senaisc-saobentodosulmecanica1modulo-matematicaaplicadaamecanica

Curso Tcnico em Mecnica

Matemtica Aplicada Mecnica

Armando de Queiroz Monteiro NetoPresidente da Confederao Nacional da Indstria

Jos Manuel de Aguiar MartinsDiretor do Departamento Nacional do SENAI

Regina Maria de Ftima TorresDiretora de Operaes do Departamento Nacional do SENAI

Alcantaro CorraPresidente da Federao das Indstrias do Estado de Santa Catarina

Srgio Roberto ArrudaDiretor Regional do SENAI/SC

Antnio Jos CarradoreDiretor de Educao e Tecnologia do SENAI/SC

Marco Antnio DociattiDiretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC

Confederao Nacional das Indstrias

Servio Nacional de Aprendizagem Industrial

Curso Tcnico em Mecnica

Matemtica Aplicada Mecnica

Almir da Silva Jairo Gayo

Renato Antonio Schramm

Florianpolis/SC2010

proibida a reproduo total ou parcial deste material por qualquer meio ou sistema sem o prvio consentimento do editor. Material em conformidade com a nova ortografia da lngua portuguesa.

Equipe tcnica que participou da elaborao desta obra

Coordenao de Educao a DistnciaBeth Schirmer

Reviso Ortogrfica e NormatizaoContextual Servios Editoriais

Coordenao Projetos EaDMaristela de Lourdes Alves

Design Educacional, Ilustrao, Projeto Grfico Editorial, Diagramao Equipe de Recursos Didticos SENAI/SC em Florianpolis

AutoresAlmir da SilvaJairo GayoRenato Antonio Schramm

SENAI/SC Servio Nacional de Aprendizagem IndustrialRodovia Admar Gonzaga, 2.765 Itacorubi Florianpolis/SCCEP: 88034-001Fone: (48) 0800 48 12 12www.sc.senai.br

Ficha catalogrfica elaborada por Luciana Effting CRB14/937 - Biblioteca do SENAI/SC Florianpolis S586m

Silva , Almir da Matemtica aplicada mecnica / Almir da Silva, Jairo Gayo, Renato

Antonio Schramm. Florianpolis : SENAI/SC, 2010. 73 p. : il. color ; 28 cm.

Inclui bibliografias.

1. Matemtica - Estudo e ensino. 2. Equaes. 3. Geometria 4.

Trigonometria. I. Gayo, Jairo. II. Schramm, Renato Antonio. III. SENAI. Departamento Regional de Santa Catarina. IV. Ttulo.

CDU 51

Prefcio

Voc faz parte da maior instituio de educao profissional do estado. Uma rede de Educao e Tecnologia, formada por 35 unidades conecta-das e estrategicamente instaladas em todas as regies de Santa Catarina.

No SENAI, o conhecimento a mais realidade. A proximidade com as necessidades da indstria, a infraestrutura de primeira linha e as aulas tericas, e realmente prticas, so a essncia de um modelo de Educao por Competncias que possibilita ao aluno adquirir conhecimentos, de-senvolver habilidade e garantir seu espao no mercado de trabalho.

Com acesso livre a uma eficiente estrutura laboratorial, com o que existe de mais moderno no mundo da tecnologia, voc est construindo o seu futuro profissional em uma instituio que, desde 1954, se preocupa em oferecer um modelo de educao atual e de qualidade.

Estruturado com o objetivo de atualizar constantemente os mtodos de ensino-aprendizagem da instituio, o Programa Educao em Movi-mento promove a discusso, a reviso e o aprimoramento dos processos de educao do SENAI. Buscando manter o alinhamento com as neces-sidades do mercado, ampliar as possibilidades do processo educacional, oferecer recursos didticos de excelncia e consolidar o modelo de Edu-cao por Competncias, em todos os seus cursos.

nesse contexto que este livro foi produzido e chega s suas mos. Todos os materiais didticos do SENAI Santa Catarina so produes colaborativas dos professores mais qualificados e experientes, e contam com ambiente virtual, mini-aulas e apresentaes, muitas com anima-es, tornando a aula mais interativa e atraente.

Mais de 1,6 milhes de alunos j escolheram o SENAI. Voc faz parte deste universo. Seja bem-vindo e aproveite por completo a Indstria do Conhecimento.

Sumrio

Contedo Formativo 9

Apresentao 11

Sobre o autor 11

12 Unidade de estudo 1Conceitos bsicos

Seo 1 - Conjuntos numri-cos e nmeros decimais

Seo 2 - Operaes e ex-presses numricas

Seo 3 - Fraes

24 Unidade de estudo 2

Razo e proporo

Seo 1 - Razo direta e inversa

Seo 2 - Propores

Seo 3 - Porcentagem


Equaes

Seo 1 - Equaes polino-miais do 1 grau

Seo 2 - Equaes polino-miais do 2 grau

13

15

18


Trigonometria

Seo 1 - Teorema de Pit-goras

Seo 2 - Semelhana de tringulos

Seo 3 - Razes trigonom-tricas no tringulo retngulo


Geometria plana e espacial

Seo 1 - rea e permetro de figuras planas

Seo 2 - Superfcie e volu-me de slidos geomtricos

Finalizando 71

Referncias 73

25

26

28

33

36

43

44

45

51

60

8 CURSO DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL

Contedo Formativo

9MATEMTICA APLICADA MECNICA

Carga horria da dedicao

Carga horria: 30h

Competncias

Aplicar ferramentas matemticas para resoluo de problemas em sistemas mecnicos.

Conhecimentos

Conjuntos numricos.

Operaes com nmeros decimais.

Fraes, potenciao e radiciao.

Propores e regra de trs simples.

Equaes do 1 e 2 grau.

Trigonometria.

Geometria plana e espacial.

Habilidades

Utilizar tcnicas da matemtica aplicada.

Interpretar catlogos, manuais e tabelas tcnicas.

Realizar clculos matemticos necessrios para o dimensionamento de equipa-mentos e acessrios utilizados na Mecnica.

Atitudes

Assiduidade.

Proatividade.

Relacionamento interpessoal.

Trabalho em equipe.

Cumprimento de prazos.

Apresentao

MATEMTICA APLICADA MECNICA

Prezado aluno, seja bem-vindo unidade curricular Matemtica Aplica-da Mecnica.

Voc sabia que a matemtica talvez a mais antiga das cincias hu-manas? Se considerarmos que outros primatas, menos desenvolvidos, tambm possuem noo de contagem, podemos dizer que utilizamos a matemtica h muito tempo, desde os tempos das cavernas. Com o passar dos anos e a evoluo humana, a matemtica se fez cada vez mais necessria nas diversas reas do conhecimento humano. Atualmente, sua aplicao vai desde o comrcio at a indstria, passando por reas como a tecnologia e o lazer.

Neste curso tcnico voc ver que a unidade curricular de matemtica se faz necessria, pois sua aplicao na rea da Mecnica muito ampla. impossvel desenvolver peas e equipamentos mecnicos sem realizar clculos.

A inteno deste material didtico desenvolver e relembrar conceitos matemticos que sero de fundamental importncia para seu curso e sua futura carreira profissional na Mecnica.

Preparado para esta jornada? Bons estudos!

Professores Almir da Silva, Jairo Gayo e Renato

Antonio Schramm

Almir da Silva especialista em Consultoria Empresarial pela Universidade Federal de Santa Catarina. Graduado em Matemtica Licenciatura & Bacharelado pela Fundao Universidade Regional de Blu-menau. Atua h 28 anos no SE-NAI Blumenau como instrutor e especialista de Ensino na rea de Mecnica, foi professor de Matemtica da Rede Pblica Estadual do Estado de Santa Ca-tarina.

Jairo Gayo especialista em Matemtica Computacional pela Universidade Federal de Santa Catarina e em Metodo-logia do Ensino de Matemtica pelo Instituto Brasileiro de Ps-Graduao e Extenso. Possui graduao em Matemtica Li-cenciatura & Bacharelado pela Fundao Universidade Regio-nal de Blumenau. Atualmente professor tutor interno na Uniasselvi, instrutor no SENAI Blumenau e professor da Rede Pblica Estadual do Estado de Santa Catarina.

Renato Antonio Schramm ps-graduado em Psicopedago-gia pelo Instituto Catarinense de Ps-Graduao. Graduado em Matemtica Licenciatura pela Fundao Universidade Regional de Blumenau. Atua h 22 anos no SENAI/SC como ins-trutor e especialista de ensino na rea de Mecnica e como professor de Clculo nos cursos Superior de Tecnologia do SE-NAI Blumenau.

11

Unidade de estudo 1

Sees de estudo

Seo 1 Conjuntos Numricos e Nme-ros DecimaisSeo 2 Operaes e Expresses NumricasSeo 3 Fraes


Seo 1Conjuntos Numricos e Nmeros Decimais

Os conjuntos numricos so uma forma de classificar os nmeros segundo algumas caractersticas bsicas, como propriedades e complexidade. Classificando os nmeros voc pode compreender melhor suas aplicaes na Mec-nica.

Conjunto dos Nmeros Naturais, N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Os Nmeros Naturais foram os primeiros utilizados pelo homem, empregados na contagem de ali-mentos, utenslios e pessoas. Sua forma primitiva no permite ob-ter respostas negativas neste con-junto de clculos, tais como 3 - 5 e 3 5. Por isso, surgiram outros conjuntos numricos que voc conhecer a seguir.

Conjunto dos Nmeros Inteiros, Z

Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

Conceitos Bsicos

Estes nmeros surgiram com a necessidade dos comerciantes e dos ban-cos em representar dvidas e saldos negativos. Com este conjunto voc pode efetuar o seguinte clculo, 3 - 5 = - 2.

Conjunto dos Nmeros Racionais, Q

Racional todo nmero que pode ser escrito na forma de frao, a/b sendo a e b Nmeros Naturais e b diferente de zero.

Q = { ( a ) / b | a , b e b 0 }

Acompanhe a seguir alguns exemplos:

... _ 3 , _ 1 , 0 , 2 , 10 , 11 ... 1 2 5 1 3 2{Q = }

Os Nmeros Racionais tm seu correspondente decimal. Veja abaixo os nmeros decimais correspondentes aos Racionais mostrados no exem-plo anterior:

Q = {...; - 3 ; - 0,5 ; 0 ; 2 ; 3,333... ; 5,5 ; ...}

O Conjunto dos Nmeros Racionais surgiu com a necessidade do ho-mem de representar divises no exatas, tais como, 3 5 = 3 .

5

Conjunto dos Nmeros Reais, R

O Conjunto dos Nmeros Reais engloba os Nmeros Racionais, que voc conheceu anteriormente, e todos os outros nmeros que no po-dem ser escritos na forma de frao, os chamados Irracionais:

14 CURSOS TCNICOS SENAI

Irracionais = {...; - sen (34o) ; 2 ; log 70 ; ...} = {...; - 0,559... ; 1,414... ; 1,845... ; ...}

R = ... ; - 3 ; - sen ( 34 ) ; _ 1 ; 0 ; 2; log 70 ; 2 ; 10 ; 11 ; ... 2 3 2

{ }

Uma forma interessante de apresentar os Nmeros Reais por meio da Reta Real. Acompanhe a figura a seguir. :

Figura 1 - Reta Real

- 3 -2 -1 0 1 2 3

2 e R

Nessa imagem voc tem a noo de sequncia dos Nmeros Reais, cada ponto da reta representa um nmero e vice-versa. Para qualquer nme-ro da reta, tm-se os nmeros maiores que ele direita e os menores esquerda.

Outra maneira de visualizar o Conjunto dos Nmeros Reais utilizando o Diagrama de Venn, conhea-o a seguir:

R

Ir

Q

Z

N

Figura 2 - Diagrama de Venn

Por meio do Diagrama de Venn voc pode observar que os Naturais es-to contidos nos Inteiros, que por sua vez esto contidos nos Racionais e os Reais englobam todos os Conjuntos.


Nmeros Decimais

Os nmeros decimais no so um conjunto numrico, mas uma forma de escrever os nmeros. Este sistema a evoluo natural do sistema numrico indo-arbico. Trata-se de um sistema posicional, onde o alga-rismo vale no s por si, mas tambm pela sua posio.

8 8.8 8 8,8 8 8

MilsimoCentsimoDcimoUnidadeDezenaCentenaUnidade de Milhar

Dezena de Milhar

No nmero acima foi utilizado apenas o algarismo 8, porm em cada posio ele indica uma quantidade diferente. O 1 vale 80.000, o 2 vale 8.000 e assim por diante at o ltimo que vale 0,008. O nico que vale 8 o que est imediatamente esquerda da vrgula. Sendo assim, cada nmero uma soma, confira a seguir:

88.888,888 = 80.000 + 8.000 + 800 + 80 + 8 + 0,8 + 0,08 + 0,008

O Sistema Internacional de Medidas utiliza a vrgula para separar a uni-dade do dcimo e o ponto para separar a unidade de milhar da centena. Nos pases de lngua inglesa, que no utilizam o Sistema Internacional de Medidas, essa notao exatamente ao contrrio, devido a isso as calculadoras vm com ponto no lugar da vrgula para separar a unidade do dcimo.

Assim, as operaes com os nmeros decimais so facilmente resolvidas com calculadoras, porm importante tomar cuidado principalmente com a vrgula, pois como colocado, nas calculadoras a vrgula deve ser representada por ponto e os pontos no so representados.

Voc finalizou os estudos da primeira seo da unidade de conceitos bsicos. Pronto para mais uma seo? Ento siga em frente!

Seo 2Operaes e Ex-presses Numricas

As operaes com nmeros de-cimais e com Nmeros Naturais so bsicas e possveis de se resol-ver com o auxlio de calculadoras cientficas e comuns. Portanto, o prximo passo de estudos so as operaes no Conjunto dos N-meros Inteiros.

Adio de Nmeros Inteiros

Quando dois nmeros tiverem o mesmo sinal, soma-se os valores absolutos conservando o sinal. Acompanhe os exemplos:

(+50) + (+9) = (+59)

(-30) + (-6) = (-36)

Quando os dois tiverem sinais opostos, subtrai-se um do outro mantendo o sinal do maior valor absoluto. Observe os exemplos:

(-86) + (+6) = (-80)

(-4) + (+34) = (+34)

Subtrao de Nmeros Inteiros

Para efetuar a subtrao entre Nmeros Inteiros, basta inverter o sinal do subtraendo e efetuar uma adio. Confira os exemplos a seguir:


(+35) - (+32) = (+35) + (-32) = (+3)

(-42) - (-25) = (-42) + (+25) = (-17)

Multiplicao e Diviso de Nmeros Inteiros

A multiplicao e a diviso no Conjunto dos Nmeros Inteiros possuem as mesmas regras de sinais. Observe os exemplos:

(+1) . (+1) = (+1) (+1) (+1) = (+1)

(-1) . ( -1) = (+1) ( -1) ( -1) = (+1)

(+1) . (-1) = (-1) (+1) (-1) = (-1)

(-1) . (+1) = (-1) (-1) (+1) = (-1)

Sinais iguais, resultado positivo.{ }Sinais opostos, resultado

negativo.{ }

As regras de sinais aplicadas aos Inteiros tambm valem para todo o Con-junto dos Nmeros Reais.

Potenciao

Potenciao nada mais do que a simplificao de uma srie de multi-plicaes de fatores iguais, como voc pode observar nos exemplos a seguir:

2 2 2 2 = 24

X X X = X3

Na potenciao se utiliza uma notao da seguinte forma:

24

Base

Expoente

Observe a seguir algumas caractersticas desta operao:

-32 = -3 3 = -9 (-3)2 = (-3) (-3) = 9-33 = -3 3 3 = -27 (-3)3 = (-3) (-3) (-3) = -27

Nesta operao, dizemos que a base de uma potncia negativa quando ela est entre parnteses, caso contrrio, quem est negativa a potncia.

Potncias de Base negativa

Para iniciarmos este tema, que tal resolver as seguintes potncias?

(-3)1 =

(-3)2 =

(-3)3 =

(-3)4 =

(-3)5 =

Voc pde observar nos resulta-dos que quando o expoente par o resultado positivo, e quando o expoente mpar o resultado tem o mesmo sinal da base.

Potncias de Expoente Negativo

Quando uma potncia possui ex-poente negativo, inverte-se a base (troca-se de posio o numera-dor e o denominador), como nos exemplos a seguir:


ndice

Radical

Radicando

38

Aps conhecer os entes das ra-zes, vamos aos exemplos:

49 = 73-27 = -33100 = 4,64...

Vale destacar que algumas razes no possuem resultado no Con-junto dos Nmeros Reais, os ca-sos so:

ndice par e radicando nega-tivo:

2-9= 4-625= 6-64=

ndice zero, 0:

05= 01= 0-16=

Expresses Numricas

Uma expresso numrica uma sequncia de operaes com N-meros Reais que devem ser re-solvidas obedecendo seguinte ordem:

3 -2 = 1 2 = 1

3 9

3 - 3 = 2 3 = 8

2 3 27

1 - 1 = 4 1 = 4

4 1

( )( ) ( )( ) ( )

Quando o expoente zero e a base diferente de zero, o resultado sempre 1. Veja alguns exemplos:

70 = 1 35,980 = 1

(1/30) = 1

(-88)0 = 1

100 = 1

00 =

Radiciao

Voc pode dizer que a potencia-o possui duas operaes inver-sas, uma a radiciao e a outra o logaritmo, veja o esquema apre-sentado a seguir:

38 = 2 23 = 8 log2 8 = 3

O logaritmo a operao que de-termina o expoente de uma po-tncia. Entretanto, esta operao no ser estudada nesta apostila, o objeto de estudo desta seo ser a radiciao que possui grande aplicao na rea de Mecnica.

Confira a seguir os entes das ra-zes:

razes ou potncias; divises ou multiplicaes; subtraes ou adies.

Conhea um exemplo de expres-so numrica:

2 - 3 42 =

2 - 3 16 =

2 - 48 =

- 46

Quando temos duas operaes com o mesmo grau/ordem, re-solve-se primeiro a da esquerda. Confira os exemplos a seguir:

45 + 25 3 15 =

45 + 75 15 =

45 + 5 =

50

1,34 - 89 0,125 + 2,89 =

1,34 - 11,125 + 2,89 =

- 9,785 + 2,89 =

- 6,715

Em alguns casos aplicados das ex-presses numricas, necessrio resolver primeiro as adies e de-pois as multiplicaes. Para bur-lar a ordem correta de resoluo, utiliza-se, portanto:

parnteses ( ); colchetes [ ]; chaves { }.

Observe os exemplos:

(45 + 25) 3 15 =

70 3 15 =

210 15 =

14


Frao: A palavra frao vem do latim fracto, que

quer dizer fragmento, parte, pe-dao, de alguma coisa ou de um conjunto. Como a matemtica uma cincia exata, esse pedao determinado de forma exata.

b. Um tcnico tem uma barra de ao de 3 metros de compri-mento que deve ser divida em 5 partes do mesmo compri-mento. Qual o comprimento de cada parte?

Resposta: ______________________________________________________________________

Se voc fizer uma anlise do pri-meiro exemplo onde foram dados os Nmeros Naturais 48 e 4, ve-rifica-se que existe outro Nmero Natural, o 12 sendo 48 = 12x4. Diz-se que 12 o quociente de 48 por 4, dessa forma podemos re-presentar assim:

48 = 12 4

Essa representao chamada de frao.

Na segunda situao em que fo-ram dados os Nmeros Naturais 3 e 5, no existe um Nmero Natural que multiplicado por 5 reproduza 3. Assim, o resultado dessa diviso no um Nmero Natural. A forma de escrever essa diviso tambm uma frao, conforme apresentado a seguir:

3 = 0,6 5

112,5 { 10 [ 42 - (5 - 12)2] - 2,25 } =

112,5 { 10 [ 42 - ( 7)2] - 2,25 } =

112,5 { 10 [ 16 - 49] - 2,25 } =

112,5 { 10 [ - 33] - 2,25 } =

112,5 { - 330 - 2,25 } =

112,5 { - 332,25 } =

- 0,3386

Alm disso, quando o resultado de uma operao no utilizado em outra, duas operaes podem ser resolvidas simultaneamente, conforme apresentado no exem-plo a seguir:

169 10 + 28 8 =

13 10 + 256 8 =

130 + 32 =

162

Na prxima seo voc estudar os conceitos de fraes presentes nesta primeira unidade de estudo. Boa leitura!

Seo 3Fraes

Para iniciar o estudo desta seo, que tal resolver as situaes pro-postas a seguir?

a. Deve-se distribuir 48 porcas, igualmente, para 4 tcnicos re-alizarem o trmino da monta-gem de uma mquina. Quantas porcas recebero cada tcnico?

Resposta: ______________________________________________________________________


Uma frao indica em quantas partes iguais deve ser dividido um todo e quantas dessas partes devem ser tomadas. Para compreender melhor, observe a imagem a seguir:

2 5

A frao indica que o retngulo deve ser repartido em 5 partes iguais e suas devem ser tomadas. O denominador indica em quantas partes deve ser dividido o todo e o numerador indica quantas partes devem ser tomadas.

Voc pode tambm representar a frao por um nmero decimal. Imagi-ne que um profissional da Mecnica precisou comprar 4 parafusos para o cabeote do motor de uma motocicleta, pagando por eles R$ 25,00, a pergunta : quanto custou cada parafuso?

Voc sabe que a diviso no um nmero exato e, portanto, o valor de cada parafuso dever ser representado por um nmero decimal, que obteremos dividindo R$ 25,00 por 4. Acompanhe a diviso:

25 4 = 6 resto 1 Se voc continuar a diviso chegar ao resultado de R$ 6,25 que repre-senta o preo de cada parafuso. Pode-se tambm representar essa divi-so por uma frao, veja a seguir:

25 = 6,25 4

Dessa forma, voc pode representar qualquer frao por meio de um nmero decimal, mas para isso precisa dividir o numerador pelo deno-minador. Alm disso, voc pode executar essa operao utilizando uma calculadora, mas lembre-se que na calculadora a vrgula representada por um ponto. Que tal fazer um teste?

Numerador 2 5 Denominador


25_ 4

= 25 4 = 6,25

16_ 4

= 16 5 = 3,2

4_ 4

= 4 3 = 1,33333333

Veja o que aconteceu na ltima diviso, a parte decimal uma represen-tao com infinitas casas decimais, denominamos essa diviso de dzi-mas peridicas. As dzimas so incmodas, pois no permitem executar as operaes de somar, subtrair, multiplicar ou dividir, ento prefervel trabalhar com fraes.

Siga em frente e conhea as operaes com fraes.

Operaes com Fraes

Voc estudar a seguir as operaes com fraes. Pronto para iniciar?

Note que se voc dividir a frao 1/2 obter o nmero decimal 0,5. O mesmo acontece para as fraes 3/6, 5/10, 7/14 , assim essas fraes so ditas equivalentes.

1_ = 3 _ = 5 _ = 7_ 2 6 10 14

= ...

Multiplicando ou dividindo os dois termos de uma frao por um nmero

diferente de zero, a frao obtida equivalente primeira.

No exemplo multiplicamos o numerador e o denominador da frao 1/2 por 3, obtendo assim a frao 3/6.

Se voc dividir o numerador e denominador da frao 5/10 por 5, ob-ter a frao 1/2, esta ltima operao muito importante para adio e subtrao de fraes, prximos assuntos desta seo.

4 = 4 3 = 1,33333333

3


Adio e Subtrao de Frao

Voc ver a seguir fraes com denominadores iguais, siga em frente.

Adio

Na adio de frao, somam-se os numeradores e simplifica-se o resul-tado, se possvel. Confira a seguir dois exemplos:

3_ + 3 = 4 2_ = 10 10 10 2 5

2

7 3_ + 18 1 = 7 + 18 3 + 1_ = 25 4 4 4 4 4

= 26

Subtrao

J na subtrao de frao, subtraem-se os numeradores e simplifica-se, se possvel, o resultado.

Veja os exemplos a seguir:

7_ - 5 = 2 2_ = 8 8 8 2 4

1

8 5 - 3 3 = 5 7 7 7

2


Conhea agora fraes com denominadores diferentes, acompanhe os exemplos:

161

161

162

21

1169

2

2413

242431

87

1211

121241

32

1211

83

84

83

21

Observao: para voc executar esta operao, transforme as duas fra-es em fraes equivalentes com denominador 12.

Multiplicao e Diviso de Fraes

Multiplicao

Para multiplicar fraes voc deve multiplicar os numeradores e deno-minadores entre si. Confira a seguir os exemplos:

83

4.23.1

43

.21

3223

832

2798.4

31.98

31.

49

87

3.41

2


Diviso

J na diviso de fraes voc deve multiplicar a primeira invertendo a segunda frao, conforme os exemplos a seguir:

53

13539

11524

158

.13

815

13

87

13

163

41

.43

443

2524

58

.53

85

53

Unidade de estudo 2

Sees de estudo

Seo 1 Razo Direta e InversaSeo 2 ProporesSeo 3 Porcentagem


Seo 1Razo Direta e Inversa

Para iniciar o estudo desta primei-ra seo, que tal recordar a suces-so dos mltiplos de 6 e 8? Acom-panhe a seguir.

1. 6, 12, 18, ...

2. 8, 16, 24, ...

Se voc escrever em forma de fra-o cada termo da primeira suces-so pelo seu correspondente na segunda, obter:

6 , 12 , 18 8 16 24

Simplificando cada frao, obtm-se uma frao comum representa-da pela frao 3 . 3

4 4

Dizemos ento que essa frao a razo comum entre as duas su-cesses.

Razo entre dois nmeros da-dos o quociente do primeiro pelo segundo.

Assim, a razo entre 3 e 4

3 = 0,75 4

A razo entre 15 e 5

15 = 3 5

A razo entre 8 e 10

8 = 0,8

10

Razo e Proporo

Numa razo, o dividendo denominado antecedente e o divisor, con-sequente.Observao: O consequente deve ser diferente de zero.

3 Antecedente

4 Consequente

ou

12 : 2

antecedente consequente

a. Dessa forma podemos escrever a razo 3 para 4 assim: ou 3:4 em que 3 o antecedente e 4 o consequente.

b. A razo 4 para 3 pode ser escrita assim: ou 4:3 sendo que 4 o antecedente e 3 o consequente.

Observe que as duas razes so inversas, dessa forma, o inverso de 3 4 4 3 .

Assim:

134

.53

Duas razes so ditas inversas quando o produto entre elas for igual a 1.

ObservaesAcompanhe!

Quando voc relaciona grandezas, o antecedente e o consequente de-vem ser da mesma espcie, veja o exemplo a seguir:

3

100300

1000300

==mm

dmm

Voc deve ter notado que o smbolo do metro (m) desapareceu.

3 4

4 3


Mas nem sempre assim, podem-se ter razes nas quais o antece-dente e os consequentes so gran-dezas diferentes.

a. Velocidade: distncia pelo tem-po

hkm

6600

= 100 km/h

600 km em 6 h

b. Densidade demogrfica: popu-lao e rea

22

2

km/hab15km200

hab300

km200emhab3000

c. Massa especfica: massa e vo-lume

33

3

dm/kg5,8dm7

kg5,59

dm7emkg5,59

d. Consumo mdio: distncia

pelo consumo

Para ir de Blumenau a Joinvil-le de carro, cuja distncia de aproximadamente 100 km, foi consumido 8 litros de combus-tvel. Determine a razo.

100 km com 8 L

8100

Lkm

= 12,5 km/L

Acompanhe na prxima seo o estudo das propores. At mais.

Seo 2Propores

Voc sabe o que proporo? Ficou curioso? Ento prossiga em seus estudos.

A equivalncia entre duas ou mais razes chamada de pro-poro. Confira!

18 : 24 = 12 : 16

Extremo

Meio

1612

2418

=

Extremo Meio

Meio Extremo

L-se: 18 est para 24 assim como 12 est para 16.

Em uma proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

Observe que se voc multiplicar 18.16 e 24.12 obter como resul-tado 288.

Esta a propriedade fundamental das propores.

Conhecendo esta propriedade voc pode calcular o termo des-conhecido de uma proporo.

Veja a seguir:

X

40

6

24=

24 . X = 40 . 6

24

6,40=X X = 10

Grandezas Direta e In-versamente Proporcionais

Ao abastecer um automvel veri-ficamos que quanto mais gasolina colocamos no tanque, maior ser o valor a ser pago. Se aumentar-mos a grandeza combustvel, a outra grandeza preo aumenta na mesma proporo, ou seja, as grandezas variam no mesmo sen-tido. Dessa forma, ao analisarmos as grandezas combustvel e preo, verificamos que elas so direta-mente proporcionais.

O mesmo no acontece quando temos um determinado servio para executar. Se aumentarmos o nmero de operrios, o tempo para executar a tarefa ser me-nor, dessa forma, analisando as duas grandezas, verificamos que quando uma aumenta (neste caso o nmero de operrios), a outra grandeza diminui (neste caso o tempo), dizemos ento que elas so inversamente proporcio-nais.

ou


Agora que voc conhece os tipos de grandezas, que tal estudar regra de trs?

Regra de Trs

Voc j ouviu falar de regra de trs? Siga em frente e conhea esta regra matemtica.

Constituem regra de trs os pro-blemas que envolvem pares de grandezas diretamente (regra de trs direta) ou inversamente (re-gra de trs inversa) proporcionais.

As regras de trs so ditas re-gra de trs simples quando en-volvem somente dois pares de grandeza direta ou inversamente proporcionais. Acompanhe os exemplos a seguir:

Aplicao 1

Comprei 6 arcos de serra por R$ 288,00, quanto pagarei por 14 ar-cos iguais aos primeiros?

Observe que as grandezas (arco de serra e preo) so diretamente proporcionais, pois quanto maior o nmero de arcos, maior ser o valor a pagar. Assim, temos uma regra de trs simples direta.

Devemos colocar as grandezas da mesma espcie na mesma posio, conforme exemplo a seguir:

Arco de serra

R$

6 288,00

14 X

Montamos as propores.

6726

40326

14.28814.2886

288146

=====X

Resposta: os 14 arcos de serra custaro R$ 672,00.

Aplicao 2

Um tcnico em Mecnica comanda um setor com 8 mquinas que levam 72h para executar determinado servio, se ele utilizar somente 6 mqui-nas, qual ser o tempo necessrio para executar o mesmo servio?

Observe que as duas grandezas (mquinas e tempo) so inversamente proporcionais, pois diminuindo o nmero de mquinas, aumentaremos a quantidade de horas. Acompanhe!


mquinas horas

8 72

6 X

Montamos as propores invertendo uma delas:

966

576672.8

72.86726

8=====

x

Resposta: para executar o servio o tcnico necessitar de 96 horas.

As regras de trs so chamadas compostas quando existem mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais, como apresentado na Aplicao 3 seguir.

Aplicao 3

Um grupo de 30 operrios, trabalhando 8 horas dirias, fundiu 4.000 kg de ferro em 10 dias. Quantos operrios sero necessrios para fundir 6.000 kg trabalhando 15 dias por 6 horas?

Dispomos os dados para determinar se a regra de trs direta ou inver-sa. Veja-os.

Operrios horas/dia kg dias 30 8 4 000 10

X 6 6 000 15

Montamos as propores invertendo aquelas em que a seta aponta em sentido contrrio.

40x000036

00040014x00040014000360.x

10.0006.8.3015.0004.6.x1015

.0006

0004.

86

x30

Resposta: sero necessrios 40 operrios para fundir 6.000 kg de ferro.Continue sua jornada de estudos, na prxima seo voc estudar sobre porcentagem. Boa caminhada!

Seo 3Porcentagem

Para iniciar o estudo desta seo, que tal conhecer o conceito de porcentagem?

Porcentagem a poro de um dado valor que se deter-mina para cada 100 partes. Quando voc fala 12% de cer-to valor, quer dizer que a cada 100 partes desse valor toma-se 12 partes.

A expresso doze por cento, que se representa por 12%, denomi-na-se taxa de porcentagem.

Assim, na razo 15/10 a taxa de porcentagem 15. Escreve-se 15% e l-se quinze por cento.

Qualquer razo pode ser escrita sob a forma de porcentagem, bas-ta determinar a razo equivalente cujo denominador seja 100. Ob-serve atentamente as aplicaes a seguir.

Aplicao 1

a. Escrever a razo sob a forma de porcentagem.

20x5

1.100x

100x

51

ou seja, X corresponde a 20%.

b. Escrever na forma de por-centagem.

ou seja, X corresponde a 75%.

51

3 4


c. Escrever 40% sob a forma de frao irredutvel.

754

30041003

100 43

==

=

=

40% = simplificando a frao, ou seja, dividindo numerador

e denominador pelo nmero 20 temos .

Para resolver problemas envolvendo porcentagem, utiliza-se a regra de trs simples. Acompanhe as aplicaes.

Aplicao 2

De um lote de 600 peas foi constatado que 3% estavam com defeito, quantas eram as peas defeituosas?

Para resolver o problema se faz necessrio verificar que as 600 peas correspondem a 100%. 3% a parte do todo que queremos calcular, logo, ele corresponde a X.

peas porcentagem

600 100% 3

100

600=

x

100600.3

=

3%

Resposta: foi constato que do lote 18 peas eram defeituosas.

Aplicao 3

Ao fazer a verificao de um lote de peas um tcnico chegou conclu-so que 4% das peas apresentavam algum tipo de defeito de fabricao. Sabendo-se que o total com defeito correspondia a 30 peas, qual era a quantidade de peas do lote?

O problema consiste em calcular o quanto corresponde a 100% das peas que o total que se quer conhecer. Montando a representao, o clculo fica assim:

2 5

40 100

18


4% 30

=30

100

4

410030

=

100% X

Aplicao 4

Ao montar uma empresa um tcnico em Mecnica necessitou comprar uma mquina cujo valor de mercado era de R$ 15.600, ele a adquiriu por R$ 14.352, quantos

por cento de desconto obteve?

Valor porcentagem 15 600 100%

14 352 x

1560014352100

= =

O que o tcnico pagou correspon-de a 92% do preo da mquina, portanto, ele obteve de desconto 100% - 92% = 8%

Resposta: o tcnico obteve de desconto 8%.

Aplicao 5

Uma empresa resolveu aumentar o salrio de seus funcionrios em 6,5%. Um tcnico dessa empresa recebia um salrio de R$ 1.430,00, com o aumento, qual ser o valor do seu novo salrio?

Salrio Porcentagem

1 430 100%

X 106,5%

100

1430.5,106=

= 1 522,95

Resposta: o novo salrio do tc-nico ser de R$ 1.522,95.

750x4100.30

xx

30100

4

92x60015

35214.100x

Resposta: o lote de peas era composto de 750 peas.


Aplicao 6

Uma ferramenta foi comprada com um abatimento de 15% cus-tando R$ 340,00. Qual o valor real da ferramenta?

Valor Porcentagem

340 85%

X 100%

85340.100

= = 400

Resposta: o preo real da ferra-menta de R$ 400,00.

Unidade de estudo 3

Sees de estudo

Seo 1 Equaes Polinomiais do 1 grauSeo 2 Equaes Polinomiais do 2 grau


Seo 1Equaes Polinomiais do 1 grau

Mas o que equao? Voc conhece o conceito?Confira os exemplos de equaes a seguir:

2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0

Continue seus estudos conhecendo as equaes do primeiro grau. Siga em frente!

Equaes do Primeiro Grau

A equao geral do primeiro grau expressa pela forma:

ax + b = 0

Sendo que a e b so nmeros conhecidos e a 0. Esta equao se resol-ve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

Dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

ax = -b simplificando a com a 1x = -b a a 1 a

x = -b

a

Considere a equao: 2x - 8 = 3x -10.

A letra x representa a incgnita da equao, representa o termo desco-nhecido que voc deve calcular. Na equao acima a incgnita x; tudo que antecede ao sinal da igualdade denominado 1 membro, e o que o sucede, 2 membro.

4x - 16 = 6x - 20

1 membro 2 membro

Equaes

Equao: Equao uma sentena matemtica aber-

ta que exprime uma relao de igualdade. A palavra equao tem o prefixo equa, que em la-tim quer dizer igual.


Qualquer parcela do 1 ou do 2 membro um termo da equao.

4x - 8 = 6x - 10

Termos da equao

Termos da equao

Equao do 1 grau toda equao escrita na forma ax = b, sendo a e b Nmeros Ra-cionais, com a 0 .

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equao

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equao x + 2 = 5.

Observe que o nmero 3 do con-junto A denominado Conjunto Universo da equao e o conjun-to {3} o Conjunto Verdade dessa mesma equao.

Acompanhe o exemplo a seguir:

Determine os Nmeros Intei-ros que satisfazem a equao x = 25.

importante lembrar que o Con-junto dos Nmeros Inteiros o Conjunto Universo da equao.

Os nmeros -5 e 5, que satisfazem a equao, formam o Conjunto Verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Voc pode concluir que:

Conjunto Universo o conjunto de todos os valores que a incgni-ta pode assumir. Este conjunto indicado pela letra U maiscula.

Veja que a incgnita representada pela letra x tambm chamada de varivel.

Conjunto verdade so todos os valores do conjunto U (universo) que a incgnita pode assumir e que tornam a equao verdadeira. indicado pela letra V maiscula.

Acompanhe a seguir alguns pontos importantes em relao ao Conjunto Verdade.

O Conjunto Verdade (V) est contido no Conjunto Universo (U), portanto, um subconjunto de U.

UV

No sendo citado o Conjunto Universo (U), voc deve considerar como Conjunto Universo o Conjunto dos Nmeros Racionais (Q).

UQ

O Conjunto Verdade tambm conhecido por Conjunto Soluo e pode ser indicado por S.

Razes de uma Equao

O que so razes de uma equao? Ficou curioso? Ento prossiga em seus estudos!

Os elementos do Conjunto Verdade de uma equao so chamados Ra-zes da Equao.

Para verificar se um nmero raiz de uma equao, voc deve obedecer seguinte sequncia:

substituir a incgnita por esse nmero; determinar o valor de cada membro da equao; verificar a igualdade, sendo uma sentena verdadeira, o nmero

considerado raiz da equao.

Veja alguns exemplos.


Aplicao 1

Verifique quais dos elementos do Conjunto Universo so razes das equaes a seguir, determinando em cada caso o Conjunto Verdade.

Resolva a equao:

x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equao x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0.

Para x = 1 na equao x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0.

Para x = 2 na equao x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0.

Para x = 3 na equao x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0.

Voc pode verificar que 2 raiz da equao x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equao: 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equao 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1.

Para x = 0 na equao 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1.



A equao 2x - 5 = 1 no possui raiz em U, logo V = .

Resolues de uma Equao

Resolver uma equao consiste em realizar uma srie de operaes que conduz a equaes equivalentes cada vez mais simples e que permitem, finalmente, determinar os elementos do Conjunto Verdade ou as Ra-zes da Equao. Ficou claro?

Resolver uma equao consiste em determinar os valores da incgnita que formam o Conjunto Verdade, pertencente ao Conjunto Universo considerado na soluo.

Na resoluo de uma equao do 1 grau com uma incgnita, voc deve aplicar os princpios de equivalncia das igualdades (aditivo e multiplica-tivo). Acompanhe as aplicaes a seguir.


Aplicao 1

Sendo U = Q resolver a equao

-3x = 5 4 6

Inicialmente voc deve extrair o mmc de 4 e 6, cujo valor 12:

-3x = 5 -9x = 10 12 -9x = 10

4 6 12 12 12

simplificando 12 com 12 temos

-9x = 10 Multiplicamos a equao por (-1) 9x = -10 x = 10/-9

V = -10

y { }

Aplicao 2

Sendo U = Q resolva a equao 2 .(x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

O primeiro passo aplicar a propiedade distributiva da multiplicao: 2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 2x - 4 - 3 + 3x - 2x = - 8 3x - 7 = - 8

3x = - 8 + 7 x = 1

3

Como 1 f Q ento V = 1 1 f Q ento V = 1 3 3 3

{ } { }

Seo 2Equaes Polinomiais do 2 grau

Denomina-se equao do 2 grau na varivel x toda equao da forma:

R e a 0

cbaondecxbxa ,,02

Observao: na equao do 1 grau o expoente da varivel x igual a 1, na do 2 grau o expoente da varivel x do primeiro termo 2 e do segundo termo 1.

Confira os exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0

uma equao do 2 grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

6x2 - x - 1 = 0

uma equao do 2 grau com a = 6, b = -1 e c = -1.

7x2 - x = 0

uma equao do 2 grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0

uma equao do 2 grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

As equaes escritas na forma ax + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equao do 2 grau na varivel x), a, b e c so chamados de coeficientes.

a sempre o coeficiente de x; b sempre o coeficiente de x, c o coeficiente ou termo

independente.

Equaes Completas e Incompletas

Uma equao do 2 grau dita completa quando b e c so diferen-tes de zero.


Acompanhe os exemplos:

x - 9x + 20 = 0 e -x + 10x - 16 = 0 so equaes completas.

Uma equao do 2 grau dita incompleta quando b ou c igual a zero, ou ainda quando ambos so iguais a zero. Veja os exemplos:

x - 36 = 0 (b = 0)

x - 10x = 0 (c = 0)

4x = 0 (b = c = 0)

Razes de uma Equao do 2 grau

Resolver uma equao do 2 grau significa determinar suas razes. Mas o que uma raiz? Voc saberia responder?

Raiz um Nmero Real que ao substituir a varivel de uma equao a soluciona, ou seja, torna a sentena matemtica ver-dadeira.

Observe que o conjunto formado pelas razes de uma equao deno-minado Conjunto Verdade ou Conjunto Soluo.

Resoluo de Equaes Incompletas

Resolver uma equao significa determinar o seu Conjunto Verdade. Na resoluo de uma equao incompleta so utilizadas as tcnicas da fatorao e duas importantes propriedades dos Nmeros Reais:

1 propriedade: se

2 propriedade: se

Aplicao 1 Equao do tipo ax2+bx=0

Determine as Razes da Equao

sendo U = R. Soluo Coloca-se inicialmente o x em evidncia:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores tambm o seja.

Assim:

Dessa maneira, voc obtm duas razes que formam o Conjunto Verdade:

V = {0, 8}

De modo geral, a equao do tipo

tem para x=0 solues e

Aplicao 2 Equao do tipo x2 + c = 0

Determine as Razes da Equao

sendo U = IR.


Soluo

A equao tem duas razes sim-tricas, sendo assim, o Conjunto Soluo :

V = {-6; +6}

De modo geral, a equao do tipo x2 + c = 0 possui duas razes re-

ais se

for um nmero positi-

vo, no tendo raiz real caso seja um nmero negativo.

Resoluo de Equaes Completas

Para solucionar equaes com-pletas do 2 grau voc utilizar a frmula de Bhaskara. A partir da equao x2 + bx + c

= 0 , em que a, b, c IR, a 0

voc desenvolver passo a passo a deduo da frmula de Bhaskara (ou frmula resolutiva).

1 passo: multiplicar ambos os membros por 4a.

)4.(0)).(4( 2 acxbaxa

0444 22 acabxxa

2 passo: passar 4ac para o 2 membro.

acabxxa 444 22

3 passo: adicionar b2 aos dois membros.

Trinmio quadrado perfeito

acbbabxxa 444 2222

4 passo: fatorar o 1 elemento.

acbbax 4)2( 22

5 passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

acbbax

acbbax

42

4)2(

2

22

6 passo: passar b para o 2 mem-bro.

acbbax 42 2

7 passo: dividir os dois mem-bros por

aacbb

aax

aa

24

22

)0(2

2

Simplificar o 1 membro 2a.

Assim, encontramos a frmula resolutiva da equao do 2 grau:

aacbb

x2

42

Aps desenvolver passo a passo a frmula de Bhaskara, que tal ago-ra praticar? Vamos aplicao!

Resoluo da equao:

02137 2x

Sendo: a = 7, b = 13, c = -2.

141513

1422513

145616913

7.2

)20.(7.41313 2

x

x

x

x

2''2428

''14

1513''

71

'142

'14

1513'

x

xx

xxx

Resposta: V =

}2;71

{

Discriminante

Denomina-se discriminante o radical b2 - 4ac que representado pela letra grega (delta).

acb 42


Agora voc pode escrever a fr-mula de Bhaskara da seguinte for-ma:

ab

x2

De acordo com o discriminante, temos trs condies a considerar.

1a Condio: o discriminan-te maior do que zero ( > 0). O valor de real e a equao tem duas razes reais diferentes, assim representadas:

ab

x2

' a

bx

2''

2a Condio: o discri-minante nulo = 0. O valor de nulo e a equao tem duas razes reais e iguais, as-sim representadas:

ab

xx2

'''

3a Condio: o discriminante menor do que zero ( < 0) . O valor da no existe no conjunto dos IR, no existindo, portanto, razes reais. As Razes da Equao so Nmeros Com-plexos.

Dada a equao ax + bx + c = 0, voc ter os seguintes resultados:

para ( > 0), a equao tem duas razes reais diferentes;

para ( = 0), a equao tem duas razes reais iguais;

para ( < 0), a equao no tem razes reais. Agora que voc conhece o de-senvolvimento da frmula de Bhaskara, chegou a hora de re-solver problemas do 2 grau. Boa resoluo!

Problemas do 2 grau

Para resoluo de problemas do 2 grau, voc deve seguir as etapas a seguir:

estabelea a equao ou sis-tema de equaes que traduzem o problema para a linguagem matemtica;

resolva a equao ou o sistema de equaes;

interprete as razes encontra-das, verificando se so compat-veis com os dados do problema. Observe agora a resoluo de al-guns problemas do 2 grau.

Aplicao 1

Determine dois Nmeros Intei-ros consecutivos tais que a soma

de seus inversos seja 4213 .

SoluoRepresenta-se um nmero por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos sero representados

por 111

xe

x .

Voc tem ento a equao:

4213

111

xe

x

Resolvendo-a:

4213

111

xe

x

mmc = 42.x.(x+1)

42(x+1) + 42x = 13x.(x+1)42x + 42x = 13x2 + 13x13x2 - 71x - 42 = 0

Aplicando a frmula de Bhaskara para resolver a equao voc ter

x = 6 e x=

- 7 13

.

Observe que a raiz - 7 13 no uti-

lizada, pois no se trata de Nme-ro Inteiro.

Resposta: os nmeros pedidos so, portanto, 6 e o seu consecu-tivo 7.

Aplicao 2

Um nmero de dois algarismos tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtm-se um nmero que o excede de 27 unidades. Determine esse nme-ro, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos 18.

SoluoRepresenta-se um nmero por 10x + y, e o nmero com a or-dem dos algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Nmero:

x y 10x + y

y x 10y + x

Nmero com a ordem dos alga-rismos trocada: 10y + x.


Voc tem, portanto, o sistema de equaes:

10y + x = 10x + y + 27 1 x.y = 18 2{

10y - y + x - 10x = 27 9y - 9x = 27 troca-se os elementos do 1 membro -9x + 9y = 27.

Resolvendo o sistema, tem-se:

-9x + 9y = 27 x.y = 18 {

Dividindo ambos os membros da primeira equao por 9 voc ter:

-x + y = 3 x.y = 18{

O prximo passo isolar y na pri-meira equao:

-x + y = 3 y = x + 3

Substituindo y isolado da primeira equao na segunda voc tem:

xy = 18 x(x + 3) = 18 x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0

Resolvendo a equao aplica-se a frmula de Bhaskara para encontrar os valores de x e x, dessa forma voc ter para x = 3 e x = -6.

Substituindo os valores de x na equao voc determina y para cada um dos valores de x, assim obter:

y = 3 + 3 = 6y = -6 + 3 = -3

Logo, o Conjunto Verdade do sis-tema dado por: V = {(3,6), (-6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas que no satisfazem a soluo do proble-ma, voc ter o nmero 36 (x = 3 e y = 6).

Resposta: o nmero procurado 36.

Aplicao 3

Duas torneiras enchem um tan-que em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas a mais do que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

SoluoConsideremos x o tempo gasto para a 1 torneira encher o tanque e x + 5 o tempo gasto para a 2 torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira en-che a seguinte frao do tanque:

1a torneira e 2a torneira Em uma hora, as duas torneiras juntas enchero

do tanque; ob-serve a equao correspondente:

61

511

xx

retirando o mmc das fraes voc ter 6x.(x+5).

)5.(6)5.(

)5.(6)5(6

)5.(6)5.(

)5.(66

)5.(6)5(6

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xxx

=

simplificando os denominado-res, tem-se:

6(x + 5) + 6x = x (x + 5)6x + 30 + 6x = x2 + 5xx2 - 7x - 30 = 0

Para resolver a equao voc deve aplicar a frmula de Bhaskara, obtendo os seguintes resultados: x = -3 e x = 10.

Como a raiz negativa no utili-zada, pois no soluciona o proble-ma, tem-se como soluo: x = 10.

Resposta: a 1 torneira enche o tanque em 10 horas e a 2 tornei-ra, em 15 horas.

Aplicao 4

Num jantar de confraternizao seria distribudo, em partes iguais, um prmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presen-tes recebeu um acrscimo de R$ 400,00 no seu prmio. Quantos convidados estiveram presentes nesse jantar?

SoluoPodemos representar por:

x24000

o valor que cada um dos presentes receberia se no houvesse faltas.

524000x

o valor recebido por cada um dos presentes.

x1

51

x

61


Voc tem, ento, a equao

40024000

524000

xx

Resolvendo-a:

40024000

524000

xx

dividindo ambos os membros por 400

160

560

xx

retirando o mmc das fraes, voc ter: x(x-5),

)5()5()5(60

)5(60

)5()5(

)5()5(60

)5(60

xxxxx

xxx

xxxx

xxx

xx

simplificando os denominadores das fraes, tem-se:

03005

30056060

53006060

2

2

2

xx

xxxx

xxxx

Para resolver a equao voc deve aplicar a frmula de Bhaskara, chegando ao resultado: x = 20 e x = -15. Caso o resultado seja negativo, voc dever descart-lo.

Resposta: nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.

Na prxima seo voc estudar sobre a trigonometria. At l!

Unidade de estudo 4

Sees de estudo

Seo 1 Teorema de PitgorasSeo 2 Semelhana de TringulosSeo 3 Razes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo


Seo 1Teorema de Pitgoras

A palavra trigonometria quer di-zer medida do tringulo, ela surgiu devido necessidade de clculos para resolver problemas gerados na Astronomia, Agrimensura e Navegaes.

A relao de Pitgoras trata dos clculos que envolvem as relaes existentes entre os lados do trin-gulo retngulo.

Dado o tringulo retngulo, ob-serve atentamente os elementos que o compem.

B

C A

A, B, C vrtices do tringulo.A vrtice que apresenta o ngu-lo reto.

B e C vrtices que apresentam ngulos menores do que 900.

A+B+C estes trs vrtices for-mam ngulos que somam 1800.

AB e CD estes segmentos rece-bem o nome de catetos.

BC este segmento recebe o nome de hipotenusa, o maior lado do tringulo.

Trigonometria

A relao de Pitgoras diz:

Se o tringulo retngulo, ento o quadrado da medida da hipotenusa igual soma das medidas dos quadrados dos catetos.

Dado um tringulo retngulo cujos lados medem 3, 4 e 5 voc obter:

52 = 32+42. Realmente a igualdade se concretiza, resolvendo, tem-se:

25 = 9+16

25 = 25

3

4

5

Considerando que:

a = 5, b = 4 e c = 3 tem-se:

a2 = b2 + c2

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9a2 = 25

Dessa forma voc pode escrever a relao de Pitgoras, ou Teorema de Pitgoras, como:

a2 = b2 + c2

Na Mecnica o uso da relao de Pitgoras pode ser aplicado em vrios exemplos. Neste momento voc aplicar determinando o di-metro de uma esfera que deve ser modelada na ponta de um eixo, as dimenses esto em milmetro.

72

Ao localizar o tringulo retngulo voc definir o que deve ser cal-culado, neste caso ser necessrio calcular o raio da esfera.

36

X

48

Assim voc ter o seguinte resul-tado:

a2 = b2 + c2

Substituindo no teorema: X2 = 482 + 362

X2 = 2 304 + 1 296

X2 = 13 600

X=13 600

X = 116,62


Para conseguir a medida y voc deve multiplicar por dois o resul-tado encontrado, pois preciso o dimetro. Assim, a medida : y = 233,24 mm.Usando a relao de Pitgoras, dados dois lados de um tringu-lo retngulo voc pode calcular a terceira medida.

a. Se voc tiver a medida dos dois catetos pode determinar a me-dida da hipotenusa.

a2 = b2 + c2

b. Se tiver a medida da hipotenu-sa e mais a medida de um dos catetos pode determinar o ou-tro usando as relaes:

b2 = a2 - c2

c2 = a2 - b2

Vamos para a prxima seo? Bons estudos!

Seo 2 Semelhana de Tringulos

Voc sabe o que so figuras pla-nas? J parou para pensar?

As figuras planas semelhantes so figuras que tm a mesma for-ma, mas no necessariamente o mesmo tamanho.

J dois tringulos so ditos seme-lhantes quando somente os valo-res dos seus ngulos correspon-dentes forem iguais e a medida dos seus lados correspondentes for proporcional.

Figura 3 - Tringulos SemelhantesFonte: Senai (1975, P. 99).

No h necessidade de verificar todas as condies de semelhana para chegar concluso que dois tringulos so semelhantes, podemos fazer essa observao analisando as situaes. Acompanhe as situaes a seguir.

a. Se dois tringulos tm dois ngulos correspondentes congruentes (iguais), eles so semelhantes.

Figura 4 - Tringulos Semelhantes com ngulos CongruentesFonte: Senai (1975, P. 101).


b. Se dois tringulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ngulos compreendidos entre eles, congruentes, ento so seme-lhantes.

Figura 5 - Tringulos semelhantes

com lados correspondentes pro-porcionais e ngulos congruentes.

Fonte: Senai (1975, P. 102).

c. Se dois tringulos possuem os lados correspondentes pro-porcionais, ento eles so se-melhantes.

Figura 6 - Tringulos semelhantes

com lados correspondentes pro-porcionaisFonte: Senai (1975, P. 102).

Aps conhecer as situaes de semelhana de tringulos, que tal colocar em prtica por meio de aplicaes? Vamos l, siga em frente!

Aplicao 1

Determine a razo de semelhana existente entre os lados do trin-gulo.

3570

2040

353040

2040

BCAB

DEAD

5670

3240

24323040

3240

ACBC

AEAD

Aplicao 2

Usando o conhecimento de seme-lhana entre dois tringulos deter-mine o lado do tringulo df.

2020

16.25

16.2520.2025

16

xx

xx

Seo 3Razes Trigonom-tricas no Tringulo Retngulo

A relao que existe entre os la-dos e os ngulos de um tringulo retngulo chamada de razes trigonomtricas do tringulo re-tngulo. Algumas observaes so importantes para voc com-preender melhor esse conceito, acompanhe-as:

lembre-se que o tringulo re-tngulo recebe esse nome porque tem um ngulo reto;

os lados que formam o ngulo de 90 recebem o nome de ca-teto;

o lado maior recebe o nome de hipotenusa;

a soma dos ngulos internos de um tringulo qualquer, isto inclui o tringulo retngulo, igual a 180.

Vamos estudar ento as razes entre os lados e os ngulos do tri-ngulo?


Figura 7 - Tringulos Semelhantes

Tringulos Retngulos Semelhantes

Se voc tiver um ngulo qualquer poder construir uma infinidade de tringulos retngulos. Para que isso acontea, voc dever, por um dos lados do ngulo, traar uma perpendicular, compondo um tringulo. Pa-ralela primeira perpendicular, pode-se traar outras tantas quanto qui-ser, formando assim uma infinidade de tringulos semelhantes.

Observe a figura a seguir:

Figura 8 - Tringulos retngulos semelhantes.

Voc pde verificar que existe um ngulo reto e dois ngulos agudos e tambm que os lados do tringulo que foi formado so proporcionais.

Se tiver o ngulo x e mais o ngulo reto (90), possvel determinar o outro ngulo (y), pois voc aprendeu que a somatria dos ngulos de um tringulo qualquer 180.

Y= 180- (90 + X)

Voc pode tambm estabelecer uma relao entre os lados do tringulo j que eles so semelhantes, observe a imagem:

APPQ

ABBC

ouAQPQ

ACBC

ouAQAP

ACAB

Vamos estudar essas relaes? Observe e analise as figuras a se-guir:


Se voc conhece os ngulos e os lados do tringulo, poder estabelecer as seguintes relaes:

sen X = medida do cateto oposto ou sen x = cat oposto

medida da hipotenuza hipotenuza

cosseno X = medida do lado adjacente ou cos x = cat adjacente medida da hipotenuza hipotenuza

tangente X = medida do lado oposto ou cos x = cat oposto medida do lado adjacente cat adjacente

Visualize os tringulos, eles so semelhantes, possuem o mesmo ngulo x. Fazendo as relaes que voc acabou de conhecer, possvel identifi-car que elas so sempre as mesmas.

75,0...86

65,4

43

25,1

8,0...108

5,76

54

5,22

cos

6,0...106

5,75,4

53

5,25,1

tgx

x

senx

Essas relaes so denominadas de razes trigonomtricas e per-mitem na Mecnica realizar uma srie de clculos, para tanto voc deve visualizar o tringulo retn-gulo nos problemas nos quais est envolvido.

Preparado para aplicar essas rela-es em situaes do dia a dia da Mecnica? Ento siga em frente!

Aplicao 1

Voc recebeu a tarefa de usinar uma pea conforme o desenho a seguir. Qual o comprimento da parte cnica para que deva ser usinada?

Para resolver o problema voc deve encontrar a medida do com-primento do cone. Observe que possvel retirar um tringulo re-tngulo do desenho.


Faz-se necessrio encontrar a me-dida X do desenho apresentado. Para encontrar a medida solicitada voc deve retirar alguns dados do problema, tem-se assim:

Medida PA =

Medida PA = 20 mm, pois na Me-cnica a unidade mais utilizada o milmetro.

Para determinar a medida X, uti-liza-se uma das razes estudadas, assim possvel verificar os se-guintes elementos:

21050

medida do cateto oposto = 20 mm; medida do cateto adjacente = x; ngulo conforme desenho = 25.

A razo que relaciona o ngulo, o cateto oposto e o cateto adjacente a tangente, pode-se ento us-la para determinar a medida X.

xTg

xtg

tecatAdjacencatoposto

tg ooo20

2520

2525

O valor da tangente de 25 voc encontrar na tabela de tangente ou utilizando uma calculadora cientfica.

tg 25 = 0,46631 , substituindo na frmula temos:

0,466 = 20 x 0,466 =

20 x X =

20 0,466 X = 43 mm

Portanto, voc deve marcar sobre o eixo um comprimento de 43 mm para usinar o eixo.

Resposta: o comprimento de 43 mm.


Aplicao 2

Uma escada est apoiada em um muro com dois metros de altura, formando com ele um ngulo de 45, qual o comprimento da es-cada?

Lembre que voc tem um tringu-lo retngulo entre o muro, o cho e a escada:

Que tal retirar os dados necess-rios para utilizar a razo correta?

Dados:

ngulo = 45; medida da hipotenusa (com-

primento da escada) = X;

medida do cateto adjacente = 2 m.A razo que utilizaremos para de-terminar o tamanho da escada o cosseno.

'2

45cos

25cos

x

hipotenuzatecatadjacen

o

o

voc deve ento encontrar o cos-seno de 45 utilizando uma tabela ou calculadora.

cos 45 = 0,707

Assim, substituindo na frmula:

mx

xx83,2

707,022

707,0

Aplicao 3

Observe o tringulo retngulo, ele representa a confluncia de duas vias. Sua tarefa unir o ponto A e C, determinando a menor distn-cia entre esses dois pontos, bem como o ngulo que forma com o segmento AB e BC.

O primeiro passo determinar a distncia utilizando a relao de Pitgoras:

a2=b2+c2 a2=252+422 a2= 625+1764 a= 2389 a 48,9 km

Posteriormente, voc deve deter-minar o ngulo. Para isso utilize a razo tangente:

'1359

68,12542

'4530

592,04225

o

o

tgA

tgAtgA

tgC

tgCCtg

Preparado para mais uma unidade de estudos? A prxima unidade tratar de um assunto bastante instigante, a geometria plana e es-pacial.

Continue sua caminhada pelo mundo da matemtica. Bons es-tudos!

catAdjacente

Unidade de estudo 5

Sees de estudo

Seo 1 rea e Permetro de Figuras PlanasSeo 2 Superfcie e Volume de Slidos Geomtricos


Seo 1rea e Permetro de Figuras Planas

A geometria plana a parte da matemtica que estuda as rela-es entre as figuras planas e as figuras que tm duas dimenses: comprimento e largura ou com-primento e altura. J a geometria espacial se preocupa com o estu-do dos objetos no espao, ou seja, estuda o objeto envolvendo trs dimenses: comprimento, largura

e altura.

Polgonos

Seja (A, B, C, D, ...) n pontos de um plano, com n 3, onde trs pontos consecutivos esto em pontos distintos do plano, a unio desses pontos com segmentos de reta determina um polgono.

Observe a figura:

A

C D

B

Em que: A, B, C e D so os vr-tices do polgono, e AB, BD, DC e CA so os segmentos que for-mam os lados do polgono.

Geometria Plana e Espacial

Superfcie Poligonal

A superfcie poligonal corresponde reunio de um polgono com o seu interior. As superfcies poligonais podem ser cnicas ou convexas.

Superfcie poligonal convexa Superfcie poligonal cncava Figura 10 - Superfcie Poligonal Convexa

Superfcie poligonal convexa Superfcie poligonal cncava

Figura 11 - Superfcie Poligonal Cncava

Os polgonos so classificados de acordo com o seu nmero (n) de la-dos, dessa forma eles recebem os nomes. Conhea a seguir as nomencla-turas dos polgonos.

Nmero de Lados Nome do Polgono

3 Tringulo

4 Quadriltero

5 Pentgono

6 Hexgono

7 Heptgono

8 Octgono

9 Enegono

10 Decgono

11 Undecgono

12 Dodecgono

15 Pentadecgono

20 Icosgono

Quadro 1 - Nomenclatura dos polgonos


Diagonais de um

Polgono

O segmento de reta que une dois vrtices opostos de um polgono denominado de diagonal. No polgono da figura a seguir voc visualizar 6 vrtices e 7 diago-nais.

A B

F C

E D

Vrtices: A, B, C, D, E, F.

Diagonais: AD, AE, AC, BF, BE, BD, CF, CE.

Permetro de Figuras Planas

Muitas vezes na Mecnica o tcni-co obrigado a determinar a me-dida do contorno de peas, como por exemplo, definir o compri-mento de uma barra retangular de alumnio para confeccionar o aro de uma bicicleta. Para determinar essa medida voc deve conhecer como calcular o permetro do aro.

Permetro a soma das medi-das do contorno dos lados de um polgono.

Polgonos Regulares

Acompanhe a seguir os tipos de polgonos regulares.

Quadrado Hexgono

P=4. P=6.

Tringulo eqiltero Pentgono

P= P= + + P=5.

P=3

=comprimento do lado

600

Para determinar o permetro de um polgono regular de n lados voc deve multiplicar o comprimento do lado pelo nmero de lados, P = n.

Permetro do Retngulo

Para calcular o permetro do retngulo voc precisa utilizar a seguinte frmula:

P = a+b+a+b

P=2a+2b

P=2(a+b)

a

b

Permetro da Circunfe-rncia

Assim como voc determina o permetro de um polgono, tam-bm possvel determinar o pe-rmetro ou comprimento de uma circunferncia. Esse conhecimen-to muito utilizado na Mecnica para definir n medidas, como o comprimento do material utiliza-do para confeccionar os aros de bicicletas, por exemplo.

40

Para determinar o comprimento de uma circunferncia enrole um fio em torno da circunferncia e em seguida mea o comprimento do fio, assim voc obter o per-metro da circunferncia.


Se dividir este comprimento pelo dimetro voc ter o nmero 3,14 que denominado pela letra grega pi ().

Assim, sempre que voc dividir o comprimento de qualquer circun-ferncia pelo seu dimetro obter como resultado o valor de pi.

dC

Dessa forma voc poder obter o comprimento da circunferncia, para isso multiplica-se o dimetro por pi.

.dC

Como o dimetro duas vezes o raio, voc pode determinar o comprimento da seguinte forma:

.2

2

rC

rd

Que tal pr em prtica?

Aplicao 1

Qual o comprimento de uma circunferncia cujo dimetro mede 6 cm?

cmC

C

84,18

14,3.6

Aplicao 2

Determine o comprimento de uma circunferncia de 5 mm de raio.

mmCC 4,3114,3.5.2

Aplicao 3

Determine o comprimento de um tubo que tem um dimetro de 12 mm para confeccionar uma roda de impulso para cadeira de rodas. Essa roda de impulso deve ser de 56 cm de dimetro externo.

Confira algumas observaes para resolver esta aplicao!

Observaes

Para resolver este problema voc deve primeiramente transformar as dimenses para uma mesma unidade, neste caso, transformar a dimen-so 56 cm em mm.

Voc tambm deve observar que o tubo tem um dimetro de 12 mm, tomando como referncia a linha mdia.

d = 560 mm C=d. neste caso usamos para o dimetro o dm

d m=560-12 C= dm.

dm = 548 mm C=548 . 3,14

dm=dimetro mdio C=1720,2 mm ou C=172,02 cm

d = 56

Medida de Superfcie rea

Para medir uma superfcie voc deve compar-la com outra tomada como unidade, na figura anterior foi utilizado um quadrado de 1 m de lado.

Unidade de rea

DICA O Sistema Internacional de Medidas escolheu para medida de rea o metro quadrado (m2), que uma superfcie unitria quadrangular de 1 metro de lado. A medida de uma superfcie chamada rea da superfcie.


m2

1m2

A

D

B

C

Aplicao 1

O retngulo ABCD tem 10 quadrados, se cada quadrado tem 1 m de lado, ento a medida da superfcie ocupada por essa figura tem 10 m2.

Na Mecnica utiliza-se esse conhecimento para determinar a medida da superfcie de chapas. Por exemplo, a quantidade de chapas necessrias para confeccionar um ba da carroceria de um caminho.

Mltiplos e Submltiplos do Metro Quadrado

A unidade fundamental o metro quadrado, mas comum na Mec-nica trabalhar com unidades menores, por exemplo, o mm2, que um submltiplo do metro. J na construo civil utiliza-se os mltiplos do metro, por exemplo, o km2. Acompanhe o quadro a seguir.

Smbolos Valores em m2 Nomes

km2 1.000.000 m2 Quilmetro quadrado

Ml

tipl

os

hm2 10.000 m2 Hectmetro quadrado

dam2 100 m2 Decmetro quadrado

m2 1 m2 Metro quadrado U

dm2 0,01 m2 Decmetro quadrado

Subm

lti

plos

cm2 0,0001 m2 Centmetro quadrado

mm2 0,000 001 m2 milmetro quadrado

Quadro 2 - Mltiplos e submltiplos do metro quadrado

Representao e Leitura

As unidades de medidas de rea variam de 100 em 100, em vez de escre-ver 54,3 dm2 conveniente escrever 54,30 dm2.

DICA L-se cinquenta e quatro de-cmetros quadrados e 30 cen-tmetros quadrados.

Mudana de Unidade

0,345 m2 = 34,50 dm2 = 3 450 cm2 = 34 500 mm2

0,000 000 345 km2 = 0,000 034 5 hm2 = 0,003 45 dam2 = 0,345 m2

Quando ocorre a mudana de unidade, a vrgula se desloca duas casas para a direita ou esquerda.

rea dos Polgonos

rea do Retngulo

Observe a figura a seguir, nela voc tem um retngulo de 4 cm de altura e 9 cm de base, cuja rea de 2 cm x 5 cm = 10 cm2.

10

2 1cm2

hbA .

Representando por A a rea do retngulo, por b a base e por h a altura, tem-se:


rea do Quadrado

O quadrado um retngulo cuja base igual altura, assim a rea pode ser encontrada da mesma forma que o retngulo.

Como b =

h =

A = .

A = b.h

3cm

A =

1cm2

A rea do quadrado A = 3.3, A = 9 cm2.

rea do Paralelogramo

Voc j ouviu falar de paralelogramo? Visualize atentamente as figuras a seguir.

s

UP

T

S

R

P

U

U

T

T

SR

Se voc cortar o tringulo direito do paralelogramo e colocar sobre o lado oposto, ficar com um retngulo. Para calcular a rea do paralelo-gramo ser utilizada a frmula do retngulo.

hbA .

rea do Tringulo

Observe na figura que a rea do tringulo metade da rea do retngulo, assim a rea do retngulo A = b.h. Para calcular a rea do tringulo basta dividir por dois a rea do retngulo. Veja a seguir.

Tringulo equiltero

2.hb

A

43.2

A

h=4,7

b=5,8

Tringulo equiltero


Substituindo na frmula as medidas da pgina anterior, que esto em cm, tem-se:

213,11 cmA

27,4.8,5

A

rea do Losango

Para calcular a rea de um losango, deve-se partir da rea de um retngu-lo, pois conforme veremos na figura a seguir, o losango formado por oito tringulos iguais.

Como a rea do retngulo A = b.h, conforme a figura acima, tem-se b = D e h = d.

A rea do losango :

d= 4cm

D= 12cm

2.dD

A

Substituindo as medidas do desenho voc ter:

2242

4,12cmAA

rea do Trapzio

Dado um trapzio qualquer para determinar a rea, estabelea o seguin-te: ajustar outro trapzio igual ao primeiro em sentido inverso, nota-se dessa forma que temos um paralelogramo.

A = b . h

A =(B+b).h

B b

B b

B+b

h

A = (B+b).h2


rea do Polgono Regular

Seja um polgono regular com nmeros de lado maior do que quatro, utilize o hexgono conforme figura a seguir. O hexgono pode ser divi-dido em 6 tringulos equilteros iguais (congruentes).

P = 6

h = ap

O aptema de um polgono regular a distncia do cen-tro do polgono a qualquer um dos lados.

A B

C

D E

F

ap

Observe que o paralelogramo contm 12 tringulos semelhantes dos quais 6 constituem a rea do hexgono.

Como a rea do paralelogramo dada por A = b.h, a rea da figura : A = 6..aptema.

Para determinar a rea do hexgono voc deve dividir a rea da figura por dois, o hexgono corresponde exatamente metade do paralelogra-mo da figura.

Pcomoaptema

A

.62

..6

Assim voc poder calcular qualquer rea de qualquer polgono regular desde que seja dada a medida do lado e do aptema.

Vamos aplicar?

Aplicao 1

Dada uma chapa de ao em forma de octgono, determine a rea da chapa.

Dados = 20 cm

Aptema = 24,14 cm

20 cm

24,14

A = P.ap2

A = 8.10.24,142

A = 965,60 cm22


rea do Crculo

Crculo a regio interna circunferncia. Para determinar a rea do crculo voc dever dividi-lo em 16 partes iguais (congruentes).

Observe que ao abrir a circunferncia voc obter 32 partes congruen-tes, dos quais 16 constituem a rea do crculo, usando a frmula do paralelogramo ter:

A = b.h como b = C e h = r temos: A = C.r mas, C = 2.r assim:

A = 2...2 rr

, simplificando temos:

2.rA

Lembrando:

C = comprimento ou permetro;

r = raio r = 2

d

;

d = dimetro.

Aplicao 1

Determine a rea de uma chapa de forma circular que apresenta um dimetro de 232,5 mm de dimetro.

14,325,1165,232 emmrmmd

Aplicando a frmula da rea do crculo, tem-se:

222 15625,4344225,116.. mmAArA

Observe que o resultado em milmetro quadrado um nmero grande, podendo ser transformado, por exemplo, para cm2. Desta forma ficaria com:

22 3415625,42415625,43442 cmmm

Na Mecnica comum arredondar esse valor, pode-se assim utilizar a rea de 424,35 cm2.

rea da Coroa Circular

Denomina-se coroa circular a re-gio da figura plana formada entre duas circunferncias concntricas, conforme figura a seguir.

R

r

Voc sabe que a rea do crcu-lo dada pela frmula

2.rA

. Como so dois crculos concn-tricos, a rea a diferena entre as reas dos dois crculos.

22 .. rRA aplicando a pro-priedade distributiva, voc ter:

).( 22 rRA

Aplicao 1

Calcule a rea de uma arruela ci-lndrica plana que apresenta um dimetro externo de 76,2 mm e interno de 50,4 mm.

D = 76,2 mm

R = 38,1 mm

d = 50,8

r = 25,4

2

22

22

253,5322

)16,64561,1451(

)4,251,38(

).(

mmA

A

A

rRA


76,2mm 50,8 mm

Acompanhe a seguir um resumo das frmulas para clculo das reas

dos polgonos. Aproveite!


Mltiplos e Submltiplos do Metro Cbico

comum na prtica voc se deparar com o clculo de volume de slidos muito pequenos (como o volume de uma lata de leo) ou muito grandes (como o volume de um navio), desta forma, assim como na unidade de rea, precisa-se tambm de unidades menores ou maiores para que se possam determinar esses volumes.

Os mltiplos e submltiplos do metro cbico so volumes dos cubos cuja aresta tem unidades mltiplas ou submltiplas do metro.

Seo 2Superfcie e Volume de Slidos Geomtri-cos

Os objetos que voc tem contato em sua vida diria e na vida pro-fissional ocupam uma poro do espao. Esses objetos so chama-dos de slidos geomtricos es-paciais.

DICA Assim, slido geomtrico espacial ou figura geo-mtrica espacial todo conjunto de pontos per-tencentes ao espao, mas que no esto no mesmo plano.

Para voc saber a quantidade de espao ocupado por esse slido necessrio compar-lo com outro tomado como unidade. O nme-ro obtido denominado de volu-me do slido geomtrico.

Unidade de Volume

A princpio voc pode adotar qualquer slido como unidade de volume, na prtica foi adotado como volume unitrio um cubo cuja aresta mede 1 m de compri-mento, assim a unidade de volume denominada metro cbico m3 (3 dimenses da figura espacial).

Na prtica voc pode adotar qual-quer slido como unidade de vo-lume. Para medir como unidade o volume do cubo cuja aresta tem um metro de comprimento, sur-giu o metro cbico m3, observe a figura.


Representao e Leitura

As unidades de volume variam de 1.000 em 1.000, desta forma voc escrever:

43,26 m3, mas conveniente escrever 43,260 m3.

L-se: quarenta e trs metros cbicos e duzentos sessenta decmetros cbicos.

Mudana de Unidade

2,3456 m3 = 2 345,6 dm3 = 2 345 600 cm3

Observe que ao mudar de unidade para uma imediatamente inferior, multiplica-se a medida inicial por mil at chegar unidade solicitada.

x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

:1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000

---------------------------------------

------------------------------------------ -------------------------------------

------------------------------------------ --------------------------------------- --------------------------------

Voc estudar a seguir cada um desses slidos e os elementos que o compem. Bons estudos!

Prismas

So slidos limitados por dois polgonos paralelos congruentes (iguais) que formam as suas bases e por tantos paralelogramos quantos forem os lados dos polgonos que formam a base. Eles podem ser classificados em retos ou oblquos.

Se partir de uma unidade menor para uma unidade maior, deve-se dividi-la por mil at chegar uni-dade solicitada.

Slidos Geomtricos rea e Volume

Em sua vida diria voc se depa-ra com vrios objetos constitu-dos de volume. Se voc observar bem, ver que tudo que constru-do pelo homem apresenta forma definida, nesta unidade voc es-tudar como calcular o espao ocupado por esses slidos, sua formao, as principais figuras que do origem a eles, alm de ve-rificar que muitos so junes de dois ou mais slidos.

Voc consegue identificar os no-mes dos slidos geomtricos a se-guir? Sua tarefa escrever o nome de cada um deles.


Prisma reto Prisma obliquo

Observao: no prisma reto as arestas so perpendiculares base e obl-quo quando so inclinadas em relao base.

De uma maneira geral, para calcular o volume dos prismas multiplica-se a rea da base pela medida da altura, ou seja:

hAV b .

Voc estudar tambm as reas das superfcies que formam as laterais e suas bases, pois em muitas situaes voc ser obrigado a dispor dessas superfcies para construir um slido qualquer, como por exemplo, na construo da carroceria de um caminho-ba, em que ser necessrio determinar a quantidade de chapas para a sua construo.

Num prisma voc encontrar as reas das seguintes superfcies:

Tem-se:

aresta a = altura; aresta c = comprimento; aresta b = largura.

rea da face a rea de um dos polgonos que forma uma das laterais;

rea lateral o somatrio das reas dos polgonos que formam as laterais dos pris-mas;

rea da base a rea do polgono que forma a base;

rea total a soma de to-das as reas dos polgonos que formam o prisma.

A seguir voc analisar alguns prismas e os elementos que o formam.

Paraleleppedo retngulo as bases e as laterais so paralelogramos.

arestas

Base

a

b

c


Observe que este polgono formado por 6 faces que so paralelogra-mos. Tem-se assim na face anterior as arestas a, b, c, desta forma pos-svel determinar as reas que formam o paraleleppedo.

Vamos planific-lo:

Vamos planic-lo

a

b

c

Base Sup.

Base Inf. c

a

b

Ab

Ab

Af Af Al Al Al

Aplicao 1

Determine o volume e as reas do paraleleppedo da figura a seguir:

altura = 24 mm

comprimento = 12 mm

24

largura = 8 mm

8 12

rea da base A

b = 12 x 8 Ab = 96 mm2

rea da face frontal Af = 12 x 24 Af = 288 mm2

rea da face lateral A

l = 8 x 24 Al = 192 mm2

Com esses dados voc pode cal-cular a rea lateral e a rea total.

rea lateral AL = 2(Af + A

l) AL 2(288 + 192)

AL = 960 mm2

rea total AT = 2(Ab + AL) AT = 2(96 + 960) AT = 2 112 mm2

Volume V = comprimento x lar-gura x altura

V = 12 x 8 x 24 V= 8.064 mm3

Acompanhe a seguir alguns exem-plos de prismas que fazem uso do mesmo raciocnio para a deter-minao dos elementos que voc calculou na Aplicao 1.

rea da base Ab = aresta c . aresta

c Ab = c.b

rea da face frontal Af = aresta a . aresta b Af = a . b

rea da face lateral Al = aresta c.

aresta a Al = c . b

rea lateral AL= 2(Af + Al)

rea total AT= 2(Ab + AL)


cubo Prisma de base hexagonal Prisma de base pentagonal

Cilindro

Slido geomtrico cuja base um crculo. Assim como o prisma, os cilindros se classificam em cilindro reto e oblquo.

Cilindro reto Cilindro obliquo

Observao: o cilindro equiltero caracterizado quando a altura do cilindro for igual ao seu dimetro.

rea e Volume

h h

d d

C=.d

rea da base

2.rAb

rea lateral AL = C . h AL = .d.h

rea total AT = 2 Ab + AL

Volume V = Ab . h

hrV .. 2

Reto: quando o eixo que o forma perpendicular base.

Oblquo: o eixo no per-pendicular base.


Aplicao 1

Determine o volume e a quantidade de rea necessria para confeccio-nar uma lata de leo que apresenta a forma de um cilindro circular reto com as seguintes dimenses:

altura = 100 mm

dimetro = 80 mm

h=100

d=80

rea da base

22 024540. mmAA bb Ab = 5 024 mm2

rea lateral AL = C . h AL = .80.100 AL = 25 120 mm2

rea total AT = 2 Ab + AL AT = 2 x 5 024 + 25 120 AT = 35 168 mm2

Volume V = Ab . h

hrV .. 2 V = 3,14.40.100 V = 502 400 mm3

Resposta: conforme solicitado, voc deve utilizar para a fabricao de uma lata, 35.168 mm2 de chapas para um volume de 502.400 mm3 de leo.

Pirmide

Slido geomtrico limitado por um polgono qualquer e por tringulos que formam as suas laterais e que tm um vrtice comum. O polgono forma a base e os tringulos as suas faces laterais. As pirmides se clas-sificam de acordo com o polgono que forma a sua base. A altura da pirmide o segmento de reta perpendicular sua base.

h=altura aptema

Aptema da base

rea da base: de acordo com o polgono que a forma.

rea lateral: AL = b . h 2

, lembrar

que a altura relacionada se refere altura do tringulo que forma a face lateral.

rea total AT = somatria das re-as laterais.

Volume V = Ab . h 3

Aplicao 1

Determine o volume, a rea to-tal das faces e a rea total de uma pirmide de base retangular que apresenta as seguintes dimenses:

comprimento da base = 80 mm;

largura da base = 45 mm;

altura = 78 mm.

45

80

78

rea da base Ab = comprimento

x largura Ab = 80 x 45

Ab = 3 600 mm2.

Aptema do tringulo que for-ma a face lateral com aresta de 45 mm = 87,66 mm.

Aptema do tringulo que for-ma a face lateral com aresta de 80 mm = 81,18 mm.

Observe que neste caso voc tem duas faces com tringulos diferen-tes, um cuja base 45 mm e outro cuja base 80 mm.

rea da face lateral cujo tringulo tem base igual a 45 mm:


Af =

2

66,87.45

Af = 1 972,35 mm2

rea da face lateral cujo tringulo tem base igual a 80 mm:

Af =

2

18,81.80

Af = 3 247,20 mm2

rea total das faces.

Atf = 1 972,35 + 3 247,20

Atf = 5 219,55 mm2

rea total AT = somatrio da rea das faces mais a rea da base.

At = Ab + Af At = 3 600 + 5 219,55 At = 8 819,55 mm2

Volume

V =

3

.hbA

V =

3

78.6003

V = 93 600 mm3

Cone

o slido gerado por um tringulo retngulo que gira em torno de um de seus catetos.

h

d

g

d

C= .d

AL

rea lateral

AL =

gr.. g = geratriz

rea da base

.2rAb .r2.h

3

rea total

AT = AL + Ab AT =

gr.. +

.2r

).(.. rgrAT

Volume

3.. 2 hr

V

Aplicao 1

Determine a rea lateral total e o volume de um cone que apresenta as seguintes dimenses:

dimetro da base = 18 cm; altura = 14 cm.


Clculo da geratriz:

g2 = r2 + h2

g2 = 92 + 142

g2 = 81 + 196

g = 277

g = 16,65 cm

rea lateral AL =

gr.. AL = 3,14 . 9 . 16,65 AL = 470,529 cm2

rea da base

.2rAb

.92bA Ab = 254,34 cm2

rea total AT = AL + Ab AT = 470,529 + 254,34 AT = 724,869 cm2

Volume

3.. 2 hr

V

314.9. 2

V

V = 1.186,92 cm3

Esfera

Voc sabe o que uma esfera? um semicrculo que gira em torno do seu eixo.

DICA A esfera o slido geomtrico limitado por uma superf

senaisc-saobentodosulmecanica1modulo-matematicaaplicadaamecanica

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