se torna (Hastie et. al., 2008):

i

T

iiii

T

iiiK N

kkkXykXy

min . (3.51)

Novamente, derivando a Equação (3.51) em relação ao vetor de coeficientes e isolando

k tem-se:

i

T

ii

T

i

RR

i yXIXXk1

. (3.52)

Sendo assim, para cada mancal e para cada direção da força hidrodinâmica existe um

problema de “rigde regression” que pode ser resolvido analiticamente pela Equação (3.52),

gerando N coeficientes definidos pela ordem da expansão de Taylor.

Equivalentemente é possível escrever o problema de “ridge regression” como:

M

k

iHiK

kfkfN

1

2min

tKN

j

ji 1

2

,asujeito ,

(3.53)

no qual t é uma constante positiva, que como dito é um problema de mínimos quadrados

sujeito a restrição quadrática no valor das variáveis, que são os coeficientes da função da

força hidrodinâmica. Usando a formulação lagrangeana é possível rescrever a Equação (5.53):

tL iiiiK N

2

2

2

2min, kkXyk , (3.54)

sendo que, segundo Golub (1999), utilizando essa formulação é possível provar que quando

71

2

2

MQt k a solução da Equação (3.53) é idêntica a solução da Equação (3.52) para um dado

ξ.

Dessa forma, a Equação (3.53), juntamente com a Figura (3.7), esclarecem a

participação da restrição na magnitude dos coeficientes. Assim, quando ξ → 0 a solução

encontrada é igual a solução do método dos mínimos quadrados, e quando ξ → ∞ a solução é

nula. Para soluções intermediárias, há uma redução no valor dos coeficientes, que causa uma

redução na variância dos resultados, com o custo de uma diminuição na precisão do ajuste.

Para o cálculo de ξ, utilizou-se nesse trabalho, o método de busca unidimensional dicotômica,

de forma a obter o menor valor para a função objetivo dada pela Equação (3.51).

Figura 3.7: Aplicação da restrição na obtenção dos coeficientes da força hidrodinâmica para

um caso bidimensional.

Então, para cada velocidade de rotação estudada é necessário calcular os coeficientes

não lineares que serão utilizados para computar as forças hidrodinâmicas, o que torna a

função dada pela Equação (3.42) dependente da rotação. Apesar do custo computacional

inicial para se determinar os coeficientes não lineares, uma vez obtidos, podem ser utilizados

para resolver a equação de movimento no domínio do tempo, reduzindo de forma expressiva o

custo computacional para a solução dinâmica do sistema, sem, contudo, abrir mão das não

linearidades introduzidas pela força hidrodinâmica, o que permite utilizar análises gráficas

típicas da dinâmica de rotores (Genta, 2005).

72

3.5. Identificação do Desbalanceamento Rotativo

Como dito anteriormente, o monitoramento da máquina é uma ação interessante, uma

vez que permite detectar e identificar falhas, evitando paradas súbitas e consequentes perdas

financeiras. Uma vez detectada a falha, a identificação tem um papel fundamental, uma vez

que nessa análise é possível obter a magnitude da falha assim como sua localização. Existem

duas abordagens principais para o diagnóstico da falha (Bachschmid et al., 2002). A primeira

é baseada em sinais e é utilizada quando o modelo físico da falha é de difícil obtenção.

Geralmente utiliza informações qualitativas e de certa forma depende, em maior ou menor

grau, da experiência pessoal do profissional na área de conhecimento envolvida. A provável

falha é identificada através de uma abordagem probabilística e métodos estatísticos são

utilizados para criar a correlação falha-sintoma. A segunda abordagem é baseada em modelo,

e é uma abordagem quantitativa. Nesse caso, um modelo confiável do sistema deve ser

utilizado para criar a relação falha-sintoma. Porém, esse método pode ser aplicado de várias

maneiras, as quais são classificadas quanto à relação da falha com o sistema:

- Estimação de parâmetros: quando um parâmetro constante do processo é afetado pela

falha;

- Estimação de estado: quando somente o estado do sistema é afetado pela falha, sendo

que nessa situação o modelo age como um observador de estados;

- Equações de paridade: quando a falha afeta alguma das variáveis de entrada não

medidas, uma vez que somente as variáveis de saída são medidas e comparadas com as

variáveis de saída calculadas pelo modelo matemático desenvolvido.

Uma vez que é demasiadamente complicado identificar mudanças nos parâmetros do

sistema e mudanças nas matrizes da equação de movimento (Equação 3.4), o presente

trabalho utilizará o método das equações de paridade, no qual as variáveis de entrada serão as

forças de excitação e as variáveis de saída serão as vibrações, e as falhas serão introduzidas

como forças externas (Markert et al., 2001).

Para o processo de identificação é preciso coletar dados reais da máquina que

possivelmente apresenta falha, sendo que os locais mais plausíveis para coletar essas

informações são os mancais. Os sinais a serem aquisitados são os deslocamentos laterais do

eixo no interior dos mancais. Além disso, é necessário um modelo confiável para a falha.

O desbalanceamento de massa é a principal causa de vibração numa máquina rotativa.

Essa força provém da força de inércia resultante de uma porção de massa deslocada do centro

de rotação. Como é de conhecimento, esta força pode ser escrita como:

73

r

Vf

2

md , (3.55)

onde m é a massa desbalanceada, rωV é a velocidade tangencial linear da massa e r é a

distância da massa ao centro de rotação. Decompondo a força de excitação no referencial

inercial y-z e chamando o vetor r de excentricidade (e), a força de desbalanceamento pode ser

reescrita como:

tmef dy cos2

tmefdz sin2 , (3.56)

no qual δ é o ângulo de fase. Essas forças devem ser adicionadas ao vetor de forças externas

da equação de movimento em suas posições corretas.

Os métodos de diagnose de falhas baseados em modelos necessitam de técnicas de

otimização de sistemas para buscar a melhor configuração da falha. Geralmente, o problema

de otimização envolve a seleção de valores para um número de variáveis inter-relacionadas,

no qual esses valores devem atender uma condição necessária e suficiente para a solução da

função objetivo, ou funções-objetivos no caso de uma otimização de múltiplos objetivos, que

governam o problema (Luenberger et al., 2008).

Sendo assim, para obtenção da função objetivo é necessário capturar os elementos

essenciais do problema e existem muitas formas para se obter tal função. Para esse trabalho,

inicialmente, calculam-se as vibrações do sistema através do modelo matemático proposto,

onde os parâmetros do desbalanceamento (momento de desbalanceamento, me, ângulo de

fase, δ, e posição axial no rotor, x) são as variáveis do problema, e a função objetivo é dada

pela diferença entre a vibração calculada e a vibração previamente medida experimentalmente

nas estações localizadas nos mancais.

As informações de vibração utilizadas são obtidas através da DFT do sinal adquirido no

domínio do tempo. Com a informação gerada pela DFT, pode-se perceber com mais

facilidade as componentes harmônicas que estão influenciando o movimento do rotor,

facilitando no reconhecimento da falha atuante no sistema. Além disso, foi utilizada a metade

do vetor da DFT, correspondente às frequências positivas, para as análises realizadas nesse

trabalho. Dessa forma, utilizando-se a técnica dos mínimos quadrados, obtêm-se:

74

2

2,,,

2

1txmetf qFFTqFFTχ , (3.57)

onde, tq é a amplitude de vibração medida experimentalmente, e χ é o vetor com os

parâmetros do desbalanceamento.

Assim, a identificação do desbalanceamento passa a ser um problema que visa

minimizar a diferença entre as vibrações experimentais e teóricas, e pode ser escrito de forma

matemática como:

S

f

as

χ

χg

χh

χ

0

0..

min

, (3.58)

sendo, h(χ) o vetor de restrição de igualdade, g(χ) a vetor de restrição de desigualdade e S é o

conjunto factível de χ. Para o problema específico do desbalanceamento tem-se:

Lx

pnd

meme

ttf

as

nd

nd

nd

0

,...,120

0

,2

1

..

min

max

2

2

qFFTχqFFTχ

, (3.59)

no qual, memax é o valor máximo imposto para o momento de desbalanceamento, L é o

comprimento do rotor e nd é o contador para o p-ésimo desbalanceamento presente no

sistema.

No entanto, o problema de otimização descrito na Equação (3.59), apresenta

dificuldade adicional, uma vez que no modelo numérico a posição axial do desbalanceamento

só pode assumir valores associados aos nós do sistema rotativo discretizado através do

método dos elementos finitos. Assim, a variável da posição axial deve ser tratada como uma

variável discreta. Quando algumas variáveis devem assumir valores inteiros e a função

objetivo e/ou as restrições são representadas por funções não lineares o problema é dito de

Programação Não Linear Misto-Inteiro (“Mixed-Integer Nonlinear Programming”, MINLP).

Por isso, técnicas especiais para essa classe de problema de otimização devem ser empregadas

75

na identificação do desbalanceamento.

3.5.1. Solução de Problemas de Programação Não Linear Misto-Inteiro (MINLP)

Um MINLP pode ser expresso como:

ZS

as

f

Iχχ

χg

χ

,

0..

min

, (3.60)

sendo, f : Rn → R, g : Rn → Rm funções duas vezes diferenciáveis em χ, S ⊂Rn é um

conjunto compacto (fechado e limitado) e I ⊆ {1,...,n} é o conjunto de índices das variáveis

inteiras. Além disso, supõe-se que as funções f e g são convexas, de forma que, ao relaxar a

restrição de χi ser inteira, um problema de otimização convexo é definido. Também, as

restrições de igualdade podem ser transformadas em restrições de desigualdade do tipo g( χ ) ≤

0.

O conceito básico para a solução de MINLPs é gerar, e posteriormente aprimorar,

limites para o valor ótimo da solução. Os limites inferiores são calculados através da solução

do MINLP submetido a uma relaxação, enquanto que os limites superiores são obtidos de

uma solução factível proveniente do próprio MINLP. Segundo Bonami (2012), as técnicas

existentes para a solução de MINLP diferem na maneira e, consequentemente, na sequência

de subproblemas a serem resolvidos para gerar esses limites.

No último meio século, várias técnicas foram propostas para resolver MINLPs, sendo as

mais conhecidas o “Branch-and-Bound”, “Generalized Benders Decomposition”, “Outer

Approximation”, “Branch-and-Cut” e “Exetended Cutting Plane”. No entanto, os algoritmos

citados possuem elementos em comum, sendo esses: linearizações e geração de subproblemas.

Do ponto de vista da linearização, pode-se transformar uma função objetivo não linear

em uma função objetivo linear através da introdução de uma variável auxiliar, η, sendo que

essa variável auxiliar deve ser maior ou igual ao valor da função objetivo original. Assim, o

MINLP pode ser escrito equivalentemente como:

76

ZS

fas

I

χχ

χg

χ

,

,0

..

min

. (3.61)

Além disso, é possível aplicar uma relaxação linear ao MINLP modificado, linearizando

para isso a função objetivo e as funções de restrição em um ponto χ qualquer. Uma vez que f

e g foram definidas como funções convexas, é possível definir sua aproximação linear para

qualquer j e χ ∈ Rn como:

χgχχχgχg

χχχχfχ

T

Tff

. (3.62)

Também, como f(χ) ≤ η e g(χ) ≤ 0, as restrições lineares são válidas para o problema

de otimização dado pela Equação (3.61) e são da forma:

0χχχgχg

χχχfχ

T

Tf

. (3.63)

Figura 3.8: Relaxação linear do MINLP.

As linearizações impostas às funções de restrição g(χ) geram uma aproximação para o

limite externo da região factível como pode ser visto na Figura 3.8, enquanto que a

linearização de f(χ) subestima o valor da função objetivo.

Para a geração de subproblemas, as técnicas geralmente implementam a relaxação das

variáveis inteiras, podendo essas, então, assumir qualquer valor real dentro de um intervalo

imposto. Assim, o MINLP se transforma em um problema de Programação Não Linear

77

(“Nonlinear Programming”, NLP), no qual a resposta ótima para esse subproblema gera um

limite inferior para a função objetivo, se comparado com os valores que podem ser obtidos a

partir da região factível original. Matematicamente, o subproblema NLP pode ser escrito

como:

SS

as

f

Iχχ

χg

χ

,

0..

min

. (3.64)

Um caso especial pode ser desenvolvido quando todas as variáveis inteiras são fixadas

em valores previamente determinados ( iIχ ), originando um NLP fixado, cuja solução gera

um limite superior para o MINLP original. Assim, o NLP fixado é representado por:

i

IIS

as

f

χχχ

χg

χ

,

0..

min

. (3.65)

Portanto, as simplificações descritas são utilizadas, de uma maneira ou de outra, por

todas as técnicas de solução de MINLP. Apesar disso, neste trabalho, será descrita somente a

técnica de “Outer Approximation”, pois uma vez que esse método é aplicado, o problema é

expresso puramente em termos matemáticos e nenhuma nova avaliação do sistema rotativo é

necessária, sendo a técnica apropriada para aplicação em problemas dinâmicos (Zhang, 2015).

Para detalhes acerca dos outros métodos de solução de MINLP consultar Floudas (1995) e

Lee e Leyffer (2012).

3.5.2. Método “Outer Approximation” (OA)

O método de “Outer Approximation” propõe que um problema MINLP pode ser

representado equivalentemente como um problema de Programação Linear Misto-Inteiro

(“Mixed-Integer Linear Programming”, MILP) de tamanho finito, sendo que o MILP é

construído através de linearizações da função objetivo e das funções de restrição em torno da

solução ótima de um subproblema NLP fixado (Equação 3.65), assim como mostrado na

Equação (3.63).

78

Definindo K como o conjunto de todos os valores ótimos obtidos através dos

subproblemas NLP fixado, para todas as variáveis inteiras factíveis, de forma que:

)65.3(Equaçãoda otimização de problema ésimo-i oresolve:: ii SK χχ , (3.66)

e, uma vez que foi assumido que S é um conjunto fechado, então existe um valor finito de

pontos que as variáveis inteiras podem assumir. Assim, é possível construir o MILP associado

completo à aproximação linear gerada pelo método OA:

ZS

K

Kfas

I

iiTii

iiTii

χχ

χχχχgχg

χχχχfχ

,

,0

,..

min

. (3.67)

Porém, não é interessante formular explicitamente o MILP associado completo, uma

vez que para conseguir montá-lo é necessário resolver todos os subproblemas NLP, obtidos

através da fixação de todas as variáveis inteiras factíveis. Esse procedimento, por si, geraria a

resposta ótima do problema descrito pela Equação (3.60). Assim, o método OA propõe a

solução alternada de MILPs associados e subproblemas NLP fixados. Primeiramente resolve-

se um subproblema NLP fixado para um ponto inicial χ(i) = χ(0) (Equação 3.65). Em seguida

cria-se um MILP associado, porém substituindo as linearizações realizadas no conjunto K por

linearizações realizadas em um subconjunto κ(i) ⊂ K que contém as soluções ótimas dos

subproblemas NLP fixados resolvidos até o momento. Além disso, utiliza-se uma restrição

adicional no valor da variável auxiliar η, forçando-a a ser menor que a melhor solução

encontrada até o momento para os subproblemas NLP fixados (f *). Portanto, o MILP

associado se torna:

ZS

f

fas

I

iiiTii

iiiTii

χχ

χχχχgχg

χχχχfχ

,

0

,

..

min*

, (3.68)

onde, ε é uma pequena tolerância.

79

Dessa forma, resolvendo-se o MILP associado, é possível calcular um novo valor para a

variável inteira e obter um novo subproblema NLP fixado. Então, a nova solução ótima do

NLP é adicionada ao subconjunto κ(i) e um novo MILP é criado. O processo é repetido até que

a resposta obtida pelo MILP associado, que gera um limite inferior para a função objetivo, e a

melhor resposta obtida por um dos subproblemas NLP fixados, que gera um limite superior

para a função objetivo, estejam dentro de certa tolerância. Outro critério de parada é a

ausência de soluções factíveis para o MILP associado.

Como novos pontos são adicionados sucessivamente ao subconjunto κ(i), as

linearizações se acumulam com o avanço das iterações, garantindo que as soluções dos

MILPs associados gerem uma sequência não decrescente de limites inferiores. Ademais, a

restrição adicional imposta para η tem o intuito de evitar que soluções ótimas, já exploradas,

sejam repetidas.

3.5.3. Solução do Problema de Programação Não Linear (NLP)

Uma vez definido o subproblema NLP fixado é necessário resolvê-lo para se obter a

nova solução ótima utilizada para o aprimoramento do MILP associado. A maioria dos

problemas de otimização reais está sujeita a restrições, que são valores impostos, sejam

através de funções restritivas ou de conjuntos restritos, para as variáveis de interesse. O

mesmo acontece para o problema de identificação do desbalanceamento (Equação 3.59).

Sendo assim, é possível utilizar uma abordagem que aproxima problemas de otimização

restritos em problemas de otimização irrestritos. Segundo Bazaraa (2006), essa aproximação

pode ser obtida através do Método das Penalizações ou do Método das Barreiras. No método

das penalizações é adicionado um termo à função objetivo de forma a penalizar a violação das

restrições, gerando uma sequência infactível de pontos na busca pelo ponto ótimo. No método

das barreiras um termo é adicionado à função objetivo para impedir que as variáveis violem as

restrições impostas, gerando, portanto, uma sequência factível de pontos.

Para o caso da identificação do desbalanceamento será utilizado o Método das

Barreiras, uma vez que as forças hidrodinâmicas, obtidas através do ajuste por coeficientes

não lineares, são mais precisas para o intervalo em que foram ajustadas, dificultando então a

presença de pontos infactíveis. Não obstante, os valores da variável axial, também podem

assumir apenas valores factíveis.

80

Então, pode-se definir o problema de otimização com barreira como:

i

IIS

as

Bfr

χχχ

χg

χχχ

,

0..

,min

, (3.69)

sendo, µ o parâmetro que determina o quão próximo o problema irrestrito se aproxima do

problema restrito (através da severidade aplicada à penalização) e B(χ) é a função barreira.

Essa função pode ser definida como (Luenberg et al., 2008):

m

j

jgB1

ln χχ , (3.70)

onde, m é o número total de restrições.

Dessa forma, é desejável que a função B(χ) seja nula no interior do conjunto S e infinita

em seu contorno, garantindo que a região factível não seja abandonada. Porém, essa estratégia

geraria descontinuidade da função B(χ), e por isso, utiliza-se a função descrita na Equação

(3.70) que é não negativa, continua no interior do conjunto S e que se aproxima do infinito

quando χ se aproxima do contorno. Além disso, a função objetivo r(χ, µ) se aproxima da

função objetivo original f(χ) quando µ → 0, e nessa situação χ pode se aproximar do contorno

de S. Detalhes sobre propriedades do método, assim como as condições de otimalidade que

problemas de otimização restritos devem satisfazer, podem ser visualizados em Bazaraa

(2006), Luenberg et al. (2008) e Nocedal (1999).

Portanto para a solução do problema de otimização com barreira, define-se uma

sequência de valores para µ tendendo a zero, sendo que para cada l, onde l = 1, 2, ..., µl > 0 e

µl+1 < µl. Então, resolve-se a Equação (3.69), através de métodos de otimização irrestrita, para

cada µl até que r(χ, µl+1) ≈ r(χ, µl).

Como o objetivo da identificação é minimizar uma função de mínimos quadrados não

linear, utilizou-se o método de otimização irrestrita proposto por Dennis et al. (1981), e

apresentado por Dennis e Schnabel (1996) e Nocedal (1999), que leva em conta a estrutura do

problema de mínimos quadrados. Assim, sua forma pode ser descrita genericamente como:

81

m

j

j

Trf

1

2

2

1χχRχRχ , (3.71)

no qual R(χ) é conhecido como o vetor resíduo e pode ser tanto linear como não linear, como

é o caso da identificação do desbalanceamento, e rj(χ) é a j-ésima componente de R(χ).

Derivando a Equação (3.71) em relação a χ obtém-se o gradiente da função de mínimos

quadrados:

χRχJχfT

, (3.72)

sendo

j

ir

χχJ ij a jacobina de R(χ). Derivando novamente em relação a χ tem-se a

matriz hessiana:

χHχJχJχRχRχJχJχf2

TTT 2 . (3.73)

É possível notar que a matriz hessiana do problema de mínimos quadrados leva em

conta o jacobiano que já é prontamente calculado ao se obter o gradiente da função. Essa é a

característica que distingue o problema de mínimos quadrados. Além disso, essa primeira

parta da matriz hessiana geralmente tende a ser mais significativa que a segunda, devido a

maior linearidade do problema, ou menores valores do resíduo, próximo ao ponto de ótimo.

No entanto, em situações de alta não linearidade, ou elevados valores de resíduo, é

necessário considerar a segunda parte da hessiana para a solução do problema. Dessa forma,

utiliza-se o método proposto por Dennis et al. (1981), que é baseado no método Quase-

Newton. Assim, a direção de descida, que é a direção no qual a função objetivo é otimizada, é

dada por:

χRχJχHχJχJffχχd2 TT

kkk

11

1

, (3.74)

e, H(χ) pode ser estimada como (Dennis et al., 1981):

82

T

kk

k

T

k

T

kkkk

k

T

k

T

kkkk

T

kkkk

kk yydy

ddHy

dy

dHyyydHyHH

2

###

1

, (3.75)

onde:

1111

111

#

1

#

k

T

kk

T

kkkk

k

T

kk

T

kkk

χRχJχRχJχfχfy

χRχJχRχJχfχfy, (3.76)

e para k = 1, H = I.

Esse método pode ser aplicado também à situação de mínimos quadrados sujeitos a

penalização da função barreira, sendo que o gradiente da função objetivo levaria em conta o

gradiente da função barreira:

χBχRχJχr T

, . (3.77)

Ademais, a hessiana do problema com barreira possui a mesma estrutura da Equação (3.73),

porém a aproximação para H(χ), nessa situação, levaria em conta os efeitos gerados também

pela função barreira.

Para melhor efetividade da otimização é possível obter o tamanho do passo a ser dado

no sentido da direção de descida de forma que f(χk+1

) < f(χk). Assim, χ

k+1 é obtido a partir da

direção de descida como:

kkk dχχ 1 , (3.78)

onde α é o passo na direção de descida.

No entanto, segundo Dennis e Schnabel (1996), somente a condição de que f(χk+1

) <

f(χk) pode não ser suficiente para garantir que χ

k resulte na convergência para um ponto ótimo

de f (χ). Então, é possível utilizar as condições de Wolfe (Nocedal, 1999) para garantir que o

passo dado apresente um progresso razoável para a otimização da função objetivo. Essas

condições são descritas matematicamente como:

k

T

kkkk cff dχfχdχ 1 , (3.79a)

83

k

T

kk

T

kk c dχfddχf 2 . (3.79b)

A condição apresentada na Equação (3.79a) é conhecida como condição de decréscimo

suficiente e diz que a taxa média de decréscimo da função objetivo deve ser pelo menos uma

dada fração da taxa inicial de descida, enquanto que a segunda condição (Equação 3.79b) é

conhecida como condição de curvatura e diz que a inclinação da curva da função objetivo, na

direção de descida, para o ponto χk+1

deve ser menor que no ponto χk. Segundo Nocedal

(1999), valores típicos para c1 e c2 são respectivamente 0.0001 e 0.9. Graficamente, essas

condições podem ser observadas na Figura 3.9.

Figura 3.9: Condições de Wolfe.

O passo α é então computado através de uma interpolação quadrática, a partir de um

intervalo conhecido. Considerando, então, os valores do intervalo α1 e α2, assim como o valor

de suas funções f(α1) = f(χk+1

+α1dk) e f(α2) = f(χk+1

+α2dk) e da derivada

k

T

kkf ddχf 11 , ou f’(α2), é possível construir a função de interpolação quadrática

a partir do sistema de equações dado pela Equação (3.80):

111

22

2

22

11

2

11

2

fbaq

fcbaq

fcbaq

.

(3.80)

Resolvendo o sistema, obtêm-se as constantes a, b e c e, sabendo que o mínimo se

84

encontra em q’(α1) = 0, tem-se:

12

21

211211

2

21

21121

2

2

ffffb

fffa

a

b

. (3.81)

O esquema de atualização do intervalo para a aplicação da interpolação quadrática é

dado pelo algoritmo proposto por Moré e Thuente (1994), que leva em conta as condições de

Wolfe. Assim, definindo:

k

T

kk

T

kk

k

T

kkkk

c

cff

dχfddχf

dχfχdχ

1

1

, (3.82)

tem-se:

Se 1 então 2 ;

Se 1 e 01 então 1 ;

Se 1 e 01 então 1 e 12 .

Quando encontra-se um que satisfaça as condições de Wolfe, o passo é dado na

direção de descida, e um nova direção de descida é calculada pelo método Quase-Newton

descrito pela Equação (3.74). As iterações prosseguem até que f(χk+1

) ≈ f(χk) ou

kk χfχf 1 , convergindo o problema irrestrito para µl.

3.5.4. Solução do Problema de Programação Linear Misto-Inteiro (MILP)

Inicialmente, para resolver o problema MILP, faz-se uma pequena modificação no

problema de otimização da Equação (3.68), transformando a variável inteira em uma série de

variáveis binárias, de forma que:

85

1

1ou0

1

1

nós

j

j

j

nn

j

j

z

zjcoordzx

, (3.83)

Onde, nn é o número total de nós do rotor modelado por elementos finitos, e coord é um vetor

contendo as coordenadas dos nós. Como a variável inteira representa a posição axial do

desbalanceamento no sistema rotativo, esta só pode estar presente nos nós do mesmo, e por

isso essa notação se torna mais interessante. Então, o problema MILP (3.68) é reescrito como:

10,

0

,

..

min*

I

iiiTii

iiiTii

S

f

fas

χχ

χχχχgχg

χχχχfχ

. (3.84)

Segundo Morrison et al. (2016), o método “Branch and Bound” é geralmente utilizado

para solução de problemas de otimização misto inteiro e será utilizado aqui para a o problema

da Equação (3.84). Assim, para a obtenção do ponto ótimo, o método constrói, iterativamente,

uma árvore de subproblemas, que são subespaços do conjunto S. Além disso, uma solução

factível, chamada de solução incumbente, é armazenada de forma global. Dessa forma, a cada

iteração, o algoritmo seleciona um novo subespaço para ser explorado e, se a partir desse

subproblema uma nova solução factível (inteira) for encontrada, e o valor da função objetivo

for melhor que o da solução armazenada, a solução incumbente é atualizada. No entanto, se a

solução factível encontrada no subproblema não for melhor que a solução incumbente, então

o subproblema é cortado da árvore. Se não for obtida uma solução inteira, então o

subproblema é particionado, gerando novos subproblemas, que são inseridos na árvore.

Quando todos os subproblemas forem explorados, então a melhor solução incumbente, que é a

solução factível ótima, é retornada. Morrison et al. (2016) apresentam uma descrição

detalhada do método.

Inicia-se resolvendo o MILP da Equação (3.84) com relaxação para as variáveis inteiras,

o que o torna um problema de Programação Linear (LP). Se a solução encontrada for inteira e

factível, então o ótimo foi encontrado, caso contrário a técnica de “Branch and Bound” é

86

utilizada para a obtenção do ponto ótimo. A árvore utilizada no problema de otimização é do

tipo apresentado na Figura 3.10.

Figura 3.10: Árvore binária utilizada para a solução do MILP associado.

Portanto, a partir de equações de restrições, é imposto que a primeira variável inteira

deve assumir valor unitário, ou nulo. O valor unitário gerará um problema LP que pode ser

infactível ou cuja solução seja uma solução incumbente. O valor nulo pode assumir as

condições do valor unitário, mas também podem gerar uma solução que não seja factível (com

valores não binários para as variáveis binarias). Assim, dois novos subproblemas são criados,

um no qual a primeira variável inteira é nula e a segunda variável é unitária, e outro onde a

primeira variável inteira é nula e a segunda variável inteira também. O processo é então

repetido. Ademais, se a solução não factível possuir função objetivo maior que a de uma

solução incumbente, aquela partição, juntamente com todos os futuros subproblemas, pode ser

eliminada da árvore.

O ótimo para cada subproblema gerado pelo método de “Branch and Bound” é

encontrado através do algoritmo simplex. Para esse algoritmo é necessário colocar o LP em

uma forma padrão:

0x

bAx

xc

..

min

as

T

, (3.85)

87

onde c é um vetor de constantes reais de dimensão n, x é o vetor das variáveis e possui

dimensão n, A é a matriz m x n do sistema linear de equações de restrição e b ≥ 0 é o vetor

com o valor das restrições com dimensão m.

Portanto, se existirem restrições de desigualdade é necessário colocá-las na forma

padrão através de adição de variáveis auxiliares, caso sejam desigualdades do tipo ≤, ou

subtração de variáveis auxiliares, caso sejam desigualdades do tipo ≥. Dessa forma, o vetor x

das variáveis passa a ter dimensão n + q e a matriz A passa a ter dimensão m x (n + q) e tem

formato final [A I], onde q é o número de restrições de desigualdade e I a matriz identidade

com dimensão m x q.

É possível definir também uma solução básica para o sistema de equações Ax = b.

Então, considerando uma matriz B como sendo uma sub-matriz m x m não singular, composta

de m colunas de A, e definindo como nulo todas os n – m componentes de x, que não estão

associados as colunas de B, a solução do sistema resultante BxB = bB é dita uma solução

básica. Da mesma forma as componentes do vetor xB são chamados de variáveis básicas.

Além disso, segundo Luenberg et al. (2008) para obter a solução ótima de um LP é

necessário considerar somente as soluções básicas que respeitem as restrições, ou seja, as

soluções básicas factíveis, uma vez que essa soluções representam os vértices do politopo

convexo gerado pelas restrições.

Assim, o algoritmo simplex, tem como princípio avançar de um solução básica factível

para outra, ou seja avança de um vértice do politopo para outro, buscando sempre por uma

função objetivo que seja menor que a outra. Quando não houver mais valores de função

objetivo que sejam menores que a do vértice em questão, a solução é dita ótima. Então, a

partir de uma solução básica factível, o algoritmo analisa qual vértice adjacente possui uma

maior tendência de decréscimo na função objetivo, movendo-se para esse vértice. A mudança

é feita trocando variáveis básicas por não básicas de forma a se obter uma nova solução básica

factível. Essa mudança é realizada através de um processo de pivoteamento da matriz A.

Detalhes sobre o método simplex podem ser consultados em Luenberg et al. (2008).

3.5.5. Considerações Finais

Inicialmente, para a identificação do desbalanceamento, são gerados alguns pontos de

partida distintos, de forma a encontrar o ponto de partida com menor valor de função objetivo.

88

Esse então, é adotado como ponto inicial para a otimização do problema descrito pela

Equação (3.59) e repetido aqui por comodidade:

Lx

pnd

meme

ttf

as

nd

nd

nd

0

,...,120

0

,2

1

..

min

max

2

2

qFFTχqFFTχ

.

O problema então é resolvido, através dos métodos das barreiras e quase-Newton para

mínimos quadrados, fixando-se o valor da variável inteira, x, definido no ponto de partida.

Com a solução ótima obtida desse subproblema NLP, é possível montar o MILP associado

através da técnica de “outer-approximation”, que se torna:

101

,...,11

0

,...,120

0

,..

min

1

1

max

z

χχχχfχ

nn

j

j

j

nn

j

j

nd

nd

nd

iiTii

z

nnosjz

jcoordzx

Lx

pnd

meme

Kfas

. (3.86)

Colocando-se o MILP associado na forma padrão descrita pela Equação (3.85), é

possível utilizar a técnica de “Branch and Bound” e o algoritmo simplex para encontrar seu

ponto ótimo e, conseqüentemente, novos valores para as variáveis inteiras, e assim gerar um

novo subproblema NLP. Então, o procedimento é repetido até a convergência.

89

4. DESCRIÇÃO DA BANCADA DE TESTES

No capítulo anterior foram apresentados os fundamentos teóricos e numéricos

necessários para a obtenção da resposta dinâmica de sistemas rotativos, além do procedimento

para a identificação e balanceamento. Portanto, nesse capítulo, serão apresentadas as

características da bancada experimental utilizada para a validação dos resultados numéricos.

Anteriormente, houveram iniciativas que permitiram nuclear um grupo de pesquisa e o

Laboratório de Máquinas Rotativas (LAMAR) na UNICAMP, através de diversos projetos

financiados por órgãos de fomento nacionais e do estado de São Paulo. Esses projetos

contribuíram de forma a melhorar a infraestrutura necessária para a realização de testes

experimentais e, consequente, a validação de modelos teóricos, além de fornecer dados para

os modelos experimentais.

Sendo assim, a seção 4.1 leva em conta uma descrição precisa da bancada de teste e

seus elementos, permitindo notar características intrínsecas da mesma que a tornam um

aparato flexível, capaz de realizar experimentos com diversas montagens distintas de rotores.

Na seção 4.2 será apresentada a instrumentação utilizada na bancada, uma vez que é a partir

desses sensores que é possível obter-se as medições necessárias para esse trabalho.

4.1. Elementos do Banco de Teste

A bancada (Figura 4.1) possui uma base inercial de concreto apoiada ao solo, sobre a

qual se sustenta um segundo bloco de concreto. Tal bloco é apoiado ao primeiro através de

um conjunto de molas e uma espuma de poliuretano de alta densidade, isolando dessa forma

as vibrações provenientes do solo.

Engastada ao segundo bloco de concreto, existe uma base de aço com rasgos em

formato de “T”, para que seja feita a fixação dos pilares que sustentam a base metálica na qual

o rotor é montado. Sendo assim, a base metálica permite uma variedade de formas de fixação,

utilizando molas ou colunas, simulando, portanto, as condições de fundações rígidas ou

flexíveis. Neste trabalho, serão utilizadas colunas com flexibilidade desprezível como meio de

representação de uma fundação rígida.

90

Além disso, a placa metálica superior também permite, através do seu sistema de

furação, a inserção de conjuntos de mancais em posições distintas, o que aumenta o número

de configurações possíveis de serem testadas experimentalmente.

Figura 4.1: Bancada de Testes do LAMAR

Os mancais utilizados nesse trabalho, que são feitos de bronze, possuem 31mm de

diâmetro, 20mm de comprimento e 90μm de folga radial. Como o eixo possui um diâmetro

bem inferior ao do mancal, um munhão deve ser fixado junto ao eixo, na posição dos mancais,

para se atingir a folga desejada. Essa fixação se dá através de anéis cônicos. Também, os

mancais possuem 3 furações em sua parte superior. A furação central é utilizada para a

entrada do lubrificante no interior do mancal, e as outras duas, distantes em 90° uma da outra,

são posições para colocação dos sensores de proximidade. Esses mancais são inseridos em

uma caixa de alumínio, possibilitando então sua fixação junto a base metálica. A escolha do

alumínio se dá por sua baixa densidade, diminuindo assim os efeitos de inércia nos sinais

obtidos pelas células de carga. A Figura 4.2a mostra um dos mancais e munhões utilizados.

É possível perceber que as caixas de alumínio não são acopladas diretamente à base

metálica. São fixadas a um mecanismo, similar a um mecanismo de quatro barras,

desenvolvido por Dedini (1993). Esse mecanismo tem como princípio desacoplar os

movimentos horizontal e vertical da caixa do mancal, permitindo assim a medição das forças

hidrodinâmicas pelas células de carga (Figura 4.3).

91

a)

b)

Figura 4.2: a) Mancal e munhão utilizados para a montagem do rotor; b) Acoplamento

flexível.

O eixo de aço 1020 é conectado, através de um acoplamento de neoprene, a um motor

elétrico WEG de 3CV (Figura 4.2b). O material flexível do acoplamento reduz os efeitos

oriundos do motor, como vibrações e pequenos desalinhamentos, na resposta aquisitada. O

motor pode ter sua altura, posição lateral e inclinação ajustadas através de um suporte que está

fixado diretamente ao bloco de concreto superior.

Figura 4.3 Mecanismo para desacoplar os movimentos da caixa do mancal e célula de carga

utilizada.

Assim, esse conjunto de mancais, eixo e motor devem estar alinhados o melhor possível

para garantir a qualidade das medições obtidas. Dessa forma, primeiramente, deve se alinhar

as estruturas nas quais estão fixadas as células de carga, garantindo paralelismo (do suporte

horizontal) e perpendicularidade (do suporte vertical) em relação à base metálica. Esse ajuste

é feito com o auxílio de blocos padrões. Ao montar a caixa do mancal nessa estrutura, apenas

pequenos ajustes devem ser feitos. Então, um relógio comparador é utilizado para medir o

92

grau de desalinhamento nos mancais em relação ao sistema inercial, que é corrigido com a

inserção de calços calibrados específicos para alinhamento de máquinas. Quando todos os

mancais estiverem alinhados independentemente entre si, é necessário fazer o alinhamento de

um em relação ao outro. Para isso o eixo é inserido no sistema e o relógio comparador é

novamente utilizado para obter o grau de desalinhamento entre os mancais. De modo a

verificar o alinhamento, o rotor é todo montado sobre os mancais e são aferidas, através das

células de carga, as forças horizontal e vertical nos mancais, que devem ser, respectivamente,

nula e igual a reação de apoio nos mancais. Por fim, o rotor é acoplado ao motor, e esse é

ajustado até que as forças medidas pela célula de carga sejam equivalentes às obtidas antes do

acoplamento.

Além da parte de montagem das diversas configurações de rotores, a bancada possui um

sistema próprio de lubrificação (Figura 4.4), no qual uma bomba dosadora impulsiona o óleo

de um reservatório para o sistema de alimentação dos mancais. Esse sistema consiste em um

filtro, que retira possíveis partículas sólidas e impurezas do fluido lubrificante, e um purgador

para retirada de bolhas de ar. A ausência de ar no óleo injetado nos mancais é de extrema

importância, pois minimiza a ocorrência de cavitação e impede que falte óleo durante a

operação. O óleo expulso dos mancais é recolhido e enviado novamente para o reservatório. O

lubrificante utilizado nos testes é o Castrol ASW 32 (ISO VG 32).

Figura 4.4: Sistema de lubrificação.

Também podem ser inseridos no rotor discos e um atuador magnético. O disco (Figura

4.5a) é feito de aço 1020, possuindo diâmetro de 94,7mm, largura de 47mm e uma série de

furações para inserção de parafusos, como meio de balancear ou desbalancear o sistema.

93

Esses furos se encontram a 37mm do centro do disco e estão dispostos circunferencialmente a

intervalos de 15°. Já o atuador magnético (Figura 4.5b) é capaz de aplicar forças radiais no

rotor nas direções YA e ZA, inclinadas 45° em relação ao sistema de referência inercial. Possui

geometria homopolar, 8 bobinas com 415 espiras cada uma, folga radial de 2,7mm em relação

ao eixo e é capaz de aplicar forças de até 130N.

a)

b)

Figura 4.5: a) Disco utilizado para montagem do rotor; b) Atuador magnético (Mendes, 2011).

4.2. Instrumentação da Bancada

Um esquema da instrumentação utilizada nos testes experimentais pode ser visualizado

na Figura 4.6. Assim, o processo de aquisição de dados começa com a ativação do motor

elétrico. Nessa etapa, o acionamento é feito através de um inversor de frequência WEG CFW-

08, que está conectado ao computador utilizado para a aquisição de dados. Além dos

comandos de partida e parada, o sistema também regula a velocidade de rotação e é capaz de

realizar acelerações e desacelerações controladas. A comunicação entre o inversor de

frequências e o computador foi feita pelo módulo de comunicação serial WEG XC8.

A temperatura do lubrificante é medida a partir de termopares do tipo “T”, localizados

nas caixas dos mancais, para medir a temperatura do óleo que é expulso do interior dos

mancais, e no reservatório de óleo. Os sinais dos termopares são aquisitados por uma placa da

National Instruments (NI) modelo USB – 9162.

Sensores de proximidade estão localizados nas posições dos discos e nos mancais,

conforme descrito na seção 4.1, para a obtenção dos deslocamentos nessas posições. Nos

discos, os sensores de proximidade utilizados, juntamente com seu respectivo condicionador

de sinal, possuem faixa de calibração de 2mm a 4mm e são da marca CE-Turck modelo Bi5-

94

M18-LiU. Já os sensores de proximidade dos mancais são do tipo indutivo da Bently Nevada,

além de possuírem faixa de calibração de 0mm a 1,5mm.

Figura 4.6: Instrumentação da bancada de testes (Mendes, 2011).

Para o atuador magnético, as correntes elétricas utilizadas para a geração das forças

magnéticas são providas às bobinas por quatro amplificadores Maxon 4-Q-DC-Servoamplifier

ADS50/5. As forças são controladas através da medida do campo magnético gerado, que por

sua vez é feito por sensores de efeito Hall Melexis MLX90251.

Os sinais obtidos pelos sensores passam então por dois filtros, um para remover o ganho

DC e outro analógico passa baixo anti-aliasing, antes de serem aquisitados por uma placa de

aquisição de sinais NI USB-6363. Utilizando a mesma placa faz-se o controle da força

aplicada pelo atuador magnético, onde o sinal referente à força de aplicação desejável é

enviado ao módulo de controle que emite o valor do campo necessário para o amplificador de

potência, que por sua vez fornece corrente às bobinas. O valor do campo gerado é, então,

medido pelos sensores Hall e o sistema realimentado. O software desenvolvido para o

95

gerenciamento da aquisição dos sinais foi programado na plataforma LABVIEW® (Figura

4.7).

Figura 4.7: Programa em Labview® para aquisição de dados.

96

5. RESULTADOS

Nos capítulos anteriores foram apresentados a modelagem matemática e os métodos

numéricos necessários para a obtenção da resposta, no domínio do tempo, de rotores

suportados por mancais hidrodinâmicos. Além disso, foi descrita a bancada de testes

experimentais utilizadas para a validação da solução numérica.

Assim, o presente capítulo tem como intuito apresentar os resultados obtidos com a

modelagem proposta e confrontar tais resultados com os obtidos através do procedimento

experimental.

Para isso, foi desenvolvido um algoritmo em Fortran® para a modelagem de sistemas

rotativos através do método dos elementos finitos, no qual a função para solução dos mancais,

que são do tipo hidrodinâmico cilíndrico, utiliza o método dos volumes finitos. Esse

algoritmo foi validado levando-se em conta o software ROTORTEST® desenvolvido pela

equipe do LAMAR, que por sua vez teve uma extensa validação realizada com softwares

comercias como por exemplo ComboRotor® e XLTRC2®, além de validações experimentais.

Ademais, foram desenvolvidos os algoritmos para a solução de rotores no domínio do tempo,

para o ajuste das forças hidrodinâmicas e para identificação do desbalanceamento, que são

validados nesse trabalho de forma experimental.

Portanto, na seção 5.1, serão mostradas as diferenças na resposta dinâmica do rotor

quando esse é suportado por mancais lineares e não lineares. A influência de diversos

parâmetros como desbalanceamento, amortecimento estrutural proporcional, efeito

giroscópico, excentricidade do eixo e força externa harmônica, na não linearidade do sistema

é investigada. Os resultados apresentados nessa seção deram origem ao artigo já publicado em

periódico, “Discussion about Nonlinear Boundaries for Hydrodynamic Forces in Journal

Bearings” (Machado et al., 2018).

A seção 5.2 apresenta os resultados obtidos pelo procedimento de ajuste das forças

hidrodinâmicas. As forças ajustadas também são inseridas no modelo de rotor. A resposta

dinâmica do sistema com as forças hidrodinâmicas calculadas utilizando a equação de

Reynolds, coeficientes não lineares e coeficientes lineares são comparadas. Também, é

testada a eficácia do ajuste em reproduzir situações diferentes das quais os coeficientes não

lineares foram ajustados. Essa condição diferenciada é obtida através de uma força de

controle que não existia previamente no sistema rotativo. Esses resultados deram origem a um

artigo intitulado “Numerical Identification of Nonlinear Hydrodynamic Forces”, aceito para

97

apresentação oral no congresso internacional IFToMM 2018 e a um artigo intitulado

“Application of Gain-Scheduled Control to Nonlinear Journal Bearings Supported Rotor”

submetido à revista Journal of Sound and Vibration e atualmente em revisão.

Na seção 5.3 os resultados obtidos para a identificação do desbalanceamento são

apresentados. A parte experimental da função objetivo é simulada através do modelo

numérico por Reynolds com a adição de ruído. O teste inicial compara a eficiência da

identificação realizada com os modelos linear e por coeficientes não lineares. Também é

observado, através das simulações, se a remoção da massa de desbalanceamento identificada é

efetiva para o balanceamento do rotor.

Finalmente, a seção 5.4 apresenta a validação dos resultados numéricos através de testes

experimentais. Os testes foram realizados para duas configurações de rotores e seus resultados

foram comparados com as respectivas representações matemáticas.

5.1. Presença de Não Linearidade Proveniente dos Mancais

Os estudos levantados na revisão bibliográfica indicam que os modelos linearizados de

mancais não deveriam ser utilizados para situações nas quais o rotor apresenta altas

amplitudes de vibração, e que nessas situações o rotor apresentaria comportamento não linear.

No entanto, pouca importância foi dada para outras características do sistema, como

amortecimento estrutural proporcional, efeito giroscópico, excentricidade do eixo no interior

do mancal e tipo da força de excitação. Assim, essa seção aborda a influência dessas

características na não linearidade da resposta dinâmica do rotor.

As simulações são realizadas através do software desenvolvido para esse trabalho, onde

as forças provenientes dos mancais são inseridas no vetor de forças externas (lado direito da

Equação 3.4), e podem assumir a condição linear, através do cálculo dos coeficientes de

rigidez e amortecimento, ou não linear, através da integração da pressão calculada pela

equação de Reynolds. A equação de movimento é integrada no tempo pelo método de

Newmark, assim como descrito no capítulo 3.

Portanto, as simulações foram realizadas para um modelo de rotor Laval que, apesar de

simples, é capaz de reproduzir a maioria dos efeitos da dinâmica de rotores. Então, o rotor é

constituído de um eixo de aço, cujas propriedades são E = 200GPa e ρ = 7850kg/m3,

subdividido em 18 elementos de viga cilíndrica, um elemento de disco, também de aço,

98

posicionado no ponto central do eixo (nó 10) e dois mancais hidrodinâmicos idênticos

situados nos nós 3 e 17. A viscosidade do filme de óleo é considerada constante. O

desbalanceamento rotativo localizado no nó do disco é a fonte de excitação, sendo que a

massa desbalanceada tem valor variável nas simulações, porém sempre se encontra a 37mm

do centro do disco.

Um esquema do eixo utilizado pode ser observado na Figura 5.1. Os detalhes dos

elementos e os parâmetros dos mancais podem ser observados nas Tabelas 5.1 e 5.2

respectivamente.

Figura 5.1: Modelo do rotor Laval por elementos finitos.

Tabela 5.1: Detalhes do modelo de elementos finitos.

Número do Elemento Tipo do

elemento

Diâmetro

interno [mm]

Diâmetro

externo [mm]

Comprimento

[mm]

1, 18 Viga 0 15 40

2, 3, 16, 17 Viga 0 31 10

4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15 Viga 0 15 53,3

9, 10 Viga 0 23,5 23,5

19 Disco 23,5 94,7 47

As análises se darão através da comparação das respostas orbitais obtidas pelos modelos

de mancal linear e não linear para os nós do primeiro mancal (nó 3) e do disco (nó 10). O nó

do disco é escolhido pois se trata do ponto do rotor onde haverá o maior deslocamento nodal,

enquanto que, por ser o rotor simétrico, os mancais terão respostas idênticas e, portanto,

somente um necessita de análise. Além disso, é através dos mancais que as não linearidades

são introduzidas na dinâmica do rotor e por isso sua análise é fundamental.

99

Tabela 5.2: Parâmetros dos mancais.

Diâmetro do mancal (D) 31mm

Comprimento do mancal (L) 20mm

Folga radial do mancal (CR) 90µm

Viscosidade do lubrificante (µ) 28mPa.s

A primeira velocidade crítica desse rotor se encontra em, aproximadamente, 33Hz.

Assim, seis velocidades de rotação (3Hz, 8Hz, 15Hz, 30Hz, 40Hz e 60Hz), abaixo e acima da

velocidade crítica, foram selecionadas para a investigação dos efeitos não lineares.

5.1.1. Efeito do Amortecimento Proporcional Estrutural

O primeiro efeito a ser investigado será o do amortecimento proporcional do eixo.

Como descrito na seção 3.1 o amortecimento do eixo é do tipo proporcional estrutural e de

acordo com a Equação (3.5) depende da massa e da rigidez dos elementos. Segundo Santana

(2009), o valor de α é praticamente nulo para aços. Assim, para a investigação da influência

do amortecimento é necessário variar o parâmetro β. Dessa maneira, dois valores foram

testados: β=1,5x10-5 e β=3x10-4. Também, essas simulações foram realizadas para duas

intensidades de desbalanceamento diferentes, uma com massa m=3g e outra com m=15g, de

forma a tornar mais perceptíveis possíveis diferenças entre os modelos. A Tabela 5.3 mostra

uma quantificação do nível de balanceamento residual de acordo com a norma ISO de

desbalanceamento (ISO 1940-1:2003), para todas as massas utilizadas na seção 5.1. Portanto,

as Figuras 5.2 a 5.5 mostram os resultados para o menor amortecimento e as Figuras 5.6 a 5.9

para o maior amortecimento.

100

a)

b)


velocidades de rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz.

a)

b)


rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz.

101

Tabela 5.3: Nível de desbalanceamento segundo a norma ISO 1940-1:2003

Momento de desbalanceamento

3g a 37mm 15g a 37mm 200g a 37mm V

eloci

dad

e d

e R

ota

ção

3Hz G 0,57 G 2,84 G 37,85

8Hz G 1,51 G 7,57 G 100,95

15Hz G 2,83 G 14,2 G 189,27

30Hz G 5,68 G 28,4 G 378,55

40Hz G 7,57 G 37,85 G 504,73

60Hz G 11,35 G 56,78 G 757,09

a)

b)



Pode-se observar na Figura 5.2 que as maiores diferenças entre os modelos linear e não

linear acontecem nas velocidades de rotação próximas da velocidade crítica, principalmente

na rotação de 30Hz, sendo que nessa situação as amplitudes de vibração são maiores que nas

outras rotações. Apesar de algumas diferenças serem perceptíveis, é possível observar que não

são tão significantes, uma vez que as órbitas apresentam praticamente o mesmo formato,

102

posição e tamanho. Também, como era esperado, com o aumento de rotação do eixo, o centro

das órbitas se deslocam para o centro geométrico do mancal, uma vez que para cada rotação o

campo de pressões se modifica para balancear os carregamentos que estão sendo impostos no

mancal.

Analisando a Figura 5.3, é possível notar que, nas órbitas associadas ao disco,

praticamente não existem diferenças entre os modelos, sendo que a mais perceptível ocorre na

velocidade de rotação de 30Hz.

a)

b)


rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz.

Ao se aumentar a intensidade do desbalanceamento rotativo, como pode ser visto nas

Figuras 5.4 e 5.5, as diferenças nas órbitas ficam mais evidenciadas, com destaque para as

rotações próximas a velocidade crítica (30Hz e 40Hz). Nessas situações, além da diferença

encontrada na posição do centro da órbita, o formato e, principalmente, o tamanho da órbita

apresentam diferenças consideráveis. Isso acontece pois o segundo termo localizado do lado

direito da igualdade na equação de Reynolds (Equação 3.20), que é conhecido como termo de

“squeeze”, tem grande influência na geração das forças hidrodinâmicas, ou seja, a velocidade

na qual ocorre a mudança da espessura do filme de óleo se torna fundamental. Além disso, o

modelo linear é capaz de reproduzir somente harmônicas síncronas com a velocidade de

103

rotação do rotor, o que deixa suas órbitas elípticas. No entanto, é possível observar que

harmônicas de ordem superior podem influenciar o movimento para o caso não linear.

a)

b)



Também, para a rotação de 30Hz, os resultados encontrados são divergentes, sendo que

o modelo linear apresenta uma órbita que ultrapassa a folga radial do mancal, fazendo com

que o uso de tal modelo gere uma análise equivocada da dinâmica do sistema.

Para os casos apresentados nas Figuras 5.6 e 5.7, no qual há um maior amortecimento

interno e menor nível de desbalanceamento, nota-se que o comportamento dinâmico é o

mesmo encontrado anteriormente para as Figuras 5.2 e 5.3, ou seja, pequenas diferenças são

perceptíveis na rotação próxima a velocidade critica. Mais uma vez, as diferenças não são

significativas. Aumentando-se o desbalanceamento, e mantendo o amortecimento interno

mais elevado, observa-se um comportamento similar ao apresentado pelas Figuras 5.4 e 5.5,

porém com amplitudes menores devido ao maior amortecimento.

104

a)

b)


rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz

a)

b)


velocidades de rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz

105

Sendo assim, é possível inferir que o amortecimento estrutural proporcional, dentro da

faixa de magnitudes estudadas, não influencia na não linearidade do sistema. No entanto, o

aumento no desbalanceamento acarreta em grandes diferenças na resposta, para ambos os

níveis de amortecimento, quando analisados sob a ótica linear e não linear.

a)

b)


rotação; b) Zoom para as rotações de 3Hz e 8Hz

5.1.2. Influência do Efeito Giroscópico

Para a análise da influência do efeito giroscópico, o sistema rotativo dado pela Figura

5.1 e pela Tabela 5.1 foi modificado. Dessa forma, dois discos são considerados no novo

modelo, e se encontram distanciados a 200mm de cada mancal. A Figura 5.10 e a Tabela 5.4

mostram os detalhes da modelagem por elementos finitos para essa nova configuração.

106

Figura 5.10: Modelo do rotor com dois discos por elementos finitos.

Para essa nova situação, massas de desbalanceamento idênticas são colocadas em ambos

os discos, porém defasadas de 180°. Novamente, duas massas de desbalanceamento são

testadas, m=3g e m=15g, e os resultados podem ser vistos, respectivamente, nas Figuras 5.11

e 5.12.

Tabela 5.4: Detalhes do modelo de elementos finitos para o rotor com dois discos.


elemento

Diâmetro

interno [mm]

Diâmetro

externo [mm]

Comprimento

[mm]

1, 18 Viga 0 15 40

2, 3, 16, 17 Viga 0 31 10

4, 5, 8, 11, 14, 15 Viga 0 15 53,3

9, 10, Viga 0 15 83,1

6, 7, 12, 13 Viga 0 23,5 23,5

19 Disco 23,5 94,7 47

Assim, observando a Figura 5.11, é possível dizer que nenhuma diferença é encontrada

nos resultados gerados pelos modelos de mancal não linear e linear, inclusive para altas

velocidades de rotação. Já para o sistema com uma massa desbalanceada maior, Figura 5.12,

observam-se discrepâncias, principalmente a partir da velocidade de rotação de 40Hz, sendo

que para 60Hz tem-se uma divergência considerável no formato e tamanho da órbita.

107

a)

b)

c)

d)

Figura 5.11: Resposta orbital para o rotor com dois discos com m=3g: a) No primeiro mancal;

b) Zoom no primeiro mancal para a velocidade de rotação de 3Hz e 8Hz; c) No disco; d)

Zoom no primeiro disco para a velocidade de rotação de 3Hz e 8Hz.

108

É importante destacar que, com a mudança proporcionada pela introdução de mais um

disco no rotor, a velocidade crítica (120Hz) foi deslocada para uma velocidade acima da

máxima frequência de análise (60Hz), e por isso a amplitude das órbitas continuam a

aumentar depois dessa rotação. Por isso, de modo geral, as amplitudes das órbitas no interior

do mancal são pequenas, o que nesse caso, não acarreta em diferenças significativas entre os

modelos. Portanto, conclui-se que a influência do efeito giroscópico não é expressiva para

mudar as características de linearidade do rotor, e que, novamente, as maiores diferenças

ocorrem devido ao aumento do momento de desbalanceamento.

a)

b)

c)

d)

Figura 5.12: Resposta orbital para o rotor com dois discos com m=15g: a) No primeiro

mancal; b) No disco; c) Zoom no primeiro mancal para a velocidade de rotação de 3Hz; d)

Zoom no primeiro disco para a velocidade de rotação de 3Hz.

109

5.1.3. Efeito da Excentricidade do Eixo no Interior do Mancal

Para a avaliação da influência da excentricidade do eixo, o sistema rotativo utilizado

volta a ser o apresentado na Figura 5.1. Para garantir que o eixo seja pressionado contra a

parte inferior do mancal, uma força concentrada adicional foi imposta na posição do disco (nó

10), de forma a manter a excentricidade em 90% da folga radial e posteriormente em 99% da

folga radial. Como a excentricidade tende a diminuir com o aumento da velocidade de

rotação, diferentes valores de força concentrada devem ser impostos para mantê-la no valor

desejado. Além disso, a massa de desbalanceamento utilizada foi m=15g para as duas

situações. Assim, os resultados para excentricidade de 90% são dados na Figura 5.13 e para

99% na Figura 5.14.

a)

b)

Figura 5.13: Resposta orbital para eixo com excentricidade de 0,9: a) Para o primeiro mancal;

b) Zoom para o primeiro mancal.

Analisando a Figura 5.13, pequenas diferenças são notadas para a velocidade de 30Hz,

no entanto, essa diferença não é significativa, mantendo os modelos linear e não linear em

concordância. Quando são observados os resultados para excentricidade de 0,99 (Figura 5.14),

percebe-se que ambos os modelos produzem resultados idênticos. Uma vez que a rigidez do

mancal aumenta com o aumento da excentricidade do eixo em seu interior, as amplitudes de

vibração se tornam menores, favorecendo a linearização das forças hidrodinâmicas. Porém, na

presença de uma força de excitação capaz de aumentar as amplitudes de vibração, a

110

proximidade com a parede do mancal deixa mais perceptível as diferenças entre os modelos

linear e não linear, como será apresentado na próxima seção.

a)

b)

Figura 5.14: Resposta orbital para eixo com excentricidade de 0,99: a) Para o primeiro

mancal; b) Zoom para o primeiro mancal.

5.1.4. Efeito da Magnitude do Desbalanceamento

Como observado nas seções 5.1.1 e 5.1.2, o aumento no momento de desbalanceamento

evidencia o comportamento não linear dos mancais hidrodinâmicos. De modo a melhor

observar a influência do desbalanceamento na resposta, simulações com um nível muito alto

de massa desbalanceada (m=200g) foram realizadas. Também, uma força concentrada foi

aplicada no nó do disco de forma a manter a excentricidade do eixo em 90% da folga radial.

Assim, a Figura 5.15 mostra que a as órbitas obtidas com cada modelo apresentam

diferenças a partir da velocidade rotação de 15Hz, porém ficam bem evidentes para rotações a

partir de 30 Hz. Nessas condições, para a Figura 5.15a, a posição do centro da órbita, seu

formato e tamanho divergem consideravelmente, sendo que as órbitas lineares ultrapassam o

limite imposto pela folga radial, levando a erros significativos quando o modelo linear é

utilizado. Já as órbitas geradas pelo disco não apresentam diferenças em relação ao modelo de

mancal utilizado.

Portanto, é possível dizer que o desbalanceamento afeta significativamente o grau de

não linearidade dos mancais hidrodinâmicos.

111

a)

b)

c)

d)

Figura 5.15: Resposta orbital para eixo com excentricidade de 0,9 e m=200g: a) Para o

primeiro mancal; b) Zoom para o primeiro mancal; c) Para o disco; d) Zoom na resposta do

disco para a velocidade de 3Hz.

5.1.5. Efeito de Diferentes Forças de Excitação

Nos casos analisados anteriormente, o desbalanceamento foi o principal responsável

pelo aumento do comportamento não linear dos mancais. Assim, pôde-se perceber que a força

de excitação é um dos fatores fundamentais que influenciam a não linearidade. Dessa forma,

para averiguar a influência de outras formas de excitação externa, uma força harmônica com

112

amplitude constante e frequência de excitação de 20Hz substituiu o desbalanceamento

rotativo para as simulações realizadas nessa seção.

a)

b)

c)

Figura 5.16: Resposta orbital para excitação harmônica F0=2N: a) Para o primeiro mancal; b)

Zoom no primeiro mancal para a velocidade de 3Hz; c) Para o disco.

Em um primeiro momento, a amplitude de excitação foi definida como F0=2N, que

corresponde a 11% do valor do carregamento estático imposto aos mancais pelo peso do rotor.

Esses resultados podem ser visualizados na Figura 5.16. Posteriormente, aumentou-se a

amplitude da excitação para F0=15N, equivalente a 80% do carregamento estático, e os

resultados são dados pela Figura 5.17.

113

Portanto, para amplitude de 2N, ambos os modelos geraram praticamente as mesmas

órbitas, com uma pequena diferença para 3Hz. No entanto, para a amplitude de 15N, todas as

velocidades de rotação apresentaram diferenças na posição do centro do movimento, no

formato e no tamanho da órbita. Dessa forma, a excitação externa e sua amplitude, tendem a

serem os parâmetros que mais influenciam as características não lineares de mancais

hidrodinâmicos.

a)

b)

Figura 5.17: Resposta orbital para excitação harmônica F0=15N: a) Para o primeiro mancal;

b) Para o disco.

5.2. Aproximação das Forças Hidrodinâmicas por Coeficientes Não Lineares

A solução no domínio do tempo que contempla as não linearidades dos mancais é muito

custosa do ponto de vista do tempo computacional, uma vez que é necessário o cálculo das

forças hidrodinâmicas, através da equação de Reynolds, para cada passo dado no tempo e para

cada iteração realizada pelo método de Newton-Raphson. Devido ao tempo excessivo para se

obter a resposta temporal, a análise dinâmica considerando as não linearidades provenientes

dos mancais pode não ser viável para máquinas reais.

No entanto, a seção 5.1, mostra que em situações nas quais a magnitude da força de

excitação externa possui um valor elevado, ou quando a excitação possui uma frequência

diferente da síncrona, o modelo linear não é mais válido, e, portanto, o modelo não linear

deve ser utilizado para a correta interpretação do movimento do rotor.

114

Assim, nessa seção, para acelerar a análise não linear, as forças hidrodinâmicas geradas

através da equação de Reynolds serão ajustadas por um polinômio obtido através de uma

expansão em série de Taylor de alta ordem, assim como descrito na seção 3.4. Dessa forma,

tem-se uma expressão analítica para o cálculo das forças hidrodinâmicas, o que diminui

drasticamente o tempo de solução da equação de movimento de horas para minutos.

Como dito, a identificação dos coeficientes envolve o cálculo das forças hidrodinâmicas

pela equação de Reynolds para cada instante de tempo. O tempo total necessário para um

ajuste efetivo é variável e depende do modelo do rotor e da condição de operação para a qual

se deseja ajustar a força. Porém, a parte transitória do movimento é tem importância

destacada, pois aumenta a região em que o ajuste é eficiente, ou seja, o ajuste passa a ser

válido para mais valores de q e q . Além disso, o início do movimento é o caminho natural

descrito pelo rotor até chegar em seu regime permanente. Nas simulações realizadas, o tempo

total usado para os ajustes foi o tempo necessário para o movimento chegar próximo ao

regime permanente.

Dessa forma, para cada velocidade de rotação estudada uma nova identificação das

forças hidrodinâmicas deve ser realizada, e os coeficientes que melhor se adéquam ao

problema de “rigde regression” descrito na Equação (3.50) são obtidos, gerando forças

hidrodinâmicas similares às originais. Portanto, apesar do custo computacional inicial gasto

para se fazer o ajuste das forças, após obtidos os coeficientes não lineares, o tempo consumido

na simulação numérica não linear decai de aproximadamente 15h para aproximadamente 5

minutos, para o mesmo intervalo temporal, proporcionando análises rápidas, precisas e

viáveis.

Além disso, a pesquisa bibliográfica feita para o ajuste de forças não lineares por

expansão em série de Taylor (seção 2.3) mostrou que as análises eram geralmente feitas com

rotores simplificados, desconsiderando características básicas, encontradas em situações reais,

como a flexibilidade do rotor. Ademais, as análises estavam restritas a situações com baixa

não linearidade.

Com isso, o rotor utilizado para as análises é o mesmo rotor Laval descrito pela Figura

5.1 e Tabela 5.1, porém com o diâmetro de eixo reduzido para 12mm, aumentando assim a

flexibilidade do sistema. Os mancais são os mesmos apresentados pela Tabela 5.2, com

mudança somente na viscosidade do filme de óleo, passando a ser 50mPa.s. Os coeficientes

de proporcionalidade para o amortecimento são α=0 e β=1,5x10-5. Assim, a primeira

velocidade crítica desse rotor se encontra em 22Hz e, consequentemente a instabilidade fluido

induzida em 44Hz.

115

a)

b)

c)

d)

e)

f)




f) Órbita do disco.

116

Também, como o intuito é verificar a eficiência do ajuste para reproduzir as forças não

lineares, situações nas quais existe uma forte característica não linear dos mancais serão

utilizadas. Para isso, as condições de operação simuladas são a velocidade crítica e a

instabilidade fluido induzida. Nessas condições, como o nível de desbalanceamento evidencia

as características não lineares dos mancais, uma massa m=8,5g foi inserida a uma distância de

37mm do centro do mancal, o que gera um índice de desbalanceamento, segundo a norma ISO

1940-1:2003, G 12,8 para 22Hz e G 27,7 para 44Hz. As Figuras 5.18 e 5.19 mostram os

resultados para esses casos.

a)

b)

c)

d)

117

e)

f)

g)

h)




f) Órbita do disco; g) Deslocamento horizontal no primeiro mancal; h) Deslocamento vertical

no primeiro mancal.

A ordem da expansão de Taylor foi definida baseando-se na resposta do rotor à

instabilidade fluido induzida (Figura 5.19). Nessa situação, a 5ª ordem foi a mínima ordem

capaz de reproduzir o movimento do rotor, e consequentemente as forças hidrodinâmicas.

Dessa forma, uma expansão de Taylor completa de quinta ordem foi utilizada nas simulações.

Assim, conforme mostrado nas Figuras 5.18a, 5.18b, no início do movimento

transitório, todas as forças hidrodinâmicas obtidas através da equação de Reynolds,

coeficientes não lineares e coeficientes lineares, possuem valores semelhantes. No entanto,

quando as amplitudes de vibração se distanciam do ponto de equilíbrio estático, as forças

geradas pelos coeficientes lineares se tornam discrepantes, predizendo erroneamente o

movimento do rotor. Por outro lado, as forças calculadas através dos coeficientes não lineares

118

possuem boa concordância durante todo o intervalo de tempo. Esse resultado pode ser melhor

observado através da diferença entre as forças hidrodinâmicas dadas pelas Figuras 5.18c e

5.18d, no qual a diferença entre as forças geradas através dos coeficientes não lineares e

Reynolds são bem menores que a diferença entre este e os coeficientes lineares. Também, o

mesmo comportamento pode ser observado para o caso do limiar de instabilidade fluido

induzida, mostrada nas Figuras 5.19a, 5.19b, 5.19c, 5.19d, 5.19g e 5.19h.

Além disso, observando as respostas orbitais presentes nas Figuras 5.18 e 5.19, nota-se

que os coeficientes não lineares conseguem representar o movimento com um alto grau de

fidelidade, e mesmo com pequenas diferenças, como acontece no caso do limiar de

instabilidade fluido induzida, supera em muito a representatividade do modelo linear.

Como condições com alta excentricidade tendem a amplificar as diferenças entre os

modelos linear e não linear, como visto na seção 5.1.4, o ajuste para três casos especiais com

alta excentricidade e desbalanceamento extremo serão analisados. Assim, como

anteriormente, uma força concentrada foi inserida no sistema para manter a excentricidade do

eixo próxima a 90% da folga radial. No entanto, aqui, duas forças foram inseridas nas

posições dos mancais. Ademais, a massa de desbalanceamento foi mantida em m=1,7kg.

Essas situações são hipotéticas e tendem a não ocorrer na maioria dos sistemas rotativos,

porém são um bom teste para a eficiência do ajuste em operações extremas. Esses resultados

podem ser vistos na Figura 5.20 para a rotação de 10Hz, gerando um índice de

desbalanceamento ISO G 1170.

Para aumentar a amplitude de vibração do primeiro mancal e amplificar as

características não lineares, dois procedimentos foram adotados: 1) transferência da força de

desbalanceamento do nó 10 para o nó 1 (Figura 5.21) e 2) mudança da velocidade de rotação

para 20Hz, amplificando o índice de desbalanceamento para G 2338 (Figura 5.22).

Observando as Figuras 5.20, 5.21 e 5.22, se torna claro que o ajuste por coeficientes não

lineares conseguem reproduzir bem o comportamento do rotor para essas situações extremas.

É interessante notar, para os casos com maior órbita, que as forças hidrodinâmicas geradas

por todos os modelos são semelhantes entre si. No entanto, à medida que o movimento avança

no tempo, as diferenças entre os modelos por Reynolds e coeficientes não lineares diminuem

enquanto que as diferenças entre os modelos por Reynolds e coeficientes lineares aumentam.

No caso mais crítico, visto na Figura 5.22, é possível observar algumas discrepâncias no

movimento do rotor, e nas forças hidrodinâmicas, comparando-se a solução por Reynolds e

coeficientes não lineares. Mesmo assim, tais coeficientes conseguem reproduzir o

comportamento geral do rotor enquanto o modelo linear falha totalmente.

119

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Figura 5.20: Resultado da simulação para a rotação de 10Hz e desbalanceamento de 1.7kg: a)



primeiro mancal; f) Órbita do disco.

120

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Figura 5.21: Resultado da simulação para a rotação de 10Hz e desbalanceamento no nó 1: a)



primeiro mancal; f) Órbita do disco.

121

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Figura 5.22: Resultado da simulação para a rotação de 20Hz e alta excentricidade: a) Força

hidrodinâmica horizontal; b) Força hidrodinâmica vertical; c) Diferença entre as forças para a

direção horizontal; d) Diferença entre as forças para a direção vertical; e) Órbita do primeiro

mancal; f) Órbita do disco.

122

Essa diferença ocorre devido ao valor de regularização imposto no ajuste (Equação

3.52). O valor desejável para o parâmetro de ajuste é aquele que minimiza a função objetivo,

como pode ser visto na Figura 5.23. Porém, a Figura 5.23d mostra que todos os valores de ξ

acarretam em valores de função objetivo maiores que o obtido com o problema de mínimos

quadrados original (ξ = 0). Nessa situação, o compromisso entre a variância e o “bias”, que

traduz a precisão do modelo, deve ser analisado, de forma a definir o melhor valor para ξ,

uma vez que o resultado obtido pelos mínimos quadrados original possui alta precisão porém

alta variância. Assim, para algumas situações de não linearidade extrema ter uma menor

variância é desejável, embora isso cause uma perda em precisão. A Figura 5.24 mostra a

relação entre bias e variância.

a)

b)

c)

d)

Figura 5.23: Comportamento da função objetivo: a) Para o ajuste da força horizontal; b) Zoom

para o ajuste da força horizontal; c) Para o ajuste da força vertical; b) Zoom para o ajuste da

força vertical.

123

Com os resultados apresentados, nota-se que o ajuste proposto consegue reproduzir, de

forma satisfatória, tanto as forças hidrodinâmicas quanto o movimento do rotor para situações

que possuem um alto grau de comportamento não linear nos mancais. Contudo, durante a

operação das máquinas, sua dinâmica pode ser modificada devido à ocorrência de um mal

funcionamento ou devido a uma mudança na condição de operação, acarretada por uma

demanda de produção. Em ocasiões como essa, o uso de controle de vibração se torna

interessante de forma a reduzir as amplitudes do movimento até que a próxima manutenção

seja agendada. Ademais, o ajuste seria utilizado em uma condição para a qual não foi

projetado, sendo então necessário validar seu uso também nessa condição.

a)

b)

Figura 5.24: Relação entre bias e variância: a) Para o ajuste da força horizontal; b) Para o

ajuste da força vertical.

Figura 5.25: Modelo do rotor para aplicação do controle por elementos finitos.

Nesse sentido, para simular a nova condição de operação do rotor, um controle de

vibrações do tipo H∞ é inserido no modelo do rotor, o que é equivalente a uma situação na

qual uma nova força externa, não considerada a princípio, é aplicada no sistema. Como o foco

124

das análises é validar a utilização dos coeficientes não lineares para situações descritas

previamente, nenhuma informação adicional é dada sobre o controle, mas é possível obter

detalhes do controlador consultando Wu et al. (2017).

Tabela 5.5: Detalhes do modelo de elementos finitos do rotor para aplicação do controle.


elemento

Diâmetro

interno [mm]

Diâmetro

externo [mm]

Comprimento

[mm]

1, 2 Viga 0 12 62

3, 4, 15, 16 Viga 0 31 10

5, 6 Viga 0 12 49

7, 8 Viga 0 13,8 23,5

9, 10 Viga 0 12 47,5

11, 12 Viga 0 40 40

13, 14 Viga 0 12 40

17 Viga 0 12 39

18 Disco 13,8 66,7 47

19 Disco 66,7 82,5 38

20 Disco 82,5 94,7 47

Então, o modelo matemático do rotor foi adequado para contemplar a inserção de novas

forças provenientes de um controlador, e seus detalhes podem ser vistos na Figura 5.25 e na

Tabela 5.5. Os elementos 11 e 12 representam o munhão do atuador magnético, que é

responsável pelo controle, sendo que as forças de controle são aplicadas no nó 12. Os mancais

hidrodinâmicos, que são idênticos, estão localizados nos nós 4 e 16 e seus detalhes são dados

na Tabela 5.6. O disco rígido, nó 8, possui massa desbalanceada m=3,7g localizada a 37mm

do centro do disco. O coeficiente de proporcionalidade para o amortecimento interno foi

definido como β=1x10-4. Desse modo, a primeira velocidade crítica está localizada em

43,3Hz e a o limiar de instabilidade em aproximadamente 80Hz.

As simulações foram realizadas para velocidades de rotação específicas, uma vez que o

objetivo do controle é reduzir as amplitudes de vibração. Assim, as velocidade de 40Hz

(abaixo da crítica), 43,3Hz (crítica), 60Hz (acima da crítica) e 80Hz (instabilidade fluido

induzida), foram as rotações selecionadas para as análises. Dessa forma, os índices de

desbalanceamento ISO são, respectivamente, G 8,92, G 9,66, G 13,39 e G 17,85. Também, os

coeficientes foram ajustados para a condição sem controle e aplicados para os casos

125

controlados. Além disso, somente os resultados do segundo mancal serão mostrados, uma vez

que esses resultados serão comparados posteriormente com resultados experimentais.

Tabela 5.6: Parâmetros dos mancais do rotor para aplicação do controle.

Velocidade de rotação 40Hz 43.3Hz 60Hz 80Hz

Diâmetro do mancal (D) 31mm 31mm 31mm 31mm

Comprimento do mancal (L) 18mm 18mm 18mm 18mm

Folga radial do mancal (CR) 90µm 90µm 90µm 90µm

Viscosidade do lubrificante (µ) 64,1mPa.s 64mPa.s 55,7mPa.s 51,6mPa.s

a)

b)


controle; b) Com controle.

Observando as Figuras 5.26, 5.27, 5.28 e 5.29, nota-se que, como esperado, os

coeficientes não lineares são muito promissores para reproduzir as órbitas do mancal para o

caso sem controle, uma vez que essa é a condição nominal do ajuste. Como comentado,

quando as forças do controle são inseridas na equação de movimento, uma modificação no

comportamento do sistema é verificada, o que pode ser percebido pela mudança no formato e

no tamanho da órbita e, também, na posição de equilíbrio do rotor. Mesmo nessas situações,

as forças provenientes dos coeficientes não lineares mantem representatividade satisfatória

para a vibração do rotor, ainda que com algumas discrepâncias.

126

a)

b)

Figura 5.27: Resposta orbital no segundo mancal para velocidade de rotação de 43.3Hz: a)

Sem controle; b) Com controle.

a)

b)


controle; b) Com controle.

As diferenças mais consideráveis entre o modelo de forças por integração direta da

equação de Reynolds e por coeficientes não lineares ocorrem para o caso de 40Hz (Figura

5.26b). Nesse caso, o novo ponto de equilíbrio gerado pela aplicação do controle não se situa

próximo da região na qual os coeficientes foram gerados. Por isso, as forças obtidas com esse

procedimento diferem das forças computadas através da equação de Reynolds, uma vez que

não foi realizado um novo ajuste para os coeficientes. Todavia, para as demais rotações, os

coeficientes não lineares conseguem reproduzir o formato da órbita e seu tamanho, mesmo

com um pequeno deslocamento do centro da órbita.

127

a)

b)

c)

Figura 5.29: Resposta do segundo mancal para velocidade de rotação de 80Hz: a)

Deslocamento horizontal sem controle; b) Deslocamento vertical sem controle; c) Órbita com

controle.

5.3. Identificação do Desbalanceamento

A partir de informações coletadas previamente sobre o movimento de uma máquina

rotativa em seu estado atual, é possível, através da função objetivo dada pela Equação (3.57),

verificar qual a condição de desbalanceamento atuante no rotor. Para isso, são utilizadas as

técnicas de otimização apresentadas na seção 3.5.

Contudo, apesar de o desbalanceamento agir de forma contínua em toda extensão axial

do rotor, não é possível identificar uma distribuição de massa contínua. Ao invés disso, para

esse trabalho, identifica-se uma massa de desbalanceamento que esteja presente em um dos

planos de balanceamento, de forma que essa massa represente o desbalanceamento total do

128

sistema de forma equivalente. Assim, somente as posições axiais desses planos são utilizadas

como pontos viáveis para o método “branch and bound”.

Os resultados anteriores mostram que o modelo linear pode predizer de forma errônea o

comportamento do rotor, especialmente em situações com altas amplitudes de vibração,

podendo acarretar na obtenção de massas de balanceamento aquém da capacidade de correção

do desbalanceamento. Assim, a identificação do desbalanceamento será realizada, na maior

parte das vezes, com a utilização dos coeficientes não lineares obtidos a partir da teoria

descrita pela seção 3.4. Também, no movimento não linear do rotor existe a presença de

harmônicas superiores que podem não estar presentes no movimento oriundo do modelo

linear. Ademais, foi utilizada, num primeiro momento, a metade do vetor da DFT relacionado

às frequências positivas na função objetivo, levando em conta a influência das harmônicas

superiores.

Dessa forma, foi realizada inicialmente uma validação numérica para o algoritmo de

identificação de desbalanceamento, no qual a resposta experimental é obtida a partir da

resposta numérica do rotor, que está sujeito às forças hidrodinâmicas provenientes da

integração da equação de Reynolds, com ruído. Para a aplicação do ruído utilizou-se a

formulação proposta por Ferraz e Dos Santos (2001), no qual:

1,1,1,1,, randtrandttt sa χqFFTχqFFTχqFFTqFFT , (5.1)

sendo que βa é o fator devido ao erro aleatório e βs é o fator devido ao erro sistemático. Os

valores utilizados foram, respectivamente, 30% e 3%. Esses valores foram escolhidos de

forma a deixar o sinal bem ruidoso, testando, então, a eficácia do método.

O modelo matemático do rotor utilizado para verificar a identificação do

desbalanceamento pode ser visualizado na Figura 5.30 e seus detalhes na Tabela 5.7. Assim, o

eixo apresenta comprimento de 603mm e diâmetro de 12mm sendo suportado por dois

mancais hidrodinâmicos idênticos nos nós 4 e 15, cujos detalhes podem ser vistos na Tabela

5.8. Nota-se a presença de um munhão, representado pelos elementos 6 e 7, e que o disco se

encontra posicionado no nó 11. Foi inserida uma massa desbalanceada com m=3,2g

localizada a 37mm do centro do disco, sendo que sua posição angular, ou fase, é de 150° em

relação a horizontal, seguindo a direção e o sentido determinados pelo círculo trigonométrico

(anti-horário). A primeira velocidade crítica se encontra em 49,3Hz, sendo essa a velocidade

129

utilizada para a análise, uma vez que nessa condição o rotor possui as maiores amplitudes de

vibração.

Figura 5.30: Modelo do rotor para primeira verificação de identificação do desbalanceamento.

Tabela 5.7: Detalhes do modelo de elementos finitos do rotor para verificação da identificação

do desbalanceamento.


elemento

Diâmetro

interno [mm]

Diâmetro

externo [mm]

Comprimento

[mm]

1, 2 Viga 0 12 62

3, 4, 14, 15 Viga 0 31 10

5 Viga 0 12 36,66

6, 7 Viga 0 40 40

8, 9 Viga 0 12 85,2

10, 11 Viga 0 13,25 23,5

12, 13 Viga 0 12 32,72

16 Viga 0 12 39,5

17 Disco 13,25 66,7 47

18 Disco 66,7 82,5 38

19 Disco 82,5 94,7 47

Tabela 5.8: Parâmetros dos mancais do rotor para verificação da identificação do

desbalanceamento.

Diâmetro do mancal (D) 31mm

Comprimento do mancal (L) 18mm

Folga radial do mancal (CR) 90µm

Viscosidade do lubrificante (µ) 65mPa.s

130

Assim, os resultados encontrados para identificação podem ser observados na Tabela

5.9, para os modelos de mancal linear e por coeficientes não lineares, sendo que as primeiras

três linhas da tabela trazem informações sobre o desbalanceamento original inserido no

sistema, as três linhas subsequentes representam o desbalanceamento identificado e as últimas

duas linhas o erro percentual em relação ao desbalanceamento original. É possível notar que

ambos os modelos foram capazes de identificar o desbalanceamento em sua posição axial

correta (nó do desbalanceamento). Entretanto, o modelo por coeficientes não lineares prevê

melhor a massa de desbalanceamento inserida no sistema, uma vez que o erro para esse

parâmetro em relação ao original foi de apenas 0,3%, enquanto que o do modelo linear foi de

17,7%. Em relação à fase do desbalanceamento, tem-se que o modelo linear novamente

apresenta desempenho inferior ao modelo por coeficientes não lineares.

Tabela 5.9: Resultados da identificação do desbalanceamento numérico para o primeiro

modelo de rotor.

Modelo de

mancal linear

Modelo de mancal por

coeficientes não lineares

Nó original 10 10

Massa original (g) 3,2 3,2

Fase original (°) 300 300

Nó identificado 10 10

Massa identificada (g) 3,767 3,21

Fase identificada (°) 319,2 302,48

Erro na massa (%) 17,7 0,3

Erro na fase (%) 6,4 0,83

As Figuras 5.31 a 5.34 mostram magnitude e fase das DFTs, para o caso numérico

com ruído e para os casos com mancais não lineares e mancais lineares, na condição

identificada de desbalanceamento. Ao se verificar as respostas, observa-se que o método de

identificação tenta encontrar os parâmetros do desbalanceamento que reproduzam o

comportamento geral do rotor. Dessa forma, a massa de desbalanceamento encontrada age de

forma a compensar o ganho, ou redução, aleatória imposta pelo ruído à DFT (Figuras 5.31 e

5.33), e que de um modo geral, o modelo não linear consegue reproduzir melhor o

comportamento do rotor, uma vez que o modelo não linear leva em conta harmônicas

131

superiores enquanto o modelo linear não, explicando o melhor desempenho das forças

hidrodinâmicas ajustadas. O mesmo fenômeno é encontrado para a fase (Figuras 5.32 a 5.34).

a)

b)

c)

d)



Direção vertical e linear.

132

a)

b)

c)

d)



vertical e linear.

a)

b)

133

c)

d)




a)

b)

c)

d)



vertical e linear.

134

Para verificar se o método de identificação poderia ser aplicado como uma forma de

balancear o rotor, foi inserido junto à condição de desbalanceamento original uma massa de

balanceamento com módulo e posição axial iguais à massa identificada, porém com ângulo de

fase defasado de 180°. Analisando os resultados apresentados nas Figuras 5.35 e 5.36, que

mostram os módulos das DFTs para os rotores original e balanceado, observa-se que o

balanceamento foi efetivo, principalmente com a utilização dos parâmetros encontrados pelo

modelo não linear.

a)

b)

c)

d)



coeficientes não lineares; d) Direção vertical e linear.

Nessa situação, a diminuição média foi de aproximadamente 96% da amplitude de

vibração original, contra 73% de redução para os parâmetros encontrados com o modelo

linear. Além disso, as vibrações finais do rotor balanceado a partir da identificação não linear

são 86% menores que as encontradas para a identificação linear. Esse resultado indica que o

135

método proposto para identificação é promissor para ser utilizado para balancear o rotor, e seu

melhor desempenho está condicionado à correta modelagem do sistema rotativo, mais

precisamente dos mancais.

a)

b)

c)

d)



coeficientes não lineares; d) Direção vertical e linear.

5.4. Validação Experimental

Nas seções anteriores foram exibidos os resultados do comportamento dinâmico de

rotores suportados por mancais hidrodinâmicos, modelados de maneira linear ou não linear

(através da equação de Reynolds ou de coeficientes não lineares). As diferenças entre os

modelos foram verificadas, assim como os parâmetros que mais influenciam as características

136

não lineares dos mancais. Também, foi analisada a eficiência do ajuste das forças

hidrodinâmicas para situações com alta não linearidade e para situações nas quais os

coeficientes não lineares foram utilizados em condições diferentes daquelas em que foram

obtidos, condições essas alcançadas pela aplicação de uma força de controle.

Faz-se necessário, portanto, validar os resultados numéricos. Para isso, experimentos

foram realizados na bancada de testes descrita no capítulo 4. O primeiro tem como intuito a

verificação do comportamento não linear do movimento do rotor quando esse está suportado

por mancais hidrodinâmicos. A segunda bateria de testes foi realizada para verificar a

eficiência da utilização das forças hidrodinâmicas ajustadas, a partir dos coeficientes não

lineares, na obtenção da resposta dinâmica do sistema rotativo. O terceiro, e último teste, visa

validar a identificação do desbalanceamento mediante dados experimentais.

5.4.1. Verificação do Comportamento Não Linear dos Mancais

Para os testes experimentais que visam observar as características não lineares do

movimento do rotor, foi utilizada a montagem mostrada na Figura 5.37. Nessa configuração, o

eixo, que possui 603mm de comprimento e 12mm de diâmetro, é suportado por dois mancais

hidrodinâmicos idênticos (Tabela 5.8). O primeiro mancal se encontra localizado a

aproximadamente 124mm do acoplamento flexível, enquanto que o segundo mancal se

encontra a aproximadamente 400mm do primeiro. Pode-se observar também que existe um

munhão localizado 37mm do mancal 1 e um disco a 65mm do mancal 2.

Feita a montagem e o alinhamento do rotor, como descrito na seção 4.1, é necessário

fazer o balanceamento do sistema, para que possa ser introduzida uma força de excitação

conhecida. O procedimento de balanceamento utilizado é o balanceamento por coeficientes de

influência e é feito em apenas um plano, localizado em uma das extremidades do disco, e em

uma rotação próxima a velocidade crítica. Após o balanceamento, uma massa conhecida de

3,2g foi inserida em um dos furos do disco (localizado a uma distância de 37mm do centro do

mesmo e com ângulo de fase de 0° com relação a vertical), no mesmo plano que foi realizado

o balanceamento, como forma de força de excitação. Esse valor de massa tem como objetivo

estimular altas amplitudes de vibração, principalmente no segundo mancal, uma vez que o

mesmo se encontra próximo do disco.

137

Figura 5.37: Configuração da bancada de testes para verificação do comportamento não linear

dos mancais.

Após o rotor ser balanceado, é necessário obter sua resposta ao desbalanceamento como

forma de verificar com maior precisão o comportamento do rotor e, calibrar o modelo

matemático que será utilizado para representar o rotor experimental. Portanto, foram

realizadas aquisições dos sinais dos deslocamentos para as posições dos mancais e do disco,

através do sistema de aquisição detalhado na seção 4.2. A taxa de amostragem utilizada foi de

4096 amostras/s e o tempo total aquisitado foi de 2 segundos. Além disso, para cada rotação

avaliada, o sinal é coletado cinco vezes, diminuindo assim a variância dos resultados.

Dessa forma, a resposta ao desbalanceamento é adquirida analisando-se a órbita do eixo

na rotação de interesse. Para isso, divide-se o sinal obtido em diversas partes e calcula-se a

amplitude do movimento para cada uma. Em seguida, calcula-se a média das amplitudes. O

procedimento, que é realizado para as direções horizontal e vertical do movimento, reduz a

influência de ruídos. Assim, a resposta ao desbalanceamento é obtida para uma faixa de

rotações que vai de 25Hz a 75Hz, e pode ser visualizada nas Figuras 5.38 e 5.39, para as

curvas com marcadores circulares.

138

a)

b)

c)


Segundo mancal; c) Disco.

Observando as Figuras 5.38 e 5.39, pode-se perceber que o rotor possui velocidade

crítica próxima de 50Hz, mais precisamente 49.3Hz. Além disso, verifica-se que essa

frequência de rotação excita um modo flexível, uma vez que a amplitude de vibrações

encontrada no disco supera a encontrada nos mancais. Ademais, segundo Childs (1993), a

diminuição da amplitude vibração em rotações que precedem a velocidade crítica, como visto

na resposta para o mancal 1 (Figuras 5.38a e 5.39a), é característica da presença de

empenamento do eixo. Também, como era esperado, o segundo mancal apresentou amplitude

de vibrações maior que a do primeiro mancal devido à maior proximidade com o disco.

139

a)

b)

c)


Segundo mancal; c) Disco.

Uma vez tendo realizado o procedimento para obter a resposta ao desbalanceamento, é

possível modelar matematicamente o rotor pelo método dos elementos finitos, baseando-se

nas dimensões do eixo, na geometria dos mancais, nas posições do munhão e disco, nos dados

sobre o desbalanceamento e nas temperaturas colhidas através dos termopares. O número de

elementos, tanto de vigas quanto de disco e o amortecimento interno (β=1,5x10-4) são

ajustados de forma que a resposta numérica possa representar de forma confiável a resposta

experimental. Consequentemente, as análises experimentais deram origem ao modelo de rotor

já apresentado anteriormente na seção 5.3 (Figura 5.30), cujos detalhes da geometria e do

mancal podem ser verificados nas Tabelas 5.7 e 5.8.

Com o modelo matemático descrito, simulou-se a resposta em frequência do rotor para a

mesma faixa de rotação nos quais foram realizados os testes experimentais, e os resultados

podem ser vistos nas Figuras 5.38 e 5.39 para as curvas cheias. Analisando esses gráficos,

140

percebe-se que o comportamento geral obtido pelas simulações numéricas se assemelha ao do

procedimento experimental, especialmente para o caso do segundo mancal, no qual as curvas

se encontram muito próximas umas das outras.

As maiores diferenças podem ser notadas no primeiro mancal. Tais diferenças podem

estar relacionadas a efeitos não contemplados no modelo numérico, como por exemplo, as

presenças de empenamento e desalinhamento no sistema. Não obstante, o mancal 1 se

encontra muito próximo do acoplamento flexível, e por mais flexível que tal acoplamento

possa ser, certamente tende a influenciar na resposta dinâmica do sistema, uma vez que

interfere no movimento da ponta do eixo.

Assim, sabendo-se que o comportamento numérico do segundo mancal apresenta boa

concordância com os testes experimentais, sua posição foi escolhida para analisar o

comportamento das orbitas linear, não linear (Reynolds) e experimental. Para isso, três

velocidades de rotação foram selecionadas, sendo uma abaixo da velocidade crítica (43Hz),

uma na crítica (49,3Hz) e uma acima da crítica (70Hz). Essas velocidades associadas com a

massa desbalanceada geram os seguintes índices ISO de desbalanceamento: G 8,3 para 43Hz,

G 9,5 para 49,3Hz e G 13,5 para 70Hz. Ademais, para não levar em consideração efeitos

indesejáveis que não estão contemplados no modelo, e que aparecem geralmente na forma de

harmônicas superiores, o sinal aquisitado foi filtrado digitalmente. Assim, foi utilizado um

filtro Butterworth de ordem 2 e passa banda, cujas frequências não filtradas estão entre a

metade da primeira frequência de rotação até o dobro da máxima frequência de rotação

medidas experimentalmente.

Visualizando a Figura 5.40, que apresenta as órbitas no mancal 2, e as Figuras 5.41 a

5.43, que mostram as transformadas de Fourier do sinal no tempo, é possível afirmar que o

modelo não linear por Reynolds representa melhor, e de forma mais eficiente, as órbitas

obtidas através do procedimento experimental, exceto para o caso de 70Hz, no qual ambos os

modelos são capazes de representar a órbita experimental.

O caso que apresenta maior discrepância nas órbitas é para a velocidade crítica (Figura

5.40b e Figura 5.42), onde as amplitudes de vibração são maiores. Nessa situação o modelo

não linear descreve com boa concordância os experimentos enquanto que para o modelo

linear, a órbita apresenta tamanho e formato não condizentes com a experimental.

141

a)

b)

c)

Figura 5.40: Comparação das respostas orbitais numéricas e experimentais: a) Para 43Hz; b)

Para 49,3Hz; c) Para 70Hz.

Analisando a Figura 5.41, pode-se observar que a magnitude da primeira harmônica é

equiparável entre ambos os modelos e o resultado experimental. No entanto, o modelo linear

não consegue reproduzir a presença de harmônicas superiores, enquanto que o modelo não

linear por Reynolds consegue. Essas harmônicas superiores, que estão presentes no sinal

experimental, mudam o formato da órbita e podem contribuir para a amplitude final do

movimento, fazendo com que o modelo não linear se assemelhe mais ao experimental. O

mesmo paralelo pode ser realizado entre as outras velocidades de rotação (43Hz e 70Hz).

Dessa maneira, os resultados encontrados nessa seção corroboram com as análises

numéricas realizadas, validando o uso do modelo não linear.

142

a)

b)

c)

d)


b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e Reynolds; d) Direção vertical e linear.

a)

b)

143

c)

d)

Figura 5.42: Comparação com a DFT experimental à 49,3Hz: a) Direção horizontal e

Reynolds; b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e Reynolds; d) Direção vertical e

linear.

a)

b)

c)

d)


b) Direção horizontal e linear; c) Direção vertical e Reynolds; d) Direção vertical e linear.

144

5.4.2. Validação do Ajuste por Coeficientes Não Lineares

A validação do uso da aproximação das forças hidrodinâmicas através de coeficientes

não lineares se dará pela análise do movimento do rotor sujeito a um desbalanceamento

conhecido. Para isso, o rotor apresentado na Figura 5.37 teve sua configuração levemente

alterada para permitir a introdução de um atuador magnético, responsável pela aplicação das

forças de controle no sistema. Com isso, o eixo, que possui 12mm de diâmetro e 603mm de

comprimento, continua apoiado nos mesmos mancais, que estão localizados nas mesmas

posições do teste anterior. Contudo, o disco agora se encontra localizado a aproximadamente

98mm do primeiro mancal e o munhão do atuador magnético a 80mm do segundo mancal. A

montagem utilizada pode ser vista na Figura 5.44.

Figura 5.44: Configuração da bancada de testes para validação do ajuste por coeficientes não

lineares.

O mesmo procedimento de montagem, alinhamento e balanceamento descritos

anteriormente foi realizado. Então, foi aplicada uma massa de desbalanceamento conhecida de

3,7g em um dos furos do disco. Igual metodologia foi aplicada para obtenção da resposta ao

desbalanceamento do rotor, porém, nesse caso, a taxa de amostragem foi definida em 10000

amostras/s durante 5 segundos, uma vez que o controle projetado necessita de uma taxa de

informações maior que a usada anteriormente. Além disso, o sinal é coletado 4 vezes por

rotação.

145

As Figuras 5.45 e 5.46 mostram a resposta ao desbalanceamento obtida através dos

testes experimentais (curvas com marcadores circulares). É possível observar, que a

velocidade crítica se encontra entre 40Hz e 45Hz, sendo seu valor exato 43,3Hz. Ademais, o

teste foi realizado até a ocorrência da instabilidade fluido induzida, que se encontra em

aproximadamente 80Hz, portanto a resposta é reproduzida até a rotação de 79Hz. Ainda,

como esperado, observa-se que o primeiro mancal possui amplitudes de vibração maiores que

o segundo mancal, devido a maior proximidade com o disco. Novamente, é possível perceber

a presença de empenamento, através da diminuição da vibração que antecede a velocidade

crítica no mancal 1.

a)

b)


Segundo mancal.

O modelo de elementos finitos dessa configuração foi definido através dos dados

geométricos do rotor e mancais e das informações sobre desbalanceamento e temperatura de

operação. Como dito anteriormente, o número de elementos e os parâmetros do

amortecimento interno (β=1x10-4) são ajustados para aproximar a resposta numérica da

experimental. Portanto, o modelo matemático construído é o mesmo apresentado na seção de

análise numérica e dado pela Figura 5.25 e pelas Tabelas 5.5 e 5.6.

As respostas em frequência são apresentadas nas Figuras 5.45 e 5.46 nas curvas com

linha cheia. Percebe-se que os resultados numéricos estão em concordância com os resultados

obtidos através dos experimentos, especialmente para o segundo mancal, onde há

equivalência na velocidade crítica e nas amplitudes de vibração que se encontram nas

proximidades da frequência natural. Assim como nos primeiros experimentos, a maior

146

diferença acontece no primeiro mancal, devido à presença de efeitos que não são considerados

na modelagem matemática.

a)

b)


Segundo mancal.

a)

b)


rotação de 40Hz: a) Sem controle; b) Com controle.

Diante dos resultados apresentados, tem-se que o segundo mancal é indicado a receber

uma análise mais detalhada para a validação dos coeficientes não lineares. Assim, o

movimento do rotor na posição do segundo mancal, para velocidades de rotação de 40Hz

(abaixo da crítica), 43,3Hz (crítica), 60Hz (acima da crítica) e 80Hz (instabilidade fluido

induzida) foram gerados numérica e experimentalmente para o rotor sem controle e

controlado. Os resultados acerca da resposta orbital podem ser observados nas Figuras 5.47,

5.50, 5.53 e 5.56, e as DFTs respectivas nas Figuras 5.48, 5.49, 5.51, 5.52, 5.54, 5.55 e 5.57.

147

a)

b)

c)

d)



Reynolds; d) Direção vertical e coeficientes não lineares.

As respostas orbitais são as mesmas já apresentadas nas Figuras 5.26 a 5.29, porém com

a adição das respostas experimentais. Dessa forma, as análises já realizadas também cabem

aqui. Além dessas análises, observa-se através da análise das DFTs para os casos não

controlados, que os resultados numéricos obtidos pelos coeficientes não lineares conseguem

reproduzir com eficiência as órbitas geradas a partir das forças hidrodinâmicas obtidas com a

integração da equação de Reynolds. Estas, por sua vez, possuem a magnitude da primeira

harmônica próxima às experimentais (máxima diferença de 14% para a velocidade de rotação

de 60Hz), além de apresentar componentes harmônicas de ordem superior que também estão

presentes no caso experimental, especialmente a de segunda ordem. Assim, tanto tamanho da

órbita, quanto formato apresentam boa concordância. As diferenças perceptíveis são fruto de

super-harmônicas, superiores a segunda ordem, proveniente de efeitos que não são

148

considerados no modelo numérico, como por exemplo, empenamento, efeito do acoplamento

flexível, vibração das caixas do mancal, entre outros.

a)

b)

c)

d)




Para o caso controlado, nota-se que o modelo não linear por Reynolds, consegue

representar de forma satisfatória o movimento experimental, conseguindo reproduzir, de

forma geral, o tamanho e o formato da órbita. As maiores diferenças se apresentam para a

condição de 40Hz, onde se pode perceber, a partir da Figura 5.49, que a amplitude do modelo

numérico para a direção vertical está menor que a amplitude experimental. Também, nas

situações em que o controle está atuando, vemos uma tendência de linearização do modelo

matemático, que pode ser observado pela ausência de harmônicas de ordem superior, sendo

que essas ainda influenciam o movimento da órbita experimental.

149

a)

b)


rotação de 43,3Hz: a) Sem controle; b) Com controle.

a)

b)

c)

d)




150

a)

b)

c)

d)




Quanto às órbitas geradas pelos coeficientes não lineares, é possível perceber que,

apesar do pequeno deslocamento do centro da órbita, essas tendem a representar de forma

eficaz o modelo não linear por Reynolds, e consequentemente os resultados experimentais.

Algumas diferenças são perceptíveis devido às condições do ajuste, como comentado

anteriormente na seção 5.2, no entanto os resultados gerados através desse modelo formam

uma boa análise qualitativa do problema. Assim, os resultados experimentais validam

inclusive o uso dos coeficientes não lineares em situações diferentes das quais foram

ajustados.

151

a)

b)



a)

b)

c)

d)




152

a)

b)

c)

d)



Reynolds; d) Direção horizontal e coeficientes não lineares.

Vale ainda ressaltar, que as Figuras 5.56a e 5.56b mostram o resultado experimental no

tempo, para os deslocamentos horizontal e vertical do eixo no interior do mancal, durante a

instabilidade fluido induzida. Comparando esses resultados com os apresentados nas Figuras

5.29a e 5.29b, que foram obtidos numericamente, é possível inferir que ambos mostram o

mesmo comportamento característico da instabilidade fluido induzida: o aumento repentino

das vibrações. Contudo, as respostas transientes divergem, pois, as condições iniciais das

análises numérica e experimental não são as mesmas. Além do mais, como medida de

segurança nos experimentos, assim que as vibrações começaram a aumentar o equipamento

foi desligado.

153

a)

c)

b)



Finalmente, ao se observar a Figura 5.57, nota-se a dominância da componente

harmônica de 1/2x, que é a característica principal da instabilidade fluido induzida. Assim, ao

se aplicar as forças de controle no sistema rotativo, além da redução das vibrações, já

percebidas nas situações anteriores, tem-se a minimização da subharmônica de 1/2x,

mostrando que a condição de instabilidade fluido induzida foi controlada, ou seja, o sistema

se mantém estável (Figura 5.58).

154

a)

b)

c)

d)



Reynolds; d) Direção vertical e coeficientes não lineares

a)

b)

155

c)

d)




5.4.3. Validação da Identificação do Desbalanceamento

Com o intuito de validar as informações obtidas nas simulações da identificação do

desbalanceamento, foram coletados os sinais experimentais a partir da bancada de teste para

duas configurações distintas. Esses dados, então, foram utilizados para a busca da massa de

desbalanceamento inserida no sistema.

O primeiro teste foi realizado para a configuração experimental do rotor presente na

Figura 5.37, cujos detalhes do modelo por elementos finitos estão presentes nas Figuras 5.30 e

Tabela 5.7, juntamente com os dados do mancal (Tabela 5.8). A massa de desbalanceamento

m=3,2g inserida no sistema está localizada na face esquerda do disco, nó 10 do modelo por

elementos finitos, e a 37mm do centro do mesmo. Seu ângulo de fase é de 300° com relação a

horizontal. Os detalhes relacionados à aquisição foram descritos na seção 5.4.1, uma vez que

se trata do mesmo teste experimental. A velocidade de rotação utilizada para o teste foi de

49,3Hz, que é a velocidade crítica.

Sendo assim, a Tabela 5.10 mostra os resultados obtidos para a identificação utilizando-

se os modelos de mancal linear e não linear por coeficientes não lineares, enquanto que as

Figuras 5.58 a 5.61 apresentam a comparação entre as DFTs experimentais e as obtidas em

cada caso para o desbalanceamento identificado. Analisando a Tabela 5.10 tem-se que,

novamente, o modelo linear (erro de 23,8%) teve desempenho inferior ao modelo não linear

156

(erro de 6,25%) para identificar a massa de desbalanceamento imposta ao sistema rotativo.

Além disso, para o caso experimental, o modelo linear falha ao encontrar a posição axial do

desbalanceamento, indicando que esse está presente no nó 11 ou invés do nó 10, que é a

posição original. Quanto a identificação da fase, é possível dizer que ambos os modelos

conseguiram prever corretamente esse parâmetro.

Tabela 5.10: Resultados da identificação do desbalanceamento experimental para o primeiro

modelo de rotor.

Modelo de

mancal linear

Modelo de mancal por

coeficientes não lineares

Nó original 10 10

Massa original (g) 3,2 3,2

Fase original (°) 300 300

Nó identificado 11 10

Massa identificada (g) 3,96 3,0

Fase identificada (°) 307,9 298,13

Erro na massa (%) 23,8 -6,25

Erro na fase (%) 2,63 -0,63

Como era esperado, o desempenho da identificação sofre uma queda para o caso

experimental, uma vez que, como visto nas seções 5.4.1 e 5.4.2, o modelo numérico possui

divergências com o modelo experimental, e ter um modelo que represente o melhor possível o

comportamento experimental é muito importante para a identificação, sendo que o

procedimento necessita das informações experimentais e numéricas para ambos os mancais.

Além disso, o balanceamento realizado previamente à inserção da massa de

desbalanceamento conhecida deixa uma pequena quantidade de desbalanceamento residual

que também influencia na correta identificação. Entretanto, mesmo com as diferenças

presentes, a identificação do desbalanceamento com coeficientes não lineares, conseguiu

reproduzir de forma satisfatória as características da massa desbalanceada inserida no rotor,

encontrando a posição axial correta, uma massa com erro de 6.25% e uma fase com erro de

0,63%.

157

a)

b)

c)

d)




Observando as Figuras 5.58 a 5.61, é perceptível a tendência de se encontrar uma massa

de desbalanceamento que minimize as diferenças entre as DFTs experimental e numérica,

sendo que o modelo não linear, num contexto geral, cumpre melhor esse papel, como já

presenciado nos testes numéricos.

158

a)

b)

c)

d)



vertical e linear.

a)

b)

159

c)

d)




a)

b)

c)

d)



vertical e linear.

160

6. CONCLUSÕES E DESDOBRAMENTOS DO TRABALHO

Esse trabalho apresenta uma contribuição à modelagem de sistemas rotativos suportados

por mancais hidrodinâmicos. Para tanto o rotor foi discretizado através do método dos

elementos finitos e as forças provenientes dos mancais foram obtidas a partir de três vertentes,

integração direta da equação de Reynolds, coeficientes lineares de rigidez e amortecimento e

coeficientes não lineares gerados através de uma expansão de serie de Taylor de alta ordem.

Dependendo das condições operacionais do rotor, foi visto que os mancais podem

apresentar comportamento que não mais é representado pela teoria linear clássica dos

coeficientes de rigidez e amortecimento. Dessa forma, inicialmente, foi investigada a

influência de parâmetros como, amortecimento interno do eixo, efeito giroscópico,

excentricidade do eixo no interior do mancal e tipo e intensidade de excitação, no

comportamento não linear dos mancais. Para isso analisou-se a resposta orbital do rotor,

considerando forças hidrodinâmicas não lineares por Reynolds e lineares, para cada uma das

situações mencionadas.

As análises dos resultados numéricos mostraram que o amortecimento interno, efeito

giroscópico e excentricidade do eixo no interior do mancal, possuem pequena influência

quando as simulações com forças hidrodinâmicas lineares e não lineares foram comparadas.

Nessas situações, a única diferença perceptível ocorre nas proximidades da velocidade crítica.

No entanto, as significativas diferenças entre os resultados foram notadas ao variarem-

se as condições da força de excitação externa. Para excitação proveniente do

desbalanceamento rotativo, os resultados divergiram totalmente com o aumento da massa de

desbalanceamento, ou seja, o modelo linear apresentou desvios consideráveis em relação ao

modelo não linear. Do mesmo modo, quando modificou-se a força de excitação externa para

uma força harmônica com amplitude e frequência constante, as simulações também

mostraram diferenças significativa entre os modelos, principalmente para a maior amplitude

da força. Nessas situações, tem-se o aumento das amplitudes de vibração, caracterizando um

comportamento predominantemente não linear dos mancais.

Os resultados experimentais relacionadas com essa parte do trabalho mostraram que a

solução dinâmica de rotores, considerando mancais modelados pela equação de Reynolds, se

assemelhou mais à realidade, e que, em situações com alto nível de vibrações, o modelo linear

não é indicado, corroborando com as simulações. Além disso, pôde-se notar que apesar da

amplitude da primeira harmônica possuir valores semelhantes entre os modelos linear e não

161

linear, a ausência de harmônicas de ordem superior no modelo linear faz com que o tamanho e

o formato final da órbita sejam discrepantes quando comparados aos da órbita experimental.

Dessa forma, conclui-se que em situações com altas amplitudes de força de excitação,

que consequentemente geram altas amplitudes de vibração, é indicada a utilização do modelo

não linear de mancais para a correta predição do comportamento dinâmico do rotor.

Porém, devido à solução recursiva da equação de Reynolds para obtenção das forças

hidrodinâmicas, a simulação que leva em conta as não linearidades proveniente dos mancais

sofre com o alto tempo computacional necessário para sua obtenção. Por isso, sugeriu-se a

utilização de uma expressão analítica não linear, obtida a partir de uma expansão em série de

Taylor de alta ordem, para aproximar as forças hidrodinâmicas sem que essas percam suas

características não lineares.

As simulações investigadas indicaram que o uso das forças hidrodinâmicas aproximadas

(solução por coeficientes não lineares) é capaz de reproduzir, de forma eficiente, as forças

hidrodinâmicas calculadas a partir da integração da equação de Reynolds, inclusive para

situações com alto comportamento não linear, como no limiar de instabilidade fluido

induzida, na velocidade crítica, e condições com excitações de elevada magnitude.

Ao aplicar essas forças aproximadas na dinâmica do sistema rotativo, foi observado que

os deslocamentos nodais encontrados conseguiram replicar os movimentos do rotor, quando

levado em conta os mancais modelados por Reynolds, superando a representatividade

encontrada com o modelo linear. Algumas diferenças são percebidas em situações extremas,

onde foi necessário utilizar um parâmetro de regularização maior. Porém essas situações não

são comuns na realidade. Além do mais, os coeficientes não lineares foram utilizados para

representar situações diferentes das quais foram ajustados, situações essas representadas pela

inserção de uma força externa não considerada a princípio.

Os testes experimentais realizados para validar os coeficientes não lineares, indicaram

que as respostas obtidas através dos coeficientes não lineares estavam em boa concordância

quando esses foram utilizados para simular o caso sem controle, sendo que algumas

discrepâncias presentes foram devido à presença de efeitos, como desalinhamento e

empenamento, que não eram contemplados no modelo numérico do rotor. Ao se tratar do caso

com controle, foi possível inferir que as respostas encontradas possuíam uma

representatividade aceitável, podendo ser usadas para análises preliminares.

Assim, conclui-se que o uso de coeficientes não lineares é indicado para representar as

forças hidrodinâmicas, uma vez que reduz o tempo de simulações, em torno de 15h para cerca

de 5 minutos em um computador com processador Intel I7-4790 3.6GHz e 16GB de memória

162

Ram, e gera respostas confiáveis até em situações com alta não linearidade e para rotores

flexíveis.

Uma vez comprovada a influência da presença da não linearidade dos mancais no

comportamento dinâmico de rotores, foi desenvolvido um método para balanceamento de

rotores, que não necessita da utilização de massa de triagem, utilizando para isso somente as

informações da vibração do rotor na velocidade de análise, para as posições dos mancais.

Uma primeira validação através da utilização de um sinal numérico acrescido de ruído

para simular o sinal experimental foi feita. Além disso, a identificação dos parâmetros do

desbalanceamento foi realizada para os modelos de rotor utilizando mancais lineares e não

lineares (coeficientes não lineares). Os resultados encontrados sugeriram que o método

proposto pode ser utilizado para a identificação, e posterior balanceamento, de rotores.

O desempenho da identificação utilizando os coeficientes não lineares foi superior ao da

identificação com coeficientes lineares, uma vez que esse modelo consegue representar

melhor o comportamento geral do rotor. Nessa situação o balanceamento realizado através do

modelo não linear tem uma efetividade de 96% enquanto que o do modelo linear 73%, sendo

que a amplitude do rotor balanceado com o modelo não linear é cerca de 86% menor que a do

rotor balanceado com o modelo linear.

Utilizando o sinal experimental para a identificação do desbalanceamento, observou-se

a mesma tendência encontrada para os resultados numéricos, ou seja, a identificação levando-

se em conta o modelo de mancal não linear foi mais efetiva. No entanto, devido à presença de

efeitos experimentais não considerados no modelo, além da presença de desbalanceamento

residual, a eficiência da identificação foi inferior à identificação numérica, uma vez que o

modelo numérico deve representar bem o comportamento real para uma boa identificação.

Mesmo assim foi possível obter uma massa de desbalanceamento com erro de 6% em relação

à original, sendo esse um resultado inicial satisfatório.

Portanto, conclui-se que modelos mais confiáveis de mancais hidrodinâmicos são

importantes para o balanceamento de máquinas rotativas, acarretando em melhoras

expressivas nos níveis de vibração.

163

6.1. Desdobramentos do Trabalho

A partir dos resultados encontrados nesse trabalho é possível dizer que foi desenvolvida

uma simulação numérica capaz de representar, de forma satisfatória, o comportamento de

máquinas rotativas no domínio do tempo com um custo computacional não proibitivo. Além

disso, foi desenvolvido um método de identificação de desbalanceamento, sem necessidade de

massa de triagem, baseado em técnicas de otimização determinísticas, que é promissor, porém

em estado incipiente. Assim, são sugeridas possíveis desdobramentos da pesquisa, assim

como novas etapas para aprimorar os métodos desenvolvidos:

Investigação do efeito não linear para outras geometrias de mancais hidrodinâmicos,

como por exemplo: mancais elípticos, trilobulares e segmentados, de modo a saber se

apresentam comportamento com maior ou menor grau de não linearidade que o mancal

cilíndrico;

Utilização da técnica de ajuste das forças hidrodinâmicas para modelar as geometrias de

mancais hidrodinâmicas apresentadas no item anterior, além da aplicação dessa técnica

para rotores mais complexos;

Investigação do uso de outros tipos de expansão para o ajuste das forças

hidrodinâmicas, como por exemplo a expansão em série de Fourier;

Nesse trabalho o método de identificação de desbalanceamento foi utilizado de forma a

contemplar apenas uma massa desbalanceada. No entanto, aumentando o número de

massas desbalanceadas contempladas é possível representar melhor o desbalanceamento

ao longo do rotor. Assim, é interessante expandir o método para contemplar mais de

uma massa de desbalanceamento por identificação, o que pode melhorar o posterior

balanceamento do sistema;

Também para o método de identificação, o vetor da DFT foi utilizado para determinar a

função objetivo. Porém, nessa abordagem, pode-se estar ajustando valores residuais que

atuam de forma negativa para a correta identificação do desbalanceamento. Assim, é

sugerido um novo estudo utilizando somente as harmônicas mais importantes do

espectro de frequências como 1x, 2x e 3x;

164

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