RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos63 ANLISE COMBINATRIA 1. Introduo A procura por tcnicas de contagem est diretamente relacionada evoluo cognitivadeumapessoa.Aprimeiratcnicamatemticaaprendidaporuma crianacontar,ouseja,enumeraroselementosdeumconjuntopara determinar quantos so os seu elementos. AAnliseCombinatrianosensinacomocontaraquantidade de agrupamentos feitos com os elementos de um conjunto. Osagrupamentospodemdiferenciarpelaquantidade,ordemepela natureza, e os elementos do agrupamento podem ser distintos ou repetidos. 2. Os princpios As operaes aritmticas so tambm motivadas (e aprendidas por crianas) atravs de sua aplicao a problemas de contagem. Aoperaodeadiosempreintroduzidaemconexocomumproblema decontagem.ImagineumconjuntoAcom3maseumconjuntoBcom5 peras. Quantos elementos teremos no conjunto AB?Esse exemplo ilustra um princpio bsico de contagem: Princpio Aditivo. 2.1 Princpio aditivo SeAeBsoconjuntosdisjuntos,compeqelementos, respectivamente, ento AB possui p + q elementos. Ou ainda, Seumaaocompostadeduasetapassucessivaseindependentes, sendoqueaprimeirapodeserfeitademmodose,paracadaumdestes,a segundapodeserfeitadenmodos,entoonmerodemaneirasderealizara primeira ou a segunda etapa m n + . Exemplos:. Formatted: Indent: First line:0.49"Formatted: HighlightFormatted: HighlightFormatted: Font: Times New Roman, 11 pt, BoldFormatted: Font: Times New Roman, 11 pt, BoldFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos64 E1) Vamos imaginar queuma pessoa estnum banco vazado por duas grandes avenidas: A e B. Imagine ainda que pela avenida A existam 4 portes de acesso aobancoepelaavenidaB,existam3.Dequantasformasumclientequese encontra dentro do banco pode sairdeledo mesmo? Bom, ele pode escolher sair pela avenida A ou B:

E.2)Imagine,agora,quenumasalah3homens(h1,h2eh3)e4mulheres (m1, m2, m3 e m4). De quantos modos possvel selecionar um casal (homem-mulher) ? fcil perceber que h 4 casais possveis com o homem h1 (h1m1, h1m2, h1m3 e h1m4), outros 4 com o homem h2 e, finalmente, 4 com o homem h3. Onmero de casais , portanto, 4 + 4 + 4= 12. Ou simplesmente, 34 = 12. EstaamotivaoparaoPprincpioFfundamentaldaCcontagem,tambm conhecido como Pprincpio Mmultiplicativo que diz:. 2.2PrincpioMultiplicativoouPrincpioFfundamentaldaCcontagem (PFC) Se uma ao composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feitadenmodos,entoonmerodemaneirasderealizaraao,isto,a primeira E a segunda etapas m.n. Dica:Pparanousaroprincpioerrado,quandovoctiverestiverinterpretando um problema force o conectivo (E, OU), pois E:e OU: + Repare Observe a diferena: Exemplos: Formatted: Font: Times New Roman, 11 pt, HighlightFormatted: Font: Times New Roman, 11 pt, HighlightFormatted: Font: BoldFormatted: Bulleted + Level: 1 + Aligned at:0.25" + Indent at:0.5"Formatted: Indent: First line:0.25"RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos65 E.1) Sevoctemquatrocamisaseseiscalasdiferentes,entoter4 6 24 =maneiras distintas de trajar-se, usando camisa E cala. E.2) Se voc tem quatro pares de sapatos e seis pares de tnis diferentes, ento ter4 6 10 +=maneiras distintas de calar-se, usando sapato OU tnis. E.3)ParafazerumaviagemdeidaEvoltaRecife-Petrolinadeavio,um passageiro tem a disposio 4 companhias areias. De quantos modos ele pode fazer sua escolha, sabendo que na volta no pode usar a companhia areia usada na ida? H 4 modos de escolher a companhia deIDAida E, depois disso, h 3 opes para a VOLTAvolta: 4 3. Arranjo Simples Soagrupamentosdeelementosdistintosquediferementresipela ordemoupelanatureza,ouseja,soproblemasdeescolhaemqueaordem importa. Exemplos: E1) Quantosnmeros de 2 algarismos distintos poderiam ser formados com os dgitos {1, 2, 3 e 5}? Escolhem-se 2 algarismos e percebe-se que, se mudar a ordem, muda o nmero (1221)., ou seja, a ordem importa.E2)Deumgrupode10estudantes,sorteiam-se2paraganharpresentes;,o primeiro receber um livro, o segundo uma viagem. De quantas formas o sorteio pode ser feito? Escolhem-se 2 estudantes (A e B) e percebe-se que se mudar a ordem,muda a escolha (

), ou seja, a ordem importa. Representao: n,pA : l-se arranjo simples de n elementos p a p. n,pn!A n (n 1) (n 2) ... (n p 1).(n p)!= = + Dica:Pproblemasqueenvolvemarranjospodemedevemserresolvidoscomo Princpio Fundamental da Contagem; portanto, , evite esta frmula. Formatted: HighlightFormatted: HighlightFormatted: Font: Bold, HighlightFormatted: Font: BoldFormatted: Font: Bold, HighlightFormatted: Font: Bold, HighlightFormatted: Font: BoldFormatted: List Paragraph, Bulleted + Level: 1 + Aligned at:0.25" + Indent at:0.5"Formatted: Indent: First line:0.25"RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos66 4. Combinao Simples Soagrupamentosdeelementosdistintosquediferementresipela natureza,. ou seja, so problemas de escolha em que a ordem no importa. Exemplos: E1) De quantas formas podem-se escolher 2 pessoas de um grupo de 5 pessoas (A, B, C, D, E) ? Escolhem-se2pessoasepercebe-seque,semudaraordem,nomudaa escolha, afinal se os escolhidos forem {A, B} a mesma coisa de {B, A}.E2) De um grupo de 10 estudantes, sorteiam-se 2 para ganhar presentes, ambos ganharam o livro Raciocnio Lgico em 7 LiesRACIOCNIO LGICO EM 7 LIES. De quantas formas o sorteio pode ser feito? Escolhem-se2estudantes(AeB)epercebe-seque,semudaraordem,no muda a escolha (

), ou seja, a ordem no importa. Representao: n,pC : l-se combinao simples de n elementos p a p. Cn,p =An,pp!=n!p!(n - p)! 5. Arranjo ou Combinao? Quandoestamosresolvendoproblemadeanlisecombinatria,devemos reconhecer quando envolve arranjos ou combinaes. Vamos usar os seguintes passos: a)escolherumagrupamentoqualquerquesatisfaaascondiesdo problema; b)trocarasposiesdoselementosdesseagrupamentoescolhido.Seo novoagrupamentoforumanovasoluodoproblema,ouseja,sea ordemforimportante,entotrata-sedeARRANJO,casocontrrio, trata-se de COMBINAO. Exemplos: Formatted: Font: BoldFormatted: Font: Bold, HighlightFormatted: Font: Bold, HighlightFormatted: Font: ItalicRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos67 E.1) Encontre todos os arranjos distintos dos objetos -, A e tomados 2 a 2. Resoluo: Os arranjos de -, A, tomados 2 a 2 so: (-,A),(-, ), (A, -), (A, ), (,-) e (,A). Note que(-,A)e (A, -) diferem pela ordem de seus elementos, enquanto (-, A) e (-, ) diferem pela natureza de seuselementos.Estaoporqudedizermosquedoisarranjosdiferempela ordem ou pela natureza de seus elementos. E.2) Encontre todas as combinaes distintas dos objetos -, A e tomados 2 a 2. Resoluo: As combinaes de -, A, tomados 2 a 2 so: {-, A}, {-, }, {A, }. Note que cada combinao difere apenas pelanatureza e nunca pela ordem de seus elementos. E.3) Encontre todos os arranjos distintos dos objetos -, A e tomados 3 a 3. Resoluo: Os arranjos de -, A, tomados 3 a 3 so: (-, A, ), (-, , A), (A, -, ), (A, , -), (, -, A), (, A, -). Note que (-, A, ) e (-, , A) diferem to apenas pela ordem e nunca pela natureza de seus elementos. Note,ainda,queoarranjodostrsobjetosacimanadamaisquea permutao dos mesmos. 6. Embasamento matemtico: o fatorial (!) Formatted: Font: Times New Roman, 11 pt, HighlightFormatted: Font: Times New Roman, 11 pt, HighlightFormatted: Font: Times New Roman, 11 pt, HighlightFormatted: Font: Times New Roman, 11 pt, HighlightFormatted: Font: Times New Roman, 11 pt, HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos68 Primeiro,observa-sequetaloperadorutilizadonasfrmulasdearranjo (apesardeeuinsistir,noause,prefiraoPFC),decombinaoetambmde permutao (prxima lio). Namatemtica,ofatorialdeumnmeronaturaln,representadoporn!,o produtodetodososinteirospositivosmenoresouiguaisan.Anotaon!foi introduzida por Christian Kramp em 1808. Define-se 0! = 1 (porque o produto vazio, isto , o produto de nenhum nmero 1). Da, segue que 1!=1; 2!=2 . 1=2; 3!=3 . 2 . 1;e, assim,sucessivamente. Observequeocrescimentodonmerofatorialmuitoexpressivo(10!= 3628800)e,portanto,devemostomarcuidadocomascontasenvolvendotal operador.Adedicaoaoresolvertodososexercciostrarahabilidade necessria para no errar nenhum exerccio na prova. Exemplos:. E1). Calcular: a)4! Resoluo:4! 4 3 2 1 24 = = . b) 9!5! Resoluo: 9! 9 8 7 6 5!3.024.5! 5!= = c) 11!9! 2! Resoluo: 11! 11 10 9!559! 2! 9! 2 1 = =. MARIA, D UM HELP AQUI Formatted: HighlightComment [D1]: confuso Formatted: HighlightFormatted: Font: Times New Roman, BoldFormatted: Font: BoldFormatted: Font: Times New Roman, Bold, HighlightFormatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos69 Encerradaaexplanaotericadessaliosobreocuidadosotemaanlise combinatria,fundamentalumconselho:refaatodososexercciosque surgiro agora, na Srie Exerccios Resolvidos antes de tentar fazer os da Srie Exerccios de Fixao. necessrioqueimar as pestanas primeiro, ondeem que voc ter o apoio da resoluo, e a o seu raciocnio pode ser retificado (ou ratificado),aprumando-oetedandoasegurananecessriapararesolvera prxima srie de exerccios. O ponto fundamental emumproblema de anlise combinatria a ANLISE, ondevocescolheoagrupamentopararesolveroproblema(arranjo, combinao ou permutao). Depois disso, a COMBINATRIA a parte fcil, poisspegarafrmula,ouosprincpiosdecontagem(aditivoou multiplicativo) e executar o clculo. Boa sorte e que a fora esteja com voc. SRIE DE EXERCCIOS RESOLVIDOS. R56. Quantosnmeroscom3algarismosdistintos,podemosformar, empregando, os caracteres 1, 3, 5, 6, 8, 9? Resoluo: Cadanmerocontertrsalgarismosdistintoseaordemdosmesmos conduzir a nmeros distintos. Ou seja, esse um problema de arranjo. Assim, 6,3A 6 5 4 120. = = R57. (Vunesp) Um certo nmero de garrafas distinguveis foi arranjado de 3 em 3, de todas as maneiras possveis. O nmero desses arranjos foi 120. Ento, o nmero de garrafas era: a)12. b)10. c)6. d)5. e)4. Resoluo: Formatted: HighlightFormatted: Font: BoldFormatted: HighlightFormatted: Font: Bold, HighlightFormatted: HighlightFormatted: HighlightFormatted: HighlightFormatted: HighlightComment [D2]: Maria, favor reescrever este pargrafo Formatted: Font: Not ItalicFormatted: HighlightFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos70 A montagem do problema fcil e seria: n,3A 120 n (n 1) (n 2) 120 = =Masdeuemaequaodegrau3pararesolver.Ouseja,terdeescolherum caminhomaisrpido(masindignoparaosmatemticos),vamostestaras alternativas. Testando as alternativas, temos: a)n 12 12 11 10 1.320 120 = = =b)n 10 10 9 8 720 120 = = =c)n 6 6 5 4 120 120 = = =(funcionou!) Letra Resposta: Cc R58.(FGV)Umviajante,partindodacidadeA,devechegarcidadeD, passando obrigatoriamente pelas cidades B e C. Para viajar de A ae B existem 3 meios de transporte: avio,navio e trem; de B para C, 2 meios; txi e nibus; e de C para D, 3 meios: carroa, moto e bicicleta. Quantas maneiras diferentes existem para viajar de A para D? a)8. b)3. c)mais de 15. d)menos de 10. e)12. Resoluo:sutilizaroprincpiomultiplicativoouprincpiofundamentaldacontagem, afinal para ir de A a D, faz-se a seguinte sucesso:de A a B e de B a C e de C a D A 3 B 2 C 3 D 3 2 3 18 =Formatted: HighlightFormatted: Font: BoldFormatted: LeftRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos71 Letra Resposta: cC R59.(Cesgranrio)Consideretodososnnmerosparespositivos,dequatro dgitos diferentes, formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4. Ento n : a)10. b)12. c)16. d)18. e)24. Resoluo: J percebeu que esses problemas de formarnmero, senha, telefone, protocolo, placadecarro,dentreoutros,soproblemasdeescolha(escolheros algarismosouescolherasletras)equeaordemimporta.Ouseja,so problemas de arranjo, que so facilmente resolvidos com o PFC. Bom, para formar nmeros pares (ltimo algarismo precisa ser par, lembra?) de 4algarismosdistintos,escolhidosdoconjunto{ } 1, 2, 3, 4 ,monta-seo esquemaeaplica-seoPFC,lembrandodesempreiniciaropreenchimento pela(s) restrio (es): Restries Par Total de opes 3212= 12 Letra Resposta:B b R60.Comosalgarismos3,6,9,4,quantosnmeros mparespodemosformar contendo 1, 2, 3 e 4 algarismos distintos? Resoluo: Formatted: Font: BoldFormatted: LeftFormatted: Font: BoldFormatted: LeftRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos72 Paraumnmerosermpar,eleprecisaterminarcomalgarismompar,que,no nosso caso, dos 4 algarismos dados s 2 so impares: 3 e 9. Como o nmero a serformadopodeter 1 algarismo,ou 2 algarismos,ou 3 algarismos, ou 4 algarismos distintos, separa-se o problema: Observe que a caixinha que tem o Impar a posio do ltimo algarismo do nmero,quetemquesermpar,ouseja,arestriodoproblema,logo iniciamos o preenchimento do total de opes por l. com 1 algarismo: Formato do nmero mpar Total de opes 2= 2 ou com 2 algarismos:Formato do nmero mpar Total de opes 32= 6 ou com 3 algarismos: Formato do nmero mpar Total de opes 322= 12 ou com 4 algarismos: Formato do nmero mpar Total de opes 3212= 12 Somando-seaspossibilidades, 2 +6 + 12 + 12, humtotalde32nmeros mpares nas condies do problema. Resposta: Letra Cc R61.Dequantasformasdiferentespodemosatribuirumprimeiro,segundoe terceiro prmios em uma classe de 10 alunos? Formatted: Font: Times New Roman, HighlightFormatted: LeftFormatted: Font: BoldComment [D3]: por que resposta se no tem alternativa? RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos73 Resoluo: Perceba que, nesse caso, precisamos escolher 3 alunos, dentre 10 para premia-los. Mas temos que ter um cuidado especial, como h colocaes: 1, 2 e 3, aordemimportante.,portanto,umproblemadearranjoqueseresolve assim: 10,310!A 7207!= =Ou assim: Colocaes 123 Total de opes 1098= 720 R62.Aquantidadedenmerosparesde5algarismos,semrepetio,que podemos formar com os dgitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 igual a: a)720. b)1.440. c)2.160. d)2.880. e)3.600. Resoluo: Formarnmerosparesde5algarismosdistintos,escolhidosdoconjunto { } 2,3, 4,5, 6, 7,8 .Restrio:terminarcomalgarismopar(paraonumero ser par). Restries par Total de opes 65434= 1.440 Resposta: Letra Bb R63. Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, e sem repeti-los, podemos formar: Formatted: LeftFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos74 a)1.080 nmeros pares.; b)2.160 nmeros pares.; c)2.520 nmeros pares.; d)5.040 nmeros pares.; e)360 nmeros pares. Resoluo: Formarnmerospares(observarasalternativas)de5algarismosdistintos, escolhidosdoconjunto{ } 1, 2,3, 4,5, 6, 7 .Restrio:terminarcomalgarismo par (para o numero ser par). Restries par Total de opes 65433= 1.080 Resposta: Letra aA R64.Comosalgarismos1,2,3e4,semrepeti-los,podemosescreverx nmeros maiores que 2.400. O valor de x : a)6. b)12. c)14. d)18. e)24. Resoluo: OsnNmerosformadoscomosalgarismos{ } 1, 2, 3, 4 semrepeti-los,maiores que 2.400, so aqueles que comeam por: 1) 24 Restrio 24 Total de opes 1121= 2 ou 2) 3 ou 4 Formatted: LeftFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos75 Restrio 3,4 Total de opes 2321= 12 Portanto, h 14 nmeros maiores que 2.400 nessas condies. Letra Resposta: cC R65.(NCE)Comosalgarismosdosistemadecimalformam-setodosos nmerosde4algarismosdistintos,sendoquexdelespossuiemum algarismo mpar na ordem das centenas. O vValor de x : a)336. b)567. c)2.240. d)3.335. e)3.403. Resoluo: Formarnmerosde4algarismosdistintos,escolhidosdosistemadecimal { } 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 ecomarestriodeoalgarismodascentenasser mpar: Restries 0 no mpar Total de opes 8587= 2.240 Obs.:Quando se fala em nmero, o primeiro algarismo nunca pode ser 0. Resposta: c R66.Emumasalah9moase16rapazes.Dequantosmodospoderemos fazer uma comisso composta por 4 moas e 7 rapazes? Formatted: Font: BoldFormatted: LeftFormatted: Font: BoldComment [D4]: confirmar, pois fui eu quem inseri RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos76 Resoluo: Observeagora,quenessesproblemasdeformarcomisso,grupo, equipe, o que nos interessa escolher alguns membros do total, pouco importa a ordem em que eles so escolhidos. Ou seja, problemas desse tipo so problemas de combinao. As4moaspoderoserescolhidasdentreas9,oquedumtotalde 9,4C 126 =modos diferentes. Os 7 rapazes podero ser escolhidos dentre os 16, oquedumtotalde 16,7C 11.440 = modosdiferentes.Comoacomisso composta pelos 4 rapazes E pelas 7 moas, o resultado pedido ser: E126 11.440 1.441.440 = R67.Numdeterminadosetordeumhospitaltrabalham5mdicose10 enfermeiros.Quantasequipesdistintas,constitudascadaumadeum mdico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor? a)210. b)1.050. c)5.050. d)10.080. e)25.200. Resoluo: Segueomesmoraciocniodaquestoanterior.Precisa-seescolher1mdico, dentre 5; e 4 enfermeiros dentre 10. E5,1 10,4C C 5 210 1.050 = = Letra Resposta: bB R68.Com2goleirose7jogadoresquenojogamnogol,calcularo nmero de times de futebol de salo que podem ser formados.Formatted: Font: Times New Roman, No underlineFormatted: Font: BoldFormatted: LeftRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos77 Resoluo: Primeiro,precisoa-sesaberqueumtimedefuteboldesalo(cuidadoqueas bancas cobram esse tipo de cultura esportiva, principalmente chegando perto deOolimpadaeCcopadoMmundo)formadopor1goleiro(dos2 goleiros, escolhe-se 1) e 4 jogadores de linha (dos 7 jogadores, escolhem-se 4). E2,1 7,4C C 2 35 70 = = R69.Determinaronmeromximodequadrilterosqueconseguimosformar com8pontosdistintosnoplano,sendoquequaisquertrsdelesnoso colineares. Resoluo: Emproblemasdessetipo(escolherpontosdoplano),aordemdospontos escolhidaonoimporta,oqueimportaquemfoiescolhido.Estamosdiante, ento, de problemas de combinao. Dos 8 pontos, escolhem-se 4: 704 , 8= C ATENO: Nasprximasquestesvamosapresentardoisraciocniosmuitocomunsem problemas de contagem: Raciocnio Destrutivo e Raciocnio Construtivo. No primeiro,precisamoscontabilizartodososgrupamentoseretiraraquelesque noatendemarestriodoproblema(descontabilizarcasosindesejados).No segundo,constroem-setodososgrupamentosqueatendemoproblemasempre ligando-oscomoOU.Bom,masavocpergunta:Equalomelhor Formatted: Font: Not Italic, No underlineFormatted: Font: Times New Roman, HighlightFormatted: Font: Times New Roman, BoldFormatted: Font: Times New Roman, BoldFormatted: Font: Times New Roman, BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos78 raciocnio?Osdoisraciocniosestocorretoseproduzemiramosmesmos resultados,escolhaoquedermenostrabalhoeissomudadeexercciopara exerccio. Concentre-se da ___ a ___ R70.Emumplanomarcam-se12pontosdosquais5estosobreumamesma reta. Quantos tringulos poderemos formar, unindo-os trs a trs? Resoluo: Para definir um tringulo, precisa-se escolher 3 pontos no alinhados (porque 3 pontos alinhadosno formamtringulo). Ento,umbom raciocnio oque chamamosderaciocniodestrutivo,ondeseescolhem-se3pontos quaisquereexcluem-seostriosdepontosqueestoalinhados(namesma reta), pois no formam tringulo. 12, 3 5, 3C C 210 = R71. So dadas duas retas paralelas, marcam-se 7 pontos sobre uma e 4 sobre a outra.Quantostringulospoderemosformar,ligandotrsquaisquer,desses11 pontos? Resoluo: Para fixao, vamos utilizar mais uma vez o raciocnio destrutivo: escolhem-se 3pontosquaisquer(dos11)eexcluem-seostriosdepontossobreaprimeira reta(dos7)eexcluem-seostriosdepontosformadosnasegundareta(dentre 4). 11, 3 7, 3 4, 3C C C 126 = R72.(Cesgranrio)Sodadasduasretasparalelas 1r e 2r .Sobre 1r marcam-se quatro pontos distintos, e sobre 2r , trs pontos tambm distintos. O nmero detringulosdistintosquepodemsertraados,comvrticessobreos pontos marcados, : a)15. b)21. c)24. Formatted: Font: Times New Roman, HighlightFormatted: Font: Times New Roman, BoldFormatted: Font: Times New Roman, HighlightComment [D5]: o que ?? Comment [D6]: o que ?? Formatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos79 d)28. e)30. Resoluo: Agoravamosmudaroraciocniosparaganharmosarsenalderesoluo. InvocoEscolhioraciocnioconstrutivo:paraformartringulos,deve-se, dos7pontos(4emr1e3emr2),escolher3.Masnopodemser3pontos quaisquer,poisaoseescolher3pontosder1,porexemplo,noseforma tringulo,portanto,paraformartringulofcilperceberqueprecisa-se escolher 2 pontos em r1 e 1 ponto em r2 ou 1 em r1 e 2 em r2. Ento: C4,2dos 4 em r1,escolhe- se 2EC3,1dos 3 em r2,escolhe- se 1+OUC4,1dos 4 em r1,escolhe- se 1EC3,2dos 3 em r2,escolhe- se 2== 63+43= 30 Letra Resposta: eE R73. (FGV) Dadas duas retas paralelas e distintas, tomam-se 10 pontos distintos naprimeirae6nasegunda.Onmerodetringuloscomvrticesnos pontos considerados : a)420. b)210. c)105. d)52. e)n.r.a. Resoluo: Usando o raciocnio anterior, faz-se Formatted: Font: BoldFormatted: Font: BoldFormatted: LeftRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos80 C10,2dos 10 em r1,escolhe- se 2EC6,1dos 6 em r2,escolhe- se 1+OUC10,1dos 10 em r1,escolhe- se 1EC6,2dos6 em r2,escolhe- se 2== 456+1015 = 420 Letra Resposta: aA R74. Emum plano h 12 pontos, dos quais trsnunca so colineares, exceto 5 que esto sobre uma mesma reta. Encontrar o nmero de retas determinadas por esses pontos. Resoluo: Agora, voltemos ao raciocnio destrutivo. Para se definir uma reta, escolhe-se 2 pontos distintos. Assim, o total de retas o total deescolhas de2 pontos, como cuidadoque ao se escolher 2 pontos dentreaqueles5pontoscolineares(estonumamesmareta),est-se definindo a mesma reta.Ouseja,escolhem-se2pontosquaisquer(dos12,escolhem-se2),excluem-se todaosasduplasformadasporaqueles5pontos(dos5,escolhem-se2)e acrescenta-se 1 (excluiram-se aquelas duplas porque todas elas definiram a mesmareta,mas,dessemodo,essaretanoestsendocontadanenhuma vez, por isso acrescenta-se 1 para contabilizar tal reta). 12, 2 5, 2C C 1 57 + = R75.Assinalea alternativaquecorrespondeaonmero mximo detringulos que podemos formar sabendo-se que: (i)os vrtices destes tringulos esto entre 12 pontos situados em um mesmo plano; (ii)5 dentre estes 12 pontos so colineares. a)220. b)210. Formatted: Font: BoldFormatted: LeftFormatted: Font: BoldFormatted: Indent: Hanging:0.2"RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos81 c)105. d)140. e)200. Resoluo: Mais uma vez o raciocnio destrutivo: C12,3dos 12 pontos dados,escolhe- se 3 pontos quaisquer-exclui- seC5,3dos 5 pontos de rescolhe- se 3== 220- 10 = 210 Resposta: b Letra B R76.Umgrupode10pessoasrevolvejogarnamegasenaMEGA SENA,formandotodososcartespossveis,cadaumcomseis dezenas, usando 10 dezenas distintas, previamente escolhidas pelos mesmos. Depois de efetuado o jogo, dividiu-se o nmero de cartes igualmentepelosjogadores.Quantoscartescoubeacadaum deles? Resoluo: Das10dezenas,escolhem-se6paramontarumcartodamega-sena,entoo total de diferentes cartes dado por: 10,6C 210 = Comoh10pessoasparadividiremos210cartes,entosobram-se21 cartes para cada pessoa. Formatted: Font: Arial, BoldFormatted: JustifiedFormatted: Font: Arial, HighlightFormatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos82 R77. De quantas formas diversas podemos escolher um romance, uma revista e um jornal entre 7 romances, 5 revistas e 10 jornais? Resoluo: Dos7romances,escolhe-seumedas5revistas,escolhe-seuma,edos10 jornais, escolhe-se uma: E E7,1 5,1 10,1C C C 7 5 10 350 = = R78.(FGV)Um restauranteofereceno cardpio 2saladasdistintas, 4 tiposde pratosdecarne,5variedadesdebebidase3sobremesasdiferentes.Uma pessoadesejaumasalada,umpratodecarne,umabebidaeuma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazer seu pedido? a)120. b)144. c)14. d)60. e)12. Resoluo: Das2saladas,escolhe-seuma,edos4tiposdecarne,escolhe-seum,edas5 bebidas, escolhe-se uma, e das 3 sobremesas, escolhe-se uma: E E E2,1 4,1 5,1 3,1C C C C 2 4 5 3 120 = = Resposta: a Letra A R79.(UFPA)Umtimedefuteboldesalodeveserescaladoapartirdeum conjuntode12jogadores,dosquaissomentePedroatuacomogoleiro. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados? a)792. b)485. Formatted: Font: Not Italic, No underlineFormatted: Font: Not Italic, No underlineFormatted: Font: Not Italic, No underlineFormatted: Font: Not Italic, No underlineFormatted: Font: Not Italic, No underlineRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos83 c)330. d)110. e)98. Resoluo: Tem-se 12 jogadores: 1 goleiro e 11 jogadores de linha. Para montar times de 5 jogadores (1 goleiro e 4 jogadores de linha), faz-se: C1,1s existe um goleiro C11,4dos 11 jogadores delinha, escolhe- se 4= 330 Resposta: c Letra C R80. (PUC)Um professor props, parauma de suasturmas,uma prova com 7 questes, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questes para responder.Sabe-sequenohouveduasescolhasdasmesmas5questes entretodososalunosdaturma.Logo,onmeromximodealunosque essa turma poderia possuir era: a)17. b)19. c)21. d)22. e)25. Resoluo: Essaquestopodeserreformuladaassim:calcularonmerodediferentes escolhas de 5 questes.Pois, como no houve duas escolhas iguais, significa que o nmero de alunos igual ao total de diferentes escolhas dessas 5 questes. 7,5C 21 = Formatted: Indent: Hanging:0.2"RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos84 Resposta: c Letra C R81. (De um grupo de 5 pessoas, de quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais para jantar? a)120. b)30. c)31. d)32. e)5. Resoluo: Das5pessoas,pode-seconvidar1pessoa,ou2pessoas,ou3pessoas,ou4 pessoas, ou 5 pessoas, o que d: OU OU OU OU5,1 5,2 5,3 5,4 5,5C C C C C 31 + + + + = R82.(Cespe)Umapessoafazumarelaodenomesde9pessoasamigas.De quantasmaneirasdistintaselapoderconvidar5dessaspessoas,sabendo que na relao h um nico casal inseparvel? Resoluo: Tem-se9pessoas,2inseparveise7outrasquenotmrestrio.Comoo referidocasalinseparvel,entoouocasalconvidado(das5pessoas convidadas,sobram-se3vagas,disputadasentreas7pessoas),ouocasal no convidado (as 5 vagas so disputadas entre as 7 pessoas). OU7,3 7,5C C 35 21 56 + = + = R83. (Cespe) Seis astronautas devem ser divididos em dois grupos de 3 homens cada:umgrupoparairLua,outroparaficarnabaseespacial.Calculeo nmero total de situaes resultantes possveis. Resoluo: Formatted: Font: Times New RomanRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos85 Dos6astronautas,escolhe-se3parao1grupo,e,dos3outros,escolhe-se3 para o 2 grupo. 6,3 3,3C C 20 = R84. (Vunesp) Nove times de futebol vo ser divididos em 3 chaves, todas com omesmonmerodetimes,paraadisputadaprimeirafasedeumtorneio. Cadaumadaschavesjtemumcabeadechavedefinido.Nessas condies,calculeonmerodemaneiraspossveisediferentesdese completarem as chaves. Resoluo: Dos 9 times, divide-seos em 3 chaves com 3 times em cada chave. Mas, como oscabeasdechavejforamescolhidos(1paracadachave),restam6: timesparaseremescolhidos(2paracadachave),ouseja,dos6queainda noforamescolhidos,escolhem-se2paraa1chave;dos4restantes, escolhem-se2paraa2chave;edos2restantes,escolhem-se2paraa3 chave. 6,2 4,2 2,2C C C 15 6 1 90 = = SRIE EXERCCIOS DE FIXAO F94. Calcular: a)5! b) 8!7! c) 16!14! Formatted: Font: Not Italic, No underlineFormatted: HighlightFormatted: HighlightFormatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos86 d) 12!9!3! F95. Quantossoosnmeroscom3algarismosdiferentesquepoderemos formar, empregando os caracteres {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? F96. NacidadedeBraslia(DF),ostelefonessoidentificadosporum nmeroconstitudodeoitoalgarismos.Osquatro4primeirosalgarismos constituemumnmerodenominadoprefixo.Naregioprximaaeste curso, o prefixo 3231. Nessa regio: oO nmero mximo possvel de telefones igual a 410 . oO nmero mximo de telefones que terminam por um algarismo par 3600. oOnmeromximodetelefonesque,excetooprefixo,tmtodosos algarismos distintos 5040. possvel ter 1680 telefones que no possuem o algarismo zero. possvelter1000(mil)telefonesque,excetooprefixo,tmonmero com o primeiro algarismo igual a 2 e o ltimo algarismo par. F97. (Esaf)Emumacidade,osnmerosdostelefonestm7algarismoseno podemcomearpor0.Ostrs3primeirosnmerosconstituemoprefixo. Sabendo-se que em todas as farmcias os quatro 4 ltimos dgitos so zero eoprefixonotemdgitosrepetidos,entoonmerodetelefonesque podem ser instalados nas farmcias igual a: a) 504. b) 720. c) 684. d) 648. e) 842. (TRT 9 Regio/ Analista Administrativo/ 2007) Acerca de contagens, julgue as questes F98 e F99. F98.Ostribunaisutilizamcdigosemseussistemasinternose, usualmente,osprocessosprotocoladosnessesrgosseguemuma Formatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: LeftFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, HighlightFormatted: HighlightFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos87 codificaonicaformadapor6campos.Oterceirodessescampos, identificadocomocdigodavarajurdicacorrespondenteregio geogrfica, constitudo por 3 algarismos comvalores, cada um, entre 0 e 9. Supondo-se que, nesses cdigos, os trs algarismos no sejam todos iguais,conclui-sequepodemsercriados,nomximo,90cdigos distintos para identificar as varas jurdicas. F99.Umrgoespecialdeumtribunalcompostopor15 desembargadores.Excetuando-seopresidente,ovice-presidenteeo corregedor,osdemaismembrosdessergoespecialpodemintegrar turmas, cada uma delas constituda de 5 membros, cuja funo julgar os processos.Nessecaso,onmerodeturmasdistintasquepodemser formadas superior a 10. (TRT 9 Regio/ Tcnico Administrativo/ 2007)NasquestesF100eF101,aseguir,apresentadaumasituao hipottica seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens. F100.Emumtribunal,osjulgamentosdosprocessossofeitosem comissescompostaspor3desembargadoresdeumaturmade5 desembargadores. Nessa situao, a quantidade demaneiras diferentes de se constiturem essas comisses superior a 12. F101. Em um tribunal, os cdigos que identificamasvaras podem ter 1, 2 ou 3 algarismos de 0 a 9. Nenhuma vara tem cdigo 0 e nenhuma vara tem cdigo que comea com 0. Nessa situao, a quantidade possvel de cdigos de varas inferior a 1.100. F102. (TRT 1 Regio/ Execuo de Mandados/ 2008) Se for estabelecida a restrio de que no campo 1, referente ao nmero do processo, at 4 dos 5 dgitos podero ser iguais, ento a quantidade de possibilidades para esse nmero igual a: Aa) 32.805. Bb) 59.049. Formatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: LeftFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos88 Cc) 65.610. Dd) 69.760. Ee) 99.990. F103. (TRT 1 Regio/ Tcnico Administrativo/ 2008) Caso 5 servidores ematividadee3aposentadosseofereamcomovoluntriosparaa realizaodeumprojetoquerequeiraaconstituiodeumacomisso formada por 5 dessas pessoas, das quais 3 sejam servidores em atividade eosoutrosdois,aposentados,entoaquantidadedecomissesdistintas que se poder formar ser igual a: Aa) 60. Bb) 30. Cc) 25. Dd) 13. (ME/ Agente Administrativo/ 2008) Em cada um dos itens a seguir (de F104 a F106) apresentada uma situao hipottica seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens. F104.SeodiretordeumasecretariadoMSquiserpremiar3deseus6 servidorespresenteandocada um delescom umingressopara teatro,ele ter mais de 24 maneiras diferentes para faz-lo. F105. Sabe-se que, no Brasil, as placas de identificao dos veculos tm 3 letras do alfabeto e 4 algarismos, escolhidos de 0 a 9. Ento, seguindo-seessamesmaleideformao,masutilizando-seapenasasletrasda palavraBRASIL,possvelconstruirmaisde600.000placasdiferentes que no possuam letras nem algarismos repetidos. F106SeodiretordeumasecretariadoMSquiserpremiar3deseus6 servidorespresenteandoumdelescomumingressoparacinema,outro Formatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: LeftFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, HighlightFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos89 com um ingresso para teatro e o terceiro com um ingresso para show, ele ter mais de 100 maneiras diferentes para faz-lo. (STJ/ Tcnico Judicirio/ 2008) Com relao a contagem, cada um dos prximos itens (de F107 a F109) apresenta uma situao hipottica, seguida de uma assertiva a ser julgada. F107. Em um tribunal, os processos so protocolados com nmeros de 6 algarismosde0a9eoprimeiroalgarismorefere-seaonmerodasala ondeoprocessofoiarquivado.Nessasituao,ototaldeprocessosque podem ser arquivados nas salas de nmeros 4 e 5 superior a 300.000. F108.Em um tribunal, o desembargador tem a suadisposio 10 juzes para distribuir 3 processos para julgamento: um da rea trabalhista, outro da rea cvel e o terceiro da rea penal. Nesse tribunal, todos os juzes tm competncia para julgar qualquer um dos 3 processos, mas cada processo ser distribudo para um nico juiz, que julgar apenas esse processo. Nessa situao, o desembargador tem mais de 700 formas diferentes para distribuir os processos. F109.Emumtribunal,deveserformadaumacomissode8pessoas,que seroescolhidasentre12tcnicosdeinformticae16tcnicos administrativos. A comisso deve ser composta por 3 tcnicos de informtica e5tcnicosadministrativos.Nessasituao,aquantidadedemaneiras distintasdeseformaracomissopodesercorretamenterepresentadapor (TCU/ Tcnico de Controle Externo/ 2008) Formatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: LeftFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Not BoldFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, HighlightFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Not BoldFormatted: LeftFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos90 Dentro da estrutura organizacional do TCU, o colegiado mais importante oPlenrio,quecompostopor9ministros,2auditorese7 procuradores.Aele,seguem-seas1.e2.Cmaras,compostas, respectivamente,por3ministros,1auditore1procurador,escolhidos entreosmembrosquecompeoPlenriodoTCU,sendoqueasduas cmaras no tm membros emcomum.Considerandoque,paraacomposiodasduascmaras,todos osministros,auditoreseprocuradoresquecompemoPlenriopossam serescolhidos,equeaescolhasejafeitademaneiraaleatria,julgueos itens seguintes (de F110 a F112). F110.Onmerodeescolhasdiferentesdeauditoreseprocuradoresparaa formao da 1. Cmara igual a 9. F111.Considereque,paraaformaodasduasCmaras,inicialmente soescolhidosostrs3ministrosquecomporoa1.Cmarae,em seguida,ostrs 3ministros que comporoa 2.Cmara.Nessasituao, onmerodeescolhasdiferentesdeministrosparaaformaodasduas cmaras superior a 1.600. F112.Umavezquea1.Cmarajtenhasidoformada,onmerode escolhasdiferentesdeministros,auditoreseprocuradores,paraa formao da 2. Cmara, ser inferior a 130. Formatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 pt, HighlightFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: (Default) Times New Roman, 12 ptRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos91 F113.Umaempresapossui7setegestores,entreosquais,opresidenteeo vice-presidente da empresa. Responda: a)Quantas comisses diferentes, com 3 membros, poderemos constituir empregando os 7sete gestores dessa empresa?b)Em quantas comisses no figura o presidente da empresa?c)Emquantasaparecemjuntos,opresidenteeovice-presidenteda empresa? F114.(FGV)Umacomissodetrs3membrosvaiserescolhidaao acasodentreumgrupodequinze15pessoas,entreasquaisesto AliceeBrbara.Calcularonmerodediferentescomissesque poderoserformadas,detalformaqueAliceeBrbaraparticipem dessas comisses. a)13. b)39. c)420. d)210. e)840. F115.Considera-se um conjunto de 4 rapazes e 7 moas. Responda: a)Quantas comisses de 4 elementos podem ser formadas?b)Quantas destas comisses contero 2 rapazes e 2 moas? F116.Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comisses de 4 alunos e 2 alunas. O nmero de comisses em que participa o aluno X e no participa a aluna Y : a)1260. b)2100. c)840. Formatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: Times New Roman, 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptFormatted: Font: 12 ptRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos92 d)504. e)336. F117.(Esaf)Umgrupodedanafolclricaformadopor7setemeninose quatro4meninasfoiconvidadoarealizarapresentaesdedanano exterior. Contudo, o grupo dispe de recursos para custear as passagens de apenasseis6dessascrianas.Sabendo-sequenasapresentaesdo programa de danas devem participar pelo menos duas meninas, o nmero de diferentes maneiras que as seis 6 crianas podem ser escolhidas igual a: a) 286. b) 756. c) 468. d) 371. e) 752. F118.Considereduasretasresparalelasedistintas.Sobrearetarso marcados5pontosdistintos(A,B,C,D,E)esobrearetas,trspontos, tambmdistintos(F,G,H).Considerandoapenasessesoito8pontos, calcule: a)o nmero de quadrilteros convexos determinados. b)o nmero de tringulos determinados. F119.(Esaf)Umgrupodeestudantesencontra-sereunidoemumasalapara escolheraleatoriamente,porsorteio,quementreelesiraoSimpsiode Matemticadoprximoano.Ogrupocompostode15rapazesedeum certo nmero de moas. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma nica vez; as moas cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma nicavez.Humtotalde150cumprimentos.Onmerodemoas, portanto, igual a: a) 10. b) 14. c) 20. d) 25. e) 45. RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos93 GABARITO 94.a) 120 b) 8 c) 240 d) 220 95.210 96.C, E, C, C, E 97.d 98.E 99.E 100. E 101. C 102. E 103. Bb 104. E 105. C 106. C 107. E 108. C 109. E 110. E 111. C 112. C 113. a) 35 b) 20 c) 5 114. a 115. a) 330 b) 126 116. d 117. d 118. a) 30b) 45 RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos94 119. a