resumo matemática discreta

Resumo Matematica Discreta Pedro Dias

1 Relacoes

1.1 Relacao de equivalencia

• Reflexiva: ∀a ∈ A : aRa

• Simetrica: ∀a, b ∈ A : aRb⇒ bRa

• Transitiva: ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc⇒ aRc

1.2 Relacao de ordem parcial


• Anti-simetrica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa⇒ a = b


1.3 Relacao de ordem total


• Anti-simetrica: ∀a, b ∈ A : aRb ∧ bRa⇒ a = b


• Dicotomia: ∀a, b [a, b ∈ A]⇒ aRb ∨ bRa]]

2 Reducao a Forma Normal Prenex

1o Remover os ⇔ e os ⇒

2o Utilizacao das leis de DeMorgan e colocar as negacoes (¬) imediatamenteantes dos atomos

3o Movimentar os quantificadores para o inıcio da equacao, se necessario efec-tuar mudancas de variavel

3 Reducao a Forma Normal de Skolem

• Se nenhum quantificador universal (∀) aparece a esquerda de Qr, entao:

1o Escolher uma constante c (que nao figure na expressao)

2o Substituir Xr por c

3o Eliminar Qr(Xr)

• SeQ1, Q2, ..., Qn sao quantificadores universais (∀) que ocorrem a esquerdade Qr entao:

1o Escolher um sımbolo de funcao diferente dos existentes, com n argu-mentos

2o Substituir Xr por f(x1, ..., xn)

3o Eliminar Qr(Xr)

1


4 Unificacao

Wi ≡ conjuntos de expressoesDi ≡ conjunto das diferencasσi ≡ unificador mais geral (se Wi unitario)

1o Determinar o conjunto das diferencas

2o Se existem variaveis nesse conjunto entao a variavel xi e substituida por umtermo ti (ti/xi)

3o Se Wi nao e unitario voltar ao passo 1

5 Arranjos, Combinacoes, Permutacoes,...

5.1 Arranjos

A ordem importa.

An,m =n!

(n−m)!

Exemplo: Para a, b, c, A3,2 = 3!(3−2)! = 3× 2 = 6

ab, ac, ba, bc, ca, cb,

5.1.1 Arranjos com repeticao

A(m)n = nm

5.2 Combinacoes

A ordem nao importa. (n

m

)=

n!

(n−m)!m!

Exemplo: Para a, b, c,(32

)= 3!

(3−2)!2! = 3×22! = 6

2 = 3

ab, ac, bc

5.2.1 Combinacoes com repeticao(n+m− 1

m

)=n+m− 1!

(n− 1)!m!

5.3 Permutacoes

P (n) = An,n =n!

(n− n)!= n!

(0! = 1)

2


6 Equacoes de Recorrencia

6.1 Equacoes lineares homogeneas

Equacao Caracterıstica:

cn × xn + ...+ c1 × x1 = 0

Se as raızes da equacao caracterıstica forem diferentes entao a solucao geral e:

an = C1 × αn + C2 × βn

Se as raızes da equacao caracterıstica forem iguais entao a solucao geral e:

an = (C1 + C2n+ ...+ Cmnm−1)αn

m ≡ multiplicidade de α

So falta determinar as constantes.a0 = (C1 + C2 × 0)× x0C1 = a0Nota: o numero de constantes tem que ser igual ao numero de condicoes iniciaisfornecidas.

6.2 Equacoes lineares nao homogeneas

an = C1an−1 + C2an−2 + ... = f(n)

Donde a solucao e dada por:

an = a(1)n + a(2)n

a(1)n ≡ solucao geral

a(2)n ≡ solucao particular

a(1)n ≡equacao linear homogenea dada anteriormente

A solucao particular e dada por um de 3 casos:

1o - f(n) = cqn entaoa(2)n = Anm.qn

m ≡ multiplicidade de q enquanto raız da equacao caracterıstica

2o - f(n) = a0nk + a1n

k−1 + ...+ ak (polinomio de grau k)Seja r a multiplicidade de 1 enquanto raız da equacao caracterıstica nasolucao homogenea entao:

a(2)n = A0nr +A1n

r+1 + ...+Aknk+r

3o - f(n) = f1(n) + f2(n) + ...+ fk(n) entao a solucao particular

a(2)n = a(2)n,1 + a

(2)n,2 + ...+ a

(2)n,k

3


7 Teoria dos Grafos

7.1 Conceitos

7.1.1 Grafos Isomorfos

Dois grafos dizem-se isomorfos se tiverem o mesmo numero de vertices e dearestas e o grau dos vertices iguais.

7.1.2 Trajecto

Passeio sem arestas repetidas

7.1.3 Caminho

Passeio sem vertices repetidos.

7.1.4 Circuito

Trajecto fechado.

7.1.5 Ciclo

Caminho fechado.

7.1.6 Circuito de Euler

Tem todas as arestas do grafo.

7.1.7 Ciclo de Hamilton

Tem todos os vertices do grafo.

7.1.8 Notacoes

dist(x, y) ≡ min(comp(x, y)∀x, y (distancia= menor comprimento)

cintura ≡ comprimento do circuito de menor comprimento

e(v) = max{dist(u, v),∀u ∈ V (G)} (excentricidade=maior distancia)

diam(G) = max{∀u ∈ V (G) : e(u)} (diametro=maior excentricidade)

r(G) = min{∀u ∈ V (G) : e(u)} (raio=menor excentricidade)

4


7.2 Matriz de adjacencia

A =

0 1 01 0 10 1 0

v1• •v2

v3•A e uma matriz v × v

7.3 Matriz de incidencia

A =

1 1 0−1 0 10 −1 −1

v1•e1 //

e2""

•v2

e3||

v3•A e uma matriz v × eδG(v1) = 1 + 1 + 0 (o grau do vertice 1 e a soma da Linha 1)

7.4 Floresta

Um grafo e uma floresta se e so se

E(G) + V(G) + +cc(G) = 0

7.5 Codigo de Prufer

n− 2 iteracoesEliminacao sucessiva do vertice de menor grau.Exemplo:

•7 •1 •8

•2 •3 •4 •5 •6iteracao 1 2 3 4 5 6Si 1 2 6 7 3 4ti 4 3 5 3 4 5

ti ≡ vizinho do menor vertice de grau 1Portanto o codigo de Prufer e {4, 3, 5, 3, 4, 5}

7.6 Descodificacao do Codigo de Prufer

O vertice v aparece δG(v)− 1 vezes no codigo de Prufer.Si = min{si /∈ ti} ⇒ si → ti e uma aresta

7.7 Teorema de Cayley

O numero de arvores abrangentes de um grafo n-regular e dado por

T (Kn) = nn−2

5


7.8 Algoritmos

7.8.1 Kruskal

1o Ordenar as arestas por ordem crescente

2o Seleccionar as arestas de menor custo que nao formam ciclo.

7.8.2 Dijkstra

A cada iteracao seleccionar a aresta com menor custo acumulado.

8 Numeros de Euler

8.1 1a ordemn∑

k=0

⟨n

m

⟩= n!

⟨n

m

⟩= (n−m)

⟨n− 1

m− 1

⟩+ (m+ 1)

⟨n− 1

m

⟩⟨n0

⟩= 1⟨

nk

⟩= 0 ∀m > n

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