1

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA

UNICAMP-FASE 2.

RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

13. Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30o segundo.

Tempo (segundos) 0 1 2 3 4 Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140

b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.

RESOLUÇÃO: a) Ao analisar a variação da velocidade na linha 2 da tabela em relação a t ∈ {1s, 2s, 3s, 4s, ...} verifica-se que seus valores formam uma P.A. com primeiro termo igual a 35 e razão 35, logo para t = 30s tem-se: V = 35 + (30 – 1)× 35 = 35 + 1015 = 1050. RESPOSTA: 1050 km/h. b) Analisando o gráfico vê-se que 1300km/h < Vmáx < 1400km/h e ainda que

1300km/h < Vmáx < 2

2700 km/h, então pode-se

dizer aproximadamente 1325 km/h. Vê-se também que o primeiro instante t em que Vmáx > 1100km/h é um valor em que 30 < t < 45, pode-se tomar 37s, por exemplo, RESPOSTA: 1325 km/h e 37s.

2

14. Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas 20 AB = , 15 BC = e

10 AC = .

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD = 3 e traça-se o segmento DE paralelo a AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores h e H. b) Calcule o valor explícito da altura triângulo ABC em relação ao lado AC. RESOLUÇÃO:

a) Como 3h

H3

3

15

BD

BC=⇒== .

RESPOSTA: 3. b) Do triângulo BCF: H2 = 225 – x2 e do triângulo BAF: H2 = 400 – (10 + x)2. Logo: 225 – x2 = 400 – (10 + x)2. 225 – x2 = 400 – (10 + x)2 ⇒ 175 + x2 – 100 – 20x – x2 = 0 ⇒ 20x = 75 ⇒ x =

4

1515 H

16

3375 H

16

225225H

4

15 22=⇒=⇒−=⇒

RESPOSTA: 4

1515.

15. A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320. 000m2 de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre. Denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100m, medidos a partir da borda do reservatório.

a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso. b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V(t) = V0.2

– t, em que V0 é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, log102 ≈ 0,30.

3

RESOLUÇÃO:

a) A faixa de terra denominada APP é formada por dois retângulos de dimensões (2x)m × 100m, dois retângulos xm × 100m e 4 semicírculos de 100m de raio. Como a superfície do reservatório de água tem 320. 000m2 de área, 2x.x = 320.000 ⇒ x2 = 160.000 ⇒ x = 400 m. A área da faixa de terra denominada APP é então:

).24(1000024000010000S

10040021008002100S

APP

2APP

+=+=

⇒××+××+=

ππ

π

RESPOSTA: 24)24)24)24)10000(10000(10000(10000(ππππ + m2.

b) Como o questionamento é “Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume inicial?”, tem-se:

⇒===⇒−=−⇒

=⇒=⇒=

−−−

3

13

3

10

0,3

1t1(2)tlog

10

1log)(2log

10

12

10

V.2V 1010

t10

t0t0

Aproximadamente t = 3me10d RESPOSTA: t = 3me10d. 16. A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo.

Numeração brasileira ( t ) Comprimento do calçado ( x ) 35 23,8 cm 42 27,3 cm

Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração. b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f (x) = 5(x − 20) / 3 , em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados nk forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro

termo n1= 5 , em que nk = f(ck) , com k natural, calcule o comprimento c5 . RESOLUÇÃO:

a)

−=

=⇒

=

=⇒

=+

−=−−⇒

=+

=+⇒

=

=

12,6b

2a

2a

73,5a

42b27,3a

35b23,8a

42b27,3a

35b23,8a

42t(27,3)

35t(23,8)

=

=⇒

=

=

⇒

=+

−=−−⇒

=+

=+⇒

=

=

6,3d

5,0c

2

1c

3,57c

27,3d42c

23,8d35c

27,3d42c

23,8d35c

27,3x(42)

23,8x(35)

RESPOSTA: 6,36,36,36,3dddd eeee 0,50,50,50,5cccc 12,6;12,6;12,6;12,6;bbbb 2;2;2;2;aaaa ==−==

b) Sendo nk = f(ck) e f (x) = 5(x − 20) / 3⇒3

20)5(cn k

k−

= .

Como a numeração dos calçados nk forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e n1= 5 ⇒

n5 = 5 + (5 – 1).0,5 = 5 + 2 = 7 ⇒ 2,245

1211215100521

3

20)5(c7 555

5 ==⇒=⇒−=⇒−

= ccc .

RESPOSTA: c5 = 24,2.

4

17. Na formulação de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por x , y e z .

a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de equações lineares:

=

=+

=−+

0,25z

0,55z2y

0,20zy3x

Calcule x e y nesse caso. b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações 24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e z = 10%. Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante.

RESOLUÇÃO:

a)

=

=⇒

=

=+⇒

=+

=−+⇒

=

=+

=−+

10,0

15,0

30,02

45,03

55,025,02

20,025,03

0,25z

0,55z2y

0,20zy3x

x

y

y

yx

y

yx

RESPOSTA: x= 0,10 e y = 0,15.

b) Se 24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e z = 10% ⇒ 14% ≤ x + y ≤ 44% e x + y ≥ 30% ⇒

30% ≤ x + y ≤ 44% ⇒ x + y ≥ 30% e y ≤ − x + 44%

Para y = 20% ⇒ x = 24% ou x = 10% e para x = 10% ⇒ y = 34% ou x = 10%

RESPOSTA: A região de teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante é a região determinada pelo triângulo de vértices B = (10%, 20%); C = (24%,

20%) e A= (10%, 34%).

5

18. O diagrama abaixo indica a distribuição dos alunos matriculados em três cursos de um a escola. O valor da mensalidade de cada é de R$ 600,00, mas a escola oferece descontos aos alunos que fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, são de 20% para quem faz dois cursos e de 30% para os matriculados em três cursos. a) Por estratégia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total de mensalidade. Calcule o percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo curso para aqueles que fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aqueles que fazem três cursos. b) Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso?

RESOLUÇÃO: a) Projeto original de desconto para os alunos que fazem dois cursos: 24020,06002 =×× reais. Projeto original de desconto para os alunos que fazem três cursos: 54030,06003 =×× reais.

Por estratégia de marketing, para os alunos que fazem dois cursos, o desconto é de %4040,0600

240==

sobre o segundo curso. Para os alunos que fazem três cursos, o desconto é de %9090,0600

540== sobre

o terceiro curso. RESPOSTA: 40% e 90%. b) De acordo com o diagrama, o número total de alunos matriculados na escola (espaço amostral) é 9 + 7 + 3 + 4 + 8 + 2 + 6 = 39, e o total de alunos matriculados em apenas um dos três cursos é 9 + 6 + 8 = 23.

Então a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso: 39

23

RESPOSTA: 3939393923232323 .

19. Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação (2 − p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 , nas variáveis x e y , em que p é um parâmetro real. a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y . Encontre o ponto de interseção neste caso. b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa família para p = 1. Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da circunferência em que o segmento OA é um diâmetro. RESOLUÇÃO: a) A equação (2 − p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 pode ser representada na forma reduzida por

12p

48px

12p

p2y

+

+−

+

−−= onde

12p

p2

+

−− é o valor que da tangente do ângulo que a reta forma com o

semieixo positivo Ox. Sendo a perpendicular ao eixo y, ela é paralela ao eixo x e portanto

2p0p2012p

p2=⇒=−⇒=

+

−− .

6

Poder-se-ia também desenvolver o raciocínio do seguinte modo:

Sendo a reta (2 − p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 perpendicular ao eixo y, ela é paralela ao eixo x e

portanto na sua forma geral o coeficiente de x é nulo, portanto 2 – p = 0 ⇒ p = 2.

RESPOSTA: 2 b) A interseção da reta x + 3y + 12 = 0 com o eixo dos x é o ponto A(x, 0), logo x = −12 e A(−12, 0). Sendo O a origem do plano cartesiano, a medida do segmento OA é 12. Sendo o segmento AO um diâmetro da circunferência em questão, o centro dessa circunferência é o ponto (0, −6) e seu raio mede 6.

A equação da circunferência é 012yyx3636y1236)6(x 222222=++⇒=+++⇒=++ yxy

RESPOSTA: 000012y12y12y12yyyyyxxxx 22222222 =++

20. Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão q >1. a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a área total do paralelepípedo igual a 252 m2 . RESOLUÇÃO: a) Considerando as arestas da piscina como

qx e x ,q

x.

Perímetro da face de maior área: 2x(1 + q).

Perímetro da face de menor área:

+

q

112x .

Quociente pedido: qq1

q q)(1

q

q1 : q)(1

q

112x : q)2x(1 =

+×+=

++=

++ .

RESPOSTA: q.

b) A área total do paralelepípedo é dada pela expressão:

++=++ 1

q

1q2x2x

q

2x2qx 22

22 .

Fazendo 2521q

1q2x2

=

++ e substituindo q por 2:

( ) 6x36x7

252x252214x2521

2

122x 2222

=⇒=⇒=⇒=++⇒=

++ .

Logo as arestas do paralelepípedo medem 62 e 6 ,2

6× , ou seja, 3, 6 e 12.

O volume da piscina é 3 × 6 × 12 m3 = 216 m3. RESPOSTA: 216 m3.

7

21. Considere o polinômio p(x) = x2 − 11x + k + 2, em que x é variável real e k um parâmetro fixo,

também real. a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de p(x) por x − 1 é igual a 3?

b) Supondo, agora, k = 4 , e sabendo que a e b são raízes de p(x) , calcule o valor de

+

b

π

a

πsen .

RESOLUÇÃO: Para que o resto do quociente de p(x) por x − 1 seja igual a 3, tem-se p(1) = 3. Logo: 1 − 11 + k + 2 = 3 ⇒ k =11. RESPOSTA: 11 b) Em p(x) = x2

− 11x + k + 2, substituindo k por 4, p(x) = x2 − 11x + 6. Se as raízes deste polinômio são

os valores a e b, tem-se a + b = 11 e a.b = 6.

2

1

6

5π

6

5πsen

6

11πsen

ab

b)π(asen

b

π

a

πsen −=

−=

+=

=

+=

+ senπ .

RESPOSTA: 22221111− .

22. Considere a matriz

−−= 1

α

1α1

Aα que depende do parâmetro real α > 0.

a) Calcule a matriz (Aα +A2α)2.

b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas

y

x é transformado pela matriz Aα

em um novo ponto da seguinte forma:

−−

+

=

=

yxα

1αyx

y

xA

y'

x'α .

Calcule o valor de α, sabendo que o sistema

−=

2

6

y

xAα admite solução.

RESOLUÇÃO:

a) a matriz

−−= 1

α

1α1

Aα que depende do parâmetro real α > 0,

( )

−

−

=

−−×

−−=+

⇒

−−=

−−+

−−=+

2

10

02

1

22α

33α2

22α

33α2

A

22α

33α2

12α

12α1

1α

1α1

A

22α

2α

α

α

A

A

RESPOSTA:

−

− 222211110000 000022221111

b) ⇒

−=

2

6

y

xAα ×

−− 1α

1α1

⇒

=−−

−=+⇒

=−−

−=+

⇒

−=

2ααyx

6αyx

2yα

x

6αyx

2

6

y

x

=

=−⇒

=−−

−=+

3α

062αequações) duas as (somando

2ααyx

6αyx

RESPOSTA: α = 3.

8

23. Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a

altura α4

3. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ângulo θ em torno de uma das arestas da

base, como está representado na figura abaixo.

a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo θ. b) Considerando, agora, a inclinação tal que tg(θ) = 1/4, com 0 < θ < π/2 , calcule o valor numérico da expressão cos(2θ) – sen(2θ). RESOLUÇÃO:

a) Se o recipiente cúbico de aresta a contém água até a altura

α4

3, o volume da água é

4

3α

4

3αααV

3

=××= .

Se o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a

derramar, o volume da parte do recipiente vazio de água é 4

α3

.

A parte do recipiente vazio de água é um prisma de base ABC e

altura α, 2

α

2

α

24

α3

=⇒=⇒×= xxx

αα

.

2

1:

2== α

αθtg

RESPOSTA: 22221111

b) Considerando, agora, a inclinação tal que 4

1=θtg , com 0 < θ < π/2 e o

triângulo retângulo ABC de catetos 1(oposto a θ) e 4, 17161BC =+= .

Logo ⇒==17

174cosθ e

17

17senθ

( ) ( )17

15

17

1

17

16θsenθcos2θcos e

17

8

17

174

17

1722senθsenθ2θsen 22

=−=−==××==

Logo cos(2θ) – sen(2θ) = 17

7

17

8

17

15=− .

RESPOSTA: 171717177777 .

9

24. Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que

inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB . Nos pontos desse arco o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.

a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?

b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ) = 3/4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. RESOLUÇÃO:

a) Analisando a figura conclui-se que ⇒===2

1

12800

6400

OS

OBcosα

°= 60α ⇒ que o arco AB mede 120° ⇒

3

12800

3

1

12800360

120

64002

π

ππ=⇒=⇒

°

°=

×l

ll�

RESPOSTA: 333312800128001280012800ππππ.

b) Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo COS:

⇒=⇒=⇒×−=

⇒×××−+=

2rx2rx4

34r5rx

cosθ2rr24rrx

22222

222

26400x = .

RESPOSTA: 26400 km