scilab - egenharia química

Universidade Federal de São Carlos

Campus São Carlos

Departamento de Engenharia Química

Kenji Urazaki Junior

Treinamento em simulação de processos químicos utilizando o

programa científico Scilab

São Carlos

2013

1

Kenji Urazaki Junior

Treinamento em simulação de processos químicos utilizando o programa

científico Scilab

Apresentação do projeto desenvolvido no

Programa Jovens Talentos para Ciência, ação

fomentada pela Capes e CNPq, como

treinamento para iniciação científica.

Orientador: Prof. Dr. Wu Hong Kwong.

São Carlos

2013

2

Sumário

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 4

1.1 Do programa JTPC ........................................................................................................... 4

1.2 Do projeto ......................................................................................................................... 4

1.3 Do Ten Problems .............................................................................................................. 4

1.4 Do Scilab ........................................................................................................................... 5

2 OBJETIVOS ............................................................................................................................ 5

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E TEÓRICA .......................................................................... 5

3.1 Problema 1, ....................................................................................................................... 6

3.2 Problema 2 ........................................................................................................................ 7

3.3 Problema 4 ...................................................................................................................... 10

3.4 Problema 5 ...................................................................................................................... 10

3.5 Problema 6 ...................................................................................................................... 12

3.6 Problema 7 ...................................................................................................................... 13

3.7 Problema 8 ...................................................................................................................... 14

4 MÉTODOS NUMÉRICOS ................................................................................................... 16

4.1 Sobre os Métodos Numéricos ......................................................................................... 16

4.2 Método da bissecção ....................................................................................................... 16

4.3 Método Newton-Raphson ............................................................................................... 18

4.4 Divisão pela esquerda ..................................................................................................... 18

4.5 Método do Gauss-Jacobi ................................................................................................. 18

4.6 Método de Euler .............................................................................................................. 20

4.7 Solucionadores ................................................................................................................ 21

5 RESULTADOS ..................................................................................................................... 21

5.1 Problema 1 ...................................................................................................................... 21

5.2 Problema 2 ...................................................................................................................... 23

5.3 Problema 4 ...................................................................................................................... 23

5.4 Problema 5 ...................................................................................................................... 23

5.5 Problema 6 ...................................................................................................................... 24

5.6 Problema 7 ...................................................................................................................... 25

5.7 Problema 8 ...................................................................................................................... 26

6 CONCLUSÃO ....................................................................................................................... 26

3

7 TRABALHOS FUTUROS .................................................................................................... 27

8 APÊNDICE ........................................................................................................................... 27

8.1 Linhas de código de programação dos problemas .......................................................... 27

Problema 1......................................................................................................................... 27

Problema 2......................................................................................................................... 28

Problema 4......................................................................................................................... 29

Problema 5......................................................................................................................... 30

Problema 6......................................................................................................................... 31

Problema 7......................................................................................................................... 32

Problema 8......................................................................................................................... 33

9 REFERÊNCIA BLIBIOGRÁFICA ....................................................................................... 33

4

1 INTRODUÇÃO

1.1 Do programa JTPC

No ano de 2012 por uma iniciativa da Capes e do CNPq realizou-se um programa de

incentivo à iniciação científica que consistia em inserir os estudantes, que ingressaram no

mesmo ano em Universidades e institutos federais, no meio científico. O programa Jovens

Talentos para Ciência selecionou por uma prova de conhecimentos gerais estudantes de

graduação de todas as áreas do conhecimento, eram ofertadas seis mil bolsas de estudo,

dividas entre todo o Brasil, de acordo do número de inscritos em cada Universidade. Após a

vigência de 12 meses da bolsa, os candidatos estariam preparados para serem bolsistas do

Pibid, do Programa Ciências sem Fronteiras e outros programas de iniciação científica.

1.2 Do projeto

Este projeto teve caráter de treinamento em solução de problemas de Engenharia

Química com auxílio de programação computacional. Ao final saber-se-ia programar e

estruturar soluções para problemas matemáticos com aplicações na Engenharia. O software

científico utilizado foi o Scilab e os problemas foram retirados do artigo Ten problems. A

maioria dos problemas foi resolvida com métodos numéricos, que foram estudados no projeto

(os seus algoritmos deveriam ser inseridos e executados no software). Ao final do projeto, os

resultados dos problemas foram discutidos.

1.3 Do Ten Problems

O Artigo é uma coleção de 10 problemas de Engenharia Química que podem ser

solucionados por um software matemático utilizando cálculo numérico. Os problemas traziam

as informações dos métodos numéricos que deviam ser usados para solucioná-los, os

conceitos de engenharia utilizados e o problema em si.

5

1.4 Do Scilab

O Scilab (Scientific Laboratory) é um programa para cálculo científico gratuito desde

1994 e desenvolvido desde 1990 pelo INRIA (“Institut Nationale de Recherche em

Informatique et en Automatique”) e o ENPC (“Ecole Nationale des Ponts et Chaussée”) na

França. O Scilab é um programa open source, possui uma vasta biblioteca com funções

matemáticas, polinômios, listas, sistemas lineares, solucionadores numéricos; e sua

programação é feita em linha admitindo a incorporação de programas em linguagens com C e

Fortran. O Scilab é muito utilizado internacionalmente em ambientes acadêmicos e industriais

e está em constante atualização. Suas funções são similares ao MATLAB, mas sua utilização

neste projeto foi motivada por ele ser um open source.

2 OBJETIVOS

O projeto teve como objetivo o aprendizado de como a computação numérica auxilia

na resolução de problemas de Engenharia Química, tendo como ponto central o aprendizado

dos métodos numéricos e a familiarização com o software científico.

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E TEÓRICA

Os problemas a serem resolvidos eram dez, neste projeto sete foram resolvidos: dois

de introdução à Engenharia Química, um de termodinâmica, um de dinâmica de fluidos, um

de transferência de calor, um de transferência de massa, um de processo de separação. Todos

os problemas envolviam algum conceito de engenharia química, assuntos abordados ao

decorrer do curso de graduação.

A seguir os problemas presentes no Ten problems e resolvidos no projeto serão

enunciados, com numeração semelhante ao artigo, apresentando o título, área na engenharia

química e problema matemático a ser modelado. Depois de enunciado, cada problema

recebera uma breve introdução dos conceitos utilizados, todos retirados dos livros de

engenharia química.

6

3.1 Problema 1, Volume molar e fator de compressibilidade a partir da equação de van

der Waals, introdução à Engenharia Química, solução de uma equação não linear.

No problema o volume molar e fator de compressibilidade de um gás deveriam ser

calculados com o uso da equação de van der Waals.

A lei de gases ideais que relaciona Pressão Volume e Temperatura se aplica bem em

pequenas pressões (aproximadamente a da atmosfera). Para pressões mais altas, uma equação

mais complexa deve ser utilizada, o que normalmente necessita de uma solução numérica.

A equação de van der Waals utilizada é dada por:

(P+a/V²)(V-b) = RT

Onde

a= (27/64)(R²Tc²/Pc)

b= RTc/8Pc

E as variáveis são:

P = Pressão (atm);

V = Volume molar (L/gmol);

T = Temperatura em Kelvin;

R = constante dos gases (0.08206 atmL/gmolK);

Tc = Temperatura crítica (405.5 K para a amônia);

Pc = Pressão crítica (111.3 atm para a amônia).

O termo a/V² é a correção para a atração entre as moléculas do gás (a/V²= 0 quando

trabalhamos com um gás ideal) e o termo b é a correção para o volume ocupado pelas

moléculas de gás. As constantes a e b são determinadas experimentalmente para cada gás.

Pressão reduzida é definida por:

Pr = P/Pc

O fator de compressibilidade de um gás é dado por:

7

Z = PV/RT

No problema teve-se de calcular o volume molar e o fator de compressibilidade para o

gás amônia a pressão de P = 56 atm e temperatura de T = 450 K usando a equação de van der

Waals. Os cálculos deveriam ser repetidos para as pressões reduzidas de Pr = 1, 2, 4,10 e 20, e

depois o fator de compressibilidade deveria ser analisado em função de Pr.

Dever-se-ia resolver equações não lineares de terceiro grau para a variável de volume molar.

A equação era:

PV³ - (RT + Pb) V²+aV-ab=0

O método numérico utilizado foi o de bissecção, explicado na seção materiais e métodos.

3.2 Problema 2, Balanço de materiais em um trem de separação, introdução à

Engenharia Química(Balanço de Massa), solução simultânea de equações lineares.

No problema um sistema com Xileno, Estireno, Tolueno e Benzeno é separado por um

sistema de colunas destiladoras. O esquema abaixo mostra as colunas, as correntes F, D, B,

D1, B1, D2 e B2 com suas composições molares e a vazão molar.

8

Figura 3.2-1 Fonte: A collection of ten numerical problems in chemical engineering solved by various

mathematical software packages.

O conceito de balanço de massa parte do princípio de que a massa é conservada.

Portanto, em qualquer sistema tem-se que para uma determinada substância:

Sai = Entra + Reage – acumula

O termo reage pode ser positivo ou negativo dependendo se dentro do sistema a

substância é produzida ou consumida.

Fazendo o balanço de massa para os quatro componentes para todo o sistema, como

não há reação (há a conservação da quantidade de matéria) e nem acúmulo para eles, tem-se

que Entra = Sai. Então:

Xileno: 0.07D1 + 0.18B1 + 0.15D2 + 0.24B2 = 0.15*70

Estireno: 0.04D1 + 0.24B1 + 0.10D2 + 0.65B2 = 0.25*70

9

Tolueno: 0.54D1 + 0.42B1 + 0.54D2 + 0.10B2 = 0.40*70

Benzeno: 0.35D1 + 0.16B1 + 0.21D2 + 001 = 0.20*70

Fazendo o balanço de massa para a coluna de destilação dois, onde é determinada a

vazão e a fração molar da corrente D, tem-se:

Vazão molar total: D = D1 + B1

Xileno: XDX*D = 0.07D1 + 0.18B1

Estireno: XDS*D = 0.04D1 + 0.24B1

Tolueno: XDT*D = 0.54D1 + 0.42B1

Benzeno: XDB*D = 0.35D1 + 0.16B1

Onde XDX = Fração molar de Xileno em D, XDS = Fração molar de Estireno em D,

XDT = Fração molar de Tolueno em D, XDB = Fração molar de Benzeno em D.

Analogamente, fazendo o balanço de massa na coluna três, onde é determinada a

vazão e a fração molar da corrente B, tem-se:

Vazão molar total: B = D2 + B2

Xileno: XBX*B = 0.15D2 + 0.24B2

Estireno: XBS*B = 0.10D2 + 0.65B2

Tolueno: XBT*B = 0.54D2 + 0.10B2

Benzeno: XBB*B = 0.21D2 + 0.01B2

A partir das quatro primeiras inequações foi possível determinar D1, D2, B1, B2. O

método utilizado para a solução foi a divisão a esquerda, o que é explicada na seção materiais

e métodos, trabalhando com a matriz do sistema linear. A vazão e a composição molar das

correntes B e D foram determinadas com as outras oito equações, apenas substituindo os

valores nelas, no próprio Scilab.

10

3.3 Problema 4, Equilíbrio de múltiplas reações entre gases, Termodinâmica, solução

simultânea de equações não lineares.

Neste problema tem-se 7 gases em um reator de volume constante em que ocorrem 3

reações de equilíbrio:

A + B <-> C + D

B + C <-> X + Y

A + X <-> Z

Um sistema algébrico descreve a situação de equilíbrio das reações. Utilizando as

relações termodinâmicas de equilíbrio e as relações estequiométricas para cada reação,

teremos um conjunto de sete equações:

KC1 = CC*CD/CA*CB KC2 = CX*CY/CB*CC KC3 = CZ/CA*CX

CA = CA0 – CD – CZ CB = CB0 – CD – CY CC = CD – CY

CY = CX + CZ

Nas equações CA, CB, CC, CD, CX, CY e CZ são as concentrações das diversas

espécies envolvidas nas reações.

No problema teve-se que solucionar o sistema de equações quando CA0 = CB0 = 1.5,

KC1 = 1.06, KC2 = 2.63 e KC3 = 5 para as estimativas iniciais de que CD = CX = CZ = 0.

Neste problema utilizou-se o solucionador integrado do Scilab, fsolve.

3.4 Problema 5, velocidade terminal de queda, Dinâmica de fluidos, solução de uma

equação não linear.

O conceito envolvido neste problema é o cálculo da velocidade terminar de partículas

sólidas em queda em fluidos sob a força da gravidade.

Uma partícula acelerará sob a ação da gravidade num fluido até que a força de arrasto

iguale-se à força da gravidade, momento em que ela começa a cair com uma velocidade

constante, terminal, dada por:

11

ut = sqrt(2gmp(Ρp – P)/P*PpApCd)

Onde

g = aceleração da gravidade (9.80665 m/s²);

mp = massa da partícula;

Pp = densidade da partícula(kg/m³);

P = densidade do fluido (kg/m³);

Ap = Área da partícula projetada na direção do movimento (m²);

Cd = coeficiente de arrasto.

Para partículas esféricas homogêneas, que é o caso do problema, a equação fica:

vt = sqrt(4gDp(Ρp – P)/P*Cd)

Se existe um movimento relativo entre uma partícula e o meio que ela está imersa, o

fluido do meio exercerá uma força de arrasto sobre a partícula. O valor do coeficiente de

arrasto é uma função do número de Reynolds. O número de Reynolds é dado por:

Re = DpvtP/u

Onde

u é a viscosidade em Pa*s ou Kg/m*s

Para número de Reynolds pequenos (Re < 0.1), pela lei de Stokes tem-se:

Cd = 24/Re

Para número de Reynolds intermediário (0.1 <= Re <= 1000), tem-se:

Cd = (24/Re)(1 + 0.14Re^0.7)

Para o número de Reynolds (1000 <= Re <= 350000) no intervalo em que se aplica a lei de

Newton, ação e reação, tem-se:

Cd = 0.44

12

Para números de Reynolds muito altos (Re > 350000), onde o coeficiente de arrasto cai

drasticamente, tem-se:

Cd = 0.19 – 8*10^4/Re

No problema temos de calcular a velocidade terminal de partículas de carvão (Pp =

1800 kg/m³ e Dp = 0.208*10^-3 m) afundando na água à temperatura de T = 298.15 K( p =

994.6 kg/m³ e u = 8.931*10^-4kg/ms) sob a ação da gravidade e depois numa centrífuga onde

a aceleração é 30 vezes a da gravidade.

O problema foi resolvido utilizando o solucionador fsolve.

3.5 Problema 6, Troca de calor em uma série de tanques, Transferência de Calor,

solução simultânea de um sistema de equações diferenciais ordinárias.

No problema uma solução de vários componentes era aquecida numa série de 3

tanques antes de ser alimentada numa coluna de destilação. Os tanques eram bem misturados,

admitindo então uma uniformidade de temperatura do óleo dentro de cada tanque e estavam

isolados do meio exterior. O óleo entrava a uma temperatura de T0= 20ºC no primeiro tanque

a uma vazão mássica de W1 = 100 kg/min, vapor saturado a Tsteam = 250ºC condensava nas

serpentinas aquecedoras dentro do tanque. Saindo do primeiro tanque a uma temperatura T1

com a mesma vazão mássica que entrava no tanque 1 entrava num tanque 2, o qual era

também aquecido por uma serpentina onde ocorria a condensação do vapor a 250ºC.

Analogamente, o óleo passava então por um 3 tanque.

O aquecimento do óleo era causado pelo resfriamento do vapor. A taxa de

transferência de calor é dada pela expressão:

Q = UA(Tsteam – T)

Onde

UA = Coeficiente de transferência de calor * Área da serpentina (UA = 10 KJ/min.ºC);

T = Temperatura do óleo no tanque (ºC);

Q = Taxa de transferência de calor (kJ/min).

13

Como a energia era conservada no sistema e energia não é criada, nem destruída,

pode-se realizar o balanço de energia para cada tanque individualmente utilizando o seguinte

balanço:

Energia Acumulada = Energia que entra – Energia que sai

A densidade do óleo é assumida constante, bem como a vazão mássica em todos os

tanques, ou seja, W = W1 = W2 = W3 e M = M1 = M2 = M3.

Os balanços de energia dos tanques ficam:

Tanque 1

dÛ1/dt = Û01 + Q – Ûf1

M*Cp*(dT1/dt) = W*Cp*T0 + UA(Tsteam – T1) – W*Cp*T1

Onde

Cp = Capacidade calorífica do óleo (Cp = 2.0 kJ/kg).

Analogamente, para os outros tanques:

Tanque 2:


Tanque 3:


Rearranjando as EDOs temos 3 diferenciais que podem ser resolvidas por uma solução

numérica. O problema nos pede as temperaturas de quase equilíbrio nos 3 tanques, fazendo o

tempo decorrido ser bem grande, e o tempo necessário para que a temperatura T3 alcance o

valor de 99% do equilíbrio. O sistema de EDOs foi resolvido utilizando o solucionador ode

do Scilab.

3.6 Problema 7, Difusão com uma reação química em um disco, Fenômeno de

transporte, solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com 2

condições de contorno.

14

No problema tem-se uma reação química entre A e B e a difusão dos componentes. A

é o reagente, B é o produto. O reagente A é absorvido pelo conteúdo e é consumido dentro

dele. A equação que modela esse sistema é uma EDO de segunda ordem:

d²Ca/dz² = (k/DAB)*Ca

Onde

Ca = concentração do reagente A (kgmol/m³);

z = variável de distância (m);

k = constante da reação homogênea de consumo de A (1/s);

DAB = coeficiente de difusão em área (m²/s).

A interpretação geométrica do sistema é uma superfície exposta que não permite

difusão pela sua superfície externa. Então se tem as condições de contorno:

Ca = Ca0 z = 0

dCa/dz = 0 z = L

Onde Ca0 é a concentração de Ca na superfície z = 0 e como não há difusão na

superfície externa, a derivada de Ca em relação a z é 0.

O sistema possui uma solução analítica da forma:

Ca =Ca0*(cosh(L*sqrt(k/DAB)*(1-z/L)))/cosh(L*sqrt(k/DAB))

Para a solução numérica, utilizou-se o solucionador ode implementado ao método de

Newton-Raphson, para que a condição de contorno da derivada zero estivesse satisfeita.

3.7 Problema 8, destilação de uma mistura binária, Processo de separação, solução de

um sistema de uma equação diferencial ordinária e uma equação não linear.

Destilação é um processo de separação de componentes de uma mistura líquido/vapor

que coexistem a uma mesma temperatura e pressão. Componentes mais voláteis (temperatura

de ebulição mais baixa) tendem a permanecer no estado de vapor; e os menos voláteis

(temperatura de ebulição mais alta) tendem a permanecer no estado líquido. O resultado é que

com o aquecimento da mistura, a fase de vapor fica mais ricamente concentrada com os

15

componentes mais voláteis; e, a fase líquida, com os componentes menos voláteis. Na

destilação deste problema, a mistura é alimentada e o processo ocorre em batelada, ou seja,

não há uma alimentação contínua. O líquido remanescente L vai diminuindo e a temperatura,

por estar o líquido mais rico com o componente de maior temperatura de ebulição, vai

aumentando. A equação que descreve o valor de L em função da fração molar do componente

menos volátil, x2, é uma diferencial da forma:

dL/dx2 = L/(x2*(k2 – 1))

Onde

k2 = Razão do equilíbrio vapor/líquido.

O valor de ki é uma relação que quantifica a tendência do componente i em se vaporizar. O

seu valor é dado por:

ki = Pi/P

Onde

Pi = Pressão de vapor do componente;

P = Pressão total do sistema.

A pressão de vapor Pi pode ser modelada pela equação de Antoine que utiliza 3 parâmetros

experimentais, A, B, C para um componente i tem-se:

Pi = 10^(Ai – Bi/(T+Ci))

Onde

T = Temperatura do sistema em ºC.

Os valores de A, B e C para o benzeno e para o tolueno são:

Benzeno: A = 6.90565 B = 1211.033 C = 220.79

Tolueno: A = 6.95464 B = 1344.8 C = 219.482

A temperatura do sistema de destilação segue o ponto de bolha da mistura. Quando se

tem uma mistura binária, o ponto de bolha é a temperatura em que a primeira bolha de vapor

16

aparece. O ponto de bolha é definido implicitamente usando as razões do equilíbrio

vapor/líquido das 2 substâncias. A equação algébrica é:

k1*x1 + k2*x2 = 1

No problema uma mistura de benzeno (componente 1) e tolueno (componente 2) eram

destiladas e após a fração de tolueno ter um valor determinado, pedia–se a quantidade de

líquido remanescente. A solução deste problema exigiu a solução de uma sistema com 1

equação algébrica não linear, solucionada por fsolve, e 1 EDO, solucionada por ode.

4 MÉTODOS NUMÉRICOS

4.1 Sobre os Métodos Numéricos

Métodos numéricos são formas de solucionar problemas utilizando os conhecimentos

de Cálculo e funções. Eles diferem da solução analítica por dar uma solução aproximada do

problema, muitas vezes implementá-los é muito mais prático, simples e rápido para solucionar

diversos problemas que envolvem funções. Métodos numéricos são baseados em

aproximações, realizando diversas iterações (repetição do algoritmo do método), por serem

estruturados em algoritmos que devem ser repetidos diversas vezes a sua praticidade se

encontra quando entra em conjunto com alguma linguagem de programação que admite laço,

como por exemplo, o software utilizado neste projeto. Métodos numéricos também podem ser

utilizados para otimização, controle de sistemas, construção de gráficos. Alguns dos

principais métodos de resolução serão apresentados a seguir, todos retirados de livros de

Cálculo Numérico, ver nas referências bibliográficas.

4.2 Método da bissecção

Este método é utilizado no problema 1 para encontrar a raiz de uma função(f(x)=0) e

utiliza o Teorema do Valor Intermediário do cálculo.

17

O Teorema do Valor Intermediário do cálculo diz que se temos uma função f(x)

continua num intervalo [a,b] e f(a) >0 e f(b)<0, temos uma f(c) = 0, em que c pertence ao

intervalo [a,b]. Então a função tem uma raíz real c.

No método de bissecção diversas iterações são feitas para que se encontre a raiz da

função. A figura a seguir ilustra o método e seu algoritmo, representando 3 iterações que

aproximam-se cada vez mais do valor ξ, a raiz da função.

Figura 3.1 Fonte: Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacionais - 2 Edição

Algoritmo do método:

Tendo a0 e b0

f(a0)<0 e f(b0)>0 temos um x0 = (a0 + b0)/2

Se f(x0)<0 então fazemos, a1= x0 e b1=b0. Se f(x0)>0 então fazemos, b1=x0 e a1=a0.

A iteração é repetida: x1 = (a0+b0)/2... Até que xi convirja para a raiz com um erro e.

18

4.3 Método Newton-Raphson

Este método é utilizado também para encontrar a raiz de uma função, ele utiliza a

noção da reta tangente a um ponto de f(x). A função iterada é :

Xk+1 = Xk – f(Xk)/f’(Xk)

No processo de iteração, o valor Xk+1 é onde a reta tangente a f(Xk) intercepta a abcissa.

Conforme iterada, a função convergiria ao valor do zero da função original. A imagem

a seguir ilustra o método descrito.

Figura 4.2 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Ganzhi001.jpg

4.4 Divisão pela esquerda

A divisão pela esquerda consiste em multiplicar os dois lados da representação

matricial pela inversa da matriz dos coeficientes numéricos. No SciLab a divisão pela

esquerda é representada por \. Quando multiplicamos uma matriz pela sua inversa temos sua

identidade, portanto, na solução pela divisão a esquerda, as variáveis são retornadas isoladas.

4.5 Método do Gauss-Jacobi

19

Este método iterativo é utilizado para solução de sistema de n equações lineares.

Normalmente é utilizado quando o número de equações é grande, em que este método

encontra utilidade.

Dada uma matriz Ax = b do sistema linear de n equações e x = Cx + g. Tendo um sistema:

Figura 4.5-1 Fonte: Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacionais - 2 Edição

Desta forma tem-se x = Cx + g onde:


E

20


O método consiste em a partir do valor de x(0) obter uma sequência x(1), ..., x(k) que

convirja para a solução depois de k iterações da relação:

x(a+1) = Cx(a) + g

4.6 Método de Euler

O método de Euler pode ser utilizado para resolver um problema de valor inicial: y’ =

f(x,y), y(x0) = y0. Como se sabe o valor de x0 e y0 tem-se o valor de y’(x0,y0) = f(x0, y0).

Temos a reta tangente ao ponto (x0, y0) da função diferencial conhecida e sua equação é:

R: r0(x) = y(x0) + (x – x0)*y’(x0)

Escolhendo um h = x(k+1) – x(k), y(x1) é aproximadamente y1 = r0(x1), ou seja,

y1 = y0 + h*f(x0,y0)

O raciocínio pode ser repetido para y(x2) e, assim, a relação iterativa para o método fica:

y(k+1) = y(k) + h*f(x(k),y(k))

Interpretando geometricamente o problema:

21


Quanto menor o intervalo entre x0 e x1 tem-se maior precisão no valor de y, este raciocínio é

usado para métodos mais elaborados que utilizam o mesmo princípio do método de Euler.

4.7 Solucionadores

O Scilab possui solucionadores incorporados na sua programação. Neste projeto, 2

deles foram amplamente utilizados. O solucionador fsolve é utilizado para se encontrar a raíz

de uma função polinomial. O solucionador ode é utilizado para modelagem de uma equação

diferencial ordinária de primeira ordem.

5 RESULTADOS

5.1 Problema 1

22

A-) O volume molar da amônia é de 0.574893 litros/mol e sua compressibilidade é de

0.871828 à pressão de 56 e temperatura 450.

Z= 0.871828 Pr = 0.503145

Se resolvido como um gás ideal (PV = nRT) o valor do volume molar da amônia é 0.6594107

L/mol, um valor maior de volume, com significada diferença. O valor de volume molar

calculado pela relação do gás ideal se aproxima cada vez mais do valor calculado pela

equação de van der Waals quanto mais a pressão se aproxima de 1 atmosfera.

B-)

PR V(litros/mol) Z

1 0.233506 0.7038

2 0.0772709 0.465797

4 0.0606556 0.731277

10 0.0508755 1.53342

20 0.0461735 2.78339

C-)

O fator de compressibilidade apresenta este comportamento de decrescer da pressão

reduzida 1 para 2 por, em pressões que ultrapassam a pressão crítica, a fase líquido/ vapor não

ser mais distinguível. Esta ultrapassagem do ponto crítico do gás é muito bem percebida pelo

volume molar, que diminui bruscamente da pressão reduzida 1 para a pressão reduzida 2.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 5 10 15 20 25

Z x PR

Z x PR

23

5.2 Problema 2

A-) Os valores das taxas molares em cada saída são:

D1=26.25 mol/s

B1=17.5 mol/s

D2=8.75 mol/s

B2=17.5 mol/s

B-) Os valores das taxas molares em cada saída são:

D=43.75 mol/s, em que consistia de 4.9875 mols de xileno, 5.25 mol de estireno, 21.525 mol

de tolueno, 11.9875 mol de benzeno.

B=26.25 mol/s, em que consistia de 5.5125 mols de xileno, 12.25 mol de estireno, 6.475 mol

de tolueno, 2.0125 mol de benzeno.

5.3 Problema 4

A-) A concentração final de cada espécie é :

A = 0.420689

B = 0.242897

C = 0.153565

D = 0.705334

X = 0.177792

Y = 0.551769

Z = 0.373977.

5.4 Problema 5

24

A-) A velocidade terminal para a partícula acelerada pela gravidade é 0.0157816 m/s

B-) A velocidade terminal para a partícula acelerada por 30 vezes a gravidade é 0.206021 m/s

5.5 Problema 6

O gráfico foi desenhado no Scilab e representa a temperatura do óleo no tanque

1(curva azul), tanque 2 (curva verde), tanque 3(curva vermelha) em função do tempo que

varia de 0 a 160 s. A temperatura de equilíbrio nos tanques 1, 2 e 3, respectivamente foram:

30.9524 °C, 41.3832°C, 51.3173°C.

25

5.6 Problema 7

No gráfico do valor da concentração de A em função do valor de z tem-se a solução

analítica (curva verde) e a solução pelo método numérico (curva azul). Nota-se que os dois

métodos possuem soluções muito semelhantes.

26

5.7 Problema 8

A curva acima descreve a quantidade de líquido remanescente na destilação(L) em

função da fração molar do tolueno na mistura (0.8 ao final). A quantidade de líquido

remanescente foi de 13.755 mols.

6 CONCLUSÃO

Modelar e solucionar problemas de Engenharia através de recursos computacionais é

uma forma mais simples e prática considerando cada tipo de problema. Cada solução possui

erros inerentes ao processo de iteração, o qual nunca é exato. Na modelagem dos problemas

erros são incorporados, portanto, no momento de programar um método numérico deve-se

analisar o tempo que se dispões para sua resolução, o erro máximo que é admitido, o poder de

processamento da máquina onde se escreve o código e o tipo de problema. No projeto

aplicaram-se diversos métodos para cada problema, não se preocupou com o tempo para

completar as iterações, pois os problemas eram resolvidos isoladamente e possuíam estrutura

muito simples. O treinamento foi satisfatório, a familiaridade com o processo de programação

foi alcançada e os métodos foram absorvidos em parte. Novas fronteiras para o aprendizado

de métodos numéricos foram abertas. No quinto semestre do curso o aprendizado dos

métodos será aprofundado no curso de Cálculo numérico.

27

7 TRABALHOS FUTUROS

Três problemas da coletânea ficaram a serem resolvidos, por questão de tempo de

projeto e eventualidades ao decorrer do ano de pesquisa. Os outros sete problemas podem ser

analisados quanto a outras formas de solucioná-los, há inúmeras com a utilização de métodos

numéricos. O treinamento deu uma base de conhecimento para o aprendizado de otimização

de processos químicos. A otimização possui diversas técnicas para busca de melhores

soluções para os problemas (encontrar máximos ou mínimos).

8 APÊNDICE

8.1 Linhas de código de programação dos problemas:

Problema 1

1. // Calculo do volume molar do gás amônia e o seu fator de compressibilidade com o

uso da equação de Van der Waals

2. // (P+a/V²)*(V-b)=R*T

3. Tc = 405.5; // Temperatura critica da amônia em Kelvin

4. Pc = 111.3; // Pressão critica da amônia em atm

5. R = 0.08206; // Constante dos gases, atm.L/g.mol.K

6. a= (27/64)*((R*R*Tc*Tc)/Pc);

7. b= (R*Tc)/(8*Pc);

8. printf('O Problema 1 será resolvido para determinar o volume molar e a

compressibilidade de uma amostra do gás de Amônia');

9. T = 450;

10. // K

11. Pp= 56;

12. //Atm

13. e= input('Qual a precisão desejada (e<1 e e>0)? ');

14. // Pressão a ser usada nos casos

15. Pr = [(Pp/Pc) 1 2 4 10 20];

16. c = 1;

17. while c<=6

18. P = Pc * Pr(c);

19. W= P;

20. A = -(R*T + P*b);

21. B = (a);

22. C = -(a*b);

23. // Equação do Volume molar: W*V³+A*V²+B*V+C=0 (1)

24. //Método da bisseção para encontrar a raiz

25. // x=0 satisfaz que a equação 1 seja negativa, -(a*b) é negativo já que a e b são

positivos

26. Ri=0;

27. //Achar x que a equação 1 fique >0

28. //Chute inicial:

29. X=((R*T)/P)*3;

28

30. //teste:

31. if W*X*X*X+A*X*X+B*X+C >0 then

32. Si= X;

33. else printf('Defina o segundo valor por outro método')

34. end

35. //precisão desejada

36. n= ((log(Si-Ri)-log(e))/log(2))-1;

37. //método bisseção

38. i=1;

39. while i<= n

40. xi=(Ri+Si)/2;

41. if W*xi*xi*xi+A*xi*xi+B*xi+C<0 then

42. Ri=xi;

43. Si = Si;

44. else

45. Ri=Ri;

46. Si = xi;

47. end

48. i= i + 1;

49. end

50. Z = (P*xi)/(R*T);

51. printf('O volume molar da amônia é de %g litros/mol e sua compressibilidade é de %g

à pressão de %g e temperatura %g,com precisão de %g\n', xi, Z , P, T , e);

52. //Estudo de Z e Pr

53. printf('Z= %g Pr = %g\n', Z , Pr(c));

54. c = c + 1;

55. end

Problema 2

1. //Problema 2 - Steady state material balances on separation train

2. // Solução de um sistema de equações lineares.

3. //Balanço do material nos componentes individuais no trem de separação, na forma

matricial;

4. A = [0.07 0.18 0.15 0.24; 0.04 0.24 0.10 0.65; 0.54 0.42 0.54 0.10; 0.35 0.16 0.21

0.01];

5. b = [0.15*70; 0.25*70; 0.40*70; 0.20*70];

6. //Parte a do problema

7. //temos que : [xylene; styrene; toluene; benzene] = A*[D1 ; B1; D2; B2]= b

8. //divisão à esquerda(Multiplicação de b pela inversa de A)

9. a = A\b;

10. //atribuição dos valores

11. D1= a(1,1);

12. B1= a(2,1);

13. D2= a(3,1);

14. B2= a(4,1);

15. printf('Os valores das taxas molares em cada saída são:\n D1=%g mol/s\n B1=%g

mol/s\n D2=%g mol/s\n B2=%g mol/s\n', D1, B1, D2, B2);

29

16. //Parte b

17. //Saída D; na sequencia de equações temos: Fração molar de xylene, styrene, toluene e

benzene

18. XdxD = [0.07 0.18]*[D1; B1];

19. XdsD = [0.04 0.24]*[D1; B1];

20. XdtD = [0.54 0.42]*[D1; B1];

21. XdbD = [0.35 0.16]*[D1; B1];

22. D = XdxD+ XdsD+ XdtD + XdbD;

23. //Saída B; mesma sequencia da anterior

24. XbxB = [0.15 0.24]*[D2; B2];

25. XbsB = [0.10 0.65]*[D2; B2];

26. XbtB = [0.54 0.10]*[D2; B2];

27. XbbB = [0.21 0.01]*[D2; B2];

28. B = XbxB+ XbsB+ XbtB + XbbB;

29. printf('Os valores das taxas molares em cada saída são:\n D=%g mol/s, em que

consistia de %g mol de xylene, %g mol de styrene, %g mol de toluene, %g mol de

benzene\n B=%g mol/s, em que consistia de %g mol de xylene, %g mol de styrene,

%g mol de toluene, %g mol de benzene', D, XdxD, XdsD, XdtD, XdbD, B, XbxB,

XbsB, XbtB, XbbB)

Problema 4

1. clear

2. k1=1.06;

3. k2=2.63;

4. k3=5;

5. function f=eq(x)

6. f(1)=x(3)*x(4)-k1*x(1)*x(2);

7. f(2)=x(5)*x(6)-k2*x(2)*x(3);

8. f(3)=x(7)-k3*x(1)*x(5);

9. f(4)=1.5-x(4)-x(7)-x(1);

10. f(5)=1.5-x(4)-x(6)-x(2);

11. f(6)=x(4)-x(6)-x(3);

12. f(7)=x(5)+x(7)-x(6);

13. endfunction

14. xi=[1.5 1.5 0 0 0 0 0];

15. x=fsolve(xi,eq,%eps);

16. printf('Para o estado a as concentração finais são:\n A:%g\n B::%g\n C::%g\n D::%g\n

X::%g\n Y::%g\n Z::%g\n',x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7))

17. function f=eq(x)

18. f(1)=x(3)*(x(4)+1)-k1*x(1)*x(2);

19. f(2)=(x(5)+1)*x(6)-k2*x(2)*x(3);

20. f(3)=(x(7)+1)-k3*x(1)*(x(5)+1);

21. f(4)=1.5-(x(4)+1)-(x(7)+1)-x(1);

22. f(5)=1.5-(x(4)+1)-x(6)-x(2);

23. f(6)=(x(4)+1)-x(6)-x(3);

24. f(7)=(x(5)+1)+(x(7)+1)-x(6);

25. endfunction

30

26. xi=[1.5 1.5 0 1 1 0 1];


28. printf('Para o estado B, as concentração finais são:\n A:%g\n B::%g\n C::%g\n

D::%g\n X::%g\n Y::%g\n Z::%g\n',x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7))

29. xi=[3 3 5 15 15 5 15];


31. printf('Para o estado c as concentração finais são:\n A:%g\n B::%g\n C::%g\n D::%g\n

X::%g\n Y::%g\n Z::%g\n',x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7))

Problema 5

1. //Resolução do problema 5 a partir do fsolve do scilab

2. Pp=1800;

3. Dp= 0.000208;

4. T= 298.15;

5. p=994.6;

6. u=8.931*(10^(-4));

7. g=9.80665;

8. function F=f(vt)

9. Re=(Dp*vt*p)/u;

10. if Re<0.1 then

11. Cd=(24/Re);

12. elseif Re<=1000 then

13. Cd= (24/Re)*(1+0.14*(Re^(0.7)))


15. Cd=0.44

16. else

17. Cd= 0.19-(8*(10^4))/Re;

18. end

19. F=sqrt((4*g*(Pp-p)*Dp)/(3*Cd*p))- vt

20. endfunction

21. [vt]=fsolve(0.1,f,%eps)

22. printf('A velocidade terminal para a partícula acelerada pela gravidade é %g m/s \n',

vt)

23. g=30*g;

24. function F=f(vt)

25. Re=(Dp*vt*p)/u;

26. if Re<0.1 then

27. Cd=(24/Re);


29. Cd= (24/Re)*(1+0.14*(Re^(0.7)))


31. Cd=0.44

32. else

33. Cd= 0.19 - (8*(10^4))/Re;

34. end

35. F=sqrt((4*g*(Pp-p)*Dp)/(3*Cd*p))-vt

36. endfunction

31

37. [vt]=fsolve(0.1,f,%eps)

38. printf('A velocidade terminal para a partícula acelerada por 30 vezes a gravidade é %g

m/s', vt)

Problema 6

1. //// Problema 6, differential equations...

2. //Constantes do processo

3. //Heat capacity of the oil KJ/kg

4. Cp=2;

5. //KJ/min*ºC

6. UA= 10;

7. //Temperatura inicial ºC

8. To=20;

9. //Vazão mássica kg/min

10. W=100;

11. //Massa de óleo kg

12. M= 1000;

13. //Temperatura do vapor ºC

14. Ts=250;

15. function tdot=f(t, T)

16. tdot(1)=[W*Cp*(To-T(1))+UA*(Ts-T(1))]/(M*Cp)

17. tdot(2)=[W*Cp*(T(1)-T(2))+UA*(Ts-T(2))]/(M*Cp)

18. tdot(3)=[W*Cp*(T(2)-T(3))+UA*(Ts-T(3))]/(M*Cp)

19. endfunction

20. c=0:1:5000;

21. for i = 1:101

22. t(1)= 0

23. t(i)= (i-1)

24. T0=[20 20 20];

25. t0=0;

26. [X]=ode(T0,t0,t,f);

27. T1(1)=20

28. T2(1)=20

29. T3(1)=20

30. a = 1 + 3*t(i);

31. b = 2 + 3*t(i);

32. c = 3 + 3*t(i);

33. T1(i)= X(a);

34. T2(i)= X(b);

35. T3(i)= X(c);

36. end

37. printf('As temperaturas de equilibrio nos tanques 1, 2 e 3, respectivamente foram:%g,

%g, %g', T1(161), T2(161), T3(161))

38. plot(t, [T1 T2 T3])

32

Problema 7

////Solução do problema 7 da solução analítica.

////Concentração inicial:(kgmol/m³)

CA0=0.2;

////Constante s^-1

k=10^(-3);

////coeficiente de difusão binário? m²/s

DAB= 1.2*(10^(-9));

//// m, distância da superfície

L=10^(-3);

for c= 2:1:100

z(1)=0

z(c) = c*0.00001

CAb=CA0*(cosh(L*sqrt(k/DAB)*(1-z/L)))/cosh(L*sqrt(k/DAB));

end

////Solução do problema pela EDO de segunda grau.

////x(1)= Ca, x(2) = dca/dt

p=1

dCadt(100) = 1;

while abs(dCadt(100)) > 10^(-6)

for i = 2:1:100

z(1)=0

z(i) = i*0.00001

function ydot=f(z, x)

ydot(2)= k*x(1)/DAB;

ydot(1)= x(2);

ydot(3) = x(4);

ydot(4) = k*x(3)/DAB;

endfunction

A(1) = 1;

A0 = A(p)

x01=[CA0 A0 0 1];

z0=0;

[X] = ode(x01,z0,z,f)

CA(1) = 0.2;

dCadt(1) = A(p);

a = 1 + 4*(i-2);

b = 2 + 4*(i-2);

d = 4 + 4*(i-2);

dCadt(i)= X(b);

CA(i) = X(a);

DX(b) = X(d);

end

p= p + 1

A(p)= A(p-1) - ((X(b))/(X(d)))

end

plot(z, [CA CAb])

33

Problema 8

////Problema 8 - Binary Batch Destillation

////A mistura a ser destilada é uma mistura binária de benzeno e tolueno.

////Dados:

//constantes do benzeno

A1=6.90565;

B1=1211.033;

C1=220.79;

//constantes do tolueno

A2=6.95464;

B2=1344.8;

C2=219.482;

//Informações do sistema

P= 1.2*760;

//Pressão mm de HG

L0= 100;

//100 mols da mistura inicial

x10=0.60;

//fração molar de benzeno

x20=0.40;

//fração molar de tolueno

for i = 2:1:101

X(1)=0.400

X(i) = 0.400 + 0.004*(i-1)

function F=temp(x)

F= (((10^(A1-(B1/(x+C1))))/P)*(1-X(i))) + ((10^((A2-(B2/(x+C2))))/P)*(X(i))) - 1

endfunction

////Função não linear(Resolvendo-a teremos a temperatura x do sistema)

x(i)=fsolve(80,temp)

k2(i) = (10^((A2 - (B2/(x(i)+C2)))))/P

//Solução pelo método de Euler

h(i) = X(i)- X(i-1)

L(1) = 100

L(i) = L(i-1) + h(i)*L(i-1)/(X(i)*(k2(i)-1))

end

plot(X, L)

9 REFERÊNCIA BLIBIOGRÁFICA

CUTLIP, M. HWALEK, J. et al. A collection of ten numerical problems in chemical

engineering solved by various mathematical software packages. New York: John Wiley &

Sons, 1998.

34

BADINO Jr, Alberto Colli; CRUZ, Antonio José Gonçalves. Fundamentos de Balanços de

Massa e Energia: um texto básico para análise de processos químicos. São Carlos:

EdUFSCar, 2010.

ARENALES, Selma Helena Vasconcelos; DAREZZO, Arthur. Cálculo numérico:

aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Thomson Learning, 2008.

RUGGIERO, Márcia A. Gomes; ROCHA, Vera Lúcia da Lopes. Cálculo Numérico,

Aspectos Teóricos e Computacionais. São Paulo: Pearson Education, 1996.

Perry, Robert, et al. Perry's Chemical Engineers' Handbook. New York: McGraw-Hill

Professional, 2007.

Dean, Jean A. . Lange's Handbook of Chemistry. New York: McGraw-Hill

Professional,1999.

Van Ness, H. C., et al. Introduction to chemical engineering thermodynamics. New York:

McGraw-Hill Professional, 2005.

Lacerda, E. G. M. Programando com Scilab: versão: 0.24. UFRN: Departamento de

Engenharia de Computação e Automação (DCA), 2011.

scilab - egenharia química

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