Conteúdo1. Estruturas Lógicas...........................................................................................2

5. Matrizes e Determinantes...............................................................................4

6. Álgebra elementar.........................................................................................11

7. Probabilidade................................................................................................12

8. Estatística Descritiva.....................................................................................15

10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros e Desconto..........................16

10. 1 - Juros Simples.....................................................................................16

10.2 – Juros Compostos................................................................................16

17. Dicas...........................................................................................................17

1. Estruturas Lógicas.

Conectivo Lógico:

Operação  Conectivo Estrutura Lógica

Negação ¬ Não p

Conjunção (e) ^ P e q

Disjunção Inclusiva (ou) v P ou q

Disjunção Exclusiva (ou...ou) v Ou p ou q

Condicional (se... então) → Se p então q

Bicondicional (se... somente se) ↔ P se e somente se q

Nº de linha da tabela 2n: onde N é o numero de proposições.

Lembrete: P (antecedente) (condição suficiente) → q (consequente) (condição

necessária)

Proposição - Todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um

pensamento de sentido completo. Não há proposições nas frases:

Interrogativas, exclamativas, imperativas, expressão algébrica (Não se pode

afirmar o que é verdade) e sentença sem verbos.

Exemplo: O Lula é presidente do Brasil.

Proposição Condicional - Se p então q (p → q).

Exemplo: Se trabalho então estudo.

Contra-positiva - Chamamos de contra-positiva de (p → q (Se p então q)) a

proposição (~q → ~p).

Tautologia - São proposições compostas sempre

verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples

p q p → qV V VV F FF V VF F V

~

q

~p ~q → ~p

F F V

V F F

F V V

V V V

que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta

fazer a tabela verdade da proposição composta.

Exemplo: A proposição "p v ~p" (p ou não p) é uma

tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor

lógico da proposição p. Pode-se perceber que a Tautologia o

resultado dos valores sempre são verdadeiros.

Contradição: é quando em uma tabela verdade não ocorre uma tautologia e

nem uma contradição, diz-se que ocorrer então uma contingencia.

Equivalência Lógica: Duas proposições são logicamente equivalente quando

são compostas pelas mesmas proposições simples e o resultado de suas

tabelas verdades são idênticos.

P ^ Q = Q ^ P

P v Q = Q v P

P ↔ Q = Q ↔ P

P ↔ Q = (P → Q) ^ (Q → P)

P → Q = ~P v Q

P→Q =~Q→~P

Relação entre TODO, ALGUM e NENHUM

p ~p p v ~p

V F V

F V V

Métodos utilizados para verificar a validade dos argumentos.

1. Método dos diagramas lógicos.

Usado sempre que nas premissas tiver uma conjunção ou uma

preposição simples (como nesta questão). Consiste em, usando as operações

lógicas com os conectivos, considerar todas as premissas verdadeiras, assim,

caso a conclusão também seja verdadeira o argumento será válido, caso seja

falsa o argumento será inválido.

2. Método das premissas verdadeiras.

3. Método da conclusão falsa.

Esse método é utilizado sempre que na conclusão tive uma disjunção ou

uma condicional ou uma preposição simples (como nesta questão). Assim, se

considera a conclusão falsa e supõem as premissas verdadeiras, caso isso se

confirme, o argumento será invalido; porém, caso pelo menos uma das

premissas seja falsa, ai o argumento é válido.

4. Método da tabela verdade

5. Matrizes e Determinantes

5.1 - Determinante de uma Matriz de Ordem 3

Regra de Sarrus:

1º) Repetimos a 1º e a 2º colunas à direita da matriz.

2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e

associando o sinal indicado dos produtos, temos:

A Regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1ª e 2ª linhas, ao

invés de repetirmos a 1ª e 2ª colunas.

5.2 - Propriedades

5.2.1 - Propriedade 01

O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At.

Exemplo:

5.2.2 - Propriedade 02

Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos

entre si a posição de duas filas paralelas, então:

Det B = -det A

Exemplo

B foi obtida trocando-se a 1ª pela 2ª linha de A.

det A = ad – bc

det B = bc – ad = –(ad – bc) = –det A

Assim, det B = – det A

5.2.3 - Propriedade 03

Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando

multiplicamos uma de suas filas (linha ou coluna) por uma constante K, então

det B = k * det A

Exemplo:

Det(k* A) = k3*detA

5.2.4 - Propriedade 04

Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos

correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que

os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes

de A e B, então

det C = det A + det B

Exemplo:

5.3 - Determinante de uma Matriz de Ordem n (Teorema de Laplace)

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n> 2, seu determinante é a soma dos

produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos

respectivos co-fatores.

Exemplos

Utilizando a 2a linha para a aplicação do teorema de Laplace, temos:

Notamos que a escolha feita leva-nos ao cálculo de apenas 1 co-fator; se

utilizássemos a 1a linha, deveríamos calcular 4 co-fatores:

Assim:

det A = 2 · 35 = 70

5.4 – Matrizes Cofatoras e Matrizes Adjuntas

5.5 – Determinante de Vandermonde

Observe:

Verificamos tratar-se de um determinante de Vandermonde, logo os seus

elementos característicos são 2, 3, 4 e 5.

As diferenças possíveis são:

(3 – 2), (4 – 2), (4 – 3), (5 – 2), (5 – 3) e (5 – 4).

Então, podemos escrever:

det V = (3 – 2)·(4 – 2)·(4 – 3)·(5 – 2)·(5 – 3)·(5 –4)

det V = 1 · 2 · 1 · 3 · 2 · 1

det V = 12

5.6 – Regra de Chió

Calcule o determinante da matriz A.

Vamos aplicar a regra de Chió a partir do elemento a24 = 1.

A partir daqui teremos:

Então:

Finalmente:

det A = (–1)2 + 4 * det B = 23

5.7 - Inversão de Matrizes

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de

A se, e somente se,

A*B = B*A=In

em que:

B é a matriz inversa de A : B = A–1

In é a matriz identidade de ordem n

5.7.1 Propriedades

6. Álgebra elementar.

Álgebra elementar é uma forma fundamental e relativamente básica da álgebra,

ensinada a quem presume-se ter pouco ou nenhum conhecimento formal de

matemática além da aritmética. A maior diferença entre a álgebra e a aritmética

é a inclusão de variáveis. Enquanto na aritmética usa-se apenas os números e

suas operações (como +, −, ×, ÷), na álgebra também se usam variáveis tais

como x e y, ou a e b em vez de números.

7. Probabilidade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Evento é um conjunto de resultados do experimento, em termos de

conjuntos, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são

eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível. Usando as

operações em conjunto, podemos formar novos eventos:

A U B: é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos

ocorrem.

A I B: é o evento que ocorre se A e B ocorrem.

Ā: é o evento que ocorre se A não ocorre.

p(E) = n(E) / n(Ω)

Probabilidade = Número de casos favoráveis / Número de casos possíveis

Exemplo 01

Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a

probabilidade desse número ser:

a) menor que 3?

b) Maior ou igual a 3?

Exemplo 02

Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a

probabilidade da palavra escolhida começar por XA?

Note que p(E) + p(Ec) = 1

Da definição de probabilidade, segue:

P(A U B) = p(A) + p(B)

Nesse caso, A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos.

De modo análogo ao primeiro caso:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

O evento A ∩ B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

Exemplo

A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar quatro ou mais multas em um

dia é de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia

é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro

multas?

8. Estatística Descritiva.

É aquela que se preocupa com a coleta, organização, classificação,

apresentação, interpretação e analise de dados referentes ao fenômeno

através de gráficos e tabelas além de calcular medidas que permita descrever

o fenômeno.

Requisitos fundamentais em um gráfico:

Simplicidade: possibilitar a análise rápida do fenômeno observado. Deve

conter apenas o essencial.

Clareza: possibilitar a leitura e interpretações correta dos valores do fenômeno.

Veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenômeno observado.

Tipos de gráficos quanto à forma:

Diagramas: gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São mais

usados na representação de séries estatísticas.

Cartogramas: é a representação sobre uma carta geográfica, sendo muito

usado na Geografia, História e Demografia.

Estereogramas: representam volumes e são apresentados em três

dimensões.

Pictogramas: a representação gráfica consta de figuras representativas do

fenômeno. Desperta logo a atenção do público.

10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros e Desconto.

10. 1 - Juros Simples

Capital = c

Juros = j

Tempo = t

Taxa = i

Estes problemas podem ser resolvidos por regra de três compostas, mas para

facilitar os cálculos podemos usar uma fórmula.

10.2 – Juros Compostos

Fórmula para o cálculo de Juros Compostos.

M = C x (1 + i)t

C = Capital inicial

i = taxa % por período de tempo

t = número de períodos de tempo

M = montante final = (capital + juros)

17. Dicas

Negação dos sinais:

≤ é >

≥ é <

> é ≤

< é ≥