RobticaProf. Reinaldo BianchiCentro Universitrio da FEI2007

4a aulaParte A

Objetivos desta aulaSistemas de RefernciaCoordenadas Homogneas.Transformaes entre sistemas de coordenadas.Cinemtica de manipuladores:Modelo geomtrico de um manipulador. Modelo de Denavit-Hartenberg. Cinemtica direta.Captulos 2 e 3 de Introduction to Robotics, de J. J. Craig.

Introduo

IntroduoPara realizar o controle do manipulador necessrio o estudo do seu funcionamento mecnico.Mecnica = dinmica + esttica + cinemtica!

CinemticaCinemtica o estudo do movimento dos robs sem levar em conta as foras e as massas envolvidas.Envolve apenas:posio, velocidade, aceleraoe suas derivadas.

O problema central da cinemticaO problema central da cinemtica como definir a posio do rob:Cinemtica direta:A partir das posies das articulaes, encontrar a posio e orientao da ferramenta no espao cartesiano da base.Cinemtica inversa:Definir as posies das articulaes, dada uma posio e orientao desejada para a ferramenta.

O problema centralpx , py, pz Variveis das JuntasVariveis no espao cartesiano xDiretaInversa(Juntas)(Cartesiano)

Solucionando a CinemticaPara solucionar os problemas de cinemtica direta e inversa, basta saber computar as relaes matemticas entre as posies de cada elo:Adora-se um sistema de coordenadas por elo.Utiliza-se conceitos de lgebra linear ...

Descries Espaciais e TransformaesCaptulo 2 do Craig.

Descries espaciaisUma descrio uma matriz utilizada para descrever os objetos com os quais um manipulador deve tratar.A descrio de uma posio uma matriz 3 x 1:

Descries espaciais (II)A descrio de uma orientao uma matriz de rotao 3 x 3:Denota a diferena entre a orientao desejada e um sistema de coordenadas qualquer:

Sistemas de Referncias (Frames)Um sistema de referncia uma descrio da posio e orientao de um objeto de maneira conjunta. composto por 4 matrizes, que eqivalem a uma matriz de posio (origem do sistema) e uma matriz de rotao.

Sistemas de Referncias (Frames)Como visto na segunda aula, existem diversos sistemas de referncias utilizados:Sistema de coordenadas do mundo.Sistema de coordenadas de juntas.Sistema de coordenadas do ponto de montagem.Origem do sistema: Centro do Atuador.

Sistema do mundo (Base)

Sistema da garra

Origem do sistema da garra

Sistemas com nomes definidos.

MapeamentosMapeamentos descrevem a relao entre os descritores de dois sistemas de referncias.Permitem a mudana de um sistema de referncia para outro.Podem ser:Translao.Rotao.Combinao dos dois.

Translaox0 = x1 + xf,y0 = y1 + yf.

Rotao 2Dx0 = x1 * cos - y1 * seny0 = x1 * sen + y1 * cos

Rotao 3D

Matrizes de rotao 3D

Mapeamento entre 2 sistemasA relao entre dois sistemas quaisquer conseguida com uma translao e uma rotao.

Translao + Rotao 2DQual a matriz que implementa esta transformao???

Matriz de transformao homognea

Coordenadas HomogneasA matemtica para implementar a composio de translao e rotao se torna complicada quando se deseja realizar diversas operaes.Fato comum em lgebra Linear, usada em Robtica e Computao Grfica.Matrizes de transformaes homogneas permitem compor transformaes de maneira elegante:Rotaes, Translaes e Escalas.Em qualquer dimenso do espao.

Coordenadas HomogneasUma representao homognea de um vetor n-dimensional utiliza um vetor com n+1 elementos.O vetor real obtido dividindo-se todos os elementos pelo elemento n+1.O elemento n+1 um fator de escala.

Matriz homogneaUm conjunto de transformaes no mundo 2D pode ser representada completamente por uma matriz 3 x 3:

Matriz de Transformao Homognea 3D

ExemploUm frame {B} se encontra rotacionado com relao a um frame {A} por 30 graus (sobre o eixo z), e transladado de 10 unidades no eixo x e 5 unidades no eixo y.Dado que um ponto se encontra na posio (3,7) no frame {B}, onde ele se encontra no frame {A}?

ExemploDado que:

Usamos a definio e encontramos:

Interpretaes da matriz de transformao homognea.A matriz 4 x 4 de transformao homognea pode ser interpretada como:A descrio de um frame: descreve o frame {B} em relao ao frame {A}.Uma transformao de mapeamento: mapeiaUma operador de transformao, que utiliza apenas um frame e muda os objetos de posio: R(), por exemplo.

Interpretaes da matriz de transformao homognea.O mapeamento muda a descrio de um ponto de um sistema de coordenadas para o outro.No mapeamento, o ponto no modificado: somente sua descrio se altera.

Cinemtica de manipuladoresCaptulo 3 do Craig.

Definio mecnica de um manipuladorUm manipulador pode ser representado por n corpos rgidos mveis e um corpo fixo, ligados por n juntas (ou articulaes), formando uma estrutura de cadeia.Teoria de elementos (ou corpos rgidos) muito bem fundamentada na engenharia mecnica.

Definio mecnica de um manipuladorUm manipulador uma cadeia cintica composta por:Elos (Links):Os corpos da cadeia.Juntas (Joints):As articulaes entre os corpos. Conectam os elos e permitem a realizao de movimentos de um elo em relao ao elo anterior.

Exemplo de manipulador: PUMA

Elos (Links)Um elo (link) um corpo rgido que define uma relao entre duas juntas adjacentes de um manipulador.Elos so numerados em ordem crescente, iniciando pela base do manipulador:A base imvel o elo 0A primeira parte mvel o elo 1,...

Numerao dos elosElo 1Elo 2Elo 3Elo 0

Juntas ou ArticulaesJuntas (ou articulaes) so definidas por vetores no espao 3D:A junta i definida pelo vetor no espao sobre o qual o elo i rotaciona (ou translada) em relao ao elo i - 1.So numeradas a partir do primeiro elo.

Tipos de juntasRevoluo (R):1 Dof (Rotao)Prismtica (P):1 Dof (Translao)Cilindrica (C):2 Dof (Rotao + Translao)Helicoidal (H) 1 Dof (Rotao/ Translao com acoplamento)Planar (E) 2 Dof (Translao em 2 direes)Esfrica (S) 3 Dof (Rotao em 3 direes)

Seis possveis juntas

JuntasTodas podem ser produzidas a partir de duas: Revoluo (R) e Prismtica (P)

Rotating pair Revolute (R)Sliding pair Prismatic (P)

Numerao das JuntasElo 0Elo 1Elo 2Elo 3

Parmetros dos elosUm elo especificado por dois parmetros que definem a posio relativa e a orientao dos eixos da junta incidente no elo:O comprimento do elo (link lenght), denominado a.A toro do elo (link twist), denominado .

Comprimento do elo ai-1O comprimento do elo a distncia entre os eixos das suas juntas ao longo de uma linha mutuamente perpendicular aos eixos das juntas.Esta perpendicular mtua sempre existe e nica, exceto no caso onde os eixos das juntas so paralelos...Neste caso existem infinitas perpendiculares de tamanho idntico.

Toro do elo ai-1A toro de um elo o ngulo entre as projees dos eixos das juntas em um plano cuja normal mutuamente perpendicular aos eixos.Este ngulo medido do eixo i-1 para o eixo i usando a regra da mo direita sobre a perpendicular mtua.

Parmetros dos elos

Parmetros das juntasOffset, diA distncia ao longo do eixo da junta i entre as intercesses das perpendiculares mtuas com os eixos dos elos i-1 e iVarivel para juntas prismticas.ngulo de junta, iO ngulo entre as perpendiculares mtuas incidentes no eixo da junta i.Varivel para juntas rotacionais.

Parmetros elo e juntas

Notao de Denavit-HartenbergMetodologia que est se tornando padro para calcular os parmetros necessrios do modelo cinemtico.O modelo de D-H permite obter a posio e a orientao da ferramenta.O modelo D-H define completamente a cinemtica do manipulador.

Notao de Denavit-HartenbergUm rob pode ser especificado ao se descrever os valores de 4 parmetros para cada elo:comprimento (i-1), toro (i-1), offset (i) e ngulo (i).A definio da mecnica de um manipulador usando estes parmetros segue a notao de Denavit-Hartenberg.A Notao D-N especifica ainda...

Valores para ai e ai dos elos 0 e nO comprimento e a toro de um elo i dependem das juntas adjacentes.Com isso, os trminos da cadeia ficam indefinidos.Por conveno, define-se:

Parmetros da junta 1Se a junta 1 for prismtica:

Se a junta 1 for de rotao:

Sistemas de refernciasCada corpo elementar (elo) da cadeia cinemtica deve ser fixado em um sistema de referncia (frame).Existe uma conveno para anexar sistemas de referncias aos elos, dada pela Notao D-N: Frames so numerados de acordo com o elo ao qual ele est ligado.Frame {i} est ligado ao elo i.

Designando referncias aos elosO eixo Zi do frame {i} est alinhado como eixo da junta i.A origem do frame {i} est localizada no ponto onde a perpendicular ai intersecciona o eixo da junta i. O eixo Xi do frame {i} est alinhado como a perpendicular ai na direo de i para i+1. Yi = Zi Xi (use regra da mo direita).

Definio dos eixos ZiDefinio dos eixos Zi

ZiZi

Frames e elos

q n+1q n

Elo n-1Elo n

Designando referncias aos elos: casos especiaisSe ai = 0 (ou seja, os eixos se interceptam):Xi = Zi x Zi+1, isto , Xi perpendicular aos eixos i e i+1 (Use a regra da mo direita).

Designando referncias aos elos: primeiro eloO frame {0} escolhido de maneira arbitrria:escolha o eixo Z0 alinhado com o Z1, de maneira que o frame {0} e {1} sejam iguais quando a varivel da junta 1 for zero.Neste caso:e d1 = 0 se a junta 1 for de rotao, ou 1 = 0 se a junta 1 for prismtica.

Designando referncias aos elos: ltimo eloSe a junta for de revoluo:Escolha o eixo Xn para coincidir com o Xn-1 quando n = 0.Escolha a origem do frame {n} de maneira que dn = 0. Se a junta for prismtica:Escolha o eixo Xn de maneira que n = 0.A origem do frame {n} a interseo de Xn-1 e o eixo da junta n quando dn = 0.

Notao D-H a partir dos framesai: a distncia entre os eixos Zi e Zi+1 medida sobre o eixo Xi.i: o ngulo entre os eixos Zi e Zi+1 medida sobre o eixo Xi.di: a distncia entre os eixos Xi-1 e Xi medida sobre o eixo Zi.i: o ngulo entre os eixos Xi-1 e Xi medidos sobre o eixo Zi-1 .

Resumo link-frame attachment (Craig, pg 77 da 2a. Edio ou 69 da 3a. Edio)

Exemplo 1: D-H para rob 3R

Exemplo 1: D-H para rob 3R

Exemplo 2: brao de Stanford

Brao de Stanford

Parmetros D-H Stanford Arm

iaidiii1a1b19012a2b29023a3b3 (var)90904a409045a5b5056a6b606

O Modelo cinemtico de um manipulador

O modelo cinemticoExpressa a posio e a orientao do elemento terminal do rob em relao a um sistemas de coordenadas fixo a base, em funo das coordenadas de juntas.O modelo pode ser descrito por uma funo que exprime o espao cartesiano em funo do vetor de coordenadas angulares.

O modelo cinemticoO mapeamento T consiste na expresso analtica da composio dos movimentos das juntas para realizar o movimento do elemento terminal do rob.

A transformao para um eloRotacione sobre Xi-1 o ngulo ai-1 Translade sobre Xi-1 a distncia ai-1Rotacione sobre Zi o ngulo qi Translade sobre Zi a distncia diOu seja:

Transformao para um elo.

Joint n-1Joint nJoint n+1Link n-1Link nzn-1yn-1xn-1qn

Matriz cinemticaRelaciona o sistema de coordenadas solidrias base do rob com o sistema de coordenadas associadas sua ferramenta terminal.Em coordenadas homogneas.Resulta do produto das matrizes de transformao de cada elo:Transforma passo a passo.

Exemplo 4 - 3RPara o manipulador do exemplo 1:

Exemplo 5: Puma

Modelo cinemtico de um Pumafirst identify the six joint axis

Modelo cinemtico de um PumaThen assign the z-axis of the coordinate frames(either along the joint axis)z0 = z1z2z3z4z5z6

Modelo cinemtico de um PumaThen assign the x-axis of the coordinate framesfor 1 3 (either along the joint perpendicular oralong the normal to the plane)x3z4z5z6x0 = x1 = x2a2d3

Modelo cinemtico de um Puma

Modelo cinemtico de um PumaThen assign the x-axis of the coordinate framesfor 4-6 (either along the joint perpendicular oralong the normal to the plane)

Modelo cinemtico de um Puma

Parmetros de elo e junta para o PUMA

Compute cada transformaoUsando a equao generalizada:

Computamos cada matriz de transformao de elo:

Compute todas as individuaisMultiplicando todas as matrizes individuais de links:

Temos finalmente:

Equaes cinemticas do PUMAOnde:

Cinemtica direta

Cinemtica diretaPermite, a partir dos valores das coordenadas de juntas, calcular a posio do manipulador.Usado para o controle do manipulador.O problema:Determine a posio da ferramenta dados os valores das juntas 1, 2,3, 4, 5, n Soluo: Basta calcular a matriz cinemtica.

Exemplo algbrico: Rob 1RO Rob 1R possui apenas uma junta rotacional o pndulo simples...

Equaes para o Rob 1Ra = l1 cos (1 )b = l1 sin (1 ) = 1(a,b)l1

Equaes para o Rob 2Ra = l1 cos (1 ) + l2 cos(1 + 2)b = l1 sin (1 ) + l2 sin (1 + 2) = 1 + 2

Equaes para o Rob 3RREFERENCEPOINTl1l2l3q3q2q1f(x,y)xy

Equaes para o Rob RP

Equaes para um rob PRRRPalletizador da Adept.

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ConclusoModelagem do manipulador relativamente simples.Modelo D-H uma receita de como modelar o rob.Cinemtica direta simples.

Fim prxima aula (de teoria)How do I put my hand here?