Notas de Aula: Mecânica Clássica

Prof. Esp. Antonio Eduardo Alexandria de Barros

Sistema de Coordenadas Cartesianas e Polares

A posição de uma partícula pode ser descrita localizando-se um ponto no espaço tridimensional. Isto pode ser feito fixando-se três eixos mutuamente ortogonais a partir de uma origem O no espaço e especificando-se suas coordenadas retangulares x, y e z com relação a estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um sistema como estes três eixos é denominado sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

Dadas as coordenadas em relação a um sistema que localiza a posição de uma partícula, o que se deseja em seguida é descrever a trajetória percorrida por esta partícula em movimento.

Uma representação paramétrica, onde o tempo é o parâmetro, é uma das maneiras de especificar esta trajetória. Assim, para descrever a trajetória do movimento de uma partícula, as coordenadas cartesianas em função do tempo,

x(t), y(t) e z(t) (1.1)

devem ser especificadas. As funções x(t), y(t) e z(t) representam as coordenadas da posição da partícula nos eixos cartesianos x, y e z em cada instante t do tempo. Escolhe-se um instante t0 para o início da medida do tempo, geralmente adotado como zero. A posição de um ponto material no espaço x, y e z (sistema de coordenadas cartesiano) em um dado instante de tempo t é descrita pelas coordenadas x(t), y(t) e z(t) do ponto material, ou pelo raio vetor,

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.2) A linha espacial descrita pelas coordenadas do ponto material, ou seja, dada na forma

paramétrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetória do ponto. O elemento de comprimento da trajetória é:

ds = √ (1.3)

De agora em diante usaremos a seguinte notação para derivadas temporais: a derivada

em relação ao tempo será representada por um

Figura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogonais, especificando a posição de uma partícula P em relação à origem O do sistema.

ponto sobre a letra, assim a derivada de x em relação ao tempo pode ser escrita como

Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e z(t) estão claros, pode-se então definir as componentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade num instante t são

(1.4) que representam as taxas de variação de cada uma das coordenadas de posição em função do tempo. O módulo da velocidade é dado por

(1.5) Dá mesma maneira, pode-se definir as componentes cartesianas da aceleração ax, ay e az num instante t são

(1.6) que representam as taxas de variação de cada uma das componentes da velocidade em função do tempo. Dependendo do problema em questão, outros tipos de sistemas de coordenadas tais como as coordenadas polares, cilíndricas e as esféricas são mais convenientes do que as cartesianas. Para movimentos em duas e três dimensões torna-se conveniente trabalhar com os vetores para representar posições, velocidades e acelerações. Neste caso, o movimento é descrito por um vetor de posição r, onde a cauda (extremidade) é fixa na origem do sistema de referência adotado e a ponta (a outra extremidade) deste vetor localiza a posição da partícula (Fig. 1.2). Se o sistema de coordenadas cartesianas for adotado, suas componentes são x, y e z. Assim, as funções (1.1) são resumidas numa única função vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade vetorial é definida como

(1.7) e a aceleração vetorial como

(1.8)

Figura 1.3: Velocidade vetorial

Utilizando-se a definição da derivada de uma função vetorial dada por

pode-se ver que v(t) é tangente à trajetória da partícula, como ilustrado na figura 1.3. Uma vez que os vetores são independentes do tipo de sistema de coordenadas adotado para descrevê-lo, é importante ressaltar também que a velocidade e a aceleração expressas como vetores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente, são independentes do tipo de sistema de coordenadas e a descrição do movimento pode ser expressa de uma maneira compacta. No momento de descrever as componentes em algum tipo específico de sistemas de coordenadas, deve-se lembrar de que as componentes terão expressões apropriadas para cada tipo de sistema de coordenadas. Num sistema cartesiano as componentes de (1.7) e de (1.8) serão dadas pelas expressões (1.4) e (1.6), respectivamente. Coordenadas polares

Considere uma partícula movendo-se em um plano. Usando as coordenadas polares escreva os vetores posição, velocidade e aceleração da partícula neste sistema de coordenadas. Solução: Em coordenadas polares para, localizarmos uma partícula em um plano, devemos fornecer o módulo r do vetor que vai da origem até a partícula, e o ângulo θ que este vetor forma com o eixo x, conforme a mostramos na figura 1.4 abaixo.

Figura 1.4: Vetor posição de uma partícula no plano. Aqui mostramos as coordenadas polares. O vetor posição em coordenadas cartesianas é

(1.9) Os vetores unitários em coordenadas polares ˆr e ˆθ (ou er , eθ) estão relacionados com os vetores unitários ˆi e ˆj em coordenadas cartesianas por

(1.10) as quais satisfazem as seguintes relações

(1.11) O vetor posição em coordenadas polares é

(1.12) Observe que os vetores unitários ˆr e ˆθ variam com o tempo, portanto a velocidade da partícula é

(1.13) Uma outra forma de obtermos a velocidade é usarmos o deslocamento infinitesimal ds, o qual é composto pelos deslocamentos infinitesimais dr ao longo da direção ˆr e r.dθ ao longo da direção ˆθ, ou seja,

(1.14) logo, a velocidade é dada por

(1.15) A aceleração em coordenadas polares é dada por

ou seja,

(1.16) Observe que o termo rθ˙2 é denominado aceleração centrípeta.