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s "\ a s assuntos importantes da Matematica - de 5? a 8? serie - sao desenvolvidos nos \ivros da serie A descoberta da Matematica, uma proposta inovadora de ensino, nascida de uma \onga experiencia em sala de aula. Atraves de hist6rias \eves e agradaveis, os conteudos matematicos vao sendo abordados de forma concreta, com explicaG6es \6gicas e claras, que o nivel do a\uno e procuram atender as necessidades do professor. 0 prazer da leitura, somado ao rigor dos conceitos vistos, taz de cada texto desta serie um va\ioso complemento ao \ivro didatico. I ISBN 85 08 o289o 3} Luzia Faraco Ramos '! ·. . .

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s assuntos importantes da Matematica - de 5? a 8? serie - sao desenvolvidos nos \ivros da serie A descoberta da

Matematica, uma proposta inovadora de ensino, nascida de uma \onga experiencia em sala

de aula. Atraves de hist6rias \eves e

agradaveis, os conteudos matematicos vao sendo abordados de forma concreta, com explicaG6es \6gicas e claras, que respei~am o nivel do a\uno e procuram atender as necessidades do professor.

0 prazer da leitura, somado ao rigor dos conceitos vistos, taz de cada texto desta serie um va\ioso complemento ao \ivro didatico.

I ISBN 85 08 o289o 3}

Luzia Faraco Ramos '!

•·. 11~11 . . ~ ~ ~ -~ - - ~ - ~ -~--~-

Luzia Faraco Ramos Professora de Matematica e Assessora para

o en sino de Mate matico no pre-escola e no 1? grau

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TEXTO

editor: Fernando Paixao

assistente editorial: Carmen Lucia Campos

preparac;:ao de originais: Jose Roberto Miney:

suplemento de avaliac;:ao: · Luzia Faraco Ramos

ARTE

projeto grafico e edic;:ao de arte:

Pau lo Cesar Pere ira ilustrac;:oes infernos:

C laudson Rocha diagramac;:ao e

arte-final: Pau lo Cesar Pereira

manuscritos: PVM

A elaborac;:ao desta serie ter ia sido impossfvel sem um verdadeiro espfri to de equipe.

Alem da dedicac;:ao da Autora, Luzia Faraco Ramos, este p rojeto contou com o inestimavel traba lho

do escritor Luiz Ga ld ino. Tiveram ainda partic ipac;:ao importa nte nesse volume, atraves de leituras crfticas e

sugestoes, os segu intes professores de Matematica:

Marcia Anaf Milton Anton io Muniz

Rosano Aparecida Fioretto Marotti Vincenzo Bong iovann i

ISBN 85 08 028 90 3

1988

Todos os direitos reservados pela Editora Atica S.A. R. Barlio de lguape, 110- Tel.: PABX 278-9322

C. Postal 8656 - End. Telegnifico "Bomli~r6" - S. Paulo

~

7 1 Volta as aulas I 00

pesar de inuito cedo, o sol prometia urn dia de veriio. A margem da estrada, o casal de jovens divertia-se, a:tirando pedras nas aguas baixas do a<;:ude.

- Alice ... Voce ja reparou como o nivel do a<;:ude esta baixo?

A jovem nissei parou urn instante com as pedras, ob­servou sem pressa, e comentou:

- Meu pai esta com medo que nao chova. E se. nao ti­ver como irrigar as planta<;:6es, vai perder tudo.

- Por falar em perder ... Se o Beto e a Tais demora-rem muito, acabarao perdendo a carona ...

- Ainda e cedo, Lino. N6s e que chegamos adiantados. 0 garoto ouviu a explica<;:ao e propos com ar matreiro: - Ganha urn doce 1 se adivinhar por que eles ainda nao

desceram ... Alice riu com tanta descontra<;:ao, que seus olhinhos

amendoados se fecharam. Antes, porem, que pudesse dizer algo, os dois irmaos apontaram entre as arvores que circun­davam a bela casa da colina.

- La _vern eles _:_ apontou Alice. -Ate que enfim! A garota observou o olhar quase aflito de Lino e cen­

surou em tom de brincadeira: - Sosseg,a, Lino! Logo a Tais estara aqui. Ele desviou o olhar por urn segundo apenas e tornou

ao caminho, por onde a Tais e o Beto se aproximavam. - Oi, Alice ... Oi, Lino ... Tudo em ordem?- cumpri­

mentou Beto. - Tudo bern, Beto? E voce, Tais - respondeu Alice. Lino respondera com urn gesto de mao, os olhos pre­

sos na garota que ficara para tras. Sem pressa nenhuma, Tais tratava de ajeitar o material escolar na mochila.

- E ai, Lino ... Parece que esta fora de sintonia .... -cobrou Beto.

- Ah, tudo bern. Acho que ainda nao acordei direito. E Alice juntou, num tom que deixava margem a dupla

interpreta<;:ao: - Ele esta sintonizado em outra faixa ... Alias, estava

muito preocupado com o atraso de voces. - Posso imaginar -:- piscou Beto, com cumplicidade

- Adivinhe quem foi a causa? - Nao corriece! - rebeloo.-se a irma, encaixando 'a mo-

chila no ombro. - Eu, hoje, nao estou muito pra papo, nao!

< J\ntevendo o mau humor da amiga, Lino tentou a di-

plo tnacia: - Nota dez pra voce, Tais ... - Nota dez por que? - indagou ela. Encabulado, ele se atrapalhou urn pouco, mas conse-

guiu dizer: -Ora ... Sei l<i ... Voce esta demais, hoje ... - Ah ... - reagiu ela com afetac;ao. - Obrigada. Beto ignorou o dialogo; levantou a vista para o ceu e

comentou: - Nota dez para a Tais e nota zero para esse sol ... - Essa nao! - discordou a irma. - 0 que e que voce

tern contra o sol, hein? -Bern .. . Ate que gosto de urn solzinho, mas esse tem­

po esta exagerando. Se nao chover logo, os plantadores te­rao problemas ...

- E verdade . Meus pais estao preocupados - apoiou Alice.

- M·uito bern . .. Que tal a gente comec;ar uma danc;a da chuva? - ironizou Tais.

Antes que alguem acrescentasse a lgo, Beto desculpou­se pela irma :

- Nao reparem. A Tais deve ter se levantado com o pe esquerdo.

- E o Samuel? Sera que ele deixou a gente na mao? - interrogou ela, sem dar ouvido ao que o irmao dizia.

- Nao e possfvel- interveio Lino. - N6s estamos aqui ha quase meia hora .

. Mal terminara de falar, quando Alice apontou para a estrada.

- Salvo engano, aquele e o superfusca do Samuel. - E ele mesmo- confirmou Beto. - Nao ha nada pa-

recido pelas redondezas. Assim que o veiculo parou, Samuel desceu, distribuin­

do risos, beijos e abrac;os. - Tudo em cima? Prontos para a volta as aulas? - Tudo em cima, Samuel! Pelo jeito, andou pegando

.uma bela praia, hein? ... - comentou Tais. - Puxa, estava demais! Mas pelo que estou vendo, sol

e 0 que nao faltou por aqui. .. Lino chamou a atenc;ao do professor para o a<;ude: - Olha l<i, Samuel... 0 a<;ude, que tern cinqiienta me­

tros de profundidade, esta com agua na marca dos dez. - E ... A situac;ao parece grave - concordou ele . -

E entao? Vamos?

T

·----- -8 Assim que ele abriu a porta do carro, Alice percebeu

varios cartoes coloridos e algumas pe<;as de encaixe dentro de uma sacola.

- 0 que e isso, Samuel? E para mandar bilhetinhos co­loridos aos pais dos alunos?

- E eu sou de mandar bilhetinho, Alice? - brincou ele. -Esse material nos ajudara a fazer importantes desco­bertas.

- Descobertas? Ja estou morrendo de curiosidade! - Curiosidade nao mata; pelo contrario, ensina! -

acrescentou o professor, com ar divertido. - E vamos em­bora, ou chegaremos atrasados.

Co01 quantas &a~Oest____..,.---­se faz 001 inteiro

inicio da aula foi urn tanto conturbado. Muitos queriam ouvir as aventuras de Samuel durante as ferias e, tambem, relatar as pr6prias. Mas, en­fim, o professor conseguiu. 0 Fazendo algum suspense, Samuel retirou al­gumas pe<;as da sacola que Alice vira no carro e

comec;ou a encaixa-las umas nas outras, formando uma bar­ra de quatro pe<;as, das quais tres eram .listadas .

- 0 que e que eu tenho nas maos? - perguntou, fi­nalmente, diante da classe muito curiosa.

- Uma barra formada de quatro pe<;as - identificou 1 uliana. - E tres dessas pec;as sao listadas .

- 6timo - concordou Samuel, repetindo: - Temos uma barra composta de quatro pec;as, das quais tres sao lis­tadas. E estas pe<;as, sao todas iguais?

- Sao - confirmou Guilherme. - Eu tenho urn jogo de montar igualzinho a esse .

- Muito bern .. . E Samuel se p6s a preparar uma nova barra, que mos­

trou em seguida a classe, interrogando:

- E agora? Quantas partes eu tenho nesta barra e quan­tas sao listadas?

- Cinco partes, sendo duas listadas - respondeu Tais. - Muito bern. A partir desses dois exemplos, eu posso

considerar cada uma das barras coRlo algo inteiro? -Claro que pode! - afirmou Lino. - Sao como OS

chocolates que trouxe de lanche: uma barra maior e outra menor, no entanto, as duas estao inteiras.

- E a barra maior e para a Tais! - gritou alguem no ·t:undo da sala.

. Lino virou-se, ten tan do localizar o engra<;adinho, mas Samuel nao deu tempo para discuss6es.

- Excelente exemplo, Lino! Com isso, estamos pron-tos para iniciar nossos estudos sobre fra<;6es .

- Fra<;6es? - Que sao fra<;6es? - interrogou Marcelao. Tais virou-se criticando: - Poxa, Marcelao . .. E isso que Samuel vai explicar. 0 professor esperou pelo siH!ncio e prosseguiu: - Observando os exemplos que eu dei, voces devem ter

notado que os inteiros considerados sao diferentes, mas apre­sentam uma caracteristica co mum ...

. -.Nos dois exemplos ha partes listadas - observou Be­to. - E isso, Samuel? , ·

- Exatamente! Vejamos, agora, como e possivel representa-las ...

Propos e escreveu na lousa:

tre~ tni 1uatro ~aD li1.taiiM

cllUAI\.. em cinco M£>h~~

-.,.. E o que is so tern a ver com a Matematica? - per­guntou · J.uliana.

- E que existe - explicou Samuel - uma forma ma­tematica para n!presentar essas partes consideradas do intei­ro. No primeiro exemplo temos tres partes listadas em qua­tro, mas tambem podemos dizer que tres quartos sao lista-

r o I

dos, e, no segundo exemplo, as duas partes listadas em cinco podem ser representadas por dais quintos.

E foi substituindo pela nova forma: -

~D t~€4 qw.trto~ MO lL1tado1-

1~1111 doih- qu.itt~ ~do li~tado~

- Quer dizer, em linguagem matematica, frariio e es­sa forma de representar as partes consideradas de cada urn dos inteiros. Eta c escrita utilizando urn par de numeros: urn deles, o denominador, vai indicar em quantas partes iguais o inteiro foi dividido, e o outro, o numerador, ira indicar a quantidade dessas partes a serem consideradas. E o deno­minador e o numcrador sao os termos de fra<;:ao .

1~[- 1 tr~ qwu-i~

OtL 3 -numerador 4- denominador

I- 11-1 ~ ~IA.iKt01t

OtA,

2 ---- numerador 5- cienomLttad.or

0 professor se preparava para dar seqi.H!ncia a aula, quando Guilherme interrompeu:

- Se n6s tivessemos apenas uma parte listada, no pri­meiro exemplo, como a representariamos?

Samuel foi ao quadro e colocou a proposta do aluno:

E imediatamente Alice concluiu: - Temos uma parte listada em quatro, ou sqa, 11111

quarto. - Muito bern - concordou Samuel, que rcgistrou:

• 1''11 ..__. ~ t lem,m,: l.(.m ~a.rto

Ft:ar;ao e todo par de . . . a

numeros natura1sb,

on de: - b, chamado deno

minador, indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido;

- a, chamado nume­rador, indica 0 nu­mero de pdrtes consideradas des­se inteiro.

Observa<;:iio importan-1te: Como niio existe divisiio por zero, niio existe frar;iio 'com de­nominador zero.

Assim que ele escreveli, Juliana perguntou: - E no outro exemplo ... Se tivessemos apenas uma par­

te listada, como ficaria? Enquanto Samuel registrava na lousa a proposta de Ju­

liana, Beto respondeu: - Se a barra' tern cinco partes e s6 uma e listada, te­

mos urn quinto da barra listada. Nao e isso, Samuel? - Correto - afirmou ele e completou:

• 1 luI I I --..--'

~ e lemm: um. qt.A..U1-to

Lino, que apenas acompanhava, propos, em tom de con­clusao:

- Quer dizer que podemos formar barras com qual­quer numero de pe~as iguais e considerar as suas fra~c)es?

- Exatamente! A ideia de inteiro pode variar de for­ma, tamanho, quantidade de partes e assim por clianlc.

E desenhou para·exemplificar:

60 I I - 0 que caracteriza a fra~ao e que o inteiro considera­

do, de qualquer tamanho ou forma, seja dividido em partes iguais . Por exemplo ...

Falou e dividiu as figuras em partes iguais:

Mffi I I I I E, logo em seguida, pintou algumas partes das figuras,

escreveu a fra~ao correspondente as partes riscadas em cada urn dos inteiros, registrando tambem a maneira de le-los:

~ . .J:i

•, ·'!:'"'""' ' -;,

.!f:FJ-.·. , :(!" •7.' .""' ~ r:. ..

-tre1- clo(A, 1~rt<n t.ft.Ulrt.M-

Oll ~ OtL ~

1rfh­·te..r~

0\lw~

q.~.tairo 'ftAi.n.-to1,_, 00.,4

b Como todos houvessem entendido, Samuel continuou

a aula: - Lino, Icmbra-se de que voce me chamou a aten~ao

para o nivel da agua Ia no a~ude? - Lcmbro. Eu comentci que a a ltura normal da agua,

que e de 50 metros, estava rcduzida a 10, por causa da seca. Lino ainda nao tcrminara de falar e Samuel ja se pos

a desenhar: 50

""" ..:to-30 -20-fO -f 1

- Vamos imaginar que este eo a~ude; ele tem 50 me­tros de profundiclade, mas esta reduzido a marca dos I 0. Co­mo as marcas sao de 10 em 10 metros, podemos considera-lo como se fosse formado por 5 partes iguais de 10 metros ca­da uma, em que apenas uma das partes contem agua ...

Em seguida, Samuel fez urn novo esbo~o da situa~ao, mais apropriado a analise sob 0 ponto de vista das fra~6es:

1---------- -- --

±Mm~I.Ul 5 o.~Ltde cheio 01! _§_

5 ~··~} ~ co~ &q~.t~

- Quer dizer que apenas urn quinto do a~ude tern agua? - interrogou Lino.

- Isso mesmo - confirmou Samuel. - Temos qua-tro quintos sem agua.Caso o a~ude estivesse cheio, teriamos cinco quintos de agua, que e a sua capacidade total.

9 \

~ ~. ----------------------~----------------------------------~

- Que legal - comentou Tais. Nesse instante, Marcelao fez uma pergunta: - Pra que existem as fra~oes? - Elas servem para representar partes iguais de intei-

ros ou partes iguais de quantidades - esclareceu Samuel. -Voce poderia dar urn exemplo? Samuel pensou um pouco e propos: - Imagine que a sua mae fez uma daquelas deliciosas

tortas de chocolate ... - Humm . .. fez Lino com agua na boca. - Ela poderia dividir a torta assim, supondo que a fa-

milia tcnha cinco pessoas ...

([ill) - Se eu ficasse com a parte menor, reclamaria! - brin­

cou Beto. - Tenho certeza que sim - tornou o professor. - Dai

surge a necessidade de dividi-la em cinco partes iguais, nao e mesmo?

Todos concordaram e Samuel procedeu a nova divisao:

- Agora sim - aplaudiu Beto. Como cada urn vai ga­nhar urn quinto da torta, todos vao comer peda~os iguais.

_:__ Ja deu para perceber a importi'mcia das fra~oes? -quis saber Samuel.

Como todos tivessem entendido o exemplo, Samuel deu continuidade a aula, passando a comentar como as fra~oes devem ser lid as .

-Bern pessoal, voces Ja perceberam como se leem al­gumas fra~oes. S6 para recordar, vou escrever algumas fra­<;oes na lousa para voces lerem:

3 a.) 2 b)}

-No exemplo a, devemos ler tres meios - disse Juliana.

- E no b, Iemos dois ter~os - completou Guilherme. - Esta correto - confirmou Samuel. - S6 para con-

firmar: nas fra~()es, devemos ler o numerador e depois ode­nominador. Os denominadores 2 e 3 sao lidos meios e ten;os, respectivamente.

- Tambem ja sabemos ler as fra<;6es com denomina­dores quatro e cinco - lembrou Beto.

- E verdade, mas vamos deixar bern claro como deve­mos ler as fra<;6es que tenham denominadores de quatro ate nove; primeiramente, Iemos o numerador e, em seguida, Ie­mos o denominador como urn numeral ordinal.

-Numeral ordinal? Como assim?- perguntou Tais. - Numerais ordinais a partir de quatro ate nove sao:

quarto, quinto, sexto, setimo, oitavo e nono, ou entao no plural, dependendo do numero de partes. Assim, observem - e escreveu algumas fra~6es registrando por extenso a for­ma de le-las:

~ trM. oi:ta. voi-~ tr~ C,JUartOi.­

~ 41u.alro ~exto1-

5 . ~ CLnCO l'\.0~

; Jo~ qu.ittt~ i lAW\- 1ih~o

- Agora- prosseguiu Samuel-, as fra~6es que tern denominadores dez, cern, mil, dez mil sao chamadas fra~6es decimais. Lemos o numerador e, em seguida, os denomina­dores : decimo, centesimo, milesimo ... , ou no plural, depen­dendo do numero de partes.

Propos alguns exercfcios para os alunos e eles escreve­ram como as fra~6es deveriam ser lidas:

~ qtA.atro clecimDlt 1~0 cirtco cevt:t6~ 1~ -1ete- mili1-tm~

A classe achou facil, mas Alice ainda nao estava sa­tisfeita:

- E as outras fra<;6es, como Iemos? - Nas fra~6es que tern denominador acima de nove,

e que nao sao decimais, Iemos o numerador e a seguir o de­nominador, acrescido da palavra avos, por exemplo:

3 t A • 15 r~ '-f-14.Lvt:z.e avoi-J4 00\le tri~tct e qwnro ~vo-it

E para verificar se todos estavam compreendendo, Sa­muel propos urn exercicio, explicando antes o seguinte:

- Em cada urn dos inteiros, voces devem considerar qual fra~ao deles esta riscada. Em seguida, escrevam mate­maticamente e por extenso como se le cada uma das fra<;6es encontradas .

Depois de certo tempo, Samuel escreveu na lousa as res­pastas que os alunos davam:

~ ~

1 2.

!Am rne1.0

5 • 6 ~~A

ClvtCO ~exu.r.l-

7 12

-1ei:e. dOze avoo.,

g s

oclo oi:tav~

- Excelente, pessoal!- comentou ele ao constatar que a maioria tinha acertado. - Por hoje e s6, que ja vai bater o sinal.

- Mas n6s nao vamos usar aqueles cart6es da caixa? - perguntou Al ice, a descobridora deles.

- Vamos usar sim, mas nas pr6ximas aulas- disse Sa-muel, enquanto a turma se desped ia.

casa 01isteriosa lice encontrou Beto e Tais confortavelmente ins­talados na varanda da bela casa. Por toda volta, s6 se via o laranjal e, por cima das copas, urn Iindo ceu azul, sem nuvens.

Por causa do calor, Tais estava muito a vontade numa rede, vestindo apenas short e

camiseta. Alice procurou Iugar junto a Beto. - Que calor, hein? - comentou ela. - Eu acho 6timo! - disse Tais entusiasmada. - 0 que voces acharam da aula do Samuel?

1 0 ; 15

I,

Alice perguntou -no plurai, mas dirigia-se quase exclu- - E verdade, ela esta sempre fechada e ninguem co-. sivamente a Beto, ja que Tais s6parecia se preocupar com nhece os seus donas ... Mas isso nada tern de misterioso . Pro-a verao. ' vavelrnente, pertence a alguem que nao precisa dela ... -

- Eu gostei! Entendi tudo! - respondeu o garoto. considerou Beto. - Se fosse voce, nao ficaria tao empolgado ~contra- 0 amigo ouviu com aten~ao, mas nao se deu por

riou a irma. - Hoje foi refresco, mas logo vern chumbo vencido. grosso... 1 -Sabem o que acabo de ver Ia?

- E claro que vern materia nova ... Chumbo grosso, co- - 0 fan_tasma ?a c~Iina! - respon~eu ~lice no a to, mo voce diz ... Se fosse para ver materia conhecida, nao te- provocando nsos. LI~o vi~o~-se na sua_ due~ao: . ria grac;a nenhuma. - Sabe que voce esta fiCando mmto engra~admha?

Sem se importar com a explica~ao do irmao, Tais apon- - A final, o que voce viu de tao estranho? - insistiu tou para a alam~da que conduzia a casa. Beto . . . . . ,

- Olhem la ... Chegou quem faltava. - VI fuma~a samdo ~a.chamme. Beto e Alice observaram pelos vaos da mureta e reco- . - Fuma<;:a? Na chamme daquela casa? - estranhou

nheceram Lino, que vinha a toda pressa. Tais. . . . ~ Lino.:. Estamos aqui, na varanda . .. _ avisou Be- -_Ora, viva!~ aplaudm Beto. Fmalmente saberemos

to, levantando-se e agitando os bra~os. quem ~ao o~ donas. . .. 0 amigo retribuiu com urn gesto de mao e dirigiu-se a Lm? nao s_e mostrava nada empolgado com a Ideia. E

escadaria, na frente da casa. Subiu para a varanda aos sal- prossegum, hesit~nte: . . . . tos e veio ao encontro dos companheiros, na ala lateral da . - E tern mais.: . Alem de fuma~a na chamme, ouvi urn casa a mais fresca. · gmncho deyorco. · · . ~

'_ p - . . . . ---: Gumcho de parco? - estranhou Ahce. - E voce ensamos que nao vma mais .. . - comentou Tais . · · h d -1 ?

I . . . . . . nunca ouvm gumc o e parco an es.

- magme se Lmo ma nos pnvar de sua companhia... C t Cl · · · h ·t L" _ brincou Beto. - er o... aro _q~e Ja ouv1, mas ... - esi ou m~. . . . - De repente, a chamme de uma casa abandonada se poe

Os garotos nr~~· ~n~uanto Lmo procurava urn Iugar a sol tar fuma~a ... e, ainda por cima, uma porca guincha ... no banco. E .~eto msts~m. _ ? - Uma porca? - interessou-se Tais. -Voce conse-

E _dai. _Qual fm a r~zao do atraso · ,. gue identificar o sexo dos porcos pelo guincho? - Nao, s~I n~m ?se devm contar._. · . ? '· Ninguem se agiientou; riram todos com espalhafato. ~qual e, Lmo. Suspense pra c1ma da gente. - cen- Custou para Lino conseguir falar:

surou Ta1s. . . . -Voces riem porque nao estavam la! Eu fiquei ar-. Ele se a]eitou no ban~o, ao lado ~e .A:hce, de maneira repiado!

a poder ver o rosto de Ta1s na rede e miciOu: - lhhh ... Pelo vista, teremos de levar Lino ate a casa - Bern . .. Voces conhecem a casa abandonada... dele ... - insinuou Tais . --:- A gent~ conhece desde que nasceu! Quale o proble- I Quando retomaram a seriedade, Beto sugeriu:

rna, Lmo? -;- mterpelou Beto. , - Por que a gente nao vai ate Ia dar uma olhada? ... -:- Problema? Poe problema nisso! E wisteria mesmot - Boa ideia - aplaudiu Alice.

- agttou-se o garoto. - Nao contem comigo! - desistiu Tais. - Nao saio Corri ar de riso, Alice interferiu: , desta sombra por nada do mundo! . - Nao va me dizer que voce anda levando a serio as .: - Tudo bern. Podemos ir amanha a tarde - tornou

. hist6rias que os caboclos contam... Beto. - Quem topa? - Nao. Quer dizer. .. Claro que nao! Toparam todos e Alice juntou uma pitada de humoc: _; Entao, qual eo misterio? - cobrou Alice. , - Muito bern, iremos amanha a tarde ... E .. . E ... E se l:ino fez urn intervalo, aparentemente indeciso entre ' o morador for realmente urn fantasma? ... •

p,;osseguir e parar. Por fim, retomou: Ela falou rindo, e Tais embarcou: ' -Born.:. E. 16gico que nao .acredito nessas hist6rias... - Seria 6timo! Poderiamos cobrar ingressos para a vi-Mas, que aquela casa e muito esquisita, isso ela e! sitac;ao e, como dinheiro arrecadado, comprariamos os ins-

li

F"

~-------------------------------- 1 --------------------------------~

trumentos pro nosso conjunto. Puxa, ja faz urn tempao que a gente esta querendo montar urn ...

Com a tirada de Tais, retomaram o tema do dia-a-dia. -Ate que nao seria rna ideia ... - considerou Beto.­

Pelo jeito, s6 conseguiremos os nossos instrumentos atraves de alguma interven<;ao sobrenatural mesmo ...

- Voce falou com o seu pai? - interessou-se Lino. - Falei - disse Beto desanimado. - E ele? - Ele diz que agora o dinheiro anda curto. Lino reagiu com desanimo: - Quer dizer que nada de instrumentos mesmo? - E voce, Lino? Conseguiu alguma coisa? - quis sa-

ber Alice. - Consegui nada- respondeu ele.- Nem tive cora­

gem de tocar no assunto ... Meu pai esta s6 esperando o fim da safra pa':.a ver se nao teremos prejuizo por causa da seca.

- E ... Ainda acho que o melhor seria n6s mesmos ga­nharmos o dinheiro para comprar nossos instrumentos - dis­se Tafs.

- E ganhar onde? Como? - reclamou Lino. Ao que Tafs contrapos com humor: -Ora ... Vendendo ingressos para a visita<;ao publica

ao seu fantasma!

7 4 Fra~Oes se01 Dlisterios

I I Ill • aquela manha luminosa, mal Samuel entrou na

N sala e come<;ou a recapitular.

- Na ultima aula, tivemos as primeiras ideias sobre fra<;6es. Aprendemos o que elas re­presentam e como devem ser lidas. No entanto, e preciso deixar claro que podemos, tambem,

calcular fra<;6es de quantidades... . - Fra<;6es de quantidades? - confundiu-se Marcelao.

- Como assim? - E simples. Para cakular fra<;6es, eu posso conside-

rar coisas inteiras, como uma figura, urn bolo, uma deter­minada area... E posso considerar, tam bern, urn a cei:ta quantidade como algo inteiro.

E, dizendo isso, espalhou o conteudo de urn pacote que trouxera sobre a mesa: vinte ameixas.

- Vamos supor que eu queira calcular dois quintos des­sa quantidade vinte. Primeiro, terei de separa-la em cinco gru-

~

- ~1 .

[,,.

., ·j ·'

1::

.. :

pos, pois o denominador que indica em quantas partes o in­teiro sera dividido e cinco.

Fez urn intervalo para ver se a classe acompanhava a explica<;ao.

- Sao cinco grupos de urn quinto, nao e Samuel? -perguntou Juliana.

E ele devolveu a pergunta: - Sim, e quantas ameixas vao corresponder a urn quinto

nesse caso? - Born, vamos ter que separar os grupos- disse Beto. E assim fizeram:

0 \8:;

OJ \& '(.]-"')_ '(J(J

Samuel foi ate a lousa e representou a situa<;:ao com urn desenho: ,.

1 f 1 1 1 55 55 5 ~~~iggjgg\ggjgg I

E logo Guilherme concluiu: - Ah, urn quinto de vinte ameixas corresponde a qua­

tro ameixas! - E dois quintos correspondem a oito ameixas! -

acrescentou Beto. - E tres quintos sao doze ameixas! - prosseguiu Tafs. Samuel concordou com as observa<;:6es dos garotos e

continuou com a aula: - Esse exemplo deixa claro que n6s podemos calcular

tambem fra<;:6es de quantidades. Nesse caso, o inteiro consi­derado foi a quantidade vinte.

- Eu nunca havia pensado em partes de quantidades assim ... - interveio Juliana.

- Poderiamos, por exemplo, considerar a distancia en­tre duas cidades como algo inteiro. Supondo que uma cida­de A fica a uma distancia de 72 quilometros da cidade B, n6s terfamos ...

Dirigiu-se a lousa e riscou:

~~======~7=2~h~m~====- 5

/----------------------------------------------------------- ~ 19

-Agora, vamos imaginar que alguem saiu da cidade A em direc;ao a cidade B, e andou dois sextos da disUincia entre elas. Como podemos calcular a distancia que essa pes­soa percorreu?

Quem se manifestou foi Alice: - Primeiro, temos de dividir a distancia total de 72 qui­

lometros em seis partes iguais. - Por que? - perguntou Beto. - Ele andou dois sextos da distancia total, nao foi? 0

denominador seis indica que o inteiro foi dividido em seis partes de urn sexto; nesse caso, o inteiro, ou seja, a distancia total, sera representado pela frac;ao seis sextos - explicou Samuel.

E escreveu:

£~n"'m 6

A 72 kl11

? 5

- Agora teremos que calcular dois sextos dessa distan­cia . . . Nao foi isso que voce propos? - lembrou Lino.

- Sim - concordou Samuel. E como faremos isso? - Precisamos achar quanta vale urn sexto- concluiu

Be to. Alice, que se mostrava pensativa, arriscou: - Samuel, eu estava me lembrando que a gente ja

aprendeu problemas mais ou menos assim: se sete lapis cus­tam tanto, quanta custarao cinco lapis?

- E verdade ... - concordou Lino. - A gente tern que descobrir o prec;o de urn lapis e, como prec;o de urn, calcu­lar o valor da quantidade que quiser.

- Muito bern lembrado, turma. Entao, se nos sabemos que seis sextos equivalem a 72 quilometros e precisamos cal­cular o valor de urn sexto ...

- E so dividir 72 por 6 - completou Tais. Alice, que ja havia feito o calculo, adiantou: - Urn sexto de 72 quilometros corresponde a 12 quilo­

metros . - Muito bern - aprovou Samuel, escrevendo:

6 6~72hm

~ __.,. 72:6.::12 A I 12 I 12 I 12 I 12 I 12 I 1'2. I 5 ~

?

- Se urn sexto corresponde a 12 quilometros - conti­nuou ele - , os dois sextos que indicam a disU'mcia percorri-

..

~ ....

L-

~~

.

~

~

da correspondem a duas vezes 12 quilometros. Ou seja, 24 quilometros.

Falou e completou:

~ ~72hm 1 72:6:::12 A 12 12 12 12 12 12 P.\~~- -----:--- - ·-___.., 6-t 't Ln<..~d Uw J:.!l

~ --. Zx12=-24 km ? \ '.~ssocla!fao Oeste_. "-~,,w----

- Muito bern- ia completando Samuel, quando foi interrompido por Marcelao:

- Po! Esse cara nao esta cansado! Andar tudo isso ape! - Bern, ja que ele andou tanto, nos podemos trabalhar

mais urn pouco - observou o professor. - Agora, final ­mente, vamos comec;ar a trabalhar com esses cartoes.

Dizendo isso, foi distribuindo quatro cartoes para ca­da aluno, sendo urn marrom, urn cinza, urn rosa e urn preto, e passou as explicayoes:

- Nos ja temos algumas ideias claras sabre frac;oes ... Daqui para frente, para facilitar o nosso trabalho, vamos uti­lizar urn material que nos mesmos vamos preparar.

Em seguida, Samuel propos a classe: - Comparando esses cartoes, o que voces podem

perceber? - Sao de cores diferentes - observou Tais. - Mas todos tern o mesmo tamanho - percebeu

Juliana. - E isso mesmo- confirmou Samuel, que continuou

suas explicac;oes. - Quando preparamos urn material de fra­c;oes como este, e preciso que os inteiros sejam do mesmo tamanho, a fim de que possamos comparar as frac;oes que viermos a encontrar.

- Por que os cartoes sao de cores diferentes? - per­guntou Juliana.

- Porque isso facilitara o nosso trabalho, quando co" meyarmos a compara-las.

- Mas os cartoes poderiam ser rnaiores . .. - interveio Marcelao.

- 0 tamanho e a forma poderiam ser outros ... 0 im­portante e que os cartoes usados tenham o mesmo tamanho e a mesma forma entre si.

Em seguida, Samuel pegou o cartao preto eo mostrou para a classe.

- Nos vamos considerar este cartao preto como sendo 0 nosso inteiro padrao. lsso quer dizer que nos nao vamos corta-lo, pois ele servira para as nossas comparayoes .

"I

II··

l•11

20 ~ 21

- Agora, peguem o cartao man·om, dobrem ao mcio como este aqui ...

- Eu ja dobrei - adiantou-sc Lino. - 6timo! Estou vendo que todos dobraram seus car-

toes marrons em duas partes ... E, assim, cada parte passa a representar urn meio do nosso inteiro, correto?

Como todos concordassem, ele prosseguiu: - Agora, voces vao cortar este cartao no local da do­

bra e escrever a fra<;ao correspondente a cada uma das partes ...

Depois que os alunos cortaram e escreveram, pediu: - Coloquem, agora, as partes cortadas sobre o cartao

preto e comparem. E os garotos assim fizeram.

- Legal! Cada parte marrom representa urn meio do nosso inteiro! - observou Tais.

- E as duas partes marrons juntas sao dois meios -completou Juliana.

Samuel concordou com as garotas e questionou:

~ ··

- E quando colocamos os dois meios em cima do car­tao preto, que e 0 nosso inteiro, 0 que notamos?

- Que eles tern o mesmo tamanho do inteiro. E isso, Samuel? - indagou Guilherme.

- Tinha de ser! Antes de a gente cortar, eles nao ti­nham o mesmo tamanho? - comentou Lino.

Samuel ouviu as observa<;6es e confirmou: - E isso mesmo. Dessa forma, n6s comprovamos que

dois meios valem o mesmo que urn inteiro. Ou nao? - Valem! - concordou a classe em coro. - Hummm .. . E por que o denominador da fra<;:ao que

corresponde a cada cartao marrom e dois? - perguntou Samuel.

-Ora, porque dividimos o inteiro em duas partes! -respondeu Alice.

- Eo numerador da fra<;:ao correspondente a cada parte. marrom e urn, porque cada parte e uma parte - completou Lino.

- Conclusao brilhante! - brincou Tais, virando-se pa­ra o amigo.

- Perfeito! Suas observa<;6es estao corretas- concluiu Samuel. - Notem que o importante e saber o porque de tu­do que fazemos.

A classe concordou e ele sugeriu: - Vamos registrar nos cadernos as observa<;:6es que

fizemos? E ja se voltou para a lousa, escrevendo:

a) z 1rv T -Que sinal e esse ai, Samuel?- alarmou-se Juliana. -Eo simbolo matematico para equivalencia. Ja que

dois meios valem o mesmo que urn inteiro, podemos usar esse simbolo para representar isso.

Os jovens anotaram e o professor seguiu adiante. - Cada urn de voces vai pegar, agora, urn carUio cin­

za,. dobrar ao meio como o marrom e corta-lo. Deixem as partes juntas e nao escrevam nada ainda.

- Assim, Samuel? - perguntou Beto.

- Ficaram iguais as partes do cartao marrom - no­tou Marcelao.

- E mesmo - disse Samuel. - Entao, peguem cada parte cinza, dobrem ao meio e cortem novamente.

Samuel deu urn tempo para a prepara<;:ao e tornou: - Cortaram? 6timo! Coloquem, entao, as quatro par­

tes cinza sobre o cartao preto e escrevam em cada parte a fraGilO correspondente a ela:

• '', i "'t, '}'!.~

1 ,,.i(.l

• >• ' •, ',l

I ,-4 ,,'•'-11 r '• I ~

~ oN!1!1 It ',, ' 1 Ill • I•.J,

- Cada parte ficou sendo urn quarto do inteiro - cons­tatou Beto.

- E quando a gente junta tudo, fica com quatro quar­tos, que e o mesmo que urn inteiro - concluiu Guilherme.

Samuel concordou e considerou: - Desconfio que voces ja estao percebendo para que

servirao estes cartoes ... -Para que a gente possa comparar, nao e isso?- ten­

tau Tafs. - lsso mesmo. Na lousa, ele completou:

2. 4 ct) 1 rv 2 ""-' 4 - Ja anotaram? Vamos continuar. .. Peguem, entao,

uma parte marrom e comparem com duas partes cinza. Ou seja, comparem urn meio com dois quartos e vejam o que descobrem ...

Os alunos fizeram conforme o proposto:

- Que legal! U m meio tern o mesmo tamanho de do is As trar;:aes que repre-

quartos - exclamou Beto diante da descoberta sentam am esma pa!-. te do mtelfo sao

- Observa<;:ao correta! Nesse caso, dizemos que as fra- cham adas fr a<;:oes <;:oes urn meio e dois quartos sao fra<;:oes equivalentes. Em eqwvalentes.

outras palavras, as duas representam a mesma parte do inteiro .

- Quer dizer que se eu dividir o inteiro ao meio e pe­gar uma parte eo mesmo que dividir o inteiro em quatro par­tes e pegar duas? - perguntou Marcelao.

- Exatamente a mesma coisa- observou o professor. Lino pos o indicador na testa, como se houvesse desco­

berto algo e disse: - Entao, se eu comer meio bolo ou dois quartos de bo­

lo, estarei comendo a mesma quantidade? -Claro que sim. Desde que os bolos tenham o mesmo

tamanho. Entendido? Coloquem a nova observaGilO no nos-so resumo.

2 4

a.) 1rv Z "'-' 4 2 b) ~ rv 4 Depois de registrar no caderno, Alice considerou: - Lino tinha de por urn bolo no meio eta questao! - Eu nao pus o bolo na questao, apenas trouxe a ma-

tematica para o clia-a-clia - clevolveu ele. 0 professor, que ouvia atento, interveio: - Entao, responda, Lino ... Voce comeria mais bolo se

comesse clois meios ou quatro quartos? Lino pensou urn pouco antes de responder: - Comeria a mesma quanticlacle, porque clois meios

equivalem a quatro quartos. As cluas fraG6es representam a mesma quanticlacle, que e urn inteiro.

- E Lino comeria mesmo!- aparteou Tafs.- Preci­sa ver como ele come!

A classe riu muito com o gracejo de Tafs, e logo Sa­muel prosseguiu:

- Vejamos, agora ... Se eu pegar tres peclaGOS cinza, que fraGilO terei?

- Se cacla cqrtao cinza representa urn quarto, tres cle­les serao tres quartos - concluiu Beto.

- Perfeito- aprovou o professor. -Vamos passar, en tao, ao cartao rosa ... Dobrem-no em oito partes iguais e cortem-no nas dobras.

Samuel acompanhava o trabalho. Os alunos dobraram ao meio, obtenclo cluas partes e cortaram. Novas dobras ao meio, e novos cortes, agora quatro partes. E, novamente, cor­tanclo as quatro partes, conseguiram oito cartoes iguais.

Tafs terminou e constatou: - Cada uma clessas partes rosa representa urn oitavo,

pois o inteiro foi dividiclo em oito partes iguais. Sob a orienta<;:ao de Samuel, os alunos marcaram a fra­

<;:ao corresponclente a cacla parte. Em seguicla, colocaram os oitavos sobre o cartao preto que representava o inteiro:

- Entao- concluiu Beto - oito oitavos eo mesmo QUe um intciro.

- Muito bern- cumprimentou Samuel que, em segui­da, pegou as seguintes fra<;:6es e as comparou:

;~~ :~:.:'.'

1 2.

., ' , . ·,: .. _,,. 1 , "' 'l: ~ 'wl "' , A '· ,

(; • ~ )>' ', ';_1'1; ! 'I ' ' ;.:'" .

;, , ""l :':t~P '· - ~\";' s

..... ,,

Os alunos fizeram o mesmo em suas mesas e nao de-111oraram a perceber:

- Urn meio, dois quartos e quatro oitavos sao fra<;:6es equivalentes- disse Tais. - Todas representam metade do inteiro.

- lsso mesmo!- concordou Lino.- Repartir ao meio e pegar uma parte e o mesmo que dividir em quatro partes e pegar duas ou dividir em oito e pegar quatro partes.

- E ainda tern mais - observou Beto, mostrando as seguintes fra<;:6es:

- Da pra notar, tambem, que urn quarto e equivalen­te a dois oitavos.

- Muito bern, Beto. Vamos aproveitar a sua observa­~ao e registni-la. Venha ate o quadro e complete o resumo.

a) 1 rv _g_ I"V ±. rv ~ 2. 4 8

b'\ ..L "-' .£ rv ± /2 4 g

c)-1 "--'~ 4 g

Como Samuel comc<;:asse a recolhcr o material, Marce­lao quis satisfazcr uma curiosidadc:

- 0 material que vamos preparar c s6 esse? - Nao. Aguarde que amanha n6s continuaremos - avi-

sou Samuel.

0 fantas01a -assa pao tarde, os quatro se reuniram para realizar a sen-

A I sacional expedi<;:ao a casa abandonada. Lino foi o tiltimo a chegar.

1 - Que demora! - criticou Tais . - Pensa­mos que o fantasma tivesse sumido com voce!

- Desculpem ... E que aproveitei para dar uma examinada, quando vinha para ca.

- E dai? Encontrou o fantasma da colina? - brincou Be to.

Lino esperou que cessassem as brincadeiras e passou aos fatos:

- Nao descobri nada e isso eo mais estranho. Ontem, havia fuma<;:a saindo da chamine; hoje, tudo esta quieto de novo, nenhum sinal de vida.

- Bern . .. Acho que a (mica maneira de descobrir se ha alguem ou algo naquela casa e indo ate Ia averiguar ...

_c_ Beto tern razao! Vamos?- convidou Alice, que nem bern terminara de falar e ja foi se colocando a frente do gru­po, seguida de perto pela Tais. Os dois garotos seguiram lo­go atras.

0 acesso mais facil era pela estrada, de maneira que des­ceram ate o a~ude e tomaram a direita, dire~ao onde mora-

vam Lino e Samuel. E transposta a grande subida, avista­ram a casa abandonada no extremo de urn terreno plano.

- La esta ela - apontou Lino. - Como e que pode ~ sair fumac;:a da chamine de uma casa abandonada?

Ninguem disse nada. E como se criasse novo impasse, Alice avan<;ou mais uma vez, comandando:

- Se saiu fuma<;a, tern fogo! E se tern fogo, tern gen­te! Vamos p6r tudo em pratos limpos!

- E ... Se nao formos, continuaremos sem saber. .. -apoiou Beto, acompanhando a amiga.

- Por via das duvidas, e melhor nao nos afastarmos muito uns dos outros ... - sugeriu Lino.

- Ei, olhem aquilo! - apontou Alice . - Fuma<;a - constatou Beto. - Pelo visto, temos mesmo urn novo vizinho ... Vamos

torcer para que nao seja nenhum chato! - comentou Tais. Desceram a encosta que se formava entre o leito da es­

trada e o plano onde se assentava a casa. Quando ja se en­contravam bern pr6ximos, Beto pressentiu:

- Esse fantasma cleve preparar urn cafezinho delicioso! - Humm .. . E mesmo! Tambem senti o cheirinho! -

apoiou Alice. - Ja posso ate adivinhar - prosseguiu Beto. - Deve

ser uma daquelas velhinhas simpaticas, que tomam cafe com bolinhos a tarde. 0 0

- Tambem pode ser uma daquelas velhotas de preto, com verrugas no nariz, que preparam sopas de sapos e ara­nhas ... - riu Tais.

Sentindo-se o alvo da tro<;a, Lino tratou de desconversar: - E claro que se houver alguem ai sera uma familia ou

uma velhinha simpatica, como disse Beto ... Voce tern cacla uma ...

A frente da casa estava fechada, os jovens deram a vol­ta, tentando a porta da cozinha. Pelo vao entreaberto, vi­ram a mesa forrada com toalha muito branca. E sobre ela urn belo pao caseiro, alem de uma bandeja com urn bule de cafe e uma canequinha de esmalte em vo.lta .

- Oi de casal Bateram, chamaram, mas nao apareceu ninguem. - Ue ... Sera que nao tern ninguem?- estranhou Beto. Muito concentrado, Lino examinava o teto da cozinha,

como se o dono da casa pudesse estar dependurado na cu­meeira.

- Muito esquisito - comentou ele. - 0 que e que tern de tao esquisito, Lino? A dona ou

o dono da casa deve estar dormindo! Ou saiu por ai, pelo mato!

28

Beto chamou mais uma vez: - Oi de casal Tern alguem ai? Sem resposta, Tais empurrou a portae entrou ate o pon­

to que dava passagem para a sala. - Nao ha ninguem mesmo ... 56 se estiver no quarto ... Os demais entraram e se reuniram a garota. Alice nao

tinha duvidas: - 0 dono da casa acabou de coar o seu cafe e foi tirar

urn cochilo. Melhor a gente voltar outra hora. Nao fica bern invadir a casa das pessoas assim.

Alice mal tinha silenciado, quando ouviram as suas costas:

- Que moc;:ada bonita! De onde surgiram voces? Pegos de surpresa, voltaram-se para ver quem falava.

E Lino por pouco nao desmaia de susto, o que nao passou despercebido a senhora, de pe junto ao batente da porta.

-Credo, menino! Parece que viu fantasma! Cairam todos na gargalhada; Lino e que nao sabia on­

de esconder o rosto. 0 fantasma tao temido chamava-se do­na Rosa e nao passava de uma senhora muito simpatica.

Enquanto saboreavam o cafe com o delicioso pao ca­seiro, a senhora contou:

- Durante anos, meu irmao Jose economizou para comprar este sitiozinho, pensando em viver aqui, logo que se aposenta.sse ... Conseguiu comprar a propriedade, porem faleceu dois anos antes de completar os trinta e cinco de servic;:o ...

- lsso e coisa da vida ... - comentou Tais. - Po is e ... Ele mal conheceu o sitio, pois vi via muito

atarefado ... Como era solteiro, eu herdei a propriedade, mas tambem precisei esperar alguns anos ate obter minha apo­sentadoria. Sou enfermeira.

- Bern ... Pelo menos, a senhora tera uma vida tran-qi.iila ... Nao precisa mais trabalhar. .. - considerou Tais.

A mulher estranhou: · - Que e isso, menina! Quero ver esta terra produzir! - Eu acho que a senhora faz muito bern - interveio

Alice. -Mas pelo que nos contou, nao tern experiencia com a terra ... E tam bern nao esta facil conseguir empregados por aqm ...

- E verdade, dona Rosa - endossou Beto. - Alice fala por experiencia propria, os pais•dela vivem do cultivo da terra.

- Jamais imaginei que seria facil. A aposentadoria que recebo e as economias nao sao muito ... Nao poderia sequer pagar empregados ...

Os garotos entreolharam-se constrangidos. Por fim, Beto se manifestou:

- Nao entendemos, dona Rosa ... Se a senhora nao tern experiencia e tam bern nao tern como pagar empregados ... Nao pode fazer todo o trabalho sozinha ...

A mulher nao se perturbou. - Qual e a dificuldade, garotos? Eu dou sociedade na

produc;:ao! Ofere<;:o terra, sementes, ferramentas e cinqi.ien­ta por cento do que colhermos, como pagamento pelo tra­balho. Eu sei que muita gente faz isso.

- 0 que a senhora quer e urn s6cio para OS Jucros e tam bern para os riscos ... E isso? - indagou Tais.

- Exatamente, menina! Quando alguem depende do que vai produzir, tenho certeza de que da mais aten<;:ao e cui­dado ao que faz!

0 que parecia J6gica a mulher deixava OS garotos mu­dos. Mais uma vez, Alice senti u-se na obrigac;:ao de ser franca:

- Dona Rosa ... Tenho a impressao de que nao sera facil conseguir alguem nessas condic;:oes. Falta mao-de-obra na regiao ...

- Todo mundo esta indo para a cidade- apoiou Lino. - Nem todos- riu ela.- Muitos estao vindo das gran-

des cidades para o campo. Concorda? - E verdade - concordou Lino. E juntou:- De qual­

quer forma, pode contar conosco . Tentaremos encontrar alguem ...

- Eu sei que posso contar com voces . Os jovens se despediram e, ao atingirem a estrada, Tais

comentou: - Bern ... Agora, sabemos que temos uma vizinha de

carne e osso .. . -E ... Pena que com aquele projeto ela nao vai muito

Ionge - lamentou Lino. Beto nao estava muito certo disso. - Depend e ... Se ela encontrar a pessoa certa, sera urn

born neg6cio para os dois lados. -Voce conhece alguem para indicar?- indagou Alice. - Eu estava pensando ... Em vez de pegar uma pessoa

com pratica, ela poderia pegar varias sem pratica ... - Eu acho que assim a dificuldade aumenta - retru-

cou a garota. - Pois eu acho que nao - devolveu Beto. Tais encurtou o passo para indagar: - Ah, nao? Quem seriam essas pessoas? - N6s quatro. - N6s? -- espantaram-se todos.

- Apesar de niio sermos lavradores, temos muito mais experiencia que ela. Sempre vivemos no campo. E pensem s6 no que poderiamos comprar com a nossa parte da so­ciedade ...

Tais bobeou por urn instante; em seguida, seus olhos brilharam.

- Beto! Voce e urn genio! Poderiamos comprar nos­sos instrumentos!

- E niio se esque~am de que Alice tern pnltica com plan-ta~oes - lembrou Beto.

Alice nao esperou mais: - Eu topo! - Sera que ela aceita a gente? - perguntou Tais. -

Dona Rosa pode niio nos levar a serio - disse Lino desani­mado.- Tambem tern a escola -lembrou Alice.- S6 po­deriamos ajuda-la meio periodo.

- Eu tenho a impressao de que ela topa. Niio sera fa­cil ela conseguir alguem - reforGOU Beto.

- 0 que estamos esperando, entiio? - interrogou Tais. - Vamos voltar Ia e dizer que aceitamos a sociedade!

Beto, porem, nao tinha pressa.

- Devagar, Tais. Eu acho uma boa ideia, mas e me­lhor pensarmos mais sobre o assunto. Alem disso, precisa­mos consultar nossos pais.

- Beto tern raziio, e muita responsabilidade- concor­dou Alice. - Vamos pensar melhor nos pros e contras.

- Por mim ja esta pensado! Se dependesse de mim, amanhii mesmo a gente come~ava a plantar os instrumen­tos! - brincou Lino.

Os jovens riram muito e partiram para casa com o co­ra~iio tocando num ritmo forte.

No co01passo das &a~Oes

N o dia seguinte tiveram aulas normais, sendo a

ultima a do Samuel. Assim que entrou na sa­

la, ele distribuiu outros cartoes coloridos, do ,

mesmo tamanho dos que havia distribuido no dia anterior, e orientou os alunos a prepararem as seguintes fra~oes:

~

1 1 1 ~ ~ q

1 1 1 9 ~ if 1 j_ 1.. ~ ~ 9

Dessa maneira, cada parte vermelha representava urn terGo; cada parte bege, urn sexto; e cada parte branca repre­sentava urn nono.

Alguns alunos logo notaram novas fraG5es equivalen­tes. Pegaram os cartoes correspondentes e demonstraram:

1 q 1 '3

..L g

rr I

1 ~11 I Ii i

i \!\\1

1

l

1l1

r II 11

II

~1111 1:

'II

I ill

I

~I

.

E todos perceberam que urn ten;:o e equivalente a dois sextos e a tres nonos, porque todas essas frac;6es representa­varn a terc;a parte do inteiro, bern como notaram que tres sex­tos e equivalente a urn meio. E continuaram a completar o resumo do dia anterior em seus cadernos:

a' 1"-' ~"'"' 3 "-' 4 "-' ~ "-' ~ "V !1_ ., z 3 4 6 8 9

b'i"\J ~ "-' ± rv ~ 'lz 4 g 6

c) ..LtV 2 4 8

d) ..L "-' .£ rv 2.. 3 6 9

Nesse momento Samuel pediu que os jovens observas­sem atentamente as frac;6es equivalentes que haviam acaba­do de perceber. Em seguida, dirigiu-se a lousa e disse:

- Todos ja sabemos que urn terc;o e equivalente a dois sextos, e a tres nonos, dessa forma podemos observar o se­gui 11te ...

E escreveu:

1 I

3 x z 6

1 ;) 3 -=-3 -- 9

- lsso significa que podemos encontrar frac;6es equi­valentes fazendo multiplicac;6es? - interessou-se Tafs.

- Exato. Podemos encontrar equivalencias como fize­mos ate agora, comparando as partes; ou como acabamos de descobrir. Notem que se multiplicarmos o numerador e o denominador de uma frac;ao por urn mesmo numero, des­de que nao seja zero, encontraremos uma frac;ao equivalen­te a ela.

- E mesmo!- confirmou Lino. Se multiplicarmos os terrnos da frac;ao urn meio por quatro, encontraremos qua­tro oitavos.

E Samuel escreveu na lousa:

E ratificou:

1 x4 2 x4

= 4 g

- Multiplicando os termos de uma frac;ao por urn mes­mo numero, diferente de zero, encontramos sempre uma fra­c;ao equivalente a ela.

Como estivessem todos de acordo, ele propos:

I ~----------------~~

•\$'

. ~.

~ I

- Respondam, agora ... Se eu tiver a frac;ao quatro oi­tavos, que operac;ao matematica deverei realizar com seus ter­mos para voltar a urn meio?

4 ? - 1 8 ? - 2

Todos os alunos se puseram a pensar e Alice disse: - Se multiplicando o numerador e o denominador da

fra<;:ao urn meio por quatro encontramos quatro oitavos, entao ...

- Ja sei! - disse Beto. - E s6 dividir o numerador e o denominador por quatro!

Todos concordaram, pois haviam chegado a mesma con­clusao. Contente com a descoberta dos jovens, Samuel com­pletou, escrevendo na lousa:

1 ~ - 4 1 =-4 2 4 - g 8 1 2

-Com isso, percebemos a propriedade fundamental das fra<;:6cs: multiplicando ou dividindo os termos de uma fra<;:ao por urn mesmo numero, diferente de zero, obtem-se uma fra<;:ao equivalente a frac;ao dada.

- Jsso vale para qualquer fra<;ao que imaginarmos? -indagou Tais.

- Vale. E notem o seguinte: apesar de trabalharmos nesse material s6 com alguns exemplos de fra<;:6es, elas sao infinitas. Nos preparamos esse material para que voces pu­dessem entender bern o conceito de frac;ao, mas nem sempre trabalharemos com cart6es ... Ate porque seria impossivel pre­parar infinitos cart6es ... Certo? Vamos, entao, verificar nos­sos conhecimentos sobre as fra<;:6es, agora sem usar os cart6es.

Dizendo isso, desenhou:

~ .

. .

E perguntou: - Beto ... Que frac;ao a parte riscada da figura re-

presenta? - Humm ... A figura esta dividida em quatro partes,

das quais tres estao riscadas ... Portanto, sao tres quartos.

Propriedade lunda · mental das frar;6es: Multiplicando ou divi· dindo (quando possi vel) os termos de uma frar;ao par urn mesrno numero natural, dife· rente de zero, obtem· se uma frar;ao equiva· lente a frar;ao dada.

Samuel escreveu a fra<;:ao ao !ado da figura e, desenhan~ do novas figuras, chamou alguns alunos para colocarem as fra<;:oes correspondentes:

.

~ ~ 2 1

6 4

JA @9._·.·· ., '

"" 3 1 4 3

2. 4

5 6

1 2

Enquanto Samuel foi fazer a chamada, cada urn come­<;:ou a guardar o jogo de . fra<;:oes que havia preparado. Per­cebendo isso, Samuel avisou:

- Nao guardem as fra<;:6es que prepararam. Coloquem aqui nesta caixa, pois de agora em diante usaremos esse ma­terial em conjunto, e logo voces saberao por que.

Em seguida, pediu que Lino pegasse cartoes que repre­sentassem a fra<;:ao cinco quartos.

- Deverei pegar cinco cartoes de urn quarto . E dizendo isso, colocou-os no paine! que Samuel in­

dicara:

1 4 .

1 " 4

- Muito bern ... Verifique se com as quantidades que tern chega a formar algum inteiro . . .

- Quatro quartos ja formam urn inteiro!. .. E sob orienta<;:ao de Samuel, Lino arrumou os cartoes:

I ~

1 Dl 4

1 1 4 4

Tais adiantou-se e observou: - Da maneira como estao colocados os cart6es, pare­

ce que temos urn inteiro e ainda urn quarto . - Justamente - confirmou Samuel.- As fra<;:6es que

representam quantidades maiores que o inteiro podem ser es­critas em forma de numero misto por terem uma parte intei­ra e outra fracionaria!

- Disse c escreveu:

2... ou. 1 j_ 4 . 4

A seguir, propos varias fra<;:6es, pedindo aos compo­nentes da classe que pegassem os cartoes e as representas­sem, formando os possiveis inteiros. E, depois, fixaram os exemplos no paine! e escreveram as conclusoes:

8 30Lt 2~

3

1 9 1 9 1

1 2

1 q

j_ 9 1

1 q 1 q _1

fj~ I

L~~ I _j

I ~ I I· ~ I

I~ I I~ I~ I 1 ~~~~~~----~ 13 4

q g '::}

9 Ott- 1-9

Nesse momento, a fim de dar continuidade ao estudo de fra<;6es, Samuel dividiu a classe em tres grupos e para ca­da urn deles propos que, usando os cartoes, representassem as fra<;6es das etiquetas que ele distribuia. Cada grupo pre­parou o que !he foi proposto, colocando tudo nos respecti­vos paineis, ficando assim:

0

1 3

0

z ~ OLt 1G

~ OIA-2.4 '1 4 .

1 ]_ ou. 3 2 2

0 3 3 Ott, 1

s 4 OLt 2

4 ott2 2

.2. ou., 3 3

Depois de tudo preparado, Samuel pediu que todos ob­servassem atentamente os paineis e descobrissem as diferen­<;as entre as fra<;6es apresentadas em cada urn deles.

- 0 grupo A tern fra<;6es que nao chegam a formar urn inteiro - constatou Alice.

- 0 grupo B chega a formar inteiros e tern mais algu­mas partes alem dos inteiros formados.

- E por que as fra<;6es do grupo C nao estao com as do grupo B? Elas tam bern formam inteiros? - indagou Tais .

Foi Beto quem !he respondeu: - E que as fra<;:oes do grupo C representam inteiros sem

mais nenhuma parte. Sao so inteiros mesmo. Veja, formam urn, dois, tres inteiros ...

0 professor ouviu satisfeito os resultados das observa~ <,:oes e concluiu :

- Voces observaram corretamente. So falta, agora, sa­ber que nome recebem essas fra<,:oes ...

- Ah, elas tern nome? - estranhou Tais. - Tern . 0 paine! A apresenta fra<;oes proprias; o pai-

ne! B, fra<,:oes improprias; e o paine! C, fra<,:oes a.parentes. Foi ate a lousa e fez un1 resumo das explica<;ocs:

Fr~o P-r6P-ria t a~uela t,tue repre.~.ent~ park do er.ro. Porta.-tto t me.-tOr '-f'Ue. U+tt mtttr6.

fra~ao i.mJ:lrom:t.o. i aquell.\. G.}!te conttl;t\ "W\ o~.t mai1 ~ie~r<». POrtanto u~d.- fr~ ~ wu:uor que o ~~ro. ·

Fra{ao ~~arettte i a iMPr6pria .aue.. equivale. a udeirm. 0-numetaclor i mlllfaplo dO denominador.

. E propos, em seguida, exercicios para que o grupo de­terminasse a fra<;ao, bern como a sua classifica<,:ao . Para alc­gria de Samuel, o grupo resolveu as questoes.

~ 7

' >

5 ( ' . ) g propra.a

~ i ( propna)

~~'?ti1] ar ... ~'C3 • ! (ap~re.nte.) ~J II ~ (impropri~)

•• fl})rf!J~ ~ (aparet1te.) ~ (improprla.)

- Muito bern. Voces estao mesmo a(iados em fra<;:ao. Adivinhem, agora, qual e 6 proximo passo?

- Nao consigo imaginar - reconheceu Beto . - Nem eu - secundou Alice. Foi a conta de falarem e bater o sinal. - 0 proximo passo e entrar naquele confort<ivel fusca

e tocar para casa, que meu est6mago esta roncando de fo­me! - disse Tais inspirada.

- lsso mesmo - disse Samuel, entregando-lhe as cha­ves. - Podem tomar seus lugares que num minuto estou Ia. E so o tempo de lavar as maos.

'!

( .

. Fra~io , .

na pratica urante a noite que sucedeu ao encontro com do-

D na Rosa e no dia seguinte, os jovens consultaram seus pais sobre a ·ideia, conversaram demorada-

. me~te com Sa_muel e, principalmente, discutiram m u tto entre Sl. '"\

·Os pais nao viam nada que pudesse repro-var o projeto dos garotos, embora alertassem para a dificul­dade do trabalho e para a responsabilidade que assumiriam diantc da nova vizinha, que, afinal, estaria contando com os resultados da empreitada.

Samuel nao so se entusiasmou com a ideia, como aju­dou a convencer os pais de Alice, que se mostraram um tan­to relutantes de inicio. E, assim, numa tarde, logo apos a volta da cscola, rumaram em dire<;:ao a casa branca, com a deci­sao tomada.

A dona da casa, percebendo que os garotos mantinham­se de pe, convidou:

- Sentem-se, que eu vou cortar este bolo de mandioca . - Nao precisa se preocupar, dona Rosa. Nos viemos

porque precisamos falar com a senhora. - Ora essa, Beto ... Voce e o Beto, nao e? - Sou eu mesmo . - Sente-se e sirva-se de bolo . Podemos conversar, en-

quanta comemos . Sem dar treguas, a mulher cortou o atraente bolo, que

estava no centro da mesa, e serviu um por um. - Obrigada, dona Rosa - agradeceu Alice. - Humm ... Esta uma delicia! - elogiou Beto. - Comam a vontade! E, agora, se quiserem adiantar

o ass unto que os trouxe, estou ouvindo ... Os olhosdo grupo se voltaram para Beto, que havia si­

do escolhido como o porta-voz. Meio sem jeito, ele come<;:ou: - E sobre a conversa que tivemos anteontem, quando

nos conhecemos e falamos sobre os problemas que a senho­ra encontraria para conseguir ajuda no trato da terra ...

- Xiii ... Esta mesmo complicado! - desabafou ela. - Ainda hoje passaram dois trabalhadores ai na porta, mas ninguem quer arriscar por causa da seca. Querem ganhar por dial

- E ... 0 pessoal esta com medo de nao colher nada - observou Alice.

- Eu sei disso. 0 probJ-ema e que realmente nao tenho como pagar; so mesmo com parte da colheita.

Os garotos entreolharam-se sem saber se ficavam tris­tes pelas dificuldades da senhora ou sese alegravam pela pers­pectiva que as circunstancias lhes ofereciam. Como Beto hesitasse, Lino cutucou-o e ele se abriu:

- Bern, dona Rosa ... N6s nao somos exatamente tra­balhadores rurais, mas temos alguma pnitica .. . Principalmen­te a Alice, que ajuda os pais dela ...

- Esperem ai. . . Deixem-me verse eu estou entenden­do direito ... Voces estao se oferecendo para trabalhar comi­go? E isso?

Antes que Beto abrisse a boca, Lino descarregou: - E isso mesmo, dona Rosa! A senhora aceita? A mulher ficou sacudindo a cabe<;a, como se nao acre­

ditasse. Em seguida, questionou: - Voces entenderam bern a proposta que eu fiz? - Entendemos - respondeu Tafs. - Dinheiro s6 na

colheita, se houver colheita! - E consultaram os seus pais? - Sim, n6s falamos com cles- tranquilizou Lino . -

Nao ha problema! - Voces sabem melhor que eu: trabalho no campo nao

e facil. .. E assim mesmo estao dispostos? - tornou ela, co­movida com a iniciativa dos garotos.

- Por mim come<;ava agora mesmo!- respondeu Li­no entusiasmado.

Os olhos deJa brilhavam; por pouco nao se encheram de lagrimas. Beto percebeu e juntou:

- Verdade que s6 poderemos dar nossa contribui<;ao no perfodo da tarde ... Alem de que, algumas vezes, teremos trabalhos escolares ou precisaremos estudar . ..

Sem palavras, dona Rosa levantou-se, contornou a mesa e abra<;ou-se a Beto. Depois, voltando-se para os demais, disse o que todos esperavam com ansiedade:

- Voces estao empregados! Ou melhor, sao meus s6-cios no que produzirmos!

Alegrifl maior, impassive!. Abra<;aram-se todos e, em seguida, selaram o compromisso com urn delicioso cafe coa­do na hora.

No entanto, a alegria maior era da mulher. - N6s conseguiremos ... S6 precisamos confiar em nos

mesmos ... - Claro que conseguiremos - endossou Alice. - Meu

pai disse que a terra daqui e muito boa!

~ ~ , .•

' J•

.,

----------------~

- Dona Rosa .. . A senhora ja pensou no que plantar? - indagou Beto, objetivo.

E!a nao titubeou: - Come<;aremos com as coisas mais simples ... Verdu­

ras e legumes . Produzem mais depressa e garantirao pelo me­nos a sobrevivencia. Que acham?

- Esse tipo de plantio precisa de muita agua- preve­niu Alice.

- A agua existe, h<i varias nascentes Ia em cima. S6 pr~ cisamos puxa-la para baixo.

- Uma mangueira- sugeriu Lino. - Exatamente - aprovou ela. - Vamos canalizar a

agua. Depois da eu foria, Be to passou a pratica: - Precisamos conhecer os Iimites do terreno ... A mulher saiu a portae mostrou: - Notem que o terreno e quadrado. Tem cem metros

de !ado, e gostaria que a metade dele ficassc para a casa e para o espa<;o livre.

- Entao- disse Beto -, vamos plantar na outra mc­tade, a que beira a cstrada.

Nesse momento, Tafs pegou um bloco de papel da bol­sa e desenhou apcnas a parte do tcrreno destinada ao plan­tio, dividida em quatro partes iguais:

[]]]J 100m

- E is so af - concordaram os demais. - Agora e s6 calcular que parte do terreno correspondente a planta<;ao ca­bera a cada um de n6s.

- Se o terreno para plantio tern cern metros de com­primento ... - propos Alice - dividindo por quatro ...

- A cada urn de n6s correspondera uma parte equiva­Jente a 25 metros - concluiu Lino.

E indicou no desenho que Beto havia riscado:

Z5m 25m 25m 25m __.._, _..._ _...._ _..._

IJilGJll ~

. foom

r ~~~~

1

111

I

I

Ill

1111

Ill

I I' .I

~---------------

3 1 - =-6 2

Entao, questionou: - Qual dessas frac;:oes parece a mais simples? -Urn meio - tornou ela sem hesitar. - Certo. Eu posso considerar urn meio como a simpli-

ficac;:ao de tres sextos- concordou e interrogou: - Voces estaci lembrados da propriedade fundamental das fra<;:oes?

7

~~ ·

- ! f I I

Ap6s urn curto silencio, Beto falou: - E aquela que diz que podemos multiplicar ou divi­

dir os termos de uma frac;:ao por urn mesmo numero .. . Nao e isso?

- E como resultado, encontraremos uma frac;:ao equi­valente - completou Juliana.

- Estou vendo que voces ainda se recordam ... Agora, pensem nessa propriedade e me digam que calculo temos de fazer para simplificar tres sextos em urn meio?

- Ora, Samuel. .. E s6 dividir os termos da frac;:ao por tres - respondeu Lino. ·

Samuel foi a lousa e indicou:

E concluiu:

3 · 6 ·

1 -2

- Pprtanto, para simplificar frac;:oes, dcvcmos dividir os scus termos por urn mesmo numero, que seja divisor do numerador e do denominador ao mesmo tempo.

E voltou a escrever:

4 12.

Ap6s o que, questionou: - Como faremos para simplificar a frac;:ao quatro do­

ze avos? - Podemos dividir ambos os termos por dois- suge­

riu Tais.

4 :2 12. :2

=2: 6

Quando Samuel terminava de escrever, Alice sugeriu: - Ainda da pra dividir por dois de novo! Ele gostou da intervenc;:ao e completou:

4 :z Q :z 1 --= =-12:2 6 : '2 3

- Espere ai, Samuel. .. - pediu Beto. -A gente nao poderia simpli ficar de uma vez s6, dividindo por quatro?

45

\

- Era isso mesmo que eu queria que voces percebessem. E registrou conforme o proposto:

4 :4 12:4

;j_ 3

- As duas maneiras de simplificar estao corretas, mas o Beto percebeu que quatro e o maior numero possivel pelo qual os termos da fra<;ao poderiam ser divididos. De qual-· quer forma, 0 importante e chegar a uma fra<;ao irredutivel. ..

- lrredutivel? - interrogou Marcelao. - Uma fra<;ao que nao possa mais ser simplificada. E propos varias fra<;6es para serem simplificadas: - Se voces perceberem qual e o maior divisor dos ter­

mos, a simplifica<;ao tera urn numero de passagens inenor e sera mais rapida.

4 :2. Q 6 :2 3 =- =-

6 :2 3 10:2 5

5 :5 1 30 :10 3 -- =--100:5 20 160 :10 16

Para simplificar uma frar;:§o, deve-se dividir seus termos por um mesmo numero natu­ral, diferente de zero, obtendo-se dessa for · ma uma frar;:ao equi­valente 8 frar;:iio dada.

As frar;:6es que niio podem ser simplifica · das s§o chamadas ir ­redutlveis. Exemplo: 1 4 11 14

Como a turma dominasse o assunto com facilidade, ele l£'o' T.'1' 75"· I deu prosseguimento a aula para que OS alunos conhecessem outros aspectos das fra<;6es.

- Agora, vamos ver como somar ou subtrair fra<;6es como mesmo denominador. Para isso, voltaremos a usar os cart6es.

Deslizou o indicador no ar e apontou para urn aluno: - Guilherme ... Va ate a caixa e pegue tres oitavos. 0 jovem pegou tres cart6es rosa:

Entao, ele chamou: -Alice ... Voce vai pegar quatro oitavos.

~ ... -. -

Ela mostrou quatro cart6es rosa, ap6s o que Samuel quis saber:

- Se n6s reunirmos estes tres oitavos aos quatro oita­vos, que fra<;ao teremos?

- Sete oitavos. Isto e, sete partes de urn oitavo - res­pondeu Alice prontamente.

Samuel aprovou e escreveu:

3 4 7 -+ -==-8 8 8

Em seguida, o professor chamou Tais: - Pegue, vamos ver. .. Sete quartos.

..1. 4

:~~~ /o:e~'m:rde~~~ mmador, somam-se os numeradores e 'ponserva-se o d.eno­minador.

[£1 ~.. I .... --~ -------. . . I ln IJ: CU \v ",,J

A garota pegou sete cart6es de urn quarto, dos qu~s; socla~ao Oeste Samuel retirou seis quartos. E dirigiu-se a classe: --~

- Com que fra<;ao Tais ficou? - Urn quarto! - acertaram todos. Ele confirmou com urn gesto e escreveu:

7 6 1 4-4=4

- Muito bern ... 0 que voces perceberam sobre a for­ma de realizar essas opera<;6es?

- Nos nao mexernos no denominador. Fizemos as con-tas, usando apenas os numeradores - percebeu Alice.

- E verdade - concordou Beto. - Mas por que, Samuel? - indagou Lino. E Samuel passou a explana<;ao: - Notem o seguinte: o denomin-ador indica em quan­

tas partes o inteiro foi dividido; portanto, define o tamanho de cada parte. Como n6s estamos lidando com partes do mes­mo tamanho, e s6 somar ou subtrair a quantidade das partes.

Nao satisfeito, pegou urn cartao e prosseguiu: - Por isso, usamos uma cor para cada denominador

e os cart6es da mesma cor sao do mesmo tamanhp. Por exem­plo, tres cart6es bege com mais dois cart6es bege somam cinco

Para subtrair frar;:6es como mesmo deno ­minador, subtraem-se os numeradores e conserva-se o deno-1minador.

·<3>-------------------------· cart6es bege, da mesma forma que tres sextos com dois sex­tos resultam cinco sextos.

Desenhou os cart6es na lousa e escreveu matematica-mente a questao, antes de continuar:

DDD 'DD 2.+~==__§_ 6 6 6

- Dessa forma, fica clara que samar ou subtrair fra ­<;6es com o mesmo denominador e como contar partes do mesmo tamanho .

Alice preferiu ilustrar com urn novo exemplo: - Entao, se eu tiver tres cart6es vermelhos e pegar mai s

quatro, ficarei com sete cart6es vermelhos. Ou seja·, tres ter-c;os mais quatro ter<;os resultam sete terc;os. E isso? ·

- lsso mesmo - confirmou Samuel, registrando o exemplo da jovem na lousa.

ODD DODD ~+ 4 ==:I_ 3 3 3

Todos compreenderam e alguem pediu um exemplo com subtrac;ao. 0 professor atendeu:

- Se eu tiver dez cart6es cinza e Lino me tirar quatro cart6es, ficarei com seis cart6es cinza. Isto e: se eu tiver dez quartos e me forem retirados quatro quartos, ficarei com seis quartos.

E registrou na lousa, como fizera antes com o exemplo de Alice:

DDDDD D 0 0 1Z H:Z

10 4 6 4-4:::. 4

r ..

Em seguida, voltou-se para a classe e disse: - Observem se ainda existe alga que podemos fazer ... - Claro! Podemos simplificar o resultado! - Isso, Tafs! Quer vir a lousa? E ela explicou diante da classe: . - 0 maior numero que e divisor do seis e do quatro

ao mesmo tempo eo doi s ... Ai e s6 dividir para simplificar:

10 --4

4 4

6 .. 3 4 .<J = z

- Obrigado, Tais. Foi uma excelehte apresentac;ao. Como a classe se pusesse a murmurar pelo ]eito con­

vencido da Tais, Samuel passou ao resumo da materia: - Nao sc csque<;am ... Para samar ou subtrair fra<;6es

com o mcsmo dcnominador, conservamos o dcnominador c somamos ou subtrafmos os numeradores.

E passou uma serie de exercicios para que os alunos re­solvcsscm nos cadernos, lembrando que deveriam simplifi­car os resultados scmprc que passive!.

....7_ + j_ + _9_ :::. 11_ 5 5 5 5

1·0 +.£= g 8

16 :8 2 8 ·s -= T

2 1 -+-= '3 g

15 9 6-6=

3 :3 - 1 9 :3 - 3

6 6 1 6 :6 =- T

17+_1 =18:2 =2._ 16 16 16 :2 8

1 11

11:11

II ',

II~'

II ' '

~

/ 9 Ao trabalho /

ISl amuel andava muito curiosa de conhecer dona Rosa, pois os garotos s6 falavam dela. E dona Rosa, de conhece-lo, porque notava bern o cari­nho com que os jovens se referiam ao professor.

A oportunidade surgiu com a necessidade das compras. 0 grupo precisava ir a cidade

adquirir os quatrocentos e tantos metros de mangueira, al­gumas ferramentas e sementes. Mais que depressa, Samuel colocou 0 fusquinha a disposi<;:ao.

No sabado, foram as compras, a bordo do veiculo su­perlotado. E, como esperavam, o primeiro encontro entre o amigo e a mulher foi cereado da maior alegria.

Tambem seu Luis e dona Ofelia, pais de Beto e Tais, prestaram sua eolabora<;:ao, despachando um dos emprega­dos para o sitio vizinho, a fim de consertar uns peda<;:os de cerca, trocar as telhas quebradas da casa e instalar a man­guetra.

Na segunda-feira, finalmente, logo ap6s a volta da es­cola, OS jovens puseram maOS a obra.

- Onde e que eu cavo? - adiantou-se Lino, disposto . - A divisao ja foi feita ... E s6 pegar a sua quarta par-

te - respondeu Tais. - E ... Mas assim, sem uma divisao real, fica dificil sa­

ber onde come<;ar e onde parar: - Humm .. . Pela disposi<;ao, Lino vai fazer toda a parte

dele hoje ... - ironizou Alice. - Espera ai, Alice ... Lino tern razao! A primeira coisa

que temos a fazer e delimitar a area a ser cultivada ... Preci­samos de uma marca<;ao concreta.

- Como faremos essas marca<;oes?- quis saber Lino. Os componentes do grupo puserarh-se a procurar em

volta por algo que pudesse servir, mas Alice tinha a solu<;:ao. - Vamos precisar de barbante. - 6tima icteia - aplaudiu Beto. E Tais lembrou-se: - Dona Rosa tern urn rolo de barbante guardado la na

gaveta da mesa. Eu a vi cortar urn peda<;o, outro dia. De fato, a mulher dispunha do material necessaria, urn

novelo inteiro, que comprara na intui<;ao de que ainda servi­ria para alguma coisa.

-- Usem a vontade! Daqui a pouco, eu OS chama para o cafe com broa de milho!

- Oba! Broa de milho? - Que alegria e essa, Lino? N6s viemos aqui para co-

mer ou para trabalhar? - censurou Tais. Dirigidos por Alice, Beto e Lino fincaram estacas de ma­

deira e esticaram os fios, delimitando os varios canteiros. - Pronto ... Os canteiros ja estao demarcados ... - mos­

trou Lino. - E .. . Acho que chegou a hora de cavar. .. - falou

Be to. - Tambem desconfio que as cenouras nao vao se en­

fiar pelo chao sozinhas ... - brincou Tais. - Poxa ... Esse chao esta mesmo seco ... - observou

Lino, tentando com a enxada. Beto pisoteava o solo com o calcanhar da bota e pare­

cia concordar com o amigo, que brincou: - Continue batendo, Beto... Quem sa be a terra

amolcce? - Nao precisa pisotear ... - contrariou Alice. - E s6

jogar agua! - Que agua? - indagou Lino, procurando a sua volta. Alice olhou-o e perguntou: - Para que voce acha que n6s compramos a manguei­

ra, hein, Lino? - Ora, para molhar as plantas! Falou e imediatamente percebeu a tolice que dissera. An­

tes que o assunto se prolongasse, convidou Beto e foram bus­car o equipamento.

- Puxa, Alice ... Voce sabe mesmo das coisas ... - cum­primentou Tais.

- Eu tenho de saber; sempre ajudei os meus pais no plantio... ·

-E ... N6s nunca passamos perto de uma enxada ... -reconheceu Tais, meio encabulada.

A nissei percebeu e justificou, rindo: - Ora, isso e natural, Tais ... Os pais de voces tern ne­

g6cios na cidade. Nao vivem como n6s, exclusivamente da terra.

- Ainda bern, Alice, ainda bern! - Nao fosse a sua experiencia, nao sei se valeria a pena ... - comentou Beta, de passagem.

Mal ele falou e chegou dona Rosa animada: - N6s conseguiremos, garoto, ponha isso na sua ca­

be<;a! E com os conheeimentos da Alice sera, sem duvida, mais facil!

51

r-

- Claro que conseguiremos - confirmou Tais. - A senhora pode contar comigo, dona Rosa! Eu vou

ate o fim! - prometeu Lino. - N6s chegaremos Ia, juntos! Voces verao! Antes de

tocar o projeto pra frente, que tal tomar urn cafe com broa? Nao foi preciso urn novo convite. Desceram todos atras

eta mulher, em dire<;:ao a cozinha.

Deno10inadores diferentes

om dia, turma. Preparem-se todos, que hoje tern novidade.

A classe cessou o burburinho c clirigiu a at.cn-<;:ao para Samuel. '

- N6s ja aprendemos a somar c a subt.rair fra<;:6es como mesmo denominador. Hojc, vamos

descobrir como proccder com dcnominadores clif'ercnte~. Enquanto falava, ja pegou clois cart6es c, moslrando

para a classe, interrogou:

B ~· t "r-; t.' ' . . . 1' .. l')

' ~,) • ' ,'f ~ ~; f, .,,, ;,.._,... . • • •

~h·'!;l;4 ,,(:;,; \'k ,J'F.f«/~;, • n I ,l'< ~,, /fJi.§LIIJ'l':.Ji\' ' lt rr-t ,

- Que fra~ao resulta dessa soma entre urn meio e urn quarto?

A classe fez silencio e demorou para que alguem ar-riscasse.

- E urn sexto? - tentou Guilherme. Samuel pegou urn sexto e colocou no paine!, ao !ado

etas frq<;:6es que queria somar. - 0 que voces acham? A soma de urn meio e um quarto

resulta um sexto?

- Claroque nao! Urn sexto e ate menor que urn quar­to! - interveio Beto com seguran~a.

- Entao, deve ser dois sextos - retrucou Marcelao. E Samuel comparou novamente:

- Bem ... Voces dcvcm estar notanda que a ideia de so­mar os dcnominadores csla errada ...

- 0 problema c que n6s s6 aprendcmos a somar fra­<;:6cs com o mesmo clenominador! - falou Tais.

- E, Samuel. .. N6s s6 aprendemos a so mar partes do mcsmo Lamanho! - acrcsccntou Alice.

Samuel riu com a perplcxiclade etas garotas c concorclou: - E vcrclacle, voces tem razao ... No cntanto, podemos

fazcr Lrocas por fra<;:6cs cquivalentcs. Por que voces nao pro­curam na ca ixa de cart6cs alguma possibiliclacle?

Os a lunos aceitaram a sugcstao c logo pcrccberam qual era a saicla.

- N6s poclemos trocar um marrom por do is cinza ... Ou seja, trocar a fra<;:ao urn meio pela fra<;:ao dois quartos - dcscobriu Bcto. - Nao e isso, Samuel?

- Sim. Dcssa forma, poderemos somar com o outro um quarto, pois ai teremos fra<;:6es com o mesmo denomi­nador, ou seja, todas as partes terao o mesmo tamanho -cone I uiu Samuel.

E dizcnclo isso, foi ate o paine!, onde fixou os cart6es e escreveu o seguinte:

E continuou:

1 2

l I' .01 • ' I~ •; l~f ' . f .· ~ ; { ·· . .... :· .. . ::4·"\·• ·: . ' ' tr •'-' t•

- Depois de efetuada a troca de um meio por sua equi­valente dois quartos, temos o seguinte:

1 . 4

53

' 'r 1111

,II

ljll

I

-_,._ ..

>---------------------------------------------------------~--------------------------------------------------~

E todos gostaram muito de como tudo foi feito. E logo a seguir Samuel propos outra questao:

-- Vamos somar dois nonos com urn ten;o ... -- Quer que eu pegue os cartoes referentes a essas fra-

r;:oes? -- ofereceu-se Alice. -- Sim, claro, e ponha-os no paine!, por favor. ..

tE ~+..!__= 9 3

Ass im que a garota colocou no paine!, Tais mani­festou-se:

-- Essa esta facil ! E s6 trocar urn terr;:o por trcs nonos e ja poderemos somar!

Alice procedeu a substituir;:ao e ao calculo:

tE .!.. t3

_!.._ 9 1 9

2 3 5 -+-=-g 9 g

-- Muito bem-- elogiou Samuel. -- Pode voltar ao seu Iugar. ..

E falou, entao, para a classe: -- Voces notaram que bastou trocar uma das fra<;:oes

por outra equivalente, para que ambas ficassem com o mes­mo denominador e passassem a representar partes do mes­mo tamanho. Dessa forma, podemos entao somar os numeradores ... Entretanto, nem sempre e tao simples assim ...

E dizendo isso, propos nova atividade, pegando as se­guintes fra<;:oes:

-- Como podemos somar essas duas fra<;:oes? -- Vai ser dific il -- reclamou Tais. -- Acho que nao

da para trocar meios por terr;:os ou te rr;:os por meios?! -- Voce tern razao-- concordou Samuel. --Para so­

mar essas frar;:oes nao basta transformar somente uma de­las. Na verdade, teremos de encontrar urn novo denominador para as duas frar;:oes ... Peguem os cartoes e ten tern desco­brir o caminho.

Varios alunos correram aos cartoes e, depois de algum tempo, Lino mostrou:

-- Sera que e isso? Se eu trocar tudo por cartoes bege, acho que da certo. Estarei trocando tudo por sextos e mostrou:

• • -- Muito bern, Lino! Registre sua descoberta na lousa:

1 1 -+-= 2 3

3 2 5 -+-=--6 6 6 Depois ·que o garoto resolveu, Samuel confirmou: -- Perfeito. Efetuando as trocas pelas fra<;:oes equiva­

lentes, com denominadores iguais, encontramos cinco sextos. Juliana nao se mostrava muito convencida. -- Se estou entendendo, a gente vai ter de adivinhar,

cada vez que quiser calcular. ..

- Nao, Juliana, nao tern nada aver com adivinha~ao. Os exemplos que nos trabalhamos podem nos dar as pistas ...

- Pistas? Mostre ao menos uma, que eu nao estou ven-do absolutamente nada.

Samuel riu e pos-se a recapitular: - Nos trabalhamos com tres exemplos ... Certo? - Certo. - No primeiro, entre os denominadores dois e quatro,

nos escolhemos o quatro. E notem que ele e multiplo de dois e dele mesmo . No segundo exemplo, entre o tres e o nove, escolhemos o nove, que e multiplo de tres e dele mesmo. E no terceiro, entre dois e tres, escolhemos o seis, que e multi­plo do dois e do tres, simultaneamente. Certo?

- Ate af estou acompanhando - concordou Juliana. - E daf?

- Como vimos - continuou Samuel com a explica~;ao -, em cada caso, o novo denominador foi sempre m(iltiplo dos denominadores das fra~6es que queriamos so mar ...

- Quer dizer que a chave e descobrir urn multiplo dos denominadores? - tentou Tafs.

- Quase isso, Tafs. Se voces notarem bern, nos esco­lhemos sempre o menor multiplo comum. Em seguida, so precisaremos encontrar os numeradores dessas fra<;6es equi­valentes as anteriores ... Vamos ao exemplo . . .

2. 4 -+-= 3 5

- Como as fra~6es tern denominadores diferentes, pre­cisamos encontrar urn novo denominador, igual para as duas fra<;6es - observou Beto.

- Correto - concordou Samuel. - E qual eo menor multiplo comum de tres e cinco?

- E quinze - respondeu a classe. Samuel gostou do desempenho e prosseguiu: - 0 proximo paSSO e descobrir OS numeradores de ca­

da uma das fra~6es equivalentes as anteFiores, cujo denomi­nador seja o quinze ...

Falou e escreveu:

2 4 3+-s=

15 +15=

Todo numero natural possui um conjunto infinito de multiplos, que resulta da multi­plica<;:fio desse nume· ro pel a sequencia dos numeros naturais. Exemplos:

Ml31 = ! 0, 3, 6, 9, 12 .. I

Ml101 = 10. 10, 20, 30, 40 .. l

Ml211 = JO, 21, 42, 63, 84 .. l

Dessa forma, pode-se dizer que a e multip/o de b, se a for divisive/ por b.

- E agora voltamos a adivinha~ao? - indagou Lino. - Adivinhar seria mais dificil. Se o novo denomina-

dor e multiplo do denominador anterior, isso significa que o tres foi multiplicado por algum numero a fim de resultar quinze. Estou certo?

A classe inteira concordou e ele passou a escrever:

3x®= 15 Ott

15:3=®

- s: entao? Qual e 0 numero? -Eo cinco! - Portanto, e so dividir o novo denominador pelo

antigo ... - Dividir o novo denominador pelo antigo? - estra­

nhou algucm. E Samuel tornou a explica~ao: - Voces se lembram da propriedade fundamental das

fra~6es? - Se multiplicarmos os termos de uma fra<;ao pelo mes­

mo numero, encontraremos uma fra<;ao equivalente- enun­ciou Beto.

- lsso mesmo! Entao, vamos Ia! N6s ja descobrimos que o antigo denominador tres foi multiplicado por cinco, resultando quinze, que eo novo denominador. Portanto, te­mos agora de multiplicar o antigo numerador dois por cinco tambem.

E assim procedeu:

_g_ + _4_ == 3 \ 5

10 ) ·, 15 -t 15 =

- Notem que a fra~ao dez quinze avos e equivalente a fra~ao dois ter~os, porque dividir por tres e pegar duas par­tes e 0 mesmo que dividir por quinze e pegar dez partes.

E passou a comoletar a segunda fra~ao:

·"'I' I

~ ~ ) + E: ~) ('10 '( 12 .­\ -15 + \ 15 -

22 15

- Ao dividirmos o quinze pelo cinco, encontramos tres, que e o mesmo que descobrir por qual numero o cinco foi multiplicado. Esse resultado, tres, foi entao multiplicado pelo numerador e dessa forma encontramos doze quinze avos, que e equivalente a fra<;ao quatro quintos.

- Dai, podemos somar as fra<;6es porque elas passa­ram a ter o mesmo denominador - prosseguiu Tais.

- E n6s podemos encontrar a solu<;ao, usando cart6es ou, en tao, calculando dessa forma ... - concluiu Beto.

- Correto - concordou Samuel. - E como nem sem­pre teremos cartoes, e importante saber calcular. Na verda­de, eles serviram para nos dar as pistas para que chegassemos ate aqui.

- E sea gente fizesse urn resumo de tudo isso? - pro­pos Juliana.

- Era isso mesmo que eu ia sugerir - disse Samuel, que foi ate a lousa e escreveu:

SOMA DE fRA(:Of5 COM OENOMJNADORE5 OlfE.RE.NTE5

1~) Encontrar o menor multtplo comw...,_ entre· 01, deno~LMdorM,.

2~) E1.crt\Jtr o mliltLplo t-nconirado ~ -1u£i o f\OVO det1omi.r\a.dor da~ fra¢~ .

3~Vividir eMe. det1omiMdor v.elo attitrior t multlplicar o re11Alta.do ~~CL divi~ao ptlo a.-tttgo nuwterador.

4~) f?epo~ ~ obttr M fracB~ tqutvalet1-tti, lM.- anterwr~ com o wu~nto deKDmiM.ador1 .6o~ar ~ V\~ wteracJ.orf..i,.

Para reduzir fracoes a um mesmo denomina­dor e preciso: - determinar o me­

nor multiplo co­mum aos denomi­nadores;

- para cada frar;ijo, efetuar a divisiio do multiplo encon­trado pelo denomi­nador e multiplicar o resultado obtido pelo numerador.

·--------------------------------~

Registrado o resumo nos cadernos, Lino levantou a questao:

- 6 Samuel. .. N6s podemos so mar mais de duas fra­<;6es com denominadores diferentes?

- Naturalmente. Basta transforma-las em fra<;6es equi­valentes a cada uma delas que tenham o mesmo denomina­dor. .. - e mudando de tom: - E por que mesmo as fra<;6es devem ter o mesmo denominador para efetuarmos adi<;6es ou subtra<;6es?

- Para que as fra<;6es fiquem com as partes do mes-mo tamanho - lembrou Tais.

E Samuel confirmou: - Reduzimos as fra<;6es a urn mesmo denominador

quando queremos soma-las porque s6 podemos realizar essa opera<;ao com partes iguais entre si.

Aproveitando o interesse da classe, lan<;ou urn novo desafio:

- Alguem pode me dizer como fazemos para subtrair fra<;6es que tenham denominadores diferentes?

A resposta de Alice nao demorou a surgir: - Precisamos encontrar as fra<;6es equivalentes a ca­

da urn a de las com o mesmo denominador. - Precisamos encontrar o menor multiplo comum dos

denominadores - lembrou Beto. - E ... - prosseguiu Alice. - Podemos fazer da mes­

ma maneira que fizemos com a soma. Dividimos o novo de­nominador pelo anterior e multiplicamos o resultado da divisao pelo antigo numerador.

- Excelente! - reagiu Samuel. - Entao, posso pro­por urn exercicio?

Enquanto falava, escreveu no quadro:

2 1 4-3==

Depois, virando-se para a classe, convidou: - Beto ... Quer vir resolver? Beto foi ate a frente e come<;ou a explicar: - Primeiro, e preciso achar o menor multiplo comum

de quatro e tres, que e doze. Dai, e s6 dividir o doze pelos denominadores e multiplicar pelos numeradores ...

2 1 4-3= 6 4 z

12 - 12 == 12

11 - Muito bern- aprovou o professor.- Alguem tern 7

algum coment<irio a fazer? • , - ·A resposta pode ser simplificada- notou Juliana. A senteadura .

- Basta dividir os termos por dois. Beto concordou e procede4 a simplificac;ao:

6 4 -,z- 12 =

2 12.

1 =6

Encerrando a aula, Samuel propos uma serie de exerci­cios de adic;ao e subtrac;ao de frac;6es com denominaclores diferentes, cujos resultados deveriam ser simplificados scm­pre que possivel.

3 1 2 5+2 +10 =

6 5 2 13 10 + 10 + 16 = 10

i--t= g 1 7 4-4 7 4

7 2 -+-= 5 4

28 + 10 = 20 20

_N_j_= 21 3

3S 20

= 1q 10

19 7 21 - 21 =

12 21 . =~

Para samar au sub trair frac6es com de nomina.dores dife ­rentes e preciso:

reduzi-las a um mesmo denomi nador; samar au subtrair os numeradores, conservando-se o denominador en­contrado; simplificar o resul­tado obtido, sem· pre que passive/.

pesar da dificuldade inicial, os jovens agriculto-

A res mostraram muita fon;:a de vontade e vence­ram a fase mais dura. Dona Rosa e Tais ajudaram pouco e Alice se esfon;ara. Na verdade, o duro maior ficara por conta de Beto e de Lino. Enfim, a area a ser semeada fora cavada e a terra en-

contrava-se revolvida a espera das sementes. - Nem acredito que n6s fizemos isso! - desabafou Li­

no, derramando a vista pelos canteiros. - Ah, Lino, nao foi tao dificil assim, vai. .. -contra­

pas Alice. - Voce diz isso porquc o pesado ficou para n6s. Fala

pra ela, Beto. Quem falou foi Tais: - Eu bem que tentei, mas cavar. .. Realmente, estava

alem das min has forc;as ... . Lino desmanchou-se todo: - Nao diga isso, Tais! Estava brincando, voces ajuda­

ram muito! - E normal. N6s pagamos pela fait a de pratica ... Na

proxima, estaremos calejados e tudo sera mais facil. .. - con­siderou Beto.

- Pois eu prefiro sem calos! - retrucou a irma. - F dona Rosa, coitada! - lembrou Alice. - Quis nos

ajudar e passou dois dias sem poder andar! - Bern que eu avisei - tornou Beto. Diante d9 campo trabalhado, os jovens mostravam-se

recompensados. Nao havia duvida de que a parte mais dura fora realizada. Agora, tocava semear.

A dona da casa botou a cabec;a para fora da janela; e, pouco depois, vinha ao encontro da garotada, trazendo os saquinhos de sementes. Cenoura, rabanete, tomate, pimen­tao, alface, couve-flor e repolho.

- Olha que beleza ficou o seu campo, dona Rosa -brincou Lino, que nao se cansava de admirar.

- 0 nosso campo! - rebateu ela. - E aqui estao as sementes!

- Fac;o questao de plantar o primeiro tomate! - avan­c,:uu Lino, levantando-se num salto.

Beto achou grac;a e tratou de refrear o animo do corri­panheiro.

- Va com calma, Lino. E melhor ouvirmos Alice no­vamente, porque nao podemos desperdic;ar nenhuma semente!

li'

- lsso mesmo! - apoiou Tais. - Cada semente per­dicta e produ~ao de menos, dinheiro de menos ...

- E instrumentos de menos! - completou Beto. Dona Rosa examinava o ceu, alheia a conversa. Quan­

do desceu a terra, arriscou 0 palpite: - Estou desconfiada que ate Sao Pedro vai nos

ajudar. .. - Sera, dona Rosa? Quando estava cavando o chao du­

ro, ele nao ajudou nadinha! - retrucou Lino brincalhao. - Olhem para aquelas nuvens escuras ... - apontou ela.

- Alem disso, quando me levantei, pela manha, senti uma dorzinha na junta ... E isso nao falha, e mudan<;:a de tempo!

-E ... Vamos torcer para que o santo ajude mesmo! - acrescentou Tais.

Alice, porem, pensava de forma mais pratica. - E melhor a gente se apressar ... Se tiver de chover,

e born que seja depois do campo ja semeado. -Que estamos esperando?- falou Beto, pondo-se de

pe. ---:-Vamos dividir as sementes e, em seguida, Alice expli­cani como procedermos.

Como ele dividisse as sementes em quatro partes, dona Rosa protestou:

- Que e isso, menino! Esta certo que nao agi.ientei ca­var, mas semear eu posso!

- Para semear e preciso aba.ixar . .. A senhora vai ficar com dor nas costas ...

- Nao tern importancia; fa<;o questao de botar a mao na massa ... Is to e, na terra .

- Entao, vamos! Alice explicou pacientemente o procedimento correto

para cada tipo de semente, espa<;amento e profundidade certos e, em seguida, passaram a pratica.

- Capricha ai, Tafs! Muito cuidado com os nossos lu­cros! - brincava Lino.

- Eu tenho mao boa; vai nascer cada repolho maior que a sua cabe<;:a!

- Capricha voce tambem, Lino- recomendou Beto. - E daqui que sairao os nossos instrumentos!

- Deixa comigo! A tarefa foi bern mais nipida do que imaginavam. - Terminei! - avisou Tafs, pulando de alegria. - Eu tambem! - fez coro Lino. 0 ultimo a encerrar o ritual foi Alice: - Pronto! Esta tudo plantado! Mal ela terminara de falar, quando todos sentiram os

pingos grossos sobre os bra<;os queimados de sol. Dona Ro-

~/ . .

iJ" ____...,. ./

~\ I t/~ -(

~ 11 • 0

~ ~ ~ ~

sa olhou para o ceu e saiu gritando em dire<;ao a casa: h.. .........--·- .,.

\\ ....;

\

- Corram, meninos! Corram, que a chuva vern vindo! A chuva caiu sem vioH~ncia, mas espessamente. S6 quan­

do a mulher chegou a porta da cozinha, se deu conta de que

Ill

corria sozinha. _Os joven_s brincavam de roda na chuva, can-tando com mmto entus1asmo . .

U I ll \

11

11 Jill Fra~Oes de 8gua

II

·,,

II

~

·----· aquela manha, Samuel cumprimentou rapidamcn­te a classe e ja foi escrevendo na lousa:

N 4 2

12 4

3 3

- Que tipo de fra<;6es sao essas? - interrogou, a seguir. Beto consultou as anola<;6es do caderno e respondcu: - Sao fra<;6es aparentes, pois OS numeradorcs sao mul -

tiplos dos denominadores ... - Tambem da pra perceber que quatro meios sao qua­

tro partes de um meio ... Portanto, tercmos dois intciros. - Excelente! - aprovou o professor. - No oulro

exemplo, podemos notar que doze quartos representam trcs inteiros .. .

- E tres ter<;OS representa um inteiro no ultimo exem­plo - completou Lino.

Samuel concordou e pediu: - Simplifiquem, entao, essas fra<;6es. E lembrem-se:

para simplificar, devemos encontrar o maior numero pelo qual o numerador e o denominador possam ser divididos.

Deu um tempo para que os alunos se exercitassem e cha­mou tres deles para fazer a simplifica<;ao na lousa:

4 2

2 =T

12 4 -.

3 =-1

3 1 3=1

Quando os alunos tornaram aos seus lugares, ele pros­seguiu:

- Notem agora o seguinte: dois inteiros ficou sendo re­presentado por dois sobre um; tres inteiros ficou representa­do por tres sobre urn e um inteiro ficou um sobre um! Dessa forma podemos perceber o que?

- Que para representar quantidades inteiras em forma de fra<;ao, e s6 colocar sob essas quantidades o denomina­dor um - concluiu Lino .

- Muito bern! lsso mesmo! - animou Samuel. Em seguida, ele propos que os alunos usassem os car­

toes para representar outros exemplos de fra<;6es aparentes, e observassem o que haviam acabado de demonstrar, con­firmando dessa forma o novo dado. Em seguida, foi repre­sentando as fra<;6es na lousa.

BBB ~ = _Q_ o«- 3 i.-ttelrD'l-2 1

[ll]ITIJDJJDJJ 1Z _ ± oM- 4 intel.ro-1. - 1

FRFR ~ = ~ ou. 2 i"-teir~ 4 -l 1

- Muito bern - tornou ele. - Ja sabemos que para escrever urn numero inteiro sob forma de fra<;ao basta colo­car o denominador urn ... Pois bern, baseado nisso, posso pro­por ·urn exercfcio .. .

9+~= Escreveu e perguntou para Beto : - Adivinhe de onde tirei este exemplo. - De on de tirou? Nao en tendo on de voce quer chegar. .. - E voce, Lino? Tambem nao se recorda? Estou me

referindo a urn exemplo pratico . ..

~-----------------------------------------------------------~==--------------------------------------------------------~

Sem querer perder tempo, esclareceu: - Lembrei-me do que voces me contaram sobre os la-

-toes de agua ... - Que latoes de agua? - quis saber Guilherme. Antecipando-se a Samuel, Tais explicou a classe que ela

e seus amigos haviam guardado· agua da chuva para regar a planta<;ao, caso as secas continuassem. E Lino completou:

- E o mais engra<;ado e que choveu tanto que nem pre-cisamos daquela agua. .

- Pois vamos precisar, agora- explicou Samuel para a classe. - 0 nove representa os latoes que os nossos ami­gos conseguiram encher com agua da chuva ... E, alem dos nove, eles conseguiram encher urn quarto do outro latao ...

Juliana ouviu e adiantou-se: - Se a gente somar, encontraremos a quantidade de

agua colhida em forma de fra<;ao. Samuel concordou e chamou-a para realizar o calculo. - Primeiro- explicou ela -, colocamos o urn como

denominador do nove ...

~ 1 f+4=

- Em seguida, precisarnos escolher o novo deno-minador... -

- Que devera ser rnultiplo de urn e de quatro, que e o quatro mesmo - antecipou-se Tais.

Juliana escreveu o novo denominador e calculou, em seguida, os numeradores das fra<;oes equivalentes, dividin­do o quatro pelos antigos denominadores e multiplicando esse resultado por cada urn dos numeradores.

Dessa forma, ela encontrou fra<;oes equivalentes com o mesmo denominador, o que possibilitou a soma dos nu­meradores.

g 1 T+4=

36 +j_- 37 4 4- 4

S6 entao Samuel interferiu: - Portanto, voces tinham guardado trinta esete quar­

tos de agua, considerando como inteiro cada latao .. : Por aca-. so voces sabem quantos litros cabem em cada latao?

- Meu pai disse que cabem duzentos litros - afirmou Lino. ·

- 6timo! Entao, utilizando as fra<;oes. vamos desco­brir quantos litros de agua estavam armazenados. Ja sabe­mos que cada latao contem duzentos litros e tam bern que ele pode ser representado pela fra<;ao quatro quartos ...

Parou de falar e passou a situa<;ao para o quadro:

4 4

_,zoot 200t

_,

- Por que vamos representar o latao inteiro por qua­tro quartos? - interrompeu Marcelao.

- Note o seguinte ... - atendeu o professor. - Eles tinham guardado u·inta e sete quartos, nao e isso?

-E ... - Pois bern, eo mesmo que dizer que eles tinham trin-

ta e sete partes de urn quarto com agua do latao .. Assim, o certo sera considerar o inteiro, atraves da fra<;ao quatro quartos .

Marcelao conseguiu .se localizar e Tais prosseguiu: - Para saberrnos quantos litros equivalem a trinta e sete

quartos, precisamos calcular, primeiro, quantos litros equi­valem a urn quarto do latao. Estou certa?

- Absolutamente certa! - animou-a Samuel. E passo1u a pratica: - Se quatro quartos equivalem a duzentos litros, para

saberrnos quanto equivale a urn quarto, basta dividir duzen­tos por quatro.

E completou no quadro:

4 4 ~2oot

1 4~zoo:4=50

E._~? 4 .

-- ....._,

50

_50 1-------------i

50

50

zoo.e

- Sabemos, portanto, que em urn quarto cabem cin­qiienta litros. Como sabe,remos quantos litros cabem em trinta e sete quartos? - perguntou Samuel.

- Ora, e s6 multiplicar a quantidade correspondente a urn quarto por trinta e sete - concluiu Lino.

37 ~ 37 x 50= 1 850 LiirOl.-4

I

I

j I ~

i

il

I

I

~ J: I

- Perfeito! - exclamou Samuel.- Voces tinham ar­mazenado urn mil, oitocentos e cinqiienta litros de agua de chuva.

- Puxa! Acho que nem Sao Pedro tern urn estoque des­se- comentou Tais, despertando. o riso dos companheiros.

I 13 Que &a~io I I o boi co01eu? I • conteceu justamente numa tarde em que Samuel

decidira acompanhar os jovens. Quando se pre­paravam para regar os canteiros, descobriram que a metade de urn deles havia sido destruida. A - Vejam o que aconteceu com o meu can­

_, teiro! - sob;essaltou-se Lino. - Algum boi deve ter varado a cerca - disse Beto con­

trariado. Ainda observavam o estrago, quando chegou a dona da

casa com uma jarra de limonada. - Voces viram o que o danado do boi fez? Se nao ti­

vesse visto, ele acabari~ com a planta<;ao! 0 grupo procurou a sombra de uma arvore para sabo­

rear o refresco, mas continuavam todos chateados como es­trago. Samuel percebeu e tratou de inventar algo para reanima-los.

- Bern, nao adianta chorar sobre o Ieite derramado ... E se nos aproveitassemos essa situa<;ao para fazer uma nova descoberta sobre fra<;oes?

Lan<;ado o desafio, os jovens come<;aram a se interessar. - Que parte voces terao de replantar? - perguntou

Samuel. - A metade da parte que cabia ao Lino. E Samuel prosseguiu: - Muito bern. E que fra<;ao do plantio a parte do Lino

representa? - Urn quarto - respondeu Alice. - 6timo! Entao, teremos de replantar urn meio de urn

quarto. Certo? Apos a constata<;ao, perguntou se alguem tinha urn blo­

co de papel.

-

- - --- ~

~----------------------------------------------------~~

- Eu tenho. So urn minutinho ... - falou Tais, revi­rando o conteudo de sua mochila.

Samuel desenhou, entao, urn esbo<;o da situa<;ao, pare­cida .com aquela que os jovens haviam feito quando dividi­ram o terreno para o plantio.

1 1 j t '- -2de4 ~~~f.l

T 4

- Notem que eu risquei a metade de urn quarto ... Ago­ra, eu pergunto: que fra<;ao da area total representa esta parte?

- Como e que vamos saber? - perguntou Tais confusa.

Na dtivida, Lino arriscou: - E se nos dividirmos todas as partes ao meio? - Acho que Lino esta certo- comentou Beto. - Se

fizermos isso, teremos todas as partes do mesmo tamanho! - Teremos oito partes - calculou Alice. E procederam conforme o proposto:

~de~ {~ ITITI T 4

Samuel concordou e esclareceu: - Certo. E cada uma vale urn oitavo da area, pois o

inteiro fqi dividido em oito partes iguais. - E verdade - concordou Lino. -Urn meio de urn

quarto e urn oitavo. Portanto, vamos ter de replantar urn oi­tavo da area.

Alice, porem, nao compartilhava do entusiasmo dos companheiros . Samuel percebeu e indagou:

- Que foi, Alice? Nao concorda? - Claro que concordo! Mas, nos so descobrimos isso

por causa do desenho ... E se nao tivessemos o desenho? - E onde eu queria chegar. . . Como calcular matema­

ticamente essa situa<;ao - respondeu Samuel. Sob o olhar atento de todos, ele prosseguiu: - Digam-me .... Como representamos em linguagem ma­

lematica.a seguinte frase: tres pacotes de dez doces? - E facil! Escrevemos tres vezes dez:

3x10

1~ 1

ill

Ele escreveu e tornou a perguntar: - Como representamos cinco grupos de oito pessoas? - Da mesma forma, ora!

5x8 Depois de registrar no papel, Samuel comentou: - Notem o seguinte: nesses exemplos, a preposi9ao de

sempre substitui a ideia de multiplicayao. E o mesmo acon­tece com as fra96es: urn meio de urn quarto eo mesmo que meia vez urn quarto . Ou seja ...

.1. de _1 i inu.aL lL_L 2 4 "J g

aLL j_Xj_=j_ 2 4 8

- E mesmo! - confirmaram os jovens. - Ja sabemos- prosseguiu Samuel- que urn meio

de urn quarto resulta urn oitavo. E sabemos, tambem, que essa situa9ao indica uma multiplicayao . .. Tendo em vista o resultado, sera que voces conseguem perceber como encontra­lo matematicamente?

Os jovens observaram e Tais tentou: - Bern ... Eu notei que duas vezes quatro resultou oi­

to ... E uma vez urn resultou urn mesmo. - Exatamente!- aprovou ele.- Para multiplicarmos

frayoes, multiplicamos os numeradores e os denominadores entre si! N6s ja sabiamos o resultado; agora, descobrimos como chegar a ele matematicamente.

- Puxa, que facil! - gostou Lino. - Vejamos outra situayao ... - propos Samuel.- Con-

sideremos a frayao urn teryo .. . Disse e desenhou no bloco:

0-----r----l

I I I I I I

------ _j__ -- - _ j

_!_ 3

- Agora, vamos representar tres quartos de urn teryo. - Ja ~ei- animou-se Tais. Vamos dividir esse urn ter-

<;o em quatro partes e riscar tres partes ...

~aej_ 4 3 ~

----T----:

I I

----- _l __ - - _ _j ---_L 3

- Para percebermos que fra9ao do inteiro representa lres quartos de urn ten;:o, e preciso dividir as outras partes em quatro tambem - lembrou Beto.

- Certo! Como fizemos com o terreno! Alice concordou e dividiu:

~de-1 4 3 ~

---- -;----- - ~

- ------J-------1

------~-----~ I I

-----+-------1 I I

_____ _L_ ____ __J

_1 3

- A figura ficou dividida em doze partes iguais -cons­tatou Lino .

- Portanto, tres quartos de urn teryo resultam tres do­ze avos - completou Beto.

Samuel aprovou e passou adiante . - Considerando o que acabamos de descobrir sobre

multiplica9ao de fra96es, COIJlO devemos proceder para fa­t.cr essa opera9ao?

Lino escreveu:

3 L 1 I • -- _/ 3 4 ae 3 ~ ~ua.L a 12

x OIL ~1~3

3 X --4 3- 12 ' -.......___.7f ~

')(

i ~I ill\

,,,ll

I'll :I

I

Dona Rosa chegou no momento em que Samuel, dando­se por satisfeito, resumia a descoberta:

- Para multiplicar fra~()es , basta multiplicar seus ter­mos entre si; numerador pelo numerador e denominador pelo denominador.

E propos alguns exercicios piua os jovens trabalharem:

..!. )( .4_ ::: 4 . 1 = _g_ 10 7 10·2 os ..lixi.= Ji

6 z 12

.Q. X _.2. _ 15 : 3 _ _2_ 9 8- 72 :3 -24

:Zx:l..= 63 7 = _.2_ g 7 56 .'7 g

A mulher manteve-se em siH~ncio, observando a desen­voltura dos jovens no calculo . So ao final comentou:

- Calcular fra~c)es e muito importante, mas eu tenho certeza de que voces preferem colher o inteiro. Aqui esUio as sementes para repor as perdas.

- Falou pouco, mas falou bern, dona Rosa! - Brincadeira, Samuel! 0 grande semeador, aqui, e

voce!

Dividindo o bolo uando Samuel ensinou a multiplica~ao de fra~c'ies na classe, os quatro ja sabiam. E os demais cole­gas nao tiveram grandes dificuldades para enten­der. Na aula seguinte, porem, ele veio com a novidade.

- Nos ja descobrimos como somar, subtrair e multiplicar fra~oes ... Hoje, vamos aprender a dividir.

Fez urn rapido suspense e perguntou: - Quem pode me dar urn exemplo de fra<;:ao que te-

nha sido dividida? Juliana remexeu-se na carteira e arriscou: - Eu acho que posso . .. - 6timo! Vamos ao exemplo ... - Bern, e o seguinte . . . Ontem, minha mae fez urn bo-

lo ... E imediatamente guardou a metade, senao a gente co-

Para mu/tiplic;ar fra· t;6es e prec;iso: - multip/lc;ar os nu­

meradores entre si; - multip/ic;ar os de­

nominadores entre si"

- sfmplific;ar o resul­tado obtido, sem­pre que passive/.

- ----------------------------------------------------------~

mia tudo ontem mesmo. E depois ela dividiu a outra metade entre nos ...

- Nos quem? Quantas partes? - interpelou Samuel. - Ah, nos cinco ... Meu pai, minha mae, meu irmao,

minha avo e eu. Samuel riu e perguntou: - Alguem ficou com urn peda~o maior? - r-jao! 'Minha mae dividiu em partes iguaizinhas! - Otimo! 0 exemplo de Juliana serve perfeitamente!

A mae dela dividiu meio bolo em cinco partes iguais; par­tanto, o resultado dessa divisao sera a fra~ao do bolo todo que cada urn comeu.

Falou e ja escreveu na lousa, desenhando a seguir a si­tua~ao proposta:

?{ 1 -z: 5==

pat, ma'e­

i,rmao a.v6

J"li.al'la

_1_ bolo 2

--- - - - ----1 I I I

gL«trdo"' :

I _ _ _______ J

- Como a metade que nao foi guardada foi dividida em cinco partes - falou Samuel -, a situa~ao em rela~ao ao inteiro ficaria assim :

j_. 5=- ..L 2. 10

16 { pai mae.. irvt1tio avo

JuiLG\~

..i.bolo 2

----- --, I

--- - ----1 I

--------1

I ------- , I

--------, I

________ j

- Quer dizer que cada urn de nos comeu urn decimo do bolo todo? - indagou Juliana.

- Exatamente! Urn meio dividido por cinco resulta urn decimo. E como se o inteiro fosse dividido em dez partes.

Mal ele terminou, Beto lembrou-se: - Acho que tam bern tenho urn born exemplo, Samuel. .. - Vamos em frente ... - Voce sa be da nossa sociedade com dona Rosa ... Pe-

lo trato, ficou decidido que metade do lucro da produ~ao

..,.,.

,,J'

. fi I

II I

I

. ~-----------------------------------------------------------------------..

seria dela, que e a propriet<iria do terreno, e a outra metade seria repartida igualmente entre n6s quatro.

-- Certo. Portanto, cada urn de voces recebera a meta­de dividida por quatro ... -- falou Samuel ao mesmo tempo que escrevia:

1 2: 4= -- Agora, vamos tentar visualizar a situa<;:ao, represen­

tando o possivel lucro atraves do seguinte grafico:

I

' ',

V. Rou:\.

......... _____ _ I

/ /

//

I I

I

Ap6s tra<;ar a figura e colocar os nomes, Samuel pros­seguiu:

- 0 que podemos fazer para descobrir que fra<;ao do inteiro cabera a cada urn de voces quatro?

E logo veio a sugestao de dividir a outra metade que cabera a dona Rosa em quatro partes tambem iguais. E as­sim fizeram:

/I' // I ' I

\ / I ' I

\ // I ', / '/ I ' / ' / ' I /

' --!.--

-- Como voces pod em no tar, urn meio dividido por qua­tro resulta em urn oitavo do inteiro.

j_. 4::: _i_ 2. 8

- Oba! - animou-se Lino - Entao, cada urn de n6s quatro vai receber urn oitavo dos lucros!

-- Tudo bern, Lino ... Voce vai ficar rico, mas antes eu queria que voces fizessem uma descoberta . . . Deixem-me dar outro exemplo ... Se eu tiver meia pizza e quiser dividir igual-

mente entre duas pessoas, que fra<;:ao de pizza cabera a cada uma? ·

· -- Quer que eu escreva, Samuel? -- ofereceu-se Gui­lherme.

-- Pode vir. 0 garoto foi ate a frente e escreveu:

1 . 2 z-- = - Certo, Guilherme. Agora, vou desenhar a situa<;:ao ...

~ (__±fD I\ : //

-··-- ~--J..: ... ...,~,o-.."', _,~

'' ..... _1_ ... ""/ -~sso._cia~ao Oeste Desenhou e avisou: -- A parte pontilhada fara com que nao nos esque<;:a-

mos do inteiro. · E todos perceberam imediatamente que urn meio divi­

dido por dois resulta em urn quarto do inteiro. Guilherme escreveu entao o resultado:

' _!_."=j_ z .,£.. 4 - Como eu disse ha pouco, gostaria de leva-los a uma

nova descoberta ... Para isso, vou esc rever as propostas e as solw;6es encontradas nos ultimos exemplos ...

a..'l_·s=i ') 2 . 10

E continuou:

0 i =4= ~ C., 1 . z =_!_ ;z· 4

- Lembrem-se de que todo numero inteiro tern por denominador 0 numero urn ...

Falou e colocou os numeros:

a)L· 5_j_ 2'1-10 b:\_!_.4_1

'} 2. '1-g C) 1 .Q_j_ z·T-4

-- Observem atentamente e me digam se n6s poderia­mos encontrar esses resultados atraves de calculos. lsto e, sem qualquer desenho ou representa<;:ao.

0 burburinho estendeu-se por alguns instantes, ate que alguem se encorajou a falar. Era Alice:

-Born ... No primeiro exemplo, parece que aquele dois multiplicado por cinco pode ter resultado aquele dez do de­nominador ... E que o urn vezes urn pode ter dado o urn do numerador. .. E a unica maneirarque eu consigo imaginar. ..

-- Eu acho que e isso mesmo - concordou Beto . -­No segundo exemplo; acontece a mesma coisa ... Mu1tipli-

76 ~--------------------------------------~------------~~--------------------------------------------------~

cando do is por quatro resulta o oito no denominador, e urn vezes urn resulta o numerador urn.

- Tambem no terceiro caso acontece o mesmo - cons­tatoo Lino.

- Muito bern! - aprovou Samuel. - Voces fizeram as observac;:6es corretas ...

- Entao, e so multiplicar o numerador pelo denomi­nador - concluiu apressadamente Guilherme.

Samuel, porem, corrigiu: - Devagar, Guilherme. Notem que ha uma posic;:ao cor­

reta para cada urn dos produtos encontrados . . . Preparou o esquema e esclareceu:

_L 2.

5 T=

1 10

- 0 denominador da primeira frac;:ao multiplicado pelo numerador da segunda frac;:ao resulta no denominador do rc­sultado.

E continuou:

1 z·

5-T-1 -10

- Eo numerador da primcira mu ltip licado pe lo dcno­minador cia segunda frac;:ao res ulta no numerador do rc­sultado.

- Credo! E mais facil fazer do que falar tuclo isso! -contrariou Tafs.

Para Guilherme a situac;:ao nao se mostrava tao clara . - Se bobear, a gente pode errar o Iugar de colocar os

resultados clas multiplicac;:6es ... Samuel concordou e disse que havia uma forma de eli-.

minuir as possibilidades de erro . - Nos podemos transformar a clivisao numa multi­

p licac;:ao. - Xiii ... Ja vai complicar ... - Nao vai complicar nada. Nos conservamos a primeira

frac;:ao e multiplicamos pelo in verso cia segunda. Assim ...

1 5 2: -1-=

1 -f 1 z"s=1o

- E mesmo! Assim cia certo!- exclamaram todos en­tusiasmados.

- Vamos a outros exemplos para confirmar o que aca­bamos de descobrir.

E continuou: - Quantas vezes urn ter<;o cabe em dois inteiros? Falou e representou a situac;:ao usando os cart6es:

2 Vtttlr()'l, .J

- Facil! Cabem seis pedac;:os de urn terc;:o em dois in­teiros - adiantou-se Lino.

- Corrcto. Vamos entao tentar chegar a essa mesma conclusao at raves do calculo ...

- Ora, c so conscrvar a primeira fr ac;:ao c multipli ca­la pelo inverso cia scguncla - lembrou Tais.

A co nvitc de Sam uel, cia foi ate a lousa c resolveu:

_g_,J_= 1 . .3

~ 3 6 -x-=-1 1 1 Da seis sobrc um, que eo mesmo que seis. Exatamente

como na Figura . - Perfeito! Confirmamos matematicamente que um

terc;:o cabe seis vezes em dois inteiros. A turma gostou e pediu urn novo exemplo. - Esta bem . Digam-me quantos urn sexto cabem em

quatro sextos ... - Essa nao precisa nem de desenho - disse Juliana.

- Em quatro sextos cabem quatro vezes urn sexto! Samuel concordou e pediu que a garota calculasse ma­

tematicamente:

4 . 1 6·6= 4 6 6x1=

24 6

- Ue .. . Se urn sexto cabe quatro vezes em quatro sex­tos, por que nao deu o resultado que deveria dar? - estra­nhou ela.

i1

I•

In

IT

78 ?-----------------------------------------------------------~

- Que tal simplificar o resultado? - sugeriu Samuel. Juliana nao teve problemas para chegar ao resultado que

queria: rP-:ra dividir um'! fi81 r;:ao por outra e pre­ciso: · A_._!__

6'6-

A-x_§_- 24 :6 _ 6 1 - 6 :6 -

- E ... Da quatro mesmo.

~=4 1

Para concluir, Samuel pediu que os alunos registrassem a regra para divisao de fra<;oes nos cadernos:

- Para dividir duas frac;:oes, devemos multiplicar a pri­meira frac;:ao pelo inverso da segunda, simplificando sempre que possivel o resultado.

- multip/icar os ter­mos da primeira frar;:ao pelos ter­mos da inversa da segunda;

- simplificar o resul­t ado obtido, sem· pre que possfvel.

11-------- ---------------- -f

Descobrindo I

a solldariedade 1

IU pai de Alice acertara em cheio quando falara da

···I

0 excelente qualidade das terras de dona Rosa. Com a sequencia das chuvas eo trabalho paciente dos jovens, o plantio produziu alem das expectativas.

0 terreno ha muito abandonado se transfor-.__ mara em longos tapetes de alfaces verdinhas, urn mundo de repolhos e couves-flores, mas o que despertou aten­<;iio maior foi o tamanho dos tomates, cenouras e rabanetes.

Naquela manha quente de sabado, aproveitando que nao havia aulas, os jovens, em companhia de dona Rosa, se pu­seram a colher os primeiros produtos de sua plantac;:ao. Eram legumes e verduras como ha muito nao se via naquelas re­dondezas.

0 entusiasmo era geral: - Dona Rosa, acho que meu pai nunca colheu alface

desse tamanho la no sitio - comentava Alice animada. - E olha que nem usamos fertilizantes - acrescentou

a proprietaria, com indisfarc;:avel orgulho. - E, a terra aqui e boa mesmo e os agricultore~, me­

lhores ainda - anunciou Beto. A colheita estava quase no fim, quando Lino, que aju­

dava Beto a transportar urn caixote cheio de legumes, distraiu­se e trope~ou na mangueira esticada no chao. 0 garoto desequilibrou-se e caiu.

~

--------------------------------~~

Assustados, todos foram socorre-lo. Ao levantar-se, Li­no tinha as maos no tornozelo esquerdo e uma expressao de dor no rosto: ·

- Xii! Acho que torci o tornozelo! Dona Rosa imediatamente tentou tranquiliza-lo, pon­

do em pratica a sua longa experiencia de enfermeira: - Calma, meu filho. Tenho uma pomada boa laden­

tro. E s6 passa-la, fazer uma massagem e voce logo estara born.

Ajudado por seus amigos, Lino foi conduzido para den­tro da casa onde poderia ser mais bern atendido.

Apesar dos cuidados de dona Rosa, Lino continuava a scntir fortes dores. Resolveram, entao, passar na casa de Lino e juntamente com os pais dele foram leva-lo para tirar uma radiografia na cidade.

No carro, o que mais incomodava Lino nao era contu­do a dor:

- Puxa, turma! Logo agora que a gente estava termi­nando nossa primeira colheita! Eo pior e que ficou tudo Ia, debaixo desse sol quente. Acho que nao vamos conseguir ven: der had a ... Pelo jeito ... Adeus dinheiro ... Adeus instru-

·mcntos. - Que e isso, menino? - dona Rosa tentava anima­

lo. - Em primeiro Iugar vern a saude, e depois a colheita ... Apesar das palavras de dona Rosa, OS garotos nao con­

seguiam esconder sua frustra~ao.

Naquele dia a agitacao era grande na casa de dona Ro­sa. La estavam seus quatro s6cios e Samuel. Felizmente o tombo de Lino nao passara de urn grande susto sem maiores conseqi.iencias.

Todos riam e falavam muito, quando Tais lembrou: - Puxa, Samuel! Se voce nao tivesse chegado aqui na­

quele dia e guardado a nossa colheita na sombra, nao sei o que aconteceria.

- E, a minha chegada foi providencial mesmo -, re­conhecia Samuel em tom de goza~ao.- Quando percebi que nao havia ninguem por aqui tratei de proteger bern a colhei­ta e garantir a compra dos instrumentos do melhor conjun­to da regiao.

A gargalhada foi geral. A dona da casa era a mais feliz de todos e suas palavras eram sempre de gratidao para os jovens s6cios.

- Sabe, Samuel, esses garotos nao me ensinaram ape­nas a cui dar da terra ... Eles me deram uma li~ao de solida­riedade!

De repente, quando ela menos esperava, os jovens puseram-se a cantar urn parabens a voce. Beto, Lino e Alice

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acompanhavam de perto Tais, que trazia o bolo com uma velinha caprichosamente encaixada numa cenoura. Ao fi ­nal, a homenageada foi intimada a soprar.

- Nao estou entendendo ... Hoje nao e o meu aniver­s:hio. E se fosse, precisariam pelo menos umas sessenta ve­las a mais ... - justificou-se _a senhora.

Tais ouviu e falou por todos: - Para nos, a senhora esta completando seu primeiro

aniversario ... - De certa forma, e verdade, Tafs ... De fato, me sin to

como se tivesse renascido para uma vida melhor, mais sadia ... - 6timo, dona Rosa! ·Agora corte o bolo pra gente!

- pediu Lino. Antes que eta cortasse, Alice anunciou: - Aten<;:ao, gente . .. Este bolo delicioso foi feito pela

Tafs, com as primeiras cenouras colhidas no terreno de do­na Rosa .

A mulher abra<;ou-se a jovem e nao conseguiu mais fa­tar. Muito emocionada, avisou que ia preparar urn suco na cozinha, e saiu, assoando-se na borda do avental.

A alegria prosseguiu com todos falando ao mcsmo tem­po, comentando sobre o excelente lucro obtido e rindo mui ­to. Faziam-se pianos para a proxima etapa. E, naturalmentc, para montar urn conjunto musical de primeira linha.

Quando a dona da casa retornou a sala, recomc<;:ou o coro:

- Corta! Corta! Corta! Com as maos tremulas de emo<;:ao, dona Rosa fez ape­

nas urn corte simbolico e chamou Tais: - Ja fiz a minha parte, ja inaugurei o bolo ... Agora

voce e que vai calcular a fra<;:ao que cabera a cada urn dos presentes!

- Epa! Essa nao, dona Rosa! - retrucou a garota, pc­ga de surpresa.

Samuel, sempre por perto, cobrou: - 0 que e isso, Tais? Nao diga que voce nao sabe cal­

cular, que eu vou ficar com a cara no chao! Entao, ela explicou: - Claro que eu sei calcular, Samuel. .. 0 problema e

que vai ser muita fra<;ao para urn inteiro tao pequeno .

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