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  • Curso de Introduo ao SIMULINK

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    Captulo 4 Sistemas Contnuos no Tempo

    Aps estudar os captulos anteriores, o usurio j deve se sentir bem maisconfortvel com os mecanismos de construo e execuo de modelos noSIMULINK. Este captulo explora o uso do SIMULINK na modelagem de sistemascontnuos.

    Um sistema contnuo um sistema dinmico que pode ser descrito por equaesdiferenciais. A maioria dos sistemas e processos so contnuos.

    Os sistemas mais simples so escalares e pode-se admitir que so lineares einvariantes no tempo. Inicialmente o texto tratar destes tipos de sistemas utilizandoblocos da biblioteca linear. A seguir ser mostrado modelos mais complicadosutilizando vetores de sinais e ainda blocos da biblioteca Nonlinear para se modelarsistemas contnuos no lineares.

    4.1 - Sistemas Escalares Lineares

    Podem ser modelados utilizando blocos na biblioteca linear. Estes blocos so fceisde usar, mas o Integrador tem vital importncia na elaborao de diversos sistemas.Primeiro ser feita uma explicao detalhada do bloco integrador e a seguir serilustrada a modelagem de sistemas contnuos escalares com dois exemplos

    4.1.1 - Bloco Integrador (Integrator)

    Este bloco pode ser configurado como um integrador simples ou um integrador comreset. Um integrador com reset leva a sada condio inicial toda vez que seusinal de reset dispara. Pode-se tambm configurar o integrador de tal forma que suasada fique sempre dentro de certos limites pr-definidos. Pode-se ainda configuraro integrador para que sua sada inicial seja um valor configurado na sua caixa dedilogo ou que ele receba o valor inicial atravs de uma entrada adicional.

    Com um duplo clique no integrador abre-se sua caixa de dilogo. Para se utilizar umintegrador padro a nica entrada requerida nesta caixa a condio inicial (InitialCondition), que tem como default 0.

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    Cap.4 Sistemas Contnuos no Tempo46

    As opes de reset externo (External reset) esto na caixa de dilogo do blocointegrador. So elas: None, Rising, falling e either.

    Se a opo escolhida for None (default) o reset externo desabilitado. Se qualqueruma das outras for escolhida o bloco integrador agora um integrador com reset.Se a opo escolhida for rising, a sada do integrador levada condio inicialquando o sinal de reset passa pelo zero no sentido crescente. Se a opo forfalling, a situao se repete, s que agora quando o sinal de reset cruza o zero nosentido descendente. A opo either no leva em conta o sentido do sinal de reset.A figura a seguir ilustra um modelo simples de um integrador com sinal de resetconfigurado para falling.

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    Quando o sinal de reset cruza o zero, a sada do integrador retorna ao seu valorinicial e a simulao continua.

    Configurando a Fonte de condio inicial para externa, surgir uma entradaadicional no integrador. O valor contido neste entrada ser utilizado pelo integradorcomo condio inicial quando a simulao for iniciada ou quando o integrador forresetado.

    A opo de limitar a sada (Limit output) faz com que o bloco funcione como umintegrador limitado. Nos campos Limite superior de saturao (Upper saturationlimit) e Limite inferior de saturao (Lower saturation limit) definem o intervalo noqual o integrador ir funcionar. Os valores default so inf e inf.

    A opo Mostrar porta de saturao (Show saturation port) habilita uma sadaadicional no bloco que indica o estado da saturao. Se este sinal for 1 a sada dointegrador esta abaixo do limite inferior de saturao, se for 1 est acima do limitesuperior e se for 0 est dentro do intervalo de trabalho definido pelos limites.

    A opo Mostrar porta de estado (Show state port) cria uma sada adicional nobloco. Esta sada contm o estado do integrador que o mesmo sinal de sada dointegrador. Esta sada necessria em duas ocasies: se a sada de um blocointegrador realimenta (feedback) o mesmo bloco como reset ou condio inicial, aporta de estado usada ao invs da sada comum do bloco; e se deseja utilizar asada do integrador como acionador de um subsistema com execuo condicionadaa este bloco, deve-se ento usar a sada de estado para este acionamento.

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    Cap.4 Sistemas Contnuos no Tempo48

    O campo Tolerncia absoluta permite ao usurio desprezar a configurao detolerncia absoluta definida no menu Simulation:Parameters, discutidaanteriormente.

    Exemplo

    Considere o sistema amortecido de segunda ordem

    Admite-se que o coeficiente de amortecimento c=1.0, a constante da mola k=2 N/me a massa do carro m=5 Kg. No h entradas no sistema. Considerando-se adeflexo inicial igual 1m da posio de equilbrio.

    Para modelar o sistema deve-se primeiro escrever a equao do movimento.Utilizando uma aproximao Newtoniana, nota-se que h somente duas forasagindo no carro: a fora da mola e a fora de amortecimento. A fora da mola kx e a fora de amortecimento xc& . A fora responsvel pela acelerao do carro xm && . Desde que no h foras externas, a soma destas trs foras deve ser zero.Pode-se ento escrever a equao:

    0=++ kxxcxm &&&

    Sendo um sistema de segunda ordem, necessita-se ento de dois integradores paramodelar seu comportamento. Abre-se ento uma nova janela de modelo parainiciar a construo.

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    Acrescenta-se dois integradores como na figura, nomeando-os velocidade eposio.

    A sada do integrador Velocidade x& , j que sua entrada x&& . Reescrevendo aequao, tem-se:

    xmk

    xmc

    x --= &&&

    Substituindo os valores:

    xxx 4.02.0 --= &&&

    Com .0)0(,1)0( == xx &

    Acrescenta-se agora um bloco de soma para calcular o valor de x&& , configurando-ocom dois sinais de menos (--).

    Deve-se agora acrescentar dois blocos de ganho para calcular a taxa em que ocorreo amortecimento e a taxa com que a mola exerce fora sobre a massa. necessrio ainda acrescentar as linhas de sinal como mostrado na figura a seguir:

    Configura-se a condio inicial do bloco integrador que corresponde velocidadepara 0 e a condio inicial que corresponde posio da massa para 1.

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    Cap.4 Sistemas Contnuos no Tempo50

    Falta ainda um dispositivo de sada para que se possa obter a resposta do sistema.Acrescenta-se ento um osciloscpio. O modelo final deve ficar da seguinte forma:

    Na barra de menu escolhe-se Simulation:Parameters e ajusta-se o tempo final(Stop time) para 50. Pode-se agora ento dar incio simulao clicando-seSimulation:Start.

    A resposta pode ser visualizada na tela do osciloscpio.

    4.1.2 - Blocos Funo de Transferncia

    A notao de funo de transferncia freqentemente utilizada no projeto emodelagem de sistemas de controle. A Funo de Transferncia pode ser definidacomo a razo da transformada de Laplace da entrada de um sistema pelatransformada de Laplace da sada, considerando as condies iniciais nulas. Destaforma, a funo de transferncia nos fornece uma descrio conveniente do sistemadinmico.

    O SIMULINK fornece dois blocos para se implementar funes de transferncia: Obloco Funo de Transferncia (Transfer Fcn) e o bloco Zeros-Plos (Zero-Pole).Os dois blocos so equivalentes, diferindo apenas na notao utilizada para serepresentar a funo de transferncia.

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    O bloco Funo de Transferncia tem na caixa de dilogo dois campos: Numerador(Numerator) e denominador (Denominator). O numerador contm os coeficientes donumerador da funo de transferncia em ordem decrescente de potncias de s. Odenominador contm os coeficientes do denominador de forma semelhante aonumerador.

    O bloco Zeros-Plos possuem uma caixa de dilogo que contm trs campos:Zeros, Plos e Ganhos. O campo Zeros contm os zeros do numerador da funode transferncia. O campo Plos contm os zeros do denominador da funo e oGanho ajusta a funo. O help do SIMULINK possui uma documentao detalhadados blocos.

    Exemplo

    A figura a seguir descreve o mesmo exemplo anterior do sistema massa-molaamortecido com exceo da funo fora F.

    Considere-se que o sistema est inicialmente em equilbrio esttico ( 0,0 == xx & ) ea funo fora um degrau de 1 N. Ignorando a frico, a equao do movimento ento:

    Fkxxcxm =++ &&&

    Tomando a transformada de Laplace e ignorando as condies iniciais, tem-se:

    )()()()(2 sFskXscsXsXms =++

    A razo da transformada de Laplace da sada (X(s)) pela transformada de Laplaceda entrada (F(s)) a funo de transferncia (G(s)):

    mk

    smc

    s

    msF

    sXsG

    ++==

    2

    1

    )(

    )()( .

    A figura a seguir mostra um modelo SIMULINK deste sistema utilizando blocoslineares primitivos:

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    Cap.4 Sistemas Contnuos no Tempo52

    Agora temos o mesmo sistema utilizando o bloco funo de transferncia. O campoNumerador da caixa de dilogo deve conter [0.2] e o Denominador [1 0.2 0.4].

    4.2 - Vetores em Sistemas Lineares

    Nos exemplos anteriores as linhas de sinal continham somente sinais escalares.Muitas vezes conveniente se utilizar sinais vetoriais, pois eles permitem aconstruo de modelos mais compactos e fceis de se entender.

    Discutiremos alguns mecanismos que utilizam sinais vetoriais e a seguir osutilizaremos com o bloco Espao de Estados (State-Space).

    4.2.1 - Linhas de Sinais Vetoriais

    Pode-se combinar vrios sinais escalares para se formar um vetor de sinalutilizando o bloco Mux (multiplexador) da biblioteca Connections.

    Antes de se utilizar um bloco Mux, deve-se configurar o nmero de entradas nacaixa de dilogo do bloco.

    Para facilitar a identificao de linhas de sinais vetoriais deve-se clicar emFormat:Wide Vector Lines na barra de menu da janela do mo

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