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Page 1: Resoluções das atividades MATEMÁTICA 5 · Resoluções das atividades MATEMÁTICA 5 Pré-Vestibular – Livro 1 1 Módulo 2 Trigonometria II Atividades para sala 01 C B A 120 m

Resoluções das atividades MATEMÁTICA 5

1Pré-Vestibular – Livro 1

Trigonometria IIMódulo 2

Atividades para sala

01 C

B

A 120 m

45º 30º

C

D

yx

h

A ACBD: tghx

hx

xh

xh

x h

30

33

3

3

3 33

3

º=

=

=

=

=

AABD: tghy

45º=

y = h

AADC: x2 + y2 = 1202

( )3 2h + h2 = 14 4004h2 = 14 400h2 = 3 600 ⇒ h = 60 m

02 B 1 radiano é a medida do ângulo central de uma circunfe-

rência que abrange um arco de comprimento igual ao raio da circunferência.

60º

60º 60º

RO

R

A

B

C1 rad

⋅ 3

⋅ 3

Assim:

I. ∆OAB é equilátero

II. AB = OB = OA = R

III. AB = °60

IV. AC AB <

V. AC < °60

Obs.: AC –––––––– 1 rad

180° –––––––– π rad

AC AC ⋅ = ° ⋅ ⇒ = ° ≅ ° ≅ °ππ

180 1180 180

3 1457 3

,,

03 C

4200 360

240 114200 11 360 240

° °°

° = ⋅ ° + °

04 A

N sen n n

sen n

= + ⋅

+ + ⋅

=

= +

+

( ) cos ( )8 14

12 13

24

π π

π πccos

cos

43

4 3

22

12

2 12

n

sen

π π

π π

+

= +

= + ⇒ +

sen n n

sen

24

43

4 3

22

12

2 12

π π π π

π π

+

+ +

=

+ =

+ ⇒ +

cos

cos

05 D

A O

1h

C

α

B x

y

2

Área ∆ABC = 23

b h hh

⋅= ⇒

⋅= ⇒ =

223

22

23

23

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MATEMÁTICA 5

2 Pré-Vestibular – Livro 1

Logo, sen α = h1

⇒ sen α = 23

sen2α + cos2α = 1 ⇒ 23

2

+ cos2α = 1 ⇒

cos2α = 1 −49

cos

cos ( )

cos ( )

2 59

53

53

αα

α= ⇒

=

= −

op o correta

n o conv m

çã

ã é

06 D

Observe o ciclo trigonométrico a seguir.

x

x

cos

sen

π – x

π

32π

32π + x

2

1

Uma vez que os triângulos 1 e 2 são congruentes, tem-se:

sen (π– x) = cos 32π

+

x . Portanto, sen x

x

( )

cos.

ππ

+

=32

1

07 D

π π4

56

< ≤x

56π

π4

cos x

sen x

Logo:

A (sen x)máx. ocorre quando x = π2

. Portanto, (sen x)máx. = 1

A (cos x)mín. ocorre quando x = 56π

. Portanto, (cos x)mín. = − 32

Desse modo, tem-se:

M sen x x

M M M

m x m n= ⋅ −

= ⋅ − −

⇒ = + ⇒ =

+

2

2 13

22

32

4 32

( ) (cos ). .á í

08 E

C

A

B

sen

cos12

θ

sen θ

1 – sen θ

Áreabase altura

sen

sen

ABC∆ = ⋅ ⇒

=− ⋅

= −

2

0 1251

12

2

125

1000

11

8

,( )

(

θ

θ))4

18

14

12

1

112

12

1

2 1

= − ⇒ = − ⇒

= − ⇒ = → =

sensen

sen sen

θ θ

θ θ θθπ π

2< <

550°

09 C

cosA

B

OM45°

Q

P

cos α

sen

α

I. Abscissa do ponto M é igual A – cos α.

II. PQM = 45° ⇒ QPM = 45°.

III. Assim, ∆QPM é isósceles. Logo, PM = QM.

IV. QO = QM + MO ⇒ 1 = QM – cos α ⇒ QM = 1 + cos α. Assim, PM = 1 + cos α.

Atividades propostas

01 A

2 280° = 360° · 6 + 120°

Logo, cos 2 280° = cos 120° = −12

.

6 voltas completas

Está na 7a determinação

positiva

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MATEMÁTICA 5

3Pré-Vestibular – Livro 1

02 E

Observe a figura.

A

B

α

90º120º

sen

60º

O

Logo OA OB

sen

⋅ ⇒⋅ ⇒

⋅ =

cos 60 60

12

32

34

º º

03 C

sen

cos

π

Se α ∈ [1, π[, α ∈ 1o quadrante ou α ∈ 2o quadrante. Logo, sen α > 0.

sen

cos

43π

β

2

Se β ∈ 243

, β ∈ 2o quadrante ou β ∈ 3o quadrante.

Logo, cos β < 0.

sen

cosθ

5

136

π

Se θ ∈ 513

6,

π

, θ ∈ 1o quadrante ou β ∈ 4o quadrante.

Logo, cos θ > 0.

Dessa forma:

sen α ∙ cos β < 0 sen α ∙ cos θ > 0 cos β ∙ cos θ < 0

04 D

cos (–540°) = cos (–180°) = –1

sen (450°) = sen (90°) = 1

sen (630°) = sen (270°) = –1

sen (–450°) = sen (–90°) = –1

cos (540°) = cos (180°) = –1

Logo, E = − ⋅ + −− + −

=−−

=1 1 11 1

22

1( )

( ).

05 C Na operação I, a seta indicará a posição E.

Na operação II, a seta indicará a posição H

Na operação III, a seta indicará a posição F.

Na operação IV, a seta indicará o ponto médio de A e B.

Na operação V, a seta indicará o ponto médio de C e D.

06 C

Lembre que o raio da circunferência trigonométrica é igual à unidade. Assim, tem-se o seguinte.

sen

P

Q

α

αβ

β

O

1

1

cos

α + β = 90°

Pitágoras no ∆OPQ:

(PQ)2 = 12 + 12 ⇒ (PQ)2 = 2 ⇒ PQ = 2

07 B

56π

105π3

2

sen

cos

A 635 6

5 105635 105

56

π

π ππ π

π

= + (∈ 4o quadrante)

Dessa forma: cos 6353

2π =

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MATEMÁTICA 5

4 Pré-Vestibular – Livro 1

34π

22

x

106π

sen

cos

A 427 4

3 106427 106

34

π

π ππ π

π

= + ( ∈ 3o quadrante)

Dessa forma: sen 4272

2π =

π3

3

cos

sen

tg

A 907 3

302907 302

3

π

π ππ π

π

= + ( ∈ 1o quadrante)

Dessa forma: tg tg907

3 33

π π= =

Logo,

E sen tg

E

E

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

=

cos635

6427

4907

3

32

22

3

3 24

π π π

08 A

Observando cada opção, tem-se o seguinte.

a) − = − − = − − = − − =56

354

323

1823

9 223

43

π π ππ

ππ

π π( )

(verdadeiro)

sen

cos

M −23

π

43π

b) −74π

(falso)

9 voltas completas

sen

cos

M

− 74π

c) 56π (falso)

sen

cos

M

56π

d) 215

205 5

45

2 25

π π ππ

ππ

π= + = + = ⋅ +( ) (falso)

sen

cos

π5

e) − = − − = − − = − − =313

303 3

103

5 23

53

π π ππ

ππ

π π( ) (falso)

sen

cos

−π3

53π

M

09 C

β

βθ

QP

P

α

α

cosA

S

O

R

sen

I. O centro do quadrado (O) coincide com o centro da circunferência.

2 voltas completas

5 voltas completas

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MATEMÁTICA 5

5Pré-Vestibular – Livro 1

II. As diagonais do quadrado se cruzam em seu centro e formam o ângulo de 90° entre si.

III. POQ = β – α = 90° ⇒ β = α + 90°.

IV. Note que α+ θ = 90°. Logo, POQ = α.

V. ∆OPC ≡ ∆OQD.

VI. |sen α| = PC = QD = |cos β|.

VII. sen²α+ cos²α= 1 ⇒ sen²α+ 8

10

2

=1 ⇒ sen²α= 1 –

64100

⇒sen2α= 36100

(0 < α < 90°) α =6

10.

VIII. cos β= –sen α= −6

10 = –0,6 .

10 C

cos 3 980º = M M = ?

Logo,

cos 3 980º = cos 20º

= sen 70º

sen

cos

20º

70º

3980 360º º

º

º

380 11 voltas

20Resto

11 E

Dividindo 4 555º por 360º, obtém-se quociente 12 e resto 235º. Conclui-se, então, que o arco tem extremidade no 3o quadrante.

Dividindo 4 195º por 360º, obtém-se quociente 11 e resto 235º. Conclui-se, então, que 4 555º é côngruo de 4 195º.

12 D

A 51π ≡ π, logo, 51π + x ≡ π + x

Assim, sen (51π + x) = sen (π + x) = –sen x.

A 28π ≡ 2π, logo, 28π – x ≡ 2π – x

Assim, sen (28π – x) = sen (2π – x) = –sen x.

A cosπ2

+

= −x sen x

A cos32π −

= −x sen x

Portanto, E =

E = − −− −

⇒ −−

⇒sen x sen xsen x sen x

sen xsen x

E22

== 1.

13 E Observe a figura a seguir.

y

6 B

5 x

270°

A1

45°

–5

B'

Para o segmento AB se sobrepor ao segmento AB', é necessário que ocorra uma rotação de 270° no sentido anti-horário.

14 E Representando os arcos em questão no ciclo trigonomé-

trico, tem-se o seguinte.

1,61,5

sen

cos

BA

π2

1 5708≅ ,

Como 1 62 2

1 5, , ,−

< −

π πentão B < A < sen

π2

.

15 A

cos

sen sen

sen sen

74

3152

223

1203

2

54

2252

2

π

π

π

= ° =

= ° =

= ° = −

cos

Logo, cos sen sen74

23

54

22

32

22

128

2 38

34

π π π⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⇒

− = − = −.

16 A

A 12

1 114

34

32

32

22 2 2 2

+ = ⇒ = − ⇒ =

=

= −

( ) ( ) ( )

(

y y y

y

y n o conv

P P P

P

P ã émm)

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MATEMÁTICA 5

6 Pré-Vestibular – Livro 1

A ( ) ( ) ( )

(

x x x

x n

x

Q Q Q

Q

Q

2

2

2 2 222

1 124

12

12

+ −

= ⇒ = − ⇒ =

=

=

ão convém)

−− ⇒ = −

12

22

xQ

Logo:

x yQ P⋅ = − ⋅ = −2

23

26

4

17 C

sen

cos0

–120º–90º

60º

60º

60º

30º

30º

2280 360

120 6 voltas

º

ºResto

Tem-se:

–2 280º ≡ –120º

sen (–2 280º) = sen (–120º) = –sen 60º, mas sen 60º = cos 30º, logo, sen (–2 280º) = sen (–120º) = –cos 30º.

18 B

b ⇒⇒

360

4590000 00 54000000 00

º

, ,

Ou seja,

b = ⋅ ⇒45900005400 0000

360 º b = 30,6º.

Portanto, 22

32

< <cos b ⇒

cos 45º < cos b < cos 30º ⇒

45º < b < 30º.