resoluções das atividades matemÁtica 3 file1 2 1 2 aa= log 4,12 17 ⇔ log 4,12 = log 4,12 17 ⇒...

4
Resoluções das atividades MATEMÁTICA 3 1 Pré-Vestibular – Livro 4 Módulo 11 Logaritmos – Definição, condição de existência e propriedades operatórias; Equações logarítmicas Atividades para sala 01 A Verificando as alternativas: a) (V) Para a > 0 e 1 ≠ b > 0, tem-se: log b a = c b c = a b log b a = a Assim, 2 log 2 3 = 3. b) (F) log 125 3 = log 125 – log 3 ≠ log log 125 3 c) (F) 1 trilhão = 10 12 log 10 12 = 12 d) (F) log 200 = log (2 ∙ 10 2 ) = log 2 + 2 e) (F) log 1 100 000 = log 1 10 25 , = log 10 –2,5 = –2,5 02 D Substituindo-se x = 12,5 cm na equação da Lei de Beer-Lambert, tem-se: log , log , , log L x L L L 15 0 08 15 0 08 125 15 1 =− =− =− 15 10 1 = L = 15 · 10 –1 L = 1,5 lúmen 03 B 100 0,3 = 100 log 2 = (10 2 ) log 2 = 10 log 2 2 = 10 log 4 = 4 04 D Se x é a altura que a escada alcança na parede, então, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: x 2 + (x – 5) 2 = 15 2 x 2 – 5x = 100 ( ) x= 5 2 1+ 17 Sendo a = 17 e tomando log 4,12 17 2, tem-se: log , 4 12 1 2 1 2 = log 17 log = log 17 4,12 4,12 4,12 a a log 4,12 a ≅ 1 ⇔ a ≅ 4,12 Portanto, x 5 2 (1 + 4,12) = 12,80 m . 05 D 2 2 16 0 a = , 2 a = 1,6 log 2 a = log 1,6 a · log 2 = log 16 10 ⇒ a · log 2 = log 16 – log 10 a · log 2 = log 2 4 – log 10 a · log 2 = 4 · log 2 – log 10 0,3a = 4 · 0,3 – 1 0,3a = 0,2 a= = 2 3 8 12 Logo, a nota é Sol#. 06 B r 1 – r 2 = log 10 m m 1 2 5,9 – 5,8 = log 10 m m 1 2 0,1 = log 10 m m 1 2 m m 1 2 01 10 = , 07 D N = 1 R = 95. Logo, 95 = 120 + 10 · log 10 I s I s = 10 –2,5 . Sabe-se que l s é proporcional ao número de caixas ligadas, então, I s = k · N. Para N = 1, I s = 10 –2,5 . Logo, k = 10 –2,5 . Para determinar N de modo que R = 115, 120 + 10 · log 10 I s = 115 log l s = –0,5 I s = 10 –0,5 . Como I s = k · N, tem-se: 10 –2,5 · N = 10 –0,5 N = 10 2 = 100 08 B Calcula-se o valor de t para o qual se tem D(t) = 2 ∙ D(0). Portanto, tem-se: 2 ∙ D(0) = D(0) ∙ e 0,006 ∙ t n 2 = n e 0,006 ∙ t 0,006t 0,69 t 115

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Page 1: Resoluções das atividades MATEMÁTICA 3 file1 2 1 2 aa= log 4,12 17 ⇔ log 4,12 = log 4,12 17 ⇒ log 4,12 a ≅ 1 ⇔ a ≅ 4,12 Portanto, x 5 2 ... O valor de cada expressão

Resoluções das atividades MATEMÁTICA 3

1Pré-Vestibular – Livro 4

Módulo 11Logaritmos – Defi nição, condição de existência e propriedades operatórias; Equações logarítmicas

Atividades para sala

01 A

Verifi cando as alternativas:

a) (V) Para a > 0 e 1 ≠ b > 0, tem-se: logb a = c ⇔ bc = a ⇔ blogb a = a Assim, 2log2 3 = 3.

b) (F) log 125

3

= log 125 – log 3 ≠

loglog

1253

c) (F) 1 trilhão = 1012 ⇒ log 1012 = 12d) (F) log 200 = log (2 ∙ 102) = log 2 + 2

e) (F) log 1

100000 = log

1102 5, = log 10–2,5 = –2,5

02 D

Substituindo-se x = 12,5 cm na equação da Lei de Beer-Lambert, tem-se:

log ,

log , ,

log

Lx

L

L

L

150 08

150 08 12 5

151

= −

= − ⋅

= −

11510 1= −

L = 15 · 10–1

L = 1,5 lúmen

03 B

1000,3 = 100log 2 = (102)log 2 = 10log 22 = 10log 4 = 4

04 D

Se x é a altura que a escada alcança na parede, então, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se:

x2 + (x – 5)2 = 152 ⇔ x2 – 5x = 100

( )⇒ x =

52

1+ 17

Sendo a = 17 e tomando log4,12 17 ≅ 2, tem-se:

log ,4 12

12

12

= log 17 log = log 174,12 4,12 4,12a a⇔

⇒ log4,12 a ≅ 1

⇔ a ≅ 4,12

Portanto, x52

(1 + 4,12) = 12,80 m≅ .

05 D

22

1 60

a

= , ⇒ 2a = 1,6 ⇒ log 2a = log 1,6 ⇒

a · log 2 = log1610

⇒ a · log 2 = log 16 – log 10 ⇒

a · log 2 = log 24 – log 10 ⇒ a · log 2 = 4 · log 2 – log 10 ⇒

0,3a = 4 · 0,3 – 1 ⇒ 0,3a = 0,2 ⇒ a = =23

812

Logo, a nota é Sol#.

06 B

r1 – r2 = log10mm

1

2

5,9 – 5,8 = log10mm

1

2

0,1 = log10mm

1

2

mm

1

2

0 110= ,

07 D

N = 1 ⇒ R = 95. Logo, 95 = 120 + 10 · log10 Is ⇒ Is = 10 –2,5. Sabe-se que ls é proporcional ao número de caixas ligadas,

então, Is = k · N. Para N = 1, Is = 10–2,5. Logo, k = 10–2,5. Para determinar N de modo que R = 115, 120 + 10 · log10 Is = 115 ⇒ log ls = –0,5 ⇒ Is = 10–0,5. Como Is = k · N, tem-se: 10–2,5 · N = 10–0,5 ⇒ N = 102 = 100

08 B

Calcula-se o valor de t para o qual se tem D(t) = 2 ∙ D(0). Portanto, tem-se:

2 ∙ D(0) = D(0) ∙ e0,006 ∙ t ⇔ n 2 = n e0,006 ∙ t

⇒ 0,006t ≅ 0,69 ⇒ t ≅ 115

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MATEMÁTICA 3

2 Pré-Vestibular – Livro 4

09 C

N = N0 ∙ ekt

Para t = 10, tem-se:

8000 5000

85

10 10= ⋅ ⇒ =e ek k

n

85

= n e10k∴

n 8 – n 5 = 10k ∙ n e n 23 – n 5 = 10k ⇒ 3 ∙ n 2 – n 5 = 10k 3 ∙ 0,69 – 1,61 = 10k ⇒ k = 0,046 Assim:

2 2

0 69 0 0460 69

0 00 046 0 046 N N e n n e

t t

t t= ⋅ ⇒ =

∴ = ⋅ ⇒ =

, ,

, ,,

00 04615

,mint utos=

Atividades propostas

01 E

Montante A: 10 000 ∙ (1,2)t

Montante B: 5 000 ∙ (1,68)t

Para os montantes serem iguais, tem-se: 10 000 ∙ (1,2)t = 5 000 ∙ (1,68)t

1 681 2,,

t

= 2 ⇒ 1,4t = 2

Aplicando o logaritmo a ambos os lados, tem-se: log 2 = log 1,4t

log 2 = t log2 710⋅

log 2 = t (log 2 + log 7 – log 10) 0,30 = t (0,30 + 0,85 – 1) 0,15t = 0,30 t = 2 anos, portanto, 24 meses.

02 A

O valor de cada expressão é:

log5 625 = log5 54 = 4

log 125 = log 5 = –

321

255

3–2

log log16 2

1024104 2

4= 2 = = 510

log7 343 = log7 73 = 3

log log27 3

24353

3= 3 = 5

Sorteando duas fichas ao acaso, a probabilidade de obter soma inteira é igual à probabilidade de retirar duas fichas com dois números inteiros, ou seja,

25

·14

=1

10

03 C

Para uma intensidade de 10–3 W/m2, tem-se:

NS = 10 log 1010

3

12

= 10 ∙ log 109 = 90 dB

04 E

III

I

dB

dB

= ⋅

= ⋅

10

1010

10

0

12

log

log

IdB = 10 · log 1013

IdB = 10 · 13 · log 10 = 130 log 10

IdB = 130 · 1 = 130

05 B

CF = C0 (1 + i)T

43 200 = 20 000 (1 + 0,08)T

(1,08)T = 2,16

Aplicando logaritmos a ambos os lados, tem-se:

log (1,08)T = log 2,16

T ∙ 0,03 = 0,33

T = 11

06 B

=M = (4 ) (4 ) = 5 = 9log 9 log 5 log 5 log 9 log 95 4 4 5 5

07 E

M MW = − +10 723 10 0, log

Para MW = 7,3, tem-se que:

7 3 10 723

23

7 3 10 7 18

18 32

27

10 0

0

0

, , log

log , ,

log

= − +

= + =

=⋅

=

M

M

M

Aplicando a definição de logaritmos, tem-se que:

log M0 = 27

M0 = 1027

08 C

De acordo com os dados do problema, tem-se:

T(t) = (T0 – TAR) · 10 12− t

+ TAR ⇒

140 = (740 – 40) · 10 12− t

+ 40 ⇒

100 = 700 · 10 12− t

10 12− t

= 17

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MATEMÁTICA 3

3Pré-Vestibular – Livro 4

C = 3 000 i = 0,05% = 0,0005

M = 3 019,50 t = ?

Aplicando a fórmula M = C(1 + i)t, obtém-se: 3 019,50 = 3 000(1 + 0,0005)t ⇒ (1,0005)t = 1,0065 ∴ t = log1,00051,0065

Pela propriedade da mudança de base, transforma-se o logaritmo para a base 10:

t = = =log ,log ,log ,

log

log,1 0005 1 0065

1 00651 0005

100651000010005110000

10065 1010005 10

4 0028 44 0002 4

04

4

−−

⇒ =−−

=log loglog log

,,

t,,,0028

0 000214=

Portanto, a multa foi paga com 14 dias de atraso, no dia 14 de janeiro.

13 B

log 6 + x = log 28

log 2 + log 3 + x = log (4 ∙ 7)

log 2 + log 3 + x = log 22 + log 7

log 2 + log 3 + x = 2 log 2 + log 7

log 2 + log 7 – log 3 = x

x = 0,301 + 0,845 – 0,477

x = 0,669

14 D

De acordo com o problema,

x + 1 > 0 e x2 + 35 > 0.

Assim,

log10 (x + 1) + 1 = log10 (x2 + 35)

log10 (x + 1) + log10 10 = log10 (x2 + 35)

log10 (10x + 10) = log10 (x2 + 35)

10x + 10 = x2 + 35

x2 – 10x + 25 = 0

x = 5 (verificar as condições de existência).

15 B

Na tabela, o bacilo que causa diarreia é o Escherichia coli. 50 = 10 · 2n

2n = 5

Aplicando logaritmos, tem-se:

log 2n = log 5

n · log 2 = log 10 – log 2

n · 0,3 = 1 – 0,3

n = 73

Logo, t =

=173

37

hora, aproximadamente 26 minutos.

log 10 12− t

= log 7–1

−t

12 = –log 7

t = 12 log (7) minutos

09 C

β

β

( ) log , :

( , ) log

III

tem= ⋅

= ⋅

10

0 0018 10

181000010

0

12

-se

=

=

⋅ − = ⋅ +

1018

10

10 18 10 10 2 2

8

8

log

(log log ) [ og logl 33 8

10 0 301 0 954 8 10 9 255 92 55

+ =⋅ + + = ⋅ =

]

( , , ) ( , ) ,

10 D

1o passo: Cálculo de a. D(t) = D0 · 2

(–2a · t); para t = 1, tem-se: D(1) = D0 · 2

(–2a · 1) ⇒ 15 = 16 · 2–2a

Aplicando log2, tem-se: log2 15 = log2 (16 · 2–2a) ⇒ –2a = log2 15 – log2 16 ⇒ –2a = log2 3 + log2 5 – 4 Assim, a = 0,05. 2o passo: Cálculo de t. Deve-se determinar t, para D(t) = 20.

D(t) = D0 · 2–2at ⇒ 20 = 16 · 2(–2at) ⇒ –2at = log

log2

255

42

2⇒ =

−t

a ⇒ log

log2

255

42

2⇒ =

−t

a ⇒ t =

−⋅

= −2 2 32 0 05

3,

, Logo, a pessoa morreu aproximadamente 3 horas antes de

t = 0, às 19 h 30 min.

11 E

Sendo m = 0,2 (magnitude aparente) e M = –6,8 (magni-tude absoluta), tem-se: –6,8 = 0,2 + 5 · log3 (3 · d–0,48)

5 · log3 (3 · d–0,48) = –7 ⇒

log3 (3 · d–0,48) = −75

log3 3 + log3 d– 0,48 = −

75

1 + log3 d –0,48 = −75

log3 d–0,48 = −

125

–0,48 · log3 d = −125

log3 d = 2 40 48

5,,

= ⇒ d = 35 parsecs

Em km, tem-se: 35 · 3 · 1013 = 729 · 1013 = 7,29 · 1015 km

12 A

Indicando por C, M, i e t o valor nominal da multa, o valor pago pela multa, a taxa ao dia e o tempo, em dias, respec-tivamente,

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MATEMÁTICA 3

4 Pré-Vestibular – Livro 4

16 D

I. log E = 1,44 + 1,5 · 9,5 = 1,44 + 14,25 = 15,69 ⇒ EChile = 1015,69

II. log E = 1,44 + 1,5 · 7,8 = 1,44 + 11,7 = 13,14 ⇒ ESF = 1013,14

EChile = 1015,69 ≅ 1013,14 + 1 + 0,5 = 1013,14 · 10 10

EChile ≅ 31 · ESF

17 A

pH = – log (0,005) = –log 1

200

= – (log 1 – log 200) =

– log 1 + log 200 = log 2 + log 100 = 0,3 + 2 = 2,3

O pH encontrado é correspondente ao do suco de limão/lima.

18 A

A m cm

t

t

t

t

= = ⇒

= ⋅ ⇒

= ⇒

= ⇒

⋅ =

1 6 160

160 40 11

11 4

11 4

11 2

,

,

,

log , log

log , log 22

11 2 2

1110

2 0 3

11 10 0

⇒⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ ⇒

⋅ − =

t

t

t

log , log

log ,

(log log ) ,,

( , ) ,

,,

6

1 04 1 0 6

0 60 04

15

⇒⋅ − = ⇒

= =

t

t

Logo, a planta terá altura de 1,6 m, aproximadamente, aos 15 anos.