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1 PROFMAT2011 ACTAS R : . O Programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal (Ponte et al, ) estabelece como um dos seus nove ob- jectivos gerais a resolução de problemas, o qual, se concretiza em outros quatro mais especícos, sendo que um deles é «formular problemas» (p.). Enfatiza ainda a importância da resolução de problemas ao elegê-la como uma de três ca- pacidades transversais que surgem no programa referido, com a mesma ordem de grandeza dos quatro temas matemá- ticos em que todos os tópicos programáticos estão agrupados. A escolha da resolução de problemas como tema central desta experiência encontra justicação no Currículo Na- cional do Ensino Básico, ao denir competências gerais, de onde se destacam a primeira «() Mobilizar saberes cul- turais, cientícos, e tecnológicos para compreender a realidade e para abordar situações e problemas {} do quotidiano» (p.), bem como a sétima «() Adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões» (p.). No capítulo relativo às competências especícas da Matemática, o mesmo Currículo, propõe que «Todas as crianças e jovens devem ter a possibilidade de: (…) Desenvolver a capacidade de usar a matemática para analisar e resoler situa- ções problemáticas, para raciocinar e comunicar assim como a auto-conança para fazê-lo.» (p.) Acrescenta que, para ser matematicamente competente, o aluno deve ter «A predisposição para raciocinar matematicamente, isto é, para re- soler problemas (…)» (p.) bem como «A predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a apti- dão para desenoler processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas. (p.)» A importância que os documentos curriculares nacionais dão ao tema faz eco de outros, seus congéneres, a nível in- ternacional, pois desde An agenda for action (NCTM, ) que a resolução de problemas foi postulada como «o foco da matemática escolar» (p.). Outros documentos emanados pelo NCTM, assim como investigações fundamentais têm seguido a mesma orientação. A compilação feita pela ZDM () ilustra, com abundantes exemplos de investi- gações oriundas de diversos países {} (sem esquecer Portugal {} ), a relevância que a resolução de problemas mantém nas respectivas orientações curriculares. RESOLVER E FORMULAR PROBLEMAS DE MATEMÁTICA: RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA NO ÂMBITO DO ACOMPANHAMENTO DO PMEB. Jorge Cruz Escola Básica Santiago Maior — Beja [email protected] R.—Nesta comunicação relata-se uma experiência que começou com professores, no âmbito das ses- sões de acompanhamento à implementação do PMEB (Ponte et al, ). O tema escolhido foi a capacidade transversal resolução de problemas. Nas sessões de acompanhamento foram discutidos alguns aspectos com vista à compreensão da resolução de problemas à luz do Currículo Nacional do Ensino Básico e do PMEB. Os professores foram desaados a formular problemas e/ou a proporem aos seus alunos a formulação de proble- mas, para trabalho na aula. As produções dos alunos foram analisadas e os resultados discutidos, no local onde tudo começou, as sessões de acompanhamento. Decidiu-se fazer esta comunicação, em particular devido dois aspectos destacáveis: importância dos resultados e possibilidade de reprodutibilidade da experiência por outros professores interessados. P-.—Resolução de problemas; formulação de problemas; avaliação da resolução de problemas; acompanhamento da implementação do PMEB. {} Todos os sublinhados deste parágrafo são da responsabilidade do autor. {} Mais concretamente, países, representantes de continentes (Europa, América, Ásia e Oceania) {} Veja-se Ponte (): Investigations and explorations in the mathematics classroom. In ZDM (). Mathe- matics Education :–

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Page 1: RESOLVER E FORMULAR PROBLEMAS DE MATEMÁTICA: … · O Programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal ... No capítulo relativo às competências especí$cas da ... Dado o

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PROFMAT2011 ACTAS

R!"#$%&'# (! )*#+$!,-" ! .%**/.%$#: 0%1(-,!12-&'# (- !".#$3- (# 2!,-.

O Programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal (Ponte et al, !""#) estabelece como um dos seus nove ob-jectivos gerais a resolução de problemas, o qual, se concretiza em outros quatro mais especí$cos, sendo que um deles é

«formular problemas» (p.%). Enfatiza ainda a importância da resolução de problemas ao elegê-la como uma de três ca-pacidades transversais que surgem no programa referido, com a mesma ordem de grandeza dos quatro temas matemá-ticos em que todos os tópicos programáticos estão agrupados. A escolha da resolução de problemas como tema central desta experiência encontra justi$cação no Currículo Na-cional do Ensino Básico, ao de$nir &" competências gerais, de onde se destacam a primeira «(&) Mobilizar saberes cul-turais, cientí$cos, e tecnológicos para compreender a realidade e para abordar situações e problemas{&} do quotidiano» (p.&%), bem como a sétima «(#) Adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões» (p.&%). No capítulo relativo às competências especí$cas da Matemática, o mesmo Currículo, propõe que «Todas as crianças e jovens devem ter a possibilidade de: (…) Desenvolver a capacidade de usar a matemática para analisar e resol!er situa-ções problemáticas, para raciocinar e comunicar assim como a auto-con$ança para fazê-lo.» (p.%#) Acrescenta que, para ser matematicamente competente, o aluno deve ter «A predisposição para raciocinar matematicamente, isto é, para re-sol!er problemas (…)» (p.%#) bem como «A predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a apti-dão para desen!ol!er processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas. (p.%#)» A importância que os documentos curriculares nacionais dão ao tema faz eco de outros, seus congéneres, a nível in-ternacional, pois desde An agenda for action (NCTM, &'(") que a resolução de problemas foi postulada como «o foco da matemática escolar» (p.&). Outros documentos emanados pelo NCTM, assim como investigações fundamentais têm seguido a mesma orientação. A compilação feita pela ZDM (!""#) ilustra, com abundantes exemplos de investi-gações oriundas de diversos países{!} (sem esquecer Portugal{)}), a relevância que a resolução de problemas mantém nas respectivas orientações curriculares.

RESOLVER E FORMULAR PROBLEMAS DE MATEMÁTICA: RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA NO ÂMBITO DO ACOMPANHAMENTO DO PMEB.

Jorge CruzEscola Básica Santiago Maior — [email protected]

R!"#$%.—Nesta comunicação relata-se uma experiência que começou com professores, no âmbito das ses-sões de acompanhamento à implementação do PMEB (Ponte et al, !""#). O tema escolhido foi a capacidade transversal resolução de problemas. Nas sessões de acompanhamento foram discutidos alguns aspectos com vista à compreensão da resolução de problemas à luz do Currículo Nacional do Ensino Básico e do PMEB. Os professores foram desa$ados a formular problemas e/ou a proporem aos seus alunos a formulação de proble-mas, para trabalho na aula. As produções dos alunos foram analisadas e os resultados discutidos, no local onde tudo começou, as sessões de acompanhamento. Decidiu-se fazer esta comunicação, em particular devido dois aspectos destacáveis: importância dos resultados e possibilidade de reprodutibilidade da experiência por outros professores interessados.

P*+*,-*.-/0*,1.—Resolução de problemas; formulação de problemas; avaliação da resolução de problemas; acompanhamento da implementação do PMEB.

{&} Todos os sublinhados deste parágrafo são da responsabilidade do autor.{!} Mais concretamente, &% países, representantes de 2 continentes (Europa, América, Ásia e Oceania){)} Veja-se Ponte (!""#): Investigations and explorations in the mathematics classroom. In ZDM (!""#). Mathe-

matics Education )':2&'–2)"

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O+4!.256#" )*!2!1(5(#"

O trabalho do professor acompanhante (PA) realiza-se directamente com docentes que leccionam matemática em al-gum dos três ciclos do ensino básico. Tem como $nalidade melhorar a aprendizagem matemática dos alunos. Para tanto concorrem duas ordens de objectivos: ao nível docente (ou seja, daqueles com quem o professor acompanhante traba-lha directamente nas sessões de acompanhamento); ao nível discente (pois é suposto que os ganhos conseguidos pelos professores participantes nas sessões de acompanhamento tenham implicações nas suas aulas). Ao nível docente procurou-se:

Promover a discussão e a re3exão sobre aspectos metodológicos da resolução de problemas, centrada nas orien-tações do Programa de Matemática do Ensino Básico (Ponte et al , !""#).

Desenvolver a capacidade de selecção e de produção de tarefas matemáticas em ambiente colaborativo. Divulgar instrumentos especí$cos para avaliar as produções dos alunos em resolução de problemas.

Ao nível discente procurou-se: Promover a capacidade de aplicação de conhecimentos matemáticos e de estratégias (propostas no Programa de

Matemática do Ensino Básico) na resolução de problemas. Promover a capacidade de formular problemas a partir de uma situação aberta fornecida. Desenvolver a capacidade de controlo de mecanismos de decisão e de auto- questionamento dos alunos (capaci-

dades metacognitivas).

R!$-2# "#+*! # 2*-+-$3# 1# 2!**!1# (-" "!""7!" (! -.#,)-13-,!12#).

As escolas/agrupamentos do professor acompanhante estão agrupadas em 2 grupos. Nos dias %, &!, &' e !4 de Janeiro de !"&", realizaram-se sessões nos quatro grupos de escolas. Todas estas sessões tiveram estrutura idêntica. Início com uma apresentação, de cerca de )" minutos, subordinada aos temas:

&. Finalidades e Objectivos Gerais do PMEB.!. Temas matemáticos e Capacidades transversais.). Resolução de problemas: Alguns aspectos didácticos.2. Avaliação das produções dos alunos em r.p.%. Formulação de problemas.

Os pontos & e ! destinaram-se apenas a centrar os docentes no programa e suas $nalidades, objectivos gerais, temas e capacidades transversais, a $m de contextualizar o tema a desenvolver. O ponto ) mereceu maior destaque. Um dos as-pectos enfatizados foi o modelo de Polya para resolução de problemas e a dinâmica que deve existir entre as suas fases durante o processo de resolução de um problema: os docentes devem passar esta ideia aos seus alunos, para que não $-quem presos à ideia de um modelo linear para seguir desde a primeira fase até à última. 5uantas vezes erros não são de-tectados ou não são dadas respostas absurdas no contexto por não se voltar à leitura e consciencialização das condições iniciais de um problema? Este foi um questionamento explorado na sessão. A referência aos papéis que a resolução de problemas pode ocupar numa aula foi o passo seguinte da intervenção, que teve o seu desenvolvimento com uma apresentação das estratégias de resolução de problemas referidas no progra-ma. Estas estratégias para o primeiro ciclo são, segundo os autores do programa: utilizar um esquema/diagrama/tabe-la/grá$co; criar um modelo representado por uma ou mais operações matemáticas; organizar uma sequência de passos. No segundo ciclo deverão introduzir-se: trabalhar do $m para o princípio; simular/simpli$car o problema; tentativa e erro; descobrir uma regularidade/regra; criar um problema equivalente; explorar casos particulares. Finalmente, no terceiro ciclo devem introduzir-se: criar um modelo representado por uma ou mais operações matemáticas; equações ou outras relações matemáticas; desdobrar um problema complexo em relações mais simples; explorar conexões mate-máticas para obter múltiplas perspectivas de um problema; procurar um problema análogo, mas mais simples; explorar casos particulares; resolver um problema admitindo que se conhece uma solução. O documento apresentado pelos au-tores não é prescritivo e nele mesmo podem encontrar-se algumas estratégias passíveis de serem introduzidas em mais do que um ciclo. Fizeram-se ainda outras considerações, umas de carácter teórico, com vista a uma aferição terminoló-

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gica sobre o conceito de problema e outras de carácter metodológico, sobre o papel da resolução de problemas na aula de matemática. A segunda parte da sessão teve como base a distribuição dos documentos anexos (anexo & e anexo !) bem como os problemas (anexo )). Cada docente $cou com um instrumento de avaliação das produções dos alunos em resolução de problemas (anexo &), com uma listagem de possíveis estratégias (anexo !) e com um conjunto de problemas, dos ) ciclos do ensino básico (anexo )). A proposta de trabalho apresentada para este período da sessão foi:

P-676.8* 91 T-*:*+06.—Tenha como base o problema do seu ciclo de ensino:&. Seleccione a fase do instrumento de Avaliação da r. p. que lhe pareça mais decisiva para resolução do problema.!. Seleccione as estratégias que lhe pareçam mais implicadas na resolução do problema.). Seleccione o Tema Matemático, o Tópico e Sub-tópico(s) do programa mais implicados na resolução no

problema.2. 5ual o erro que supõe possa ser mais frequente?

Os docentes agrupados por ciclo trabalharam o problema do seu ciclo, tentando antever quais seriam as estratégias pos-síveis dos seus alunos, quais as fases do modelo de resolução de problemas mais implicadas, que tópico e sub-tópico eram trabalhados e qual o erro típico espectável. Sucedeu a fase de discussão, onde cada grupo interveio e deu conta do trabalho realizado. Desta forma tentou-se promover a apropriação dos docentes de tarefas no espírito do novo progra-ma bem como de instrumentos de avaliação adequados. Tentou-se também a promoção da articulação vertical, pois as tarefas dos ) ciclos foram distribuídas a todos os docentes e todos eles ouviram, e alguns participaram, nas re3exões so-bre tarefas de ciclos diferentes. Cada sessão terminou com apresentação de uma fotogra$a e com o lançamento de um desa$o para que as escolas pudessem criar problemas a partir dessa imagem, que tratassem as produções dos alunos à luz dos documentos de ava-liação trabalhados nesta sessão de acompanhamento e dessem eco de tal trabalho. O PA disponibilizou-se para acom-panhar mais de perto aquelas escolas que o solicitassem e para negociar formas de participação e de implementação do trabalho. Ficou claro que a adesão à tarefa não era obrigatória. A imagem geradora da actividade a desenvolver pelos professores nas escolas foi a que se reproduz a seguir.

I;*<1; &.—Fotogra$a para suscitar formulação de problemas.A ideia foi acolhida com agrado. Alguns professores preferiram pedir aos seus alunos para, depois de resolvido o proble-ma formulado pelos docentes, serem os alunos a formular também um problema baseado na mesma imagem.

R!"%$2-(#" #+25(#".

A seguir apresentam-se os quadros síntese da aplicação do instrumento de avaliação de resolução de problemas (anexo &) e da aplicação do instrumento para detecção de estratégias utilizadas (anexo !). As escolas que trabalharam de forma

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colaborativa, enviaram materiais de diversos tipos, a saber:• Grelhas preenchidas por turma, discriminando os resultados de cada aluno nas % fases do instrumento de avalia-

ção.• Digitalizações de algumas produções de alunos.• Breves comentários aos resultados ou à forma como a experiência foi realizada (em alguns casos).• Enunciados dos problemas.• Alguns docentes pediram a alunos para criarem problemas.

Dado o imenso volume de informação (exemplos de digitalizações de produções de alunos tenho dezenas, dos diferentes ciclos e anos) não se faz aqui uma análise $na de toda a informação. Apenas se compilou nas tabelas seguintes as médias dos somatórios dos pontos obtidos pelos alunos de cada escola em cada ciclo de escolaridade, segundo as diferentes fases do instrumento de análise proposto. A seguir a estes quadros far-se-á uma breve síntese de alguma informação mais relevante.

T*:1+* &.—Dados do agrupamento A

T*:1+* !.—Dados do agrupamento B

O:.1-,*=>6.—Registe-se a desconformidade entre o número de alunos envolvidos (4%) e o número de alunos regista-do nas colunas referentes aos ciclos (&&). Tal situação deve- se ao facto de o coordenador apenas ter feito chegar os resul-tados referentes a estes alunos, acompanhados das digitalizações das produções dos alunos. Efectivamente os problemas produzidos foram aplicados aos 4% alunos, mas a análise mais $na, foi apenas realizada com && produções.

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T*:1+* ).—Dados do agrupamento C

T*:1+* 2.—Dados do agrupamento D a) Foi elaborado e aplicado um problema a uma turma de !o ciclo mas os resultados não foram disponibilizados.

T*:1+* %.—Dados do agrupamento Eb) Escola secundária, apenas tem alunos de )o ciclo.

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T*:1+* 4.—Dados totais dos agrupamentos

Nestes quadros apenas foram considerados os alunos das escolas ou agrupamentos com evidência factual de ter havi-do trabalho em grupo entre os seus docentes para preparar os problemas e para analisar os resultados. Houve escolas onde, isoladamente, professores decidiram fazer um problema e aplicá-lo. A real extensão desta experiência na sala de aula, ainda que com diversos graus de implicação ao nível do desenvolvimento pro$ssional dos docentes, excedeu os números apresentados. A comparação de resultados entre estes quadros não é lícita, pois em cada escola e para cada nível de escolaridade, os docentes criaram problemas diferentes. Mesmo dentro do agrupamento, e em particular no primeiro ciclo, chegou a haver diversidade de problemas conforme o ano de escolaridade. Parece pois prudente, com base na informação apresentada nestes quadros, tecer apenas alguns comentários de ca-rácter genérico. Pode-se dizer que onde os alunos obtêm menor pontuação é nas fases da obtenção da resposta e da explicação/jus-ti$cação. Aquando da exploração do instrumento de avaliação com os docentes foi enfatizado que esta última fase se referia à coerência de todo o trabalho desenvolvido pelos alunos, ao nível de argumentação e comunicação matemática. O que a investigação de$ne como controlo (Schoenfeld, &''!, por exemplo) está também relacionado com a avaliação desta fase, pois é a capacidade metacognitiva que pode ditar se um aluno, ao rever o seu processo de resolução de um problema, consegue detectar de$ciências ao nível da argumentação ou da aplicação de conhecimento matemático. Pa-rece haver evidência de necessidade de aplicação de mais tarefas matemáticas onde as explicações e o raciocínio seguidos pelos alunos sejam pedidos. Outra evidência global tem a ver com uma quebra de pontuação entre as fases & e ! (próximas) e a fase ). Por outras palavras, os alunos parecem compreender e escolher uma primeira estratégia de forma razoável, mas quando se trata de desenvolver essa estratégia (ampliando-a ou modi$cando-a) a sua prestação baixa. A análise dos resultados turma a turma permite outro tipo de considerações que neste trabalho não terão lugar. Da análise das grelhas por turma podem-se chegar a conclusões do tipo: «os alunos deveriam ter percebido que o proble-ma se resolvia com o conteúdo X e poucos o $zeram» ou « este problema poderia resolver-se através da estratégia Y e quase nenhum o fez» ou ainda «os alunos não compreendem que nem sempre todos os dados são necessários para re-solver um problema», …

R!0$!8'# 051-$.

Os docentes, envolvidos em trabalho de análise de tarefas concretas ou de produções de alunos, aplicam o «racional te-órico» associado, envolvem-se, desenvolvem o seu conhecimento didáctico sobre o conteúdo em questão e $cam moti-vados para o trabalho futuro. Este trabalho tem incidência na sala de aula, através da reprodução/ampliação/adaptação do que foi realizado na sessão de acompanhamento, que funciona, verdadeiramente, como catalisadora da actividade. A proposta de criar um problema a partir de uma imagem fornecida, passá-lo aos alunos e avaliar as suas produções foi aceite por 4 escolas de forma organizada (% das quais envolvidas na experimentação do novo programa). Realizaram-se ainda experiências dispersas, levadas a cabo por docentes de forma autónoma em outras escolas, as quais não se rela-tam aqui. Estima-se que o trabalho desenvolvido pelos docentes das % escolas/agrupamentos foi bastante profícuo, pois há evi-dência de terem sido alcançados os objectivos que a eles diziam respeito. Pode-se considerar que estes docentes discuti-ram e re3ectiram aspectos metodológicos da resolução de problemas, tendo esta re3exão começado na sessão de acom-panhamento. Este trabalho desenvolveu-se nas escolas, pois os docentes trabalharam colaborativamente. Em alguns ca-sos trabalharam mesmo em articulação vertical, pois há evidências (quer relatadas, quer documentais) de decisões e de tratamento de dados (em particular das avaliações das produções dos alunos) feitas desta forma. O desenvolvimento da capacidade de selecção e de produção de tarefas foi evidente, pois os docentes destas escolas criaram problemas para

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todos os ciclos de escolaridade (sendo que no caso do primeiro ciclo foram criados problemas para os diversos anos). A divulgação dos instrumentos para avaliar produções dos alunos em resolução de problemas foi amplamente conseguida, o que é comprovado pelo uso que os mesmos docentes deram a esse instrumento para análise das produções dos seus alunos. Alguns docentes pediram apoio adicional para uma melhor implementação das actividades nas suas escolas. No caso de um agrupamento o PA reuniu, numa primeira fase, com as coordenadoras do NPMEB para plani$car a implementação das actividades e com && docentes de &o ciclo numa fase posterior. Nessa reunião os docentes trouxeram as produções dos alunos e colocaram dúvidas. Foi ainda possível nesta sessão fazer tarefas de dupla classi$cação como exercício conducente à $abilidade do processo. Os docentes, sinceramente, consideraram a sessão bastante profícua e sentiram que a sua apropriação do instrumento de avaliação em uso saiu bastante melhorada. Declararam ter $cado bastante motivados. No caso de um outro agrupamento, o trabalho seguinte à sessão de acompanhamento foi realizado apenas com o coordenador do Plano de Matemática, quer através de uma reunião presencial, quer através de vários contactos telefó-nicos para esclarecimentos pontuais. Este coordenador trabalhou com todos os colegas dos três ciclos internamente e reuniu a documentação relativa a agrupamento. Semelhante procedimento teve a coordenadora de outro agrupamento, que esclareceu as suas dúvidas junto do PA e tomou a condução dos trabalhos no seu agrupamento, com assinalável adesão por parte dos colegas. Outros agrupamentos não solicitaram contactos pessoais, tendo apenas aproveitado o $nal das reuniões de Feverei-ro (seguintes à reunião de divulgação da experiência) para colocar dúvidas pontuais e dar conhecimento do que estava a acontecer nos seus estabelecimentos. O PA respeitou o modo de trabalhar escolhido pelas diferentes escolas o que parece ter sido bem sucedido pois os dados que as mesmas $zeram chegar provam, de forma inequívoca, o seu envolvi-mento.

R!0!*91.5-".

NCTM (&'("). An agenda for action. Reston, Virginia: NCTM. Ponte, J. et al (!""#). Programa de Matemática do Ensino Básico. Ministério da Educação/DGIDC.

Schoenfeld, A. H. (&''!). Learning to think mathematically: Problem Solving, Metacognition and Sense-Making in Mathematics. Em D. A. Grouws (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York. MacMillan, pp. ))2–)#".

ZDM (!""#). Mathematics Education )':2&'–2)"

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ANEXOS

A1!8# :—I1"2*%,!12# )-*- -6-$5-&'# (- R!"#$%&'# (! P*#+$!,-"

Adaptado de Herr e Johnson (&''2){2}, por Jorge Cruz.

A avaliação é dada por cinco fases, às quais são atribuídos "; & ou ! pontos conforme os níveis de consecução. A avalia-ção é o somatório dos pontos atribuídos, numa escala de " a &".

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A1!8# ;—E"2*-2<=5-" U25$5>-(-"

T!,- M-2!,?25.#/T@)5.#"/S%+-T@)5.#" !16#$65(#"

Indicação do Tema Matemático/Tópico e Sub-tópico do programa envolvidos.

A1!8# A—P*#+$!,-" )*#)#"2#" )-*- # :.º .5.$#

C#,)*-* F#$3-" (! P-)!${B}

A Ana e o Rui têm )" cêntimos para comprar folhas brancas e de cor. Cada folha de cor custa % cêntimos e cada folha branca custa 2 cêntimos. 5uantas folhas de cada tipo podem comprar, se quiserem gastar o dinheiro todo?Explica as conclusões a que chegaste.

A" .#,)*-" (- I19"{C}

A Inês comprou um CD por ) euros e vendeu-o ao Luís por % euros. Mais tarde comprou-o de volta ao Luís por # euros e tornou a vendê-lo por ' euros. Será que a Inês ganhou ou perdeu com esta compra e venda?Explica a tua conclusão e diz quanto ganhou ou perdeu a Inês.

{%} Adaptado de Boavida, A.M. et al (!""(): A Experiência Matemática no Ensino Básico. Lisboa/DGIDC {4} Adaptado de Boavida, A.M. et al (!""(): A Experiência Matemática no Ensino Básico. Lisboa/DGIDC

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P*#+$!,-" )*#)#"2#" )-*- # ;.º .5.$#

T!**!1#" 1-" -$(!5-"{D}

Parte " — Aldeia Amarela e Aldeia BrancaEm duas aldeias vizinhas, algumas das famílias possuem terrenos de cultivo que estão distribuídos conforme mostra a $gura seguinte:

Cada aldeia tem a forma de um quadrado com & km de lado.&. 5ue fracção dos terrenos de cultivo da respectiva aldeia possui cada um dos proprietários? Explica o teu raciocínio.

Parte # — Compras e vendasAlgumas famílias venderam os seus terrenos a outros proprietários. Depois de concluídas as vendas, a distribuição das terras passou a ser a seguinte:

• Apenas 2 proprietários – as famílias Alves, Ilídio, Esteves e Moura – detêm todos os terrenos das duas aldeias;• A família Alves comprou terrenos a uma única família e tem agora o equivalente a &/! de uma aldeia;• A família Ilídio comprou terrenos a três famílias e agora detém o equivalente a &)/)! de uma aldeia;• A família Moura tem agora o equivalente &/! de uma aldeia;• A família Esteves tem os terrenos restantes das duas aldeias; • Cada uma das quatro famílias que detêm a totalidade dos terrenos pode deslocar- se ao longo do limite da sua

propriedade sem ter que atravessar terrenos vizinhos.

&. 5ue transacções foram feitas entre as várias famílias que detinham inicialmente a propriedade dos terrenos das duas aldeias? Explica o teu raciocínio.!. Desenha o mapa com os novos limites das propriedades das famílias Alves, Ilídio, Esteves e Moura. Em cada parcela de terreno escreve uma expressão com fracções que evidencie as transacções realizadas.

{#} Adaptado de Lappan, G. & Bouck M. (&''(). Developing algorithms for adding and subtracting fractions. In L. J. Morrow & M. J. Kenney (Eds.) $e teaching and learning of algorithms in school mathematics (pp. &()-&'#). Reston VA: NCTM.

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P*#+$!,- )*#)#"2# )-*- # A.º .5.$#

Mayrit, o nome da Madrid medieval, estava dividida em duas partes: A parte forti$cada (Almudena) e a parte exterior (Medina) onde se encontravam os comerciantes. Abdulá, vendedor de seda, acaba de chegar do oriente. Antes de partir, prometeu ao seu criado Ali:

— Se vender a seda por &"" dinares, pago-te !" pelos serviços que me prestaste. Se a vender por !"", Alá seja louvado, serei mais generoso e ganharás )" dinares. Realizado o negócio, Abdulá conseguiu &2" dinares e disse ao criado:

— Prometi-te que se vendesse a mercadoria por !"" dinares te pagaria )", ou seja, por cada !" dinares pagaria ). Como vendi por &2" (# vezes mais) então pago-te !& dinares.

Ali não $cou muito satisfeito. Se fosses tu Ali, como argumentarias para justi$car melhor pagamento?