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Sistemas p-Fuzzy Aplicados às Equações Diferenciais Parciais

Sistemas p-Fuzzy Aplicados às EquaçõesDiferenciais Parciais

Daniela Portes Leal FerreiraUniversidade Federal de Uberlândia

17 de Julho de 2012

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Sumário

Introdução.Objetivos.Exemplos de Sistemas p-Fuzzy aplicados às EDPs.Sistemas Fuzzy e p-Fuzzy Aplicados ao Estudo daLuminescência e da Potência de Íons de Neodímio.Conclusão.Referências Bibliográficas.

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Introdução

Modelos de Equações Diferenciais (Ordinárias ou Parciais)utilizando parâmetros ou condições iniciais obtidos atravésde um SBRF.

EDOs são substituídas por um Sistema Baseado emRegras Fuzzy (SBRF)- Sistemas Parcialmente Fuzzy.

Estes sistemas são obtidos utilizando a solução dasEquações Diferenciais Ordinárias (analítica/ Numérica).Foram construídos utilizando o método de inferência deMamdani.

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Introdução

Sistemas Parcialmente Fuzzy (p-Fuzzy)

A relação das variações com as variáveis é descrita pormeio de regras fuzzy em vez de equações.

dy

dt

dx

dtx(ti)

y(ti)

SBRF

y(ti−1) +

∫ti

ti−1

dy

dt(s)ds

x(ti−1) +

∫ti

ti−1

dx

dt(s)ds

SBRF

x

t

y(xi(t)) = y(xi−1(t)) +

∫xi

xi−1

∂y

∂s(s, t)ds

∂y

∂x(x, t)

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Objetivo

Objetivos Específicos

Aplicar os Sistemas p-Fuzzy ao estudo das EDPsutilizando dados obtidos a partir da equação ou daaproximação da solução da ED.Aplicar os Sistemas p-Fuzzy ao estudo de EDPs utilizandodados obtidos experimentalmente.

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Objetivo

A Figura apresenta a metodologia proposta para a soluçãode equações diferenciais.

SBRFVARIÁVEIS DEENTRADA

VARIAÇÕES

MÉTODO NUMÉRICO

ANFIS

DADOS (Derivadas obtidas a partir da solução numérica ou

experimentalmente)

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Objetivo

Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System - ANFIS

É uma rotina de treinamento de sistemas de inferênciafuzzy do tipo Sugeno, que utiliza um algoritmo deaprendizagem para identificar, a partir de um conjunto dedados, as funções de pertinência e os parâmetros dosistema baseado em regras fuzzy tipo SugenoConsiderando x e y como variáveis de entrada, a funçãoANFIS determina os parâmetros p , q e r do consequentedas regras “Se... então...” que é um polinômio da formaf (x , y) = px + qy + r .

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Objetivo

Método de Inferência de Kang-Takagi-Sugeno

No método de inferência de Kang-Takagi-Sugeno oconsequente de cada regra é dado por uma função dosvalores de entrada desta regra. No caso dessas funçõesserem lineares afins o método é comumente chamado deTakagi-Sugeno.Neste método a saída gerada pela máquina de inferênciaé um número real sendo, portanto, desnecessária aDefuzzificação da saída.

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Exemplos de Sistemas p-fuzzy aplicados às EDPs

Sistemas p-Fuzzy aplicados às EDPs Elípticas:Temperatura de uma Placa

Considere uma placa retangular de prata de 6 × 5 cm tem calor sendo geradouniformemente em todos os pontos, com uma taxa q = 1.5cal/cm3. Suponhaque a temperatura ao longo das bordas se mantenha nas seguintestemperaturas:

u(x , 0) = x(6 − x), u(x , 5) = 0, 0 ≤ x ≤ 6.

u(0, y) = y(5 − y), u(6, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 5.

onde a origem se encontra em um dos cantos da placa com as coordenadas (0,0) e asbordas se posicionam ao londo dos eixos positivos x e y . A temperatura de estadoestável u(x , y) satisfaz a equação de Poisson:

∂2u∂x2 (x , y) +

∂2u∂y2 (x , y) =

qK

, 0 < x < 6, 0 < y < 5.

onde K , a condutividade térmica é 1.04cal/cm.oC.s.

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Temperatura de uma Placa

∂u∂x

é a saída do SBRF.

Dados para a construção do sistema p-fuzzy foram obtidosutilizando diferenças finitas.

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Solução Numérica x Solução p-Fuzzy

01

23

45

6 0

1

2

3

4

5−2

0

2

4

6

8

10

01

23

45

6 0

1

2

3

4

5−2

0

2

4

6

8

10

yx

u(x,

y)

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A aproximação da solução obtida através do modelop-fuzzy e a aproximação numérica obtida a partir dométodo de diferenças finitas, apresentam comportamentossimilares.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2000

4000

6000

8000

10000

12000

|Soluçao por diferenças finitas − Soluçao Modelo p−fuzzy|

Nº d

e po

ntos

da

mal

ha

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Sistemas p-Fuzzy aplicados às EDPs Parabólicas:Modelo Colcha no Varal

Considere uma colcha secando em um varal de nylon com asextremidades fixadas em hastes. A cada tempo t, o pesomodifica-se devido a evaporação ocorrida, o varal juntamentecom a colcha tende a subir, até que esta fique completamenteseca. Este problema pode ser modelado utilizando a EDPparabólica:

yt − αyxx = f (x , t) ∈ R

onde α é uma constante e f é o peso da colcha.

. A função utilizada como variação do peso dependendo daevaporação é dada por: f = r − y onde r é a reta que passa pelasextremidades do varal, e y é a soluçao da equação diferencial.

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Modelo Colcha no Varal

Arquitetura do Sistema p-Fuzzy

SBRF

x

t

y(xi(t)) = y(xi−1(t)) +

∫xi

xi−1

∂y

∂s(s, t)ds

∂y

∂x(x, t)

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Funções de Pertinência.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Fun

ções

de

Per

tinên

cia

PP P M G GG

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xF

unçã

o de

Per

tinên

cia

PP P M G GG

Base de Regras

1. Se t é muito pequeno e x é muito pequeno então∂y

∂x=0.0000563t − 13.45x − 0.00692.

2. Se t é muito pequeno e x é pequeno então∂y

∂x= 0.19577t − 13.258x + 16.248.

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Resultados Obtidos Utilizando Sistemas p-fuzzy

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

x

y

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0,0045

0,005

Tempo

Máx

imo

da D

iscr

epân

cia

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Modelo Poluição do Ar

O fenômeno de poluição do ar é modelado pela equaçãodiferencial parcial:

∂u∂t

− α

(∂2u∂x2 +

∂2u∂y2

)+ v1

∂u∂x

+ σu = f (1)

onde u(x , y , t) é a concentração do poluente no instante tna posição (x , y), α representa a dispersão na área, v1 avelocidade de transporte, σ representa o decaimento e frepresenta a fonte de poluente.

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Arquitetura do Sistema p-fuzzy

SBRF

x

t

y∂u

∂x(x, y, t)

u(xi, y, t) = u(xi−1, y, t) +

∫xi

xi−1

∂u

∂s(s, y, t)ds

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Funções de PertinênciaFunções triangulares com nove termos linguísticos para a variável tempo, cinco

termos linguísticos para as variáveis x e y .

Base de RegrasSe t é “proximo de zero” e x é “muito pequeno´´ e y é “muito pequeno” então

ux = −0.01613t + 0.1218x + −0.1196y − 0.01759.

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Resultados Obtidos utilizando o Sistema p-Fuzzy

0

0.5

1

1.5

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.005

0.01

0.015

xy

u(x

,y)

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Sistemas Fuzzy Aplicados ao Estudo da Luminescência de Íons de Neodímio

Luminêscencia

Íons de Neodímio:Podem ser utilizados como amplificadores ópticos em fibras ópticas.

Objetivo:Estudar a Luminescência para determinar a concentração de íons de Neodímio

mais adequada para que haja maior migração de fótons entre eles,

caracterizando-os como amplificadores ópticos.

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Experiência:Um feixe de laser que focalizado em um micro ponto na superfície da amostra vítrea

excita os íons emitindo fótons (luz) que se difundem criando uma área luminescente

na amostra.

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Luminescência

Equação do Modelo

L2 1r

∂

∂r(r

∂n(r)∂r

) + n(r) = −G0δ(r) (2)

n(r) é a função densidade de fótons,

G0 é uma constante relacionada à intensidade da excitação dolaser,

L =√

Dτ é o comprimento de difusão,

D a constante de difusão,

τ o tempo de vida,

δ(r) é a função de Dirac.

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Luminescência

A solução analítica para a equação(2) é dada por uma funçãode Bessel Modificada de ordem zero.Considerando pontos afastados do laser de excitação:

n(r) = n01√

rL

exp(− rL). (3)

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Modelos para a Luminescência utilizando SistemasBaseados em Regras Fuzzy

Construir modelos utilizando SBRF que permitam o cálculo deaproximações para a luminescências nos pontos próximos do laserde excitação.

Arquitetura:

ANFIS

VARIÁVEIS DEENTRADA

(posição na amostravítrea)

Dados Obtidos Experimentalmente(Luminescência em cada ponto da amostra vítrea)

LUMINESCÊNCIASBRF

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Modelos para a Luminescência Utilizando SistemasBaseados em Regras Fuzzy

A luminescência detectada foi produzida pela presença dosíons de Neodímio (Nd3+) com emissão em torno de 880 nm(nanômetro,10−9m), 1060 nm e 1330 nm.

Luminescência para as emissões 880nm, 1060nm e 1330nm,respectivamente.

25 30 35 40 45 50 55 60 65 7030

4050

60700.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xy

L(x,

y)

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

3040

5060

700.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

L(x

,y)

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

3040

5060

700.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xy

L(x

,y)

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Modelos para a Luminescência Utilizando SistemasBaseados em Regras Fuzzy

Funções de PertinênciaFunções de pertinências Triangulares com cinco termos linguísticos: “muitíssimo

pequeno” (PP), “muito pequeno” (MP), “pequeno” (P), “médio”(M), “grande” (G),

“muito grande” (MG) e “muitíssimo grande” (GG).

Exemplo de Regra (emissão 880nm).“Se x é PP e y é PP então L(x , y) = 0.0115x − 0.006y − 0.0099”.

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Resultados Obtidos utilizando os SBRFs

Aproximações para a luminescência nos pontos da amostravítrea, obtidas pelo SBRF, para as emissões 880nm, 1060nm e1330nm, respectivamente.

3040

5060

70

3040

5060

700.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xy

L(x,

y)

3040

5060

70

3040

5060

700.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xy

L(x,

y)

30 35 40 45 50 55 60 65

304050

60700.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xy

L(x

,y)

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Projeções das soluções no plano para as emissões 880nm,1060nm e 1330nm, respectivamente.

30 35 40 45 50 55 60 65 7030

35

40

45

50

55

60

65

70

x

y

30 35 40 45 50 55 60 65 7030

35

40

45

50

55

60

65

70

x

y

30 35 40 45 50 55 60 65 7030

35

40

45

50

55

60

65

70

x

y

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A emissão de 880nm proporciona uma maior difusão de fótons nospontos da amostra vítrea. Este resultado é compatível com osresultados encontrados na literatura.

A diferença absoluta entre os valores obtidos experimentalmente eos valores obtidos através dos modelos fuzzy para a emissão 880nm.

3040

5060

70

3040

5060

700.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xy

L(x,

y)

Dados ExperimentaisDados Modelo Fuzzy

0 50 100 150 200 250 3000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

Pontos da Malha

Dis

crep

ânci

a

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Sistema p-fuzzy Aplicado ao Cálculo do Valor daPotência

A potência de emissão nos pontos do plano na superfície da amostravítrea é modelada pela equação diferencial parcial dada por:

∂2u∂x∂y

− L = 0.

Arquitetura do Sistema p-Fuzzy

ANFIS

SBRFVARIÁVEIS DEENTRADA

∂2u /∂x ∂y

DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE(Derivadas Parciais obtidas experimentalmente)

MÉTODO NUMÉRICO(Integração Simpson)

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Resultados Obtidos utilizando os Sistemas p-Fuzzy

Aproximações para a Potência nos pontos da amostra vítrea,obtidas pelo SBRF, para as emissões 880nm, 1060nm e1330nm, respectivamente.

3040

5060

70

3040

5060

700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

xy

u(x,

y)

3040

5060

70

3040

5060

700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

xy

u(x,

y)

3040

5060

70

3040

5060

700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

xy

u(x,

y)

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Resultados Obtidos utilizando os Sistemas p-Fuzzy

Luminescência em função da potência para as emissões880nm, 1060nm e 1330nm.

0.348 0.35 0.352 0.354 0.356 0.358

0.54

0.542

0.544

0.546

0.548

0.55

0.552

0.554

0.556

0.558

0.56

Potência

Lum

ines

cênc

ia

L = 1.5439u + 0.0067 (emissão 880 nm)L = 1.5490u + 0.0042 (emissão 1060 nm)L= 1.5511u + 0.0035 (emissão 1330 nm)

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Interface Gráfica

34 / 36


Conclusão

Os sistemas p-fuzzy mostraram resultados compatíveis aos obtidosnumericamente na solução de equações diferenciais parciaiselípticas e parabólicas com evolução no tempo confirmando aaplicabilidade e viabilidade do método proposto.

A aplicação deste método na modelagem da luminescênciademonstra o potencial dos sistemas p-fuzzy e SBRF na modelagemde fenômenos descritos por equações diferenciais parciais.

Dispensou o equacionamento dos fenômenos estudados.

Possibilitou o cálculo da luminescência e da potência nospontos próximos do laser

A aplicabilidade dos sistemas fuzzy e p-fuzzy na modelagem dedados obtidos experimentalmente.

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Referências Bibliográficas

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FERREIRA, D. P. L.; JAFELICE, R. M.; SERQUEIRA, E. O.; Using Fuzzy System in the Study of Luminescense andPotency of Neodymium Ions, Applied Optics, 2012.(aceito)

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FERREIRA, D. P. L.; JAFELICE, R. M; SERQUEIRA, E. O. Sistemas Fuzzy Aplicados ao Estudo da Luminescênciade Íons de Neodímio, Congresso de Matemática Aplicada e Computacional da Região Sudeste, CMAC-SE, 2011.

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