CONCEITOS GERAIS DOS SISTEMAS VIBRATRIOS SIMPLES Resumo baseado na seguinte bibliografia: Henrique, L. Acstica Musical Benade, A. Sopros, Cordas e Harmonia Olson, H. F. Music, Phisics and Engineering Movimentoperidico:ocorrequandoumcorpomaterialpercorresempreamesmatrajetria repetidamente em intervalos de tempo iguais, mesma velocidade e acelerao. Fig.1

Para haver oscilao preciso o equilbrio estvel, ou seja, aquele em que existe sempre uma fora de restituio que acelera o corpo para sua posio de equilbrio estvel. Fig.2 Movimentos peridicos: Pendular Circular Oscilatrio ou Vibratrio Sistemamassa/molaumamontagemfsicaparailustraromovimentooscilatrio.Osistema massa/molaevidenciademodoclaroduascaractersticasessenciaisparaaexistnciado movimentooscilatrio:Massa(componenteinercialaptoatransportarenergiacintica)e Elasticidade (componente elstica capaz de armazenar energia potencial elstica). Fig.3 VibraesmecnicasQuandooessencialdomovimentoocorreemcorposslidos(estrutura) em que as ondas de propagao so torcionais. Vibraes(oscilaes)acsticasQuandooessencialdomovimentoocorreemfludos(ar, gua). Propagao por ondas de compresso/rarefao. Ex. Um violoncelo um oscilador acstico-mecnico: a energia se transfere dos elementos estruturais (corpo slido do instrumento) para o ar circundante e vice-versa. Numa caixa de som (alto-falante), combinam-se aspectos acsticos, mecnicos e eltricos (ar, cone e corrente eltrica) Quanto aos termos oscilao e vibrao pode-se dizer, mais exatamente, que o primeiro se refere s vibraes acsticas e o segundo se refere s vibraes mecnicas. Ciclo - Em todos os movimentos peridicos o percurso efetuado ao fim do qual o movimento se repete.Umciclopodeserumarotao(mov.Circular),umaoscilaoouvibrao(penduloou corda). Perodo (T) - O intervalo de tempo necessrio para completar um ciclo = T=1/f Freqncia (f) - Nmero de ciclos efetuados numa determinada unidade de tempo. A frmula f =1/T; (T-1). A grandeza representada por f, e a unidade ciclo/ segundo (cs-1) ou Hz. Amplitude(A)Deslocamentomximodaposiodeequilbrioquecorrespondedistenso mximaimpostaaoosciladorduranteomovimento(elongaomximadoosciladorduranteo movimento).Aintensidadesonora(I)depende,porsuavez,devriosfatorescomoaamplitudede deslocamento de partculas, a amplitude da velocidade das partculas e, mais determinantemente, daamplitudedepressoqueamaiorvariaodepressoacimaeabaixodapresso atmosfrica.Comoasondassonorastransportamenergiaimportantedestacarqueaenergiade oscilaoproporcionalaoquadradodaamplitude.Quantointensidadedeumaondasonora conveniente, portanto, especificar se a referncia a amplitude ou a energia. FasedasOscilaesFase(oungulodefase)deummovimentoafraodeumperodoou cicloentreumpontoderefernciaeoutroqualquerpontodeumasenide.Faseumngulo representado por ! e exprime-se em radianos ou graus. O crculo trigonomtrico divide-se em 2! rad. (360o) e analogamente possvel medir a fase de um MHS entre zero e 2! rad. Fig.4 Nafiguraseguinte(Fig.5A)asondas1e2tmamesmafaseinicial;emBhumdefasagem inicialde270o entreasondas1e2.Nota-seadiferenanaformadaondaresultanteda sobreposio das duas, R : Fig.5 Devido ao fato de mudanas nas fases das ondas senoidais alterarem a forma dos sons complexos resultantes,asdiferenastmbricasproduzidaspodemsernotadas.Quantoaudiohque assinalar um importante efeito da defasagem: as ondas sonoras no atingem rigorosamente os dois ouvidossimultaneamentefenmenoquepermiteaeficciadosentidodelocalizaodafonte sonora e a sensao de relevo acstico. Este fenmeno serviu de base para o desenvolvimento do sistema de gravao e reproduo estereofnica. MovimentoHarmnicoSimples(MHS)ArepresentaogrficadoMHSumasenidepor analogia com a representao das funes trigonomtricas seno e co-seno. Uma vibrao em MHS definidaportrsparmetros:operodo(oufreqncia),aamplitudeeafase.Oosciladorque executa um MHS denomina-se oscilador harmnico (como o sistema massa/mola). Fig.3 AmortecimentoQualquersistemafsicoreal,quandopostoemvibraolivre(quandoo osciladorpostoemmovimentoporumaaoinicialnocontnua)apresentaumaoscilao amortecida, isto , uma diminuio no tempo da amplitude de oscilao at parar ao fim de certo tempo. Este fato ocorre por foras dissipativas, como o atrito. Fig.4 OsciladoresSistemasfsicosqueexecutamoscilaes.Paraocorrerumaoscilaonumcorpo que est em equilbrio preciso aplicar uma fora exterior. O oscilador reage a esta ao por meio deumaforaderestituioquebuscarestituirocorpoaoseuestadodeinicialdeequilbrio.Os osciladorespodemsermecnicosoueletromagnticos.Nosmecnicosaforaderestituio exercidaoupelagravidadeoupelaelasticidadeenososciladoreseletromagnticoso magnetismo.Nasoscilaesacsticasaforaderestituiodependedaelasticidadedofludono qual o som se propaga. Onda - Uma perturbao que se propaga em meio elstico gerando o movimento ondulatrio. No casoespecficodasoscilaesperidicasdeumcorpoasondasoriginadassoperidicas (perturbaesregulares).Omovimentoondulatriopossuiumaspectocaractersticoqueofato do movimento transportar energia e quantidade de movimento, mas no matria. Fig.5

preciso apontar que enquanto a freqncia origem da propagao da onda uma caracterstica do corpo que vibra, a velocidade com que a perturbao se propaga caracterstica do meio. Quanto a sua natureza as ondas podem ser mecnicas ou eletromagnticas. Comprimento de onda ou longitude de onda (!, lambda) - distncia entre dois pontos sucessivos de oscilao em igualdade de fase [ " = c/f ]. As ondas peridicas apresentam uma freqncia e um comprimento bem definidos. O comprimento de onda a analogia espacial do perodo de um sinal temporal harmnico. Fig.6 ModosvibratriosAmaioriadosinstrumentosmusicaiseavozhumananosoosciladores simples,comapenasumafreqncia,tempodeamortecimentooufaixaderessonncia. Normalmente,omovimentomaiscomplexoepodeservistocomoasobreposiodediversos modosprprios,ouseja,sistemascomvriosgrausdeliberdade.Umgraudeliberdade correspondeaummodovibratrio.Nafiguraabaixoarepresentaodemodosvibratrios transversais:

Fig.7 Abaixo (Fig.8), modos vibratrios longitudinais: Fig.8 Umacordamusicalpodeserconsideradaumsistemacontnuodeelementoscomcaractersticas inerciaisligadosentresiporelementoselsticos.Seonmerodemassastenderaoinfinito,o nmero de modos vibratrios tender para o infinito. Os modos vibratrios so independentes, isto ,umnicomodopodevibrarsemqueosoutrosintervenham.Masparaistoacontecer necessrio acionar o sistema s segundo aquele modo evitando os demais. Por mais complexa que sejaumavibraodeumsistemalinearcomngrausdeliberdadepodesersempreconsiderada comoumasobreposiodosmovimentosdosseusnmodosnaturais,sendocadaumdelesum movimento harmnico simples (MHS). Receitavibratria-Nasduasfigurasacimaosmodosvibratriosestorepresentadoscom amplitudesiguaisemagnitudearbitrria.Narealidadeasamplitudesdecadamodovibratriose diferenciam em funo das condies de excitao. A receita vibratria uma analogia culinria em que cada modo, sua amplitude prpria e tempo de amortecimento so os ingredientes dosados para a composio do resultado final do bolo. Ressonadoresmltiplos-Seumressonadormltiplo,isto,vibracomvriasfreqncias porque possue vrios modos prprios de vibrao. A caixa de ressonncia dos instrumentos (piano, violino, violo, etc.) so ressonadores mltiplos que possuem a propriedade de responder a muitas freqncias.Nosinstrumentosdesopro,madeirasemetais,ostubosatuamcomoressonadores mltiplos.Otratovocaltemvriasressonnciasquereforambandasdefreqnciaproduzidas pelascordasvocais.Aomodificaraformadotratovocal,variandoaformainteriordaboca, mudam as freqncias de ressonncias que determinam qual vogal ser produzida. Ondastransversais(emcorposslidos)-movimentooscilatriodaspartculasseddeforma transversaldireodepropagao,comonascordasemqueasvibraessepropagamdeum lado para o outro da linha da corda em repouso. (ver figura 6) Ondas longitudinais: movimento oscilatrio na mesma direo da propagao em que a partir de uma perturbao comprime sucessivamente as partculas do ar e assim irradiando uma onda como uma flutuao de densidade ou de presso, como nos tubos numa direo paralela ao comprimento do instrumento (Fig.9): Fig.9 Ondastransversaiselongitudinaisestacionriasseoriginamporsobreposiodeondasem sentidocontrrio,decomprimentodeondaeamplitudeiguais.Formam-sensvibratrios(N), pontosemqueimperaoestadoderepousoeventresvibratrios(V)nosquaishamplitudede oscilao mxima. A vibrao complexa de um corpo pode ser vista como uma somatria de ondas oucomoumasomatriademodos.Adesignaoestacionriaresultadeparecerqueaondaest parada.Umaondaestacionriaestlimitadaaumdeterminadomeiofinito:corda,tubo,placa,e consistenaexistnciadosnseventresqueaparecemalternadamente.Estespontosresultamda interfernciaconstrutivaedestrutivaquesepropagamnosdoissentidos.Asondaspropagam-se nos meios elsticos, mas ao encontrarem os limites desses meios podem refletir-se (Fig.10): Fig.10 Sobreposio de ondas (interferncia) Quandosesobrepemondasdemesmafreqncia,emigualdadedefase,elasseintensificam:a amplitude final a soma da amplitude das duas. Quando em fases opostas se enfraquecem, ou em caso extremo se anulam (uma defasagem de 180 e amplitude igual). Quando se sobrepem ondas de freqncia e amplitude diferentes originam-se formas ondulatrias complexas(PrincpiodeFourier)(ossonsqueseencontramnanatureza,incluindoossonsdos instrumentos e vozes). Quandosesobrepemduasondasdefreqnciamuitoprximaentresiseoriginambatimentos (pulsaes). A amplitude da onda resultante flutua periodicamente como vibrato (de amplitude). Fig.11 PropagaodoSomOmeiofuncionacomosuporteparaaperturbaoinicialprovocadapela vibraodafontesonorapoderpropagar-se.Omeioemqueouvimoshabitualmenteoareas ondasquesenelesepropagamsodenominadasondasdepresso,ouondasde compresso/rarefao, longitudinais e esfricas (tridimensionais). O som ao propagar-se no ar cria flutuaes de presso (compresses e rarefaes) relativamente pressoatmosfrica.Oouvido,rgoextremamentesensvelsvariaesdepresso,detecta diferenasemrelaopressoatmosfrica.Oaumentodapressorelativamentepresso atmosfrica, provocado pela onda, denomina-se presso acstica. Fig.12 Fig.13 DimensodoMeiodePropagaoOmeiodepropagaodasondassonoraspodeserslido, lquidoegasoso.Emrelaodimensodomeiodepropagao,elepodeserunidirecional, bidimensionaloutridimensional.Emtodoselesaelasticidadeedensidadesopropriedades comuns. Dimenso do meioExemploGrandeza da densidade Unidade UnidimensionalCorda de violinoMassa linear (, miu)Kg m-1 BidimensionalMembrana de tmpanoMassa superficial (",sigma) Kg m-2 TridimensionalAtmosfera,lminade xilofone Massa volmica (#,R) Kg m-3 Velocidade de propagao da onda sonora (c) A velocidade de propagao pode ser definidagenericamentecomoraizquadradadocoeficientedeelasticidadedomeiopelocoeficientede inrciadomeio.Noarrepresentadapelafrmula:c="yp/!emquey(gama)arazode aquecimento especfico (no ar =1.4), p representa a presso esttica no ar (Pa) e ! (r) se refere densidadedoar.Seapressomodificada,adensidadetambmalterada.Destemodonoh mudanadevelocidadeemfunodamudanadepresso.Masistosomenteverdadeirosea temperatura permanecer constante. Portanto a velocidade de propagao da onda sonora no ar a 0o C 331 ms-1 e a 20o C 343ms-1. ******* ANEXOS 1. RESUMO DOS PRINCIPAIS CONCEITOS: Elongao (e): desvio das partculas em relao ao repouso Amplitude(A):pontomximodeelongao:intensidade(maioramplitudemaior intensidade) ngulo de fase (#: fi) : estado momentneo de oscilao Perodo (T): tempo decorrido entre dois estados de oscilao iguais (dupla oscilao) Freqncia(f):nmerodeperodosporsegundo(duplaoscilao).Alturadosommedida emHz(hertzquantomaioronmerodeoscilaesporsegundomaisagudoosom)[f= 1/T] Longitudedeonda(!:lmbida):distnciaentredoispontossucessivosdeoscilaoem igualdade de fase [ ! = c/f ] Velocidade de propagao do som (c): a velocidade varia de acordo com o meio elstico No ar a velocidade padro aproximadamente de 340 ms. As variaes de velocidade dependem das variaes de temperatura objetivadas pela formula: c ="$p/! em que $= razo de calor, p = presso e != densidade (massa volumtrica) 2. ALFABETO GREGO