Sistemas Reparáveis - TécnicasNão-Paramétricas

Enrico A. Colosimo

Colaboração: Fátima Pontel

Programa de Pós-Graduação em Estatística - UFMG

Sistemas Reparáveis

I Objetivo Principal(?) do Estudo: verificar tendência do(s)sistema(s).

I REPARO MíNIMO: voltar a condição de "tão ruimquanto velho".

I Processo de Renovação: voltar a condição de "tão bomquanto novo".

Verificação de Tendência do Sistema

I Melhorar: tempos entre falhas estão aumentando aolongo do acompanhamento.

I Estável: sem tendência (Processo de PoissonHomogêneo).

I Piorando: tempos entre falhas estão diminuindo ao longodo acompanhamento.

I Combinação de condições!!

Verificação de Tendência do Sistema

1. Técnicas Gráficas:I MCF (Mean Cumulative Function):

Λ(t) = E (N(t)) (1)

I TTT plot (gráfico de Tempo Total sob Teste)

2. Testes Estatísticos: H0: PPH vs H1: PPNHI LaplaceI Militar

OBS.: todos estão bem definidos para um sistema.

Formas de Coleta de Dados

1. Truncamento por Tempo:I Tempo de acompanhamento fixo: tI Número de falhas é aleatório.

2. Truncamento pelo Número de Falhas:I Número de falhas fixo: k .I tk é aleatório.

OBS.: Técnicas estatísticas apresentam formas similares paraas duas formas de coleta de dados.

Técnicas Não-Paramétricas para um ÚnicoSistema: Técnicas Gráficas

I MCF (Mean Cumulative Function):

Λ̂(t) =k∑

i=1

I (ti < t)

Interpretação: convexo: piorando; côncavo: melhorando;reta: sem tendência.

I TTT plot (gráfico de Tempo Total sob Teste):gráfico de i/k vs ti/tk

Interpretação: côncavo: piorando; convexo: melhorando; reta:sem tendência.

Técnicas Não-Paramétricas para um ÚnicoSistema: Testes Estatísticos

H0: PPH vs H1: PPNH

1. Teste Laplace:I Truncamento por Falha

condicional a Tk = t

S =k−1∑i=1

ti

tem sob H0 uma distribuição U(0, t). Então

L =S/(k − 1)− t/2t/

√12(k − 1)

tem sob H0 uma distribuição N(0, 1).

Técnicas Não-Paramétricas para um ÚnicoSistema: Testes Estatísticos

H0: PPH vs H1: PPNH

I Truncamento por Tempocondicional a K = k

S =k∑

i=1

ti

eL =

(S/k)− t/2t/

√12(k)

tem sob H0 uma distribuição N(0, 1).

Técnicas Não-Paramétricas para um ÚnicoSistema: Testes Estatísticos

H0: PPH vs H1: PPNH

2 Teste Militar:I Truncamento por Falha

M = 2 ∗k−1∑i=1

log(tk/ti )

tem sob H0 uma distribuição qui-quadrado com 2(k − 1)graus de liberdade.

Técnicas Não-Paramétricas para um ÚnicoSistema: Testes Estatísticos

H0: PPH vs H1: PPNH

I Truncamento por Tempo

M = 2 ∗k∑

i=1

log(tk/ti)

tem sob H0 uma distribuição qui-quadrado com 2k grausde liberdade.

OBS.: Vários autores estudaram poder e propuseram outrostestes para a hipótese de PPH. Veja, por exemplo, Bain ecolaboradores (1985, 1991).

Técnicas Não-Paramétricas para mais de Sistema(iid): Técnicas Gráficas

I MCF (Mean Cumulative Function):

Λ̂(t) =

∑mi=1

∑kij=1 I (tij < t)∑m

i=1 I (ti < t)

I TTT plot (gráfico de Tempo Total sob Teste):

Técnicas Não-Paramétricas para mais de Sistema(iid): Técnicas Gráficas

I MCF (Mean Cumulative Function):

V̂ar(Λ̂(t) =

∑mi=1(Ni(t)− Λ̂(t))2

m − 1

I Construção de IC (pode dar valores negativos).Transformação: Cook e Lawless (2007)