100

■ CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Revendo as frações

1 412

515

618

= =

2 a) 18 b) 3

4 c) 58 d) 3

8

3 a) 110 b) 7

10 c) 1120

4 a) A = 5 b) B = 3 c) C = 2

5 Só é falsa a igualdade e.

6 110

17

15

1632

3216

, , , ,

7 − 14

de 13

é éigual a 112

.

Adição e subtração

8 16

14

212

312

512

+ = + =

9 a) Juntando 23 , que são mais que metade, com

15 , Fabiana obteve 3

8 , que são menos que

metade. Isso não pode estar correto!

b) 23

15

1015

315

1315

+ = + =

10 a) − 1377 b) − 1

4 c) − 130 d)−

16

11 Faltam 120 dos deputados e 1

4 dos senadores.

12 a) 19180 b) − 17

24 c) 2324

d) 9100

e) 112 f) 22

105

13 a) 715 b) 28 km

Multiplicação

14 a) − 635 b) − � −18

2434 c) 4

9 d) − 827

15 a) 28 b) 316 c) –1

16 A lição toda será feita em 2h30min; para completá-la, vou gastar 1h30min.

14

13de do retângulo

Problemas e exercícios complementares

■ CAPÍTULO 1 – NÚMEROS PRIMOS

Números Primos

1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19

2 a) 1 e 7; 1 e 23; 1 e 29 b) Só dois.

3 a) 28 = 4 ⋅ 7 = 22 ⋅ 7 b) 45 = 5 ⋅ 9 = 5 ⋅ 32

c) 135 = 9 ⋅ 15 = 32⋅ 3 ⋅ 5 = 33 ⋅ 5

4 a) 21 = 3 ⋅ 7 b) 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7

c) 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 d) 90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5

5 a) 12 = 5 + 7 b) 42 = 5 + 37

c) 58 = 5 + 53 d) 120 = 11 + 109Observação: os itens b, c e d admitem outrassoluções.

Decomposição em fatores primos

6 a) Sim. b) Não. 253 = 11 ⋅ 23

c) Não. 267 = 3 ⋅ 89

7 303 = 3 ⋅ 101

404 = 22 ⋅ 101

505 = 5 ⋅ 101

606 = 2 ⋅ 3 ⋅ 101

8 a) 111 = 3 ⋅ 37

b) 222 = 2 ⋅ 3 ⋅ 37 333 = 32 ⋅ 37

444 = 22 ⋅ 3 ⋅ 37 555 = 3 ⋅ 5 ⋅ 37666 = 2 ⋅ 32 ⋅ 37

9 a) 275 = 52 ⋅ 11 b) 420 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

Cálculo do mmc

10 a) 210 b) 105 c) 150

11 mmc (A; B) = 24 ⋅ 32 ⋅ 52 = 3 600

12 a) Não. É 60.

b) Sim.

c) Sim, porque 24 é múltiplo de 8.

d) Não. É 70.

13 a) 550 b) 360

14 a) 325, que é o menor múltiplo comum de 25 e 65.

b) A seqüência dos números divisíveis por 25 e 65é infinita: 0, 325, 650, 975, 1 300, ... Não existe omaior múltiplo comum de 25 e 65.

15 O número procurado é da forma 12 ⋅ a + 10 e comoestá entre 150 e 200 pode ser: 154, 166, 178 ou190. Considerando as outras informações, chega-se à resposta: 190 moedas.

MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM100

101A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A

C

AB

azul

vermelho

laranja

N

X222°

147°

100°

rota 100

rota 147

rota 222

N

R

S

Y

N

b) 300 km, aproximadamente.

c) 144, aproximadamente.

5 C = 25°, BC = 11,8 cm, AC = 10,1 cm (valoresaproximados).

6 a) No desenho pessoal, AB deve medir 40 mm,aproximadamente.

b) Infinitas soluções.

c) Impossível.

7 Em relação à construção pessoal, a figura seguinteestá reduzida em 25 %.

Construindo formas tridimensionais

8 a) b)

9 a) A e C; B e D; E e F b) A e L; R e S; O e C

10 O da alternativa c. (Não é a, porque a face comlistas deve ser oposta à face com “minhoquinhas”;não é b nem d, porque a face pontilhada deve seroposta à com listas diagonais.)

11 Construção pessoal.

■ CAPÍTULO 4 – APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA

Um pouco da matemática do dia-a-dia

1 R$ 72,00

2 6,5

3 140 L

4 A embalagem de 320 g sai mais em conta. Nesta,100 g de xampu custam menos de R$ 1,00.

Usando porcentagens

5 Fogão: 7,8 % aproximadamente; máquina de lavar:7,5 % aproximadamente.

17 15

18 Suponhamos que o vendedor tenha misturado,inicialmente, 1 L de concentrado com 2 L de água,

obtendo 3 L de uma mistura. Ao retirar 14 dessa

mistura, retirou 14 de 1 L de concentrado, isto é,

deixou lá 34 de litro de concentrado. Na mistura

final, que tem 3 L, estes 34 de litro representam

14 . Logo, a resposta é 1

4 .

Divisão

19 a) 5 b) 5 c) 20

20 a) − 65 b) 23

3 c) –2 d) 10

21 a) 14,8 b) 50 c) 16 d) 0,2

■ CAPÍTULO 3 – CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

Usando os instrumentos de desenho

1 No desenho pessoal, AB deve medir 3,6 cmaproximadamente.

2 Traça-se AB. Com centro em A, traça-se umacircunferência com raio de 4,5 cm; com centro emB, outra circunferência com 6,1 cm de raio. O vérticeC do triângulo é qualquer um dos pontos em queessas circunferências se intersectam. (Também sepode começar traçando BC ou AC.)

3 Desenha-se um triângulo eqüilátero. Depois, di-vide-se cada lado em três partes iguais.

4 a) Em relação à construção pessoal, a figuraseguinte está reduzida em 50 %.

MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM101

102

Bx

Bb

Ba Bd

B c

■ CAPÍTULO 6 – ÂNGULOS, PARALELAS E POLÍGONOS

Algumas propriedades dos ângulos

1 BOCˆ = 135° e CODˆ = 45°.

2 a) x = y = 42° b) x = 61° e y = 108°

3 a) 115° e 115° b) 130° e 50° c) 108° e 108°

4 a)

40°

xz

ym

n

ba

6 R$ 80,25

7 a) 35 % b) 60 %

8 R$ 1 004,15

9 A rede Big Cat está crescendo mais (12,5 % versus11,1 %, aproximadamente).

10 a) 57 cm × 51 cm, aproximadamente.

b) Aproximadamente 23 %.

11 Uma lâmpada incandescente de 20 watts deveproduzir 300 lumens. A comparação, portanto, é:

1600300 ≈ 5,33. Isso significa que a lâmpada

fluorescente é, aproximadamente, 433 % maiseconômica que a lâmpada incandescente.

■ CAPÍTULO 5 – RETOMANDO A ÁLGEBRA

Usando fórmulas e equações

1 a) 6 b) 3 c) 3,52 d) 1,32

2 b = 16 cm e a = 31 cm

3 a) x = 21353

b) x = 26

4 9,5

5 260,6 oF

O que é álgebra

6 2x – 1; 75m

7 a) 0,15x b) 23x c) 1,20 ⋅ x

d) 2 ⋅ x + 7 e) 2 ⋅ (x + 7) f) 2x + 2y

8 a) R$ 144,00 b) 1,20 g c) R = 1,50r + 1,20 g

9 a) 110425

b) 18

10 a) 1411

– b) –20

Resolvendo problemas

11 87,5 e 122,5

12 a) 23 b) 17

22

23x x x+ − = c) x = 14

13 x x3

1 49+ + = , donde x = 36.

14 –16

15 a) x x x x− − − = −13

14

12

200

b) R$ 2 400,00

16 700 veículos.

17 A receberá R$ 200 000,00; B receberá R$ 250 000,00;C receberá R$ 300 000,00.

b + x = 180º ˆx a= (ângulos correspondentes formados por retasparalelas)

Então a + b = 180º, isto é, a e b são suplementares.

b) Sim, pelo mesmo motivo.

c) 360°

5

a // b e m // n

Temos: y = 40º (ângulos correspondentes e a // b);y + z = 180o , logo z = 140o. Como ˆx z= (alternosinternos com m // n), resulta x = 140o.

6 A rota BA é: 77 + 180 = 257.

Soma das medidas dos ângulos internosde um triângulo

7 102°

8 A = 50° e M = 80°

9 135°

10 36°

Soma das medidas dos ângulos internosde um polígono

11 A soma das medidas dos ângulos internos dequalquer triângulo é igual a 180º. Por isso, dividoo polígono em triângulos, traçando as diagonaisque partem de um vértice. Multiplico o númerode triângulos obtidos por 180º e chego ao resultadoprocurado.

12 162º

13 Se a construção for feita com capricho, todas asdiagonais do pentágono medirão 8 cm,aproximadamente.

14 Sim. 18 lados.

MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM102

103A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A

b) 1 milhão = 1 000 000 = 106

c) 1 bilhão = 1 000 000 000 = 109

d) 1 trilhão = 1 000 000 000 000 = 1012

3 a) 1 milésimo = 0,001 = 10–3

b) 1 centésimo de milésimo = 0,000 01 = 10–5

c) 1 milionésimo = 0,000 001 = 10–6

d) 1 décimo de milionésimo = 0,000 000 1 = 10–7

4 a) −120 b) 5 c) 1

36 d) 12

Notação científica

5 Mil bactérias formariam uma fila de comprimentoigual a 1 000 ⋅ 2 ⋅ 10–4 mm = 0,2 mm. Essa fila teria,portanto, menos de 1 milímetro.

6 1 000

7 50 g

8 a) 3 × 107 b) 3,5 × 107 c) 3 × 10–7 d) 3,5 × 10–7

9 1 femtossegundo = 0,000 000 000 000 001 s = 10–15 s

Propriedades das potências

10 a) 0,78 b) 711

5

11 a) 15–21 b) 158

12 a) 333 b) 360 c) 5–14 d) x20

13 a) 20 736 b) 144 c) 248 832 d) 1 728

14 a) 1023 = 108 = 100 000 000

b) 102 3( ) = 106 = 1 000 000

c) 108 : 106 = 102 = 100

Raízes

15 a) 7 b) –5 c) 54 d) 3

16 a) 1,9881 b) 1,41 ≈ 2

17 a) –8 b) –44 c) –57 d) –5

18 a) 2 b) 2512 c) –1 d) 0

Extraindo raízes

19 a) 99 3 11 3 3 3 9 9= = ⋅ =, ,

b) 12 2 3 2 1 7 3 4= = ⋅ =, ,

c) 80 4 5 4 2 2 8 8= = ⋅ =, ,

20 a) 5 2 b) 3 3 c) 2 23 d) 3

21 a) 7 2 b) 9,87 c) 10 3 d) 17,3

22 a) 3 b) 2 ⋅ 11 = 22

15 a) 5 b) No mínimo, 10.

c) Em qualquer polígono regular a medida doângulo interno é menor que 180o.

d) 3

e) Não existe um polígono regular nessas condições.

Classificação dos polígonos

16 O diagrama correto é II. As regiões A e B devemter uma parte comum, que é R.

17 Losango D, E

Retângulo B, D

Paralelogramo B, C, D, E

Quadrado D

Quadrilátero B, C, D, E, F

18 a) 60° b) 60° c) 60º, 60º,120º e 120º

d) Sim. e) Sim. f) Sim.

g) Não. h) Sim.

19 O diagrama correto é III, porque todos os triânguloseqüiláteros são isósceles e todos os triângulosisósceles estão incluídos no conjunto dostriângulos.

20

■ CAPÍTULO 7 – POTÊNCIAS E RAÍZES

Expoentes menores que 1

1 a) 64 b) 64 c) –32 d) 64

e) 18 f) 1

9 g) 127 h) − 1

27

2 a) 100 mil = 100 000 = 105

região dostriângulos isóscelesnão-eqüiláteros

região dostriângulos escalenos

A

B

T

P

BA

Polígonoseqüiângulos enão-eqüiláteros

Polígonos regulares(eqüiláteros e eqüiângulos)

Polígonos não-eqüiláterose não-eqüiângulos

Polígonos eqüiláterose não-eqüiângulos

R

Untitled-1 11/17/05, 4:36 PM103

104

rB

A

O C

s

D

O

P

Q

■ CAPÍTULO 8 – SIMETRIAS

Tipos de simetria

1 São verdadeiras somente as sentenças a e d.

2 Todas as afirmações são verdadeiras.

3 a)

b)

4 a) b)

5 a)

b)

c)

Simetrias e propriedades das figuras geométricas

6

a) Não necessariamente. ABCD é losango.

b) Sim. Foram marcadas distâncias iguais emrelação à r e à s (r e s são os eixos de simetria; Oé o centro de simetria).

c) Sim.

7 São verdadeiras as sentenças b e c.

8 110º

9 a) OÂB e OBAˆ medem 30o.

b) Os três ângulos medem 60o, cada um.

■ CAPÍTULO 9 – ESTATÍSTICA E POSSIBILIDADES

Possibilidades e chances

1 a) 436

19

= ≈ 0,11 = 11 %

b) 436

19

= ≈ 0,11 = 11 %

c) 0 d) 136

≈ 0,027 = 2,7 %

2 18 = 0,125 = 12,5 %

3 a)

b) 15 c) 115 ≈ 0,66 = 6,6 %

d) 515

13� ≈ 0,33 = 33 %

4 a) 45 b) 45

Tratamento de dados

5 a) 200 b) O canal TvC.

O

O

B C D E F

A

C D E F

B

D E F

C

E F

D

F

E

MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM104

105A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A

45,45%

40,9%13,63%

contra

a favor

sem opinião

6

7 Distribuição das encomendas entregues pelaECT

8 a) 159,5

b)

Faixa de altura Freqüência

(cm)

Menos de 150 1

de 150 a 154 2

de 155 a 159 5

de 160 a 164 5

de 165 a 169 2

mais de 169 1

c)

9 a) Valores aproximados: 147° (a favor); 164° (contra);49° (sem opinião).

b)

Tirando conclusões com estatística

10 16

16

16

1216

⋅ ⋅ =

11 Sim. Porque com um dado honesto essa

possibilidade é de 16

16

16

16

11296

⋅ ⋅ ⋅ = .

12 a) 1 365 b) 54,6 % c) 18 %

d) Não. Porque as porcentagens dos três candida-tos não são muito diferentes e, além disso, maisda metade do eleitorado ainda está indecisa.

13 43,75 toneladas

■ CAPÍTULO 10 – DESENHANDO FIGURAS ESPACIAIS

Desenhando sobre malhas

1

ano

1997

6065707580

população (em milhares)

1998

1999

2000

altura (cm)

men

os d

e 15

0

de 1

50 a

154

de 1

55 a

159

de 1

60 a

164

de 1

65 a

169

mai

s de

169

12345

freqüência

2 Exemplos de respostas:

3 Exemplos de respostas (correspondentes às doexercício anterior):

B – BancosB

I – Indústrias

I

G – Governo

GP – Pessoas físicas

P

O – Outros

O

MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM105

106

48 a) 385 99

105113

3335

x y x y− = −

b) − −3 25

2 2x x y

9 100x + 10y + z

10 a) A = 6x2 – 48x b) A = 1 440 cm2

11 a) v = x2 (x – 12) = x3 – 12 x2

b) v = 3 200 cm3

Fatoração

12 a) (3 + 2 + 3 + 2) ⋅ 48 = 10 ⋅ 48 = 480

b) (5 + 2 + 5 + 3 + 2 + 3) ⋅ 79 = 20 ⋅ 79 = 1 580

13 a) ab(a + b) b) b(3b + 1)

c) 11ab(3a – 4b) d) 4(5x + 1)

14 23

15 a) y2(y + 12) b) 3x(4x2 + 5x + 6) c) 2x2y(2 – 3x)

16 a) 4x2 + 3x = x(4x + 3) b) y3

c) 1

17 a) 136a

b) − − = − −4 92

2 92

22a a a a

c) − − = − −24 7320

65

7320

a a

d) 85 39 4030

2a a+ −

Produtos de polinômios

18 a) x3 + 7x2 + x + 7

b) x2y2 + x2y – 3xy2 – 4xy – 4y2

c) x4 + x3 – x – 1

d) x2 + 2x + xy + 2y

19 a) 20 – x; 10 + x

b) 60. Sim.

c) A = –x2 + 10x + 200 ou A = (20 – x) (10 + x)

d) 221; 224; 225; 224; 221 (em metros quadrados).

e) x = 5; 15 e 15 (o retângulo é um quadrado).

20 a) 15a2 – 8a – 12

b) 15a3 – 14a2 – 3a + 2

c) x2 + 2xy + y2

d) 9x2 – 12x + 4

21 a) x = 1915 b) x = − 42

11

Desenhando em perspectiva

5 e 6 A figura mostra as respostas das duas questões.

Fh

7 Exemplo de resposta:

F

h

8 Desenho pessoal.

■ CAPÍTULO 11 – CÁLCULO ALGÉBRICO

Deduzindo fórmulas

1 F = – x – 6; F = – 11

2 a) R = 41 b) R = 25

c) R = 2x + 35 d) Sim.

3 a) P = 4x + 10 b) P = 24

4 Q = 5 + 2n

5 a) R$ 4,81

b) R$ 23,91

c) C = [1,94 + (t – 1) ⋅1,91] ⋅1,25 = 2,3875 t + 0,0375

Cálculos algébricos

6 a) A = xy y+32

2b) V = xy2

4

7 a) p 45

a 80 ou p 4a 4005

= − = −

b) p = 48 kg

MIL7MD11 12/3/03, 3:42 PM106

107A S S E S S O R I A P E D A G Ó G I C A

■ CAPÍTULO 12 – ÁREAS E VOLUMES

Idéias para o cálculo de áreas e volumes

1 a) x = 22 mm e y = 53 mm

b) 3 436 mm2 c) 330 mm

2 a) 12 cm2 b) 24 cm2

3 a) 28 u2 b) AB = CD = 5 u BC = AD = 7 uc) Não. (AB ⋅ AD = 35 u2 ≠ 28 u2)

4 a)

■ CAPÍTULO 13 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Sistemas e o método da adição

1 a) x = –5 e y = –7 b) x = 23 e y = 14

c) x = 4 e y = 1 d) x = e y = −4613

413

2 a) 3x + 6y = 180°; x + 10y = 180°

b) T = 90° e I = O = 45° ; B = 30° e M = U = 75°

3 a) x = 3 e y = 2 b) x = 73 e y =

512

4 6 moedas de 10 e 7 de 50.

Sistemas e o método da substituição

5 A lata de atum tem 115 g e a caixa de molho tem220 g.

6 a) x = 1 e y = 14 b) x = 2 e y = 1

2= 0,5

c) x = –8 e y = –13 d) x = 152 = 7,5 e y = 15

4 =

= 3,75

7 a) x = 25 e y = 35 b) x = y = 25

8 Substituindo x + y = 12 na equação x + y + 3y = 18concluímos que 3y = 6, donde y = 2.

Logo, x = 10

Problemas

9 a) x = 120 e y = 10 b) x = − 3511 e y = 30

11

c) x = 40 e y = 60

10 a) x = –4 e y = 3 b) x = –4 e y = 3

c) x = − 3415 e y = 2

5

11 Obtemos o sistema

x y

y x

− =

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

5

34

, donde x = 20 e y = 15.

12 Obtemos o sistema x y

x y y x

=

+ − + =

⎧⎨⎩

2

10 10 36( )

donde x = 8 e y = 4. Portanto o número é 84.

■ CAPÍTULO 14 – GEOMETRIA EXPERIMENTAL

É ou não é proporcional?

1 a)

A B

3 8

6 16

9 24

F

B

C

G

AD

HE

b) 32 cm3

5 3 m3, aproximadamente.

6 100 cm3

7 1 000 bolinhas

Fórmulas para o cálculo de áreas

8 a)

Perímetro (u) Área (u2)

Paralelogramo 20 15

Retângulo 16 15

b) Sim. c) Não.

9 a) 18 cm2 b) 18 cm2 c) Qualquer lado.

d) Escolhida a base, deve-se considerar a altura per-pendicular a ela.

10 a) 18,2 cm2 b) 14,44 cm2 c) 1 248 mm2

d) 9,68 cm2 e) 1 460 mm2 f) 336 m2

11 a) 28,8 cm2 b) 25,35 m2

O teorema de Pitágoras

12 A área do quadrado maior é igual à soma das áreasdos dois quadrados menores (25 = 16 + 9).

13 10 2 cm ou 14,1 cm, aproximadamente.

14 a) x = 15 b) x = 10

15 a) 4 cm b) 12 cm2

16 a) 5 cm b) 5 2

17 x = 12

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

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Respostas da seção Um toque a mais

45

3 5 7 3153

9 15 21 35

105 63

b)

A 7 10 12 20

B 10,5 15 18 30

c)

A B

5 5 2

7 7 2

8 8 2

d)

A 2 1 12

B 12

14

18

e)

A B

2 6

13 39

x 3x

f)

A B

5 2

30 12

600 240

2 a)

AB = 2 A’B’= 3

BC = 1 B’C’= 1,5

b) Sim.

3 8,75 cm

4 a) Sim. b) 60 cm

Figuras semelhantes

5 x = 12 cm

6 a) 10,5 cm b) 16 vezes

7 a) 1 para 2 b) Sim.

c) 60 mm e 120 mm d) Sim.

e) 168 mm2 e 672 mm2, aproximadamente.

f) Não.

8 a) 150 cm b) 1 : 150

Perímetro da circunferência

9 62,8 cm

10 2,5 cm

11 5,2 cm, aproximadamente.

12 32 cm

■ CURIOSIDADES SOBRE OS NÚMEROS PRIMOS(APÓS O CAPÍTULO 1)

• O esquema exibe todos os divisores de 315, exceto 1.

■ MATEMÁTICA NA LINGUAGEM DO DIA-A-DIA(APÓS O CAPÍTULO 4)

1 R$ 5,00

2 300 %

3 (300 %)2 = 300100

2⎛⎝

⎞⎠ = 32 = 9 = 900

100 = 900 %

■ PEQUENA COLEÇÃO DE PROBLEMAS (APÓS OCAPÍTULO 5)

Problema 1

Temos: R é o preço à vista, R3 é valor do primeiro

pagamento e 23R é o valor do segundo pagamento

sem o acréscimo de 2 %. O valor do segundo

pagamento com o acréscimo de 2 % é 23R ⋅ 1,02 =

0,68R = 68 % de R.

• Temos: 1 800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52. Para obter o número de divisores de 1 800, fazemos:

(3 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (2 + 1) = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36.

Portanto, 1 800 tem 36 divisores.

• 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 3 + 9 = 5 + 7; 14 = 3 + 11 = 5 + 9 = 7 + 7; 16 = 3 + 13 = 5 + 11 = 7 + 9; 18 = 5 + 13 = 7 + 11 = 9 + 9

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