Unidade 3Unidade 3EquaçõesEquações

8º ano8º ano

Resumo Resumo

Equações 8º AnoEquações 8º Ano

Monómios e polinómiosO Pedro leva na mão 1 livro e não sabe quantos livros leva na mochila.

Que expressão pode representara situação?

Vamos designar por n o número de livros que estão dentro da mochila.

A expressão n + 1 representa a totalidade de livros que o Pedro transporta, sendo n a variável.

Nesta situação podemos ter várias hipóteses, então vamos utilizar uma tabela para organizar os dados

n 0 1 2 3

n+1 1 2 3 4

Monómios e polinómios

O que é um monómio?

É uma expressão constituída por um número ou uma letra, ou por um produto de números e letra

Exemplos: 3; 5n;

Num monómio existe um coeficiente e uma parte literal

O que é um Polinómio? É a soma de vários monómios

x + 3 ; 5x +2y +3; 3x2 + 8x + 4

Coeficiente parte literal e grau de um monómio

Monómio Coeficiente Parte literal

xy2 1 xy

-1/2 x

-5 -5 Não tem

2

x

Grau

3

1

0

Grau de um monómio é a

soma dos expoentes das

variáveis

A Parte literal é a letra

Número que está

pegado à letra

Monómios e polinómios

• Monómios semelhantes: têm a mesma parte literal

• Exemplos: 5x e 6x; 4y2 e 6y2

• Monómios simétricos: São monómios semelhantes com coeficientes simétricos

• Exemplos: 5x e -5x

Notas: Num monómio não há adições nem subtracções

b

h

2

hbExpressão que

representa a área de um triângulo

A CBx 2x

Adição de monómios e polinómios

• Observa a figura: as distâncias estão em metros

x e 2x são monómios. Nos monómios os números representam letraSe x = 4 então a distância de A até C é 4 + 2x4 = 12m

Simplificação da expressão:

x + 2x = 3x ( adiciona-se os coeficientes (1 + 2))

Lê-se 1 x Nota: Só se podem adicionar monómios semelhantes (com a mesma parte literal)

Adição de monómios e polinómios

• Como fazer:No problema anterior podia-se simplificar 1º a expressão:x + 2x = 3xse x = 4 então 3 x 4 = 12m

• Como fazer:

simplifica a seguinte expressão:

1º passo – identificar os monómios semelhantes2º passo – adicionar os monómios semelhantes

x + 3y + 2 + 3x – y – 5 =

= 4x + 2y -3

Adição de monómios e polinómios

Comutativa:

Propriedades

Associativa:

Distributiva da multiplicação

em relação à adição:

Elemento absorvente da Multiplicação:

Elemento neutro da adição:

a + b = b + a

ab = ba

(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)

a( b + c ) = ab + ac

a + 0 = 0 + a = a

a x 0 = 0 x a = 0

Simplificações de expressões com parênteses

Sinal + antes do

Parênteses

Mantêm-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses

Sinal - antes do

Parênteses

Trocam-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses

Sinal x antes do

Parênteses.

Multiplica-se os termos que estão dentro do parêntese

Como fazer

Sinal + antes do Parênteses

Mantêm-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses

3 + ( x - 3y + 2 ) = 3 + x – 3y + 2 = x – 3y + 5

Sinal - antes do Parênteses

Trocam-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses

Sinal x antes do Parênteses.

Multiplica-se os termos que estão dentro do parêntese

3 - ( x - 3y + 2 ) = 3 – x + 3y – 2 = - x + 3y + 1

3( x - 3y + 2 ) = 3x – 9y + 6

Produto de um monómio por um polinómio

22

5

1

5

1

5

55

5

1bbbbbb

Observa a figura:

2y

3 y Qual a área da figura?

A = 2y( 3 + y)

= 6y + 2y2

Como fazer: 1232384 aa1)

2)

A = ac + bc + ad + bd

( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

3x2 +21x –x -7=

Multiplicação de polinómios

• Um polinómio é a soma de vários monómios:

Qual a área da figura?

a bc

d

ac bc

ad bd

Como fazer 1)

2) (3x -1 )(x + 7) =

= 3x2 + 20x -7

Operações com polinómios

• Observa as figuras:

Operações com polinómios• Em alguns problemas temos de efectuar operações com polinómios.• Observa o seguinte exemplo:

3x + 2

Qual é o volume do cubo?

8365427

82418123627

)23)(4129(

)23)(4669(

)23)(23)(23(23

23

223

2

2

3

3

xxxV

xxxxxV

xxxV

xxxxV

xxxxV

aV

Quadrado do binómio

Quadrado do 1º Quadrado do 2ºO dobro do 1º pelo 2º

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

Como fazer

963 22 xxx1)

2) 16402545 22 xxx

3)

4

1

3

1

9

1

4

1

6

2

9

1

2

1

3

1

2

22

xx

xxx

Quantos livros são ao todo?

Quantos livros existem na mochila se ao todo são 15?

Expressões Equações

x + 4 x + 4 = 15

Nas expressões x representa um número desconhecido.

Nas equações x representa um número desconhecido mas determinado, o número 11

Balanças em equilíbrio

Resolução de Equações com parênteseComo fazer

3(x + 1) – (x -3 ) = 12

• tirar os parênteses

3x + 3 – x + 3 = 12 3x – x = 12 -3 -3

2x = 6

x = 3

2

6x

3. sc

• Passar para um membro os termos com incógnitas e para o outro os termos independentes

• Obter o valor da incógnita

• simplificar, resolvendo em ordem a x

• Indicar a solução

Equações com fracções

Como fazer:

)6()3()2( 1

5

2

32

3

1 xx

5

2

32

3

1 xx

6

30

6

96

6

22 xx 309622 xx

923062 xx 374x

4

37 x

4

37.sc

Colocar com o mesmo denominador

Cuidado com o sinal

Indicar a solução

Problemas com fracções

322

x

A soma de metade de um número com 2 é 3. Qual é esse número?

Como Fazer

Dados:

seja x o número

x/2 é a sua metade

)2()2( 1

3

1

2

2

x

2

46

64

x

x

x

2. sc

Resolução de Problemas e equações

O Pedro foi às compras.

Na primeira compra gastou a quarta parte do dinheiro que tinha e na segunda compra gastou metade do restante. Verificou que lhe sobraram 45 euros. Quanto dinheiro tinha o Pedro?

Como fazer: x = dinheiro do Pedro

x/4 = quarta parte do dinheiro que tinha

42

1 xx

= metade do restante

Resolução:

45

42

1

4

xx

xx

)8()1()4()2()8( 1

45

82

1

41

xx

xx

360428 xxxx

1203

3603603

x

xx

R: O Pedro tinha 120 euros

Lei do Anulamento do Produto

A lei do anulamento do produto aplica-se a equações de grau 2 ou superior

Lei do anulamento do produto: Se um produto de dois factores é zero então pelo menos um dos factores é zero

ab = 0 a = 0 v b =0

25

0205

0)2(5

xx

xx

xx

Como Fazer:

20

020

0)2(

xx

xx

xx

Equações do 2º grau Lei do Anulamento do Produto

A figura representa um lago quadrado de área 36m2. Qual o comprimento de cada lado

x? 36 m2

Resolução

66

36

36

36

2

xx

x

x

xx

66

0606

066

06

036

36

22

2

2

xx

xx

xx

x

x

x

Equações do 2º grau e Decomposição em factores

Equação

do 2º grau

Equação completa

22

0202

0)2)(2(0)2(

044

2

2

xx

xx

xxx

xx

Equação incompleta, falta o termo independente

Equação incompleta, falta o termo em x

50

0500)5(

055 22

xx

xxxx

xxxx

33992 xxxx

330303

0)3)(3(

03099 2222

xxxx

xx

xxx

Equação literal

• Chama-se equação literal a todo as equações que têm mais de uma variável.

• Como resolver uma equação em ordem a uma variável

v

etetv

t

ev

Equação simplificada da velocidade de um móvel

V= velocidade; e = espaço percorrido; t = tempo

Resolver em ordem a e

t

ev

Resolver em ordem a t

vtet

ev

FimFim

Bom trabalhoBom trabalho

Professor: Nelson Escalda