resumao resistencia dos materiais

Resumão – Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

1. Tração e compressão entre os limites elásticos.

Pontos importantes

Resistência dos materiais é o estudo da relação entre as cargas externas que atuam em um corpo e a intensidade das cargas internas no interior desse corpo

As forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfícies distribuídas ou concentradas ou como forças de corpo que atuam em todo o volume do corpo.

Cargas lineares distribuídas produzem uma força resultante com grandeza igual à área sob o diagrama de carga e com localização que passa pelo centróide dessa área.

Um apoio produz uma força em uma direção particular sobre seu elemento acoplado, se ele impedir a translação do elemento naquela direção, e produz momento binário no elemento se impedir a rotação.

As equações de equilíbrio ∑ F=0e∑ M=0 devem ser satisfeitas a fim de impedir que o corpo se translade com movimento acelerado e que tenha rotação. Quando se aplicam as equações de equilíbrio, é importante primeiro desenhar o diagrama de corpo livre do corpo a fim de considerar todos os termos das equações.

O método das seções é usado para determinar as cargas internas resultantes que atuam sobre a superfície do corpo secionado. Em geral, essas resultantes consistem em uma força normal, uma força de cisalhamento, um momento de torção e um momento fletor.

Tensão

Hipóteses em relação às propriedades do material

Contínuo → Distribuição uniforme de matéria, sem vazios. Coeso → Suas partes bem unidas, sem trincas, falhas e etc.

Definição: A tensão descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passa por determinado ponto.

Tensão Normal: É a intensidade da força que atua no sentido perpendicular a ΔA por unidade de área (σ).

Distribuição média de Tensão que atua na Seção Transversal de uma Barra prismática com carga axial

Hipóteses:

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1- A barra permanece reta antes e depois da carga ser aplicada. A seção transversal deve permanecer plana durante a deformação.

Obs. 1: As linhas horizontais e verticais da grade inscrita na barra deformam-se uniformemente quando a barra está submetida a carga.

Obs. 2: Desconsiderar as regiões da barra próximas a sua extremidade, pois as cargas externas podem provocar distorções localizadas.

2- P deve ser aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal. Material deve ser homogêneo e isotrópico.

Material homogêneo: Mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume.

Material Isotrópico: Possui essas mesmas propriedades em todas as direções

Tensão de Cisalhamento: É a intensidade da força, ou força por unidade de área, que atua tangente a ΔA (τ)

Cisalhamento simples ou direto

O cisalhamento é provocado pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos pinos, material de solda etc.

Coeficiente de Segurança: É a relação entre o carregamento último e o carregamento

admissível. FS=P falha

Padmissível.

A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a um projeto antieconômico.

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2. Análise das tensões e deformações.

Deformações

Deformação é a mudança na forma e tamanho de um corpo quando uma força é aplicada no mesmo.

Deformação normal: É o alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de

comprimento. ϵ= ∆s´−∆ s∆s

Se a deformação normal for conhecida, podemos utilizar a equação acima para obter o comprimento final aproximado, da seguinte forma: ∆ s´ ≈(1+ϵ)∆ s

Deformação por Cisalhamento: É a mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si. O ângulo é denotado por γ e medido em radianos.

γnt=π2− lim

B→A aolongode nC→A aolongode t

θ ´

Componentes Cartesianas das Deformações Específicas

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Suposições:

Dimensões do elemento retangular muito pequena, seu formato deformado será um paralelepípedo.

Segmentos de reta muito pequenos permanecem retos após a deformação do corpo

Observações:

Deformações normais provocam mudança de volume do elemento retangular Deformações por cisalhamento provocam mudança no seu formato.

O estado de deformação em um ponto é caracterizado por seis componentes da deformação: Três deformações normais εx , εy e εz e três deformações por cisalhamento γxy , γyz e γxz . Esses componentes dependem da orientação dos segmentos de reta e de sua localização no corpo.

Análise de pequenas deformações: A maioria dos materiais da engenharia sofre pequenas deformações que em algumas aplicações podem ser admitidas. Desse modo, quando a deformação normal for pequena (ε << 1), pode-se desprezar tanto o produto de duas deformações específicas quanto o produto de duas deformações.

Diagrama tensão x deformação convencional

Tensão nominal ou de engenharia: Determina-se com os dados registrados, dividindo-se a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.

Deformação nominal ou de engenharia: É obtida da leitura do extensômetro, ou dividindo-se a variação do comprimento de referência, δ, pelo comprimento de referência inicial L0.

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Lei de Hooke: É a Relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade. Foi descoberta por Robert Hooke, em 1676, com o auxílio de molas. Um material é chamado de linear-elátisco se a tensão for proporcional a deformação dentro da região elástica. Essa condição é denominada Lei de Hooke e o declive da curva é chamado de módulo de elasticidade E. σ=Eε

3. Estado plano de tensões.

Transformação de Tensão ou Análise de Tensão

O estado geral de tensão não é encontrado com freqüência na prática da engenharia. Aproximações ou Simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um plano simples

Observações gerais:

Em torno de um ponto, um elemento de superfície podendo assumir uma infinidade de posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a cada uma dessas posições.

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O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os planos passando pelo ponto.

Os diferentes estados de tensão num ponto

Estado Triplo ou Tri-Axial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo elementar admitem componentes nas direções de todas as suas arestas.

Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial – As tensões no paralelepípedo apresentam componentes paralelas a apenas dois eixos.

Estado Simples ou uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de uma única aresta

Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões tangenciais. O simples valor τ xy=τ yx é suficiente para definir o estado de tensão no ponto.

Análise das tensões no Estado Plano

O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas.

Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano

O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa da coordenada da face negativa do elemento como na figura acima.

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Para lembrar a convenção de sinais: A tensão normal é positiva quando atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento é positiva quando atua para cima na face direita do elemento.

Ângulo θ: Orientação do plano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das tensões normal e de cisalhamento (Positivo no sentido anti-horário).

Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano

Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais (tensões que agem nos planos principais), a tensão de cisalhamento é nula.

Orientação dos planos de tensões normais máxima e mínima:

Tensões principais: A equação abaixo nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que σ1 ≥ σ2. A tensão cisalhante atuante nos planos principais é nula.

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Tensão cisalhante máxima no plano:

Tensão normal nos planos de tensão cisalhante máxima:

Círculo de Tensões de Mohr

É utilizado para obter graficamente uma solução mais rápida para os problemas de transformação de tensões (Análise das tensões no ponto).

Traçado do Círculo de Mohr

I. Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ, com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ, com sentido positivo para baixo.

II. Usando a convenção de sinal positiva para σx , σy e τxy, marcamos o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância σ méd= (σ x−σ y) /2 da origem.

III. Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas A(σx, τxy ). Esse ponto representa os componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, como o eixo x’ coincide com o eixo x, isso significa que θ=0°.

IV. Unir o ponto A ao centro C e determinar CA usando trigonometria. Essa distância representa o raio R do círculo.

V. Traçar o círculo.

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4. Força cortante e momento fletor.

Deflexão de Vigas

Deflexão de vigas → Equações diferenciais da curva de deflexão

Estruturas encontradas na vida diária sofrem pequenas variações na forma enquanto estão em serviço e não são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curva de deflexão da maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muito pequenos, deflexões muito pequenas e curvaturas muito pequenas.

Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dada por: κ=1ρ=MEI

A deflexão da viga em qualquer ponto ao longo de seu eixo é o deslocamento desse ponto em relação à sua posição original, medida na direção de y.

Flexão Pura e Flexão Não-Uniforme

Flexão Pura - Referente à flexão na viga submetida a um momento fletor constante. Ocorre nas regiões onde a força de cisalhamento é zero, pois V=dM/dx.

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Flexão Não-Uniforme – Flexão na presença de forças de cisalhamento, o que significa que o momento fletor varia quando nos movemos ao longo do eixo da viga.

Tensões normais em vigas (Materiais Elásticos Lineares)

A relação tensão deformação mais comum encontrada na engenharia é a equação do material linear e elástico. A equação abaixo mostra que a tensão normal varia linearmente com a distância y da superfície neutra.

Da figura acima observa-se que: M>0 ; κ >0; σx<0 (compressão) acima da superfície neutra; σx > 0 (tração) abaixo da superfície neutra. A linha neutra passa através do centróide da área da seção transversal quando o material segue a lei de Hooke e não existem forças axiais agindo na seção transversal.

Fórmula de flexão

Tensões calculadas a partir da fórmula de flexão são chamadas de tensões fletoras ou tensões

de flexão. σ x=McI

A expressão da flexão mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores positivos causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode visualizar este resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões terão sinais invertidos como mostra a figura abaixo.

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Limitações

As análises apresentadas nesta seção são para flexões puras em vigas prismáticas composta de materiais homogêneos e elásticos lineares. Caso a viga esteja submetida a uma flexão não-uniforme a força de cisalhamento gerará um empenamento, ou seja, uma distorção fora do plano. Dessa forma, uma seção que era plana antes da flexão, não é mais plana depois da flexão.

Análises revelam que as tensões de flexão, não são significativamente alteradas pela presença das forças de cisalhamento e seu empenamento associado. Dessa forma, utiliza-se a teoria de flexão pura para calcular tensões normais em vigas submetidas a tensões de flexão não-uniforme.

A fórmula de flexão fornece resultados precisos apenas nas regiões da viga onde as distribuições de tensões não são perturbadas pela forma da viga ou por descontinuidades no carregamento. A fórmula de flexão não é aplicada próximo dos apoios ou de carregamentos concentrados, pois essas irregularidades produzem tensões localizadas, ou concentrações de tensões que são muito maiores do que a tensão de flexão.

5. Tensões/deformações em vigas carregadas transversalmente.

Forças e momentos internos em vigas

Vigas horizontais carregadas são elementos comuns na prática e o dimensionamento exige a determinação das tensões internas em função da(s) carga(s) aplicada(s).

Seja, conforme figura abaixo, uma viga horizontal com um carregamento genérico F(x) ao longo do seu comprimento. A simples dedução lógica permite concluir que esta viga está internamente submetida a esforços de cisalhamento e flexão.

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Considerando um corte transversal hipotético em um local qualquer A, é possível separar os esforços distintos: cisalhamento conforme (b) da figura e momento de flexão conforme (c) da mesma figura.

Algumas referências usam os termos esforço cortante para o cisalhamento e momento fletor para o momento de flexão.

Também pode ser encontrada a expressão força transversal para o cisalhamento.

Em geral adotam-se as convenções de sinais como em (b) e (c), isto é, cisalhamento positivo tende a girar cada parte no sentido horário e momento positivo tende a tracionar a parte inferior e comprimir a parte superior da viga (obs: os sinais de cisalhamento e momento da figura não têm relação com o carregamento indicado).

Diagramas de esforços em vigas

A Figura abaixo (a) dá exemplo de um dos carregamentos mais simples: uma viga apoiada em dois cutelos com uma única carga vertical F1. O apoio sobre cutelos garante que não há momentos nas extremidades e que não há forças longitudinais se o carregamento é vertical, pois o cutelo direito está sobre rolos.

Considerando a origem das coordenadas x = 0, um problema típico consiste em determinar os esforços ao longo da viga conhecidos os valores de F1, o seu ponto de aplicação x1 e o comprimento da viga x2.

O esquema das forças atuantes na viga é dado em (b) da figura. F0 e F2 são as reações dos apoios. Notar que é uma viga estaticamente determinada, isto é, todas as forças podem ser calculadas pela aplicação das condições de equilíbrio estático (soma das forças nulas e também dos momentos).

De ∑ Fy = 0, ocorre

F1 = − F0 − F2.

De ∑ M = 0 (em relação ao ponto 0 por exemplo),

F1 x1 = − F2 x2.

A condição ∑ Fx = 0 não se aplica por não existir força nesse sentido.

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Portanto, F2 = − F1 x1 / x2.

F0 = − F1 − F2 = − F1 + F1 x1 / x2. Ou

F0 = − F1 (x2 − x1) / x2.

Considera-se agora um trecho genérico de 0 a um ponto x, à esquerda de 1, conforme (c) da figura.

Aplicando a condição de equilíbrio ∑ Fy = 0, em módulo, Fc = F0. E o cisalhamento interno é positivo conforme critério do tópico anterior.

Assim, do ponto 0 até 1,

Fc = F0.

É fácil deduzir que do ponto 1 ao ponto 2 vale Fc = F0 + F1 = − F2.

Novamente se considera o ponto x à esquerda do ponto 1 conforme figura.

Aplicando a condição ∑ M = 0 em relação a x,

M = x F0 (positivo conforme critério do tópico anterior).

Entre os pontos 1 e 2, M = x F0 − (x − x1) F1.

Substituindo os valores de F0 e F1 conforme já calculado,

Entre 0 e 1: M = F1 (x2 − x1) x / x2. Portanto,Para x = 0, M = 0.Para x = x1, M = F1 (x2 − x1) x1 / x2.

Entre 1 e 2: M = x F0 − (x − x1) F1 = x (F0 − F1) + x1 F1. Mas F0 − F1 = − F2. Assim,M = − x F1 x1 / x2 + x1 F1 = F1 (x1 − x1 x / x2 ) = F1 x1 (1 − x / x2 ). Portanto,

Para x = x2, M = 0.Para x = x1, M = F1 x1 (1 − x1 / x2) = F1 x1 (x2 − x1) / x2 . Notar que é igual ao valor do trecho anterior. E o gráfico é conforme (e) da figura.

E os valores máximos são dados por:

Fc_max = max (F0, F2) com F0 = F1 (x2 − x1) / x2 e F2 = F1 x1 / x2.

Mmax = F1 (x2 − x1) x1 / x2.

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Viga apoiada com várias cargas concentradas Viga apoiada com carga uniformemente distribuída

Viga engastada com uma carga na extremidade Viga engastada com carga distribuída

Viga apoiada com momento concentrado

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6. Problemas de flexão estaticamente indeterminados.

Carregamentos hiperestáticos ou estaticamente indeterminados ocorrem quando as equações fundamentais da estática, ∑F = 0 (ou ∑Fx = 0 e ∑Fy = 0) e ∑M = 0, não são suficientes para determinar os esforços atuantes. Ou seja, o número de incógnitas excede o número de equações de equilíbrio.

Viga horizontal com três apoios

A Figura abaixo (a) ilustra uma viga horizontal de seção transversal constante com três apoios e submetida às forças externas conhecidas F e H em cada vão. As reações dos apoios são A, C e B. As distâncias horizontais são todas conhecidas, valendo naturalmente a + b = α + β = m+n = L.

Desde que só há forças verticais, de ∑Fy = 0 tem-se em módulo

A + C + B = F + H.

De ∑M = 0 em relação a A, por exemplo, tem-se em módulo

mC + LB = aF + αH.

Há, portanto três valores desconhecidos (A, C, B) e duas equações, caracterizando um carregamento hiperestático. Pode-se resolver o problema considerando o fato de ser nulo o valor da linha elástica em C.

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Usando o método da superposição, considera-se a situação (a) igual à soma dos carregamentos listados a seguir.

(b) só com atuação da força F, que produz um deslocamento yF em C.

(c) só com atuação da força H, que produz um deslocamento yH em C.

(d) só com atuação da força de reação C, que produz um deslocamento yC em C.

Se em módulos yC = yF + yH, conclui-se que o deslocamento em C é nulo. Assim, a situação equivale ao carregamento (a) e os valores de todas as reações dos apoios podem ser determinados.

Esses três carregamentos simples são do mesmo tipo, isto é, viga bi-apoiada com carga concentrada em posição genérica. As fórmulas já foram dadas em páginas anteriores. Assim,

(b) yF é a flecha para x = m.

yF = [FL3/(6EJ)] (b/L) (a/L)2 (n/L) [1 + L/a - n2/ab].

(c) yH é a flecha para x = m.

yH = [HL3/(6EJ)] (α/L) (β/L)2 (m/L) [1 + L/β - m2/αβ].

(d) yC é a flecha no ponto de aplicação da força.

yC = (C m2 n2) / (3 E J L).

Para obter um fator comum com as anteriores, multiplicam-se ambos por 2L3

yC = 2 [CL3/(6EJ)] (mn/L2)2.

Voltando à igualdade anterior, yC = yF + yH, faz-se a substituição

2 [CL3/(6EJ)] (mn/L2)2 =[FL3/(6EJ)] (b/L) (a/L)2 (n/L) [1 + L/a - n2/ab] + [HL3/(6EJ)] (α/L) (β/L)2 (m/L) [1 + L/β - m2/αβ].

Resultando após simplificação:

C = [F b a2 / (2 n m2)] [1 + L/a - n2/ab] + [H α β2 / (2 m n2)] [1 + L/β - m2/αβ] #A.1#.

Com essa fórmula, a reação C é determinada e as demais (A e B) são obtidas das igualdades do início deste tópico.

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7. Torção e momento torsor.

Torção

Torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.

Membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência através de rotação são chamados de eixos.

Deformações de torção de uma barra circular

Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T. Considerações:

Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam na forma enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as seções transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos.

Caso o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e outra é pequeno, nem o comprimento da barra e nem seu raio irão variar.

Equação para deformação de cisalhamento na superfície externa: γmáx=rθ

Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares

Caso o material seja elástico-linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento: τ=Gγ

O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões iguais de compressão e tração agindo num elemento orientado num ângulo de 45°. Se uma barra é feita de um material que é mais frágil em tração do que em cisalhamento, a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45° do eixo.

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A Fórmula de Torção

A distribuição de tensões de cisalhamento agindo em uma seção transversal foi ilustrada anteriormente. Como essas tensões agem continuamente ao redor da seção transversal, têm uma resultante na forma de um momento – um momento igual ao torque agindo na barra.

A fórmula de torção é mostrada abaixo. A tensão de cisalhamento máxima é diretamente proporcional ao torque aplicado, T e inversamente proporcional ao momento de inércia polar,

J: τ=TρJ

O torque T interno desenvolve não apenas uma distribuição linear de tensões cisalhantes em cada linha radial no plano da seção transversal, mas também uma distribuição de tensões cisalhantes associadas ao longo de um plano axial.

Para um círculo de raio r e diâmetro d, o momento de inércia polar é: J= π2r 4

Tubos circulares: Se um eixo tem uma seção transversal tubular, seu momento polar de inércia

é dado por: J= π2

(r¿¿e4−ri4)¿

Torção Não-Uniforme

A barra não precisa ser prismática e os torques aplicados podem agir em qualquer lugar ao longo do eixo da barra. Nesse caso aplica-se a fórmula de torção pura em segmentos individuais da barra e somam-se os resultados, ou aplicam-se as fórmulas para elementos diferenciais e integra-se.

Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao longo de cada segmento

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Tem-se que os torques abaixo são constantes ao longo do comprimento de seu segmento:

Convenção de sinal: Um torque interno é positivo quando seu vetor aponta para fora da seção cortada e negativa quando seu vetor aponta em direção à seção. Caso o torque tenha sinal positivo, isso quer dizer que ele está na direção assumida, caso contrário, ele age na direção oposta.

Fórmula geral do ângulo de torção: O subscrito i é um índice numérico para os vários segmentos, Ti é o torque interno, Li é o comprimento, Gi é o módulo de cisalhamento e Ji é o momento de inércia polar.

ϕ=∑i=1

n

ϕi=∑i=1

n T iLiGi J i

Transmissão de Potência por eixos Circulares

A potência é transmitida através do movimento rotatório do eixo e a quantidade de potência transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de rotação. Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.

P=Tω, onde ω=2πf

Engrenamento: A razão entre o número de dentes nas rodas é diretamente proporcional à razão de torque e inversamente proporcional à razão das velocidades de rotação. Temos a

seguinte equação: n2n1

=z1z2

8. Momento de inércia das figuras planas.

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O momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em torno de um eixo de rotação. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar. Contribui mais para a elevação do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²).

9. Critérios de Falha – Materiais Dúcteis

Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima (Critério de Tresca)

O caso mais comum de escoamento de um material dúctil, como o aço, é o deslizamento (devido à tensão de cisalhamento) que ocorre ao longo dos planos de contato dos cristais que, aleatoriamente ordenados, formam o próprio material. Os planos de deslizamento ocorrem a aproximadamente 45º do eixo de carregamento.

Considerando-se um elemento do material tirado de um corpo de prova para um ensaio de tração, submetido apenas ao limite de escoamento σE , como apresenta a Figura abaixo. A tensão de cisalhamento máxima é determinada a partir do círculo de Mohr. Dessa forma tem-se.

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Utilizando a idéia de que os materiais Dúcteis falham por cisalhamento, Henri Tresca propôs em 1868 a sua teoria que é usada para prever a tensão de falha de um material dúctil submetido a qualquer tipo de carregamento.

O escoamento do material começa quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge o valor da tensão de cisalhamento que provoca escoamento do material quando ele está

submetido apenas à tensão axial. Para evitar a falha tem-se que: τ máx|¿|

≤σ E

2 ¿

Para o estudo e aplicações é necessário colocar a tensão de cisalhamento em função das tensões principais. Lembrando que, quando a tensão principal fora do plano é nula. Se as duas tensões principais no plano tiverem o mesmo sinal, ou seja, se ambas forem de tração ou

compressão, então a falha ocorrerá fora do plano e assim tem-se: τ máx|¿|

=σ máx

2 ¿

Caso as tensões principais tenham sinais opostos, então a falha ocorrerá no plano e sabe-se

que: τ máx|¿|

=σmáx−σmin

2 ¿

A teoria da tensão de cisalhamento máxima para o estado plano de tensões pode ser expressa para quaisquer tensões principais no plano como σ1 e σ2 de acordo com o seguinte critério:

Um gráfico dessas equações é apresentado na figura abaixo:

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Se qualquer ponto do material estiver sujeito a um estado plano de tensões e suas tensões principais no plano forem representadas pelas coordenadas (σ1 e σ2 ) marcadas no limite ou fora da área hexagonal sombreada, o material escoará no ponto e ocorrerá falha.

Teoria da Energia de Distorção Máxima (Critério de Von Mises)

Um material quando deformado por um carregamento externo tende a armazenar energia internamente em todo o seu volume. A energia por unidade de volume do material é chamada densidade de energia de deformação e, se ele estiver sujeito a uma tensão uniaxial, σ , essa

densidade é escrita como: u= σε2

Experimentos demonstram que os materiais não escoam quando submetidos a uma tensão uniforme (hidrostática), tal como a σméd. Com base nisso, em 1904, M. Huber propôs que ocorre escoamento em um material dúctil, quando a energia de distorção por unidade de volume do material é igual ou maior que a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material quando ele é submetido a escoamento em um teste de tração simples.

O critério de falha de Von Mises é dado por: σ 12−σ1σ2+σ 2

2=σ E2

E graficamente é representado por:

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Caso um ponto do material estiver tracionado de tal forma que a coordenada da tensão (σ1 e σ2) esteja posicionada no limite ou fora da área sombreada, diz-se que o material falhou. A figura abaixo representa a comparação entre os critérios de Tresca e de Von Mises.

10. Vasos de Pressão

Vasos de Pressão: São estruturas fechadas contendo líquidos ou gases sob pressão. Vasos de Pressão de paredes finas (Estruturas de Cascas) – Cúpulas de telhados, asas de aviões e cascos de submarinos. A relação r/t > 10 , onde r é o raio e t é a espessura da parede.

Parede Esférica: A parede de um vaso esférico pressurizado está submetida a tensões de

tração uniformes σ em todas as direções. σ= pr2 t

Limitações:

a. A espessura da parede deve ser pequena em comparação às outras dimensões ( t/r ≥ 10 )

b. A pressão interna deve exceder a pressão externa (para evitar flambagem) c. A análise apresentada nesta seção é baseada apenas nos efeitos de pressão interna. d. As fórmulas descritas não são válidas em pontos de concentrações de tensão.

Parede Cilíndrica:

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Tensão Circunferencial: σ 1=prt

Tensão Longitudinal: σ 2=pr2 t

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resumao resistencia dos materiais

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