resoluÇÃo por profa. maria antÔnia c. gouveia … · tiradas nas duas primeiras provas ... assim...

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RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

PROVA DE MATEMÁTICA FGVSP -

ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO 2016

Questão 01 De acordo com matéria da revista The Economist divulgada em 2014, o Brasil tem o quinto

Big Mac mais caro do mundo, ao preço de US$ 5,86. A mesma matéria aponta o preço do Big Mac nos

EUA (US$ 4,80) como o décimo quarto mais caro do mundo. Se usássemos o preço do Big Mac nos EUA

(em US$) como referência de preço, então o preço do Big Mac no Brasil (em US$) supera o dos EUA em,

aproximadamente,

(A) 22%. (B) 18%. (C) 16%. (D) 12%. (E) 6%.

RESOLUÇÃO:

Para determinar o valor do percentual pedido, encontra-se o valor da seguinte razão

...0,220833..80,4

06,1

80,4

80,486,5

RESPOSTA: Alternativa A.

Questão 02 Na reta numérica indicada a seguir, todos os pontos marcados estão igualmente espaçados.

Sendo assim, a soma do numerador com o denominador da fração irredutível que representa x é igual a

(A) 39. (B) 40. (C) 41. (D) 42. (E) 43.

RESOLUÇÃO:

O intervalo de 7

3 a

7

4, representado na reta, está dividido em quatro partes iguais a m.

Então, . 28

1

4

1

7

1 4 :

7

1 4 :

7

3

7

4

mmmm

41281328

13

28

112

28

1

7

3

7

3

somaxxmx .

RESPOSTA: Alternativa C.

Questão 03 Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P1, P2, P3), cada uma valendo

de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso

da prova Pn é igual a n2. Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4.

De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas

tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P3, no mínimo, nota

(A) 7,6. (B) 7,9. (C) 8,2. (D) 8,4. (E) 8,6.

RESOLUÇÃO:

A média final é determinada segundo a relação:

4,514

94

321

321 321222

32

22

12

PPPM

PPPM finalfinal

Como um aluno pode ser aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas

primeiras provas, apenas com a nota da P3, imagine-se que tenha tirado zero nas duas primeiras

4,875,694,514

90033

3

PPP

. RESPOSTA: Alternativa D.

2

Questão 04 O triângulo ABC possui medidas conforme indica a figura a seguir.

A área desse triângulo, em cm2, é igual a

(A) 8. (B) 26 . (C) 64 . (D) 10. (E) 66 .

RESOLUÇÃO:

No triângulo ABC aplicando a lei dos cossenos em relação

ao ângulo α:

5

3cos24cos40

cos404165cos4524565 222

Sendo 0° < α <180°, sen α é um número positivo.

5

4αsen

25

16αsen

25

91αsen1αsen

5

31αsenαcos 222

222

Cálculo da área do triângulo ABC em função do sen α:

8S5

454

2

1Ssenαcb

2

1S cm

2. RESPOSTA: Alternativa A.

Questão 05 Três números formam uma progressão geométrica. A média aritmética dos dois primeiros é

6, e a do segundo com o terceiro é 18. Sendo assim, a soma dos termos dessa progressão é igual a

(A) 18. (B) 36. (C) 39. (D) 42. (E) 48.

RESOLUÇÃO:

Sejam 2aqaq a e , esses números.

34

12

123

3

12

36

)1(

)1(

: 36)1(

12)1(

36

12

182

62

1222 a

aa

q

qa

qaq

EEqaq

qa

aqaq

aqa

aqaq

aqa

Os três números em P.G. são: 3, 9 e 27 cuja soma é 39. RESPOSTA: Alternativa C.

Questão 06 O resto da divisão do número 62015

por 10 é igual a

(A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 8. (E) 9.

RESOLUÇÃO:

Conjunto das potências de 6 com expoentes maiores que zero:

....279936,... 6656,216,.....4 36, 6,.,......6 ,,.....66 ,6 ,6 76321

Pela observação pode-se concluir que o algarismo das unidades de qualquer potência de 6 é 6.

Assim o resto da divisão do número 62015

por 10 é igual a 6. RESPOSTA: Alternativa C.

3

Questão 07 André e Bianca estão juntos no centro de um campo plano de futebol quando iniciam uma

caminhada em linha reta de 10 metros (cada um) na mesma direção, mas em sentidos contrários. Depois

dessa caminhada, André lança uma moeda honesta e, se der cara, gira 90° para a direita e caminha mais

10 metros em linha reta, na direção e no sentido para os quais está voltado; se der coroa, gira 90° para a

esquerda e caminha mais 10 metros em linha reta, na direção e no sentido para os quais está voltado.

Bianca faz o mesmo que André. Depois dessa segunda caminhada de ambos, André e Bianca repetem o

mesmo procedimento em uma terceira caminhada de 10 metros. Ao final dessa terceira caminhada de

ambos, a probabilidade de que André e Bianca se encontrem é igual a

(A) 12,5%. (B) 25%. (C) 37,5%. (D) 50%. (E) 62,5%.

RESOLUÇÃO:

Para que André e Bianca se encontrem num mesmo ponto após a terceira caminhada é necessário que

suas caminhadas ocorram como está descrito na figura I ou como na figura II.

Logo a probabilidade pedida é: %5,12125,08

1

16

1

16

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1p .

RESPOSTA: Alternativa A

Questão 08 As cordas ABe CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de

polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas

AD e BC se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir.

A medida do ângulo DPB , indicado na figura por α, é igual a

(A) 120°. (B) 124°. (C) 128°. (D) 130°. (E) 132°.

4

RESOLUÇÃO:

Sendo a corda ABo lado de um hexágono regular, a medida do menor

arco que ela determina na circunferência é

606

360.

Sendo a corda CD o lado de um decágono regular, a medida do menor

arco que ela determina na circunferência é

3610

360.

A medida de um ângulo excêntrico interno é a semissoma dos arcos que

seus lados determinam na circunferência.

482

3660 .

13248180180180

RESPOSTA: Alternativa E.

Questão 09 No plano cartesiano, a equação da reta tangente ao gráfico de x2 + y

2 = 25 pelo ponto (3,4)

é

(A) 4x + 3y – 25 = 0. (C) 4x + 5y – 9 = 0. (E) 3x + 4y – 5 = 0.

(B) 4x + 3y – 5 = 0. (D) 3x + 4y – 25 = 0.

RESOLUÇÃO:

O ponto A(3,4) pertence à circunferência x2 + y

2 = 25 e tem centro no

ponto O(0, 0).

Sendo a reta r tangente à circunferência no ponto A(3,4) é perpendicular

ao raio OA .

O coeficiente angular da reta s é igual a 3

4

03

04

OA

OA

xx

yy.

Então, sendo r s o coeficiente da reta r é 4

3 .

Considere-se bxy 4

3como equação da reta r.

Logo 4

25

4

943

4

34 bbb

Assim: 0254325344

25

4

3 yxxyxy . RESPOSTA: Alternativa D.

Questão 10 O domínio da função real definida por 726)( xxf é {x ∈ IR / m ≤ x ≤ n}. Em

tal condição, a média aritmética simples entre o menor valor possível para m e o maior valor possível para

n é igual a

(A) 5,8. (B) 5,5. (C) 5,0. (D) – 4,6. (E) – 4,8.

5

RESOLUÇÃO:

O domínio da função 726)( xxf é constituído pelos valores de x que satisfazem ao

sistema

072

0726

x

x

2

29

2

7

2

7

2

29

2

7

292

2

7

3672

72

672

072

0726

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

O domínio da função é

2

29

2

7; xRxS

Sendo 2

7m (Maior valor de m) e

2

29n (Menor valor de n) , a média aritmética entre esses dois

valores é .5,54

22

2

2

29

2

7

RESPOSTA: Alternativa B.

Questão 11

Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas entre si, e

perpendiculares à reta t. Sabe-se, ainda, que AB = 6 cm, CD = 3 cm,

AC é perpendicular a CD , e a medida do ângulo entre CD e a reta

s é 30°.

Nas condições descritas, a medida de DE , em cm, é igual a

(A) 3312 (C) 346 (E) 323

(B) 3212 (D) 326

RESOLUÇÃO:

As retas r e s são paralelas e CD um segmento a elas

transversal.

Os ângulos FCD e CDB são alternos internos formados por

essas paralelas e a transversal, logo são congruentes, têm a

mesma medida 30°.

Como AC é perpendicular a CD , o ângulo BCD é reto.

No triângulo BCD tem-se

323

6

2

3

x

360

x

3 xxsen .

No triângulo retângulo AEB, tem-se

32

6

2

1

6

y30

6

y yxsen .

DE = x + y DE = 332


6

Questão 12

Sabendo-se que o resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – x

2 + 2

k + 2 por x – 3 é igual a

4k – 220, o valor de k é

(A) – 4. (B) –2. (C) 2. (D) 3. (E) 4.

RESOLUÇÃO:

x3 – x

2 + 2k + 2 x – 3

– x3 + 3x

2 x

2 + 2x + 6

2x2 + 0x + 2k + 2

–2x2 + 6x

+ 6x + 2k + 2

– 6x + 18

2k + 20

Ou por Briot-Ruffini.

3 6 18

3 1 – 1 + 0 (2k + 2)

1 + 2 + 6 +(2k + 20

Resto 2k+20 = 4

k – 220 2

2k – 2

k = 240

Fazendo 2k = y y

2 – y – 240 = 0

2

311

2

96011

yy , sendo 2

k = y, y > 0 tem-se:

422162

311 4

ky k .


Questão 13

O produto

2015

11. ......... .

4

11.

3

11.

2

11 é igual a

(A) 2014–1

(C) (2014.2015)–1

(E) 1008.2015–1

(B) 2015–1

(D) 2014.2015–1

RESOLUÇÃO:

2015

11. ......... .

4

11.

3

11.

2

11

Efetuando as operações entre parênteses chegamos a :

2015

2014.

2014

2013.

2013

2012 ..........

5

4 .

4

3.

3

2.

2

1

Efetuando a simplificação por cancelamento tem-se 120152015

1


Questão 14 A equação algébrica ax3 + bx

2 + cx + d = 0 possui coeficientes reais a, b, c, d, todos não

nulos. Sendo x1, x2 e x3 as raízes essa equação, então

1

321

111

xxxé igual a

(A) c

d (B)

d

c (C)

a

d (D)

b

a (E)

a

b

7

RESOLUÇÃO:

c

d

a

ca

d

xxxxxx

xxx

xxx

xxxxxx

xxx

213132

321

1

321

213132

1

321 ...

..

..

...111

Aplicando as relações entre raízes e coeficientes:

a

dxxx

321 .. e

a

cxxxxxx 213132 ... , então

c

d

a

ca

d

xxxxxx

xxx

213132

321

...

...


Questão 15 Certa empresa teve seu faturamento anual aumentado de R$ 80.000,00 para

R$ 400.000,00 em três anos. Se o faturamento cresceu a uma mesma taxa anual nesse período, essa taxa

foi igual a

(A) %5log.100 3 (C) %1005.100 3 (E) %3

100

(B) %4.100 3 (D) %3

200

RESOLUÇÃO:

Considere-se i como a taxa anual de crescimento.

80000 . (1 + i).(1 + i) . (1 + i) = 400000 (1 + i)3 = 5 (1 + i) = 3 5 i = 3 5 1

i = (100 3 5 100)%


Questão 16 Observe o gráfico da função f no plano cartesiano.

Dentre as expressões apresentadas nas alternativas a seguir, a

única que pode corresponder à lei da função f é

(A) f(x) = (x – 1)2 · (x – 2)

2

(B) f(x) = (x – 1)2 · (x – 2)

2 · (x + 1) · (x + 2)

(C) f(x) = (x2 – 1) · (x

2 – 4)

(D) f(x) = (x2 – 1) · (x

2 – 4) · (x – 1)

(E) f(x) = (x2 – 1) · (x

2 – 4) · (x + 1)

RESOLUÇÃO:

Analisando o gráfico da função conclui-se que ela é do 5o grau.

A função tem 5 raízes: 2, 1, 2, 1 e 1. Duas raízes iguais a 1

porque o gráfico tangencia o eixo das abscissas no ponto (1, 0).

Sua equação pode ser escrita:

f(x) = (x +2) (x +1) (x – 2) (x – 1) (x – 1)

f(x) = (x2 – 1) · (x

2 – 4) · (x – 1).

RESPOSTA: Alternativa D.

8

Questão 17 Sendo p e q números reais, com p>q e p+q>0, definiremos a operação # entre p e q da

seguinte forma: p # q=p2–q

2+log(p+q), com log(p+q) sendo o logaritmo na base 10 de (p+q). Utilizando-

se essa definição, o valor de 10 # (–5) é igual a

(A) 176 – log 2 (C) 76 – log 2 (E) 74 – log 2

(B) 174 – log 2 (D) 74 + log 2

RESOLUÇÃO:

.2log762log10log752

10log 75 5log25100 )510log( )5(10 )5( # 10 22


Questão 18 Os marcos A, B, C e D de uma cidade estão conectados por pistas de rodagem, conforme

mostra a malha viária indicada no diagrama da figura 1. A figura 2 indica uma matriz que representa as

quantidades de caminhos possíveis de deslocamento entre os marcos (dois a dois). Considera-se um

caminho entre dois marcos qualquer percurso que não viole o sentido da pista, que não passe novamente

pelo marco de onde partiu e que termine quando se atinge o marco de destino final pela primeira vez. As

flechas da figura 1 indicam o sentido das pistas de rodagem.

Durante período de obras na malha viária descrita, a pista de rodagem entre os marcos A e D passou a ser

de mão simples (sentido de A para D), e a pista do marco C para o marco D, ainda que tenha permanecido

com mão simples, teve seu sentido invertido, passando a ser de D para C. Comparando os 16 elementos

da matriz da figura 2 com seus correspondentes na matriz da nova configuração de malha viária, a

quantidade de elementos que mudarão de valor é igual a

(A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. (E) 9.

RESOLUÇÃO:

Como durante o período de obras a pista de rodagem entre os

marcos A e D passou a ser de mão simples (sentido de A para D),

e a pista do marco C para o marco D, permaneceu com mão

simples, porém com seu sentido invertido, passando a ser de D

para C, o gráfico ao lado representa o novo planejamento

9

1a linha) AA (0); AB; ADCB; ACB (3)

ABDC; ADC; AC (3)

AD; ABD; ACBD (3)

2a linha) BA (1); BB (0); BDC (1); B D (1)

3a linha) CA (1); CB; CAB (2) ; CC (0)

CBD; CAD; CABD (3)

4a linha) DCA(1); DCB; DCAB (2)

DC (1); DD (0);

0121

3021

1101

3330

D

C

B

A

D C BA

2 FIGURA

0121

4033

1101

4120

D

C

B

A

D C BA

0121

0

1101

0

D

C

B

A

D C BA

321

333

Comparando as duas matrizes conclui-se que mudarão de

valor os 6 elementos (A, B), (A, C),

(A, D), (C, A), (C, B) e (C, D).


Questão 19 Maria repartiu, entre seus cinco sobrinhos, o seguinte valor monetário: uma moeda de 25

centavos, uma moeda de 50 centavos, uma moeda de 1 real, uma nota de 2 reais e uma nota de 5 reais.

Depois de feita a repartição, todos receberam algum valor monetário. A respeito da repartição, Maria e

seus sobrinhos fizeram os seguintes comentários:

Aldo: “Recebi a moeda de 1 real”.

Bruno: “Não recebi a nota de 2 reais”.

Cláudio: “Bruno recebeu mais dinheiro do que eu”.

Daniel: “Aldo recebeu a moeda de 50 centavos”.

Eric: “Cláudio não recebeu a nota de 2 reais”.

Maria: “Daniel recebeu menos dinheiro do que Aldo”.

Se apenas uma das seis pessoas disse a verdade em seu comentário, é correto concluir que Aldo recebeu

(C) 1 real. (E) 5 reais.

(A) 25 centavos. (D) 2 reais.

(B) 50 centavos.

RESOLUÇÃO:

Pela análise das afirmativas, chega-se à conclusão de que Bruno e Eric não podem estar

mentindo ao mesmo tempo. Um deles está falando a verdade.

1. Bruno está falando a verdade:

I. Aldo não recebeu a moeda de 1 real;

II. Aldo não recebeu a moeda de 50 centavos;

III. Cláudio recebeu a nota de 2 reais;

IV. Daniel recebeu mais dinheiro que Aldo.

V. Pelas três primeiras conclusões conclui-se que Aldo recebeu a moeda de 25 centavos

ou a nota de 5 reais.

10

VI. Pela 4a conclusão como Daniel recebeu mais dinheiro que Aldo, este somente poderá

ter recebido 25 centavos.

2. Eric está falando a verdade: I. Aldo não recebeu a moeda de 1 real;

II. Bruno recebeu a nota de 2 reais; III. Bruno recebeu menos dinheiro do que Cláudio; IV. Cláudio recebeu a nota de 5 reais; V. Aldo não recebeu a moeda de 50 centavos.

VI. Logo Aldo não recebeu as moedas de 50 centavos e de 1 real e nem as notas de 2 e 5 reais;

Conclusão: Aldo recebeu a moeda de 25 centavos. RESPOSTA: Alternativa A

Questão 20 Para 1 < x < y < x+y, seja S = {1, x, y, x + y}. A diferença entre a média e a mediana dos

elementos de S, nessa ordem, é igual a

(A) 2

1 (C)

2

41 y (E)

4

21 yx

(B) 4

1 (D)

4

yx

RESOLUÇÃO:

A média dos elementos de S é 4

122

4

)(1

yxyxyx.

A mediana desses valores é 2

yx .

A diferença entre a média e a mediana dos elementos de S, nessa ordem, é igual a

4

1

4

2122

24

122

yxyxyxyx. RESPOSTA: Alternativa B.

Questão 21 Observe o plano Argand-

Gauss a seguir:

Elevando-se a 2015 o número complexo indicado nesse

plano Argand-Gauss, o afixo do número obtido será um

ponto desse plano com coordenadas idênticas e iguais a

(A) 22015

(B) 21007

(C) 1 (D) 2–2015

(E) –21007

RESOLUÇÃO:

O número complexo representado acima no plano Argand-Gauss é z = 1 – i

iiziiziiziz 1211111100720151007220152014201520152015

iiziiziiz 12121210072015310072015100710072015

iziziziz 100710072015100720151007201510072015 221211212

As coordenadas são iguais a 10072 .

11


Questão 22

No intervalo de 0 a π, a função que permite calcular a área A da região limitada pelo eixo x, pelas retas de

equações x = p e x = q e pelo gráfico da função definida por y = sen x é dada por A = cos p – cos q.

Com base na informação fornecida, observe a figura a seguir.

A área da região sombreada nessa figura é, aproximadamente, igual a

(A) 2,64. (B) 2,14. (C) 1,86. (D) 1,14. (E) 0,86.

RESOLUÇÃO:

A área da região em verde é:

A = cos 0 – cos = 1 – (– 1) =2.

A área sombreada em cinza é a diferença entre a área

do retângulo, de base

pintada de verde:

S = 1. - A = 3,14 – 2 = 1,14.


Questão 23 Em uma rifa, são vendidos 100 bilhetes com números diferentes, sendo que 5 deles estão

premiados. Se uma pessoa adquire 2 bilhetes, a probabilidade de que ganhe ao menos um dos prêmios é

de

(A) 330

31 (B)

495

47 (C)

198

19 (D)

165

16 (E)

990

97

RESOLUÇÃO:

A probabilidade da pessoa não ganhar é que seus bilhetes estejam entre os 95 que não foram premiados:

990

893

9900

8930

99

94

100

95 .

A pessoa adquiriu 2 bilhetes dos 100 bilhetes vendidos, a probabilidade de que ganhe ao menos um dos

prêmios é de 990

97

990

893990

990

8931

. RESPOSTA: Alternativa E.

12

Questão 24 No plano cartesiano, a área do polígono determinado pelo sistema de inequações

423

124

30

xyx

x

é igual a

(A) 12. (B) 12,5. (C) 14. (D) 14,5. (E) 15.

RESOLUÇÃO:

30 x e

423

124xy

x

42

43

4

30

42

3

124

30

xy

xy

x

xy

xy

x

Esta inequação determina no plano cartesiano o triângulo

ABC cuja base mede AC = 10 e altura

BH = 3.

A área deste triângulo é: 152

310


Questão 25 A figura indica um semicírculo de centro C e diâmetro DE = 24 cm, e um triângulo

retângulo ABC. A área sombreada no semicírculo é igual a 69π cm2.

Nas condições descritas, a medida do ângulo , denotado por α, é igual a

(A) 75°. (B) 75,5°. (C) 82°. (D) 82,5°. (E) 85°.

RESOLUÇÃO:

Área do semicírculo: 22

2

722

)(12 cmcmS

.

Razão entre a área do sector circular ACB e a do semicírculo:

24

1

72

3

72

69722

22

cm

cmcmR

Medida em graus do setor circular: 5,718024

1 .

No triângulo retângulo ABC: 5,825,7909090


13

Questão 26 A área de um segmento parabólico, sombreado na figura a seguir, pode ser calculada por

meio da fórmula 3

2.PV.AB, sendo V o vértice da parábola.

Sendo b um número real positivo, a parábola de equação y = –0,5x2 + bx determina, com o eixo x do

plano cartesiano, um segmento parabólico de área igual a 18. Sendo assim, b é igual a

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6.

RESOLUÇÃO:

Fatorando o segundo membro da equação y = –0,5x2 + bx y = –x(0,5x – b).

Determinando as raízes desta equação: –x(0,5x – b) = 0 –x = 0 ou 0,5x – b = 0

x' = 0 ou x’’ = bb

25,0 .

Agora as coordenadas do vértice da parábola determinada pela equação y = –0,5x2 + bx:

.

15,022bx

bx

bx

a

bx VVVV

.225,044

222 by

by

by

ay VVVV

PV = ,2

2b AB = 2b.

Se a área do segmento parabólico é igual a 18 e ela é calculada pela relação

3

2.PV.AB:

327183

218

3

.2b2

b2.

183

2.PV.AB 33

2

bbb


14

Questão 27 Sendo k um número real, o sistema linear

k4y6x

216y9xpossui infinitas soluções (x,y) para

k igual a

(A) –10,5. (B) 0. (C) 7. (D) 10,5. (E) 14.

RESOLUÇÃO:

Para o sistema linear

k4y6x

216y9x possuir infinitas soluções é preciso que , x e y sejam iguais a

zero.

0363646

69

84606846840

4

621kkk

kxx

126901269126906

219kkk

kyy


Questão 28 O número de pares ordenados (x,y), com x e y inteiros, que satisfazem a desigualdade

x2 + y

2 – 8x + 11 ≤ 0 é igual a

(A) 24. (B) 21. (C) 19. (D) 18. (E) 13.

RESOLUÇÃO:

x2– 8x + 16 + y

2 – 16 + 11 = 0 (x – 4)

2 + (y – 0)

2 – 5 = 0 (x – 4)

2 + (y – 0)

2 = 5

A circunferência de equação x2 + y

2 – 8x + 11= 0 tem centro no ponto (4, 0) e raio 5 .

Traçando essa circunferência e destacando na figura

todos os pontos determinados pelos pares (x, y) em que

os valores de x e y são inteiros conclui-se que a

quantidade desses pares é 21:

(2,0), (2,1), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (3, 1), (3, 2)

(4,0), (4,1), (4,2), (4, 1), (4, 2), (5,0), (5,1), (5,2), (5,

1), (5, 2) (6,0), (6,1) e (6,1).


15

Questão 29 Em uma folha de papel, desenha-se um hexágono regular ABCDEF de lado 3 cm e inscrito

em uma circunferência de centro O. O hexágono é recortado, e, em seguida, faz-se um recorte no raio

OB . A partir do recorte no raio, o pedaço de papel será usado para formar uma pirâmide de base

quadrangular e centro O. Tal pirâmide será feita com a sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e

OCD, e dos triângulos OAF e OBC.

O volume da pirâmide formada após as sobreposições e colagens, em cm3, é igual a

(A) 23 (B) 33 (C) 24 (D) 2

29 (E)

2

39

RESOLUÇÃO:

A figura 1 representa a sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e OCD, e dos triângulos OAF e

OBC.

A figura 2 representa a planificação das faces laterais da pirâmide quadrangular a ser formada.

A figura 3, a pirâmide de altura OO’ = h, faces laterais são triângulos equiláteros de lados medindo 3 cm

e base quadrada de lado 3cm.

O segmento EC é a diagonal da base e sua medida é 2333EC 22 .

No triângulo retângulo AO’O, O’C= 2

23cm, AO = 3cm e OO’ = h:

2

23

2

3

2

9

2

918

2

99

2

233 222

2

22

hhhhhh .

O volume da pirâmide é: 2

29

2

233

3

1 2

V cm³. RESPOSTA: Alternativa D.

16

Questão 30 Alfredo e Breno partem, ao mesmo tempo, dos pontos A e B, respectivamente, ambos

caminhando sobre a reta AB , mas em sentidos contrários. No momento em que eles se encontram,

Alfredo havia percorrido 18 km a mais do que Breno. Logo depois do encontro, eles continuam suas

caminhadas sendo que Alfredo leva 4 horas para chegar em B, percorrendo x quilômetros, e Breno leva 9

horas para chegar em A. Admitindo-se que Alfredo e Breno fizeram suas caminhadas com velocidades

constantes durante todo o tempo, x será a raiz positiva da equação

(A) 5x2 – 36x – 684 = 0. (D) 5x

2 – 144x – 1 296 = 0.

(B) 5x2 – 72x – 1 296 = 0. (E) 5x

2 – 144x – 1 368 = 0.

(C) 5x2 – 72x – 1 368 = 0.

RESOLUÇÃO:

t

xxVAlfredo

18

4

.

9

18

x

t

xVBreno .

Montando e desenvolvendo o sistema de equações:

129614449

724

18

9

18

9

724

918t

724

9

18

18

4

22 xxx

x

x

x

x

x

xt

x

xt

xx

xxt

x

t

x

t

xx

.


resoluÇÃo por profa. maria antÔnia c. gouveia … · tiradas nas duas primeiras provas ... assim...

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