Física 2

Guia de Estudos P1

1

1. Movimento Harmônico Simples (MHS)

Vamos analisar inicialmente a situação em que há um corpo de massa 𝑚, preso a uma mola de constante elástica 𝐾 que realiza oscilações em torno de seu ponto de equilíbrio em 𝑥 = 0, sem a ação de qualquer agente externo ou atrito.

Para pequenas perturbações em torno da origem (−𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝐴) a força que age sobre o corpo é linear e dada pela Lei de Hooke (−𝑘𝑥) e tal força tem caráter restaurador, ou seja, tenda a fazer com que o corpo retorne para a posição de equilíbrio. Na imagem, A representa a amplitude das oscilações do movimento, sendo que essa grandeza representa o maior deslocamento possível a partir da posição de equilíbrio. Em geral, o MHS ocorre quando pode-se chegar na equação diferencial descrita nos próximos itens. 2. Cinemática do MHS Equação diferencial do movimento (2ª Lei de Newton): Ainda usando o sistema massa mola como exemplo, a equação diferencial do movimento pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton:

𝑚𝑎 =−𝑘𝑥 𝑚𝑥 =−𝑘𝑥

2

𝑚𝑥 = −𝑘𝑥 𝑥 + 𝜔01𝑥 = 0

Sendo que 𝜔0 =23

A grandeza física 𝜔0 representa a frequência angular de oscilação, sendo:

𝜔0 = 2𝜋𝑓 =2𝜋𝑇

Onde: 𝑇(𝑠) = período de oscilação do movimento, ou seja, tempo para completar 1 ciclo, caso o movimento se inicie em −𝐴 deve retornar a −𝐴para completar 1 ciclo. 𝑓 𝐻𝑧 = número de ciclos por unidade de tempo que o movimento executa

1𝐻𝑧 = 1𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

𝜔 = frequência angular, dada em 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Equação diferencial do movimento (Conservação de energia): Pode-se usar a conservação de energia para se chegar na mesma equação diferencial. A ideia vêm do fato da variação da energia ao longo do tempo ser nula, por se tratar de um sistema conservativo (𝐸 = 0). Dessa forma, a energia mecânica (𝐸3) é dada pela cinética (k) somada com a potencial (U)

𝐸3 = 𝑘 + 𝑈

A energia Cinética é dada por 𝑘 = 3JK

1= 3LK

1 e a Potencial é a elástica 𝑈 = 2LK

1.

Derivando os dois lados da igualdade no tempo (lembre-se da regra da cadeia!):

3

𝑑𝐸𝑑𝑡

=𝑑 𝑚𝑥1

2 + 𝑘𝑥1

2𝑑𝑡

𝑚𝑥𝑥 + 𝑘𝑥𝑥 = 0 ×1𝑚𝑥

𝑥 + 𝜔01𝑥 = 0

Chegando na mesma equação diferencial esperada. Soluções gerais da equação diferencial A solução geral da equação diferencial descrita acima é do tipo:

𝑥 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙S) Sendo A e 𝜙 determinados pelas condições iniciais do movimento harmônico simples. Outra solução pode ser do tipo:

𝑥 𝑡 = 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝐶𝑠𝑒𝑛(𝜔0𝑡) Sendo B e C constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento. Determinação das constantes a partir das condições iniciais: Das equações 𝑥(𝑡) obtidas anteriormente, pode-se chegar nas seguintes relações:

𝑥 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙S) 𝑣 𝑡 = 𝑥 𝑡 = −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙S) 𝑎 𝑡 = 𝑥 𝑡 = −𝜔1𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙S)

São dados que a posição no instante zero 𝑥 0 = 𝑥S e a velocidade no instante inicial é 𝑣 0 = 𝑣S, assim :

𝜙S = −arctan𝑣S𝜔0𝑥S

4

𝐴 = 𝑥S1 +𝑣S1

𝜔01

De uma forma análoga, pode-se fazer o mesmo com a segunda solução da equação diferencial, obtendo:

𝑥 𝑡 = 𝑥0𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 +𝑣0𝜔0

𝑠𝑒𝑛(𝜔0𝑡)

Exercício de fixação 1 P2-2014 Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de período 4 s e amplitude de 5 cm. O módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória cuja elongação é 3 cm vale: Escolha uma alternativa: A. 16𝜋𝑐𝑚/𝑠 B. 8𝜋𝑐𝑚/𝑠 C.4𝜋𝑐𝑚/𝑠 D. 2𝜋𝑐𝑚/𝑠 E. 32𝜋𝑐𝑚/𝑠 3. Energia no MHS

Nosso sistema conservativo terá 2 tipos de energia: a energia cinética 𝐾 e a energia potencial elástica da mola 𝑈, a energia 𝐸 será a soma dessas duas energias e representará a energia total no sistema.

𝐾 =𝑚𝑣1

2=𝑚𝑥1

2=

𝑚𝐴1𝜔1

2sin1(𝜔𝑡 + 𝜙S)

5

𝑈 =𝐾𝑥1

2=

𝐾𝐴1

2cos1(𝜔𝑡 + 𝜙S)

𝑈 =𝐾𝑥1

2=

𝐾𝐴1

2cos1(𝜔𝑡 + 𝜙S)

𝐾 = 𝑚𝜔1

𝐸 = 𝑈 + 𝐾 =𝐾𝐴1

2

A energia total no movimento harmônico simples é constante, isso decorre do fato do sistema ser conservativo.

Na imagem 𝐸3 representa a energia total do sistema, 𝐸`representa a energia potencial elástica e 𝐸a representa a energia cinética. Por conservação de energia a velocidade máxima ocorrerá quando x = 0, onde a energia potencial elástica é nula, e terá o valor (em módulo):

𝑚𝑣3bL1

2=𝐾𝐴1

2

6

𝑣3bL =𝐾𝑚∗ 𝐴

Como a aceleração 𝑥 𝑡 = −𝜔1𝑥(𝑡), temos que o módulo do máximo da aceleração será 𝜔1 𝑥3bL 𝑡 , assim a aceleração máxima será:

𝑥3bL 𝑡 = 𝜔1𝐴 =𝐾𝑚𝐴

O sistema massa-mola é apenas um dos sistemas que executam um movimento harmônico simples. De forma genérica, todos os movimentos unidimensionais cujas perturbações possam ser supostas pequenas em torno de um ponto de equilíbrio e nas quais as equações dinâmicas sejam da “forma” do sistema massa-mola podem ser tratados como movimentos harmônicos simples.

Exercício de fixação 2 P1-2016 A figura mostra os gráficos da energia cinética K em função da posição x para três osciladores harmônicos do tipo bloco-mola que têm a mesma massa e que descrevem movimentos harmônicos simples. Pode-se dizer que:

Escolha uma alternativa: A. A constante elástica do oscilador 2 é maior que a do oscilador 3.

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B. O período de oscilação associado ao oscilador 1 é menor que aquele dos osciladores 2 e 3. C. O oscilador 3 completa uma oscilação em um tempo menor que os outros dois. D. A constante elástica do oscilador 3 é maior que a dos osciladores 1 e 2, sendo a constante elástica do oscilador 2 menor que a do oscilador 1. E. Os três osciladores têm a mesma frequência de oscilação.

4. Pêndulo de Torção

O pêndulo de torção será formado por um corpo apoiado em um plano ou suspenso por um fio. Ao perturbarmos o corpo diz-se que o fio reage como um torque restaurador proporcional ao ângulo de torção, assim:

𝜏 = −𝐾𝜑 Onde 𝐾 é o módulo de torção do fio que depende de seu comprimento, diâmetro e material. Aplicando a equação do movimento, tem-se:

𝐼𝑑1𝜑𝑑𝑡1

= −𝐾𝜑

Usando a mesmo procedimento que o utilizado com o sistema massa-mola a frequência angular do pêndulo de torção será:

𝜔0 =𝐾𝐼𝑒𝜑 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙S)

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Exercício de fixação 3 P2-2014 A roda de balanço de um relógio possui um período de 0.25s, a roda é construída de forma que sua massa fica concentrada em um aro de raio 0.5cm. Qual é a constante de torção da mola acoplada? Dado 𝐼bg0 = 𝑚𝑅² . Escolha uma alternativa: A. k = 4𝜋𝑚²×10jk N/rad B. k = 𝑚×10jk N/rad C. k = 16𝜋1𝑚×10jk N/rad D. k = 2𝑚×10jl N/rad E. k = 4𝜋𝑚×10jl N/rad

5. Aproximações para pequenas oscilações

Em alguns casos, alguns sistemas não apresentam força nem energia potencial para realizar um MHS. No entanto, pode-se usar determinadas aproximações para pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável para chegar na equação diferencial característica. Alguma dessas aproximações são: Ângulos pequenos: Nesse caso, se o ângulo for tal que 𝜃 ≪ 1, pode-se usar as seguintes aproximações:

sin 𝜃 ≈ tan 𝜃 ≈ 𝜃 e cos 𝜃 ≈ 1 − pK

1

Sendo uma aproximação válida do limite trigonométrico fundamental e da expansão binomial usada para pequenas oscilações de pêndulos.

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Expansão binomial: É comum, para valores de x muito pequenos, desprezar termos de ordem maior do que 1 (ex: x², x³, etc). Nesse caso, pode-se usar a expansão binomial:

1 + 𝑥 q ≈ 1 + 𝑛𝑥 Para 𝑥 ≪ 1.

Exercício de fixação 4. P2-2014 (Adaptado) Um corpo de massa 𝑚 está sujeito a um potencial do tipo:

𝑈 𝑥 =𝑎𝑥1 −

2𝑏𝑥

a. Encontre a posição de equilíbrio. b. Escreva a equação do movimento exata. c. Determine a frequência angular para pequenas oscilações.

6. Pêndulos

Pêndulo simples No pêndulo simples há uma massa 𝑚 colocada em um fio de comprimento 𝐿. A equação diferencial que caracterizará o movimento harmônico simples será obtida através da decomposição das forças no eixo radial e tangencial.

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−𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝑎 𝑣 = 𝐿𝜃𝑒𝑛𝑡ã𝑜𝑎 = 𝐿𝜃 −𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝐿𝜃

𝜃 +𝑔𝐿sin 𝜃 = 0

Essa equação só apresenta um MHS se 𝜃 ≪ 1𝑟𝑎𝑑, pois podemos usar a aproximação que sin 𝜃 ≈ 𝜃,logo:

𝜃 +𝑔𝐿𝜃 = 0

Cuja solução será do tipo:

𝜃 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔0𝑡 + 𝜙S 𝑐𝑜𝑚𝜔0 =𝑔𝑙

𝑇 = 2𝜋𝑙𝑔

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Energia no Pêndulo simples A energia no pêndulo simples, assim como no oscilador massa-mola, será dada pela soma da energia cinética com a energia potencial. Nesse caso essas energias podem ser expressas em termos da função 𝜃(𝑡) da seguinte forma:

𝐾 =𝑚𝑣1

2=𝑚2

𝐿𝜃 1 =𝑚𝐿1𝜃1

2

𝑈 = 𝑚𝑔𝐿 1 − cos 𝜃

Para 𝜃 ≪ 1 pode-se escrever que cos 𝜃 ≈ 1 − pK

1

𝑈 =𝑚𝑔𝐿𝜃1

2

Pêndulo Físico Trata-se de um pêndulo real onde a massa do corpo não é mais concentrada em um único ponto, como no caso do pêndulo simples, mas sim distribuída ao longo de toda a extensão do corpo, assim, a análise será baseada na utilização do momento de inércia do corpo.

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O torque é dado por 𝜏 = 𝑟×𝐹, a decomposição da força peso como na figura nos fornece um torque resultante igual a:

−𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 Logo, tem-se:

−𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 = 𝐼𝑑1𝜃𝑑𝑡1

𝑑1𝜃𝑑𝑡1

+𝑚𝑔𝑑𝐼

sin 𝜃 = 0

Novamente, utilizando a aproximação sin 𝜃 ≈ 𝜃, obtém-se:

𝑑1𝜃𝑑𝑡1

+𝑚𝑔𝑑𝐼

𝜃 = 0

Por analogia pode-se escrever que:

𝜔 =𝑚𝑔𝑑𝐼

Lembre-se: 𝑑 é a distância do centro de rotação ao centro de massa do pêndulo físico.

Exercício de fixação 5 P1-2016

O pêndulo A mostrado na figura consiste em uma esfera muito pequena de massa M sustentado por uma corda de massa desprezível e comprimento L. O pêndulo B consiste em uma esfera muito pequena de massa M/2 e uma barra delgada de massa M/2 e comprimento L. Seja 𝜏v𝑒𝜏w os tempos que cada pêndulo demora

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para completar uma oscilação. Para deslocamentos pequenos em relação à posição de equilíbrio, pode-se dizer que:

a. Os dois pêndulos levam o mesmo tempo para completar uma oscilação, com

𝜏v = 𝜏w = 2𝜋 𝐿/𝑔. b. O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A em completar uma

oscilação, com 𝜏v/𝜏w = 8/9 c. O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A em completar uma

oscilação, com 𝜏v/𝜏w = 1/2. d. O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação,

com 𝜏v/𝜏w = 4/3 e. O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação,

com 𝜏v/𝜏w = 2

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7. Associação de Molas.

Quando duas ou mais molas (𝐾z, 𝐾1, 𝐾{, … , 𝐾q) são associadas em série ou eu paralelo, sua constante elástica resultante (𝐾g) será dada por: Molas em série:

1𝐾g

=1𝐾z+1𝐾1+ ⋯+

1𝐾q

Molas em paralelo:

𝐾g = 𝐾z + 𝐾1 + 𝐾{ + ⋯+ 𝐾q Exemplo de associação de molas: A mola da esquerda representa associação série enquanto a da direita representa a associação de molas em paralelo

8. Oscilações Acopladas

As oscilações acopladas correspondem à dinâmicas de movimentos harmônicos simples em que o movimento de uma partícula influencia no movimento da outra.

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Por exemplo:

Nesse caso simplificado, em que há apenas duas partículas unidas por uma mola pode-se usar o conceito de massa reduzida (𝜇) para resolver o problema, bastando substituir a massa 𝑚 do sistema massa mola pela massa reduzida 𝜇 . O valor de 𝜇 será dado por:

𝜇 =𝑚b ∗ 𝑚�

𝑚b + 𝑚�

Assim, a frequência angular 𝜔 no MHS será:

𝜔 =𝐾𝜇

Exercício de fixação 6 P2-2014 (adaptado)

Considere um sistema formado por duas partículas idênticas de massa m ligadas por uma mola de massa desprezível e constante elástica k. Supondo que as partículas se movem em apenas uma direção e a única força atuante no sistema advém da mola, determine a frequência angular 𝜔0 de oscilação.

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Exercícios P1: 1. Comparação entre Movimentos Harmônicos Simples P1 - 2016

A figura mostra as curvas obtidas em três experimentos diferentes para o deslocamento horizontal em relação à posição de equilíbrio, 𝑥(𝑡), de um mesmo sistema bloco-mola que oscila descrevendo um movimento harmônico simples. Pode-se dizer que:

a. Em 𝑡 = 𝑡v, o módulo da aceleração do bloco no experimento 2 é menor que no

experimento 1 e maior que experimento 3 b. Em 𝑡 = 𝑡v, a energia potencial elástica no experimento 1 é maior que a energia

potencial elástica nos experimentos 2 e 3, sendo a energia potencial elástica no experimento 3 menor que no experimento 2.

c. Em 𝑡 = 𝑡v, o módulo da velocidade do bloco no experimento 1 é maior que nos experimentos 2 e 3.

d. A frequência angular do sistema nos três experimentos é diferente. e. Em 𝑡 = 𝑡v, a energia cinética do bloco no experimento 2 é maior que no

experimento 3.

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2. Massa-mola em plano inclinado P1 - 2016

Um bloco de massa 𝑚está conectado a uma mola de constante elástica 𝐾 em um plano inclinado que forma um ângulo 𝛼 em relação à horizontal. No instante 𝑡 =0, o bloco é solto da posição 𝑥 = 0, com velocidade inicial nula. Considerando que a mola está relaxada (nem comprimida, nem esticada) quando 𝑥 = 0, determine:

a. A equação do movimento do bloco ao longo do eixo 𝑥 mostrado na figura. b. A posição 𝑥(𝑡) em função do tempo. Qual a amplitude do movimento e os valores máximos (𝑥3bL) e mínimo (𝑥3�q) de 𝑥? c. A energia cinética em função do tempo.

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3. Pêndulos simples associados a molas P1 - 2016

Um pêndulo formado por uma esfera de massa 𝑚 e raio desprezível está suspenso verticalmente a partir do ponto O através de uma haste rígida de massa desprezível e comprimento L. A haste está ligada a duas molas de constante elástica 𝐾, massas desprezíveis, situadas a uma distância 𝑂𝐴 = 𝑑 de 𝑂como mostrado na figura (a). As molas estão relaxadas (isto é, nem esticadas nem comprimidas) quando o pêndulo está na posição vertical. Para iniciar o balanço do pêndulo, você o desloca com as mãos até que a haste forme um pequeno ângulo 𝜃S 𝜃S ≪ 1 com a vertical, liberando-o a partir do repouso, figura (b). Dica: como o ângulo 𝜃S é pequeno, considere que as molas permanecem essencialmente na horizontal durante todo o movimento.

a. Utilize o sistema de coordenadas da figura e obtenha a equação que descreve

o movimento do pêndulo. b. Para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio do pêndulo,

determine a frequência angular de oscilação. c. Obtenha a função 𝜃(𝑡) para pequenas oscilações em relação à posição de

equilíbrio.

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4. Sistema que realiza MHS Irodov, I. E. Problems in General Physics, Moscou: Mir Moscou, 1981. Ex. 4.28 (Adaptado) Uma barra uniforme de massa não desprezível é posicionada no centro de duas rodas que giram, conforme figura abaixo. Os eixos das rodas são separados por uma distância ℓ e o coeficiente de atrito cinético entre a barra e as rodas é 𝜇.

Inicialmente, o centro de massa da barra se encontrava exatamente no meio entre as duas rodas, ficando em equilíbrio. Um cara chega do nada e dá um leve empurrão na barra, tirando ela do equilíbrio a. Desenhe o diagrama de forças na barra. b. Demonstre que esse sistema realiza movimento harmônico simples. c. Calcule o período de oscilações desse movimento.

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5. Sistema que realiza MHS Elaboração própria Um corpo leve de massa 𝑚 e com secção transversal de área 𝑆 flutua em um líquido de densidade 𝜌. Em um determinado instante, o corpo recebe um leve impulso para baixo.

a. Determine a que altura ℎ�� o corpo afunda para ficar em equilíbrio, antes do impulso. Use 𝑔 Como a constante da gravidade. b. Mostre que o corpo realiza MHS em torno desse ponto de equilíbrio. c. Calcule a frequência angular do corpo em questão. d. Um cubo de 81,0 kg e 1,00 m de lado flutua na água cuja massa específica é ρ = 1000 kg/m³. O cubo é então calcado ligeiramente para baixo. Desprezando-se as forças de atrito e tomando g = 10 m/s², determine o período de oscilação desse cubo.

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6. Oscilações para Pequenos Ângulos P2- 2014 (Corrigido) Uma bolinha homogênea de massa m e raio r rola sem deslizar sobre uma calha cilíndrica de raio R >> r, na vizinhança do fundo, ou seja, na aproximação de ângulos pequenos (ver fig. abaixo). Dado 𝐼�� =

1l𝑚𝑟².

a. Faça um esquema das forças que agem sobre a bola e determine a força resultante. b. Escreva U(θ) e T(dθ/dt) .

c. Mostre que o sistema é um oscilador com frequência angular ω = l���

.

d. Mostre que a função θ(t) = A cos(ωt + ϕ), onde A e ϕ são constantes, é solução da equação diferencial. e. Considerando que no instante t = 0 o ângulo é 𝜃0 e a velocidade é 𝑣0, determine a solução particular para este oscilador em termos de ω, 𝜃0, 𝑣S, e t. f. Escreva as expressões para U(t) e T(t), sendo U a energia potencial e T a energia cinética. g. Mostre que E = T + U é independente do tempo.

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Gabarito: Exercícios de fixação: 1. Alternativa D 2. Alternativa C 3. Alternativa C 4. a. 𝑥�� =

b�

b. 𝑚𝑥 = 1bL�− 1�

LK

c. 𝜔 = 1��

b³3

5. Alternativa B

6. 123

Exercícios P1: 1. Alternativa c 2.

a. 𝑥� = −𝜔1𝑥�, 𝑜𝑛𝑑𝑒𝜔 = �3

b. 𝑥 𝑡 = −3������

cos 𝜔𝑡 − 1 , 𝑥3bL = 0𝑒𝑥3�q = − 13� �����

c. 𝐾 = 31

�3������

1sin1(𝜔𝑡)

3.

a. 𝜃 = − ��+ 1��K

3�Kcos 𝜃 sin 𝜃

b. 𝜃 = − ��+ 1��K

3�K𝜃, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜𝜔 = �

�+ 1��K

3�K

c. 𝜃 𝑡 = 𝜃S cos (𝜔𝑡)

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4.

b.𝑇 = 𝜋 1ℓ��

5. a. ℎ�� =

3��

c. 𝜔0 =���3

d. 𝑇 = z��zSS

𝑠 6. a. Radial: 𝐹g = 𝑁 −𝑚𝑔 cos 𝜃; Tangencial: 𝐹p = 𝑓b  − 𝑚𝑔 sin 𝜃

b. 𝑈(𝜃) ≈ 𝑚𝑔𝑅(1 − cos 𝜃) 𝑇 𝜃 = �

zS𝑚𝑔𝜃²

e. 𝜃 𝑡 = 𝜃01 +J¡��

1cos 𝜔𝑡 − arctan J¡

��p¡ Ou

𝜃 𝑡 = 𝜃0 cos 𝜔𝑡 + J¡

��sin(𝜔𝑡)

f. 𝑈 𝑡 ≈ 3��1𝐴1cos²(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑇 𝑡 = 3��

1𝐴1 sin²(𝜔𝑡 + 𝜑)

Com 𝐴 = 𝜃01 +J¡��

1 e 𝜑 = −arctan J¡

��p¡