Srie harmnica e escalas Na srie harmnica as freqncias so f1, 2f1, 3f1, 4f1, ..., isto , fn = nf1 Exemplo: Se f1 = 110 Hz (L1) temos f2 = 220 Hz (L2) 8 justa f3 = 330 Hz (Mi3) 5 justa f4 = 440 Hz (L3) 4 justa f5 = 550 Hz (D#4) 3 maior f6 = 660 Hz (Mi4) 3 menor f7 = 770 Hz (Sol4) 3 menor f8 = 880 Hz (L4) 2 maior f9 = 990 Hz (Si4) 2 maior etc Desta forma gera-se a escala natural, que diferente da escala de temperamento igual, usada no piano. De f1 = 110 Hz a f6 = 660 Hz obtemos o acorde perfeito maior. Como a primeira nota l temos: L Do# - Mi L, uma sucesso dos intervalos: 3 maior, 3 menor e 4 justa. Da 1 para a 3 nota temos uma 5 justa e da 1 para a 4 nota uma 8 justa. O acorde perfeito menor no gerado pela srie harmnica, isto , no natural. Na srie harmnica de L no aparece a nota D, que faz parte do acorde perfeito menor. Nem todos os intervalos fazem parte da srie harmnica. A srie harmnica no est toda contida numa oitava, que a escala. Podemos ento pegar os intervalos da srie harmnica e reduzir para a 1 oitava, ou calcular direto, considerando as notas sucessivas. Para abaixar 1 oitava tenho que dividir por 2 a freqncia (ver tabela abaixo), para abaixar 2 oitavas devo dividir por 4, 3 oitavas por 8, etc.

Usemos como exemplo a srie harmnica de d1: Nota D1 D2 Sol2 D3 Mi3 Sol3 Sib3 D4 R4 Mi4 F#4 Sol4 Lb4 Sib4 Si4 D5 Freqncia F 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10f 11f 12f 13f 14f 15f 16f Intervalo em relao nota anterior 8 justa 5 justa 4 justa 3 maior 3 menor 3 menor 2 maior 2 maior 2 maior 2 maior 2 menor 2 menor 2 maior 2 menor 2 menor

Queremos calcular a razo entre as freqncias na escala justa: Para a 2 maior: intervalo entre d4 e r4, de freqncias 8f e 9f. A razo 9f/8f ou f(2 maior acima) = (9/8)f da nota anterior Poderia tambm considerar o intervalo entre a 1 nota da srie, d1 e a nota r4, reduzida para a 1 oitava, ou seja, abaixando 3 oitavas (divide-se por 8 a freqncia). Ento obtemos 9/8 como antes. Para a 3 maior: intervalo entre d3 e mi3, de freqncias 4f e 5f, cuja razo 5f/4f ou f(3 maior acima) = (5/4)f da nota anterior Para a 4 justa: intervalo entre e sol2 e d3, de freqncias 3f e 4f, cuja razo 4f/3f ou f(4 justa acima) = (4/3)f da nota anterior Para a 5 justa: intervalo entre d2 e sol2, de freqncias 2f e 3f, cuja razo 3f/2f ou f(5 justa acima) = (3/2)f da nota anterior

Para a 6 maior: esse intervalo no aparece entre notas sucessivas da srie harmnica, mas podemos considerar o intervalo entre as notas sol2 e mi3, que uma 6 maior, cujas freqncias so 3f e 5f. Ento a razo ser 5f/3f ou f(6 maior acima) = (5/3)f da nota anterior Para a 7 maior: esse intervalo tambm no aparece entre notas sucessivas na srie harmnica e consideramos as notas d4 e si4, com freqncias 8f e 15f, com razo 15f/8f f(7 maior acima) = (15/8)f da nota anterior Da mesma forma obtemos as razes para os outros intervalos. Temos ento as razes para a escala diatnica maior justa: Intervalo 2 maior 3 maior 4 justa 5 justa 6 maior 7 maior 8 justa Razo (x) 9/8 = 1,125 5/4 = 1,25 4/3 = 1,333 3/2 = 1,5 5/3 = 1,666 15/8 = 1,875 2

Na escala temperada temos, numa oitava, 12 notas com intervalos iguais. Intervalos iguais significa que a razo entre as freqncias a mesma. Ex.: de d3 a d4 d, d#, r, r#, mi, f, f#, sol, sol#, l, l#, si, d escala cromtica de d - essas notas correspondem s freqncias de f1 a f13. Numa progresso geomtrica temos: an = a1 qn-1 A escala temperada forma uma progresso geomtrica quanto freqncia. Na escala de d3: a1 = f de d3 e a13 = f de d4 (1 oitava acima) a1 = f ; a13 = 2f a13 = a1 qn-1 2f = f q12 q = 21/12 = 1,059463 isto o semitom do temperamento igual. A razo entre freqncias, de notas sucessivas, igual, e no a diferena entre as freqncias. Exemplo:

Se f(d3) = 261,63 Hz, qual ser a freqncia do sol3? O sol a 8 nota da escala cromtica de d. Fazendo a progresso geomtrica: an = a1 qn-1 Sabemos que q = 21/12 Se a1 = 261,63 Hz, ento a 8 = 261,63x(21/12)7 = 392,00 Hz Usando esse mtodo podemos calcular as freqncias e as razes entre as freqncias para cada intervalo. Consideremos novamente a escala cromtica de d3. Os intervalos entre as notas sem alterao (sem sustenido, ou seja, as notas em bequadro), so: 2 maior, 3 maior, 4 justa, 5 justa, 6 maior, 7 maior e 8 justa. Para a 2 maior temos: a3 = a1 q2 f3 = 261,63 x (21/12)2 = 261,63 x 1,1224 = 293,66 Para a 3 maior: f5 = 261,63 x 24/12 = 261,63 x 1,2599 = 329,63 Hz Para a 4 justa: f6 = 261,63 x 25/12 = 261,63 x 1,3348 = 349,23 Hz Para a 5 justa: f8 = 261,63 x 27/12 = 261,63 x 1,4983 = 392,00 Hz Para a 6 maior: f10 = 261,63 x 29/12 = 261,63 x 1,6817 = 440,00 Hz (o famoso l fundamental ou l3) Para a 7 maior: f12 = 261,63 x 211/12 = 261,63 x 1,8877 = 493,89 Hz Para a 8 justa: f13 = 261,63 x 212/12 = 261,63 x 2 = 523,26 Hz Temos ento as razes para os intervalos da escala diatnica maior temperada: Intervalo 2 maior 3 maior 4 justa 5 justa 6 maior 7 maior 8 justa Razo (x) 1,1224 1,2599 1,3348 1,4983 1,6817 1,8877 2

A razo entre as freqncias dada pelo logaritmo na base 2: a n = a1 x

x = 2n-1/12 log 2 x = (n-1)/12 Para as notas com sustenido usamos o mesmo processo: a 2 = a1 q2-1 = a1q = a1 21/12 a 2 = 261,63 21/12 = 277,18 Hz freqncia do d#3 Vimos ento que as escalas temperada e natural so ligeiramente diferentes. A qualidade do som de uma nota, correspondente a uma freqncia particular tocada em um instrumento, determinada pelo nmero de sobretons presentes e suas respectivas intensidades.

onda resultante (acima) e suas componentes (fundamental e sobretons)