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Resoluções das atividades MATEMÁTICA 5
1Pré-Vestibular – Livro 1
Trigonometria IIMódulo 2
Atividades para sala
01 C
B
A 120 m
45º 30º
C
D
yx
h
A ACBD: tghx
hx
xh
xh
x h
30
33
3
3
3 33
3
º=
=
=
=
=
AABD: tghy
45º=
y = h
AADC: x2 + y2 = 1202
( )3 2h + h2 = 14 4004h2 = 14 400h2 = 3 600 ⇒ h = 60 m
02 B 1 radiano é a medida do ângulo central de uma circunfe-
rência que abrange um arco de comprimento igual ao raio da circunferência.
60º
60º 60º
RO
R
A
B
C1 rad
⋅ 3
⋅ 3
Assim:
I. ∆OAB é equilátero
II. AB = OB = OA = R
III. AB = °60
IV. AC AB <
V. AC < °60
Obs.: AC –––––––– 1 rad
180° –––––––– π rad
⇒
AC AC ⋅ = ° ⋅ ⇒ = ° ≅ ° ≅ °ππ
180 1180 180
3 1457 3
,,
03 C
4200 360
240 114200 11 360 240
° °°
° = ⋅ ° + °
04 A
N sen n n
sen n
= + ⋅
+ + ⋅
=
= +
+
( ) cos ( )8 14
12 13
24
π π
π πccos
cos
43
4 3
22
12
2 12
n
sen
π π
π π
+
= +
= + ⇒ +
sen n n
sen
24
43
4 3
22
12
2 12
π π π π
π π
+
+ +
=
+ =
+ ⇒ +
cos
cos
05 D
A O
1h
C
α
B x
y
2
Área ∆ABC = 23
b h hh
⋅= ⇒
⋅= ⇒ =
223
22
23
23
MATEMÁTICA 5
2 Pré-Vestibular – Livro 1
Logo, sen α = h1
⇒ sen α = 23
⇒
sen2α + cos2α = 1 ⇒ 23
2
+ cos2α = 1 ⇒
cos2α = 1 −49
cos
cos ( )
cos ( )
2 59
53
53
αα
α= ⇒
=
= −
op o correta
n o conv m
çã
ã é
06 D
Observe o ciclo trigonométrico a seguir.
x
x
cos
sen
π – x
π
32π
32π + x
2
1
Uma vez que os triângulos 1 e 2 são congruentes, tem-se:
sen (π– x) = cos 32π
+
x . Portanto, sen x
x
( )
cos.
ππ
−
+
=32
1
07 D
π π4
56
< ≤x
56π
π4
cos x
sen x
Logo:
A (sen x)máx. ocorre quando x = π2
. Portanto, (sen x)máx. = 1
A (cos x)mín. ocorre quando x = 56π
. Portanto, (cos x)mín. = − 32
Desse modo, tem-se:
M sen x x
M M M
m x m n= ⋅ −
= ⋅ − −
⇒ = + ⇒ =
+
2
2 13
22
32
4 32
( ) (cos ). .á í
08 E
C
A
B
sen
cos12
θ
sen θ
1 – sen θ
Áreabase altura
sen
sen
ABC∆ = ⋅ ⇒
=− ⋅
⇒
= −
2
0 1251
12
2
125
1000
11
8
,( )
(
θ
θ))4
18
14
12
1
112
12
1
2 1
⇒
= − ⇒ = − ⇒
= − ⇒ = → =
sensen
sen sen
θ θ
θ θ θθπ π
2< <
550°
09 C
cosA
B
OM45°
Q
P
cos α
sen
α
I. Abscissa do ponto M é igual A – cos α.
II. PQM = 45° ⇒ QPM = 45°.
III. Assim, ∆QPM é isósceles. Logo, PM = QM.
IV. QO = QM + MO ⇒ 1 = QM – cos α ⇒ QM = 1 + cos α. Assim, PM = 1 + cos α.
Atividades propostas
01 A
2 280° = 360° · 6 + 120°
Logo, cos 2 280° = cos 120° = −12
.
6 voltas completas
Está na 7a determinação
positiva
MATEMÁTICA 5
3Pré-Vestibular – Livro 1
02 E
Observe a figura.
A
B
α
90º120º
sen
60º
O
Logo OA OB
sen
⋅ ⇒⋅ ⇒
⋅ =
cos 60 60
12
32
34
º º
03 C
sen
cos
1α
π
Se α ∈ [1, π[, α ∈ 1o quadrante ou α ∈ 2o quadrante. Logo, sen α > 0.
sen
cos
43π
β
2
Se β ∈ 243
,π
, β ∈ 2o quadrante ou β ∈ 3o quadrante.
Logo, cos β < 0.
sen
cosθ
5
136
π
Se θ ∈ 513
6,
π
, θ ∈ 1o quadrante ou β ∈ 4o quadrante.
Logo, cos θ > 0.
Dessa forma:
sen α ∙ cos β < 0 sen α ∙ cos θ > 0 cos β ∙ cos θ < 0
04 D
cos (–540°) = cos (–180°) = –1
sen (450°) = sen (90°) = 1
sen (630°) = sen (270°) = –1
sen (–450°) = sen (–90°) = –1
cos (540°) = cos (180°) = –1
Logo, E = − ⋅ + −− + −
=−−
=1 1 11 1
22
1( )
( ).
05 C Na operação I, a seta indicará a posição E.
Na operação II, a seta indicará a posição H
Na operação III, a seta indicará a posição F.
Na operação IV, a seta indicará o ponto médio de A e B.
Na operação V, a seta indicará o ponto médio de C e D.
06 C
Lembre que o raio da circunferência trigonométrica é igual à unidade. Assim, tem-se o seguinte.
sen
P
Q
α
αβ
β
O
1
1
cos
α + β = 90°
Pitágoras no ∆OPQ:
(PQ)2 = 12 + 12 ⇒ (PQ)2 = 2 ⇒ PQ = 2
07 B
56π
105π3
2
sen
cos
A 635 6
5 105635 105
56
π
π ππ π
π
= + (∈ 4o quadrante)
Dessa forma: cos 6353
2π =
MATEMÁTICA 5
4 Pré-Vestibular – Livro 1
34π
22
x
106π
sen
cos
A 427 4
3 106427 106
34
π
π ππ π
π
= + ( ∈ 3o quadrante)
Dessa forma: sen 4272
2π =
π3
3
cos
sen
tg
A 907 3
302907 302
3
π
π ππ π
π
= + ( ∈ 1o quadrante)
Dessa forma: tg tg907
3 33
π π= =
Logo,
E sen tg
E
E
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
cos635
6427
4907
3
32
22
3
3 24
π π π
08 A
Observando cada opção, tem-se o seguinte.
a) − = − − = − − = − − =56
354
323
1823
9 223
43
π π ππ
ππ
π π( )
(verdadeiro)
sen
cos
M −23
π
43π
b) −74π
(falso)
9 voltas completas
sen
cos
M
− 74π
c) 56π (falso)
sen
cos
M
56π
d) 215
205 5
45
2 25
π π ππ
ππ
π= + = + = ⋅ +( ) (falso)
sen
cos
π5
e) − = − − = − − = − − =313
303 3
103
5 23
53
π π ππ
ππ
π π( ) (falso)
sen
cos
−π3
53π
M
09 C
β
βθ
QP
P
Dα
α
α
cosA
S
O
R
sen
I. O centro do quadrado (O) coincide com o centro da circunferência.
2 voltas completas
5 voltas completas
MATEMÁTICA 5
5Pré-Vestibular – Livro 1
II. As diagonais do quadrado se cruzam em seu centro e formam o ângulo de 90° entre si.
III. POQ = β – α = 90° ⇒ β = α + 90°.
IV. Note que α+ θ = 90°. Logo, POQ = α.
V. ∆OPC ≡ ∆OQD.
VI. |sen α| = PC = QD = |cos β|.
VII. sen²α+ cos²α= 1 ⇒ sen²α+ 8
10
2
=1 ⇒ sen²α= 1 –
64100
⇒sen2α= 36100
(0 < α < 90°) α =6
10.
VIII. cos β= –sen α= −6
10 = –0,6 .
10 C
cos 3 980º = M M = ?
Logo,
cos 3 980º = cos 20º
= sen 70º
sen
cos
20º
70º
3980 360º º
º
º
380 11 voltas
20Resto
11 E
Dividindo 4 555º por 360º, obtém-se quociente 12 e resto 235º. Conclui-se, então, que o arco tem extremidade no 3o quadrante.
Dividindo 4 195º por 360º, obtém-se quociente 11 e resto 235º. Conclui-se, então, que 4 555º é côngruo de 4 195º.
12 D
A 51π ≡ π, logo, 51π + x ≡ π + x
Assim, sen (51π + x) = sen (π + x) = –sen x.
A 28π ≡ 2π, logo, 28π – x ≡ 2π – x
Assim, sen (28π – x) = sen (2π – x) = –sen x.
A cosπ2
+
= −x sen x
A cos32π −
= −x sen x
Portanto, E =
E = − −− −
⇒ −−
⇒sen x sen xsen x sen x
sen xsen x
E22
== 1.
13 E Observe a figura a seguir.
y
6 B
5 x
270°
A1
45°
–5
B'
Para o segmento AB se sobrepor ao segmento AB', é necessário que ocorra uma rotação de 270° no sentido anti-horário.
14 E Representando os arcos em questão no ciclo trigonomé-
trico, tem-se o seguinte.
1,61,5
sen
cos
BA
π2
1 5708≅ ,
Como 1 62 2
1 5, , ,−
< −
π πentão B < A < sen
π2
.
15 A
cos
sen sen
sen sen
74
3152
223
1203
2
54
2252
2
π
π
π
= ° =
= ° =
= ° = −
cos
Logo, cos sen sen74
23
54
22
32
22
128
2 38
34
π π π⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⇒
− = − = −.
16 A
A 12
1 114
34
32
32
22 2 2 2
+ = ⇒ = − ⇒ =
=
= −
( ) ( ) ( )
(
y y y
y
y n o conv
P P P
P
P ã émm)
MATEMÁTICA 5
6 Pré-Vestibular – Livro 1
A ( ) ( ) ( )
(
x x x
x n
x
Q Q Q
Q
Q
2
2
2 2 222
1 124
12
12
+ −
= ⇒ = − ⇒ =
=
=
ão convém)
−− ⇒ = −
12
22
xQ
Logo:
x yQ P⋅ = − ⋅ = −2
23
26
4
17 C
sen
cos0
–120º–90º
60º
60º
60º
30º
30º
2280 360
120 6 voltas
º
ºResto
Tem-se:
–2 280º ≡ –120º
sen (–2 280º) = sen (–120º) = –sen 60º, mas sen 60º = cos 30º, logo, sen (–2 280º) = sen (–120º) = –cos 30º.
18 B
b ⇒⇒
360
4590000 00 54000000 00
º
, ,
Ou seja,
b = ⋅ ⇒45900005400 0000
360 º b = 30,6º.
Portanto, 22
32
< <cos b ⇒
cos 45º < cos b < cos 30º ⇒
45º < b < 30º.