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André Taveira da Silva Scheibel Sistemas de controle II

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André Taveira da Silva Scheibel

Sistemas de controle II

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© 2016 by Universidade de Uberaba

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio,

eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização,

por escrito, da Universidade de Uberaba.

Universidade de Uberaba

Reitor Marcelo Palmério

Pró-Reitor de Educação a DistânciaFernando César Marra e Silva

EditoraçãoProdução de Materiais Didáticos

CapaToninho Cartoon

EdiçãoUniversidade de Uberaba

Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário

Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE

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André Taveira da Silva Scheibel

Eng. Civil e autor deste material teve sua formação de pós-gradua-ção iniciando na UEM – Universidade Estadual de Maringá – Pr, e terminando o quinto ano na UNICESUMAR – Centro Universitário de Maringá – Pr .Atualmente, o prof. André Taveira da Silva Schei-bel realiza seu mestrado em estruturas na UEM. O prof. André também exerce atividades como consultor técnico em patologias da construção, além de ser professor na UNICESUMAR.

Sobre os autores

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SumárioCapítulo 1 Sistemas Dinâmicos em espaço de estados .................91.1 Representação geral no espaço de estados ................................................... 10

1.1.1 Independência Linear ............................................................................. 111.1.2 Controlabilidade ..................................................................................... 161.1.3 Considerações Finais ............................................................................. 22

Capítulo 2 Observabilidade e realimentação de estados ................232.1 Observabilidade ............................................................................................... 24

2.1.1 Matriz de observabilidade ...................................................................... 262.1.2 Realimentação de Estados .................................................................... 30

Capítulo 3 Posicionamento de polos ...............................................373.1 Topologia para o posicionamento de polos ..................................................... 38

3.1.1 Alocação de polos de processos a controlar na forma de variáveis de fase ......................................................................... 41

Capítulo 4 Equivalentes discretos de Sistemas Contínuos.............514.1 Estruturas de controladores ............................................................................. 52

4.1.1 Controle Digital por Emulação ............................................................... 534.1.2 Controle pelo método de Euler .............................................................. 54

Capítulo 5 Controladores PID Digitais .............................................635.1 Controladores PID Digitais .............................................................................. 64

5.1.1 Algoritmo para Controlador PID Digital .................................................. 68

Capítulo 6 Compensadores “LEAD-LAG” .......................................736.1 Compensadores ............................................................................................... 74

6.1.1 Controlador PI ........................................................................................ 756.1.2 Controlador PD....................................................................................... 756.1.3 Controlador PID...................................................................................... 796.1.4 Construção do bloco derivativo puro D .................................................. 816.1.5 Implementação prática do bloco derivativo D ........................................ 816.1.6 Compensador avanço de fase ............................................................... 82

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6.1.7 Compensador atraso de fase ................................................................. 846.1.8 Compensador atraso-avanço................................................................. 85

Capítulo 7 Algoritmo “Dead-Beat” e de Kalman ..............................877.1 Projeto de controladores digitais ..................................................................... 88

7.1.1 Controladores Deadbeat ........................................................................ 897.1.2. Algoritmo de Kalman ............................................................................. 93

Capítulo 8 Controladores Digitais no Espaço de Estados ..............1098.1 Descrição por Variáveis de Estado .................................................................. 111

8.1.4 Observabilidade ..................................................................................... 1168.1.5 Funções de Transferência ..................................................................... 1198.1.6 Realimentação de Estado ...................................................................... 1208.1.7 Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K ... 121

Conclusão ........................................................................................................123Referências ......................................................................................................126

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Caro(a) aluno(a),

Seja bem-vindo(a) à disciplina de Sistemas de Controle II, cujo ma-terial didático foi elaborado pelo professore Eng. Civil André Taveira da Silva Scheibel.

Os sistemas de controle modernos fazem parte da sociedade atual, são grande o números de aplicações que vemos no cotidiano. Os sistemas de controle também existem na natureza e podem

Na época atual, os sistemas de controle se encontram em inú-meras aplicações, em sistemas de navegação, naves espaciais e controle de mísseis, aviões etc. Os aviões utilizam os sistemas de controle para os comandos elétricos, hidráulicos e mecânicos que desenvolvem os comandos das pás das asas que dão resposta ao comando do manche do piloto.

Podemos observar, também, esses sistemas em controle de níveis em reservatórios de água potável, em fábricas, nas espessuras de plásticos, metais e demais produtos, em montadoras de veículos. Um exemplo é a fabricação de antenas que usam plásticos em sua estru-tura, o plástico entra por uma extrusora e a quantidade a ser injetada é controlada para que não se extrapole a condição imposta pelo molde.

Esses sistemas não estão disponíveis apenas em industrias. No aquecimento residencial ou de uma piscina, são geridos por um simples controle, em um sistema binário que expande ou contrai com a mudança de temperatura.

Apresentação

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Existem inúmeros sistemas de controle que nos cercam dia a dia, que podem ser simples ou extraordinários. Ao começar estes estu-dos de sistemas de controle, você verá a imensidão de possibilida-des e oportunidades que esses sistemas representam.

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André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Sistemas Dinâmicos em espaço de estados

Capítulo1

Usamos atualmente duas abordagens para a análise de projeto com retração. Uma é a técnica clássica e a outra, o domínio de frequência, em que uma equação diferencial é transformada em uma função de transferência, obtendo-se um modelo matemático que representa o sistema, este se relaciona algebricamente com uma representação de saída ou da entrada. A substituição de uma equação diferencial por uma algébrica simplifica os cálculos para uma representação de sistemas individuais e também para sistemas interconectados.

A desvantagem do sistema clássico é que ele só pode ser utilizado para sistemas lineares e invariantes no tempo ou, então, para sistemas aproximados para estes.

As técnicas de domínio de frequência nos fornecem uma rápida informação sobre a estabilidade e resposta transitória. Assim, verificamos individualmente o efeito que foi produzido no sistema pela alteração e obtemos um projeto aceitável.

As técnicas clássicas nos permitem modelar a abordagem do domínio no tempo. Assim, o projetista tem uma outra perspectiva para desenvolver seu projeto, a qual, apesar de poder ser abordada para uma grande parte dos sistemas, não é tão clara

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• Conhecer a representação geral no espaço de estados, aplicar o método de variável independente no sistema, verificar se o sistema é ou não é controlável e verificar a eficácia de um projeto de retroação de estado.

• Conceito de representação geral no espaço• Independência linear• Resolução de um sistema com variáveis independentes

linearmente• Controlabilidade• Análise da controlabilidade do sistema• Verificação para implementação de projeto de

retroação de estado.

Objetivos

Esquema

Representação geral no espaço de estados1.1

Combinação linear: n variáveis, xi, para i = 1 a n é dada:

S = KnXn + Kn-1Xn-1 + ... + K1X1

Ki = Constante

como a abordagem clássica. Nesse caso, o projetista precisa de vários cálculos para que a interpretação física do modelo se torne aparente, no modelo clássico, com poucos cálculos, o modelo já fornece a interpretação física.

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1.1.1 Independência Linear

Quando um conjunto de variáveis não pode ser escrito como uma combinação linear das outras.

Por exemplo, se tivermos:

x1, x2 e x3 = 5x1 + 6x3 não são linearmente independentes, pois uma delas pode ser escrita como combinação linear da outra.

Agora se tivermos:

K2x2 = k1x1 + k3x3 se não tivermos nenhum xi = 0, desta forma, xi pode ser escrito como combinação linear das outras variáveis, para todo ki = 0. Assim, dizemos que as variáveis serão independentes, se a combinação S = 0 e se todos os ki = 0 e nenhum xi = 0.

Variável de sistema: variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema.

Variáveis de estado: o menor conjunto linearmente independente de variáveis de sistema tal que os valores dos membros do conjun-to no instante t0, juntamente com as funções forçantes conhecidas, determinam completamente o valor de todas as variáveis do siste-ma para todos os instantes de tempo t≥t0 (NISE, 2002).

Vetor de estado: os elementos são variáveis no próprio estado.

Espaço de estados: espaço n-dimensional cujos eixos são as vari-áveis de estado.

Equações de estados: um sistema com n equações diferenciais todas de primeira ordem, em que as variáveis n a serem resolvidas formam as próprias variáveis de estado.

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Equações de saída: expressam as variáveis de saída como combi-nações lineares das variáveis de estado e das entradas.

Assim, um sistema no espaço de estados se representa pelas equações:

x= Ax + Bu

y = Cx + Du

Temos, então, que para t ≥ t0 e para as condições iniciais, x(t0):

x - valor de estado;

x – derivada do vetor de estado em relação ao tempo;

y – vetor resposta;

u – vetor de entrada ou de controle;

A – matriz de sistema;

B – matriz de entrada;

C – matriz de saída;

D – matriz de ação avante.

Dizemos, então, que a equação x = Ax + Bu é a equação de estado e o vetor x, vetor de estado.

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Figura 01 - Representação gráfica de espaços de estados e de um vetor de estado

Fonte: (SINSE, 2002, p. 95).

Essa equação fornece todas as variáveis do sistema para t ≥ t0.

Por exemplo:

Considere um sistema de segunda ordem, linear, invariante no tem-po, com uma entrada v(t), em que as equações de estados podem ter a seguinte forma:

x1 e x2 são variáveis de estado. Havendo uma única saída, a aqua-ção de saída será:

A escolha das variáveis para um sistema de estado não é única. Deve ser atendido o requisito de elas serem independentes e deve ser escolhido um número mínimo de variáveis.

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EXEMPLO 1:

Dado o circuito elétrico abaixo, obter uma representação no espaço de estados se a saída for a corrente através do resistor.

Figura 01 - Circuito elétrico para representação no espaço de estados

Fonte: Nise (2002, p. 97).

Solução:

Passo 1: nomear as correntes de todos os ramos do circuito.

Passo 2: selecionar as variáveis de estado, escrevendo a equa-ção da derivada relativa a todos os elementos armazenados de energia, isto é, o indutor e o capacitor.

Assim:

(1.1)

(1.2)

Com base nas equações (1.1) e (1.2), escolhemos como variáveis de estado as grandezas diferenciáveis, ou seja, vc e iL.

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Passo 3: aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter iC e vL em termos das variáveis de estado, vC e iL. No nó 1,

(1.3)

Que nos dá iC em termos das variáveis de estado vC e iL.

Ao longo da malha externa, temos:

(1.4)

Que nos dá vL em termos da variável de estado, vC, e da fonte de tensão, v(t).

Passo 4: substituir as equações (1.3) e (1.4) nas equações (1.1) e (1.2) obtemos:

(1.5)

(1.6)

ou

(1.7)

(1.8)

Passo 5: obter a equação de saída. Como é iR(t),

(1.9)

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Representando as equações (1.7) e (1.8) e (1.9) na forma matricial vetorial, temos;

(2.0)

(2.1)

O ponto sobre a derivada indica derivação em relação ao tempo.

AMPLIANDO O CONHECIMENTO

Livro: Engenharia de Controle Moderno

Autor: Katsuhiko Ogata

Sinopse: Nesta edição, conceitos são expli-cados e desenvolvidos por meio de exemplos e apoiados por exercícios que cobrem uma variedade de aplicações. Completa o livro uma série de aplicações com o MATLAB na análise e no projeto de sistemas de controle,

de modo a ensinar não apenas a resolver os problemas matemati-camente, mas também a utilizar o software como uma ferramenta de auxílio.

1.1.2 Controlabilidade

Considere a forma paralela indicada na figura 02 e o controle da localização de um polo do sistema na malha fechada, a partir dis-so, é possível dizer que o sinal de controle, u, controla cada uma das variáveis de estado em x. Assim, se alguma das variáveis de estado não puder ser controlada por u, não será possível alocar os polos dentro do sistema na posição desejada.

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Esses conceitos, se aplicáveis para a apresentar uma resposta ins-tável por uma condição inicial não nula, não farão um projeto de retroação para estabilizar x1.

Figura 02 - Comparação entre sistemas: a) Controlável b) Não controlável

Fonte: Nise (2002, p. 522).

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Com base na discussão anterior temos:

Se todas as variáveis de estado de um sistema forem transferidas obtendo-se uma entrada de um valor inicial desejado para um es-tado final, diz-se que o sistema é controlável, no caso contrário, o sistema é não controlável.

Assim, para a alocação de polos ser viável, os sistemas precisam ser controláveis. Assim, demonstraremos se a alocação de polos em um sistema é viável para o controlador.

1.1.2.1 Controlabilidade por inspeção

Pela própria equação de estado, podemos analisar a controlabili-dade. Se a matriz de sistema for diagonal, como na forma paralela, conseguimos verificar se o sistema é ou não controlável.

Um exemplo é a seguinte matriz:

(1.2.1.1)

ou

(1.2.1.2)

(1.2.1.3)

(1.2.1.4)

Conforme podemos verificar em (1.2.1.1) e nas equações (1.2.1.2), (1.2.1.3) e (1.2.1.4), x1 não é controlada por u, variável de controle. O sistema é não controlável.

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Dessa forma, um sistema é dito controlável se nenhuma linha da matriz de acoplamento de entrada B não possuir nenhuma linha nula.

1.1.2.2 A Matriz de Controlabilidade

Não conseguimos usar os testes de controlabilidade que estuda-mos até o momento para sistemas que assumam a forma paralela ou diagonal com autovalores distintos. Se o sistema possuir polos múltiplos, a verificação da controlabilidade fica mais difícil, mesmo em forma paralela. A simples existência de caminhos de entrada para as variáveis não induzem a uma controlabilidade, pois não há desacoplamento dos estados.

Então, somente determinamos a controlabilidade para projetar a retroação, se todas as variáveis de estado forem controladas pela entrada de processo u, sendo a matriz com uma propriedade des-sas variáveis e com uma escolha qualquer de variáveis.

A matriz agora receberá forma, nome e propriedade.

Terá controlabilidade se a matriz,

For de posto n, CM é a matriz de controlabilidade.

EXEMPLO 2:

Dado o sistema da figura 03, representado por um diagrama de fluxo de sinal, determinar sua controlabilidade.

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Figura 03: Sistema para o exemplo

Fonte: Nise (2002, p. 524).

Solução:

A equação de estado do sistema será:

(1.2.1.5)

À primeira vista, parece que o sistema é não controlável por cau-sa do zero na matriz B. Lembre-se de que essa matriz terá uma configuração de não controlabilidade, se os polos forem distintos e reais. Nesta temos polos múltiplos em -1.

O posto de CM é igual ao número de linhas ou colunas linearmente independentes. O posto pode ser obtido determinando-se a sub-matriz quadrada de maior ordem que seja não singular. O determi-nante de CM = -1. Como o determinante é não nulo, a matriz 3 x 3 é não singular, e o posto de CM é 3. Concluímos que o sistema é controlável, uma vez que o posto CM é igual à ordem do sistema. Portanto, os polos do sistema podem ser posicionados usando-se o projeto de retroação das variáveis de estado.

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Nesse exemplo, vimos que, mesmo se um elemento da matriz de acoplamento de entrada for zero, o sistema pode ser controlável. Observando a figura 03, vemos que as variáveis de estado são todas acionadas por u.

Assim, se desconectarmos alguma das entradas dx1/dt, dx2/dt ou dx3/dt, ao menos uma das variáveis seria incontrolável. Dessa for-ma, para analisarmos esse efeito, vamos desconectar a entrada dx2/dt. A matriz B ficará então como sendo:

Agora, o sistema se torna não controlável, pois x1 e x2 não são con-troladas por u. Conseguimos confirmar essa hipótese pela matriz de controlabilidade:

O determinante da matriz é igual a zero e também o determinante de qualquer outra 2 x 2. O posto de CM = 1, menor que a ordem 3 do sistema. O sistema se torna não controlável.

EXEMPLO 3:

Determine se o sistema a seguir é controlável

Resposta: o sistema é controlável

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1.1.3 Considerações Finais

Caro(a) aluno(a), em resumo, o projeto de alocação de polos, com a retroação de variáveis de estado, pode ser simplificado utilizan-do-se a forma de variáveis de fase nas equações de estado do processo a controlar. Mas a condição de controlabilidade fica mais visível em paralelo, pois a matriz de sistema é diagonal quando as raízes são distintas. Dessa forma, a matriz de controlabilidade irá informar ao projetista se é ou não viável a construção do projeto por retroação.

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André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Observabilidade e realimentação de estados

Capítulo2

Para se projetar um controlador é requisito que se possa controlar todas as variáveis de estado. Se alguma delas não for controlável, os ganhos de retroação não poderão ser projetados. Essa condição de não controlabilidade é melhor visualizada em sistemas diagonalizados. No capítulo anterior, vimos no diagrama de fluxo de sinal que a variável de estado estava desconectada de u e, assim, tornava-se incontrolável.

Outro conceito parecido diz respeito à capacidade de produzir projeto como observador do sistema. Nesse caso, estamos usando sua saída para encontrar as variáveis. No entanto, se alguma delas não tiver efeito sobre a saída, seu cálculo observando a saída se torna impossível.

Essa condição de observar uma variável de estado a partir da saída é melhor analisada em sistemas diagonais.

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• Analisar a observabilidade de um sistema.

• Verificar, por meio da matriz de observabilidade, a sua adequação ao projeto.

• Analisar projetos de realimentação de estados.

• Observabilidade• Matriz de observabilidade• Realimentação de estados

Objetivos

Esquema

Observabilidade2.1

Quando há a possibilidade da obtenção de um vetor de estado ini-cial, x (t0), a partir de u(t) e (y) em um intervalo de tempo finito medi-do de t0, o sistema é observável, por outro lado, se isso não ocorrer, o sistema é não observável.

Assim, a observabilidade é a possibilidade de se deduzir as va-riáveis com base no conhecimento da entrada, u(t), e da saída, y(t). Para a alocação de polos para um observador do projeto, o sistema necessita ser observável. Dessa forma, trataremos, aqui, de demonstrar a técnica de alocação de polos que se torna viável para o observador.

Com isso, podemos falar sobre a observabilidade com base na equação de saída do sistema diagonalizado, conforme figura 04a

O sistema não observável da figura 04b é:

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Podemos ver que a equação da primeira coluna do sistema não-observável é igual a zero. Em sistemas na forma em paralelo com autovalores distintos, se alguma das colunas da matriz de acopla-mento é zero, o sistema diagonal se torna não observável.

Figura 04 - Comparação entre sistema observável (a) e não observável (b)

Fonte: Nise (2002, p. 536.)

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2.1.1 Matriz de observabilidade

Se os sistemas forem representados de outra forma que não na forma diagonalizada, não podem ser avaliados quanto à sua ob-servabilidade. Conseguimos determinar se um sistema é ou não observável, representado de maneira qualquer ou escolhas de va-riáveis de estados, por meio de uma matriz com uma propriedade particular, quando todas as variáveis de estado se tornam observá-veis na saída.

Falaremos, então, dos requisitos para a observabilidade e mostra-remos a forma, o nome e a propriedade dessa matriz.

Seja assim um processo para controle de ordem n, as equações de estado de saída serão:

Será observável se a matriz:

for de posto n, em que OM é chamada a matriz de observabilidade.

EXEMPLO 4:

Determinar se o sistema a seguir é observável.

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Figura 05 - Sistema do exemplo

Fonte: Nise (2002, p. 537).

Solução:

Equações de estado e de saída:

Assim, a matriz de observabilidade será:

O determinante de OM é -344, assim, a matriz OM é de posto total igual a 3. O sistema é observável.

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EXEMPLO 2:

Determinar se o sistema a seguir é observável.

Figura 06 - Sistema do exemplo

Fonte: Nise (2002, p. 537).

Solução:

As equações de estado e de saída para o sistema são:

xDessa forma, a matriz de observabilidade se torna:

O determinante dessa matriz é zero, logo, a matriz de observabi-lidade não têm posto máximo, tonando o sistema não observável.

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DICAS

Leia o artigo a seguir:

ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE E CRITICIDADE DE MEDIDAS NA ESTIMAÇÃO DE ESTADOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA CONSIDERANDO MEDIÇÕES FASORIAIS SINCRONIZADAS

EMANOELLI CIPRIANI, ANTONIO J. A. SIMÕES COSTA

Laboratório de Sistemas de Potência, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina

Introdução

A Estimação de Estados em Sistemas de Potência (EESP) é respon-sável por estimar valores confiáveis para as variáveis de estado do sistema, isto é, as tensões nodais complexas, sendo de fundamen-tal importância na monitoração e análise da segurança da operação em tempo real. O Estimador de Estados convencional processa um conjunto redundante de telemedidas, contaminadas por ruídos di-versos, obtido por meio do sistema SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition). O surgimento da tecnologia de Medição Fasorial Sincronizada e sua aplicação crescente nos sistemas de potência modernos representam uma mudança de paradigma para a monitoração e controle da operação do sistema elétrico. Com a introdução de medidas fasoriais sincronizadas de tensão e cor-rente – de alta precisão e taxas de amostragem muito superiores ao sistema SCADA – a Estimação de Estados deverá apresentar melhorias no que diz respeito à precisão e convergência do método (Thorp, Phadke e Karimi, 1985; Zivanovic e Cairns, 1996). O uso da EESP foi inicialmente proposto por Schweppe e colaboradores

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com a publicação de um artigo de três partes (Schweppe, Wildes e Rom, 1970). A importância e a complexidade do problema de observabilidade na EESP foram reconhecidas pelos autores já na primeira parte do artigo.

O artigo na íntegra com os resultados está disponível em: <http://www.eletrica.ufpr.br/anais/cba/2010/Artigos/66185_1.pdfacesso>. Acesso em: 24 abr. 2016.

2.1.2 Realimentação de Estados

Existem três técnicas básicas de projeto de sistemas de controle por realimentação:

1. Lugar das raízes.

2. Resposta em frequência.

3. Realimentação de estados.

Embora haja muitos pontos de equivalência entre as três técnicas de projeto, o emprego de modelos por realimentação de estados tem ampliado seu campo de aplicação em virtude da possibilidade de tratar sistemas no domínio do tempo, EA721 - Prof. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp Tópico 21 – Realimentação de Estados 3, além de permitir que o sistema seja, em algum grau, restrito, não linear, variante no tempo e MIMO.

Apresentação em 5 etapas:

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1. Projeto do controlador como se todos os estados estivessem disponíveis para uso na implementação da lei de controle (reali-mentação de ordem completa).

2. Introdução do conceito de observador de ordem completa, que fornece estimativas dos estados a partir das variáveis de saída monitoradas.

3. Utilização do observador do item (2) na implementação do con-trolador do item (1), com as estimativas empregadas no lugar dos estados.

4. Introdução do conceito de observadores de ordem reduzida.

5. Introdução de comandos externos de referência.

Se houver no sistema uma entrada de referência, o sistema resul-tará em:

Agora, se a lei de controle for representada por:

Na qual:

r(k) = é uma referência a ser seguida.

k0 = é uma constante para ajustar a resposta controlada do siste-ma para que não ocorra erro estacionário.

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Isso significa que, se a referência a ser seguida for o degrau unitá-rio, então, a saída deverá ser tal que y(∞)→1.

Então, o ganho k0 precisa ser ajustado.

Assim, no sistema sua conduta é dada por G – HK, a mesma para um regulador. Por isso, as mesmas fórmulas para o ganho de K podem ser utilizadas.

Figura 07 - Controle por realimentação de estado

Fonte: UFMG.

EXEMPLO 5:

Dado o sistema a seguir, calcule o ganho de K.

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UNIUBE 33

Sendo os polos da malha:

Solução:

Agora, basta encontrar o ganho k0 para que o sistema em malha fechada não tenha erro estacionário. Para isso, encontra-se a FT do sistema,

Para esse caso, temos:

Potanto,

Dessa forma, para o erro estacionário:

Assim, temos que:

K0 = 0.5

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34 UNIUBE

Figura 08 - Resposta ao degrau unitário do sistema sem con-

trole e malha fechada com o controlador

Fonte: UFMG.

DICAS

Alocação robusta de pólos através de realimentação de esta-dos dependente de parâmetros

Valter Júnior de Souza Leite; Vinícius Foletto Montagner; Pedro Luis Dias Peres

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas, CP 6101, 13081-970, Campinas - SP – Brasil.

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UNIUBE 35

RESUMO

Uma condição suficiente para a existência de uma realimentação de estados robusta dependente de parâmetros é apresentada nes-te trabalho. A condição é verificada através do teste de factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. A realimenta-ção obtida garante ainda a alocação robusta dos pólos de malha fechada de sistemas lineares incertos em uma região circular do plano complexo, através da existência de uma função de Lyapunov dependente de parâmetros. Exemplos ilustram os resultados.

Palavras-chave: Alocação robusta de pólos. Realimentação de estados dependente de parâmetros. Função de Lyapunov depen-dente de parâmetros. Desigualdades matriciais lineares, incertezas politópicas.

O artigo completo está no disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-17592004000200002>. Acesso em: 24 abr. 2016.

2.1.3 Considerações Finais

Caro(a) aluno(a), neste capítulo, usamos as técnicas do lugar das raízes para o projeto de sistemas de controle com uma resposta transitória. O projeto em espaço de estados visa verificar as locali-zações dos polos do sistema e após projetar um controlador elabo-rado com vista em ganhos de retroação das variáveis atendendo a esses requisitos.

Se as variáveis não forem disponíveis, o projeto baseia-se em imitar o processo que seria controlável e resulta em variáveis estimadas.

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36 UNIUBE

São visíveis três vantagens neste tipo de projeto, em relação com o método de raízes, é possível especificar o posicionamento dos polos, assegurando um efeito desprezível dos polos que não domi-nam o sistema em relação à resposta transitória.

Assim, com a posição das raízes, especificamos que os polos não afetavam de maneira relevante a resposta transitória. Em segundo lugar, adotando o uso de um bom observador, podemos não usar mais as variáveis reais para realizar a retroação. Com a vantagem de que nem sempre é simples acessar as variáveis fisicamente e pode-se tornar caro prover o acesso.

Esse método leva à automação com uso de computadores, uma desvantagem é de o método não poder projetar a localização de polos e zeros à malha fechada, o que pode afetar a resposta transitória.

Até o próximo capítulo!

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André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Posicionamento de polosCapítulo3

A controlabilidade está ligada à possibilidade de levar o estado de um sistema de um certo ponto para outro no espaço de estado em tempo finito, enquanto a observabilidade se refere à possibilidade de determinar o estado do sistema a partir do conhecimento da resposta e da entrada dele em tempo finito.

Esses conceitos foram introduzidos por Rudolf Kalman no final dos anos 50 do último século e produziram um grande impacto na ciência e tecnologia de controles. O conceito de controlabilidade é fundamental para a solução do posicionamento de polos via realimentação do estado, enquanto o de observabilidade o é para a solução do problema do observador.

Um dos problemas a ser resolvido com os métodos de projeto no domínio de frequência, seja utilizando o lugar das raízes, seja utilizando as técnicas de resposta de frequência, é que, depois de projetar a localização do par de polos dominantes de segunda ordem, cruzamos os dedos torcendo para que os polos de ordem superior não afetem a aproximação de segunda ordem (NISE, 2002).

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• Aprender como projetar um controlador com retração de estado usando a alocação de polos, de modo a atender especificações de resposta unitária.

• Posicionamento de polos• Alocação de polos de processos a controlar na forma

de variáveis de fase

Objetivos

Esquema

Topologia para o posicionamento de polos3.1

Para estabelecer fundamentos para a nossa continuidade, consi-dere um processo a controlar que seja representado no espaço de estados por:

Conforme a figura 09, as linhas mais finas são escalares e as mais espessas vetores.

Em um sistema de controle com retroação típico, a saída, y, é en-viada de volta a junção somadora. É agora que a topologia do pro-jeto muda. Em vez de retroagir y, que tal utilizar a retroação de todas as variáveis de estado? (NISE, 2002).

(Nise, 2002).

Se cada uma das variáveis de estado for empregada de volta no controle, u, por meio de um ganho, ki, haverá n ganhos, ki. A variável de estado está representada na figura 09 pelo vetor de retroação –K.

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UNIUBE 39

Assim, as equações dos sistemas de malha fechada podem ser:

Figura 09: a. Representação no espaço de estados de um proces-so a controlar; b. processo a controlar com retração de estados

Fonte: Nise (2002, p. 517).

Devemos ter um bom conhecimento de como o sistema de retroa-ção é implementado, conforme a figura 09, suponhamos a repre-sentação em diagrama de fluxo de sinal, variáveis de fase e um processo a controlar. Na entrada do sistema u, cada uma das vari-áveis de estado é novamente utilizada, com um ganho ki.

Para o projeto de retroação com variáveis de estado, temos que igualar a equação característica do sistema a malha fechada à

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40 UNIUBE

equação característica desejada e, dessa forma, determinar os va-lores dos ganhos de retroação.

Figura 10 - a. Representação em variáveis de fase de um proces-

so a controlar; b. processo a controlar com retração de estado

Fonte: Nise (2002, p. 518).

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UNIUBE 41

Se tivermos um processo a controlar de ordem elevada, se não estiver representado na forma de variáveis ou na forma canônica controlável, a resolução para obter ki torna-se complicada. Assim, é recomendável transformar a representação do sistema em forma canônica ou na forma de variáveis, projetar os Ki e, depois, retornar à sua representação inicial.

3.1.1 Alocação de polos de processos a controlar na forma de variáveis de fase

À aplicação da metodologia da alocação de polos, precisamos se-guir os seguintes passos:

1. Representar o processo a controlar na forma de variáveis de fase.

2. Fazer a retroação de cada uma das variáveis de fase para a entrada do processo a controlar por meio de um ganho, ki.

3. Determinar a equação característica do sistema a malha fe-chada e determinar a equação característica equivalente.

4. Decidir a localização de todos os polos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente.

5. Igualar os coeficientes semelhantes das equações caracterís-ticas obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores de ki.

Ao seguir esses passos, a representação em variáveis da fase do processo a controlar é dada pela equação:

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42 UNIUBE

E escreve-se em função delas que:

O processo a controlar apresenta a seguinte equação;

Em seguida, construímos o sistema de malha fechada, aplicamos a retroação de cada uma das variáveis de estado e produzimos u, formando:

Em que

Os ki são os ganhos de retroação das variáveis de estado.

Fazendo a equação:

Com as equações:

e

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UNIUBE 43

Temos:

Podemos observar a relação entre as equações:

e

Nos processos que são representados em forma de variáveis de fase, podemos deduzir a equação por inspeção, a equação carac-terística a malha fechada com a equação da malha aberta, adicio-nando ki adequado a cada coeficiente.

Supondo que a equação desejada à alocação dos polos seja:

Em que os di são os coeficientes desejados. Assim, se igualarmos as equações:

e

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44 UNIUBE

Obtemos:

Em que:

EXEMPLO 6:

Dado o processo a controlar

Projete os ganhos de retroação das variáveis de fase que levam a uma ultrapassagem percentual de 9,5% e a um tempo de assenta-mento de 0,74s (NISE, 2002).

Solução:

Começamos pelo cálculo da equação característica a malha fechada desejada. Usando os requisitos da resposta transitória, os polos a malha fechada são -5,4 ± j7,2. Como o sistema é de terceira ordem, devemos selecionar um outro polo a malha fechada. Poderíamos es-colher o terceiro polo a malha fechada para cancelar o zero a malha fechada. Contudo, para demonstrar o efeito polo e o procedimento de projeto, inclusive a necessidade de simulação, escolhamos -5,1 como localização do terceiro polo a malha fechada.

Desenha-se, agora, o diagrama de fluxo de sinal do processo a controlar.

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Figura 11 - a. Representação em variáveis de fase do proces-

so a controlar; b. processo a controlar com retração de estado

Fonte: Nise (2002, p. 518).

Agora, façamos a retroação de todas as variáveis de estado para o controle, u, por meio dos ganhos ki.

Escrevendo as equações de estado, temos:

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46 UNIUBE

Ao compararmos as equações:

e

Encontramos a matriz de sistema a malha fechada como sendo:

Para determinar a equação característica do sistema a malha fe-chada, forme:

Essa equação deve combinar a equação característica desejada:

Formada a partir dos polos -5,4 + j7,2 – 5,4 – j7,2 e -5,1, determi-nados anteriormente.

Igualando as equações:

Obtemos:

k1 = 413,1; k2 = 132,08; k3 = 10,9

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Finalmente, o termo referente ao zero da função de transferência a malha fechada é igual ao termo referente ao zero da função de transferência a malha aberta, ou seja, (s + 5).

Usando:

Obtemos a seguinte representação no espaço de estados para o sistema a malha fechada:

A função de transferência é

A figura 11 é uma simulação do sistema a malha fechada e mostra uma ultrapassagem de 11,5% e um tempo de assentamento de 0,8 s. Um novo projeto com o terceiro polo cancelando o zero em -5 levará a um atendimento igual dos requisitos.

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48 UNIUBE

Figura 12 - Simulação do sistema a malha fechada do exemplo 6

Fonte: Nise (2002, p. 521).

AMPLIANDO O CONHECIMENTO

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA POSICIONAMENTO PARCIAL SIMULTÂNEO DE MÚLTIPLOS PÓLOS

JÚLIO C. R. FERRAZ, NELSON MARTINS , GLAUCO N. TARANTO, SÉRGIO L. VARRICCHIO

Programa de Engenharia Elétrica, COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro Caixa Postal 68564, 21945-970, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Resumo;

Este artigo apresenta uma metodologia para posicionamen-to parcial simultâneo de múltiplos pólos utilizando o método de

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UNIUBE 49

Newton-Raphson e a informação fornecida pelos resíduos da fun-ção de transferência ∆VESP/∆VREF associados a autovalores de interesse. É feita uma avaliação, através de um sistema teste, da utilização da metodologia de posicionamento parcial de pólos na coordenação dos Estabilizadores de Sistema de Potência.

Introdução

O problema de estabilidade de sistemas elétricos de potência fren-te pequenas perturbações é resolvido através de análise linear e envolve questões relativas à determinação da natureza dos modos críticos do sistema e avaliação da localização e do tipo de controle mais efetivo, buscando atender determinados critérios de estabili-dade. Este artigo aborda a utilização da informação fornecida pe-los resíduos de funções de transferência para o posicionamento parcial simultâneo de pólos [CIGRE 2000, Elangovan 1987] atra-vés do método de Newton-Raphson. É avaliada também a possi-bilidade de se obter um ajuste coordenado dos ESPs fazendo uso dessa metodologia. 2 – Metodologia: o método proposto permite posicionar simultaneamente múltiplos pólos em sistemas multimá-quina utilizando fundamentalmente as informações fornecidas por resíduos associados aos pólos de interesse de funções de transfe-rência relativos à malha de estabilização. Foram instalados ESPs em duas máquinas de um sistema teste para melhorar o fator de amortecimento de dois modos de oscilação eletromecânica. O pro-cedimento utilizado no processo de estabilização do sistema in-clui: determinação dos modos de oscilação eletromecânica críticos (com fator de amortecimento baixo ou negativo).

Leia o artigo completo disponível em: <http://www.coep.ufrj.br/~ta-rang/cba2000_julio.pdf>. Acesso em: 24 abr. 2016.

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50 UNIUBE

3.1.2 Considerações Finais

Caro(a) aluno(a), neste capítulo, vimos que o projeto do controla-dor consiste em efetuar a retroação das variáveis de estado para a entrada u do sistema por meio de ganhos especificados. Os va-lores desses ganhos são obtidos igualando-se os coeficientes da equação característica do sistema aos coeficientes da equação de-sejada (NISE, 2002).

Mostramos como induzir parâmetros adicionais a um sistema para que possamos controlar a localização dos polos a malha fechada. Um sistema de controle de ordem n com retroação possui uma equação característica a malha fechada de ordem n.

Sendo assim, o projeto do observador é não efetuar retroação do erro entre a resposta real e a desejada. O erro é transformado em retroação para as derivadas das variáveis de estado pelos ganhos específicos das variáveis de estado.

O projeto é realizado por emulação, um controlador contínuo, usan-do as técnicas vistas anteriormente, discretizados ou no plano z.

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UNIUBE 51

André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Equivalentes discretos de Sistemas Contínuos

Capítulo4

Com o desenvolvimento do minicomputador em meados de 1960 e do microcomputador em 1970, os sistemas físicos não precisam mais ser controlados por computadores de grande porte. O computador digital pode executar duas funções, supervisão, que é externa a malha de retroação e controle, interna à malha de retroação (NISE; NORMAN, 2002).

O sincronismo de tarefas, valores fora da faixa de parâmetros e de variáveis são exemplos de funções supervisórias. As funções de controle constituem nosso maior interesse, uma vez que um computador operando no interior da malha de retroação substitui os métodos de compensação discutidos até aqui.

Veremos a partir deste capítulo as vantagens de controle digital, que podem controlar vários sistemas de malhas com menor custo. Já as alterações que se necessitem realizar no sistema podem ser realizadas no software e não mais no hardware.

O processo a ser controlado é de percurso direto com o computador. Para isto, as conversões digital-analógica e analógica-digital precisam ser implementadas no sistema para garantir que rodem. Assim podemos controlar e manipular os sistemas tão

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52 UNIUBE

• Apresentar a estrutura de controladores digitais e calcular os controladores discretos pelo método de Euler e Tustin.

• Estruturas de controladores• Controle digital por emulação• Controle pelo método de Euler• Controle pelo Método de Tustin

Objetivos

Esquema

facilmente quanto os contínuos, reduzindo os diagramas de blocos, portanto os sinais, bem como os sistemas podem ser apresentados no domínio z e manipulados algebricamente.

Estruturas de controladores4.1

Análogos aos equivalentes discretos das estruturas de controla-dores analógicos são as estruturas dos controladores discretos di-gitais. Desta forma, aqui também podemos ter controladores do tipo avanço e atraso de fase, proporcional, proporcional-derivado, proporcional-integral e proporcional-integral-derivativo.

A seguir, apresentamos em forma de Tabela um resumo das estru-turas dos controladores.

São apresentadas a função de transferência e a equação de dife-rença discreta de cada controlador.

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UNIUBE 53

TIPOS DE CONTROLADORES

Proporcional u(k) = Ke(k), C(z) = K

Derivativou(k) = KPTD(e(k) – e(k-1))

Integral

Avanço / Atraso

4.1.1 Controle Digital por Emulação

Considerando que um projeto de um controlador analógico tenha sido construído, este projeto segue exatamente o estudado em ca-pítulos anteriores. Assim todo o método de amostragem e recons-trução do sinal não é considerado.

Em relação ao método de discretização para o controlador analó-gico, há vários métodos que podem ser utilizados, mas trataremos aqui dos métodos de Euler e Tustin.

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54 UNIUBE

4.1.2 Controle pelo método de Euler

Este método consiste em fazer o projeto do controlador analógico como nos capítulos anteriores e, em seguida, com o controlador analógico aproximar o sinal do controle obtido com C(s) utilizando o método de Euler.

Figura 13 - Aproximação de Euler

Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12

EXEMPLO 7:

Encontre a equação recursiva correspondente a digitalização do controlador analógico:

Solução:

Seja e(t) o sinal de entrada do controlador e u(t) o sinal de saída.

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UNIUBE 55

Temos:

Aplicando o método, temos:

Logo, teremos a seguinte aproximação:

Temos a equação recursiva:

Obtemos u(k+1) em função de u(k), e(k+1) e e(k) de forma recursi-va. Esta representação em termos de transferência discreta é obti-da com o auxílio da transformada Z:

Com as condições iniciais nulas, temos:

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56 UNIUBE

Figura 14 - Controle analógico

Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12

Figura 15: Controle Digital

Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12

Figura 16 - Integral Trapezoidal

Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12

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UNIUBE 57

AMPLIANDO O CONHECIMENTO

Baixar link: <http://www.ene.unb.br/adolfo/Monographs/Graduation/TG07%20Bruno%20B.S.%20Vieira%20e%20Rafael%20S.%20Wyant.pdf>.

4.1.3 Controle pelo Método de Tustin

Com o método de Euler que obtemos a discretização, que pode ser dita como a substituição da derivada pela secante.

Também podemos aproximar a integral pela regra trapezoidal.

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58 UNIUBE

Aproximando-se para área do trapézio temos a relação recursiva:

A representação da integral pode ser feita pelo bloco:

Onde e(t) é o sinal cuja área queremos calcular e u(t) é a área desejada.

Tomando-se a transformada Z da equação recursiva, temos:

Assim, para o sistema abaixo teremos:

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UNIUBE 59

C(s) C(z)

Podemos notar que nos dois exemplos acima a relação de C(s) e C(z) com a aproximação bilinear é dado por C(s) = C(z), então:

Equação de Tustin:

Que expressa uma transformação bilinear de s para z.

EXEMPLO 7:

Obtenha um controle digital para que o sistema abaixo tenha em malha fechada uma frequência natural ωn = 0; 3 rad/seg e um amortecimento ξ = 0; 7.

Solução:

Precisamos, primeiramente, determinar um controlador analógico C(s) que possa atender as solicitações de projeto. Depois, teremos que escolher um método de emulação.

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60 UNIUBE

Figura 17 - Implementação Analógica Implementação Digital

Com os métodos de projeto de controladores de avanço encontramos:

Polos:

S=0,2±j0,2

Equação característica:

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UNIUBE 61

Assim a implementação digital necessita da frequência de amos-tragem. Esta frequência de amostragem é geralmente em torno de 20 vezes a de banda passante pelo sistema de malha fechada, que corresponde a ωn.

Assim, a frequência de amostragem para o exemplo é:

ωa = (0.3)(20) = 6 rad/seg = 1Hz

Tendo como período de amostragem:

T=1seg

Fazendo a aproximação linear, temos:

Assim, ficamos com:

Teremos assim a equação recursiva:

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62 UNIUBE

Notamos que e(k) = r(k) – y(k) e desta maneira podemos obter o esquema digital do controlador C(s) conforme a seguir:

Figura 18 - Sistema Discreto

Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12

4.1.4.Considerações Finais

Tratamos neste capítulo o projeto de sistemas digitais pelos méto-dos clássicos. Vimos as vantagens de sistemas digitais.

Lembre-se que precisamos primeiro do projeto analógico e depois o transformamos em sinal digital, para isto utilizamos o método de Euler e Tustin. Vimos comparações com os métodos usados na análise transitória, cuja comparação é possibilitada pela discretiza-ção do sistema.

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André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Controladores PID DigitaisCapítulo5

A lei de controle PID (Proporcional + Integral + Derivativa), para controlarmos uma indústria não é possível usar um mé-todo de modelagem capaz de controlar os subprocessos, im-plementando um controle para um. Assim, utilizamos contro-ladores de estrutura fixa e com parâmetros ajustáveis. Então, para este fim o controlador mais utilizado nas últimas déca-das é o PID, eles são simples e tem propósito geral, podem ser otimizados conforme o projeto a ser desenvolvido.

O PID recentemente passou a ser digital, este controlador constitui o núcleo da maioria dos softwares que são desen-volvidos para Controle Digital Direto (CDD), nos processos industriais. O ajuste destes operadores é por meio de méto-dos empíricos ou mediante regras formuladas, mesmo sem um alto grau de conhecimento da teoria de controle.

Desta forma, na prática observamos, apesar de uma varie-dade de técnicas de ajustes dos parâmetros do PID, muitas malhas em indústrias são mal ajustadas, ou trabalham em modo manual (malha aberta). Isto acontece, pois as caracte-rísticas inerentes do processo sob controle apresentam não linearidades, interação com outros processos, mudança dos

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• Apresentar a estrutura de controladores digitais e calcular os controladores discretos pelo método de Euler e Tustin.

• Estruturas de controladores• Controle digital por emulação• Controle pelo método de Euler• Controle pelo Método de Tustin

Objetivos

Esquema

parâmetros, ruídos etc. Podem também ocorrer pela falta de mão de obra especializada ajustes inadequados dos contro-ladores, desta forma a malha de controle acaba tendo um de-sempenho abaixo do projetado.

Assim, com os motivos acima justificamos o interesse no de-senvolvimento de controladores PID que, por sua vez, devem ter capacidade de se adaptar automaticamente a variações de estado do processo controlado, e também se auto ajustar se estiver desajustado. Esta ação está sendo viabilizada recente-mente por meio dos avanços em microeletrônica.

Controladores PID Digitais5.1

Estes sistemas formam a entrada da planta, e trabalham a partir do erro, da integral e da derivada deste erro no tempo. A integral do erro no tempo nos permite que a saída possa verificar a entrada com menor erro.

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UNIUBE 65

Já a derivada do erro trabalha acelerando a saída, e assim diminui a lentidão do sistema gerada pela componente integral. Todas as considerações para PI e PD podem ser utilizadas para o PID. São utilizados na indústria e na robótica, apresentam uma boa relação entre precisão, velocidade e custo de implementação.

São muito utilizados em atuadores de precisão, servomotores, plantas térmicas etc., podem ainda ser implementados de maneira analógica utilizando amplificadores operacionais.

Podemos ver na Figura 19 um diagrama de blocos PID:

Figura 19 - Controladores PD, PI e PID

Fonte: Sponsor... (s./d.).

Alguns pré-requisitos são necessários para o desenvolvimento de projeto de controladores PID: necessitam ter conversor A/D para aquisição de set-point e realimentação; saída PWM para alimenta-ção da planta; sistemas de controle de posição podem utilizar uma ponte H para o acionamento. Os cálculos de derivada e integral, assim como a utilização dos coeficientes se realizam internamente ao microcontrolador, assim também os erros.

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66 UNIUBE

O algoritmo básico nos confere a aquisição de entrada e saída, o cálculo do erro, cálculo da derivada do erro analisando o valor do último erro, o cálculo da integral do erro e acumula o valor do último erro calculado, armazena o valor atual do erro como valor passado e atualiza a saída seguindo a equação do controlador.

A aquisição da entrada e saída se dá pela leitura de sensores. A seguir, os cálculos de erros e suas notificações:

• o cálculo de erro (Erro = Set-point) faz-se a realimentação;

• para o cálculo da derivada do erro deve-se considerar o valor do último erro armazenado dErro = Erro(k-1) – Erro(k);

• cálculo da integral do erro acumulando o último valor de erro calculado: IntErro = IntErro + Erro;

• armazenamento do valor atual de erro como valor passado:

Erro(k-1) = Erro(k);

• atualização da saída seguindo a equação do controlador:

PWM = Kp*Erro + Ki*IntErro + Kd*dErro;

• se a saída utiliza Ponte H:

Se PWM é positiva:

Sinal = 1

Se a saída é negativa:

Sinal = 0

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SAIBA MAIS

Problemas com a aproximação retangular

Apesar do algoritmo por aproximação retangular do termo integral ser versátil e atender uma boa gama de aplicações, alguns proble-mas começam a surgir à medida que a complexidade do sistema a ser controlado aumenta.

O primeiro e grande problema trata-se da convergência da integral da função de erro para o valor correto quando o valor prévio dessa função erro é igual a zero, ou quando a diferença entre o erro cor-rente e o anterior passa a ser muito grande, esse problema poderia ser corrigido aumentando-se o número de iterações para cálculo do termo integral (e não baseado entre dois pontos), porém as custas de eficiência de execução.

Uma outra solução seria aproximar a integral apenas acumulando seu valor, a cada vez que o PID é computado, isso mantém a efici-ência da execução de código, e causa o mesmo efeito do aumento de iterações, entretanto a acumulação só ocorreria uma única vez a cada valor do PID computado, retornando o problema de con-vergência lenta nos resultados da integral nos primeiros valores calculados pelo PID, à medida que o processo avança esse efeito vai sendo minimizado.

O outro grande problema desse algoritmo pode ser elucidado com um exemplo prático, considerando um sistema onde o ganho pro-porcional é algo elevado, e o erro acumulado começa a crescer ou decrescer por longos períodos de tempo, isso pode levar fatalmen-te o sistema em controle a ter sobressinal (overshoot) com valores elevados, e nos casos mais graves, levar o sistema a uma oscilação permanente. Esse fenômeno é conhecido pelo nome de wind-up,

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68 UNIUBE

e pode ser minimizado utilizando valores baixos para o ganho inte-gral, somadas a técnicas de saturação do integrador (acumulador no caso da aproximação integral), mas assim, voltamos ao proble-ma de demora de convergência, uma vez que a saturação pode ser entendida como zerar o integrador (ou acumulador).

Temos então alguns inconvenientes com esse algoritmo, então o que pode ser feito para minimizar os efeitos de convergência e win-d-up? Existem diversas formas de modelar algoritmos de compen-sadores digitais a partir de circuitos analógicos, ou mesmo a partir de expressões numéricas, o algoritmo que iremos descrever aqui oferece um compensador tipo PID digital com melhor aproximação.

Fonte: <http://www.embarcados.com.br/controlador-pid-digital-u-ma-modelagem-pratica-para-microcontroladores-parte-ii/>. Acesso em: 24 abr. 2016.

5.1.1 Algoritmo para Controlador PID Digital

A expressão do controlador PID é definida como:

Kp, Ki e Kd – Ganhos porporcional, integral e derivativo.

Para associação mais ismples dos parâmetros PID aos polos e ze-ros da função de transferência, é mais conveniente que os ganhos sejam parametrizados, da forma a seguir:

Ti e Td - tempos integral e derivativo.

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UNIUBE 69

O controlador PID digital tem a sua estrutura como na Figura 20 a seguir:

Desta forma, escrevemos:

Figura 20 - Estrutura de um controlador digital

Fonte: Universidade Federal do Rio Grande do Sul -Escola de Engenharia

- Departamento de Engenharia Elétrica – Notas de aulas 2010

Dependendo da aproximação utilizada para a integral e a derivada, Ci(z) e Cd(z) podem assumir várias formas diferentes

Forward differences:

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Neste caso, notamos que a função de transferência tem dois zeros reais ou complexos e um polo em z =1. Como tem mais zeros finitos do que polos, sua utilização é mais difícil. Desta forma, devemos utilizar outras aproximações que possam ser mais simplificadas.

Backward differences:

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Função de transferência é caracterizada por apresentar dois zeros reais ou complexos, um polo em Z = 0 e um polo em Z = 1.

Aproximação bilinear:

Desta forma, a função de transferência tem dois zeros reais ou complexos, um polo em z =1 e um polo em z = -1.

Então, o controlador PID apresenta dois polos e dois zeros. As lo-calizações do polo no sistema são determinadas por aproximação utilizada, para backward differences temos polos em z=0 e z=1, já para aproximação bilinear temos polos em z=-1 e z=1. As localiza-ções dos zeros são determinadas pelos parâmetros do controlador.

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5.1.2 Considerações Finais

Prezado(a) aluno(a), vimos neste capítulo como é a estrutura de um controlador PID, os cálculos dos algoritmos PID e como são as funções de transferência para este controlador.

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André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Compensadores “LEAD-LAG”

Capítulo6

Sabemos que a melhora da estabilidade de sistemas de potência se dá por um sinal de controle que venha suplementar às malhas de controle de regulação. Os circuitos compensadores são responsáveis por gerar este sinal de controle, estes circuitos compensadores são comumente chamados de Estabilizadores de Sistemas de Potência (ESP).

Normalmente, estes Estabilizadores de Sistemas de Potência (ESP) têm valores fixos para que seu desempenho seja garantido em torno de um ponto de operação do sistema. Se o sistema é fixo, a performance do controle pode se perder, se o ponto de atuação atual não coincide com o projetado, por causa de sistemas não lineares. Já há estabilizadores com parâmetros de auto ajuste para melhorar a robustez do ESP’s e superando sua desvantagem.

Desta forma, podemos citar os ESP’s que utilizam o escalonamento de ganhos, técnicas de controle adaptativo e inteligência artificial. Algumas características que precisam ser introduzidas nos ESP’s utilizam-se do uso de lógica nebulosa, com regras fuzzy.

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• Conhecer os sistemas de compensadores, apresentar os compensadores lead-leg e suas fórmulas.

• Compensadores• Controlador PI• Controlador PD• Controlador PID• Construção do bloco derivativo puro D• Implementação prática do bloco derivativo D• Compensador avanço de fase (Lead)• Compensador atraso de fase (Lag)• Compensador atraso-avanço (Lead-lag)

Objetivos

Esquema

Compensadores6.1

Quando o sistema atua em malha fechada, os compensadores po-dem alterar alguma característica do sistema.

Temos nos compensadores o avanço de fase (lead), estes melho-ram a estabilidade, aumentam a faixa de passagem, melhoram a fase transitória, fica sujeito a ruídos de alta frequência, cai sobre o sinal na resposta do degrau. O atraso de fase (lag) minora o ganho em altas frequências, sem perder ganho em baixas frequências, minora a largura de faixa, há uma certa lentidão no sistema, e com a diminuição do ganho em frequências altas o ganho total aumenta, o que melhora sua precisão em regime permanente.

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UNIUBE 75

O avanço-atraso de fase (lead-lag) permite ao sistema um ganho de frequências baixas que pode ser aumentado, isto nos dá uma melhora na precisão em regime permanente, e também podemos aumentar a banda e a margem de estabilidade.

O PID é um caso especial de Lead-lag, o PD comporta-se como avanço de fase, o que afeta sua frequência alta, aumenta seu ân-gulo de fase, melhorando a estabilidade, há também um aumento da largura de faixa, e o sistema assim fica mais rápido. Tratando do PI ele trabalha com atraso de fase, o que afeta a região de frequên-cia baixa, aumenta seu ganho em baixa frequência, sua precisão é melhorada em regime permanente.

6.1.1 Controlador PI

Sua equação vem de:

O Pi adiciona um zero em s = KI = KP em um polo em s = 0.

Desta forma, aumenta a ordem do sistema, e pode ser menos ins-tável que o original, devemos então escolher um critério para dotar KP e KI. Com o aumento do sistema, ocorre o erro em regime para uma entrada de grau zero. Ele permite uma resposta transitória com baixo ou nenhum sobressinal, e o tanto de subida pode ser grande.

6.1.2 Controlador PD

Sua equação vem de:

O seu controle derivativo equivale a adição de um zero simples em s = -KP/Kd. Mostramos em blocos o controlador PD a seguir na Figura 21.

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Figura 21 - Compensador PD

Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR

Exemplificação da atuação da derivativa:

Com o sinal de saída possuindo um observador considerável, mostra-mos a Figura 22. O seu sinal de erro também aparece na Figura 22.

Figura 22 - Sinal de erro e saída sem compensador

Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR

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Ocorre o sobressinal e o sinal de erro ser grande no intervalo 0 < t < t1 e ser inadequado entre t1 < t < t2. O sinal da derivada do erro é mostrado a seguir na Figura 23, também e(t) e c(t).

Figura 23 - Sinal de saída e erro sem compensador e derivada do sinal de erro

Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR

Assim no compensador PD, os sinais KP, e(t) e Kd de/dt somam-se e isto nos leva a uma redução da amplitude do sinal de saída. Este fato se deve porque o e(t) e de/dt possuem sinais opostos em al-guns momentos ocasionando a diminuição do sobressinal.

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78 UNIUBE

SAIBA MAIS

Uso de Pré-Compensador Dinâmico no Projeto de Controlador Robusto para Sistema MIMO Instável

E. J. Matos, R. N. Souza e J. R. B. Souza

Resumo - Este artigo aborda o problema do projeto de controlado-res do tipo LQG/LTR para sistemas multivariáveis instáveis. A pro-posta principal é projetar um pré-compensador estabilizador para estabilizar o sistema antes de se projetar o controlador LQG/LTR final. Com esta abordagem, resolvem-se os problemas que o pro-cedimento convencional não dá conta de superar, mas a ordem do controlador completo fica significativamente aumentada.

Palavras-chave - Controladores LQG/LTR, Compensadores dinâ-micos, Loopshaping, Sistemas Multivariáveis.

Introdução

O método LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Recovery) para o projeto de controladores foi introduzido na litera-tura técnica de controle por Doyle e Stein (1979) como um sucedâ-neo ao método LQG que visa restabelecer, ao menos em parte, as excelentes margens de ganho e de fase que os reguladores LQR (Linear Quadratic Regulators) possuem e que os reguladores com observadores não garantem, conforme demonstrado por Doyle (1978). O método pode ser aplicado tanto no projeto de controla-dores para sistemas SISO como também para sistemas MIMO, e ele possui duas versões alternativas que são escolhidas confor-me as incertezas multiplicativas associadas ao modelo da planta sejam representadas na sua saída ou na sua entrada. O sucesso da aplicação do método requer que o sistema a ser controlado (a

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planta) seja de fase mínima, mas em princípio não existe nenhuma exigência de que ele deva ser estável. A importância dos sistemas de controle do tipo LQG/LTR dentro de um contexto de aplicações envolve os mais variados segmentos da atividade humana. As re-ferências (Jafar et al. 2006), (Kishor et al. 2004) e (Keller 2005), entre outras, mostram que a metodologia LQG/LTR está sendo in-corporada nos diversos segmentos produtivos e estratégicos das sociedades industrializadas.

Confira o artigo completo no link a seguir.

Fonte: <http://www.ewh.ieee.org/reg/9/etrans/ieee/issues/vol06/vol6issue1March2008/6TLA1_05Matos.pdf>. Acesso em: 27 abr. 2016.

6.1.3 Controlador PID

Sua função é dada por:

Neste caso de PID podemos trabalhar os elementos isoladamente, como:

a. Proporcional: Kp;

b. Proporcional + integral: Kp + Ki/s;

c. Porporcional + derivativo: Kp + Kd.s,

d. Integral: Ki/s.

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80 UNIUBE

Podemos representar PID também por outras fórmulas existentes:

A seguir, mostramos uma versão do compensador PID, que indica que uma varição do sinal de referência é passada a planta de forma ágil devido ao compensador derivativo. Por outro lado, isto pode prejudicar algumas plantas industriais.

Figura 24 - Compensador PID

Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR

Agora na Figura 25, a seguir, indicamos outra sugestão de constru-ção do PID. Nesta, o compensador trabalha apenas respondendo a variações do sinal de saída.

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Figura 25 - Compensador PID

Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR

6.1.4 Construção do bloco derivativo puro D

Neste caso, o controlador não pode ser utilizado fisicamente com elementos do tipo R, L, C, sua função de transferência possui um zero e nenhum polo. Por outro lado, pode ser projetado com am-plificadores operacionais. Ele é um filtro passa-altas, e por isto ele fica sensível a ruídos de alta frequência.

6.1.5 Implementação prática do bloco derivativo D

É difícil construir um compensador ideal. Sua magnitude cresce quando a frequência tende para o infinito, desta forma ele produ-ziria uma ampliação indesejável de ruídos em frequências altas, e podem estar presentes em malha fechada.

Também aumentando a banda de passagem junto com o compen-sador derivativo ideal, talvez causaria instabilidades por causa das dinâmicas não modeladas de altas frequências.

Desta forma, um compensador real é normalmente construído com a colocação de um polo em uma frequência entre três a dez vezes maiores que a de canto Kp/Kd, assim temos:

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82 UNIUBE

Onde 3 ≤ N ≤ 10. Desta forma, um compensador PD físico é repre-sentado por uma própria função:

6.1.6 Compensador avanço de fase

Caracteriza-se o lead por possuir também um par de polo-zero ajustáveis, muitas vezes instalado distante do eixo real negativo. Sua compensação no avanço de fase poderá ser utilizada para al-terar-se o valor do ganho de malha.

É um filtro passa-altas, no compensador o zero está mais próximo à origem que o polo, no semiplano esquerdo: │z│< │p│.

Sua fórmula se dá por:

Com α < 1.

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EXEMPLO:

Figura 26 - Compensador avanço de fase

Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR

Sendo polo = a e zero = b, o defasamento máximo ocorre na frequência:

E o valor do defasamento máximo é:

Na região de baixa frequência, o compensador trabalha diminuindo a curva de módulo total, e aumentando a curva ângulo de fase na região de baixa a média frequência.

Ele é utilizado para o aumento de ganho ou margem de fase do sis-tema, ou aumentar a faixa de passagem. Para aumentar a sua es-tabilidade pode-se tentar cruzar a linha de 0db, com uma inclinação de -20db/década. Se utilizarmos o cruzamento com uma inclinação de -40db/década, provavelmente resultará de um valor muito baixo para a margem de fase.

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6.1.7 Compensador atraso de fase

Colocado perto da origem no eixo real negativo, o compensador lag, se diferencia por um polo zero ajustável. O valor do ganho de malha pode ser alterado pela compensação por atraso de fase.

O Lag é um filtro de passa-baixas e sua fórmula é:

Com α > 1.

Neste caso, o polo está mais próximo da origem do que o zero, no semiplano esquerdo: │z│> │p│.

Sua compensação por atraso se caracteriza por colocar um polo e um zero próximos da origem. Assim, mais próximo também um do outro as contribuições de fase se anulam e a localização das raízes originais não se altera. Também por estarem próximos às contribui-ções de módulo se anulam.

EXEMPLO:

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Figura 27 - Compensador atraso de fase

Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR

Sendo polo = a e zero = b, o defasamento máximo ocorre na frequência:

E o valor do defasamento máximo é de:

6.1.8 Compensador atraso-avanço

É combinação das duas anteriores, sua fórmula geral se dá por:

Com b1 > a1, b2 > a2 e a1b2 = b1a2.

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86 UNIUBE

6.1.9 Considerações Finais

Prezado(a) aluno(a), vimos neste capítulo os compensadores, e como cada um atua no sistema. É importante sabermos como cada um destes dispositivos vai atuar para que possamos utilizá-los cor-retamente no projeto para que o potencial máximo da planta seja atingido sem o aparecimento de problemas de sistema.

As indústrias estão cada vez mais competitivas hoje em dia, e um bom projeto que atenda suas necessidades de planta com a maior produtividade e menor custo de manutenção e operacionalização é hoje o que busca o mercado.

Não dá para imaginar hoje uma planta de uma grande indústria pa-rada ou lenta por causa do sistema mal dimensionado ou por falhas localizadas. Sendo assim, o aprofundamento dos temas estudados até aqui, a busca diária por novas tecnologias e novos métodos deve ser o diferencial do bom profissional desta área.

Até mais, e boas pesquisas!

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André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Algoritmo “Dead-Beat” e de Kalman

Capítulo7

Os sistemas de energias renováveis têm atraído o interesse de inúmeros esforços de diversos governos em oposição a outras fontes energéticas que aumentam a emissão de CO2 ou causam enormes impactos ambientais. Tais redes renováveis transportam energia elétrica gerada por fontes eólicas, solares e das marés. Recentemente, o conceito de redes inteligentes vem sendo largamente aplicado a essas plantas energéticas para viabilizar e otimizar esse desafio (BLAU, 2010 apud FILHO; CASELHA; CAPOVILLA, 2012).

A aplicação de um sistema de telecomunicações moderno para controle e monitoramento dessas redes requer uma complexa infraestrutura para um funcionamento eficiente (STRZELECKI; BENYSEK, 2008), sendo que sua implantação e operabilidade apresentam vários aspectos não triviais em função de envolver diferentes áreas de conhecimento e diversos aspectos de projeto. Nesse sentido, a transmissão sem fio se apresenta como uma solução interessante por oferecer uma série de benefícios, como baixo custo de implantação, facilidade de expansão, possibilidade do uso das tecnologias atualmente empregadas nos sistemas de telefonia móvel, flexibilidade de utilização e gerenciamento distribuído (FILHO; CASELHA; CAPOVILLA, 2012).

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• Apresentar projeto de controle deadbeat.

• Analisar o algoritmo deadbeat e de Kalman.

• Controle deadbeat• Algoritmos para controle deadbeat• Algoritmo de Kalman

Objetivos

Esquema

Projeto de controladores digitais7.1

Seja um sistema discreto com o seguinte diagrama de blocos:

Assim, podemos dizer que

[ ])z(Y)z(R)z(D)z(G)z(Y −=

Se especificarmos)z(R)z(Y , temos:

)z(R/)z(Y1)z(R/)z(Y

)z(G1)z(D

−=

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UNIUBE 89

7.1.1 Controladores Deadbeat

Os sistemas discretos de controle apresentam a propriedade de poder exibir uma resposta dead beat. Essa propriedade não é ob-servada nos sistemas contínuos. Uma resposta dead beat é aquela obtida quando o sinal de referência é atingido em um mínimo tem-po com erro zero. Em contraste, um sistema contínuo pode atingir o valor de referência, com erro zero, somente para tempo infinito (matematicamente). Ou seja, a operação de amostragem dos siste-mas discretos permite que eles atinjam um valor de regime em um tempo que transita no infinito.

O controlador deadbeat é aquele em que:

a. O tempo de subida deve ser mínimo.

b. O erro de regime deve ser zero.

Para uma planta de ordem n, o tempo mínimo é igual a n.T.

O problema a ser resolvido é obter D(z), tal que, para uma entrada degrau, ou seja, R(z)= (1-z-1)-1, a resposta seja

y(k) = r(k) = 1 k ≥ n com

u(k) = u(n) k ≥ n

Aplicando a transformada Z, temos:

{ }...zz1...zyzy)z(Y )1n(n22

11 +++++= +−−−−

{ }...zzu...zuzuu)z(U )1n(nN

22

110 ++++++= +−−−−

{ }[ ]( ) n22

21

11

1)1n(n22

11 z...zyzyzyz1...zz1...zyzy

)z(R)z(Y −−−−−+−−−− +++−=−+++++=

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90 UNIUBE

n1n

212

11 z)y1(...z)yy(zy

)z(R)z(Y −

−−− −++−−=

nn

22

11 zp...zpzp

)z(R)z(Y −−− +++=

com ∑ =1pi

Analogamente,

nn

22

110 zq...zqzqq

)z(R)z(U −−− ++++=

com 1nnn01100 uuq;uuq;uq −−=−== e ∑ = ni uq

Então,

)z(P)z(G)z(D1

)z(G)z(D)z(R)z(Y

=+

= (I)

ou

)z(Q)z(P

)z(U)z(R

)z(R)z(Y)z(G

)z(U)z(Y

=== (II)

Usando as equações (II) em (I), temos

)z(P1)z(Q)z(D

−=

Seja

0

0n

n2

21

1

nn

22

11

qq

xza...zaza1

zb...zbzb)z(G

−−−

−−−

+++++++

= (III)

De (II)

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UNIUBE 91

nn

22

110

nn

22

11

zq...zqzqqzp...zpzp

)z(G−−−

−−−

+++++++

= (IV)

Comparando (III) e (IV)

onn

011

qbp

qbp

=

=

onn

011

qbp

qbp

=

=

Como ∑ ∑ == 1bqp i0i ,

∑=

i0 b

1q

Exemplo:

Projetar um controlador deadbeat para o seguinte sistema

368.0z368.1z265.0z368.0)z(G

2 +−+

=

Solução:

58.1bb

1q21

0 =+

=

160.2qaq 011 −== 581.0bqp 101 ==

581.0qaq 022 == 418.0bqp 202 ==

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Logo,

21

21

z418.0z58.01z58.0z16.258.1)z(D−−

−−

−−+−

=

As figuras a seguir mostram a saída da planta e o sinal de controle com o controlador deadbeat projetado

Resposta Deadbeat

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UNIUBE 93

Sinal de controle Deadbeat

7.1.2. Algoritmo de Kalman

A teoria do Filtro de Kalman é muito extensa para ser aqui demons-trada, por isso serão apresentadas as equações básicas que des-crevem a evolução temporal do processo e a relação entre predi-tores e preditandos. A formulação e a notação foram adaptadas de Simonsen (1991), apud Lubonati, Trigo, Camara (2003).

Considere t o parâmetro que queremos prever no instan-te t , i.e., o preditando, que, no nosso caso, é a diferença en-tre a observação e a respectiva previsão de temperatura à 2 m

( ) ( )( )tTtTy ECMWFmOBSmt _2_2 −= .O preditanto está relacionado com os preditores por meio da equação de observação:

tttt vmFy += (1)

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94 UNIUBE

Em que xntF 1ℜ∈ é a matriz de preditores no instante t e tv é um

vetor que dá a variação aleatória do instante ( )1−t até t , com mé-dia zero e variância conhecida dada por ℜ∈tV .

O estado do sistema no instante ( )1−t está relacionado com o instante ( )1−t por meio da equação do sistema dada por:

ttt wmm += −1 ( ),...2,1=t (2)

Em que 1nx

tm ℜ∈ é a matriz dos coeficientes dos preditores e tw é um vetor que dá a variação aleatória do instante ( )1−t até t , com média zero e variância conhecida dada por

nxntW ℜ∈ .

A equação de observação é usada na maioria dos métodos estatís-ticos e é resolvida por meio de uma regressão linear múltipla que ajusta a melhor relação entre preditores e preditandos. A teoria de Kalman se diferencia dos outros métodos nomeadamente por meio da equação do sistema, que permite que os coeficientes variem ao longo do tempo:

1ˆ −= ttt mFy ty é a previsão de 11

nxtm ℜ∈− (3)

11

nxtm ℜ∈− são os coeficientes dos preditores em ( )1−t

ttt yye ˆ−= te é o erro da previsão (4)

ttt WCR += −1 nxn

tR ℜ∈ é a matriz que atualiza tC (5)

nxntC ℜ∈−1 é a variância dos coeficientes 1−tm

twé a variância do vetor tw

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UNIUBE 95

tT

tttt VFRFY +=ˆ ℜ∈tY é a variância de ℜ∈tV (6)

ℜ∈tV é a variância do vetor tv

tT

ttt YFRA ˆ= 1nx

tA ℜ∈ é a matriz ganho de Kalman (7)

tttt eAmm += −1 1nx

tm ℜ∈ são os coeficientes dos preditores (8)nxn

tC ℜ∈

nxntC ℜ∈ é a variância dos coeficientes tm (9)

O algoritmo utilizado é computacionalmente simples e possui a vantagem de ser suficiente para atualizar o Filtro de Kalman do instante ( )1−t até o instante t .

SAIBA MAIS

Verificação da Previsão de Temperatura A 2 M do ECMWF

A construção de um Filtro de Kalman é motivada pela análise da comparação de observações SYNOP, feitas pelo Instituto de Meteorologia com as respectivas previsões do modelo do ECMWF.

A diferença entre a topografia considerada no modelo do ECMWF e a topografia real das estações pode ser, em alguns casos (tabela 1), da ordem das centenas de metros, o que tem implicações na ocorrência de erros sistemáticos nas previsões. Guarda é a esta-ção que apresenta a maior discrepância de altitude em relação ao ponto mais próximo da grelha do modelo. Ao contrário das restan-tes que se situam junto ao litoral, Guarda localiza-se em uma re-gião montanhosa, praticamente inexistente no modelo do ECMWF.

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Local Altura (m) - Estação Altura (m) - ECMWFCoimbra 171 218

Guarda 1020 662

Lisboa 104 81

Porto 93 196

Como exemplo, as observações às 9 UTC e as suas respectivas previsões feitas pelo modelo do ECMWF na corrida das 12 UTC t+21h para Lisboa, Coimbra, Porto e Guarda durante os meses de Janeiro, Fevereiro e Março de 2003 são apresentadas na figura 1. Nota-se que, nas três primeiras cidades, o modelo numérico apre-senta previsões mais frias que as observações durante pratica-mente todo o período. Por volta do dia 10 de janeiro, quando ocorre uma descida brusca na temperatura, o modelo torna-se incapaz de prever corretamente temperaturas muito baixas na Guarda, supe-restimando os valores de temperatura. É justamente nessa cidade onde há uma variação evidente no comportamento do modelo, ora subestimando, ora superestimando os valores de temperatura.

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Os valores médios mensais das diferenças entre as previsões de temperatura e as observações ( OBSmECMWFm TT _2_2 − ), i.e., o bias, em função das horas do dia, são apresentados, respectivamente, nas figuras 2 e 3, para as cidades do Porto e da Guarda. Com base nas figuras, é possível observar a variação diurna das diferenças en-tre previsões e observações e, ainda, as variações desse ciclo ao longo do ano. No Porto, observa-se que, durante os quatro primei-ros meses e os últimos três meses do ano (i.e., durante os meses mais frios), o modelo subestima os valores de temperatura, com as maiores discrepâncias obtidas às 9 UTC. Entretanto, durante os meses mais quentes, o modelo gera previsões que ora subesti-mam a temperatura (no período da manhã), ora superestimam (no período da tarde), ou seja, a amplitude diurna é sistematicamente superestimada. Ao contrário, na cidade da Guarda, o modelo tende a fornecer previsões mais quentes que as observações, como seria esperado dada a fraca representação da topografia local no mode-lo. De uma forma geral, verifica-se que o bias varia ao longo do dia, com as estações do ano e de local para local.

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Figura 3 - Como na Figura 2, mas para a cidade da Guarda.

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102 UNIUBE

APLICAÇÃO DO FILTRO

Como mencionado anteriormente, foi desenhado um Filtro de Kalman para corrigir o erro de previsão da temperatura a 2 m na estação, definido como a diferença entre o valor observado, OBSmT _2

, e o valor previsto pelo modelo, ECMWFmT _2 . Nesse caso, o nosso preditando é dado por:

ECMWFmOBSmt TTy _2_2 −= (10)

Para se iniciar o funcionamento do filtro, é necessário definir a ma-triz dos preditores. Para tal, considerou-se que o erro de previsão das 9 UTC está relacionado com o erro de previsão cometido às 6 UTC. Isto é, a matriz de preditores tF para a previsão dos erros às 9 UTC para cada dia t é dada por:

( ) ( )

=tTtT

FECMWFmOBSm

t_2_2

1

(11)

É também fundamental determinar uma primeira estimativa dos coeficientes m e dos demais parâmetros estatísticos. A primeira estimativa dos coeficientes ( 0m ) foi obtida por meio de uma regres-são linear ( ) ( )( )xmmy 21 00 += , em que os valores de y correspon-dem às diferenças entre as temperaturas observadas e previstas durante o ano de 2003 às 9 UTC, enquanto os valores de x cor-respondem às diferenças entre as temperaturas observadas e as previstas durante o ano de 2003 às 6 UTC. A primeira estimativa da matriz dos coeficientes é definida como:

( )

=

xy

C 2

2

0

00

)(σ

σ

(12)

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UNIUBE 103

Em que ( )y2σ e ( )x2σ são respectivamente a variância do erro das previsões do ECMWF às 9 UTC e 6 UTC.

Para as variâncias do sistema, escolheram-se valores constantes: 2=tV e 3650CWt = .

Então, a primeira previsão feita pelo filtro será dada por:

( ) ( ) ( )221ˆ 1001 Fmmy += (13)

O erro do filtro, 1e , é calculado por meio da Eq. (4) e, a seguir, uti-lizado para que 1m e 1C possam ser estimados pelas Eqs. 5-9. A previsão de 2y dada pela Eq. (3) é calculada utilizando-se 2F e 1m e assim sucessivamente.

RESULTADOS

Nesta seção, será apresentada a performance do Filtro de Kalman por meio de algumas séries temporais de previsões corrigidas e não corrigidas e, ainda, por meio de alguns parâmetros estatís-ticos, tais como skill score (SS), a raiz do erro médio quadrático (REMQ) e bias.

A Figura 4 apresenta a comparação entre as observações, as pre-visões do modelo do ECMWF e a previsões do Filtro de Kalman para Lisboa e Coimbra durante o período de janeiro, fevereiro e março de 2003 às 9 UTC. Por volta do dia 10 de Janeiro, quan-do ocorre uma descida brusca da temperatura, as previsões feitas pelo modelo ECMWF apresentam temperaturas mais frias que as observadas. O Filtro de Kalman, entretanto se adapta muito bem ao acontecimento, fornecendo previsões bastante próximas das

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observações. Em 25 de janeiro, a temperatura sobe e o filtro rapi-damente se adapta à situação, ao contrário do modelo do ECMWF, que prevê temperaturas muito inferiores às observadas. É interes-sante notar o comportamento do Filtro de Kalman em meados de Março (dias 65 a 75 das figuras 4a e 4b), quando ocorre a tempe-ratura máxima para o período de Janeiro a Março às 9 UTC. Nessa ocasião, o filtro comporta-se de maneira bastante distinta nas duas cidades, subestimando a temperatura em Lisboa e a superestiman-do em Coimbra, entretanto sempre fornecendo previsões melhores que o modelo do ECMWF.

Figura 4 - Observações da temperatura a 2m (pontos), previsão do modelo do ECMWF

(linha azul) e previsão do Filtro de Kalman (linha vermelha). Resultados para Lisboa

(a) e Coimbra (b), durante o período de Janeiro, Fevereiro e Março de 2003.

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Os histogramas das distribuições dos erros (temperatura observada menos temperatura prevista) do modelo do ECMWF e do Filtro de Kalman são apresentados nas figuras 5 a 8 para Lisboa, Coimbra, Porto e Guarda, respectivamente. Conforme dito anteriormente, o modelo de previsão do ECMWF tende a subestimar a temperatura nas cidades de Lisboa, Coimbra e Porto, enquanto na Guarda há uma tendência para superestimar a temperatura. Após a aplicação do filtro, a distribuição dos erros aproxima-se claramente da nor-mal, centrada em zero e com uma menor dispersão entre previsões e observações. A análise comparativa dos histogramas dos erros do modelo do ECMWF e do Filtro de Kalman mostra que esse úl-timo é eficaz na remoção do bias e na eliminação de grande parte das situações com erros nas previsões superiores a 4-5ºC.

Figura 5 - Histogramas da frequência relativa dos erros (T2m_OBS-T2m_PREVISTO) para o

Filtro de Kalman (a) e o modelo do ECMWF (b). Resultados para Lisboa às 9UTC.

Figura 6 - Como Figura 5, mas para Coimbra.

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106 UNIUBE

Figura 7 - Como Figura 5, mas para a cidade do Porto.

Figura 8 - Como Figura 5, mas para a cidade da Guarda.

Para quantificar a melhoria das previsões do Filtro de Kalman em relação às previsões do modelo do ECMWF, foi calculado o skill score (SS) em relação ao ECMWF:

x100%ECMWF

KALMANECMWF

REMQREMQREMQ

SS−

= (13)

Em que

( )21

1ii OBSPREV

N

iTT

NREMQ −∑=

= (14)

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UNIUBE 107

O parâmetro SS quantifica a variação relativa da raiz do erro médio quadrático (REMQ) do Filtro de Kalman, relativamente ao ECMWF. Valores positivos de SS indicam que o filtro melhorou as previsões, enquanto valores negativos indicam que o filtro piorou as previ-sões. Em todas as localidades, o Filtro de Kalman apresenta razoá-veis índices de melhoria, tendo a cidade Lisboa o melhor resultado (46,7%), seguida do Porto com 42,5%, Coimbra com 33,1% e, por último, Guarda com 29,3%. A comparação dos valores de REMQ e bias entre o modelo do ECMWF e o Filtro de Kalman é apresentada na tabela 2.

REMQ (ºC) Bias (ºC)ECMWF Kalman ECMWF Kalman

Lisboa 2,21 1,18 -1,61 0,01Coimbra 2,39 1,60 -1,23 0,02

Porto 3,15 1,80 -2,14 0,00Guarda 2,10 1,48 0,11 0,03

A eliminação dos erros sistemáticos sugerida pelos histogramas pode ser comprovada por meio da redução do bias para valores muito próximos de zero em todos as estações de estudo. A dimi-nuição da dispersão entre temperaturas previstas e observadas e, consequentemente, o aumento da precisão, pode ser quantificado por meio da diminuição do REMQ, conforme tabela 2.

Fonte: LIBONATI, R.; TRIGO, I.; DACAMARA, C. APLICAÇÃO DO FILTRO DE KALMAN NA CORREÇÃO DAS PREVISÕES DE TEMPERATURA A 2 METROS DO ECMWF. 2003. Disponível em: < http://www.cbmet.com/cbm-files/22-ba8e9f198a20fe0069a6d-dc628235014.doc>.

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108 UNIUBE

7.1.3 Considerações Finais

Caro(a) aluno(a), na análise de sistemas digitais, usamos técnicas parecidas com o plano s na área de estabilidade. A fronteira estável é o círculo de estabilidade e substitui o eixo imaginário.

Vimos, ainda, que em sistemas digitais os conceitos da posição das raízes e da resposta transitória se transportam para o plano z. Então, as regras para encontrar as raízes não se alteram aqui; mapeamos pontos no plano s no plano z e associamos as caracte-rísticas da resposta aos pontos.

Vimos, também, que o cálculo de sistemas com dados nos indica que a taxa de sua amostra, a mais que o ganho e da carga, deter-mina a resposta transitória do sistema.

Sendo assim, os compensadores podem ser também projetados para sistema digital, projetando, primeiramente, o compensador no plano s ou por técnicas de resposta de frequência. Depois dos cálculos do projeto analógico, ele é transformado em digital pelo método de Tustin.

Sendo assim, os controladores podem ser também projetados para sistema digital, projetando, primeiramente, o controlador no plano s ou por técnicas de resposta de frequência. Depois dos cálculos do projeto analógico, ele é transformado em digital pelo método de Tustin.

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André Taveira da Silva Scheibel

Introdução

Controladores Digitais no Espaço de Estados

Capítulo8

Com aplicação de computadores digitais na malha tivemos algumas vantagens como diminuição de custo, flexibilização em mudanças de projeto e imunidade a ruído. O controle de malhas simultâneas é requerido em sistemas modernos de controle, tensão, vazão, crescimento populacional bacteriano, por exemplo.

Em qualquer indústria de grande porte podemos notar somente um computador digital substituindo muitos controladores analógicos, isto favorece a redução dos custos. Pois controles analógicos necessitam de muitos ajustes e alterações em equipamentos.

Grande parte dos equipamentos, instrumentos de medição e botões estão sendo trocados por computadores, com estes todas as informações sobre ajustes necessários, desempenho e reparos são apresentados em telas. Com a aplicação de computadores com sistemas digitais ganhou-se grande flexibilização em respostas de mudanças em projetos.

Sendo assim, qualquer alteração que seja necessário implementar no futuro para crescimento da planta basta

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• Apresentar o projeto de controle deadbeat.

• Analisar o algoritmo deadbeat e de Kalman.

• Controle deadbeat• Algoritmos para controle deadbeat• Algoritmo de Kalman

Objetivos

Esquema

apenas alterar o software e não as máquinas e equipamentos que são os hardwares, que são mais caros. Os sistemas digitais apresentam imunidade maior que os analógicos a ruídos, por causa dos métodos de implementações utilizados nesses sistemas.

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UNIUBE 111

Descrição por Variáveis de Estado8.1

É aplicável a sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas, que podem ser lineares ou não lineares, invariantes ou variantes no tempo e com condições iniciais não nulas. O estado de um sistema no instante t0 é a quantidade de informação em t0, que, junto com a entrada u(t) em t ≥ t0 , determina univocamente o comportamento do sistema para todo 0 t ≥ t.

Considere os vetores:

Onde:

x(t) → vetor de estados.

xi(t) → variável de estado.

u(t) → vetor de entrada.

y(t) → vetor de saída.

E as matrizes: A(t)nxn; B(t)nxp; C(t)qxn; D(t)qxp.

Na representação por variáveis de estado, temos:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) Equação de Estado (dinâmica do sistema)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) Equação de Saída (observação do sistema)

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112 UNIUBE

Ou ainda, no caso invariante no tempo, temos:

x (t) = Ax(t) + Bu(t) Equação de Estado (dinâmica do sistema)

y(t) = Cx(t) + Du(t) Equação de Saída (observação do sistema)

Aplicando a Transformada de Laplace, temos:

Para condições iniciais nulas ( X(0) = 0 ):

Y(s) = [C(sI − A) 1B + D]U(s) = G(s)U(s)

De onde, conclui-se:

G(s) = C( s I − A)−1 B + D Matriz Função de Transferência

Como (sI − A) corresponde ao polinômio característico de G(s), os autovalores de A correspondem às raízes do polinômio caracterís-tico, ou seja, aos polos de G(s).

8.1.1 Solução da Equação de Estado

Caso Escalar

x(t) = ax(t) bu(t)

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UNIUBE 113

Laplace

X (s) = (s a)−1 x(0) (s a)−1 bU(s)

Aplicando a Transformada inversa de Laplace, obtemos:

Caso Vetorial

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

Onde: eat= L-1{(sI − A)−1}.

A exponencial matricial; eAt, pode ser calculada por meio da série:

Que converge para todo t finito e para todo A.

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114 UNIUBE

8.1.2 Estabilidade

Considere uma representação em variáveis de estado de um sis-tema SISO:

x (t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + du(t)

Teorema: um sistema é estável, se, quando u(t) = 0, para todo x(0), temos que:

OBS.: se u(t) = 0 ⇒ x(t) = eAt x(0)

Corolário: um sistema é estável, se, todos os autovalores da ma-triz A apresentam parte

real negativa.

OBS.: os autovalores de A são as raízes da equação característica: Δ(s) = det(sI − A) = 0 .

EXEMPLO:

Logo, o sistema é instável.

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UNIUBE 115

8.1.3 Controlabilidade

Definição: o sistema (A,B,C,d) é controlável se, quaisquer que se-jam x(0) e x(T), existe u(t) 0 ≤ t ≤ T que transfere o estado x(0) para o estado x(T) em um tempo finito.

Teorema: o sistema (A,B,C,d) é controlável se e somente se, o posto da matriz de controlabilidade Unxnp associada é igual a n.

U = [B AB A2 B ... Nan-1 B]

OBS.: uma matriz R é dita possuir posto (rank), ρ(R), igual a m, se existir uma submatriz Mmxm de modo que o determinante de M é não nulo, e o determinante de todas as submatrizes rxr (onde r > m) de R é zero.

EXEMPLO:

EXEMPLO:

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116 UNIUBE

(Não Controlável)

Justificativa: se x1(0) = x2(0) ⇒ x1(t) = x2(t); ⇒ t ≥ 0.

8.1.4 Observabilidade

Definição: o sistema (A,B,C,d) é observável, se, para todo x(0), o conhecimento da entrada u(t) e da saída y(t) em um tempo finito é suficiente para determinar x(0).

Teorema: o sistema (A,B,C,d) é observável, se e somente se, o posto da matriz de observabilidade Vnqxn associada é igual a n.

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EXEMPLO:

ρ(V) = 2. Logo, o sistema é Não Observável.

SAIBA MAIS

Modelando um sistema

O estado do sistema (matriz x) é o conjunto de variáveis que po-demos medir e queremos controlar. No caso do aquecedor, o único estado é a temperatura de saída da água (qout) em Celsius. Por simplicidade, consideramos esta ser a temperatura de toda a água acumulada dentro do aquecedor.

A entrada ou controle do sistema (matriz u) é o conjunto de vari-áveis que podem influir no estado. No nosso aquecedor, são três:

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temperatura de entrada da água (qin), temperatura desejada pelo usuário (qtgt), e a potência do aquecedor (w) em kcal/min.

Pode ser difícil decidir se algo é estado (x), controle (u), entrada (u), saída (y) ou característica do sistema (A ou B). Temperatura de entrada não pode ser controlada, mas certamente influencia a tem-peratura de saída. A potência do aquecedor atua sobre o estado (pois aquece a água), mas também é uma variável que desejamos controlar. Afinal, potência é estado ou controle? Na minha opinião, encaixou melhor como controle.

A saída do sistema é uma transformação simples das variáveis para o mundo físico. Por exemplo, o controle de potência (w) em kcal/min precisa ser traduzido para kBTU/h ou Watts. Para facilitar nosso exemplo, vamos presumir que se trata de um aquecedor elé-trico e usaremos Watts. A equação de saída não é diferencial, e seu resultado não influencia o estado.

Mais algumas grandezas que precisamos encaixar no modelo:

• A vazão de saída de água quente (f), em litros/min.

• O volume de água dentro do aquecedor (z) em litros. Levar em conta este volume tornará nosso modelo muito mais fiel, pois podemos controlar a temperatura mesmo que a vazão seja zero, como se fosse uma caldeira.

• Para caprichar: a perda térmica do aquecedor (l). Ou seja, a tendência da água dentro do aquecedor esfriar, proporcio-nalmente à diferença da temperatura ambiente. Por simplici-dade, a temperatura de entrada da água será considerada a temperatura ambiente.

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Os itens acima têm de ser encaixados nas matrizes A e B, pois são características do sistema; não são controles nem estados. “Ah, mas a vazão vai mudar ao longo do tempo!” Verdade, mas todos os elementos da equação de estado-espaço também podem mudar com o tempo.

Os elementos x, u, A, B, C e D são na verdade funções no tempo: x(t), u(t), A(t), B(t), C(t) e D(t). Então não há problema em colocar características variáveis dentro das matrizes A a D. Existem siste-mas onde as matrizes A a D são de fato constantes, denominados LTI (linear time-invariant), mas não é o caso do nosso aquecedor.

Fonte: <https://epxx.co/artigos/stfeed.html>. Acesso em: 27 abr. 2016.

8.1.5 Funções de Transferência

Em SISO, as equações que temos são:

(A,B,C,d) é uma realização de G(s) se:

G (s) na Forma Canônica Observável:

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G (s) na Forma Canônica Controlável:

8.1.6 Realimentação de Estado

A ideia básica da realimentação de estados consiste em alocar os polos de malha fechada (autovalores da matriz dinâmica), modifi-cando, assim, a dinâmica do sistema.

Segue a representação em variáveis de estado de um sistema:

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Teorema: se (A,B,C,d) for controlável, usando u(t) = Kx(t) + r(t) podemos escolher arbitrariamente os autovalores de (A + BK).

8.1.7 Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K

1- Formar com os polos desejados.

2- Cálculo de K:

EXEMPLO:

Dado:

Usando: u(t) = Kx(t) + r(t). Determine K para que os autovalores do sistema sejam -1 e -2.

SOLUÇÃO:

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8.1.8 Considerações Finais

Neste capítulo vimos as vantagens de um sistema digital em relação a um analógico. Eles podem controlar diversas malhas com custo menor. Todas modificações no sistema podem ser feitas por meio de software ao invés de hardware (equipamentos). Juntamente com sua compensação o computador digital é modelado como amostrador-extrapolador.

Você aprendeu como projetar sistemas de controle linear com as técnicas de domínio de frequência e no espaço de estados. Este é apenas o começo, o(a) aluno(a) deve prosseguir seus conhecimen-tos sobre sistemas de controle modernos.

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Conclusão

Caro(a) aluno(a), chegamos ao fim do estudo da matéria de Sistemas de Controle II. No capítulo I vimos que o projeto de es-paço de estados se baseia na localização dos polos do sistema, depois projetar um controlador calculado por meio de ganhos de retroação das variáveis de estado.

No capítulo II vimos que projetar o controlador se resume a efetuar a retroação das variáveis de estado para a entrada u, no sistema com ganhos específicos. Os ganhos são obtidos igualando-se os coeficientes da equação, característica do sistema aos coeficien-tes da equação desejada. O sinal de controle u, em determinados casos, não pode afetar uma ou mais de uma variável de estado, a este sistema dizemos que ele é não controlável. Portanto, para este sistema torna-se impossível um projeto completo, sendo as-sim o projetista com a matriz de controlabilidade pode afirmar antes do projeto se o sistema é ou não controlável.

No capítulo III, vimos que a inserção de uma integral nos dá uma melhoria do erro de estado estacionário. Evidenciamos três vanta-gens no projeto de espaços de estados, primeiro, ao contrário do método das raízes pudemos especificar a alocação dos polos para diminuir o efeito dos polos não dominantes em relação à resposta transitória. Encontrando o lugar das raízes confirmamos a hipótese em que os polos não afetam a resposta transitória.

No capítulo IV, vimos o projeto de controladores discretos, como eles se integram ao sistema, a fórmula de Euler e Tustin para dis-cretização do sistema.

No capítulo V, vimos que os sistemas formam a entrada da planta, e trabalham a partir do erro, da integral e da derivada deste erro no

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tempo. A integral do erro no tempo nos permite que a saída possa verificar a entrada com menor erro. Já a derivada do erro trabalha acelerando a saída, e assim diminui a lentidão do sistema gerada pela componente integral. Todas as considerações para PI e PD podem ser utilizadas para o PID. São utilizados na indústria e na robótica, apresentam uma boa relação entre precisão, velocidade e custo de implementação. Vimos ainda que são muito utilizados em atuadores de precisão, servomotores, plantas térmicas etc., podem ainda ser implementados de maneira analógica utilizando amplifi-cadores operacionais.

No capítulo VI estudamos a lei de controle PID (Proporcional + Integral + Derivativa), para controlarmos uma indústria, e que não é possível usar um método de modelagem capaz de controlar os subprocessos, implementando um controle para um. Assim, utiliza-mos controladores de estrutura fixa e com parâmetros ajustáveis. Então, para este fim o controlador mais utilizado nas últimas dé-cadas é o PID, eles são simples e têm propósito geral, podem ser otimizados conforme o projeto a ser desenvolvido.

Vimos ainda que o PID recentemente passou a ser digital, este controlador constitui o núcleo da maioria dos softwares que são desenvolvidos para controle digital direto (CDD), nos processos in-dustriais. O ajuste destes operadores é mediante métodos empíri-cos ou por meio de regras formuladas, mesmo sem um alto grau de conhecimento da teoria de controle e a equação bilinear para estes sistemas.

No capítulo VII, aprendemos que o sistema deadbeat é aplicável a sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas, que podem ser lineares ou não lineares, invariantes ou variantes no tempo e com condições iniciais não nulas. Os sistemas discretos de controle

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apresentam a propriedade de poder exibir uma resposta deadbeat. Esta propriedade não é observada nos sistemas contínuos. Uma resposta deadbeat é aquela obtida quando o sinal de referência é atingido em um mínimo tempo com erro zero. Em contraste, um sistema contínuo pode atingir o valor de referência, com erro zero, somente para tempo infinito (matematicamente).

No capítulo VIII, apresentamos os controladores digitais no espaço de estados, vimos o projeto destes controladores e como transfor-mamos um controlador analógico em digital. Aprendemos que o es-tado do sistema (matriz x) é o conjunto de variáveis que podemos medir e queremos controlar e que a entrada ou controle do sistema (matriz u) é o conjunto de variáveis que podem influir no estado.

Este curso introdutório de sistema de controle está completo, mas repito que este é apenas o começo e que ainda há muito o que ver em sistemas de controle modernos por meio de cursos sobre con-trole digital, controle não linear, os quais aprenderá técnicas para projetar sistemas não tratados neste livro.

Esperamos ter dado a você um estímulo para continuar progredin-do no conhecimento de controles de sistemas.