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Ano: 2016

SEQUÊNCIA

NUMÉRICA Aulas 01 e 02

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário Sequência Numérica .................................................... 1

Sequência Numérica ........................................................................................................................................... 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

Nomenclaturas importantes ............................................................................................................................... 1

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 4 ............................................................................................................................................................ 1

Lei de formação................................................................................................................................................... 1

TERMO GERAL ..................................................................................................................................................... 1

Exemplo 5 ............................................................................................................................................................ 1

RELAÇÃO DE RECORRÊNCIA ................................................................................................................................ 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

Sequências ................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

AULA 01 Sequência Numérica

Sequência Numérica Uma sequência numérica é uma lista ordenada de

números. Veja uma representação teórica:

(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛) ou (𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ; … ); 𝑛 ∈ ℕ

Note que a quantidade de termos pode ser infinita.

Seja 𝑖 = 1, 2, 3, 4, … Desse modo, podemos nos

referir a um termo na posição 𝑖 da sequência

como 𝑎𝑖.

Exemplo 1

Dada a sequência (𝑎𝑛) = (2, 4, 6, 8) temos que

𝑎1 = 2 (1º termo da sequência)

𝑎2 = 4 (2º termo da sequência)

𝑎3 = 6 (3º termo da sequência)

𝑎4 = 8 (4º termo da sequência)

Notação Uma sequência deve ser denotada entre parênteses

com os termos separados por vírgula ou ponto e

vírgula.

Correto: (1; 3; 5)

Incorreto: {1; 3; 5} (conjunto)

Nomenclaturas importantes Dois termos em posições consecutivas são

denominados termos consecutivos.

𝒂𝒏+𝟏 é o sucessor de 𝑎𝑛

𝒂𝒏−𝟏 é o antecessor de 𝑎𝑛

Exemplo 2

Dada a sequência (2, 4, 6, 8) temos que

6 é sucessor de 4 e 2 é antecessor de 4.

Dois termos 𝑎𝑖 e 𝑎𝑗 são ditos equidistantes dos

extremos, em uma sequência finita, se a

quantidade de termos que antecede 𝑎𝑖 for igual

à quantidade de termos que sucede 𝑎𝑗

(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 < 𝑗).

Exemplo 3

Dada a sequência (3, 9, −1, 𝜋) temos que

3 e 𝜋 são termos ditos equidistantes

9 e −1 são termos ditos equidistantes

Uma sequência finita, com quantidade ímpar de

termos, 𝑛, possui termo médio ou central. Ou

seja, um termo que possui a mesma quantidade

de sucessores e antecessores.

O termo central está na posição 𝒎, tal que

𝑚 =𝑛 + 1

2

Exemplo 4

O termo central da sequência (−1, 3, −2, 4, 5) está na

posição 𝑚 =5+1

2= 3, então

𝑎𝑚 = 𝑎3 = −2 é o termo central da sequência.

Lei de formação A lei de formação de uma sequência é um conjunto de

informações suficientes para gerá-la.

TERMO GERAL Nos permite determinar cada termo da sequência em

função da sua posição 𝑛.

Exemplo 5

A sequência (𝑎𝑛) cujo termo geral é 𝑎𝑛 = 4𝑛, ∀ 𝑛 ∈

ℕ∗ é dada por

𝑎1 = 4 ∙ 1 = 4 ;

𝑎2 = 4 ∙ 2 = 8 ;

Na definição de sequência, observe que o

ordenamento é importante, ou seja, a posição que os

termos se apresentam interfere na sequência.

(𝟐; 𝟒; 𝟔; 𝟖) ≠ (𝟒; 𝟐; 𝟔; 𝟖)

Lembre que isto não ocorria em conjuntos

{𝟐; 𝟒; 𝟔; 𝟖} = {𝟒; 𝟐; 𝟔; 𝟖}

Posição

TAREFA 1: Leia as observações 1, 5, 6, 7, 8 e 9.

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𝑎3 = 4 ∙ 3 = 12 .

Assim, (𝑎𝑛) = (4; 8; 12; 16; … ).

RELAÇÃO DE RECORRÊNCIA Nos permite, a partir de alguns termos já conhecidos

e de uma relação dada, determinar os demais termos

da sequência.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Determine os 6 primeiros termos da sequência

{𝑎1 = 𝑎2 = 1

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2, ∀𝑛 ∈ ℕ∗; 𝑛 ≥ 3

Obs.1: A sequência acima é denominada de sequência

de Fibonacci.

AULA 02 Sequências

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Seja a sequência (𝑎𝑛), tal que 𝑎𝑛 = −3 + 5𝑛,

com 𝑛 ∈ ℕ∗. Determine :

a) 𝑎2

b) 𝑎4

c) 𝑎11

2.2. Verifique se os números −7 e 46 pertencem à

sequência cujo termo geral é 𝑎𝑛 = −37 + 6𝑛,

com 𝑛 ∈ ℕ∗.

2.3. Sejam (𝑎𝑛) e (𝑏𝑛) duas sequências definidas por

𝑎𝑛 = −86 + 7𝑛 e 𝑏𝑛 = 104 − 3𝑛, 𝑛 ∈ ℕ∗. Determine:

a) Um termo comum de (𝑎𝑛) e (𝑏𝑛).

b) O 1º termo positivo de (𝑎𝑛).

EXTRA

Questões extras

1) Considere a sequência (𝑎𝑛), tal que 𝑎𝑛 = 4𝑛 −

1, ∀𝑛 ∈ ℕ∗. O valor de 𝑎9

𝑎2 é igual a

a) 3. b) 3,5. c) 4,5. d) 5. e) 8.

2) Seja (𝑎𝑛) uma sequência em que

{𝑎1 = 3

𝑎𝑛 = 2 ⋅ 𝑎𝑛−1 + 3, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2. Assim o

valor de 𝑎5 é igual a

a) 9.

b) 13.

c) 21.

d) 45.

e) 93.

CAIU NO VEST 1. (UFLA) Na sequência (8, 12, 18, 27, … ) temos

𝑎𝑛+1 =3

2𝑎𝑛, 𝑛 ∈ ℕ∗. O sétimo termo é

a) 243

8 b) 91 c)

243

4 d) 54 e)

729

8

2. (ENEM) Uma pessoa decidiu depositar moedas de

1, 5, 10, 25 e 50 centavos em uma cofre durante certo

tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única

moeda, sempre nesta ordem 1, 5, 10, 25, 50 , e,

novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente.

Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-

feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de

𝑅$ 95,05 após depositar a moeda de

a) 1 centavo no 679º dia, que caiu numa segunda-feira.

b) 5 centavos no 186º dia, que caiu numa quinta-feira

c) 10 centavos no 188º dia, que caiu numa quinta-feira

d) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado e) 50 centavos no 535º dia, que caiu numa quinta-

feira

Índice

O índice determina a posição do termo na sequência.

Assim, ele precisa ser algum valor natural não nulo.

Não faz sentido falar do termo 𝑎2

3

, 𝑎−1 ou 𝑎𝜋.

TAREFA 2 – Ler os exercícios resolvidos 1, 2, 7, 8 e 9

e FAZER os PSA2(a,b), 4, 7, 9 e 10. DESAFIO: PSA 14.

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GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. 1, 1, 2, 3, 5, 8

2.1. a) 7 b) 17 c) 52

2.2. 7 pertence e 46 não pertence

2.3. a) 19 19 47a b b) 13 5a

QUESTÕES EXTRAS 1. D

2. E

CAIU NO VEST 1. E

2. D