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7/25/2019 Simulao_Notas de Aula

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DET 362 PESQUISA OPERACIONALProf. Heleno do Nascimento SantosSimulao de Monte CarloNOTAS DE AULA.

Simulao de Monte Carlo

Trata-se de uma tcnica usada na simulao de valores para uma varivel aleatria,

conhecida a sua fdp, ou seja, a sua funo de distribuio de probabilidade ( )f x . A idia

bsica usar a integral da fdp, ( )F x , conhecida como funo de distribuio acumulativa,

e sua inversa 1( )F x , para gerar um valor para a varivel aleatria por meio de um mtodo

conhecido como Transformao Inversa, com o uso de um nmero gerado aleatoriamente.Repete-se o procedimento n vezes, a fim de gerar n valores para a varivel aleatria.

O algoritmo bsico consta de dois passos:

P1) Gere um NAU(0, 1);

P2) Retorne1( )x F NA=

Observe que o Passo 1 pede a gerao de um Nmero Aleatrio entre 0 e 1. Em

seguida, aborda-se o conceito de Nmero Aleatrio e sua gerao. As linguagens de

programao e as planilhas eletrnicas dispem de funcionalidades que permitem a

execuo do Passo 1.

1)Nmeros Aleatrios

Um Nmero Aleatrio uma varivel aleatria uniformemente distribuda entre 0 e

1, significando que qualquer valor entre 0 e 1 tem a mesma probabilidade de ocorrer.Dentre os mtodos usados na gerao nmeros aleatrios, existe o Gerador

Congruencial Linear (GCL), definido por


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1

0

( )(mod )

onde

mod

k kNA aNA c m

NA semente

a multiplicador

c incremento

m ulo

+ = +

=

=

=

=

Como o a expresso geradora define o nmero aleatrio 1kNA + como sendo o resto

da diviso de kaNA c+ por m , segue que o nmero mximo de nmeros aleatrios

gerados, sem repetio, dado por m-1. Para serem gerados exatamente 1m nmeros

aleatrios, sem repetio, a escolha dos parmetros , ea c m deve atender as seguintes

condies:

i) o nico inteiro positivo que divide exatamente em c 1;ii) se q um nmero primo que divide m , ento q divide 1a ;

iii) se 4 divide m , ento 4 divide 1a .

Ex: Considere a escolha: 13, 5 e 32a c m= = = . Observe que as 3 condies so atendidas.A Tabela 1 mostra a sequncia de nmeros aleatrios associada a esta escolha.

Tabela 1: Gerao de uma sequncia de nmeros aleatrios pelo GCL.

K a c m Nak (a*NA(k)+c) Nak+1 NA

0 13 5 32 46 603 27 0,84375

1 27 356 4 0,125

2 4 57 25 0,78125

3 25 330 10 0,3125

4 10 135 7 0,21875

5 7 96 0 0

6 0 5 5 0,15625

7 5 70 6 0,1875

8 6 83 19 0,593759 19 252 28 0,875

10 28 369 17 0,53125

11 17 226 2 0,0625

12 2 31 31 0,96875

13 31 408 24 0,75

14 24 317 29 0,90625


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15 29 382 30 0,9375

16 30 395 11 0,34375

17 11 148 20 0,625

18 20 265 9 0,28125

19 9 122 26 0,8125

20 26 343 23 0,71875

21 23 304 16 0,5

22 16 213 21 0,65625

23 21 278 22 0,6875

24 22 291 3 0,09375

25 3 44 12 0,375

26 12 161 1 0,03125

27 1 18 18 0,5625

28 18 239 15 0,46875

29 15 200 8 0,25

30 8 109 13 0,40625

31 13 174 14 0,4375

32 14 187 27 0,84375

33 27 356 4 0,125

34 4 57 25 0,78125

2)

Gerao de Valores para Variveis Aleatrias

Como foi dito, usa-se o Mtodo da Transformao Inversa para gerar valores para

uma varivel aleatria, conhecida a sua fdp. Se esta funo for integrvel, utiliza-se a suaintegral como parte do algoritmo; caso contrrio, lana-se mo de mtodos numricos de

integrao ou de mtodos disponveis na literatura, como o caso da gerao de valores

para variveis aleatrias que seguem a Distribuio Normal, exposta no item 5.

Por definio, a Funo Acumulativa de Probabilidade quando a fdp integrvel

dada por

( ) ( )x

F x f x dx

=

Seja NA um nmero aleatrio uniformemente distribudo entre 0 e 1. Fazendo

( )F x NA= na equao acima e resolvendo-a para x tem-se:


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1( )x F NA=

3) Aplicaes

2.1) GERAO DE VALOR PARA XEXP() Distribuio Exponencial.

a) fdp

( )1 se 0( )

0 caso contrario.

xe x

f x

=

b) Funo Acumulativa de Probabilidade ( )F x

Por definio: ( ) ( )x

F x f x dx

= , o que leva a

( )1 se 0( )

0 caso contrario.

xe x

F x

=

Fazendo ( )F x NA= na equao acima e resolvendo para x, tem-se ln(1 )x NA= .

c) Algoritmo

Considerando que (1-NA) e NA so nmeros igualmente aleatrios, tem-se:


P2) Retorne X = - *ln (NA).

d) Exemplos: em aula.

2.2) GERAO DE VALORES PARA XU(A, B) Distribuio Uniforme.

a) Funo de Distribuio de Probabilidades (fdp) ( )f x

1 se( )

0 caso contrario.

a x bf x b a

=



F x f x dx

= , o que leva a


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0 se

( ) se

1 se .

x a

x aF x a x b

b a

x b

Fazendo ( )F x NA= na equao acima e resolvendo para x, tem-se ( )x a b a NA= + .

c) Algoritmo


P2) Retorne ( )x a b a NA= + .


2.3) GERAO DE VALORES PARA XDU(A, B) - Distribuio Discreta Uniforme.a) Funo de Distribuio de Probabilidades (fdp) ( )p x

1 se { , 1,..., }

( ) 1

0 caso contrario.

x a a bp x b a

+

= +


Por definio: ( ) ( )

x

F x P x

= , o que leva a

1 se

( ) 11 se .

x aa x b

F x b a

x b

+ = +

>

Fazendo ( )F x NA= na equao acima e resolvendo para x, tem-se o passo P2 do algoritmoabaixo.

c) Algoritmo


P2) Retorne ( 1)x a b a NA= + + .



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2.4) GERAO DE VALORES PARA XTRIANG(A, B, C)

a) Funo de Distribuio de Probabilidades (fdp) ( )f x

( )2 se

( )( )2( )

se( )( )( )

0 caso contrario.

x aa x c

b a c ab x

c x bf xb a b c

< =



F x f x dx

= , o que leva a

2

2

0 se

( ) se a

( )( )( )

( )1 se

( )( )

1 se .

x a

x ax c

b a c aF x

b xc x b

b a b c

x b

Fazendo ( )F x NA= na equao acima e resolvendo para x, tem-se ( )x a b a NA= + .

c)

Algoritmo

P1) Gere NA~U(0, 1);

P2) Calcule k = (c-a)/(b-a);

P3) Se NA < k, retorne

;**)( NAkabaX +=

Seno, retorne

))1)(1(1(*)( NAkabaX +=


2.5) GERAO DE VALORES PARA XN( ( , ) , a partir de Y N(0, 1).

2.5.1) Mtodo de Box e Miller (1958)


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Algoritmo:

P1) Gere NA1U(0, 1) e NA2U(0, 1);

P2) Obtenha

1 1 2

2 1 2

2ln( ) *cos(2 )

2ln( ) * (2 )

Y NA NA

Y NA sen NA

=

=

P3) Retorne

1 1

2 2

X Y

X Y

= +

= +

Exemplo: (a ser feito em aula)

a)

Gere 500 valores para a varivel aleatria RECEITAN(2000; 300).

b) Construa um histograma com os valores gerados.

2.5.2) Mtodo Polar - Marsaglia e Bray (1964)

Algoritmo:

P1) Gere NA1U(0, 1) e NA2U(0, 1);

P2) Obtenha2 2

1 2(2 1) (2 1) ;W NA NA= +

P3) Se W > 1, v para o passo 1; caso contrrio,Faa

1 1

2 2

( 2ln( ) /

* (2 1)

*(2 1)

Y W W

Y Y NA

Y Y NA

=

=

=

Obs: as variveis Y1e Y2assim geradas so N(0, 1).

P4) Retorne

1 1

2 2

X Y

X Y

= +

= +

Exemplo: (a ser feito em aula)


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a) Gere 500 valores para a varivel aleatria RECEITAN(2000; 300);

b) Construa um histograma com os valores gerados.

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