ROSANGELA ANDRECHOVICZ

O ENSINO DE GEOMETRIA POR MEIO DO GEOGEBRA E DE

INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS

Unidade Didática apresentada como requisito obrigatório no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, da Secretaria Estadual de Educação – SEED, em parceria com a Universidade Estadual do Centro Oeste, Departamento Matemática, Campus Irati, do Setor de Agrárias e Ambiental.

Orientadora Profª. Me. LEONI MALINOSKI FILLOS

Irati Dezembro 2012

ROSANGELA ANDRECHOVICZ

O ENSINO DE GEOMETRIA POR MEIO DO GEOGEBRA E DE

INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS

Irati Dezembro 2012

FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Título: O ENSINO DE GEOMETRIA POR MEIO DO GEOGEBRA E DE INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS

Autor Rosangela Andrechovicz

Escola de Atuação Escola Estadual Antonio Lopes Júnior. Ensino Fundamental

Município da escola Irati

Núcleo Regional de Educação Irati

Orientador Profª. Me. LEONI MALINOSKI FILLOS

Instituição de Ensino Superior Unicentro - Universidade Estadual do Centro Oeste

Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar Não há relação interdisciplinar

Público Alvo 9º ano

Localização Rua das Castanheiras, 80 Bairro: Vila São João; Cidade: Irati – Pr

Apresentação: O trabalho com as mídias tecnológicas insere novas formas de ensinar e aprender em sala de aula e valoriza o processo de produção de conhecimentos. Esta produção didático-pedagógica tem o propósito de apresentar uma abordagem metodológica para as aulas de Matemática com o uso do software GeoGebra e de investigações matemáticas. Aos professores da Educação Básica este material tem o intuito de oferecer subsídios práticos para as aulas, de forma que possibilite uma abordagem dinâmica e enriquecedora da Geometria. Aos alunos pretende-se oportunizar o desenvolvimento do pensamento geométrico a partir da experimentação, da descoberta, de construções e investigações de conceitos matemáticos. Espera-se que esta Unidade Didática incite o desejo de inovação constante da prática docente e oportunize um fazer matemático mais ativo e instigante na escolarização básica.

Palavras-chave (3 a 5 palavras) Informática, Geometria, GeoGebra, Investigação Matemática

INTRODUÇÃO

Atualmente, as escolas públicas da rede estadual de ensino do Paraná têm

a disposição, para o trabalho pedagógico, o laboratório do Paraná Digital (PRD),

com computadores para uso individual de professores e alunos e com softwares

diversos neles instalados. Esses recursos, que ajudam a enriquecer o processo

de ensino-aprendizagem, são ainda pouco utilizados, muitas vezes por receio ou

insegurança do professor de levar os alunos para o laboratório de informática, ou

mesmo por comodidade. Os alunos, que fora da escola estão imersos numa era

tecnológica, nas instituições educativas ficam privados de utilizar o computador e

de adquirir novos conhecimentos de uma forma mais dinâmica, ativa e prazerosa.

Para tanto, a prática pedagógica pautada nas mídias tecnológicas

articulada às investigações matemáticas tem sido recomendada como forma de

contribuir para uma melhor compreensão da disciplina, pois a inserção dos

ambientes informatizados possibilita ao professor uma abordagem pedagógica

mais dinâmica e enriquecedora e aos alunos um fazer matemático mais ativo e de

uma maneira passível de manipulação e investigação (PARANÁ, 2008).

Esta produção didático-pedagógica, na forma de unidade didática, inserida

nas atividades do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE – 2012),

apresenta algumas sugestões de atividades que abordam conteúdos geométricos

do 9º ano do Ensino Fundamental. Espera-se com esta produção possa contribuir

para que professores de Matemática da rede estadual do Paraná utilizem

diferenciadas formas de ensinar e aprender no laboratório de informática, com a

utilização do software GeoGebra e a exploração de conceitos geométricos por

meio da tendência metodológica da investigação matemática.

Na investigação matemática, o aluno é chamado a agir como um

matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas,

principalmente, porque formula conjecturas a respeito do que está investigando e

com o GeoGebra, através dos recursos de animação, o aluno pode construir,

movimentar e observar de várias maneiras as figuras geométricas.

O projeto a ser desenvolvido tem como objetivo verificar as potencialidades

da articulação de atividades desenvolvidas com o software GeoGebra e

investigações matemáticas no ensino da Geometria, no 9º ano do Ensino

Fundamental.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

7.1. BREVE HISTÓRICO DA GEOMETRIA

A Geometria é um ramo da Matemática que nasceu numa época muito

remota da antiguidade, a partir da necessidade do homem de medir terras e

delimitar as propriedades. Essa necessidade levou o homem à noção de figuras

geométricas, tais como retângulos, quadrados e triângulos, bem como de

conceitos simples, como de vertical, paralela e perpendicular, que teriam sido

sugeridos pela construção de muros, templos e moradias.

As observações do dia a dia conduziram o homem à concepção de curvas,

superfícies e sólidos. Os exemplos de círculos eram muitos, como o contorno do

Sol e da Lua ou uma corda enrolada na forma de uma espiral; a ideia de simetria,

presente nos corpos de homens e animais e nas folhas e flores, oportunizaram o

desenvolvimento do pensamento artístico. Conforme Howard Eves (1992, p. 2):

“Essa geometria subconsciente era empregada pelo homem primitivo para fazer

ornamentos decorativos e desenhos, e provavelmente é correto dizer-se que a

arte primitiva preparou em grande escala o caminho para o desenvolvimento

geométrico posterior”.

Não se tem ideia precisa do tempo em que o homem começou a

desenvolver os conhecimentos geométricos. Sabe-se, entretanto, que quando o

homem deixou de ser nômade e se fixou, houve a necessidade de cultivar a terra

e, empiricamente, os conhecimentos foram sendo construídos (PAVANELLO,

1989).

Com a prática da agricultura houve a necessidade da construção de

represas e canais de irrigação para uso coletivo, daí aparecendo funções como

de agricultor, oleiro, etc. Isso contribuiu para a elaboração de conhecimentos e

técnicas destinados a resolver problemas básicos dessa coletividade.

A agricultura na região do Egito e da Mesopotâmia era planejada de acordo

com a melhor época do ano para plantar e colher. Com essa observação surge a

necessidade de organizar um calendário, iniciando-se aí o desenvolvimento da

astronomia e novas contribuições ao progresso também da geometria. Quando a

navegação evolui do rio para o mar, nasce a cartografia, onde também são

aplicados conhecimentos geométricos.

Não se têm dados consistentes que nos permite estimar quantos séculos

se passaram para que o homem elevasse a geometria ao status de ciência.

Segundo Howard Eves (1992), escritores que se ocuparam desta questão

unanimemente concordam em que o vale do rio Nilo, no Egito antigo, foi o local

onde a geometria subconsciente transformou-se em científica. Essa tese foi

defendida pelo historiador Heródoto, do século V a.C.

Eles diziam que este rei (Sesóstris) dividia a terra entre os egípcios de modo a dar a cada um deles um lote quadrado de igual tamanho e impondo-lhe o pagamento de um tributo anual. Mas qualquer homem despojado pelo rio de uma parte de sua terra teria de ir a Sesóstris e notificar-lhe o ocorrido. Ele então mandava os homens seus observarem e medirem quanto a terra se tornara menor, para que o proprietário pudesse pagar sobre o que restara, proporcionalmente ao tributo total. Desta maneira, parece-me que a geometria teve origem, sendo mais tarde levada até a Hélade. (EVES, 1992, p. 3)

O relato de Heródoto nos dá a explicação da palavra geometria, que

significa “medida da terra”.

Mais tarde, com a gradual sistematização e abstração dos conceitos pelos

gregos, o homem conseguiu extrair certas propriedades gerais e relações a partir

de observações de formas e tamanhos, podendo, então, resolver problemas

geométricos práticos pelo mesmo procedimento, chegando à noção de lei ou

regra geométrica.

Conforme a pesquisadora Pavanello (1989, p. 35), no final do século IV, na

cidade de Alexandria, no Egito, é criada a Universidade de Alexandria e a sua

famosa biblioteca, por Ptolomeu, atraindo grande número de sábios. A cidade

tornou-se o maior centro intelectual do mundo antigo, ficando assim por quase

dez séculos. Nessa Universidade, viveu e ensinou o grego Euclides, que por volta

de 300 a. C. compilou os conhecimentos matemáticos na famosa obra – Os

Elementos, expondo a geometria como um corpo de conhecimento organizado

sob a forma de um sistema dedutivo.

Segundo as Diretrizes Curriculares de Matemática,

A obra de Euclides, que apresenta a base do conhecimento matemático por meio dos axiomas e postulados, contempla a geometria plana, teoria das proporções aplicadas às grandezas em geral, geometria de figuras semelhantes, a teoria dos números incomensuráveis e esteriometria – que estuda as relações métricas da pirâmide, do prisma, do cone e do cilindro, polígonos regulares, especialmente do triângulo e do pentágono. Ainda hoje, tais conteúdos continuam presentes sendo abordados na Educação Básica. (PARANÁ, 2008 p.39)

Outras contribuições são dadas à geometria por diversos matemáticos

helênicos, como Arquimedes, com a determinação das fórmulas dos volumes e

superfícies dos sólidos.

Para os gregos a geometria não tinha somente objetivos práticos. Era vista

como uma ciência formativa e seu estudo conduziam a hábitos de raciocínio e ao

refinamento da inteligência. Na academia de Platão, a geometria teve lugar de

destaque, pois os intelectuais da época estavam convencidos que tal

conhecimento era o melhor treino para a mente.

No Renascimento, no século XIV, são produzidos diversos trabalhos que

se utilizam da geometria. A necessidade de simetria na pintura, da representação

de figuras em duas ou três dimensões exige do artista profundo conhecimento

geométrico, desenvolvendo-se nesse tempo o estudo da perspectiva.

Segundo Pavanello (1989), é no século XVII, enquanto a Europa ainda se

debate nas guerras religiosas, que a geometria experimenta um avanço

significativo. Nomes importantes são de Desargues e Pascal, que dão passos

iniciais no desenvolvimento de um novo ramo da geometria: a projetiva; e de

Descartes e Fermat, que elaboram as primeiras ideias de um novo método para o

estudo da geometria: a analítica.

Ainda, conforme Pavanello (1989), ao final do século XVIII e início do

século XIX, um fato marcante foi a descoberta da geometria não-euclidiana, a

partir de investigações em torno do quinto postulado de Euclides. Nomes de

destaque são dos matemáticos Gauss, Bolyai e Lobachevsky, que, tendo

trabalhado no quinto postulado de Euclides, descobriram que existem outras

geometrias diferentes da euclidiana.

Na última década do século XVIII é fundada a Escola Politécnica de Paris,

onde atuou Gaspar Monge. Sob sua influência floresce a geometria e seu ensino.

No início do século XIX o ensino de matemática começa a ser introduzido nas

escolas, sendo a geometria ensinada a partir dos textos de Euclides de modo

abstrato. As aplicações práticas eram desprezadas e a álgebra e a aritmética

eram ensinadas de forma isolada (PAVANELLO, 1989).

7.2 O ENSINO DA GEOMETRIA

Segundo Geraldo Ávila (2010, p. 4-5), nos anos finais da década de 1950

começou a crescer em diversos países do mundo um movimento de reforma do

ensino da Matemática, que teve início nos Estados Unidos, depois França e

Bélgica. Esse movimento teve origem após o lançamento do Sputnik I, em 1957,

pela União Soviética, o primeiro satélite artificial. Tal fato surpreendeu os Estados

Unidos, ferindo o orgulho dos americanos e iniciando aí um grande debate na

imprensa e no Congresso, que questionava o desenvolvimento da atividade

científica e tecnológica no país.

Ainda segundo Ávila (2010, p.5), nesse tempo aqueles que propunham

mudanças no ensino da Matemática entraram em cena, explicando que havia

necessidade urgente de uma reforma visando a melhoria do ensino e aprendizado

de Matemática e Ciências nas escolas. Com o apoio dos congressistas e da

imprensa, a proposta foi implantada e financiada por agências de pesquisa, pelas

sociedades de Matemática, universidades e, sobretudo, por agências ligadas ao

Exército e à Aeronáutica.

Tal reforma recebeu o nome de Movimento da Matemática Moderna

(MMM) e logo se propagou para outros países, incluindo o Brasil.

Segundo Pavanello (1989, p. 162), é no início da década de 60 que

acontece a influência da Matemática Moderna no Brasil, com o lançamento dos

primeiros livros didáticos escritos já sob essa influência e com a criação de alguns

“grupos de estudos” para o ensino da matemática.

A ideia central da Matemática Moderna era trabalhar a Matemática do

ponto de vista das estruturas, facilmente posta em prática na álgebra e aritmética,

mas não na geometria. Tal ideia, que passou a fazer presente da abordagem dos

conceitos matemáticos nos livros didáticos destinados ao curso ginasial,

acentuava as noções de figura geométrica e de intersecção de figuras, como

conjuntos de pontos do plano, e adotava para a geometria a mesma simbologia

usada para os conjuntos em geral, segundo uma abordagem “intuitiva”.

A orientação de trabalhar a geometria sob o enfoque das transformações, assunto não dominado pela grande maioria dos professores secundários, acaba por fazer com que muitos deles deixem de ensinar geometria sob qualquer abordagem, passando a trabalhar predominantemente a álgebra – mesmo porque, como a Matemática Moderna fora introduzida através desse conteúdo, enfatizara sua importância. A Lei 5692/71, por sua vez, facilita este procedimento ao permitir que cada professor adote seu próprio programa “de acordo com as necessidades da clientela” (PAVANELLO, 1989, p. 164).

A promulgação dessa Lei pode ser considerada como uma possível causa

do abandono da geometria, que dava às escolas a escolha dos programas.

Durante o Movimento da Matemática Moderna, acentuou-se o formalismo da

Matemática na escola e o estudo da geometria ficou relegado a um segundo

plano nos currículos e livros didáticos brasileiros, conforme se percebe nas

pesquisas da área da Educação Matemática.

No entender de Ávila (2010, p. 6), a geometria axiomatizada com rigor é

impraticável. Para o autor, Euclides necessitou de cinco axiomas na estruturação

axiomática da Geometria, mas David Hibert (1862–1943) precisou de vinte para

livrar o trabalho de Euclides de suas deficiências. Os reformistas nunca

conseguiram encontrar uma maneira de apresentar os fatos geométricos

conforme os critérios de rigor e que fosse viável às escolas. Por isso, aquela

geometria antiga foi descartada das escolas, que apesar dos defeitos, tinha seus

valores. Chegou-se ao ponto de sugerir a extinção da geometria por alguns

reformistas.

Pavanello esclarece que, nesse tempo,

A geometria é praticamente excluída do currículo escolar ou passa a ser, em alguns casos restritos, desenvolvida de uma forma muito mais formal a partir da introdução da Matemática Moderna, a qual se dá justamente quando se acirra a luta pela democratização das oportunidades educacionais, concomitantes à necessidade de expansão da escolarização a uma parcela mais significativa da população. Somente esta constatação bastaria para suscitar questionamentos sobre a contribuição da geometria para formação dos indivíduos; no entanto, outros fatos vieram reafirmar essa necessidade: verifica-se, por exemplo, a pouca capacidade de percepção espacial de grande número de alunos

(e de pessoas, em geral), requerida no exercício ou compreensão de múltiplas e variadas atividades profissionais. (PAVANELLO, 1989, p. 180)

Nesse sentido, há mais de vinte anos Pavanello já denunciava que a

Geometria, por ser difícil de ser ensinada, muitas vezes é transferida para o final

do ano e, por falta de tempo, acaba por ser ensinada de modo precário ou muitas

vezes é suprimida do planejamento do professor.

O ensino da Geometria, se comparado com o ensino de outras partes da Matemática, tem sido o mais desvairador, alunos, professores, autores de livros didáticos, educadores e pesquisadores, de tempos em tempos, têm se deparado com modismos fortemente radicalizantes, desde o formalismo impregnado de demonstrações apoiadas no raciocínio lógico-dedutivo, passando pela algebrização e indo até o empirismo inoperante. No Brasil, já fomos mais além: a Geometria está ausente ou quase ausente da sala de aula. Vários trabalhos de pesquisadores brasileiros, entre eles Peres (1991) e Pavanello (1993), confirmam essa lamentável realidade educacional. (LORENZATO, 1995, p. 01)

Para Lorenzato (1995, p. 5), um indivíduo sem o conhecimento da

geometria não desenvolve o raciocínio visual e não consegue resolver

determinadas situações em seu cotidiano ou compreender questões de outras

áreas do conhecimento humano. É inegável que “o desenvolvimento de conceitos

geométricos é fundamental para o crescimento da capacidade de aprendizagem,

que representa um avanço no desenvolvimento conceitual” (PASSOS, 2005, p.

18)

Por isso, é crucial que a geometria tenha lugar de destaque nas atividades

pedagógicas do professor e que esse campo da Matemática seja trabalhado por

meio de metodologias inovadoras, que atraiam o interesse dos alunos e

possibilitem um aprendizado mais significativo dos conteúdos. Dentre essas

metodologias destacam-se os recursos tecnológicos por meio de softwares de

geometria dinâmica e as investigações matemáticas, que potencializam um

ensino mais ativo e instigante da Geometria.

7.3. USO DO SOFTWARE GEOGEBRA

O software GeoGebra é um aplicativo de Matemática Dinâmica, objeto da

tese de doutorado de Markus Hohenwarter, na Universidade de Salzburgo na

Áustria, em 2002. Foi desenvolvido para o ensino e aprendizagem da Geometria,

Álgebra e Cálculo, permitindo visualizar objetos em dois ambientes: na janela

geométrica e na janela algébrica.

No GeoGebra é possível fazer construções de pontos, vetores, polígonos,

segmentos, retas, circunferências, transportar distâncias, extrair paralelas e

perpendiculares, construir gráficos, explorar e visualizar a dinamicidade existente

na geometria, dentre outras. Desta forma, essas construções geométricas virtuais

não ficam estáticas, pois se movem sob o nosso comando, sem apagar as

relações matemáticas que se estabelecem, reforçando conceitos e propriedades

que o aluno apresenta maior dificuldade de visualizar movimentos imaginários

como propriedade de polígonos, teorema de Tales, teorema de Pitágoras,

condição de existência de triângulos, etc. Este software pode ser obtido de forma

gratuita pelo site: http://www.geogebra.org.

Segundo Colaço et al (s/d), as aplicações de geometria dinâmica

favorecem a compreensão dos conceitos e de relações geométricas e possibilitam

observar, analisar, relacionar e construir figuras geométricas e operar com elas.

Essa possibilidade de manipulação gráfica do GeoGebra, associada à respectiva

representação algébrica, constitui uma das grandes potencialidades do software,

quando comparado a outras aplicações.

Este software é livre e está disponível no Paraná Digital, nas escolas da

rede estadual de ensino. Por meio dele, o aluno pode construir e investigar

objetos geométricos, associando a conceitos algébricos e descobrindo

propriedades e relações.

7.4. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

De acordo com Paulo Abrantes (1999, p.3), “a geometria parece ser, dentro

da Matemática escolar, uma área particularmente propícia à realização de

atividades de natureza exploratória e investigativa”. A riqueza e variedade dos

conteúdos geométricos constituem-se em argumentos muito fortes para a sua

valorização no currículo e nas aulas de Matemática. Para o autor,

As actividades investigativas em geometria conduzem rapidamente à necessidade de se lidar com diversos aspectos essenciais da natureza da própria Matemática. Formular e resolver problemas, fazer conjecturas, testá-las, validá-las ou refutá-las, procurar generalizações, comunicar descobertas e justificações, tornam-se processos naturais. Ao mesmo tempo, surgem oportunidades para se discutir o papel das definições e para se examinar as consequências de se adaptar uma ou outra definição, assim como para se compreender a natureza e o valor da demonstração em Matemática. Além disso, a geometria oferece numerosas ocasiões para se conhecerem exemplos sugestivos da história e da evolução da Matemática.

Explorações e investigações em geometria podem fazer-se em todos os níveis de escolaridade e a diversos níveis de desenvolvimento. Este facto tem implicações curriculares evidentes (ABRANTES, 1999, p. 4).

Para Joana Porfírio e Hélia Oliveira (1999), o conceito de investigação está

relacionado às atividades que os matemáticos profissionais desenvolvem ao

produzirem conhecimento, tendo como objetivo descobrir algo de forma

processual e sistemática. Investigar, conforme Ponte (1998, p. 02), nada mais é

do que procurar conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções

para os problemas com que nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de

primeira importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o

trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos.

Na investigação matemática, Fonseca, Brunheira e Ponte (1999)

esclarecem que o objetivo é explorar todos os caminhos que surgem como

interessantes a partir de uma dada situação. É um processo divergente, pois se

sabe qual é o ponto de partida, mas não se sabe qual será o ponto de chegada.

Numa aula de trabalho investigativo, distinguem-se, de um modo geral, três etapas fundamentais: a formulação da tarefa, o desenvolvimento do trabalho e o momento de síntese e conclusão final. [...] No arranque da actividade, o professor procura envolver os alunos no trabalho, propondo-lhes a realização de uma tarefa. Durante a actividade, verifica se eles estão a trabalhar de modo produtivo, formulando questões, representado a informação dada, ensaiando e testando conjecturas e procurando justificá-las. Na fase final, o professor procura saber quais as conclusões a que os alunos chegaram, como as justificam e se tiram implicações interessantes. O professor tem de manter um diálogo com os alunos enquanto eles vão trabalhando na tarefa proposta, e no final cabe-lhe conduzir a discussão colectiva. Ao longo de todo este processo,

precisa criar um ambiente propício à aprendizagem, estimular a comunicação entre os alunos e assumir uma variedade de papéis que favoreçam a sua aprendizagem. (PONTE et al, 1998, p. 2)

Para Ponte et al (1998, p. 7), para promover o envolvimento dos alunos nas

tarefas, o professor deve criar um ambiente em que todos os alunos se sintam a

vontade para apresentar as suas conjecturas, argumentar contra ou a favor das

ideias dos outros, sabendo que o seu raciocínio será valorizado.

Muitas vezes as solicitações feitas pelos alunos ao professor vão no sentido de validar os seus processos ou ideias. Como resposta o professor não deverá emitir opiniões muito concretas, mas sim incentivar o espírito crítico, a reflexão e a procura de argumentos e razões que permitam aos alunos confirmar ou não as suas conjecturas. Outras vezes, sendo o confronto de opiniões essencial neste tipo de actividade, o professor deve levar cada aluno a explicar e argumentar a favor do seu ponto de vista colocando questões como O que te leva a pensar isso? ou Porque não concordas com a ideia do teu colega? Este tipo de atitude fomenta a interacção entre os alunos, que vão aprendendo a discutir, a descobrir novas relações entre conceitos, a ter mais segurança nas suas ideias matemáticas e a desenvolver o raciocínio e a criatividade (FONSECA et al., 1998, p.7-8)

No entender de Fonseca (1998, p. 8), durante um trabalho investigativo

talvez os alunos possam seguir por um caminho que não seja correto. Entretanto

o professor deve evitar dizer que está errado, dando-lhe um tempo, não muito

prolongado, para que ele mesmo, através da sua experiência, perceba o erro. Por

vezes será necessário que o professor avance com pistas, estimulando a

comunicação entre os alunos, a fim de que explicitem suas ideias e argumentem

em defesa de suas afirmações. A discussão final é indispensável para uma aula

de investigação, ocasião perfeita para promover a reflexão sobre o trabalho.

É necessário que o professor invista bastante na preparação das aulas

para que as atividades de investigação estabeleçam realmente um momento de

aprendizagem significativa para os alunos. A variedade de processos em que os

alunos podem se envolver, assim como o grau de complexidade e

imprevisibilidade, exige uma preparação que vai além da tarefa que propõe aos

alunos. A atitude por parte do professor também deve ser de caráter investigativo

com reflexão aos objetivos que se pretende atingir.

Segundo Fonseca et al (1999, p. 10), a preparação das aulas constitui

uma fase importante numa investigação.

Em primeiro lugar há que seleccionar, adaptar ou mesmo construir a tarefa, o que deve ter em conta vários aspectos. Por um lado, para que a tarefa possa realmente desencadear uma investigação por parte dos alunos, é preciso escolher situações potencialmente ricas e formular questões suficientemente abertas e interessantes, de forma a estimularem o pensamento matemático dos alunos. Para isso o professor tem necessidade de fazer uma pesquisa em torno de vários materiais que podem variar entre manuais escolares, livros com propostas de problemas e investigações e, mais recentemente, o mundo da Internet. Mas mais do que esta pesquisa, ele precisará recorrer à sua criatividade para dar forma à tarefa, adaptando as situações, reconstruindo as questões da maneira que melhor servir os seus objectivos. Por outro lado, esta escolha está também dependente dos alunos que a irão trabalhar, devendo o professor ter em conta o seu nível etário, o seu desenvolvimento matemático, a familiaridade que têm com o trabalho investigativo, os seus interesses, etc.

Para os autores,

Do mesmo modo que a realização de investigações matemáticas constitui um poderoso meio de aprendizagem matemática para o aluno, a realização de investigações sobre a sua prática constitui um poderoso meio de desenvolvimento profissional e de formação para os professores. A realização de projectos de investigação, a nível da escola ou de pequenos grupos de professores, poderá ser um modo privilegiado para desenvolver nos professores os saberes necessários à realização de actividades de investigação (FONSECA et al, 1999, p. 14).

A utilização de recursos tecnológicos como softwares de Geometria, como

é o caso do GeoGebra, facilita a realização de investigações, pois possibilitam a

movimentação que, de outro modo se tornariam difíceis ou até mesmo inviáveis

de elaborar.

CADERNO DE ATIVIDADES

ATIVIDADE 1 – Familiarização com o GeoGebra.

O GeoGebra tem uma barra de ferramenta com ícones indicando suas

funções que vão desde a construção de pontos, retas, vetores, ângulos,

polígonos, círculos, arcos, mediatriz, bissetriz, inserção de imagens e texto e um

campo de entrada onde pode-se digitar comandos para inúmeras construções,

inclusive gráficos. Todas as funções dos ícones e as potencialidades do software

GeoGebra podem ser melhor visualizadas com a prática de atividades.

O GeoGebra possui cinco áreas de trabalho:

a) Menu Principal;

b) Barra de Ferramentas;

c) Janela de Álgebra;

d) Janela de Visualização;

e) Campo de Entrada;

Tela do GeoGebra mostrando as áreas de trabalho. Fonte: Software GeoGebra, 07/08/2012.

Professor, esta atividade é o primeiro contado dos alunos com o

GeoGebra. Tem por objetivo a exploração das ferramentas do

software para então dar início a prática de elaborar conjecturas e

demonstrações.

a) Crie um ponto e nomeie-o por M. Modifique a cor do ponto para verde e

seu estilo para tamanho 4.

b) Crie uma reta, nomeie-a por s. Modifique seu estilo para tracejado e

aumente sua espessura.

c) Abra um novo arquivo e crie dois pontos, nomeando-os P e Q.

d) Num novo arquivo, crie uma reta r e dois pontos A e B, pertencentes à r. É

possível traçar quantas retas que passam pelos pontos A e B? Justifique.

e) Abra um novo arquivo e tome a ferramenta “segmento definido por Dois

Pontos”. Construa um segmento AB, depois um segmento BC e depois o

segmento CA. Que figura você formou? Elabore uma definição dessa

figura.

f) Em um arquivo novo, tome a ferramenta “Reta Definida por Dois Pontos” e

crie uma reta r. Esconda os pontos A e B que determinam a reta.

g) Abra um novo arquivo e tome a ferramenta “Polígono”.

Clique sobre 5 pontos distintos do plano e finalmente clique sobre o

primeiro ponto criado. O GeoGebra traçará os segmentos que ligam os

pontos escolhidos.

Clique sobre o “interior” do polígono e arraste-o.

O que acontece com o polígono?

h) Num arquivo novo, crie um triângulo de vértices A, B e C. Para isso tome a

ferramenta “Polígono” e clique em três pontos distintos e depois clique

sobre o primeiro ponto novamente.

Crie uma reta qualquer r. Movimente r até que esta intercepte um lado do

triângulo ABC, mas não intercepte nenhum vértice.

Determine a intersecção de r com o triângulo ABC.

Faça isso com a ferramenta “intersecção de dois objetos”, clicando

alternadamente na reta e em cada aresta do triângulo.

Movimente a reta e o triângulo. É possível encontrar uma posição na qual a

reta não passe por nenhum vértice do triângulo e intercepte apenas um

lado do triângulo?

Se uma reta intercepta um lado do triângulo e não intercepta nenhum

vértice, qual outro fato que sempre ocorrerá?

ATIVIDADE 2 – Construção do Tangram no GeoGebra

a) Utilize a ferramenta Polígono regular para construir um quadrado,

utilizando 3 unidades de lado. Escolha a ferramenta Segmento

para construir uma diagonal do quadrado. Na sequência, utilizando a

ferramenta Ponto médio , encontre o ponto médio da diagonal que

construiu.

b) Como você pode definir ponto médio após fazer a construção?

c) Com as duas ferramentas usadas na etapa anterior, estabeleça os

pontos médios e os segmentos necessários à construção do tangram,

conforme sequencia abaixo:

d) Com a ferramenta contorne os pontos que formam cada polígono.

Após, clique sobre cada polígono e, em propriedades, e altere a cor de

cada polígono.

e) Com o botão direito do mouse em cada polígono selecione

“propriedade”. Na janela propriedade selecione cor e coloque uma cor

para cada um dos polígonos. Selecione a paleta “básico”, em “exibir

rótulo”, selecione “valor” e clique em “feche”. Você terá a área de cada

polígono.

A área do polígono 1 corresponde ao quadrado construído inicialmente,

que serve de base para construção do Tangram.

f) Faça a construção de mais 6 Tangrams (de 4, 5 6, 7 e 8 unidades de

lado). Em todos eles siga a etapa do primeiro Tangram, colocando a

área em todos eles.

Professor verifique como ficarão as construções de todos os Tangrams.

g) Tomando o primeiro quadrado construído de cada Tangram, complete a

tabela abaixo preenchendo a área de cada um, considerando que cada

quadradinho da malha corresponde a uma unidade de área.

Tangram

1 Tangram

2 Tangram

3 Tangram

4 Tangram

5 Tangram

6 Tangram

7 Quadrado

maior

(tangram)

h) Escreva as áreas como uma sequência.

i) O que você observa nessa sequência? Encontre regularidades.

j) Qual é a área de um Tangram com 10 unidades de área, 15 u, 20 u, etc.

k) Preencha o quadro abaixo com a área de cada polígono construído

para formar o Tangram.

Tangram 1

Tangram 2

Tangram 3

Tangram 4

Tangram 5

Tangram 6

Tangram 7

Quadrado

menor

Triângulos

maiores

Triângulo

médio

Triângulos

menores

Paralelogramo

l) Após preencher o quadro, que relações você observa? Explore e

escreva sobre essas relações.

m) Tente encontrar regularidades entre os números que figuram:

em cada linha;

em cada coluna;

nas diagonais.

Professor, como unidade de área foi usado um

quadradinho da malha em que foi construído no

GeoGebra.

ATIVIDADE 3 – Investigando o Tangram

O Tangram é um quebra-cabeça chinês composto por sete peças (5

triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Com ele é possível montar mais de

1000 formas. O uso deste quebra cabeças é bastante frequente nas aulas de

matemática para o trabalho com as formas geométricas. Mas o seu uso pode ir

além do simples reconhecimento de formas.

Entregar uma folha impressa com o desenho do Tangram.

1) Recorte os polígonos do Tangram.

a) Quais as formas poligonais que representam cada peça do Tangram?

b) Quais peças são congruentes?

c) Quais peças possuem a mesma forma?

d) Como podemos classificar os triângulos quanto aos lados?

2) Com o quadrado e os dois triângulos pequenos do Tangram, construa e

registre através de desenhos os polígonos que você usou:

a) Um trapézio:

b) Um retângulo:

c) Um paralelogramo:

Professor, esta atividade não será realizada no

GeoGebra e tem por intuito explorar mais

detalhadamente o Tangram pela manipulação de

polígonos e investigação.

a) b) c)

3) Construa e registre através de desenhos um quadrado usando:

a) Duas peças:

b) Três peças:

c) Cinco peças:

4) Separe do Tangram o quadrilátero que não é quadrado e com as demais

peças que sobraram independente da quantidade que vai usar construa:

a) Uma figura simétrica ao seu lado

b) Outros quadriláteros que não sejam quadrados.

Para o professor conferir!

a) Dois triângulos pequenos

b) Dois triângulos pequenos e um triângulo médio

c) Um quadrado, dois triângulos pequenos, um triângulo médio e um paralelogramo.

Para o professor conferir!

a) b)

5) Considerando como unidade de área o menor triângulo, determine:

a) A área do triângulo médio;

b) A área do quadrado;

c) A área do paralelogramo;

d) O que você pode concluir referente às três figuras anteriores?

6) Considerando como unidade de área o triângulo médio, determine:

a) A área do quadrado

b) A área do paralelogramo

c) A área do triângulo grande

d) A área do triângulo pequeno

7) Com as peças do Tangram construa e registre através de desenhos os

polígonos que você usou:

a) Um quadrado de área igual à de dois triângulos pequenos;

b) Um quadrado de área igual à de quatro triângulos pequenos;

c) Um quadrado de área igual à de oito triângulos pequenos;

c)

b)

a)

Professor confira aqui como ficarão as construções.

Professor confira aqui as construções.

8) Com o Tangram é possível montar diversas figuras geométricas, como um

quadrado, um retângulo, um paralelogramo e um trapézio. Monte cada um

deles e coloque a sua área no quadro abaixo. O que você pode observar

em relação à área de cada um dos polígonos? Escreva suas conclusões.

Medida de área

ATIVIDADE 4

a) Encenação da lenda do Tangram Lenda do Tangram

Conta a lenda que um jovem chinês despedia-se de seu mestre, pois

iniciaria uma grande viagem pelo mundo.

Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e

disse:

- Com esse espelho você registrará tudo o que vir durante a viagem, para

mostrar-me na volta.

O discípulo, surpreso, indagou:

- Mas mestre, como, com um simples espelho, poderei eu lhe mostrar tudo

o que encontrar durante a viagem?

Professor, nesta atividade alguns

alunos farão a encenação da lenda

do Tangram.

No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos,

quebrando-se em sete peças. Então o mestre disse:

- Agora você poderá, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o

que observar durante a viagem.

E assim o jovem foi ilustrando as figuras que foi vendo e formou o

TANGRAM.

b) O Tangram também conhecido por “placa das sete astúcias”. Possibilita a

construção de diversas figuras a partir de suas peças. Usando sua

criatividade e todas as peças do Tangram construa algumas figuras

como, por exemplo, barco, coelho, gato entre outros.

ATIVIDADE 5: TEOREMA DE PITÁGORAS NO GEOGEBRA

a) Abra o menu exibir e selecione a palavra eixo e depois janela de álgebra.

b) Use e construa um segmento passando por dois pontos. Nomeie os pontos das extremidades dos segmentos.

c) Utilize e trace a reta perpendicular ao segmento AB passando pelo ponto A

Professor, nesta atividade, após as

construções, será elaborado um

painel e realizada uma exposição na

escola.

d) Construa o segmento AC, use , clique sobre o ponto A e sobre a reta

perpendicular. Nomeie de ponto C. Trace o segmento BC utilizando a

mesma ferramenta e clicando sobre os dois pontos.

e) Clique com o botão direito do mouse sobre a reta perpendicular e selecione

a palavra exibir objeto, para escondê-la.

f) Clique com o botão direito do mouse sobre os lados do triângulo e

renomeie-os de a, b e c conforme convenção para os triângulos retângulos.

g) Use para marcar a medida do ângulo CÂB.

h) Selecione ,clique sobre os vértices do triângulo , dois a dois, sempre

no sentido horário. Clique na palavra aplicar. Faça isso para todos os lados

do triângulo.

i) Em relação ao triângulo ABC, como podemos classificá-lo? Justifique.

j) Como se chamam os nomes dos lados deste triângulo? Como são

convencionadas as suas representações? Pesquise.

k) Qual quadrilátero foi traçado usando os lados do triângulo? Sendo a, b e c

a medida de seus lados respectivamente, como podemos representar a

medida da área de cada um desses quadriláteros?

l) Clique com o botão direito do mouse sobre os quadrados construídos e em

seguida na palavra propriedades. Mude a cor e se desejar a espessura dos

lados. Deixe os quadrados menores da mesma cor e o maior de cor

diferente.

m) Use e marque a medida da área dos quadrados. Basta clicar sobre a

região interna de cada um deles.

n) Mova os vértices do triângulo três vezes, a cada movimento observe o que

acontece e complete a tabela com a área dos quadrados após movê-los.

Área do quadrado menor

Área do quadrado médio

Área do quadrado maior

o) É possível este triângulo deixar de ser retângulo? Que relação há entre as

medidas da área dos quadrados formados pelos catetos e a área do

quadrado formado pela hipotenusa? Isso sempre acontece?

p) Baseado nas explorações que você fez, é possível, sabendo-se a medida

de dois dos lados de um triângulo retângulo, calcular a medida do terceiro?

Como você faria isso?

ATIVIDADE 6: TEOREMA DE TALES

a) Abra o menu exibir e clique sobre a palavra eixo e janela de álgebra.

b) Utilize a ferramenta e construa uma reta passando por dois pontos.

c) Com a ferramenta faça dois pontos não pertencentes à reta a.

d) Use a ferramenta e construa as retas paralelas a reta a, passando

pelo ponto C e pelo ponto D. Para isto clique no ponto C e na reta a, assim

como na reta D e na reta a.

e) Utilize a ferramenta e construa duas retas transversais às retas

paralelas, tendo o cuidado dos pontos pertencerem a estas retas. Para isto

clique no ponto A pertencente à reta a. Após, clique no ponto B

pertencente a reta a e no ponto F.

f) Utilize e marque as interseções das retas transversais com a reta

que passa pelo ponto C.

g) Com a ferramenta trace os segmentos determinados pelas retas

paralelas nas retas transversais. Clique com o botão direito do mouse sobre

os segmentos e em seguida na palavra propriedades. Altere cor e espessura

da reta e selecione fechar.

h) Marque a medida dos segmentos, para isso utilize e clique nos

segmentos AG, GE, BH e HF.

i) Use a ferramenta , clique sobre os pontos C e D para alterar as

distâncias entre as retas paralelas, e nos pontos azuis das retas

transversais para mudá-las de posição.

j) No campo entrada da janela digite razão=AB/BG, pressione enter e

razão1=DE/EF pressione enter.

k) Mova novamente as retas e observe o que acontece com as razões na

janela de álgebra.

l) Explique porque as razões são iguais.

m) É possível encontrar o valor de um dos segmentos sabendo-se o valor dos

outros três? Como você faria isso?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABRANTES, P. Investigações em Geometria na Sala de Aula. In: VELOSO, E; PONTE, J. P.; ABRANTES, P. (orgs.). Ensino da Geometria no Virar do Milénio, Lisboa: DEFCUL, 1999. ÁVILA, G. Reflexões sobre o ensino de geometria. In: Revista do Professor de Matemática – RPM, nº 71, p. 3-8, 1º quadrimestre de 2010. BORBA, M. Informática trará mudanças na educação brasileira? In: Zetetiké, Campinas, V 4, p. 123-134, julho 1996. BRASIL. Secretária de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. 148 p. COLAÇO, Susana; BRANCO Neusa; BRITO, Maria Graciete; REBELO, Maria Cecília. A utilização do GEOGEBRA em contexto de sala de aula, Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Santarém, In: Promat 2009 – Encontro Nacional de professores de Matemática, s/d. EVES, Howard. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. 8 ed. São Paulo: Atual, 1992. FERREIRA, Roberto Claudino. Ensinando Matemática com o Geogebra. In: Enciclopédia Biosfera, Goiania, vol.6, n.10, p. 1-17. 2010 FONSECA, H; BRUNHEIRA, L.; PONTE, J. da. As actividades de investigação, o professor e a aula de Matemática. 1999. Disponível em: < http://www.amma.com.pt/cm/af29/trabalhos/s7/Textos/texto18.pdf>

Professor! Espero que este material didático

contribua na sua prática pedagógica e para a

melhor aprendizagem da Geometria por seus

alunos! Bom trabalho!

GERÔNIMO, João Roberto; BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO, Valdeni Soliani Franco. Geometria Euclidiana Plana: um estudo com o software Geogebra, Eduem – Editora da Universidade Estadual de Maringá, 2010, 234 p. LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria?In: Educação Matemática em Revista – Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Ano III, nº 4, p. 3-13, 1º semestre/1995. PASSOS, Cármen Lúcia B. Que Geometria acontece na sala de aula? In: MIZUKAMI, Maria da Graça N., REALI, Aline Maria M. R. Processos formativos da docência: conteúdos e práticas. São Carlos: EDUFSCar, 2005, p. 16-44. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba, 2008. PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino de Geometria: uma visão histórica. Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação. Dissertação de Mestrado. Campinas, 1989. PONTE, J. P., BROCARDO, J. OLIVEIRA, H. (2006). Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica. PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H; BRUNHEIRA, L.; VARANDAS, J. M.; FERREIRA, C. (1998). O trabalho do professor numa aula de investigação matemática. In: Quadrante, 7(2), 41-70. PORFÍRIO, J.; OLIVEIRA, H. Uma reflexão em torno das tarefas de investigação. In: ABRANTES et al. (Org.). Investigações matemáticas na aula e no currículo. Portugal: Matemática para todos: investigações na sala de aula e Associação de professores de matemática, 1999. p. 111-118. SANTOS, C. H. dos.; IMENES, M. Tangram: um antigo jogo chinês nas aulas de Matemática. FUNBEC, s/d.