series de potencias (ii)
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Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Series de potencias (II)
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
1 Algebra de series de potencias
2 Teorema de Abel
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion senh(x).
senh(x) =ex − e−x
2=
12(
exp(x)− exp(−x))
senh(x) =12((1+
x1!+
x2
2!+
x3
3!+· · · )−(1− x
1!+
x2
2!−x3
3!+− · · · )
)=
x1!
+x3
3!+
x5
5!+ · · ·
valido para todo x ∈ RDel mismo modo:
cosh(x) = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ · · · ∀x ∈ R
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion senh(x).
senh(x) =ex − e−x
2=
12(
exp(x)− exp(−x))
senh(x) =12((1+
x1!+
x2
2!+
x3
3!+· · · )−(1− x
1!+
x2
2!−x3
3!+− · · · )
)=
x1!
+x3
3!+
x5
5!+ · · ·
valido para todo x ∈ RDel mismo modo:
cosh(x) = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ · · · ∀x ∈ R
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion senh(x).
senh(x) =ex − e−x
2=
12(
exp(x)− exp(−x))
senh(x) =12((1+
x1!+
x2
2!+
x3
3!+· · · )−(1− x
1!+
x2
2!−x3
3!+− · · · )
)=
x1!
+x3
3!+
x5
5!+ · · ·
valido para todo x ∈ RDel mismo modo:
cosh(x) = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ · · · ∀x ∈ R
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (sustitucion de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +x1!
+x2
2!+
x3
3!+ · · · ∀x ∈ R, entonces
exp(sen(x)) = 1 +sen(x)
1!+
sen2(x)2!
+sen3(x)
3!+ · · ·
Como sen(x) = x − x3
3!+
x5
5!−+ · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
exp(sen(x)) = 1 +11!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)+
12!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)2
+
+13!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)3
+14!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)4
+ · · · =
exp(sen(x)) = 1 + x +12
x2 − 18
x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (sustitucion de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +x1!
+x2
2!+
x3
3!+ · · · ∀x ∈ R, entonces
exp(sen(x)) = 1 +sen(x)
1!+
sen2(x)2!
+sen3(x)
3!+ · · ·
Como sen(x) = x − x3
3!+
x5
5!−+ · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
exp(sen(x)) = 1 +11!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)+
12!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)2
+
+13!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)3
+14!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)4
+ · · · =
exp(sen(x)) = 1 + x +12
x2 − 18
x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (sustitucion de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +x1!
+x2
2!+
x3
3!+ · · · ∀x ∈ R, entonces
exp(sen(x)) = 1 +sen(x)
1!+
sen2(x)2!
+sen3(x)
3!+ · · ·
Como sen(x) = x − x3
3!+
x5
5!−+ · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
exp(sen(x)) = 1 +11!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)+
12!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)2
+
+13!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)3
+14!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)4
+ · · · =
exp(sen(x)) = 1 + x +12
x2 − 18
x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
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Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
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Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
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Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
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Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
1 Algebra de series de potencias
2 Teorema de Abel
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
El Teorema de Abel
Teorema de AbelSea f : [0,R] −→ R una funcion continua tal quef (x) =
∑n≥0 anxn para todo x ∈ [0,R). Si la serie
∑anRn es
convergente entonces∑
anRn = f (R). Lo mismo ocurre con elintervalo [−R,0].
Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonicaalternadaEjemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (seriede Gregory)Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
El Teorema de Abel
Teorema de AbelSea f : [0,R] −→ R una funcion continua tal quef (x) =
∑n≥0 anxn para todo x ∈ [0,R). Si la serie
∑anRn es
convergente entonces∑
anRn = f (R). Lo mismo ocurre con elintervalo [−R,0].
Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonicaalternadaEjemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (seriede Gregory)Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica
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El Teorema de Abel
Teorema de AbelSea f : [0,R] −→ R una funcion continua tal quef (x) =
∑n≥0 anxn para todo x ∈ [0,R). Si la serie
∑anRn es
convergente entonces∑
anRn = f (R). Lo mismo ocurre con elintervalo [−R,0].
Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonicaalternadaEjemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (seriede Gregory)Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica