Modelos Probabilisticos Discretos

Ricardo Ehlersehlers@icmc.usp.br

Departamento de Matematica Aplicada e EstatısticaUniversidade de Sao Paulo

1 / 30

A distribuicao Uniforme Discreta

Suponha um experimento com um numero finito de possıveisresultados, todos com a mesma probabilidade de ocorrer. Definauma v.a. X cujos possıveis valores {x1, . . . , xk} estao associadosaos resultados deste experimento. Entao,

P(X = xi ) =1

k, i = 1, . . . , k.

E (X ) =1

k

k∑i=1

xi

Var(X ) =1

k

k∑i=1

[xi − E (X )]2 =1

k

[k∑

i=1

x2i − kE (X )2

]

2 / 30

A distribuicao de Bernoulli

▶ Estamos interessados na ocorrencia de um sucesso ou falhacom

P(sucesso) = p e P(fracasso) = 1− p

▶ Define-se a variavel aleatoria,

X =

{1, se ocorre sucesso0, se ocorre fracasso

▶ A funcao de probabilidade fica,

P(X = x) =

{px(1− p)1−x se x ∈ {0, 1}

0 caso contrario.

3 / 30

Dizemos que X tem distribuicao de Bernoulli com parametro p,

X ∼ Bernoulli(p), 0 < p < 1.

E (X ) = 1× P(X = 1) + 0× P(X = 0) = p

E (X 2) = 1× P(X = 1) + 0× P(X = 0) = p

Var(X ) = E (X 2)− E 2(X ) = p − p2 = p(1− p).

4 / 30

A distribuicao Binomial

▶ Sejam n ensaios de Bernoulli independentes, com n fixo eP(sucesso) = p.

▶ Seja X o numero total de sucessos obtidos, independente daordem em que eles ocorrem.

▶ A variavel aleatoria X tem distribuicao Binomial comparametros n e p,

X ∼ Binomial(n, p), 0 < p < 1.

5 / 30

Funcao de probabilidade,

P(X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k

=n!

k!(n − k)!pk(1− p)n−k , k = 0, 1, . . . , n

E (X ) =n∑

k=0

k

(n

k

)pk(1− p)n−k = np

Var(X ) = np(1− p)

ϕX (t) = (p et + 1− p)n

6 / 30

Representacao Alternativa

Sejam X1, . . . ,Xn variaveis aleatorias independentes eidenticamente distribuidas tais que

Xi ∼ Bernoulli(p), i = 1, . . . , n.

Entao,

X =n∑

i=1

Xi ∼ Binomial(n, p).

7 / 30

0 1 2 3 4 5

p = 0.2

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5

p = 0.5

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5

p = 0.7

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 1 2 3 4 5

p = 0.9

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

8 / 30

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.2

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.5

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.7

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.9

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

9 / 30

0 13 28 43 58 73 88

p = 0.2

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 13 28 43 58 73 88

p = 0.5

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.02

0.04

0.06

0 13 28 43 58 73 88

p = 0.7

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 13 28 43 58 73 88

p = 0.9

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

10 / 30

Exemplo. Em uma linha de montagem estima-se que a proporcaode itens defeituosos e aproximadamente 0.1.

▶ Assume-se que esta proporcao e (aproximadamente) constanteao longo do processo.

▶ 20 itens sao selecionados de forma independente.

▶ Calcular P(no maximo 2 itens defeituosos), o numero mediode defeituosos e sua variancia.

11 / 30

Definindo a variavel aleatoria X como o numero de itensdefeituosos a P(no maximo 2 itens defeituosos) e dada por,

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

=

(20

0

)0.10 0.920 +

(20

1

)0.11 0.919 +

(20

2

)0.12 0.918

= 0.1216 + 0.2702 + 0.2852 = 0.677.

E (X ) = np = 2

Var(X ) = np(1− p) = 1.8

12 / 30

Experimentos nao binomiais

▶ Lancar um dado ate que apareca o numero 6. (Numero derepeticoes nao e fixo).

▶ Testar itens em um lote ate encontrar 5 defeituosos.

▶ De um conjunto de 20 prontuarios de pacientes dos quais 5sofreram infarto sortear 3 sem reposicao e contar quantossofreram infarto.

▶ De um lote de itens manufaturados retirar 15 itens semreposicao e verificar quantos sao defeituosos e naodefeituosos. (Ensaios nao sao independentes).

▶ Calcular a probabilidade de ganhar na Mega-Sena (apostadorescolhe 7 dezenas dentre 60).

13 / 30

Distribuicao Hipergeometrica

Considere um experimento que resulta em ensaios de Bernoullidependentes. Uma forma de induzir dependencia consiste emamostrar sem reposicao de uma populacao finita.

Suponha que temos uma amostra e uma populacao tais que,

▶ Populacao: tem M elementos do tipo I, N −M do tipo II.

▶ Amostra: tem k elementos do tipo I, n − k do tipo II.

Suponha que itens sao sorteados sem reposicao.

Seja a v.a. X o numero de elementos do tipo I na amostra.

14 / 30

Dizemos que X tem distribuicao hipergeometrica com funcao deprobabilidade,

P(X = k) =

(M

k

)(N −M

n − k

)(N

n

) ,

k = max(0, n − (N −M)), . . . ,min(M, n).

E (X ) = nM

N= np

Var(X ) = nM

N

N −M

N

(1− n − 1

N − 1

)= np(1− p)

(1− n − 1

N − 1

).

15 / 30

▶ Se n = 1 entao k = 0 ou k = 1,

P(X = 1) =

(M

1

)(N −M

0

)(N

1

) =M

N, X ∼ Bernoulli(M/N).

▶ Se os itens forem sorteados com reposicao,

X ∼ Binomial

(n,

M

N

).

16 / 30

Exemplo. Um fabricante garante que produz 10% de itensdefeituosos. De um lote com 100 itens serao selecionados 5 aoacaso, sem reposicao. Qual a probabilidade de nenhum serdefeituoso?

Populacao: N = 100, M=10 (itens defeituosos)Amostra: n = 5, k = 0X : numero de defeituosos na amostra.

P(X = 0) =

(10

0

)(90

5

)(100

5

) ≈ 0, 584

E (X ) = 5× 0.1 = 0.5

Var(X ) = 5× 0.1× 0.9

(1− 5− 1

100− 1

)≈ 0, 4318

17 / 30

0 1 2 3 4 5

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

18 / 30

Distribuicao Geometrica

▶ Suponha que ensaios de Bernoulli sao realizados de formaindependente e com a mesma probabilidade de sucesso (p).

▶ Seja X o numero de ensaios necessarios antes de ocorrerprimeiro sucesso. Por exemplo,

▶ Numero de inspecoes necessarias antes de encontrar-se umitem defeituoso em um lote.

▶ Numero de nascimentos antes de nascer um menino.

19 / 30

Dizemos que X tem distribuicao Geometrica com parametro p,

X ∼ Geometrica(p), 0 < p < 1,

com funcao de probabilidade,

P(X = k) = (1− p)kp, k = 0, 1, 2, . . . .

E (X ) =1− p

p

Var(X ) =1− p

p2.

20 / 30

Exemplo. Um motorista ve uma vaga de estacionamento em umarua. Ha 5 carros na frente dele, e cada um deles tem probabilidade0.2 de tomar a vaga. Qual a probabilidade da vaga ser tomadapelo carro que esta imediatamente a frente dele?

Seja a v.a. X o numero de carros que passam pela vaga antes queela seja tomada (sucesso). Cada motorista toma a vaga ou nao deforma independente. Entao,

P(X = 4) = (0.8)4 0.2 = 0.08192.

E (X ) = 0.8/0.2 = 4

Var(X ) = 0.8/0.04 = 20

21 / 30

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.2

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.5

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.7

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 3 6 9 12 16 20

p = 0.9

Pro

babi

lidad

es

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

22 / 30

Falta de memoria

Se X e uma variavel aleatoria com distribuicao Geometrica,

P(X ≥ j + k|X ≥ j) = P(X ≥ k).

Definicao alternativa. Seja Y o numero de ensaios ate ocorrer oprimeiro sucesso. Entao Y = X + 1,

P(Y = j) = (1− p)j−1p, j = 1, 2, . . . .

23 / 30

Distribuicao Binomial Negativa

Seja X o numero de ensaios de Bernoulli independentes antes deocorrerem r sucessos.

X tem distribuicao de binomial negativa com parametros r e p,denotando-se X ∼ BN(r , p). Sua funcao de probabilidade e dadapor,

p(x |r , p) =(r + x − 1

x

)pr (1− p)x , x = 0, 1, . . .

para r ≥ 1 e 0 < p < 1.

E (X ) =r(1− p)

p

V (X ) =r(1− p)

p2.

Quando r = 1, X ∼ Geometrica(p). 24 / 30

A distribuicao de Poisson

Usada para modelar o numero de ocorrencias de um certofenomeno, durante um intervalo fixo de tempo ou regiao fixa doespaco. Exemplos,

▶ o numero de chamadas recebidas por uma central telefonicapor hora,

▶ o numero de defeitos por unidade de comprimento de uma fitamagnetica,

▶ o numero de nmetoides encontrados por unidade de superfıciede solo,

▶ o numero diario de novos casos de cancer de mama, etc.

25 / 30

Seja a variavel aleatoria X o numero de ocorrencias por intervalofixo (de tempo ou espaco). Dizemos que X tem distribuicao dePoisson com parametro λ,

X ∼ Poisson(λ), λ > 0,

com funcao de probabilidade,

P(X = k) =λke−λ

k!, λ > 0, k = 0, 1, . . . .

26 / 30

E (X ) =∞∑k=0

kλke−λ

k!= λ

Var(X ) =∞∑k=0

(k − E (X ))2λke−λ

k!= λ

lembrando que

ex =∞∑k=0

xk

k!

27 / 30

0 2 4 6 8 10

λ = 1

Pro

babi

lidad

es

0.000.050.100.150.200.250.300.35

0 2 4 6 8 10

λ = 2

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 11 14

λ = 5

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.05

0.10

0.15

0 4 8 12 17 22 27

λ = 15

Pro

babi

lidad

es

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

28 / 30

Exemplo. Um vendendor de seguros vende em media 3 apolicespor semana. Calcule a probabilidade dele vender 2 ou mais apolicesnuma dada semana.

Definindo a variavel aleatoria X o numero de apolices vendidas porsemana e assumindo que X ∼ Poisson(λ) segue que λ = 3 e,

P(X ≥ 2) = 1− P(X < 2) = 1− [P(X = 0) + P(X = 1)]

= 1− 30e−3

0!− 31e−3

1!≈ 0.8

29 / 30

Considerando 5 dias uteis na semana, calcule a probabilidade delevender 1 apolice num dado dia.

O numero medio de apolices vendidas por dia e 3/5=0.6.Definindo a variavel aleatoria Y o numero de apolices vendidas pordia, e assumindo que Y ∼ Poisson(θ) entao θ = 0.6 e,

P(Y = 1) =0.61e−0.6

1!≈ 0.3293.

30 / 30