sebenta robotica industrial

Licenciatura em

Engenharia Electrotcnica e

Computadores

Robtica Industrial

Apontamentos Tericos

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2 Licenciatura em Engenharia Electrotcnica e Computadores

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Licenciatura em Engenharia Electrotcnica e Computadores 3

CONTEDO

1 Introduo .......................................................................................................................... 7

1.1 Origem do termo 'rob' ............................................................................................... 7

1.2 Algumas definies de Rob E ROBTICA ................................................................... 7

1.3 Classificao de robs .................................................................................................. 9

1.3.1 Geraes (cronologicamente) .............................................................................. 9

1.3.2 1.3.2 Nvel de inteligncia do controlador (pela JIrsA) ........................................ 9

1.3.3 Nvel de controlo dos programas no controlador .............................................. 10

1.3.4 Linguagem de programao ............................................................................... 10

1.4 Alguns marcos na histria da robtica ...................................................................... 10

1.5 Os manipuladores Robticos ..................................................................................... 11

1.5.1 Robtica fixa versus robtica mvel .................................................................. 11

1.5.2 Elementos principais de um manipulador (ou rob industrial) ......................... 11

1.6 O rob e a automao ............................................................................................... 13

1.6.1 Tipos de automao ........................................................................................... 13

1.6.2 Aplicaes tradicionais dos manipuladores industriais ..................................... 13

1.7 Importncia do robot industrial ................................................................................ 14

2 Descrio Espacial e Transformaes .............................................................................. 15

2.1 Descries, posio, orientao e eixos de coordenadas ......................................... 15

2.1.1 Descrio de um sistema de eixos de coordenadas; ......................................... 18

2.2 Mapeamento ............................................................................................................. 19

2.2.1 Translao .......................................................................................................... 19

2.2.2 Rotao ............................................................................................................... 20

2.2.3 Rotao+Translao ........................................................................................... 21

2.3 Operadores translao, rotao e transformao .................................................... 22

2.3.1 operadores translao ....................................................................................... 22

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2.3.2 Operadores Rotao........................................................................................... 23

2.3.3 Operadores Transformao ............................................................................... 24

2.4 Aritmtica de transformaes ................................................................................... 24

2.4.1 Multiplicao de matrizes de transformao .................................................... 25

2.4.2 Inverso de uma transformao ........................................................................ 25

2.5 Equaes de transformaes .................................................................................... 26

2.6 Mais sobre matrizes de orientao ........................................................................... 28

2.6.1 ngulos fixos x-y-z .............................................................................................. 29

2.6.2 ngulos de Euler z-y-x ........................................................................................ 30

2.6.3 Eixos equivalentes .............................................................................................. 31

3 Estrutura e Tipologia dos manipuladores ........................................................................ 34

3.1 Componentes ............................................................................................................ 34

3.1.1 Brao mecnico .................................................................................................. 34

3.1.2 Ponta ou Garra (End-effector) ............................................................................ 34

3.1.3 Actuadores ......................................................................................................... 35

3.1.4 Sensores ............................................................................................................. 37

3.1.5 Controlador ........................................................................................................ 39

3.2 Tipos de juntas ........................................................................................................... 40

3.2.1 Graus de liberdade e graus de mobilidade ........................................................ 40

3.2.2 Representao e arranjo cinernitico .................................................................. 41

3.2.3 0 brao humano ................................................................................................. 42

3.3 Espao de trabaLho e tipos de manipuladores ......................................................... 42

3.3.1 cartesiana (PPP) .................................................................................................. 43

3.3.2 cilindrica (RPP) .................................................................................................... 43

3.3.3 Esfrica (RRp) ..................................................................................................... 44

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3.3.4 Articulado Horizontal (RRp)................................................................................ 44

3.3.5 Articulado vertical .............................................................................................. 45

3.4 Resoluo, repetibilidade e preciso......................................................................... 45

4 Cinemtica direta ............................................................................................................. 46

4.1 Cinemtica de um manipulador ................................................................................ 46

4.1.1 Definio ............................................................................................................. 46

4.1.2 0 algoritmo da Cinemtica Directa ..................................................................... 47

4.2 Parmetros de juntas e elos ...................................................................................... 47

4.2.1 Eixo de uma junta ............................................................................................... 47

4.2.2 Os quatro parmetros de elos e juntas .............................................................. 48

4.2.3 Alguns exemplos de elos .................................................................................... 49

4.2.4 Os parmetros cinemticos variveis ................................................................ 53

4.2.5 Transformao associada a um elo ....................................................... 53

4.3 Atribuio dos sistemas de coordenadas .................................................................. 55

4.3.1 Exemplos bsicos de sistemas de coordenadas ................................................. 55

4.3.2 Algoritmo de Denavit-hartenberg ...................................................................... 58

4.3.3 Manipulador 5 DOF (Microbot alpha II) ............................................................. 59

4.3.4 Manipulador SCARA (4 DOF) .............................................................................. 61

4.4 ngulos finais de orientao em funo das variveis da junta ............................... 62

4.4.1 Comparao da matriz RPY com a matriz de tranformao final ............. 62

4.4.2 Limitaes de preciso e reformulao ............................................................. 63

5 Cinemtica Inversa ........................................................................................................... 65

5.1 O Problema ................................................................................................................ 65

5.1.1 Manipulador RR Planar ...................................................................................... 65

5.1.2 Resoluo para o manipulador RR a 3D ............................................................. 67

5.1.3 Mtodos e condies de existncia de solues ............................................... 68

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5.1.4 A redundncia cinemtica .................................................................................. 68

5.2 Algoritmo para uma Heurstica de Cinemtica Inversa ............................................. 70

5.3 Recurso a transformaes inversas e comparao dos elementos matriciais ......... 71

5.4 Soluo de uma equao usual no problema da cinemtica inversa ....................... 72

5.5 Algumas solues analticas padro .......................................................................... 73

5.5.1 Robot planar de 3 elos ....................................................................................... 73

5.6 Exerccios propostos .................................................................................................. 74

5.6.1 Punho esfrico .................................................................................................... 75

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1 INTRODUO

1.1 ORIGEM DO TERMO 'ROB'

O termo eslavo Roba significa trabalhos forados ou escravos, e teve a sua divulgao

numa pea de 1921 de Karel :Capek.

Numa evoluo do mito passando pelo sonho de Capek (entre outros) at fico dos

tempos correntes, o conceito de rob ou servo do homem tem ocupado a mentalidade do

ser humano. Um exemplo contemporneo dessa realidade foi dado pelo grande contributo

de Isaac Asimov, que chegou a definir as Leis da Robtica por volta de 1950:

1 LEI: UM ROB NO PODE MALTRATAR UM SER HUMANO, OU

PELA SUA PASSIVIDADE DEIXAR QUE UM SER HUMANO SEJA

MALTRATADO.

2 LEI: UM ROB DEVE OBEDECER AS ORDENS DADAS POR UM

SER HUMANO, EXCEPTO SE ENTRAREM EM CONFLITO COM A 1

LEI.

3 LEI: UM ROB DEVE PROTEGER A SUA PRPRIA EXISTNCIA

DESDE QUE ESSA PROTECO NO ENTRE EM CONFLITO COM A

1 OU 2 LEI.

1.2 ALGUMAS DEFINIES DE ROB E ROBTICA

Texto da FAQ comp.robics:

"Dispositivos electromecnicos pr-programveis para execuo de

uma variedade de funes."

Dicionrio Webster:

"Dispositivo automtico que executa funes normalmente

atribudas a humanos ou uma mquina com a forma de um

humano."

ESHED Robics. 1984

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"Um rob um brao mecnico; um manipulador concebido para

levar a cabo muitas tarefas diferentes, e capaz de ser programado

sucessivamente. Para levar a cabo as tarefas atribudas, o rob

move componentes, objectos, ferramentas e outros dispositivos

especiais por meio de movimentos e pontos pr-programados."

Em 1986. P. McKerrow props para rob a seguinte definio:

"Um rob uma mquina que pode ser programada para fazer

uma variedade de tarefas, do mesmo modo que um computador

um circuito electrnico que pode ser programado para fazer uma

variedade de tarefas."

McKerrow:

"Robtica a disciplina que envolve: a) o projecto, construo,

controlo e programao de robs; b) o uso de robs para resolver

problemas; c) o estudo dos processos de controlo, sensores e

algoritmos usados em humanos, animais e mquinas, e; d) a

aplicao destes processos de controlo e destes algoritmos para o

projecto de robs."

The Robot Institute of America

"Um rob manipulador multi-funcional, programvel, projectado

para mover materiais, componentes, ferramentas ou dispositivos

especiais atravs de movimentos programveis variveis pare a

execuo de uma variedade de tarefas."

Standard International ISO 8373:1994(E/F):

"Manipulating industrial robot: Automatically controlled,

reprogrammable multipurpose manipulator programmable in three

or more axes, which may be either fixed to place or mobile, of use in

industrial automation applications. The robot includes - the

manipulator - the control system (hardware and software). "

Usualmente o termo robtica emprega-se para indicar a disciplina associada ao uso e

programao de robs e a expresso engenharia robtica mais especifico e refere-se

construo de robs e dispositivos robticos.

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Nem todos os sistemas automticos so robs. Os sistemas automticos de funes fixas

como alguns brinquedos com mobilidade ou mesmo uma mquina de comando numrico

no so considerados robs. Para ter esse estatuto, dever o dispositivo ter uma capacidade

de programao e, mais ainda, de alguma adaptao ao problema prtico. Claramente, um

rob pressupe um sistema que interage fisicamente pelo movimento de certas

componentes mecnicas.

1.3 CLASSIFICAO DE ROBS

1.3.1 GERAES (CRONOLOGICAMENTE)

1-Robs executores (playback) - repetem uma sequncia de instrues pr gravada como a

pintura ou soldadura.

2-Robs controlados por sensores - possuem malhas fechadas de realimentao sensorial.

Tomam decises com base nos sensores.

3-Robs controlados por viso - a malha fechada de controlo inclui um sistema de viso

(imagem que processada).

4-Robs com controlo adaptativo - o rob pode reprogramar as suas aces com base nos

seus sensores.

5 Robs com inteligncia artificial - usa tcnicas de inteligncia artificial para tomar as suas

decises e at resolver problemas.

1.3.2 1.3.2 NVEL DE INTELIGNCIA DO CONTROLADOR (PELA JIRSA)

Dispositivos manuais operados por pessoas;

Robs de sequncias fixas;

Robs de sequncias variveis - onde o operador pode mudar a sequncia com facilidade.;

Rob executores (playback) - onde o operador humano guia o rob na execuo de uma

tarefa fixa;

Robs controlados numericamente - o operador fornece apenas o programa do movimento,

em vez de o ensinar manualmente;

Robs inteligentes percebem e interagem com alteraes no ambiente.

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1.3.3 NVEL DE CONTROLO DOS PROGRAMAS NO CONTROLADOR

Inteligncia artificial: instrues de alto nvel que sero decompostas pelo sistema em

funes de baixo nvel.

Modo de controlo: os movimentos do sistema so modelizados incluindo as interaces

dinmicas entre os diferentes mecanismos. As trajectrias so planeadas partida, bem

como os pontos de contacto com os elementos que vo ser manipulados. Deste modelo

formulada uma estratgia e os comandos de controlo so enviados para prximo nvel mais

baixo.

Servo-sistema: os actuadores controlam os parmetros do dispositivo usando os dados

sensoriais nas malhas de controlo.

1.3.4 LINGUAGEM DE PROGRAMAO

Sistema guiados: o operador indica os movimentos que o rob deve fazer.

Programao ao nvel do rob: o utilizador escreve um programa a especificar as sequncias

de movimentos que o rob ter de executar.

Programao ao nvel de tarefa: o programador especifica apenas as aces a tomar sobre

os objectos que o rob manipular.

1.4 ALGUNS MARCOS NA HISTRIA DA ROBTICA

1801 J. Jacquard inventou um tear programvel.

1959 Primeiro rob comercial introduzido pela Planet Corporation. Era controlado por

finsde-curso e excntricos.

1960 Primeiro rob "Unimate": princpios de controlo numrico e actuadores hidrulicos.

No ano seguinte foi instalado na Ford.

1968 Uni rob mvel desenvolvido no Stanford Research Institute: "Shakey". Tinha

cmara de vdeo e sensores de contacto.

1971 O brao de Stanford desenvolvido pela Universidade de Stanford com actuao

elctrica.

1973 Primeira linguagem de programao de robs: WAVE seguida em 1974 pela

linguagem AL. As duas deram lugar mais tarde ao aparecimento da VAL, linguagem comercial

da Unimation.

1978 PUMA introduzido pela Unimation

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1979 SCARA desenvolvido na Universidade de Yamanashi com introduo comercial em

1981.

1981 Rob com actuao directa ("direct drive") desenvolvido na CMU.

1983 Projecto para uma linha flexvel de montagem automatizada com o uso de robs.

1997 A Honda anuncia o primeiro rob humanide que sobe escadas.

1.5 OS MANIPULADORES ROBTICOS

1.5.1 ROBTICA FIXA VERSUS ROBTICA MVEL

As trs categorias principais de robs so:

Os manipuladores - robs industriais;

Os veculos auto-guiados (AGV);

Os robs mveis.

As principais diferenas entre estas categorias incidem nos seguintes pontos:

-Conhecimento contnuo da posio (verdade nos braos);

-Aplicaes distintas (manipulao e transporte);

-Necessidade de percepo do ambiente (crucial nos mveis);

-Tipo de programao usada (normalmente mais exigente nos rob mveis).

1.5.2 ELEMENTOS PRINCIPAIS DE UM MANIPULADOR (OU ROB INDUSTRIAL)

1.5.2.1 BRAO E PUNHO (ARM-WRIST)

O brao a parte do manipulador que est normalmente associada ao posicionamento

zyx ,, espao fsico cartesiano ou operacional. O punho afecta essencialmente a

orientao ,, da garra, pina ou outros terminadores (end effector).

Todavia, muito comum que haja efeitos cruzados o brao afectar tambm a orientao

e o punho afectar a posio cartesiana. Estes componentes de um manipulador so

constitudos por partes rgidas, os elos (links), ligados entre si pelas juntas (joints).

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Figura 1-1 - Elos e junta de um manipulador

1.5.2.2 O CONTROLADOR

Unidade capaz de gerar informao de activao de um ou mais actuadores com base num

algoritmo de controlo. Esse algoritmo pode levar em linha de conta o comando desejado, o

estado actual do actuador e o prprio ambiente. Um dos algoritmos mais comuns recorre ao

chamado controlo PID (proporcional-integral-derivativo).

O controlador pode incluir a unidade de potncia, ou seja, o elemento que liga directamente

ao actuador, fornecendo-lhe a energia que necessita com base numa informao de baixo

teor energtico, como so os sinais elctricos sada de muitos controladores. Porm

tambm comum que a unidade de potncia esteja fisicamente separada do controlador.

Por vezes, o controlador faz parte de um sistema maior de interface com o utilizador como

o caso de um computador pessoal. Nestes casos o controlador pode assumir a forma de uma

carta de expanso do prprio computador, ou ser um dispositivo exterior que comunica com

o computador de uma forma padro, como por exemplo, uma ligao srie RS232.

Esta integrao num computador, devido ao abundante nmero de ferramentas de interface

disponveis, permite mais facilmente especificar os comandos desejados para o controlador,

ou at de os gerar de forma automtica, como fazem muitos programas (software).

1.5.2.3 ACTUADORES

Dispositivos que geram e impem movimento a uma qualquer parte mecnica pelo

desenvolvimento de foras e binrios baseada num principio fsico de converso de energia.

Podem ser, por exemplo, motores elctricos, cilindros hidrulicos ou pneumticos,

electromanes, etc. Tm muitas vezes associados elementos adicionais de transmisso

mecnica.

1.5.2.4 SENSORES

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Elementos destinados medio do estado interno do manipulador bem como percepo

do ambiente exterior. Principais tipos de sensores usados num manipulador: codificadores,

fins-de-curso, sensores de fora, detectores de proximidade capacitivos e indutivos, etc.

Comando

desejado

Fonte de

energia para os

actuadores

Controlador (decide

que medida de

actuao deve ser

imposta)

Unidade de potncia

(fornece energia ao

actuador com base

nas ordens do

controlador)

Actuador (gera deslocamento

linear ou rotacional)Sensor

Figura 1-2 - Um sistema de controlo tradicional

1.6 O ROB E A AUTOMAO

1.6.1 TIPOS DE AUTOMAO

A automao pode ser de dois tipos fundamentais: rgida e flexvel (programada).

Rgida cada componente do sistema tem sempre a mesma funo ou conjunto limitado de funes, sem possibilidade de alterao de modo simples, obrigando existncia de vrios componentes por vezes afins.

Flexvel - a multiplicidade de componentes da automao rgida reduzida pela introduo de um sistema mais verstil: caso dos manipuladores

1.6.2 APLICAES TRADICIONAIS DOS MANIPULADORES INDUSTRIAIS

As aplicaes tradicionais mais importantes so as seguintes: manipulao de materiais,

soldadura (spot welding), pintura a spray. H muitos construtores de robs manipuladores

no mundo actual: alguns exemplos mais importantes de construtores e marcas so: ABB.

KUKA, STAUBLI, ADEPT e PUMA.

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Pintura a Spray Soldadura Polimento

Figura 1-3 Algumas aplicaes industriais de manipuladores

1.7 IMPORTNCIA DO ROBOT INDUSTRIAL

O rob industrial v a sua importncia surgir a vrios nveis:

Tcnica: Vantagem e versatilidade;

Humana: Tarefas pesadas ou desagradveis para humanos;

Econmica: Um mesmo equipamento pode ter mltiplas funes e substituir vrios

equipamentos distintos.

A atestar a importncia do rob industrial vm os nmeros expressos na figura seguinte. O

parque robtico mundial estima-se que atingiu 8,6 milhes de robs em 2008 (Fonte:

Relatrio anual da International Federation of Robotics (IFR), 2008).

Figura 1-4 Populao robtica mundial (Revista IEEE Spectrum com dados da World Robotics 2009 da IFR)

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2 DESCRIO ESPACIAL E TRANSFORMAES

Um rob manipulador pode definir-se como um mecanismo que permite a movimentao

de partes e ferramentas num determinado espao. Como tal existe a necessidade de

representar a posio e orientao das partes, ferramentas e do prprio mecanismo de

movimentao no espao. Este captulo fornece as bases e ferramentas matemticas

essencias representao do rob no espao.

2.1 DESCRIES, POSIO, ORIENTAO E EIXOS DE COORDENADAS

Uma descrio utilizada para especificar os atributos dos vrios objectos que fazem parte

do sistema de manipulao. Assim que um sistema de coordenadas definido possvel

localizar qualquer ponto do universo atravs de um vector de posio de dimenso 31. A

cada vector de posio necessrio associar um sistema de coordenadas.

A Figura seguinte mostra o sistema de coordenadas {A} com trs vectores unitrios

mutuamente ortogonais.

Figura 2-1 Sistema de coordenadas {A} com respetivos vetores unitrios

Um ponto AP representado pelo vector:

Para alm da posio, a representao da orientao de um corpo no espao tambm

fundamental para representar a sua localizao .

z

y

x

A

p

p

p

P

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Figura 2-2 Representao da orientao

Relativamente Fig. 2-2, a localizao correcta da garra s est completamente definida,

quando houver informao sobre a sua orientao. Se o manipulador tiver um nmero

suficiente de juntas, ento para uma determinada posio no espao (x,y,z), a garra pode ter

vrias orientaes.

Para descrever a orientao de um corpo, procede-se associao de um sistema de

coordenadas a esse corpo. De seguida deve-se descrever esse sistema de coordenadas em

relao ao sistema de coordenadas de referncia, tambm conhecido como o eixo de

coordenadas do mundo (World-Frame).

Na Fig. Seguinte o sistema de coordenadas {B} foi associado ao corpo (garra) numa

determinada forma conhecida.

Figura 2-3 Representao da orientao

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Para saber a orientao do corpo (garra) suficiente conhecer a descrio de {B} em relao

a {A}. Ou seja, as posies dos pontos so descritas atravs de vectores, enquanto que a

orientao descrita a partir da associao de um corpo a um sistema de coordenadas.

A pergunta que se coloca a seguir como que se descreve o sistema de eixos de

coordenadas {B}?

Uma forma possvel consiste em descrever os versores, ou vetores unitrios, dos trs eixos

principais de {B} em relao ao sistema de eixos de coordenadas {A}. Para tal, considere-se

as seguintes notaes para o sistema de eixos de coordenadas {B}:

Considere-se ainda a seguinte notao para definir um sistema {B}, em relao ao sistema de

referncia {A} :

Colocando os ltimos trs vectores como as trs colunas de uma matriz 33, obtm-se a

matriz de rotao do sistema. Esta matriz descreve {B} em relao a {A};

333231

232221

131211

rrr

rrr

rrr

ZYXR BA

B

A

B

AA

B

Relativamente s componentes rij da matriz de rotao, reala-se que as componentes de

qualquer vector consistem na projeco desse vector nas direces unitrias do sistema de

referncia. Adicionalmente, cada componente pode ser escrito como o produto interno de

um par de versores. Ou seja, uma materiz de rotao pode ser genericamente descrita da

seguinte forma:

ABABAB

ABABAB

ABABAB

A

B

B

A

B

A

B

AA

B

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

R

ZYXR

RAB

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Note-se que as linhas da matriz de rotao consistem nos versores de {A} expressos em

relao a {B}.

Logo a matriz de rotao dada pela transposta da matriz . Ou seja, a inversa da

matriz de rotao igual sua transposta.

2.1.1 DESCRIO DE UM SISTEMA DE EIXOS DE COORDENADAS;

Por convenincia define-se que o ponto do corpo cuja posio conhecida a origem do

sistema de eixos de coordenadas associado a esse corpo.

Normalmente a associao dos quatro vectores que definem um ponto (x,y,z) e um sistema

de eixos de coordenadas (que define a orientao do corpo) designa-se por referencial -

frame. Um referencial tambm poder ser entendido como uma associao entre um

vector (que define a posio) e uma matriz de rotao.

Figura 2-4 Exemplos de referenciais

Note-se que um referencial um sistema de eixos de coordenadas, o qual, para alm da

orientao integra um vector posio que localiza a sua origem em relao a outros

referenciais.

O referencial {B} descrito pela matriz de rotao e pelo vector posio APBORG . Este

ltimo localiza a origem do referencial {B}.

RBA RA

B

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Figura 2-5 Definio do referencial {B} em relao ao referencial {A}

Em suma, o referencial {B} pode ser definido por um vetor posio e por uma matriz de

rotao.

BORGAAB PRB ,

2.2 MAPEAMENTO

Um problemas da robtica consiste em expressar a mesma quantidade associada a

diferentes sistemas de eixos de coordenadas. A questo agora prende-se com as

ferramentas matemticas que permitem as mudanas de referencial.

2.2.1 TRANSLAO

Na Fig. 2-5 aparece uma posio definida pelo vector BP. Neste momento pretende-se

expressar ponto no espao em relao ao referencial {A}, sabendo que o referencial {A}

possui a mesma orientao do referencial {B}.

Neste caso o referencial {B} difere do {A} devido ocorrncia de uma translao dada pelo

vector APBORG, o qual nos d a localizao da origem de {B} relativamente a {A}.

Dado que quer o vector BP, quer o vector APBORG esto definidos para referenciais com a

mesma orientao possvel calcular um ponto P relativo ao referencial {A}, AP, apenas pela

adio dos dois vectores.

BORG

ABA PPP

Note-se que s possvel adicionar vectores de referencias diferentes se estes tiverem a

mesma orientao. No ltimo exemplo pode-se afirmar que o vector APBORG define o

mapeamento, dado que toda a informao necessria para realizar a mudana de referencial

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est contida em APBORG (sabendo-se ainda que os referenciais possuem a mesma

orientao).

2.2.2 ROTAO

A orientao descrita por trs versores, os quais so armazenados numa matriz 33, que se

designa por matriz de rotao. Se esta matriz descreve um referencial {A} em relao a um

referencial {B}, ento aplica-se:

T

A

B

T

A

B

T

A

B

B

A

B

A

B

AA

B

TB

A

B

A

A

B

Z

Y

X

ZYXR

RRR

1

O problema agora consiste em saber a descrio de um ponto em relao a um referencial

{A}, quando o que se conhece a sua descrio em relao a um referencial {B}, sabendo

ainda que as origens dos dois referencias so coincidentes.

O clculo desta descrio possvel, bastando para tal conhecer a orientao de {B} em

relao a {A}.

Esta orientao dada pela matriz de rotao, cujas colunas so constitudas pelos vectores

unitrios de {B} definidos em relao a {A}.

Figura 2-6 Rotao do referencial {B} em relao ao referencial {A}

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Para calcular o vector AP importante notar que os componentes de qualquer vector so

simples projeces desses vectores nas direces unitrias dos seus referenciais. A projeco

calculada a partir de um produto interno, logo as componentes de AP ficam da forma:

PZP

PYP

PXP

B

A

B

z

A

B

A

B

y

A

B

A

B

x

A

Expressando o ltimo sistema de equaes em termos da matriz de rotao, obtm-se:

PRP BABA

Esta ltima equao implementa o mapeamento, i.e., muda a descrio de um vector BP,

que descreve um ponto associado ao referencial {B}, para AP, que descreve o mesmo ponto

relativo ao referencial {A}.

2.2.3 ROTAO+TRANSLAO

Considere-se agora o caso geral em que se pretende um mapeamento que efectue uma

rotao e uma translao em simultneo. Neste caso a origem do referencial {B} no

coincidente com a origem do referencial {A}, conhecendo-se, porm, o vector APBORG que

localiza a origem de {B} em relao a {A}. Para alm disso, {B} tem uma orientao diferente

de {A}, a qual descrita pela matriz de rotao definida anteriormente.

Para resolver este problema procede-se da seguinte forma:

1. Primeiro descreve-se BP em relao a um referencial intermdio que possui a

mesma orientao de {A} e origem coincidente com {B}, ou seja, multiplica-se BP pela

matriz de rotao.

2. De seguida basta adicionar APBORG, obtendo-se a descrio do ponto em relao ao

referencial {A}.

BORG

ABA

B

A PPRP

Figura 2-7 Rotao e translao do referencial {B} em relao ao referencial {A}

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No entanto seria prefervel que a ltima equao fosse apresentada numa forma mais

conceptual, i.e.:

PTP BABA

A equao anterior inclui uma nica matriz de transformao capaz de mudar a descrio de

um ponto de um referencial para outro.

Para se obter a ltima equao necessrio definir a matriz de transformao 44 e o vector

de posio 41:

1|000

____|_________

|

1

___

1|000

____|_________

|

1

___

BORG

AA

B

A

B

BBORG

AA

BA

PR

T

PPRP

A matriz 44 apresentada na equao anterior designada por matriz de transformao

homognea.

2.3 OPERADORES TRANSLAO, ROTAO E TRANSFORMAO

As formas matemticas utilizadas para mapear pontos de uns referenciais para outros,

podem tambm ser interpretados como operadores que realizam a translao de pontos,

rodam vectores, ou ambos.

2.3.1 OPERADORES TRANSLAO

Uma translao responsvel por mover um ponto no espao, por uma distncia finita, ao

longo de um determinado vector de direco. Para realizar a translao de um ponto s

necessrio um referencial.

Note-se que a translao de um ponto no espao realizado utilizado as mesmas operaes

matemticas necessrias para realizar o mapeamento de um ponto para um segundo

referencial.

A Figura seguinte mostra como um vector AP1 sofre uma translaco atravs de um vector AQ1, este ltimo contm a informao necessria para realizar a translao.

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Figura 2-8 Operador translao

Obtm-se um vector AP2 da seguinte forma:

QPP AAA 12

Para escrever esta operao de translao atravs de um operador matricial, deve-se utilizar

a seguinte notao:

12 )( PqDPA

Q

A

Q consiste na amplitude da translao ao longo da direco, dada pelo vector AQ. O

operador DQ consiste numa forma especial da matriz de transformao homognea. Onde

qx, qy e qz so os componentes do vector de translao AQ e q a distncia:

222

zyx qqqq

2.3.2 OPERADORES ROTAO

Outra interpretao da matriz de rotao consiste no operador rotao que opera sob um

vector AP1 e o transforma num vector AP2, por meio de uma rotao R.

12 PRPAA

Tambm aqui a matriz de rotao que roda um determinado vector de R, a mesma matriz

que roda um referencial em relao a outro.

Embora a matriz de rotao seja facilmente entendida como um operador, define-se agora

uma outra notao para operador rotacional, a qual indica de forma clara qual o eixo que se

encontra a ser rodado.

12 )( PRPA

K

A

Nesta notao RK() um operador rotacional que realiza a rotao de em torno do eixo K.

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Este operador pode ser reescrito como a matriz de transformao homognea, cujo vector

de posio zero. Uma rotao de graus em torno do eixo dos Z dada pela seguinte

matriz de transformao homognea:

Figura 2-9 Operador rotao

Note-se que para realizar uma rotao apenas basta utilizar a matriz de rotao 33.

2.3.3 OPERADORES TRANSFORMAO

Tal como no caso dos vectores e das matrizes de rotao, um referencial tem uma outra

interpretao que se designa por operador transformao. Nesta interpretao apenas se

encontra envolvido um referencial, utilizando-se apenas o smbolo T para designar a

transformao.

O operador T roda e realiza a translao um vector AP1 de modo a obter-se um novo vector AP2, ou seja:

12 PTPAA

Note-se que a transformao que realiza uma rotao R e uma translao DQ a mesma

transformao que descreve um referencial com uma rotao R e translao DQ em relao a

outro referencial.

2.4 ARITMTICA DE TRANSFORMAES

As duas operaes elementares que constituem o conjunto de operadores de

transformaes:

Multiplicao de matrizes de transformao;

Inverso de matrizes de transformao.

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2.4.1 MULTIPLICAO DE MATRIZES DE TRANSFORMAO

A Figura seguinte mostra um exemplo em que se conhece CP e pretende-se determinar AP.

Figura 2-10 Aritmtica de transformaes

De acordo com a figura 2-10, o referencial {C} conhecido em relao ao {B}, sendo este

ltimo conhecido em relao ao referencial {A}. Deste modo pode-se transformar CP em BP,

do seguinte modo:

PTP CBCB

De seguida basta transformar BP em AP:

PTP BABA

Combinando as duas ltimas equaes obtm-se:

PTTP CBCA

B

A

Deste modo pode ento definir-se:

1|000

|

| BORGA

CORG

BA

B

B

C

A

B

A

C

B

C

A

B

A

C

PPRRR

T

TTT

2.4.2 INVERSO DE UMA TRANSFORMAO

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Considere-se um referencial {B} que conhecido em relao a um referencial {A}. Por vezes

conveniente inverter a matriz de transformao de modo a obter-se a descrio de {A} em

relao a {B}. Sabendo que:

TA

B

B

A RR

De seguida obtm-se a descrio de APBORG em relao ao referencial {B}:

AORG

B

BORG

AB

ABORG

AB PPRP )(

O lado esquerdo da ltima equao tem de ser zero, portanto:

BORG

ATA

BBORG

AB

AAORG

B PRPRP

De seguida obtm-se a descrio de {A} em relao ao referencial {B}:

1|000

|

| BORGATA

B

TA

B

B

A

PRR

T

2.5 EQUAES DE TRANSFORMAES

A Figura seguinte mostra uma situao em que o referencial {D} pode ser expresso a partir

de produtos de matrizes de transformao.

Figura 2-11 Equaes de transformaes

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Isto pode ser feito de duas formas:

TTT ADU

A

U

D

Ou:

TTTT CDB

C

U

B

U

D

Igualando os dois ltimos resultados, obtm-se a equao da transformao:

TTTTT CDB

C

U

B

A

D

U

A

Estas equaes podem ser utilizadas para resolver transformaes, em que existam n

transformaes desconhecidas e n equaes de transformaes. Tendo em conta a ltima

equao, caso se conhecessem todas as transformaes excepto :

11 TTTTT CDA

D

U

A

U

B

B

C

Notar que a direco das setas indica qual o referencial de referncia. Para a figura, duas

descries possveis de {C} so:

Figura 2-12 Equaes de transformaes

TTT

TTTT

B

C

U

B

U

C

D

C

D

A

U

A

U

C

1

Resolvendo agora em relao a TUA , por exemplo:

TTTTT DAD

C

B

C

U

B

U

A 1

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2.6 MAIS SOBRE MATRIZES DE ORIENTAO

As matrizes de rotao, tal como foram vistas at agora, tm as seguintes caractersticas:

Todas as colunas mutuamente ortogonais;

Amplitude de 1;

O determinante destas matrizes 1, sendo por isso designadas por matrizes prprias

ortonormais.

Ser possvel representar uma matriz de rotao com menos de 9 nmeros? A frmula de

Cayley para matrizes ortonormais diz que para qualquer matriz prpria ortonormal, R, existe

uma matriz anti-simtrica S, tal que:

131

3

SISIR

Onde I3 uma matriz identidade 33. A matriz anti-simtrica especificada por trs

parmetros (sx,sy,sz).

0

0

0

xy

xz

yz

ss

ss

ss

S

Uma consequncia imediata da frmula de Cayley que qualquer matriz de rotao pode

ser representada por apenas trs parmetros.

Os nove elementos da matriz de rotao no so independentes. Escrevendo a matriz de

rotao fcil perceber as seis dependncias entre os elementos:

ZYXR

Estes trs vectores so os versores de um determinado referencial. Como todos so vectores

unitrios e tm de ser mutuamente perpendiculares, conclui-se que existem seis restries

sobre os nove elementos da matriz de rotao, as quais se apresentam de seguida:

0

,0

,0

,1

,1

,1

ZY

ZX

YX

Z

Y

X

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2.6.1 NGULOS FIXOS X-Y-Z

Um mtodo de descrever a orientao de um referencial {B} o seguinte:

Comear com o referencial {B} coincidente com {A};

o Rodar {B} um ngulo em torno de XA;

o Rodar {B} um ngulo em torno de YA;

o Rodar {B} um ngulo em torno de ZA;

O termo fixo serve para indicar que as rotaes so feitas sobre um referencial fixo. Esta

conveno normalmente designada pelos ngulos roll, pitch e yaw.

Figura 2-13 ngulos fixos

A matriz de rotao equivalente ento obtida da seguinte forma (onde c significa cos e s

significa sin):

cs

sc

cs

sc

cs

sc

R

RRRR

XYZ

A

B

XYZXYZ

A

B

0

0

001

0

010

0

100

0

0

,,

,,

Note-se que a ordem da multiplicao tem de ser respeitada. Realizando a multiplicao

obtm-se:

ccscs

sccssccssscs

sscsccsssccc

XYZ ,,

Este resultado implica a ordem de rotao X-Y-Z.

O problema inverso, i.e., extrair os ngulos fixos de uma matriz de rotao tambm tem

bastante interesse. A obteno da soluo consiste em resolver nove equaes (trs

incgnitas) que se obtm igualando a ltima matriz matriz de rotao:

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333231

232221

131211

,,

rrr

rrr

rrr

RXYZA

B

Para se obter os ngulos, basta resolver:

cr

cr

A

cr

cr

A

rrrA

3332

1121

2

21

2

1131

,2tan

,,2tan

,,2tan

2.6.2 NGULOS DE EULER Z-Y-X

Outro mtodo de descrever a orientao de um referencial {B} o seguinte:

Comear com o referencial {B} coincidente com {A} conhecido;

o Rodar {B} um ngulo em torno de ZB;

o Rodar {B} um ngulo em torno de YB;

o Rodar {B} um ngulo em torno de XB;

Nesta representao cada rotao realizada em torno de um eixo do sistema em

movimento {B}, ao contrrio do referencial fixo {A}. Este conjunto de trs rotaes designa-

se por ngulos de Euler.

Figura 2-14 ngulos de Euler

Note-se que a rotao realizada em torno de um eixo cuja localizao depende da rotao

anterior. De acordo com a Figura 2-14:

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A rotao de em torno de Z faz com que o eixo X rode para X e Y para Y;

A matriz de rotao tem os ndices especificados por linhas, indicando que a

parametrizao teve por base ngulos de Euler.

Ainda relativamente Figura, podem-se usar referenciais intermdios {B} e {B}, de modo a

obter-se a expresso de ABRZYX(,,):

RRRR BBB

B

A

B

A

B

'''

'''

A matriz de rotao equivalente ento obtida da seguinte forma (onde c significa cos e s

significa sin):

cs

sc

cs

sc

cs

sc

R

RRRR

XYZ

A

B

XYZXYZ

A

B

0

0

001

0

010

0

100

0

0

,,

,,'''

Note-se que a ordem da multiplicao tem de ser respeitada. Realizando a multiplicao

obtm-se:

ccscs

sccssccssscs

sscsccsssccc

R XYZA

B ,,'''

Este resultado exactamente igual ao obtido para os ngulos fixos. Trs rotaes realizadas

em torno de eixos fixos origina o mesmo resultado que trs rotaes na ordem inversa em

torno de eixos em movimento.

2.6.3 EIXOS EQUIVALENTES

A notao RX(30) corresponde descrio da orientao em torno do eixo X de 30; Esta

notao corresponde a um exemplo de uma representao de eixos equivalentes. O mtodo

de descrever a orientao de um referencial {B} o seguinte:

Comear com o referencial {B} coincidente com {A} conhecido;

Rodar {B} um ngulo em torno de um vector AK de acordo com a regra da mo

direita;

O vector K tambm conhecido como o eixo equivalente de uma rotao finita.

Em termos globais, uma orientao de {B} em relao a {A} pode ser representada por A

BR(K,), ou por RK().

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Figura 2-15 Eixos equivalentes

Escolhendo os eixos de {A} como os eixos de rotao equivalentes, as matrizes de rotao

passam a ser:

100

0cossin

0sincos

)(

cos0sin

010

sin0cos

)(

cossin0

sincos0

001

)(

Z

Z

X

R

R

R

Observando a Fig 2.15, se a rotao for em torno de um eixo geral:

cvkkskvkkskvkk

skvkkcvkkskvkk

skvkkskvkkcvkk

R

zzxzyyzx

xzyyyzyx

yzxzyxxx

K

Onde v=1-cos e AK=[kx ky kz]

T. O sinal de definido pela regra da mo direita.

Caso o vector em torno do qual se faz a rotao no passar pela origem:

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Determinar {A} e {B} que tm a mesma orientao de {A} e {B};

{A} e {B} sofreram uma translao em relao a {A} e {B} que os coloca com a sua

origem coincidente com a do vector K (eixo de rotao).

TTTT BBA

B

A

A

A

B

''

''

Figura 2-16 Eixos equivalentes

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3 ESTRUTURA E TIPOLOGIA DOS MANIPULADORES

3.1 COMPONENTES

3.1.1 BRAO MECNICO

O brao mecnico constitudo por juntas e elos (joints and links). Os elos so usualmente

blocos alongados rgidos, e so ligados uns aos outros atravs das juntas. Os elos podem

variar a sua posio relativa e estilo normalmente associados em srie. Existem

variadssimas combinaes de elos e juntas de acordo com as aplicaes, e que mais adiante

se descrevero os tipos mais comuns.

3.1.2 PONTA OU GARRA (END-EFFECTOR)

Componente ligado extremidade do brao, isto , ligado ao ltimo elo do manipulador, e

que tem funes adicionais (agarrar ou prender um objecto. ou ainda um dispositivo com

funes adicionais mais especificas). A ponta ou end-effector pode ser do tipo garra (gripper)

ou uma ferramenta (tool).

3.1.2.1 GARRAS

As garras de preenso mecnica (pinga) so bastante comuns e eis de seguida alguns

exemplos:

Figura 3-1 Alguns princpios e tipologias de garras

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De notar o tipo de foras/movimentos aplicados e os resultados nas diversas situaes.

Saliente-se a garra do topo direito que pode servir para agarrar objectos de dimenso

varivel graas A sua mola. Ou ainda, a garra na ltima ilustrao, na regio inferior direita,

cujos dedos (pingas) de deslocam de forma perfeitamente linear. Alm das garras do tipo

pina h ainda aquelas de funcionamento baseado em:

Vcuo;

Magntica;

Adesivos;

Ou outros tipos dos quais se destacam as mos antropomrficas.

Figura 3-2 Mo (garra) antropomrfica

3.1.2.2 FERRAMENTAS

Nas ferramentas a variedade muito grande mas as principais incluem as seguintes:

Soldadura;

Corte jacto de gua;

Furador polidor, etc.

3.1.3 ACTUADORES

Os componentes que utilizam uma fonte de energia para mover as juntas so de trs tipos

essenciais. Eis uma breve comparao dos trs tipos de actuadores:

Caracterstica Tipos de Actuadores

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Elctricos Hidrulicos Pneumticos

Controlo Fcil, mas pode ser elaborado

Actualmente mais simples com as electro-vlvulas servo

Muito difcil devido s questes de compressibilidade do ar

Velocidade Grande Mdia/grande Muito grande

Binrio a baixa velocidade

Pequeno/mdio Grande Pequenos

Preciso (repetibilidade) Boa e limitada pelo uso de transmisso

Boa M, excepto em operaes a posies fixas

Preciso em situao esttica

Mau, requer traves Excelente, trata-se do funcionamento normal

Boa, no h risco de danificao do sistema

Questes ambientais Arcos elctricos podem ser indesejveis

Perigo de fugas de leo Sistemas limpos, poluio sonora devido aos compressores e fugas

Custos Relativamente baixos Elevado Relativamente baixos

Tabela 1: Breve comparao dos principais tipos de actuadores

Em cada junta h normalmente um actuador. Ao contrrio, no corpo humano h

normalmente dois msculos por cada junta (articulao) para a moverem em direces

opostas.

3.1.3.1 TIPO DE ACTUAO

Directa - o elemento mvel do actuador acoplado junta directamente.

Indirecta - o elemento mvel do actuador acoplado junta mediante um sistema

de transmisso.

Figura 3-3 Ilustrao da actuao directa e indirecta

Os motores elctricos so normalmente usados em actuao indirecta (indirect drive) devido

combinao alta velocidade/binrio baixo. So excepes os casos dos motores especiais

como os motores passo a passo, ou os chamados direct-drive motors, que tm uma

concepo especial e permitem altos binrios a baixas rotaes. Porm, alguns destes tipos

so par enquanto motores de grandes dimenses e peso, portanto limitados a poucas

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aplicaes nos manipuladores: possvel encontr-los na base, ou seja, a actuar a primeira

junta do manipulador.

3.1.4 SENSORES

Fornecem informao ao controlador, nomeadamente em que local esto as diversas juntas

do manipulador Alm destes sensores internos h tambm os interruptores de fim de curso

que delimitam as deslocaes extremas das juntas. Existem tambm os sensores externos

dedicados a recolher informao adicional sobre o ambiente.

3.1.4.1 SENSORES DE POSIO

3.1.4.1.1 POTENCIMETRO

Num potencimetro o movimento do cursor pode ser linear ou rotacional (angular). Para um

potencimetro a tenso de sada dada por )()( tKtVO .

Figura 3-4 Ilustrao da actuao directa e indirecta

3.1.4.1.2 CODIFICADORES PTICOS INCREMENTAIS E ABSOLUTOS

Os codificadores (especialmente os pticos) apresentam a vantagem de no possuir

contactos sujeitos a desgaste, o que sucede com o cursor de um potencimetro.

O deslocamento uma das poucas grandezas que pode ser traduzida numa sada digital,

sem a necessidade de utilizar conversores A/D. os codificadores podem ser do tipo:

Incrementais: medem o deslocamento a partir de um ponto inicial de partida. So

normalmente conhecidos com Encoders Incrementais.

Absolutos: medem o deslocamento em relao a um ponto de referncia interno

fixo. Este tipo de sensor apresenta o deslocamento em incrementos codificados

discretamente.

A natureza dos sectores e o tipo de dispositivo de leitura, depende do tipo de transdutor

utilizado. Com um deslocamento ptico incremental de uma pista impossvel distinguir o

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sentido de rotao. Essa dificuldade pode ser superada se forem usadas duas pistas, cada

uma desfasada de de perodo.

Figura 3-5 Codificador ptico incremental

Figura 3-6 Codificador ptico absoluto

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Os Sensores pticos absolutos possuem o mesmo princpio de operao que os sensores

incrementais, excepto que possuem quatro ou mais pistas. Os sectores so arranjados de tal

maneira que um cdigo binrio nico seja produzido de acordo com a posio.

Tipos de cdigos utilizados:

Binrio natural: mais simples, requer pistas adicionais para detectar erros.

Cdigo Gray: apenas se altera um bit de cada vez. Isso traz menor margem de erro

causado por imperfeies de alinhamento dos circuitos de leitura.

3.1.4.1.3 SENSORES DE VELOCIDADE E ACELERAO

A princpio possvel determinar a velocidade instantnea e a acelerao pela diferenciao

electrnica do sinal de sada de um sensor de deslocamento. A primeira derivada d a

velocidade dt

dxv e a segunda derivada a acelerao.

3.1.5 CONTROLADOR

O controlador o componente que determina e, frequentemente, monitoriza o movimento

de cada junta. Geralmente o controlador faz outras operaes relacionadas com a aplicao.

A operao fundamental a funo de controlo em cada junta, isto , o processo pela qual

se procura que os elos/juntas fiquem posicionados ou tenham o movimento desejado numa

dada tarefa a cumprir. Esse processo tem de obviar os problemas de que as aces de um

certo actuador no tm os efeitos desejados, ou seja, ter de haver um controlo em malha

fechada ou chamado controlo com realimentao. Note-se porm que h sistemas

(mormente didcticos) onde o controlo feito em malha aberta. Quer isso dizer que os

actuadores so activados e que se espera que cumpram exactamente o previsto. Isso

possvel em certa medida com motores passo-a-passo.

Se designarmos por a entrada de um controlador, e diferena entre a sada desejada

para o sistema (actuador) e a sua real sada chamarmos erro , as funes de controlo

mais comuns so as seguintes:

On/OFF:

Proporcional:

Proporcional+Diferencial:

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Proporcional+Integral+Derivativo:

3.2 TIPOS DE JUNTAS

As juntas so essencialmente de dois grandes tipos:

As prismticas (P) onde o movimento relativo dos elos linear.

As rotacionais (R) onde o movimento relativo dos elos rotacional.

Existe ainda um terceiro tipo de junta designada par esfrica (S) que no fundo a

combinao de trs juntas rotacionais com o mesmo ponto de rotao.

a) Junta Rotacional b) Junta Prismtica c) Junta Esfrica

Figura 3-7 Principais tipos de juntas

Na maioria dos manipuladores as juntas so normalmente divididas em dois grupos:

Juntas principais (3 juntas mais prximas da base).

Juntas secundrias ou juntas do punho (as restantes juntas, mais prximas do end

effector).

3.2.1 GRAUS DE LIBERDADE E GRAUS DE MOBILIDADE

O conceito graus de liberdade (degrees-of-freedom - DOF) exprime o nmero total de

movimentos independentes que um dispositivo pode efectuar. Um cubo no espao a 3

dimenses pode deslocar-se ao longo dos trs eixos e tambm rodar em torno de cada um

deles, dando assim um total de 6 graus de liberdade para a sua movimentao.

Um conceito diferente termo os graus de mobilidade, associados ao nmero de juntas

existentes. Um exemplo comum desta diferena o trip: na verdade em cada p existe

vrias juntas prismticas que afectam o mesmo, isto , ao longo daquele eixo em particular.

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Se em cada p houver 3 juntas, teremos um trip com 3 graus de liberdade mas 9 graus de

mobilidade.

Exemplos de graus de liberdade necessrios para certas tarefas:

Para mudar esta pea e rod-la so necessrios 4 graus de liberdade apenas (nota: o manipulador ilustrado poder no ter a possibilidade de o fazer, para certas orientaes).

Para colocar esta pea no encaixe (que pode ter uma orientao arbitrria) so necessrios 6 graus de liberdade: 3 para as posies xyz e 3 para as 3 orientaes do encaixe (nota: o manipulador ilustrado no o permite).

Figura 3-8 Graus de liberdade necessrias para dois exemplos de movimento

3.2.2 REPRESENTAO E ARRANJO CINERNITICO

Frequentemente, em diversa literatura existe uma simbologia prpria para representar de

uma forma padro um manipulador e as suas juntas. De seguida ilustra-se um caso para um

manipulador RRP e mais uma junta esfrica.

Figura 3-9 Representao de um manipulador com as juntas RRPS num total de 6 DOF

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3.2.3 0 BRAO HUMANO

Cada brao humano, excluindo a mo e os dedos, dispe de 7 graus de liberdade:

Junta Tipo Graus de

liberdade (DOF)

Ombro (Shoulder) Esfrica 3

Cotovelo (Elbow) Rotacional 1

Pulso (Wrist) Esfrica 3

Figura 3-10 Graus de liberdade do brao humano

3.3 ESPAO DE TRABALHO E TIPOS DE MANIPULADORES

Espao ou volume de trabalho (work space or volume space) de um manipulador a regio

dentro da qual o manipulador pode posicionar o end-effector.

Quando se classifica um rob pela sua estrutura cinemtica, isto pelo seu espao de

trabalho, apenas as juntas principais so usadas. Assim, h essencialmente 5 categorias de

estruturas cinemticas que se ilustram e descrevem resumidamente de seguida:

Cartesiana (PPP);

Cilndrica (RPP);

Esfrica (RRP);

Articulado horizontal ou SCARA (RRP);

Articulado vertical ou antropomrfico (ERR);

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3.3.1 CARTESIANA (PPP)

3.3.2 CILINDRICA (RPP)

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3.3.3 ESFRICA (RRP)

3.3.4 ARTICULADO HORIZONTAL (RRP)

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3.3.5 ARTICULADO VERTICAL

3.4 RESOLUO, REPETIBILIDADE E PRECISO

Resoluo: menor movimento incremental de uma junta;

Repetibilidade (ou por vezes preciso): traduz a diferena de posio (linear em

geral) com que o rob volta a recolocar-se num ponto visitado anteriormente

(afectada por variabilidade do movimento mecnico, materiais, etc.);

Exactido: Traduz a diferena entre uma posio realmente atingida e a posio

desejada pela programao.

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4 CINEMTICA DIRETA

4.1 CINEMTICA DE UM MANIPULADOR

4.1.1 DEFINIO

A cinemtica de um manipulador o estudo do conjunto de relaes entre as posies

velocidades e aceleraes dos seus elos.

O estudo que aqui se inicia diz respeito apenas aos manipuladores srie, que alis a

categoria que inclui a grande maioria de manipuladores industriais e didcticos. Os

manipuladores srie caracterizam-se pelo facto de todas as juntas ligarem dois e apenas dois

elos consecutivos.

A relao entre o referencial de origem e o referencial da extremidade (mo) do

manipulador dada por uma transformao que, todavia, no d qualquer indicao sobre

as relaes entre os elos intermdios. Desse modo para fazer um estudo da cinemtica

necessrio, antes de mais, definir sistemas de coordenadas associados a cada elo, ou seja,

atribuir-lhe referenciais. Por outro lado, a relao geomtrica entre elos representada por

uma matriz de transformao: para ir de um extremo de um elo (junta ou base do rob) at

ao outro extremo do elo (a junta seguinte ou a extremidade do rob) far-se-o translaes e

rotaes. Em suma, um dado elo i ter associado a si a matriz de transformao ,: onde

a primeira matriz relaciona o primeiro elo com a base fixa, e a ltima matriz

relaciona o referencial da mo com o ltimo elo. ento claro que

.

O estudo da cinemtica divide se em dois tipos de problemticas: localizao da mo a partir

das posies das juntas (cinemtica directa) e determinao das posies das juntas a partir

da posio da mo (cinemtica inversa).

Podemos assim definir dois espaos de variveis: o espao das variveis da juntas, ou

simplesmente espao das juntas, e o espao cartesiano ou operacional. A dimenso do

espao operacional 6 (3 translaes e 3 orientaes) e o espao das juntas tem como

dimenso o nmero de juntas do manipulador.

As operaes do espao das juntas para o espao cartesiano no apresentam qualquer

ambiguidade, mas o contrrio pode no ser verdade. De facto, o espao das juntas muitas

vezes redundante, isto , nem sempre possvel estabelecer urna relao unvoca com o

espao cartesiano, significando que vrias configuraes no espao das juntas resultam na

mesma configurao no espao operacional.

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Figura 4-1 Cinemtica directa e inversa: a natureza no biunvoca da sua relao

4.1.2 0 ALGORITMO DA CINEMTICA DIRECTA

Implementar a cinemtica directa de um manipulador significa, portanto, determinar as

relaes que exprimem um ponto no espao cartesiano, em funo de um ponto no

espao das juntas , isto , .

Os passos ou algoritmo para definir tal relao so essencialmente os seguintes:

Colocar o rob na posio zero (descrito adiante);

Atribuir um sistema de coordenadas a cada elo;

Descrever as relaes (translaes e rotaes) entre as variveis das juntas e dos

elos;

Determinar as matrizes de transformao, , dos diversos elos;

Multiplicar os e obter a expresso

;

Obter as coordenadas de posio da mo;

Obter as coordenadas de orientao da mo.

4.2 PARMETROS DE JUNTAS E ELOS

Para atribuir sistemas de coordenadas a um elo ser preciso levar em conta a sua prpria

geometria e as consequncias que ter no elo seguinte da cadeia. No intuito de obter uma

forma coerente e prtica de determinao desses sistemas de coordenadas necessrio

definir conceitos tais como o eixo de uma junta ou os parmetros cinemticos dos elos e

juntas associadas.

4.2.1 EIXO DE UMA JUNTA

O eixo de uma junta o eixo relacionado com a simetria do movimento inerente prpria

junta e que pode coincidir com o eixo de um ou outro elo ou mesmo ser-lhe ortogonal: de

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seguida descrevem-se as situaes tipo. O eixo de uma junta far parte do sistema de

coordenadas associados ao elo, e convenciona-se que seja o eixo das coordenadas zz.

Eixo de junta rotacional

No caso de termos dois elos colineares, ento o eixo da junta coincide com o eixo

longitudinal dos elos, como se ilustra na Figura 3.2 do lado esquerdo. Este tipo de arranjo de

junta colinear rotacional muito usado em punhos de manipuladores. No caso de os elos

terem o eixo de rotao perpendicular ao seu eixo longitudinal (Figura 3.2. lado direito),

estamos em presena de um arranjo muito comum para cotovelos, ou seja o eixo da junta

ortogonal.

Figura 4-2 Eixo de junta colinear e ortogonal em eixos de juntas rotacionais

Eixo de uma junta prismtica

Para juntas prismticas a abordagem semelhante. Existem os casos de junta colinear ou

junta ortogonal, conforme se ilustra na Figura 3.3, do lado esquerdo e direito,

respectivamente.

Figura 4-3 Eixo de junta colinear e ortogonal em eixos de juntas prismticas

4.2.2 OS QUATRO PARMETROS DE ELOS E JUNTAS

Um elo um elemento rgido que mantm fixas as relaes entre juntas sucessivas e pode

ser caracterizado com um determinado nmero de parmetros geomtricos/cinemticos no

que diz respeito a transformao geomtrica que opera. Os elos intermdios so delimitados

por duas juntas: que o precede na srie de ligaes designa se aqui por junta anterior, e

outra designa se posterior ou seguinte. Excepes devem ser levadas em conta para os elos

extremos do manipulador, onde s h uma junta delimitadora. Apresenta se de seguida uma

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definio conceptual de cada um dos quatro parmetros cinemticos, qual se junta uma

definio formal que ser usada mais adiante, a propsito do Algoritmo de Denavit

Hartenberg. Para se compreender a definio formal recorre se a uma a simbologia prpria,

a saber:

Ponto de origem do sistema de coordenadas;

Ponto de interseco entre o eixo e o eixo ;

: Distncia do ponto ao ponto , medida ao longo de ;

: ngulo medido entre e em torno de ;

4.2.2.1 COMPRIMENTO DO ELO

Define-se como a distncia medida ao longo da normal comum entre os eixos das juntas.

Traduz o conceito de afastamento linear entre os eixos das juntas. Formalmente define-se

como:

4.2.2.2 DISTNCIA ENTRE ELOS OU DESLOCAMENTO DAS JUNTAS

O deslocamento de juntas traduz. em geral. a distncia entre elos medida ao longo do eixo

da junta anterior. Definio formal:

4.2.2.3 NGULO DA JUNTA

ngulo definido normalmente entre o eixo de um elo e o eixo do elo seguinte. Definio

formal:

4.2.2.4 NGULO DE TORO DO ELO

Angulo de toro que o elo impe desde o eixo da junta anterior at ao eixo da junta

seguinte. Definio formal:

4.2.3 ALGUNS EXEMPLOS DE ELOS

De seguida apresentam- se vrias geometrias de elos com o intuito de ilustrar os diversos

parmetros que afectam a cinemtica de um manipulador. A definio dos sistemas de

coordenadas no muito rgida excepo da definio do eixo dos zz que coincide com o

eixo da junta, tal como convencionado. O n-simo elo e a sua junta anterior (n-sima) so

responsveis pela definio do sistema de coordenadas n que se considera solidrio com o

elo. O sistema de coordenadas (n-1) aquele sobre o qual opera a junta n e o respectivo elo

n. Desse modo. o sistema de coordenadas O (zero) o primeiro de todos e refere se base

fixa do manipulador.

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Regras adicionais sero propostas mais adiante de uma forma estruturada para a definio

do algoritmo de Denavit-Hartenberg. Em todos os casos seguintes. o elo o n-simo da

cadeia.

Figura 4-4 Exemplo 1: elo com juntas rotacionais paralelas

Figura 4-5 Exemplo 2: elo com juntas rotacionais paralelas com desalinhamento

Figura 4-6 Exemplo 3: elo com juntas rotacionais ortogonais

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Figura 4-7 Exemplo 4: elo com juntas rotacionais ortogonais e com desalinhamento

Figura 4-8 Exemplo 5: elo com juntas rotacionais ortogonais, 2 tipo

Figura 4-9 Exemplo 6: elo com junta prismtica e junta rotacional ortogonais

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Figura 4-10 Exemplo 7: elo com junta prismtica e junta rotacional ortogonais, 2 tipo

Figura 4-11 Exemplo 8: elo com duas juntas prismticas ortogonais

Figura 4-12 Exemplo 9: elo com duas juntas rotacionais ortogonais

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Os casos representados na Figura 4.11 e na Figura 4.12 so os mais complexos de todos os

apresentados aqui, e uma aplicao simplista das regras usadas nos casos restantes mostrar-

se-a insuficiente porque aparentemente faltaria um termo de translao. Na verdade, uma

escolha mais criteriosa de dois parmetros permitiria obviar esse problema. Na referidas

figuras ilustra-se a trao mais grosso (e de cor diferente) essas medidas a ter de levar em

conta: bastaria repensar, por exemplo, os parmetros e . Note-se que em algumas

situaes, como o caso da Figura 4.11, a definio da matriz de transformao simples

(translaes e rotaes simples e bem definidas), e prescindiria de todo este processo de o

recurso aos parmetros cinemticos.

4.2.4 OS PARMETROS CINEMTICOS VARIVEIS

Obviamente que os parmetros cinemticos no so sempre todos constantes, seno a

transformao geomtrica seria constante, e portanto o manipulador imvel. Dos quatro

parmetros indicados dois esto associados componente mvel (juntas): so as variveis

de junta. Se uma junta for rotacional, a varivel de junta o ngulo de junta . Se a junta

for prismtica, a varivel de junta o deslocamento da junta, ou distancia entre elos . A

tabela seguinte resume os conceitos mais importantes sobre os parmetros cinemticos.

Parmetro Smbolo Junta Rotacional

Junta Prismtica

Definio Formal

ngulo da junta Varivel Fixo

Deslocamento da junta

Fixo

Varivel

Comprimento do elo

Fixo Fixo

ngulo de toro Fixo Fixo

Tabela 2: Resumo dos parmetros cinemticos

Para efeitos de uma abordagem genrica, diz se que o vector variveis de junta designado

por q e dado pela seguinte expresso:

4.2.5 TRANSFORMAO ASSOCIADA A UM ELO

Depois do exposto imediato concluir que o elo i associado sua junta i realiza uma

transformao geomtrica, dando origem ao referencial i+1, que pode ser decomposta nas

quatro operaes elementares:

Rotao em torno do eixo da junta ;

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Translao longitudinal ao longo do eixo do elo (xi) do seu prprio comprimento

;

Translao "transversal ao longo do eixo da junta (zi) do afastamento entre juntas

;

Rotao do eixo da junta (zi) em torno do eixo longitudinal (xi) do elo.

Repare-se que estas transformaes elementares surgem concatenadas em sequncia, e por

esta ordem, se bem que as translaes possam comutar entre si, o que significa globalmente

obter-se uma transformao final por ps-multiplicao sucessiva, resultando na matriz

.

.

(4-1)

Os elos de um manipulador so numerados a partir da base e o primeiro elo (mvel) o elo

nmero 1 que se segue primeira junta, ou junta nmero 1. A base fixa designada o elo 0.

Sistema de coordenadas O (zero) ser aquele a partir do qual se faz toda a transformao

geomtrica do manipulador. H frequentemente mais do que uma possibilidade de o fazer.

conforme o interesse do problema. A Figura 4.13 ilustra duas possibilidades alternativas (a

segunda a tracejado/ para definir o sistema de coordenadas inicial (zero) de um manipulador

do tipo PUMA com 6 graus de liberdade: 6 juntas, 6 elos (mveis mais uma base ou elo 0).

Deve referir-se que haveria ainda vrias outras possibilidades de escolher os sistemas de

eixos.

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Figura 4-13 Elos e juntas de um manipulador do tipo PUMA. Assinala-se a tracejado uma alternativa para o sistema de referncia

4.3 ATRIBUIO DOS SISTEMAS DE COORDENADAS

4.3.1 EXEMPLOS BSICOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS

Apresentam-se agora dois exemplos de atribuio de sistemas de coordenadas e a

determinao de parmetros cinemticos de coordenadas em dois manipuladores simples.

Antes de mais defina-se que a posio zero de um manipulador (Zero ou Home Position)

aquela em que as variveis de junta esto nos seus valores O. Ou seja. as juntas rotacionais

esto alinhadas com a referncia e as juntas prismticas esto recolhidas.

Figura 4-14 Atribuio do sistema de coordenadas a um rob planar de duas juntas

O manipulador planar de duas juntas o mais simples dos manipuladores interessantes, e a

atribuio de sistemas de coordenadas relativamente bvia; bastar atender ao eixo das

duas juntas. e o resto sai naturalmente. Outras configuraes seriam possveis mas sem

vantagens adicionais. Podemos agora determinar as suas expresses de cinemtica directa

usando a relao (4-1) e fazendo as simplificaes de escrita C1 = C1 e S1 = S1.

Multiplicando as duas matrizes de transformao:

Elo 1 L1 0 0 1

2 L2 0 0 2

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Fazendo C12 = C1C2-S1S2 e S12=C1S2+C2S1, fica

Analisando esta matriz podemos desde logo individuar as coordenadas (x,y,z) do terminador

do manipulador. Dada a simplicidade do manipulador, era possivel obter estas mesmas

coordenadas por anlise geomtrica directa como se demonstra na Fig. 4-15. Porm, a

matriz de transformao alm de ser genrica, possui mais informao. Por exemplo, dela se

extrai tambm que a orientao do sistema de coordenadas da mo (xH,yH) aponta nas

novas direces dadas pelos vectores [C12 S12]T e [-S12 C12]T respectivamente. Mais uma

vez claro que estas orientaes tambm se deduziriam pela anlise geomtrica, mas no

de forma to directa.

Figura 4-15 Coordenadas para um rob planar de duas juntas

Elo 1 0 L1 +90 1

2 L2 0 0 2

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Figura 4-16 Atribuio do sistema de coordenadas a um rob ortogonal de duas juntas

O manipulador 2 juntas no espao 3D, embora simples, j exigiu mais alguma ateno na

atribuio dos sistemas de coordenadas. Vejamos, por exemplo, o caso do referencial da

base. Se xo no tivesse a direco indicada e apontasse ao invs na direco simtrica de y0

(indicado), e dada a direco apresentada par x1, a ngulo de junta 1 (que se mede de x0

para x1 em torno de z0) teria de ter um termo constante que seria neste caso +90! ou seja

(1+90)!. S assim se garantiria uma expresso correcta do referencial da mo em relao

ao referencial de origem(x0, y0, z0). Repare-se tambm que neste manipulador j h

distncia entre elos, di = Li.

As expresses para obter a cinemtica directa so as seguintes:

Multiplicando as duas matrizes de transformao obtm-se:

Como esperado, os resultados so um pouco mais complexos, mas mesmo assim verificveis

por uma anlise geomtrica. Por exemplo, observa-se que a coordenada z dada pela soma

L2S2+L1. Se 2 for maior que zero e menor que 90, ou seja, quando a junta 2 levanta, o

elo que lhe sucede, v-se que coordenada z da posio de repouso L1 (como indicado na

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Fig. 4-16), adicionado um termo proporcional ao comprimento do segundo elo afectado do

seno do ngulo da sua orientao.

4.3.2 ALGORITMO DE DENAVIT-HARTENBERG

Nos exemplos anteriores, a atribuio dos sistemas de coordenadas foi muito emprica,

tendo-se usado o eixo da junta e procurado que os diversos eixos x sassem sempre

colineares para facilitar a definio do ngulo de junta, conforme definio j referida na

seco 4.2.2., obter as expresses da cinemtica directa a partir dos parmetros tabelados

foi feito sem dificuldades de maior. No entanto, se os manipuladores se complicarem o

procedimento complica-se e dever-se- recorrer a uma metodologia mais sistemtica. O

algoritmo de Denavit-Hartenberg (algoritmo D-H) prope essa metodologia muito bem

estruturada para, no algoritmo da cinemtica directa, obter os sistemas de coordenadas e as

transformaes associadas a cada elo de um manipulador. Para ser aplicado, as juntas tm

de estar numeradas por ordem crescente, comeando pela base do manipulaclor. Pode ser

dividido em 4 etapas fundamentais que se subdividem em vrios passos elementares

repetidos parcialmente em ciclos, consoante o nmero de elos do manipulador. Na Tabela 3,

que descreve o algoritmo. admite- se que o manipulador tem n juntas e para ele se definiro

n+1 sistemas de coordenadas, sendo o ltimo o associado mo ou garra.

1 Estabelecer o sistema de coordenadas (x0, y0, z0) na base de suporte, com z0 ao longo do eixo da junta 1. Convencionar x0 e y0 de forma conveniente.

2

For i=1 to n-1

2.1 Definir eixo da junta i e alinhar zi com eixo da junta i+1

2.2 Definir Oi (origem do sistema de coordenadas) de um dos seguintes modos:

2.3 Interseco de zi com zi-1 Interseco da normal comum entre zi e zi-1 com zi

2.4 Definir xi=(zi-1zi), ou ao longo da normal comum a zi-1 e zi quando so paralelos

2.5 Definir yi=zi xi

Next i

3 Estabelecer o sistema de cooedenadas da mo On (o ltimo). Normalmente, a junta n rotacional:

Zn colinear com zn-1 e apontar para fora Xn normal a Zn e Zn-1

Yn de acordo com o sistema direto usual

4

Determinar parmteros de elos e juntas For i=1 to n-1

4.1 ; a varivel da junta se a junta for prismtica

4.2

4.3 ; a varivel da junta se a junta for rotacional

4.4

Next i

Tabela 3: Algoritmo de Denavit-Hartenberg

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4.3.3 MANIPULADOR 5 DOF (MICROBOT ALPHA II)

Aplicando o algoritmo de Denavit-Hartenberg possivel chegar soluo ilustrada na Figura

4-17 para os sistemas de coordenadas de um manipulador do tipo Microbot Alpha II.

Figura 4-17 Atribuio do sistema de coordenadas a um rob 5 DOF

As origens O3 e O4 coincidem, pois que O4 dado pela interseco de z4 com z3. Note-se

tambm que o rob no est na posio zero e, por isso, a junta 4 tem na definio da sua

varivel o termo correctivo de +90. ou seja, nesta posio inicial, na qual os ngulos de

junta assumem o valor zero, o eixo X4 j est "adiantado" 90 em relao a X3.

Na sequncia do algoritmo da cinemtica directa basta obter as matrizes de transformao

associadas a cada elo e ps-multiplic-las em sequncia. Para a primeira matriz vem:

Para as matrizes seguintes tambm imediato chegar s expresses das matrizes de

transformao para cada elo.

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A expresso final da transformao geomtrica do referencial da base para o referencial da

mo obtm-se pela seguinte multiplicao:

Repartindo o produto em dois termos (

).

obtm-se:

Para efeitos de verificao admitamos. par exemplo, que todas as juntas tern valor 0, ou seja

a representao ilustrada na Figura 4.17. Assim. par substituio directa na expresso

anterior teramos:

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Desta expresso sai que a origem da sistema de coordenadas da mo est em (LB+LC+LD, 0,

LA), que aponta na direco de z0, y4 aponta na direco simtrica de y0, e z4 aponta na

direco de x0, o que se confirma observando a Figura 4.17.

4.3.4 MANIPULADOR SCARA (4 DOF)

Um manipulador muito usado na prtica o SCARA de 4 graus de liberdade, de que se ilustra

uma representao na Figura 4.18. As 4 juntas foram numeradas obedecendo sua ordem

de aparecimento a partir da base. Podem surgir dvidas, na junta 3, se, na verdade, a ordem

a representada. Esta representao assume que a junta rotacional do punho est aps a

junta prismtica, e que de facto o caso mais comum. Porm, tambm se poderia ter o caso

que a junta ratacional estivesse 'antes" da prismtica, implicando um sistema mecnico

diverso que realmente suportasse a junta linear "sobre" um elo que poderia rodar em torno

de si prprio. Nesse caso a ordem das juntas seria a inversa da indicada e tambm os

parmetros cinemticos seriam outros, mas o resultado final seria o mesmo.

Figura 4-18 Atribuio do sistema de coordenadas e parmetros D-H de um rob um SCARA de 4 DOF

Note-se que na representao o manipulador no est na posio zero. Em especial

notrio a junta prismtica que, para melhor visualizao, est estendida apresentando, por

isso, um valor de junta no nulo.

A metodologia seguida similar do manipulador anterior e, assim, a determinao das

matrizes de transformao tambm muito sistemtica. Vir portanto:

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4.4 NGULOS FINAIS DE ORIENTAO EM FUNO DAS VARIVEIS DA JUNTA

Para completar o algoritmo da cinemtica directa delineado anteriormente falta ainda

determinar os ngulos de orientao final do sistema de coordenadas na mo, ou, caso se

preferir, os ngulos de Euler. Como visto num capitulo 2, existem diversos tipos de ngulos

de Euler sendo dois deles mais comuns e dos quais se escolhe o caso RPY para ilustrar esta

parte final do algoritmo. Note-se todavia que o procedimento seria estritamente o mesmo

para qualquer outro tipo de ngulos de orientao (Euler) porque nos baseamos afinal na

matriz de transformao associada. O problema que est aqui em causa o de determinar

os ngulos de Euler a partir dos elementos da matriz de transformao do manipulador.

4.4.1 COMPARAO DA MATRIZ RPY COM A MATRIZ DE TRANFORMAO FINAL

A expresso genrica de transformao global no espao a 6 dimenses usando ngulos RPY

dada por:

=

A matriz de transformao do manipulador resulta do produto das transformaes

intermdias dos N elos e pode ser expressa do seguinte modo:

Se o vector p tem um significado de imediato entendimento (coordenadas da origem do

sistema da mo medidas no sistema de origem), o mesmo no se aplica aos trs vectores

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individualizados na expresso anterior, , que esto

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