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Otimização de geometria e de seção em treliças:validação experimental como emprego de

estruturas Espaguete(Trusses optimization of cross-sections and geometry: numeral and experimental

analysis of Spaghetti bridges)

Moacir Kripka1

Maiga Marques Dias2

Guilherme Fleith de Medeiros3

Em função da grande diversidade de configurações possíveis, seja para superar um determinadovão, seja para resistir a um determinado carregamento, as treliças constituem um campobastante fértil ao emprego de técnicas de otimização. Com o emprego dessas técnicas, busca-se quantificar o mínimo de material necessário para que a estrutura suporte um determinadocarregamento com a devida segurança. Os problemas de otimização de treliças são classificadosbasicamente em três categorias: otimização de seções transversais, de geometria e de topologia.O presente trabalho apresenta um experimento desenvolvido na Universidade de Passo Fundo,através do qual objetivou-se a validação de estudos numéricos envolvendo a otimização deseção e de geometria de treliças. Inicialmente, foram efetuadas diversas simulações com oemprego de um programa desenvolvido para a otimização de treliças pelo Método doRecozimento Simulado (Simulated Annealing). Na seqüência, a partir dos resultados obtidos,foram projetadas e construídas duas estruturas treliçadas constituídas unicamente de espaguetee cola, empregando-se com essa finalidade as características mecânicas fornecidas por González,Morsch e Masuero. Os ensaios efetuados evidenciaram a significativa melhora no desempenhoda estrutura projetada com o emprego da otimização.

Palavras-chave: otimização; treliças; experimental; espaguete.Keywords: optimization; trusses; experimental.

1 Doutor em Estruturas, Professor do Programa de Pós-Graduação em Engenharia e do Curso de Engenharia Civil da Universidade de Passo Fundo – UPF - Campus I – C.P. 611- 99001-970 - Passo Fundo, RS, Brasil. [email protected] Acadêmica do Curso de Engenharia Civil da Universidade de Passo Fundo, Bolsista PIBIC/UPF. [email protected] Acadêmico do Curso de Engenharia Civil da Universidade de Passo Fundo, Bolsista PIBIC/CNPq. [email protected].

1 INTRODUÇÃO

As estruturas conhecidas como treliças possu-em um vasto campo de aplicação na engenharia, sen-do muito utilizadas na construção de pontes (rodovi-árias e ferroviárias), como estruturas de cobertura (emresidências, indústrias, estádios, etc), em torres detransmissão de energia, entre diversos outros usos.São construídas usualmente em madeira ou aço, sen-do relativamente leves e especialmente indicadas parasuperar grandes vãos ou cargas elevadas. Nesse con-texto, as treliças tornam-se uma solução econômica eprática. Fundamentalmente, as treliças são constituí-das de barras retas interligadas entre si, apenas nasextremidades, por meio de nós articulados. Sendo ascargas aplicadas somente nessas junções, resultam

como esforço solicitante nos elementos apenas for-ças normais, ou seja, os esforços axiais de tração oucompressão. Do ponto de vista estrutural, as treliçaspodem ser planas ou espaciais. Em relação aos ele-mentos que as formam, os mesmos podem ser classi-ficados, conforme a sua disposição na estrutura, basi-camente em três categorias: banzos (ou cordas),diagonais e montantes.

Devido à grande diversidade de soluções esta-ticamente possíveis para se vencer um determinadovão ou suportar um determinado carregamento, astreliças apresentam um campo bastante fértil ao em-prego de técnicas de otimização. Pelo fato da análisee dimensionamento de estruturas, de forma geral, seconstituir em processos iterativos, busca-se, com o usodessas técnicas, quantificar o mínimo de material ne-cessário sem o comprometimento da segurança es-trutural.

Recebido em: 20/11/2007; Aceito em: 06/08/2008. Educ. Tecnol., Belo Horizonte, v. 13, n. 1, p. 62-68, jan./abr. 2008

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Os problemas de otimização de treliças são dis-postos basicamente em três categorias: otimização dasseções transversais, da geometria e da topologia. Naprimeira situação, a topologia e a geometria dos ele-mentos estruturais são fixas, sendo apenasdimensionadas as características das seções transver-sais das barras. Neste caso, pode-se trabalhar com vari-áveis discretas, através de um conjunto de dimensõespré-definidas para as seções, ou variáveis contínuas,quando se trabalha com valores de seção dentro deum determinado intervalo. Na otimização da geome-tria, permite-se a modificação das coordenadas dos nóspara uma topologia pré-definida. Nessa situação tam-bém é comum facultar-se a modificação das caracterís-ticas das seções transversais. No caso da otimização datopologia, o número de elementos e as posições rela-tivas dos nós são idealizados com total liberdade deescolha. O processo de otimização de treliças podeapresentar uma ou mais das seguintes restrições bási-cas: deslocamento admissível (flecha), tensão máximade flambagem e tensão axial máxima.

O presente trabalho dá prosseguimento a estu-dos desenvolvidos na Universidade de Passo Fundorelativos à otimização de estruturas, e objetivou a vali-dação de estudos numéricos envolvendo a otimizaçãode seção e de geometria de treliças. Inicialmente, fo-ram efetuadas diversas simulações com o emprego deum programa desenvolvido pelo primeiro autor paraa otimização de treliças pelo Método do RecozimentoSimulado (Simulated Annealing). Na seqüência, a par-tir dos resultados obtidos, foram projetadas econstruídas duas estruturas treliçadas constituídas uni-camente de espaguete e cola, empregando-se com essafinalidade as características mecânicas fornecidas porGonzález, Morsch e Masuero (2005).

Os itens seguintes deste trabalho descrevem ametodologia empregada no estudo, bem como osresultados e conclusões decorrentes.

2 METODOLOGIA

2.1 Sistema computacional para a otimização detreliças

De forma geral, um problema de otimizaçãopode ser descrito como:

minimizar (2.1)

sujeito a (2.2)

(2,3)

(2.4)

onde f designa a função objetivo e X = ( x1 , x

2 , ... x

n )T

consiste no vetor das variáveis de projeto. As demaisfunções são as chamadas restrições do problema (res-pectivamente, restrições de desigualdade g, de igual-dade h e restrições laterais, ou canalizadas, com limi-te inferior l e limite superior u). As funções envolvi-das no problema podem conter as variáveis de proje-to de forma implícita ou explícita, com as variáveispodendo assumir valores discretos ou contínuos. Alémdisso, tanto a função objetivo como as restrições po-dem ser lineares ou não-lineares.

As diversas técnicas de programação matemáti-ca para otimização de estruturas possuem grandes li-mitações no que diz respeito a suas aplicações emproblemas práticos, devido ao fato das funções ne-cessi tarem apresentar característ icas comoconvexidade e continuidade (tanto da função comode suas derivadas). As funções que envolvem o cálcu-lo de estruturas, ao contrário, usualmente sãodescontínuas e não-convexas (apresentando váriospontos de ótimo). Para problemas dessa natureza, oSimulated Annealing apresenta-se como uma boa al-ternativa. O Simulated Annealing, ou Método doRecozimento Simulado, consiste em uma meta-heurística desenvolvida em analogia ao processo me-cânico de recozimento de metais (KIRKPATRICK, 1983)tendo se mostrado bastante competitivo com outrosmétodos mais amplamente empregados e desenvolvi-dos com a mesma finalidade, tais como os AlgoritmosGenéticos. Uma descrição mais detalhada do méto-do, bem como de sua aplicação específica à otimizaçãode treliças, pode ser encontrada em Kripka (2004) ouem Kripka e Drehmer (2005).

O processo de otimização de treliças foi efetu-ado utilizando-se um sistema computacional desen-volvido pelo primeiro autor deste trabalho, o qualassocia a análise de estruturas reticuladas pelo Méto-do dos Deslocamentos com o Simulated Annealing.Na implementação do sistema, o problema deminimização do peso de treliças foi formulado daseguinte forma:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

i

n

ii LAWyAf ∑

1

),(=

== ρ

h k ( x i ) = 0 k = 1, l

f ( x i ) i = 1, n g j ( x i ) ≤ 0 j = 1, m

x i l ≤ x i ≤ x i u

ai σσ ≤

ai uu ≤

{ }m1 a,...aSA =∈

ui

l yyy ≤ ≤

Educ. Tecnol., Belo Horizonte, v. 13, n. 1, p. 62-68, jan./abr. 2008

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Na função objetivo W é o peso total da treliça,o qual é função da área da seção transversal (A) e dascoordenadas dos nós da treliça (y). Ainda nessa fun-ção ρ é o peso específico do material e L é o compri-mento do elemento, sendo n o número total de ele-mentos. Em cada elemento tem-se como restrição quea tensão atuante deve ser menor ou igual à tensão

,

a qual assume o menor valor entre a tensão admissíveldo material e a tensão de flambagem do elemento. Narestrição seguinte, u

i é o deslocamento de cada nó, e

ua é o deslocamento admissível. A restrição (2.8) indica

que a área da seção deve assumir um valor discreto, apartir de uma lista de m candidatos. Por fim, a últimarestrição (2.9) impõe limites para as coordenadas decada nó.

2.2 Otimização aplicada ao dimensionamento depontes treliçadas de espaguete

Com o objetivo de comprovar experimental-mente a economia propiciada pelo emprego de téc-nicas de otimização no dimensionamento de treliças,optou-se por efetuar a construção de dois modeloscompostos unicamente de espaguete e cola. A opçãopor estes materiais se deveu a uma iniciativa dos alu-nos bolsistas (segundo e terceiro autores do presen-te artigo), a partir do conhecimento da experiênciade diversas instituições de ensino envolvendo o pro-jeto, a construção e o ensaio destrutivo de pontestreliçadas de espaguete. Buscava-se a execução de umexperimento simples, de custo reduzido e de fácilreprodução.

Numa pesquisa preliminar, constatou-se que ainiciativa de promover competições de pontes de es-paguete em instituições de ensino de engenharia re-monta aos anos 80. No Brasil, até onde se sabe, aUniversidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)é a pioneira nesse tipo de evento, com início em 2004.No projeto e construção dos modelos, optou-se porempregar as dimensões e os parâmetros utilizados nascompetições realizadas na UFRGS, os quais são deta-lhados em González, Morsch e Masuero (2005).

O objetivo geral das competições de pontesde espaguete consiste na construção de uma estrutu-ra treliçada capaz de vencer um vão de 1 metro, su-portando a maior carga possível, a ser aplicada nocentro do vão. A estrutura, composta unicamente deespaguete e cola, não deve exceder o peso total de750 gramas. A Fig. 1 apresenta os limites dimensionaisindicados, e que procuraram ser obedecidos nodimensionamento das pontes.

σi σa

FIGURA 1 - Limites dimensionais das pontes de espaguete.FONTE - González; Morsch; Masuero (2005).

O estudo utilizou as características do espague-te nº 7 da marca Barilla, também a partir dos valoresobtidos experimentalmente por González, Morsch eMasuero (2005), quais sejam:

Diâmetro médio de um fio: 1,8 mmÁrea da seção transversal de um fio: 2,545 x 10-2 cm2

Comprimento médio de cada fio: 25,4 cmPeso médio de cada fio inteiro: 1 gMódulo de Elasticidade Longitudinal: 3600 MPaPeso específico =15,2 KN/m³;Tensão admissível à tração =16,77 MPa

Para a determinação da tensão de flambagemfoi considerado que a forma da seção transversal dasbarras seria aproximadamente circular. As áreas dasseções foram analisadas como sendo variáveis discre-tas, podendo ser formadas com a união de 1 a 100fios de espaguete.

3 ANÁLISE NUMÉRICA

Na primeira parte deste projeto foram estu-dadas diversas configurações de treliças planas debanzos paralelos no que tange às dimensões das áre-as das seções transversais de seus elementos. Poste-riormente, ao se incluir as coordenadas nodais noconjunto das variáveis de projeto, observou-se quea estrutura ótima invariavelmente assumia a configu-ração de um arco.

As treliças de banzos paralelos estudadas fo-ram as dos tipos Warren, Howe, K e Pratt (Fig. 2).

γ admσ

Tipo K Warren

Pratt Howe

FIGURA 2 - Configurações de treliças analisadas.



A exemplo de estudos anteriores efetuadospara treliças metálicas empregando perfis laminados(KRIPKA E DREHMER, 2005) a treliça do tipo Warrenconduziu ao menor peso total da estrutura, conside-rando-se vãos e carregamentos variáveis, enquanto otipo K resultou no maior peso.

Com o objetivo de confirmar as conclusões ob-tidas, foi efetuada a otimização topológica de uma tre-liça gerada a partir da superposição das barras dos ti-pos anteriores, excetuando-se a do tipo K (Fig. 3). Essaestrutura base possui um total de 57 elementos.

A partir da análise da estrutura base, os ele-mentos submetidos às menores tensões iam sendoretirados. Em alguns casos, optou-se pela elimina-ção das barras submetidas à segunda menor tensão,evitando a geração prematura de uma estruturahipostática. Novamente, a estrutura final gerada,com ou sem a consideração da flambagem na for-mulação, conduziu ao modelo do tipo Warren. AFig. 4 ilustra algumas das configurações intermedi-árias obtidas.

FIGURA 3 - Dimensões e carregamentos considerados na análisetopológica.

51 barras 45 barras

43 barras 31 barras

29 barras 19 barras (Warren)

FIGURA 4 – Estruturas inicial, intermediárias e final geradas.

Na seqüência do estudo, agora apenas para atreliça do tipo Warren, passou-se a trabalhar com asdimensões dentro dos limites específicos para a cons-trução da treliça de espaguete, definidos anteriormen-te (Fig. 1). Além disso, o objetivo do projeto passoua ser não mais o de obter a estrutura de menor peso,e sim a que pudesse suportar o maior carregamentosem ultrapassar o peso limite de 750 gramas.

Dois modelos foram projetados, para posteri-or confecção:

a) Modelo 1: uma estrutura com a mesma se-ção transversal em todos os elementos;

b) Modelo 2: cada um dos elementos poderiaassumir uma distinta área da seção.

O problema de otimização de seções como va-riáveis discretas consiste num problema combinatório.Na busca do melhor valor possível para cada uma dasvariáveis de projeto, tem se o número total de possí-veis soluções S dado por

S = mn (3.1)

onde:m = número de seções transversais distintas (no es-tudo, m = 100);n = número de elementos com seções distintas(nocaso, n = 1 para o primeiro modelo, e igual ao nú-mero total de elementos para o modelo 2).

Embora ambas as estruturas finais possam ser con-sideradas otimizadas, pode-se observar que a análise domodelo 2 é de complexidade bastante superior.

Além das áreas das seções transversais, permitiu-se também a variação das coordenadas de todos os nósdo banzo superior da estrutura (variáveis contínuas).Com a inclusão destas novas variáveis, pôde-se entãoobservar a clara tendência de formação de um arco.

Uma vez que a seção transversal de um elemen-to dimensionado para resistir a um esforço de traçãopode ser significativamente menor do que a de umelemento submetido a um esforço de compressão demesma intensidade, buscou-se reduzir o comprimen-to da barras comprimidas centrais ao arco. Permitin-do que as coordenadas horizontais dos nós situadosno banzo inferior da treliça também variassem, cons-tatou-se que o deslocamento dos nós mais externosno sentido do centro do vão gerava uma significativaqueda do peso próprio da treliça para uma mesmacarga. Como, de testes anteriores, foi observado queo peso das uniões era significativo em relação ao pesototal da treliça, culminou-se com a união de todosesses nós em um único nó central.

Também com o objetivo de reduzir o númerode nós, as estruturas espaciais foram obtidas pelaunião das treliças planas pelos nós superiores do arco,resultando em 39 elementos e 15 nós. Os esforçosforam novamente determinados, agora numa análiseespacial, sendo efetuadas as necessárias correções nasseções dos elementos. Ambas as treliças espaciais fo-ram projetadas para um vão de 1,04 metros e largurade 0,05 metros. A máxima altura teórica foi de 18,45centímetros para a treliça com 1 único valor de seçãoe 29,93 centímetros para a de até 39 seções (uma se-ção distinta em cada elemento). As Fig. 5 e 6 apre-sentam os dois modelos analisados (com 1 e 39 se-ções), respectivamente. As coordenadas dos nós es-tão relacionadas na Tab. 1.



FIGURA 5 - Treliça com 1 tipo de seção composto de 39 elementos(modelo 1).

FIGURA 6 - Treliça com n tipos de seção composto de 39 elementos(modelo 2).

nó Coord. X Coord. Y

(modelo 1)

Coord. Y

(modelo 2)

Coord. Z

1 0 0 0 0

2 52 0 0 0

3 104 0 0 2,5

4 10,4 5,95 10,71 2,5

5 20,8 10,86 18,82 2,5

6 31,2 15,28 23,76 2,5

7 41,6 17,33 27,62 2,5

8 52 18,45 29,93 2,5

9 62,4 17,33 27,62 2,5

10 72,8 15,28 23,76 2,5

11 83,2 10,86 18,82 2,5

12 93,6 5,95 10,71 5

13 0 0 0 5

14 52 0 0 5

15 104 0 0 0

TABELA 1Coordenadas dos nós das estruturas

espaciais (em cm)

A área da seção transversal calculada para omodelo 1 foi composta por 12 fios de massa. Após aanálise da estrutura como espacial, as seções foramredimensionadas para 10, 11 e 13 fios de espaguetenos elementos tracionados, e para 17 fios nas barrascomprimidas. Já para o modelo 2 as seções transver-sais variaram de 2 a 39 fios. Estimando o peso decada nó em 20 gramas, os pesos esperados para asestruturas seriam de 749 gramas para a ponte domodelo 1 e 748 gramas para a do modelo 2.

4 CONFECÇÃO E ENSAIO DOS MODELOS

Para a confecção dos dois modelos considera-dos foram construídos gabaritos em escala natural daponte para auxílio na montagem, assim como se cria-ram estruturas a fim de manter o nível e o alinhamen-to da estrutura, como mostrado nas Fig. 7 a 9.

FIGURA 7 - Construção de barras sobre gabarito em papel.

FIGURA 8 - Construção da ponte com auxílio desuportes.



FIGURA 9 - Alinhamento e nivelamento da estrutura de espaguete.

As Fig. 10 e 11 apresentam, respectivamente,as pontes dos modelos 1 e 2 já pontas para o ensaio.As mesmas apresentaram peso próprio de 580,86g e692,25g, respectivamente. O peso abaixo do espera-do decorre de terem sido superestimados os pesosdos nós, especialmente no modelo 1, para o qual amaior uniformidade nas dimensões das seções trans-versais propiciou nós de menores dimensões.

FIGURA 10 – Modelo 1.

FIGURA 11 – Modelo 2.

Após a confecção, as pontes foram submetidas aensaios destrutivos. Uma vez aplicado um suporte de3,4 kgf no elemento central de cada treliça, pesos fo-ram sendo colocados nesse suporte a intervalos regula-res de tempo, até o colapso da estrutura. Foi considera-da como carga de colapso aquela suportada por mais de10 segundos. Os pesos finais, bem como a correspon-dente carga de colapso, estão listados na Tab. 2.

As cargas de colapso obtidas ficaram bastante abai-xo das cargas teóricas. Atribui-se esse fato, além das in-certezas relativas aos materiais, a forma de aplicação docarregamento e as imprecisões geométricas, também àsseveras variações climáticas ocorridas durante a cons-trução e os ensaios. De qualquer forma, pode-se obser-var que a estrutura do modelo 2, para a qual a otimizaçãofoi efetuada de forma mais efetiva (maior número devariáveis de projeto), obteve um desempenho superior(relação carga de ruptura / peso próprio cerca de 103,9%maior que a obtida para o modelo 1).

5 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS

As técnicas de otimização se constituem em umaeficiente ferramenta auxiliar no projeto estrutural, aopermitirem a redução no peso da estrutura sem com-prometimento da segurança. No caso específico de tre-liças, novas topologias podem ser geradas. Dentrodesse contexto, o Método do Recozimento Simulado,ou Simulated Annealing, apresenta um bom desempe-nho, ao permitir que se escape dos mínimos locaisdurante o processo de otimização.

A construção e ensaio das pontes de espaguetepermitiram a comprovação prática dos resultados nu-méricos, através da obtenção de uma relação resistênciapeso muito mais elevada na estrutura na qual foi consi-derado um número maior de variáveis de projeto.

O estudo desenvolvido evidencia os benefí-cios do emprego da otimização na análise de es-truturas. Como experimento acadêmico, foi rece-bido pelos alunos envolvidos no projeto de for-ma bastante positiva. O presente projeto deu ori-gem a implantação da Competição de Pontes deEspaguete como uma atividade a ser desenvolvida

Peso (kgf) Carga (kgf) Relação Carga / Peso

Modelo 1 0,581 16,30 27,20

Modelo 2 0,692 38,40 55,47

TABELA 2Pesos e cargas de colapso finais



de forma regular na Universidade de Passo Fundo (http://usuarios.upf.br/~mkripka/competicao/index.htm). AFig. 12 mostra a treliça vencedora da primeira competi-ção, durante a aplicação do carregamento. Essa estrutu-ra resistiu a uma carga de 117,4 kgf.

6 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao CNPq e à UPF peloauxílio fornecido ao desenvolvimento deste projetona forma de bolsas de iniciação científica.

7 ABSTRACT

The analysis and dimensioning of trussesconstitutes an interesting field to the application ofoptimization techniques, especially due to the greatdiversity of possible structural configurations. Withthe aim of these techniques, the minimum amount ofmaterial needed to support the applied loads safelycan be found. To achieve this objective, the

optimization problem can be classified in one of threemain categories: optimization of cross-sectionaldimensions, geometrical and topological optimization.This work presents an experimental study, developedat University of Passo Fundo, aiming to validatenumerical studies related to simultaneous cross-sectionand geometrical optimization. Initially, severalcomputational simulations were performed with asoftware developed to optimize trusses by employingthe Simulated Annealing Method. As result, two trussesstructures were builttem, by employing only spaghetti(pasta) and glue (with the mechanical properties ofthe materials given by González, Mosch and Masuero).The experimental analysis has shown betterperformance than the structure designed with the aimof optimization techniques.

8 REFERÊNCIAS

DIAS, M. M.; MEDEIROS, G. F.; KRIPKA, M. Otimizaçãode seções e de geometria no dimensionamento detreliças planas de banzos paralelos. In: XVI Mostra deIniciação Científica da Universidade de Passo Fundo,2006, Passo Fundo, RS. Anais da XVI Mostra de Inicia-ção Científica da UPF, 2006.

GONZÁLEZ, L. A. S.; MORSCH, I. B.; MASUERO J. R.?Didactic Games in Engineering Teaching - Case:Spaghetti Bridges Design and Building Contest. OuroPreto: 18th International Congress of MechanicalEngineering, 2005. Disponível em: <http://www.ppgec.ufrgs.br/segovia/espaguete/arquivos/COBEM2005-1756.pdf >. Acesso em: 1 jul. 2007.

KIRKPATRICK, S.; GELATT, C. D.; VECCHI M.P.Optimization by Simulated Annealing. Science 220,4598, p.p. 671-680, 1983.

KRIPKA, M. Discrete optimization of trusses bysimulated annealing. J. Braz. Soc. Mech. Sci & Eng.,v. 26, n. 2, p. 170-173, Apr./Jun. 2004.

KRIPKA, M. & DREHMER, G.A., 2005. Determinaçãoda geometria e configuração ótimas em treliçasmetálicas de banzos paralelos. In: Zacarias M.Chamberlain e Moacir Kripka. Construção Metálica:Estudos e Pesquisas Recentes. Passo Fundo: UPFEditora, pp. 100-119.

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FIGURA 12 – Ponte vencedora da I Competição de Pontes deEspaguete da UPF.


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