resolução resistência dos materiais hibbeler 7ed

949
Resistência dos Materiais R. C. Hibbeler 7ª edição De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI)

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  • Resistncia dos

    Materiais R. C.

    Hibbeler 7 edio

    De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI)

  • SUMRIO

    1. TENSO ....................................................................................................................................................... 1

    1.1. PROBLEMAS ................................................................................................................................. 2

    1.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................... 27

    1.3. PROBLEMAS ............................................................................................................................... 52

    1.4. PROBLEMAS DE REVISO ...................................................................................................... 69

    1.5. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................... 74

    2. DEFORMAO ........................................................................................................................................ 75

    2.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................... 76

    2.2. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................... 93

    3. PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS ........................................................................... 94

    3.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................... 95

    3.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 107

    3.3. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................... 111

    3.4. CORREO ............................................................................................................................... 116

    4. CARGA AXIAL ....................................................................................................................................... 117

    4.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 118

    4.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 134

    4.3. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 154

    4.4. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 163

    4.5. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................... 176

    4.6. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................. 181

    5. TORO .................................................................................................................................................. 182

    5.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 183

    5.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 204

    5.3. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 219

    5.4. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 227

    5.5. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 239

    5.6. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................... 249

    5.7. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................. 255

    6. FLEXO ................................................................................................................................................... 256

    6.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 257

    6.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 296

    6.3. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 338

  • 6.4. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 350

    6.5. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 371

    6.6. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................... 385

    6.7. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................. 392

    7. CISALHAMENTO TRANSVERSAL ................................................................................................... 393

    7.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 394

    7.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 417

    7.3. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 428

    7.4. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................... 444

    7.5. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................. 450

    8. CARGAS COMBINADAS ...................................................................................................................... 451

    8.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 452

    8.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 458

    8.3. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................... 497

    8.4. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................. 509

    9. TRANSFORMAO DA TENSO ...................................................................................................... 510

    9.1. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 511

    9.2. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 555

    9.3. PROBLEMAS ............................................................................................................................. 588

    9.4. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................... 599

    9.5. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ............................................. 605

    10. TRANSFORMAO DA DEFORMAO ....................................................................................... 606

    10.1. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 607

    10.2. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 638

    10.3. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 654

    10.4. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................. 669

    10.5. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ........................................... 674

    11. PROJETO DE VIGAS E EIXOS ......................................................................................................... 675

    11.1. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 676

    11.2. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 706

    11.3. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................. 722

    11.4. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ........................................... 728

    12. DEFLEXO EM VIGAS E EIXOS ..................................................................................................... 729

    12.1. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 730

    12.2. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 758

  • 12.3. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 774

    12.4. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 799

    12.5. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 808

    12.6. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 817

    12.7. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 823

    12.8. PROBLEMAS DE REVISO .................................................................................................. 833

    12.9. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ........................................... 840

    13. FLAMBAGEM DE COLUNAS............................................................................................................ 841

    13.1. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 842

    13.2. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 871

    13.3. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 898

    13.4. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 912

    13.5. PROBLEMAS ........................................................................................................................... 928

    13.6. CORREO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER ........................................... 936

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ....................................................................................................... 937

    APNDICE A. PRORIEDADES MECNICAS MDIAS DE MATERIAIS TPICOS DE

    ENGENHARIA ............................................................................................................................................ 938

    APNDICE B. PROPRIEDADES GEOMTRICAS DE PERFIS ESTRUTURAIS ........................... 939

    APNDICE C. INCLINAES E DEFLEXES DE VIGAS ............................................................... 943

  • APRESENTAO

    Este livro contm as resolues dos problemas do livro Resistncia dos Materiais R.C. Hibbeler 7

    edio, dos captulos 1 ao 13 (sujeito a correes e melhorias), tem sido elaborado ao longo da minha vida

    acadmica como aluno do curso de engenharia civil pelo Centro Universitrio de Anpolis

    UniEVANGLICA. As resolues deste livro foram desenvolvidas de forma objetiva e passo a passo, e

    esto de acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI). Ao final de cada captulo existe um quadro

    de correo das respostas do livro do Hibbeler, que pude observar que no esto de acordo com as

    desenvolvidas neste livro devido a problemas de conveno de unidades. Os desenhos esboados os

    ajudaram no entendimento dos problemas como um todo. O objetivo aqui despertar o interesse do aluno

    pela disciplina Resistncia dos Materiais, to importante na engenharia e mostrar que tal disciplina no um

    bicho de sete cabeas.

    Bons estudos e faa bom proveito.

  • 1

    Captulo 1

    Tenso

  • Tenso

    2 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.1 - PROBLEMAS

    1.1. Determine a fora normal interna resultante que age na seo transversal no ponto A em cada

    coluna. Em (a), o segmento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa de 400 kg/m. Em

    (b), a coluna tem uma massa de 200 kg/m.

    Figura 1.1

    (a) Coluna (a) (b) Coluna (b)

    W2 = 400 x 9,81 x 1,2 = 4,7088 kN W = 200 x 9,81 x 3 = 5,886 kN

    W1 = 30 x 9,81 x 3 = 8,829 kN

    NA 5,886 8 6 6 4,5 4,5 = 0

    NA 4,7088 8,829 5 6 = 0 NA = 34,9 kN

    NA = 24,54 kN

    1.2. Determine o torque resultante interno que age sobre as sees transversais nos pontos C e D do

    eixo. O eixo est preso em B.

    Figura 1.2

    ;

    250 - TC = 0 TD + 250 - 400 = 0

    TC = 250 N.m TD = 150 N.m

  • Tenso

    3 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.3. Determine o torque resultante interno que age nas sees transversais nos pontos B e C.

    Figura 1.3

    ;

    TC - 500 = 0 TB - 500 + 350 = 0

    TC = 500 N.m TB = 150 N.m

    *1.4. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma fora de 80 N. Determine as cargas internas

    resultantes que agem sobre a seo no ponto A.

    Figura 1.4

    ;

    - VAcos(60) + NAcos(30) - 80sen(45) = 0 [1] VAsen(60) + NAsen(30) 80cos(45) = 0 [2]

    Resolvendo as equaes [1] e [2], obtemos: VA = 20,7 N ; NA = 77,3 N

    MA + 80cos(45) x 0,3cos(30) - 80sen(45) x (0,1 + 0,3sen30) = 0

    MA = - 0,55 N.m

  • Tenso

    4 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.5. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal no ponto D do elemento AB.

    Figura 1.5

    ( ) ; ( ) ;

    0,4Ay - 70 = 0 Ay + Cy = 0 0,15Cy - 0,2Cx = 0 Ax - Cx = 0

    Ay = 175 N Cy = 175 N Cx = 131,25 N Ax = 131,25 N

    ; ;

    ND + 131,25 = 0 VD 175 = 0 MD + 175 x 0,05 = 0

    ND = - 131,25 N VD = - 175 N MD = - 8,75 N.m

  • Tenso

    5 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.6. A viga AB suportada por um pino em A e por um cabo BC. Determine as cargas internas resultantes

    que agem na seo transversal no ponto D.

    Figura 1.6

    ; = arctang.

    / = arctang(0,75) = 36,87

    - 2TBCsen() 5 x 1,2 = 0 + = artang.

    / = arctang(1,25) = 51,34

    TBC = 12 kN = 51,34 - 36,87 = 14,47

    ; ;

    - ND - TBCcos() - 5cos() = 0 VD + TBCsen() 5sen() = 0 - MD + dBDTBCsen() - 5sen() x dBD = 0

    ND = - 15,63 kN VD = 0 kN MD = 0 kN.m

  • Tenso

    6 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.7. Resolva o Problema 1.6 para as cargas internas resultantes que agem no ponto E.

    Figura 1.7

    ; = arctang.

    / = arctang(0,75) = 36,87

    - 2TBCsen() 5 x 1,2 = 0 + = arctang.

    / = arctang(1,25) = 51,34

    TBC = 12 kN = 51,34 - 36,87 = 14,47

    ; ;

    - NE TBCcos() 5cos() = 0 VE + TBCcos() 5sen() = 0 - ME + dBETBCsen() - 5sen() x dBE = 0

    NE = - 15,63 kN VE = 0 kN ME = 0 kN.m

  • Tenso

    7 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.8. A lana DF do guindaste giratrio e a coluna DE tm peso uniforme de 750 N/m. Se o guindaste e a

    carga pesam 1.500 N, determine as cargas internas resultantes nas sees transversais que passam nos

    pontos A, B e C.

    Figura 1.8

    Seo 1 (0 ) ;

    VA 0,675 1,5 = 0 - MA - 1,5 x 0,9 - 0,675 x 0,45 = 0

    NA = 0 kN VA = 2,17 kN MA = - 1,654 kN.m

    Seo 2 (0 ) ; ;

    VB 2,475 1,5 = 0 - MB - 1,5 x 3,3 - 2,457 x 1,65 = 0

    NB = 0 kN VB = 3,98 kN MB = - 9,034 kN.m

    Seo 3 (0 ) ; ;

    - NC 1,125 2,925 1,5 = 0 - MC - 2,925 x 1,95 - 3,9 x 1,5 = 0

    VC = 0 kN NC = - 5,55 kN MC = - 11,554 kN.m

  • Tenso

    8 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.9. A fora F = 400 N age no dente da engrenagem. Determine as cargas internas resultantes na raiz do

    dente, isto , no centroide da seo a-a (ponto A).

    Figura 1.9

    ; ;

    VA 400cos(15) = 0 NA 400sen(15) = 0 - MA + 400cos(15) x 0,00575 400sen(15) x 0,004 = 0

    VA = 368,37 N NA = 103,57 N MA = 1,808 N.m

    1.10. A viga suporta a carga distribuda mostrada. Determine as cargas internas resultantes na seo

    transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reaes nos apoios A e B sejam verticais.

    Figura 1.10

    ;

    - 3 x 27 .

    /(8,1) + 6RB = 0 RA + 22,815 27 8,1 = 0

    RB = 22,815 kN RA = 12,286 kN

    ; ;

    NC = 0 kN 12,285 16,2 VC = 0 MC + 16,2 x 1,8 12,285 x 3,6 = 0

    VC = 3,92 kN MC = 15,07 kN.m

  • Tenso

    9 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.11. A viga suporta a carga distribuda mostrada. Determine as cargas internas resultantes nas sees

    transversais que passam pelos pontos D e E. Considere que as reaes nos apoios A e B sejam verticais.

    Figura 1.11

    ;

    - 3 x 27 .

    /(8,1) + 6RB = 0 RA + RB 27 8,1 = 0

    RB = 22,815 kN RA = 12,286 kN

    Ponto E

    ; ;

    NE = 0 kN VE 2,03 = 0 - ME - 2,03 x

    = 0

    VE = 2,03 kN ME = - 0,911 kN.m

    Ponto D

    ; ;

    ND = 0 kN - VD 8,1 + 12,285 = 0 MD + 8,1 x 0,9 12,285 x 1,8 = 0

    VD = 4,18 kN MD = 14,823 kN.m

  • Tenso

    10 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.12. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre (a) seo a-a e (b) seo b-b. Cada

    seo est localizada no centroide, ponto C.

    Figura 1.12

    (a) Seo a-a

    ; ;

    3,6 x 3 6sen(45) x RB = 0 - NC - 2,5456cos(45) = 0 2,5456sen(45) - 2,4 + VC = 0

    RB = 2,545 kN NC = - 1,8 kN VC = - 1,723 kN

    MC + 2,4 x 2 2,5456 x 4sen(45) = 0

    MC = 2,4 kN.m

    (b) Seo b-b

    ; ;

    NC + 2,5456 2,4cos(45) = 0 VC 2,4sen(45) = 0 MC + 2,4 x 2 2,5456 x 4sen(45) = 0

    NC = - 0,85 kN VC = 1,7 kN MC = 2,4 kN.m

  • Tenso

    11 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.13. Determine a resultante das foras internas normal e de cisalhamento no elemento e : (a) seo a-a e

    (b) seo b-b, sendo que cada uma delas passa pelo ponto A. Considerando = 60. A carga de 650 N

    aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.

    Figura 1.13

    (a) Seo a-a (b) Seo b-b

    ; ;

    Va-a = 0 N Vb-b = 650cos(90 - 60) Nb-b = 650sen(90- 60)

    Vb-b = 563 N Nb-b = 325 N

    Na-a = 650 N

    1.14. Determine a resultante das foras interna normal e de cisalhamento no elemento na seo b-b, cada

    uma em funo de . Represente esses resultados em grficos para . A carga de 650 N

    aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.

    Figura 1.14

    ;

    Nb-b 650sen(90 - ) = 0 Vb-b 650cos(90 - )

    Nb-b = 650cos() Vb-b = 650sen()

  • Tenso

    12 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.15. A carga de 4.000 N est sendo levantada a uma velocidade constante pelo motor M, que pesa 450

    N. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B na

    viga. A viga pesa 600 N/m e est fixada parede em A.

    Figura 1.15

    ; ;

    - NB 2 = 0 VB 0,72 4 = 0 - MB - 0,72 x 0,6 + 2 x 0,45 - 4 x 1,275 = 0

    NB = - 2 kN VB = 4,72 kN MB = - 4,632 kN.m

    *1.16. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelos pontos C

    e D da viga no Problema 1.15.

    Figura 1.16

  • Tenso

    13 Resoluo: Steven Rger Duarte

    Ponto C

    ; ;

    - NC 2 = 0 VC 4 1,26 = 0 - MC + 2 x 0,45 1,26 x 1,05 4 x 2,175 = 0

    NC = - 2 kN VC = 5,26 kN MC = - 9,123 kN.m

    Ponto D

    ; ;

    ND = 0 kN VD 2,52 4 0,45 = 0 - MD - 0,45 x 1,2 - 2,52 x 2,1 - 4 x 4,275 = 0

    VD = 6,97 kN MD = - 22,932 kN.m

    1.17. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B.

    Figura 1.17

    ; ;

    NB = 0 kN VB 1.440 = 0 - MB 1.440 x

    = 0

    VB = 1.440 kN MB = - 1.920 kN.m

  • Tenso

    14 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.18. A viga suporta a carga distribuda mostrada. Determine as cargas internas resultantes que agem na

    seo transversal que passa pelo ponto C. Considere que as reaes nos apoios A e B sejam verticais.

    Figura 1.18

    ; ; Resolvendo [1] e [2]:

    - 4,5 x 4,5 4,5 x 6 + 9RB = 0 [1] RA + RB 4,5 4,5 = 0 [2] RA = 3,75 kN e RB = 5,25 kN

    ; ;

    NC = 0 kN - VC 0,5 1,5 + 3,75 = 0 MC 3,75 x 3 + 0,5 x 1 + 1,5 x 1,5 = 0

    VC = 1,75 kN MC = 8,5 kN.m

    1.19. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto D no

    Problema 1.18.

    Figura 1.19

    ; ; Resolvendo [1] e [2]:

    - 4,5 x 4,5 4,5 x 6 + 9RB = 0 [1] RA + RB 4,5 4,5 = 0 [2] RA = 3,75 kN e RB = 5,25 kN

  • Tenso

    15 Resoluo: Steven Rger Duarte

    Ponto D

    ; ;

    ND = 0 kN VD 0,5 3,5 + 5,25 = 0 - MD - 3,5 x 1,5 - 0,5 x 2 + 5,25 x 3 = 0

    VD = - 1,25 kN MD = 9,5 kN.m

    *1.20. A estrutura do poste de energia eltrica suporta os trs cabos, e cada um deles exercem uma fora

    de 4 kN nas escoras. Se as escoras estiverem acopladas por pinos em A, B e C, determine as cargas

    internas resultantes nas sees transversais que passam pelos pontos D, E e F.

    Figura 1.20

    ; ;

    Ax - Cx = 0 [1] - Ay Cy + 12 = 0 [2] M 4 x 1,2 4 x 1,2 + 4,1,2 = 0

    M = 4,8 kN.m

    ; ; Cx = 2,67 kN ; Cy = 6 kN

    1,2Ay + 0,9Ax 4 x 2,4 = 0 [3] 1,2Cy + 0,9Cx - 4 x 2,4 = 0 [4] Ax = 2,67 kN ; Ay = 6 kN

  • Tenso

    16 Resoluo: Steven Rger Duarte

    Ponto D

    ; ;

    VD = 0 kN ND = 0 kN MD = 0 kN.m

    Ponto E

    ; ;

    - VE + 2,67 = 0 NE - 6 = 0 ME - 2,67 x 0,9 = 0

    VE = 2,67 kN NE = 6 kN ME = 2,4 kN.m

    Ponto F

    ; ;

    VF + 2,67 2,67 = 0 NF 6 6 = 0 MF + 2,67 x 0,9 - 2,67 x 2,67 = 0

    VF = 0 kN NF = 12 kN MF = 4,8 kN.m

    1.21. O guindaste de tambores suspende o tambor de 2,5 kN. O pino de ligao est conectado chapa

    em A e B. A ao de aperto sobre a borda do tambor tal que somente foras horizontais e verticais so

    exercidas sobre o tambor em G e H. Determine as cargas internas resultantes na seo transversal que

    passa pelo ponto I.

    Figura 1.21

  • Tenso

    17 Resoluo: Steven Rger Duarte

    ;

    RACsen(30) RBDsen(30) = 0 - RACcos(30) RBDcos(30) + 2,5 = 0

    RAC = RBD = R R = 1,443 kN

    Ponto I

    ; ;

    VI 1,443cos(60) = 0 - NI + 1,443sen(60) = 0 - MI + 1,443cos(60) x 0,2 = 0

    VI = 0,722 kN NI = 1,25 kN MI = 0,144 kN.m

    1.22. Determine as cargas internas resultantes nas sees transversais que passam pelos pontos K e J

    no guindaste de tambores no Problema 1.21.

    Figura 1.22

  • Tenso

    18 Resoluo: Steven Rger Duarte

    ;

    RACsen(30) RBDsen(30) = 0 - RACcos(30) RBDcos(30) + 2,5 = 0

    RAC = RBD = R R = 1,443 kN

    Ponto J

    ; ;

    NJ + 1,443 = 0 VD = 0 kN MJ = 0 kN.m

    NJ = - 1,443 kN

    Ponto K

    ; ;

    3,016 - NK = 0 VK = 0 kN MK = 0 kN.m

    NK = 3,016 kN

    1.23. O cano tem massa de 12 kg/m. Se ele tiver fixado parede em A, determine as cargas internas

    resultantes que agem na seo transversal em B. Despreze o peso da chave CD.

    Figura 1.23

  • Tenso

    19 Resoluo: Steven Rger Duarte

    ; ; ( )

    (NB)x = 0 N (VB)z = 12 x 9,81 x 0,4 + 12 x 9,81 x 0,2 (TB)x = 47,088 x 0,2

    (VB)z = 70,6 N (TB)x = 9,42 N.m

    ( ) ; ( )

    (MB)y = 60 x 0,35 60 x 0,05 47,088 x 0,2 23,544 x 0,1 (MB)z = 0 N.m

    (MB)y = 6,23 N.m

    ; (VB)y = 0 N

    *1.24. A viga mestra AB suporta a carga na asa do avio. As cargas consideradas so a reao da roda

    de 175 kN em C, o peso de 6 kN do combustvel no tanque da asa, com centro de gravidade em D, e o

    peso de 2 kN da asa, com centro de gravidade em E. Se a viga estiver fixada fuselagem em A,

    determine as cargas internas resultantes na viga nesse ponto. Considere que a asa no transfere

    nenhuma carga fuselagem, exceto pela viga.

    Figura 1.24

    ( ) ; ( ) ; ( )

    (TA)y + 0,45 x 6 0,3 x 2 = 0 (MA)z = 0 kN.m (MA)x 6 x 1,8 2 x 3,6 + 175 x 3 = 0

    (TA)y = - 2,1 kN.m (MA)x = - 507 kN.m

    ; ;

    (VA)x = 0 kN (NA)y = 0 kN (VA)z + 175 6 2 = 0 ; (VA)z = - 167 kN

  • Tenso

    20 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.25. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B do

    poste de sinalizao. O poste est fixado ao solo, e uma presso uniforme de 50 N/m age

    perpendicularmente parede frontal da placa de sinalizao.

    Figura 1.25

    ; ; ; ( )

    (VB)x = 750 N (VB)y = 0 N (NB)z = 0 N (MB)x = 0 N.m

    ( ) ; ( )

    (MB)y = 750 x 7,5 (TB)z = 570 x 0,5

    (MB)y = 5.625 N.m (TB)z = 375 N.m

    1.26. O eixo est apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B e est sujeito s polias nele

    fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto D.

    As foras de 400 N agem na direo z e as foras de 200 N e 80 N agem na direo +y. Os suportes A e

    B exercem somente as componentes y e z da fora sobre o eixo.

    Figura 1.26

  • Tenso

    21 Resoluo: Steven Rger Duarte

    (0,4i) x (160j) + (0,7i) x (400j) + (1,1i) x (- 800k) + (1,4i) x (- Ay j + Az k) = 0

    (880 1,4Az)j + (334 + 1,4Ay)k = 0 880 1,4Az = 0 [1] ; 334 + 1,4Ay = 0 [2] ; resolvendo [1] e [2]:

    Ay = 245,71 N ; Az = 628,57 N ; By = 314,29 N ; Bz = 171,43 N

    ; ;

    (VD)z + 171,43 = 0 (VD)y + 160 314,29 = 0 (ND)x = 0 N

    (VD)z = - 171,4 N (VD)y = 154,3 N

    ( ) ; ( ) ; ( )

    (MD)z + 314,29 x 0,55 160 x 0,15 = 0 (MD)y + 171,43 x 0,55 = 0 (TD)x = 0 N.m

    (MD)z = - 149 N.m (MD)y = - 94,3 N.m

    1.27. O eixo est apoiado em suas extremidades por dois mancais, A e B, e est sujeito s foras

    aplicadas s polias nele fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal

    que passa pelo ponto C. As foras de 400 N agem na direo z e as foras de 200 N e 80 N agem na

    direo +y. Os apoios A e B exercem somente as componentes y e z da fora sobre o eixo.

    Figura 1.27

  • Tenso

    22 Resoluo: Steven Rger Duarte

    (0,4i) x (160j) + (0,7i) x (400j) + (1,1i) x (-800k) + (1,4i) x (- Ay j + Az k) = 0

    (880 1,4 Az)j + (334 + 1,4 Ay)k = 0

    Ay = 245,71 N ; Az = 628,57 N ; By = 314,29 N ; Bz = 171,43 N

    ( ) ; ( ) ; ( )

    (MC)y 800 x 0,2 + 629 x 0,5 = 0 (MC)z + 246 x 0,5 = 0 (TC)x = 0 N.m

    (MC)y = - 154 N.m (MC)z = - 123 N.m

    ; ;

    (NC)x = 0 N (VC)y - 246 = 0 (VC)z 800 + 628,57 = 0

    (VC)y = 246 N (VC)z = 171 N

    *1.28. Determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal da estrutura nos pontos F

    e G. O contato em E liso.

    Figura 1.28

  • Tenso

    23 Resoluo: Steven Rger Duarte

    ; ;

    1,5FE 400 x 2,7 = 0 0,9Cy 720sen(30) x 1,8 = 0 720 By - 720sen(30) = 0

    FE = 720 N Cy = 720 N By = 360 N

    Ponto F

    ; ; ;

    1,2Cx 0,9Cy = 0 - MF 400 x 0,6 = 0 NF = 0 N VF 400 = 0

    Cx = 540 N MF = 240 N.m VF = 400 N

    Bx = 83,5383 N

    Ponto G

    ; ;

    83,54 + NG = 0 VG - 360= 0 360 x 0,45 - MG = 0

    NG = 83,54 N VG = 360 N MG = 162 N.m

  • Tenso

    24 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.29. A haste do parafuso est sujeita a uma tenso de 400 N. Determine as cargas internas resultantes

    que agem na seo transversal no ponto C.

    Figura 1.29

    ; ;

    400 + NC = 0 VC = 0 N MC + 400 x 0,15 = 0

    NC = - 400 N MC = - 60 N.m

    1.30. O cano tem massa de 12 kg/m e est preso parede em A. Determine as cargas internas

    resultantes que agem na seo transversal que passa por B.

    Figura 1.30

    ; ;

    (VB)x = 0 N (NB)y = - 600 N (VB)z = 235,44 + 235,44 + 450

    (VB)z = 921 N

    ( ) ; ( ) ; ( )

    (MB)x = 1 x 235,44 + 2 x 235,44 + 2 x 450 (TB)y = 0 N.m (MB)z = - 800 N.m

    (MB)x = 1.606 N.m

  • Tenso

    25 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.31. A haste curvada tem raio r e est presa em B. Determine as cargas internas resultantes que agem

    na seo transversal que passa pelo ponto A, o qual est localizado a um ngulo em relao

    horizontal.

    Figura 1.31

    ; ;

    VA Pcos(90 - ) = 0 NA Psen(90 - ) = 0 MA P(r rcos) = 0

    VA = Psen() NA = Pcos() MA = Pr(1 cos)

    *1.32. A haste curvada AD de raio r tem peso por comprimento w. Se ela estiver no plano horizontal,

    determine as cargas internas resultantes que agem na seo transversal que passa pelo ponto B. Dica: A

    distncia entre o centroide C do segmento AB e o ponto O CO = 0,9745r.

    Figura 1.32

    ; ( )

    NB = 0 (MB)x +

    x 0,9745rsen(22,5) = 0

    (MB)x = - 0,293wr

    ; ( )

    VB

    = 0 TB -

    (r 0,9745rcos22,5)

    VB = 0,785 wr TB = 0,0783 wr

  • Tenso

    26 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.33. Um elemento diferencial tomado de uma barra curva mostrado na figura. Mostre que dN/d = V,

    dV/d = -N, dM/d = -T e dT/d = M.

    Figura 1.33

  • Tenso

    27 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.2 - PROBLEMAS

    1.34. A coluna est sujeita a uma fora axial de 8 kN aplicada no centroide da rea da seo transversal.

    Determine a tenso normal mdia que age na seo a-a. Mostre como fica essa distribuio de tenso

    sobre a seo transversal da rea.

    Figura 1.34

    A = 10 x 150 x 2 + 10 x 140 = 4.400 mm

    =

    = 1,82 MPa

    1.35. O arganu da ncora suporta uma fora de cabo de 3 kN. Se o pino tiver dimetro de 6 mm,

    determine a tenso mdia de cisalhamento no pino.

    Figura 1.35

    = 53,05 MPa

  • Tenso

    28 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.36. Durante uma corrida, o p de um homem com massa 75 kg submetido momentaneamente a uma

    fora equivalente a 5 vezes o seu peso. Determine a tenso normal mdia desenvolvida na tbia T da

    perna desse homem na seo a-a. A seo transversal pode ser considerada circular, com dimetro

    externo de 45 mm e dimetro interno de 25 mm. Considere que a fbula F no est suportando nenhuma

    carga.

    Figura 1.36

    P = 5mg = 5 x 75 x 9,81 = 3.678,75 N

    md =

    (

    )

    ( )

    = 3,346 MPa

    1.37. O mancal de encosto est sujeito s cargas mostradas. Determine a tenso normal mdia

    desenvolvida nas sees transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faa um rascunho dos

    resultados sobre um elemento de volume infinitesimal localizados em cada seo.

    Figura 1.37

    Dados: NB = 500 N, NC = 500 N, ND = 200 N, dB = 65 mm, dC = 140 mm, dD = 100 mm

    = 151 kPa ;

    = 32,5 kPa ;

    = 25,5 kPa

  • Tenso

    29 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.38. O pequeno bloco tem espessura de 5 mm. Se a distncia de tenso no apoio desenvolvida pela

    carga variar como mostra a figura, determine a fora F aplicada ao bloco e a distncia d at o ponto onde

    ela aplicada.

    Figura 1.38

    ; F1 = (60 + 40) x 106 x 0,06 x 0,005 = 30 kN ; XCG = 124 mm (centro de gravidade do trapzio)

    30 + 6 F = 0 F2 = 40 x 106 x 0,03 x 0,005 = 6 kN

    F = 36 kN

    x 60 x 6 + 124 x 30 36d = 0 d = 110 mm

    1.39. A alavanca est presa ao eixo fixo por um pino cnico AB, cujo dimetro mdio 6 mm. Se um

    binrio for aplicado alavanca, determine a tenso de cisalhamento mdia no pino entre ele e a alavanca.

    Figura 1.39

    T = 20 x 0,5 = 10 N.m

    md

    = 29,5 MPa

  • Tenso

    30 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.40. O bloco de concreto tem as dimenses mostradas na figura. Se o material falhar quando a tenso

    normal mdia atingir 0,84 MPa, determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode

    suportar.

    Figura 1.40

    A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.500 mm

    rup =

    Padm = rup x A = 0,84 x 32.500 = 27,3 kN

    1.41. O bloco de concreto tem as dimenses mostradas na figura. Se ele for submetido a uma fora P = 4

    kN aplicada em seu centro, determine a tenso normal mdia no material. Mostre o resultado sobre um

    elemento de volume infinitesimal do material.

    Figura 1.41

    A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.500 mm

    rup =

    = 0,123 MPa

  • Tenso

    31 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.42. A luminria de 250 N sustentada por trs hastes de ao interligadas por um anel em A. Determine

    qual das hastes est submetida maior tenso normal mdia e calcule seu valor. Considere = 30. O

    dimetro de cada haste dado na figura.

    Figura 1.42

    ; ; Resolvendo [1] e [2]:

    FACcos(30) + FADcos(45) = 0 [1] FACsen(30) + FADsen(45) 250 = 0 [2] FAC = 183,2 N e FAD = 224,2 N

    AD =

    = 5,074 MPa ; AC =

    = 6,473 MPa ; AB =

    = 3,93 MPa

    1.43. Resolva o Problema 1.42 para = 45.

    Figura 1.43

    ; ; Resolvendo [1] e [2]:

    FACcos(45) - FADcos(45) = 0 [1] FACsen(45) + FADsen(45) 250 = 0 [2] FAC = FAD = 176,78 N

    AB =

    = 3,93 MPa ; AC =

    = 6,252 MPa ; AD =

    = 4,001 MPa

  • Tenso

    32 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.44. A luminria de 250 N sustentada por trs hastes de ao interligadas por um anel em A. Determine

    o ngulo de orientao de AC de modo que a tenso normal mdia na haste AC seja duas vezes a

    tenso normal mdia na haste AD. Qual a intensidade da tenso em cada haste? O dimetro de cada

    haste dado na figura.

    Figura 1.44

    ; ; AC = 2AD FAC = 1,28FAD [3]

    FACcos() FADcos(45) [1] FACsen() + FADsen(45) 250 = 0 [2]

    Solucionando as equaes [1], [2] e [3], obtemos:

    = 56,466, FAD = 140,92 N e FAC = 180,377 N

    AB =

    = 3,93 MPa ; AC =

    = 6,38 MPa ; AD =

    = 3,19 MPa

    1.45. O eixo est sujeito fora axial de 30 kN. Se ele passar pelo orifcio de 53 mm de dimetro no apoio

    fixo A, determine a tenso no mancal que age sobre o colar C. Determine tambm a tenso de

    cisalhamento mdia que age ao longo da superfcie interna do colar no ponto onde ele est acoplado ao

    eixo de 52 mm de dimetro.

    Figura 1.45

    mancal =

    ( )

    ( )

    = 48,3 MPa ; md =

    ( )

    ( )( ) = 18,4 MPa

  • Tenso

    33 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.46. Os dois elementos de ao esto interligados por uma solda de topo angular de 60. Determine a

    tenso de cisalhamento mdia e a tenso normal mdia suportada no plano da solda.

    Figura 1.46

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    - 8 + Vcos(60) + Ncos(30) = 0 [1] - Vsen(60) + Nsen(30) = 0 [2] V = 4 kN e N = 6,93 kN

    A =

    ( )

    ( ) = 866,03 mm ; md =

    = 4,62 MPa ; =

    = 8 MPa

    1.47. O gancho usado para sustentar o tubo de tal modo que a fora no parafuso vertical 775 N.

    Determine a tenso normal mdia desenvolvida no parafuso BC se ele tiver dimetro de 8 mm. Considere

    que A seja um pino.

    Figura 1.47

    775 x 0,04 0,07FBCcos(20) = 0 FBC = 471,28 N ; BC =

    = 9,38 MPa

  • Tenso

    34 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.48. A prancha de madeira est sujeita a uma fora de trao de 425 N. Determine a tenso de

    cisalhamento mdia e a tenso normal mdia desenvolvida nas fibras da madeira orientadas ao longo da

    seo a-a a 15 em relao ao eixo da prancha.

    Figura 1.48

    ; ; Resolvendo [1] e [2]:

    - Vcos(15) Ncos(75) + 425 = 0 [1] Nsen(75) - Vsen(15) = 0 [2] N = 109,86 N e V = 410 N

    A =

    ( )

    ( ) = 7244,444 mm ; =

    = 0,0152 MPa ; md =

    = 0,0567 MPa

    1.49. A junta de topo quadrada aberta usada para transmitir uma fora de 250 N e uma placa a outra.

    Determine as componentes da tenso de cisalhamento mdia e da tenso normal mdia que essa carga

    cria na face da solda, seo AB.

    Figura 1.49

    ; ; Resolvendo [1] e [2]:

    - Vcos(60) - Ncos(30) + 250 = 0 [1] - Vsen(60) + Nsen(30) = 0 [2] N = 216,506 N e V = 125 N

    A =

    ( )

    ( ) = 8.660,254 mm ; =

    = 25 kPa ; md =

    = 14,34 kPa

  • Tenso

    35 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.50. O corpo de prova falhou no ensaio de trao a um ngulo de 52 sob uma carga axial de 100 kN. Se

    o dimetro do corpo de prova for 12 mm, determine a tenso de cisalhamento mdia e a tenso normal

    mdia que agem na rea do plano de falha inclinado. Determine tambm qual a tenso normal mdia em

    atuao sobre a seo transversal quando acorreu a falha.

    Figura 1.50

    ; ; Resolvendo [1] e [2], temos:

    100 Ncos(38) Vcos(52) = 0 [1] - Vsen(52) + Nsen(38) = 0 [2] N = 78,8 kN e V = 61,57 kN

    A =

    ( )

    ( ) =143,5226 mm ; =

    = 549,05 MPa

    md =

    = 428,96 MPa

    1.51. Um corpo de prova sob trao com rea de seo transversal A submetido a uma fora axial P.

    Determine a tenso de cisalhamento mdia mxima no corpo de prova e indique a orientao de uma

    seo na qual ela ocorre.

    Figura 1.51

    ; ; Resolvendo [1] e [2], temos:

    Ncos(90 - ) + Vcos() - P = 0 [1] Nsen(90 - ) Vsen() = 0 [2] N = Vtang() ; V =

    ( ) ( ) ( )

    Para que V seja mximo,

    = 0 = 45 ; Substituindo em V, obtemos: V =

    A =

    ( )

    ; md =

    =

  • Tenso

    36 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.52. A junta est submetida a uma fora axial de 5 kN. Determine a tenso normal mdia que age nas

    sees AB e BC. Considere que o elemento liso e tem 50 mm de espessura.

    Figura 1.52

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    NABcos(30) 5cos(45) = 0 [1] - NBC - NABsen(30) + 5sen(45) = 0 [2] NAB = 4,082 kN NBC = 1,4945 kN

    AB =

    ( )

    = 2,04 MPa ; BC =

    ( )

    = 0,598 MPa

    1.53. O garfo est sujeito a fora e a um binrio. Determine a tenso de cisalhamento mdia no parafuso

    que age nas sees transversais que passam por A e B. O parafuso tem 6 mm de dimetro. Dica: O

    binrio sofre a resistncia de um conjunto de foras desenvolvidas nas hastes do parafuso.

    Figura 1.53

  • Tenso

    37 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.54. Os dois elementos usados na construo da fuselagem de um avio esto interligados por uma

    solda em boca-de-peixe a 30. Determine a tenso de cisalhamento mdia e a tenso normal mdia no

    plano de cada solda. Considere que cada plano inclinado suporta uma fora horizontal de 2 kN.

    Figura 1.54

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    - Ncos(60) Vcos(30) + 2 = 0 [1] Nsen(60) Vsen(30) = 0 [2] N = 1 kN e V = 1,732 kN

    A =

    ( )

    ( ) = 1.875 mm ; =

    = 0,533,33 MPa = 533,33 kPa

    md =

    = 0,92376 MPa = 923,76 kPa

    1.55. Os grampos na fileira AB contida no grampeador esto colados de modo que a tenso de

    cisalhamento mxima que a cola pode suportar mx = 84 kPa. Determine a fora mnima F que deve ser

    aplicada ao mbolo para extrair um grampo da fileira por cisalhamento e permitir que ele saia sem

    deformao pela fenda em C. As dimenses externas do grampo so mostradas na figura, e a espessura

    1,25 mm. Considere que todas as outras partes so rgidas e despreze o atrito.

    Figura 1.55

    A = (7,5 1,25) x 1,25 x 2 + 12,5 x 1,25 = 31,25 mm

    mx =

    Fmn = Amx = 31,25 x 0,084 = 2,63 N

  • Tenso

    38 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.56. Os dimetros das hastes AB e BC so 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se for aplicada uma carga

    de 8 kN ao anel em B, determine a tenso normal mdia em cada haste se = 60.

    Figura 1.56

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    FBCcos(60) FAB = 0 [1] FBCsen(60) 8 = 0 [2] FBC = 9,2376 kN e FAB = 4,6188 kN

    AB =

    = 368 MPa ; BC =

    = 327 MPa

    1.57. Os dimetros das hastes AB e BC so 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN

    for aplicada ao anel em B, determine o ngulo da haste BC de modo que a tenso normal mdia em

    cada haste seja equivalente. Qual essa tenso?

    Figura 1.57

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    FBCcos() FAB = 0 [1] FBCsen() 8 = 0 [2] FBC =

    ( ) e FAB =

    ( )

    AB = BC = 63,6 ; FBC =

    ( ) = 8,93 kN

    AB = BC =

    = 316 MPa

  • Tenso

    39 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.58. Cada uma das barras da trelia tem rea de seo transversal de 780 mm. Determine a tenso

    normal mdia em cada elemento resultante da aplicao da carga P = 40 kN. Indique se a tenso de

    trao ou de compresso.

    Figura 1.58

    Dado: A = 780 mm

    Ponto C

    40 x 2,4 + 30 x 1,2 - 0,9FBC = 0

    FBC = 146,667 kN

    Ponto A Ponto B

    ; ;

    0,8FAB FAE = 0 0,6FAB 40 = 0 - 0,6FAB - FBE + 0,6FBD = 0

    FAE = 53,33 kN FAB = 66,667 kN FBD = 116,667 kN

    Ponto E

    ;

    - FED + FAE = 0 FBE 30 = 0

    FED = 53,33 kN FBE = 30 kN

    AB =

    = 85,47 MPa (T) ; AE =

    = 68,376 MPa (C) ; ED =

    = 68,376 MPa (C)

    BE =

    = 38,462 MPa (T) ; BD =

    = 149,573 MPa (C) ; BC =

    = 188,034 MPa (T)

  • Tenso

    40 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.59. Cada uma das barras da trelia tem rea de seo transversal de 780 mm. Se a tenso normal

    mxima em qualquer barra no pode ultrapassar 140 MPa, determine o valor mxima P das cargas que

    podem ser aplicadas trelia.

    Figura 1.59

    ; AB =

    ; ; BE =

    0,6FAB P = 0 P = 65,52 kN FBE 0,75P = 0 P = 145,6 kN

    FAB = 1,667P FBE = 0,75P

    ; BC = adm =

    2,4P + 0,75P x 1,2 - 0,9FBC = 0 P = 29,78 kN

    FBC = 3,667P

    *1.60. O tampo utilizado para vedar a extremidade do tubo cilndrico que est sujeito a uma presso

    interna p = 650 Pa. Determine a tenso de cisalhamento mdia que a cola exerce sobre os lados do tubo

    necessria para manter o tampo no lugar.

    Figura 1.60

    =

    V =

    x 0,035 x 650 = 0,6254 N

    md =

    =

    = 199 Pa

  • Tenso

    41 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.61. O alicate de presso usado para dobrar a extremidade do arame E. Se uma fora de 100 N for

    aplicada nas hastes do alicate, determine a tenso de cisalhamento mdia no pino em A. O pino est

    sujeito a cisalhamento duplo e tem dimetro de 5 mm. Somente uma fora vertical exercida no arame.

    Figura 1.61

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    37,5Ay 87,5By = 0 [1] - 25By + 100 x 125 = 0 [2] Ay = 1.166,667 N e By = 500 N

    A =

    x 5 = 19,635 mm ; ( md)A =

    = 29,709 MPa

    1.62. Resolva o Problema 1.61 para o pino B, o qual est sujeito a cisalhamento duplo e tem 5 mm de

    dimetro.

    Figura 1.62

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    37,5Ay 87,5By = 0 [1] - 25By + 100 x 125 = 0 [2] Ay = 1.166,667 N e By = 500

    A =

    x 5 = 19,635 mm ; ( md)B =

    = 12,732 MPa

  • Tenso

    42 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.63. A lmpada de engate do vago sustentada pelo pino de 3 mm de dimetro em A. Se a lmpada

    pesar 20 N e peso do brao extensor AB for 8 N/m, determine a tenso de cisalhamento mdia no pino

    necessria para sustentar a lmpada. Dica: A fora de cisalhamento no pino causada pelo binrio

    exigido para o equilbrio em A.

    Figura 1.63

    ; A =

    x 3 = 7,0686 mm

    - 0,45 x 7,2 0,9 x 20 + 0,032V = 0 md =

    = 93,901 MPa

    V = 663,75 N

    *1.64. A estrutura de dois elementos est sujeita a um carregamento distribudo mostrado. Determine a

    tenso normal mdia e a tenso de cisalhamento mdia que agem nas sees a-a e b-b. A seo

    transversal quadrada do elemento CB tem 35 mm. Considere w = 8 kN/m.

    Figura 1.64 Dados: Aa-a = 1.225 mm , Ab-b = 2.041,667 mm

    Seo a-a Seo b-b

    0,8FBC x 3 (8 x 3) x 1,5 = 0 ; ; ; ;

    FBC = 15 kN 15 N = 0 Va-a = 0 kN N 15 x 0,6 = 0 15 x 0,8 V = 0

    Na-a = 15 kN Nb-b = 9 kN Vb-b = 12 kN

    a-a =

    = 12,2 MPa ; a-a =

    = 0 MPa ; b-b =

    = 4,41 MPa ; b-b =

    = 5,88 MPa

  • Tenso

    43 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.65. O elemento A da junta escalonada de madeira usada na trelia est submetida a uma fora de

    compresso de 5 kN. Determine a tenso normal mdia que age na haste do pendural C com dimetro de

    10 mm e no elemento B com espessura de 30 mm.

    Figura 1.65

    ; ; C =

    = 55,1 MPa

    5cos(60) FB = 0 - 5cos(30) + FC = 0 B =

    ( )

    = 2,08 MPa

    FB = 2,5 kN FC = 4,33 kN

    1.67. A viga apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determine a tenso de

    cisalhamento mdia desenvolvida nos pinos em A, B e C. Todos os pinos esto sujeitos a cisalhamento

    duplo, como mostra a figura, e cada um tem dimetro de 18 mm.

    Figura 1.67

  • Tenso

    44 Resoluo: Steven Rger Duarte

    ;

    2 x 15 x 0,5 + 4 x 15 x 2 + 4 x 15 x 3,5 + 4,5 x 15 FBCsen(30) = 0 - FBCcos(30) + Ax = 0

    FBC = 165 kN Ax = 142,8942 kN

    ; A = ( ) ( )

    - 15 4 x 15 4 x 15 2 x 15 + Ay + 165sen(30) = 0 A = 165 kN

    Ay = 60,5 kN

    A =

    = 254,47 mm ; A =

    = 324 MPa ; B = C = 324 MPa

    *1.68. A viga apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Determine o valor mximo P das cargas que

    a viga suportar se a tenso de cisalhamento mdia em cada pino no puder ultrapassar 80 MPa. Todos

    os pinos sofrem cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem dimetro de 18 mm.

    Figura 1.68

    ;

    - 0,5 x P 4P x 1,5 4P x 3 2P x 4,5 + 5Ay = 0 - P 4P 4P 2P + 5,5P + FBCsen(30) = 0

    Ay = 5,5P FBC = 11P

    Ax - 11P x cos(30) = 0 ;

    = ( ) ( ) = 11P

    Ax = 9,5263P ;

    A =

    x 18 = 254,469 mm ; =

    P =

    = 3,70 kN

  • Tenso

    45 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.69. A estrutura est sujeita a carga de 1 kN. Determine a tenso de cisalhamento mdia no parafuso em

    A em funo do ngulo da barra . Represente essa funo em grfico para e indique os

    valores de para os quais essa tenso mnima. O parafuso tem dimetro de 6 mm e est sujeito a

    cisalhamento simples.

    Figura 1.69

    0,15FABcos() +0,6 FABsen() 1,05 = 0 ; A =

    =

    ( ) ( ) MPa

    FAB =

    ( ) ( ) ; Para que a tenso seja mnima:

    .

    /

    Sendo assim, resolvendo a derivada, obtemos: = 75,96

  • Tenso

    46 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.70. O guindaste giratrio est preso por um pino em A e suporta um montacargas de corrente que pode

    deslocar-se ao longo da flange inferior da viga, . Se a capacidade de carga normal

    mxima do guindaste for 7,5 kN, determine a tenso normal mdia mxima na barra BC de 18 mm de

    dimetro e a tenso de cisalhamento mdia mxima no pino de 16 mm de dimetro em B.

    Figura 1.70

    ; Para que a tenso seja mxima: x = 3,6 m FBC = 5.000 x 3,6 = 18.000 N

    - 7500x + 3FBCsen(30) = 0 ABC =

    x 18 = 254,47 mm ;

    = 70,736 MPa

    FBC = 5.000x AB =

    x 16 = 201,062 mm ;

    = 44,762 MPa

    1.71. A barra tem rea de seo transversal A e est submetida carga axial P. Determine a tenso

    normal mdia e a tenso de cisalhamento mdia que agem na seo sombreada que est orientada a um

    ngulo em relao horizontal. Represente em grfico a variao dessas tenses em funo de

    ( ).

    Figura 1.71

  • Tenso

    47 Resoluo: Steven Rger Duarte

    ;

    - P + Ncos(90 - ) + Vcos() = 0 [1] Nsen(90 - ) Vsen() = 0 [2]

    Resolvendo as equaes [1] e [2], obtemos: N = Psen() e V =

    ( ) ( ) ( )

    A =

    ( ) ; =

    =

    sen ; =

    =

    sen2

    *1.72. A lana tem peso uniforme de 3 kN e alada at a posio desejada por meio do cabo BC. Se o

    cabo tiver dimetro de 15 mm, construa um grfico da tenso normal mdia no cabo em funo da posio

    da lana para .

    Figura 1.72

    (BC) = 1 + 1 - 2 x 1 x 1 x cos() ; ( ) = (1 sen) + x

    BC = ( ) x = cos()

    cos() =

    ( ) =

    ( )

    ( ) ; sen() =

    ( )

    ( )

    - 3 x 0,5cos() + Fcos() x [1 (1 sen)] + Fsen()cos() = 0

    F = 1,5 ( ) kN ; A =

    x 15 = 176,715 mm ;

    . ( ) /. /

    12 MPa

  • Tenso

    48 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.73. A rea da seo transversal da barra 400(10-6) m. Se ela estiver sujeita a uma carga axial

    distribuda uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a

    figura, determine a tenso normal mdia na barra em funo de x para .

    Figura 1.73

    ;

    3 + 6 + 8 x 1,25 R = 0 N + 8x 19 = 0

    R = 19 kN N = (19 8x) kN

    =

    ( )( )

    = (47,5 20x) MPa

    1.74. A rea da seo transversal da barra 400(10-6) m. Se ela estiver sujeita a uma carga axial

    distribuda uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a

    figura, determine a tenso normal mdia na barra em funo de x para .

    Figura 1.74

    ;

    3 + 6 + 8 x 1,25 R = 0 N + 6 + 8x 19 = 0

    R = 19 kN N = (13 8x) kN

    =

    ( )( )

    = (32,5 20x) MPa

  • Tenso

    49 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.75. A coluna feita de concreto de densidade 2,30 Mg/m e est sujeita a uma fora de compresso

    axial de 15 kN em sua extremidade superior B. Determine a tenso normal mdia na coluna em funo da

    distncia z medida em relao base. Observao: por causa da deformao localizada nas

    extremidades, o resultado servir apenas para determinar a tenso normal mdia em seo removida das

    extremidades da coluna.

    Figura 1.75

    A = x 180 = 101.787,602 mm ; V = 101.78776 x 4 = 407.150,408 mm ; W = gV = 9,1865 kN

    ; P(z) = x V(z) = x g x x r x z = 2,29663z

    F w -15 = 0

    F = 24,186 kN - N P(z) + F = 0 N = (24,186 2,29663z) kN

    =

    ( )( )

    ( ) = (238 22,6z) kPa

    *1.76. A estrutura de dois elementos est sujeita carga distribuda mostrada. Determine a maior

    intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada estrutura sem que a tenso normal mdia ou a

    tenso de cisalhamento mdia na seo b-b ultrapasse = 15 MPa e = 16 MPa, respectivamente. O elemento CB tem seo transversal quadrada de 30 mm de lado.

    Figura 1.76

  • Tenso

    50 Resoluo: Steven Rger Duarte

    ; ;

    4VA 1,5 x 3w = 0 1,5 x 3w 3HA = 0 HB HA = 0

    VA = 1,125w HA = 1,5w HB = 1,5w

    ; ; sen() = 0,6

    1,5w Vb-b = 0 1,125 Nb-b = 0 A = 30 x 30 = 900 mm

    Vb-b = 1,5w Nb-b = 1,125w

    A =

    = 1.500 mm ; b-b =

    w = 20 kN/m ; b-b =

    w = 16 kN/m

    1.77. O pedestal suporta uma carga P em seu centro. Se a densidade de massa do material for ,

    determine a dimenso radial r em funo de z de modo que a tenso normal no pedestal permanea

    constante. A seo transversal circular.

    Figura 1.77

  • Tenso

    51 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.78. O raio do pedestal definido por ( ) m, onde y dado em metros. Se o material tiver

    densidade de 2,5 Mg/m, determine a tenso normal mdia no apoio.

    Figura 1.78

    V =

    .

    /dy = 1,58404 m

    N = W = x g x V = 38,848 kN

    md =

    = 49,5 kPa

    1.79. A barra uniforme com rea da seo transversal A e massa por unidade de comprimento m est

    apoiada por um pino em seu centro. Se ela girar no plano horizontal a uma velocidade angular constante

    , determine a tenso normal mdia na barra em funo de x.

    Figura 1.79

  • Tenso

    52 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.3 - PROBLEMAS

    1.80. O elemento B est sujeito a uma fora de compresso de 4 kN. Se A e B forem feitos de madeira e

    tiverem 10 mm de espessura, determine, com aproximao de 5 mm, a menor dimenso h do apoio de

    modo que a tenso de cisalhamento mdia no exceda adm = 2,1 MPa.

    Figura 1.80

    V =

    = 1,538 kN ; adm =

    = 2,1 h = 73,24 mm 75 mm

    1.81. A junta est presa por dois parafusos. Determine o dimetro exigido para os parafusos se a tenso

    de ruptura por cisalhamento para os parafusos for rup = 350 MPa. Use um fator de segurana para cisalhamento FS = 2,5.

    Figura 1.81

    V = 20 kN ; rup =

    d =

    = 13,49 mm

  • Tenso

    53 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.82. As hastes AB e CD so feitas de ao cuja tenso de ruptura por trao rup = 510 MPa. Usando

    um fator de segurana FS = 1,75 para trao, determine o menor dimetro das hastes de modo que elas

    possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga est acoplada por pinos em A e C.

    Figura 1.82

    ; ; rup =

    - 4 x 2 6 x 4 5 x 7 10FCD = 0 FAB 15 + 6,7 = 0 d =

    FCD = 6,7 kN FAB = 8,3 kN

    = 6,02 mm

    1.83. A manivela est presa ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento 25 mm. Se o eixo for

    fixo e uma fora vertical de 200 N for aplicada perpendicularmente ao cabo, determine a dimenso d se a

    tenso de cisalhamento admissvel para a chaveta for adm = 35 MPa.

    Figura 1.83

    ; adm =

    20Fa-a 200 x 500 = 0 ( )

    d = 5,71 mm

    Fa-a = 5 kN

  • Tenso

    54 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.84. O tamanho a do cordo de solda determinado pelo clculo da tenso de cisalhamento mdia ao

    longo do plano sombreado, que tem a menor seo transversal. Determine o menor tamanho a das duas

    soldas se a fora aplicada chapa for P = 100 kN. A tenso de cisalhamento admissvel para o material da

    solda adm = 100 MPa.

    Figura 1.84

    Dado:

    A = 2a x 100 x cos(45) = (141,42a) mm ; V = P = 100 kN ; adm =

    a = 7,071 mm

    1.85. O tamanho do cordo de solda a = 8 mm. Considerando que a junta falhe por cisalhamento em

    ambos os lados do bloco ao longo do plano sombreado, que a menor seo transversal, determine a

    maior fora P que pode ser aplicada chapa. A tenso de cisalhamento admissvel para o material da

    solda adm = 100 MPa.

    Figura 1.85

    A = 2 x 8 x 100 x cos(45) = 1.131,371 mm ; V = P

    adm =

    P = 113,14 kN

  • Tenso

    55 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.86. O parafuso de olhal usado para sustentar a carga de 25 kN. Determine seu dimetro d com

    aproximao de mltiplos de 5 mm e a espessura exigida h com aproximao de mltiplos de 5 mm do

    suporte de modo que a arruela no penetre ou cisalhe o suporte. A tenso normal admissvel para o

    parafuso adm = 150 MPa e a tenso de cisalhamento admissvel para o material do suporte adm = 35 MPa.

    Figura 1.86

    adm =

    d

    = 14,57 mm 15 mm ; adm =

    h =

    = 9,09 mm 10 mm

    1.87. A estrutura est sujeita a carga de 8 kN. Determine o dimetro exigido para os pinos em A e B se a

    tenso de cisalhamento admissvel para o material for adm = 42 MPa. O pino A est sujeito a cisalhamento duplo, ao passo que o pino B est sujeito a cisalhamento simples.

    Figura 1.87

    ; ; ; A =

    3FD 8 x 2,1 = 0 - Ax + 8 = 0 - Ay + 5,6 = 0 A = 9,765 kN

    FD = 5,6 kN Ax = 8 kN Ay = 5,6 kN

    V = A = 9,765 kN ; adm =

    dA =

    = 12,166 mm

    -1,5FBCsen() + 3Ay = 0 ; FBC = 15,84 kN ; dB =

    = 21,913 mm

  • Tenso

    56 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.88. Os dois cabos de ao AB e AC so usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tenso

    de trao admissvel adm = 200 MPa, determine o dimetro exigido para cada cabo se a carga aplicada for

    P = 5 kN.

    Figura 1.88

    Dado:

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    0,8TAC TABsen(60) = 0 [1] 0,6TAC + TABcos(60) 5 = 0 [2] TAB = 4,35 kN e TAC = 4,71 kN

    adm =

    dAB =

    = 5,26 mm ; adm =

    dAB =

    = 5,48 mm

    1.89. Os dois cabos de ao AB e AC so usados para suportar a carga. Se ambos tiverem uma tenso de

    trao admissvel adm = 180 MPa, e se o cabo AB tiver dimetro de 6 mm e o cabo AC tiver dimetro de 4

    mm, determine a maior fora P que pode ser aplicada corrente antes que um dos cabos falhe.

    Figura 1.89

    Dado:

    ; ; Resolvendo [1] e [2], obtemos:

    FACcos() - FABcos(30) = 0 [1] FACsen() + FABcos(30) P = 0 [2] FAB = 0,87P e FAC = 0,941726P

    AAB =

    x 6 = 28,2743 mm ; AAC =

    x 4 = 12,5664 mm

    adm =

    P = 5,85 kN ; adm =

    P = 2,4 kN

  • Tenso

    57 Resoluo: Steven Rger Duarte

    1.90. A lana suportada pelo cabo do guincho com dimetro de 6 mm com tenso normal admissvel

    adm = 168 MPa. Determine a maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo quando

    = 30 e = 45. Despreze o tamanho do guincho.

    Figura 1.90

    ; + = 60 A =

    x 6 = 28,2743 mm

    - [Tcos(60) + W] x 6cos(45) + Tsen(60) x 6sen(45) = 0 ; adm =

    T = 2,73206W

    W = 1,739 kN

    1.91. A lana suportada pelo cabo do guincho cuja tenso normal admissvel adm = 168 MPa. Se a

    lana tiver de levantar lentamente uma carga de 25 kN, de = 20 at = 50, determine o menor

    dimetro do cabo com aproximao de mltiplos de 5 mm. O comprimento da lana AB 6 m. Despreze o

    tamanho do guincho. Considere d = 3,6 m.

    Figura 1.91

    tang(20) = ( )

    ( )

    (3,6 + 6cos) x tang(20) = 6sen() ; = 90 - = 58,158

    (0,6 + cos) x tang(20) = sen() = 20 = 11,842

    1,13247cos + 0,159cos 0,95231 = 0 ; Resolvendo a equao, obtemos: = 31,842

    ; + = 70 ; adm =

    d0 =

    - [Tcos( + ) + 25] x 6cos() + Tsen( + ) x 6sen() = 0

    = 28 mm 30 mm

    T = 103,491 kN

  • Tenso

    58 Resoluo: Steven Rger Duarte

    *1.92. A estrutura est sujeita ao carregamento distribudo de 2 kN/m. Determine o dimetro exigido para

    os pinos em A e B se a tenso de cisalhamento admissvel para o material for adm = 100 MPa. Ambos os pinos esto sujeitos a cisalhamento duplo.

    Figura 1.92

    ; ;

    3HA 6