sistema-girante teorema de coriolis

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S O ˆ x, ˆ y ˆ z. O S * O S, S. S * ˆ x * , ˆ y * ˆ z * . A S S * , A = A x ˆ x + A y ˆ y + A z ˆ z (1) A = A * x ˆ x * + A * y ˆ y * + A * z ˆ z * , (2) A x ,A y A z S, A * x ,A * y A * z S * , S. dA dt = dA x dt ˆ x + dA y dt ˆ y + dA z dt ˆ z (3) dA dt = dA * x dt ˆ x * + dA * y dt ˆ y * + dA * z dt ˆ z * + A * x dˆ x * dt + A * y dˆ y * dt + A * z dˆ z * dt , (4) ˆ x * , ˆ y * ˆ z * S * , x * ,y * z * S * , A, d * A dt = dA * x dt ˆ x * + dA * y dt ˆ y * + dA * z dt ˆ z * . (5) dA dt = d * A dt + A * x dˆ x * dt + A * y dˆ y * dt + A * z dˆ z * dt . (6)

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Descreve a influência da força de Coriolis na formação de ciclones.

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  • Sistemas de coordenadas em movimento

    Na superfcie da Terra estamos em movimento de translao em torno do Sol

    e rotao em torno do eixo terrestre, alm, claro, do movimento que o sis-

    tema solar inteiro tem pela nossa galxia. Qualquer sistema de coordenadas

    xo com relao superfcie da Terra , portanto, um sistema de coordenadas

    em movimento. Mas, em movimento com relao a que referencial? Ao Sol?

    Certamente, mas no apenas com relao ao Sol; a Terra tem movimentos acel-

    erados que podem ser detectados usando, por exemplo, um pndulo de Foucault.

    Nesta postagem quero demonstrar o teorema de Coriolis. Esse teorema estab-

    elece a relao entre a acelerao em um referencial girante e a acelerao em

    um referencial inercial, isto , desprovido de aceleraes.

    Seja S o sistema de coordenadas de origem no ponto O e com versores xosno espao x, y e z. Considere que a origem O tambm esteja xa no espao.Agora, seja S um sistema de coordenadas que tem a mesma origem O queo sistema S, porm seus eixos esto girando solidamente com relao aos eixoscoordenados de S. Assim, os versores do sistema girante S so funes vetoriaisdo tempo e so escritos x, y e z. Qualquer vetorA pode ser escrito em termosde suas coordenadas em S ou em S, isto ,

    A = Axx+Ayy +Az z (1)

    e

    A = Axx +Ayy

    +Az z, (2)

    onde Ax, Ay e Az so suas coordenadas com relao ao sistema S, que permanecexo no espao, e Ax, A

    y e A

    z so suas coordendas com relao ao sistema S

    ,cujos eixos giram solidamente com relao ao sistema S.Agora vamos tomar as derivadas temporais das Eq. (1) e (2):

    dA

    dt=

    dAxdt

    x+dAydt

    y +dAzdt

    z (3)

    e

    dA

    dt=

    dAxdt

    x +dAydt

    y +dAzdt

    z +Axdx

    dt+Ay

    dy

    dt+Az

    dz

    dt, (4)

    j que os versores x, y e z so dependentes do tempo em um sistema decoordenadas girante. Para quem est girando junto com o sitema S, apesarda tontura, os eixos coordenados x, y e z esto, relativamente ao observadorxo em S, parados. Logo, esse observador tonto calcula a variao temporalde A, no como nas Eqs. (3) e (4) acima, mas sim como

    dAdt

    =dAxdt

    x +dAydt

    y +dAzdt

    z. (5)

    Substituindo a Eq. (5) na Eq. (4) d

    dA

    dt=

    dAdt

    +Axdx

    dt+Ay

    dy

    dt+Az

    dz

    dt. (6)

    1

  • Como quaisquer vetores podem ser escritos em termos da base formada pelos

    versores x, y e z, segue que

    dx

    dt= axx

    + bxy + cxz, (7)

    dy

    dt= ayx

    + byy + cyz (8)

    e

    dz

    dt= azx

    + bzy + cz z, (9)

    onde as constantes a's, b's e c's devem ser determinadas. Multiplicando escalar-mente a Eq. (7) por x d

    x dx

    dt= axx

    x + bxx y + cxx z = ax.

    Mas,

    x dx

    dt=

    d

    dt

    (x x

    2

    )=

    d

    dt

    (1

    2

    )= 0.

    Logo,

    ax = 0. (10)

    Multiplicando escalarmente a Eq. (7) por y d

    y dx

    dt= axy

    x + bxy y + cxy z = bx.

    Mas,

    y dx

    dt=

    d

    dt(y x) x dy

    dt

    e, portanto,

    bx = y dx

    dt= x dy

    dt. (11)

    Multiplicando escalarmente a Eq. (7) por z d

    z dx

    dt= axz

    x + bxz y + cxz z = cx.

    Mas,

    z dx

    dt=

    d

    dt(z x) x dz

    dt

    2

    FlvioDestacar

    FlvioLpis

    FlvioLpis

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  • e, portanto,

    cx = z dx

    dt= x dz

    dt. (12)

    De maneira anloga, multiplicando a Eq. (8) escalarmente por x, y e z,fornece

    x dy

    dt= ay, (13)

    y dy

    dt= by,

    isto ,

    by = 0 (14)

    e

    z dy

    dt= cy = y dz

    dt. (15)

    Finalmente, multiplicando a Eq. (9) escalarmente por x, y e z, fornece

    x dz

    dt= az, (16)

    y dz

    dt= bz, (17)

    e

    z dz

    dt= cz,

    isto ,

    bz = 0. (18)

    Das Eqs. (11) e (13) segue que

    bx = ay. (19)

    Das Eqs. (12) e (16) segue que

    cx = az. (20)

    Das Eqs. (15) e (17) segue que

    cy = bz. (21)

    3

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    FlvioLpis

  • Com as Eqs. (10), (14), (18), (19), (20) e (21), as Eqs. (7), (8) e (9) cam

    dx

    dt= bxy

    az z, (22)

    dy

    dt= bxx + cyz (23)

    e

    dz

    dt= azx

    cyy. (24)

    Note que possvel denir um vetor assim:

    = cyx + azy + bxz, (25)

    tal que

    x = (cyx + azy + bxz) x = azy x + bxz x = az z + bxy, (26)

    y = (cyx + azy + bxz) y = cyx y + bxz y = cyz bxx (27)e

    z = (cyx + azy + bxz) z = cyx z + azy z = cyy + azx. (28)Comparando a Eq. (22) com a Eq. (26), a Eq. (23) com a Eq. (27) e a Eq.

    (24) com a Eq. (28) fornece

    dx

    dt= x, (29)

    dy

    dt= y (30)e

    dz

    dt= z. (31)

    Substituindo as Eqs. (29), (30) e (31) na Eq. (6) resulta em

    dA

    dt=

    dAdt

    +Ax x +Ay y +Az z,

    isto ,

    dA

    dt=

    dAdt

    + (Axx +Ayy +Az z) ,4

    FlvioLpis

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  • ou seja,

    dA

    dt=

    dAdt

    + A, (32)

    onde usei a Eq. (2). Como a Eq. (32) vale para qualquer vetor A, segue que

    d

    dt=

    ddt

    +

    e, portanto,

    d

    dt=

    ddt

    , (33)

    que uma propriedade interessante.

    Agora estamos em condies de demonstrar o teorema de Coriolis. Temos,

    da Eq. (32), que a derivada temporal de segunda ordem do vetor A dada por

    d2A

    dt2=

    d

    dt

    (dA

    dt

    )=d

    dt

    (dA

    dt

    )+ dA

    dt,

    que, usando novamente a Eq. (32) fornece

    d2A

    dt2=

    d

    dt

    (dAdt

    + A)

    + (dAdt

    + A),

    isto ,

    d2A

    dt2=

    d2Adt2

    +d

    dt(A) + d

    Adt

    + (A) ,

    ou seja,

    d2A

    dt2=

    d2Adt2

    +

    (ddt

    )A+ d

    Adt

    + dAdt

    + (A) ,

    ou ainda,

    d2A

    dt2=

    d2Adt2

    + (A) + 2 dAdt

    A ddt, (34)

    onde usei a Eq. (33). Tomando o vetor A como sendo o vetor posio r na Eq.(34) resulta no teorema de Coriolis:

    d2r

    dt2=

    d2rdt2

    + ( r) + 2 drdt r d

    dt. (35)

    O vetor chamado velocidade angular de rotao instantnea. O termo( r) chamado de acelerao centrpeda, o termo 2dr/dt chamadode acelerao de Coriolis e o termo rd/dt s aparece se a velocidade angularde rotao no for constante, mas no tem um nome especco.

    5

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  • Da segunda lei de Newton e da Eq. (35), segue que a fora resultante sobre

    uma partcula de massa m dada por

    md2r

    dt2= F,

    isto ,

    md2rdt2

    +m ( r) + 2m drdtmr d

    dt= F,

    ou seja,

    md2rdt2

    = Fm ( r) 2m drdt

    +mr ddt. (36)

    O termo m ( r) a chamada fora centrfuga e 2mdr/dt con-hecida como a fora de Coriolis. Essas foras so denominadas foras ctcias,

    j que tm sua origem no movimento acelerado do referencial em movimento.

    O termo mr d/dt no tem um nome especco e s aparece se a frequnciaangular no for constante no tempo.Quando o sistema de coordenadas S, alm de girar, tambm tem translaocom relao a S, ento h uma origem diferente em S, que vou chamar de O,e que separada da origem O de S pelo vetor instantneo h. Assim, um vetorem S pode ser escrito em termos de suas coordenadas com relao a S, dadaspelo vetor r, assim:

    r = r + h. (37)

    Ento,

    dr

    dt=

    dr

    dt+dh

    dt, (38)

    isto ,

    dr

    dt=

    dr

    dt+ r + dh

    dt, (39)

    onde usei a Eq. (32), que vale para as coordendas girantes de S, que giram emtorno de O. Agora decorre da Eq. (38) que

    d2r

    dt2=

    d2r

    dt2+d2h

    dt2, (40)

    ou seja,

    d2r

    dt2=

    d2r

    dt2+ ( r) + 2 d

    r

    dt r d

    dt+d2h

    dt2, (41)

    onde usei a Eq. (35).

    Bibliograa

    [1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edio (Addison Wesley, 1971).

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