1. Computao Grfica prof. Edilson Aguiar Universidade Federal do Esprito Santo Centro Universitrio Norte do Esprito Santo Eliezer de Souza da Silva

2. Visualizao de objetos 3D. Animao (key framing): Computador faz a interpolao entre os key frames. Translaes podem ser feitas com interpolao linear ou splines.splines. Rotaes so mais complicadas. Problema: que estrutura matemtica captura de maneira ideal operaes de rotao no espao, facilitando a implementao computacional? 3. Teorema de Euler [2,3]: Dados dois pontos no espao existe um eixo no espao e um ngulo de rotao que leva um ponto ao outro ou o movimento de um corpo rgido no espao com um ponto fixo uma rotao. 4. Frmula de Rodrigues [2,3,5] 5. ngulos de Euler utilizando matriz de rotao: parametrizao do espao atravs de trs eixos de rotao. Esta parametrizao ambgua. Esta parametrizao ambgua. Quaternions: encapsula diretamente o Teorema de Euler. 6. Euler utilizou inicialmente para resolver as equaes de movimento (separao de variveis) [1]. Pressuposto: o espao de rotaes pode ser totalmente parametrizado por trs operaes de rotao em eixos perpendiculares. 7. Exemplo 2D 8. Implementao das rotaes associadas a cada eixo atravs de uma matriz de rotao. Coordenadas homogneas: permite a representao de transformaes afins na forma matricial (possibilita a composio de rotaes e outras operaes afins naturalmente).outras operaes afins naturalmente). 9. Desvantagens: A escolha dos eixos arbitrria e existem diversas possibilidades de multiplicao das matrizes de rotao e nem todas so geometricamente intuitivas. A representao do espao de rotaes atravs de ngulos de Euler ambgua (problema inverso no bem formulado rotao gerada por diferentes triplas de ngulos de Euler).ngulos de Euler). Gimball-Lock: degenerao dos graus de liberdade. A interpolao no boa, nem fcil (cada eixo interpolado de modo independente). Vantagens: Matemtica das matrizes bem conhecida e estudada, alm de ter bastante implementaes. Coordenadas homogneas permite representao de todas as transformaes afins bsicas 10. Trata-se de uma lgebra descoberta por Sir Willian Hamilton como uma generalizao dos complexos para espaos de ordens maiores.espaos de ordens maiores. 11. Espao de Rotaes do R3: SO(3) (Matrizes Ortonormais) Espao da esfera unitria de quaternions S3 tem um mapeamente 2 por 1 em SO(3). (q e q correspondem ao mesmo ponto)[1,2] Utilizando a esfera unitria obtemos diretamente a frmula de Rodrigues. Temos uma implementao direta de uma rotao de p em graus ao longo do eixo v utilizando quaternions. 12. Spherical Linear Interpolation [1]: No-comutativo. Velocidade constante na esfera. Geodsico (Torque mnimo). Geodsico (Torque mnimo). 13. timo somente entre dois pontos [1,2] Shoemake sugere um esquema parecido com a gerao de curvas de Bezier sobre a superfcie da esfera. 14. Squad (Spherical Spline Quaternion Interpolation) [2] Nlerp (Normalized Quaternion Slerp): Comutativo, geodsico, mas no tem velocidade constante. 15. Quaternions apresentam problemas caso eu tenho que ser derivado (controle diferencial, ou otimizador, por exemplo). D(q) pertence ao plano tangente esfera unitria. D(q) pertence ao plano tangente esfera unitria. Preciso controlar para impedir que ele saia.[4] Mapas exponenciais: Sabemos onde se encontram as singularidades (evitamos-as)[4]. R3 S3 ; S3 SO(3) Inverso: log map 16. Representao de rotaes: Quaternion superior a ngulos de Euler. Mapas Exponenciais podem ser alternativas em outras situaes.outras situaes. Interpolaes commutativ e constant velocity torque- minimal quaternion slerp No! Yes Yes quaternion nlerp Yes No! Yes log- quaternion lerp Yes Yes No! 17. [1] SHOEMAKE, K. Animating Rotations with Quaternion Curves. Computer Graphics (SIGGRAPH 85 Proceedings), volume 19, pages 245-254, July 1985. [2] DAM, E.B; KOCH, M. and LILLHOLM, M. Quaternions,Interpolation and Animation.Technical Report DIKU-TR-98/5. University of Copenhagen. 1998. Denmark. [3] GOLDSTEIN, H; POOLE, C; SAFKO, J. Classical Mechanics, 3rd Edition. Addison-Wesley. 2000. New York. [4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map,[4] GRASSIA,F.S. Practical parameterization of rotations using the exponential map, Journal of GraphicsTools, volume 3.3, 1998. Disponvel em http://graphics.snu.ac.kr/OpenGL2003/10(1112)/expmap.pdf (31/05/2011) [5]VINCE, J. RotationTransforms For Computer Graphics. Springer-Verlag. London (UK). 2011. [6]ANGEL, E. Interactive Computer Graphics ATop Down Approach Using OpenGL, 3rd Edition.Addison-Wesley. 2003. [7] Jonathan Blow. Understanding Slerp,Then Not Using It.Disponvel em http://number- none.com/product/Understanding%20Slerp,%20Then%20Not%20Using%20It