sistemas de potencia 143p

AAnnáálliissee ddee SSiisstteemmaass ddee PPoottêênncciiaa

Profª. Carmen Lucia Tancredo Borges

Edição: Prof. Sergio Sami Hazan Leonardo Ney de A. Guerra

EE - UFRJ Departamento de Eletrotécnica

Março 2005

PROGRAMA 1. Modelos de Redes de Potência em Regime Permanente

1.1.Modelos dos Componentes de Redes. 1.2.Equações nodais. 1.3.Matrizes de admitância e impedância nodal. 1.4.Métodos de modificação e redução dos modelos das redes.

2. Estudos de Fluxo de Potência 2.1.Formulação do problema. 2.2.Métodos de solução: Gauss-Seidel, Newton-Raphson, Desacoplado Rápido e

Linearizado. 2.3.Utilização do fluxo de potência: controle do fluxo de potência ativa, controle

de tensão, etc. 3. Estudos de Estabilidade

3.1.Tipos de estudos de estabilidade. 3.2.Modelos de geradores e cargas; equações de oscilação. 3.3.Estabilidade em regime permanente: coeficiente de sincronização. 3.4.Estabilidade transitória: critério de áreas iguais; solução numérica da equação

de oscilação; introdução ao estudo de sistemas multimáquinas. 4. Programação da Geração

4.1.Operação ótima de geradores ligados a uma barra. 4.2.Programação ótima da geração em sistemas térmicos; fórmula de perdas. 4.3.Introdução à programação ótima de geração em sistemas hidrotérmicos.

Bibliografia

1. John J. Grainger e William D. Stevenson, Power System Analysis, Mc Graw-Hill Ed., 1994.

2. W.D. Stevenson Jr., Elements of Power System Analysis, 4th Edition, McGraw-Hill,

1982 [Tradução, 2º edição] (Cap. 7, 8, 9 e 14). 3. O. Elgerd, Electric Energy System Theory: An Introduction, McGraw-Hill, 1971

(Cap. 7, 8 e 12). 4. A. Monticelli, Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica, Edgar Blucher, 1983

(Cap. 1-6).

Índice

Capítulo 1 – Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência ......................................... 5

1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência ......................................................................... 5

1.2 – Modelos da linha de transmissão............................................................................................. 5 1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)................................................................................................... 5 1.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km).............................................................................. 6 1.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km) ...................................................................................... 7

1.3 – Modelo do transformador ....................................................................................................... 8 1.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos ........................................................................... 8 1.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos............................................................................ 9 1.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos. ..................................... 11 1.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi .................................................. 12

1.4 – Modelo do gerador ................................................................................................................14

1.5 – Modelo da carga ....................................................................................................................14 1.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência ............................................................................. 14 1.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade ..................................................................... 14 1.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito................................................................... 15 1.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP...................................................................................... 15

Capítulo 2 – Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente .........................................................16

2.1 – Objetivo ................................................................................................................................16

2.2 – Tipos de representação ..........................................................................................................16

2.3 –Equações nodais .....................................................................................................................16 2.3.1 – Equivalência de fontes................................................................................................................... 16 2.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias ........................................................ 17 2.3.3 – Características de YBARRA .............................................................................................................. 19 2.3.4 – Características de ZBARRA............................................................................................................... 19 2.3.5 – Interpretação física dos elementos de YBARRA e ZBARRA ................................................................ 21

2.3.5.1 – Elementos de YBARRA...............................................................................................22 2.3.5.2 – Elementos de ZBARRA ...............................................................................................22

2.4 – Redução da rede ....................................................................................................................25 2.4.1 – Objetivo ......................................................................................................................................... 25 2.4.2 – Eliminação de barra ....................................................................................................................... 25

2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente .............................................25 2.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente ..............................29

2.4.3 – Equivalentes de rede...................................................................................................................... 32

2.5 – Montagem da matriz YBARRA com elementos acoplados ..........................................................32

2.6 – Modificação da matriz admitância de barra ............................................................................35

2.7 – Montagem e Modificação da matriz impedância de barra .......................................................35 2.7.1 – Modificação direta da matriz impedância de barra........................................................................ 35

2.7.1.1 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a referência ...........................................36 2.7.1.2 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a barra existente k .................................37 2.7.1.3 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a referência .....................................37 2.7.1.4 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a barra existente j ............................38

2.7.2 – Montagem direta da matriz impedância de barra........................................................................... 40 2.7.3 – Exclusão de um elemento de impedância zb da matriz ZBARRA...................................................... 42 2.7.4 – Modificação do valor da impedância que liga duas barras............................................................ 42

2.8 – Obtenção dos elementos da coluna da matriz impedância de barra a partir da matriz admitância de barra..........................................................................................................................................42

2.8.1 – Obtenção de uma coluna da matriz impedância de barra .............................................................. 42

Análise de Sistemas de Potência

2

2.8.2 – Obtenção da diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra.................................... 43

Capítulo 3 – Fluxo de Potência ...........................................................................................................45

3.1 – Introdução .............................................................................................................................45 3.1.1 – Dados de entrada ........................................................................................................................... 45 3.1.2 – Condição de geração e carga ......................................................................................................... 45

3.1.2.1 – Geração...................................................................................................................45 3.1.2.2 – Carga ......................................................................................................................45

3.1.3 – Restrições operativas ..................................................................................................................... 45 3.1.4 – Dispositivos de controle ................................................................................................................ 45 3.1.5 – Solução da rede.............................................................................................................................. 45 3.1.6 – Aplicações...................................................................................................................................... 46 3.1.7 – Modelo da rede .............................................................................................................................. 46 3.1.8 – Modelo matemático do fluxo de potência...................................................................................... 46 3.1.9 – Métodos de solução ....................................................................................................................... 46

3.1.9.1 – Métodos baseados em YBARRA..................................................................................46 3.1.9.2 – Métodos baseados em ZBARRA ..................................................................................47 3.1.9.3 – Método de Newton-Raphson ...................................................................................47 3.1.9.4 – Métodos desacoplados.............................................................................................47 3.1.9.5 – Fluxo de potência linear ..........................................................................................47

3.2 – Formulação do problema de fluxo de potência em variáveis complexas ..................................47 3.2.1 – Equações do fluxo de potência em variáveis reais e na forma polar ............................................. 48 3.2.2 – Conceito de barra flutuante ou swing ou slack.............................................................................. 51 3.2.3 – Tipos de barras............................................................................................................................... 51

3.2.3.1 – Barra flutuante ou swing ou slack ou Vθ .................................................................51 3.2.3.2 – Barra de carga ou PQ ..............................................................................................51 3.2.3.3 – Barra de tensão controlada ou PV............................................................................51

3.2.4 – Sistema de equações do fluxo de potência .................................................................................... 51 3.2.4.1 – Subsistema 1 ...........................................................................................................52 3.2.4.2 – Subsistema 2 ...........................................................................................................52

3.3 – Fluxo de Potência pelo Método de Gauss-Seidel ....................................................................53 3.3.1 – Revisão do método de Jacobi ........................................................................................................ 53 3.3.2 – O método de Gauss-Seidel ............................................................................................................ 54 3.3.3 – Critério de convergência do método de Gauss-seidel.................................................................... 55 3.3.4 – Fórmula geral do método de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potência .................................... 55 3.3.5 – Melhoria do método de Gauss-Seidel............................................................................................ 55 3.3.6 – Tratamento no caso de existir barra PV......................................................................................... 55

3.4 – Fluxo de potência pelo Método de Newton-Raphson ..............................................................58 3.4.1 – Revisão do método no caso monovariável, f(x) = 0 ...................................................................... 58 3.4.2 – Revisão do método no caso multivariável, F(x) = [0] ................................................................... 59 3.4.3 – Aplicação do método de Newton-Raphson na solução do fluxo de potência ................................ 59 3.4.4 – Matriz jacobiana geral ................................................................................................................... 60 3.4.5 – Matriz Jacobiana aplicada à solução do fluxo de potência............................................................ 60 3.4.6 – Algoritmo da Solução do Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson: ......................... 61 3.4.7 – Elementos das submatrizes H, N, M, L do Jacobiano ................................................................... 63 3.4.8 – Estrutura do jacobiano................................................................................................................... 63

3.5 – Expressões do fluxo de potência ativa e reativa nos diversos ramos e shunts ..........................67 3.5.1 – Linha de transmissão média ou longa............................................................................................ 67 3.5.2 – Linha de transmissão curta ............................................................................................................ 69 3.5.3 – Transformador ............................................................................................................................... 70 3.5.4 – Elementos shunt............................................................................................................................. 71

3.6 – Fluxo de potência pelo Método Desacoplado Rápido .............................................................76 3.6.1 – Fluxo de potência pelo Método de Newton desacoplado .............................................................. 76 3.6.2 – Considerações sobre as matrizes H e L do método de Newton desacoplado................................. 76 3.6.3 – Formulação final do método Desacoplado Rápido........................................................................ 77 3.6.4 – Artifícios matemáticos para melhorar o desempenho do método desacoplado rápido na presença de ramos com elevada relação r/x.............................................................................................................. 83


3

3.6.4.1 – Artifício da compensação ........................................................................................83 3.6.4.1.1 – Compensação série...........................................................................................83 3.6.4.1.2 – Compensação paralela ......................................................................................83

3.6.4.2 – Método BX de van Amerongen................................................................................83 3.6.4.3 – Esquema iterativo flexível .......................................................................................83

3.7 – Fluxo de potência linearizado ou fluxo de potência DC..........................................................84 3.7.1 – Simplificações propostas ............................................................................................................... 84 3.7.2 – Desprezando as perdas do sistema................................................................................................. 84

3.7.2.1 – Formulação matricial...............................................................................................85 3.7.3 – Considerando as perdas do sistema ............................................................................................... 86

3.7.3.1 – Formulação matricial...............................................................................................88 3.7.3.2 – Metodologia de solução...........................................................................................88

3.7.4 – Resumo do método linearizado ..................................................................................................... 88

3.8 – Utilização do estudo de fluxo de potência. .............................................................................91

3.9 – Controles e Limites ...............................................................................................................94 3.9.1 – Modos de representação ................................................................................................................ 94 3.9.2 – Ajustes alternados.......................................................................................................................... 94 3.9.3 – Controle de tensão em barras PV .................................................................................................. 95 3.9.4 – Limites de tensão em barras PQ .................................................................................................... 95 3.9.5 – Transformadores em-fase com controle automático de tap ........................................................... 96 3.9.6 – Transformadores defasadores com controle automático de fase.................................................... 97 3.9.7 – Controle de intercâmbio entre áreas .............................................................................................. 98 3.9.8 – Controle de tensão em barras remotas ........................................................................................... 99 3.9.9 – Cargas variáveis com a tensão....................................................................................................... 99

Capítulo 4 – Estabilidade de Sistemas de Potência ............................................................................100

4.1 – Introdução ...........................................................................................................................100

4.2 – Tipos de instabilidade ..........................................................................................................100

4.3 – Tipos de perturbação ...........................................................................................................100

4.4 – Tipos de estudos de estabilidade ..........................................................................................100

4.5 – Conceitos básicos da máquina síncrona................................................................................101 4.5.1 – Princípio de funcionamento......................................................................................................... 101

4.6 – Dinâmica do rotor da máquina síncrona ...............................................................................102 4.6.1 – Equação de oscilação da máquina síncrona................................................................................. 102 4.6.2 – Tipos de estudos .......................................................................................................................... 105

4.7 – Equivalente de máquina ou máquina equivalente .................................................................105 4.7.1 – Valor da constante H na base do sistema ..................................................................................... 105 4.7.2 – Máquinas coerentes ..................................................................................................................... 105 4.7.3 – Máquinas não coerentes............................................................................................................... 106

4.8 – Equação potência-ângulo .....................................................................................................107

4.9 – Conceitos sobre o regime transitório da máquina síncrona ................................................... 112

4.10 – Critério das áreas iguais..................................................................................................... 113 4.10.1 – Potência elétrica transmitida igual a zero durante o curto ......................................................... 113 4.10.2 – Ângulo crítico de eliminação da falta para potência elétrica nula transmitida durante a falta................................................................................................................................................................. 114 4.10.3 – Tempo crítico de eliminação de falta ......................................................................................... 115 4.10.4 – Análise de casos......................................................................................................................... 116 4.10.5 – Ângulo crítico de eliminação da falta com transmissão de potência elétrica diferente de zero durante a falta .......................................................................................................................................... 117

4.11 – Coeficiente de potência sincronizante ................................................................................ 119 4.11.1 – Análise da equação de oscilação linearizada ............................................................................. 119 4.11.2 – Análise gráfica da potência elétrica para pequenas oscilações .................................................. 121


4

4.12 – Estudo de estabilidade multi-máquinas ..............................................................................122 4.12.1 – Modelo clássico de estabilidade ................................................................................................ 122 4.12.2 – Etapas do estudo ........................................................................................................................ 123

4.13 – Fatores que afetam a estabilidade do sistema......................................................................125

Capítulo 5 – Operação Econômica de Sistemas de Potência ..............................................................126

5.1 – Introdução ...........................................................................................................................126

5.2 – Características das unidades geradoras.................................................................................126

5.3 – Operação Econômica de Sistemas de Potência - problema da programação da geração .........127 5.3.1 – Sistema térmico ........................................................................................................................... 127 5.3.2 – Sistema hidro-térmico.................................................................................................................. 127

5.4 – Despacho econômico em sistemas térmicos..........................................................................127 5.4.1 – Característica das unidades térmicas convencionais.................................................................... 127 5.4.2 – Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão........................................................... 128

5.4.2.1 – Método dos multiplicadores de Lagrange...............................................................129 5.4.3 – Extensão para o caso de n geradores ........................................................................................... 132 5.4.4 – Consideração de limite na capacidade de geração, sem se considerar as perdas na transmissão 132 5.4.5 – Inclusão das perdas na transmissão ............................................................................................. 137


5

Capítulo 1 Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência 1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência

a) Linha de transmissão; b) Transformador de potência; c) Gerador; d) Carga.

Existe mais de um modelo para cada um dos elementos listados. Para cada tipo de estudo existe um

modelo específico do elemento.

Os modelos apresentados a seguir consideram:

a) A rede em regime permanente; b) O sistema elétrico simétrico e equilibrado, logo somente componentes de seqüência positiva; c) Valores em por unidade.

A Figura 1.1 mostra um pequeno sistema elétrico de potência onde T1 e T2 são transformadores.

Figura 1.1 – Sistema elétrico de potência 1.2 – Modelos da linha de transmissão

O modelo da linha de transmissão depende do comprimento da mesma. A seguir a modelagem de cada um dos três comprimentos típicos. 1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)

Neste caso a capacitância da linha, por ser pequena, é desprezada, sendo a linha representada pelos parâmetros série, ou seja, a resistência e a indutância. A Figura 1.2 mostra o modelo da linha curta.

Figura 1.2 – Modelo da linha curta

G

Linha de transmissão

T1 T2 Gerador

Cargas

jω×LSI& RI&r

SV& RV&


6

Da Figura 1.2 pode-se tirar as seguintes equações:

Ljrz ×+= ω

RS II && = , (1.1)

RRS IzVV &&& ×+= . (1.2) Explicitando-se as variáveis da receptora vem:

SR II && = ,

SSR IzVV &&& ×−= . 1.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km)

Neste caso considera-se a capacitância da linha concentrada em ambas as extremidades da mesma. A linha é representada pelo modelo pi-nominal, mostrado na Figura 1.3.

Figura 1.3 – Modelo da linha de comprimento médio

Da Figura 1.3 pode-se tirar as seguintes equações:

1IzVV RS&&& ×+= ,

RR VyII &&& ×+=21 .

Substituindo-se a corrente 1I& na equação acima e agrupando termos vem:

RRS IzVyzV &&& ×+×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+=

21 . (1.3)

SS VyII &&& ×+=21 .

Substituindo-se na equação de SI& a corrente 1I& e a tensão SV& e agrupando termos vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+×+×+= RRRRS IzVyzyVyII &&&&&

21

22,

RRS IyzVyyzI &&& ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×++×

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×=

21

22

2

2

. (1.4)

Explicitando-se as variáveis da receptora, considere o sistema formado pelas Equações 1.3 e 1.4.:

RRS IbVaV &&& ×+×= ,

RRS IdVcI &&& ×+×= .

cbdadcba

×−×==Δ ,

SV&

1I&

z SI& RI&

RV& y/2 y/2


7

SSS

SV IbVd

dIbV

R&&

&

&& ×−×==δ ,

SSS

SI VcIa

IcVa

R&&

&

&& ×−×==δ .

Substituindo-se valores vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+××−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+

×−×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+

=×−××−×

=

yyzzyzyz

IzVyz

cbdaIbVdV

SSSS

R

421

21

21

2

&&&&

& ,

SSR IzVyzV &&& ×−×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+=

21 .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+××−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+

×⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+

=×−××−×

=

yyzzyzyz

VyyzIyz

cbdaVcIaI

SSSS

R

421

21

22

221

2

2&&

&&& ,

SSR IyzVyyzI &&& ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×++×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×−=

21

22

2

2

.

Observação: 1=×−× cbda .

1.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km)

O modelo da linha longa é determinado considerando-se os parâmetros da linha distribuídos, o que resulta em equações diferenciais parciais, as quais são ajustadas a um modelo pi-equivalente, mostrado na Figura 1.4.

Figura 1.4 – Modelo da linha longa

Os valores dos parâmetros da Figura 1.4 estão mostrados a seguir.

llsenhZz eequivalent ×

××=

γγ )(

2)2tanh(

llYy eequivalent ×

××=

γγ

yz×=γ , constante de propagação, lzZ ×= e lyY ×= , onde l é o comprimento da linha.

RI&SI& 1I&

SV& RV& yequivalente/2

zequivalente

yequivalente/2


8

1.3 – Modelo do transformador 1.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos

A Figura 1.5 mostra o modelo completo de um transformador monofásico de dois enrolamentos.

Figura 1.5 – Modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos

A Figura 1.6 mostra o modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos com

todos os parâmetros referidos ao primário, onde a grandeza com primo designa grandeza refletida.

Figura 1.6 – Modelo completo do transformador com parâmetros referidos ao primário

Considerando-se que a corrente de magnetização do transformador é muito menor que a corrente de

carga, e também considerando-se que o transformador é um equipamento de rendimento elevado, maior que 98%, pode-se, sem perda de exatidão, desprezar o ramo paralelo e a resistência série do transformador, resultando no modelo da Figura 1.7, onde 21 'xxxeq += .

Figura 1.7 – Modelo do transformador monofásico desprezando-se o ramo paralelo e a resistência dos

enrolamentos

1I& r1 x1

1V& 2V&

2I& r2 x2

rf xm

1I& r1 x1

1V& 2'V&

2I&r'2 x'2

rf xm

2V&

2I&

1V&

1I& xeq

2'V&2V&


9

1.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos

A Figura 1.8 mostra o esquema de um transformador monofásico de três enrolamentos.

Figura 1.8 – Construção do transformador monofásico de três enrolamentos

Dos ensaios de curto-circuito tem-se:

SPPS xxx '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,

TPPT xxx '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,

TSST xxx '+= , as grandezas base são do enrolamento secundário. Referindo-se todos os parâmetros ensaiados a uma mesma base tem-se PSx , PTx , STx e,

resolvendo-se o sistema de três equações vem que:

)(5,0 STPTPSP xxxx −+×= )(5,0 PTSTPSS xxxx −+×= )(5,0 PSSTPTT xxxx −+×=

A Figura 1.9 mostra o circuito equivalente do transformador de três enrolamentos, onde o ponto de

encontro dos três enrolamentos é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema.

Figura 1.9 – Circuito equivalente de um transformador de três enrolamentos

Exemplo 1.1. Um transformador trifásico de três enrolamentos com tensões 132/33/6,6 kV tem as seguintes

reatâncias em pu, medidas entre enrolamentos e referidas a 30 MVA, 132 kV: 15,0=PSx , 09,0=PTx , 08,0=STx . O enrolamento secundário de 6,6 kV alimenta uma carga balanceada com corrente de

2.000,0 A com fator de potência em atraso de 0,8 e o enrolamento terciário de 33 kV alimenta um reator de 0,50j Ω/fase conectado em estrela. Calcular a tensão no enrolamento primário de 132 kV para que a tensão no enrolamento secundário seja de 6,6 kV.

TV&

PV& SV&

SV& PV&

xP

xS

xT

TV&

P S

T


10

Solução: Na base de 30 MVA e 132 kV vem:

08,0)08,009,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= STPTPSP xxxx pu, 07,0)09,008,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PTSTPSS xxxx pu, 01,0)15,008,009,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PSSTPTT xxxx pu.

Valores base do enrolamento terciário: VB3 = 33 kV, SB3 = 30 MVA, 3,36/ 3

233 == BBB SVZ Ω,

86,524)3( 333 =×= BBB VSI A. Valores base do enrolamento secundário: VB2 = 6,6 kV, SB2 = 30 MVA, 45,1/ 2

222 == BBB SVZ Ω,

32,624.2)3( 222 =×= BBB VSI A. Valores base do enrolamento primário: VB1 = 132 kV, SB1 = 30 MVA, 8,580/ 1

211 == BBB SVZ Ω,

22,131)3( 111 =×= BBB VSI A. Corrente secundária em pu: I2 = 2.000/IB2 = 2.000/2.624,32 = 0,76 pu. O fator de potência é 0,8 em

atraso, 02 87,3676,0 −∠=I& e 000,1 ∠=SV& .

Reatância terciária em pu: x3 = 50,0/36,3 = 1,38 pu. Para se encontrar a solução do exemplo basta agora resolver o circuito equivalente da Figura 1.10

onde todos os valores estão em pu.

Figura 1.10 – Circuito equivalente do transformador de três enrolamentos do Exemplo 1.1

Tomando-se as correntes de malha 1I& e 2I& monta-se o seguinte sistema de equações:

PVIjjIj &&& =−∠−×++× )87,3676,0()38,101,0(08,0 011 ,

0)87,3676,0()38,101,0(0,00,187,3676,007,0 1000 =−−∠×++∠+−∠× Ijjj & .

Agrupando termos vem:

01 13,5306,147,1 ∠=−× PVIj && ,

1000 39,113,5306,10,00,113,5305,0 Ij &×=∠+∠+∠ .

0001 93,6136,19039,1/07,2889,1 −∠=∠∠=I& ,

001 76,413,113,5306,147,1 ∠=∠−×= IjVP&& .

j1,38

TV&

j0,08

j0,07

j0,01

PV&

P S

T

zL

2I&mV&

1I&

3I&

SV&


11

Outro método de solução: O potencial do ponto M é:

2IxVV SSM&&& ×+= ,

04,003,136,203,113,5305,00,187,3676,007,000,1 0000 jjVM +=∠=∠+=−∠×+∠=& . Corrente no enrolamento terciário:

00

00

3 63,8774,09039,137,203,1

38,101,036,203,1

−∠=∠∠

=+∠

=+

=jjxx

VILT

P&

& .

A corrente no enrolamento primário é:

000321 93,6136,120,164,063,8774,087,3676,0 −∠=−=−∠+−∠=+= jIII &&& .

Tensão na reatância de dispersão do enrolamento primário:

001 07,2811,093,6136,108,0 ∠=−∠×=×= jIxV PXP&& .

Tensão nos terminais do enrolamento primário:

°∠=+=∠+∠=+= 76,413,109,013,137,203,107,2811,0 00 jVVV MXPP&&& ,

logo a tensão primária deve ser de 4,14913,1132 =× kV. 1.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos.

A modelagem do transformador trifásico em estudos de curto-circuito é, em geral, diferente da modelagem de três transformadores monofásicos. Na construção do transformador trifásico tipo núcleo envolvido, diferentemente do transformador tipo núcleo envolvente, é suposto que a soma dos fluxos das três fases é instantaneamente nulo, não havendo, portanto caminho de retorno para estes fluxos. Para regime permanente simétrico e equilibrado os modelos são iguais.

Atenção deve ser dispensada com relação à defasagem entre as tensões de linha primária e secundária.

Sob condições balanceadas não existe corrente de neutro, logo os elementos de circuito que por ventura estão conectados ao neutro não são representados no diagrama de impedâncias.

Se o transformador estiver ligado em delta-delta (Δ-Δ) ou estrela-estrela (Y-Y), a modelagem é idêntica ao modelo monofásico.

Se o transformador estiver ligado em estrela-delta (Y-Δ) ou delta-estrela (Δ-Y), existe defasagem de 300 entre as tensões terminais primárias e secundárias.

A norma brasileira diz que, independentemente do tipo da ligação ser Y-Δ ou Δ-Y, as tensões de linha secundárias devem estar atrasadas de 300 em relação às tensões de linha primárias.

A Figura 1.11 mostra um transformador trifásico Y-Δ com relação de transformação monofásica N1:N2. Determinação do ângulo das tensões de linha na ligação Y-Δ, seqüência de fase abc. É suposto que o lado estrela seja o enrolamento primário.

Figura 1.11 – Transformador Y-Δ e diagramas fasoriais das tensões terminais

abV&

bcV&

caV&

ANV&

CNV&

BNV&

ABV&

A

B

C

a

b

c

N

N1:N2

N1:N2

N1:N2


12

A Figura 1.11 mostra que as tensões ANV& , BNV& , CNV& do lado Y estão em fase com as tensões abV& ,

bcV& , caV& do lado delta, respectivamente. Relação de transformação monofásica: N1:N2. Relação de transformação das tensões de linha N1 Y-Δ N2; 0

20

1 0:303 ∠+∠× NN .

Se ANV& está em fase com abV& , 0303 +∠×= ANAB VV && ,

1

2

NNVV ANab ×= && ,

0

2

1 303+∠

××=

NNVV abAB

&& ,

0

1

2 303

−∠×

×=N

NVV ABab&& .

A Figura 1.12 mostra o modelo do transformador em pu escolhendo-se as bases de tensão com a

mesma relação de transformação das tensões de linha.

Figura 1.12 – Transformador trifásico Y-Δ e seu modelo equivalente em pu

Da Figura 1.12 vem:

021 30∠=VV && ,

2

1)(

2

)(1 3

NN

VV

base

base ×= ,

eqx do modelo do transformador trifásico em pu não muda com o tipo de ligação do transformador trifásico, pois esta reatância vem do ensaio em curto. 1.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi

LTC: load tap change ou TCAT: transformador com comutação automática de tape. O tape passa a ser uma variável do modelo. A admitância do modelo pode ser colocada do lado unitário ou do lado do tape. Assume-se que o valor da admitância não varia com a posição do tape.

A Figura 1.13 representa um transformador com comutação automática de tape com relação 1:t. A seguir a dedução do modelo equivalente do TCAT a partir da Figura 1.13, que será igualado ao circuito pi da Figura 1.14, onde A, B e C são admitâncias.

Figura 1.13 – Diagrama esquemático de um transformador com tape

1:t iV&

jV&

iI& kI&

y

jI& kV&

1V&Y-Δ

2V&

xeq

2V& 1V&


13

tVV

j

i 1=

&

&, ij VtV && ×= .

)()( kikjk VVtyVVyI &&&&& −××=−×= ,

kik VyVytI &&& ×−××= . (1.5)

tII

j

i =&

&, kj II && = , logo ki ItI && ×= .

Substituindo-se nesta equação o valor de kI& da Equação 1.5 vem:

kii VytVytI &&& ××−××= 2 . (1.6)

Figura 1.14 – Modelo pi de um circuito elétrico genérico

Equações do modelo pi da Figura 1.14. )(1 ki VVAI &&& −×= ,

kk VCII &&& ×−= 1 , kkik VCVAVAI &&&& ×−×−×= ,

kik VCAVAI &&& ×+−×= )( . (1.7)

1IVBI ii&&& +×= , kiii VAVAVBI &&&& ×−×+×= ,

kii VAVBAI &&& ×−×+= )( . (1.8) Igualando-se as equações (1.5, 1.7) e (1.6, 1.8) vem:

Ayt =× , ytCCytyCAy ×−=⇒+×=→+= )1( ,

yttBytytBAytBBAyt ×−=⇒×−×=→−×=→+=× )( 2222 . O modelo pi do transformador com tape está mostrado na Figura 1.15.

Figura 1.15 – Modelo pi do transformador com tape 1:t

Se 1=t , ou seja, se o transformador está operando na relação nominal, o circuito equivalente se

reduz ao modelo conhecido, como mostrado na Figura 1.16, onde zy 1= .

Figura 1.16 – Circuito equivalente do transformador com tape para 1=t

1I&

C B

A iV& kV&

kI&iI&

1I&iI&

(1–t)×y (t2–t)×y

t×y iV& kV&

kI&

SV&y

SI& RI&

RV&


14

1.4 – Modelo do gerador

A Figura 1.17 mostra o modelo do gerador síncrono de rotor cilíndrico (pólos lisos).

Figura 1.17 – Modelo do gerador de rotor cilíndrico

ra = resistência da armadura, XS = reatância síncrona, que é a soma da reatância Xa , devido a reação da armadura e da reatância

Xl devido a dispersão. Pode-se desprezar a resistência da armadura nas máquinas em que a resistência da armadura é

muito menor que XS. Regime permanente: SX , Regime transitório ou dinâmico: reatância transitória (x'd) ou sub-transitória (x''d).

1.5 – Modelo da carga

A representação da carga depende muito do tipo de estudo realizado. A carga pode ser representada por potência constante, corrente constante ou impedância constante. É importante que se conheça a variação das potências ativas e reativas com a variação da tensão. Em uma barra típica a carga é composta de motores de indução (50 a 70%), aquecimento e iluminação (20 a 30%) e motores síncronos (5 a 10%). Embora seja exato considerar as características PV e QV de cada tipo de carga para simulação de fluxo de carga e estabilidade, o tratamento analítico é muito complicado. Para os cálculos envolvidos existem três maneiras de se representar a carga. 1.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência

A Figura 1.18 mostra a representação da carga como potência ativa e reativa constantes.

Figura 1.18 – Representação da carga com potência constante para estudo de fluxo de potência 1.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade

Neste caso a atenção não é com a dinâmica da carga, mas sim com a dinâmica do sistema. Por esta razão a carga é representada por impedância constante como mostra a Figura 1.19.

Figura 1.19 – Representação da carga para estudo de estabilidade com impedância constante

PL + jQL

k

z

k

tV&E&

jXS ra

∼


15

1.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito

Cargas estáticas e pequenas máquinas são desprezadas. Somente as máquinas de grande porte contribuem para o curto, logo apenas estas máquinas são consideradas. 1.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP

Neste modelo parte da carga é representada por impedância constante, parte da carga é representada por corrente constante e parte da carga é representada por potência constante.

Carga = ctectecte PIZ ++ , )min(2 )( alno

piz PpVpVpP ×+×+×= , 0,1=++ piz ppp ,

onde: pz é a parcela da carga representada como Z constante, pi é a parcela da carga representada como I constante, pp é a parcela da carga representada como P constante.

)min(2 )( alno

piz QqVqVqQ ×+×+×= , 0,1=++ piz qqq ,

onde: qz é a parcela da carga representada como Z constante, qi é a parcela da carga representada como I constante, qp é a parcela da carga representada como P constante.


16

Capítulo 2 Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente

2.1 – Objetivo

Determinação das matrizes que representam a rede elétrica de corrente alternada em regime permanente senoidal para uso computacional.

2.2 – Tipos de representação a) Modelo com parâmetros de admitância; b) Modelo com parâmetros de impedância.

As equações da rede serão extraídas utilizando-se a análise nodal da rede, pois esta apresenta

desempenho computacional mais eficiente.

2.3 –Equações nodais 2.3.1 – Equivalência de fontes

As fontes da Figura 2.1 são equivalentes se IzE g

&& ×= , gg zy 1= .

Figura 2.1 – Equivalência entre fonte de corrente e fonte de tensão

A notação usada no presente texto é: • Letra maiúscula com índice duplo corresponde a um elemento da matriz; • Letra minúscula com índice simples ou duplo corresponde à impedância ou admitância de um

elemento do sistema.

E& ∼

zg R E D E

V&

1I&

1I& R E D E

V& zg I&

R E D E

V& yg I&

1I&


17

2.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias

Seja o sistema da Figura 2.2, onde E3 representa um motor.

Figura 2.2 – Sistema exemplo para as equações nodais da rede

Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostra a Figura 2.3.

Figura 2.3 – Sistema exemplo com os modelos dos elementos da rede

A Figura 2.4 mostra o diagrama da rede da Figura 2.3 em que cada fonte de tensão em série com

impedância foi transformada em fonte de corrente em paralelo com a admitância e as impedâncias das linhas foram transformadas em admitâncias.

2E&∼ 1E&

zt1 zg1 zg2 zt2

∼

∼ 3E&

z11 z22

z33

zt3

zm3

z13

z12

1 2

3

z23

3

2

T1 T2

∼

1E&

∼

2E&

∼ 3E&

1

T3


18

Figura 2.4 – Diagrama unifilar do sistema exemplo com admitâncias

11

1

11

11

tg zzE

zEI

+==

&&& ,

11111

11

tg zzzy

+== ,

22

2

22

22

tg zzE

zEI

+==

&&& ,

22222

11

tg zzzy

+== ,

33

3

33

33

tm zzE

zEI

+==

&&& ,

33333

11

tm zzzy

+== ,

124

1z

y = , 23

51

zy = ,

136

1z

y = .

Equações nodais do circuito da Figura 2.4. Barra 1: )()()( 0113162141 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,

Barra 2: )()()( 0221243252 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,

Barra 3: )()()( 0331362353 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= . Barra 0: )()()()( 303202101321 VVyVVyVVyIII &&&&&&&&& −×+−×+−×=−−− . A equação da barra 0 é linearmente dependente das outras três equações. Basta somar as equações

das barras 1, 2, 3 para verificar. Agrupando-se termos das equações das barras 1, 2, 3 vem:

362416411 )( VyVyVyyyI &&&& ×−×−×++= ,

352542142 )( VyVyyyVyI &&&& ×−×+++×−= , (2.1)

365325163 )( VyyyVyVyI &&&& ×+++×−×−= . Colocando-se as Equações 2.1 na forma matricial, tem-se para a matriz admitância nodal BARRAY :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−−++−−−++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

65356

55424

64641

3

2

1

VVV

yyyyyyyyyyyyyyy

III

&

&

&

&

&

&

. (2.2)

A Equação 2.2 é da forma VYI BARRA

&& ×= , onde: I& é o vetor de injeção de corrente na rede por

fontes independentes, V& é o vetor de tensão nas barras em relação à referência e BARRAY é a matriz de admitância de barra ou matriz de admitância nodal.

y1 1I& 3I&2I&

y2 y3

y4 y5

y6

0

1 2 3


19

2.3.3 – Características de YBARRA 1) Simétrica; 2) Complexa; 3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de

referência; 4) Esparsa, mais de 95% dos elementos é nulo, o que é uma vantagem; 5) Os elementos da diagonal principal são positivos; 6) Os elementos fora da diagonal principal são negativos; 7) Os elementos da diagonal principal Ykk são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à

barra k; 8) Os elementos fora da diagonal principal Ykj são o simétrico da soma das admitâncias que

ligam as barras k e j.

As características 7 e 8 acima permitem a montagem direta da matriz YBARRA por inspeção da rede.

Pode-se também escrever a equação VYI BARRA&& ×= como IZV BARRA

&& ×= , onde 1−= BARRABARRA YZ . A matriz ZBARRA é conhecida como matriz de impedância de barra ou matriz de impedância nodal.

2.3.4 – Características de ZBARRA

1) Simétrica; 2) Complexa; 3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de

referência; 4) Matriz cheia.

Exemplo 2.1 Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever VYI BARRA

&& ×= que

corresponde ao diagrama unifilar da Figura 2.5, sabendo-se que 005,1 ∠=aE& , 07,365,1 −∠=bE& , 005,1 ∠=cE& , zg = j1,15, zt = j0,1, z13 = j0,25, z14 = j0,2, z24 = j0,2, z34 = j0,125, z23 = j0,4 em valores por

unidade.

Figura 2.5 – Diagrama unifilar do exemplo 2.1

A Figura 2.6 mostra o diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5.

2

∼

aE& 1

∼

cE&

∼

bE&

4

3


20

Figura 2.6 – Diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5

A Figura 2.7 mostra o diagrama unifilar de admitâncias onde todas as fontes de tensão foram

transformadas em fontes de corrente. A seguir os cálculos para a determinação dos parâmetros do sistema da Figura 2.7

Figura 2.7 – Diagrama unifilar de admitâncias do circuito da Figura 2.5

∼

07,365,1 −∠=bE&

∼

005,1 ∠=aE& 1

∼

005,1 ∠=cE&

4

3

2

j1,15+j0,1

j0,2

j1,15+j0,1

j1,15+j0,1 j0,2

j0,125

j0,25

j0,4

y8 = –j5,0

1

4

3

2

01 902,1 −∠=I&

y5 = –j2,5

y7 = –j8,0

y4 = –j4,0

y1 = –j0,8

y2=–j0,8

y3 = –j0,8

y6 = –j5,0

02 87,1262,1 −∠=I&

03 902,1 −∠=I&

0


21

2,1902,125,105,1 0

0

1 jjzz

EItg

a −=−∠=∠

=+

=&

& ,

96,072,087,1262,125,1

7,365,1 00

2 jjzz

EItg

b −−=−∠=−∠

=+

=&

& ,

2,1902,125,105,1 0

0

3 jjzz

EItg

c −=−∠=∠

=+

=&

& .

8,025,111 jjy −== , 8,025,112 jjy −== , 8,025,113 jjy −== , 0,425,014 jjy −== , 5,24,015 jjy −== , 0,52,016 jjy −== , 0,8125,017 jjy −== , 0,52,018 jjy −== .

De acordo com a regra de montagem da matriz BARRAY pode-se escrever:

8,90,50,48,011 jjjjY −=−−−= , 3,80,55,28,022 jjjjY −=−−−= ,

3,150,85,20,48,033 jjjjjY −=−−−−= , 0,180,50,80,544 jjjjY −=−−−= ,

0,02112 == YY , 0,43113 jYY == , 0,54114 jYY == , 5,23223 jYY == , 0,54224 jYY == , 0,84334 jYY == .

O sistema de equações com a matriz admitância de barra fica então:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠−∠−∠

4

3

2

1

0

0

0

0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9

0,0902,1

87,1262,1902,1

VVVV

jjjjjjjjjjjjjj

&

&

&

&

.

O cálculo das admitâncias é simples quando as resistências são desprezadas. A diagonal principal é

negativa e os elementos fora da diagonal principal são positivos.

2.3.5 – Interpretação física dos elementos de YBARRA e ZBARRA

Seja o circuito da Figura 2.8.

Figura 2.8 – Interpretação física dos elementos de BARRAY e BARRAZ

y1 1I& 3I&2I&

y2 y3

y4 y5

y6

0

1 2 3


22

2.3.5.1 – Elementos de YBARRA

Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz admitância de barra:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

VVV

YYYYYYYYY

III

&

&

&

&

&

&

.

Os elementos da matriz admitância de barra podem ser calculados pelo ensaio em curto-circuito

onde: kkY : admitância própria de curto-circuito da barra k,

ikY : admitância de transferência de curto-circuito entre as barras i e k. Ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8: curto-circuito em todas as barras a exceção da

barra 1. Tem-se portanto 032 ==VV && .

[ ]1

31

21

11

3

2

1

VYYY

III

&

&

&

&

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01331

01221

01111

32

32

32

==

==

==

=⇒

=⇒

=⇒

VV

VV

VV

VIY

VIY

VIY

&&

&&

&&

&&

&&

&&

.

A expressão geral de cada elemento da matriz admitância de barra relaciona o efeito à causa e é:

kjVk

iik

jVIY

≠=

=,0&

&

&.

Verificação: ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8, ou seja, todas as tensões de barra,

com exceção da barra 1 são zero.

)()()( 3162140111 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,

⇒×++= 16411 )( VyyyI &&11641

1

1 YyyyVI

=++=&

&.

)()()( 3251240222 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,

2141

2142 Yy

VIVyI =−=⇒×−=&

&&& .

),()()( 1362350333 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×=

3161

3163 Yy

VIVyI =−=⇒×−=&

&&& .

2.3.5.2 – Elementos de ZBARRA

Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz impedância de barra:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

III

ZZZZZZZZZ

VVV

&

&

&

&

&

&

.

Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito aberto

onde: kkZ : impedância própria de circuito aberto da barra k,

ikZ : impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k.


23

Ensaio de circuito aberto na barra 1 da Figura 2.8: fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra 1. Tem-se portanto 032 == II && .

[ ]1

31

21

11

3

2

1

IZZZ

VVV

&

&

&

&

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01331

01221

01111

32

32

32

==

==

==

=⇒

=⇒

=⇒

II

II

II

IVZ

IVZ

IVZ

&&

&&

&&

&&

&&

&&

.

A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o efeito à causa e é:

kjIk

iik

jIV

Z≠=

=,0&

&

&.

Observações: 1) se a corrente 1I& (corrente injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu, 111 VZ &= , 221 VZ &= ,

331 VZ &= , ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões. 2) Zkk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência com as demais fontes

de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do equivalente de Thèvenin, )(Thkkkk ZZ = .

Pelo significado físico dos elementos de YBARRA e ZBARRA evidencia-se que não há reciprocidade

entre estes elementos, ou seja, kmkm ZY 1≠ .

Exemplo 2.2 Resolva as equações nodais do Exemplo 2.1 para encontrar a matriz impedância de barra pela

inversão da matriz admitância de barra. Calcule então as tensões de barra.

Solução: Invertendo-se a matriz BARRAY com auxílio da função inv( ) do MATLAB obtém-se:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

020,10

96,072,020,10

4733,04232,04126,04142,04232,04558,03922,04020,04126,03922,04872,03706,04142,04020,03706,04774,0

VVVV

jj

j

jjjjjjjjjjjjjjjj

&

&

&

&

.

O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada, ou seja:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠−∠−∠−∠

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

0

0

4

3

2

1

97,11432,136,11434,124,14427,171,10436,1

2971,04009,12824,04059,13508,03830,12668,04111,1

jjjj

VVVV

&

&

&

&

.

Exemplo 2.3 Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a barra 4 e a referência

do circuito da Figura 2.7. Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4. A impedância do capacitor é: 0,5jzC −= pu. Z44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.

4V& é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado.

Z44 é obtido invertendo-se a matriz BARRAY . A matriz BARRAZ está mostrada acima, logo Z44 = j0,47

e 4V& , também mostrado acima vale 04 97,11432,1 −∠=V& . A Figura 2.9 mostra o circuito de Thèvenin em

questão.


24

Figura 2.9 – Equivalente de Thèvenin por elemento de BARRAZ

Solução:

00

44

4 03,783163,00,54733,0

97,11432,10,5

∠=−

−∠=

−=

jjjZVIcapacitor

&& .

A nova tensão da barra 4 passa a ser: 00 97,11582,10,503,783163,0 −∠=−×∠ j . Notar que a nova tensão na barra 4 aumentou de valor. Exemplo 2.4 Se uma corrente de 003,783163,0 ∠− pu é injetada na barra 4 do exemplo 2.2 (esta é a mesma

corrente que passa pelo capacitor) com todas as outras fontes mantidas, encontre as tensões nas barras 1, 2, 3, 4. Notar que não existe capacitor neste exemplo.

Considerando-se todas as fontes inoperantes, as tensões nodais somente devidas a esta corrente injetada pode ser calculada a partir da matriz ZBARRA. Basta multiplicar a matriz ZBARRA pelo vetor corrente, ou seja, basta multiplicar a coluna 4 da matriz ZBARRA pela corrente 003,783163,0 ∠− . Efetuando-se esta operação vem:

00

4141 97,111309,04142,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu,

004242 97,111304,04126,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu,

00

4343 97,111337,04232,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu,

004444 97,111496,04733,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu.

Para se determinar as novas tensões nas barras pode-se utilizar a superposição, adicionando-se as

tensões das barras somente devidas às fontes de corrente 1I& , 2I& , 3I& com as tensões das barras devidas

à fonte de corrente de 003,783163,0 ∠− .

0001 81,10567,197,111309,071,10436,1 −∠=−∠+−∠=V& pu,

000

2 04,14557,197,111304,024,14427,1 −∠=−∠+−∠=V& pu,

0003 41,11568,197,111337,036,11434,1 −∠=−∠+−∠=V& pu,

000

4 97,11582,197,111496,097,11432,1 −∠=−∠+−∠=V& pu. Observar que a tensão da barra 4 é a mesma da do exemplo 2.3.

capacitorI&

4V& ∼

Z44

–j5,0 0

4


25

2.4 – Redução da rede 2.4.1 – Objetivo

As matrizes impedância de barra e admitância de barra de um sistema elétrico real são muito grandes, dimensão da ordem de milhares. Nos estudos não é necessário se conhecer a tensão em todas as barras do sistema, logo seguem técnicas para reduzir a dimensão da rede, eliminando-se trechos não prioritários da rede para o estudo em questão.

2.4.2 – Eliminação de barra

Seja a rede elétrica representada pela matriz admitância de barra. A eliminação se processa para

duas diferentes situações: a) não existe fonte de corrente na barra a ser eliminada, b) existe fonte de corrente na barra a ser eliminada.

2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente

Particionamento da matriz. Ordenam-se as equações de tal forma que todas as barras sem fonte

fiquem juntas e na parte inferior da matriz.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

VVVVV

YYY

YY

IIIII

BBtABBA

ABAA

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

.

Supondo-se 0=BI& ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

B

A

BBtAB

ABAA

B

A

VV

YYYY

II

&

&

&

&,

BABAAAA VYVYI &&& ×+×= ,

AtABBBBBBBA

tABB VYYVVYVYI &&&&& ××−=→=×+×= −10 .

Substituindo-se o valor de BV& na equação de AI& vem:

AtABBBABAAAA VYYYVYI &&& ×××−×= −1 .

Agrupando-se termos vem:

( ) AY

tABBBABAAA VYYYYI

A

&4444 34444 21

& ×××−= −1 , que está na forma AAA VYI && ×= .

A ordem da matriz YA neste exemplo é a do número de barras com fonte de corrente. Exemplo 2.5. Eliminação de apenas uma barra do sistema de três barras da Figura 2.8 com 03 =I& .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

131211

2

1

0 VVV

YYYYYYYYY

II

&

&

&

&

&

[ ] [ ]32311

3323

13

2221

1211 YYYYY

YYYY

YA ××⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= − .

AI&

BI& BV&

AV&

AI&

BI& BV&AV&


26

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−

×−

×−

×−

=

33

322322

33

312321

33

321312

33

311311

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

YA .

Esta matriz representa um sistema equivalente ao sistema de três barras, agora com dimensão 2×2. Colocando-se de forma escalar tem-se que a eliminação da barra n é:

nn

njinijij Y

YYYY

×−=' ,

que é chamada de eliminação de Kron. Para maior eficiência computacional deve-se evitar a inversão da matriz YBB. O procedimento é

então o de eliminar uma barra por vez, aplicando-se a eliminação de Kron tantas vezes quanto o número de barras a serem eliminadas.

A partir de YA pode-se desenhar o circuito equivalente. No exemplo tem-se agora duas barras, mostradas na Figura 2.10 onde os elementos da nova matriz YBARRA 2 × 2 são:

3111 ''' yyY += , 3222 ''' yyY += , 32112 ''' yYY −== . Resolvendo-se o sistema acima determina-se y'1, y'2, y'3.

Figura 2.10 – Sistema equivalente ao sistema de três barras

Exemplo 2.6 Eliminar as barras 3 e 4 do sistema da Figura 2.11 sabendo-se que estas não têm fonte. Desenhar o

circuito equivalente com estes nós eliminados e calcular as potências ativa e reativa injetadas ou absorvidas em cada barra. 0

1 902,1 −∠=I& , 02 87,1262,1 −∠=I& .

Figura 2.11 – Sistema para a eliminação das barras 3 e 4

1I& y'12I&

y'2

y'3

0

1 2

1

43

2

1I&

y5 = –j2,5

y7=–j8,0

y4 = –j4,0

y1 = –j0,8

y2 = –j0,8

y6 = –j5,0

y8 = –j5,0 2I&


27

VYI BARRA&& ×=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

0,180,80,50,50,85,145,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9

jjjjjjjjjjjjjj

YBARRA .

Eliminação da barra 4.

41,80,18

0,50,58,9'11 jj

jjjY −=−

×−−= ,

39,10,18

0,50,50,0'' 2112 jj

jjYY =−

×−== ,

22,60,18

0,80,50,4'' 3113 jj

jjjYY =−

×−== ,

91,60,18

0,50,53,8'22 jj

jjjY −=−

×−−= ,

72,40,18

0,80,55,2'' 3223 jj

jjjYY =−

×−== ,

94,100,18

0,80,85,14'33 jj

jjjY −=−

×−−= .

Após a eliminação da barra 4 a matriz YBARRA fica:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

94,1072,422,672,492,639,122,639,141,8

'jjjjjjjjj

Y BARRA .

Eliminando-se agora a barra 3 vem:

87,494,10

22,622,641,8'' 11 jj

jjjY −=−

×−−= ,

07,494,10

72,422,639,1'''' 2112 jj

jjjYY =−

×−== ,

87,494,10

72,472,491,6'' 22 jj

jjjY −=−

×−−= .

Após a eliminação das barras 4 e 3 a matriz YBARRA fica:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

87,407,407,487,4

''jj

jjY BARRA .

A Figura 2.12 mostra o sistema de duas barras, que tem a matriz YBARRA como acima, equivalente ao

sistema da Figura 2.11 de quatro barras.

2 43 1

2 31


28

Figura 2.12 – Circuito equivalente após a eliminação das barras, sem fonte, 4 e 3

Para se calcular os valores dos elementos do circuito da Figura 2.12 basta aplicar as regras da

construção da matriz YBARRA e resolver o sistema. Tem-se então:

87,4'''''' 31)11( jyyY BARRA −=+= , 87,4'''''' 32)22( jyyY BARRA −=+= ,

07,4'''''' 3)21()12( jyYY BARRABARRA =−== . Resolvendo-se o sistema vem:

07,4'' 3 jy −= , 80,007,487,4'''' 21 jjjyy −=+−== . Para se calcular a potência injetada em cada barra, basta calcular primeiramente as tensões nas

barras. Tem-se que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

87,407,407,487,4

VV

jjjj

II

&

&

&

&,

onde o vetor corrente é conhecido. Utilizando-se o programa MATLAB para inverter a matriz YBARRA com a função inv(YBARRA) vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

68,057,057,068,0

II

jjjj

VV

&

&

&

&,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∠−∠

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0

0

2

1

87,1262,1902,1

68,057,057,068,0

jjjj

VV&

&,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∠−∠

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0

0

2

1

14,2042,173,1642,1

49,034,141,036,1

jj

VV&

&.

000*

111 27,7371,1902,173,1642,1 ∠=∠×−∠=×= IVS &&& ,

64,149,01 jS +=& ,

000*222 73,10671,187,1262,114,2042,1 ∠=∠×−∠=×= IVS &&& ,

64,149,02 jS +−=& . Perdas na linha de transmissão:

021 63,710849,00806,00268,0 ∠=+=− jVV && ,

0021312 37,183460,0)63,710849,0()07,4()('' −∠=∠×−=−×= jVVyI &&& .

y''1 01 902,1 −∠=I& 0

2 87,1262,1 −∠=I&y''2

y''3

0

1 2


29

Potência injetada na linha a partir da barra 1: )37,183460,0()73,1642,1( 00*

12112 ∠×−∠=×= IVS &&& ,

014,049,064,149,0 012 jS +=∠=& .

Potência injetada na linha a partir da barra 2:

)37,1835,0()14,2042,1( 00*21221 ∠−×−∠=×= IVS &&& ,

015,049,022,17849,0 021 jS +−=∠=& .

029,02112 jSS =+ && . A potência reativa consumida na linha também pode ser calculada por:

029,007,434,0'' 23

212 ==yI .

Perda reativa na admitância do gerador 1:

621,18,042,1'' 21

211 =×=×= yVQ .

Perda reativa na admitância do gerador 2:

621,18,042,1'' 22

222 =×=×= yVQ .

Perda reativa total: Qtotal = 0,029 + 1,621 + 1,621 = 3,271. Potência total injetada no sistema:

64,149,064,149,021 jjSSStotal +−+=+= &&& ,

27,3jStotal =& .

2.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente

A eliminação de barra onde existe fonte de corrente é semelhante a eliminação de Gauss. Este método também vale quando não existe fonte de corrente na barra eliminada, sendo a fonte de corrente nula um caso particular.

A eliminação de Gauss consiste em transformar a matriz do sistema em uma matriz triangular superior. Com isto encontra-se o valor de uma variável e, por substituição todas as demais variáveis. Quando da eliminação de barra com fonte pode ocorrer que uma barra, originalmente sem fonte, fique com fonte.

A eliminação de Gauss consiste de duas etapas: a) normalização da primeira equação, b) eliminação da variável pivotada nas outras equações.

Seja o sistema VYI BARRA

&& ×= de dimensão três por três, escrito na forma estendida a seguir.

3232131333 IVYVYVY &&&& =×+×+× ,

1212111313 IVYVYVY &&&& =×+×+× ,

2222121323 IVYVYVY &&&& =×+×+× .

a) Normalização da primeira equação. Dividindo-se a primeira linha por 33Y e mantendo-se as outras linhas inalteradas vem:

33

32

33

321

33

3131

YIV

YYV

YYV

&&&& =×+×+× ,

1212111313 IVYVYVY &&&& =×+×+× ,

2222121323 IVYVYVY &&&& =×+×+× .


30

b) Eliminação da variável pivotada 3V& nas demais equações. Basta fazer a operação assinalada a seguir, onde o termo primo substitui a linha original.

11322' LYLL ×−=

12333' LYLL ×−=

33

32

33

321

33

3131

YIV

YYV

YYV

&&&& =×+×+× ,

133

31312

33

3213121

33

3113113 '0 I

YIYIV

YYYYV

YYYYV &

&&&&& =

×−=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+× ,

233

32322

33

3223221

33

3123213 '0 I

YIYIV

YYYYV

YYYYV &

&&&&& =

×−=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−+× .

O sistema ficou então reduzido a:

1212111 ''' IVYVY &&& =×+× ,

2222121 ''' IVYVY &&& =×+× .

A formação do termo ijY ' é a mesma da redução de Kron para a eliminação da barra n, ou

seja,nn

njinijij Y

YYYY

×−=' .

A formação das novas correntes injetadas é nn

ninii Y

IYII&

&& ×−=' para a eliminação da barra n.

A Figura 2.13 mostra o circuito equivalente sem a barra 3.

Figura 2.13 – Redução de sistema de três barras com fonte de corrente na barra eliminada

Exemplo 2.7. Eliminar as barras 4 e 3 do sistema da Figura 2.7, cuja equação VYI BARRA

&& ×= está repetido a seguir.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠−∠−∠

4

3

2

1

0

0

0

0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9

0,0902,1

87,1262,1902,1

VVVV

jjjjjjjjjjjjjj

&

&

&

&

.

Eliminação da barra 4 do sistema da Figura 2.7.

41,80,18

0,50,58,9'11 jj

jjjY −=−

×−−= ,

y'11'I&2'I& y'2

y'3

0

1 2


31

39,10,18

0,50,50,0'' 2112 jj

jjYY =−

×−== ,

22,60,18

0,80,50,4'' 3113 jj

jjjYY =−

×−== ,

91,60,18

0,50,53,8'22 jj

jjjY −=−

×−−= ,

72,40,18

0,80,55,2'' 3223 jj

jjjYY =−

×−== ,

74,110,18

0,80,83,15'33 jj

jjjY −=−

×−−= .

Após a eliminação da barra 4 o sistema fica:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠−∠−∠

3

2

1

0

0

0

74,1172,422,672,491,639,122,639,141,8

902,187,1262,1

902,1

VVV

jjjjjjjjj

&

&

&

.

Eliminação da barra 3.

11,574,11

22,622,641,8'' 11 jj

jjjY −=−

×−−= ,

89,374,11

72,422,639,1'''' 2112 jj

jjjYY =−

×−== ,

01,574,11

72,472,491,6'' 22 jj

jjjY −=−

×−−= .

000

01 9084,184,164,0902,1

74,11902,122,6902,1' −∠=−=−−∠=

−−∠×

−−∠= jjj

jI& ,

000

02 53,11661,148,087,1262,1

74,11902,172,487,1262,1' −∠=−−∠=

−−∠×

−−∠= jj

jI& .

Após a eliminação da barra 3 o sistema fica:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∠−∠

2

10

0

01,589,389,311,5

53,11661,19084,1

VV

jjjj

&

&.

A Figura 2.14 mostra o circuito equivalente do sistema no qual foram eliminadas a barra 4, que não

tinha fonte, e a barra 3, que tinha fonte.

Figura 2.14 – Circuito equivalente com eliminação de barra que contém fonte

02 53,11661,1'' −∠=I&0

1 9084,1'' −∠=I&

–j3,89

0

1 2

–j1,22 –j1,12

2 31


32

2.4.3 – Equivalentes de rede

Usa-se o equivalente de rede para substituir parte de um circuito, no qual não existe interesse para determinado estudo, por seu equivalente. A Figura 2.15 mostra a rede original e a Figura 2.16 o equivalente da rede externa.

Figura 2.15 – Circuito original

Figura 2.16 – Rede externa substituída por equivalente

2.5 – Montagem da matriz YBARRA com elementos acoplados

A Figura 2.17 mostra um trecho de circuito em que existe admitância ou impedância mútua entre alguns elementos do sistema elétrico.

A polaridade da tensão induzida é importante.

Figura 2.17 - Parte de circuito com impedância mútua

Polaridade relativa da corrente.

klmijijji IzIzVV &&&& ×+×=− ,

ijmklkllk IzIzVV &&&& ×+×=− . Em forma matricial vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

kl

ij

klm

mij

lk

ji

II

zzzz

VVVV

&

&

&&

&&,

onde a matriz Z é denominada de matriz impedância primitiva do elemento. Passando-se para admitância vem:

Rede

interna

Rede

externa

1

2

3

Rede interna

1'I&

2'I&

3'I&

ya

yb

2

1

3

zkl

zm

kI& lI&

klI& lkI&

zij iI& jI&ijI& jiI&

l k

j i


33

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

lk

ji

klm

mij

kl

ij

VVVV

yyyy

II

&&

&&

&

&,

onde a matriz Y é chamada de matriz admitância primitiva do elemento. Expandindo-se a equação acima vem:

lmkmjijiijij VyVyVyVyI &&&&& ×−×+×−×= ,

lmkmjijiijji VyVyVyVyI &&&&& ×+×−×+×−= ,

lklkkljmimkl VyVyVyVyI &&&&& ×−×+×−×= ,

lklkkljmimlk VyVyVyVyI &&&&& ×+×−×+×−= .

Sabendo-se que iij II && = , jji II && = , kkl II && = , llk II && = e colocando-se a equação acima em forma matricial tem-se:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

l

k

j

i

klklmm

klklmm

mmijij

mmijij

l

k

j

i

VVVV

yyyyyyyy

yyyyyyyy

IIII

&

&

&

&

&

&

&

&

.

Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz YBARRA sem mútua.

Regra prática para a montagem da matriz YBARRA com mútuas: 1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua; 2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva; 3) Montar a matriz YBARRA sem considerar a admitância mútua ym; 4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais

igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais marcados diferentemente.

A Figura 2.18 mostra o circuito equivalente do circuito da Figura 2.17 com mútuas.

Figura 2.18 - Circuito equivalente com elementos acoplados

Exemplo 2.8. Sejam z12 = z34 = j0,25 pu e zm = j0,15 pu como mostrados na Figura 2.19. Determinar a matriz

YBARRA do sistema.

Figura 2.19 - Circuito referente ao exemplo

yij

ykl

ym

ym

–ym –ym

l k

j i

z34

zm

z12 1

3

2

4


34

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

34

12

43

21

25,015,015,025,0

II

jjjj

VVVV

&

&

&&

&&,

onde a matriz acima é a matriz Z primitiva. A matriz Y primitiva é a inversa de Z primitiva.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

25,675,375,325,6

jjjj

YPRIMITIVA ,

75,3jym = , 25,63412 jyy −== . i) Sem acoplamento.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

25,625,60025,625,600

0025,625,60025,625,6

jjjj

jjjj

YBARRA

ii) Considerando-se o acoplamento.

Basta acrescentar +ym em (1,3), (2,4), (3,1), (4,2) e acrescentar –ym em (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−+

+−−−+−

=

25,625,675,3075,3025,625,675,3075,30

75,3075,3025,625,675,3075,3025,625,6

jjjjjjjj

jjjjjjjj

YBARRA .

Exemplo 2.9. Sejam 25,02313 jzz == pu, 15,0jzm = pu. Determinar a matriz admitância de barra do circuito da

Figura 2.20.

Figura 2.20 - Exercício de cálculo da matriz admitância de barra com mútuas

Inicialmente determina-se a matriz impedância primitiva, invertendo-se esta determina-se a matriz

admitância primitiva, determina-se a matriz admitância de barra sem se considerar as mútuas e depois inclui-se as mútuas seguindo os passos do algoritmo.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

25,015,015,025,0

jjjj

ZPRIMITIVA , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

25,675,375,325,6

jjjj

YPRIMITIVA .

i) matriz admitância de barra sem se considerar as admitâncias mútuas é:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=−−

−=

25,625,65,1225,625,625,625,6025,6025,6

jjjjjjjjj

YBARRA .

ii) matriz admitância de barra com as admitâncias mútuas

Com a polaridade indicada no enunciado do exercício, my+ deve ser adicionado aos elementos (3,3), (1,2), (3,3), (2,1) e my− deve ser adicionado aos elementos (3,2), (1,3), (3,1), (2,3). Incluindo-se as mútuas na matriz acima vem:

z13

z23

zm

1I&

2I&

3I& 3

2

1


35

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−=−−=−=−=−+−=+−

=75,375,35,120,575,325,65,275,325,65,2

75,325,65,225,675,3075,325,65,275,3025,6

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

YBARRA .

A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da matriz YBARRA encontrada com a utilização da

regra acima.

211331 IzIzVV m&&&& ×+×=− ,

223132 IzIzVV m&&&& ×+×=− .

321 III &&& −=+ , logo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

2

1

23

13

32

31

II

zzzz

VVVV

m

m&

&

&&

&&, ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

32

31

23

13

2

1

VVVV

yyyy

II

m

m&&

&&

&

&,

31321131323131131 )( VyyVyVyIVyVyVyVyI mmmm&&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,

32322312323223312 )( VyyVyVyIVyVyVyVyI mmmm&&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,

3231322311321 )2()()( VyyyVyyVyyII mmm&&&&& ××−−−+×++×+=+ ,

323132231133 )2()()( VyyyVyyVyyI mmm&&&& ××+++×−−+×−−= .

Em forma matricial vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×++−−−−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

23132313

2323

1313

3

2

1

2 VVV

yyyyyyyyyyyyyyy

III

mmm

mm

mm

&

&

&

&

&

&

, que confere com o exercício.

2.6 – Modificação da matriz admitância de barra

A inclusão ou retirada de um elemento da rede utiliza o mesmo procedimento já visto na montagem da matriz admitância de barra com ou sem mútuas. Para a eliminação da barra utiliza-se a redução de Kron. 2.7 – Montagem e Modificação da matriz impedância de barra

A matriz impedância de barra pode ser modificada para refletir mudanças na rede elétrica. Estas mudanças podem ser a adição de elemento, retirada de elemento ou modificação no valor da impedância do elemento.

Até o momento as maneiras de se calcular a matriz impedância de barra são: a) Inversão da matriz admitância de barra, b) Ensaio de circuito aberto. Nenhum destes métodos é utilizado na prática devido ao tempo necessário para o cálculo.

2.7.1 – Modificação direta da matriz impedância de barra

Seja o sistema original da Figura 2.21 composto de n barras, cuja matriz impedância de barra é conhecida como ORIGINALZ .


36

Figura 2.21 - Sistema a ser modificado

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

ORIGINAL

ZZZ

ZZZZZZ

Z

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

A inclusão de um novo elemento denominado bz atende a uma das quatro possibilidades a seguir.

2.7.1.1 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a referência

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra nova p e a referência. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.22 mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada p.

Figura 2.22 - Sistema original acrescido de elemento entre barra nova p e a referência

A matriz ORIGINALZ do sistema da Figura 2.22 é:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

ZZZZ

ZORIGINAL

Recordando o que foi explicado quando da interpretação física dos elementos da matriz impedância

de barra, o valor dos elementos da coluna da matriz impedância de barra é a tensão da barra dividida pela corrente injetada em determinada barra, com todas as outras fontes mortas. Se esta corrente tiver o valor unitário, a tensão será numericamente igual à impedância. Ensaiando-se a barra 1 com corrente unitária, tem-se que a tensão na barra p =3 devido a esta corrente é nula, o mesmo acontecendo com a corrente injetada na barra 2. Quando a corrente injetada na barra p = 3 é unitária, a tensão que aparece na barra p = 3 é zb.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

b

BARRA

zZZZZ

Z00

00

2221

1211

Regra 1: inclui-se nova linha e nova coluna na matriz impedância de barra original, sendo nulos os

elementos fora da diagonal principal. O elemento da diagonal principal é o valor da impedância zb do elemento. Os valores dos elementos da matriz impedância de barra original não sofrem alteração.

Sistema original

k

m

n

z1 z2 zb

z12 1 2

p = 3


37

2.7.1.2 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a barra existente k

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra nova p e uma barra existente k. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.23 mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada p.

Figura 2.23 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra nova p e uma barra existente k

A matriz ORIGINALZ do sistema da Figura 2.23 é:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

ZZZZ

ZORIGINAL

Injetando-se corrente unitária na barra 1, a tensão na barra p = 3 é a mesma que a tensão da barra k

= 2. Injetando-se corrente na barra k = 2 a tensão na barra p = 3 também é a mesma que a tensão da barra k = 2. Injetando-se corrente na barra p = 3, a tensão será a impedância vista da barra k = 2 adicionada de zb.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

b

BARRA

zZZZZZZZZZ

Z

222221

222221

121211

Regra 2: inclui-se nova linha e nova coluna na matriz impedância de barra original, onde os

elementos fora da diagonal principal são iguais aos elementos da linha e da coluna k (barra onde o novo elemento é conectado) e o elemento da diagonal principal é )( bkk zZ + . Os valores dos elementos da matriz impedância de barra original ficam idênticos. 2.7.1.3 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a referência

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra existente k e a referência. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.24 mostra este sistema acrescido da nova impedância.

Figura 2.24 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra existente e a referência

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

ZZZZ

ZORIGINAL

Este caso é abordado em duas etapas, mostradas na Figura 2.25.

z1 z2

zb z12 1 k = 2

p = 3

z1 z2 zb

z12 1

k = 2


38

1) O elemento novo é incluído entre uma barra k existente e uma barra nova (n+1) fictícia, 2) curto circuita-se a barra fictícia para a terra pela redução de Kron.

Figura 2.25 - Procedimento para a inclusão de um elemento entre uma barra existente k e a referência

Etapa 1: inclusão do elemento entre uma barra existente k = 2 e uma barra nova fictícia (n+1) = 3.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

222221

222221

121211

3

2

1

III

zZZZZZZZZZ

VVV

b&

&

&

&

&

&

Etapa 2: curto circuita-se a barra fictícia (n+1) = 3 para a referência e procede-se à eliminação de

Kron para eliminar a barra (n+1) = 3. A eliminação de Kron foi deduzida para a matriz admitância de barra e IB = 0. O mesmo se aplica à matriz impedância de barra e 0=BV& .

Regra 3: é o caso 2 com eliminação de Kron. Inclui-se temporariamente uma nova linha e uma nova coluna na matriz impedância de barra original onde os elementos fora da diagonal principal são iguais aos elementos da linha e da coluna k, e o elemento da diagonal principal é )( bkk zZ + referente à barra fictícia (n+1). Elimina-se a barra fictícia aplicando-se a redução de Kron. 2.7.1.4 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a barra existente j

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra existente k e uma barra existente j. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.26 mostra este sistema acrescido da nova impedância.

Figura 2.26 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra existente k e uma barra existente j

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

ZZZZ

ZORIGINAL

Este caso é abordado nas duas etapas mostradas na Figura 2.27. 1) Inclusão do elemento entre barra existente k e entre barra fictícia (n + 1), 2) curto circuitam-se a barra fictícia (n + 1) e a barra j.

+z1 z2

zb z12 1

k = 2 n+1=3z1 z2

zb z12 1

k = 2 n+1=3

z1 z2

z12

zb

k = 1 j = 2


39

Figura 2.27 - Procedimento para a inclusão de um elemento entre barras existentes

Etapa 1: inclusão de elemento entre a barra k = 1 existente e uma barra fictícia 3)1( =+n . A matriz do sistema com a barra fictícia é:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

111211

212221

111211

3

2

1

III

zZZZZZZZZZ

VVV

b&

&

&

&

&

&

Etapa 2: as tensões 2=jV& e 31=+nV& são iguais logo, fazendo-se a linha (n + 1) = 3 menos a linha j =

2 e colocando-se o resultado na linha (n + 1) = 3 vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

211122122111

212221

111211

2

1

0 III

zZZZZZZZZZZZZ

VV

b&

&

&

&

&

. (2.1)

Para tornar a matriz acima simétrica efetua-se a coluna (n + 1) = 3 menos a coluna j = 2 no lugar da

coluna (n + 1) = 3.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

2112221122122111

22212221

12111211

2

1

0 III

zZZZZZZZZZZZZZZZZ

VV

b&

&

&

&

&

. (2.2)

Expandindo-se as três linhas das Equações 2.1 vem:

3112121111 IZIZIZV &&&& ×+×+×= , (2.3)

3212221212 IZIZIZV &&&& ×+×+×= , (2.4)

321112221212111 )()()(0 IzZZIZZIZZ b&&& ×+−+×−+×−= . (2.5)

Expandindo-se as três linhas das Equações 2.2 vem:

3123112121111 IZIZIZIZV &&&&& ×−×+×+×= , (2.6)

3223212221212 IZIZIZIZV &&&&& ×−×+×+×= , (2.7)

3211222112221212111 )()()(0 IzZZZZIZZIZZ b&&& ×+−−++×−+×−= . (2.8)

Para que as Equações 2.3, 2.4 e 2.5 fiquem iguais, respectivamente, às Equações 2.6, 2.7 e 2.8,

basta somar 312 IZ &× na Equação 2.6, 322 IZ &× na Equação 2.7 e 32212 )( IZZ &×− na Equação 2.8, ou seja,

basta somar 3I& ao 2I& do vetor corrente da Equação 2.2. A barra (n + 1) = 3 é fictícia, sem fonte de corrente, logo pode-se aplicar a redução de Kron. A equação fica então:

z1 z2

z12

zb

+

n+1=3k = 1 j = 2

z1 z2

z12

zb

k = 1 j = 2


40

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

32

1

2112221122122111

22212221

12111211

2

1

0 III

I

zZZZZZZZZZZZZZZZZ

VV

b&

&&

&

&

&

.

Regra 4: inclui-se temporariamente nova linha e nova coluna na matriz impedância de barra

original, onde os elementos fora da diagonal principal são iguais à diferença entre os elementos das colunas/linhas k e j e o elemento da diagonal principal vale bjkkjjjkk zZZZZ +−−+ . Elimina-se a linha e a coluna da barra fictícia aplicando-se a redução de Kron. 2.7.2 – Montagem direta da matriz impedância de barra

a) É um processo mais rápido que montar a matriz admitância de barra e depois inverter; b) Trabalha-se diretamente com a lista dos componentes da rede; c) A matriz impedância de barra é montada passo a passo, incluindo-se um componente de cada

vez, recaindo em um dos quatro casos de modificação da matriz impedância de barra já vistos; d) Restrição: a matriz impedância de barra deve ser iniciada por componente ligado à referência.

Quando não existir tal elemento, uma barra é tomada como referência.

Exemplo 2.10. Montar a matriz impedância de barra passo a passo para o sistema da Figura 2.28.

Figura 2.28 - Sistema exemplo para a montagem da matriz impedância de barra

Dados dos ramos em pu.

Barras Impedância Admitância Número do elemento de para (pu) (pu)

1 0 1 j0,25 –j4,00 2 0 3 j0,20 –j5,00 3 1 2 j0,08 –j12,50 4 2 3 j0,06 –j16,67 5 2 3 j0,06 –j16,67 6 1 3 j0,07 –j14,29

Elemento 1 ligado entre a referência e a barra nova 1. Caso 2.4.7.1.

[ ]25,0jZBARRA =

Elemento 2 ligado entre a referência e a barra nova 3. Caso 2.4.7.1.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

20,000,000,025,0

jj

ZBARRA

~ ~

1 2 3

6 5

4 3

2 1

11

1 31

3


41

Elemento 3 ligado entre a barra 1 existente e a barra nova 2. Caso 2.4.7.2.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=+==

b

BARRA

zZjjjjj

jjZ

1108,025,033,000,025,000,020,000,025,000,025,0

Rearrumando-se a matriz BARRAZ para que a ordem das colunas corresponda ao número das barras

vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

20,000,000,0033,025,000,025,025,0

jjjjj

ZBARRA

Elemento 4 ligado entre a barra 2 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+=−−

=

b

BARRA

zZZZZjjjjjj

jjjjjj

Z

3223332259,020,033,025,020,020,000,000,0

33,000,033,025,025,000,025,025,0

Após a aplicação da redução de Kron na barra 4 vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1322,01119,00847,01119,01454,01102,00847,01102,01441,0

jjjjjjjjj

ZBARRA .

Elemento 5 ligado entre a barra 2 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4. Ao invés de se inserir um a um os elementos, pode-se inserir o paralelo dos elementos 4 e 5, no

caso 03,0j .

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+=−−

06,01119,01119,01322,01454,01138,00203,00335,00255,00203,01322,01119,008477,0

0335,01119,01454,01102,00255,00847,01102,01441,0

jjjjjjjjjjjjj

jjjjjjjj

Aplicando-se a redução de Kron na barra 4 vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1286,01179,00892,01179,01355,01027,00892,01027,01384,0

jjjjjjjjj

Elemento 6 ligado entre a barra 1 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+=−−−−

07,00892,00892,01286,01384,01286,00394,00152,00492,00394,01286,01179,00892,00152,01179,01355,01027,0

0492,00892,01027,01384,0

jjjjjjjjjjjjjjjjj

jjjj

3 21

1

3 2

321123

42 31

1

2

3 4


42

Aplicando-se a redução de Kron na barra 4 vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1188,01141,01014,01141,01340,01074,01014,01074,01231,0

jjjjjjjjj

ZBARRA

Utilizando-se o programa MATLAB para inverter diretamente a matriz YBARRA encontra-se para

BARRAZ :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

63,5234,3329,1434,3384,4550,1229,1450,1279,30

jjjjjjjjj

YBARRA ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1188,01141,01015,01141,01341,01074,01015,01074,01232,0

jjjjjjjjj

ZBARRA .

Observação: Para maior eficiência do processo, fecha-se o laço o mais cedo possível para se aplicar

a redução de Kron em matriz de dimensão menor.

2.7.3 – Exclusão de um elemento de impedância zb da matriz ZBARRA

Basta incluir um elemento de impedância própria de valor bz− , pois o paralelo de bz com bz− é um circuito aberto, com a aplicação de dois dos quatro casos de modificação da matriz impedância de barra. 2.7.4 – Modificação do valor da impedância que liga duas barras

Basta inserir um elemento que em paralelo com o valor já existente forneça o valor desejado. Para se transformar o valor de zx no valor zy entre as barras k e m, como mostra a Figura 2.29, basta inserir o elemento zb de tal forma que ybx zzz =// .

Figura 2.29 - Modificação do valor original zx da matriz impedância de barra, zx//zb=zy

2.8 – Obtenção dos elementos da coluna da matriz impedância de barra a partir da matriz admitância de barra

a) Utilizado quando não é necessária toda a matriz impedância de barra, b) É necessária uma coluna da matriz impedância de barra, alguns elementos de uma coluna da

matriz impedância de barra, diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra, etc. Em estudos de curto-circuito calcula-se, a partir da matriz YBARRA, apenas uma coluna da matriz

ZBARRA, a de interesse, não sendo necessário determinar toda a matriz ZBARRA.

2.8.1 – Obtenção de uma coluna da matriz impedância de barra

Se a matriz impedância de barra for multiplicada pelo vetor que contém 1 na linha k e zero no resto vem:

zx

k m

zy

k m

⇒


43

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Nk

k

k

NNNkN

Nk

Nk

Z

ZZ

ZZZ

ZZZZZZ

M

M

M

M

LL

MMMMM

MMMMM

LL

LL

2

1

1

2221

1111

0

1

0

ou seja,

)(kBARRAkBARRA ZlZ =× , coluna k da matriz impedância de barra.

Pré multiplicando-se a equação acima pela matriz admitância de barra vem:

)(k

BARRABARRAkI

BARRABARRA ZYlZY ×=××44 344 21

,

KK

BARRABARRA lZY =× )( , sistema de equações lineares com incógnita )(KBARRAZ .

Procedimento para solução da equação acima: a) montar a matriz BARRAY , b) fatorar a matriz BARRAY em LU , ou seja, BARRAYUL =× ,

c) solucionar o sistema k

H

kBARRA lZUL =××43421)( em duas etapas,

primeira etapa: solucionar klHL =× ,

segunda etapa: solucionar HZU kBARRA =× )( .

O custo computacional do processo está em calcular as matrizes L e U.

2.8.2 – Obtenção da diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra

Seja

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−

01

1

0M

jkl

)( jkBARRAjkBARRA ZlZ −

− =× , )( jk

BARRABARRAjkBARRABARRA ZYlZY −− ×=×× ,

jkjk

BARRABARRA lZY −− =× )( , resolvido por decomposição LU da matriz YBARRA, mostrado anteriormente,

jkjk

BARRA lZUL −− =×× )( .

Exemplo 2.11. Calcular a diferença dos elementos (ZBARRA(44) – ZBARRA(45)) da matriz ZBARRA, conhecendo-se a matriz

YBARRA.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

0,200,00,200,00,00,00,200,00,00,20

0,200,00,360,160,00,00,00,162,260,100,00,200,00,100,30

jjjj

jjjjjj

jjj

YBARRA

Coluna k Coluna j


44

)54()44()45()44( BARRABARRABARRABARRA ZZZZ −=− , logo só é preciso calcular a coluna 4 da matriz ZBARRA.

a) fatoração LU.

Basta fazer no programa MATLAB o comando [L, U] = lu(ybarra) que o programa retorna as matrizes L e U.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=××

0,00,10,00,00,0

)4(43421

HBARRAZUL .

Primeira etapa: 4lHL =× ,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

0,00,10,00,00,0

0,198,081,00,00,00,00,119,029,067,00,00,00,170,00,00,00,00,00,133,00,00,00,00,00,1

5

4

3

2

1

HHHHH

.

Solução: 0,0321 === HHH ,

0,10,10,1)0,1(0,1 4445454545444 ==⇒×−=→=×+× HLHLHHLHL , 98,00,10,198,00,0 554545555454 =×=×−=→=×+× LHLHHLHL .

Segunda etapa: HZU BARRA =× )4( ,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

98,000,100,000,000,0

20,000,000,000,000,076,385,300,000,000,000,2067,480,2400,000,0

00,067,600,1687,2200,000,000,2000,000,1000,30

)54(

)44(

)34(

)24(

)14(

BARRA

BARRA

BARRA

BARRA

BARRA

ZZZZZ

jjj

jjjjjj

jjj

00,5)20,0(98,0555)54(5)54(55 jjUHZHZU BARRABARRA =−==→=× ,

44

)54(454)44(4)54(45)44(44 U

ZUHZHZUZU BARRA

BARRABARRABARRA×−

=→=×+× ,

15,585,3

0,576,30,1)44( j

jjjZ BARRA =

−×−

= ,

15,05444 jZZ =− . Por inversão direta da matriz YBARRA com auxílio do programa MATLAB obtém-se:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11,500,506,500,500,500,515,500,500,510,506,500,506,500,500,500,500,500,500,500,500,510,500,500,510,5

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

Z BARRA .

Pode-se verificar da matriz ZBARRA que Z44 – Z45 = j5,1500–j5,0000 = j0,1500, que confere com o

cálculo anterior.


45

Capítulo 3 Fluxo de Potência 3.1 – Introdução

É o mais freqüente estudo feito nos sistemas elétricos de potência. É o estudo que fornece a solução de uma rede elétrica, em regime permanente, para uma dada condição de operação, isto é, para uma dada condição de carga e geração, sujeitas a restrições operativas e à ação de dispositivos de controle. 3.1.1 – Dados de entrada

• Dados da rede elétrica, resistência e reatância dos elementos, • Geração ativa e reativa nas barras do sistema, • Carga ativa e reativa nas barras do sistema.

3.1.2 – Condição de geração e carga 3.1.2.1 – Geração

São os valores da potência ativa (PG) e da potência reativa (QG) geradas nas barras ou o valor da potência ativa (PG) e módulo da tensão gerada (V), no caso de barras de tensão controlada. 3.1.2.2 – Carga

São os valores de potência ativa (PL) e potência reativa (QL) consumidas em cada barra do sistema onde a carga existir, consideradas constantes. 3.1.3 – Restrições operativas

São, entre outros, os limites para o fluxo de potência nas linhas e transformadores, o módulo das tensões nas barras, a capacidade de geração das máquinas. 3.1.4 – Dispositivos de controle

Ajudam a controlar algumas grandezas tais como: a) A tensão ou fluxo de reativo, modelado por transformadores com tap, injeção de reativo etc; b) Controle do fluxo de potência ativa (transformador defasador, intercâmbio entre áreas etc.)

para atender potência comprada/vendida contratada. 3.1.5 – Solução da rede

a) Calculam-se as tensões nas barras em módulo e ângulo; b) Calculam-se os fluxos de potência ativa e potência reativa nos elementos da rede.


46

3.1.6 – Aplicações

a) Ferramenta para análise da adequação de uma topologia do sistema para uma dada condição de geração e carga. Utilizado no planejamento, operação e controle do sistema de potência;

b) Utilizado como parte integrante de outros estudos, tais como: • Curto-circuito: cálculo das tensões pré falta; • Estabilidade: calcula a condição inicial e também calcula a solução da rede em cada passo

de integração; • Confiabilidade: conhecendo-se os dados probabilísticos de falha dos diversos componentes

da rede, estimar a probabilidade de falha de suprimento ao consumidor, a fim de torná-la menor que um percentual especificado através de investimento no sistema. O fluxo de potência serve para a verificação da adequação de cada estado com falha;

• Análise de contingência estática: o fluxo de potência é usado para analisar cada contingência (saída de equipamento por exemplo) da rede elétrica;

• Fluxo de potência ótimo: este estudo fornece a melhor topologia/configuração para minimizar o custo de operação ou minimizar as perdas. É um fluxo de potência com as restrições de um problema de otimização.

3.1.7 – Modelo da rede

Para o estudo de fluxo de potência, supõe-se o sistema equilibrado, logo só se usa a rede de seqüência positiva. Este estudo é baseado em modelo nodal e matriz admitância de barra,

VYI BARRA&& ×= .

Observação: em sistemas de distribuição usa-se a modelagem trifásica para o cálculo do fluxo de potência, pois o sistema de distribuição é essencialmente desequilibrado. 3.1.8 – Modelo matemático do fluxo de potência

a) Sistema de equações algébricas não lineares para representar a rede; b) Conjunto de inequações para representar as restrições; c) Conjunto de equações/inequações para representar o controle.

O esforço computacional está quase que todo na solução do sistema de equações, daí o uso de

método eficiente de solução. 3.1.9 – Métodos de solução

O primeiro método computacional utilizado para a solução do fluxo de potência, foi o de J. B. Ward e H. W. Hale e surgiu em junho de 1956 com o artigo ''Digital computer solution of power-flow problems''. 3.1.9.1 – Métodos baseados em YBARRA

Estes métodos têm como vantagem a formulação simples e pouca necessidade de memória devido a esparsidade de YBARRA ser maior que 95%. Como exemplo o método de Gauss-Seidel.

A desvantagem destes métodos é a convergência lenta devido ao fraco acoplamento entre variáveis (influência pequena entre barras), sendo necessárias cerca de 200 iterações para se chegar na solução do problema.


47

3.1.9.2 – Métodos baseados em ZBARRA

Convergem mais rápido, pois a matriz é cheia, porém necessita de muita memória pelo mesmo motivo e o custo da montagem da matriz BARRAZ é elevado. 3.1.9.3 – Método de Newton-Raphson

Tem como vantagem ser robusto, pois converge quase sempre e com poucas iterações. Além disto a convergência independe da dimensão do sistema. Usa a matriz BARRAY e a partir desta é montada a matriz jacobiana. É atualmente o método mais utilizado. 3.1.9.4 – Métodos desacoplados

Este método é uma particularização do método de Newton-Raphson em que se deixa apenas a dependência entre a tensão e a potência reativa (V e Q) e entre a potência ativa e o ângulo da tensão da barra (P e θ).

O método desacoplado rápido surgiu em 1974 e é atribuído a Brian Stott e Alsaç. Tem como vantagem ser rápido e utilizar pouca memória. A desvantagem é que só pode ser aplicado a sistemas com características apropriadas. 3.1.9.5 – Fluxo de potência linear

Este é um método aproximado de solução que analisa somente o fluxo de potência ativa, também chamado de fluxo DC. 3.2 – Formulação do problema de fluxo de potência em variáveis complexas

Seja a barra k com geração, carga e linhas. A Figura 3.1 exemplifica esta barra.

Figura 3.1 – Barra com geração, carga e linhas

Nos estudos de fluxo de potência calcula-se a injeção líquida de potência em cada barra, ou seja, calcula-se para cada barra k:

LkGkk PPP −= ,

LkGkk QQQ −= ,

kkk jQPS +=& . Considerando-se a injeção líquida de potência, a Figura 3.2 é a representação da Figura 3.1 para se

adequar à equação VYI BARRA&& ×= onde kI& é a injeção de corrente na barra k.

~

PGk

QGk

PLk QLk

k

Geração


48

Figura 3.2 – Figura 3.1 com injeção de potência líquida na barra

***

k

kkk

k

kkkkkkkk V

jQPIV

jQPIjQPIVS&

&&

&&&& −=⇒

+=→+=×= .

Das equações nodais tem-se:

∑=

×=n

mmkmk VYI

1

&& ,

∑=

×=n

mmkmk VYI

1

*** && ,

que só se aplicam às barras conectadas com a barra k.

As equações do fluxo de potência na forma complexa são:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××=×=+= ∑

=

n

mmkmkkkkkk VYVIVjQPS

1

*** &&&&& , k = 1, n, (3.1)

que é a injeção líquida de potência na barra k em função dos parâmetros da rede e das tensões nas barras. 3.2.1 – Equações do fluxo de potência em variáveis reais e na forma polar

É comum o desmembramento da equação complexa em duas equações reais, para P e para Q. { }kk SP &Re= ,

{ }kk SQ &Im= .

a) Equação para a potência ativa P.

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××= ∑

=

*

1

*Re m

n

mkmkk VYVP && , k = 1, n.

Sabendo-se que kkk VV θ∠=& , mmm VV θ∠=& , kmkmkm jBGY += vem:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∠×−×∠= ∑

=

n

mmmkmkmkkk VjBGVP

1

Re θθ , k = 1, n.

Colocando-se kkV θ∠ para dentro do somatório vem:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∠×−×∠= ∑=

n

mmmkmkmkkk VjBGVP

1

Re θθ , k = 1, n,

Pk

~

Qk

k


49

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−×−∠×= ∑=

n

mkmkmmkmkk jBGVVP

1

)(Re θθ , k = 1, n,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∠××−−∠××= ∑=

n

mmkkmmkmkkmmkk BVjVGVVP

1

)()(Re θθθθ , k = 1, n.

Chamando-se (θk – θm) de θkm e extraindo-se a parte real vem:

{ }∑=

−×××+×××=n

mkmkmmkkmkmmkk BVVGVVP

1

0 )90cos()cos( θθ , k = 1, n.

Colocando-se Vk para fora do somatório, Vm em evidência e utilizando-se a identidade

)()90cos( 0 αα sen=− vem:

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

n

mkmkmkmkmmkk senBGVVP

1

)()cos( θθ , k = 1, n. (3.2)

b) Equação para a potência reativa Q.

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××= ∑

=

*

1

*Im m

n

mkmkk VYVQ && , k = 1, n.

Sabendo-se que kkk VV θ∠=& , mmm VV θ∠=& , kmkmkm jBGY += vem:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∠×−×∠= ∑

=

n

mmmkmkmkkk VjBGVQ

1

Im θθ , k = 1, n.

Colocando-se kV para dentro do somatório vem:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∠×−×∠= ∑=

n

mmmkmkmkkk VjBGVQ

1

Im θθ , k = 1, n,

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−×−∠×= ∑=

n

mkmkmmkmkk jBGVVQ

1

)(Im θθ , k = 1, n,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∠××−−∠××= ∑=

n

mmkkmmkmkkmmkk BVjVGVVQ

1

)()(Im θθθθ , k = 1, n.

Chamando-se (θk – θm) de θkm e extraindo-se a parte real vem:

{ }∑=

−×××+×××=n

mkmkmmkkmkmmkk senBVVsenGVVQ

1

0 )90()( θθ , k = 1, n.

Colocando-se Vk para fora do somatório, Vm em evidência e utilizando-se a identidade

)cos()90( 0 αα −=−sen vem:

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

n

mkmkmkmkmmkk BsenGVVQ

1

)cos()( θθ , k = 1, n. (3.3)


50

Exemplo 3.1. Escrever as equações do fluxo de potência da Figura 3.3 na forma complexa e na forma de variável

real polar.

Figura 3.3 – Circuito exemplo da formulação das equações do fluxo de potência

Equações na forma complexa. De acordo com a Equação 3.1 vem:

( )*3132121111111 VYVYVYVjQPS GG&&&&& ×+×+××=+= ,

( )*3232221212222 VYVYVYVjQPS GG&&&&& ×+×+××=+= ,

( )*3332321313333 VYVYVYVjQPS LL&&&&& ×+×+××=−−= .

Equações em variáveis reais e na forma polar. De acordo com as Equações 3.2 e 3.3 vem:

{ } { }[ +×+××+×+×××= )()cos()()cos( 12121212211111111111 θθθθ senBGVsenBGVVP { }])()cos( 131313133 θθ senBGV ×+××+ ,

{ } { }[ +×+××+×+×××= )()cos()()cos( 22222222221212121122 θθθθ senBGVsenBGVVP

{ }])()cos( 232323233 θθ senBGV ×+××+ ,

{ } { }[ +×+××+×+×××= )()cos()()cos( 32323232231313131133 θθθθ senBGVsenBGVVP { }])()cos( 333333333 θθ senBGV ×+××+ .

{ } { }[ +×−××+×−×××= )cos()()cos()( 12121212211111111111 θθθθ BsenGVBsenGVVQ

{ }])cos()( 131313133 θθ ×−××+ BsenGV ,

{ } { }[ +×−××+×−×××= )cos()()cos()( 22222222221212121122 θθθθ BsenGVBsenGVVQ { }])cos()( 232323233 θθ ×−××+ BsenGV ,

{ } { }[ +×−××+×−×××= )cos()()cos()( 32323232231313131133 θθθθ BsenGVBsenGVVQ

{ }])cos()( 333333333 θθ ×−××+ BsenGV .

3

2 1E&

∼ ∼

2E& 1

PG1 + jQG1 PG2 + jQG2

PL3 + jQL3


51

3.2.2 – Conceito de barra flutuante ou swing ou slack

As perdas do sistema não estão representadas nas equações do fluxo de potência. A barra flutuante é responsável pelo suprimento de todas as perdas do sistema e por isto não tem a geração fixada. A geração da barra flutuante é calculada após a solução do problema.

Do Exemplo 3.1 tem-se portanto que totaisativasperdasLGG PPPP __321 +=+ , que só são conhecidas após a solução do fluxo de potência.

Suponha que a barra 1 do exemplo 3.1 seja flutuante, logo 11 GG jQP + não é um dado do problema, logo elimina-se a primeira equação do sistema posto na forma complexa, logo o sistema fica:

( )*3232221212222 VYVYVYVjQPS GG

&&&&& ×+×+××=+= ,

( )*3332321313333 VYVYVYVjQPS LL&&&&& ×+×+××=−−= .

A equação relativa a barra 1 foi eliminada. Tem-se 2 equações e três incógnitas. O processo

consiste em fixar uma incógnita, no caso 1V& . Após se encontrar a solução, 2V& e 3V& , calculam-se P1 e Q1. A barra flutuante é uma barra de tensão controlada e referência de ângulo para o sistema. 3.2.3 – Tipos de barras 3.2.3.1 – Barra flutuante ou swing ou slack ou Vθ

Esta barra existe para suprir as perdas do sistema, desconhecidas até a solução da rede. Só existe uma barra flutuante em todo o sistema.

Dados de entrada: Vk, θk. Calculado nesta barra: Pk, Qk.

3.2.3.2 – Barra de carga ou PQ

Não existe qualquer controle de tensão nesta barra. A maioria das barras é deste tipo, cerca de 95% do total de barras.

Dados de entrada: Pk, Qk. Calculado nesta barra: Vk, θk. A barra de carga pode ter gerador, só que este fornecerá P e Q constantes durante todo o processo

de cálculo. 3.2.3.3 – Barra de tensão controlada ou PV

Existem dispositivos de controle que permitem manter o módulo da tensão e a injeção de potência ativa em valores especificados tais como gerador e compensador síncrono. Algumas das barras do sistema são deste tipo, representando 5% do total de barras.

Dados de entrada: Pk, Vk. Calculado nesta barra: Qk, θk.

3.2.4 – Sistema de equações do fluxo de potência

Devido à variedade de tipos de barras, o sistema de equações que descreve o sistema elétrico é dividido em dois subsistemas.


52

3.2.4.1 – Subsistema 1

Este subsistema contém as equações que devem ser resolvidas para se encontrar a solução do fluxo de potência, ou seja, módulo e ângulo das tensões nas barras.

),( θVPP kk = , { }PVPQk ,∈ , barras de carga e de tensão controlada, ),( θVQQ kk = , { }PQk∈ , barras de carga.

3.2.4.2 – Subsistema 2

As incógnitas aqui contidas são determinadas por substituição das variáveis calculadas no sub-sistema 1.

),( θVPP kk = , { }θVk ∈ , barra flutuante, ),( θVQQ kk = , { }PVVk ,θ∈ , barra flutuante e barras de tensão controlada.

Exemplo 3.2. Escrever as equações do sistema da Figura 3.4 na forma real polar, separando-as nos subsistemas 1

e 2. As variáveis especificadas estão mostradas na própria Figura 3.4.

Figura 3.4 – Sistema do exemplo 3.2

Subsistema 1 na forma real polar.

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

3

1222222 )()cos(

mmmmmm senBGVVP θθ ,

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

3

1333333 )()cos(


{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

3

1333333 )cos()(

mmmmmm BsenGVVQ θθ .

A solução das três equações acima fornece θ2, θ3, V3. Para se determinar as outras variáveis (P1, Q1, Q2) basta substituir as variáveis calculadas no

subsistema 1 no subsistema 2.

1E&

3

2

∼ ∼ 2E&

1

V1, θ1

Q3P3

V2, P2


53

Subsistema 2 na forma real polar.

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

3

1111111 )()cos(


{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

3

1111111 )cos()(

mmmmmm BsenGVVQ θθ ,

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

3

1222222 )cos()(

mmmmmm BsenGVVQ θθ .

Observação: Número de equações para solucionar um sistema elétrico

Seja sistema elétrico com n barras onde l destas barras são barras de tensão controlada e uma é a barra flutuante.

O número de equações do sistema na forma real polar é 22 −−× ln . Seja o caso do sistema brasileiro com 2.000 barras sendo 100 barras de tensão controlada. O

número de equações a serem resolvidas é 898.32100000.4 =−− . Conclui-se deste número que o método de solução deve ser eficiente. 3.3 – Fluxo de Potência pelo Método de Gauss-Seidel 3.3.1 – Revisão do método de Jacobi

Seja sistema de equações lineares

nnnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxabxaxaxaxaxa

=×++×+×+×+×

=×++×+×+×+×=×++×+×+×+×

L

LLLLLLLLLLLLLLL

L

L

44332211

22424323222121

11414313212111

Reescrevendo-se o sistema para explicitar as variáveis da diagonal principal vem:

( )

( )

( )1144332211

2424323121222

2

1414313212111

1

1

1

1

−− ×−−×−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

nnnnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

L

LLLLLLLLLLLLLLL

L

L

(3.4)

O método de Jacobi consiste em iniciar o processo de solução com valores arbitrados. Sejam

)0()0(2

)0(1 ,,, nxxx L os valores arbitrados para a primeira iteração, onde o sobrescrito corresponde a

iteração. A partir deste conjunto, substituindo-o nas Equações 3.4 obtém-se o conjunto )1()1(2

)1(1 ,,, nxxx L

mais próximo da solução procurada. A próxima etapa consiste em substituir nas Equações 3.4 os valores recém obtidos. O processo se repete até que convergência seja obtida. Aplicando-se a primeira iteração ao sistema de Equações 3.4 vem:

( )( )

( ))0(11

)0(44

)0(33

)0(22

)0(11

)1(

)0(2

)0(424

)0(323

)0(1212

22

)1(2

)0(1

)0(414

)0(313

)0(2121

11

)1(1

1

1

1

−− ×−−×−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

nnnnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L


54

3.3.2 – O método de Gauss-Seidel

Este método, da mesma forma que o método de Jacobi, não é atualmente utilizado para solucionar um sistema elétrico de potência por ser muito lento, porem é muito didático. Encontra utilização na melhoria dos valores arbitrados para início de um outro método mais eficiente.

O método de Gauss-Seidel é um aperfeiçoamento do método de Jacobi e difere deste somente quanto ao conjunto de valores substituídos nas Equações 3.4. A diferença é que os valores substituídos são aqueles mais recentes, ou seja, à medida que os valores são determinados, estes são utilizados no processo de substituição, ou seja,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−×= ∑ ∑

−

= +=

++1

1 1

)()1()1( 1 k

m

n

km

imkm

imkmk

kk

ik xaxab

ax , k = 1, n.

Seja conjunto de valores arbitrados )0()0(

2)0(

1 ,,, nxxx L . Notar que a condição inicial da variável )0(1x é

desnecessária para este sistema, porém no caso geral a mesma variável pode aparecer em ambos os lados do sinal de igual. As variáveis calculadas são utilizadas na mesma iteração, ou seja, para a primeira iteração:

( )( )

( ))1(11

)1(44

)1(33

)1(22

)1(11

)1(

)0(2

)0(424

)0(323

)1(1212

22

)1(2

)0(1

)0(414

)0(313

)0(2121

11

)1(1

1

1

1

−− ×−−×−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

nnnnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

Generalizando-se o processo vem:

( )( )

( ))1(11

)1(44

)1(33

)1(22

)1(11

)1(

)(2

)(424

)(323

)1(1212

22

)1(2

)(1

)(414

)(313

)(2121

11

)1(1

1

1

1

+−−

+++++

++

+

×−−×−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

×−−×−×−×−×=

innn

in

in

in

inn

nn

in

inn

iiii

inn

iiii

xaxaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

O método de Gauss-Seidel usa formulação das equações do sistema elétrico de potência em

números complexos, o que resulta em uma equação por barra, excetuando-se a barra flutuante. *

1

*⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××=×=+= ∑

=

n

mmkmkkkkkk VYVIVjQPS &&&&& , k ≠ flutuante,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××=×=−= ∑

=

n

mmkmkkkkkk VYVIVjQPS

1

*** &&&&& , k ≠ flutuante.

Seja o sistema de três barras mostrado na Figura 3.4, onde a barra 1 é a barra flutuante e não existe

barra de tensão controlada (PV). ( )323222121

*222 VYVYVYVjQP &&&& ×+×+××=− , logo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

−×= 323121*

2

22

222

1 VYVYV

jQPY

V &&&

& ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

−×= 232131*

3

33

333

1 VYVYV

jQPY

V &&&

& .


55

Do sistema acima as seguintes variáveis são conhecidas: →11,θV constantes durante todo o processo, pois pertencem à barra flutuante,

→3322 ,,, QPQP constantes durante todo o processo, pois pertencem à barra PQ. As variáveis calculadas são 3322 ,,, θθ VV .

3.3.3 – Critério de convergência do método de Gauss-seidel

ε≤−=Δ − )1()( ik

ikk VVV && especificado, geralmente entre 10–4 e 10–6.

O método de Gauss-Seidel nem sempre converge, além de ser lento. Para que haja convergência é importante que o conjunto de valores arbitrados esteja próximo da solução. 3.3.4 – Fórmula geral do método de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potência

A seguir a fórmula geral do método de Gauss-Seidel onde i corresponde a iteração e { }nk ,2∈ é a barra do sistema. Esta equação considera a barra 1 flutuante.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

−×= ∑∑

+=

−

=

++n

km

imkm

k

m

imkmi

k

kk

kk

ik VYVY

VjQP

YV

1

)(1

1

)1()(*

)1( 1 &&&

& , k = 2,n. (3.5)

3.3.5 – Melhoria do método de Gauss-Seidel

O fator de aceleração α é utilizado na tentativa de se chegar na solução do sistema de equações com menos iterações.

Figura 3.5 – Fator de aceleração

)()1()1( i

ki

ki

k VVV −=Δ ++ , )1()()1)(( ++ Δ×+= i

ki

kiacelerado

k VVV α . Na prática, para os sistemas elétricos de potência, o valor de α é 1,6. Este método é utilizado para as primeiras iterações do método de Newton-Raphson.

3.3.6 – Tratamento no caso de existir barra PV

Problema: Qk não é especificado e Vk é especificado. Solução: a) Calcular )(calculado

kQ a cada iteração com a equação:

( ) IVSIVSIVS &&&&&&&& ×=→×=→×= ****** ,

{ }IVQjQPSjQPS &&&& ×−=→−=→+= ** Im , logo

V(0) V(1) V(acelerado)(1)

solução


56

{ })1()1()1)(( Im +++ ×−= ik

ik

icalculadok IVQ && ,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××−= ∑

=

+++n

m

imkm

ik

icalculadok VYVQ

1

)1()1(*)1)(( Im && . (3.6)

b) Calcular o valor da tensão:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

−×= ∑∑

+=

−

=

++

+n

km

imkm

k

m

imkm

k

icalculadokk

kk

iprovisóriok VYVY

VjQP

YV

1

)(1

1

)1(*

)1)(()1)(( 1 &&

&& .

Desta equação sai calculado )1)(()1)(( ++ ∠ iprovisório

kiprovisório

kV θ . Como Vk é especificado, só aproveito o argumento da tensão provisória calculada, logo

)1)(()()1( ++ ∠= iprovisóriok

doespecificak

ik VV θ& .

Exemplo 3.3. Desenvolver as três primeiras iterações do método de Gauss-Seidel do sistema mostrado na Figura

3.6.


Considerar condição inicial flat-start, ou seja, 0)0(

2 0=θ , 0)0(

3 00,1 ∠=V& . Determinação da matriz YBARRA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=

0,50,100,50,100,50,50,100,100,100,100,100,10

jjjjjjjjjjjj

YBARRA = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

0,150,50,100,50,150,100,100,100,20

jjjjjjjjj

.

Dados fixos: 0

1 00,1 ∠=V& , 0,32 =GP , 1,12 =V , 5,43 −=LP , 5,03 −=LQ .

Condições iniciais: 0)0(2 0=θ , 0)0(

3 00,1 ∠=V& . Variáveis livres: 2GQ .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

−×= ∑∑

+=

−

=

++n

km

imkm

k

m

imkmi

k

kk

kk

ik VYVY

VjQP

YV

1

)(1

1

)1()(*

)1( 1 &&&

& , k = 2,n.

Formulação complexa. A barra 1 é a barra flutuante.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

−×= 323121*

2

22

222

1 VYVYV

jQPY

V GG &&&

& , substituindo-se os valores fixos vem:

QL3 = 0,5 pu

2E&

1E&

3

2

∼ ∼

1

1V& =1,0∠00

PL3 = 4,5 pu

PG2 = 3,0 pu V2 = 1,1 pu

–j5,0

–j10,0

–j10,0


57

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

−∠−

×−

= 32

22 0,50,10,10

1,10,3

0,151 VjjjQ

jV G &&

θ.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×−

+−×= 232131*

3

33

333

1 VYVYV

jQPY

V LL &&&

& , substituindo-se os valores fixos vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∠×−×−

+−×

−= 01,10,50,10,105,05,4

0,151

*3

3 jjV

jj

V&

& .

Estimar valor de 2GQ , pois pertence a barra de tensão controlada. Aplicando-se a Equação 3.6 vem:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××−= ∑

=

++n

mmkm

ik

icalciladok VYVQ

1

)1(*)1)(( Im &&

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××−=→ ∑

=

n

mmm

calculado VYVQ1

2*2

)(2 Im && .

Expandindo-se a expressão de Q vem:

( ){ }323222121*2

)(2 Im VYVYVYVQ estimado &&&& ×+×+××−= .

Substituindo-se os valores fixos vem:

( ){ }3320

2)(

2 0,51,10,1500,10,101,1Im θθθ ∠×+∠×−∠××−∠−= VjjjQ estimado . Primeira iteração.

( ){ }0000)(2 00,10,501,10,1500,10,1001,1Im ∠×+∠×−∠××∠−= jjjQ estimado ,

{ } 65,165,1Im )(2

)(2 =⇒−−= estimadoestimado QjQ .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∠×−×−

−∠−

×−

= 0

22 00,10,50,10,10

1,165,10,3

0,151 jjjj

Vθ

& ,

( ) 02 39,911,15,1673,2

0,15∠=−×= jjV& . Como a tensão 2V é especificada tem-se: 0

2 39,91,1 ∠=V& .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∠×−×−

∠

+−×

−= 0

03 39,91,10,50,10,1000,1

5,05,40,15

1 jjjj

V& .

( )03 39,91,10,50,105,05,4

0,151

∠×−−+−×−

= jjjj

V&

( )03 61,805,55,95,4

0,15−∠+−−×= jjV&

( )43,590,05,95,40,153 jjjV −+−−×=&

( )93,1460,30,153 jjV −−×=&

03 57,1302,124,099,0 −∠=−= jV&


58

3.4 – Fluxo de potência pelo Método de Newton-Raphson 3.4.1 – Revisão do método no caso monovariável, f(x) = 0

Solução de sistemas algébricos não lineares.

Figura 3.7 – Revisão monovariável do método de Newton-Raphson

Algoritmo:

1) Arbitrar condição inicial x(0) e fixar a iteração i = 0.

2) Calcular ( ))(ixf e verificar a convergência. Se ( ) ε≤)(ixf , parar.

3) Fazer 1+= ii . Linearizar a função em torno de ( ))(, )()( ii xfx usando parte da série de Taylor,

)(

)(

)()()(

)(

)()()( i

x

iii xdx

xdfxfxxfi

Δ×+=Δ+ .

4) Solucionar o sistema linearizado

( ) 0)( )(

)(

)(

)(=Δ×+ i

x

i xdx

xdfxfi

,

que tem como solução:

( )( ) )(

)()(

)()( ix

ii

dxxdfxfx −=Δ .

5) Atualizar a solução do problema

)()()1( iii xxx Δ+=+ .

6) Voltar ao passo 2.

x

f(x)

x(0)x(1)x(2)

f(x(0))

f(x(3))

f(x(1))

f(x(2)) x(3)


59

3.4.2 – Revisão do método no caso multivariável, F(x) = [0]

Sejam [ ]tnfffF L21=

[ ]tnxxxx L21=

1) Arbitrar condição inicial x(0) e fixar a iteração i = 0.

2) Calcular ( ))(ixF e verificar a convergência. Se ( ){ } ε≤)(max ixF , parar.

3) Fazer 1+= ii . Linearizar a função em torno de ( ))(, )()( ii xFx usando parte da série de Taylor,

( ) ( ) ( ) )()()()()( iiiii xxJxFxxF Δ×+=Δ+ ,

onde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=xFJ é a matriz jacobiana.

4) Solucionar o sistema linearizado

( ) ( ) 0)()()( =Δ×+ iii xxJxF , cuja solução é a solução de ( ) ( ) )()()( iii xxJxF Δ×−= ,

que é do tipo xAb ×= .


)()()1( iii xxx Δ+=+ .

6) Voltar ao passo 2. 3.4.3 – Aplicação do método de Newton-Raphson na solução do fluxo de potência

Equações básicas do subsistema 1, a serem solucionadas:

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

n


1

)()cos( θθ , { }PVPQk ,∈ ,

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

n


1

)cos()( θθ , { }PQk ∈ .

Resíduos de potência (power mismatches)

),()()( θVPPP calculadok

doespecificakk −=Δ , { }PVPQk ,∈ ,

),()()( θVQQQ calculadok

doespecificakk −=Δ , { }PQk ∈ .

Sistema a ser solucionado pelo método de Newton-Raphson:

⎩⎨⎧

=Δ=Δ

00

k

k

QP

{ }{ }PQk

PVPQk∈

∈ ,.


60

Considera-se sistema com n barras, sendo que: Barras PQ: barras de 1 a l, Barras PV: barras de l + 1 a n – 1, Barra Vθ: barra n.

[ ]tln QQQPPPF ΔΔΔΔΔΔ= − LL 21121

[ ]tln VVVx LL 21121 −= θθθ

( ) )()()()( )( iiii xxJxF Δ×−= , que em forma matricial é: )(

)()( i

ii

VJ

QP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ θ

, que está na forma xAb ×= .

Atualização das variáveis de estado: )()()1( iii

VVV ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ θθθ

.

Convergência: { } pP ε≤Δmax e { } qQ ε≤Δmax .

3.4.4 – Matriz jacobiana geral

Seja [ ]tnfffF L21= e as variáveis x1, x2, ..., xn.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=×

n

nnn

n

n

nn

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

J

L

MMMM

L

L

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)( .

3.4.5 – Matriz Jacobiana aplicada à solução do fluxo de potência

1

111

1

111 θ∂

Δ∂=→

∂∂

=PJ

xfJ ,

( )1

1

1

)(1

1

)(1

)(1

1

1

θθθθ ∂∂

−=∂

∂−=

∂−∂

=∂Δ∂ PPPPP calculadocalculadooepecificad

.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

−

−

−

−−−

−

−−−

−

−

+−×+−

l

lll

n

lll

ln

ln

l

nnn

n

nnn

ln

ln

lnln

VQ

VQ

VQQQQ

LMVQ

VQ

VQQQQ

VQ

VQ

VQQQQ

VP

VP

VPPPP

NHVP

VP

VPPPP

VP

VP

VPPPP

J

LL

MMMMMM

LL

LL

LL

MMMMMM

LL

LL

21121

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

)1()1(

θθθ

θθθ

θθθ

θθθ

θθθ

θθθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

LMNH

J


61

θ∂∂

=−×−PH nn )1()1( ,

VPN ln ∂∂

=×− )1( ,

θ∂∂

=−×QM nl )1( ,

VQL ll ∂∂

=× .

)()()( iii

VLMNH

QP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ θ

.

RESUMO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Equações do subsistema 1:

( )∑=

×+×××=n


1

)()cos( θθ , { }PVPQk ,∈ ,

( )∑=

×−×××=n


1

)cos()( θθ , { }PQk∈ .

Sistema a ser solucionado:

)()( calculadok

doespecificakk PPP −=Δ , { }PVPQk ,∈ ,

)()( calculado

kdoespecifica

kk QQQ −=Δ , { }PQk∈ . Sistema matricial:

)()(

)( ii

i

VJ

QP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ θ

que está na forma xAb ×= .

Atualizando-se as variáveis vem:

)()()1( iii

VVV ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ θθθ

,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

LMNH

J

θ∂∂

=−×−PH nn )1()1( ,

VPN ln ∂∂

=×− )1(

θ∂∂

=−×QM nl )1( ,

VQL ll ∂∂

=×

3.4.6 – Algoritmo da Solução do Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson:

1) Montar a matriz YBARRA. 2) Arbitrar condições iniciais das variáveis de estado ),( )0()0( Vθ e fazer i = 0. 3) Calcular kPΔ e kQΔ e verificar convergência. Se { } pkP ε≤Δmax e { } qkQ ε≤Δmax parar.

)()( calculadok

doespecificakk PPP −=Δ , { }PVPQk ,∈ ,

)()( calculadok

doespecificakk QQQ −=Δ , { }PQk ∈ .

4) Fazer 1+= ii . Montar a matriz jacobiana J(i).


62

5) Solucionar o sistema linearizado )(

)()( i

ii

VJ

QP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ θ

.


)()()1( iii

VVV ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+ θθθ

.

7) Voltar para o passo 3.

Exemplo 3.4. No sistema da Figura 3.8 são dados: 332211 ,,,,, QPVPV θ . Calcular no processo iterativo 332 ,, Vθθ .

Após a convergência calcular 211 ,, QQP .


A equação do subsistema 1 é:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

×−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

3

3

2

3

3

2

VJ

QPP

θθ

,

)(

3

3

2)(

3

3

2)1(

3

3

2iii

VVV ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

θθ

θθ

θθ

.

Matriz jacobiana, no caso de dimensão 3, (n - 1 + l) = 3 - 1 + 1.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

3

32

3

3

2

3

3

3

3

3

2

3

3

2

3

2

2

2

VQQQVPPPVPPP

J

θθ

θθ

θθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

333332

333332

232322

LMMNHHNHH

J

3

2 1E&

∼

2E&

∼

1

V, θ P, V

P, Q


63

3.4.7 – Elementos das submatrizes H, N, M, L do Jacobiano

{ })cos()( kmkmkmkmmkm

kkm BsenGVVPH θθ

θ×−×××=

∂∂

= ,

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××−×−=

∂∂

= ∑∈km

kmkmkmkmmkkkkk

kkk BsenGVVBVPH )cos()(2 θθ

θ,

{ })()cos( kmkmkmkmkm

kkm senBGV

VPN θθ ×+××=

∂∂

= ,

{ }∑∈

×+××+×=∂∂

=km

kmkmkmkmmkkkk

kkk senBGVGV

VPN )()cos( θθ ,

{ })()cos( kmkmkmkmmkm

kkm senBGVVQM θθ

θ×+×××−=

∂∂

= ,

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××+×−=

∂∂

= ∑∈km

kmkmkmkmmkkkkk

kkk senBGVVGVQM )()cos(2 θθ

θ,

{ })cos()( kmkmkmkmkm

kkm BsenGV

VQL θθ ×−××=∂∂

= ,

{ }∑∈

×−××+×−=∂∂

=km

kmkmkmkmmkkkk

kkk BsenGVBV

VQL )cos()( θθ .

onde kk se refere ao termo da diagonal (k) e km se refere ao termo fora da diagonal (linha k, coluna m). 3.4.8 – Estrutura do jacobiano

1) Os elementos fora da diagonal principal correspondentes a barras não diretamente conectadas são nulos, ou seja, o jacobiano é altamente esparso.

{ })cos()( kmkmkmkmmkkm BsenGVVH θθ ×−×××= . Se as barras k e m não estão diretamente conectadas, 0== kmkm BG , logo 0=kmH .

2) As matrizes H, N, M, L têm estrutura semelhante à da matriz YBARRA, exceto pelas linhas e

colunas não representadas. Se todas as barras forem PQ, a estrutura do jacobiano será semelhante a estrutura de YBARRA, e as submatrizes (H, M, N, L) são quadradas. As matrizes H, N, M, L são simétricas em estrutura. Se existe H12 existe H21, no caso de matriz quadrada.

3) O jacobiano é assimétrico em valores, assim como H, M, N, L, porém são simétricos em

estrutura, isto é, em relação a posição dos zeros, pois )()( mkkm sensen θθ −= e )cos()cos( mkkm θθ = .


64

Exemplo 3.5. Escrever a matriz jacobiana do sistema da Figura 3.9 em termos dos elementos das matrizes H, M,

N, L.


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔΔΔ

×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔΔΔ

2

1

3

2

1

222322

111311

3231333231

222322

111311

2

1

3

2

1

0000

0000

VV

LMMLMM

NNHHHNHH

NHH

QQPPP

θθθ

Exemplo 3.6. A Figura 3.10 mostra um sistema elétrico formado por duas barras. Resolvê-lo pelo método de

Newton-Raphson. Considerar a tolerância em ΔP = ε = 0,003. Considerar 0)0(2 0=θ . (Dados em pu na

base do sistema).

Figura 3.10 – Sistema exemplo para o método de Newton-Raphson

Dados das barras

Barra Tipo P Q V θ 1 Vθ ––– ––– 1,0 0,0 2 PV –0,4 ––– 1,0 –––

Dados da linha

Linha r x bshunt

1-2 0,2 1,0 0,02

(0,2 + j1,0) Vθ PV

jbshunt = j0,02 jbshunt = j0,02

2 1

3 2

14

∼

V, θ

∼

P, Q

P, V P, Q

Compensador síncrono


65

1) Montar YBARRA 96,019,0)0,12,0(112 jjY −=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+−−

=94,019,096,019,096,019,094,019,0

jjjj

YBARRA .

BARRABARRABARRA jBGY += ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

19,019,019,019,0

BARRAG ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

94,096,096,094,0

BARRAB .

2) Teste de convergência com relação às condições iniciais, i = 0

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

n


1

)()cos( θθ ,

{ } { }[ ])()cos()()cos( 22222222221212121122 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= , { } { }[ ]22221212121122 )()cos( GVsenBGVVP ×+×+×××= θθ , { }[ ]1923076922,00,1)(9615384613,0)cos(1923076922,00,10,1 21212 ×+×+×−××= θθ senP ,

1923076922,0)(9615384613,0)cos(1923076922,0 222 +×+×−= θθ senP ,

1923076922,0)0(9615384613,0)0cos(1923076922,0 002 +×+×−= senP ,

00,0)0(2 =P .

0,04,04,0 )0(2

)(2

)(22 −−=−−=−=Δ PPPP calculadodoespecifica ,

4,02 −=ΔP . ε>Δ 2P , não convergiu. O processo começa.

3) Processo iterativo de Newton-Raphson Primeira iteração, i = i + 1 = 1.

{ 2222

θΔ×−=ΔH

JP .

{ } }]{[ )cos()()cos()( 2222222222121212112222

222 θθθθ ×−××+×−×××−×−= BsenGVBsenGVVBVH ,

{ } { }[ ]2222121212112222

222 )cos()( BVBsenGVVBVH ×+×−×××−×−= θθ ,

94,0)cos(96,0)(19,094,0 212122 −×+×+= θθsenH ,

96,0)1(22 =H .

[ ] )4,0(96,01

21

222 −×=Δ×=Δ − PHθ ,

416,02 −=Δθ rad.

416,0416,00,02)0(

2)1(

2 −=−=Δ+= θθθ rad.

19,0)416,0(96,0)416,0cos(19,02 +−×+−×−= senP ,

37,0)1(2 −=P .

03,037,040,02 −=+−=ΔP . 03,02 −=ΔP . ε>Δ 2P . Não convergiu. O processo continua.

Segunda iteração, i = i + 1 = 2.

94,0)416,0cos(96,0)416,0(19,094,022 −−×+−×+= senH ,

.80,0)2(22 =H


66

[ ] )03,0(80,01

21

222 −×=Δ×=Δ − PHθ ,

034,02 −=Δθ rad.

45,0034,0416,0)1(2

)2(2 −=−−=Δ+= θθθ rad.

19.0)45,0(96,0)45,0cos(19,02 +−×+−×−= senP ,

399,0)2(2 −=P .

001,0399,040,02 −=+−=ΔP . ε<Δ 2P . O processo convergiu. Solução encontrada para todas as variáveis de estado, ou seja, V e θ.

45,00,1222 −∠=∠= θVV& rad 079,250,1 −∠= .

4) Solução do subsistema 2: substituição das variáveis.

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

n


1

)()cos( θθ .

Expandindo-se a equação acima para este exemplo:

{ } { }[ ])()cos()()cos( 12121212211111111111 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= . Simplificando-se a expressão vem:

{ } { }[ ])()cos( 12121212211111 θθ senBGVGVVP ×+××+××= . Substituindo-se valores fixos vem:

{ } {[ )}](96,0)cos(19,00,119,00,10,1 12121 θθ senP ×+×−×+××= . Substituindo-se os valores encontrados no processo iterativo vem:

)45,0(96,0)45,0cos(19,019,01 senP ×+×−= , 44,01 =P pu.

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

n


1

)cos()( θθ .

Expandindo-se a equação acima para este exemplo e simplificando-a:

{ } { }[ ])cos()( 12121212211111 θθ ×−××+−××= BsenGVBVVQ . Substituindo-se valores fixos vem:

{ } {[ )}]cos(96,0)(19,00,194,00,10,1 12121 θθ ×−+×−×+××= senQ . Substituindo-se os valores encontrados no processo iterativo vem:

)45,0cos(96,0)45,0(19,094,01 ×−+×−= senQ , 3

1 1089,7 −×−=Q pu.

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

n


1

)cos()( θθ .

Expandindo-se a equação acima para este exemplo e simplificando-a:

{ } { }[ ]22221212121122 )cos()( BVBsenGVVQ −×+×−×××= θθ . Substituindo-se valores fixos vem:

{ }[ 942,00,1)cos(962,0)(192,00,10,1 21212 ×+×−×−××= θθsenQ .


67

0,44

-7,89x10-3 0,16

-0,40

Substituindo-se os valores encontrados no processo iterativo vem: 94,0)45,0cos(96,0)45,0(19,02 +−×−−×−= senQ ,

16,02 =Q pu.

Figura 3.11 – Solução do fluxo de potência

3.5 – Expressões do fluxo de potência ativa e reativa nos diversos ramos e shunts 3.5.1 – Linha de transmissão média ou longa

Figura 3.12 – Modelo da linha de transmissão média e longa

*kmkkmkmkm IVjQPS &&& ×=+= , *mkmmkmkmk IVjQPS &&& ×=+= ,

kkk VV θ∠=& ,

mmm VV θ∠=& ,

kmkmkm jbgy += ,

kmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkm jxrbgjbbggjbgz −=+−+=+= )()()(1 2222 .

Cálculo de Pkm e Qkm:

kshuntmkkmkm VjbVVyI &&&& ×+−×= )( , onde kmI& é a corrente injetada na linha de transmissão a partir da barra k. Arrumando-se termos vem:

mkmkshuntkmkm VyVjbyI &&& ×−×+= )( ,

mmkmkmkkshuntkmkmkm VjbgVjbjbgI θθ ∠×+−∠×++= )()(& ,

mmkmkmkkshuntkmkmkm VjbgVjbjbgI θθ −∠×−−−∠×−−= )()(*& .

mkmkkmkmkshuntkmkmkmkkm VVjbgVjbjbgIVS θθ −∠××−−×−−=×= )()( 2*&&& ,

mkmkkmmkmkkmkshuntkkmkkmkm VVjbVVgVjbVjbVgS θθθθ −∠××+−∠××−×−×−×= 222& .


2 1

sérieI&kmI& m k

ykm

jbshunt jbshunt

mkI&

kV& mV&

01∠ 45,01 −∠


68

{ } 02 90)cos(Re +−∠×××+−×××−×== mkmkkmmkmkkmkkmkmkm VVbVVgVgSP θθθθ& ,

)()cos(2mkmkkmmkmkkmkkmkm senVVbVVgVgP θθθθ −×××−−×××−×= ,

{ } 022 90)(Im +−∠××+−×××−×−×−== mkmkkmmkmkkmkshuntkkmkmkm VVbsenVVgVbVbSQ θθθθ& ,

)cos()(22mkmkkmmkmkkmkshuntkkmkm VVbsenVVgVbVbQ θθθθ −×××+−×××−×−×−= .

Cálculo de Pmk e Qmk:

mshuntkmkmmk VjbVVyI &&&& ×+−×= )( , onde mkI& é a corrente injetada na linha de transmissão a partir da barra m. Arrumando-se termos vem:

kkmmshuntkmmk VyVjbyI &&& ×−×+= )( ,

kkkmkmmmshuntkmkmmk VjbgVjbjbgI θθ ∠×+−∠×++= )()(& ,

kkkmkmmmshuntkmkmmk VjbgVjbjbgI θθ −∠×−−−∠×−−= )()(*& .

kmmkkmkmmshuntkmkmmkmmk VVjbgVjbjbgIVS θθ −∠××−−×−−=×= )()( 2*&&& ,

kmmkkmkmmkkmmshuntmkmmkmmk VVjbVVgVjbVjbVgS θθθθ −∠××+−∠××−×−×−×= 222& .

{ } 02 90)cos(Re +−∠××+−×××−×== kmmkkmkmmkkmmkmmkmk VVbVVgVgSP θθθθ& ,

)()cos(2kmmkkmkmmkkmmkmmk senVVbVVgVgP θθθθ −×××−−×××−×= .

{ } 022 90)(Im +−∠××+−×××−×−×−== kmmkkmkmmkkmmshuntmkmmkmk VVbsenVVgVbVbSQ θθθθ& ,

)cos()(22kmmkkmkmmkkmmshuntmkmmk VVbsenVVgVbVbQ θθθθ −×××+−×××−×−×−= .

Cálculo das perdas: As perdas ativas podem ser calculadas como:

)cos(222mkmkkmmkmkkmmkkmperdas VVgVgVgPPP θθ −××××−×+×=+= .

Perdas resistivas na linha.

)( 22**kmkmkmsériesériekmsériesériePerdas bggIIrIIP +××=××= &&&& ,

( ) ( ) ( ) ( ) )( 22**kmkmkmmkkmkmmkkmkmPerdas bggVVjbgVVjbgP +×−×−×−×+= && ,

( ) ( )mmkkmmkkkmPerdas VVVVgP θθθθ −∠−−∠×∠−∠×= ,

( )22mkmmkmkmkkkmPerdas VVVVVVgP +−∠×−−∠×−×= θθθθ ,

)cos(222mkmkkmmkmkkmPerdas VVgVgVgP θθ −××××−×+×= , expressão idêntica à expressão de

mkkm PP + . As “perdas” reativas podem ser calculadas como (armazenada nos campos elétrico e magnético):

( ) ))cos(2 2222mshuntkshuntmmkmkkkmmkkmperdas VbVbVVVVbQQQ ×−×−−−×××+−×=+= θθ .

Perdas reativas na linha.

2222* )( mshuntkshuntkmkmkmsériesériePerdas VbVbbgbIIQ ×−×−+××−= && ,

( ) ( ) 22**mshuntkshuntmkmkkmPerdas VbVbVVVVbQ ×−×−−×−×−= &&&& ,

( ) 222***mshuntkshuntmkmmkkkkmPerdas VbVbVVVVVVVbQ ×−×−−×+×+×−×= &&&& ,

( ) 2222 )cos(2 mshuntkshuntmmkmkkkmPerdas VbVbVVVVbQ ×−×−−−×××+−×= θθ , expressão idêntica à expressão de mkkm QQ + .


69

Tem-se, portanto, para perda de potência:

mkkmperdas

km PPP +=)(

mkkmperdas

km QQQ +=)( 3.5.2 – Linha de transmissão curta

Figura 3.13 – Modelo da linha de transmissão curta

kmkmkmkkm jQPIVS +=×= *&&& .

)( mkkmkm VVyI &&& −×= , onde kmI& é a corrente que circula na linha de transmissão.

)()( mkkmkmkm VVjbgI &&& −×+= ,

)()( ***mkkmkmkm VVjbgI &&& −×−= ,

)()( **

mkkmkmkkm VVjbgVS &&&& −×−×= ,

)()( *2kmkmmkkkm jbgVVVS −××−= &&& ,

**22mkkmmkkmkkmkkmkm VVjbVVgVjbVgS &&&&& ××+××−×−×= ,

{ } )()cos(Re 2

mkmkkmmkmkkmkkmkmkm senVVbVVgVgSP θθθθ −×××−−×××−×== & ,

{ } 02 90Im +−∠××+−∠××−−== mkmkkmmkmkkmkkmkmkm VVbVVgVbSQ θθθθ& ,

)cos()(2mkmkkmmkmkkmkkmkm VVbsenVVgVbQ θθθθ −×××+−×××−×−= ,

mkmkmkmmk jQPIVS +=×= *&&& .

)( kmkmmk VVyI &&& −×= , onde mkI& é a corrente que circula na linha de transmissão.

)()( kmkmkmmk VVjbgI &&& −×+= ,

)()( ***kmkmkmmk VVjbgI &&& −×−= ,

)()( **

kmkmkmmmk VVjbgVS &&&& −×−×= ,

)()( *2kmkmkmmmk jbgVVVS −××−= &&& ,

**22kmkmkmkmmkmmkmmk VVjbVVgVjbVgS &&&&& ××+××−×−×= ,

{ } )()cos(Re 2

kmkmkmkmkmkmmkmmkmk senVVbVVgVgSP θθθθ −×××−−×××−×== & ,

{ } 02 90Im +−∠××+−∠××−−== kmkmkmkmkmkmmkmmkmk VVbVVgVbSQ θθθθ& ,

)cos()(2kmkmkmkmkmkmmkmmk VVbsenVVgVbQ θθθθ −×××+−×××−×−= ,

kmI& m k

ykm

mkI&

kV& mV&


70

Perdas resistivas na linha:

+−×××−−×××−×=+ )()cos(2mkmkkmmkmkkmkkmmkkm senVVbVVgVgPP θθθθ

)()cos(2kmkmkmkmkmkmmkm senVVbVVgVg θθθθ −×××−−×××−×+ ,

)cos(2)( 22mkmkkmmkkmmkkm VVgVVgPP θθ −××××−+×=+ ,

)( 22**

kmkmkmkmkmkmkmkmPerdas bggIIrIIP +××=××= &&&& ,

( ) ( ) ( ) ( ) )( 22**kmkmkmmkkmkmmkkmkmPerdas bggVVjbgVVjbgP +×−×−×−×+= && ,

( ) ( )mmkkmmkkkmPerdas VVVVgP θθθθ −∠−−∠×∠−∠×= ,

( )22mkmmkmkmkkkmPerdas VVVVVVgP +−∠×−−∠×−×= θθθθ ,

)cos(222mkmkkmmkmkkmPerdas VVgVgVgP θθ −××××−×+×= , expressão idêntica a da expressão de

mkkm PP + . Perdas reativas na linha:

+−×××+−×××−×−= )cos()(2mkmkkmmkmkkmkkmkm VVbsenVVgVbQ θθθθ

)cos()(2kmkmkmkmkmkmmkm VVbsenVVgVb θθθθ −×××+−×××−×−

)cos(2)( 22mkmkkmmkkmmkkm VVbVVbQQ θθ −××××++×−=+ ,

)( 22**

kmkmkmkmkmkmkmkmPerdas bgbIIxIIQ +××−=××−= &&&& ,

( ) ( ) ( ) ( ) )( 22**kmkmkmmkkmkmmkkmkmPerdas bgbVVjbgVVjbgQ +×−×−×−×+−= && ,

( ) ( )mmkkmmkkkmPerdas VVVVbQ θθθθ −∠−−∠×∠−∠×−= ,

( )22mkmmkmkmkkkmPerdas VVVVVVbQ +−∠×−−∠×−×−= θθθθ ,

)cos(2)( 22mkmkkmmkkmPerdas VVbVVbQ θθ −××××−+×−= , expressão idêntica à expressão de

mkkm QQ + . Perda de potência ativa: mkkm

perdaskm PPP +=)( ,

Perda de potência reativa: mkkmperdas

km QQQ +=)( . 3.5.3 – Transformador

Figura 3.14 – Modelo de um transformador com tape

A Figura 3.14 mostra o modelo de um transformador com tape, cuja admitância é colocada do lado do tape.

kkmmkkmkm VyttVVytI &&&& ××−+−××= )()()( 2 ,

mkmkkmkm VytVytI &&& ××−××= 2 .

kmkmkmkkm jQPIVS +=×= *&&& .

kmI& m k

t × ykm

(t2–t) × ykm (1–t) × ykm

mkI&

mkV& kmV&


71

mkmkmkmmk VytVVytI &&&& ××−+−××= )1()()( ,

mkmkkmmk VyVytI &&& ×+××−= .

mkmkmkmmk jQPIVS +=×= *&&& .

)()cos()( 2kmkmmkkmkmmkkmkkm senbVtVgVtVgtVP θθ −−=

)()cos()( 2kmkmmkkmkmmkkmkkm sengVtVbVtVbtVQ θθ −+−=

)()cos(2

kmkmmkkmkmmkkmmmk senbVtVgVtVgVP θθ +−=

)()cos(2kmkmmkkmkmmkkmmmk sengVtVbVtVbVQ θθ ++−=

)]cos(2)[( 22)(

kmmkmkkmmkkmperdas VtVVtVgPPP θ−+=+= ,

)]cos(2)[( 22)(kmmkmkkmmkkm

perdas VtVVtVbQQQ θ−+−=+= .

3.5.4 – Elementos shunt

Figura 3.15 – Capacitor shunt

A Figura 3.15 mostra um capacitor ligado na barra k. A potência reativa gerada pelo mesmo é

shuntkshunt bVQ ×= 2)( . Caso fosse um reator, a potência reativa injetada na barra seria

shuntkshunt bVQ ×−= 2)( , ou seja, a potência reativa estaria sendo consumida.

Figura 3.16 – Resistor shunt

A Figura 3.16 mostra um resistor ligado na barra k. A potência ativa gerada pelo mesmo é

shuntkshunt gVP ×−= 2)( , ou seja, há consumo de potência ativa.

Cálculo do fluxo de potência nas linhas do sistema da Figura 3.11, Exemplo 3.6.

0157,0437,087,250,1)96,019,0(01)02,096,019,0( 0012 ∠=−∠×−−∠×+−= jjjI& rad.

3*12

012 1082,6437,000,1 −×−=×∠= jIS && .

069,3430,087,250,1)02,096,019,0(00,1)96,019,0( 0021 ∠=−∠×+−+∠×−−= jjjI& rad.

16,040,0069,3430,045,00,1*21221 jIVS +−=−∠×−∠=×= &&& .

037,040,0437,0 =−=perdasP ,

154,016,01082,6 3 =+×−= −perdasQ .

Balanço de potência:

037,040,0437,021 +=→+= perdasPPP ,

154,016,01082,6 321 =+×−→=+ −

perdasQQQ .

Q(shunt) jbshunt

k

P(shunt) rshunt = 1/gshunt

k


72

Injeção de potência no elemento shunt. 02,002,00,1 2)(

2)(

1 =×== shuntshunt QQ pu.

Exemplo 3.7. Refazer o exemplo 3.6 considerando-se uma barra flutuante e uma barra de carga como mostra a

Figura 3.17. (Dados em pu na base do sistema).


Dados: V1 = 1,0, θ1 = 00, 30,02 −=P , 07,02 =Q , tolerância para convergência em ΔP é igual a tolerância para convergência em ΔQ = ε = 0,003.

Condição inicial: 0,1)0(2 =V , 0)0(

2 0=θ . Calcular no processo iterativo: 22 ,Vθ . Após a convergência calcular: P1, Q1.

Solução: 1. Determinação da matriz YBARRA

BARRABARRABARRA jBGY += , calculada no exemplo 3.6.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

19,019,019,019,0

BARRAG ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

94,096,096,094,0

BARRAB .

2. Verificação de convergência.

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××= ∑

=

n


1

)()cos( θθ , { }PVPQk ,∈ .

Expandindo-se esta expressão para o presente exemplo vem:

{ } { }[ ])()cos()()cos( 22222222221212121122 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= . Simplificando-se a expressão vem:

{ } { }[ ]22221212121122 )()cos( GVsenBGVVP ×+×+×××= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:

{ } { }[ ]19,0)(96,0)cos(19,01 2212122 ×+×+×−××= VsenVP θθ . Avaliando-se a expressão lembrando que V2 = 1,0 e θ21 = 00 vem:

{ } { }[ ]19,00,119,00,12 ×+−×=P ,

0,0)0(2 =P .

30,00,030,0)(2

)(22 −=+−=−=Δ calculadodoespecifica PPP

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××= ∑

=

n


1

)cos()( θθ , { }PQk∈ .

(0,2 + j1,0) Vθ PQ


2 1


73

Expandindo-se esta expressão para o presente exemplo vem: { } { }[ ])cos()()cos()( 22222222221212121122 θθθθ ×−××+×−×××= BsenGVBsenGVVQ .

Simplificando-se a expressão vem:

{ } { }[ ]22221212121122 )cos()( BVBsenGVVQ −×+×−×××= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:

{ } { }[ ]94,0)cos(96,0)(19,01 2212122 ×+×−×−××= VsenVQ θθ . Avaliando-se a expressão lembrando que V2 = 1,0 e θ21 = 00 vem:

( )[ ]94,096,00,12 +−×=Q ,

02,0)0(2 −=Q .

09,002,007,0)(2

)(22 =+=−=Δ calculadodoespecifica QQQ .

Teste de convergência. ΔP2 = ⎪–0,30⎪ > 0,003, não convergiu, o processo continua, ΔQ2 = 0,09 > 0,003, não convergiu, o processo continua.

3. Primeira iteração do processo de cálculo.

As incógnitas do processo são θ2 e V2 logo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

2

2

2222

2222

2

2

VLMNH

QP θ

.

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−×××−×−= ∑

∈kmkmkmkmkmmkkkkkk BsenGVVBVH )cos()(2 θθ .

Expandindo-se esta expressão para o presente exemplo vem:

{ } { }[ ]2222121212112222

222 )cos()( BVBsenGVVBVH −×+×−×××−×−= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:

} { }]{[ 94,0)cos(96,0)(19,00,1)94,0( 2212122

222 ×+×−×−××−−×−= VsenVVH θθ Avaliando-se esta expressão vem:

94,096,094,022 −+=H ,

96,0)0(22 =H .

{ }∑

∈

×+××+×=km

kmkmkmkmmkkkkk senBGVGVN )()cos( θθ ,

Expandindo esta expressão para o presente exemplo vem:

{ } { })()cos()()cos( 22222222221212121122222 θθθθ senBGVsenBGVGVN ×+××+×+××+×= , { } { }22221212121122222 )()cos( GVsenBGVGVN ×+×+××+×= θθ

Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:

{ } { }19,0)(96,0)cos(19,019,0 221211222 ×+×+×−×+×= VsenVVN θθ . Avaliando-se esta expressão vem:

19,01)119,0(0,119,00,122 ×+×−×+×=N , 19,019,019,022 +−=N ,

.19,0)0(22 =N


74

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×××+×−= ∑

∈kmkmkmkmkmmkkkkkk senBGVVGVM )()cos(2 θθ ,


{ } { }][ )()cos()()cos( 2222222222121212112222

222 θθθθ senBGVsenBGVVGVM ×+××+×+×××+×−= . Simplificando-se a expressão vem:

{ } { }[ ]2222121212112222

222 )()cos( GVsenBGVVGVM ×+×+×××+×−= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:

{[ } { }]19,0)(96,0)cos(19,00,10,119,00,1 221212

22 ×+×+×−××+×−= VsenM θθ . Avaliando-se esta expressão vem:

19,019,019,022 +−−=M ,

19,0)0(22 −=M .

{ }∑

∈

×−××+×−=km

kmkmkmkmmkkkkk BsenGVBVL )cos()( θθ .


{ } { })cos()()cos()( 22222222221212121122222 θθθθ ×−××+×−××+×−= BsenGVBsenGVBVL . Simplificando-se a expressão vem:

{ } { }22221212121122222 )cos()( BVBsenGVBVL ×+×−××+×−= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:

} { }{ 94,0)cos(96,0)(19,00,1)94,0( 22121222 −×+×−×−×+−×−= VsenVL θθ . Avaliando-se esta expressão com V2 e θ2 vem:

94,096,094,022 +−=L ,

92,0)0(22 =L .

Valores numéricos:

96,0)0(22 =H ,

19,0)0(22 =N ,

19,0)0(22 −=M ,

92,0)0(22 =L .

Os valores numéricos do sistema ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

VLMNH

QP θ

são:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2

2

92,019,019,096,0

09,030,0

Vθ

.

Utilizando-se a regra prática para inverter uma matriz 2 × 2 que consiste em trocar os

elementos da diagonal principal e trocar apenas o sinal dos demais elementos e dividir a matriz assim formada pelo determinante da matriz original vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

09,030,0

96,019,019,092,0

92,01

2

2

Vθ

,


75

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

0288,029,0

92,01

2

2

Vθ

,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

031,0318,0

2

2

Vθ

.

Atualizando-se valores:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

031,01318,000,0

2

2)0(

2

)0(2

)1(2

)1(2

VVVθθθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

031,1318,0

)1(2

)1(2

Vθ

4. Verificação da Convergência:

{ }[ { }]19,003,1)31,0(96,095,019,0103,12 ×+−×+×−××=P ,

[ ]19,030,018,003,12 +−−×=P ,

29,0)1(2 −=P .

{ }[ ]94,003,195,096,0)31,0(19,003,12 ×+×−−×−×=Q , [ ]97,091,006,003,12 +−×=Q ,

12,003,12 ×=Q ,

12,0)1(2 =Q .

01,029,030,0)(

2)(

22 −=+−=−=Δ calculadodoespecifica PPP ,

05,012,007,0)(2

)(22 −=−=−=Δ calculadodoespecifica QQQ .

Teste de convergência. ΔP2 = ⎪–0,005883725⎪ > 0,003, não convergiu, o processo continua, ΔQ2 = ⎪–0,0515650666⎪ > 0,003, não convergiu, o processo continua.

5. Segunda iteração

330,0)2(2 −=θ

978,0)2(2 =V

Convergência:

001,02 −=ΔP , 002,02 −=ΔQ .

Convergiu pois são menores que 0,003.

6. Após a convergência, calcular as injeções de potência P1 e Q1.

{ } { }[ ])()cos()()cos( 12121212211111111111 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= ,

{ } { })()cos( 121212122111 θθ senBGVGP ×+××+= , { } 3186,0)33,0(96,0)33,0cos(19,0978,019,01 =×+×−×+= senP .

0097,01 −=Q .

Observação: Estudar exemplo 8.1 do Stevenson por Newton-Raphson, contendo um sistema de 5 barras sendo uma flutuante, 1 PV e 3 PQ.


76

3.6 – Fluxo de potência pelo Método Desacoplado Rápido 3.6.1 – Fluxo de potência pelo Método de Newton desacoplado

Este método é baseado no forte acoplamento entre as variáveis Pθ e QV, ou seja, VPP∂∂

>>∂∂θ

e

θ∂∂

>>∂∂ QVQ . Por este motivo as matrizes

VPM∂∂

= e θ∂∂

=QN são desprezadas. O sistema fica então:

)()()(

00 iii

VLH

QP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ θ

.

Ficam então definidos dois sistemas de equações que são:

[ ] [ ] [ ] )()()( iii HP θΔ×=Δ ,

[ ] [ ] [ ]iii VLQ Δ×=Δ ,

que são conhecidos como o método de Newton desacoplado. 3.6.2 – Considerações sobre as matrizes H e L do método de Newton desacoplado

Estas considerações objetivam transformar as matrizes H e L em matrizes constantes.

1) Divisão das equações de resíduo pelo respectivo módulo da tensão com a finalidade de acelerar a convergência.

k

calculadok

doespecificak

k

k

VVPP

VP ),()()( θ−

=Δ , k = 1, n-1 (a barra flutuante é a excluída),

k

calculadok

doespecificak

k

k

VVQQ

VQ ),()()( θ−

=Δ , k = 1, l (barras PQ).

O sistema fica então:

[ ] [ ]

[ ] [ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

Δ×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

Δ×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

)()()(

)()()(

'

'

iii

iii

VLVQ

HVP θ

.

Cada termo dos vetores ΔP e ΔQ está dividido por sua tensão, onde:

{ })cos()(' kmkmkmkmmk

kmkm BsenGV

VHH θθ ×−××== ,

{ }⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×−××−×−== ∑

∈kmkmkmkmkmmkkk

k

kkkk BsenGVBV

VHH )cos()(' θθ ,

)cos()(' kmkmkmkmk

kmkm BsenG

VLL θθ ×−×== ,

{ }∑∈

×−×××+−==km

kmkmkmkmmk

kkk

kkkk BsenGV

VB

VLL )cos()(1' θθ .


77

2) Hipóteses para o cálculo dos elementos de H' e L' a) Sistema pouco carregado. Com esta consideração assume-se θkm pequeno e em

conseqüência cos(θkm) ≅ 1. b) Em linhas de EAT e UAT a relação Bkm//Gkm é alta, de 5 a 20, logo

Bkm >> Gkm × sen(θkm), ou seja, despreza-se o termo Gkm × sen(θkm). c) As reatâncias transversais nas barras (reatores, capacitores, cargas) são muito maiores do

que a reatância série, logo kkkk QVB >>× 2 . d) As tensões Vk e Vm estão sempre próximas de 1,0 pu.

Aplicando-se as considerações anteriores no cálculo dos elementos das matrizes H’ e L’, chega-se a: [ ] [ ]kmkm BH −≅' , [ ] [ ]kkkk BH −≅' , [ ] [ ]kmkm BL −≅' , [ ] [ ]kkkk BL −≅' . As matrizes de coeficientes tornam-se, desta forma, constantes durante todo o processo iterativo,

passando a ser chamadas de:

H'→B' L'→B''

Melhorias no desempenho do método são obtidas desprezando-se as resistências série e as

reatâncias shunt na montagem de B'.

3.6.3 – Formulação final do método Desacoplado Rápido Os elementos de B' e B'' são definidos como:

kmkm x

B 1' −= , (3.7a)

∑Ω∈

=km km

kk xB 1' , (3.7b)

kmkm BB −='' , (3.8a)

kkkk BB −='' , (3.8b)

onde: Ωk é o conjunto das barras diretamente conectados com a barra k excetuando-se a própria barra k; xkm é a reatância do ramo km; Bkm e Bkk correspondem à parte imaginária dos elementos km e kk respectivamente da matriz YBARRA.

O método desacoplado rápido então é formulado como:

[ ] [ ]θΔ×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ 'BVP , de dimensão n – 1, a barra flutuante é excluída,

[ ] [ ]VBVQ

Δ×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ '' , de dimensão l, número de barras PQ.


78

Exemplo 3.8 Formular as equações do fluxo de potência desacoplado rápido do circuito da Figura 3.18.

Figura 3.18 – Circuito do exemplo 3.8

Dados das barras:

Barra Tipo PG QG PL QL V θ 1 Vθ ––– ––– 0,0 0,0 1,0 0,0 2 PV 0,4 ––– 0,0 0,0 1,0 ––– 3 PQ 0,0 0,0 1,0 0,4 ––– –––

Dados das linhas, ε = 0,003:

Linha r x bshunt (total)

1-2 0,01 0,1 1,0 1-3 0,01 0,1 1,0 2-3 0,01 0,1 1,0

Condições iniciais: 0,13 =V e 0,032 ==θθ .

9,999,01,001,0

11 jjjxr

y −=+

=+

= .

1) Montagem da matriz YBARRA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−+−−+−+−+−−

80,1898,190,999,090,999,090,999,080,1898,190,999,090,999,090,999,080,1898,1

jjjjjjjjj

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=98,199,099,099,098,199,099,099,098,1

BARRAG ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

80,1890,990,990,980,1890,990,990,980,18

BARRAB .

3

2

∼

1E&

∼

2E&

1

j0,5 j0,5

j0,5 j0,5

j0,5 j0,5


79

2) Sistema de equações do método desacoplado rápido

)(

3

2

3332

2322

)(

3

3

2

2

'''' i

i

BBBB

VP

VP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

θθ

, apenas a barra flutuante não está representada.

[ ] [ ] )(333

)(

3

3 '' ii

VBVQ

Δ×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

3) Cálculo de B' e B''

Sistema Pθ Aplicando-se as Equações 3.7 vem:

0,101,0

11''23

3223 −=−=−==x

BB

0,201,0

11,0

111'2321

22 =+=+=xx

B

0,201,0

11,0

111'3231

33 =+=+=xx

B

Sistema QV Aplicando-se as Equações 3.8 vem:

80,18'' 33 =−= BB

4) Mismatch do processo iterativo

)(

3

2)(

3

2)1(

3

2iii

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

θθ

θθ

θθ

)(3

)(3

)1(3

iii VVV Δ+=+ Primeira iteração Pθ

),(4,0 )0()0()(22 θVPP calculado−=Δ ,

),(0,1 )0()0()(23 θVPP calculado−−=Δ , onde

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0,10,10,1

)0(V e ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0,00,00,0

)0(θ .

{ }[ { }+×−××+×+×−××= )(80,18)cos(98,1)(90,9)cos(99,0 22222212112)(

2 θθθθ senVsenVVP calculado + { }])(90,9)cos(99,0 23233 θθ senV ×+×−×

{ } { } { }[ ]99,098,10,199,00,1 3)(

2 −×+×+−×= VP calculado

0,0)(2 =calculadoP

{ }[ { }+×+×−×+×+×−××= )(90,9)cos(99,0)(90,9)cos(99,0 32322313113

)(3 θθθθ senVsenVVP calculado

+ { }])(80,18)cos(98,1 33333 θθ senV ×−××

{ }[ +×+×−××= )(90,9)cos(99,00,1 31313

)(3 θθ senVP calculado

{ } { }]98,1)(90,9)cos(99,00,1 33232 ×+×+×−×+ Vsen θθ

0,0)(3 =calculadoP

arbitrado→ ←arbitrado ←arbitrado


80

4,00,04,02 =−=ΔP 0,10,00,13 −=−−=ΔP

Não convergiu.

5) Primeira iteração Pθ: atualizar )1(2θ e )1(

3θ ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

3

2

3332

2322

3

2

3

3

2

2

''''

0,1

0,1θθ

BBBB

P

P

VP

VP

.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

3

2

2

2

0,200,100,100,20

0,1

0,1θθ

P

P

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

0,14,0

0,200,100,100,20

3001

3

2

θθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

0533,00067,0

0,160,2

3001

3

2

θθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0533,00067,0

0533,00067,0 )1(

3

2)1()0(

3

2)1(

3

2

θθ

θθ

θθ

6) Primeira iteração QV: atualizar )1(

3V .

),(4,0 )1()0()(33 θVQQ calculado−−=Δ , onde

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

)1(3

)1(2

)1(0,0

θθθ

80,18'' 333 =−==Δ BBQ . Solucionar e atualizar )1(3V .

O processo continua até a convergência tanto da iteração Pθ como QV Exemplo 3.9 Resolver o sistema da Figura 3.19 pelo método desacoplado rápido. (Dados em pu na base do

sistema).

Figura 3.19 – Circuito do exemplo 3.9

P2 = –0,30; Q2 = 0,07; ε = 0,003.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+−−

=94,019,096,019,096,019,094,019,0

jjjj

YBARRA .

(0,2 + j1,0) Vθ PQ


2 1


81

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

19,019,019,019,0

BARRAG ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

94,096,096,094,0

BARRAB .

1. Sistema de equações.

[ ] [ ]2222

2 ' θΔ×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ BVP ,

[ ] [ ] )(222)1(

2

2 '' ii VB

VQ

Δ×=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ Δ− .

0,10,1

11'12

22 ===x

B

94,0'' 2222 =−= BB 2. Processo iterativo

Primeira iteração Pθ

( )[ ]22221212121122 )()cos( GVsenBGVVP ×+×+×××= θθ , ( )[ ]19,0)(96,0)cos(19,00,1 2212122 ×+×+×−××= VsenVP θθ ,

substituindo-se na primeira iteração vem:

0,00,00,12 2=

==

θVP ; 3,00,03,03,0 )(

22 −=−−=−−=Δ calculadoPP ,

convergência: 0,3 > 0,003 logo não convergiu.

3,00,10,13,0

22 −=Δ→Δ×=− θθ ,

3,0)1(2 −=θ

Primeira iteração QV

( )[ ]22221212121122 )cos()( BVBsenGVVQ ×−×−×××= θθ , ( )[ ]94,0)cos(96,0)(19,00,1 22222 ×+×−×−××= VsenVQ θθ .

Se 0,12 =V e 3,02 −=θ , 0798,02 =Q ,

0098,00798,007,007,0 )(22 =−=−=Δ calculadoQQ

ε>0098,0 , o processo continua.

2222

2 '' VBVQ

Δ×=Δ

0104,094,00,1

0098,022 −=Δ→Δ×=

− VV

9896,00104,00,12 =−=V


82

Segunda iteração Pθ

274,03,0

9896,0222

−=−=

=θVP ,

)(

2)(

22calculadodoespecifica PPP −=Δ

026,0274,03,02 −=+−=ΔP Convergência: 0,026 > ε, 0 processo continua. Atualização:

2222

2 ' θΔ×=Δ BVP

0256,00,19896,0

026,022 −=Δ→Δ×=

− θθ

3256,00256,03,02 −=−−=θ Segunda iteração QV

0814,03256,0

9896,0222

=−=

=θVQ

0114,00814,007,02 −=−=ΔQ Convergência: 0,0114 > ε, o processo continua. Monta-se o sistema:

0122,094,09896,00114,0

22 −=Δ→Δ×=− VV

9774,00122,09896,02 =−=V . Terceira iteração Pθ

295,02 −=P 005,02 −=ΔP

Convergência: 0,005 > ε, o processo continua. 3307,02 −=θ

Terceira iteração QV

0716,02 =Q 0016,02 −=ΔQ

Convergência: 0,0016 < ε, convergiu, logo não atualizo as variáveis e testo o outro sistema de equações.

Quarta iteração Pθ

229,03307,0

9774,0222

−=−=

=θVP

001,0229,030,02 −=+−=ΔP Convergência: 0,001 < ε, logo todo o processo convergiu. Solução encontrada:

3307,09774,02 −∠=V& radianos.


83

3. Após a convergência do processo iterativo, calculam-se as grandezas abaixo da mesma forma como descrito anteriormente:

⎯ Fluxos nas linhas; ⎯ Injeção na barra flutuante 11,QP ; ⎯ Fluxos na rede; ⎯ Perdas.

3.6.4 – Artifícios matemáticos para melhorar o desempenho do método desacoplado rápido na presença de ramos com elevada relação r/x

A pequena defasagem angular entre barras, a relação )sen( kmkmkm GB θ×>> , as tensões próximas de 1,0 pu e o fluxo nas linhas ser maior que o fluxo transversal são sempre verdadeiros nos sistemas de potência. A exceção é a relação x/r alta. A seguir artifícios matemáticos para contornar este restrição. 3.6.4.1 – Artifício da compensação 3.6.4.1.1 – Compensação série

Figura 3.20 – Exemplo da compensação série 3.6.4.1.2 – Compensação paralela

Figura 3.21 – Exemplo de compensação paralela

3.6.4.2 – Método BX de van Amerongen

O método desacoplado rápido convencional é conhecido como método XB pois a matriz B' só utiliza x, a reatância do elemento, e B'' só utiliza b, o negativo da parte imaginária da matriz YBARRA.

No método BX, B' só utiliza b e B'' só utiliza x. Este tem melhor desempenho quando a relação r/x é alta.

3.6.4.3 – Esquema iterativo flexível

O esquema não flexível faz sucessivamente uma iteração Pθ e uma iteração QV até a convergência do processo. O método flexível faz, por exemplo, devido a maior dificuldade da convergência da equação QV, uma iteração Pθ e duas iterações QV. Se o sistema estiver muito carregado, o número de iterações QV aumenta.

r x

mk

r x x' –x'

mk

j

r/x alto

r/x'' pequeno

x + x' = x''

x2 x3

r1 x1

mk A impedância da linha 1 em paralelo com a linha 2 é r + jx


84

3.7 – Fluxo de potência linearizado ou fluxo de potência DC

O fluxo de potência linearizado é baseado no acoplamento Pθ e só leva em conta o fluxo de potência ativo.

As equações do fluxo de potência ativa no ramo km são:

)()cos(2kmmkkmkmmkkmkkmkm senVVbVVgVgP θθ ×××−×××−×= , (3.9a)

)()cos(2kmmkkmkmmkkmmkmmk senVVbVVgVgP θθ ×××+×××−×= . (3.9b)

As perdas no trecho ativos no ramo km valem:

)cos(222kmmkkmmkmkkmmkkmkm VVgVgVgPPPperdas θ××××−×+×=+= .

3.7.1 – Simplificações propostas

a) 0,1≅= mk VV pu. b) kmθ pequeno, logo kmkmsen θθ ≅)( .

3.7.2 – Desprezando as perdas do sistema

kmkmkmkm

km

kmkm

km

kmkm

kmkm

kmkmkmkmkmkm jbg

xrxj

xrr

xrjxr

jxryjxrz +=

+−

+=

+−

=+

=→+= 2222221

Fazendo-se 0=kmr , tem-se 0=kmg e km

km xb 1

−= .

Aplicando-se as simplificações a) e b) nas Equações 3.9a e 3.9b, e desprezando-se as perdas chega-se na seguinte equação do fluxo de potência linearizado:

)( kmmkkmkm senVVbP θ×××−= ,

kmkm

km xP θ×××⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 0,10,11 ,

km

kmkm x

P θ= .

O fluxo de potência ativo é proporcional ao ângulo, daí o nome do método. A equação acima mostra uma importante diferença entre o fluxo de potência ac e o fluxo de

potência dc. O método ac limita a potência máxima transmitida pelo ramo, ao contrário do método dc. A Figura 3.22 exemplifica esta afirmação.

Figura 3.22 – Potência máxima transmitida pelo ramo

Pkm

)()( CAkm

CCkm θθ sem solução CA θkm

Pkm = θkm / xkm

Pkm = sen(θkm) / xkm


85

Os dois métodos fornecem praticamente a mesma solução para ângulos pequenos. O fluxo dc converge mesmo para valores altos de Pkm, o que embora seja um resultado errado, fornece indicativo de quanto a capacidade do ramo foi excedida.

Sabe-se que ∑Ω∈

=)( km

kmk PP , onde kΩ é o conjunto de todas as barras conectadas com a barra k a

exceção da própria barra k.

∑∑Ω∈Ω∈

=→=)()( kk m km

kmk

mkmk x

PPP θ .

Separando-se o somatório em dois, lembrando que θkm = θk – θm vem:

∑∑Ω∈Ω∈

×−×=)()(

11

kk mm

kmk

m kmk xx

P θθ .

3.7.2.1 – Formulação matricial

θ×= 'BP onde: B' é a mesma matriz do modelo desacoplado rápido, ou seja,

kmkm x

B 1' −= ,

∑Ω∈

=)(

1'km km

kk xB .

P é o vetor de injeção líquida de potência ativa na barra, θ é o vetor de fase da tensão de barra. A ordem de B' é (n–1), a barra flutuante é excluída pois a potência injetada nesta barra é

desconhecida. Exemplo 3.10 Calcular o fluxo nas linhas do sistema da Figura 3.23. Utilizar o método linearizado.


Não é necessário montar a matriz YBARRA. Montagem da matriz B', de dimensão 2, pois a barra flutuante é excluída.

3

2 1 x12 = 1/3

x13 = 1/2 x23 = 1/2

θ1 = 00

P1 = 1,5 P2 = –0,5

P3 = –1,0


86

0,511'2312

22 =+=xx

B ,

0,411'3213

33 =+=xx

B ,

0,21''23

3223 −=−==x

BB .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

3

2

3332

2322

3

2

''''

θθ

BBBB

PP

, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

3

2

0,40,20,20,5

0,15,0

θθ

,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡8/34/1

0,15,0

0,50,20,20,4

161

3

2

3

2

θθ

θθ

rad.

Fluxos de potência nos ramos.

43

3/14/1

12

1212 ===

xP θ pu.

43

2/18/3

13

1313 ===

xP θ pu.

41

2/18/34/1

23

2323 =

+−==

xP θ pu.

Atenção: Pij = Pji pois não há perda. 3.7.3 – Considerando as perdas do sistema

Equações do fluxo de potência ativa: )()cos(2

kmmkkmkmmkkmkkmkm senVVbVVgVgP θθ ×××−×××−×= ,

)()cos(2kmmkkmkmmkkmmkmmk senVVbVVgVgP θθ ×××+×××−×= .

Aplicando-se as simplificações anteriores, ou seja: a) 0,1≅= mk VV pu.

b) kmθ pequeno, logo kmkmsen θθ ≅)( e 2

)cos(12

1)cos(22km

kmkm

kmθ

θθ

θ =−→−= .

c) Como rkm << xkm, kmkmkmkm

km

kmkm

km

kmkm

kmkm

kmkmjbg

xrxj

xrr

xrjxr

jxr+=

+−

+=

+−

=+ 2222221 ,

22kmkm

kmkm xr

rg+

= e km

km xb 1

−= .

chega-se a equação do fluxo de potência ativa no ramo considerando as perdas.

)()cos( kmkmkmkmkmkm senbggP θθ ×−×−= ,

{ }km

kmkmkmkm x

sengP )()cos(1 θθ +−×= ,

km

kmkmkmkm x

gP θθ+×=

2

2.


87

E para a potência no sentido contrário:

)()cos( kmkmkmkmkmmk senbggP θθ ×+×−= ,

{ }km

kmkmkmmk x

sengP )()cos(1 θθ −−×= ,

km

kmkmkmmk x

gP θθ−×=

2

2.

Sabemos que a perda total em km vale:

222

22 kmkmkm

kmkmkm

km

kmkmkmmkkmkm g

xg

xgPPPperdas θ

θθθθ×=−×++×=+= ,

logo as expressões kmP e mkP carregam cada uma a metade das perdas do ramo. A potência injetada na barra k pode ser escrita como:

∑ ∑ ∑Ω∈ Ω∈ Ω∈

+×==)( )( )(

2

21

k k km m m km

kmkmkmkmk x

gPP θθ ,

∑Ω∈

+=)( km km

kmkk x

PperdasP θ ,

∑Ω∈

=−)( km km

kmkk x

PperdasP θ ,

onde:

kk PperdasP − é a nova injeção líquida no sistema sem perdas;

kPperdas é a metade do somatório das perdas nos ramos diretamente conectados na barra k. Representa-se kPperdas como carga adicional na barra, onde essa carga representa a metade das

perdas nos ramos diretamente ligados à barra. Conclusão: as perdas são representadas como cargas adicionais, obtidas dividindo-se em partes

iguais as perdas nos ramos entre suas barras terminais. O esquema fica como exemplificado na Figura 3.24.

Figura 3.24 – Representação das perdas no fluxo de potência linearizado

221312

1PperdasPperdasPperdas += ,

222312

2PperdasPperdasPperdas += ,

221323

3PperdasPperdasPperdas += .

3

2 1

Pperdas1

Pperdas2

Pperdas3


88

3.7.3.1 – Formulação matricial

θ×=− 'BPperdasP .

3.7.3.2 – Metodologia de solução 1) Calcula-se a solução do sistema desprezando-se as perdas, θ

~'×= BP .

2) Calcula-se a perda total do ramo com o θ~ e a representa como carga adicional no sistema,

∑Ω∈

××=)(

2~21

kmkmkmgPperdas θ .

3) Calcula-se a solução do sistema considerando-se as perdas, θ×=− 'BPperdasP .

4) Calculam-se os fluxos nos ramos utilizando-se a solução θ, km

kmkm x

P θ= .

3.7.4 – Resumo do método linearizado

Fluxo de potência linearizado ou fluxo DC 1) Desprezando-se as perdas,

θ×= 'BP

kmkmkm xP θ=

2) Considerando-se as perdas, 2~

kmkmkm gPperdas θ×= , metade para cada lado do ramo. θ×=− 'BPperdasP

Exemplo 3.11. Calcular o fluxo de potência do sistema da Figura 3.25 pelo método linearizado ou dc

considerando-se as perdas.


Dados: 10,005,012 jz += pu, 08,004,013 jz += pu,

05,0025,023 jz += pu. A barra 1 é a barra flutuante e a base é de 100,0 Mva.

3

2 1

θ1 = 00

P1

P2 = 40 MW

P3 = 80 MW

~ ~


89

Solução: Montagem da matriz B'

0,300,200,1005,01

10,0111'

231222 =+=+=+=

xxB

5,320,205,1205,01

08,0111'

231333 =+=+=+=

xxB

0,2005,011''

232332 −=−=−==

xBB

Flow sem perdas.

θ×= 'BP ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 3

2~~

5,320,200,200,30

8,04,0

θθ ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

0278,00052,0

8,04,0

0,300,200,205,32

0,5751

~~

3

2

θθ rad.

Cálculo das perdas.

2~kmkmkm gPperdas θ×= ,

0,410,005,0

05,0222

122

12

1212 =

+=

+=

xrrg ,

0,508,004,0

04,0222

132

13

1313 =

+=

+=

xrrg ,

0,805,0025,0

025,0222

232

23

2323 =

+=

+=

xrrg .

Perdas nos ramos:

2~kmkmkm gPperdas θ×= ,

322121212 101089,00052,00,4~ −×=×=×= θgPperdas ,

322131313 108715,30278,00,5~ −×=×=×= θgPperdas ,

( ) 322232323 100892,40278,00052,00,8~ −×=+−×=×= θgPperdas .

A perda do ramo é representada nas barras terminais, metade do valor destas perdas para cada lado.

333

23122 10097,2

210086,410108,0

2−

−−

×=×+×

=+

=PperdasPperdasPperdas ,

333

23133 10975,3

210086,410864,3

2−

−−

×=×+×

=+

=PperdasPperdasPperdas .

Solução do sistema com perdas:

θ×=− 'BPperdasP ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

×−−×−

−

−

3

23

3

5,320,200,200,30

10975,38,010097,24,0

θθ

,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡02810,000547,0

8040,03979,0

0,300,200,205,32

0,5751

3

2

θθ

.


90

Cálculo dos fluxos nos ramos.

km

kmkm x

P θ= ,

05470,010,0

00547,0

12

1212 ===

xP θ pu, 47,512 =P MW,

35125,008,0

02810,0

13

1313 ===

xP θ pu, 13,3513 =P MW,

( ) 45260,005,0

02810,000547,0

23

2323 =

+−==

xP θ pu, 26,4523 =P MW.

Cálculo da geração na barra flutuante.

113121 PperdasPPP ++= ,

333

13121 10986,1

210864,310108,0

2−

−−

×=×+×

=+

=PperdasPperdasPperdas pu,

40794,010986,135125,005470,0 31 =×++= −P pu, 794,401 =P MW.

Resumo dos dois exemplos de cálculo, com e sem perdas. ⎯ Solução sem perdas:

052,0~

12

1212 ==

xP θ pu ou 5,2 MW,

348,0~

13

1313 ==

xP θ pu ou 34,8 MW,

452,0~

23

2323 ==

xP θ pu ou 45,2 MW.

Figura 3.26 – Fluxos de potência da solução sem perdas

3

2 1 5,2 MW

34,8 MW 45,2 MW

θ1 = 0

P1 = 40 MW

P2 = 40 MW

P3 = 80 MW

~ ~ 2~θ

3~θ


91

⎯ Solução com perdas:

Figura 3.27 – Fluxos de potência da solução com perdas 3.8 – Utilização do estudo de fluxo de potência.

1) Análise do comportamento do sistema em de carga leve, média e pesada.

Figura 3.28 - Curva de carga típica

2) Determinação da compensação shunt (em derivação) capacitiva necessária para manter a tensão

dentro de limites aceitáveis. Roda-se fluxo em carga pesada. Verifica-se a existência de barra com tensão abaixo da

recomendável. Determina-se para esta barra a injeção de reativo 2VBQ shuntshunt ×= . Roda-se novamente o programa de fluxo de potência, sendo que este reativo é um dado de entrada, para se conhecer o novo perfil de tensão. A tensão na barra não depende apenas da injeção de reativo injetado nesta. Outra maneira de se fazer com que a tensão nesta barra aumente é modelar esta como barra de tensão controlada.

Figura 3.29 – Barra com compensação shunt

3

2 1 5,47 MW

35,13 MW 45,26 MW

θ1 = 0

P1 = 40,79 MW

P2 = 40 MW

P3 = 80 MW

~ ~

0,3975 MW

0,1986 MW

0,2097 MW

P(t)

t

3

2 1

~

Qshunt


92

3) Determinação da compensação shunt indutiva necessária em carga leve a fim de manter a tensão terminal das linhas dentro de limites aceitáveis.

A configuração do sistema em carga leve é diferente da configuração do sistema em carga pesada, pois existem reatores/capacitores, linhas em paralelo, máquinas.

Figura 3.30 – Compensação shunt capacitiva

4) Determinação da compensação série capacitiva necessária em carga pesada, de modo a aumentar a capacidade de transmissão da linha.

Figura 3.31 – Compensação série capacitiva

)( 1212

21 θsenx

VVP ××

=

5) Verificação do intercâmbio entre áreas. O sistema elétrico é dividido em áreas, como por exemplo a área Furnas, a área CEMIG, a

área Light. Existe compra e venda de energia entre áreas, logo é necessário previsão do quanto de energia negociar. A tecnologia FACTS, “flexible ac transmission system”, viabilizou o intercâmbio programado de energia.

área Sudeste área Sul

Figura 3.32 – Troca de energia entre áreas

~

V1, θ1 V2, θ2

21~

Qshunt

P12

~ ~

~ ~


93

6) Determinação da máxima transação de potência entre duas barras. Determinação da máxima potência que uma barra de geração pode suprir a determinada carga.

Figura 3.33 – Máxima transação de potência

7) Análise do colapso de tensão correspondente ao aumento da carga do sistema, curva P-V. Abaixo de determinado nível de tensão, provocado pelo aumento de carga, a tensão

colapsa, não existindo caminho de volta.

Figura 3.34 – Curva do nariz

Procedimento para se determinar o ponto de colapso de tensão: aumenta-se gradativamente

2LP e 2LQ e 3LP e 3LQ no sistema exemplo da Figura 3.35 até que o programa de fluxo de potência não convirja. A melhor abordagem é usar o fluxo de potência continuado, baseado em método predictor-corrector.

Figura 3.35 – Estudo de colapso de tensão

Ponto de colapso de tensão. Neste ponto a matriz jacobiana é singular e o fluxo de potência não converge.

3

2

∼

1

PL2 QL2

PL3 QL3

Operação recomendada Operação arriscada

P

V

3

4 1

~

2


94

3.9 – Controles e Limites

Um sistema de energia elétrica tem uma série de dispositivos de controle que influem diretamente nas condições de operação e, portanto devem ser incluídos na modelagem do sistema para que se possa simular corretamente seu desempenho. À formulação básica do problema de fluxo de carga devem, então, ser incorporadas as equações que representam esses dispositivos de controle bem como as inequações associadas aos limites de operação do sistema.

Entre os controles geralmente representados em programas de fluxo de carga temos: Controle de tensão:

• Controle de magnitude de tensão nodal por injeção de reativos; • Controle de magnitude de tensão nodal por ajuste de tap.

Controle de potência ativa:

• Controle de fluxo de potência ativa; • Controle de intercâmbio entre áreas.

Os limites de operação mais comuns são:

• Limites de injeção de potência reativa em barras PV; • Limites de tensão em barras PQ; • Limites de taps de transformadores; • E limites de fluxos em circuitos.

A referência básica para o texto a seguir é o livro “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica ” de Alcir Monticelli.

3.9.1 – Modos de representação

Existem basicamente três maneiras de representar os controles mencionados anteriormente:

a) Classificação por tipo de barra (PQ, PV, Vθ, etc) e o agrupamento das equações

correspondentes nos subsistemas 1 e 2. b) Mecanismos de ajuste executados alternadamente com a solução iterativa do Subsistema 1,

ou seja, durante o cálculo de uma iteração as variáveis de controle permanecem inalteradas e, entre uma iteração e outra, essas variáveis são reajustadas procurando-se fazer que as variáveis controladas se aproximem cada vez mais dos respectivos valores especificados.

c) Incorporação de equações e variáveis adicionais ao Subsistema 1 ou substituição de equações e variáveis dependentes desse subsistema por novas equações e/ou variáveis.

Em relação ao processo de resolução das equações básicas do fluxo de carga, a introdução da

representação de controles automáticos traz algumas complicações adicionais que devem ser observadas. A convergência do processo iterativo geralmente fica mais lenta. A interferência entre controles que são eletricamente próximos pode levar, em algumas situações, à não-convergência do processo iterativo. Além disso, a ocorrência de soluções múltiplas para um mesmo problema torna-se bastante freqüente quando os dispositivos de controle são incluídos na modelagem do sistema.

3.9.2 – Ajustes alternados

O processo de ajustes iterativos, efetuados alternadamente com as iterações do processo de resolução do Subsistema 1, objetiva manter a variável controlada z em um valor especificado zesp, corrigindo-se convenientemente a variável de controle u:

Δu = α Δz = α (zesp – zcal)

em que Δu é a correção na variável de controle; Δz é o erro na variável controlada (valor especificado menos valor calculado); e α é a relação de sensibilidade entre as variáveis u e z.

O esquema geral do procedimento de ajuste é descrito a seguir:


95

i) Definir os valores iniciais; ii) Obter uma solução inicial do Subsistema 1, que fornece o estado do sistema. (Solução obtida

com tolerâncias maiores ou com número de prefixado de iterações); iii) Estimar os valores atuais das variáveis controladas zcal e verificar se os erros Δz já estão

dentro das tolerâncias especificadas; dependendo dos erros ΔP e ΔQ e das equações do Subsistema 1, o processo iterativo pode já estar terminado; se não estiver, ir para iv;

iv) Determinar os novos valores das variáveis de controle utilizando-se das relações do tipo, avaliando-se previamente, quando necessário, os fatores de sensibilidade α;

v) Efetuar mais uma iteração no processo de resolução do Subsistema 1 e voltar ao passo iii.

A convergência desse processo iterativo depende tanto da evolução dos controles quanto da resolução do Subsistema 1, sendo que, em geral, são os controles que determinam a convergência do processo como um todo. Deve-se notar, finalmente, que o efeito dos dispositivos de controle e os limites de operação só devem ser incorporados ao processo iterativo de resolução após ter sido obtida uma convergência parcial na resolução do Subsistema 1. Com este ato se evita problemas como a atuação indevida de dispositivos de controle e violações de limites motivados pela escolha de valores iniciais muito distantes do ponto solução.

3.9.3 – Controle de tensão em barras PV

Nas barras de geração e nas barras em que são ligados compensadores síncronos, o controle da magnitude da tensão nodal é feito pelo ajuste da corrente de campo de máquinas síncronas, que podem operar sobre ou subexcitadas, injetando ou absorvendo reativos da rede de transmissão; o mesmo tipo de controle pode ser conseguido também pela atuação de dispositivos estáticos.

Em um programa de cálculo de fluxo de carga o controle de tensão é feito da forma descrita a seguir. Considere uma barra PV na qual Vk = Vk

esp e, inicialmente, Qkmin < Qk

cal < Qkmax. Imagine, por

exemplo, que a cada iteração, aumente a injeção de reativos Qkcal necessário para manter a tensão no

valor especificado até que o limite Qkmax seja atingido. A partir daí, a tensão Vk tenderá a cair devido à

insuficiência de suporte de potência reativa. Raciocínio análogo vale quando é atingido a limite Qkmin,

caso em que a magnitude de tensão Vk tenderá a subir. As injeções de potência reativa nas barras PV devem, portanto, ser recalculadas ao final da cada iteração utilizando-se os valores atualizados do estado da rede, para observar se esses valores estão dentro dos limites especificados ou não. Se Qk

cal cair fora dos limites, o tipo da barra é redefinido, passando de PV para PQ, com a injeção de reativos fixada no limite violado (Qk

esp = Qklim). Ao mesmo tempo, a magnitude Vk da tensão da barra é liberada,

passando a ser recalculada a cada iteração. Quando ocorre uma mudança de tipo de barra (de PV para PQ), devem ser inseridas na matriz Jacobiana as linhas relativas às derivadas δQk / δθm e δQk / δVm, e as colunas correspondentes às derivadas em relação a Vk, isto é, δPm / δVk e δQm / δVk. A mesma observação vale em relação à matriz B’’.

Após uma barra PV ter sido transformada em PQ, deve-se testar, a cada iteração subsequente, a possibilidade de essa barra voltar ao seu tipo original. Considere-se, por exemplo, um caso em que a injeção de reativos esteja fixada no limite máximo, ou seja, Qk

esp = Qkmax. A variável Vk

correspondente, recalculado a cada iteração, poderá ser maior, menor ou igual ao valor especificado Vk

esp. Se Vkcal < Vk

esp, nada se altera, pois, para se aumentar a magnitude de tensão Vkcal, dever-se-ia

aumentar a injeção de reativos na barra, o que seria impossível já que Qkesp = Qk

max. Entretanto, se Vkcal

> Vkesp, para se diminuir a magnitude de tensão Vk

cal, basta que a injeção de reativos na barra seja diminuída, o que é perfeitamente viável, pois Qk

esp = Qkmax. Isso significa que, se Qk

esp = Qkmax e Vk

cal > Vk

esp, a barra poderá ser reconvertida a seu tipo original, ou seja, ao tipo PV. Por raciocínio análogo, chega-se à conclusão de que isso também é possível quando Qk

esp = Qkmin e Vk

cal < Vkesp.

3.9.4 – Limites de tensão em barras PQ

Em programas de cálculo de fluxo de carga, as magnitudes das tensões das barras PQ são recalculadas a cada iteração durante o processo de resolução do Subsistema 1. Quando o valor calculado de Vk cai fora dos limites Vk

min e Vkmax, o tipo da barra na qual ocorre a violação é

redefinido, passando de PQ para PV, com magnitude de tensão especificada no limite violado (Vkesp =

Vklim). Ao mesmo tempo, a injeção de reativo Qk nessa barra é liberada, passando a ser recalculada a

cada iteração. Considera-se, por exemplo, que a magnitude da tensão seja especificada no valor mínimo, ou seja, Vk

esp = Vkmin. Neste caso, na iteração em que ocorre a fixação no limite, o valor


96

calculado de injeção de reativos na barra será Qkcal = Qk

esp + ΔQk, em que ΔQk é um valor positivo (Capacitor shunt ligado a barra). Analogamente, quando a violação ocorre no limite superior, isto é, Vk

esp = Vkmax, o incremento de ΔQk na injeção será negativo (Indutor shunt ligado a barra).

Como decorrência das alterações no Subsistema 1, quando ocorre essa mudança de tipo de barra (de PQ para PV), devem-se remover da matriz Jacobiana a linha que contém as derivadas δQk / δθm e δQk / δVm, e a coluna correspondente às derivadas em relação a Vk, isto é, δPm / δVk e δQm / δVk. Comentário análogo vale para a matriz B’’.

Após uma barra PQ ter sido transformada em PV, deve-se testar, a cada iteração subsequente, a possibilidade de essa barra voltar ao seu tipo original. Considera-se que a magnitude de tensão esteja fixada no limite mínimo, isto é, Vk

esp = Vkmin. A variável Qk correspondente, recalculada a cada

iteração, poderá ser maior, menor ou igual ao valor especificado Qkesp. Se Qk

cal > Qkesp, nada se altera,

pois a injeção extra de reativos, ou seja, ΔQk = Qkcal - Qk

esp > 0, é indispensável para não deixar a magnitude de tensão Vk cair abaixo de Vk

min. Entretanto, se Qkcal < Qk

esp, a injeção incremental ΔQk será negativa, significando que, se ela for eliminada, a magnitude de tensão Vk aumentará, entrando na faixa permitida. Isso significa que, se Vk

esp = Vkmin e Qk

cal < Qkesp, a barra poderá ser reconvertida a seu tipo

original, isto é, ao tipo PQ. Por raciocínio análogo, chega-se à conclusão de que isso também é possível quando Vk

esp = Vkmax e Qk

cal > Qkesp.

3.9.5 – Transformadores em-fase com controle automático de tap

Os transformadores com controle automático de tap podem ser utilizados na regulação de magnitudes de tensões nodais. Considere um transformador em-fase com terminais k e m, cuja relação de transformação akm deve ser variada para controlar a magnitude de Vm de uma das tensões terminais. Os fluxos de potência em um transformador em-fase obedecem ao mesmo tipo de equação que os fluxos em uma linha de transmissão, com a única diferença de que, em lugar de Vk, aparece akmVk:

Pkm = (akmVk)2gkm – (akmVk)Vmgkmcosθkm – (akmVk)Vmbkmsenθkm

Qkm = -(akmVk)2bkm + (akmVk)Vmbkmcosθkm – (akmVk)Vmgkmsenθkm

A relação de sensibilidade

Δakm = αΔVm pode ser utilizada na determinação da correção Δakm a ser introduzida na variável de controle akm objetivando corrigir o erro

ΔVm = Vmesp - Vm

cal em que Vm

esp é o valor especificado e Vmcal é o valor calculado na iteração mais recente. Se a barra k,

que é o terminal oposto do transformador, for rígida, ou seja, se a magnitude de tensão Vk for pouco suscetível às variações de relação de transformação akm, então o fator de sensibilidade α será aproximadamente unitário.

A barra m passa a ser classificada como sendo do tipo PQV, isto é, as variáveis Pm, Qm e Vm são especificadas. Com isso, o Subsistema 1 fica com uma incógnita a menos (Vm), que é então substituída no vetor de variáveis dependentes pela relação de transformação akm. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:

NPQ NPV

NPQV ∆P

=

δP δθ

δP δV

δP δa .

∆θ NPQ NPV NPQV

∆V NPQ NPQ NPQV ∆Q

δQ δθ

δQ δV

δQ δa ∆a NT = NPQV

onde NPQ é o número de barras PQ; NPV é o número de barras PV; NT é o número de transformadores com controle automático e tap; e NPQV é o número de barras PQV.


97

3.9.6 – Transformadores defasadores com controle automático de fase

Esse tipo de transformador pode ser utilizado para regular o fluxo de potência ativa nos ramos onde são inseridos. Os fluxos de potência através de um defasador puro obedecem ao mesmo tipo de equação que os fluxos em uma linha de transmissão, com a única diferença de que, em vez de abertura angular θkm, aparece o ângulo θkm + ϕkm, em que ϕkm é a fase do defasador.

Pkm = Vk2gkm – VkVmgkmcos(θkm + ϕkm) – VkVmbkmsem(θkm + ϕkm)

Qkm = -Vk2bkm – VkVmbkmcos(θkm + ϕkm) – VkVmgkmsem(θkm + ϕkm)

A simulação do controle do fluxo de potência ativa através do defasador pode ser feita utilizando-

se a relação de sensibilidade

Δϕkm = αΔPkm em que Δϕkm é a correção introduzida na variável de controle ϕkm e ΔPkm é o erro.

ΔPkm = Pkmesp - Pkm

cal sendo Pkm

esp o valor especificado do fluxo no defasador e Pkmcal o valor calculado na iteração mais

recente. O significado do fator de sensibilidade α pode ser mais bem entendido pela análise do circuito

equivalente linearizado da figura a seguir, no qual o sistema é reduzido a dois nós terminais do defasador. O equivalente é caracterizado por dois parâmetros, a reatância equivalente xkm

eq e as injeções equivalentes Pk

eq e Pmeq. Note-se que xkm

eq é a reatância equivalente entre os nós k e m, excluindo-se o defasador. As duas leis de Kirchhoff aplicadas ao circuito da figura resultam em:

Pkeq = Pkm + Pkm

eq = Constante

ϕkm – xkmPkm + xkmeqPkm

eq = 0

Assim: ϕkm – (xkm + xkm

eq)Pkm + xkmeqPkm

eq = 0

Seja ΔPkm a alteração provocada no fluxo Pkm pela correção Δϕkm no ângulo do defasador; Assim:

Δϕkm – (xkm + xkmeq) ΔPkm = 0

ou seja, o fator de sensibilidade α é dado por:

α = Δϕkm / ΔPkm = xkm + xkmeq

Esse fator pode ser interpretado da seguinte maneira. Se, além do defasador, existem caminhos

alternativos de baixa reatância entre os nós k e m, a reatância equivalente xkmeq será pequena, o que

implica um α próximo a xkm, ou seja, α será suficiente para produzir uma alteração significativa no fluxo Pkm. Por outro lado, se o único caminho entre k e m for pelo próprio defasador (xkm

eq = ∞ ) ou, se os caminhos paralelos apresentarem reatância muito elevadas (xkm

eq > xkm), então Pkm será insensível, ou praticamente insensível, às variações de ϕkm.

Da mesma forma que ocorre com os transformadores em-fase, em vez de se efetuarem as correções, pode-se representar o efeito dos transformadores defasadores redefinindo-se o Subsistema 1. Para cada

Pkeq

θk

Pkmeq

xkmeq

xkm ϕkm

Pkm Pmeq = - Pk

eq

θm


98

defasador, é incluída uma nova equação que relaciona ∆Pkm com ∆φkm, ou seja, o Subsistema 1 fica acrescido de uma equação ΔPkm=0 e uma incógnita φkm. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:

∆P δP δθ

δP δV

δP δφ ∆θ

∆Q = δQ δθ

δQ δV

δQ δφ . ∆V

ND ∆PD δPD δθ

δPD δV

δPD δφ ∆φ ND

3.9.7 – Controle de intercâmbio entre áreas

Em uma rede interligada é necessário que sejam controlados os intercâmbios de potência ativa entre as várias áreas que compõem o sistema. Em uma rede com NA áreas são controlados os intercâmbios de NA–1 áreas, pois o intercâmbio de uma delas fica definido pelas demais. O intercâmbio líquido de potência ativa de uma área é definido como a soma algébrica dos fluxos nas linhas e nos transformadores que interligam essa área com as demais (as exportações são consideradas positivas e as importações, negativas). A cada área do sistema é associada uma barra de folga (slack), sendo que a barra de folga de uma das áreas funciona também como barra de folga do sistema (em geral é uma barra do tipo Vθ, que serve também como referência angular para o sistema). Com exceção da barra de folga do sistema, as injeções de potência ativa nas barras de folga das demais áreas são ajustadas para manter os intercâmbios líquidos dessas áreas nos valores especificados. Note-se que o controle de intercâmbio regula o intercâmbio total de uma área, ou seja, mantém em um valor especificado a soma algébrica dos intercâmbios individuais nas linhas e nos transformadores que interligam a área com o resto do sistema. Se, além do intercâmbio líquido, for necessário o controle do fluxo de potência ativa em uma ligação especifica, deve-se utilizar um transformador defasador.

Uma maneira de se considerar o controle de intercâmbio entre áreas consiste em intercalarem-se as correções dadas pela relação de sensibilidade entre duas iterações consecutivas do processo iterativo de resolução do Subsistema 1. Neste caso temos:

ΔPFi = ΔPIi

em que α = 1; ΔPFi é a correção na geração da barra de folga da área i; e APIi é o erro no intercâmbio liquido da barra i, dado por

ΔPIi = PIiesp - PIi

cal sendo PIi

esp o valor especificado para o intercâmbio da área i e PIical, o valor calculado na iteração mais

recente. A representação do controle de intercâmbio entre áreas também pode ser feito por alterações

introduzidas no Subsistema 1. As barras de folga das áreas, com exceção da barra de folga do sistema (barra Vθ), são classificadas como do tipo V (só as magnitudes das tensões nodais são especificadas), ou seja, as injeções de potência ativa nessas barras deixam de ser especificadas e as equações dos resíduos correspondentes (Pi

esp - Pical = 0) saem do Subsistema 1 e Pk passa a ser calculada no

Subsistema 2. No lugar dessa equação é introduzida a equação de intercâmbio da área:

PIiesp - PIi

cal = 0

mantendo-se dessa forma a igualdade entre o número de equações e incógnitas do Subsistema 1. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:

NPQ NPV ∆P

δP δθ

δP δV

δP δ θF ∆θ NPQ

NPV

NPQ ∆Q = δQ δθ

δQ δV

δQ δ θF . ∆V NPQ

NV ∆PI δPI δθ

δPI δV

δPI δ θF ∆θF NV = NA - 1


99

3.9.8 – Controle de tensão em barras remotas

Esse tipo de controle pode ser executado tanto por transformadores em-fase como por injeção de reativos. No caso do controle por transformadores automáticos, a única diferença em relação ao que foi visto é que a barra cuja tensão é controlada não é um dos terminais do transformador. Dessa forma, no essencial, continuam válidas todas as observações feitas naquela seção.

O controle remoto de magnitude de tensão por injeção de reativos apresenta algumas diferenças em relação ao caso em que a injeção de reativos é utilizada para controlar a tensão da própria barra. A barra de controle é classificada como do tipo P, enquanto a barra cuja magnitude de tensão é controlada, é classificada como do tipo PQV. Uma barra do tipo P é representada no Subsistema 1 por uma equação (Pk

esp – Pkcal = 0), uma barra tipo PQV contribui com duas equações (Pk

esp – Pkcal = 0 e

Qkesp – Qk

cal = 0). Por outro lado, a uma barra do tipo P estão associadas duas incógnitas (Vk,θk) do Subsistema 1 e a uma barra do tipo PQV corresponde uma única incógnita (θk). Dessa forma, um par formado por uma barra do tipo P (barra de controle) e uma barra do tipo PQV (barra controlada) contribuem para o Subsistema 1com três equações e três incógnitas. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:

NPQVNPQNPV

NP

∆P

=

δP δθ

δP δV

. ∆θ

NPQV NPQ NPV NP

NPQVNPQ ∆Q δQ

δθ δQ δV ∆V NPQ

NP 3.9.9 – Cargas variáveis com a tensão

A representação de cargas por injeções constantes de potência ativa e reativa nem sempre corresponde ao comportamento real do sistema. A rigor, a modelagem por injeção de potência constante só seria inteiramente correta se as magnitudes das tensões nodais das cargas permanecessem iguais aos respectivos valores nominais. Entretanto, em algumas aplicações do cálculo do fluxo de carga, como é o caso dos programas de análise de estabilidade transitória, a modelagem das cargas tem efeito direto sobre os resultados, a modelagem por potência constante (independente da tensão) é, em geral, mais crítica que a modelagem por admitância constante (a carga varia com o quadrado da magnitude da tensão). Nesse tipo de aplicação, freqüentemente são observados casos estáveis classificados como instáveis, simplesmente porque não foram consideradas as variações das cargas com as magnitudes das tensões.

Um modelo geral para cargas ativas e reativas é dado pelas expressões: Pk

esp = (ap + bpVk + cpVk2)Pk

nom

Qkesp = (aq + bqVk + cqVk

2)Qknom

em que a + b + c = 1, ou seja, para Vk = 1 p.u., as cargas Pk

esp e Qkesp assumem os valores nominais

Pknom e Qk

nom. Essa alteração na definição das cargas provoca algumas pequenas mudanças na montagem da matriz Jacobiana, pois agora Pk

esp e Qkesp deixam de ser constantes e passam a ser funções

de Vk. São afetados os elementos Nkk e Lkk das submatrizes N e L, que, passam a ser dados por: Nkk = - (bp + 2cpVk)Pk

nom + Vk-1(Pk + Vk

2Gkk) Lkk = - (bq + 2cqVk)Qk

nom + Vk-1(Qk - Vk

2Bkk)

em que Pk e Qk são os valores calculados em função da estimativa mais recente do estado da rede, durante o processo iterativo de resolução das equações do fluxo de carga.


100

Capítulo 4 Estabilidade de Sistemas de Potência 4.1 – Introdução

Estabilidade de um sistema é a propriedade que o sistema tem de permanecer em um estado de equilíbrio em regime permanente ou atingir um estado de equilíbrio após ser submetido a uma perturbação.

A preocupação do estudo de estabilidade é em relação à resposta dinâmica do sistema frente a perturbação. 4.2 – Tipos de instabilidade

a) Perda de sincronismo: é um fenômeno de instabilidade angular (posição angular do rotor); b) Colapso de tensão: caso de instabilidade de tensão.

4.3 – Tipos de perturbação

a) Grandes perturbações: curto-circuito, variação brusca de carga, perda de geradores, perda de linha;

b) Pequenas perturbações: variações normais da carga. 4.4 – Tipos de estudos de estabilidade

a) Angular i) Grande perturbação: estabilidade transitória; ii) Pequena perturbação: estabilidade em regime permanente para carga leve, carga média e

carga pesada ou estabilidade dinâmica, onde se considera o controle de tensão e o controle de velocidade;

b) Tensão

i) Grande perturbação; ii) Pequena perturbação.

A estabilidade transitória analisa o ângulo interno da máquina com o tempo. A solução deste estudo

é um gráfico ângulo versus tempo, exemplificado na Figura 4.1. O objetivo deste estudo é o conhecimento de um conjunto de medidas que façam com que o sistema como um todo permaneça estável para determinados eventos.

Figura 4.1 - Ângulo delta × tempo

t

δ(t)


101

4.5 – Conceitos básicos da máquina síncrona

A Figura 4.2 mostra um esquema da máquina síncrona de pólos salientes, onde se pode ver a parte fixa da máquina ou estator, onde estão colocados os três conjuntos de bobinas onde serão induzidas as tensões, e a parte móvel ou rotor, o qual é alimentado com corrente contínua.

Figura 4.2 - Esquema da máquina síncrona 4.5.1 – Princípio de funcionamento

Com a maquina desconectada da rede alimenta-se o enrolamento do rotor com corrente contínua, o que gera um fluxo magnético estacionário φF. Gira-se o eixo do rotor com o auxílio de uma máquina motriz e este fluxo magnético, que agora gira, enlaça os enrolamentos do estator, produzindo uma tensão induzida nestes enrolamentos.

ppf

mecânicoωπω ×

=××

=24 ,

onde: mecânicoω é a velocidade angular do rotor em radianos mecânicos/segundo,

ω é a velocidade angular da tensão em radianos elétricos/segundo, f é a freqüência elétrica em Hz, p é o número de pólos da máquina síncrona, δ é o ângulo de carga.

Figura 4.3 - Torques no rotor do gerador síncrono

Se a máquina alimenta uma carga, existe circulação de correntes nas bobinas do estator, as quais criam um campo φE, mostrado na Figura 4.2. Tem-se, portanto a velocidade mecânica e o torque mecânico em um mesmo sentido e o torque eletromagnético ou apenas elétrico no sentido contrário, mostrados na Figura 4.3.

O ângulo delta varia de acordo com o torque mecânico aplicado. Se a vazão de água da máquina motriz é aumentada, aumentando a potência mecânica entregue para o gerador, e a potência elétrica é

Tmecânico

ωmecânico

Te

φF ωmecânico

δ

φE

c'

c

b'

b

a'

a

Campo magnético devido à circulação de correntes nas bobinas do estator.


102

mantida constante, o ângulo delta aumenta. Se por outro lado a potência elétrica entregue pelo gerador aumenta, mantida a vazão de água constante, o ângulo delta aumenta. A preocupação deste estudo está no balanço eletro-mecânico entre a potência mecânica fornecida ao gerador e a potência elétrica gerada. A Figura 4.4 mostra o circuito equivalente da maquina síncrona em regime permanente.

Figura 4.4 - Circuito equivalente da maquina síncrona em regime permanente

A partir da Figura 4.4 pode-se escrever:

IjXVE St&×+∠=∠ 00δ

Considera-se para o estudo de estabilidade transitória (modelo clássico) que a tensão interna da

máquina | E& | é constante. Assume-se com isto que o controle de tensão é rápido.

Potência elétrica fornecida pela máquina síncrona em regime permanente:

)(δsenX

VEPS

te ×

×= .

4.6 – Dinâmica do rotor da máquina síncrona 4.6.1 – Equação de oscilação da máquina síncrona

A Figura 4.5 mostra os torques envolvidos e o sentido de rotação da máquina.

Figura 4.5 - Rotor da máquina síncrona

onde: θmecânico é o deslocamento angular do rotor em relação a um referencial fixo em radianos mecânicos, Tmecânico é o torque mecânico em Nm, Te é o torque eletromagnético ou torque elétrico líquido, já descontado atrito, ventilação e outros, em Nm.

Da Figura 4.5 pode-se escrever:

2

2

dtdJTTT mecânico

emecânicoaθ

×=−= Nm, (4.1)

onde: J é o momento de inércia do rotor em kgm2, Ta é o torque de aceleração em Nm.

jXS

∼ δ∠E 00∠tV )cos(φ

I&

Tmecânico

ωmecânico

Te

rotor, ωmecânico

θmecânico

Referencial fixo


103

Se a máquina está em regime permanente,

emecânico TT = , 0=aT , 02

2=

dtd mecânicoθ ,

e a velocidade do rotor é ωmecânico, igual a velocidade ωSmecânico, velocidade síncrona do rotor. Quando mecânicoT é diferente de eT , 0≠aT e Smecânicomecânico ωω ≠ .

Como o interesse é com relação ao desvio da velocidade do rotor em relação à velocidade síncrona,

o referencial agora gira com a velocidade síncrona ωSmecânico, como mostra a Figura 4.6.

Figura 4.6 - Rotor com referencial que gira na velocidade síncrona

Da Figura 4.6 pode-se escrever: mecânicoSmecânicomecânico t δωθ +×= ,

dtd

dtd mecânico

Smecânicomecânico δ

ωθ

+= ,

ou seja, a velocidade do rotor dtd mecânicoθ é a soma da velocidade síncrona do rotor com o deslocamento angular do rotor em relação a velocidade síncrona e

2

2

2

2

dtd

dtd mecânicomecânico δθ

= , (4.2)

ou seja, a aceleração do rotor em relação ao referencial fixo é a mesma que a aceleração do deslocamento angular do rotor.

Substituindo-se a Equação 4.2 em 4.1 vem:

2

2

dtdJTTT mecânico

emecânicoaδ

×=−= Nm. (4.3)

Multiplicando-se toda a Equação 4.3 por mecânicoω vem:

2

2

dtdJTTT mecânico

mecânicomecânicoemecânicomecânicomecânicoaδ

ωωωω ××=×−×=× .

Chama-se mecânicoJ ω× de momento angular. Em operação estável a velocidade da máquina não difere de maneira significante da velocidade síncrona. Define-se SmecânicoJM ω×= de constante de inércia da máquina medida na velocidade síncrona, logo:

2

2

dtdMPPP mecânico

emecânicoaδ

×=−= . (4.4)

Devido à variedade de potências e tamanhos das máquinas, os fabricantes fornecem os dados das

máquinas com a constante H. Com isto a gama de valores tabelados fica bastante reduzida.

θmecânico

δmecânico

velocidade do rotor ωmecânico

velocidade síncrona ωSmecânico

Referencial fixo


104

Define-se a constante H da máquina como a razão entre a energia cinética armazenada no rotor da máquina na velocidade síncrona e sua potência elétrica trifásica aparente,

SsíncronavelocidadenarotornoarmazenadacinéticaEnergiaH _______

= , MJ/MVA, s

S

M

S

JH

SmecânicoSmecânico ωω ××=

××= 2

121 2

s,

Smecânico

SHMω

××=

2 MJ/rad. Mec (4.5)

Substituindo-se a Equação 4.5 na Equação 4.4 vem:

2

22dt

dSHPPP mecânico

Smecânicoemecânicoa

δω

×××

=−= , (4.6)

onde δmecânico é a defasagem angular do rotor em relação ao eixo que gira na velocidade síncrona

ωSm do rotor. Colocando-se a Equação 4.6 em pu, dividindo-a pela potência aparente nominal da máquina vem:

2

22dt

dHPPP mecânico

Smecânicoemecânicoa

δω

××

=−= pu.

Sabendo-se que mecânicop ωω )2/( ×= , relação entre a velocidade angular elétrica e a velocidade

angular mecânica e que mecânicop δδ ×= )2/( , relação entre o ângulo elétrico e o ângulo mecânico vem:

2

22dtdHPPP

Semecânicoa

δω

××

=−= pu. (4.7)

onde: H é a constante da máquina em MJ/MVA ou segundos,

fS ××= πω 2 está em radianos elétricos por segundo, δ está em radianos elétricos, Pa, Pmecânico, Pe estão em pu na base da máquina.

A Equação 4.7 é a equação de oscilação da máquina síncrona (swing equation). Ela relaciona uma perturbação de potência com o desvio do ângulo delta em relação a posição de equilíbrio. A solução da equação de oscilação fornece o gráfico do ângulo delta em função do tempo. A Figura 4.7 exemplifica sistema estável e sistema instável.

Figura 4.7 - Curvas de oscilação da máquina

t

δ(t)

t

δ(t)


105

4.6.2 – Tipos de estudos

1) Uma máquina versus barra infinita, que representa o resto do sistema; 2) Máquina 1 oscilando contra a máquina 2; 3) Multimáquinas.

Observação: a estabilidade é uma propriedade relativa (defasagem angular entre as máquinas )( 12δ ) e, em geral, a referência é a maior máquina.

4.7 – Equivalente de máquina ou máquina equivalente 4.7.1 – Valor da constante H na base do sistema

geradorgerador SH → , sistema

dobaseS _

sistemadobase

geradorgerador

sistemadobasena S

SHH

___

×= .

4.7.2 – Máquinas coerentes

A Figura 4.8 mostra duas máquinas coerentes, pois no evento de uma perturbação estas oscilam juntas.

Figura 4.8 - Máquinas coerentes

A diferença do módulo do ângulo delta das duas máquinas, 21 δδ − , é desprezível. Representam-se as duas máquinas G1 e G2 por uma única máquina equivalente, Gequivalente.

δδδ == 21 .

G1: 21

21

112

dtdHPP

Semecânico

δω

××

=− ,

G2: 22

22

222

dtdHPP

Semecânico

δω

××

=− .

Somando-se as duas equações obtém-se a seguinte equação para a máquina equivalente:

2

22:dtdHPPG

Semecânicoeequivalent

δω

××

=− , onde 21 HHH += , 21 mecânicomecânicom PPP += e 21 eee PPP += .

G2

G1 ~

~ δ1

t

δ(t)

δ2


106

Exemplo 4.1. Sejam os dois geradores a seguir.

500:1G MVA, 8,41 =H MJ/MVA, 333.1:2G MVA, 27,32 =H MJ/MVA, e a potência base do sistema Sbase = 100 MVA.

Se G1 e G2 são coerentes, determinar a constante H da máquina equivalente na base do sistema.

59,67100

333.127,3100

5008,4=

×+

×=H MJ/MVA,

onde H é a constante equivalente na base do sistema que é de 100 MVA, o primeiro termo é a

constante H da máquina 1 na base do sistema e o segundo termo é a constante H da máquina 2 na base do sistema. 4.7.3 – Máquinas não coerentes

A Figura 4.9 mostra sistema de duas máquinas não coerentes.

Figura 4.9 - Máquinas não coerentes

G1: 21

21

112

dtdHPP

Semecânico

δω

××

=− ,

G2: 22

22

222

dtdHPP

Semecânico

δω

××

=− .

Explicitando-se o termo de segunda derivada em ambas as equações vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×=

1

1121

2

2 HPP

dtd emecânicoSωδ , (4.8)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −×=

2

2222

2

2 HPP

dtd emecânicoSωδ . (4.9)

Fazendo-se a diferença entre as Equações 4.8 e 4.9 obtém-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−×=−

2

22

1

1122

2

21

2

2 HPP

HPP

dtd

dtd emecânicoemecânicoSωδδ .

Chamando-se 21 δδ − de 12δ , multiplicando-se a equação por Sω2 e rearrumando-se termos vem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=×

2

2

1

1

2

2

1

1212

22HP

HP

HP

HP

dtd eemecânicomecânico

S

δω

.

Multiplicando-se a equação por ( )212112 HHHHH +×= vem:

G2 G1 ~ ~ δ12

δ(t)

t


107

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×

−+×

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×−

+×

=××

21

12

21

21

21

12

21

21212

2122

HHHP

HHHP

HHHP

HHHP

dtdH eemecânicomecânico

S

δω

, que está na forma

1212212

2122

emecânicoS

PPdt

dH−=×

× δω

,

onde:

21

2112 HH

HHH+×

= , 21

122112 HH

HPHPP mecânicomecânicomecânico +

×−×= e

21

122112 HH

HPHPP eee +

×−×= .

A solução da equação de oscilação é a diferença entre 1δ e 2δ , mostrada na Figura 4.10.

Figura 4.10 - Solução com máquinas não coerentes

Exemplo 4.2. G1 é gerador síncrono e G2 motor síncrono, conectados por rede puramente reativa. Desprezando-se as perdas vem:

mecânicomecânicoG PPP =−= 11 ,

eee PPP =−= 21 , mecânicomecânico PP =12 , ee PP =12 ,

emecânicoS

PPdt

dH−=×

×212

2122 δ

ω.

4.8 – Equação potência-ângulo

Esta equação reúne o modelo do balanço eletromecânico, equação de oscilação, com o modelo elétrico do sistema, que são as equações do fluxo de potência, ou seja,

emecânicoS

PPdtdH

−=××

2

22 δω

.

Hipóteses: 1) A potência mecânica fornecida para a máquina é constante devido à dinâmica lenta do

regulador de velocidade da máquina motriz, logo toda a perturbação só está na potência elétrica. Se mecânicoe PP = a máquina está em regime permanente e gira na velocidade síncrona Sω , se mecânicoe PP < a máquina acelera, se mecânicoe PP > a máquina freia.

2) A variação da velocidade é pequena )( ωΔ , esta não afeta a tensão interna da máquina, logo E&

é constante. 3) Modelo da máquina síncrona.

A Figura 4.11 mostra o modelo da máquina síncrona, onde dx' é a reatância transitória de eixo direto.

4) Os ângulos de carga são medidos em relação a uma referência única, a referência do sistema.

t

δ12


108

Figura 4.11 - Modelo da máquina síncrona

Seja gerador ligado ao sistema e este ligado a outro gerador como mostrado na Figura 4.12(a).

(a)

(b)

Figura 4.12 - Representação do sistema e das máquinas As tensões nas barras 1 e 2 são as de interesse, pois guardam o ângulo delta da tensão interna. A

rede, sistema acrescido com dx' , mostrado na Figura 4.12(b), é representada pela matriz admitância de barra,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

YYYY

YBARRA .

Pela equação do fluxo de potência,

{ }∑=

×+×××=n


1

)()cos( θθ ,

que para a barra 1 fica,

)()cos( 12122112122111211 δδ senBEEGEEGEP ×××+×××+×= .

Substituindo-se nesta equação )()cos( 12121212121212 θθ senYjYjBGY ×+×=+= vem:

)()()cos()cos( 121212211212122111211 δθδθ sensenYEEYEEGEP ××××+××××+×= .

Colocando-se termos em evidência fica:

( ))()()cos()cos( 12121212122111211 δθδθ sensenYEEGEP ×+××××+×= .

Lembrando-se que )()()cos()cos()cos( bsenasenbaba ×+×=− vem:

)cos( 1212122111211 θδ −×××+×= YEEGEP .

Chamando-se 2/1212 πγθ += vem:

)()2/cos()cos( 121212121212 γδπγδθδ −=−−=− sen .

δ∠E

jx'd

∼ α∠tV

1 2~ ~ Sistema com

x'd das máquinas

E1∠δ1 E2∠δ2

jx'd1

~ ~ Sistema

1E& 2E& jx'd21 2


109

)( 1212122111211 γδ −×××+×= senYEEGEP , que é a equação potência-ângulo. Esta equação é da

forma:

=1P teconsP tan )( 1212 γδ −×+ senPmáximo , mostrada na Figura 4.13.

Figura 4.13 - Gráfico da equação potência-ângulo

Caso particular: somente reatâncias, desprezam-se as resistências.

011 =G , 12

121

xY = , 02/2/2/1212 =−=−= πππθγ .

ePsenx

EEP =××

= )( 1212

211 δ ,

onde 12x é a reatância de transferência entre as barras 1 e 2. A Figura 4.14 mostra a potência versus o ângulo delta de sistema representado somente por reatâncias.

Figura 4.14 - Potência em sistema representado somente por reatâncias

Exemplo 4.3. Determinar a curva potência-ângulo, Pe × δ, do sistema da Figura 4.15 nas condições de operação a

seguir, sabendo-se que a barra a é barra infinita.

Figura 4.15 - Sistema do Exemplo 4.3 onde a barra a é uma barra infinita x'd = 0,20; Pe = 1,0 pu, logo Pmecânico = 1,0 pu; Vt = 1,0 pu (tensão terminal do gerador); H = 5

MJ/MVA ou 5 s.

P1

δ12 γ12 γ12+π/2

Pconstante + Pmáximo

Pconstante

π/2 δ12

Pmáximo

P1

j0,40

j0,40

j0,10

Pe

000,1 ∠=aE&

G1 G2

a


110

a) Condição normal de operação

A Figura 4.16 mostra o diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 em condição normal de operação.

Figura 4.16 - Diagrama de impedâncias pré falta do sistema da Figura 4.15

)( 12)_(1

1)_)(1( δsenx

EEP permanenteregimea

apermanenteregimeae ×

×=

&&,

5,04,0//4,01,02,0)_(1 jjjjjx permanenteregimea =++= .

Potência elétrica transmitida entre as barras t e a.

)()_()_)((

tpermanenteregimeta

atpermanenteregimetae sen

xVVP δ×

×= .

3,04,0//4,01,0)_( jjjjx permanenteregimeta =+= .

Substituindo-se valores vem: 0)_)(( 46,173,0)()(

3,00,10,10,1 =⇒=→×

×== ααα sensenP permanenteregimeta

e .

IjVE t&&& ×+= 20,01 , 0

0073,8012,1

3,000,146,170,1

3,0∠=

∠−∠=

−=→

jjEVI at&&

& ,

01

00001 44,2844,2805,173,890012,120,046,170,1 =→∠=+∠×+∠= δE& . Se 0

2 0=δ vem:

)(10,2)(5,0

0,105,1 )_)(1()_)(1( δδ senPsenP permanenteregimeae

permanenteregimeae ×=⇒×

×= .

b) Curto-circuito trifásico no meio da linha inferior

A Figura 4.17 mostra o diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 quando submetido

a curto trifásico no centro de uma das linhas de transmissão.

Figura 4.17 - Diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 sob falta

)( 1)(1

1))(1( δsenx

EEP faltaa

afaltaae ×

×= .

≡

j0,40 1E&

j0,10 j0,20

000,1 ∠=aE&

G1

j0,40

G2 Vt = 1,0∠α

1 a 2

j0,20 1E&

j0,10 j0,20

000,1 ∠=aE&

G1

j0,40

G2

j0,20

1 a 2 ≡


111

Método para resolver a rede: determinar YBARRA, no caso de dimensão 3 e depois reduzi-la para a dimensão igual ao número de geradores. A Figura 4.18 mostra a rede redesenhada com a falta, as barras renumeradas e agora com as admitâncias dos elementos.

Figura 4.18 - Diagrama de admitâncias do sistema da Figura 4.15 sob falta

Utilizando-se o algoritmo de construção da matriz YBARRA vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

83,1050,233,350,250,700,033,300,033,3

jjjjjjj

YBARRA .

Deseja-se a reatância de transferência entre as barras 1 e 2. Fazendo-se a eliminação da barra 3 por

Kron vem:

308,283,10

33,333,333,3'11 jj

jjjY −=−

×−−= ,

769,083,10

50,233,300,021'12' jj

jjYY =−

×−== ,

923,683,10

5,250,250,7'22 jj

jjjY −=−

×−−= .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

923,6769,0769,0308,2

'jj

jjY BARRA .

A admitância de transferência entre as barras 1 e 2 é: 769,01212 jYy −=−= ,

300,1769,0

112 =

−=

jx .

)(808,0)(300,1

0,105,1 ))(1())(1( δδ senPsenP faltaae

faltaae ×=⇒×

×= , onde as duas tensões são constantes.

c) Os dois disjuntores da linha inferior são abertos para a eliminação da falta

A Figura 4.19 mostra o diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 com a linha sob

falta removida.

Figura 4.19 - Diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 com a linha sob falta removida

)(5,1)(70,0

0,105,1)( )_)(1()_(

12

21)_)(1( δδδ senPsensenx

VEP faltapósaefaltapós

faltapósae ×=⇒×

×=×

×= ,

onde as duas tensões são constantes.

–j2,5

–j5,0 –j5,0

1E&

–j3,33

000,1 ∠=aE&

G1 G2

1 2

3

j0,10j0,20 j0,40

1E& 000,1 ∠=aE& G1 G2

1 a 2≡


112

d) Equações de oscilação dos três casos abordados.

1. Antes da falta

)(1,20,10,377

0,102

2δδ sen

dtd

×−=× .

2. Durante a falta

)(808,00,10,377

0,102

2δδ sen

dtd

×−=× .

3. Após a falta

)(5,10,10,377

0,102

2δδ sen

dtd

×−=× .

A Figura 4.20 resume as três curvas obtidas, potência elétrica versus ângulo, e o ponto de operação

antes da falta.

Figura 4.20 - Figura com os casos a, b, c estudados

4.9 – Conceitos sobre o regime transitório da máquina síncrona

O sistema exemplo da Figura 4.15 opera em regime permanente no ponto a mostrado na Figura 4.21. Em t = 0 ocorre curto-circuito trifásico temporário nos terminais do gerador com potência elétrica transmitida igual a zero e a máquina passa a operar no ponto b. Durante o curto a potência elétrica transmitida é igual a zero (Pe = 0,0), a máquina acelera e o ângulo delta aumenta. Quando t = tcrítico e δ = δcrítico o curto é eliminado, ficando o sistema com a mesma configuração inicial. A máquina volta a operar na senóide, no ponto d, e começa a frear pois mecânicoe PP > , porém devido a inércia do rotor o ângulo delta continua a aumentar. No caso do sistema ser estável para esta perturbação e para este tempo de limpeza da falta, o ponto e, para o qual a velocidade do rotor é a síncrona, não pode passar de δmáximo. Neste caso (estável) a máquina desacelera, porém não fica no ponto de operação a devido a inércia do rotor, indo então até o ponto f, onde a velocidade é a síncrona. Novamente a máquina acelera e continua a oscilar até se estabilizar no ponto a, pois a configuração do sistema é a mesma antes da falta e após a eliminação da falta.

Figura 4.21 - Oscilação da máquina para falta trifásica e potência elétrica transmitida nula

A Tabela 4.1 resume o balanço de potência em cada um dos pontos de interesse da curva potência-ângulo da Figura 4.21.

2,10

1,50

Pmecânico = 1,0 0,808

δ0 δ

curva pré falta, 2 linhas curva pós falta, 1 linha curva em falta, 2 linhas+falta

Pe

f

ad e

δmáximo = π – δ0

Pmecânico

Pe

δcrítico δ0

Pmáximo

δ2

ωR0

δ cb

ωR0

ωR0


113

Ponto de operação

Balanço de potência

Aceleração 22 dtd δ

Velocidade angular

a Pe = Pmecânico 0 ωS

b→c Pe < Pmecânico + > ωS

d→e Pe > Pmecânico – > ωS

e Pe > Pmecânico – ωS

e→a Pe > Pmecânico – < ωS a→f Pe < Pmecânico + < ωS

f Pe < Pmecânico + ωS

Tabela 4.1 - Balanço de potência em regime transitório

Critério das áreas iguais: A1 acelera e A2 freia. →> 21 AA instável.

A máquina pode operar em regime permanente até 900.

4.10 – Critério das áreas iguais

O critério das áreas iguais é usado para analisar a estabilidade transitória de uma máquina contra uma barra infinita ou para examinar a estabilidade transitória de duas máquinas, sem a necessidade de solucionar a equação de oscilação. A seguir conceitos para esta análise.

4.10.1 – Potência elétrica transmitida igual a zero durante o curto

A3 = A4, onde a área vai até o eixo Pmecânico. A máquina não pode passar, na parte descendente da curva, da potência mecânica.

Figura 4.22 – Critério das Áreas Iguais

Seja a equação swing,

emecânicoS

PPdtdH

−=××

2

22 δω

. Se

Rω é a velocidade do rotor em relação à velocidade síncrona, ω é a velocidade do rotor,

Sω é a velocidade síncrona, então dtdSR δωωω =−= . Multiplicando-se o membro da esquerda da equação swing por Rω e o

membro da direita por dtdδ e lembrando-se que dtddtd Rωδ =22 vem:

( )dtdPP

dtdH

emecânicoR

RS

δωωω

×−=××× 2 ,

( ) δωω

dPPdHemecânicoR

S−=× 2 ,


Pmecânico

Pe

δcrítico δ0

A1

A2

Pmáximo

δ2

ωR0

δ


114

( )∫∫ −=×2

0

22

0

δ

δ

ω

ω

δωω

dPPdHemecânicoR

S

R

R

,

( ) ( )∫ −=−×2

0

20

22

δ

δ

δωωω

dPPHemecânicoRR

S.

Considerando-se que tanto no ponto δ0 quanto no ponto δ2 a velocidade do rotor é a síncrona, isto

é, ω = ωS, ωR0 = ωR2 = 0,

( )∫ =−2

0

0δ

δ

δdPP emecânico ,

que resume o critério das áreas iguais, que pode ser aplicado a quaisquer dois pontos em que a

velocidade do rotor é a velocidade síncrona. Integrando-se a equação acima vem:

( ) ( )∫∫ =−+−2

0

0δ

δ

δ

δ

δδcrítico

crítico

dPPdPP emecânicoemecânico ,

( ) ( )444 3444 21444 3444 21

2

2

1

0

A

mecânicoe

A

emecânico

crítico

crítico

dPPdPP ∫∫ −=−δ

δ

δ

δ

δδ ,

a potência elétrica é assumida zero, pois a falta é na barra do gerador. A Figura 4.23 mostra as

áreas A1 e A2.

4.10.2 – Ângulo crítico de eliminação da falta para potência elétrica nula transmitida durante a falta

Figura 4.23 - Critério das áreas iguais Se críticoabertura δδ > o sistema é instável.

21 AA =

( ) 01

0

δδδδ

δ

×−×=−= ∫ mecânicocríticomecânicoemecânico PPdPPAcrítico

, pois a potência elétrica transmitida

durante a falta é zero.

( ) ( )∫∫ −×=−=máximo

crítico

máximo

crítico

dPsenPdPPA mecânicomáximomecânicoe

δ

δ

δ

δ

δδδ )(2 ,

máximomecânicocríticomecânicocríticomáximomáximomáximo PPPPA δδδδ ×−×+×+×−= )cos()cos(2 .


Pmecânico

Pe

δcrítico δ0

A1

A2

Pmáximo

δ


115

Igualando-se A1 e A2 vem:

)cos()()cos( 0 máximomáximomáximo

mecânicocrítico P

Pδδδδ +−×= .

Sabendo-se que 0δπδ −=máximo e )cos()cos( 0δδ −=máximo vem:

)( 00δδ senPPP máximoemecânico ×== ,

)cos()2()()cos( 000 δδπδδ −×−×= sencrítico . Tirando-se o valor de críticoδ vem:

{ })cos()2()(cos 0001 δδπδδ −×−×= − sencrítico radianos. (4.10)

A fórmula de críticoδ , para potência elétrica transmitida igual a zero durante a falta, só depende de

0δ , logo a estabilidade do sistema só depende do ponto de operação.

4.10.3 – Tempo crítico de eliminação de falta

Este tempo está associado ao ângulo críticoδ . Para o período de aceleração A1 vem:

( )H

PPPHdt

d mecânicoSemecânico

S

××

=−×

=222

2 ωωδ , pois a potência elétrica transmitida durante a falta é

zero, e a velocidade relativa do rotor é:

tH

PdtH

Pdtd mecânicoS

tmecânicoS

R ××

×=

××

== ∫ 220

ωωωδ ,

0

2

0042

δωω

ωδ +×

××=

×××

== ∫∫ HtPdt

HtPdt mecânicoS

tmecânicoS

t

R , pois em t = 0 o ângulo é 0δ .

O tempo crítico que corresponde ao delta crítico é:

( )mecânicoS

críticocrítico P

Ht×

××−=

ωδδ 40 segundos onde os ângulos estão em radianos. Válida somente quando

a potência elétrica transmitida durante o defeito é zero. Se o tempo de eliminação do defeito (tabertura) for maior que o tempo crítico (tcrítico) o sistema será

instável. Exemplo 4.4. Determinar o tempo crítico e o ângulo crítico para o sistema da Figura 4.24 operando em regime

permanente quando ocorre falta trifásica na saída do gerador. 5=H MJ/MVA = 5 s.

Figura 4.24 - Sistema exemplo

Determinação do ângulo de operação em regime permanente )( 0δ . Do exemplo anterior 0,1)(10,2 =×= δsenPe pu 496,044,28 0

0 ==→δ radianos. Por substituição

direta da fórmula determina-se o ângulo crítico, { })cos()2()(cos 0001 δδπδδ −×−×= − sencrítico ,

426,1=críticoδ radianos ou 072,81=críticoδ , mostrado na Figura 4.25.

j0,10 000,1 ∠=aE&

G1

j0,40

j0,40

G2


116

Figura 4.25 - Curva potência ângulo do sistema exemplo antes da falta

22,00,10,377

20)496,0426,1(=

××−

=críticot segundos, ou 13 ciclos.

4.10.4 – Análise de casos

Seja o sistema da Figura 4.24. 1) Falta trifásica no meio da linha eliminada instantaneamente pelo desligamento da linha e

posteriormente religada com sucesso

A falta ocorre quando a máquina opera em regime permanente com ângulo δ0. Na ocorrência do curto esta passa a operar na curva inferior, pois a linha em falta foi aberta instantaneamente. A máquina oscila e após algum tempo tem como ponto de repouso o ângulo δ1 pois neste ponto Pe = Pmecânico. Quando em δ1 a linha é religada e a máquina volta a operar na curva superior. Esta oscila até repousar em δ0. A Figura 4.26 mostra o exposto.

Figura 4.26 - Curvas potência ângulo em caso de defeito

2) Falta trifásica no meio da linha, que é posteriormente eliminada pela abertura da linha em falta e depois religada com sucesso. Em críticoδ ocorre o desligamento da linha em falta. Em tδ ocorre o religamento da linha. A máquina opera em regime permanente em δ0. Quando ocorre o curto-circuito trifásico, esta passa a operar na curva inferior e acelera. Quando em δcrítico a linha é aberta e a máquina passa a operar na curva do meio. Devido a inércia do rotor o ângulo δ continua a abrir (aumentar) e, quando em δt a linha é religada com sucesso e a máquina passa a operar na curva superior. A Figura 4.27 mostra o exposto.

Figura 4.27 - Falta não removida instantaneamente O sistema é estável se com apenas 1 linha o ponto de equilíbrio é 1δ .

δmáximo

Pmecânico

Pe

δcrítico δ0

=

=

δ

2 linhas 1 linha 2 linhas+falta

δmáximo

Pmecânico = 1,0

Pe

δcrítico δt δ0 δ1 δ

δmáximo

Pmecânico

Pe

δcrítico δ0 δ1

=

=

δ

2 linhas 1 linha


117

4.10.5 – Ângulo crítico de eliminação da falta com transmissão de potência elétrica diferente de zero durante a falta

A Figura 4.28 mostra o sistema a ser estudado e a Figura 4.29 mostra as três diferentes curvas

potência-ângulo.

Figura 4.28 - Sistema exemplo

Figura 4.29 - Curvas potência-ângulo

O sistema da Figura 4.28 opera em regime permanente com o ângulo interno da máquina 0δ e com

emecânico PP = quando ocorre curto-circuito trifásico no centro da linha inferior. A máquina passa então a operar na curva inferior da Figura 4.29 e acelera. A limpeza da falta acontece em δcrítico com a abertura da linha em falta, e a máquina passa a operar na curva do meio. Devido a inércia do rotor o ângulo delta continua a abrir (aumentar). A limpeza da falta tem que ser tal que A1 ≤ A2.

O ângulo delta crítico ( críticoδ ) de abertura será na condição A1 = A2.

( )∫ −=crítico

dPPA faltaemecânico

δ

δ

δ0

)(1 , ( )∫ −=

máximo

crítico

dPPA mecânicofaltapós

e

δ

δ

δ)_(2 .

Sabendo-se que a potência transmitida em regime permanente é:

),()_( δsenPP máximo

permanenteregimee ×=

)()( 1

)()( δδ senPrsen

PP

P máximomáximo

faltamáximofalta

e ××=×=,

)()( 2

)_()_( δδ senPrsen

PP

P máximomáximo

faltapósmáximofaltapós

e ××=×=, onde

máximo

faltamáximo

PP

r)(

1 =, máximo

faltapósmáximo

PP

r)_(

2 =.

( ) ( ) ( ] crítico

crítico

máximocríticomecânicomáximomecânico PrPdsenPrPA δδ

δ

δ

δδδδδ0

0

)cos()( 1011 −××−−×=××−= ∫,

)cos()cos( 01101 δδδδ ××−××+×−×= máximocríticomáximomecânicocríticomecânico PrPrPPA .

000,1 ∠=aE& G1 G2

δ0 δ1 δcrítico δmáximo

Pmecânico

Pe

δ

2 linhas 1 linha 2 linhas+falta


118

( ) ( ] ( ]∫ ×−−××=−××=máximo

crítico

máximo

crítico

máximo

crítico mecânicomáximomecânicomáximo PPrdPsenPrAδ

δ

δδ

δδ δδδδ )cos()( 222 ,

)cos()cos( 222 máximomáximocríticomáximomáximomecânicocríticomecânico PrPrPPA δδδδ ××−××+×−×= . Igualando-se as expressões de A1 e A2 vem: ( ) ( )+−×=××− 012 )cos( δδδ máximomecânicocríticomáximo PPrr

)cos()cos( 012 δδ ××−××+ máximomáximomáximo PrPr ,

( )

12

0120 )cos()cos()cos(

rr

rrPP

máximomáximomáximo

mecânico

crítico −

×−×+−×=

δδδδδ ,

( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

×−×+−×= −

12

01201

)cos()cos(cos

rr

rrPP


mecânico

crítico

δδδδδ ,

mecânicomáximomáximo PsenPr =××→−= )(180 1210 δδδ , mecânico

faltapóse PP =)_( ,

)( 0δsenPP máximomecânico ×= .

Não existe fórmula analítica para a determinação do tempo crítico se a potência elétrica for

diferente de zero durante a falta.

Exemplo 4.5: Calcular o ângulo crítico de limpeza da falta trifásica do sistema da Figura 4.30 cujos dados são os

mesmos dos mostrados na Figura 4.15.

Figura 4.30 – Sistema exemplo

)(10,2)_( δsenP faltapré

e ×= ,

)(808,0)( δsenP faltae ×= ,

)(50,1)_( δsenP faltapóse ×= ,

0,1=mecânicoP pu. Cálculo do ângulo de operação em regime permanente.

4963,044,28)(10,2 000 ==→×= δδsenPmecânico radianos.

10,250,1

2 =r , 10,2808,0

1 =r

Cálculo do ângulo delta máximo.

73,0)(50,10,1 11 =→×= δδsen radianos ou 01 81,41=δ ,

41,273,0 =−= πδmáximo radianos ou 019,138 ,

000,1 ∠=aE& G1 G2


119

( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

×−×+−×= −

12

01201

)cos()cos(cos

rr

rrPP


mecânico

crítico

δδδδδ ,

substituindo valores vem:

( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−

×−×+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−×= −

10,2808,0

10,25,1

)4963,0cos(10,2808,0)41,2cos(

10,25,1

10,2808,0

10,25,1

4963,041,210,20,1

cos 1críticoδ .

44,1=críticoδ rad 076,82= . Quando a potência transmitida foi zero, o ângulo foi de 81,690.

4.11 – Coeficiente de potência sincronizante

O coeficiente de potência sincronizante (SP) é um indicador da estabilidade do ponto de operação da máquina. A Figura 4.31 mostra a curva potência-ângulo de uma máquina. Conhecendo-se a potência mecânica fornecida ao gerador, existem dois pontos de operação possíveis, δ0 e (π – δ0). O objetivo é identificar quais destes pontos são aceitáveis. Um ponto de operação é aceitável se quando neste ponto de operação a máquina não perde o sincronismo para pequenas alterações da potência elétrica de saída da máquina.

Figura 4.31 - Pontos de operação possível

4.11.1 – Análise da equação de oscilação linearizada

Análise da estabilidade para pequenas perturbações é o mesmo que análise linearizada da estabilidade.

Seja máquina operando com as condições iniciais δ0, )0(eP . Nestas condições

)( 0

)0( δsenPP máximoe ×= . Seja a perturbação δδδ Δ+= 0 , que implica em eee PPP Δ+= )0( . A expressão geral da potência elétrica transmitida é: )(δsenPP máximoe ×= . Substituindo-se a perturbação nesta equação vem:

( ) eemáximomáximoe PPsensenPsenPP Δ+=×Δ+Δ××=Δ+×= )0(000 )cos()()cos()()( δδδδδδ .

Como o ângulo Δδ é incremental, 1)cos( ≅Δδ e δδ Δ≅Δ )(sen .

δδδ Δ××+×=Δ+ )cos()( 00)0(

máximomáximoee PsenPPP . O primeiro termo da potência elétrica é aquela da condição inicial, idêntica à potência mecânica, e

o segundo termo é a variação incremental da potência elétrica. δδ Δ××=Δ )cos( 0máximoe PP .

π – δ0

Pmecânico

δ0 δ

Pe


120

O coeficiente de potência sincronizante é definido como: )cos( 0δ×= máximoP PS . Verifica-se que

)cos( 0δ×máximoP é a tangente da curva potência ângulo no ponto de operação δ0, ou seja,

0δδδ =

=ddPS e

P , inclinação da tangente à curva Pe no ponto δ0.

Figura 4.31 - Coeficiente de potência sincronizante Seja a equação de oscilação da máquina síncrona

2

22dtdHPP

Semecânico

δω

××

=− . Substituindo-se os valores da perturbação:

( )2

022

dtdHSP

SPe

δδω

δΔ+

××

=Δ×−=Δ− .

Como δ0 é constante,

( ) 022

2=Δ×

××

+Δ

δωδ

HS

dtd PS , que é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem cuja

solução depende do sinal de SP. Resolvendo-se esta equação pelo polinômio característico vem:

02

2 =××

+HSS PSω ,

HSS PS

××−

±=212ω .

Se SP > 0, HSjS PS

××

±=212ω , que corresponde a movimento oscilatório de amplitude constante.

Se SP < 0, HSS PS

××

±=212ω , que corresponde a uma exponencial crescente e uma exponencial

decrescente, portanto instável. Solução geral no domínio do tempo.

tStS eBeAt ×× ×+×=Δ 21)(δ .

Seja HSPS

n ××

=2

2 ωω .

Se SP > 0, tjtj nn eBeAt ××− ×+×=Δ ωωδ )( .

Figura 4.32 - Solução para SP positivo

Se SP < 0, tt nn eBeAt ××− ×+×=Δ ωωδ )( .

π – δ0

Pmecânico

Pe

δ0 δ

SP > 0 SP < 0

δ δ0

t


121

Figura 4.33 - Solução para SP negativo

4.11.2 – Análise gráfica da potência elétrica para pequenas oscilações

Figura 4.34 - Interpretação do coeficiente de potência sincronizante

Observando-se a Figura 4.34 conclui-se que se: • no ponto de operação δ0, o aumento do ângulo de carga (δ0 + Δδ) implica em um aumento em

Pe ( ee PP Δ+)0( ). Conseqüentemente, como Pe > Pmecânico, a máquina freia, tendendo a retornar ao ponto de operação original. Raciocínio análogo aplica-se quando Pe < Pmecânico (a máquina acelera). Ou seja, o ponto de operação δ0 é um ponto de equilíbrio estável.

• no ponto de operação π – δ0, o aumento do ângulo de carga (π – δ0 + Δδ) implica em um redução em Pe ( ee PP Δ−)0( ). Conseqüentemente, como Pe < Pmecânico,a máquina acelera, tendendo a aumentar ainda mais o ângulo δ. Raciocínio análogo aplica-se quando Pe > Pmecânico (a máquina freia). Ou seja, o ponto de operação π – δ0 é um ponto de equilíbrio instável.

Conclusão. Os pontos de operação aceitáveis são aqueles onde o coeficiente de potência sincronizante é positivo, ou seja, 0900 <≤ δ .

A freqüência angular natural da oscilação é:

HSPS

n ××

=2ω

ω [radianos elétricos/segundo].

A freqüência natural de oscilação é:

HSf PS

n ××

××

=22

1 ωπ

[Hz].

δ

δ0

δ0, δ0 + Δδ, π – δ0 – Δδ, π – δ0

Pe

)0(eP = Pmecânico

ee PP Δ+)0(

δ0


122

Exemplo 4.6

O sistema da Figura 4.35 está na condição normal de operação em regime permanente, com 0

0 44,28=δ , H = 5 MJ/MVA, 60 Hz, sendo )(10,2 δsenPe ×= . Determinar a freqüência angular natural de oscilação nω da máquina sabendo-se que esta sofreu um pequeno distúrbio elétrico temporário. Determinar também a freqüência natural de oscilação fn.

Figura 4.35 – Sistema Exemplo

Figura 4.36 – Curva de Ângulo de Potência

85,1)cos(10,2 0 =→×= PP SS δ ,

34,80,10

85,10,377=

×=nω radianos elétricos/segundo,

33,12

=×

=π

ωnnf Hz, valor típico para sistema de 60 Hz, e T = 1/fn = 0,753 s.

4.12 – Estudo de estabilidade multi-máquinas

O estudo de estabilidade multi-máquina serve para analisar a estabilidade transitória do sistema. É aplicado para qualquer número de máquinas.

4.12.1 – Modelo clássico de estabilidade

O modelo clássico de estabilidade considera: 1) Injeção de potência mecânica constante durante todo o período de análise. 2) Potência de amortecimento desprezível. 3) Que o modelo da máquina síncrona consiste de fonte de tensão interna em série com a

reatância de eixo direto ( dx' ).

4) Que a posição angular do rotor coincide com a fase da tensão interna, ou seja, δ∠= EE& . 5) Que as cargas do sistema são representadas por modelo de impedância constante. 6) Em geral, apenas o curto-circuito trifásico para efeito de estudo.

000,1 ∠=aE& G1 G2

δ0

Pmecânico

Pe

δ


123

4.12.2 – Etapas do estudo

1) A condição pré falta é obtida da solução do fluxo de potência, que fornece V, θ, P, Q em cada barra.

2) Calcular, a partir da solução do fluxo de potência em cada barra, a tensão interna das máquinas, ou seja, determinar E& como exemplificado na Figura 4.37.

Figura 4.37 - Determinação da tensão interna das máquinas

IjxVE dt&&& ×+= ' ,

**

**

tVjQP

VSIIVS −

==→×=&

&&&&& .

3) Conversão das cargas modeladas por potência constante para o modelo de impedância constante.

Figura 4.38 - Conversão das cargas para modelo de impedância constante

O modelo de representação da carga é impedância constante, porém, como se precisa montar a

matriz YBARRA, modela-se esta carga como admitância.

2V

jQPy −= ou

VIy &

&= .

4) Montagem da matriz YBARRA aumentada.

Incluir as cargas modeladas por impedância constante assim como as reatâncias transitórias dos geradores na matriz YBARRA, resultando na matriz )(aumentada

BARRAY . A dimensão da matriz YBARRA será aumentada do número de geradores de interesse.

Figura 4.39 - Matriz YBARRA aumentada

5) Redução da matriz )(aumentadaBARRAY à dimensão do número de geradores (n).

x'd k

P Q ⇒=∠ tVV &θ

k

tVV &=∠θ

E&

I&

m

P + jQ ⇒ θ∠V m

θ∠Vy

YBARRA

y2 y1

2E& 1E&

x'd1

x'd2

)(aumentadaBARRAY


124

A matriz resultante é a matriz admitância de barra pré falta em regime permanente, isto é, )_()( faltapré

BARRAreduzida

BARRA YY =

Figura 4.40 - Matriz admitância de barra reduzida

6) Modificação da matriz )(aumentadaBARRAY para representar as condições de falta e redução à dimensão

do número de geradores. )__( faltadereduzida

BARRAY , load flow de falta.

7) Modificação da matriz )(aumentadaBARRAY para representar as condições pós falta e redução à dimensão

do número de geradores. )__( faltapósreduzida

BARRAY , load flow pós falta.

8) Equações de oscilação dos geradores nas condições de falta e pós falta.

• Condição de falta

2

22dt

dHPP i

Seimecânicoi

δω

××

=− , i = 1, n, onde )_( faltapréeimecânicoi PP = , calculado no fluxo de

potência.

Resolve-se o sistema de equações de oscilação das máquinas com o uso de um método de integração de t = 0, instante da aplicação da falta, até o tempo de eliminação da falta. A cada passo de integração resolve-se o load-flow e atualiza-se a potência elétrica, pois o ângulo delta varia, logo varia a potência elétrica injetada.

Figura 4.41 - Ângulo de carga para um sistema com uma máquinas • Condição pós falta.

2

2)_( 2

dtdHPP i

S

faltapóseimecânicoi

δω

××

=− , i = 1, n.

Usa-se agora o método de integração do tempo de eliminação da falta até o tempo final de simulação, normalmente em torno de 10 segundos. A cada passo de integração resolve-se o fluxo de potência agora com a matriz )__( faltapósreduzida

BARRAY . A saída do programa são n gráficos ti ×δ , um para cada máquina, que devem ser analisados por comparação. A Figura 4.42 exemplifica os gráficos de saída

)(reduzida

BARRAY

2E&1E&

1 2

t

δ δ0

falta eliminada


125

para sistema de três máquinas. Os gráficos são em relação a uma máquina de referência, normalmente a máquina 1.

Figura 4.42 – Ângulo de carga para um sistema com três máquinas

Notar que se o tempo final de simulação for t1, haverá a falsa interpretação de que a máquina 2 é instável.

4.13 – Fatores que afetam a estabilidade do sistema

1) Tempo de eliminação da falta; 2) Ponto de operação em regime permanente (SP >>> 0); 3) Tipo da falta: trifásica, bifásica e monofásica, em ordem decrescente de severidade; 4) Localização da falta; 5) Impedância de transferência entre a máquina e o sistema, compensação série das linhas,

diminuir a reatância e aumentar a potência transmitida; 6) Características construtivas da máquina, inércia; 7) Controle de velocidade; 8) Condição pós falta; 9) Abertura monopolar dos disjuntores; 10) Reatância transitória da máquina influi na impedância de transferência; 11) Linhas em paralelo.

t

δ(t)

δ02

δ01

δ03

t1


126

Capítulo 5 Operação Econômica de Sistemas de Potência 5.1 – Introdução

A frase a seguir resume a operação econômica de um sistema de potência. “A operação do sistema elétrico de potência, para qualquer condição de carga, requer que a

contribuição de cada unidade geradora seja determinada de modo a que o custo da potência fornecida seja mínimo”.

A programação da geração consiste em estabelecer metas de geração de cada unidade para diferentes horizontes de tempo, de modo que o custo seja mínimo.

• Plurianuais (5 a 10 anos); • Anuais; • Mensais; • Diárias; • Horárias (despacho na próxima hora); • Instantâneo (despacho econômico).

Os fatores levados em consideração para a programação da geração são:

• Econômico (custo da geração); • Capacidade do sistema de transmissão; • Segurança (confiabilidade do suprimento, mínimo risco de falta de energia elétrica).

5.2 – Características das unidades geradoras

1) Unidades térmicas a carvão, óleo, ou gás natural; a) Custo da operação depende diretamente da potência gerada; b) Não há, a princípio, limitação na quantidade de potência gerada em um período de tempo.

2) Unidades nucleares;

a) O custo de operação é praticamente constante para qualquer potência gerada, pois a maior parte do custo é para a manutenção, e é muito elevado;

b) Usadas como usinas de base.

3) Unidades hidrelétricas. a) O custo de operação é praticamente zero, pois só depende do custo de manutenção; b) Decisões operativas (quanto despachar na máquina) possuem acoplamento temporal, isto é,

decisão tomada agora influi em decisão futura. A previsão da vazão dos rios é feita por séries históricas;

c) Usinas em cascata; d) Afluência de rios; e) Grandes reservatórios (regulação plurianual).

A programação da geração é mais simples em sistemas térmicos, pois o combustível pode ser

estocado, ao contrário dos sistemas hidráulicos, que têm o combustível previsto.


127

5.3 – Operação Econômica de Sistemas de Potência - problema da programação da geração 5.3.1 – Sistema térmico

a) Comissionamento de unidades (unit commitment); Devido ao fato da carga total de um sistema elétrico de potência variar no decorrer do dia e

atingir diferentes valores de pico de um dia para o outro, a concessionária de energia elétrica tem que decidir com antecedência quais geradores serão ligados, quando conectá-los ao sistema e também a seqüência em que os geradores devem ser desligados e por quanto tempo. O método computacional para tomar tais decisões é conhecido como comissionamento de unidades.

i) Decidir quais unidades estarão 'on-line'; ii) Questão do custo do 'start up' e 'shutdown'; iii) Questão de reserva girante; iv) Horizonte de 24 horas;

b) Despacho econômico.

i) Decidir qual a melhor (custo mínimo) repartição de carga para as unidades 'on-line', ii) Levar em consideração as perdas do sistema de transmissão e outras restrições operativas

(segurança, confiabilidade etc). 5.3.2 – Sistema hidro-térmico

a) Solucionar o mesmo problema para as unidades térmicas. b) Solucionar o problema aumentado para as unidades hidrelétricas, no qual é preciso minimizar o

custo acrescido do risco de falta de água. 5.4 – Despacho econômico em sistemas térmicos 5.4.1 – Característica das unidades térmicas convencionais

A Figura 5.1 mostra a planta de uma usina térmica.

Figura 5.1 - Planta de uma usina térmica

Existe relação entre a vazão de combustível H e a potência elétrica de saída Pe. A Figura 5.2 mostra

a curva entrada-saída ou 'Heat-rate characteristic'.

Figura 5.2 - Curva típica entrada-saída de uma turbina

H ou C

Pe

potência elétrica turbinacombustível

H: vazão em Btu/hora

caldeira

gerador

serviços auxiliares

A turbina consome H Btu/hora ou tem um custo C em $/hora.


128

Como a curva varia incrementalmente, qual a relação CP Δ×Δ , ou seja, qual a curva de custo incremental. A Figura 5.3 mostra a curva de custo incremental referente à Figura 5.2.

Figura 5.3 - Curva de custo incremental

=dPdC custo marginal em $/MWh, modelo do mercado atacadista de energia (MAE).

5.4.2 – Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão

A Figura 5.4 mostra um sistema formado por duas unidades geradoras diretamente ligadas à carga.

Figura 5.4 - Sistema sem perdas na transmissão

O problema consiste em minimizar o custo da geração das duas máquinas, sujeito a restrição 021 =−+ DPPP , o que consiste em resolver o seguinte problema de otimização: ( ) ( ) ( )221121,)min( PCPCPPCf +== , função objetivo, sujeito a

021 =−+= DPPPh , função restrição. A solução do problema são os valores de 1P e 2P de custo mínimo e que satisfaz ao conjunto de

restrições. Seja a função objetivo:

22

212121 )()(),()min( PPPCPCPPCf +=+== , sujeita a

restrição: 021 =−+ DPPP . A Figura 5.5 mostra a função objetivo e a função restrição em três dimensões e também em

projeção vista de C.

Figura 5.5 - Função custo com restrição

P2

P1 ~

~PD

PD PD

C

P1 P2

–∇h

∇h

∇f

PD/2 PD

PD

PD/2

P1

P2

PC

ΔΔ ($/MWh)

)(mínimoeP P1 )(máximo

eP Pe (MW)

linear para o

intervalo válido


129

Propriedades do gradiente de uma função. a) É sempre perpendicular à curva de nível da função.

Definição do gradiente da função vetorial f:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

=∇

nxf

xf

f M1

.

b) O gradiente aponta para a direção de máximo crescimento local.

No ponto ótimo (mínimo) a curva de nível da função objetivo é tangente à curva da função

restrição. No ponto ótimo o gradiente da função objetivo f∇ está alinhado com a função restrição h∇

(mesma direção), logo são linearmente dependentes, logo 0=∇×−∇ hf λ , que é a expressão que rege o processo de otimização. λ é conhecido como multiplicador de Lagrange. 5.4.2.1 – Método dos multiplicadores de Lagrange a) Construir a função (objetivo ou custo) aumentada ou Lagrangeano.

hfL ×−= λ b) A solução ótima ocorre quando 0=∇L

0

1

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

∂∂

=∇

λLxL

xL

Ln

M no ponto ótimo.

Interpretação da solução para o caso dos dois geradores.

0=∇L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂∂∂

=∇

0

0

0

2

1

λLPLPL

L , onde cada termo do gradiente do lagrangeano deve ser zero.

( )DPPPPPL −+×−+= 21

22

21 λ . Na solução tem-se:

02 11

=−×=∂∂ λPPL ,

02 22

=−×=∂∂ λPPL ,

( ) 021 =−+−=∂∂

DPPPLλ

.


130

Resolvendo-se o sistema acima vem: 21 λ=P , 22 λ=P ,

DP=λ . Solução: 2/221 λ=== DPPP . Caso geral:

( )DPPPCCL −+×−+= 2121 λ ,

1

1

1

1

1 dPdC

dPdC

PL

=→−=∂∂ λλ ,

2

2

2

2

2 dPdC

dPdC

PL

=→−=∂∂ λλ ,

( ) ,021 =−+−=∂∂

DPPPLλ

0=h .

Conclusão: A condição necessária para que um ponto de operação seja de custo mínimo é que os custos

incrementais dos geradores sejam iguais a um valor λ, que por sua vez pode ser calculado pelo método

dos multiplicadores de Lagrange. A Figura 5.6 mostra a condição λ==2

2

1

1

dPdC

dPdC , onde DPPP =+ 21

ˆˆ .

Figura 5.6 - Ponto de operação de mínimo custo

Exemplo 5.1.

A Figura 5.7 mostra dois geradores que alimentam carga de 500,0 MW no próprio barramento do gerador. Determinar o custo total mínimo de geração )(mínimo

TC .

2111 002,00,70,400 PPC ×+×+= ($/h),

2222 003,00,80,400 PPC ×+×+= ($/h).

Figura 5.7 - Sistema sem perdas na transmissão

P2

P1 ~

~PD = 500 MW

2

2

dPdC

2̂P

1

1

dPdC

1̂P

λ

P1 P2


131

Solução: 21 CCf += ,

0,5002121 −+=−+= PPPPPh D , 0,0=∇→×−= LhfL λ é a solução procurada.

0,7004,00,0004,00,7 111

−=−×→=−×+=∂∂ λλ PPPL ,

0,8006,00,0006,00,8 222

−=−×→=−×+=∂∂ λλ PPPL ,

0,5000,00,500 2121 =+→=−+=∂∂ PPPPLλ

.

Colocando-se o sistema em forma matricial vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

0,5000,80,7

0,00,10,10,1006,00,00,10,0004,0

2

1

λPP

. Invertendo-se a matriz do sistema vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

×λ2

1

0,5000,80,7

000024,0004,0006,0004,00,10,1006,00,10,1

01,01 P

Pt

ou ainda

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−×=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

6,80,1000,400

0,5000,80,7

000024,0004,0006,0004,00,10,1006,00,10,1

0,100 2

1

2

1

λλPP

PP

A solução do sistema é:

0,4001 =P MW, 0,1002 =P MW,

6,8=λ $/MWh. Custo mínimo total:

00,750.4003,00,80,400002,00,70,400 222

211

)( =×+×++×+×+= PPPPC mínimoT $/h.

Outras restrições que devem ser consideradas no processo de otimização: • Capacidade da máquina; • Perdas na transmissão; • Capacidade da transmissão. Se a otimização envolver perda reativa, o problema fica não linear. Será, portanto necessário usar

um programa de fluxo de potência ótimo, que consiste em rodar um load flow sujeito a restrições, como mínima perda nas linhas e mínimo custo de geração.


132

5.4.3 – Extensão para o caso de n geradores A Figura 5.8 mostra um sistema com n geradores que alimenta carga. Não existe perda nem

restrição na capacidade das máquinas.

Figura 5.8 - Sistema com n geradores sem perdas na transmissão Objetivo: ( ) ( ) ( ) ( )nn PCPCPCCf +++== K2211min , sujeito a restrição: 021 =−+++= Dn PPPPh K . A solução ótima é:

λ====n

n

dPdC

dPdC

dPdC

K2

2

1

1 . A Figura 5.9 mostra a solução ótima, onde Dn PPPP =+++ ˆˆˆ21 K .

Figura 5.9 - Ponto de operação de mínimo custo para sistema com n geradores

Dn PPPP =+++ ˆˆˆ21 K

5.4.4 – Consideração de limite na capacidade de geração, sem se considerar as perdas na transmissão

Entende-se por limite na capacidade de geração se pelo menos uma das máquinas não puder atender à geração para ela especificada. Seja o sistema da Figura 5.10.

Figura 5.10 - Sistema sem perdas com limite de geração em cada máquina

P2

P1 ~

~PD

Pn ~

M

P2

P1 ~

~ PD

Pn ~

M

nP̂1̂P 2̂P

1

1

dPdC

λ 2

2

dPdC

n

n

dPdC

…

P P P


133

Objetivo: ∑== )()min( ii PCCf , sujeito a restrição:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤

≤≤

=−

=

∑=

)()(

)(11

)(1

1

0

máximonn

mínimon

máximomínimo

n

iDi

PPP

PPP

PP

h

LLLLLLLLL

, n×2 restrições de desigualdade.

Não se pode usar o multiplicador de Lagrange com esta formulação, pois este só funciona para

igualdade nas equações de restrição. Estratégia de solução

)(21

)( máximoiii

máximoii PsPPP =+⇒≤ ,

)(22

)( mínimoiii

mínimoii PsPPP =−⇒≥ ,

onde 2

1is e 22is são positivos e são chamadas de variáveis de folga. O problema fica agora com n×3

variáveis e pode-se usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Noção intuitiva. Rodar o problema sem se considerar as restrições. Se pelo menos um gerador

ultrapassar o limite, estes têm a geração fixada no limite. Os demais geradores são despachados obedecendo a regra dos custos incrementais iguais. Pode-se também ajustar máquina a máquina. A Figura 5.11 mostra solução encontrada que não atende restrição das três máquinas.

Figura 5.11 - Sistema de três máquinas em que a solução não atende às restrições

Solução considerando as restrições:

1)(

3)(

21 P̂PPPP mínimomáximoD ≠−−= .

)()( máximoii

mínimoi

i

i PPPdPdC

≤≤→= λ

)(máximoii

i

i PPdPdC

=→< λ

)(mínimoii

i

i PPdPdC

=→> λ

2

2

dPdC

)(2

mínimoP 2̂P )(2

máximoP

3

3

dPdC

)(3

mínimoP 3̂P )(3

máximoP

1

1

dPdC

)(1

mínimoP 1̂P )(1

máximoP

λ


134

Exemplo 5.2 Determinar λ para diferentes condições de carga. Sejam duas máquinas ligadas ao mesmo barramento da carga, isto é, sem perdas, e que todas as

máquinas estão o tempo todo ligadas.

0,8008,0 11

1 +×= PdPdC $/MWh,

4,60096,0 22

2 +×= PdPdC $/MWh,

0,250.10,250 ≤≤ DP MW, 0,6250,100 1 ≤≤ P MW, 0,6250,100 2 ≤≤ P MW.

a) Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW

λ==2

2

1

1

dPdC

dPdC ,

λ=+×= 0,8008,0 11

1 PdPdC ,

λ=+×= 4,60096,0 22

2 PdPdC ,

0,021 =−+= DPPPddLλ

onde PD = 250,0.

Montando-se o sistema vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

0,2504,60,8

0,00,10,10,10096,00,00,10,0008,0

2

1

λPP

.

Invertendo-se a matriz do sistema com auxílio do programa MATLAB vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3636,85455,2044545,45

0,2504,60,8

0044,04545,05455,04545,08182,568182,565455,08182,568182,56

2

1

2

1

λλPP

PP

.

A solução é: λ = 8,3636 $/MWh, P1 = 45,4545 MW: passou do limite inferior que é de 100,0 MW 0,1001 =→ P MW, P2 = 204,5455 MW: deve ser ajustado para P2 = 250,0 – 100,0 → P2 = 150,0 MW por causa do

limite de P1.

Se 0,1001 =P MW 80,80,80,100008,011

1 =+×==→ λdPdC $/MWh,

Se 0,1502 =P MW 84,74,60,1500096,022

2 =+×==→ λdPdC $/MWh.

A Figura 5.12 mostra a solução encontrada para a carga mínima especificada.


135

Figura 5.12 - Solução para carga mínima e carga máxima Determinação do custo total

∫ ∫∫∫ +×++×=+=100

0

150

02211

02

2

2

01

1

1 )4,60096,0()0,8008,0(21

dPPdPPdPdPdCdP

dPdCC

PP

total ,

( ] ( ]15002

22

10001

21 4,60048,00,8004,0 PPPPCtotal ×+×+×+×= ,

00,908.10,9600,1080,8000,40 =+++=totalC $/h. b) Condição de carga máxima: PD = 1.250,0 MW

λ==2

2

1

1

dPdC

dPdC ,

λ=+×= 0,8008,0 11

1 PdPdC ,

λ=+×= 4,60096,0 22

2 PdPdC ,

0,021 =−+= DPPPddLλ

onde PD = 1.250,0.

Montando-se o sistema vem:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

0,250.14,60,8

0,00,10,10,10096,00,00,10,0008,0

2

1

λPP

.

A matriz do sistema é a mesma de quando em carga mínima, logo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

7728,120341,6599659,590

0,250.14,60,8

0044,04545,05455,04545,08182,568182,565455,08182,568182,56

2

1

2

1

λλPP

PP

.

P

1

1

dPdC

0 45,4 100 625

2

2

dPdC

0 100 150 204,5 625

λ=13,0 λ=12,4 λ=8,80 λ=8,36 λ=8,00 λ=7,84 λ=7,36 λ=6,40


136

A solução é:

77,12=λ $/MWh, 03,6592 =P MW passou do limite superior que é de 625,0 → P2 = 625,0 MW, 96,5901 =P MW deve ser ajustado para P1 = 1.250,0 – 625,0 → P1 = 625,0 MW, 0,6251 =P MW 0,130,80,625008,01 =+×=→ λ $/MWh, 0,6252 =P MW 4,124,60,6250096,02 =+×=→ λ $/MWh.

A Figura 5.12 mostra estes valores. c) Tomada de carga para valores 250,0 < PD < 1.250,0

Se preciso de 1,0 MW, a máquina 2 é que deve suprir esta potência pois tem custo menor. Isto ocorre até λ = 8,8. i) De PD > 250,0 MW até λ2 = λ1 = 8,8 que corresponde a PD = 350,0 MW → P2 supre demanda.

0,2508,8 22 =⇒= Pλ MW. ii) Se PD = 350,0 MW, λ2 = λ1 = 12,4 que corresponde a PD = 1.175 MW → P1 e P2 suprem demanda juntos com o mesmo λ. λ1 = 12,4 → P1 = 550,0 MW. iii) De PD > 1.175,0 MW, até 1.250,0 MW → P1 supre a demanda.

Resumo do despacho de carga nas várias condições de carga.

PD (MW) P1 (MW) P2 (MW) λ ($/MWh) Comentário 250,0 100,0 150,0 7,84 P2 assume a carga 350,0 100,0 250,0 8,80 P2 assume a carga 500,0 182,0 318,0 9,45 P1 e P2 assumem a carga 700,0 291,0 409,0 10,33 P1 e P2 assumem a carga 900,0 400,0 500,0 11,20 P1 e P2 assumem a carga

1.100,0 509,0 591,0 12,07 P1 e P2 assumem a carga 1.175,0 550,0 625,0 12,40 P1 e P2 assumem a carga 1.250,0 625,0 625,0 13,00 P1 assume a carga


137

5.4.5 – Inclusão das perdas na transmissão

Seja a Figura 5.13 onde o gerador G1 está diretamente ligado na barra de carga e o gerador G2 está ligado na barra de carga por linha de transmissão.

Objetivo: ∑== )()min( ii PCCf , sujeito à restrição: ∑=

=−−n

iLDi PPP

1

0 onde PL representa a perda

total do sistema de transmissão.

Figura 5.13 - Despacho ótimo em sistema com perdas

Equações para representar as perdas: • Equações do fluxo de potência; • Equação das perdas, )( iL PfP = .

Seja sistema exemplo da Figura 5.14.

Figura 5.14 - Sistema exemplo para representar as perdas

*333

*222

*111 IIrIIrIIrPL

&&&&&& ××+××+××= , 213 III &&& += , *2

*1

*3 III &&& += .

Substituindo-se 3I& e *

3I& na equação de PL vem:

)()( *2

*1213

*222

*111 IIIIrIIrIIrPL +×+×+××+××= &&&&&& ,

( )*12

*21

*22

*113

222

211 IIIIIIIIrIrIrPL

&&&&&&&& ×+×+×+××+×+×= ,

( ) ( ) ( )*12

*213

2232

2131 IIIIrIrrIrrPL ×+××+×++×+= &&& .

)cos(2 1221

*12

*21 α×××=×+× IIIIII &&& , onde 12α é a diferença entre os ângulos dos fasores 1I& e 2I& .

( ) ( ) ( )12213

2232

2131 cos(2 α××××+×++×+= IIrIrrIrrPL .

)cos()cos(

θθ

×=⇒××=

VPIIVP .

Substituindo-se valores na equação de PL vem:

( ) ( ))cos()cos(

)cos(2)(cos)(cos 22

2

11

1123

222

2

2232

122

1

2131

θθα

θθ ××

××××+

××+

+×

×+=

VP

VPr

VPrr

VPrrPL ,

1221222

2112

1 2 BPPBPBPPL ×××+×+×= , onde:

)(cos 122

1

3111 θ×

+=

VrrB ,

)(cos 222

2

3222 θ×

+=

VrrB ,

)cos()cos()cos(

2121

12312 θθ

α×××

×=

VVrB são chamados de

coeficientes das perdas.

PL G2

G1 ~

~ PD

r3

PL

P1

2I&~ ~

r1 r2

1I&

3I&

P2


138

O problema se resume a: Objetivo: ∑== )()min( ii PCCf , sujeito a restrição: ∑ =−− 0)( iLDi PPPP . Como as equações de restrição só envolvem igualdades pode-se usar o método dos multiplicadores

de Lagrange. ( )∑ ∑ −−×−= )()( iLDiii PPPPPCL λ . No ponto de operação ótima 0=∇L logo:

∑ =−−=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−=

∂∂

0)(

1

1

1

22

2

2

11

1

1

iLDi

n

L

n

n

n

L

L

PPPPLdPdP

dPdC

PL

dPdP

dPdC

PL

dPdP

dPdC

PL

λ

λ

λ

λ

LLLLLLLLLLL

Conclusão: deve-se trabalhar com um mesmo custo incremental, comum para todos os geradores,

só que agora o custo incremental é:

i

Li

i

dPdPdP

dC

−×=

1

1λ onde o fator

i

Li

dPdPp

−=

1

1 é chamado de fator de penalidade e i

L

dPdP é a perda

incremental devido ao gerador i. As máquinas são agora despachadas com ii

i pdPdC

×=λ .

Exemplo 5.3. Determinar o despacho ótimo do sistema da Figura 5.15 onde PD = 500,0 MW.

Figura 5.15 - Sistema exemplo de operação ótima com perda na transmissão

11 0,70,400 PC ×+= $/h,

22 0,80,400 PC ×+= $/h, 2

1005,0 PPL ×= ,

( )212121 005,00,5000,80,70,800 PPPPPL ×−−+×−×+×+= λ .

( ) 001,00,10,7 11

=×−×−= PdPdL λ ,

( ) 0,800,10,82

=⇒=×−= λλdPdL ,

0005,00,500 2121 =×−−+= PPP

ddLλ

.

Solução:

5,121 =P MW,

78125,05,12005,0 2 =×=LP MW, 28125,4885,1278125,00,5002 =−+=P MW.

PL G1

G2 ~

~ PD


139

Se não houver perda, ou seja, o mesmo sistema, porém sem a equação de PL ter-se-ia:

( )0,5000,80,70,800 2121 −+×−×+×+= PPPPL λ ,

0,700,71

=⇒=−= λλdPdL ,

0,800,82

=⇒=−= λλdPdL , resultado compatível com usina nuclear, pois o custo incremental é

constante. A Figura 5.16 mostra esta condição.

Figura 5.16 - Custo incremental de usina nuclear

A solução ótima neste caso sem perda consiste em despachar toda a carga pela máquina 1, pois esta

apresenta custo incremental menor que a outra máquina, logo P1 = 500,0 e P2 = 0,0. A característica de custo das máquinas térmicas é quadrática. Exemplo 5.4. Mesmo sistema anterior com PD = 500,0 MW, porém com os seguintes custos e restrições:

2111 002,00,70,400 PPC ×+×+= $/h,

2222 002,00,70,400 PPC ×+×+= $/h,

0,500002,0 2121 −×−+= PPPh ,

0,4000,70 1 ≤≤ P , 0,4000,70 2 ≤≤ P ,

21002,0 PPL ×= .

( )0,500002,0002,0002,00,70,70,800 2

1212

22

121 −×−+×−×+×+×+×+= PPPPPPPL λ ,

( ) 0004,00,1004,00,71 1111

1

1=×−×−×+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−= PP

dPdP

dPdC

dPdL L λλ ,

0004,00,71 222

2

2=−×+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−= λλ P

dPdP

dPdC

dPdL L ,

∑ =−×−+=−−= 00,500002,0)( 2121 PPPPPPP

ddL

iLDiλ.

Solução do sistema não linear:

0004,0004,00,7 11 =××+−×+ PP λλ ,

2004,00,7 P×+=λ ,

12

12 002,00,500 PPP −×+= . Substituindo-se a expressão de P2 na expressão de λ vem:

12

1 004,0002,0004,00,500004,00,7 PP ×−××+×+=λ ,

12

16 004,0100,80,9 PP ×−××+= −λ .

2

2

dPdC

P2

8,01

1

dPdC

7,0

P1


140

Substituindo-se esta última expressão de λ na expressão não usada vem: 0004,0)004,01089(004,01089004,07 11

21

61

21

61 =×××−××++×+××−−×+ −− PPPPPP

que ao se agrupar termos fornece:

0,00,2100,44100,24100,32 132

163

19 =−××+××−×× −−− PPP .

Multiplicando-se esta equação por 106 vem:

0,0100,2100,440,24100,32 61

321

31

3 =×−××+×−×× − PPP .

Utilizando-se o programa MATLAB e a função roots vem: pol = [0.032 –24 44000 –2000000]; raiz = roots(pol) fornece como única raiz real para P1 o valor 46,563. Em conseqüência as perdas

são PL = 4,34, 83,8)004,00,1/()004,00,7( 11 =×−×+= PPλ e 77,4572 =P . Tanto o valor de P1 quanto o valor de P2 estão fora dos limites especificados.

Solução: P1 = 46,56 MW, valor abaixo do mínimo. Ajusta-se este valor para P1 = 70,0, valor mínimo. Com

este valor as perdas são: 8,9002,0 21 =×= PPL MW.

P2 = 500,0 – 70,0 + 9,8 = 439,8 MW, valor acima do máximo valor de P2. A abordagem seguinte consiste em fixar o gerador 2 para seu limite máximo, pois este não

apresenta perdas, e o custo é o mesmo que o do gerador 1. P2 = 400,0. Os restantes 100,0 MW e as perdas serão supridas pelo gerador 1, logo basta escrever

211 002,00,100 PP ×+= que em se arrumando termos fornece a equação 00,100002,0 1

21 =+−× PP . As

raízes desta equação são 361,8034 e 138,197. A solução tomada é o menor destes valores, P1 = 138,197. As perdas são 1966,381966,138002,0 2 =×=LP MW. Com estes valores de potências 89,161 =λ e

60,82 =λ . O custo total é:

)002,00,7400()002,00,70,400( 222

21121 PPPPCCCtotal ×+×++×+×+=+= ,

57,925.400,520.357,405.1 =+=totalC . Observação: A solução de perda mínima não é necessariamente a de menor custo. Pode-se usar mais de uma função objetivo para minimização, como por exemplo no problema de

minimizar custos e perdas. Outro exemplo é utilizar uma função objetivo para minimizar o risco de déficit. Exemplo 5.5. Mesmo sistema anterior com PD = 500,0 MW, porém com os seguintes custos e restrições:

2111 002,00,70,400 PPC ×+×+= $/h,

2222 002,00,80,400 PPC ×+×+= $/h,

0,500002,0 2

121 −×−+= PPPh ,

0,4000,70 1 ≤≤ P , 0,4000,70 2 ≤≤ P ,

2

1002,0 PPL ×= .


141

( )0,500002,0002,0002,00,80,70,800 2121

22

2121 −×−+×−×+×+×+×+= PPPPPPPL λ ,

( ) 0004,00,1004,00,71 1111

1

1=×−×−×+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−= PP

dPdP

dPdC

dPdL L λλ ,

0004,00,81 222

2

2=−×+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−= λλ P

dPdP

dPdC

dPdL L ,

∑ =−×−+=−−= 00,500002,0)( 2121 PPPPPPP

ddL

iLDiλ.

Solução do sistema não linear:

0004,0004,00,7 11 =××+−×+ PP λλ ,

2004,00,8 P×+=λ ,

12

12 002,00,500 PPP −×+= . Substituindo-se a expressão de P2 na expressão de λ vem:

12

1 004,0002,0004,00,500004,00,8 PP ×−××+×+=λ ,

12

16 004,0100,80,10 PP ×−××+= −λ .

Substituindo-se esta última expressão de λ na expressão não usada vem:

0004,0)004,010810(004,010810004,07 112

16

12

16

1 =×××−××++×+××−−×+ −− PPPPPP

Que ao se agrupar termos fornece: 0,00,3100,48100,24100,32 1

321

631

9 =−××+××−×× −−− PPP . Multiplicando-se esta equação por 106 vem:

0,0100,3100,480,24100,32 61

321

31

3 =×−××+×−×× − PPP . Utilizando-se o programa MATLAB e a função roots vem: pol = [0.032 –24 48000 –3000000], raiz = roots(pol) fornece como única raiz real para P1 o valor 64,3953596717. Em conseqüência as

perdas são PL = 8,29, 78,9)004,00,1/()004,00,7( 11 =×−×+= PPλ e 38,4452 =P . Tanto o valor de P1 quanto o valor de P2 estão fora dos limites especificados.

Solução: P1 = 64,39 MW, valor abaixo do mínimo. Ajusta-se este valor para P1 = 70,0, valor mínimo. Com

este valor as perdas são: 80,9002,0 21 =×= PPL MW.

P2 = 500,0 – 70,0 + 9,8 = 439,8 MW, valor acima do máximo valor de P2. A abordagem seguinte consiste em fixar o gerador 2 para seu limite máximo, pois este não

apresenta perdas. P2 = 400,0. Os restantes 100,0 MW e as perdas serão supridas pelo gerador 1, logo basta escrever

211 002,00,100 PP ×+= que em se arrumando termos fornece a equação 00,100002,0 1

21 =+−× PP . As

raízes desta equação são 361,8034 e 138,1966. A solução tomada é o menor destes valores, P1 = 138,1966. As perdas são 1966,381966,138002,0 2 =×=LP MW. Com estes valores de potências

8885,161 =λ e 6000,82 =λ . O custo total é:

)002,00,8400()002,00,70,400( 222

21121 PPPPCCCtotal ×+×++×+×+=+= ,

57,325.500,920.357,405.1 =+=totalC .

sistemas de potencia 143p

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