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RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA

VESTIBULAR UFMG_ ANO 2007

RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. UFMG 2007 QUESTÃO 01 Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem A) R$ 3 672,00. B) R$ 3 780,00. C) R$ 3 792,00. D) R$ 3 900,00. RESOLUÇÃO: Do valor do pacote de viagem excluído o valor das taxas de embarque obtemos (4 200 – 120) = 4 080 reais . Sobre este valor Francisco obteve, com o pagamento à vista, um desconto de 10%. Logo a sua despesa foi então de 4 080(1 – 0,10)+120 = 4 080 . 0,90+120 = 3 792. RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 02 Lançada em 1977, a sonda espacial Voyager 1 está, atualmente, a 1,5 .1010 km da Terra. Suponha que, dessa distância, a Voyager 1 envie, para a Terra, um sinal de rádio que se propaga à velocidade da luz, que é de 300.000 km/s. Despreze o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado até o momento de sua chegada a ela. Então, é CORRETO afirmar que, para chegar à Terra, o sinal enviado por essa sonda gastará A) menos de 8 horas. B) entre 8 horas e 10 horas. C) entre 10 horas e 12 horas. D) mais de 12 horas.

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RESOLUÇÃO: O total de segundos, desprezando-se o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado até o momento de sua chegada a ela, será determinado pelo

quociente 000s 50s0,5.10km/s3.10

km1,5.10 5

5

10

==

Cada hora é formada de 3 600s. Logo, 50 000s correspondem a 9

813

9

125

36

500==

horas. RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 03 Quando estava viajando pelo Chile, Jorge, por não ter uma calculadora disponível, tinha dificuldade em fazer a conversão dos preços, dados em pesos chilenos, para o valor correspondente em reais. À época, a cotação era de 196,50 pesos para cada real. Assinale, entre as seguintes alternativas, aquela que apresenta a regra que Jorge deveria utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro. A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas decimais para a esquerda. RESOLUÇÃO: Consideremos como p o valor em moedas chilenas que Jorge deveria, na época da viagem, converter em reais.

Pesos Chilenos Reais 196,50 1

p r Ao analisarmos as duas grandezas vemos que elas são proporcionais. Então

196,50

p r = .

Analisando agora as alternativas dadas como opções de respostas A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas

decimais para a esquerda é o mesmo que 200

p 100 :

2

p=

.

3

B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas

decimais para a esquerda, é o mesmo que 500

p 100 :

5

p=

.

C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas

casas decimais para a esquerda, é o mesmo que 50

p

100

2p 100 : 2p == .

D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas

casas decimais para a esquerda, é o mesmo que 20

p

100

5p 100 : 5p == .

Sendo 196,50

p r = , então das quatro conclusões, verificamos que a regra que Jorge

deveria utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro, é a apresentada

na alternativa A, ou seja 200

p 100 :

2

pr =

= .

RESPOSTA: Alternativa A QUESTÃO 04 Neste gráfico, estão representadas informações referentes aos períodos de chuva (outubro a abril) de 2002-2003 a 2005-2006, em Belo Horizonte:

FONTE: Estado de Minas, 5 abr. 2006 (Adaptado) Obs.: Os dados sobre ações preventivas no período 2002-2003 não foram disponibilizados. Considere estas afirmativas referentes aos dados contidos nesse gráfico: I – O número de famílias removidas de áreas de risco foi proporcional à precipitação pluviométrica verificada nos períodos pesquisados. II – A precipitação pluviométrica foi superior a 1 700 mm no período 2002-2003. III – O número de ações preventivas no período 2005-2006 foi, pelo menos, 30% maior que no período 2003-2004.

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1250 : 900 = 1,3888 IV – O número de famílias removidas de áreas de risco no período 2002-2003 foi, pelo menos, 10 vezes maior que no período 2005-2006. Com base nessas informações, conclui-se, CORRETAMENTE, que A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. B) apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. D) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. RESOLUÇÃO: Pela analise do gráfico vemos que a afirmativa I é verdadeira. O gráfico nos informa que o número de ações preventivas no período 2005-2006 está próximo de 1250 e o do período de 2003-2004 fica em torno de 900. Temos que o quociente1250 : 900 = 1,3888. O que nos leva a concluir que a afirmação III: “O número de ações preventivas no período 2005-2006 foi, pelo menos, 30% maior que no período 2003-2004” é verdadeira. RESPOSTA: Alternativa C QUESTÃO 05 Seja P = (a,b) um ponto no plano cartesiano tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos coordenados que passam por P dividem o quadrado de vértices (0,0), (2,0), (0,2) e (2,2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado nesta figura:

Considere o ponto ( )ab , baQ 22+= .

Então, é CORRETO afirmar que o ponto Q está na região

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A) I. B) II. C) III. D) IV. RESOLUÇÃO: Multiplicando os membros da desigualdade 0 < a < 1 por b >0, temos 0 < ab < b. E multiplicando os membros da mesma desigualdade por a > 0, temos 0 < ab < a. Comparando os dois resultados concluímos que ab é um número positivo ao mesmo tempo menor que a e que b. .

Como ab é um número positivo ao mesmo tempo menor que a e que b, pela análise da .figura ao lado chegamos à conclusão

de que a abscissa 22 ba + do ponto Q está sobre a reta r e que a sua ordenada ab está no interior da região destacada .

RESPOSTA:alternativa B. QUESTÃO 06 Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma possível redução, nessa mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 20%. Suponha que o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa mistura varia linearmente de acordo com a proporção de álcool utilizada. Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse carro percorrerá um total de A) 11,20 km . B) 11,35 km . C) 11,50 km . D) 11,60 km . RESOLUÇÃO: Se o carro bicombustível percorre 8 km com um litro de álcool, com 0,25l de álcool percorre 2 km. Se percorreu 11 km com um litro do combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% de álcool, então 2 dos 11km foram vencidos pelo álcool e 9km pela gasolina.

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Se para percorrer 9km o consumo de gasolina é de 0,75l, com 1l percorrerá (9:0,75) km = 12km. Então com um litro de combustível composto de 80% de gasolina e 20% de álcool percorrerá 0,8.12km + 0,2.8km = 9,6km + 1,6km = 11,2km. RESPOSTA: Alternativa A QUESTÃO 07 Seja S o conjunto dos números naturais maiores que 1 que são divisores de 360 e não possuem fatores primos em comum com 147. Então, é CORRETO afirmar que S contém A) 6 elementos. B) 7 elementos. C) 8 elementos. D) 9 elementos. RESOLUÇÃO:147 = 3.72 . Os fatores primos de 147 são 3 e 7. 7 não é divisor de 360. Para encontrar os divisores de 360, maiores que 1, não múltiplos de 3, dividamos 360 por 9 e determinemos os divisores maiores que 1 do resultado 40. D(40) = ( 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}. . RESPOSTA: Alternativa B. QUESTÃO 08 Na Figura I, está representado um retângulo, cuja base mede 25 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões α, β e γ. Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II.

Então, é CORRETO afirmar que a área da região α mede A) 24 cm2 . B) 28 cm2 . C) 30 cm2 . D) 32 cm2 .

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RESOLUÇÃO:

Ao interpretar a situação-problema pudemos construir a figura acima . Chegamos a duas conclusões: 1a) O retângulo e o quadrado são equivalentes, têm a mesma área (9.25)cm2 = 225cm2. 2a) O lado do quadrado mede 15cm, pois (15cm)2 = 225cm2. 3a) 9 + x = 15 e 25 – y = 15 ⇒ x = 6 e y = 10 4a) A região α sendo um triângulo retângulo de catetos 6cm e 10cm, a sua área

mede 302

cm10 . cm6= cm2

RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 09

Sejam p(x) = 115)x(aax 2+−+ e q(x) =

b

13x2x 2

+− polinômios com coeficientes

reais. Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é CORRETO afirmar que o valor de a + b é A) 3. B) 6. C) 9. D) 12. RESOLUÇÃO: Como os polinômios possuem as mesmas raízes, podemos escrever;

=

=⇒

=

−=⇒

==

=−−

=+

3b

6a

2b a

2a303a

2

b

1

a

1x'.x"

2

3

a

15)(ax"x'

RESPOSTA: Alternativa C

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QUESTÃO 10 Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST:

Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é CORRETO afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede A) 8 2 cm2 . B) 8 3 cm2 . C) 16 2 cm2 . D) 16 3 cm2 . RESOLUÇÃO:

Na figura ao lado, a congruência dos triângulos retângulos nos mostram que todas as arestas do octaedro são iguais a a= 2244 =+ . Logo sua área total, em cm2 é

S = ( )

3164

38.8

2

=

RESPOSTA:Alternativa D.

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QUESTÃO 11 Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é

A) 100

1 B)

99

1 C)

50

1 D)

49

1

RESOLUÇÃO: Como existem 50 pares de cartas iguais, a probabilidade pedida é de 1/50 RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 12 Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: • 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; • 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e • 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de A) 25%. B) 30%. C) 35%. D) 40%. RESOLUÇÃO:

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No diagrama acima está representada a situação problema colocada na questão. Sabemos que o n(C) representa 82% do total de entrevistados e que o n(P) representa 78% deste mesmo total.

60%z x160%z)(x100%

160%z)(xw)zyxb(a

78%wzxb

82%zyxa=+⇒

=++

=+++++++⇒

=+++

=+++

Sabemos que o n(BF) representa 75% do total de entrevistados.

35% x135%(x)100%

135%(x)z)wyx(c

60%zx

75%wyxc=⇒

=+

=+++++⇒

=+

=+++

RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 13 Os irmãos Armando, Bernardo e Caio decidiram ajudar na reforma do piso da casa de seus pais, dividindo igualmente, entre eles, o custo de 100 m2 de cerâmica. Armando e Bernardo compraram, respectivamente, 60 m2 e 40 m2 da mesma cerâmica, pagando o mesmo preço pelo metro quadrado. Para acertar sua parte nessa compra, Caio pagou a seus dois irmãos um total de R$ 1 500,00. Sejam x a parte dessa quantia que coube a Armando e y a parte que coube a Bernardo. Então, é CORRETO afirmar que o valor de x - y é A) R$ 200,00. B) R$ 300,00. C) R$ 500,00. D) R$ 900,00. RESOLUÇÃO: Considerando como p o valor do metro quadrado da cerâmica e que a parte que coube a cada irmão foi de R$ 1 500,00, temos 100p = 4 500 ⇒ p = 45. Na compra Armando investiu 60p = 2.700 reais e Bernardo, 40p = 1.800 reais. Então, é CORRETO afirmar que o valor de x - y = 2 700 – 1 800 = 900 RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 14 Em uma danceteria, há um aparelho com várias caixas de som iguais. Quando uma dessas caixas é ligada no volume máximo, o nível R de ruído contínuo é de 95 dB. Sabe-se que

• R = 120 + 10.log10 Is , em que Is é a intensidade sonora, dada em watt/m2; e • a intensidade sonora Is é proporcional ao número de caixas ligadas.

Seja N o maior número dessas caixas de som que podem ser ligadas,

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simultaneamente, sem que se atinja o nível de 115 dB, que é o máximo suportável pelo ouvido humano. Então, é CORRETO afirmar que N é A) menor ou igual a 25. B) maior que 25 e menor ou igual a 50. C) maior que 50 e menor ou igual a 75. D) maior que 75 e menor ou igual a 100. RESOLUÇÃO: Como a intensidade sonora Is é proporcional ao número de caixas ligadas, representando por N o número de caixas ligadas podemos considerar Is = kN com k ∈∈∈∈ Q+. Logo a igualdade R = 120 + 10.log10 Is pode ser substituída por R = 120 + 10.log10 (kN). Para N = 1 temos R = 95dB ⇒ 95 = 120 + 10.log10 k ⇒ 10.log10 k = – 25 ⇒ log10 k = – 2,5 ⇒ k = 10–2,5. Na expressão R = 120 + 10.log10 (kN), substituindo k pelo valor 10–2,5, temos: R = 120 + 10.log10 (10–2,5.N) ⇒ R = 120 + 10.log10 10–2,5 + 10.log10 N ⇒ R = 120 – 25 + 10.log10 N ⇒ R = 95 + 10.log10 N. Sendo N o maior número dessas caixas de som que podem ser ligadas, simultaneamente, sem que se atinja o nível de 115 dB, temos: 95 + 10.log10 N < 115 ⇒ 10.log10 N < 20 ⇒ log10 N < 2 ⇒ N < 100. RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 15 Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que

• essas pessoas formam quatro casais; e • Carolina não é esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando. Então, é CORRETO afirmar que a esposa de Antônio é A) Carolina. B) Júlia. C) Raquel. D) Rita. RESOLUÇÃO:

FERNANDO (nd) PAULO (nd) GUSTAVO (dança)

ANTÔNIO (nd)

Prováveis esposas

Carolina (nd) Raquel Júlia (dança)

Rita (nd)

Carolina (nd) Raquel (dança)

Carolina (nd) Raquel

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A mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel. Como Júlia não está sentada, é ela quem dança com o marido de Raquel, que só pode ser Gustavo, único homem que não está sentado. Então ela é a mulher de Fernando. Como Carolina não é mulher de Paulo ela só pode ser mulher de Antônio.

FERNANDO PAULO GUSTAVO ANTÔNIO Esposas Júlia Rita Raquel Carolina

RESPOSTA: Alternativa A.