revisão avançada de gravitação

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Lista de questões avançada para revisão de gravitação. Contem algumas questões de livros usados nos cursos de física e seletivas de física.

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Page 1: Revisão avançada de Gravitação

Lista 6: Gravitação.

Professor: Carlos Eduardo

1. (ITA - 1989) Comentando as leis de Kepler para o

movimento planetário, um estudante escreveu:

I- Os planetas do sistema solar descrevem elipses em

torno do Sol que ocupa o centro dessas elipses.

II- Como o dia (do nascer ao pôr-do-Sol) é mais curto no

inverno e mais longo no verão, conclui-se que o vetor

posição da Terra (linha que une esta ao Sol) varre uma

área do espaço menor no inverno do que no verão para

o mesmo período de 24 horas.

III- Como a distância média da Terra ao Sol é de

1,50.108 km e a de Urano ao Sol é de 3,00.109km, pela 3a

lei de Kepler conclui-se que o “ano” de Urano é igual a

20 vezes o ano da Terra.

IV- As leis de Kepler não fazem referência à força de

interação entre o Sol e os planetas.

Verifique quais as afirmações que estão corretas e

assinale a opção correspondente.

a) I e IV estão corretas.

b) Só a I está correta.

c) II e IV estão corretas.

d) Só a IV está correta.

e) II e III estão corretas.

2. (ITA - 2000). Uma casca esférica tem raio interno R1,

raio externo R2 e massa M distribuída uniformemente.

Uma massa puntiforme m está localizada no interior

dessa casca, a uma distância d de seu centro ( R1 < d <

R2). O módulo da força gravitacional entre as massas é:

a) 0

b) GMm / d2

c) GMm / (R3- d3)

d) GMm / (d3- R31)

e) GMm (d3- R31) / d2 (R3

2 -R31)

3. (ITA - 1999) Suponha um cenário de ficção científica

em que a Terra é atingida por um imenso meteoro. Em

conseqüência do impacto, somente o módulo da

velocidade da Terra é alterado, sendo V0 seu valor

imediatamente após o impacto, como mostra a figura

abaixo. O meteoro colide com a Terra exatamente na

posição onde a distância entre a Terra e o Sol é mínima

(distância AO = R na figura). Considere a atração

gravitacional exercida pelo Sol, tido como referencial

inercial, como a única força de interação que atua sobre

a Terra após a colisão, e designe por M a massa do Sol e

por G a constante de gravitação universal. Considere

ainda que o momento angular da Terra seja conservado,

isto é, a quantidade de módulo m sen ( )

permanece constante ao longo da nova rajetória elíptica

da Terra em torno do sol (nessa expressão, m é a massa

da Terra, r é o módulo do vetor posição da Terra em

relação ao Sol, o módulo da velocidade da Terra e o

ângulo entre r e ). A distância (OB), do apogeu ao

centro do Sol, da trajetória que a Terra passa a percorrer

após o choque com o meteoro, é dada pela relação:

a)

b)

c)

d)

e) ( ) R

4. (ITA - 2003) Sabe-se que a atração gravitacional da lua

sobre a camada de água é a principal responsável pelo

aparecimento de marés oceânicas na Terra,

supostamente esférica, homogeneamente recoberta por

uma camada de água.

Nessas condições, considere as seguintes afirmativas:

I. As massas de água próximas das regiões A e B

experimentam marés altas simultaneamente.

II. As massas de água próximas das regiões A e B

experimentam marés opostas, isto é, quando A tem maré

alta, B tem maré baixa e vice-versa.

III. Durante o intervalo de tempo de um dia ocorrem

duas marés altas e duas marés baixas.

Page 2: Revisão avançada de Gravitação

Então está(ão) correta(s), apenas:

a) a afirmativa I

b) a afirmativa II

c) a afirmativa III

d) as afirmativas I e II

e) as afirmativas I e III

5. (ITA - 2005) Suponha que na Lua, cujo raio é R, exista

uma cratera de profundidade R/100, do fundo da qual

um projétil é lançado verticalmente para cima com

velocidade inicial v igual à de escape da cratera.

Determine literalmente a altura máxima alcançada pelo

projétil, caso ele fosse lançado da superfície da Lua com

aquela mesma velocidade inicial v.

6. (ITA-2009) Desde os idos de 1930, observações

astronômicas indicam a existência da chamada matéria

escura. Tal matéria não emite luz, mas a sua presença é

inferida pela influência gravitacional que ela exerce

sobre o movimento de estrelas no interior de galáxias.

Suponha que, numa galáxia, possa ser removida sua

matéria escura de massa específica ρ > 0, que se encontra

uniformemente distribuída. Suponha também que no

centro dessa galáxia haja um buraco negro de massa M,

em volta do qual uma estrela de massa m descreve uma

órbita circular. Considerando órbitas de mesmo raio na

presença e na ausência de matéria escura, a respeito da

força gravitacional resultante exercida sobre a estrela

e seu efeito sobre o movimento desta, pode-se afirmar

que:

a) é atrativa e a velocidade orbital de m não se altera

na presença da matéria escura.

b) é atrativa e a velocidade orbital de m é menor na

presença da matéria escura.

c) é atrativa e a velocidade orbital de m é maior na

presença da matéria escura.

d) é repulsiva e a velocidade orbital de m é maior na

presença da matéria escura.

e) é repulsiva e a velocidade orbital de m é menor na

presença da matéria escura.

7. (ITA-2009) Lua e Sol são os principais responsáveis

pelas forças de maré. Estas são produzidas devido às

diferenças na aceleração gravitacional sofrida por

massas distribuídas na Terra em razão das respectivas

diferenças de suas distâncias em relação a esses astros. A

figura mostra duas massas iguais, m1 = m2 = m,

dispostas sobre a superfície da Terra em posições

diametralmente opostas e alinhadas em relação à Lua,

bem como uma massa m0 = m situada no centro da

Terra. Considere G a constante de gravitação universal,

M a massa da Lua, r o raio da Terra e R a distância entre

os centros da Terra e da Lua. Considere,

também, as forças produzidas pela Lua

respectivamente sobre as massas m0, m1, e m2.

Determine as diferenças

sabendo que deverá usar a aproximação

, quando < < < 1.

8. Calcule a energia potencial gravitacional total

associada a uma esfera homogênea de raio R e massa M.

Sugestão: imagine a esfera como sendo construída por

agregação de camadas sucessivas, como cascas de

cebola. Considere a variação de energia potencial

quando uma camada de espessura dr infinitesimal é

agregada a uma esfera de raio r, e integre sobre r.

9. Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira

em torno de um eixo vertical com velocidade escalar

constante, mantendo-se a uma distância d=0,5m do eixo;

o ângulo 𝜃 é igual a 30°. O fio passa sem atrito através

de um orifício O numa placa, e é puxado lentamente

para cima até que o ângulo 𝜃 passa a 60°.

a) Que comprimento do fio foi puxado?

b)De que fator variou a velocidade de rotação?

Page 3: Revisão avançada de Gravitação

10. Um pequeno corpo de massa m, ligado a um cordão

inextensível, se move sobre um plano horizontal liso. A

outra extremidade do fio está sendo arrastado para um

buraco O com uma velocidade constante. Encontre a

tensão da linha em função da distância r entre o corpo e

se o buraco se quando R = Ro a velocidade angular do

segmento é 𝜔0.

11. Use conservação de energia para mostrar que a

velocidade de um objeto em uma órbita elíptica satisfaz

a relação

𝑣2 = 𝐺𝑀(2

𝑟−

1

𝑎)

Onde r é a distância entre o corpo em órbita e o corpo

central de massa M.

12. Dois corpos (de massas m e M) interagindo através

de suas forças gravitacionais mútuas orbitam com a

mesma velocidade angular w em torno do seu centro de

massa C.

Mostre que neste caso, a lei de períodos de Kepler se

torna

𝑇2 =4𝜋2

𝐺𝑀𝑟3(1 +

𝑅

𝑟)2

13. Um satélite artificial se move ao redor da terra em

uma órbita circular de raio R. Como resultado de uma

ação de curta duração de um dispositivo de freio, a

velocidade do satélite diminui de tal forma que este

passa a se mover em uma órbita elíptica tangente a

superfície da terra. Calcule o tempo que o satélite leva

para pousar na superfície.

14. Calcule a velocidade de escape para um corpo de

massa m que parte do centro de um planeta de massa M

e raio R.

15. Duas partículas pontuais, cada um de massa m, estão

originalmente em repouso e separadas por uma

distancia d. Calcule o tempo necessário para que elas se

encontrem devido à influencia da gravidade.

16. (ITA) Uma estação espacial em forma de um toróide,

de raio interno R1, e externo R2, gira, com período P, em

torno do seu eixo central, numa região de gravidade

nula. O astronauta sente que seu “peso” aumenta de

20%, quando corre com velocidade constante v no

interior desta estação, ao longo de sua maior

circunferência, conforme mostra a figura. Assinale a

expressão que indica o módulo dessa velocidade.

17. (ITA) Uma estrela mantém presos, por meio de sua

atração gravitacional, os planetas Alfa, Beta e Gama.

Todos descrevem órbitas elípticas, em cujo foco comum

se encontra a estrela, conforme a primeira lei de Kepler.

Sabe-se que o semi-eixo maior da órbita de Beta é o

dobro daquele da órbita de Gama.

Sabe-se também que o período de Alfa é √2 vezes maior

que o período de Beta. Nestas condições, pode-se

afirmar que a razão entre o período de Alfa e o de Gama

é

18. Um escritor de ficção científica idealizou, em seu

primeiro livro do gênero, um planeta formado por um

líquido de densidade 𝜌 e raio R. Para que Rox 11-87, um

ser alienígena que adora explorar lugares diferentes,

possa “mergulhar” com sua nave espacial no planeta, ele

deseja saber como varia a pressão dentro do planeta.

a) Calcule a pressão a uma distancia r do centro do

planeta.

b) Calcule a pressão no centro do planeta.

Page 4: Revisão avançada de Gravitação

Dados: G - constante gravitacional.

19. Desde o infinito até a terra se move um fluxo

homogêneo de meteoritos, que contém 𝜂 partículas por

volume. A massa de cada meteorito vale m e a

velocidade no infinito vale 𝑣0. Achar a massa total da

substancia (meteórica) que se precipitará sobre a terra

durante um intervalo de tempo t. O raio da terra vale R

e a aceleração na superfície vale g.

20. Determine o tempo de queda da terra sobre o sol se

esta parasse derrepende.

21. Suponha que um satélite de comunicações

geossíncrono esteja em órbita na longitude de Chicago.

Você está em chicago e deseja capatar os sinais por ele

emitido. Em que direção deve-se apontar o eixo de sua

antena parabólica? A latitude de Chicago é 47,5°.

22. Considere um segmento de reta que liga o centro de

qualquer planeta do sistema solar ao centro do Sol. De

acordo com a 2º Lei de Kepler, tal segmento percorre

áreas iguais em tempos iguais.Considere, então, que em

dado instante deixasse

de existir o efeito da gravitação entre o Sol e o planeta.

Assinale a alternativa correta.

a) O segmento de reta em questão continuaria a

percorrer áreas iguais em tempos iguais.

b) A órbita do planeta continuaria a ser elíptica, porém

com focos diferentes e a 2ª Lei de Kepler continuaria

válida.

c) A órbita do planeta deixaria de ser elíptica e a 2ª Lei

de Kepler não seria mais válida.

d) A 2ª Lei de Kepler só é válida quando se considera

uma força que depende do inverso do quadrado das

distâncias entre

os corpos e, portanto, deixaria de ser válida.

e) O planeta iria se dirigir em direção ao Sol.

23. Um satélite é projetado no espaço com velocidade V0

a uma distancia r0 do centro da Terra pelo último

estágio de seu foguete de lançamento. A velocidade V0

foi projetada para colocar o satélite numa órbita circular

de raio r0. No entanteo, devido ao mau funcionamento

do controle, o satélite não é projetado horizontalmente,

mas num ângulo qualquer 𝛼 com a horizontal, e como

resultado é impelido numa órbita elíptica. Determine os

valores máximo e mínimo da distância do centro da

Terra ao satélite.

24. Um míssil é disparado do solo com velocidade v0,

formando um ângulo 𝛼 com a vertical. Se o míssil deve

atingir uma altitude máxima igual ao raio da Terra:

a) Mostre que o ângulo necessário 𝛼 é definido pela

relação

sin 𝛼 = 2√1 −1

2(𝑉𝑒𝑠𝑐

𝑉0

)2

b) Determinar os valores máximos e mínimos de V0.

25. Uma nave espacial tripulada por marcianos chega à

vizinhança da Terra (de massa 𝑀) seguindo uma órbita

hiperbólica cuja assíntota dista 𝑏 do centro da Terra.

Quando a nave se esncontrava a uma distância muito

grande da Terra, sua velocidade era 𝑣0 Qual a relação

entre 𝑣0, 𝑏 e a distância de perigeu 𝑎?

Page 5: Revisão avançada de Gravitação

Resp: 𝑣02 (

𝑏2

𝑎2 − 1) =2𝐺𝑀

𝑎

26. Numa esfera de chumbo de raio 𝑅, faz-se uma

cavidade esférica de tal modo a sua superfície toca a

superfície externa da esfera de chumbo e passa pelo

centro desta. A massa da esfera antes que a cavidade

fosse feita era 𝑀. Com que força, de acordo com a lei da

gravitação universal, a esfera de chumbo irá agora atrair

uma pequena esfera de massa 𝑚, que está à distância 𝑑

do centro da esfera de chumbo, sobre uma linha reta que

une os centros das esferas e da cavidade?

Resp: 𝐹 =𝐺𝑚𝑀

𝑑2 [1 −1

8(1−𝑅

2𝑑)

2]

27. A distância entre duas estrelas é igual a 10𝑎. As

massas das estrelas são iguais a 𝑀 e 16𝑀 e seus raios

iguais a 𝑎 e 2𝑎, respectivamente. Um corpo de massa 𝑚

é atirado da superfície da estrela maior em direção à

enor ao longo da reta que une os seus centros.

Determine a velocidade mínima necessária que deve ser

dada ao corpo para que ele atinja a superfície da estrela

menor.

𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑣𝑚í𝑛 =3√5

2(√

𝐺𝑀

𝑎)

28. Uma partícula é projetada da superfície da Terra com

uma velocidade igual Pa velocidade de escape do

planeta formando umângulo de 45° com a horizontal.

Determine o ângulo formado entre a velocidade e a

horizontal quando o objeto atinge uma altura em relação

Pa superfície da Terra igual a 𝑅.

Resp: 60°

29. Determine a força sobre uma massa m (ver figura abaixo) em função dos parâmetros em questão.

30. Na configuração abaixo, termine o potencial no centro da cavidade menor (de raio a). O centro da cavidade está a uma distancia d do centro da esfera de densidade homogenia e raio R.

31. Prove que se um veículo espacial viaja ao longo de uma trajetória parabólica com a Terra (ou algum outro planeta), em seu foco, a energia mecânica total do veículo é zero. 32. Uma nave espacial está circundando a Terra E ao longo de uma órbita elíptica. Como deve variar a velocidade da nave espacial no perigeu P para que no apogeu A a nave siga uma órbita circular?(aumentar ou diminuir)? Relacione os parâmetros que precisar.

32. Um foguete espacial com massa M = 12t está se movendo em torno da lua ao longo da órbita circular à altura de h = 100 km da superfície. Um mecanismo é ativado por um tempo curto para passar para a órbita de pouso lunar. A velocidade dos gases ejetados u = 104 m/s. O raio da lua RL = 1, 7·103 km, a aceleração da gravidade perto da gL de superfície de Lua = 1,7 m/s2

No ponto A, é dado ao foguete um impulso dirigido em direção ao centro da Lua, para colocar o foguete para a órbita de encontro à superfície da Lua no ponto C. Que quantidade de combustível é necessária nesse caso?

Page 6: Revisão avançada de Gravitação

Gabarito:

1.d

2.e

3.a

4.e

6.c

5. O corpo escapa da lua.

7. 𝐹1 =𝐺𝑚𝑀2𝑟

𝑅3 , 𝐹2 = −𝐺𝑚𝑀2𝑟

𝑅3 .

8. −3𝐺𝑀2

5𝑅

9.

10. 𝐹 =𝑚𝑤0

2𝑟04

𝑟3

15. 𝑡𝑒𝑛𝑐 =𝜋

4√

𝑑3

𝐺𝑀.

16. a

17. c

18. Resp: 𝑃 = (2

3) 𝐺𝜋𝜌2(𝑅2 − 𝑟2).

19. 𝜋𝑚𝑅2𝑣0𝑛(1 +2𝑔𝑅

𝑣02 )𝑡

20. Aproximadamente 65 dias.

21. 35,4°

22.a

23. 𝑟𝑚𝑖𝑛 = 𝑟0(1 − sin 𝛼), 𝑟𝑚𝑎𝑥 = 𝑟0(1 + sin 𝛼)

24. Demonstração