sapatas (tem mais exercicios)

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III

NOTAS DE AULA

SAPATAS DE FUNDAÇÃO

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS

(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP

Agosto/2012

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.

O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os

procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento”.

Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao

aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.

Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas.

SUMÁRIO 1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1

1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................1 1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO ...............................................................................................1 1.3 TIPOS DE SAPATAS........................................................................................................1 1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ........................................................................................3

2. SAPATAS ISOLADAS............................................................................................................3

2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ ......................................................................4 2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL.............................................................................5

2.2.1 Sapatas Rígidas ...........................................................................................................5 2.2.2 Sapatas Flexíveis .........................................................................................................6

2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.....................................................................6 2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA .................................................................................................................................7

2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ..............................................7 2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB).......................................................8

2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70..................................................................................9 2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ....................................................................9 2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................................10 2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão..........................................................................13 2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................14 2.5.5 Força Cortante Limite ...............................................................................................16

2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO..........................................................................................16 2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante .........................................................................18 2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C..................................................................................................................19 2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção ........................................................................................................20

2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...............................................................21 2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS...........................................................................................29 2.9 MÉTODO DAS BIELAS .................................................................................................29

2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...........................................................................33 2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS.............................................34

2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...............................................................................34 2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ............................................................................36

2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor....................40 2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA ..............................48 2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA..................................54 2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥ 5d 56 2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível ....................................................................................57

3. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................62

3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME...........................................64 3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ......................65 3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...............................................................67 3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................69

3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL..........................................................69 3.6 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................73

4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................74

5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM

SAPATAS.......................................................................................................................................75

6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................76

6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...............................................................................................78 6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO.........................................78 6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO..........................................81 6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA......................................................81 6.5 EXEMPLO 8 ....................................................................................................................83 6.6 TAREFA...........................................................................................................................90 6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ..........................................................90 6.8 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................91

7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................92

8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................95

8.1 SAPATA RETANGULAR...............................................................................................95 8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..................................................................98 8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL.......................................................................100 8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ....................................................101 8.5 EXEMPLO 9 ..................................................................................................................102

9. QUESTIONÁRIO................................................................................................................111

10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................112

UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 1

1. DEFINIÇÕES As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010. 1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como: “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.” Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de dimensionamento geométrico e de calculo estrutural. 1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO

Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado, dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de armadura especialmente disposta para esse fim.” 1.3 TIPOS DE SAPATAS Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou excêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).

h=cte h = var

Figura 1 – Sapata isolada. Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2).

parede

sapata OU

Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede.


Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapata combinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada como alternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena.

PLANTA

VR

A

A

P1 P2

ELEVAÇÃO CORTE AA

Viga derigidez

Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação). Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de um ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das cargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletor resultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga de equilíbrio” (VE), Figura 4.

sapata 2

VA

Viga alavanca (VA)

sapata 1

Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio.


A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conforme alguns casos indicados na Figura 5.

VB

VB

Vigabaldrame(VB)

Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.

1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS “A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o solo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivos sugeridos para as sapatas.

≥cm20

3/hh 0

> 3

1

Lastro de concreto simples( ≥ 5cm, fck ≥ )σsolo, rocha

h

h 0

3 a 10 cm

α

Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.

α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório). 2. SAPATAS ISOLADAS

Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação


entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modo que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.

Se cA = cB : A – ap = B – bp A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB)

BA

b p

ap

CB

CACA

CB

Figura 7 – Notação para a sapata isolada.

2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:

Sapata rígida: 3

)a -(A h p

≥

Sapata flexível: 3

)a -(A h p

<

h

A

ap Pilar

Figura 8 – Altura h da sapata.

com: h = altura da sapata (Figura 8); A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção; ap = dimensão do pilar na direção do lado A. Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja, segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares.


Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando:

0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º)

tg β = h / c

h

ap Pilar

β

CBalanço

Figura 9 – Ângulo β e balanço c.

E também: tg β < 0,5 ⇒ sapata flexível;

tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto resiste a σt .

2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL

(NBR 6118/03, 22.4.2) 2.2.1 Sapatas Rígidas São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações.

a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuída na largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente nas larguras A e B da sapata (Figura 10).

Sapatarígida

As B

As AA

Figura 10 – Armaduras positivas de flexão de sapata isolada. b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por tração diagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11). Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.


Seção a ter compressãoverificada (item 19.5.3.1da NBR6118)

σI

σII

Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.

2.2.2 Sapatas Flexíveis São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis são utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03). a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12); b) há a necessidade da verificação à punção.

N

p

M(variável)

Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.

2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características das cargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas. (ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos). A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). A NBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobre rocha.


Rígida

distribuiçaoadmitida

distribuiçãoreal

Areia

Flexível

Areia

Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.

A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana a distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações mais detalhadas a respeito.” 2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA

CENTRADA

A area de apoio da sapata pode ser estimada como:

solosap

N05,1S

σ= ou

solosap

N1,1S

σ=

onde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. 2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se: A = 2cA + ap B = 2cB + bp Com cA = cB , fica: A – B = ap – bp

B

SABAS sap

sap =→⋅=

ppsap baBB

S−=−

Multiplicando por B:

( )BbaBS pp2

sap −=−

( ) ( ) sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B +−+−=


A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm no caso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos (sobrado).

B

A

b p

ap

CB

CA

CB

CA

Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.

2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠≠≠≠ cB)

Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:

0,3B

A≤

Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se:

RBARB

A⋅=→=

Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2

R

SB sap

= , com A e B múltiplos de 5 cm.

B

A

b p

ap

CB

CA CA

CB

Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.


2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70 O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com:

c ≤ 2h e 2

hc ≥

ou seja: h2c2

h≤≤

Se 2

hc < → bloco de fundação.

h

CC

Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.

Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).

N

M("pequeno")

(LN fora daseção)

Superfícieplana

N

M("grande")

x

Distribuição admitida paraquando existirem tensões detração na base da sapata

Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.

2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção de referência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e se encontra internamente ao pilar (Figura 18). d1 = d ≤ 1,5cA ap

0,15ap

CA

d 1

S1AA

Figura 18 – Seção de referência S1 .


O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre a seção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.

S1

σ1

σ2

Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .

No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se as características geométricas da seção de referência S1. O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a relação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5. 2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na Figura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb :

2

aAc p

A

−= =

2

bBc p

B

−=

p

0,15

ap

0,15ap

b p

S1A

S1B

CB

x B

B

CA xA

A

b p

N

S1A

Figura 20 – Notações e seção de referência S1 .


Pressão da sapata no solo:

B.A

N05,1p =

onde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem ser adotados. As distâncias xA e xB são: xA = cA + 0,15ap

xB = cB + 0,15bp Áreas de referência nas duas direções (Figura 21): A1A = xA B A1B = xB A

B

A

x B

xA

A1A

A1B

Figura 21 – Áreas de referência.

Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22): R1A = p . xA . B R1B = p . xB . A

xA

S1AR1A

p

Figura 22 – Resultante da pressão no solo.

Momento fletor em cada direção:


2

xRM A

A1A1 = ⇒ 2

xB.pM

2A

A1 =

2

xRM B

B1B1 = ⇒ 2

xA.pM

2B

B1 =

No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Se considerar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd .

As

A'c

LN

Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).

Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:

d

21w

c M

dbK = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks encontra-se βx , o domínio e Ks

com bw = A ou B.

1

dss d

MKA = ≥ As,mín

Simplificadamente também pode-se fazer:

yd1

ds f.d85,0

MA = ≥ As,mín

Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída na largura da sapata. A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas extremidades. Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer: a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):

A armadura é calculada como sendo: BA

B2As

+


B Armadura

B

A

ap

b p

Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ ap + 2h.

b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):

A armadura é calculada como sendo: ( )

h2aA

h2a2A

p

ps

++

+

Armadura

B

A

ap

b p

+ 2hap

Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.

2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão 1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir da seção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é o comprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.

C > h

h

h

lb

Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h.

2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada na vizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir da extremidade retilínea da barra (Figura 27).


C < h

hlb

Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.

2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada

No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção de referencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2 da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.

ap

B

C2A

b p

N

d2

C2A

A

dh

C2B

d2

45°

S2B

S2A

A

h 0

p

d 2A

Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata. Força cortante em relação à seção de referência paralela ao menor lado da sapata (S2A): VA = p B c2A


com BA

Np

⋅= e

2

daAc p

A2

−−=

Anologamente: VB = p A c2B e 2

dbBc p

B2

−−=

Com:

A2p

0A2 c5,1

aA

hh1dd <

−

−−=

B2p

0B2 c5,1

bB

hh1dd <

−

−−=

No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura 29).

C

B

S na face do pilar2A

Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).

A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.

ap

S2A

C2A

N

d2

d

A

d 2A

1,5

C2A

≤

b p

45°

+

db 2A

b p

B

Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A .


Com relação às dimensões A e B da sapata:

b2A = bp + d b2B = ap + d 2.5.5 Força Cortante Limite Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valores seguintes:

ck22C

lim,d fdb5,1

V ⋅ρ⋅γ

= , para fck em kN/cm2;

ck22C

,limd fdb474,0

V ⋅ρ⋅γ

= , para fck em MPa.

com: Vd,lim em kN; γc = coeficiente de segurança do concreto; b2 e d2 em cm;

ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :

01,0db

A

22

S ≤⋅

=ρ (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);

As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .

Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.

Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição não ocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal. NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade para resolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:

lim,d

dnovo V

Vdd =

2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 - “Dimensionamento de lajes à punção”. A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31.

x

dtg =α , fazendo α = 27°

d251,0

dx

x

dº27tg ≅=→=


superfície de ruptura deuma laje por efeito depunção

α = 25º a 30º

d

As

x

pilar

-

laje

Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.

“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra as superfícies críticas C e C’.

C

C'

C

C'

C

C

C'

C'

2d 2d 2dB

orda

livr

e

B. l

ivre 2d

B. livre

Figura 32 – Superfícies críticas C e C’. “Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, no entorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário colocar armadura transversal.” No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente os itens relacionados à dispensa da armadura transversal. A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cada superfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .


2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante

2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico A tensão de cisalhamento solicitante é:

du

FSdSd

⋅=τ

onde:

( )2

ddd yx +

= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;

dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;

u = perímetro do contorno crítico C’; u . d = área da superfície crítica; FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo.

No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). A força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).

2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamento solicitante é:

dW

MK

du

F

p

SdSdSd

⋅

⋅+

⋅=τ

sendo: K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar por cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1); C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33; C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.

Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 . C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0

K 0,45 0,60 0,70 0,80 Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1; - quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8. Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico por:

ldeWu

0p ∫=

dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;


e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor MSd .

12

221

21

p Cd2d16dC4CC2

CW π++++= (pilar retangular)

22p d16dr16r4W ++= (pilar circular; r = raio)

ou

( )2p d4DW += (D = diâmetro)

Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).

C'

e

e1

2dc1

c 2

dl

Msd

Fsd

≡

Msd

Fsd

e1

Fsd

Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.

2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na

Superfície Crítica C (NBR 6118, 19.5.3.1)

“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou sem armadura”. τSd ≤ τRd2 τRd2 = 0,27αv fcd

onde

−=α

250

f1 ck

v , com fck em MPa.

A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão de cisalhamento (Figura 34). A tensão de cisalhamento solicitante é:

du

F

o

SdSd =τ

com: FSd = força solicitante de cálculo;


uo = perímetro de contorno crítico C; uo = 2 (ap + bp) uo d = área da superfície crítica C; d = altura útil ao longo do contorno crítico C.

C

d

Fsd

τsd

ap

b p

Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.

2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos

sem Armadura de Punção (NBR 6118, 19.5.3.2)

A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:

( )3

1

ck1Rd f100d

20113,0 ⋅ρ

+=τ

onde:

yx . ρρ=ρ ;

( )

2

ddd yx +

= = altura útil em C’(cm);

ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente; ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais; fck em MPa. No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:

2cd3

ck1Rd f5,0*a

d2f100

d

20113,0 ≤ρ

+=τ

fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas. a* ≤ 2d


)MPa(f250

f16,0f cd

ck2cd

−=

u* = 2ap + 2bp + 2πa*

Superfície C' (perímetro = u*)

d

apa*

A

Figura 35 – Distância a*.

Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é:

+=τ

Sdp

SdSdSd FW

*uMK1

d*u

F

2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA (Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988, p.11-31 – Escola Politécnica da USP) Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo a taxa admissível do solo ( soloσ ) de 2,5 kgf/cm2 (0,25 MPa), sendo também conhecidos:

Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0 materiais: concreto C25 , aço CA-50 φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4 Resolução Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o peso próprio da sapata e o solo sobre a sapata:

7332,5cm332.57025,0

13031,1N1,1S 2

solo

ksap ==

⋅=

σ= m2


Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata em planta é:

sap2

pppp S)ab(4

1)ab(

2

1B +−+−=

5,21357332)7520(4

1)7520(

2

1B 2 =+−+−= cm

como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como o múltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é:

7,266215

57332

B

SA sap

=== cm (adota-se A = 270 cm), e

2sap cm050.58215.270S ==

Os balanços resultam:

5,972

75270

2

aAccc p

BA =−

=−

=== cm

A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é:

NBR 6118 → 653

75270

3

aAh p

≥−

≥

−≥ cm

Pelo CEB-70: 5,1tg5,0 ≤β≤ com 5,97

h

c

htg ==β

3,146h8,485,15,97

h5,0 ≤≤→≤≤ cm

Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da sapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar: h pil,,b φ≥ l

pil,,b φl = 53 cm (com gancho, região de boa aderência, C25, 20pil, =φl mm)

Adotando h = 90 cm pil,bφ≥ l = 53 cm, a sapata é rígida.


75

20B21

5cm

A270cm

p

97,5

97,5

97

,597

,5b p

ap

h =

90

d =

85

0,15 = 11,25ap

CB

CB

CACA

108,75

xA

≥ 3

0

Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 . Para a altura útil pode-se considerar: d = h – 5 cm → d = 85 cm Pressão no solo:

0247,0215270

13031,1

BA

N1,1p k =

⋅

⋅=

⋅= kN/cm2

Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar:

902c2

90h2c

2

h⋅≤≤→≤≤

45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok! Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B :

2

xApM;

2

xBpM

2B

B1

2A

A1 ⋅=⋅=

cm75,1087515,05,97a15,0cx pAA =⋅+=+=


cm5,1002015,05,97b15,0cx pBB =⋅+=+=

402.312

75,108215.0247,0M

2

A1 == kN.cm

679.332

5,100270.0247,0M

2

B1 == kN.cm

O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior:

5

193,0

33679

31402

M

M

B1

A1 >== → ok!

A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.

MA 33679

3140

2

MB

M = 31402A

A = 270

B =

215

S1A M = 33679B

Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata.

Armadura segundo a dimensão A da sapata: M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm

3,3543963

85.215

M

dbk

2

d

2

c ===

observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B). Na tabela de kc e ks resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks = 0,023.

85

43963023,0

d

MkA d,A1

ssA ==

AsA = 11,90 cm2 Armadura segundo a dimensão B da sapata:


M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm

85

47151023,0

d

MkA

023,0k,2.dom,02,04,4147151

85.270k

d,B1ssB

sx

2

c

=

==β⇒==

AsB = 12,76 cm2 Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:

2

yd

d,B1sB

2

yd

d,A1sA

cm00,1548,43.85.85,0

47151

f.d85,0

MA

cm00,1448,43.85.085

43963

f.d85,0

MA

===

===

A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje

(cm2/m). É necessário tranformar a armadura em cm2/m:

Na dimensão A: 51,615,2

00,14= cm2/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2/m)

Na dimensão B: 56,570,2

00,15= cm2/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2/m)

O detalhamento das armaduras está mostrado adiante.

Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme as dimensões indicadas na Figura 38. As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são: VA = p B c2A VB = p A c2B

cm552

8575270

2

daAc p

A2 =−−

=−−

=

cm552

8520215

2

dbBc p

B2 =−−

=−−

=

kN1,29255.215.0247,0VA ==

VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN As forças cortantes de cálculo, com γf = 1,4 são: VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN VB,d = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN


75

20

B21

5cm

A270cm

d2

42,5

p = 0,0247

55

b p

ap

h 90 d 85

S2A

55

d2

42,5

C2

B

C2A

S2

A

S2B

d 2A

30h 0 58,

8

75

20

d2

42,5

b p

ap

d2

42,5

S2A

S2B

105

b 2A

160b2B

d2A

b 2A

Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .

Dimensões d2Ae d2B :

30hadotadocm20

cm303

90

3

hh 00 =→

==

≥ cm


A2p

0A2 c5,1

aA

hh1dd ≤

−

−−=

cm5,82555,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅==

8,5875270

3090185d A2 =

−

−−= cm ≤ 82,5 cm → ok!

B2p

0B2 c5,1

bB

hh1dd ≤

−

−−=

8,5820215

3090185d B2 =

−

−−= cm ≤ 82,5 cm → ok!

!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤==

Larguras das seções S2:

cm1058520dbb pA2 =+=+=

cm1608575dab pB2 =+=+=

Forças cortantes limites conforme o CEB-70:

ck22c

,limd fdb474,0

V ⋅ρ⋅⋅γ

=

Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ):

A2

sAA d100

A=ρ 00113,0

8,58100

67,6=

⋅= = 0,113 % ≤ 1 %

B2

sBB d100

A=ρ 000971,0

8,58100

71,5=

⋅= = 0,0971 % ≤ 1 %

0,3522500113,08,581054,1

474,0V ,limd,A =⋅⋅⋅= kN

kN0,352V9,408V lim,d,Ad,A =>=

kN3,49625000971,08,581604,1

474,0V lim,d,B =⋅⋅⋅=

kN3,496V5,513V ,limd,Bd,B =>=

A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, para sapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:


22c

cklim,d db

f63,0V

γ=

Aplicando ao exemplo:

389.18,581054,110

2563,0V lim,d,A =⋅

⋅= kN >> VA,d = 408,9 kN

Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , as dimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc. Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado a seguir.

Verificação da Diagonal Comprimida: uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39). uo = 2 (20 + 75) = 190 cm kN824.113034,1NNF fSdSd =⋅=⋅γ==

(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)

C

ap

b p

75

20

Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar.

Tensão de cisalhamento atuante:

113,085190

1824

du

F

o

SdSd =

⋅==τ kN/cm2 = 1,13 MPa

Tensão de cisalhamento resistente:

43,04,1

5,2

250

25127,0f27,0 cdV2,Rd =

−=⋅α=τ kN/cm2 = 4,3 MPa

MPa3,4MPa13,1 2,RdSd =τ<=τ

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas. Detalhamento (Figura 40) Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB será distribuída uniformemente no comprimento A. Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.


c = 97,5 cm > h = 90 cm φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm. cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm). lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm

30

N1

- 17

c/1

2(2

15 -

8)/

12 =

17,

2N2 - 19 c/14(270 - 8)/14 = 18,7

97,5

83≥

, pila

rl b

Øl

Øl,pil

h = 90

20

N1 - 17 Ø12,5 C = 340

20 20260

N2

- 19

Ø12

,5 C

= 2

8520

5

20

20

AsB

AsA

≥ 14,5

AsA

AsB

20

20

20 20

lanc ≥ ≥ 38 cmlb

Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1o) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de uma sapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com:

soloσ = 0,3 MPa Mx = My = 0

C25 θl,pilar = 22,5 mm 2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de base circular. 2.9 MÉTODO DAS BIELAS O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle (1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a


base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na base da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura.

Biela de compressão

Armadura necessária pararesistir à força de tração

Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.

Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada. A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.

P

0

yx

AB

d 0

dT x

d x

dy

dT

dN

dT y

p d dx y

Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas.

Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-se as equações:


p

P

d

=

A .

d(A

-

)

p

d 0

β ≥

45°

A2

A2

dxAs

a p

α

d s

2dP

d

α

dT

xp d x = dP

d 0A

0

αdN

dT

dP

Figura 43 – Forças na direção x da sapata.

−

⋅

−=

−=⋅=

⋅=α

=αα

=

α⋅=

α⋅=

∫

22

px

22

0

2

A

x0

x

0

x4

A

dA

)aA(p

2

1T

x4

A

d

p

2

1dxx

d

pT

d

xdxp

tg

dPcos

sen

dPdT

sendNdP

cosdNdT

Para x = 0, Tx = Tmáx :

d

)aA(

8

PT

4

A

dA

)aA(

A

P

2

1T p

x

2p

x

−=→

⋅

−=


De forma análoga para a direção da sapata isolada:

d

)bB(

8

PT p

y

−=

A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:

s

c d

dN=σ onde

α=

sen

dxds

A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máxima ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:

( )

−

−+=σ

20

2p

pc

d4

aA1

a

P

A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.

B

A

x

y

P

h

d ≥

1 2 (A

-

)a p

Asx ou AsA

P

Asy ou AsB

d ≥ 12 (B - )bp

ap

b p

Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata.

As armaduras são:

yd

xdsAsx f

TAA == ;

yd

ydsBsy f

TAA ==

Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:


( ) ( )

λ−

−+−+

⋅⋅λ=σ

20

2

2p

2p

ppmáx,c

d1

14

bBaA1

ba

p

Onde B

b

A

aPp

==λ (áreas hometéticas).

No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:

λ−

−+

⋅⋅λ=σ

2

0

p

pmáx,c

d1

1

aA

2

11

aA

p

2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método das Bielas”. Resolução Verificação do ângulo β:

º45º1,418718,05,97

85

)75270(2

185

)aA(2

1d

tg

p

<=β→==

−

=

−

=β → não ok!

portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, de modo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cm tem-se:

º45º7,450256,15,97

100tg ≥=β→==β → ok!

Forças de tração:

4,349100

)75270(

8

13031,1

d

)aA(

8

PT p

x =−

⋅⋅

=−

= kN

4,349100

)75270(

8

13031,1

d

)bB(

8

PT p

y =−

⋅⋅

=−

= kN

25,11

15,1

504,3494,1

AA sAsx =⋅

== cm2 = Asy = AsB


A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como feito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, não deve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida. 2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45).

N

e

divi

sa

NH

M

N

MA

HA

A

BN

MB

HB

Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas. 2.10.1 Excentricidade em Uma Direção a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46)

Ocorre quando 6

Ae < . Tem-se:


A

B

A6

B6

e

N

σmáx

σmín

Nnúcleo

Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do

núcleo central de inércia.

I

yM

BA

N ⋅±

⋅=σ

)A

e61(

BA

Nmáx +

⋅=σ

)A

e61(

BA

Nmáx −

⋅=σ

b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central )6

Ae( = (Figura 47)

A

A6

σmáx

N

Figura 47 – Ponto de aplicação da força no

limite do núcleo central.

BA

N2máx

⋅=σ

c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central )6

Ae( > (Figura 48)

Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novo diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:


A

A6

σmáx, 1

Ne

B

LNσmín

6

A0

σmáx

LN

3(A/2 - e)

A0

Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora

do núcleo central.

−

=σ

e2

AB3

N2máx

2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções

A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas direções.

y

xe B

eA

A

B

N

Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções.

O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da sapata, e:

I

xM

I

yM

BA

N AB ⋅±

⋅±

⋅=σ


N

MB

HB

B

N

MA

HA

A

Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.

hHMM AAbase'A ⋅+= , hHMM BBbase'B ⋅+=

N

Me A

A = , N

Me B

B =

a) Quando 6

1

B

e

A

e BA ≤+ (Figura 51)

y

xe B

eA

A

B

N

CG

σ máx

σ mín

Figura 51 – Tensões na sapata para 6

1

B

e

A

e BA ≤+ .

++

⋅=σ

B

e6

A

e61

BA

N BAmáx

−−

⋅=σ

B

e6

A

e61

BA

N BAmin

(toda seção seta comprimida)


b) Quando 6

1

B

e

A

e BA >+ (Figura 52)

y

x

e B

eA

A

B

N

2

1

4

3

σ máx

σ mín

α

seçãocomprimida

Figura 52 – Tensões na sapata para6

1

B

e

A

e BA >+ .

BAK

N

11máx

⋅⋅=σ=σ

σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado) σmín = σ4 < 0 K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53. Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:

( )α+

α+

σ−σ+σ=σ

tgA

B1

tgA

B

B

y

A

x

414mín


Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).


Notas: - Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais desfavorável, solomáx 3,1 σ=σ ;

- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente comprimida, isto é:

6

1

B

e

A

e g,Bg,A≤+ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54).

Gs2

Gb2

Gs1

Gb1

Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.

- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:

9

1

B

e

A

e2

B2

A ≤

+

2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor (Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil, UNESP – Bauru/SP) Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm, dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos: concreto C25, aço CA-50, =σsolo 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm.

Resolução 1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor. Área do apoio da sapata:

000.41022,0

8201,1N1,1S

solosap =

⋅=

σ= cm2

Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções:

( ) ( ) sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B +−+−= = ( ) ( ) 5,183410006020

4

16020

2

1 2=+−+− cm

adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm.


A – ap = B – bp A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm Tensões na base da sapata (Figura 55):

I

yM

BA

N ⋅±

⋅=σ

2

Ay = ;

12

ABI

3⋅=

9,68201,1

6200

N1,1

Me =

⋅== cm

5,376

225

6

A== cm

5,376

A9,6e =<= cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.

0257,0225

9,661

185225

8201,1máx =

⋅+

⋅

⋅=σ kN/cm2 022,0solo =σ> ∴ não ok!

Aumentando a seção da base da sapata para: A = 240 cm ; B = 200 cm Obedecendo: pp baBA −=− → 240 – 200 = 60 – 20

A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm2soloσ= → ok!

0156,0)240

9,661(

200240

8201,1mín =

⋅−

⋅

⋅=σ kN/cm2 > 0 (como esperado!)


60

20

185

225

N

M

1,1NA B

M

M I My

0,02200,0156

Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.

2) Altura da sapata Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70:

902

60240

2

aAc5,1tg5,0 p

=−

=−

=→≤β≤ cm

135h455,190

h5,0 ≤≤→≤≤ cm

Pelo critério da NBR 6118/03:

603

60240

3

aAh p

≥−

≥−

≥ cm

É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem da armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm. Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida) 3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70


Verificação: ⋅≤≤→≤≤ 2c2

60h2c

2

h60

30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok! Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56):

a60

b 20B20

0cm

A240cm

0,0220,0156

C 90

C 90

C

90C

90

b p

ap

h 60 d 55

x99xa

0,15 a = 9ap

S1A

P1A

KNcm²

CB

CB

CACA

0,0220,01936

P1A

99

49,5

66 33

49,5

0,13

1

1,91

7

Figura 56 – Seção de referência S1A .

Dimensão A:

( )

01936,099240

0156,0022,0022,0p A1 =

−−= kN/cm2 (ver Figura 56)

( ) 708.2020066132,05,49917,1M A1 =⋅+⋅= kN.cm Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 57):

0188,02

0156,0022,0pméd =

+= kN/cm2

512.192

)2015,090(2400188,0

2

xApM

22B

B1 =⋅+

⋅=⋅= kN.cm

Armaduras de flexão:


26,145,435585,0

207084,1AsA =

⋅⋅

⋅= cm2

13,7100200

26,14= cm2/m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2/m)

43,135,435585,0

195124,1AsB =

⋅⋅

⋅= cm2

60,5100240

43,13= cm2/m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2/m)

Nota-se que: !ok5

194,0

26,14

43,13→≥=

S 2A

S2B

p2A = 0,0203

0,022

0,022

0,0188(valor médio)

0,0156

0,0156

Figura 57 – Esquema de reações do solo na base da sapata.

Forças cortantes nas seções de referência S2 (Figura 58):

5,622

5560240

2

daAc p

A2 =−−

=−−

= cm

5,622

5520200

2

dbBc p

B2 =−−

=−−

= cm

cm25hadotadocm20

cm203

60

3

hh 00 =→

==

≥


a60

b 20

B20

0cm

A240cm

0,022 KNcm²0,0156

d2

27,5

b

C

62,5

b p

ap

h 60 d 55

S2A

P2A

d2

27,5

C2B

b 2A

C 62,5

C2A

S2A

S2B

h 25h 0

d

d 2A

= 0,0203

Figura 58 – Seção de referência S2A .

A2p

0A2 c5,1

aA

hh1dd ≤

−

−−=

cm8,935,625,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅==

3,4460240

2560155d A2 =

−

−−= cm

!okcm8,93cm3,44d A2 →≤=

B2p

0B2 c5,1

bB

hh1dd ≤

−

−−=

B2B2 c5,120200

2560155d ≤

−

−−=

!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤==


Larguras b2A e b2B :

cm755520dbb pA2 =+=+=

cm1155560dab pB2 =+=+=

A2médA cBpV = 4,2645,622002

0203,00220,0=⋅

+= kN

1,3704,2644,1VdA =⋅= kN

VB na seção S2B :

B2médB cApV = 0,2825,622402

0156,0022,0=⋅

+= kN

8,3940,2824,1VdB =⋅= kN

Força cortante limite (CEB-70):

ck22c

,limd fdb474,0

V ⋅ρ⋅⋅γ

=

A2

sAA d100

A=ρ 00164,0

3,44100

27,7=

⋅=

B2

sBB d100

A=ρ 00129,0

3,44100

71,5=

⋅=

9,2272500164,03,44754,1

474,0V lim,dA =⋅⋅⋅= kN

kN9,227V1,370V lim,dAdA =>=

kN6,3092500129,03,441154,1

474,0V lim,dB =⋅⋅⋅=

kN6,309V1,394V lim,dBdB =>=

Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessário colocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limites sugeridos por Machado (1988) para sapata rígida:

22c

cklim,d db

f63,0V

γ=


kN6,7473,447510

25

4,1

63,0V lim,dA =⋅⋅=

!okkN6,747V1,370V ,limdAdA →=<=

kN3,146.13,4411510

25

4,1

63,0V lim,dB =⋅⋅=

!okkN3,146.1V8,394V ,limdBdB →=<=

com esses limites não é necessário colocar armadura transversal. Verificação da diagonal comprimida: cm160)6020(2uo =+= (Figura 59)

60

ap

20bp

Figura 59 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.

kN148.18204,1NNF fSdSd =⋅=⋅γ==


1305,055160

1148

du

F

o

SdSd =

⋅==τ kN/cm2 = 1,305 MPa

Tensão de cisalhamento resistente:

43,04,1

5,2

250

25127,0f27,0 cdv2,Rd =

−=α=τ kN/cm2 = 4,3 MPa

MPa3,4MPa305,1 2,RdSd =τ<=τ

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas. Detalhamento (Figura 60) As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B. Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm. Comprimento dos ganchos das armaduras de flexão, considerando: φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm. Comprimento de ancoragem existente na horizontal e na extremidade da barra (ver Figura 60): 2660490 =−− cm


Portanto, o comprimento do gancho na vertical deve ser: ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm Tem-se também os valores: cnom = 4,0 cm, lφ,pilar = 33 cm.

6025

N1

- 17

c/1

1

N2 - 16 c/14

90

54

≥l

Ø ,

pila

rl b

Øl

ØlØ , pilar

16 Ø1017 Ø10c/ 11

h60

90 - 4 - 60 = 26cm} }

c h

12

N1 - 17 Ø10 C = 260

15 15230

N2

- 16

Ø10

C =

220

190

15

15

Figura 60 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA (Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP) Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando: - seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ 20 mm, sendo parte tracionada; - N = 1.040 kN; - concreto C20; aço CA-50; cnom = 4,5 cm

- 500solo =σ kN/m2; - momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m Resolução a) Estimativa das dimensões da sapata


2

solosap m288,2

500

10401,1N1,1S =

⋅=

σ=

Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c:

( ) ( ) sap2

pppp Sab4

1ab

2

1B +−+−=

( ) ( ) m42,1288,26,04,04

16,04,0

2

1B 2

=+−+−=

adotado B = 1,40 m

m60,1Aadotadom63,140,1

288,2

B

SA sap

=→===

b) Verificação das tensões na base da sapata Excentricidades da força vertical (Figura 61):

B14

0cm

A160cm

x

y

60

40

N

N

Mx

N

My

Figura 61 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata.

N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m

cm27m270,01040

280ex ===

cm3,18m183,01040

190ey ===


Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 53):

13,0140

3,18

B

e

17,0160

0,27

A

e

yy

xx

===η

===η

→ ábaco (Figura 53) → λ1 = 0,34, zona C

6505003,13,1BA

Fsolo

1

V1 =⋅≤σ≤

⋅⋅λ=σ kN/m2

502.14,16,134,0

10401,11 =

⋅⋅

⋅=σ kN/m2 >> solo3,1 σ = 650 kN/m2 → não ok!

As dimensões da sapata devem ser aumentadas! Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm):

12,0220

0,27x ==η

09,0200

3,18y ==η

Verifica-se que:

)basenatraçãohá(6

121,0

B

e

A

eyx

yx >=η+η=+

no ábaco (Figura 53): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C. Tensões nos vértices da sapata (Figura 62):

5910.2.2,2.44,0

1040.1,11 ==σ kN/m2 < solo3,1 σ = 650 kN/m2 → ok!

1,59591.10,014 4 −=−=σλ−=σ kN/m2 (fictícia)

°+°

°+−=

α+α

ασ−σ−σ=σ

36cos36sen

36sen)1,59591(591

sensen

sen)( 4112

σ2 = 317,4 kN/m2

°+°

°+−=

α+α

ασ−σ−σ=σ

36cos36sen

36sen)1,59591(591

sensen

sen)( 4113

σ3 = 214,5 kN/m2


215

591

-59

317

LN

Figura 62 – Tensões nos vértices da sapata.

c) Verificação do tombamento da sapata

111,09

1

9

1

B

e

A

e 2

y

2

x

2y

2x

≤≤η+η⇒≤

+

!ok111,0023,009,012,0 22 →<=+

Deve ainda ser verificada a equação:

6

1

B

e

A

e g,yg,x≤+

d) Determinação da altura (sapata rígida) Pelo critério do CEB-70:

cm120h405,180

h5,05,1tg5,0 ≤≤→≤≤→≤β≤

Pela NBR 6118/03:

3,533

)60220(

3

)aA(h

p≥

−≥

−≥ cm

Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência, com gancho, resulta lb = 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm: h ≥ 61 + 7 cm ≥ 68 cm


Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm.

cm35hadotadocm20

cm253

75

3

hh oo =→

==

≥

e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70

Verificação: 752802

75h2c

2

h⋅≤≤→≤≤

!okcm15080c5,37 →≤=≤ e1) Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 63) Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:

σ

σ≥σ

méd

máxref 3

2

215

591

-59

317

403 439E

FG

H

D

B

C

A

454

x B86

B = 200165

xA89

A = 220

473

97

S1B

S 1A

302

Figura 63 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 . Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas na metade dos lados A e B.

Dimensão A (S1A): 2

89,00,20,454

2

xBpM

22A

A ⋅=⋅⋅=


0,4542

317591p =

+= kN/m2

MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm

Dimensão B (S1B): 2

86,02,20,403

2

xApM

22B

B ⋅⋅=⋅=

0,4032

215591p =

+= kN/m2

MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 64)

215

591

-59

317

514

H

D

BC

C45

B = 200

C45

A = 220

240

S2B

S 2A

A

C 2B

C2A

153

FG

E

529

Figura 64 – Seções de referência S2 .

cm452

7060220

2

daAc p

A2 =−−

=−−

=

cm452

7040200

2

dbBc p

B =−−

=−−

=

As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. A força VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH.


0,3740,245,04

591514317240VA =⋅

+++= kN

3,3682,245,04

591529215153VB =⋅

+++= kN

Valores de cálculo: VA,d = 1,4 . 374,0 = 523,6 kN VB,d = 1,4 . 368,3 = 515,6 kN Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras. 2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA Sapatas flexíveis são aquelas onde:

3

)a -(A <h p − segundo o critério da NBR 6118/03;

tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70. São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solos relativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória. Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga, determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. O mesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares, triangulares ou trapezoidais (Figura 65):

2 2

1

1

N2

N2

A2

A1 A1

A4

A3

A2

N4

A1

A4

A3

A2

N4

2 2

1

1

Figura 65 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal. Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente idênticos, e com área retangular são exagerados. a) Área triangular

3

a

4

N-

3

A

4

N = M p

A


)a -(A 12

N = M pA

N4

aap

bb pBA

A3

Figura 66 – Quinhões de carga por área triangular.

)a -(A 2

1 )b + (B

2

1 p = V ppA

−

−

A

a1

B

b1

4

N = V pp

A

onde: N = força vertical aplicada pelo pilar na sapata; p = reação do solo na base da sapata. Na outra direção:

)b - (B 12

N = M pB

−

−

A

a1

B

b1

4

N = V pp

B

b) Área de trapézio

2 2

1

1

aap

bbp

xxCG

B

A

2ap

N4

Figura 67 – Quinhões de carga por área trapezoidal.


A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:

p

ppCG b + B

b + 2B

6

a -A = x

Os momentos fletores no centro da sapata são:

+

+

+−

6

a

bB

bB2

6

aA

4

N = M p

p

ppA

+

+

+−

6

b

aA

aA2

6

bB

4

N = M p

p

ppB

As forças cortantes nas seções 1 e 2 são:

−

−

A

a1

B

b1

4

N = V pp

A

−

−

A

a1

B

b1

4

N = V pp

B

2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO

bW ≥≥≥≥ 5d A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw ≥ 5d (NBR 6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortante quando: VSd ≤ VRd1 (bw = largura da sapata na direção considerada) com: db] 0,15 + ) 40 + (1,2k [ = V wcp1RdRd1 σρτ

onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;

k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio; para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros;

0,02 db

A =

w

s11 ≤ρ

c

Sdcp A

N = σ

NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressão

positiva);


As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + lb,nec além da seção considerada.

2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível. Resolução A sapata foi resolvida como rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-se atender esse valor. A sapata será flexível adotando: h = 55 cm e d = 50 cm > lb = 33 cm a) Momentos fletores e forças cortantes a.1) Área por triângulos (Figura 68) As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste exemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotar um critério para uniformizar a pressão. Um critério é:

=+

=σ+σ

=⋅=σ

≥σ=0188,0

2

0156,0022,0

2

0176,0022,08,08,0p

mínmáx

máx

base

p = σbase = 0,0188 kN/cm2

N4a

60ap

b 20b pB 200

A240

A3

0,022 KNcm²0,0156

p = 0,0188

Figura 68 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo.


Com p pode-se determinar N:

2002400,0188 = BAp =N BA

N = p ⋅⋅⋅⋅→

⋅

N = 902,4 kN (já majorado em 1,1)

13.536 = 60) (24012

902,4 = )aA (

12

N =M pA −− kN.cm

Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.

536.13)20200(12

4,902)bB(

12

NM pB =−=−= kN.cm

Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que os momentos fletores tem uma diferença de 30 %? Forças cortantes:

−⋅

−=

−⋅

−=

240

601

200

201

4

4,902

A

a1

B

b1

4

NV pp

A

VA = VB = 152,3 kN a.2) Área por trapézios (Figura 69)

a60ap

b 20b pB 200

A240

= 0,0188 KNcm²pméd

B

Figura 69 – Área de um trapézio e reação do solo.

kN3,152A

a1

B

b1

4

NVV pp

BA =

−⋅

−== (igual à área por triângulos)


+

+

+⋅

−=

6

a

bB

bB2

6

aA

4

NM p

p

ppA

+

+

+⋅⋅

−=

6

60

20200

202002

6

60240

4

4,902MA

MA = 15.177 kN.cm

+

+

+⋅

−=

6

b

aA

aA2

6

bB

4

NM p

p

ppA

+

+

+⋅⋅

−=

6

20

60240

602402

6

20200

4

4,902MA

MB = 12.934 kN.cm

MB

MA

B

A Figura 70 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.

b) Armadura de flexão Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:

2

yd

dsA cm49,11

5,435085,0

151174,1

fd85,0

MA =

⋅⋅

⋅=

⋅= → contra 14,26 cm2 do Exemplo 3

2sB cm79,9

5,435085,0

129344,1A =

⋅⋅

⋅= → contra 13,43 cm2 do Exemplo 3

A NBR 6118/03 não prescreve armadura mínima para sapata, porém, para as sapatas flexíveis pode-se considerar: db%10,0A mín,s ⋅⋅=

2mín,sA cm00,10502000010,0A =⋅⋅=

2mín,sB cm00,12502400010,0A =⋅⋅=

Portanto:

2sA cm49,11A = (5,75 cm2/m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2/m)


2sB cm00,12A = (5,00 cm2/m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2/m)

00114,050100

71,5A =

⋅=ρ

00100,050100

00,5B =

⋅=ρ

c) Verificação da punção c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 71)

B 200

A240

a*

a*

C

C'

Figura 71 – Superfície critica C’ e distância a*.

cB = cA = 90 cm 2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA

Portanto a* = cB = cA = 90 cm Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB . Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo solicitante:

dW

MK

d*u

F

p

SdSdSd +=τ

Área limitada pelo contorno C’:

( )2pppp'C,cont *ab*a2a*a2baA π+++⋅=

( )2'C,cont 9020902609022060A π+⋅⋅+⋅⋅+⋅=

Acont, C’ = 41.046 cm2 Pressão média na base da sapata:


0188,02

022,00156,0pméd =

+= kN/cm2

Força na área Acont, C’ devido à reação do solo:

=⋅γ=∆ 41046

1,1

0188,04,1)Ap(F 'C,contmédiofSd

1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata. ∆FSd = 982,0 kN Força sobre a sapata reduzida da reação do solo: FSd,red = FSd - ∆FSd

kN9,1659828204,1F red,Sd =−⋅=

Perímetro u* do contorno C’:

cm5,725*u

902202602*u

*a2b2a2*u bp

=

⋅π+⋅+⋅=

π++=

Parâmetro K:

CaC1

ap

C bC1

b p

eNe1 Msd

Figura 72 – Parâmetros C1 e C2 .

C1 = ap = 60 cm 3C

C

2

1 = → na Tabela 1, K = 0,80

C2 = bp = 20 cm

12

221

21

p Cd2 + 16d d4C CC 2

C W ⋅⋅π+⋅+⋅+= (sapata retangular)

com d = a*:

06092 + 0916 09024 0260 2

06 W 2

2

p ⋅⋅π⋅+⋅⋅+⋅+=


Wp = 173.728 cm2

20173728

)62004,1(8,0

205,725

9,165Sd

⋅

⋅+

⋅=τ

onde d = h0 – 5 = 25 – 5 = 20 cm (d é a altura útil em C’) τSd = 0,0134 kN/cm2 = 0,134 MPa Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:

2cd3

ck1Rd f5,0*a

d2f100

d

20113,0 ≤ρ

+=τ

90

20225001,0100

20

20113,0 3

1Rd⋅

⋅⋅

+=τ (utiliza-se o menor ρ1)

τRd1 = 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm2

cd

ck2cd f

250

f16,05,0f5,0

−=

4,1

5,2

250

2516,05,0f5,0 2cd

−=

0,5 fcd2 = 0,482 kN/cm2 = 4,82 MPa τRd1 = 0,187 MPa < 0,5 fcd2 = 4,82 MPa → ok! Não é necessário colocar armadura para punção, pois: τSd = 0,134 MPa < τRd1 = 0,157 MPa Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal necessidade a fim de simplificar a execução da sapata. c2) Verificação da superfície crítica C Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na superfície C. 3. SAPATA CORRIDA Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por isso uma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118/03 já apresentado. Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na armadura principal As , que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de


cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e espaçamentos menores. Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser obrigatoriamente verificada.

45°

fissura

A(principal)As

bielacomprida

armadurasecundária

Figura 73 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.

Recomenda-se adotar para a altura: h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares) ho ≥ 10 / 15 cm

hh

h 0

Figura 74 – Altura h da sapata corrida.

A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo de solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura 75:

N N NA) B) C)

Figura 75 – Distribuição de pressão no solo. A indicação de Guerrin (1967) é: a) solos rochosos - sapata rígida: diagrama bi triangular (a); - sapata flexível: diagrama retangular (b);


b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos; c) solos arenosos - sapata rígida: diagrama retangular (b);

- sapata flexível: diagrama triangular (c).

3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas relativamente altas e sobre solos com boa capacidade de suporte.

As sapatas corridas rígidas, quando 3

)a -(A h p

≥ e β < 45°, podem ter os esforços

solicitantes (M e V) calculados nas seções de referência S1 e S2, conforme o CEB-70. As verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhante às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m. Quando β ≥ 45°, o “Método das bielas” pode ser utilizado, em opção ao CEB-70.

aap

A

h

β≥45º

Figura 76 – Sapata rígida de acordo com o Método das Bielas. O fenômeno da punção não ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tensão de compressão na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1), já estudado. Segundo o “Método das bielas”, a armadura principal deve ser dimensionada para a força Tx (Figura 77):

aap

A

d

β≥45º Tx

N

dd 0

ρ

Figura 77 – Força Tx conforme o Método das bielas.


p

0 aA

d.Ad

−=

yd

xdsAsx

xfxd

px

f

TAA

TT

d

aA

8

NT

==

γ=

−=

3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME O momento fletor principal, atuante na direção da largura da sapata, é considerado máximo no centro da sapata. A força cortante é calculada na seção 1 (Figura 78), junto à face da área carregada. Os esforços são calculados sobre faixas unitárias ao longo do comprimento da sapata (B = 1 m).

hd

ØlØ , pilar

aap

N

50,00AsA , princ.I

hh0

I

AsA , sec

ρ

M

V

Figura 78 – Sapata corrida flexível.

Pressão no solo: A

Np =


Pressão sob a parede: p

par a

Np =

Força cortante na seção 1:

( )

−=

−=

A

a1

2

NV

paA2

1V

p

p

Momento fletor máximo no centro da sapata:

( )p

2ppar

22p

par

2

aA8

NM

8

a.p

8

pA

2

ap

2

1

2

Ap

2

1M

−=

−=

−

=

A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:

≥

m/cm9,0

A5

1

A2

princ,ssec,s

As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como indicado na Figura 79.

Øl

Figura 79 – Reforço das bordas com barras adicionais.

A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis (Figura 80).

45°45°

superfície de ruptura porpunção, segundo Leonhardt

Figura 80 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível.


3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA Dimensionar a sapata rígida sob uma parede de concreto de 20 cm de largura com carga vertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados: C20; soloσ = 1,1 kgf /cm2 = 1,1 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa

d = h – 5 cm ; CA-50 ; cnom = 4,5 cm

a = 20ap

A

d

β≥45º N

h

ρ

hh0

C90

Figura 81 – Sapata rígida conforme o Método das bielas.

Resolução Cálculo da largura da sapata, considerando que B = 1 m = 100 cm:

011,0

0,21,1N1,1A

solo

⋅=

σ=

A = 200 cm Os balanços terão o valor:

902

20200

2

aAc p

=−

=−

= cm

Cálculo da altura h:

- pela NBR 6118: cm603

20)-(200

3

)a-(Ah p

≥≥≥

- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter β ≥ 45º:

c

dtg =β , com β = 45º ⇒ d = c = 90 cm → h = 95 cm

- pelo CEB-70: cm135h45905,1h905,05,1c

h5,0 ≤≤→⋅≤≤⋅→≤≤


Considerando o “Método das bielas”, h = 95 cm. Força de tração na armadura principal:

5590

20200

8

2001,1

d

aA

8

NT p

x =

−⋅=

−= kN/m

77,148,43

554,1

f

TAA

yd

xdss AX

=⋅

=== cm2/m

para φ 8 mm (1 φ 8 = 0,50 cm2):

2,2877,1

5,0100s =

⋅= cm ≤ 20 ou 25 cm

O espaçamento deve ser diminuído. Adotando φ 6,3 mm (0,31 cm2):

5,1777,1

31,0100s =

⋅= cm ≤ 20 cm (ok!)

Portanto: AsA = As,princ = φ 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm2/m) Para a armadura de distribuição pode-se considerar:

m/cm9,0A35,0

5

77,1

m/cm9,0

A5

1

m/cm9,0A 2

distr,s

2

princ,s

2

distr,s =∴

=≥

≥

φ 5 mm c/22 cm ou φ 5 mm c/20 cm (1,00 cm2/m) sdistr ≤ 33 cm, mas na prática sdistr ≤ 20 ou 25 cm. Notas: a) o cálculo pelo Método das Bielas dispensa a verificação da força cortante, isto é, segundo Montoya, no caso de sapata rígida a força cortante não precisa ser verificada; b) conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal verificada (item 19.5.3.1); c) Guerrin (1967) aplica o Método das Bielas fazendo:

)cm50h(cm454

20200

4

aAd p

==−

=−

=

Detalhamento:


cm30hcm20

cm7,313

95

3

hh 00 =→

==

≥

d =

90

h =

95

h = 30h0

Ø6, 3 c/ 17 Ø5 c/ 20

Figura 82 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.

A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm. Considere: 1º) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo método do CEB-70; 2º) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas. 3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com:

cnom = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; 0,2solo =σ kgf/cm2 ; C20; CA-50. Fazer sapata rígida e como sapata flexível. Comparar os resultados. 3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível. Dados: ap = 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; soloσ = 0,011 kN/cm2

Resolução Para a sapata flexível, que tem peso próprio menor, tem-se:

cm191011,0

0,205,1N05,1A

solo=

⋅=

σ=

adotado A = 190 cm. Balanço da sapata:


cm 85 =2

20190

2

aAc p −

=−

=

Cálculo da altura da sapata (h):

- NBR 6118 – sapata rígida: cm7,563

)20190(

3

)aA(h p

≥−

≥−

≥ ;

- CEB-70: 0,5·85 ≤ h ≤ 1,5·85 → 42,5 ≤ h ≤ 127,5 cm → sapata rígida

Seguindo o critério da NBR 6118, para sapata flexível (h < 56,7 cm) será adotado h = 50 cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura do pilar. Esforços solicitantes:

9,93190

201

2

20005,1

A

a1

2

NV p

=

−

⋅=

−= kN/m (V na face da parede)

463.4)20190(8

20005,1)aA(

8

NM p =−

⋅=−= kN.cm/m (M no centro da parede)

Os esforços V e M ocorrem em 1 m de de comprimento da sapata corrida:


h =

50

d =

45

a = 20ap

N

A = 190

h = 20h0

ρ

M

V

C85

V

+10

0

20

C

Figura 83 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.

≥princ,s

2

distr,sA

5

1

m/cm9,0A

64,05

19,3A princ,s == cm2/m

9,0A distr,s = cm2/m

φ 5 c/20 cm (1,00 cm2/m)

Dimensionamento à flexão, tomando bw = 1 m = 100 cm:

4,3244634,1

45100

M

dbK

2

d

2w

c =⋅

⋅==

Ks = 0,023 (dom. 2)


19,345

44634,1023,0As =

⋅= cm2/m

φ 6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2/m) φ 8 mm c/15 cm (3,33 cm2/m) s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)

Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C, considerando 1 m de comprimento da sapata: uo = 2 (20 + 100) = 240 cm 2802004,1NF SdSd =⋅== kN/m


0259,045240

280

du

F

o

SdSd =

⋅=

⋅=τ kN/cm2/m

Nota: não foi considerada a redução de FSd proporcionada pela reação do solo. Tensão de cisalhamento resistente:

τRd2 = 0,27αv fcd = 355,04,1

0,2

250

20127,0 =

− kN/cm2

τSd = 0,259 MPa < τRd2 = 3,55 MPa → ok! A força cortante pode ser verificada como laje, com bw ≥ 5d, onde bw é o comprimento da sapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd ≤ VRd1 para se dispensar a armadura transversal. VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d

00074,045100

33,31 =

⋅=ρ

k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1

τRd = 0,25 fctd = 276,04,1

203,07,025,0

3 2

=⋅

MPa

VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45 VRd1 = 175,6 kN/m VSd = 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1 = 175,6 kN/m → ok! não é necessário colocar armadura transversal.


Comparação:

Sapata rígida Sapata flexível As 1,77 3,19 h 95 50

Detalhamento

Ø8 c/ 15 Ø5 c/ 20

h =

50

d =

45

h = 20h0

Figura 84 – Detalhamento indicativo das armaduras.

3.6 EXERCÍCIO PROPOSTO Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos: - C20 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; soloσ = 2,0 kgf/cm2

- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de argamassa); - muro em alvenaria de blocos de concreto; - blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro; - considerar ação do vento para a cidade de São Paulo; - fazer verificações da estabilidade da sapata; - tipo de solo = argila rija.

3,0m

mur

o

Figura 85 – Sapata corrida sob muro.


4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante verificar as possibilidades de escorregamento e tombamento. a) Segurança ao tombamento A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de um ponto 1 (Figura 86).

P

N

M

FH

h

A2

A2

1

Figura 86 – Forças atuantes na sapata.

Momento de tombamento: Mtomb = M + FH . h Momento estabilizador: Mestab = (N + P) A/2 O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de segurança deve ser ≥ 1,5:

5,1M

M

tomb

estabtomb ≥=γ

b) Segurança ao escorregamento (deslizamento) A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a ação das forças horizontais aplicadas. O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua atuação permanente. Da Figura 86 tem-se: escHFtg)PN( γ⋅=ϕ+

onde: = tg µϕ = coeficiente de atrito; φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que o ângulo de atrito interno do solo.


Um outro modelo que pode ser adotado é:

Festab = atrito + coesão =

+

φ⋅+ c

3

2A

3

2tg)PN(

onde: φ = ângulo de atrito interno do solo; c = coesão do solo; A = dimensão da base em contato com o solo.

5,1F

F

H

estabesc ≥=γ

5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO

EM SAPATAS No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior, e de feixes de barras, é importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento. O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 87:

∆x

Rc

Rs

V

M zd

ØØl

Rc + Rc∆

Rs + Rs∆

C

M + ∆M

Figura 87 – Esforços atuantes no elemento de comprimento ∆x.

Tem-se que: M = Rs · z = Rc · z, daí:

z

MR s

∆=∆

∆Rs = fb · u ·∆x onde: fb = resistência de aderência; u = perímetro de φl

{

zufx

Mxuf

z

Mb

v

b ⋅⋅=∆

∆→∆⋅⋅=

∆

V = fb . u . z tomando d87,0z ≅ e fazendo valores de cálculo:

cuf87,0V bdd ⋅⋅≅

fazendo o perímetro como u = n π φl d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:

dnf87,0V lbdd ⋅φ⋅π⋅⋅≅


com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura. Vd = V1dA na seção de referência S1A ; Vd = V1dB na seção de referência S1B . Se Vd for maior haverá o escorregamento. 6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO A viga de equilíbrio também é comumente chamada “viga alavanca” (Figura 88). Os pilares posicionados na divisa dos terrenos ficam excêntricos em relação ao centro da sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”, vinculada à sapate de um outro pilar, interno à construção. A viga também atua transferindo a carga do pilar para o centro da sapata (Figura 89).

divisa

V. E.

Figura 88 – Sapata sob pilar de divisa e com viga de equilíbrio.


2,5cm

b aA

b

B

A

b

aA1

b w a p1

bp1

bp2

a p2

A2

B2

N1

N2

VE

BB1

VE

R1

R2p1

p2

h

h

h

h 0

h 1

h v ee1

z

divisa

N1

N2

R2

R1

ee1

z

Figura 89 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.

Área da sapata sob P1: 111 BAS ⋅=

solo

11

R1,1S

σ=

Excentricidade e1 e reação R1: )ez(RzN0)z(M 111 −=⋅→=∑

1

11 ez

zNR

−

⋅=

2

b

2

Be 1p1

1 −=


6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO 1) Assumir um valor para R1’: R1’ = 1,2 N1 2) Calcular a área de apoio da sapata 1 (divisa):

solo

11

'R1,1'S

σ=

3) Escolher as dimensões da sapata 1:

3B

A

1

1 ≤

11 B2A = (adotando-se) → S1’ = A1’ . B1’

2

'S'B'B'B2'S 1

1111 =→⋅= → inteiro múltiplo de 5 cm.

4) Cálculo da excentricidade e1 :

2

b

2

'B'e 1p1

1 −=

5) Cálculo do R1’’ :

'ez

zN''R

111

−=

6) Comparar R1’ e R1’’

6.1) Se 1

1111111 B

'SA,'BBR''R'R ==→==

6.2) Se ''R05,1'R''R95,0 111 ≤≤

1

11

solo

1111 B

SA

''R1,1S'BB =→

σ=→=

6.3) Se R1’ ≠ R1” Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1” . 6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO Esquema estático (Figura 90):


N2

R2

p1

q1 (pilar 1)

bbp1

(1)

BB1

(2) (3)

-V1L

M1L Vmáx

-

M2L

V2L

M

V

x

Figura 90 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio.

1p

11 b

Nq =

1

11 B

Rp =

1

1p1

p

bqx =

a) Seção 1 )bx0( 1p≤≤ - Figura 91

p1

q1

V1

M1

q1x

xρ1x

Figura 91 – Seção 1.


( )

( )11

2

1

2

1

2

11

111111

v

qp2

xM

02

xp

2

xqM0M

qpxV0xpVxq

0F

−=

=−++→=

−=→=⋅−+⋅

=

∑

∑

para x = bp1 ( limite da seção):

( )

( )11

21p

L1

111pL1

qp2

bM

qpbV

−=

−=

b) Seção 2 ( )Bxb( 11p ≤≤ - Figura 92

p1

q1

bp1q1

M2

xp1x


1

1p12

1p11211p12

V

p

bqx0V:para

bqxpV0xpbqV

0F

⋅=→=

⋅−⋅=→=⋅−⋅+

=∑

02

xp

2

bxbqM0M

2

11p

1p12 =−

−⋅+→=∑

−⋅−=

2

bxbq

2

xpM 1p

1p1

2

12

Para 1p111L21 bqBpVBx −−⋅=→=


−⋅−=

2

bxbq

2

BpM 1p

1p1

21

1L2

c) Seção 3

+≤≤

2

bzxB 1p

1 - Figura 93

p1

q1

bbp1

B

x

B1

V3

M3


−⋅−

−⋅=

=

−⋅−

−⋅+→=

=∆=⋅−⋅=

=⋅−⋅+→=

∑

∑

2

bxbq

2

BxBpM

02

BxBp

2

bxbqM0)3(M

cteNbqBpV

0BpbqV0F

1p1p1

1113

111

1p1p13

1p1113

111p13V

6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO a) Largura: cm5ab 1pw +≥ (pode ser alterado);

b) Altura: 1V hh ≥ (h1 = altura da sapata 1);

bV ld > (lb = comprimento de ancoragem da armadura do pilar).

Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx (tarefa). 6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata é aquele proposto pelo CEB-70, já apresentado. a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 94


b aA

b

A1

b w a p1

bp1

d2

0,15

bb w

S2A

S1A

BB1

A

A

d2

0,15bbw

CC2A

dd 2A

S1A

S2A

bbw

aap1

h

h

h

h 0

h 1

h v

A1

xxA

p

CORTE AA

Figura 94 – Sapata sob o pilar da divisa. Seções de referência S1 e S2 . Resultante da reação do solo na sapata (F1A): A1A1 xBpF ⋅⋅=

sendo: 11

1

BA

Rp

⋅=

ww1

A b15,02

bAx +

−=

Momento fletor:

2

xBpM

2

xFM

2A

1A1A

A1A1 ⋅=→=

b) Cálculo da altura da sapata Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:

3

bAh w1

1−

≥ → para sapata rígida; d1 = h1 – 5 cm (pode ser mais)

c) Verificação da força cortante na seção S2A Força cortante de referência (ou atuante): A21fdA cBpV ⋅⋅⋅γ=

2

d

2

bAc 1w1

A2 −−

=


Força cortante resistente (ou limite):

ckA2A2c

lim,d fdb474,0

V ⋅ρ⋅⋅γ

= (fck em MPa)

com: b2A = B1

3

hh;c5,1

bA

hh1dd 1

0A2w1

011A2 ≥≤

−

−−= (inteiro e múltiplo de 5cm) ou cm30h0 ≥

Se dAlim,d VV ≥ → dispensa–se a armadura transversal;

Se dAlim,d VV < → recomenda-se aumentar a altura útil da sapata;

lim,d

dA1n V

Vdd =

d) Armadura à flexão Armadura principal:

A1f

211

c M

dBK

γ

⋅= →

βx

sK

domínio

:tabelana

1

A1fsA1,s d

MKA

γ= ou

yd1

A1fA1,s fd85,0

MA

⋅

γ=

As,mín = 0,10 % B1 d1 A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 . Armadura de distribuição (paralela à B1):

≥

m/cm9,0

A5

1

A2

A1,sdistr,s , com s ≤ 33 cm.

6.5 EXEMPLO 8 (Exemplo de Ferro, N.C.P., Notas de Aula, 2005) Dimensionar uma sapata para o pilar da divisa, fazendo a viga alavanca (Figura 95). Dados: C20; CA-50; N1 = 550 kN; N2 = 850 kN;

02,0solo =σ kN/cm2 ;

Armadura pilar = 10 φ 12,5 mm ; c = 4,0 cm.


30

20

2,5

400cm

30

30

divisa

Figura 95 – Esquema dos pilares.

Resolução 1) Dimensionamento da sapata 1.1) Assumir um valor para R’1 kN6605502,1N2,1'R 11 =⋅== 1.2) Área de apoio da sapata – S1

2

solo

11 cm300.36

02,0

6601,1

'R1,1'S ==

σ=

1.3) Cálculo da dimensão B1

cm7,1342

36300

2

'S'B 11 ===

Portanto, cm135'B 1 = 1.4) Excentricidade e1

cm505,22

30

2

135f

2

b

2

'B'e 1p11 =−−=−−=

f = distância da face do pilar à linha de divisa. 1.5) Cálculo de R’’1

kN6,62850400

400550

'ez

zN''R

111 =

−=

−=

1.6) Comparação entre R’1 e R’’1 111 ''R05,1'R''R95,0 ≤≤ !ok6606,62805,16601,5976,62895,0 →=⋅≤≤=⋅


cm260Acm1,256135

34573

B

SA

cm135'BB

cm573.3402,0

6,6281,1

''R1,1S

11

11

11

2

solo

11

=→===

==

==σ

=

2) Esforços máximos na viga alavanca 2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1

cm30b;)qp(2

bM;)qp(bV 1p11

21p

L1111pL1 =−=−=

656,4135

6,628

B

Rp

1

11 === kN/cm

333,1830

550

b

Nq

1p

11 === kN/cm

( ) 155.6333,18656,42

30M

2

L1 −=−= kN.cm

( ) 3,410333,18656,430V L1 −=−= kN

2.2) Momento fletor máximo, V2L e M2L (seção x = B1)

cmkN234.24M

2

301,11830333,18

2

1,118656,4

2

bxbq

2

xpM

cm1,118656,4

30333,18

p

bqx

máx

21p

máx1p1

2máx

1máx

1

1p1máx

⋅−=

−⋅−=

−⋅−=

=⋅

=⋅

=

30333,18135656,4bqBpV 1p111L2 ⋅−⋅=⋅−⋅=

kN6,78V L2 =

−⋅−=

2

bBbq

2

BpM 1p

11p1

21

1L2

571.232

3013530333,18

2

135656,4M

2

L2 −=

−⋅−= kN.cm


Diagrama de esforços (Figura 96):

N2

R2

p1

q1

30bp1

= 135B1

(3)

-

-

V (KN)

x = 118,1

= 18,333 KNcm

= 4,656

410,3

78,6

6.155 24.234 23.571 M ( KNcm )

Figura 96 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.

3) Largura da viga alavanca bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm Por outra forma, estimando que dv = 2bw :

( )

máx

3w

máx

3w

máx

2ww

c M

b86,2

M4,1

b4

M4,1

b2bK ===

3máxcw MK35,0b =

Kc pode ser adotado 6/fck para o domínio 3:

( ) 4,29242340,2/635,0b 3w == cm → adotaremos bw = 35 cm

4) Altura da sapata da divisa Para sapata rígida: NBR 6118 → h1 ≥ (A1 – bw)/3 ≥ (260 – 35)/3 ≥ 75 cm Pelo CEB-70 → 0,5 ≤ h1/c ≤ 1,5


5,1122

35260

2

bAc w1 =

−=

−= → 0,5 ≤

5,112

h1 ≤ 1,5

56,3 cm ≤ h1 ≤ 168,8 cm → adotado h1 = 75 cm = hv d1 = 75 – 5 = 70 cm = dv O pilar tem armadura φ 12,5 mm, com lb = 38 cm (com gancho), e: d1 = 70 cm > lb = 38 cm → ok! 5) Dimensionamento da viga alavanca A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata 1 pode ser calculada fazendo-se a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga fletida. 5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata 1 (B1)

=

260

A1

P1 P2

= 135B1

VE

h

= 75h 0

h 1

C =

1125

C =

112

5

sapata 2

sapata 1

hv

= 35bw

Figura 97 – Dimensões da sapata sob o pilar de divisa.

bw = 35 cm ; hv = h1 = 75 cm ; dv = d1 = 70 cm ; Md = 1,4 . 24234 = 33.928 kN.cm

1,533928

7035

M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → βx = 0,22 (domínio 2), Ks = 0,025

12,1270

33928025,0As == cm2 → 6 φ 16 mm (12,00 cm2)


Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte. Armadura mínima: As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2 Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 φ 16 ou 5 φ 10). 5.2) Armadura transversal No trecho da sapata: Vk = 410,3 kN → VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I, apresentadas na apostila de Dimensinamento de Vigas à Força Cortante, com concreto C20 e dv = 70 cm: VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd → ok! VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd

97,143517,070

4,57455,2b17,0

d

V55,2A w

Sdsw =⋅−=−= cm2/m

( )

09,3355010

203,020b

f

f20A

3 2

wywk

ctmmín,sw =

⋅== cm2/m

Com Asw = 14,97 cm2/m, fazendo estribo com quarto ramos tem-se Asw1ramo = 14,97/4 = 3,74 cm2/m, e na Tabela A-1 da apostila citada, encontra-se: φ 8 mm c/13 cm (3,85 cm2/m). Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 574,5 kN, por coincidência igual a VSd . s ≤ 0,6d ≤ 30 cm → s ≤ 0,6 . 70 = 42 cm ≤ 30 cm ∴ s ≤ 30 cm 0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd → st ≤ 0,6d ≤ 35 cm st ≤ 0,6 . 70 ≤ 42 cm ≤ 35 cm → ok! No trecho da viga coincidente com a sapata (B1) convém colocar a armadura calculada para a força cortante máxima. No trecho fora da sapata 1, a armadura deve ser calculada para a menor seção transversal, 35 x 40 na união com a sapata 2 (pilar interno): kN1106,784,1VSd =⋅=

!okVkN8,428353535,0V Sd2Rd →>=⋅⋅=

mín,swSdmín,Sd AVkN7,1233535101,0V →>=⋅⋅=

mcm09,35010

35)203,0(20A 2

3 2

mín,sw =⋅

⋅=


Estribo φ 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2/m) com 2 ramos: Sd2Rd VkN3,287V67,0 >= → s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

s ≤ 0,6 · 35 ≤ 21 cm ≤ 30 → s ≤ 21 cm 2RdSd2Rd V2,0VkN8,85V2,0 >→=

cm21scm35d6,0s tt ≤→≤≤

Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com 2 ramos resulta 26,4cm (35-4,3-4,3), maior que o valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de 2 ramos. Por exemplo, estribo com 4 ramos φ 5 mm:

cm21scm9,25s0309,0s

20,04máx =>=→=

⋅

Então: estribo φ 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2/m) 5.3 Armadura de pele Asp quando h > 60 cm

faceporcm63,275350010,0hb%10,0A 2wsp =⋅⋅=⋅=

5 φ 8 mm = 2,50 cm2 por face 5.4 Armadura de costura A armadura de costura é colocada abaixo da armadura longitudinal negativa e serve para aumentar a resistência e ductilidade da viga. Pode ser adotada como: stcos,s A4,0A =

→=⋅= 2tcos,s cm85,412,124,0A 10 φ 8 mm = 5,00 cm2

6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca)


N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20N1 - 6 Ø16A

AN3

N2N3

5N4

6N1

CORTE AA

N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)

N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)

N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)

N4 - 5 Ø10 C =

3 laços (6N1)N5 - 10 x 2 Ø8 C =

N6 - x 2 Ø5 C = VAR.

Detalhe dos laços sobo pilar P1

Figura 98 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).

Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura constante; b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama de momentos fletores. 6.6 TAREFA a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1; b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ; c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A, aumentado, quais as implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca? 6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca; b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o efeito do momento de torção; c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa).


B 1

e 1

P1

P2

CGsap

e1h

B1R

divi

sa

eixo da viga alavanca

Figura 99 – Viga alavanca não normal à divisa.

Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2) Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.

N1 N2

R2R1

P1 pilar P2

Figura 100 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.

N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1 R1 – N1 = ∆N Ssap = 1,1 (N2 - ∆N/2) 6.8 EXERCÍCIO PROPOSTO Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2, sendo conhecidos: soloσ = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50; NP1 = 520 KN; NP2 = 970 KN ; φl,pil =

12,5 mm.

4020

80

P1

P2

2,5 285

4020

div

isa

Figura 101 – Dimensões a serem consideradas.


7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc. A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear na maioria dos casos.

bp

B

Div

isa

não linear

N

Figura 102 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.

Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma que: B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B. Em função do valor da excentricidade da força N, os seguintes casos são considerados: a)

pb5,1B < (e < B/6) - Figura 103

bp

A6

B6e

A

B

pmín.

pmáx.

N

Figura 103 – Caso onde pb5,1B < (e < B/6).

solomáx 3,1B

e61

BA

Np σ≤

+

⋅=

−

⋅=

B

e61

BA

Npmín

b)

==

6

Be,b5,1B p

- Figura 104


B6e

A

B

pmáx.

N

Figura 104 – Caso onde

==

6

Be,b5,1B p

solomáx 3,1BA

N2p σ≤

⋅=

c)

>>

6

Be,b5,1B p

- Figura 105

B6e

A

B

pmáx.

N

3 ( B 2 - e )

Figura 105 – Caso onde

>>

6

Be,b5,1B p

solomáx 3,1e

2

BA3

N2p σ≤

−

=

A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas pequenas) ou variável.


N

divi

sa

divi

sa

vigaenrijecedora

Figura 106 – Sapata isolada sob pilar de divisa.

Para casas onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa, como ilustrado nos exemplos. Para não ocorrer torção na viga convém coincidir o centro da viga com o centro do pilar. A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa.

h

viga

Figura 107 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço.


A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do pilar/sapata.

H

H

lP

pilarflexível

eR

M H

H

P pilarrígido

M

e R

Figura 108 – Estrutura para absorver forças horizontais.

8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA) No Projeto de fundações de um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, é necessário fazer a sapata associada. A NBR 6122 chama “viga de fundação” quando os pilares têm os centros alinhados. Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais pilares, de pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com desenho em planta retangular, trapezoidal, etc. Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada pode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). Essa é a sapata mais comum no Brasil. 8.1 SAPATA RETANGULAR O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste modo a pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme. A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar flexível ou rígida. Os seguintes casos podem ser considerados:


C1

C2

P1 P2

B2

B2

A

B

N1 N2

C1 C2ap2ap1

l1 l2

x

lcc

R

ρ ≅ σsolo

q1 N1

ap1

= ____ q2 N2

ap2

= ____

ρ = RA.B.

V

M

Figura 109 – Sapata conjunta.

a) N1 ≠ N2 e largura B previamente fixada R = (N1 + N2)1,05 (ou 1,1) ∑ M (N1) = 0

0xRlN cc2 =⋅−⋅

cc2 l

R

Nx =

solo

RBA

σ=⋅


As dimensões l1 e l2 podem ser deduzidas e:

cc2

solo1 l

R

N

B2

Rl −

σ⋅=

cc1

solo2 l

R

N

B2

Rl −

σ⋅=

2cc1 lllA ++=

Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio das sapatas com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção da dimensão A, pode-se simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centro de ap1 ao invés da carga q1 em ap1). A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momento fletor positivo. b) 21 NN ≠ e comprimento A previamente fixado

cc2 l

R

Nx = ; R = 1,05 (N1 + N2)

x2

Al1 −= ; )xl(

2

Al cc2 −−=

Largura da sapata: soloA

RB

σ⋅=

c) 2121 NNouNN <≅ e comprimento l1fixado Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1 não é muito diferente de N2. O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até as faces externas dos pilares.

cc2 l

R

Nx =

Comprimento da sapata: ( )xl2A 1 +=

Largura da sapata:

soloA

RB

σ⋅=


P1 P2

A

B

N1 N2

ap2ap1

xR

ρ

l1 lcc l2

b p1

b p2

divi

sa

h

Figura 110 – Sapata conjunta com pilar de divisa. No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, o dimensionamento econômico é conseguido com os balanços sendo A/5.

A5

35 A A

5

P1 P2

A

B

Figura 111 – Balanço econômico para a sapata conjunta.

8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatas rígidas deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica c. Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devem ser verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, etc. ramos podem ser usados. Momentos Fletores - Armaduras de Flexão: na direção longitudinal a armadura de flexão deve ser dimensionada conforme os momentos fletores, e posicionadas de acordo com o sinal do momento. Na direção transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com largura d/2 além das faces do pilar.


P1P2

B b p1

b p2

h

ap1d

2d

2ap2d

2f

AI AIII

I II III IV

d

A

a + 0,5d + fap1 a + dap1

Figura 112 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV. obs.: f = distância da face do pilar P1 à divisa. Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro: AsII = AsIV = ρmín · h (cm2/m) Região I:

B

Nq 1

1 =

2

2

b-B

qM

2p1

11

=

yd

1fs f0,85d

MA

⋅

γ= ;

As, mín. = ρ mín·(f + ap1 + 0,5d)h ; 0,5d)h a(f

A

p1

s

++=ρ

ρ ≥ ρmín

Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N2, a largura ap2 + d e vão B - bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + ap1 + 0,5d) e (ap2 + d), respectivamente.


8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata com forma de trapézio (Figura 113).

P1

ap1C

P2

B1

B2

N1 N2

A

lcc

x R

= . ρρ2 B2

= . ρρ1 B1

Figura 113 – Sapata conjunta com planta em trapézio.

As dimensões A e c são adotadas, e:

R=(N1 + N2)1,1 (ou 1,05)

solo

sapR

Sσ

=

A2

BBS 21

sap+

=

( ) 0PM 1 =∑

N2 . lcc – R . x === 000

R

l.Nx cc2=

Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R), tem-se:

+

+=++

21

211p

BB

B2B

3

Ac

2

ax

Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 .


A2

BBS 21

sap+

=

P1

ap1C

P2

B1

B2

N1 N2

A

lcc

x R

= . ρρ2 B2

= . ρρ1 B1

Figura 114 – Sapata conjunta com planta em trapézio. 8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ Nas sapatas associadas sob pilares com cargas altas é recomendável associar a sapata com uma “viga de rigidez”, que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção, diminui a deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim, aumenta a rigidez da sapata.

d2

0,15bw

d

S1

S2

bbw

h

CORTE AA

d vh v As

ρsapata

V.R.

1m

B

A

A

A

Figura 115 – Sapata conjunta com viga de rigidez.


BA

NNp 21

⋅

+=

Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada sem viga de rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços, determinados segundo a direção longitudinal da sapata.

+

+≥

cm5b

cm5bb

2p

1pw (5 cm = valor mínimo)

dv ≥ lb,φpil ; hv ≥ h A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção de B. Como modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. No caso do CEB-70 devem ser consideradas as seções de referência como indicadas na Figura 115 (S1 e S2). O dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura As . 8.5 EXEMPLO 9 Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 116), sendo: N1 = 900 kN, N2 = 1.560 kN, C20, γsolo = 1.925 kg/m3, carga do piso de 500 kgf/m2, φl,pil = 12,5 mm, c = 4,0 cm, altura de solo entre a base da sapata e o piso de 2,08 m, 5,191solo =σ KPa.

30

45

divi

sa

P1 P2

40

17,5cm 6.10m

Figura 116 – Medidas para a sapata associada do exemplo.

Resolução Neste exemplo, as cargas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata serão consideradas diminuindo a tensão admissível do solo: gsolo + gsap + gpiso = 2,08 . 1925 + 500 = 4.504 kgf/m2 a) Dimensões da sapata Tensão admissível líquida do solo: 5,1460,455,191líq,solo =−=σ kPa = 146,5 kN/m2 = 0,1465 MPa


Área da sapata:

8,165,146

1560900Ssap =

+= m2

Centro de cargas: cc21

2 lNN

Nx

+= ;;; N1 + N2 = R

87,310,61560900

1560x =

+= m

Comprimento da sapata: ( )xl2A 1 += A = 2(0,175 + 3,87) = 8,09 m ≅ 8,10 m

Largura da sapata: A

SB sap

=

07,210,8

8,16B == m ≅ 2,10 m

01446,0210810

1560900

BA

NNp 21 =

⋅

+=

⋅

+= kN/cm2

Considerando a largura da sapata: pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm


30

45

divi

sa

P1 P2

17,5

A810

1625

CP

x387

223 1825

B 210

900KN 1560

610

53,1

846,9 554,3

1005,7

= 3,037 KNcmρB

(KN)Vk

(KN.cm)Mk

-

+

331

465

50575

117605ou

115959

Figura 117 – Esforços solicitantes na sapata associada.

b) Altura da sapata Conforme a NBR 6118: h ≥ (A – ap)/3 No caso de sapata isolada, A – ap = 2c. Para a sapata associada, o maior valor de c ocorre no lado direito do pilar circular, onde c = 162,5 cm, e:

3,1083

5,1622h ≥

⋅≥ cm

Fazendo a sapata como rígida com h = 108 cm, não será necessário verificar a punção. No entanto, o consumo de concreto resulta exagerado (18,4 m3). Como alternativa será adotada a sapata flexível, com h = 85 cm (14,5 m3, − 21 %), e neste caso deve-se verificar a possibilidade de punção. Antes disso, é necessário calcular as armaduras de flexão.


c) Armadura de flexão na direção longitudinal Momento fletor negativo: M = − 117.605 kN.cm → Md = 164.647 kN.cm ; d = 80 cm

2,8164647

80210

M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → Ks = 0,024 (domínio 2)

39,4980

164647024,0

d

MKA d

ss === cm2 → 17 φ 20 mm = 53,55 cm2

Momento fletor positivo: M = 50.575 kN.cm → Md = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm

0,1970805

80210

M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → Ks = 0,024 (domínio 2)

24,2180

70805024,0

d

MKA d

ss === cm2 → 21 φ 12,5 mm = 26,25 cm2

d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 118)

30

=

45

divi

sa

P1 P2

+ 0,5d + f72,5

+ d120

122 5

B =

210

cm

b p1

ap1

ap2ap1

40ap2

Figura 118 – Regiões para a armadura de flexão. Região do pilar P1:

29,4210

900

B

Nq 1

1 === kN/cm

600.142

2

45210

29,42

2

bB

qM

221p

11 =

−

=

−

= kN.cm

M1d = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm


7,2220440

805,72

M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → Ks = 0,023 (domínio 2)

88,580

20440023,0

d

MKA d

ss === cm2 → 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2

Região do pilar P2:

43,7210

1560

B

Nq 2

2 === kN/cm

841.262

2

40210

43,72

2

bB

qM

221p

22 =

−

=

−

= kN.cm

M2d = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm

9,1937577

79120

M

dbK

2

d

2

c =⋅

== → Ks = 0,023 (domínio 2)

94,1079

37577023,0

d

MKA d

ss === cm2 → 12 φ 12,5 mm = 15,00 cm2

e) Verificação da punção na superfície crítica C’ e1) Pilar circular P2 (Figura 119)

2d160

40

2d

C'

Figura 119 – Superfície critica C’.

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):

du

FSdSd

⋅=τ

dx = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm dy = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm


808,792

ddd yx

≅=+

= cm

Como 2d = 160 cm estende-se além da sapata, será considerada a distância a* (Figura 120):

a*85

C'105

105

Figura 120 – Distância a*.

852

40210

2

a

2

B*a 2p

=−

=−= cm ; a* ≤ 2d ≤ 160 cm

u* = 2π r = 2π . 105 = 659,7 cm Acont,C’ = π 2102/4 = 34.635 cm2 ∆FSd = 1,4 (0,01446 . 34635) = 701,2 kN Força reduzida: FSd,red = 1,4 . 1560 – 701,2 = 1.482,8 kN Tensão atuante:

028,0807,659

8,1482Sd =

⋅=τ kN/cm2 = 0,28 MPa

As taxas de armadura ρx e ρy devem ser determinadas na distância 3d além das faces do pilar. Pelos cálculos já efetuados:

yx ρρ=ρ

ρx = ρy = ρmín = 0,0015 = ρ

ρx ρy

Figura 121 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções.


Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:

2cd3

ck1Rd f5,0*a

d2f100

d

20113,0 ≤⋅ρ

+=τ

85

802200015,0100

80

20113,0 3

1Rd⋅

⋅⋅

+=τ (utiliza-se o menor ρ1)

τRd1 = 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2

cd

ck2cd f

250

f16,05,0f5,0

−=

4,1

0,2

250

2016,05,0f5,0 2cd

−=

0,5 fcd2 = 0,394 kN/cm2 = 3,94 MPa Portanto, τSd = 0,28 MPa < τRd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura da sapata por punção, na posição do pilar P2. e2) Pilar retangular P1 (Figura 122) O momento fletor, que atua na direção de B, na região próxima ao pilar P1, será desprezado.

32

105

105

82a*

82 a*82 a*

45

5

55

5

82a*

B =

210

Figura 122 – Distância a* no pilar da divisa. Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):

d*u

FSdSd =τ ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN

d = 80 cm u* = 32,5 + 32,5 + 45 + π . 82,5 = 369,2 cm


Tensão atuante:

0427,0802,369

1260Sd =

⋅=τ kN/cm2 = 0,427 MPa

A taxa de armadura será calculada considerando as armaduras longitudinal negativa na direção x e transversal positiva na direção y (B).

As, cosntr.

85

d =

80

Ø12,5

17 Ø12,5

Figura 123 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa.

003,085210

55,53x =

⋅=ρ

ρy = ρmín = 0,0015 A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, mas não será considerada.

00212,00015,0003,0yx =⋅=ρρ=ρ

Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:

2cd*3

ck1Rd f5,0a

d2f100

d

20113,0 ≤⋅ρ

+=τ

5,82

8022000212,0100

80

20113,0 3

1Rd⋅

⋅⋅

+=τ

τRd1 = 0,612 MPa τSd = 0,427 MPa < τRd1 = 0,612 MPa → ok! f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal Na direção longitudinal a sapata é considerada como uma viga, e: bw = B = 210 cm < 5d < 5 . 80 < 400 cm desse modo os cálculos devem ser feitos como viga e não como laje.


Adotando o Modelo de Cálculo I (concreto C20): VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN VSd = VSd,máx = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN < VRd2 → ok! VSd,mín = 0,101 bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN → Asw = Asw,mín

( )

56,182105010

203,020b

f

f20A

3 2

wywk

ctmmín,sw =

⋅== cm2/m

Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd s ≤ 0,6d ≤ 0,6 . 80 ≤ 48 cm ≤ 30 cm → s ≤ 30 cm Espaçamento máximo entre ramos verticais: 0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd st ≤ 0,6d ≤ 48 cm ≤ 35 cm → st ≤ 35 cm Fazendo estribo φ 6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2):

1856,0s

86,1= → s = 10 cm < 30 cm

st = 200/5 = 40 cm ≈ st,máx = 35 cm (como a armadura transversal é a mínima, será aceito um espaçamento um pouco superior para st). g) Detalhamento das armaduras (Figura 124)


P2

N1 - 80 c/10

70

70

200

N1

- 80

Ø12

,5 C

= 3

40

N2 - 80 c/10N3 - 2 x 80 c/10

N4 - 17 Ø20 C = N5 - 6 Ø8

N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR

N7 - 10 Ø8 C = N8 - 21 Ø12,5 C =

70

75

202

77

N2 - 80 Ø6,3 C =

40

77

N3 - 160 Ø6,3

21 N8

4 N6

17 N4

Figura 124 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata.

Atividade de casa: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares. Comparar o consumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85 cm) pode ser alterada. 9. QUESTIONÁRIO 1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapata

associada, sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio. Exemplificar com desenhos.

2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até 2,5?

3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório? 4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o

critério do CEB-70. 5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis. 6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas? 7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis? 8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversos

fatores. Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos). Procure saber as simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível e das características do solo (rocha, areia, argila, etc.).


9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor na sapata. Qual o carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentos fletores.

10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva. 11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de

referência. 12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando? 13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando? 14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado? 15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas

com momentos fletores aplicados. 16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais

elementos estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes? 17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas

corridas? 18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E

no caso das sapatas flexíveis? 19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como é

disposta a armadura principal? E a armadura secundária? 20) Foi proposto um exercício de sapata corrida sob muro de divisa (p. 71.7). Não deixe de fazer,

esse tipo de sapata é muito comum na prática. Alguns dados numéricos não foram fornecidos, propositadamente: procure, ou adote quando for o caso. Dúvidas? o Professor está esperando-o!

21) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento e escorregamento? Não esqueça de fazer essas verificações no exercício da sapata corrida da questão anterior.

22) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas? 23) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa? 24) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca? 25) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção? 26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os

casos de pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata? 27) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado

colocar vigas na sapata? 28) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada? 29) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que? 30) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal

à viga de rigidez? 10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALONSO, U.R. Exercícios de fundações. São Paulo, Ed. Edgard Blücher, 1983. ALONSO, U.R. Dimensionamento de fundações profundas. Ed. Edgard Blücher, 1989. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for reinforced concrete and commentary, Committee 318, ACI 318-05, Detroit, 2005. ANDRADE, J.R.L. Dimensionamento estrutural de elementos de fundação - Notas de aula. São Carlos, EESC/USP, 1989.


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 221p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações, NBR 6122. Rio de Janeiro, ABNT, 2010, 91p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas estruturas – Procedimento, NBR 8681. Rio de Janeiro, ABNT, 2003. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Símbolos gráficos para projetos de estruturas, NBR 7808. Rio de Janeiro, ABNT, 1983. BELL, B.J. Fundações em Concreto Armado. Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois, 1985. BLEVOT, J. ; FREMY, R. Semelles sur pieux. Annales de I.T.B.T.P.(230), 1967. BOWLES, J.E. Foundation analysis and design. Ed. McGraw Hill, 1977. BURKE JR., J.U. Ancoragens. São Paulo, Caderno K. Maubertec, 1976. BURKE JR., J.U. Blocos rígidos sobre apoios diretos. São Paulo, Maubertec, 1978. BURKE JR., J.U. Roteiro para o cálculo de viga alavanca. São Paulo, Itaú S.A. Planejamento e Engenharia, 1979. CINTRA, J.C.A. ; ALBIERO, J.H. Capacidade de carga de estacas. São Carlos, EESC-USP, 1985. CINTRA, J.C.A. ; ALBIERO, J.H. Projeto de fundações. São Carlos, EESC-USP, 1984. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Recommandations particulières au calcul et à l’exécution des semelles de fondation. Bulletin d’Information n.73. Paris, 1970. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB-FIP Model Code 1990. Final draft. CEB Bulletin d’Information, n. 204, 1991. EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION. Eurocode 2 – Design of concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Revised Final Draft, April, 2002, 226p. FERRO, N.C.P. Concreto III – Notas de Aula. Departamento de Engenharia Civil, UNESP, Bauru, 2005. GUERRIN, A. Tratado de Concreto Armado. v.2. São Paulo, Ed. Hemus, 1980. LEONHARDT, F. ; MONNING, E. Construções de concreto, v. 2-3. Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1978. MACGREGOR, J.G. Reinforced concrete – Mechanics and design. 3a ed., Upper Saddle River, Ed. Prentice Hall, 1997, 939p. MACHADO, C.P. Blocos sobre estacas. Notas de aula. São Paulo, FDTE, EPUSP, 1979. MAUTONI, M. Blocos sobre dois apoios. São Paulo, D.L.P. Grêmio Politécnico, 1972.


MORAES, M.C. Estruturas de fundações. São Paulo, Ed. McGraw Hill, 1977. MONTOYA, J. Hormigon armado, v.1-2. Barcelona, Ed. Gustavo Gili, 5a. ed., 1973. NAWY, E.G. Reinforced concrete – A fundamental approach. Englewood Cliffs, Ed. Prentice Hall, 1985, 701p. SANTOS, E. G. Estrutura: desenho de concreto armado. v.1,2,3,4. São Paulo, Ed. Nobel, 1985. SANTOS, L.M. Edifícios de Concreto Armado. Escola Politécnica da USP, 1988, p.11-31. SCHIEL, F. Estática dos estaqueamentos. São Carlos, EESC-USP. 1957. SILVA, E.L. Análise dos métodos estruturais para a determinação dos esforços resistentes em sapatas isoladas. Dissertação (Mestrado), São Carlos, EESC-USP, 1998. VARGAS, M. Fundações. Manual do Engenheiro. v.4. Porto Alegre, Ed. Globo. 1955. VARGAS, M. Fundações de edifícios. São Paulo, D.L.P. Grêmio Politécnico, 1979.

sapatas (tem mais exercicios)

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